第五章极限理论-上海财经大学
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
4 / 31
收敛性
随机变量的收敛性
S1. 收敛性
二、随机变量的收敛性
定义1.2 (依分布收敛)
设随机变量������������ (������ ), ������ (������ )的分布函数分别为������������ (������) 及������ (������), 若������������ (������) → ������ (������),则称������������ (������ )依分 布收敛 (convergence in distribution)于������ (������ ),并记为������������ (������ ) → ������ (������ )。
注
注: 伯努利大数定律表明: 事件A发生的频率稳定于事件A发生的概率.
11 / 31
(弱)大数定律
切比雪夫大数定律
S2. (弱)大数定律
三、切比雪夫大数定律
定理2.2 (切比雪夫大数定律)
设������1 , ������2 , · · · , ������������ , · · · ,是由两两不相关的随机变量所构成的序列,每 一随机变量都有有限的方差,并且它们有公共上界 ������������1 ≤ ������, ������������2 ≤ ������, ··· , ������������������ ≤ ������, · · ·
������=1 ������=1 1 ������ ������ ∑︀ ������=1 ������2
12 / 31
(弱)大数定律
切比雪夫大数定律
S2. (弱)大数定律
证明 : 因为{������������ }两两不相关,故 (︃ ������ )︃ ������ 1 ∑︁ 1 ∑︁ ������ ������ ������������ = 2 ������������������ ≤ ������ ������ ������
������ ������
6 / 31
(弱)大数定律
问题的提出
S2. (弱)大数定律
一、问题的提出
人们在长期实践中发现,虽然随机事件在某次试验中可能出现也可 能不出现,但是在大量重复试验中却呈现出明显的规律性,即一个 随机事件出现的频率在某个固定数的附近摆动,这就是所谓的“频 率稳定性”。对于这点,我们希望给予理论上的说明。 在贝努利试验中,以������������ 记������次试验中随机事件������出现的次数, ������ 则 ������ ������ 就是在������次试验中随机事件������出现的频率,所谓频率稳定性是 ������ 指当试验次数������增大时,频率 ������ ������ 接近于某个固定的常数。
3 / 31
收敛性
问题的提出
S1. 收敛性
定义1.1
对于分布函数列������������ (������),如果存在一个非降函数������ (������)使
������→∞
lim ������������ (������) = ������ (������)
在������ (������)的每一连续点上都成立,则称������������ (������)弱 收敛于 ������ (������),并记 为������������ (������) → ������ (������)。
则对任意的������ > 0,皆有 ⃒ (︃⃒ ������ )︃ ������ ⃒ 1 ∑︁ ⃒ 1 ∑︁ ⃒ ⃒ lim ������ ⃒ ������������ − ������������������ ⃒ ≤ ������ = 1 ������→∞ ⃒ ������ ⃒ ������
������=1 ������=1
7 / 31
(弱)大数定律
问题的提出
S2. (弱)大数定律
������������ ∼ ������ (������, ������),其中������为每次试验中随机事件������发生的概率, ������������������ = ������������, ������������������ = ������������������ (︁ ������ )︁ ������ lim ������ = lim ������ = ������ ������→∞ ������→∞ ������ (︁ ������ )︁ ������������������ ������������ ������ = lim =0 lim ������ = lim 2 ������→∞ ������ →∞ ������ →∞ ������ ������ ������
一大类的极限问题—–大数定律(law of large numbers)!
提法二 ������
(︁
)︁ ������������ = ������ = 1 ������→∞ ������ lim
������������ ������ 提 法三 考察 ������ ������ 的分布函数������ ������ ≤ ������ 的极限行为 )︁ {︁ (︁ ������ ������ , ������ ≤ ������ lim ������ ≤ ������ = 1 0, ������ > ������ , 无意义! ������→∞ ������ (︂ )︂ ∫︁ ������ ������2 ������������ − ������������ 1 lim ������ ≤ ������ = Φ(������) = √ ������− 2 ������������ √ ������→∞ ������������������ 2������ −∞
������
例1.2
取 ������������ (������) =
������→∞
{︁
0, ������ < ������ 1, ������ ≥ ������
显然 lim ������������ (������) = 0对一切������成立,但������ (������) ≡ 0 不是分布函数. 若已知分布函数列{������������ (������)} 弱收敛于分布函数������ (������)及������(������), 则������ (������) = ������(������)对一切������ 成立。
一大类的极限问题—–强大数 law of large numbers)! (︀ 定律(strong )︀
一大类的极限问题—–中心极限定理(central limit theorem)!
9 / 31
(弱)大数定律
问题的提出
Swk.baidu.com. (弱)大数定律
经过长期的研究,人们认识到,������������ 具有大数定律以及中心极限定理这些 性质是由于它是独立随机变量之和,事实上,若令 {︁ ������������ = 1, 第������次试验出现������ 0, 第������次试验不出现������ 则 ������������ = ������1 + ������2 + · · · + ������������ 这里������1 , ������2 , · · · , ������������ 是相互独立的。
������ ������ → ∞ 时, ������ ������ 越来越接近常数������ ������������ lim ������ = ������ ?
������→∞
随机变量序列的极限该如何提法?
8 / 31
(弱)大数定律
问题的提出
S2. (弱)大数定律
������ 提 法一 当������足够大时,频率 ������ ������ 与概率������ 有较大偏差的概率很小。即 要证明:对于任意������ > 0,有 ⃒ ⃒ (︁⃒ ������ )︁ (︁⃒ ������ )︁ ⃒ ������ ⃒ ������ ⃒ ⃒ lim ������ ⃒ − ������⃒ > ������ = 0 或者 lim ������ ⃒ − ������⃒ ≤ ������ = 1 ������→∞ ������→∞ ������ ������
5 / 31
收敛性
随机变量的收敛性
S1. 收敛性
定理1.1
������������ → ������ ⇒ ������������ → ������
������ ������
定理1.2
设������ 是常数,则������������ → ������ ⇔ ������������ → ������
������ ������
定义1.3 (依概率收敛)
如果
������→∞
lim ������ (|������������ (������ ) − ������ (������ )| ≥ ������) = 0
������
对任意的������ > 0成立,则称{������������ (������ )}依概率 收敛(convergence in probability)于������ (������ ),并记为������������ (������ ) → ������ (������ )。
定义2.1
若������1 , ������2 , · · · , ������������ 是随机变量序列,令 ������������ = ������1 + ������2 + · · · + ������������ ������
如果存在这样的一个常数序列������1 , ������2 , · · · , ������������ , · · · ,对任意的������ > 0,恒有 lim ������ (|������������ − ������������ | ≤ ������) = 1
概率论 第五章极限理论
上海财经大学 统计与管理学院
章节目录
1
收敛性
2
(弱)大数定律
3
中心极限定理
收敛性
问题的提出
S1. 收敛性
一、分布函数弱收敛
例1.1
令 {︂ ������������ (������) = 0, ������ < 1, ������ ≥
1 ������ 1 ������
这是一个退化分布。当������ → ∞时,我们自然认为{������������ (������)}应该收敛������于 一个单位质量全部集中在������ = 0这一点的分布,即 {︁ , ������ < 0 ������ (������) = 0 1, ������ ≥ 0 但是������������ (0) ≡ 0,而������ (0) = 1,显然,������������ (0) ������ (0)。
������→∞
则称序列{������������ }服从大 大数定 律(或大数法 则) .
10 / 31
(弱)大数定律
伯努利试验场合的大数定律
S2. (弱)大数定律
二、努利试验场合的大数定律
定理2.1 (伯努利大数定律)
设������������ 愧是������次伯努利试验中事件������出现的次数,而������是事件������在每次试验 中出现的概率,则对任意������ > 0,都有 ⃒ (︁⃒ ������ )︁ ⃒ ������ ⃒ − ������⃒ ≤ ������ = 1 lim ������ ⃒ ������→∞ ������ {︁ 证明 : 定义随机变量������������ = 1, 第������次试验出现������ 0, 第������次试验不出现������ 则 ������������������ = ������, ������������������ = ������������ ≤ 1 4 . 故由切比雪夫大数定律(见后)立刻推 出伯努利大数定律。
������=1 ������=1
再由切比雪夫不等式得到 (︂ ⃒ (︃⃒ ������ )︃ ������ ������ ⃒ 1 ∑︁ ⃒ 1 ∑︁ ⃒ ⃒ ������ ⃒ ������������ − ������������������ ⃒ ≤ ������ ≥ 1 − ⃒ ������ ⃒ ������