提取公因式法、分组分解法
因式分解法的四种方法
因式分解法的四种方法
因式分解法的四种方法:提公因式法、分组分解法、待定系数法、十字分解法等等。
1、如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。
2、分组分解法指通过分组分解的方式来分解提公因式法和公式分解法无法直接分解的因式，分解方式一般分为"“1+3"式和"2+2"式。
3、待定系数法是初中数学的一个重要方法。
用待定系数法分解因式，就是先按已知条件把原式假设成若干个因式的连乘积，这些因式中的系数可先用字母表示，它们的值是待定的，由于这些因式的连乘积与原式恒等，然后根据恒等原理，建立待定系数的方程组，最后解方程组即可求出待定系数的值。
4、十字分解法的方法简单来讲就是:十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。
其实就是运用乘法公式(x+a)(x+b)=x²+(a+b)x+ab的逆运算来进行因式分解。
因式分解经典例题
因式分解经典例题一、提取公因式法例1：分解因式ax + ay。
解析：公因式为a，所以ax+ay = a(x + y)。
例2：分解因式3x^2-6x。
解析：公因式为3x，3x^2-6x=3x(x - 2)。
例3：分解因式5a^2b - 10ab^2。
解析：公因式为5ab，5a^2b-10ab^2=5ab(a - 2b)。
二、运用平方差公式a^2-b^2=(a + b)(a - b)分解因式例4：分解因式x^2-9。
解析：x^2-9=x^2-3^2=(x + 3)(x-3)。
例5：分解因式16y^2-25。
解析：16y^2-25=(4y)^2-5^2=(4y + 5)(4y-5)。
例6：分解因式(x + p)^2-(x + q)^2。
解析：根据平方差公式a=(x + p)，b=(x+q)，则(x + p)^2-(x + q)^2=[(x + p)+(x + q)][(x + p)-(x + q)]=(2x + p + q)(p - q)。
三、运用完全平方公式a^2±2ab + b^2=(a± b)^2分解因式例7：分解因式x^2+6x + 9。
解析：x^2+6x + 9=x^2+2×3x+3^2=(x + 3)^2。
例8：分解因式4y^2-20y+25。
解析：4y^2-20y + 25=(2y)^2-2×5×2y+5^2=(2y - 5)^2。
例9：分解因式x^2-4xy+4y^2。
解析：x^2-4xy + 4y^2=x^2-2×2xy+(2y)^2=(x - 2y)^2。
四、综合运用多种方法分解因式例10：分解因式x^3-2x^2+x。
解析：先提取公因式x，得到x(x^2-2x + 1)，而x^2-2x + 1=(x - 1)^2，所以原式=x(x - 1)^2。
例11：分解因式2x^2-8。
解析：先提取公因式2，得到2(x^2-4)，再利用平方差公式x^2-4=(x + 2)(x-2)，所以原式=2(x + 2)(x - 2)。
因式分解之四大基本解法
因式分解之四大基本解法知识锦囊经典例题【必会考点1】提取公因式1．因式分解：2281012x y xy --【解答】解：原式222(456)x y xy =--2(43)(2)xy xy =+-．2．因式分解：324824m m m -+-．【解答】解：32248244(26)m m m m m m -+-=--+．3．因式分解：325()10()x y y x -+-．【解答】解：325()10()x y y x -+-325()10()x y x y =-+-25()[()2]x y x y =--+25()(2)x y x y =--+．4．因式分解：3()3()a x y b y x ---．【解答】解：3()3()a x y b y x ---3()3()a x y b x y =-+-3()()x y a b =-+．【必会考点2】公式法1．因式分解：（1）22169x y - （2）22222()4x y x y +-． 【解答】解：（1）原式22(4)(3)(43)(43)x y x y x y =-=+-；（2）原式222222(2)(2)()()x y xy x y xy x y x y =+++-=+-．2．分解因式：22(23)m m -+．【解答】解：原式(23)(23)m m m m =++--(33)(3)m m =+--3(1)(3)m m =-++．3．因式分解：2()6()9x y y x -+-+【解答】解：2()6()9x y y x -+-+2()6()9x y x y =---+2(3)x y =--．【必会考点3】提取公因式与公式法综合1．因式分解：（1）2x xy -； （2）329189x x x -+； 【解答】解：（1）22(1)(1)(1)x xy x y x y y -=-=+-；（2）322291899(21)9(1)x x x x x x x x -+=-+=-；2．因式分解：（1）244am am a -+； （2）22()()a x y b y x -+-． 【解答】解：（1）22242(44)(2)am am a a m m a m -+=-+=-；（2）2222()()()()()()()a x y b y x x y a b x y a b a b -+-=--=-+-．【必会考点3】分组分解法1．因式分解：2m my mx yx -+- 【解答】解：（3）2m my mx yx -+-2()()m my mx yx =-+-()()m m y x m y =-+-()()m y m x =-+.2．因式分解：2221b bc c -+-【解答】解：2221b bc c -+-2()1b c =--(1)(1)b c b c =-+--．【必会考点4】十字相乘法1．因式分解：（1）256x x +- （2）2234a ab b -- 【解答】解：（1）256(1)(6)x x x x +-=-+（2）2234a ab b --(4)()a b a b =-+．2．分解因式：2231x x -+【解答】解：2231(1)(21)x x x x -+=--.巩固练习1．因式分解：（1）2()3()m a b n b a ---； （2）2282()x x y --．2．分解因式：（1）()()x x a y a x -+- （2）321025x y x y xy -+3．因式分解：53242357a b c a b c a bc +-4．分解因式：222(4)16m m +-．5．分解因式（1）222(1)4a a +- （2）229()25()a b a b +--．6．因式分解：22436x xy x y -+-7．因式分解：22144a ab b -+-8．分解因式（1）2249x y - （2）2221x y y -+-9．分解因式：22221x y x y -+-．10．分解因式①226x x -- ②332x x -+11．分解因式：2228x xy y --．12．十字相乘法因式分解：（1）256x x ++ （2）256x x --（3）2231x x -+ （4）2656x x +-．13．因式分解：（1）23a b b -； （2）1n m mn -+-；（3）2221x x y -+-； （4）2()()()x y x y x y -++-14．把下列各式分解因式：（1）225x -； （2）2816a a -+；（3）2()9()x x y x y +-+； （4）3222a a b ab -+-．15．因式分解：（1）236x xy x -+； （2）3241628m m m -+-；（3）2318()12()a b b a ---．巩固练习解析1．因式分解：（1）2()3()m a b n b a ---； （2）2282()x x y --．【解答】解：（1）2()3()m a b n b a --- 2()3()m a b n a b =-+- ()(23)a b m n =-+；（2）2282()x x y --222[4()]x x y =-- 2(3)()x y x y =-+．2．（1）分解因式()()x x a y a x -+- （2）分解因式321025x y x y xy -+ 【解答】（1）解：()()x x a y a x -+- (x =x a -)(y -x a -) (=x a -)(x y -)；（2）解：321025x y x y xy -+ (xy =21025)x x -+ (xy =25)x -．3．因式分解：53242357a b c a b c a bc +- 【解答】解：原式322(57)a bc a b c ab =+-； 4．分解因式：222(4)16m m +-． 【解答】解：222(4)16m m +-22(44)(44)m m m m =+++- 22(2)(2)m m =+-．5．分解因式 （1）222(1)4a a +- （2）229()25()a b a b +--． 【解答】解：（1）222(1)4a a +-22(12)(12)a a a a =+++- 2(1)a =+2(1)a -； （2）229()25()a b a b +--[3()5()][3()5()]a b a b a b a b +=+--+- .4(4)(4)a b b a =--．6．因式分解：22436x xy x y -+- 【解答】解：原式2(2)3(2)x x y x y =-+- (2)(23)x y x =-+．7．22144a ab b -+-【解答】解：22144a ab b -+-221(44)a ab b =--+ 21(2)a b =--(12)(12)a b a b =+--+．8．分解因式 （1）2249x y - （2）2221x y y -+-【解答】解：（1）原式(23)(23)x y x y =-+； （2）原式22(21)x y y =--+22(1)x y =--(1)(1)x y x y =+--+．9．分解因式：22221x y x y -+-．【解答】解：原式222222(1)1(1)(1)(1)(1)(1)x y y y x y y x =-+-=-+=+-+． 10．分解因式 ①226x x -- ②332x x -+【解答】解：①226(23)(2)x x x x --=+-； ②332x x -+ 342x x x =-++ (2)(2)(2)x x x x =+-++2(2)(21)x x x =+-+ 2(2)(1)x x =+-．11．分解因式：2228x xy y --． 【解答】解：2228x xy y -- (4)(2)x y x y =-+．12．十字相乘法因式分解： （1）256x x ++ （2）256x x -- （3）2231x x -+ （4）2656x x +-．【解答】解：（1）原式(2)(3)x x =++； （2）原式(6)(1)x x =-+； （3）原式(21)(1)x x =--； （4）原式(23)(32)x x =+-． 13．因式分解： （1）23a b b -； （2）1n m mn -+-； （3）2221x x y -+-；（4）2()()()x y x y x y -++-【解答】解：（1）原式22()()()b a b b a b a b =-=-+；（2）原式(1)()(1)(1)(1)(1)n m mn n m n m n =-+-=-+-=+-；（3）原式2222(21)(1)(1)(1)x x y x y x y x y =-+-=--=---+；（4）原式()()2()x y x y x y x x y =--++=-．14．把下列各式分解因式：（1）225x -；（2）2816a a -+；（3）2()9()x x y x y +-+；（4）3222a a b ab -+-．【解答】解：（1）原式(5)(5)x x =+-；（2）原式2(4)a =-；（3）原式2()(9)x y x =+-()(3)(3)x y x x =++-；（4）原式22(2)a a ab b =--+2()a a b =--．15．因式分解：（1）236x xy x -+；（2）3241628m m m -+-；（3）2318()12()a b b a ---．【解答】解：（1）236(361)x xy x x x y -+=-+；（2）322416284(47)m m m m m m -+-=--+；（3）23218()12()6()(322)a b b a a b a b ---=-+-．。
因式分解的十二种方法
因式分解的十二种方法把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解.因式分解的方法多种多样,现总结如下：1、提公因法如果一个多项式的各项都含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式.例1、分解因式x -2x -x(2003淮安市中考题)x -2x -x=x(x -2x-1)2、应用公式法由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系,如果把乘法公式反过来,那么就可以用来把某些多项式分解因式.例2、分解因式a +4ab+4b (2003南通市中考题)a +4ab+4b =（a+2b）3、分组分解法要把多项式am+an+bm+bn分解因式,可以先把它前两项分成一组,并提出公因式a,把它后两项分成一组,并提出公因式b,从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n,从而得到(a+b)(m+n)例3、分解因式m +5n-mn-5mm +5n-mn-5m= m -5m -mn+5n= (m -5m )+(-mn+5n)=m(m-5)-n(m-5)=(m-5)(m-n)4、十字相乘法对于mx +px+q形式的多项式,如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p,则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c)例4、分解因式7x -19x-6分析：1 -37 22-21=-197x -19x-6=（7x+2）(x-3)5、配方法对于那些不能利用公式法的多项式,有的可以利用将其配成一个完全平方式,然后再利用平方差公式,就能将其因式分解.例5、分解因式x +3x-40解x +3x-40=x +3x+( ) -( ) -40=(x+ ) -( )=(x+ + )(x+ - )=(x+8)(x-5)6、拆、添项法可以把多项式拆成若干部分,再用进行因式分解.例6、分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)=(c+b)(c-a)(a+b)7、换元法有时在分解因式时,可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数,然后进行因式分解,最后再转换回来.例7、分解因式2x -x -6x -x+22x -x -6x -x+2=2(x +1)-x(x +1)-6x=x [2(x + )-(x+ )-6令y=x+ ,x [2(x + )-(x+ )-6= x [2(y -2)-y-6]= x (2y -y-10)=x (y+2)(2y-5)=x (x+ +2)(2x+ -5)= (x +2x+1) (2x -5x+2)=(x+1) (2x-1)(x-2)8、求根法令多项式f(x)=0,求出其根为x ,x ,x ,……x ,则多项式可因式分解为f(x)=(x-x )(x-x )(x-x )……(x-x )例8、分解因式2x +7x -2x -13x+6令f(x)=2x +7x -2x -13x+6=0通过综合除法可知,f(x)=0根为 ,-3,-2,1则2x +7x -2x -13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1)9、图象法令y=f(x),做出函数y=f(x)的图象,找到函数图象与X轴的交点x ,x ,x ,……x ,则多项式可因式分解为f(x)= f(x)=(x-x )(x-x )(x-x )……(x-x )例9、因式分解x +2x -5x-6令y= x +2x -5x-6作出其图象,见右图,与x轴交点为-3,-1,2则x +2x -5x-6=(x+1)(x+3)(x-2)10、主元法先选定一个字母为主元,然后把各项按这个字母次数从高到低排列,再进行因式分解.例10、分解因式a (b-c)+b (c-a)+c (a-b)分析：此题可选定a为主元,将其按次数从高到低排列a (b-c)+b (c-a)+c (a-b)=a (b-c)-a(b -c )+(b c-c b)=(b-c) [a -a(b+c)+bc]=(b-c)(a-b)(a-c)11、利用特殊值法将2或10代入x,求出数P,将数P分解质因数,将质因数适当的组合,并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式,将2或10还原成x,即得因式分解式.例11、分解因式x +9x +23x+15令x=2,则x +9x +23x+15=8+36+46+15=105将105分解成3个质因数的积,即105=3×5×7注意到多项式中最高项的系数为1,而3、5、7分别为x+1,x+3,x+5,在x=2时的值则x +9x +23x+15=（x+1）（x+3）（x+5）12、待定系数法首先判断出分解因式的形式,然后设出相应整式的字母系数,求出字母系数,从而把多项式因式分解.例12、分解因式x -x -5x -6x-4分析：易知这个多项式没有一次因式,因而只能分解为两个二次因式.设x -x -5x -6x-4=(x +ax+b)(x +cx+d)= x +(a+c)x +(ac+b+d)x +(ad+bc)x+bd所以解得则x -x -5x -6x-4 =(x +x+1)(x -2x-4)。
因式分解 配方法
因式分解配方法因式分解是一种常用的数学方法，用于将多项式表达式分解成乘法形式的简单表达式。
它在代数学中有着重要的应用，可以帮助我们简化计算和理解数学问题。
在本文中，我们将讨论因式分解的基本原理和常见的配方法。
一、因式分解的基本原理因式分解是将一个多项式表达式分解成两个或多个乘法形式的简单表达式。
它的基本原理是根据多项式的特点，找到能够整除多项式的因子，然后将多项式分解成这些因子的乘积形式。
二、常见的配方法1. 公因式提取法公因式提取法是一种常见且简单的配方法。
它适用于多项式中存在公共因子的情况。
通过提取公因式，我们可以将多项式分解成公因式和余项的乘积形式。
例如，对于多项式2x+4，我们可以提取公因式2，将多项式分解成2(x+2)的形式。
2. 平方差公式平方差公式是一种用于分解二次多项式的配方法。
它可以将形如a^2-b^2的二次多项式分解成两个一次多项式的乘积形式。
例如，对于二次多项式x^2-4，我们可以应用平方差公式，将它分解成(x+2)(x-2)的形式。
3. 完全平方公式完全平方公式是一种用于分解二次多项式的配方法。
它可以将形如a^2+2ab+b^2的二次多项式分解成两个一次多项式的乘积形式。
例如，对于二次多项式x^2+4x+4，我们可以应用完全平方公式，将它分解成(x+2)(x+2)的形式。
4. 二次差公式二次差公式是一种用于分解二次多项式的配方法。
它可以将形如a^2-2ab+b^2的二次多项式分解成两个一次多项式的乘积形式。
例如，对于二次多项式x^2-4x+4，我们可以应用二次差公式，将它分解成(x-2)(x-2)的形式。
5. 分组分解法分组分解法是一种用于分解四次或更高次多项式的配方法。
它可以将多项式分解成两个二次或更低次的多项式的乘积形式。
例如，对于四次多项式x^4+4x^3+4x^2+4x，我们可以将其进行分组，得到x^3(x+4)+4(x^2+x)的形式，然后再进行因式分解。
三、因式分解的应用因式分解在代数学中有着广泛的应用。
一元二次方程因式分解法的四种方法
一元二次方程因式分解法的四种方法【实用版3篇】目录（篇1）一、引言二、一元二次方程的概述三、因式分解法概述四、四种因式分解方法1.提取公因式法2.完全平方公式法3.平方差公式法4.完全平方公式与平方差公式的结合法五、每种方法的例题解析六、总结正文（篇1）一、引言在解决一元二次方程时，因式分解法是一种常用的方法，它可以帮助我们快速找到方程的解。
本文将为大家介绍四种因式分解的方法，以帮助大家更好地理解和运用这一方法。
二、一元二次方程的概述一元二次方程是指形如 ax+bx+c=0 的方程，其中 a、b、c 为常数，且 a≠0。
在这个方程中，a、b、c 分别称为二次项系数、一次项系数和常数项。
三、因式分解法概述因式分解法是将一元二次方程的左边化为两个一次因式的积的形式，从而得到方程的解。
通过因式分解，我们可以将一元二次方程转化为两个一元一次方程来求解，从而简化了解题过程。
四、四种因式分解方法1.提取公因式法提取公因式法是指在方程的两边同时提取公因式，以达到简化方程的目的。
这种方法适用于当方程的一次项系数 b 为零的情况。
2.完全平方公式法完全平方公式法是指利用完全平方公式 (a+b)=a+2ab+b将方程进行因式分解。
这种方法适用于当方程的二次项系数 a 为 1 的情况。
3.平方差公式法平方差公式法是指利用平方差公式 (a+b)(a-b)=a-b将方程进行因式分解。
这种方法适用于当方程的一次项系数 b 不等于零且二次项系数 a 不等于 1 的情况。
4.完全平方公式与平方差公式的结合法当方程的二次项系数 a 不为 1，一次项系数 b 不为 0 时，我们可以将完全平方公式和平方差公式结合使用，以达到因式分解的目的。
五、每种方法的例题解析这里我们分别对四种因式分解方法进行例题解析，以便大家更好地理解和掌握这些方法。
六、总结因式分解法是一种解决一元二次方程的有效方法，掌握四种因式分解方法有助于我们在解题过程中更加灵活地选择合适的方法。
分解因式的几种常用方法
分解因式的几种常用方法因式分解的主要方法有： 1. 十字相乘法 2. 提取公因式法 3. 公式法 4. 分组分解法 5. 求根法 6. 待定系数法高中必备知识点1：十字相乘法要点一、十字相乘法利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.对于二次三项式2x bx c ++，若存在pq c p q b=⎧⎨+=⎩ ，则()()2x bx c x p x q ++=++.要点诠释：（1）在对2x bx c ++分解因式时，要先从常数项c 的正、负入手，若0c >，则p q 、同号(若0c <，则p q 、异号)，然后依据一次项系数b 的正负再确定p q 、的符号； （2）若2x bx c ++中的b c 、为整数时，要先将c 分解成两个整数的积(要考虑到分解的各种可能)，然后看这两个整数之和能否等于b ，直到凑对为止. 要点二、首项系数不为1的十字相乘法在二次三项式2ax bx c ++(a ≠0)中，如果二次项系数a 可以分解成两个因数之积，即21a a a =，常数项c 可以分解成两个因数之积，即21c c c =，把2121c c a a ，，，排列如下：按斜线交叉相乘，再相加，得到1221a c a c +，若它正好等于二次三项式2ax bx c ++的一次项系数b ，即1221a c a c b +=，那么二次三项式就可以分解为两个因式11a x c +与22a x c +之积，即()()21122ax bx c a x c a x c ++=++.要点诠释：（1）分解思路为“看两端，凑中间”（2）二次项系数a 一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号 里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上.典型考题【典型例题】阅读与思考：将式子分解因式．法一：整式乘法与因式分解是方向相反的变形. 由，； 分析：这个式子的常数项，一次项系数，所以.解：.法二：配方的思想..请仿照上面的方法，解答下列问题： （1）用两种方法分解因式：；（2）任选一种方法分解因式：.【答案】（1）；（2）【解析】（1）法一：,法二：,（2）.或.【变式训练】阅读材料题：在因式分解中，有一类形如x2+（m+n）x+mn的多项式，其常数项是两个因数的积，而它的一次项系数恰是这两个因数的和，则我们可以把它分解成x2+（m+n）x+mn＝（x+m）（x+n）．例如：x2+5x+6＝x2+（2+3）x+2×3＝（x+2）（x+3）．运用上述方法分解因式：（1）x2+6x+8；（2）x2﹣x﹣6；（3）x 2﹣5xy+6y 2；（4）请你结合上述的方法，对多项式x 3﹣2x 2﹣3x 进行分解因式． 【答案】（1）（2）；（3）（4）.【解析】 解：； ；； ．故答案为：(1)(2)；(3)(4).【能力提升】由多项式的乘法：(x ＋a)(x ＋b)＝x 2＋(a ＋b)x ＋ab ，将该式从右到左使用，即可得到用“十字相乘法”进行因式分解的公式：x 2＋(a ＋b)x ＋ab ＝(x ＋a)(x ＋b)．实例 分解因式：x 2＋5x ＋6＝x 2＋(2＋3)x ＋2×3＝(x ＋2)(x ＋3)． (1)尝试 分解因式：x 2＋6x ＋8；(2)应用 请用上述方法解方程：x 2－3x －4＝0. 【答案】(1) (x+2)(x ＋4)；(2) x ＝4或x ＝－1. 【解析】(1)原式=(x+2)(x ＋4)；(2)x 2－3x －4＝(x －4)(x ＋1)＝0，所以x －4＝0或x ＋1＝0，即x ＝4或x ＝－1.高中必备知识点2：提取公因式法与分组分解法1.提取公因式法：如果多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提到括号外面，把多项式转化成公因式与另一个多项式的积的形，这种因式分解的方法叫做提公因式法。
因式分解常用的六种方法详解
一、提公因式法这种方法是最简单的，如果看到多项式中有公因子，不管三七二十一，先提取一个公因子再说，因为这样整个问题就被简化了，有点类似我们刚提到的利用因子定理进行因式分解。
例题：因式分解下列多项式：(1)x3y−xy3=xy(x2−y2)=xy(x+y)(x−y) ;(2) 3x3−18x2+27x=3x(x2−6x+9)=3x(x−3)2 ;(3) 3a3+6a2b−3a2c−6abc=3a(a2+2ab−ac−2bc)=3a[a(a−c)+2b(a−c)]=3a(a+2b)(a−c).二、公式法因式分解是把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，是整式乘积的逆运算，所以如果我们熟悉整式乘积的公式，那么解决因式分解也会很快。
常用的公式如下：(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab(a±b)2=a2±2ab+b2(a±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3a2−b2=(a−b)(a+b)a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2)(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2caa3+b3+c3−3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2−ab−bc−ca)还有两个常考的n次方展开的公式：an−bn=(a−b)(an−1+an−2b+an−3b2+⋯+abn−2+bn−1)(n∈Z+)an+bn=(a+b)(an−1−an−2b+an−3b2−⋯−abn−2+bn−1)(n is odd)例题：因式分解：(a2+b2−1)2−4a2b2=(a2+b2−1+2ab)(a2+b2−1−2ab)=[(a+b)2−1][(a−b)2−1]=(a+b+1)(a+b−1)(a−b+1)(a−b−1)三、十字相乘法（双十字相乘法）简单的十字相乘其实就是公式(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab的运用，这个大家都很熟悉，还有一句口诀：首尾分解，交叉相乘，求和凑中。
因式分解的七种常见方法
因式分解的七种常见方法因式分解是代数学中非常重要的一个基本概念，可以帮我们优化计算过程，得到简化的式子。
在因式分解的过程中，需要运用不同的方法来将一个给定的式子分解为若干个简单的乘积，本文将会介绍七种常见的因式分解方法。
1. 公式法公式法是一种较为常见的因式分解方法，它可以应用于一些特定的式子。
公式法常用的公式有两个：（1）$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$该公式被称为"a二次减b二次"公式。
它告诉我们，一个平方数减另一个平方数的结果可以表示为两个因子的乘积，并分别是它们的和与差。
例如：$16-9=7\times5=(4+3)\times(4-3)$（2）$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$该公式被称为"a立方加b立方"公式。
它告诉我们一个立方数加另一个立方数的结果可以表示为两个因子的乘积，并分别是它们的和与差减去它们的积。
例如：$8^3+1^3=513=(8+1)\times(8^2-8+1)$2. 提公因式法提公因式法是一种常用的因式分解方法。
它的主要思想是将式子中的公因式先提出来，再对剩下的部分进行因式分解。
例如：$ax^2+bx=a(x^2+\frac{b}{a}x)$在上述式子中，$a$是公因式，$(x^2+\frac{b}{a}x)$是剩余部分的因式分解。
这样我们就把原始式子分解成了两个因子的乘积。
3. 十字相乘法十字相乘法主要用于二次三项式的因式分解。
该方法基于以下思想：将二次三项式分解为两个一次三项式的乘积，其中每个一次三项式的首项系数积等于原始式子的二次项系数，常数项积等于原始式子的常数项。
例如：$ax^2+bx+c$，首先将它分解为两个一次三项式$(px+q)(rx+s)$，然后进行十字相乘运算$(px+q)(rx+s)=px\times rx+px\times s+qrx+qs$，其中最后两项括号里的$c$是常数项。
因式分解的16种方法
因式分解的16种方法
因式分解是将一个多项式或整数表达式分解为不可再分的乘积的过程。
在因式分解的方法中，常见的有以下16种方法：
1.公因式法：根据多项式的各项之间的最大公因式进行因式分解。
2.差平方公式：利用两个完全平方数的差可以分解成两个因数的平方差。
3.完全平方公式：利用两个因数的平方和可以分解成两个完全平方数
的和。
4.配方法：将多项式按照公式进行配方分解，然后进行因式分解。
5.一元两次方程法：对于一元二次方程，可以通过二次方程的解，将
方程进行因式分解。
6.和差化积：将多项式中的和差进行化积，然后进行因式分解。
7.分组法：将多项式中的项进行分组，然后进行因式分解。
8.提公因式法：将多项式的各项提取公因式，然后进行因式分解。
9.代入法：将因式分解的结果代入方程，通过求方程的解，验证因式
分解的正确性。
10.根式法：将多项式转化为根式表达式，然后进行因式分解。
11.差因式公式：利用一个完全平方数与一个差的因式的乘积可以表
示为两个因数的差的平方。
12.和因式公式：利用一个完全平方数与一个和的因式的乘积可以表
示为两个因数的和的平方。
13.二次齐次因式分解：对于二次齐次方程，可以通过齐次方程的解，将方程进行因式分解。
14.辗转相除法：对于整数表达式，可以利用辗转相除法，将整数进
行因式分解。
15.因数分解法：将整数进行因数分解，找出所有的因数，然后进行
因式分解。
16.文氏因式分解法：将多项式的各项按照文氏图进行排列，然后进
行因式分解。
因式分解的十二种方法(已整理)
因式分解的十二种方法:把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。
因式分解的方法多种多样，现总结如下：1、提公因法如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。
例1、分解因式x -2x -x(2003淮安市中考题)x -2x -x=x(x -2x-1)2、应用公式法由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式。
例2、分解因式a +4ab+4b (2003南通市中考题)解：a +4ab+4b =（a+2b）3、分组分解法要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它前两项分成一组，并提出公因式a，把它后两项分成一组，并提出公因式b，从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n，从而得到(a+b)(m+n)例3、分解因式m +5n-mn-5m解：m +5n-mn-5m= m -5m -mn+5n= (m -5m )+(-mn+5n)=m(m-5)-n(m-5)=(m-5)(m-n)4、十字相乘法对于mx +px+q形式的多项式，如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p，则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c)例4、分解因式7x -19x-6分析：1 -37 22-21=-19解：7x -19x-6=（7x+2）(x-3)5、配方法对于那些不能利用公式法的多项式，有的可以利用将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解。
例5、分解因式x +3x-40解x +3x-40=x +3x+( ) -( ) -40=(x+ ) -( )=(x+ + )(x+ - )=(x+8)(x-5)6、拆、添项法可以把多项式拆成若干部分，再用进行因式分解。
例6、分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)解：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b) =c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a) =(c+b)(c-a)(a+b)7、换元法有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来。
因式分解的7种方法和4种思路
因式分解的7种方法和4种思路因式分解是数学中一个基本且重要的概念，它是将一个多项式或者表达式，通过分解成若干个因子的乘积的形式来表示。
因式分解涉及到多种方法和思路，并且在不同的数学问题中有着不同的应用。
下面将介绍七种常见的因式分解方法和四种思路。
一、七种因式分解方法：1.公因式提取法：该方法适用于多个项有公因子的情况。
例如：2xy + 4x + 6y 可以提取 x，得到 x(2y+4) + 6y，再可以继续提取2，得到2(x(y+2)+3y)2.完全平方差公式：如果一个多项式可以表示成两个平方数之差的形式，那么就可以使用完全平方差公式进行因式分解。
例如：a^2-b^2=(a+b)(a-b)3.公式法：公式法是运用数学中的一些特殊公式进行因式分解的方法。
例如：a^2 ±2ab+b^2 = (a±b)^2a^3 ± b^3 = (a±b)(a^2∓ab+b^2)4.分组法：分组法适用于多项式中存在一些特殊的关系。
例如：ab + ac + bd + cd，我们可以通过分组成 (ab+ac) + (bd+cd)，然后再提取公因式，变成a(b+c) + d(b+c)，最后变成 (a+d)(b+c)。
5.提取平方根法：如果一个多项式的各项是可以开平方的，那么就可以使用提取平方根的方法进行因式分解。
例如：a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^26.分解差的平方：如果一个多项式是两个平方之差的形式，那么可以使用分解差的平方的方法。
例如：a^4-b^4=(a^2+b^2)(a^2-b^2)7.组合法：组合法是将一个多项式中的项进行组合，寻找其中的特殊关系，然后进行因式分解。
例如：a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3，可以将其分组为(a^3 + b^3) + 3ab(a + b)，再使用公式法进行因式分解。
二、四种因式分解思路：1.提取公因子的思路：当一个多项式中的几个项具有公因子时，可以使用公因子提取法将公因子提取出来，从而进行因式分解。
因式分解法的四种方法的公式
因式分解法的四种方法的公式因式分解是数学中常用的一种方法，可以将一个多项式或一个整数化简为其因数的乘积形式。
在因式分解中，有四种基本的方法：公因式法、分组法、三项分解法和特殊因式分解法。
下面将对这四种方法进行详细介绍。
一、公因式法：公因式法是一种基础的因式分解方法，其基本思想是找出多项式或整数中的公因式，并将其提取出来。
例如，对于多项式2x + 4xy，可以提取出公因式2，得到2(x + 2y)。
这里的公因式就是2二、分组法：分组法主要用于对含有四个或四个以上的项的多项式进行因式分解。
其基本思想是对多项式中的项进行分组，并在每个组中寻找公因式。
例如，对于多项式3x + 3y + 2xy + 2x，可以将其分为两组，分别是3x + 2x和3y + 2xy。
接下来分别提取每组中的公因式，得到3x(1 + 2) + y(3 + 2x) = 3x(3) + y(3 + 2x) = 9x + 3y + 2xy。
通过分组法，可以将多项式进行分解。
三、三项分解法：三项分解法用于因式分解三个项的多项式。
其基本思想是找到一个或多个因子，使得这些因子的乘积可以得到原多项式。
例如，对于多项式x^2+5x+6，可以将其分解为(x+2)(x+3)。
这里的(x+2)和(x+3)就是原多项式的因子，它们的乘积等于原多项式。
四、特殊因式分解法：特殊因式分解法主要用于特殊的多项式形式的因式分解。
常见的特殊因式包括二次三项式、完全平方三项式、立方差、差之平方等。
例如，对于多项式x^2-4y^2，可以将其因式分解为(x-2y)(x+2y)。
这里就利用到了差之平方的特殊因式分解。
除了这四种常见的因式分解方法，还有其他一些特殊的因式分解方法，例如矩形法、奇偶性分解法等。
这些方法可以根据具体问题的要求选择使用，以便更方便地完成因式分解。
总之，因式分解是一种在数学中经常使用的方法，它可以将一个多项式或一个整数化简为其因数的乘积形式。
公因式法、分组法、三项分解法和特殊因式分解法是四种常见的因式分解方法，可以根据具体情况选择适合的方法进行因式分解。
因式分解的常用方法7种
因式分解的常用方法(7种)把一个多项式化成几个整式积的形式这种变形叫做把这个多项式因式分解(或分解因式) 因式分解X2-1 ---------- * (X+1)(X-1)I y整式乘法一■、提公因式法.：ma+mb+mc = m(a+b+c)如何找公因式？(1)取各项系数的最大公约数；(2)取各项都含有的相同字母；(3)取相同字母的最低次赛.二、运用公式法.在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：(1)(a+b)(a-b) = a2-b2(2)(a±b)2 = a2±2ab+b2(3)(a+b)(a2-ab+b2) = a3-a2b+ab2+a2b-ab2+b3= a3+b3(4)(a-b)(a2+ab+b2) = a3+a2b+ab2-a2b-ab2-b3= a3-b3下面再补充两个常用的公式：(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2=(a+b) 2+2(a+b)c +c 2=[(a+b)+c] 2=(a+b+c) 2 ；(6)a3+b3+c3-3abc=(a3+ab2+ac2-a2b-abc-ca2) + (a2b+b3+bc2-ab2-b2c-abc) + (a2c+b2c+c3-abc-bc2-c2a) = (a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca);例.已知a，b, c是A ABC的三边，且a 2 + b 2 + c 2 = ab + bc + ca，则A ABC的形状是() 人.直角三角形8等腰三角形C等边三角形口等腰直角三角形解：a 2 + b 2 + c 2 = ab + bc + ca n 2 a 2 + 2 b 2 + 2 c 2 = 2 ab + 2 bc + 2 can (a一b)2 + (b一c)2 + (c一a)2 = 0 n a = b = c三、分组分解法.(一)分组后能直接提公因式例1、分解因式：am + an + bm + bn分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部” 看，这个多项式前两项都含有a,后两项都含有b,因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。
因式分解的十二种方法
因式分解的十二种方法把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。
因式分解的方法多种多样，现总结如下：1、提公因法如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。
例1、分解因式x -2x -x(2003淮安市中考题)x -2x -x=x(x -2x-1)2、应用公式法由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式。
例2、分解因式a +4ab+4b (2003南通市中考题)解：a +4ab+4b =（a+2b）3、分组分解法要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它前两项分成一组，并提出公因式a，把它后两项分成一组，并提出公因式b，从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n，从而得到(a+b)(m+n)例3、分解因式m +5n-mn-5m解：m +5n-mn-5m= m -5m -mn+5n= (m -5m )+(-mn+5n)=m(m-5)-n(m-5)=(m-5)(m-n)4、十字相乘法对于mx +px+q形式的多项式，如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p，则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c)例4、分解因式7x -19x-6分析： 1 -37 22-21=-19解：7x -19x-6=（7x+2）(x-3)5、配方法对于那些不能利用公式法的多项式，有的可以利用将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解。
例5、分解因式x +3x-40解x +3x-40=x +3x+( ) -( ) -40=(x+ ) -( )=(x+ + )(x+ - )=(x+8)(x-5)6、拆、添项法可以把多项式拆成若干部分，再用进行因式分解。
例6、分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)解：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)=(c+b)(c-a)(a+b)7、换元法有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来。
小专题( 六 ) 因式分解的几种常见方法
8.用十字相乘法分解因式: ( 1 )2x2-3x+1; 解:2x2-3x+1=( 2x-1 )( x-1 ). ( 2 )6x2+5x-6. 解:6x2+5x-6=( 2x+3 )( 3x-2 ).
小专题（六） 因式分解的几种常见方法 -9-
类型5 拆项、补项法 9.拆项法是因式分解中一种技巧性较强的方法,它通常是把多项式中的某一项拆成几项,再分组 分解,因而有时需要多次实验才能成功,例如把x3-3x2+4分解因式,这是一个三项式,最高次项是 三次项,一次项系数是0,本题没有公因式可提取,又不能直接应用公式,因而考虑制造分组分解 的条件,把常数项拆成1和3,原式就变成( x3+1 )-( 3x2-3 ),再利用立方和与平方差先分解,解法 如下: 原式=x3+1-( 3x2-3 )=( x+1 )( x2-x+1 )-3( x+1 )( x-1 )=( x+1 )( x2-x+13x+3 )=( x+1 )( x-2 )2. 公式:a3+b3=( a+b )( a2-ab+b2 ),a3-b3=( a-b )·( a2+ab+b2 ).
小专题（六） 因式分解的几种常见方法 -7-
类型3 分组分解法 6.将一个多项式分组后,可提公因式或运用公式继续分解的方法是因式分解中的分组分解法,一 般的分组分解法有四种形式,即“2+2”分法、“3+1”分法、“3+2”分法及“3+3”分法等. 如“2+2”分法: ax+ay+bx+by=( ax+ay )+( bx+by )=a( x+y )+b( x+y )=( x+y )( a+b ). 请你仿照以上方法,探索并解决下列问题: ( 1 )分解因式:x2-y2-x-y; ( 2 )分解因式:9m2-4x2+4xy-y2; ( 3 )分解因式:4a2+4a-4a2b2-b2-4ab2+1. 解:( 1 )原式=( x2-y2 )-( x+y )=( x+y )( x-y )-( x+y )=( x+y )( x-y-1 ). ( 2 )原式=9m2-( 4x2-4xy+y2 )=( 3m )2-( 2x-y )2=( 3m+2x-y )( 3m-2x+y ). ( 3 )原式=( 2a+1 )2-b2( 2a+1 )2=( 2a+1 )2( 1+b )·( 1-b ).
因式分解常见方法
第二讲因式分解因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法。
因式分解的一般步骤：先看有没有公因式，若有立即提出；然后看看是几项，若是二项式则用平方差公式、立方和公式或立方差公式；若是三项式用完全平方公式或十字相乘法；若是四项及以上的式子用分组分解法，要注意分解到不能分解为止，还要注意题目要求什么范围内分解。
一、提取公因式提取公因式的定义：就是从各项中提取公共因式，直到不能提取为止。
提取公因式的步骤：第一步，各项系数取最大的公约数；第二步，字母取各项都有的字母；第三步，字母的指数取各项指数中最小的。
典例激活【例1】分解因式1a2b−5+a5−b; 2a2x−2a2+a2a−x3.解∶1a2b−5+a5−b=a b−5a−1.2a2x−2a2+a2a−x3=a2x−2a2−a x−2a3=a x−2a2a−x−2a=a x−2a2a−x+2a=a x−2a2(3a−x)延伸训练分解因式1.2x4y2−4x3y2+10xy4.2.8a−b2−12b−a.3.5x n+1−15x n+60x n−1.二、公式法我们在初中已经学习过了一些乘法公式：（1）平方差公式：a+b a−b=a2−b2;（2）完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2.我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：（1）立方和公式：a+b a2−ab+b2=a3+b3;（2）立方差公式：a−b a2+ab+b2=a3−b3;把这两式反过来，就得a3+b3=a+b a2−ab+b2；a3−b3=a−b a2+ab+b2.其特点是：等号左边是两数的立方和（或差），等号右边是二数和（或差）与一个三项式的积，三项式中有两项为这两数的平方，另一项为这两数的积，其符号与左边中间的符号相反。
运用这两个公式，可以把形式是立方和（或差）的多项式分解因式。
典例激活【例1】把下列多项式分解因式1a3+8; 227−8y3.解：1a3+8=a3+23=a+2a2−2a+22=a+2(a2−2a+4)227−8y3=33−2y3=3−2y32+6y+2y2=3−2y(9+6y+4y2)【例2】分解因式：13a3b−81b4;2a7−ab6.分析：（1）中应先提取公因式再进一步分解；（2）中提取公因式后，括号内出现a6−b6,可看成是(a3)2−(b3)2或(a2)3−(b2)3.解：13a3b−81b4=3b a3−27b3=3b a−3b a2+3ab+9b2(2)a7−ab6=a a6−b6=a a3+b3a3−b3=a a+b a2−ab+b2a−b a2+ab+b2=a a+b a−b a2+ab+b2a2−ab+b2.延伸训练分解因式1.−a4+16.2.3x+2y2−x−y2.3.m2+3m2−8m2+3m+16.4.x2+y2−z22−4x2y2.5.3a b−1−24a4b−1.三、分组分解法分组分解法并不是一种独立的因式分解的方法。
二元一次方程因式分解法的四种方法
二元一次方程因式分解法的四种方法嘿，你知道二元一次方程不？那因式分解法解它可厉害啦！先说说提公因式法，就好比从一堆杂乱的东西里找出大家都有的那个宝贝。
找到方程中各项的公因式，提出来，那方程就变得简单多啦。
注意可别找错公因式哦，不然就全乱套啦。
这方法超简单，适合那些有明显公因式的方程。
比如方程2x² + 4x = 0，一眼就能看出公因式是2x，提出来就变成2x(x + 2) = 0，轻松求解。
十字相乘法呢，就像玩拼图游戏。
把二次项系数和常数项分别拆成两个数相乘，再交叉相乘凑出一次项系数。
这可得有点小技巧，要多试试。
要是拆得不对，那可就麻烦啦。
像x² + 5x + 6 = 0，把1 拆成1×1，6 拆成2×3，交叉相乘正好是5，就变成(x + 2)(x + 3) = 0。
公式法呢，就像是个万能钥匙。
只要记住那个求根公式，啥方程都能试试。
不过算起来有点麻烦，还得小心别算错。
对于ax² + bx + c = 0，求根公式是x = (-b±√(b² - 4ac))/2a。
分组分解法，就像把一群小伙伴分组玩游戏。
把方程的各项合理分组，然后分别提公因式。
这也得动点脑筋，找对分组方法。
比如ax + ay + bx + by，可以分成(a + b)x + (a + b)y，再提公因式(a + b)，就变成(a + b)(x + y)。
这些方法安全不？那当然啦！只要你认真算，就不会出问题。
稳定性也杠杠的，只要方程没错，方法用对，答案就妥妥的。
那啥时候用这些方法呢？如果方程有明显公因式，提公因式法最省事。
十字相乘法适合二次项系数为1 或者比较容易拆的情况。
公式法啥时候都能用，就是麻烦点。
分组分解法适合那些项比较多，可以合理分组的方程。
优势可多啦！简单快捷，不用像其他方法那么费劲。
而且能让你更清楚地看到方程的结构。
举个实际案例，比如解方程x² - 4x + 3 = 0，用十字相乘法，1 拆成1×1，3 拆成(-1)×(-3)，交叉相乘正好是-4，就变成(x - 1)(x - 3) = 0，解得x = 1 或x = 3。
因式分解方法
因式分解方法因式分解是代数学中的一个重要概念，它在解决多项式的因式和根的问题中起着至关重要的作用。
因式分解方法有多种，包括提公因式法、分组分解法、配方法、换元法等。
本文将介绍其中几种常见的因式分解方法，并通过实例进行详细说明。
首先，我们来介绍提公因式法。
提公因式法是指先找出多项式中的公因式，然后进行因式分解的方法。
例如，对于多项式3x+6y，我们可以先提出公因式3，得到3(x+2y)，然后再进行进一步的因式分解。
这种方法适用于多项式中存在公因式的情况，可以大大简化因式分解的过程。
其次，我们来介绍分组分解法。
分组分解法适用于四项式的因式分解，其基本思想是将四项式中的项进行分组，然后利用因式分解的方法进行简化。
例如，对于四项式x^2+2xy+2x+4y，我们可以将其分为两组，得到x(x+2y)+2(x+2y)，然后再提取公因式(x+2y)，得到(x+2y)(x+2)。
通过这种方法，我们可以较为快速地进行因式分解，尤其适用于较为复杂的四项式。
另外，配方法也是一种常见的因式分解方法。
配方法适用于一些特殊的多项式，其基本思想是通过配方来将多项式进行因式分解。
例如，对于多项式x^2+6x+9，我们可以通过配方得到(x+3)^2，进而进行因式分解。
这种方法在解决一些特殊形式的多项式时非常有效，可以大大简化因式分解的过程。
最后，我们来介绍换元法。
换元法是指通过变量替换的方法来进行因式分解。
例如，对于多项式x^3+8，我们可以将其看作是一个立方和的形式，然后通过换元法将其进行因式分解。
这种方法在解决一些特殊形式的多项式时非常有效，可以将复杂的多项式简化为易于处理的形式。
综上所述，因式分解是代数学中的一个重要概念，其方法多种多样。
提公因式法、分组分解法、配方法、换元法等都是常见的因式分解方法，它们在解决多项式的因式和根的问题中起着至关重要的作用。
通过掌握这些方法，并进行大量的练习，我们可以更加熟练地进行因式分解，从而更好地解决代数问题。
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二、因式分解
提取公因式法、分组分解法
练习要求
了解因式分解的概念；掌握提取公因式法与分组分解法。
A卷
一、填空题
1.把一个多项式化成的形式，叫做因式分解。
2.把下列各式分解因式
(1)3x-27y2= ；(2)6x2-7xy2= ；
(3)2x2y-4xy3= ；(4)-5x2+10xy3= 。
3.(1)多项式2x2y-4x3y2+6x4y2各项的公因式是；
(2)多项式-5ax5y6+15a2x4y7-35a3x2y4各项的公因式是。
4.把下列各式分解因式
(1)3(a+b)-4a(a+b)= ；
(2)5(a-b)3-15(a-b)2= ；
(3)4(a+2b)2(a-3b)-4(a+2b)3= ；
(4)6(x-3y)4-12(3y-x)3= 。
5.把下列各式用分组分解法分解因式
(1)3x+3y-ax-ay= ；
(2)ab-a-5b+5= 。
二、选择题
6.下列各式形是因式分解的是( )
(A)(x-7)(x+7)=x2-49；(B)x2+5x-6=x(x+5)-6；
(C)5(x-2)(x-3)=5(x-3)(x-2)；(D)3x2-9xy+6x=3x(x-3y+2)。
7.多项式18a2b3-9ab2+27a2b2的公因式是( )
(A)ab2；(B)9ab2；(C)9ab；(D)3ab。
8.下列各多项式中有公因式an的是( )
(A)a n+2-5a2n；(B)a3n+a3；
(C)a n+2-6a2；(D)an-1-a3n。
9.下列各多项式中不能用提取公因式法因式分解的是( )
(A)5x2y3-20xy3；(B)-3ab+16b3c；
(C)x2-3x-1；(D)(a-b)(a+b)2-(b-a)2。
10.5x-7y-5ax+7ay因式分解时，下列分组方法错误的是( )
(A)(5x-7y)-(5ax-7ay)；(B)(5x-5ax)-(7y-7ay)；
(C)(5x+7ay)-(5ax+7y)；(D)(5x-5ax)+(7ay-7y)。
三、简答题
11.将下列各式分解因式
(1)9x2y+15xy2-6xy；
(2)-18x4y5+27x3y6-36x5y4；
(3)x(a-x)(y+a)-2y(x-a)(a+y)；
(4)(x-5)(3x-2)+10(5-x)；
(5)x4-x2yz+x3y-x3z；
(6)ax n-yx n+4x n+1y-4x n+1a。
12.简便计算
(1)14.3×9.6+14.3×10.4；
(2)5.8×4.7+5.8×12.1-5.8×6.8；
(3)5×109-1010；
(4)6.2×7.8+6.2×2.1+3.8×4.5+3.8×5.4。
B卷
一、填空题
1.ax+by+ay+bx=a( )+b( )=( )( )。
2.把下列各式分解因式
(1)14x2y-49= ；(2)5x3y-4xy2= ；
(3)-6x4y2+15x3y4= ；(4)3x n y-9x2n y= 。
3.(1)多项式-3a4b7+9a3b6-18a2b5各项的公因式是；
(2)多项式x n y2n+1-3x2n y3n-5x n+3y2n各项的公因式是。
4.把下列各式分解因式
(1)5(2a-b)-3a2(2a-b)= ；
(2)4(x+y)3-8(x+y)2= ；
(3)2(a+3b)2(a-b)-6(a+3b)3= ；
(4)15(a-b)4+20(b-a)3(a+b)= 。
5.把下列各式用分组分解法分解因式
(1)4x2-8y2-bx2+2by2= ；
(2)3ab-9a+5bx2-15x2= 。
二、选择题
6.下列各式变形是因式分解的是( )
(A)(3x-5)(3x+5)=9x2-25；(B)x2-5x-6=(x-6)(x+1)；
(C)x2-y2+2=(x+y)(x-y)+2；(D)(x2-4)2=x4-8x2+16。
7.多项式-5x2n+3-15x n+2+20x3n+4的公因式是( )
(A)5x2；(B)-x n+2；(C)-5x n+2；(D)-5x2n+2。
8.下列各因式分解中结果正确的是( )
(A)m(x-y-z)-n(y+z-x)=(x-y-z)(m-n)；
(B)(a-b)-a(b-a)=(a-b)(1+a)；
(C)3x2-15x6=3x2(1-5x3)；
(D)12abc-9ab2=ab(12c-9b)。
9.6x2-9x2y-8xy2+12xy3因式分解时，下列分组方法正确的是( )
(A)(6x2-9x2y+12xy3)-8xy2；
(B)(6x2+12xy3)-(9x2y+8xy2)；
(C)(6x2-8xy2)+(9x2y-12xy3)；
(D)(6x2-9x2y)-(8xy2-12xy3)。
10.计算(-3)15+4·(-3)14的结果是( )
(A)314； (B)-314； (C)-1； (D)1。
三、简答题
11.将下列各式分解因式
(1)-4x4y3+8x2y2-6x3y4；
(2)a2b(x-y)-ab2(y-x)+b3(x-y)；
(3)15x2n+3-25x n+1+45x n+3；
(4)(m-n)3+m(m-n)2-n(n-m)2；
(5)(a+3b)2+a2+3ab-ac-3bc；
(6)ab(x2+y2)+xy(a2+b2)。
12.简便计算
(1)1997×86%+1997×14%；
(2)12.9×0.125-6.7×0.125+1.8×0.125；
(3)6×108-107-5×106；
(4)7.3×5.8+2.7×2.9+7.3×3.2+2.7×6.1。
参考答案
A卷一、1.几个整式的积 2.(1)3(x-9y2) (2)x(6x-7y2)(3)2xy(x-2y2)(4)-5x(x-2y3)
3.(1)2x2y (2)-5ax2y4
4.(1)(a+b)(3-4a) (2)5(a-b)2(a-b-3) (3)-20b(a+2b)2
(4)6(x-3y)3(x-3y+2) 5.(1)(3-a)(x+y) (2)(a-5)(b-1) 二、6.D 7.B 8.A 9.C 10.C
三、11.(1)3xy(3x+5y-2) (2)-9x3y4(2xy-3y2+4x2) (3)(a-x)(y+a)(x+2y) (4)3(x-5)(x-4)
(5)x2(x-z)(x+y) (6)x n(a-y)(1-4x) 12.(1)286 (2)58 (3)-5×109 (4)99
B卷一、1.x+y、y+x、a+b、x+y 2.(1)7(2x2y-7)(2)xy(5x2-4y) (3)-3x3y2(2x-5y2) (4)3x n y(1-3x n) 3.(1)-3a2b5(2)x n y2n 4.(1)(5-3a2)(2a-b) (2)4(x+y)2(x+y-2) (3)-4(a+3b)2(a+5b) (4)-5(a-b)3(a+7b) 5.(1)(x2-2y2)(4-b) (2)(3a+5x2)(b-3) 二、6.B 7.C 8.B 9.D 10.A 三、11.(1)-2x2y2(2x2y-4+3xy2) (2)b(x-y)(a2+ab+b2) (3)5x n+1(3x n+2-5+9x2) (4)2(m-n)3(5)(a+3b)(2a+3b-c) (6)(ax+by)(ay+bx) 12.(1)1997 (2)1 (3)585000000 (4)90。