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上海市高一下学期期末数学试卷含答案

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上海市上海师范大学附属中学2024届数学高一下期末统考试题含解析

上海市上海师范大学附属中学2024届数学高一下期末统考试题含解析

上海市上海师范大学附属中学2024届数学高一下期末统考试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1．如果数据12,,,n x x x 的平均数为x ，方差为2s ，则1231,31,,31n x x x ---的平均数和方差分别为( ) A ．2,x sB ．231,x s -C ．231,3x s -D ．231,9x s -2．在边长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，G 分别是棱AB ，BC ，1CC 的中点，P 是底面ABCD 内一动点，若直线1D P 与平面EFG 没有公共点，则三角形1PBB 面积的最小值为（ ）A ．1B ．12C ．22D ．243．在△ABC 中，AC 2=，BC ＝1，∠B ＝45°，则∠A ＝（ ） A ．30°B ．60°C ．30°或150°D ．60°或120°4．在∆ABC 中，222sin sin sin sin sin A B C B C +-≤．则的取值范围是（ ）A ．（0，6π] B ．[6π，π） C ．（0，3π] D ．[3π，π） 5．某校高一甲、乙两位同学的九科成绩如茎叶图所示，则下列说法正确的是（ ）A ．甲、乙两人的各科平均分不同B ．甲、乙两人的中位数相同C ．甲各科成绩比乙各科成绩稳定D ．甲的众数是83，乙的众数为876．直线(1)y k x =-与(3,2)A 、(0,1)B 为端点的线段有公共点，则k 的取值范围是（） A ．[1,1]-B ．[1,3]-C ．(,1][3,)-∞-⋃+∞D ．(,1][1,)-∞-+∞7．已知等差数列{}n a 中，若412203a a d +==，，则5a =（ ） A ．1B ．2C ．3D ．48．如图是函数sin()(0,0,)y A ax A a ϕϕπ=+>><的部分图象２，则该解析式为（ ）A ．2sin 233y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ B ．2sin 324x y π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ C ．2sin 33y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．22sin 233y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 9．垂直于同一条直线的两条直线一定（ ） A ．平行B ．相交C ．异面D ．以上都有可能10．设有直线,m n 和平面,αβ，则下列四个命题中，正确的是（ ） A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥n B ．若m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，l ∥β，则α∥β C ．若α⊥β，m ⊂α，则m ⊥βD ．若α⊥β，m ⊥β，m ⊄α，则m ∥α二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

上海市上海中学2024届数学高一下期末统考模拟试题含解析

上海市上海中学2024届数学高一下期末统考模拟试题含解析

上海市上海中学2024届数学高一下期末统考模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．一个几何体的三视图如图所示，则几何体的体积是( )A ．2B ．43C ．23D ．12．若实数x ，y 满足不等式组220,10,2,x y x y y ++⎧⎪+-⎨⎪-⎩则z x y =-的最大值为（ ）A ．5-B ．2C ．5D ．73．《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把100个面包分给五个人，使每个人所得成等差数列，最大的三份之和的17是最小的两份之和，则最小的一份的量是 ( ) A ．116B ．103C ．56D ．534．已知向量a =(2，tan θ)，b =(1，-1)，a ∥b ，则tan()4πθ-=( )A ．2B ．-3C ．-1D ．-35．某个算法程序框图如图所示，如果最后输出的S 的值是25，那么图中空白处应填的是（ ）A ．4?i <B ．5?i <C ．6?i <D ．7?i <6．已知()2,0A ,()0,2B ,从()1,0P 射出的光线经过直线AB 反射后再射到直线OB 上,最后经直线OB 反射后又回到P 点,则光线所经过的路程可以用对称性转化为一条线段,这条线段的长为( ) A ．10B ．3C ．5D ．237．在长方体1111ABCD A B C D -中，23AB =，32=AD ，132AA =，则异面直线1AC 与CD 所成角的大小为( )A ．6πB ．4π C ．3π D ．3π或23π 8．设α，β为两个平面，则能断定α∥β的条件是（ ） A ．α内有无数条直线与β平行 B ．α，β平行于同一条直线 C ．α，β垂直于同一条直线D ．α，β垂直于同一平面9．如图，设O 是正六边形ABCDEF 的中心，则与BC 相等的向量为（ ）A ．BAB ．CDC ．AD D ．OD10．在区间[2,7]-上随机选取一个实数x ，则事件“2log 10x -≥”发生的概率是（ ）A ．13B ．59C ．79D ．89二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

上海市上海中学2020-2021学年高一下学期期末数学试题(解析版)

上海市上海中学2020-2021学年高一下学期期末数学试题(解析版)
20.如图1，在 中， ， ， 分别为 ， 的中点，点 是线段 上的一点，将 沿 折起到 的位置，使 ，如图2．
（1）证明： ；
（2）线段 上是否存在点 ，使 平面 ？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2）存在， ．
【解析】
【分析】（1）由题意可证 平面 ，从而有 ，又 ，可证 平面 ，可得证；
② ①得 ，把 代入②得： ，
即 ，
∴ 或 .
故答案为： 或 .
9.已知直线 ， 垂直，直线 与 所成的角为 ，则 与 所成角的范围是___________．
【答案】
【解析】
【分析】考虑到直线 与 所成的角为 ，把 平移到一个圆锥上， 为圆锥 的轴所在直线， 为一个轴截面的底边 所在直线， 为圆锥的母线所在直线，由母线 到底面直径 所成角可得结论．
【答案】（1） ；（2） ；（3） ．
【解析】
【分析】（1）根据新定义求得向量 ，然后由数量积的坐标表示计算；
（2）根据新定义得变换后新三角形与原三角形相似，得相似比，从而得面积比；
（3）根据新定义，得出 的坐标（用 表示），然后由三角形面积计算可得 ．
【详解】（1）由题意 ， ，所以 ，同理 ，
所以 ；
正确的命题有2个．
故选：C．
14.四面体的四个面中，直角三角形最多可有（）
A.1B.2C.3D.4
【答案】D
【解析】
【分析】结合正方体可得正确的选项.
【详解】如图在正方体 中，四棱锥 的四个侧面都是直角三角形，
故选：D.
【点睛】根据题意,可将此四棱锥放到正方体中,即取正方体的一个上顶点,四个下顶点,然后结合正方体的特征,利用线面垂直的判定与性质进行分析即可得到侧面直角三角形的个数,这是立体几何中常用到的方法,即补体法,把问题转化到熟知的几何体中处理即可.属于基础题

2024届上海市上外附中数学高一下期末学业质量监测试题含解析

2024届上海市上外附中数学高一下期末学业质量监测试题含解析

2024届上海市上外附中数学高一下期末学业质量监测试题注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．等比数列{a n }中，T n 表示前n 项的积，若T 5＝1，则( ) A ．a 1＝1B ．a 3＝1C ．a 4＝1D ．a 5＝12．在平行四边形ABCD 中，6,4AB AD ==，若点,M N 满足,2BM MC DN NC ==且48AN AM ⋅=，则AB AD ⋅=A ．10B ．25C ．12D ．153．已知函数1cos 2()sin 2xf x x-=，则有A ．()f x 的图像关于直线π2x =对称 B ．()f x 的图像关于点π,02⎛⎫⎪⎝⎭对称 C ．()f x 的最小正周期为π2D ．()f x 在区间()0,π内单调递减4．在直角梯形ABCD 中，//,90AB CD D ︒∠=，2,AB CD M =为BC 的中点，若(,)AM AD AB λμλμ=+∈R ，则λμ+=A ．1B ．54C ．34D ．235．在△ABC 中，若a sin A +b sin B ＜c sin C ，则△ABC 是（ ） A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．都有可能6．若|a |＝2cos 15°，|b |＝4sin 15°，,a b 的夹角为30°，则a b •等于( ) A ．32B ．3C ．23D ．127．等差数列中，若，，则（ ） A ．2019B ．1C ．1009D ．10108．已知数列{}n a 是公比不为1的等比数列，n S 为其前n 项和，满足22a =，且1471692a a a ，，成等差数列，则3S =（ ）A ．5B ．6C ．7D ．99．已知数列{}n a 满足：()*122,n n a a n n n N-=+≥∈，17a=-，则该数列中满足311n a ≤≤的项共有（ ）项A ．0B ．1C ．2D ．510．如图，某船在A 处看见灯塔P 在南偏东15方向，后来船沿南偏东45的方向航行30km 后，到达B 处，看见灯塔P 在船的西偏北15方向，则这时船与灯塔的距离是：A ．10kmB ．20kmC ．3kmD ．53km二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

2023-2024学年上海市黄浦区2023~2024学年高一下学期期末考试数学试卷含详解

2023-2024学年上海市黄浦区2023~2024学年高一下学期期末考试数学试卷含详解

【详解】设 xOA ,则
sin
1 1
48
1 7
, cos
4 3 4 3. 1 48 7
将 OA 绕原点 O 逆时针旋转
至 OB
,则 OB 的倾斜角为
.
3
3
则 OB OA 1 48 7 .
∴点
B
的纵坐标为
OB
sin
3
7
sin
cos
3
cos
sin
3
13 2
.
故答案为 13 2
km ．（结果精确到 0.1km ）
9．若
tan
tan
1 2
,则
cos( cos(
) )
．
10．已知点 A(4 3,1) ,将 OA 绕原点 O 逆时针旋转 3 至 OB ,则点 B 的纵坐标为
11．i 为虚数单位,若复数 z1 和复数 z2 满足 z1 1 i 1, z2 z1i ,则 z2 的最大值为
,则
cos(
)
．
4．在梯形
ABCD 中,
AD
1 2
BC
,设
AC
a, BD
b
,若用
a,
b
的线性组合表示
AB
,则
AB
．
5．若 sin cos 3 ,则 sin 2
2
6．若向量
a
(3,
4), b
(1,
2)
,则
a,b
． ．
7．设 0
π
,若函数
y
tan( x
)
的.定义域为 x
x
14.6km .
故答案为：14.6.
9．3

上海市高一数学下学期期末试卷含答案(共5套)

上海市高一数学下学期期末试卷含答案(共5套)

上海市嘉定区高中第二学期期末考试高一年级数学试卷考生注意：1．每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料，解答必须在答题卷上进行，写在试卷上的解答一律无效；2．答卷前，考生务必将姓名、学号等在答题卷密封线内相应位置填写清楚； 3．本试卷共21道试题，满分100分，考试时间90分钟．一．填空题（本大题共有12题，满分36分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分．1．已知角α满足sin 0α<且cos 0α<，则角α是第 象限的角． 2．在数列}{n a 中，若4,311+==+n n a a a ，则=5a _______________． 3．方程0224=--xx 的解是_____________．4．函数x x f 2sin 21)(-=的最小正周期是_____________．5．若2tan =x （),0(π∈x ），则x = （结果用反三角函数值表示）． 6．函数x x y cos sin +=的最大值是 ．7．函数)2(log 22x x y -=的单调增区间是________________．8．若等比数列}{n a 满足：531=+a a ，且公比2=q ，则=+53a a ____________． 9．在ABC ∆中,︒=∠60ABC ,且7,5==AC AB ,则=BC ． 10．若不等式01sin )1(<--x a 对于任意R ∈x 都成立， 则实数a 的取值范围是____________．11．已知函数||1|log |)(-=x x f a （0>a ，1≠a ），若4321x x x x <<<， 且)()()()(4321x f x f x f x f ===，则=+++43211111x x x x ____________． 12．已知递增数列}{n a 共有2017项，且各项均不为零，12017=a ，若从}{n a 中任取两项j i a a ,，当j i <时，i j a a -仍是数列}{n a 中的项，则数列}{n a 的各项和=2017S ___________．二．选择题（本大题共有4题，满分12分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写答案的代码，选对得3分，否则一律得零分． 13．“2πϕ=”是“函数)sin()(ϕ+=x x f 为偶函数”的 （ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件14．已知函数)2lg(ax y-=在)1,1(-上是减函数，则实数a 的取值范围是 （ ）A ．)2,0(B ．),0(+∞C ．]2,0(D ．]2,(-∞15．若数列}{n a 对任意2≥n （*N ∈n ）满足：0)2)(2(11=-----n n n n a a a a ，下面给出关于数列}{n a 的四个命题：（1）}{n a 可以是等差数列； （2）}{n a 可以是等比数列；（3）}{n a 可以既是等差数列又是等比数列 （4）}{n a 可以既不是等差数列又不是等比 数列．则上述命题中，正确的个数是 （ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个16．设函数)cos()cos()(βα+++=x n x m x f ，其中βα,,,n m 为已知实常数，R ∈x ， 则下列命题中错误的是 ( )A ．若0)2()0(==πf f ，则0)(=x f 对任意实数x 恒成立；B ．若0)0(=f ，则函数)(x f 为奇函数；C ．若0)2(=πf ，则函数)(x f 为偶函数；D ．当0)2()0(22≠+πf f 时，若0)()(21==x f x f ，则πk x x 221=- （Z ∈k ）．三．解答题（本大题共5题，满分52分）解答下列各题必须在答题卷相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．(本题满分8分)已知71)tan(,2tan =+-=βαα，求)2cot(βπ-的值．18．（本题满分8分）在ABC ∆中，c b a ,,分别是C B A ,,所对的边，若ABC ∆的面积是153，2=-c b ，41cos -=A ．求BC 的长．19．（本题满分10分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分．已知公差不为零的等差数列}{n a 满足：821=+a a ，且521,,a a a 成等比数列． （1）求数列}{n a 的通项公式．（2）记n S 为数列}{n a 的前n 项和，是否存在正整数n ，使得80060+>n S n ？若存 在，请求出n 的最小值；若不存在，请说明理由．20．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题6分．已知函数23)cos 3(sin cos )(-+=x x x x f ，R ∈x ． （1）求函数)(x f 的单调减区间； （2）若存在]2,0[π∈x ，使等式0)()]([2=++m x f x f 成立，求实数m 的取值范围．21．（本题满分14分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分6分．设函数)(x f 和)(x g 都是定义在集合M 上的函数，对于任意的M x ∈，都有))(())((x f g x g f =成立，称函数)(x f 与)(x g 在M 上互为“互换函数”．（1）函数x x f 2)(=与x x g sin )(=在M 上互为“互换函数”，求集合M ；（2）若函数xa x f =)( （0>a 且1≠a ）与1)(+=x x g 在集合M 上互为“互换函数”， 求证：1>a ；（3）函数2)(+=x x f 与)(x g 在集合1|{->=x x M 且},32*N ∈-≠k k x 上互 为“互换函数”，当10<≤x 时,)1(log )(2+=x x g ，且)(x g 在)1,1(-上是偶函数,求函数)(x g 在集合M 上的解析式．嘉定区第二学期期末考试高一年级数学试卷参考答案与评分意见说明：1．本解答列出试题一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分意见酌情给分．2．评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅．当考生的解答在某一步出现错误，影响了后续部分，如果该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，但不超过后继部分给分数的一半；如果这一步后面的解答有较严重的错误,就不给分．3．解答题右端所注分数,表示正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数．一．填空题（本大题共有12题，满分36分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分．1．三 2．19 3．1=x (填“1”也对) 4．π 5．2arctan 6．2 7．),2(+∞ 8．20 9．8 10．)2,0(（填“20<<a ”也对） 解：令x t sin =，R ∈x ，则 ]1,1[-∈t ．由已知得，不等式01)1(<--t a 对于任意]1,1[-∈t 都成立．又令 1)1()(--=t a t f ，则 ⎩⎨⎧<<-0)1(0)1(f f ，即 ⎩⎨⎧<-⋅-<--⋅-011)1(01)1()1(a a ，解得 20<<a ．所以所求实数a 的取值范围是20<<a ． 11．2解法一：设|||log |)(x x g a = （0>a ，1≠a ），则)(x g 为偶函数，其图像关于y 轴对称， 而函数||1|log |)(-=x x f a （0>a ，1≠a ）的 图像是由)(x g 的图像向右平移一个单位得到的， 所以)(x f 的图像关于直线1=x 对称，)(x f 的大致 图像如图所示．由已知及)(x f 的图像特征可得43211x x x x <<<<，且|)1(log ||)1(log ||)1(log ||)1(log |4321-=-=-=-x x x x a a a a ．由|)1(log ||)1(log |21x x a a -=-得)1(log )1(log 21x x a a -=-或)1(log )1(log 21x x a a --=-即)1(log )1(log 21x x a a -=-或2111log )1(log x x aa -=-则有 2111x x -=-或21111x x -=-，所以21x x =（舍）或 1)1)(1(21=--x x ． 由1)1)(1(21=--x x 得 2121x x x x +=．由|)1(log ||)1(log ||)1(log ||)1(log |4321-=-=-=-x x x x a a a a 同理得 4343x x x x +=， 所以2111111434321214321=+=+++=+++x x x x x x x x x x x x ． 解法二：（特殊值法）令1||1|log |=-x a ，解得 a x 11-=或a x -=1或ax 11+= 或a x +=1．则a a a a x x x x ++++-+-=+++111111111111114321 )11111()11111(a a a a ++++-+-=211)111()111(=+=++++-+-=a a a a a a ． 12．1009解：由题意知，2017321a a a a <⋅⋅⋅<<<，则 1201713120a a a a a a -<⋅⋅⋅<-<-<，且1a a j - （2017,,3,2⋅⋅⋅=j ）都是数列}{n a 中的项．所以112201512016201612017,,,a a a a a a a a a =-⋅⋅⋅=-=-，即1122015201620162017a a a a a a a =-=⋅⋅⋅=-=-，因此数列}{n a 是以1a 为首项，以1a 为公差的一个等差数列， 则 120172016112017==+=a d a a ，可得 201711==d a ， 因此1009220162017201712017=⨯⨯+=d a S ，即10092017=S ．二．选择题（本大题共有4题，满分12分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷相应编号的空格内直接填写答案的代码，选对得3分，否则一律得零分． 13．A 14．C 15．C 16．D解：由题意得 x k k x k k x f sin )sin sin (cos )cos cos ()(22112211αααα+-+=．若0)0(=f ，则得 0cos cos 2211=+ααk k ；若0)2(=πf ，则得0sin sin 2211=+ααk k ．于是当0)2()0(==πf f 时，0)(=x f 对任意实数x 恒成立，即命题A 是真命题；当0)0(=f 时，x k k x f sin )sin sin ()(2211αα+-=，它为奇函数，即即命题B 是真命题； 当0)2(=πf 时，x k k x f cos )cos cos ()(2211αα+=，它为偶函数，即命题C 是真命题；当0)2()0(22≠+πf f 时，令0)(=x f ，则0sin )sin sin (cos )cos cos (22112211=+-+x k k x k k αααα，上述方程中，若0cos =x ，则0sin =x ，这与1sin cos 22=+x x 矛盾，所以0cos ≠x ． 将该方程的两边同除以x cos 得22112211sin sin cos cos tan ααααk k k k x ++=，令m k k k k =++22112211sin sin cos cos αααα （0≠m ），则 m x =tan ，解得 m k x arctan +=π （Z ∈k ）．不妨取 m k x arctan 11+=π，m k x arctan 22+=π （Z ∈1k 且Z ∈2k ）， 则π)(2121k k x x -=-，即πn x x =-21 （Z ∈n ），所以命题D 是假命题．三．解答题（本大题共5题，满分52分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．(本题满分8分) 解法一：由71)tan(=+βα得71tan tan 1tan tan =⋅-+βαβα．…………………………………4分 将2tan -=α代入上式，得71tan 212tan =+-ββ，…………………………………………6分解得 3tan =β． …………………………………………………………………………7分 于是 3tan )2cot(==-ββπ，所以 3)2cot(=-βπ．………………………………8分 解法二：因为ββπtan )2cot(=-，………………………………………………………2分又 αβααβααβαβtan )tan(1tan )tan(])tan[(tan ⋅++-+=-+= …………………………………5分35771575715)2(711)2(71=⋅==-⋅+--=，…………………………………………………………7分所以3)2cot(=-βπ． ………………………………………………………………………8分18．（本题满分8分） 解：（1）由41cos -=A （π<<A 0）得415cos 1sin 2=-=A A ．………………2分因为ABC ∆的面积是153，则153sin 21=A bc ，所以 24=bc ． ………………4分 由⎩⎨⎧==-242bc c b 解得⎩⎨⎧==46c b ． ………………………………………………………………6分 由余弦定理得 8)41(46246cos 22222=-⨯⨯⨯-+=-+=A bc c b BC ，即BC 的长是8．………………………………………………………………………………8分19．（本题满分10分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分． 解：（1）设等差数列}{n a 的公差为d （0d ≠），由题意得 ⎩⎨⎧+⋅=+=++)4()(8112111d a a d a d a a化简，得 ⎩⎨⎧==+da d d a 121282．……………………………………………………………………2分因为0≠d ，所以⎩⎨⎧==+11282a d d a ，解得 ⎩⎨⎧==421d a …………………………………………4分所以 24)1(1-=-+=n d n a a n ，即数列}{n a 的通项公式是24-=n a n （*N ∈n ）． ……………………………………5分（2）由（1）可得 2122)1(n d n n na S n =⨯-+=．……………………………………7分 假设存在正整数n ，使得80060+>n S n ，即 8006022+>n n ，即2304000n n -->，解得40n >或10n <- (舍) ．…………………………………9分 所以所求n 的最小值是41． ………………………………………………………………10分 20．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题6分． 解：（1）23)cos 3(sin cos )(-+=x x x x f 23cos 3cos sin 2-+=x x x 2322cos 132sin 21-+⨯+=x x x x 2cos 232sin 21+= )32sin(π+=x………………………………………………………………3分由2323222πππππ+≤+≤+k x k （Z ∈k ） 解得 12712ππππ+≤≤+k x k （Z ∈k ）．………………………………………………5分 所以所求函数)(x f 的单调减区间是 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++127,12ππππk k ，Z ∈k ．……………6分 （2）当]2,0[π∈x 时，34323πππ≤+≤x ，1)32sin(23≤+≤-πx ， 即1)(23≤≤-x f ． ………………………………………………………………………8分 令t x f =)( （]1,23[-∈t ），则关于t 的方程02=++m t t 在]1,23[-上有解， 即关于t 的方程t t m +=-2在]1,23[-上有解． 当]1,23[-∈t 时，]2,41[2-∈+t t ．…………………………………………………10分 所以]2,41[-∈-m ，解得 ]41,2[-∈m ． 因此所求实数m 的取值范围是 ]41,2[-．………………………………………………12分21．（本题满分14分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分6分． 解：（1）由))(()((x f g x g f =得x x 2sin sin 2=化简得，0)cos 1(sin 2=-x x ，所以0sin =x 或1cos =x ．……………………………1分 由0sin =x 解得πk x 2=或ππ+=k x 2，Z ∈k ，即πk x 2=或π)12(+=k x ，Z ∈k ．……………………………………………………2分 又由1cos =x 解得 πk x 2=，Z ∈k ．……………………………………………………3分 所以集合πk x x M 2|{==，或},)12(Z ∈+=k k x π，即集合},|{Z ∈==k k x x M π．……………………………………………………………4分 （2）证明：由题意得，11+=+x x a a（0>a 且1≠a ）．………………………………5分变形得 1)1(=-a a x，所以11-=a a x． ………………………………………………6分因为0>xa ，则011>-a ，所以 1>a ．………………………………………………8分 （3）当01<<-x ，则10<-<x ，所以)1(log )()(2x x g x g -=-=． 因为函数)(x g 在)1,1(-上是偶函数，则 )()(x g x g -=． 所以 )1(log )(2x x g -=，因此当11<<-x 时，|)|1(log )(2x x g +=．……………………………………………10分 由于2)(+=x x f 与函数)(x g 在集合M 上“互换函数”， 所以当M x ∈，))(()((x f g x g f =恒成立． 即)2(2)(+=+x g x g 对于任意的M x ∈恒成立．即2)()2(=-+x g x g ．……………………………………………………………………11分 于是有2)]1(2[)2(=-+-+n x g n x g ，2)]2(2[)]1(2[=-+--+n x g n x g ，……2)()2(=-+x g x g ．上述等式相加得 n x g n x g 2)()2(=-+，即n x g n x g 2)()2(+=+．………………13分 当)12,12(+-∈n n x （N ∈n ）时,)1,1(2-∈-n x ， 所以 |)2|1(log )2(2n x n x g -+=-．而⋅⋅⋅+-⋅⋅⋅-= )12,12()5,3()3,1()1,1(n n M ，N ∈n ， 所以当M x ∈时，n n x n n x g n n x g x g 2|)2|1(log 2)2()2)2(()(2+-+=+-=+-=．…………………14分金山中学高一年级第二学期数学学科期末考试试卷（考试时间：120分钟 满分：150分 ）一、填空题（本大题共12小题，满分54分，其中1~6题每题4分，7~12题每题5分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果.1． 已知向量)1,1(),,2(-==→→b m a ，若向量→a 与b 垂直，则m 等于_______．2． 不等式2101x x -<+的解为 ___ ． 3． 已知tan 2θ=，θ是第三象限角，则sec θ= ．4．方程1)21(log 2-=-x的解=x __________．5．函数1()arccos (1)2f x x x =<<的值域是 . 6．若点)2,4(在幂函数)(x f 的图像上，则函数)(x f 的反函数)(1x f -= .7. 数列{}n a 的通项2sinπn n a n ⋅=，前n 项和为n S ，则=13S ． 8．若数列{}n a 满足220n n a a ++=（n *∈N ）,且11a =，212a =，()12lim n n a a a →∞+++=__.9．设()f x 是定义在R 上以2为周期的偶函数，已知(0,1)x ∈，()()12log 1f x x =-，则函数()f x 在(1,2)上的解析式是=)(x f ．10．在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，下列命题正确的是_____________． ①总存在某个内角α，使得21cos ≥α； ②存在某钝角ABC ∆，有0tan tan tan >++C B A ； ③若02=⋅+⋅+⋅AB c CA b BC a ，则ABC ∆的最小角小于6π． 11．如图，在直角梯形ABCD 中，AB //CD ,2,AB =1,AD DC ==P 是线段BC 上一动点，Q 是线段DC 上一动点，,DQ DC λ=(1),CP CB λ=-则AQ AP ⋅的最大值为________．12．设数列{}n a 是首项为0的递增数列，函数11()|sin ()|,[,]n n n n f x x a x a a n+=-∈满足：对于任意的实数)1,0[∈m ，()n f x m =总有两个不同的根，则{}n a 的通项公式是n a = ．二、选择题（本大题共有4小题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上将代表答案的小方格涂黑.13．已知非零向量a 、b ，“函数2()()f x ax b =+为偶函数”是“a b ⊥”的 （ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ． 充要条件D ．既非充分也非必要条件14．将函数()cos f x x ω=（其中0ω>）的图象向右平移3π个单位，若所得图象与原图象重合，则()24f π不可能等于 （ ）A ．0B ．1C ．22D ．2315．已知各项均不为零的数列{}n a ，定义向量1(,)n n n c a a +=，(,1)n b n n =+，n ∈*N ． 下列命题中真命题是 ( )A ．若对任意的n N ∈*，都有//n n c b 成立，则数列{}n a 是等差数列B ．若对任意的n N ∈*，都有//n n c b 成立，则数列{}n a 是等比数列C ．若对任意的n N ∈*，都有n n c b ⊥成立，则数列{}n a 是等差数列D ．若对任意的n N ∈*，都有n n c b ⊥成立，则数列{}n a 是等比数列16．函数x x x f arctan )(3+=的定义域为R ，数列{}n a 是公差为d 的等差数列，若11009-=a ，=m )()()()()(20172016321a f a f a f a f a f +++++ ，则 （ ）A ．m 恒为负数B ．m 恒为正数C ．当0>d 时，m 恒为正数；当0<d 时，m 恒为负数D ．当0>d 时，m 恒为负数；当0<d 时，m 恒为正数三、解答题（本大题共5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17．（本题满分14分）本题有2个小题，第一小题满分6分，第二小题满分8分. 已知3||=a ，4||=b ，且a 与b 的夹角为0120． （1）求b 在a 上的投影； （2）求|32|b a +． 解：18．（本题满分14分）本题有2个小题，第一小题满分8分，第二小题满分6分.已知向量)sin ,)62(sin(x x m π+=，)sin ,1(x n =，n m x f ⋅=)(.（1）求函数()y f x =的最小正周期及单调递减区间；（2）记△ABC 的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,.若212)2(+=Bf ， 3,5==c b ，求a 的值．解：19．（本题满分14分）本题有2个小题，第一小题满分8分，第二小题满分6分.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，121n n a S +=+，等差数列{}n b 满足353,9b b ==． （1）分别求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）若对任意的*n N ∈，1()2n n S k b +⋅≥恒成立，求实数k 的取值范围． 解：20．（本题满分16分）本题有2个小题，第一小题满分8分，第二小题满分8分.如图，在四边形ABCD 中，已知23ABC π∠=，3ACD π∠=，2π=∠BAD ，24AD =，设BAC θ∠=)612(πθπ≤≤．（1）求AB （用θ表示）；（2）求BC AB +的最小值.（结果精确到01.0米） 解：21．（本题满分18分）本题有3个小题，第一小题满分4分，第二小题满分6分, 第二小题满分8分. 给定常数0c >，定义函数()2|4|||f x x c x c =++-+．数列1a ，2a ，3a ，…满足1(),*n n a f a n N +=∈． （1）若12a c =--，求2a 及3a ；（2）求证：对任意*n N ∈，1n n a a c +-≥；（3）是否存在1a ，使得1a ，2a ，3a ，…，n a …成等差数列？若存在，求出所有这样的1a ；若不存在，说明理由． 解：ABCD金山中学第二学期高一年级数学学科期末考试试卷答案一、填空题4． 2 2．112x -<<3．5- 4． 1- 5．(0 )3π， 6． 2x （0≥x ）7. 7 8．1 9．()1log 21-x 10．①③ 11． 2 12．2)1(π-n n 二、选择题13．C 14．D 15．A 16．A三、解答题17． 解： （1）2- （2）3618． 解：（1）212sin 23)(+=x x f ， 最小正周期为π，单调递减区间为Z k k k ∈π+ππ+π],43,4[； （2）31+=a 或31+-=a ．19． 解：（1）由121n n a S +=+----①得当2n ≥时121n n a S -=+----②，①-②得112()n n n n a a S S +--=-，13,n n a a +∴=；当1n =时2112133a a a =+==， 13n n a -∴=5326,3,3(3)336n b b d d b n n -==∴=∴=+-⨯=-；（2）1(1)13311132n n n n a q S q ---===--，311()3622n k n -∴+≥-对*n N ∈恒成立， 即3623n n k -∴≥对*n N ∈恒成立，令3623n n n c -=，11363927333n n n n nn n n c c -----+-=-=， 当3n ≤时，1n n c c ->，当4n ≥时，1n n c c -<，max 32()9n c c ∴==，29k ≥．20． 解：（1）三角形ACD 中，6CDA πθ∠=+，由sin sin AD AC ACD CDA =∠∠ ，得sin 163sin()sin 6AD CDA AC ACD πθ⋅∠==+∠ 三角形ABC 中，3ACB πθ∠=-由sin sin AB ACACB ABC =∠∠ ，得 )612)(3sin()6sin(32πθπθππθ≤≤-+=AB （2）三角形ABC 中， 由sin sin BC ACBAC ABC=∠∠ ，得 sin 32sin()sin sin 6AC BAC BC ABC πθθ⋅∠==+∠所以32sin()sin()32sin()sin 636AB BC πππθθθθ+=+-++16sin 283θ=+因为126ππθ≤≤，所以263ππθ≤≤所以当12πθ=时，AB BC +取得最小值88321.86+≈最小值约为86.21米.21． 解：（1）因为0c >，1(2)a c =-+，故2111()2|4|||2a f a a c a c ==++-+=，3122()2|4|||10a f a a c a c c ==++-+=+（2）要证明原命题，只需证明()f x x c ≥+对任意x R ∈都成立，()2|4|||f x x c x c x c x c ≥+⇔++-+≥+即只需证明2|4|||+x c x c x c ++≥++若0x c +≤，显然有2|4|||+=0x c x c x c ++≥++成立；若0x c +>，则2|4|||+4x c x c x c x c x c ++≥++⇔++>+显然成立综上，()f x x c ≥+恒成立，即对任意的*n N ∈，1n n a a c +-≥（3）由（2）知，若{}n a 为等差数列，则公差0d c ≥>，故n 无限增大时，总有0n a > 此时，1()2(4)()8n n n n n a f a a c a c a c +==++-+=++ 即8d c =+故21111()2|4|||8a f a a c a c a c ==++-+=++， 即1112|4|||8a c a c a c ++=++++，当10a c +≥时，等式成立，且2n ≥时，0n a >，此时{}n a 为等差数列，满足题意； 若10a c +<，则11|4|48a c a c ++=⇒=--， 此时，230,8,,(2)(8)n a a c a n c ==+=-+也满足题意；综上，满足题意的1a 的取值范围是[,){8}c c -+∞⋃--。

上海市高一下学期期末考试数学试题(共3套,含参考答案)

上海市高一下学期期末考试数学试题(共3套,含参考答案)

11．如图，在 Rt△ABC 内有一系列的正方形，它们的边长依次为 a1，a2，…，an，…，若 AB=a， BC=2a，则所有正方形的面积的和为 ．
12．定义 N*在上的函数 f（x），对任意的正整数 n1，n2，都有 f（n1+n2）=1+f（n1）+f（n2），
且 f（1）=1，若对任意的正整数 n，有
，则 an= ．
二、选择题：
13．f（x）为奇函数，当 x＞0 时，f（x）=π﹣arccos（sinx）则 x＜0 时，f（x）=（ ）
A．arccos（sinx） B．π+arccos（sinx）
C．﹣arccos（sinx） D．﹣π﹣arccos（sinx）
14．如图是函数 f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π），x∈R 的部分图象，则下列命
4．方程 sin2x=sinx 在区间[0，2π）内解的个数是 4 ． 【考点】三角方程．
【分析】方程即 sinx=0 或 cosx= ，结合正弦函数、余弦函数的图象以及 x∈[0，2π），分别求 得 x 的值，可得结论 【解答】解：方程 sin2x=sinx，即 2sinxcosx=sinx，即 sinx=0 或 cosx= ．
则 f（2n+1）+1=2[1+f（2n）]，an+1=2an 所以，数列{an}是等比数列，公比 q=2，首项 a1=4． 所以 an=4×2n﹣1=2n+1， 故答案为：2n+1
二、选择题： 13．f（x）为奇函数，当 x＞0 时，f（x）=π﹣arccos（sinx）则 x＜0 时，f（x）=（ ） A．arccos（sinx） B．π+arccos（sinx） C．﹣arccos（sinx） D．﹣π﹣arccos（sinx） 【考点】反三角函数的运用． 【分析】利用奇函数的定义，结合反三角函数，即可得出结论． 【解答】解：∵sin（﹣x）=﹣sinx∴，﹣（π﹣arccos（sin（﹣x））=﹣（π﹣arccos（﹣sinx））， 又 arccos（﹣α）=π﹣arccosα， ∴﹣（π﹣arccos（sin（﹣x））=﹣（π﹣arccos（﹣sinx））=﹣（π﹣（π﹣arccos（sinx）））=﹣

上海市最新学年高一数学下学期期末考试试题(含解析)

上海市最新学年高一数学下学期期末考试试题(含解析)

2021学年高一数学下学期期末考试试题（含解析）第Ⅰ卷（共60分）一、填空题：本大题共12个小题,每小题3分,共36分. 1.1和4的等差中项为__________． 【答案】52【解析】 【分析】设1和4的等差中项为x ，利用等差中项公式可得出x 的值. 【详解】设1和4的等差中项为x ，由等差中项公式可得14522x +==，故答案为：52. 【点睛】本题考查等差中项的求解，解题时要充分利用等差中项公式来求解，考查计算能力，属于基础题.2.已知()1,2a =，(),4b x =，若//a b ，则实数x 的值为__________． 【答案】2 【解析】 【分析】利用共线向量等价条件列等式求出实数x 的值. 【详解】()1,2a =，(),4b x =，且//a b ，214x ∴=⨯，因此，2x =，故答案为：2.【点睛】本题考查利用共线向量来求参数，解题时要充分利用共线向量坐标表示列等式求解，考查计算能力，属于基础题.3.设函数()arctan f x x =，则()1f -值为__________．【答案】4π- 【解析】 【分析】根据反正切函数的值域，结合条件得出()1f -的值.【详解】arctan 22x ππ-<<，且tan tan 144ππ⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭，因此，()()1arctan 14f π-=-=-，故答案为：4π-. 【点睛】本题考查反正切值的求解，解题时要结合反正切函数的值域以及特殊角的正切值来求解，考查计算能力，属于基础题.4.已知数列{}n a 为等比数列，21a =，58a =，则数列{}n a 的公比为__________． 【答案】2 【解析】 【分析】设等比数列{}n a 的公比为q ，由352a q a =可求出q 的值. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，则35281a q a ==，2q ∴=，因此，数列{}n a 的公比为2，故答案为：2.【点睛】本题考查等比数列公比的计算，在等比数列的问题中，通常将数列中的项用首项和公比表示，建立方程组来求解，考查运算求解能力，属于基础题.5.已知3sin 25πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos α的值为__________． 【答案】35【解析】 【分析】利用诱导公式将等式3sin 25πα⎛⎫+=⎪⎝⎭化简，可求出cos α的值.【详解】由诱导公式可得3sin cos25παα⎛⎫+==⎪⎝⎭，故答案为：35.【点睛】本题考查利用诱导公式化简求值，在利用诱导公式处理化简求值的问题时，要充分理解“奇变偶不变，符号看象限”这个规律，考查运算求解能力，属于基础题.6.已知无穷等比数列{}n a的首项为1，公比为12-，则其各项的和为__________．【答案】2 3【解析】【分析】根据无穷等比数列求和公式求出等比数列{}n a的各项和.【详解】由题意可知，等比数列{}n a的各项和为121312S==⎛⎫--⎪⎝⎭，故答案为：23.【点睛】本题考查等比数列各项和的求解，解题的关键就是利用无穷等比数列求和公式进行计算，考查计算能力，属于基础题.7.311lim312nn nn→∞⎛⎫++=⎪-⎝⎭__________．【答案】1【解析】【分析】在分式3131nn+-的分子和分母上同时除以3n，然后利用极限的性质来进行计算.【详解】113111103lim lim lim01131221013n nn n nn n nn→∞→∞→∞⎛⎫+⎪⎛⎫+++=+=+=⎪⎪--⎝⎭ ⎪-⎝⎭，故答案为：1.【点睛】本题考查数列极限的计算，解题时要熟悉一些常见的极限，并充分利用极限的性质来进行计算，考查计算能力，属于基础题.8.已知[)0,2ϕπ∈，若方程()sin 2sin x x x ϕ=-的解集为R ，则ϕ=__________． 【答案】3π【解析】 【分析】将sin x x -利用辅助角公式化简，可得出ϕ的值. 【详解】()()1sin 32sin 2sin cos cos sin2sin 2x x x x x x x ϕϕϕ⎛⎫-==-=- ⎪ ⎪⎝⎭，其中1cos 2sin ϕϕ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩02ϕπ≤<，因此，3πϕ=，故答案为：3π. 【点睛】本题考查利用辅助角公式化简计算，化简时要熟悉辅助角变形的基本步骤，考查运算求解能力，属于中等题.9.在锐角ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边为a 、b 、c ，若ABC ∆的面积为12，且1b =，2c =，则A ∠的弧度为__________．【答案】6π 【解析】 【分析】利用三角形的面积公式求出sin A 的值，结合角A 为锐角，可得出角A 的弧度数. 【详解】由三角形的面积公式可知，ABC ∆的面积为111sin 12sin 222ABC S bc A A ∆==⨯⨯⨯=，得1sin 2A =，A 为锐角，因此，A ∠的弧度数为6π，故答案为：6π.【点睛】本题考查三角形面积公式的应用，考查运算求解能力，属于基础题.10.数列{}n a 满足()()11112231n a n N n n *=+++∈⨯⨯+，设n S 为数列{}1n n a a +-的前n 项和，则10S =__________． 【答案】512- 【解析】 【分析】先利用裂项求和法将数列{}n a 的通项化简，并求出1n n a a +-，由此可得出10S 的值. 【详解】()11111n n n n =-++，1111111122311n a n n n ∴=-+-++-=-++. 11111111212n n a a n n n n +-=--+=-+++++， 因此，101111111152334111212212S =-+-+--+=-=-，故答案为：512-. 【点睛】本题考查裂项法求和，要理解裂项求和法对数列通项结构的要求，并熟悉裂项法求和的基本步骤，考查计算能力，属于中等题.11.设n S 为数列{}n a 的前n 项和，若()8,1=4,2n nn S n N n *=⎧∈⎨≥⎩，则数列{}n a 的通项公式为n a =__________．【答案】18,1,2=34,3n n n a n -=⎧⎨⨯≥⎩，n *∈N 【解析】 【分析】令3n ≥时，求出1n n n a S S -=-，再令1n =时，求出1a 的值，再检验1a 的值是否符合()2n a n ≥，由此得出数列{}n a 的通项公式.【详解】当3n ≥时，1114434n n n n n n a S S ---=-=-=⨯，当1n =时，118a S ==，18a =不合适上式，当2n =时，2211688a S a =-=-=，28a =不合适上式，因此，18,1,2=34,3n n n a n -=⎧⎨⨯≥⎩，n *∈N . 故答案为：18,1,2=34,3n n n a n -=⎧⎨⨯≥⎩,n *∈N . 【点睛】本题考查利用前n 项和求数列的通项，考查计算能力，属于中等题.12.已知等比数列1a 、2a 、3a 、4a 满足()10,1a ∈，()31,2a ∈，()42,4a ∈，则6a 的取值范围为__________．【答案】()【解析】 【分析】设等比数列1a 、2a 、3a 、4a 的公比为q ，由43a q a =和341a q a =计算出q 的取值范围，再由264a a q =可得出6a 的取值范围.【详解】设等比数列1a 、2a 、3a 、4a 的公比为q ，()10,1a ∈，()31,2a ∈，()42,4a ∈，所以，()431,4a q a =∈，3412a q a =>，)q ∴∈.所以，()264a a q =∈，故答案为：().【点睛】本题考查等比数列通项公式及其性质，解题的关键就是利用已知条件求出公比的取值范围，考查运算求解能力，属于中等题.第Ⅱ卷（共90分）二、选择题（每题3分，满分36分，将答案填在答题纸上） 13.已知基本单位向量()1,0i =，()0,1f =，则34i f -的值为（） A. 1 B. 5 C. 7 D. 25【答案】B 【解析】 【分析】计算出向量34i f -的坐标，再利用向量的求模公式计算出34i f -的值.【详解】由题意可得()()()3431,040,13,4i f -=-=-，因此，(23435i f -=+=， 故选：B.【点睛】本题考查向量模的计算，解题的关键就是求出向量的坐标，并利用坐标求出向量的模，考查运算求解能力，属于基础题.14.在学习等差数列时，我们由110a a d =+，21a a d =+，312a a d =+，⋯⋯，得到等差数列{}n a 的通项公式是()11n a a n d +-=，象这样由特殊到一般的推理方法叫做（） A. 不完全归纳法 B. 数学归纳法C. 综合法D. 分析法【答案】A 【解析】 【分析】根据题干中的推理由特殊到一般的推理属于归纳推理，但又不是数学归纳法，从而可得出结果.【详解】本题由前三项的规律猜想出一般项的特点属于归纳法，但本题并不是数学归纳法，因此，本题中的推理方法是不完全归纳法，故选：A.【点睛】本题考查归纳法的特点，判断时要区别数学归纳法与不完全归纳法，考查对概念的理解，属于基础题.15.设n S 为数列{}n a 的前n 项和，()4n n a S n N *+=∈，则4S的值为（ ）A. 3B.72C.154D. 不确定【答案】C 【解析】 【分析】令1n =，由11a S =求出1a 值，再令2n ≥时，由4n n a S +=得出114n n a S --+=，两式相减可推出数列{}n a 是等比数列，求出该数列的公比，再利用等比数列求和公式可求出4S 的值. 【详解】当1n =时，11124a S a +==，得12a =；当2n≥时，由4n na S+=得出114n na S--+=，两式相减得120n na a--=，可得112nnaa-=. 所以，数列{}n a是以2为首项，以12为公比的等比数列，因此，441211152414412S⎛⎫-⎪⎝⎭==-=-.故选：C.【点睛】本题考查利用前n项和求数列通项，同时也考查了等比数列求和，在递推公式中涉及na与nS时，可利用公式11,1,2nn nS naS S n-=⎧=⎨-≥⎩求解出n a，也可以转化为n S来求解，考查推理能力与计算能力，属于中等题.16.小金同学在学校中贯彻着“边玩边学”的学风，他在“汉诺塔”的游戏中发现了数列递推的奥妙：有A、B、C三个木桩，A木桩上套有编号分别为1、2、3、4、5、6、7的七个圆环，规定每次只能将一个圆环从一个木桩移动到另一个木桩，且任意一个木桩上不能出现“编号较大的圆环在编号较小的圆环之上”的情况，现要将这七个圆环全部套到B木桩上，则所需的最少次数为（）A. 126B. 127C. 128D. 129【答案】B【解析】【分析】假设A桩上有1n+个圆环，将1n+个圆环从A木桩全部套到B木桩上，需要最少的次数为1na+，根据题意求出数列{}n a的递推公式，利用递推公式求出数列{}n a的通项公式，从而得出7a 的值，可得出结果.【详解】假设A 桩上有1n +个圆环，将1n +个圆环从A 木桩全部套到B 木桩上，需要最少的次数为1n a +，可这样操作，先将n 个圆环从A 木桩全部套到C 木桩上，至少需要的次数为n a ，然后将最大的圆环从A 木桩套在B 木桩上，需要1次，在将C 木桩上n 个圆环从C 木桩套到B 木桩上，至少需要的次数为n a ，所以，121n n a a +=+，易知11a =. 设()12n n a x a x ++=+，得12n n a a x +=+，对比121n n a a +=+得1x =，()1121n n a a +∴+=+，1121n n a a ++∴=+且112a +=，所以，数列{}1n a +是以2为首项，以2为公比的等比数列，67122128a ∴+=⨯=，因此，7127a =，故选：B.【点睛】本题考查数列递推公式的应用，同时也考查了利用待定系数法求数列的通项，解题的关键就是利用题意得出数列的递推公式，考查推理能力与运算求解能力，属于中等题.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知点G 是ABC ∆重心，2AD DC =. （1）用AB 和AC 表示AG ； （2）用AB 和AC 表示DG . 【答案】（1）()13AG AB AC =+（2）()13DG AB AC =-. 【解析】 【分析】（1）设BC 的中点为M ，可得出()12AM AB AC =+，利用重心性质得出23AG AM =，由此可得出AG 关于AB 、AC 的表达式； （2）由2AD DC =，得出23AD AC =，再由DG AG AD =-，可得出DG 关于AB 、AC 的表达式.【详解】（1）设BC 的中点为M ，则2AM AB AC =+，()12AM AB AC ∴=+，G 为ABC ∆的重心，因此，()()22113323AG AM AB AC AB AC ==⨯+=+； （2）2AD DC =，23AD AC =， 因此，()()121333DG AG AD AB AC AC AB AC =-=+-=-. 【点睛】本题考查利基底表示向量，应充分利用平面几何中一些性质，将问题中所涉及的向量利用基底表示，并结合平面向量的线性运算法则进行计算，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.18.已知函数()22sin 2sin cos cos f x x x x x =++，x ∈R .（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）求函数()f x 的最小值和取得最小值时x 的取值. 【答案】（1）π；（2）当()4x k k Z ππ=-+∈时，()min 0f x =.【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式将函数()y f x =的解析式化简得()1sin 2f x x =+，再利用周期公式可得出函数()y f x =的最小正周期； （2）由()222x k k Z ππ=-+∈可得出函数()y f x =的最小值和对应的x 的值.【详解】（1）()22sin 2sin cos cos 1sin 2f x x x x x x =++=+，因此，函数()y f x =的最小正周期为22ππ=； （2）由（1）知，当()22x k k Z ππ=-+∈，即当()4x k k Z ππ=-+∈时，函数()y f x =取到最小值()min 110f x =-=.【点睛】本题考查利用二倍角公式化简，同时也考查了正弦型函数的周期和最值的求解，考查学生的化简运算能力，属于基础题.19.“我将来要当一名麦田里的守望者，有那么一群孩子在一块麦田里玩，几千万的小孩子，附近没有一个大人，我是说……除了我”《麦田里的守望者》中的主人公霍尔顿将自己的精神生活寄托于那广阔无垠的麦田.假设霍尔顿在一块成凸四边形ABCD 的麦田里成为守望者，如图所示，为了分割麦田，他将BD 连接，设ABD ∆中边BD 所对的角为A ，BCD ∆中边BD 所对的角为C ，经测量已知2AB BC CD ===，23AD =.（1）霍尔顿发现无论BD 3cos A C -为一个定值，请你验证霍尔顿的结论，并求出这个定值；（2）霍尔顿发现麦田的生长于土地面积的平方呈正相关，记ABD ∆与BCD ∆的面积分别为1S 和2S ，为了更好地规划麦田，请你帮助霍尔顿求出2212S S +的最大值.【答案】（13cos 1A C -=；（2）14. 【解析】 【分析】（1）在ABD ∆和BCD ∆中分别对BD 使用余弦定理，可推出A 与C 的关系，即可得出3cos A C -是一个定值；（2）求出2212S S +表达式，利用二次函数的基本性质以及余弦函数值的取范围，可得出2212S S +的最大值.【详解】（1）在ABD ∆中，由余弦定理得2412831683BD A A =+-=-， 在BCD ∆中，由余弦定理得2448cos BD C =+-，168388cos A C -=-， 则)83cos 8A C -=，3cos 1A C -=；（2）1122S A A =⨯⨯=，2122sin 2sin 2S C C =⨯⨯=，则()2222221212sin 4sin 1612cos 4cos S S A C AC +=+=-+， 由（11cosA C =+，代入上式得：)22222121612cos 4124cos 12S S A A A A +=---=-++，配方得：2221224cos 14S S A ⎛+=--+ ⎝⎭， ∴当arccos 6A =时，2212S S +取到最大值14.【点睛】本题考查余弦定理的应用、三角形面积的求法以及二次函数最值的求解，解题的关键就是利用题中结论将问题转化为二次函数来求解，考查运算求解能力，属于中等题.20.已知()()1,n n A A n n n N*+=∈.（1）求122334A A A A A A ++的坐标； （2）设()11n n b A A n N*+=∈，求数列{}nb 的通项公式；（3）设111,22n n a a B B +--⎛⎫=⎪⎝⎭，()21122n n a C C n N *+⎛⎫-=∈ ⎪ ⎪⎝⎭，其中a 为常数，1a ≥，求()112111lim 1n n n n n n n n n A A B B a A A C C n ++→∞++⋅++⋅++的值.【答案】（1）()1223346,6A A A A A A ++=；（2）22,22n n n n n b ⎛⎫++= ⎪⎝⎭； （3）当1a =-时，()112111lim 21n n n n n n n n n A A B B a A AC C n ++→∞++⋅++=-⋅++；当1a =或1a >时，()112111lim 01n n n n n nn n n A A B B a A AC C n ++→∞++⋅++=⋅++.【解析】【分析】（1）利用题中定义结合平面向量加法的坐标运算可得出结果；（2）利用等差数列的求和公式和平面向量加法的坐标运算可得出数列{}n b 的通项公式；（3）先计算出()1121111n n n n n n n n A A B B a A AC C n ++++⋅++⋅++的表达式，然后分1a =、1a =-、1a >三种情况计算出()112111lim1n n n n n nn n n A A B B a A AC C n ++→∞++⋅++⋅++的值.【详解】（1）由题意得()()122334123,1236,6A A A A A A ++=++++=； （2）()112231=123,123n n n n n b A A A A A A A A n n ++==+++++++++++22,22n n n n ⎛⎫++= ⎪⎝⎭；（3）()112111111n n n n n n n n n a a A A B B a A A C C n ++++-++⋅++=⋅++①当1a =时，()1121112limlim011n n n n n n nn n n A A B B a n A AC C n ++→∞→∞++⋅++==+⋅++； ②当1a =-时，()112111222limlimlim 2111011n n n n n n n nn n n A A B B a n n A AC C n n++→∞→∞→∞++⋅++---====-++⋅+++； ③当1a >时，()()211211211111limlim0111n n n n n n n n n n n a a n a a A A B B a n n A A C C n n n++→∞→∞++-++-++⋅++===⋅++++.【点睛】本题考查平面向量坐标的线性运算，同时也考查等差数列求和以及数列极限的运算，计算时要充分利用数列极限的运算法则进行求解，综合性较强，属于中等题.21.无穷数列{}n a 满足：1a 为正整数，且对任意正整数n ，1n a +为前n 项1a 、2a 、、n a 中等于n a 的项的个数.（1）若12019a =，求2a 和4a 的值； （2）已知命题:P 存在正整数m ，使得12m ma a +=，判断命题P 的真假并说明理由； （3）若对任意正整数n ，都有2n n a a +≥恒成立，求1039a 的值.【答案】（1）21a =，42a =；（2）真命题，证明见解析；（3）1039520a =. 【解析】 【分析】（1）根据题意直接写出2a 、3a 、4a 的值，可得出结果； （2）分11a =和11a >两种情况讨论，找出使得等式12m ma a +=成立的正整数m ，可得知命题P 为真命题；（3）先证明出“11a =”是“存在m N *∈，当n m ≥时，恒有2n n a a +≥成立”的充要条件，由此可得出11a =，然后利用定义得出()21n a n n N *-=∈，由此可得出1039a 的值.【详解】（1）根据题意知，对任意正整数n ，1n a +为前n 项1a 、2a 、、n a 中等于n a 的项的个数，因此，21a =，31a =，42a =； （2）真命题，证明如下：①当11a =时，则21a =，32a =，41a =，此时，当2m =时，1322m m a a a a +==； ②当11a >时，设()12,a k k k N *=≥∈，则21a =，31a =，42a =，此时，当3n =时，1432m m a a a a +==. 综上所述，命题P 为真命题；（3）先证明：“11a =”是“存在m N *∈，当n m ≥时，恒有2n n a a +≥成立”的充要条件. 假设存在()11,a k k k N*=>∈，使得“存在m N*∈，当n m ≥时，恒有2n n a a +≥成立”.则数列{}n a 的前21k -项为k ，211,1,2,1,3,1,4,,1,2,1,1,1,k k k k---项，212,2,3,2,4,2,5,,2,2,2,1,2,k k k k---项…，213,3,4,3,5,3,6,,3,2,3,1,3,,,k k k k ---项……，2,2,1,2,k k k k k k----项，1,1,,k k k k k--项，后面的项顺次为21,1,1,2,1,3,,1,2,1,1,1,k k k k k k k k k k++---+--项…，22,1,2,2,2,3,,2,2,2,1,2,k k k k k k k k k k+-+--+-+项…，23,1,3,2,3,3,,3,2,3,1,3,k k k k k k k k k k+--+-+-+项…，21,1,1,2,1,3,,1,2,1,1,1,k k k k k k k k k k++++-+--项…，故对任意的1,2,3,,2,1,s k k k =--…，t N *∈2212(1)2112(1)2k t k t k t k ta k ta s ++-+-+--+=÷⎧⎪⎨=⎪⎩， 对任意的m ，取12m t k ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，则2kt m >，令212n k kt =++，则n m >，此时n a k =，21n a += 有2n n a a +>，这与2n n a a +≤矛盾，故若存在m N *∈，当n m ≥时，恒有2n n a a +≥成立，必有11a =；从而得证. 另外：当11a =时，数列{}n a 为1,1,2,1,3,1,4,,1,1,1,,k k -……， 故()21n a n n N*-=∈，则1039520a=.【点睛】本题考查数列知识的应用，涉及到命题真假的判断，同时也考查了数列新定义问题，解题时要充分从题中数列的定义出发，充分利用分类讨论思想，综合性强，属于难题.。

2019-2020学年上海中学高一下学期期末数学试卷 (解析版)

2019-2020学年上海中学高一下学期期末数学试卷 (解析版)

2019-2020学年上海中学高一第二学期期末数学试卷一、填空题（共12小题）.1．在数列{a n}中，若a1＝1，，则a n＝．2．在首项为2020，公比为的等比数列中，最接近于1的项是第项．3．在等差数列{a n}中，前15项的和S15＝90，则a8＝．4．等比数列{a n}满足a7a8a9＝27．则log3a1+log3a2+log3a3+…+log3a15＝．5．在等差数列{a n}中，a1＞0，S4＝S9，则S n取最大值时，n＝．6．数列{a n}由a n＝（n∈N*）确定，则{a n}中第10个3是该数列的第项．7．已知方程在区间内有两个相异的解α，β，则k的取值范围是．8．已知数列{a n}中a1＝1且（n∈N），a n＝．9．计算＝．10．数列{a n}中，当n为奇数时，a n＝5n+1，当n为偶数时，a n＝，则这个数列的前2n 项的和S2n＝11．一个数字生成器，生成规则如下：第1次生成一个数x，以后每次生成的结果是将上一次生成的每一个数x生成两个数，一个是﹣x，另一个是x+3．设第n次生成的数的个数为a n，则数列{a n}的前n项和S n＝；若x＝1，前n次生成的所有数中不同的数的个数为T n，则T n＝．12．若数列{a n}，{b n}满足a1＝1，b1＝1，若对任意的n∈N*，都有a n+1＝a n+b n+，b n+1＝a n+b n﹣，设c n＝，则无穷数列{c n}的所有项的和为．二、选择题13．用数学归纳法证明：“（n+1）（n+2）…（n+n）＝2n•1•3…（2n+1）”．从“n＝k到n＝k+1”左端需增乘的代数式为（）A．（2k+1）（2k+2）B．2（2k+1）C．D．14．“b2＝ac”是“a，b，c依次成等比数列”的（）条件A．充分非必要B．必要非充分C．既不充分也不必要D．充分必要15．已知等差数列{a n}的公差d不为零，等比数列{b n}的公比q是小于1的正有理数．若，且是正整数，则q的值可以是（）A．B．C．D．16．S n为实数构成的等比数列{a n}的前n项和，则{S n}中（）A．任一项均不为0B．必有一项为0C．至多有一项为0D．或无一项为0，或无穷多项为0三、解答题17．有三个数a，b，c依次成等比数列，其和为21，且a，b，c﹣9依次成等差效列，求a，b，c．18．解下列三角方程：（1）4cos2x﹣4cos x+1＝0；（2）sin2x+3sin x cos x+1＝0；（3）sin2x﹣12（sin x﹣cos x）+12＝0．19．已知等差数列{a n}满足a2＝0，a6+a8＝﹣10．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和S n．20．已知数列{a n}的前n项和为S n，且2S n是6和a n的等差中项．（1）求数列{a n}的通项公式和前n项和S n；（2）若对任意的n∈N*，都有S n∈[s，t]，求t﹣s的最小值．21．对于实数a，将满足“0≤y＜1且x﹣y为整数”的实数y称为实数x的小数部分，用记号||x||表示，对于实数a，无穷数列{a n}满足如下条件：a1＝|a，a n+1＝其中n＝1，2，3，…（1）若a＝，求数列{a n}；（2）当a时，对任意的n∈N*，都有a n＝a，求符合要求的实数a构成的集合A．（3）若a是有理数，设a＝（p是整数，q是正整数，p、q互质），问对于大于q的任意正整数n，是否都有a n＝0成立，并证明你的结论．参考答案一、填空题1．在数列{a n}中，若a1＝1，，则a n＝3n﹣2．【分析】利用等差数列定义和通项公式即可得出．解：a1＝1，，则a n+1＝a n+3，∴数列{a n}为首项为1，公差为3的等差数列，∴a n＝1+3（n﹣1）＝3n﹣2，故答案为：3n﹣2．2．在首项为2020，公比为的等比数列中，最接近于1的项是第12项．【分析】由已知可先求出数列的通项公式，进而可求．解：a n＝a1q n﹣1＝2020×（）n﹣1，则数列单调递减，a11﹣1＝2020×（）10﹣1＝，a12﹣1＝2020×（）11﹣1＝﹣故当n＝12时，数列的项与1最接近．故答案为：12．3．在等差数列{a n}中，前15项的和S15＝90，则a8＝6．【分析】由等差数列的前n和可得，由等差数列的性质可得a1+a15＝2a8，代入可求a8解：由等差数列的前n和可得∴a8＝6故答案为：64．等比数列{a n}满足a7a8a9＝27．则log3a1+log3a2+log3a3+…+log3a15＝15．【分析】利用等比数列的通项公式推导出a8＝3，由此利用等比数列性质和对数函数运算法则能求出log3（a1a2…a15）的值．解：∵a7a8a9＝27，∴a83＝27，∴a8＝3，∴a1a15＝a2a14＝a3a13＝a4a12＝a5a11＝a6a10＝a7a9＝a82＝9，∴log3a1+log3a2+log3a3+…+log3a15＝log3（a1•a2…a15）＝log3315＝15，故答案为：15．5．在等差数列{a n}中，a1＞0，S4＝S9，则S n取最大值时，n＝6或7．【分析】先由题设条件求出a1＝﹣6d，，然后用配方法进行求解．解：，解得a1＝﹣6d．∴＝＝，∵a1＞0，d＜0，∴当n＝6或7时，S n取最大值﹣．故答案：6或7．6．数列{a n}由a n＝（n∈N*）确定，则{a n}中第10个3是该数列的第1536项．【分析】借助于递推公式知道奇数项的值为其项数，而偶数项的值由对应的值来决定．又通过前面的项发现项的值为3时，下角码是首项为3，公比为2的等比数列．即可求出第8个3在该数列中所占的位置．解：由题得：这个数列各项的值分别为1，1，3，1，5，3，7，1，9，5，11，3…∴a12+a15＝3+15＝18．又因为a3＝3，a6＝3，a12＝3，a24＝3…即项的值为3时，下角码是首项为3，公比为2的等比数列．所以第10个3是该数列的第3×210﹣1＝1536项．故答案为：1536．7．已知方程在区间内有两个相异的解α，β，则k的取值范围是[0，1）．【分析】由已知结合辅助角公式对已知函数进行化简，然后结合正弦函数的图象可求．解：因为在区间内有两个相异解，故y＝cos2x+sin2x＝2sin（2x+），由x∈[0，]可得2x+∈[]，其大致图象如图所示，结合图象可知，1≤k+1＜2，解可得0≤k＜1，故答案为：[0，1）．8．已知数列{a n}中a1＝1且（n∈N），a n＝．【分析】本题考查数列的概念，由递推数列求数列的通项公式，适当的变形是完整解答本题的关键．解：根据题意，a n+1a n＝a n﹣a n+1，两边同除以a n a n+1，得，于是有：，，…，，上述n﹣1个等式累加，可得，又a1＝1，得，所以；故答案为．9．计算＝．【分析】先利用裂项求和可得，＝，代入可求极限＝解：∵2[]＝＝＝∴＝∴＝＝故答案为：10．数列{a n}中，当n为奇数时，a n＝5n+1，当n为偶数时，a n＝，则这个数列的前2n 项的和S2n＝5n2+n+2n+1﹣2【分析】对数列{a n}使用分组求和的办法即可求得其前2n项的和．解：由题意知：数列{a n}的奇数项构成首项为6，公差为10的等差数列；数列{a n}的偶数项构成首项为2，公比为2的等比数列，故S2n＝（a1+a3+a5+…+a2n﹣1）+（a2+a4+a6+…+a2n）＝6n++＝5n2+n+2n+1﹣2．故答案为：5n2+n+2n+1﹣2．11．一个数字生成器，生成规则如下：第1次生成一个数x，以后每次生成的结果是将上一次生成的每一个数x生成两个数，一个是﹣x，另一个是x+3．设第n次生成的数的个数为a n，则数列{a n}的前n项和S n＝2n﹣1；若x＝1，前n次生成的所有数中不同的数的个数为T n，则T n＝．【分析】（1）根据题意，一个数字生成器，生成规则可得：第1次生成1个数，第二次生成2个数，第三次生成4个数，第四次生成8个数…，以此类推知该数列是等比数列，利用等比数列求和公式即可求出数列{a n}的前n项和S n（2）因为一个数字生成器，生成规则如下：第1次生成一个数x，以后每次生成的结果是将上一次生成的每一个数x生成两个数，一个是﹣x，另一个是x+3，类推可求出数列的和．解：（1）根据题意，一个数字生成器，生成规则可得：第1次生成1个数，第二次生成2个数，第三次生成4个数，第四次生成8个数…，以此类推，第n次生成的数的个数为a n＝2n﹣1，显然，此数列为首项为1，公比为2的等比数列．再根据等比数列求和公式，则数列{a n}的前n项和S n＝2n﹣1．（2）因为一个数字生成器，生成规则如下：第1次生成一个数x，以后每次生成的结果是将上一次生成的每一个数x生成两个数，一个是﹣x，另一个是x+3．第一次生成的数为“1”，第二次生成的数为“﹣1、4”，第三次生成的数为“1、2、﹣4、7”，第四次生成的数为“﹣1、4、﹣2、5、4、﹣1、﹣7、10”…可观察出：第一次生成后前1次所有数中不同的个数为“1”，第2次生成后前2次所有数中不同的个数为“3”，第三次生成后前3次所有数中不同的个数为“6”，第四次生成后前4次所有数中不同的个数为“10”，…以此类推以后为公差为4的等差数列．则易得数中不同的数的个数为T n，则T n＝所以，应填上12．若数列{a n}，{b n}满足a1＝1，b1＝1，若对任意的n∈N*，都有a n+1＝a n+b n+，b n+1＝a n+b n﹣，设c n＝，则无穷数列{c n}的所有项的和为1．【分析】由题意可得a n+1+b n+1＝2（a n+b n），则数列{a n+b n}是首项为2，公比为2的等比数列，为本题解题的关键．解：由题意，a n+1+b n+1＝2（a n+b n），∴{a n+b n}是首项为2，公比为2的等比数列，∴，而，可得，从而，其各项和为．故答案为：1．二、选择题13．用数学归纳法证明：“（n+1）（n+2）…（n+n）＝2n•1•3…（2n+1）”．从“n＝k到n＝k+1”左端需增乘的代数式为（）A．（2k+1）（2k+2）B．2（2k+1）C．D．【分析】写出从n＝k到n＝k+1时左边需增乘的代数式，化简即可．解：当n＝k时，左端＝（k+1）（k+2）（k+3）…（2k），当n＝k+1时，左端＝（k+2）（k+3）…（2k）（2k+1）（2k+2），从n＝k到n＝k+1时左边需增乘的代数式是：＝2（2k+1）．故选：B．14．“b2＝ac”是“a，b，c依次成等比数列”的（）条件A．充分非必要B．必要非充分C．既不充分也不必要D．充分必要【分析】根据等比数列的性质和必要条件和充分条件即可判断．解：“b2＝ac”，当a＝b＝c＝0时，“a，b，c不成等比数列”，但“a，b，c依次成等比数列”则一定有“b2＝ac”，故“b2＝ac”是“a，b，c依次成等比数列”的必要非充分条件，故选：B．15．已知等差数列{a n}的公差d不为零，等比数列{b n}的公比q是小于1的正有理数．若，且是正整数，则q的值可以是（）A．B．C．D．【分析】运用等差数列和等比数列的通项公式，确定的表达式，利用是正整数，q是小于1的正有理数，即可求得结论．解：根据题意：a2＝a1+d＝2d，a3＝a1+2d＝3d，b2＝b1q＝d2q，b3＝b1q2＝d2q2，∴＝＝，∵是正整数，q是小于1的正有理数．令＝t，t是正整数，则有q2+q+1＝，∴q＝，对t赋值，验证知，当t＝8时，有q＝符合题意．故选：D．16．S n为实数构成的等比数列{a n}的前n项和，则{S n}中（）A．任一项均不为0B．必有一项为0C．至多有一项为0D．或无一项为0，或无穷多项为0【分析】举特例验证即可．解：若a n＝1，则S n＝n，显然{S n}中无一项为0，排除A，B；若a n＝（﹣1）n，显然当n为偶数时，S n＝0，即{S n}中有无穷多项为0，排除C，故选：D．三、解答题17．有三个数a，b，c依次成等比数列，其和为21，且a，b，c﹣9依次成等差效列，求a，b，c．【分析】由题意可设a＝b﹣d，c﹣9＝b+d，再由已知列关于b与d的方程组求解b与d 的值，则答案可求．解：由题意，可设a＝b﹣d，c﹣9＝b+d，于是，解得或，当b＝4，d＝3时，可得a＝1，b＝4，c＝16当b＝4，d＝﹣12时，可得a＝16，b＝4，c＝1．18．解下列三角方程：（1）4cos2x﹣4cos x+1＝0；（2）sin2x+3sin x cos x+1＝0；（3）sin2x﹣12（sin x﹣cos x）+12＝0．【分析】（1）由条件可得，然后求出x即可；（2）利用同角三角函数基本关系式化简，然后两边同除cos2x，可得2tan2x+3tan x+1＝0，再求出x；（3）通过换元，转化为二次函数，进而得出．解：（1）即；（2）即sin2x+3sin x cos x+sin2x+cos2x＝0，两边同除cos2x，可得2tan2x+3tan x+1＝0，∴或tan x＝﹣1，∴或；（3）令，，则sin2x＝1﹣t2，从而1﹣t2﹣12t+12＝0，即t2+12t﹣13＝0，解得t＝1或t＝﹣13（舍），再由，∴或，∴或x＝2kπ+π（k∈Z）．19．已知等差数列{a n}满足a2＝0，a6+a8＝﹣10．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和S n．【分析】（1）等差数列{a n}的公差设为d，运用等差数列的通项公式，解方程可得首项和公差，即可得到所求通项公式；（2）求得＝（2﹣n）•（）n﹣1，运用数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，化简整理，即可得到所求和．解：（1）等差数列{a n}的公差设为d，a2＝0，a6+a8＝﹣10，可得a1+d＝0，a1+5d+a1+7d＝﹣10，解得a1＝1，d＝﹣1，则a n＝a1+（n﹣1）d＝1﹣n+1＝2﹣n，n∈N*；（2）＝（2﹣n）•（）n﹣1，数列{}的前n项和设为S n，S n＝1•（）0+0•（）+（﹣1）•（）2+…+（3﹣n）•（）n﹣2+（2﹣n）•（）n﹣1，S n＝1•（）+0•（）2+（﹣1）•（）3+…+（3﹣n）•（）n﹣1+（2﹣n）•（）n，上面两式相减可得，S n＝1+（﹣1）[（）+（）2+…+（）n﹣2+（）n﹣1]﹣（2﹣n）•（）n＝1+（﹣1）•﹣（2﹣n）•（）n，可得S n＝n•（）n﹣1．20．已知数列{a n}的前n项和为S n，且2S n是6和a n的等差中项．（1）求数列{a n}的通项公式和前n项和S n；（2）若对任意的n∈N*，都有S n∈[s，t]，求t﹣s的最小值．【分析】（1）利用数列递推式可以得到数列，∴{a n}是首项为2，公比为的等比数列；（2）分为两种情况，n为奇数以及n为偶数，再利用函数性质可以判定S n增减性，从而得到s与t的值．解：（1）由题意，4S n＝6+a n①，令n＝1，可得a1＝2，4S n+1＝6+a n+1②，②﹣①，得4a n+1＝a n+1﹣a n，即，∴{a n}是首项为2，公比为的等比数列，∴，；（2）①n为奇数时，，S n关于n单调递减且恒成立，此时，；②n为偶数时，，S n关于n单调递增且恒成立，此时，；∴（s n）min＝≥s，（s n）max＝2≤t，于是．21．对于实数a，将满足“0≤y＜1且x﹣y为整数”的实数y称为实数x的小数部分，用记号||x||表示，对于实数a，无穷数列{a n}满足如下条件：a1＝|a，a n+1＝其中n＝1，2，3，…（1）若a＝，求数列{a n}；（2）当a时，对任意的n∈N*，都有a n＝a，求符合要求的实数a构成的集合A．（3）若a是有理数，设a＝（p是整数，q是正整数，p、q互质），问对于大于q的任意正整数n，是否都有a n＝0成立，并证明你的结论．【分析】（1）由题设知＝，a2＝＝＝＝，由此能求出．（2）由a1＝||a||＝a，知，1＜＜4，由此进行分类讨论，能求出符合要求的实数a构成的集合A．（3）成立．证明：由a是有理数，可知对一切正整数n，a n为0或正有理数，可设，由此利用分类讨论思想能够推导出数列{a m}中a m以及它之后的项均为0，所以对不大q 的自然数n，都有a n＝0．解：（1）∵满足“0≤y＜1且x﹣y为整数”的实数y称为实数x的小数部分，用记号||x||表示，a1＝，a n+1＝其中n＝1，2，3，…∴＝，a2＝＝＝＝，…a k＝，则a k+1＝＝＝，所以．…（2）∵a1＝||a||＝a，∴，∴1＜＜4，①当，即1＜＜2时，＝＝﹣1＝a，所以a2+a﹣1＝0，解得a＝，（a＝∉（，1），舍去）．…②当，即2≤＜3时，a2＝＝，所以a2+2a﹣1＝0，解得a＝＝，（a＝﹣∉（，]，舍去）．…③当，即3＜4时，，所以a2+3a﹣1＝0，解得a＝（a＝，舍去）．…综上，{a＝，a＝，a＝}．…（3）成立．…证明：由a是有理数，可知对一切正整数n，a n为0或正有理数，可设（p n是非负整数，q n是正整数，且既约）．…①由，得0≤p1≤q；…②若p n≠0，设q n＝ap n+β（0≤βP n，α，β是非负整数）则＝a+，而由，得＝，＝＝，故P n+1＝β，q n+1＝P n，得0≤P n+1＜P n．…若P n＝0，则p n+1＝0，…若a1，a2，a3，…，a q均不为0，则这q正整数互不相同且都小于q，但小于q的正整数共有q﹣1个，矛盾．…（17分）故a1，a2，a3，…，a q中至少有一个为0，即存在m（1≤m≤q），使得a m＝0．从而数列{a m}中a m以及它之后的项均为0，所以对不大q的自然数n，都有a n＝0．…（18分）（其它解法可参考给分）。

上海高一高中数学期末考试带答案解析

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上海高一高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、填空题1.角的终边经过点，则=____________________．2.已知扇形的圆心角60°，半径为2，则扇形的面积为____________________．3.函数的单调递减区间为____________________．4.已知，则____________________．5.函数的最小值为___________________．6.已知函数，则该函数的定义域为___________________．7.已知数列中，，则_____________．8.函数和的图像围成一个封闭的平面图形，则这个封闭图形的面积为____________________．9.，则的形状是____________________．10.，则____________________．11.已知，若，则 ____________________．12.下列结论中：1）函数为奇函数2）函数的图像关于点对称3）函数的图像的一条对称轴为4）若，则其中正确的结论序号为____________________．二、选择题1.下列函数中，以为周期的偶函数是（）A．B．C．D．2.把函数的图像经过变化而得到的图像，这个变化是（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位3.设为任意实数，则下列各式正确的是（）A．B．C．D．4.数列满足，则等于（）A．2B．C．D．1三、解答题1.解三角形方程（每小题4分）1）2）3）2.已知锐角满足，，求．（8分）3.已知1）若，求的单调递增区间2）当时，的最大值为4，求的值3）在2）的条件下，求满足且的集合4.某货轮在A处看灯塔S在北偏东30°，它以每小时36海里的速度向正北方向航行，40分钟航行到B处，看灯塔S在北偏东75°，求这时货轮到灯塔S的距离．5.已知函数的周期为，图像的一个对称中心为，将函数图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得到的图像向右平移个单位长度后得到函数的图像．（1）求函数与的解析式；（5分）（2）若，是第一象限的角，且，求的值．（4分）上海高一高中数学期末考试答案及解析一、填空题1.角的终边经过点，则=____________________．【答案】【解析】由三角函数定义可知【考点】三角函数定义2.已知扇形的圆心角60°，半径为2，则扇形的面积为____________________．【答案】【解析】【考点】扇形面积3.函数的单调递减区间为____________________．【答案】【解析】令，解不等式的单调减区间为【考点】三角函数单调性4.已知，则____________________．【答案】【解析】【考点】两角和的正切公式与正切的二倍角公式5.函数的最小值为___________________．【答案】【解析】，当时，函数取得最小值【考点】二次函数求最值6.已知函数，则该函数的定义域为___________________．【答案】【解析】【考点】反函数与函数定义域7.已知数列中，，则_____________．【答案】【解析】是等差数列，公差为3，【考点】等差数列8.函数和的图像围成一个封闭的平面图形，则这个封闭图形的面积为____________________．【答案】【解析】由余弦函数的对称性可知，围成图形通过割补法重新拼凑后得到长为，宽为2的矩形，所以面积为【考点】余弦函数的对称性9.，则的形状是____________________．【答案】等腰或直角三角形【解析】或所以或【考点】正弦定理及三角函数基本公式10.，则____________________．【答案】【解析】【考点】三角函数诱导公式及三角函数求值11.已知，若，则 ____________________．【答案】【解析】，【考点】函数求值12.下列结论中：1）函数为奇函数2）函数的图像关于点对称3）函数的图像的一条对称轴为4）若，则其中正确的结论序号为____________________．【答案】1,3,4【解析】1），因此函数是奇函数；2）代入函数不成立，因此该点不是对称中心点；3）中当时函数取得最小值，因此对称轴为；4）中【考点】三角函数对称性奇偶性等性质二、选择题1.下列函数中，以为周期的偶函数是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由正余弦函数周期求解公式可知的周期为，的周期为，的周期为，的周期为，其中是偶函数【考点】三角函数周期性与奇偶性2.把函数的图像经过变化而得到的图像，这个变化是（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位【答案】B【解析】，与比较可知：只需将向右平移个单位即可【考点】三角函数化简与平移3.设为任意实数，则下列各式正确的是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】根据反三角函数的定义可知表示上正切值等于的一个角，故有，所以A项正确【考点】反三角函数4.数列满足，则等于（）A．2B．C．D．1【答案】B【解析】，所以数列具有周期性，周期为3，【考点】数列周期性与数列递推公式三、解答题1.解三角形方程（每小题4分）1）2）3）【答案】（1）（2）（3）【解析】（1）（2）解三角方程时根据特殊角的三角函数值得到角的大小，（3）首先利用二倍角公式化简得到三角函数值，转化为（1）（2）的形式后求解试题解析：（1）或，解得，所以方程的解集为（2），方程的解集为（3）或，或，所以方程的解集为【考点】1．特殊角的三角函数值；2．二倍角公式2.已知锐角满足，，求．（8分）【答案】【解析】首先利用同角间的三角函数关系由，的值求得的值，将所求的角用已知两角来表示，借助于两角差的余弦公式求解试题解析：当时，当时，【考点】1．同角间的三角函数关系；2．两角和差的正余弦公式3.已知1）若，求的单调递增区间2）当时，的最大值为4，求的值3）在2）的条件下，求满足且的集合【答案】1） 2） 3）【解析】1）首先由借助于三角函数基本公式将函数式整理为的形式，求递增区间只需令，解出的范围即可；2）由得到的范围，结合函数单调性确定取得最大值的位置，代入数值可求得的值；3）由得到的值，进而解出试题解析：1）由可得2）当时，取最大值3）由可得可解得，所以集合为【考点】1．三角函数式的化简；2．三角函数单调性与最值4.某货轮在A处看灯塔S在北偏东30°，它以每小时36海里的速度向正北方向航行，40分钟航行到B处，看灯塔S在北偏东75°，求这时货轮到灯塔S的距离．【答案】海里【解析】将实际问题转化为数学中的解三角形问题，得到三角形中的边角，结合三角形的正弦定理可得到其他边长，即货轮到灯塔S的距离试题解析：由正弦定理可得，可得此时，货轮到灯塔S的距离为海里【考点】1．正弦定理解三角形；2．解三角形的实际应用5.已知函数的周期为，图像的一个对称中心为，将函数图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得到的图像向右平移个单位长度后得到函数的图像．（1）求函数与的解析式；（5分）（2）若，是第一象限的角，且，求的值．（4分）【答案】（1），（2）【解析】（1）由函数周期得到的值，由对称中线点代入函数式可得角，因此得到函数，横坐标伸长到原来的2倍，则周期变为2倍，系数减半得，右平移个单位得；（2）将函数化简后代入得到三角函数值，进而得到，利用二倍角公式可求得的值试题解析：（1）由函数的周期为又曲线的一个对称中心为故得，所以将函数图像上所有点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，可得的图像，再将的图像向右平移个单位长度后得到函数的图像，所以（2）得到，因为是第一象限角，所以【考点】1．三角函数性质；2．三角函数图像变换；3．三角函数基本公式。

上海市上海中学2022-2023学年高一下学期期末数学试题及答案

上海市上海中学2022-2023学年高一下学期期末数学试题及答案

上海市上海中学2022-2023学年高一下学期期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．已知复数12z i =+，i 为虚数单位，则Re Im z z −= ．2．已知点()2,3A ，()6,3B −，若点P 满足3AB AP =，则点P 的坐标为 ．3．已知复数z满足(12)34z i i +=+ (i 为虚数单位)，4．若非零向量a 、b ，满足a b = ，()2+⊥ a b b ，则a 与b的夹角为 .5．在正方体1111ABCD A B C D −中，AC 与BD 交于点O ，则直线1BC 与直线1OD 的夹角为 .6．已知复平面上平行四边形ABCD 的顶点()2,1A −−，()7,3B ，()12,9C ，(),D x y 按逆时针方向排列，则向量AD所对应的复数为 ．7．设11()()()()11n ni i f n n i N i+−=+∈−+，则集合{|()}x x f n =的子集个数是 .8．已知向量(a = ，且a ，b 的夹角为π3，()()234a b a b +⋅−=，则b 在a方向上的投影向量等于 .9．如图，在四棱锥P ABCD −中，PA ⊥底面,,//,2,1ABCD AD AB AB DC AD DC AP AB ⊥====，若E 为棱PC 上一点，满足BE AC ⊥，则PEEC= ．10．已知复数12sin z θ=，()212cos i z θ=+，i 为虚数单位，若π6π5,2θ∈，复数1z ，2z 对应的向量分别为a ，b，存在θ使得等式()()0a b a b λλ−⋅−= 成立，则实数λ的取值范围为 ．11．如图，在ABC ∆中，,,D E F 分别为BC,CA,AB 上的点，且35CD BC =，12EC AC =，13AF AB =.设P 为四边形AEDF 内一点（P 点不在边界上），若13DP DC DE λ=−+，则实数λ的取值范围为12．已知ABC ∆的外接圆圆心为O ，||6,||8AB AC ==，(,)AO AB AC R αβαβ=+∈，若21sin ()2A t αβ⋅+−（t 为实数）有最小值，则参数t 的取值范围是 .二、单选题13．已知m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）A ．若m α⊥，m n ⊥，则n α∥B ．若m α ，m β ，n αβ= ，则m n ∥C ．若αβ⊥，n αβ= ，则m n ⊥，则m β⊥D ．若m n ∥，n ⊂α，则m α14．已知O 为ABC 所在平面内一点，D 是AB 的中点，动点P 满足()()1OP OD OC λλλ=−+∈R ，则点P 的轨迹一定过ABC 的（ ）A ．内心B ．垂心C ．重心D ．AC 边的中点15．如图，在矩形ABCD 中，E F 、分别为边AD BC 、上的点，且3AD AE =，3BC BF =，设P Q 、分别为线段AF CE 、的中点，将四边形ABFE 沿着直线EF 进行翻折，使得点A 不在平面CDEF 上，在这一过程中，下列关系不能．．成立的是（ ）A ．直线//AB 直线CD B ．直线AB ⊥直线PQC ．直线//PQ 直线EDD ．直线//PQ 平面ADE16．已知2k +个两两互不相等的复数1212,,,,,k z z z w w ，满足12124w w w w −=−，且{}1,3j a w z −∈，其中1,2j =；1,2,,a k = ，则k 的最大值为（ ） A ．3B ．4C ．5D ．6三、解答题17．已知4a = ，3b =r ，()()23261a b a b −⋅+=． (1)求a 与b的夹角； (2)求2a b + ． 18．如图，P 为平面ABCD 外一点，PA ⊥底面ABCD ，四边形ABCD 是矩形，1==PA AB ，点F 是PB 的中点，点E 在边BC 上移动．(1)当点E 为BC 中点时，求证：//EF 平面PAC ； (2)求证：无论点E 在边BC 的何处，都有PE AF ⊥． 19．已知关于x 的实系数一元二次方程290x mx ++=.(1)若复数z是该方程的一个虚根，且4z z +=−，求m 的值；(2)记方程的两根为1x 和2x ，若12x x −=，求m 的值. 20．利用平面向量的坐标表示，可以把平面向量的概念推广为坐标为复数的“复向量”，即可将有序复数对()12,z z （其中12,z z ∈C ）视为一个向量，记作()12,z z α=．类比平面向量可以定义其运算，两个复向量()12,z z α=，()''12,z z β=的数量积定义为一个复数，记作a β⋅ ，满足'2'112z z z z αβ⋅=+ ，复向量α的模定义为α=(1)设()1i,i α=−，()3,4β=，i 为虚数单位，求复向量α、β的模；(2)设α、β是两个复向量，�已知对于任意两个平面向量()11,a x y =，()22,b x y = ，（其中1212,,,x x y y ∈R ），a b a b⋅≤ 成立，证明：对于复向量α、β，a αββ⋅≤也成立；�当a αββ⋅= 时，称复向量α与β 平行．若复向量()1i,12i α=+− 与()i,z β= 平行（其中i 为虚数单位，z C ∈），求复数z ． 21．如图，已知O 是边长为1的正ABC 的外心，12,,,n P P P 为BC 边上的1n +等分点，12,,,n Q Q Q 为AC 边上的1n +等分点，12,,,n L L L 为AB 边上的1n +等分点．(1)当2023n =时，求122023OC OP OP OP OB +++++ 的值；(2)当4n =时．�求j k OA AQ OA AL ⋅+⋅的值（用含j ，k 的式子表示）；�若{}|1,,4,,,k i i j j k M m m OP OQ OQ OL OL OP i j k i j k ==⋅+⋅+⋅≤≤∈N，分别求集合M 中最大元素与最小元素的值．参考答案：1．1−【分析】根据i 12z =+，确定其实部和虚部，即可求得答案. 【详解】由复数i 12z =+，可知其实部和虚部分别为1和2 ,故Re Im 121z z −=−=−， 故答案为：1− 2．10,13【分析】设(,)P x y ，根据条件得到(4,6)AB =− ，(2,3)AP x y =−−，再利用向量相等即可求出结果.【详解】设(,)P x y ，因为()2,3A ，()6,3B −，所以(4,6)AB =− ，(2,3)AP x y =−− ，又3AB AP =， 所以3(2)43(3)6x y −= −=− ，解得10,13x y =，所以点P 的坐标为10(,1)3. 故答案为：10(,1)3.3【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．【详解】解：由(12)34z i i +=+，得34(34)(12)11212(12)(12)55i i i z i i i i ++−===−++−，【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．4．120 /23π 【分析】设a 与b 的夹角为θ，根据a b =，()2+⊥ a b b ，由数量积的定义和运算律求解. 【详解】解：设a 与b的夹角为θ， 因为a b = ，()2+⊥a b b ，所以2(2)2cos 0θ+⋅=+= a b b a b b ， 所以1cos 2θ=−，因为0180θ≤≤ ， 所以120θ= ， 故答案为：120 5．30【分析】通过平移，转化所求线线角为1AD O ∠，再根据等边三角形的性质即可求解. 【详解】解：如图所示，连接111,,AD OD CD ,又因为11//,BC AD所以直线1BC 与直线1OD 的夹角即为1AD O ∠,又1AD C 为等边三角形，O 为AC 中点， 所以1OD 平分角1AD O ∠，所以130AD O ∠=. 故答案为：30 .6．56i +/65i +【分析】根据题意，利用向量的对应关系求出点D 的坐标，进一步求出向量AD所对应的复数．【详解】复平面上平行四边形ABCD 的顶点(2,1),(7,3),(12,9),(,)A B C D x y −−按逆时针方向排列，如图，则有AB DC =，而(9,4),(12,9)AB DC x y ==−− ，则有(9,4)(12,9)x y =−−，得12994x y −=−= ，解得35x y = = ，故D 的坐标为(3,5)，则向量(5,6)AD =，所以对应的复数56i z =+． 故答案为：56i +． 7．8【解析】化简得到()()()n ni f n i =+−，计算结合复数乘方的周期性得到{}{}|()2,0,2x x f n ==−，得到答案.【详解】()()()()()()()()22111()()()()()1111111n nn n n n i i i f n i i i i i i i i i −+−=+=+−+−=+−++−+， ()()00(0)2i f i =+−=，()()11(1)0i f i =+−=，()()22(2)2i f i =+−=−，()()33(3)0i f i =+−=，()()44(4)2i f i =+−=，根据n i 的周期性知{}{}|()2,0,2x x f n ==−，子集个数为328=.故答案为：8.【点睛】本题考查了复数的运算，集合的子集，意在考查学生的计算能力和综合应用能力，周期性的利用是解题的关键. 8．1(4【分析】根据所给条件利用向量数量积运算求出||b →，再由投影向量的定义求解即可.【详解】(a = ，||2a →∴=，()()222π232||3||82||cos 3||43a b a b a a b b b b →→→→→→+⋅−=−⋅−=−−=， ||1b →∴=，b ∴ 在a方向上的投影向量为π111||cos (3224||a b a →→→⋅=×=.故答案为：1(49．13【分析】过B 作BF AC ⊥，交AC 于F ，连接EF ，根据BE AC ⊥，可得AC ⊥平面BEF ，通过解三角形求得:AF FC 的值，也即求得PEEC的值. 【详解】过B 作BF AC ⊥，交AC 于F ，连接EF ，根据BE AC ⊥，可得AC ⊥平面BEF ，故AC EF ⊥，由于PA AC ⊥，所以//EF PA .由于AD CD =，所以π4DAC BAC ∠=∠=.在直角三角形ABF 中，π1,4AB BAF =∠=，所以AFAB =AC =:1:3AF FC =.根据前面证得//EF PA ，可得::1:3PE EC AF FC ==.【点睛】本小题主要考查空间点位置的确定，考查线面垂直的证明，考查简单的解特殊角三角形的知识.属于基础题. 10．22【分析】由题得出(2sin ,aθ ，()1,2cos b θ=r ，化简()()0a b a b λλ−⋅−=，得出2π2sin 31λθλ −= + ，要使()()0a b a b λλ−⋅−= 成立，即使2π2sin 31λθλ−=+ 成立，求出πsin 3θ−的范围，即可求出λ的范围.【详解】由题知，(2sin ,a θ，()1,2cos b θ=r ，12sin 4sin 2a b θθθθ ⋅=−=π4sin 3θ−，，由()()0a b a b λλ−⋅−=， 得()22210a b a b λλλ+−+⋅=， 化简得2π2sin 31λθλ−=+， 因为π6π5,2θ∈ ，所以π2π,3π6θ −∈ ，π1sin ,132θ−∈，因为存在θ使得等式()()0a b a b λλ−⋅−=成立，所以存在θ使得2π2sin 31λθλ−=+成立， 所以212121λλ≤≤+，解得22λ≤≤故答案为：22 11．14(,)23【分析】取BD 中点M,过M 作MH//DE 交DF,AC 分别为G,H,则由,,P C E 可知,P 点在线段GH 上运动（不包括端点）,求出端点G,H 对应的λ即可求解. 【详解】取BD 中点M,过M 作MH//DE 交DF,AC 分别为G,H,如图：则由13DP DC DE DE DM λλ=+=−+可知,P 点在线段GH 上运动（不包括端点） 当P 与G 重合时，根据413389DP tDF DC tDE DE t DC λ==−=++−,可知12λ=，当P 与H 重合时,由,,P C E 共线可知113λ−+=，即43λ=，结合图形可知14(,)23λ∈. 【点睛】本题主要考查了向量的线性运算，加法平行四边形法则，三点共线，数形结合的思想方法，属于难题. 12．3315(,)1616−【分析】首先求得,AO AB AO AC ⋅⋅ ，进而用cos A 表示出,αβ，由此化简21sin ()2A t αβ⋅+−，结合二次函数的性质，列不等式，解不等式求得t 的取值范围. 【详解】先求,AO AB AO AC ⋅⋅：如图所示，设D 是线段AB 的中点，由于O 是三角形ABC 外接圆的圆心，故OD AB ⊥，所以211cos ,1822AO AB AB AO AO AB AB AB AB ⋅=⋅⋅=⋅== ，同理可得211cos ,3222AO AC AC AO AO AC AC AC AC ⋅=⋅⋅=⋅== .由于(,)AO AB AC R αβαβ=+∈u u u ru u u ru u u r故221832AO AB AB AB AC AO ACAC AB AC αββα ⋅=+⋅= ⋅=+⋅= ，即43cos 268cos 3A A βααβ+= += ，解得2234cos 6sin 43cos 8sin A AA A αβ− = − =，将上式代入21sin ()2A t αβ⋅+−并化简得2123cos cos 238A t A −+ ，由于1cos 1A −<<，依题意2123cos cos 238A t A−+ 有最小值，结合二次函数的性质可知当233811122t −+−<−<×时，2123cos cos 238A t A−+ 有最小值.由233811122t −+−<−<×解得33151616t −<<.故答案为：3315(,)1616−.【点睛】本小题主要考查平面向量的数量积的运算，考查圆的几何性质，考查方程的思想，考查二次函数在给定区间上有最小值问题的求解策略，考查化归与转化的数学思想方法，综合性很强，属于难题. 13．B【分析】若m α⊥，m n ⊥，则n α∥或n ⊂α，A 错；由线面平行的性质可判断B 正确；由面面垂直的性质定理判断C 错；由线面平行的判定定理即可得出D 错. 【详解】对于A ，若m α⊥，m n ⊥，则n α∥或n ⊂α，故A 错误； 对于B ，若m α ，m β ，过m 作平面与α，β分别交于直线a ，b ， 由线面平行的性质得m a ，m b ，所以a b ， 又b β⊂，a β⊄，所以a β∥，又n ⊂α，n αβ= ，所以a n ∥，所以m n ∥，故B 正确； 对于C ，由面面垂直的性质定理可得， 当m α⊂时，m β⊥，否则不成立，故C 错误；对于D ，若m n ∥，n ⊂α，则m α 或m α⊂，故D 错误.故选：B14．C【分析】由动点P 满足()1OP OD OC λλ=−+ ，且11λλ−+=，得到,,P C D 三点共线，进而得到答案.【详解】由动点P 满足()()1R OP OD OC λλλ=−+∈ ，且11λλ−+=， 所以,,P C D 三点共线，又因为D 为,A B 的中点，所以CD 为ABC 的边AB 的中线，所以点P 的轨迹一定过ABC 的重心.故选：C.15．C【分析】画出翻折之后的立体图形，根据点线面之间的位置关系以及平行与垂直的相关定理，可以证明或证伪相关命题.【详解】翻折之后如图所示：�因为3AD AE =，3BC BF =，所以//AB EF 且//EF CD ，因此//AB CD ，故选项A 成立；�连接FD ，因为P Q 、分别为FA FD 、的中点，所以//PQ AD ，又因为AB AD ⊥，所以AB PQ ⊥，故选项B 成立；�因为//PQ AD ，∩=ED AD D ，所以PQ 与ED 不平行，故选项C 不成立；�因为//PQ AD ，且PQ ⊄平面ADE ，AD ⊂平面ADE ，所以//PQ 平面ADE ，故选项D 成立.故选：C16．C【分析】设12,(,,,),a bi c di a b c d R ωω=+=+∈从而可得22()()4,a c b d −+−=即12,ωω对应平面内距离为2的点，从而利用数学结合求解即可.【详解】设12,(,,,),a bi c di a b c d R ωω=+=+∈ 12124w w w w −=− ,∴1212()()4w w w w −−=, 即[()()][()()]4,a c b d i a c b d i −−−⋅−+−=化为22()()4,a c b d −+−=故12,ωω对应平面内距离为2的点，如下图中F G 、,{}1,3j a w z −∈,a z 与12,ωω对应点的距离为1或3,构成了点A B C D E 、、、、共5个点，故k 的最大值为5.故选：C.【点睛】方法点睛：(1)本题是复数的综合应用，考查的主要是复数的模的几何意义的应用．(2)解决这类问题的关键是利用数形结合的思想方法，利用复数的模的几何意义进行求解． 17．(1)23π； (2)7.【分析】（1）根据题意先求出a b →→⋅，进而根据平面向量的夹角公式求出答案；（2）将|2|a b →→+1）求出答案.【详解】（1）因为||4a →=，||3b →=，23261a b a b →→→→ −⋅+= 所以22426361a a b a b b →→→→→→+⋅−⋅−=，即41643961a b →→×−⋅−×=，所以6a b →→⋅=−，设,a b →→的夹角为θ，则61cos 432||||a b a b θ→→→→⋅−===−×， 因为[]0,θπ∈，所以23πθ=. （2）由（1）知6a b →→⋅=−，所以|2|a b →→+=7=.18．(1)详见解析.(2)详见解析.【分析】（1）根据中位线平行于底边知，//EF PC ,利用线面平行的判定定理即可证明； （2）先证明出AF ⊥平面PBC ,即可证明出结论.【详解】（1） 点F 是PB 的中点,当点E 为BC 中点时，可得//EF PC ，又EF ⊄平面,PAC PC ⊂平面,PAC∴//EF 平面PAC .（2）,PA AB = 点F 是PB 的中点,,AF PB ∴⊥又PA ⊥底面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ,PA BC ∴⊥,又四边形ABCD 是矩形，,BC AB ∴⊥又,PA AB A ∩=BC ∴⊥平面,PAB AF ⊂平面PAB ,BC AF ∴⊥又,PB BC B ∩=AF ∴⊥平面,PBC 又PE ⊂平面PBC ,,AF PE ∴⊥∴无论点E 在边BC 的何处，都有PE AF ⊥.19．(1)－2 (2)±±【分析】（1）利用2z z z =⋅，结合韦达定理可求解.（2）分讨论方程的两根为实根还是虚数根两种情况讨论，结合韦达定理可求解.【详解】（1）解：因为29z z z =⋅=，所以3z =，因为4z z +=−，所以1z =−，所以1z =+，由韦达定理可得2m z z −=+=，所以2m =−；（2）解：若方程的两根为实数根，则12x x −=解得m =±若方程的两根为虚数根，则设1i x a b =+，2i,,R x a b a b =−∈，可得122x x b −==则1x a =，2x a =，21239x x a +，所以26a =，所以a =由韦达定理可得12m x x −=+=±，所以m =± 此时2360m ∆=−<，满足题意，综上，m =±±20．(1)||α= ，||5β=(2)�证明见解析；�31i 22z =−【分析】（1）根据题目中复向量的模长公式计算即可；（2）�利用模长公式和复数的三角不等式，以及a b a b ⋅≤ 的坐标表示，即可证明结论成立；�根据�中等号成立的条件，结合题意即可求出z 和z 的值．【详解】（1）因为(1i,i)α=− ，所以()(1i)1i i i (1i)(1i)i (i)213αα⋅=−−+⋅=−++⋅−=+= ，可得α 的模为||α=因为(3,4)β= ，所以3344334425ββ⋅=×+×=×+×= ，所以β 的模为||5β=； （2）因为()()''1212,,,z z z z αβ== ，所以''1122z z z z αβ⋅=+ ，由复数的三角不等式''''''112211221122z z z z z z z z z z z z +≤+=+， 由a b a b ⋅≤，得1≤，所以1212x x y y +≤αβ=， 综上所知，||||||.a a ββ⋅≤�考虑�中等号成立的条件知，对于复数的三角不等式，复向量各分量均不为零时，其等号成立的条件是存在非负实数k ，使得''1122kz z z z =， 若复向量()1i,12i α=+− 与()i,z β= 平行，则(1i)i 31i 12i 55k z k +⋅ ==+ −，中等号成立的条件，应有''1221z z z z =， 则|12i ||i ||1i |z −==+ 结合31i 55z k =+ ，得，解得52k =； 所以53131i i 25522z =+=+ ，所以31i 22z =−． 21．； (2)�510j k −−；�最大值为225−，最小值为1350−. 【分析】（1）根据,,i B P C 共线，将i OP u u u r 用OB OC ，u u u r u u u r 表示，求和后再求模长；（2）（i ）根据数量积定义计算；（ii ）将i j j k k i OP OQ OQ OL OL OP ⋅+⋅+⋅ 用,,i j k 表示，依次视为,,i j k 的函数讨论单调求最值.【详解】（1）当2023n =时，12023120242024OP OB OC =+ ，22022220242024OP OB OC =+ ，……，20231202320242024OP OB OC =+ ， 122023202320221122023()()202420242024202420242024OP OP OP OB OC ∴++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+ 2023202322OB OC +u u u r u u u r 1220232023202322OC OP OP OP OB OB OB OC OC ∴+++⋅⋅⋅++++=+u u u r u u u r u u u r u u u u u r u u u u u r u u u r u u u r u r u u u r 20252OB OC +u u u r u u u r 又ABC 为等边三角形，且边长为1，O 为外接圆的圆心，OB ∴,120OB OC =o u u u r u u u r ，222221122()23OB OC OB OC OB OC ∴+++⋅++− ，则OB +12202320252OB OC OP OP OP OB ∴+++⋅⋅⋅+++=u u u r u u u r u u u r u u u u u r u u u r u u r u （2）�ABC 为等边三角形，O 为外接圆的圆心，30OAB OAC ∴∠=∠= ， 则,150j AQ OA =o u u r u u u u r ，,150k AL OA =o u u r u u u r ，又4n =，,j k Q L ∴分别为,AC AB 的5等分点，又1ACAB ==， 55,5jk j k AQ AL −∴==； cos150cos150j k j k OA AQ OA AL OA AQ OA AL ∴⋅+⋅=⋅+⋅ 555((55101010j k j k j k −−−−×+×=−−= �2()()i j i j i j i j OP OQ OC CP OC CQ OC OC CP OC CQ CP CQ ⋅=+⋅+=+⋅+⋅+⋅ ， 155cos150cos150cos 6035555i j i j i j OP OQ −−∴⋅=+× 155115355552650i j i j i ij −−−=××=−+； 同理可得：15650j k j jk OQ OL −⋅=−+ ；15650k i k ki OL OP −⋅=−+ ； 15()()250i j j k k i i j k ij jk ik OP OQ OQ OL OL OP ++−++∴⋅+⋅+⋅=−+ ； 令()()5515()()1250250j k i j k jk i j k ij jk ik S −−++−++−++=−+=−+ 1）当5j k +≥时，1i =时，()()max 5454411250250j k jk k j k S ++−+−+=−+=−+， 4k ≤ ，4j ∴=时取最大值， 则()max 54441422505025k k S +−+=−+=−=−； 4i =时，()()min 2020111250250j k jk k j k S ++−+−+=−+=−+， 1k ≥ ，4j ∴=时取最小值，则()min 204113125050k k k S +−+−−=−+=， 则当4k =时，min 1350S =−； 2）当5j k +<时，4i =时，()()max 2020111250250j k jk k j k S ++−+−+=−+=−+， 1k ≥ ，1j ∴=时取最大值，则max 1201422505025k k S +−+=−+=−=−； 1i =时，()()min 5454411250250j k jk k j k S ++−+−+=−+=−+， 4k ≤ ，1j ∴=时取最小值，则min 193250k S +=−+， 则当1k =时，min 1121325050S =−+=−； 综上所述：i j j k k i OP OQ OQ OL OL OP ⋅+⋅+⋅ 的最大值为225−，最小值为1350−． 【点睛】关键点点睛：求5()()i j k ij jk ik ++−++的最值利用函数的单调性求最值，先整理为()()55j k i j k jk −−++−的形式，视为关于i 的一次函数， 讨论5j k −−的正负确定单调性，确定在1i =或4i =时取得最值，类似的，下一步再视为关于j 的一次函数求最值，最后再视为关于k 的一次函数求最值.。

上海市上海中学2020学年高一数学下学期期末考试试题(含解析)

上海市上海中学2020学年高一数学下学期期末考试试题(含解析)

上海市上海中学2020学年高一数学下学期期末考试试题（含解析）一、选择题。

1.1lim 1n n →∞⎛⎫-= ⎪⎝⎭__________. 【答案】1【解析】【分析】 由1lim=0x n→∞即可求得 【详解】11lim(1=lim1lim =1-0=1x x x n n →∞→∞→∞--） 【点睛】利用和或差的极限等于极限的和或差，此题是一道基础题。

2.已知等差数列13,21,2,n a a d ===则n = ．【答案】10【解析】试题分析：根据公式，()11n a a n d =+-，将13,21,2,n a a d ===代入，计算得n=10． 考点：等差数列的通项公式．3.数列{}n a 中，已知*41322,n n n a n N =-+∈•，50为第________项.【答案】4【解析】【分析】方程变为4132-48=0n n -•，设2n x =，解关于x 的二次方程可求得。

【详解】*41322,n n n a n N =-+∈•，则5041322n n =-+•，即4132-48=0n n -•设2n x =，则213480x x --=，有16x =或3x =-取16x =得216n =，4n =，所以是第4项。

【点睛】发现242n n =（），原方程可通过换元，变为关于x 的一个二次方程。

对于指数结构242n n =（），293n n =（），2255n n =（）等，都可以通过换元变为二次形式研究。

4.{}n a 等比数列，若1234126,52a a a a a ++=-=，则n a =_______.【答案】123n -•【解析】【分析】将1234126,52a a a a a ++=-=这两式中的量全部用1,a q 表示出来，正好有两个方程，两个未知数，解方程组即可求出。

【详解】12326a a a ++=相当于211=26a q q ++（）， 4152a a -=相当于3211-1=(1)(1)52a q a q q q -++=（）， 上面两式相除得12,q -=3q ∴=代入就得12a =，123n n a -∴=g【点睛】基本量法是解决数列计算题最重要的方法，即将条件全部用首项和公比表示，列方程，解方程即可求得。

上海市上海中学高一数学下学期期末考试试题(含解析)

上海市上海中学高一数学下学期期末考试试题(含解析)
考点：等差数列的通项公式．
3。数列 中,已知 ，50为第________项.
【答案】4
【解析】
【分析】
方程变为 ，设 ，解关于 的二次方程可求得.
【详解】 ，则 ,即
设 ,则 ，有 或
取 得 ， ，所以是第4项.
【点睛】发现 ，原方程可通过换元，变为关于 的一个二次方程。对于指数结构 ， , 等，都可以通过换元变为二次形式研究。
11。一个三角形的三条边成等比数列, 那么， 公比q的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【详解】设三边按递增顺序排列为 ， 其中 。
则 ， 即 。解得 .
由q≥1 知q的取值范围是1≤q< .
设三边按递减顺序排列为 ，其中 .
则 ,即 .
解得 .
综上所述, .
12。数列 满足 ，当 时， ，则是否存在不小于2的正整数 ，使 成立?若存在，则在横线处直接填写 的值；若不存在,就填写“不存在”_______。
(2)对一切正整数n,有 ，
考虑当 时， ，再由裂项相消求和,即可得证。
【详解】(1）
当 时，
两式做差得
，
，当 时，上式显然成立， 。
(2）证明：当 时,
可得
由
可得
即有 <
则当 时，不等式成立.
检验 时，不等式也成立，综上对一切正整数n，有 。
【点睛】本题考查数列递推式，考查数列求和,考查裂项法的运用，确定数列的通项是关键．
二、选择题。
13.已知等差数列 的公差为2，前 项和为 ，且 ，则 的值为
A. 11B。 12C. 13D. 14
【答案】C
【解析】
【分析】
利用等差数列通项公式及前n项和公式，即可得到结果。

高一下学期期末考试数学试卷含答案(上海市)

高一下学期期末考试数学试卷含答案(上海市)

第一学期期末质量测试高一数学一、填空题（本题共36分）1. 函数)10(≠>=a a a y x且的图像均过定点____________________ 2. 请写出“好货不便宜”的等价命题：_________________. 3. 若集合{}|1A x x =≤，{}|B x x a =≥满足{1}A B =，则实数a = ．4. 不等式01|1|2<--x 的解集是 .5. 若(1)21f x x +=-，则=)1(f .6. 不等式023≥--x x 的解集为________ 7. 设函数()(1)()f x x x a =++为偶函数，则a = .8. 设1)(2+=x x x f，()g x =)()(x g x f ⋅= . 9.设5:-≤x α或1≥x ，1232:+≤≤-m x m β，若α是β的必要条件，求实数m 的取值范围_______________. 10. 函数221()2x y -=的值域是 .11. 已知0ab,且14=+b a ，则11a b的最小值为__________ 12. 已知函数(12)(1)()4(1)x a x f x a x x⎧-<⎪=⎨+≥⎪⎩在R 上是增函数，则实数a 的取值范围是 .二、选择题（本题共12分）13．设x 取实数，则()f x 与()g x 表示同一个函数的是 （ ）A.22)(,)(x x g x x f == B. 22)()(,)()(x xx g x x x f == C. 0)1()(,1)(-==x x g x fD. 3)(,39)(2-=+-=x x g x x x f 14.已知11:<-x α，a x ≥:β，若α是β的充分非必要条件，则实数a 的取值范围是( )A.0≥a B.0≤a C.2≥a D.2≤a15．若函数)1,0()1()(≠>--=-aaaakxf xx在R上既是奇函数，又是减函数，则)(log)(kxxga+=的图像是（）A. B. C. D.16.定义一种新运算：⎩⎨⎧<≥=⊗)(,)(,babbaaba，已知函数xxxf22)(⊗=，若函数kxfxg-=)()(恰有两个零点，则实数k的取值范围为（）A.(0,1)B.C.),2[+∞ D. ),2(+∞三、解答题（本题共8+8+10+12+14分）17．解不等式组⎪⎩⎪⎨⎧>-+≥--22162xxxx.18.已知不等式）Rmmxx∈<+-(022的解集为{}1,x x n n R<<∈，函数)(2)(2Raaxxxf∈+-=.（1）求,m n的值；（2）若()y f x=在]1,(-∞上单调递减，解关于x的不等式0)23(log2<-++mxnxa.19. 某工厂某种航空产品的年固定成本为250万元，每生产x件．，需另投入成本为()C x，当年产量不足80件时，21()103C x x x=+（万元）.当年产量不小于80件时，10000()511450C x x x=+-（万元）.每件．．商品售价为50万元.通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完.（1）写出年利润()L x （万元）关于年产量x （件．）的函数解析式； （2）年产量为多少件．时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？20. 设幂函数),()1()(Q k R a x a x f k ∈∈-=的图像过点)2,2(. (1)求a k ,的值;(2) 若函数()()21h x f x b =-+-在]2,0[上的最大值为3，求实数b 的值．21. 已知函数()1log 1ax f x x -=+（其中0a >且1a ≠），()g x 是()2f x +的反函数. （1）已知关于x 的方程()()()log 17amf x x x =+-在[]2,6x ∈上有实数解，求实数m 的取值范围；（2）当01a <<时，讨论函数()f x 的奇偶性和单调性；（3）当01a <<，0x >时，关于x 的方程()()2230g x m g x m +++=有三个不同的实数解，求m 的取值范围.参考答案一、填空题（本题共36分）1. （0,1）2. 便宜没好货3. 14. )23,21( 5. 1- 6. ),3[)2,(+∞⋃-∞7. 1-8. )0()01(∞+-∈，，，xx9.3-≤m或2≥m10. (0,4]11. 912. [1,0)-二、选择题（本题共12分）13．设x取实数，则()f x与()g x表示同一个函数的是（ B ）A.22)(,)(xxgxxf== B.22)()(,)()(xxxgxxxf==C. 0)1()(,1)(-==xxgxf D. 3)(,39)(2-=+-=xxgxxxf14.已知11:<-xα，ax≥:β，若α是β的充分非必要条件，则实数a的取值范围是( B )A.0≥a B.0≤a C.2≥a D.2≤a15．若函数)1,0()1()(≠>--=-aaaakxf xx在R上既是奇函数，又是减函数，则)(log)(kxxga+=的图像是（ A ）A. B. C. D.16.定义一种新运算：⎩⎨⎧<≥=⊗)(,)(,babbaaba，已知函数xxxf22)(⊗=，若函数kxfxg-=)()(恰有两个零点，则实数k的取值范围为（ D ）A.(0,1)B.]2,1(C.),2[+∞ D. ),2(+∞三、解答题（本题共8+8+10+12+14分）17．解不等式组⎪⎩⎪⎨⎧>-+≥--22162xxxx.解：解062≥--xx得：2-≤x或3≥x；解221>-+xx得52<<x；即不等式组的解集为)5,3[。

上海市高一数学下学期期末考试复习卷(含解析)

上海市高一数学下学期期末考试复习卷(含解析)
【点睛】本题考查了数列的递推式，考查了判断数列是等差数列的方法，属于中档题.
11.分形几何学是美籍法国数学家伯努瓦. .曼德尔布罗特在20世纪70年代创立的一门新学科，它的创立，为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路，如图是按照一定的分形规律生产成一个数形图，则第13行的实心圆点的个数是______.
【答案】C
【解析】
【分析】
设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，由a5+a21=2a1+24d的值为已知，再利用等差数列的求和公式，即可得出结论．
【详解】设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，∵已知a5+a21的值，
∴2a1+24d的值为已知，∴a1+12d的值为已知，∵
∴我们可以求得S25的值．
（2）设 ，若 ，求最大正整数
【答案】（1）证明见解析；（2） ．
【解析】
【分析】
(1)根据递推关系式取倒数构造 并根据等比数列定义证明，（2）先利用分组求和法，根据等比数列求和公式求 ，最后根据数列单调性求正整数k的最大值．
【详解】（1） ，
所以 ．
又 ，
所以 ，
所以数列 为等比数列．
（2）由（1）可得 ，
数列{an}的前2021项和为：
（a1+a2+a3+a4+a5+a6）+…+（a2021+a2021+a2021+a2021+a2021+a2021）+a2022+a2021，
＝0+0+…+0+（a1+a2）
＝3．
故答案为：3
【点睛】本题考查的知识要点：数列的递推关系式的应用，数列的周期的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题．

2022-2023学年上海市闵行中学高一下学期期末考数学试卷含详解

2022-2023学年上海市闵行中学高一下学期期末考数学试卷含详解

闵行中学高一期末数学试卷2023.06一､填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分）1.已知复数z 满足()1i iz -=（i 为虚数单位），则z 的虚部为_____________．2.已知O 为坐标原点，点()()1,1,1,3B OA AB -=-，则AOB ∠=__________.3.向量()()1,1,2,3a b =-=，则向量b 在a上的数量投影是__________.4.设i 为虚数单位，若关于x 的方程x 2－(2＋i )x ＋1＋mi ＝0(m ∈R )有一实根为n ，则m ＝________.5.已知角α的顶点是坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，它的终边过点34,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则cos 2=α___________.6.已知复数z 满足2260z z -+=，则z =__________.7.若π3x =是方程()2cos 1x α+=的解，其中[)0,2πα∈，则α的取值集合是__________.8.如图，矩形,6,3,ABCD AB AD P Q R ==､､分别是矩形边AB CD AD ､､上的点，其中1AR =，以RP RQ ､为邻边的矩形RPTQ 的面积记为S ，则S 的最小值是__________.9.已知ABC 中，113,2,22AB AC AD AB AC ===+ ，且1AD =，则BAC ∠=__________.10.已知平面向量a b c ､､，其中,120,||2,||4,4a b a b a c b c ︒〈〉===⋅+⋅= ，则c b- 的取值范围是__________.11.已知函数()()π2sin 04f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在区间[]1,1-上的值域为[],m n ，且 3n m -=，则ω的值为______．12.在以O 为原点的坐标平面上，有一组互不相等的单位向量12n OA OA OA ､､､，若存在单位向量OP 满足120n OP OA OP OA OP OA ⋅+⋅++⋅= ，则称OP是向量组1OA ､2n OA OA ､､的特征向量.已知()1211,0,,22OA OA ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭ ，向量OP 是向量组123OA OA OA ､､的特征向量，且3OP OA ⋅ 取最大值时，13cos ,OA OA =__________.二､选择题（本大题共4题，满分20分）13.i z b =（i 为虚数单位，0,≠∈R b b ）是()22||z z z ≠∈C 的（）条件A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要14.函数cos 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像F 可按向量d 方向平移到图像F '（平移距离为d ），F '的函数解析式为()y g x =，当()y g x =为奇函数时，向量d可以等于（）A .π,03⎛⎫- ⎪⎝⎭B.π,06⎛⎫-⎪⎝⎭C.π,06⎛⎫⎪⎝⎭D.π,04⎛⎫⎪⎝⎭15.如图是函数()sin 6f x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭在一个周期内的图像，该图像分别与x 轴､y 轴相交于A ､B 两点，与过点A 的直线相交于另外两点C ､D ，i为x 轴上的基本单位向量，则()BC BD i +⋅=（）A.-1B.56-C.56D.5316.已知直角坐标平面上的向量()1,0a = 和一组互不相等非零向量12n b b b ､､､满足：(),12012i a b i n ==､､､.若存在i b ，对任意t ∈R ，使得()()2i i a tb a b -+⋅+为定值，则满足要求的i b 的个数最多是（）个A.2B.3C.4D.无数三､解答题（本大题共有5题，满分76分）17.已知a ∈R ，复数12321i,1i,1a z a z z a+=-+=-=-在复平面上对应的点分别为,A B C O ､､为坐标原点.（1）求12z z +的取值范围；（2）当A B C ､､三点共线时，求三角形AOB 的面积.18.已知函数()()2cos sin cos 1,R f x x x x x =-+∈.（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）求函数()f x 在区间π3π,84⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值和最大值及相应的x 取值.19.剪纸又叫刻纸，是一种镂空艺术，是中国汉族最古老的民间艺术之一，如图，纸片为一圆形，直径20cm AB =，需要剪去四边形1CEC D ，可以经过对折，沿DC EC ､裁剪，展开就可以得到.已知点C 在圆上，且10cm,30AC ECD ∠== ，记,,CE a CD b ED c ===.（1）求AC 在AB上的投影；（2）若3c =，求镂空四边形1CEC D 的周长.20.定义在R 上的函数()()πsin 0,0,02f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>≤≤⎪⎝⎭，已知其在()0,7πx ∈内只取到一个最大值和一个最小值，且当πx =时函数取得最大值为3；当6πx =，函数取得最小值为3-.（1）求出此函数的解析式；（2）是否存在实数m ，满足不等式()()sin sin A A ϕϕ+>+，若存在求出m 的取值范围，若不存在，请说明理由；（3）若将函数()f x 的图像保持横坐标不变，纵坐标变为原来的13得到函数()g x ，再将函数()g x 的图像向左平移()000ϕϕ>个单位得到函数()h x ，已知函数()()10lg g x y h x =+的最大值为10，求满足条件的0ϕ的最小值.21.已知,,ABC AB AC P ⊥ 是平面上一点，2AP =，且1,2AP AB AP AC ⋅=⋅=.（1）若,6AP AB π= ，求,AB AC ；（2）若()1,0,2AB AC AQ AP BQC πλλ∠===≠= ，求实数λ的值；（3）求AB AC AP ++的最小值.闵行中学高一期末数学试卷2023.06一､填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分）1.已知复数z 满足()1i iz -=（i 为虚数单位），则z 的虚部为_____________．【答案】12##0.5【分析】利用复数除法运算可求得z ，由虚部定义可得结果.【详解】由()1i i z -=得：()()()i 1i i 1i 11i 1i 1i 1i 222z +-+====-+--+，z ∴的虚部为12.故答案为：12.2.已知O 为坐标原点，点()()1,1,1,3B OA AB -=-，则AOB ∠=__________.【答案】4π【分析】利用向量的坐标运算得到点A 坐标，然后利用数量积求夹角即可.【详解】设点(),A x y ，所以(),OA x y = ，()1,1OB = ，()1,1AB x y =-- ，()21,21OA AB x y -=--，因为()1,3OA AB -=- ，所以211213x y -=-⎧⎨-=⎩，解得02x y =⎧⎨=⎩，2cos 2OA OB AOB OA OB ⋅∠===，因为[]0,AOB π∠∈，所以4AOB π∠=.故答案为：4π.3.向量()()1,1,2,3a b =-=，则向量b 在a 上的数量投影是__________.【答案】22-【分析】利用数量投影公式即可解.【详解】b 在a 上的数量投影为·2cos ,2b a b b a a ⨯+-⨯===-.故答案为：22-4.设i 为虚数单位，若关于x 的方程x 2－(2＋i )x ＋1＋mi ＝0(m ∈R )有一实根为n ，则m ＝________.【答案】1【分析】利用根与系数关系列方程，化简求得m 的值.【详解】设12,x x 是方程()2210x i x mi -+++=的两个根，其中1x n =.则122212222211x x n x i n i x x x n x mi n x mi +=+=+=+-⎧⎧⇒⎨⎨⋅=⋅=+⋅=+⎩⎩，设2x a bi =+，则()()221n i a bi a b i =+-+=-+-，由于n 为实数，所以1210,1,2,b b x n a x a i -====-=+，()()21a a i mi -+=+，()2221a a a i mi -+-=+，2212a a a m ⎧-=⎨-=⎩，解得1a m ==.故答案为：15.已知角α的顶点是坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，它的终边过点34,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则cos 2=α___________.【答案】725-【分析】利用任意角的三角函数的定义求得tan α的值，进而根据二倍角的余弦公式，同角三角函数基本关系式即可求解．【详解】因为角α的顶点是坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，它的终边过点34(,)55P -，所以445tan 335α==--，所以222222161cos sin 1tan 79cos 216cos sin 1tan 2519ααααααα---====-+++．故答案为：725-．6.已知复数z 满足2260z z -+=，则z =__________.【答案】【分析】根据一元二次方程复数根的求解可得复数，即可由模长公式求解.【详解】将z 看作是关于z 的一元二次方程2260z z -+=的根，则225i12z ±==±，所以z ==，7.若π3x =是方程()2cos 1x α+=的解，其中[)0,2πα∈，则α的取值集合是__________.【答案】4π0,3⎧⎫⎨⎬⎩⎭【分析】得到1cos 2π3α⎛⎫+=⎪⎝⎭，结合[)0,2πα∈，从而列出方程，求出答案.【详解】由题意得1cos 2π3α⎛⎫+=⎪⎝⎭，因为[)0,2πα∈，所以ππ7π,333α⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭，故ππ33α+=或5π3，解得0α=或4π3.故答案为：4π0,3⎧⎫⎨⎩⎭8.如图，矩形,6,3,ABCD AB AD P Q R ==､､分别是矩形边AB CD AD ､､上的点，其中1AR =，以RP RQ ､为邻边的矩形RPTQ 的面积记为S ，则S 的最小值是__________.【答案】4【分析】设RQ a =（373a ≤≤），表示出DQ ，然后由RDQ ∽PAR △可表示出PR ，求出矩形RPTQ 的面积，换元后利用基本不等式求最小值即可.【详解】设RQ a =（373a ≤≤），因为1AR =，3AD =，所以2RD =，所以DQ ==因为四边形RPTQ 为矩形，所以RP QR ⊥，所以90PRA QRD ∠+∠=︒，因为90PRA APR ∠+∠=︒，所以QRD APR ∠=∠，所以RDQ ∽PAR △，所以DQ RQAR PR=，即1a a PR=，所以PR =，所以矩形RPTQ 的面积2S QR PR =⋅=，令t =，则224a t =+，06t ≤≤，所以2444t S t t t +==+≥=，当且仅当4t t =，即2t =时取等号，所以当a =S 取得最小值4.故答案为：49.已知ABC 中，113,2,22AB AC AD AB AC ===+ ，且1AD = ，则BAC ∠=__________.【答案】3πarccos 4-【分析】根据1122AD AB AC =+ ，结合向量的数量积的运算公式，求得3cos ,4AB AC =- ，即可求解.【详解】在ABC 中，113,2,22AB AC AD AB AC ===+，且1AD = ，可得22224()2AD AB AC AB AC AB AC =+=++⋅ ，所以494232cos ,AB AC =++⨯⨯ ，解得3cos ,4AB AC =- ，因为cos ,[0,π]AB AC ∈ ，所以3πarccos 4-.故答案为：3πarccos 4-.10.已知平面向量a b c ､､，其中,120,||2,||4,4a b a b a c b c ︒〈〉===⋅+⋅= ，则c b - 的取值范围是__________.【答案】⎫+∞⎪⎭【分析】根据题目条件建立直角坐标系,分别求出a b､坐标，进而求出结果.【详解】如图所示建立直角坐标系，(2,0),120A BOA ︒∠=，则(2,B -,(2,0)a OA ==，(2,b OB ==- ，设(,)c x y =，则224x x --=，所以233y =，43(2,3c b x -=-- ,433c b -=≥，故答案为：⎫+∞⎪⎭.11.已知函数()()π2sin 04f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在区间[]1,1-上的值域为[],m n ，且 3n m -=，则ω的值为______．【答案】5π12##5π12【分析】根据函数值域满足3n m -=，结合正弦函数的图象可知ππ46ω+=-时满足题意，得解.【详解】[]1,1x ∈- ，令π4t x ω=+，πππ444t x ωωω∴-+≤=+≤+,0ω>,3n m -= ，作出函数2sin y t =的图象，如图，由图可知，以π4为中心，当0ω>变大时，若π04ω<<，函数最大值2y →，最小值0y →，不满足3n m -=，若π4ω≤时，函数最大值2y =，所以只需要确定函数最小值，因为3n m -=，需函数最小值为1y =-，所以当ππ46ω-+=-时，即5π12ω=时，函数值域为[1,2]-，满足3n m -=，当5π12ω<时，函数最小值1y <-，此时不满足3n m -=，综上5π12ω=.故答案为：5π12.12.在以O 为原点的坐标平面上，有一组互不相等的单位向量12n OA OA OA ､､､，若存在单位向量OP满足120n OP OA OP OA OP OA ⋅+⋅++⋅= ，则称OP是向量组1OA ､2n OA OA ､､的特征向量.已知()1211,0,,22OA OA ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭，向量OP是向量组123OA OA OA ､､的特征向量，且3OP OA ⋅ 取最大值时，13cos ,OA OA =__________.【答案】36-±【分析】根据题意可设()()3cos ,sin ,cos ,sin OA OP ααθθ== ，表示出3OP OA ⋅ ，利用三角函数求出3OP OA ⋅取最大值时πcos 63θ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，再求出13cos<,OA OA > 即可.【详解】设()()3cos ,sin ,cos ,sin OA OP ααθθ==，又()1211,0,,22OA OA ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭，由()1230OP OA OA OA ⋅++=，可得()312335πcos sin 226OP OA OP OA OA θθθ⎛⎫⋅=-⋅+=--=+ ⎪⎝⎭,又[]3cos cos sin sin cos()1,1OP OA θαθααθ⋅=⋅+⋅=-∈-,所以当3OP OA ⋅ 取最大值时，31OP OA ⋅=，此时5πcos 63θ⎛⎫+=⎪⎝⎭，3cos()1OP OA αθ⋅=-= ,所以2π(Z)k k αθ=+∈,π5π3cos cos π663θθ⎛⎫⎛⎫-=+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以π6sin 63θ⎛⎫-=± ⎪⎝⎭所以13ππcos<,cos cos cos 66OA OA αθθ⎛⎫>===-+ ⎪⎝⎭ ππππcos cos sin sin6666θθ⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3π1πcos sin 2626θθ⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭366-±=.故答案为：36-±.二､选择题（本大题共4题，满分20分）13.i z b =（i 为虚数单位，0,≠∈R b b ）是()22||z z z ≠∈C 的（）条件A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要【答案】A【分析】根据复数的模长以及乘方的运算，结合充分不必要条件的判断即可求解.【详解】由i z b =，0,≠∈R b b ，则2222,||,z b b z =-=满足()22||z z z ≠∈C ，故充分性成立，当1i,z =+则2|R |,z ∈而2z ∈C ，满足()22||z z z ≠∈C ，但是1i z =+不为纯虚数，故必要性不成立，故选：A14.函数cos 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像F 可按向量d 方向平移到图像F '（平移距离为d ），F '的函数解析式为()y g x =，当()y g x =为奇函数时，向量d可以等于（）A.π,03⎛⎫-⎪⎝⎭B.π,06⎛⎫-⎪⎝⎭C.π,06⎛⎫⎪⎝⎭D.π,04⎛⎫⎪⎝⎭【答案】B【分析】根据平移变换得到()g x 的解析式，然后根据奇函数的性质求解即可.【详解】设(),0d θ= ，所以()πcos 226g x x θ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，因为()g x 为奇函数，所以()π0cos 206g θ⎛⎫=-=⎪⎝⎭，令ππ2π,Z 62k k θ-=+∈，整理得ππ,Z 62k k θ=--∈，所以d 可以等于π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭.故选：B.15.如图是函数()sin 6f x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭在一个周期内的图像，该图像分别与x 轴､y 轴相交于A ､B 两点，与过点A 的直线相交于另外两点C ､D ，i为x 轴上的基本单位向量，则()BC BD i +⋅= （）A.-1B.56-C.56D.53【答案】D【分析】根据题意先求出A ，B 的坐标，结合题意得A 为CD 的中点，2BC BD BA +=，然后结合向量数量积的坐标表示可求．【详解】由题意得5(,0)6A ，1(0,)2B ，A 为CD 的中点，5(6BA = ，1)2-，(1,0)i = ，52(3BC BD BA +== ，1)-，所以55()10(1)33BC BD i +⋅=⨯+⨯-= ．故选：D ．16.已知直角坐标平面上的向量()1,0a = 和一组互不相等非零向量12n b b b ､､､满足：(),12012i a b i n ==､､､.若存在i b ，对任意t ∈R ，使得()()2i i a tb a b -+⋅+ 为定值，则满足要求的i b 的个数最多是（）个A.2B.3C.4D.无数【答案】A 【分析】根据向量夹角关系可得12n b b b ､､､中的向量要么与13,22OM ⎛ ⎝⎭ =-同向共线，要么与13,22ON ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭=--同向共线，由数量积的运算，结合恒成立即可求解.【详解】由于平面直角坐标平面上满足与向量()1,0a = 成120的单位向量有11,,,2222OM ON ⎛⎫⎛ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭=-=--，所以12n b b b ､､､中的向量要么与13,22OM ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ =-同向共线，要么与13,22ON ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ =--同向共线，设13,,22i b xOM x ⎛= ⎝⎭ =-13,,22j b yON y i j ⎛⎫=≠ ⎪ ⎪⎝⎭=--，0,0x y >>，11cos12022i i i a b a b b x ⋅=⋅=-=- ，11cos12022j j j a b a b b y ⋅=⋅=-=- ，则()()2222222112222i i i i i a tb a b a a t t x t x t x x x x b t b a b ⎛⎫++-+⋅+=-=-+-+=-++-+- ⎪⋅⎝⎭⋅ ，由于对任意t ∈R ，()()2i i a tb a b -+⋅+ 为定值，故需满足2102x x -+=，所以1122x x ⇒=±=，由于10,2x x >∴=，此时11,,222i b ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭-同理可得12y =，113113,,,222222j i b b ⎛⎫⎛=== ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭---所以符合条件的向量最多有2个，故选：A三､解答题（本大题共有5题，满分76分）17.已知a ∈R ，复数12321i,1i,1a z a z z a +=-+=-=-在复平面上对应的点分别为,A B C O ､､为坐标原点.（1）求12z z +的取值范围；（2）当A B C ､､三点共线时，求三角形AOB 的面积.【答案】（1）[)122,z z ∞+∈+；（2）34.【分析】（1）易得122i z z a a +=-，再由221224z z a a +=+，利用基本不等式求解；（2）根据,,A B C 三点共线，由AC BC ∥得到4a =-，再利用数量积求得夹角AOB ∠，利用三角形的面积公式求解.【小问1详解】解：因为1221i,1i a z a z a +=-+=-，所以221212224i,4z z a z z a a a +=-+=+≥=，当且仅当a =时取得等号，所以[)122,z z ∞+∈+；【小问2详解】因为()2,1,2,a AC a BC a +⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭ ，且,,A B C 三点共线时，有AC BC ∥，即()()()212a a a+-⨯-=-，解得4a =-此时()15,1,1,2OA OB ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，cos ,OA OB OA OB OA OB ⋅==-⋅所以sin ,OA OB == ，所以113sin ,2224AOB S OA OB OA OB =⋅=⨯⋅ .18.已知函数()()2cos sin cos 1,R f x x x x x =-+∈.（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）求函数()f x 在区间π3π,84⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值和最大值及相应的x 取值.【答案】（1）最小正周期为π（2）38x π=时，()f x；当34x π=时，()f x 的最小值为1-.【分析】（1）化简函数为()π)4f x x =-，结合最小正周期的公式，即可求解；（2）由π3π,84⎡⎤⎢⎥⎣⎦，可得π5π20,44x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，结合三角函数的性质，即可求解.【小问1详解】解：由函数()()22cos sin cos 12sin cos 2cos 1f x x x x x x x =-+=-+πsin2cos2)4x x x =-=-，所以函数()f x 的最小正周期为2ππ2T ==.【小问2详解】解：由π3π,84⎡⎤⎢⎥⎣⎦，可得π5π20,44x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，当ππ20,42x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，即π3π,88x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 单调递增；当ππ5π2,424x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，即3π3π,84x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 单调递减，所以当38x π=时，()f x ；又由π3π3πππ0,184244f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-==- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以当34x π=时，()f x 的最小值为1-.19.剪纸又叫刻纸，是一种镂空艺术，是中国汉族最古老的民间艺术之一，如图，纸片为一圆形，直径20cm AB =，需要剪去四边形1CEC D ，可以经过对折，沿DC EC ､裁剪，展开就可以得到.已知点C 在圆上，且10cm,30AC ECD ∠== ，记,,CE a CD b ED c ===.（1）求AC 在AB 上的投影；（2）若3c =，求镂空四边形1CEC D 的周长.【答案】（1）14AB（2）【分析】（1）连接,AC BC ，因为AB 是直径，所以90BCA ∠=o ，结合直角ABC ，利用投影的公式，即可求解；（2）作CG AB ⊥，利用面积公式，求得ab ==a b +的值，即可求解.【小问1详解】解：如图所示，连接,AC BC ，因为AB 是直径，所以90BCA ∠=o ，在直角ABC 中，20cm,10cm,60AB AC CAB ∠=== ，所以AC 在AB 上的投影是()1cos604AB AC AB AB = .【小问2详解】解：如图所示，作CG AB ⊥于G ，得sin60CG CA =⋅= .由面积公式11sin3022CED S ab c CG ==⋅ ，可得ab ==由余弦定理2222cos c a b ab ECD ∠=+-，即)22292()22a b ab a b =+-⨯=+-，整理得a b +=所以镂空四边形1CEC D 的周长.20.定义在R 上的函数()()πsin 0,0,02f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>≤≤ ⎪⎝⎭，已知其在()0,7πx ∈内只取到一个最大值和一个最小值，且当πx =时函数取得最大值为3；当6πx =，函数取得最小值为3-.（1）求出此函数的解析式；（2）是否存在实数m ，满足不等式()()sin sin A A ϕϕ+>+，若存在求出m 的取值范围，若不存在，请说明理由；（3）若将函数()f x 的图像保持横坐标不变，纵坐标变为原来的13得到函数()g x ，再将函数()g x 的图像向左平移()000ϕϕ>个单位得到函数()h x ，已知函数()()10lg g x y h x =+的最大值为10，求满足条件的0ϕ的最小值.【答案】（1）()13π3sin 510f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（2）存在，1,22m ⎛⎤∈⎥⎝⎦（3）10π【分析】（1）先利用三角函数最值与周期的性质求得,A ω，再由()π3f =求得ϕ，从而得解；（2）先根据根号的性质求得m 的取值范围，再结合()f x 的单调性得到关于m 的不等式，由此得解；（3）先利用三角函数平移的性质求得()g x 与()h x ，再利用复合函数的单调性确定满足条件时()g x 与()h x 的取值，从而求得0ϕ的范围，由此得解.【小问1详解】()()max min ()π3,()6π3f x f f x f ====- ，0ω>，又()f x 在()0,7πx ∈内只取到一个最大值和一个最小值，()2π3,26ππ10πA T ω∴===⨯-=，15ω∴=，()ππ3sin 35f ϕ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，ππ2π,Z 52k k ϕ∴+=+∈，则3π2π,Z 10k k ϕ=+∈，又π02ϕ≤≤，3π10ϕ∴=，()13π3sin 510f x x ⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭.【小问2详解】假设存在实数m ，满足题设不等式，则m 满足2223040m m m ⎧-++≥⎨-+≥⎩，解得12m -≤≤，2223(1)44m m m -++=--+≤，02∴≤≤，同理02≤≤，当02πx ≤≤<时，3π13ππ105102x ≤+<，故()13π3sin 510f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在[]0,2上单调递增，若有()()sin sin A A ϕϕ>，>，即12m >成立即可，∴存在1,22m ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，使()()sin sin A A ϕϕ+>+成立.【小问3详解】由题意得()()013π13π1sin ,sin 5105105g x x h x x ϕ⎛⎫⎛⎫=+=++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 函数10x y =与函数lg y x =均为单调增函数，且()()11,01g x h x -≤≤<≤，∴当且仅当()13sin 1510g x x π⎛⎫=+=⎪⎝⎭与()0131sin 15105h x x πϕ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭同时取得才有()()10lg g x y h x =+的最大值为10,由()13πsin 1510g x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，得13ππ2π,Z 5102x k k +=+∈，则由()013π1sin 15105h x x ϕ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭，得00π11sin 2πcos 1255k ϕϕ⎛⎫⎛⎫++== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，012π,Z 5k k ϕ∴=∈，则010π,Z k k ϕ=∈，又00ϕ>，0ϕ∴的最小值为10π.【点睛】关键点睛：本题第3小问的解决关键是利用复合函数的单调性，结合三角函数的性质确定满足条件时()g x 与()h x 的取值，从而得解.21.已知,,ABC AB AC P ⊥ 是平面上一点，2AP =，且1,2AP AB AP AC ⋅=⋅= .（1）若,6AP AB π= ，求,AB AC ；（2）若()1,0,2AB AC AQ AP BQC πλλ∠===≠= ，求实数λ的值；（3）求AB AC AP ++ 的最小值.【答案】（1）3||3AB =，||2AC = （2）34λ=（3）72.【分析】（1）根据题意，直接由平面向量数量积的定义即可得到结果；（2）解法一，以A 为原点，AB 方向为x 轴正向建立平面直角坐标系，通过平面向量的坐标运算即可得到结果；解法二，由平面向量的数量积运算，即可得到结果；（3）解法一，设()(),00,B b C c ､，设()2cos ,2sin 02P πθθθ⎛⎫<< ⎪⎝⎭表示出向量的模长，然后结合基本不等式即可得到结果；解法二，建立平面直角坐标系，由平面向量的坐标运算即可得到结果.【小问1详解】31||||cos ,2||cos ||63AP AB AP AB AP AB AB AB π=⋅=⋅⋅〈〉=⋅⇒= 2||||cos ,2||cos ||23AP AC AP AC AP AC AC AC π=⋅=⋅⋅>=⋅⇒= 【小问2详解】解法一：以A 为原点，AB 方向为x 轴正向建立平面直角坐标系.1,2P P AP AB AP AC x y AB AC⋅⋅==== ，得()()()1,2,1,0,0,1P B C (),2AQ AP λλλ== 由()()()201,2,2143430BQ CQ λλλλλλλλ=⋅=-⋅-=-⇒-= 解得0λ=（舍去）和34λ=.所以满足要求的实数34λ=.解法二：由()()()()0BQ CQ AQ AB AQ AC AP AB AP AC λλ=⋅=-⋅-=-⋅- 22243AP AP AB AP AC AB AC λλλλλ=-⋅-⋅+⋅=- ()430λλ⇒-=解得0λ=（舍去）和34λ=.所以满足要求的实数34λ=.【小问3详解】解法一：设()(),00,B b C c ､，由题意可知，AP 在,AB AC 之间，设()2cos ,2sin 02P πθθθ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，12cos 12cos AP AB b b θθ⋅==⇒= ，12sin 2sin AP AC c c θθ⋅==⇒= ()2222()2AB AC AP AB AC AP AB AC AP AB AP AC ++=+++⋅+⋅+⋅22221110104cos sin AB AC θθ=++=++ ()22221110cos sin 4cos sin θθθθ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭22221sin cos 117111112,.44cos sin 442AB AC AP θθθθ⎛⎫=++≥+=++≥ ⎪⎝⎭即所以AB AC AP ++ 的最小值是72，当且仅当2tan 2θ=时等号成立.解法二：因为1,12AP AB AP AC AP AP⋅⋅== ，以A 为原点，AP 方向为x轴正向建立平面直角坐标系，设()1,(0)1,(0)2B t t C s s ⎛⎫<> ⎪⎝⎭､，满足102st +=2221117||1111212,.4442AB AC AP t s ts AB AC AP ++=++≥+=++≥ 即所以AB AC AP ++ 的最小值是72.。

上海市最新高一数学下学期期末考试试题(含解析)

上海市最新高一数学下学期期末考试试题(含解析)

上海市控江中学2021学年高一数学下学期期末考试试题（含解析）一、填空题1.函数()arcsin 2y x =-的定义域________． 【答案】[]1,3. 【解析】 【分析】根据反正弦函数的定义得出121x -≤-≤，解出x 可得出所求函数的定义域. 【详解】由反正弦的定义可得121x -≤-≤，解得13x ≤≤， 因此，函数()arcsin 2y x =-的定义域为[]1,3，故答案为：[]1,3.【点睛】本题考查反正弦函数的定义域，解题的关键就是正弦值域的应用，考查运算求解能力，属于基础题.2.函数2tan 13y x ππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的最小正周期为________． 【答案】1. 【解析】 【分析】根据正切型函数的周期公式可计算出函数2tan 13y x ππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的最小正周期.【详解】由正切型函数的周期公式得1T ππ==， 因此，函数2tan 13y x ππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的最小正周期为1，故答案为：1. 【点睛】本题考查正切型函数周期的求解，解题的关键在于正切型函数周期公式的应用，考查计算能力，属于基础题.3.已知数列{}n a 是等比数列，公比为q ，且2468a a a ⋅⋅=，754a =，则q =_________． 【答案】3. 【解析】【分析】先利用等比中项的性质计算出4a 的值，然后由374a q a =可求出q 的值. 【详解】由等比中项的性质可得632448a a a a ⋅⋅==，得42a =，所以，37454272a q a ===，3q ∴=，故答案为：3.【点睛】本题考查等比数列公比的计算，充分利用等比中项和等比数列相关性质的应用，可简化计算，属于中等题. 4.已知tan 3α=，则226cos 3sin cos 3sin cos 2sin αααααα-=-_________． 【答案】13. 【解析】 【分析】在分式中分子分母同时除以2cos α，将代数式转化为正切来进行计算.【详解】由题意得，原式222222226cos 3sin cos 63tan 6331cos cos 3sin cos 2sin 3tan 2tan 33233cos cos ααααααααααααα---⨯===-⨯-⨯-=，故答案为：13.【点睛】本题考查弦的分式齐次式的计算，常利用弦化切的思想求解，一般而言，弦化切思想主要应用于以下两种题型：（1）弦的n 次分式齐次式：当分式是关于角α的n 次分式齐次式，在分子分母中同时除以cos n α，可以将分式化为切的分式来求解；（2）弦的二次整式：当代数式是关于角α弦的二次整式时，先除以22cos sin αα+，将代数式转化为关于角α弦的二次分式齐次式，然后在分式分子分母中同时除以2cos α，可实现弦化切.5.在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边为a 、b 、c ，若4a =，6b =，9c =，则角C =________． 【答案】29arccos 48π-. 【解析】 【分析】利用余弦定理求出cos C 的值，结合角C 的取值范围得出角C 的值.【详解】由余弦定理得22222246929cos 224648a b c C ab +-+-===-⨯⨯，0C π<<，29arccos48C π∴=-，故答案为：29arccos 48π-. 【点睛】本题考查余弦定理的应用和反三角函数，解题时要充分结合元素类型选择正弦定理和余弦定理解三角形，考查计算能力，属于中等题.6.在ABC ∆中，角A 所对的边为a ，若2a =，且ABC ∆的外接圆半径为2，则A =________． 【答案】6π或56π. 【解析】 【分析】利用正弦定理求出sin A 的值，结合角A 的取值范围得出角A 的值. 【详解】由正弦定理可得4sin a A =，所以，1sin 42a A ==， 0A π<<，6A π∴=或56π，故答案为：6π或56π.【点睛】本题考查正弦定理的应用，在利用正弦值求角时，除了找出锐角还要注意相应的补角是否满足题意，考查计算能力，属于基础题.7.已知数列{}n a 满足15a =，123n n a a +=-，*n N ∈，则数列{}n a 的通项公式为n a =________．【答案】23nn a =+. 【解析】 【分析】由题意得出()1332n n a a +=--，可得出数列{}3n a -为等比数列，确定出该数列的首项和公比，可求出数列{}3n a -的通项公式，进而求出数列{}n a 的通项公式. 【详解】设()12n n a x a x ++=+，整理得12n n a a x +=+，对比可得3x =-，()1323n n a a +∴-=-，即1332n n a a +--=，且132a -=， 所以，数列{}3n a -是以2为首项，以2为公比的等比数列，13222n nn a -∴-=⨯=，因此，23n n a =+，故答案为：23nn a =+.【点睛】本题考查数列通项的求解，解题时要结合递推式的结构选择合适的方法来求解，同时要注意等差数列和等比数列定义的应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.8.已知数列{}n a的通项公式为()*124,2,21n n n n k a k N n k -+=⎧⎪=∈⎨=-⎪⎩，n S 是其前n 项和，则15S =_____．（结果用数字作答）【答案】395. 【解析】 【分析】由题意知，数列{}n a 的偶数项成等差数列，奇数列成等比数列，然后利用等差数列和等比数列的求和公式可求出15S 的值. 【详解】由题意可得()()1717151821232212281232S =+++++=+++++++()8878321221140395122⨯+-=+=-+=-，故答案为：395.【点睛】本题考查奇偶分组求和，同时也考查等差数列求和以及等比数列求和，解题时要得出公差和公比，同时也要确定出对应的项数，考查运算求解能力，属于中等题.9.在等差数列{}n a 中，若11101a a -＜，且它的前n 项和n S 有最大值，则当n S 取得最小正值时，n 的值为_______. 【答案】12. 【解析】试题分析：因为等差数列{}n a 前n 项和n S 有最大值，所以公差为负，所以由11101a a <-得1110111011100,0,0a a a a a a <-⇒+<，所以119191010()1002a a S a +==>，1202010()2a a S +=＝101110()02a a +<，所以当19n =时，n S 取到最小正值． 考点：1、等差数列性质；2、等差数列的前n 项和公式．【方法点睛】求等差数列前n 项和的最值常用的方法有：(1)先求n a ，再利用10{n n a a +≥≤或10{0n n a a +≤≥求出其正负转折项，最后利用单调性确定最值；(2)利用性质求出其正负转折项，便可求得前n 项和的最值；（3）利用等差数列的前n 项和2n S An Bn ＝＋(A B ，为常数)为二次函数，根据二次函数的性质求最值．10.已知无穷等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，且13lim 1n n q q a →∞+-⎫ ⎪⎝⎭=⎛，则首项1a 的取值范围是________． 【答案】[)()2,33,4【解析】 【分析】根据极限存在得出()(]1,00,1q ∈-，对q 分10q -<<、01q <<和1q =三种情况讨论得出1a 与q 之间的关系，可得出1a 的取值范围.【详解】由于13lim 1n n q q a →∞+-⎫ ⎪⎝⎭=⎛，则()(]1,00,1q ∈-.①当10q -<<时，则1133lim 1n n q q q a a →∞⎛⎫ =⎪+⎝⎭+-=，()132,3a q ∴=+∈； ②当01q <<时，则1133lim 1n n q qq a a →∞⎛⎫=⎪+⎝⎭+-=，()133,4a q ∴=+∈；③当1q =时，113lim 114n n q q a a →∞⎛⎫ ⎪⎝=⎭+--=，解得12a =. 综上所述：首项1a 的取值范围是[)()2,33,4，故答案为：[)()2,33,4.【点睛】本题考查极限的应用，要结合极限的定义得出公比的取值范围，同时要对公比的取值范围进行分类讨论，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.11.在数列{}()*n a n N∈中，12a=，n S 是其前n 项和，当2n ≥时，恒有n a 、n S 、2n S -成等比数列，则()2lim 1n n n n a →∞++⋅=________． 【答案】2-. 【解析】 【分析】由题意得出()22n n n S a S =-，当2n ≥时，由1n n n a S S -=-，代入()22n n n S a S =-，化简得出1122n n n S S S --=+，利用倒数法求出{}n S 的通项公式，从而得出1n n n a S S -=-的表达式，于是可求出()2lim 1n n n n a →∞++⋅的值. 【详解】当2n ≥时，由题意可得()22n n n S a S =-，即()()212n n n n S S S S -=--，化简得1122n n n n S S S S --+=，得1122n n n S S S --=+，两边取倒数得11111211222n n n n n S S S S S ----=+=+，11112n n S S -∴-=， 所以，数列{}n S 是以111112S a ==为首项，以12为公差的等差数列， ()1111222n nn S ∴=+-⋅=，2n S n∴=，则()12222211n n n a S S n n n n n n-=-=-=-=----， 因此，()()222211121lim 1li 2m lim 211n n n n n n n n n n n nn a →∞→∞→∞+++-++=-=-⋅=--+，故答案为：2-. 【点睛】本题考查数列极限的计算，同时也考查了数列通项的求解，在含n S 的数列递推式中，若作差法不能求通项时，可利用1n n n a S S -=-转化为n S 的递推公式求通项，考查分析问题和解决问题的能力，综合性较强，属于中等题.12.设集合{}2016,nA n n N =≤≤∈，它共有136个二元子集，如{}012,2、{}122,2、等等．记这136个二元子集1B 、2B 、3B 、、136B ，设{}()*,1136,i B x y i i N=≤≤∈，定义()1S B x y =-，则()()()()123136S B S B S B S B ++⋅⋅⋅+=_____．（结果用数字作答） 【答案】1835028 【解析】 【分析】分别分析中二元子集中较大元素分别为12、22、、162时，对应的二元子集中较小的元素，再利用题中的定义结合数列求和思想求出结果. 【详解】当二元子集较大的数为12，则较小的数为02； 当二元子集较大的数为22，则较小的数为02、12； 当二元子集较大的数为32，则较小的数为02、12 、22；当二元子集较大的数为162，则较小的数为02、12、22、、152.由题意可得()()()()()()10201123136222222S B S B S B S B ++⋅⋅⋅+=-+⨯--+()()301216011532222162222⨯---++⨯----()231612316121212222232162121212⎛⎫⎛⎫⎛⎫---=-+⨯-+⨯-++⨯- ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()()11223316162212221322116221=-++⨯-++⨯-+++⨯-+()2316122215216=⨯+⨯++⨯+， 令23161222152S =⨯+⨯++⨯，得31617212142152S =⨯++⨯+⨯，上式-下式得()21523161717217212222152152214212S --=+++-⨯=-⨯=--⨯-，化简得2172142S =+⨯，因此，()()()()2171231362142161835028S B S B S B S B ++⋅⋅⋅+=+⨯+=，故答案为：1835028.【点睛】本题考查新定义，同时也考查了数列求和，解题的关键就是找出相应的规律，列出代数式进行计算，考查运算求解能力，属于难题.二、选择题13.已知ϕ是常数，那么“tan 2ϕ=”是“()sin 2cos x x x ϕ++等式对任意x ∈R 恒成立”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】由辅助角公式结合条件()sin 2cos x x x ϕ+=+得出cos ϕ、sin ϕ的值，由tan 2ϕ=结合同角三角函数得出cos ϕ、sin ϕ的值，于此可得出结论.【详解】由22sin tan 2cos sin cos 1ϕϕϕϕϕ⎧==⎪⎨⎪+=⎩可得sin cos ϕϕ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或sin cos ϕϕ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，由辅助角公式)sin 2cos sin sin cos cos sin 55x x x x x x ϕϕ⎫+=+=+⎪⎪⎭()x ϕ=+，其中cos 5ϕ=，sin 5ϕ=. 因此，“tan 2ϕ=”是“()sin 2cos x x x ϕ+=+等式对任意x ∈R 恒成立”的必要非充分条件，故选：B.【点睛】本题考查必要不充分条件的判断，考查同角三角函数的基本关系以及辅助角公式的应用，考查推理能力，属于中等题.14.已知ϕ是常数，如果函数()5cos 2y x ϕ=-+的图像关于点4,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭中心对称，那么ϕ的最小值为（ ） A.3πB.4π C.6π D.2π 【答案】C 【解析】 【分析】 将点4,03π⎛⎫⎪⎝⎭的坐标代入函数的解析式，得出()4232k k Z ππϕπ⨯+=+∈，求出ϕ的表达式，可得出ϕ的最小值.【详解】由于函数()5cos 2y x ϕ=-+的图象关于点4,03π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，则45cos 203πϕ⎛⎫-⨯+= ⎪⎝⎭，()4232k k Z ππϕπ∴⨯+=+∈，则()136k k Z ϕππ=-∈， 因此，当2k =时，ϕ取得最小值6π，故选：C. 【点睛】本题考查余弦函数的对称性，考查初相绝对值的最小值，解题时要结合题中条件求出初相的表达式，结合表达式进行计算，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.15.某个命题与自然数n 有关，且已证得“假设()*n k k N=∈时该命题成立，则1n k =+时该命题也成立”．现已知当7n =时，该命题不成立，那么（ ） A. 当8n =时，该命题不成立 B. 当8n =时，该命题成立 C. 当6n =时，该命题不成立 D. 当6n =时，该命题成立【答案】C 【解析】 【分析】写出命题“假设()*n k k N=∈时该命题成立，则1n k =+时该命题也成立”的逆否命题，结合原命题与逆否命题的真假性一致进行判断. 【详解】由逆否命题可知，命题“假设()*n k k N =∈时该命题成立，则1n k =+时该命题也成立”的逆否命题为“假设当()1n k k N *=+∈时该命题不成立，则当n k =时该命题也不成立”，由于当7n =时，该命题不成立，则当6n =时，该命题也不成立，故选：C.【点睛】本题考查逆否命题与原命题等价性的应用，解题时要写出原命题的逆否命题，结合逆否命题的等价性进行判断，考查逻辑推理能力，属于中等题.16.已知*n N ∈，实数x 、y 满足关系式()2223n x y nx n +=++，若对于任意给定的*n N ∈，当x 在[)1,-+∞上变化时，x y +的最小值为n M ，则lim n n M →∞=（ ）A. 6B. 0C. 4D. 1【答案】A 【解析】 【分析】先计算出()()244lim 22222222n x x y x x x x x x →∞+=+=+-=++-+++，然后利用基本不等式可得出lim n n M →∞的值.【详解】()()2222(1)2lim lim lim 32322n n n x n x x n x y x x x nx n x x n →∞→∞→∞⎡⎤+⎡⎤⎢⎥++=+=+=+⎢⎥⎢⎥+++⎣⎦⎢⎥++⎣⎦， 由基本不等式得22444422222222x x x x x x x x x x x x -+=++=+-+=+-+++++()4226662x x =++-≥=+， 当且仅当()4222x x +=+时，由于1x≥-，即当2x =时，等号成立， 因此，lim 6n n M →∞=，故选：A. 【点睛】本题考查极限的计算，考查利用基本不等式求最值，解题的关键就是利用数列的极限计算出带x 的表达式，并利用基本不等式进行计算，考查运算求解能力，属于中等题.三、解答题17.在数列{}n a 中，112a =，43a =，且满足212n n n a a a +++=，*n N ∈. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设()121n n b n a =-，*n N ∈，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）()*153n a n n N =-=；（2）()*11114612n T n N n n ⎛⎫=-+∈ ⎪++⎝⎭. 【解析】 【分析】（1）由题意知，数列{}n a 是等差数列，可设该数列的公差为d ，根据题中条件列方程解出d 的值，再利用等差数列的通项公式可求出数列{}n a 的通项公式；（2）先求出数列{}n b 的通项公式，并将该数列的通项裂项，然后利用裂项法求出数列{}n b 的前n 项和n T .【详解】（1）对任意的*n N ∈，212n n n a a a +++=，则数列{}n a 是等差数列，设该数列的公差为d ，则4131233a a d d =+=+=，解得3d =-，()()111231153n a a n d n n =+-=--=-；（2）()()()()11111112136326221153n n b n a n n n n n n n n ⎛⎫=====- ⎪-+++⋅--⎡⎤⎝⎭⎣⎦，因此，1111111111116362463562n T n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭11111111162124612n n n n ⎛⎫⎛⎫=+--=-+ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭. 【点睛】本题考查等差数列的通项公式，同时也考查了裂项求和法，解题时要熟悉等差数列的几种判断方法，同时也要熟悉裂项求和法对数列通项结构的要求，考查运算求解能力，属于中等题.18.设函数()222cos 24sin 3f x x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，定义域为R ． （1）求函数()f x 的最小正周期，并求出其单调递减区间；（2）求关于x 的方程()2f x =的解集．【答案】（1）最小正周期为π，单调递减区间为()511,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦； （2）,412x x k x k k Z ππππ⎧⎫=-=+∈⎨⎬⎩⎭或. 【解析】 分析】（1）利用两角差的余弦公式、二倍角降幂公式以及辅助角公式将函数()y f x =的解析式化简为()223f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，由周期公式可得出函数()y f x =的最小正周期，由()3222232k x k k Z πππππ+≤-≤+∈，解出x 的范围得出函数()y f x =的单调递减区间；（2）由()2f x =1sin 232x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，解出该方程可得出结果. 【详解】（1）()222cos 24sin 3f x x xπ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭221cos 22cos 2cos sin 2sin423cos 22332x x x x x ππ-⎛⎫=++⋅=-+ ⎪⎝⎭1sin 222sin 2cos cos 2sin 2233x x x x ππ⎫⎫=+=-+⎪⎪⎪⎭⎭223x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，所以，函数()y f x =的最小正周期为22T ππ==， 由()3222232k x k k Z πππππ+≤-≤+∈，得()5111212k x k k Z ππππ+≤≤+∈， 因此，函数()y f x =的单调递减区间为()511,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（2）令()2223f x x π⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭1sin 232x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， 52236x k πππ∴-=-+或()2236x k k Z πππ-=-+∈， 解得4x k ππ=-或()12x k k Z ππ=+∈，因此，关于x 的方程()2f x =的解集为,412x x k x k k Z ππππ⎧⎫=-=+∈⎨⎬⎩⎭或. 【点睛】本题考查三角函数基本性质的求解，解题时要将三角函数解析式利用三角恒等变换思想进行化简，然后再利用相应公式或图象进行求解，考查分析问题和运算求解能力，属于中等题.19.已知函数()()21f x x =-，{}n a 是公差为d 的等差数列，{}n b 是公比为(),1q q R q ∈≠的等比数列．且()11a f d =-，()91a f d =+，()21b f q =-，()41b f q =+． （1）分别求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； （2）已知数列{}n c 满足：()*112233n n n b c b c b c b c a n N ++++=∈，求数列{}n c 的通项公式．【答案】（1）10n a n =-，23n n b -=；（2）227,11,23n n n c n -=⎧⎪=⎨-≥⎪⎩.【解析】 【分析】（1）根据题意分别列出关于d 、q 的方程，求出这两个量，然后分别求出数列{}n a 、{}n b 的首项，再利用等差数列和等比数列的通项公式可计算出数列{}n a 、{}n b 的通项公式； （2）令1n =可得出1c 的值，再令2n ≥，由112233n n n b c b c b c b c a ++++=得出112233111n n n b c b c b c b c a ---++++=，两式相减可求出n c ，于此得出数列{}n c 的通项公式.【详解】（1）由题意得()()2211244a f d d d d =-=-=-+，()291a f d d =+=，()229184444d a a d d d d =-=--+=-，解得1d =-，且()()221239a d =-=-=，()()119110n a a n d n n ∴=+-=--=-，()()2221244b f q q q q =-=-=-+，()241b f q q =+=，2242244b qq b q q ∴==-+， 0q ≠且1q ≠，整理得2430q q -+=，解得3q =，()2221b q ∴=-=，2113b b q ∴==，由等比数列的通项公式可得11211333n n n n b b q ---=⋅=⋅=； （2）由题意可知，对任意的n *∈N ，11223310n n n b c b c b c b c a n +++=+=-.当1n =时，119b c =，11927c b ∴==； 当2n ≥时，由11223310n n b c b c b c b c n ++++=-，可得1122133111n n b c b c b c b c n --++++=-，上述两式相减得1n n b c =-，即231n n c -=-，213n n c -∴=-.127c =不适合上式，因此，227,11,23n n n c n -=⎧⎪=⎨-≥⎪⎩.【点睛】本题考查等差数列、等比数列通项公式的求解，以及利用作差法求数列通项，解题时要结合数列递推式的结构选择合适的方法求解，考查运算求解能力，属于中等题.20.已知常数R λ∈且3λ>-，在数列{}()*n a n N∈中，首项1aλ=，n S 是其前n 项和，且143n n S a +=+，*n N ∈.（1）设12n n n b a a +=-，*n N ∈，证明数列{}n b 是等比数列，并求出{}n b 的通项公式； （2）设2nn n a c =，*n N ∈，证明数列{}n c 是等差数列，并求出{}n c 的通项公式； （3）若当且仅当7n =时，数列{}n S 取到最小值，求λ的取值范围． 【答案】（1）证明见解析，()1*(3)2n n b n N λ-=+⋅∈；（2）证明见解析，()()*334n N n c n λλ+-∈+=；（3）79,34⎛⎫-- ⎪⎝⎭.【解析】 【分析】（1）令1n =，求出2a 的值，再令2n ≥，由143n n S a +=+，得出143n n S a -=+，将两式相减得1144n n n a a a +-=-，再利用等比数列的定义证明1nn b b -为常数，可得出数列{}n b 为等比数列，并确定等比数列{}n b 的首项和公比，可求出n b ； （2）由题意得出()11232n n n n a a b λ-+-==+⋅，再利用等差数列的定义证明出数列{}n c 为等差数列，确定等差数列{}n c 的首项和公差，可求出数列{}n c 的通项公式；（3）求出数列{}n a 的通项公式，由数列{}n S 在7n =时取最小值，可得出当7n ≤时，0n a <，当8n ≥时，0n a >，再利用参变量分离法可得出实数λ的取值范围.【详解】（1）当1n =时，有2143S a =+，即21143a a a +=+，213333a a λ∴=+=+； 当2n ≥时，由143n n S a +=+，可得143n n S a -=+，将上述两式相减得1144n n n a a a +-=-，12n n n b a a +=-，()11111114422242222n n n n n n n n n n n n n n n a a a b a a a a b a a a a a a -+---------∴====---， 且()12123323b a a λλλ=-=+-=+，所以，数列{}n b 是以13b λ=+，以2为公比的等比数列，()()132n n b n N λ-*∴=+⋅∈； （2）由（1）知()11232n n n n a a b λ-+-==+⋅，2n n n a c =，由等差数列的定义得()1111111322322224n n n n n n n n n n n a a a a c c λλ-+++++++⋅-+-=-===， 且1122a c λ==，所以，数列{}n c 是以12c λ=为首项，以34λ+为公差的等差数列， 因此，()()3331244n n c n λλλλ++-+=+-=；（3）由（2）知，()3324nn n n a c λλ++-==，()2332n n a n λλ-∴=++-⋅⎡⎤⎣⎦， 由数列{}n S 在7n =时取最小值，可得出当7n ≤时，0n a <，当8n ≥时，0n a >， 由0n a <，得()330n λλ++-<， 得()6313363111n n n n n λ-+-<==-+++在7n ≤时恒成立， 由于数列631n ⎧⎫-⎨⎬+⎩⎭在7n ≤时单调递减，则66933184n -≥-=-+，此时，94λ<-；由0n a >，得()330n λλ++->， 得()6313363111n n n n n λ-+->==-+++在8n ≥时恒成立， 由于数列631n ⎧⎫-⎨⎬+⎩⎭在8n ≥时单调递减，则66733193n -≤-=-+，此时，73λ>-.综上所述：实数λ的取值范围是79,34⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查利用定义证明等比数列和等差数列，证明时需结合题中数列递推式的结构进行证明，同时也考查数列最值问题，需要结合题中条件转化为与项的符号相关的问题，利用参变量分离法可简化计算，考查化归与转化思想和运算求解能力，综合性较强，属于难题.21.已知函数()()()sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<的最小正周期为π，且直线2x π=-是其图象的一条对称轴．（1）求函数()f x 的解析式；（2）在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且A B C <<，cos a B =，若C 角满足()1f C =-，求a b c ++的取值范围； （3）将函数()y f x =的图象向右平移4π个单位，再将所得的图象上每一点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍后所得到的图象对应的函数记作()y g x =，已知常数R λ∈，*n N ∈，且函数()()()F x f x g x λ=+在(0,)n π内恰有2021个零点，求常数λ与n 的值．【答案】（1）()cos2f x x =；（2）()1；（3）1λ=-，1347n =. 【解析】 【分析】（1）由函数的周期公式可求出ω的值，求出函数()y f x =的对称轴方程，结合直线2x π=-为一条对称轴结合ϕ的范围可得出ϕ的值，于此得出函数()y f x =的解析式； （2）由()1f C =-得出2C π=，再由cos a B =结合锐角三角函数得出1c =，利用正弦定理以及内角和定理得出14a b c A π⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭，由条件得出04A π<<，于此可计算出a b c ++的取值范围；（3）令()0F x =，得22sin sin 10x x λ--=，换元得出[]sin 1,1t x =∈-，得出方程2210t t λ--=，设该方程的两根为1t 、2t ，由韦达定理得出1212t t =-，分（ii ）101t <<、202t <<；（ii ）11t =，2102t -<<；（iii ）11t =-，2102t <<三种情况讨论，计算出关于x 的方程22sin sin 10x x λ--=在一个周期区间()0,2π上的实根个数，结合已知条件得出λ与n 的值.【详解】（1）由三角函数的周期公式可得22πωπ==，()()sin 2f x x ϕ∴=+，令()22x k k Z πϕπ+=+∈，得()422k x k Z πϕπ=-+∈，由于直线2x π=-为函数()y f x =的一条对称轴，所以，()2422k k Z ππϕπ-=-+∈， 得()32k k Z πϕπ=+∈，由于0ϕπ<<，1k ∴=-，则2ϕπ=， 因此，()sin 2cos 22f x x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭； （2）A B C <<，由三角形的内角和定理得3A B C C π=++<，3C ππ∴<<.()cos21f C C ==-，且2223C ππ<<，2C π∴=，2C π∴=. cos cos sin 2B A A π⎛⎫∴=-= ⎪⎝⎭，由cos a B =，得sin a A =，由锐角三角函数的定义得sin a A c =，1sin ac A∴==， 由正弦定理得1sin sin b a B A ==，sin sin cos 2b B A A π⎛⎫∴==-= ⎪⎝⎭，sin cos 114a b c A A A π⎛⎫∴++=++=++ ⎪⎝⎭，2C π=，且22A B A π+=>，04A π∴<<，442A πππ∴<+<，sin 124A π⎛⎫<+< ⎪⎝⎭.21a b c ∴<++<，因此，a b c ++的取值范围是()1；（3）将函数()y f x =的图象向右平移4π个单位， 得到函数cos 2cos 2sin 242y x x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 再将所得的图象上每一点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍后所得到的图象对应的函数为()sin g x x =，()()()2cos2sin 2sin sin 1F x f x g x x x x x λλλ=+=+=-++，令()0F x =，可得22sin sin 10x x λ--=，令[]sin 1,1t x =∈-，得2210t t λ--=，280λ∆=+>，则关于t 的二次方程2210t t λ--=必有两不等实根1t 、2t ，则1212t t =-，则1t 、2t 异号， （i ）当101t <<且201t <<时，则方程1sin x t =和2sin x t =在区间()()0,n n N π*∈均有偶数个根，从而方程22sin sin 10x x λ--=在()()0,n n N π*∈也有偶数个根，不合乎题意；（ii ）当11t =，则2102t -<<，当()0,2x π∈时，1sin x t =只有一根，2sin x t =有两根，所以，关于x 的方程22sin sin 10x x λ--=在()0,2π上有三个根，由于202136732=⨯+，则方程22sin sin 10x x λ--=在()0,1346π上有36732019⨯=个根，由于方程1sin x t =在区间()1346,1367ππ上只有一个根，在区间()1367,1368ππ上无实解，方程2sin x t =在区间()1346,1367ππ上无实数解，在区间()1367,1368ππ上有两个根，因此，关于x 的方程22sin sin 10x x λ--=在区间()0,1347π上有2020个根，在区间()0,1348π上有2022个根，不合乎题意； （iii ）当11t =-时，则2102t <<，当()0,2x π∈时，1sin x t =只有一根，2sin x t =有两根，所以，关于x 的方程22sin sin 10x x λ--=在()0,2π上有三个根，由于202136732=⨯+，则方程22sin sin 10x x λ--=在()0,1346π上有36732019⨯=个根，由于方程1sin x t =在区间()1346,1367ππ上无实数根，在区间()1367,1368ππ上只有一个实数根，方程2sin x t =在区间()1346,1367ππ上有两个实数解，在区间()1367,1368ππ上无实数解， 因此，关于x 的方程22sin sin 10x x λ--=在区间()0,1347π上有2021个根，在区间()0,1348π上有2022个根，此时，()()2211110λλ⨯--⨯--=+=，得1λ=-.综上所述：1λ=-，1347n =.【点睛】本题考查利用三角函数的性质求三角函数的解析式，以及三角形中的取值范围问题，以及三角函数零点个数问题，同时也涉及了复合函数方程解的个数问题，考查分类讨论思想的应用，综合性较强，属于难题.。

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高一年级第二学期物理期终试卷g=10m/s2一．单项选择题(共12分，每小题2分)1．关于两个做匀速圆周运动的质点，正确的说法是（）（A）角速度大的线速度一定大（B）角速度相等，线速度一定也相等（C）半径大的线速度一定大（D）周期相等，角速度一定相等2、一个做机械振动的物体，由平衡位置向最大位移处运动时，下列说法正确的是（）（A）物体的位移逐渐变大（B）物体的速度逐渐变大（C）物体的回复力逐渐变小（D）物体的周期逐渐变小3、物体从某一高处自由落下，在下落过程中重力做功的功率：（）(A)恒定不变(B)越来越大(C)越来越小(D)先变小，后变大4、如图所示，物体m沿不同的路径Ⅰ和Ⅱ从A滑到B，关于重力所做的功，下列说法正确的是：（）(A)沿路径Ⅰ和Ⅱ重力做功一样大A(B)沿路径Ⅱ重力做功较大(C)沿路径Ⅰ重力做功较大ⅡⅠB(D)条件不足不能判断5、如图所示，呈水平状态的弹性绳，右端在竖直方向上做周期为0.4s的振动，设t＝0时右端开始向上振动［图（a）］，则在t＝0.5s时刻绳上的波形可能是图（b）中的（）。

6、如图所示，一个质量为m的小球，用长为L的轻绳悬挂于天点，小球在水平拉力F作用下，从平衡位置P很慢地移动到Q点，程中力F所做的功为：(提示:F是变力)（）A.mgLcosθ.B.mgL(1－cosθ).C.FLsinθ.D.FL(1－cosθ)7、下列数据中可以算出阿伏伽德罗常数的一组数据是：（）(A)水的密度和水的摩尔质量(B)水的摩尔质量和水分子的体积θ花板上的O则在此过(C)水分子的体积和水分子的质量 (D)水分子的质量和水的摩尔质量8、关于气体的体积，下列说法中正确的是：(A) 气体的体积与气体的质量成正比 (B) 气体的体积与气体的密度成反比(C) 气体的体积就是所有气体分子体积的总和 (D) 气体的体积是指气体分子所能达到的空间9．汽车在平直公路上行驶时，在一段时间内，发动机以恒定功率工作，则图中各 v-t 图象，能正确反映汽车运动情况的是 （）（A ）①和②。

（B ）②和④。

（C ）①和④。

（D ）①和③。

10．某种气 体在不同 温度下的 气体分子 速率分布 曲线如图所示，图中 f(v)表示 v 处单位速率区间内的分子数百分率，所对应的温度分别为 T I ，T II ，T III ， 则（ ）A ．T I >T II >T III ，B ． T ＞T ＞T Ⅲ Ⅱ ⅠC ． T =T =TⅠ Ⅱ ⅢD ．T ＞T ，T ＞T Ⅱ Ⅰ Ⅲ二．单项选择题 (共 12 分，每小题 3 分。

每小题只有一个正确选项。

)11、以恒力推一物体在粗糙平面上沿力的方向移动一段距离，力F 所做的功为 W 1，平均功率为 P 1；若以相同恒力 F 推该物体在光滑水平面上沿力的方向移动相同的距离， F 所做的功为 W 2，平均功率为 P 2，则：（ ）(A) W 1＞W 2，P 1＞P 2 (B) W 1＞W 2，P 1＝P 2 (C) W 1＝W 2，P 1＜P 2 (D) W 1＝W 2，P 1＞P 2可知：（）） “12、如图所示，两个质量不同的物体A 和B ，分别从两个相同高度光滑斜面和光滑圆弧形斜坡的顶点，从静止开始下滑到底部，下列说法正确的是： （）(A) 它们到达底部时的速度大小相等 (B) 下滑过程中重力做的功相等AB(C) 它们在顶点时的机械能相等 (D) 它们到达底部时的动能相等13、一定质量的理想气体，在三次加热升温的过程中，其压强与温度的关系如图所示，由图像p(A) 在由状态 A 变到状态 D 的过程中，气体的体积减小 AD(B) 在由状态 B 变到状态 D 的过程中，气体的密度减小(C) 在由状态 C 变到状态 D 的过程中，气体的密度不变 BC(D) 在由状态 A 变成状态 D 的过程中，气体的体积增大T14、如图所示，开口向下插入水银槽的玻璃管内封闭着长为 H 的空气柱，管内外水银高度差为 h ，若缓慢向上提起玻璃管（管口未离开槽内水银面），H 和 h 的变化情况是：( )(A)h 和 H 都增大(B)h 和 H 都减小 (C)h 增大，H 减小 (D)h 减小，H 增大三、填空题15、如图所示，由一组学生做游戏来模拟波的传播。

该游戏 模拟的是_________（选填“横波”或“纵波” 的传播，因 为学生下蹲与起立时身体的运动方向与模拟波的传播方向________(选填“平行”或“垂直”）。

16 中华民族有着悠久的文明历史，我国古代的文学作品体现了人们对自然现象的观察和研究。

“墙内开花墙外香”说明分子是在不停的_________。

花气袭人知骤暖”说明温度 升高分子____________。

17、一个半径为 4cm 的定滑轮，绕有多圈细绳，细绳的一端固定在定滑轮上，另 一端与重物相连，如图所示。

设重物以2m/s 2 的加速度由静止匀加速下落，当重物 下 落 距 离 为 1m 时 ， 滑 轮 边 上 一 点 转 动 的 线 速 度 ，滑轮转过的周 数 。

18、停泊在海边的甲、乙两艘渔船，在海浪冲击下每分做100 次的全振动，两船相距 12m （两 船连线跟波的传播方向一致）。

当甲、乙两船同时都处于海浪的波峰时，在两船之间还有一个 波峰，则海浪的波长 ，海浪传播的速度大小 。

19、如图所示，在倾角为θ的斜面上放一个光滑的重球m，用固定在斜面上的竖直挡板挡住。

现使整个装置沿水平面向右匀速运动S，则斜面对球的支持力，挡板对球的做功。

20、一个如图所示的连通器，A、B两管的横截面积均为S，内盛密度为ρ的液体，液面高度差为h。

若打开底部中央的阀门K，液体发生流动，最终两边液面相平齐。

在这过程中液体的重力势能是（填增加、减少），变化了。

四、作图题、21、图中的长绳中编号为1，2，…，8，9的一系列质点（相邻点的间距为a），相继振动起来，某时刻形成如图（b）中虚线所示的波形，即1号质点处于波峰位置时，3号质点恰好处于波谷位置，4号质点刚开始振动。

又过一段时间，当1号质点第二次通过平衡位置时，画出这一时刻绳波的波形。

22、右图为一列简谐波在t时刻的图象，已知在t时刻波中质点a正沿y轴正方向运动，且波的传播速率v＝2m/s。

试画出：（1）波的传播方向；（2）质点b在t时刻的位移；（3）质点c在t时刻的加速度方向（4）经过1.5s后的波的图象；五、实验题23、用DIS研究机械能守恒定律的装置如图（a）所示，某组同学在一次实验中，选择DIS以图像方式显示实验的结果，所显示的图像如图（b）所示。

图像的横轴表示小球距D点的高度h，纵轴表示摆球的重力势能Ep、动能Ek或机械能E。

试回答下列问题：（1）图（b）的图像中，表示小球的重力势能Ep、动能Ek、机械能E随小球距D点的高度h关系的图线分别是__________（按顺序填写相应图线所对应的文字）。

（2）图（a）所示的实验装置中，K是光电门传感器，的直接作用是_______。

小球上连接的挡光片宽度为d，通过光电门的时间为t，可以得到小球在最低点的瞬时速度为________。

（3）根据图（b）所示的实验图像，可以得出的结论是______________24、如图所示，用一个带有刻度的注射器及DIS来探究一定质量气体的压强和体积关系。

实验次数压强（kPa）体积（cm3）1101.5202107.5183123.5164139.0145161.512（1）所研究的对象是__________；它的体积可用_______直接读出，它的压强是由______ ___和得到。

（2）下表表格中记录了实验中5组数据，根据这些数据在图中作出p-V图线。

（3）实验过程中，下列哪些操作是错误的？（）（A）推拉活塞时，动作要慢。

（B）推拉活塞时，手不能握住注射器筒有气体的部位。

（C）压强传感器与注射器之间的软管脱落后，应立即重新接上，继续实验并记录数据。

（D）活塞与针筒之间要保持润滑又不漏气。

（4）在验证玻意耳定律的实验中，如果用实验所得数据在图所示的1图象中标出，可得图中________线。

p-V五、计算题（25、将一水平放置的弹簧振子从平衡位置向右拉开 4cm 后放手，让它做振动。

已知从放手到 回到平衡位置的时间为 0.1s ，求：（1）弹簧振子的振幅、周期、频率。

（2）2 s 内完成全振动的次数。

（3）振子从开始运动经 2.5s 末的位移大小。

此时正要向哪个方向做怎样的运动？ （4）振子经 5s 通过的路程。

（5）若将弹簧振子从平衡位置向右拉开 6cm 后释放，运动过程中的振幅、周期、频率变 为多大？26、额定功率为 80 kW 的汽车，在平直公路上行驶的最大速度是 20m/s ，汽车质量是 2×103 kg 。

如果汽车从静止开始先做加速度为 2m/s 2 的匀加速直线运动，达到额定功率后以额定功率行 驶，在运动过程中阻力不变，问：（1）汽车受到的阻力多大？（2）汽车匀加速运动时受到的牵引力多大？ （3）汽车做匀如速直线运动的最大速度多大？（4）汽车从静止开始运动 11 s 的过程中牵引力做的功多大？27、U 形管内充有空气，在其管口将质量均为 m 的两个活塞用外力维持在同一高度 h 处，如 图所示。

左管横截面积为 2S ，右管以及底部管的横截面积均为 S ，底部管的长度为 3h ，管内 空气压强等于大气压 p 0。

现撤消外力放开活塞，求两个活塞的稳定高度。

（不计活塞与管壁间的摩擦，且活塞的厚度大于水平管的直径；管内气体温度不变；初位置时，活塞的上表面与管 口相平齐）28、如图所示，水平轨道表面粗糙，通过半径为R ＝0.4m 的四分之一光滑圆弧 BC 连接。

滑块的质量为 0.6kg 。

若滑块从 A 点以初速度υ ＝4m/s 向 B 端运动，运动到圆弧 BC 之间的 D点时速度减小为零，AB 之间距离为 2m ，∠DOB=60o 。

重力加速度 g ＝10m/s 2，sin37o =0.6，cos37o =0.8），求：（1）滑块在 B 点时的速度；（2）滑块在水平轨道上运动时受到的阻力 f ；（3）若用与水平方向成 37o 角的拉力 F ，将静止的滑块从 A 点拉到 B 点，假设滑块受到水平轨道的阻力 f 不变。

求拉力 F 的大小范围。

ORCυ60oDAB-- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- - - - （第二学期高一年级物理期终试卷答题纸一．单项选择题 (共 12 分，每小题 2 分 )12 3 4 5 6 7 8 9 10- - - - - - 题 - - 答 - - 准 - 不 - - 内 - 线 - - 封 - - 密 - - - - - - -二．单项选择题 (共 12 分，每小题 3 分。

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