固体金属的扩散

3.2 扩散方程（理论模型）
本节讨论扩散现象的宏观规律，可将金属看作是 连续介质，建立数学理论模型，用微分方程求解。
一、 扩散第一定律（适用 于稳态变化）
推导 ：设有一根固溶体合金棒
料，其沿长度方向存在着
浓度梯度如图3-1所示，则
经高温加热若干时间后因
溶质原子的迁移而逐渐达
到成分均匀。说明虽然单
个原子的运动无规则，但
也即：
dC
d
2D
d 2C
d2
0
(3-4)
解方程得：
C A e(2 4D)d B 0
令：
x
2 D 2 Dt
则：
C A2
D
e(2)d B A
x 2
Dt e(2 )d
B
0
0
(3ห้องสมุดไป่ตู้5)
定义误差函数
erf ( ) 2 e( 2 )d
0
erf ( ) erf ( ),erf () 1
一定的固溶度，能够溶入基体晶格，形成固溶体， 这样才能进行固态扩散。
扩散即原子由基态到激活态，并迁移到一定的 位置的现象。
二、固态扩散的类型：
➢按扩散过程中是否发生浓度变化分为：自扩散和 互扩散，自扩散即不伴随浓度变化的扩散，与浓度 梯度无关，只发生在纯金属和均匀固溶体中（如纯 金属的晶粒长大，大晶粒吞并小晶粒）；互扩散即 伴随有浓度变化的扩散，与异类原子的浓度差有关， 异类原子相互扩散，相互渗透，又称“化学扩散”。
C t
D
2C x2
(3-3)
四、 扩散第二定律的应用
例一：设有两根很长且截面均匀的合金棒对焊在 一起，棒A的浓度为 C2 ,棒B 的浓度为 C1 , C2 C1 假设棒为无限长，扩散系数D为恒值， 即对（3-3）式求解
解：以界面作为坐标原点（x=0），由题意可知
初始条件：
t 0, x 0则C=C1, x 0则C C2
➢按扩散方向与浓度梯度的方向的关系分为：下坡 扩散和上坡扩散，下坡扩散是沿着浓度降低的方向
扩散，使浓度趋于均匀化（如渗碳）；反之，沿着浓 度提高的方向扩散即为上坡扩散，使浓度发生两极分 化。
➢按扩散过程是否出现新相分为：原子扩散和反应扩 散，原子扩散是在扩散过程中基体晶格始终不变，无 新相产生；而通过扩散使固溶体的溶质组元浓度超过 固溶度极限形成新相则为反应扩散，新相可以是新的 固溶体或各种化合物。
物质流入速率＝ J1A
物质流出速率＝
JA
J2 A J1 x dx
物质积存速率＝ J Adx x
物质在微体积中积存速率为： (CAdx) C gAgdx
t
t
则： C gAgdx J gAgdx
t
x
C J
t x
将(3-1)式代入上式得：
C t
x
D
C x
(3-2)
这就是菲克第二定律的数学表达式。如果扩散系数D与浓度 无关，(3-2)式可写为：
3.1 概述
一、扩散的定义和条件
(1)扩散：物质中原子或分子的迁移现象，是物质传 输的一种方式。人们对气体和液体中的扩散现象并 不陌生（如花的香味，向静水中滴加墨水等），虽 然扩散现象在固态物质中不易察觉，但确实存在 （如铸件的均匀化退火、金属的焊接等）。
(2)固体金属扩散的四个条件
①足够的迁移能量——驱动力。扩散过程都是在扩 散驱动力作用下进行的。驱动力有化学位梯度、温 度梯度、应力梯度等。
三、扩散第二定律（适用于非稳态变化）
取图3-2所示影线部分表示由相距 为dx的两个垂直于x轴的平面所取 出的微小体积，横截面积为A， 箭头表示扩散方向。J1、J2分别表
示流入流出微小体积的碳扩散通 量。由物质的平衡关系可得出
图3-2扩散通过微 小体积的情况
（流入微小体积的物质量）-（流出为小体积的物质量） =（在微小体积中积存的物质量）
②温度足够高。固态扩散是依靠原子热激活能而进 行的过程，必须在足够高的温度以上才能进行。 ③时间足够长 。扩散原子在晶体中每跃迁一次最多 也只能移动0.3～0.5nm的距离，经过相当长的时间才 能造成物质的宏观定向迁移。（由此条件可采用快 速冷却到低温的方法，使扩散过程“冻结”，就可 以把高温下的状态保持下来。如在热加工刚完成时 迅速将金属材料冷却到室温，抑制扩散过程，避免 发生静态再结晶，可把动态回复或动态再结晶的组 织保留下来，以达到提高金属材料性能的目的。） ④扩散原子要固溶。扩散原子 在基体金属中必须有
由初始条件：
t 0, x 0则C=C1,
x 0则C C2 ,
可知
2 e( 2 )d 1
0
e( 2 )d
0
2
代入(3-5)中得：
C1 A
2
B,C2 A
2
B
即A C1 C2 2 , B C1 C2
2
2
将 A, B 代入(3-5),得：
C C1 C2 C1 C2 2
解：碳原子经过半径为r处的扩散通量为：
J q/A q
t
2 rlt
式中l为进行碳扩散的这部分圆筒的长度。由(3-1)式可得
D dC q
dr 2 rlt
故：
q
D(2
lt)
dC dr
D(2 lt)
dC d ln r
r
q可由炉内流出的脱碳气体的增碳量得出，l,t已 知，需测量沿筒壁截面不同r处的含碳量，作C-lnr曲 线，可求得D。
边界条件：
t 0, x 则C C1，x 则C C2
对(3-3)式,可令 x / t ，这样C只是单个变量u的函数
则:
C t
dC d
t
dC d
x
3
2t 2
dC d
2t
2C x2
2C
2
( )2
x
d 2C
d2
1 t
代入(3-3)式得常微分方程：
dC d 2C 1
D
d 2t d 2 t
大量原子由浓度高的一边 移向低的一边，即存在溶 质原子的扩散流。 定义扩散通量J：单位时间通 过垂直于扩散方向的单位 截面积的扩散物质流量
图3-1扩散对溶质原子分布的影响
J D dc dx
(3-1)
其中D为扩散系数，负号表示扩散由高 浓度到低浓度 ，C为体积浓度
二、 菲克第一定律应用
例1：测定碳在γ铁中的扩散系数。将纯铁加工成一根 空心圆筒，放入通以脱碳气体的高温炉中加热保温， 并在圆筒内通以渗碳气体。这样碳原子就从圆筒内壁 渗入而从圆筒外壁逸出，形成碳原子的扩散流。经过 一定时间后过程达到稳定状态，沿筒壁截面从内到外 各点的碳浓度为恒值，不随时间而变，圆筒不再吸碳， 扩散通过筒壁的每单位时间的碳量q/t为恒值。