数学归纳法证明不等式
4.2用数学归纳法证明不等式举例--教案(优秀经典公开课比赛教案)
课题：4.2用数学归纳法证明不等式举例一、教材分析： 数学归纳法是一种重要的数学证明方法，在高中数学内容中占有重要的地位，其中体现的数学思想方法对学生进一步学习数学、领悟数学思想至关重要。
数学归纳法的证明过程中展现的推理与逻辑能让学生体会数学的严谨与规范，学习数学归纳法后学生对数列和不等式证明等问题会有新的解决思路和方法。
二、教学目标：1、知识与技能：（1）使学生初步了解数学归纳法，理解数学归纳法的基本原理。
（2）掌握数学归纳法证明题目的步骤和适用范围，能够使用数学归纳法证明与正整数有关的命题。
2、过程与方法：（1）通过类比多米诺骨牌游戏，使学生进一步理解数学归纳法，并培养在观察，归纳，猜想中逐步解决问题的能力。
（2）让学生经历发现问题，提出问题，分析问题，解决问题的过程，形成能力并应用于今后的学习中。
3、情感、态度与价值观：（1）通过对数学归纳法的探究培养学生严谨的，实事求是的科学态度和积极思考，大胆质疑的学习氛围。
（2）通过有限到无限的这种跨越，体会数学证明的美感与用途。
三、教学重点：了解数学归纳法的原理及其使用范围和基本步骤四、教学难点：（1）认识数学归纳法的证明思路。
（2）运用数学归纳法时，在“假设与递推”的步骤中发现具体问题中的递推关系。
五、教学准备1、课时安排：2课时2、学情分析：学生在学习本节之前已经学习过归纳推理，以及一些简单的数学证明方法，并且已经开始使用与正整数有关的结论（例1的公式），但学生只是停留在认知阶段；另外高二学生经过了一年半的高中学习之后，已初步具有了发现和探究问题的能力，这为本节学习数学归纳法奠定了一定基础。
3、教具选择：多媒体六、教学方法：讲练结合 合作探究法七、教学过程1、自主导学：一.复习回顾引入：<师>（1）请同学们回顾学习过的证明方法有哪些？<生> 请一名学生回答该问题。
<师>（2）思考：通过计算下面式子，你能猜想出1357(1)(21)n n -+-++⋅⋅⋅+-⋅-的结果吗？证明你的结论。
不等式的证明方法
不等式的证明方法不等式是数学中一类重要的数学不等关系，它在各个领域中都有广泛的应用。
证明不等式的方法有很多，下面介绍几种常见的方法。
1.数学归纳法数学归纳法是一种常用的证明不等式的方法。
当不等式对于一些特定的n成立时，我们可以证明当n+1时，不等式也成立。
具体步骤如下：（1）首先验证当n=1时不等式成立；（2）假设当n=k时不等式成立，即不等式表达式为Pk(k)，其中Pk(k)表示当n=k时不等式的表达式；（3）利用假设的条件，证明当n=k+1时不等式也成立，即证明Pk(k+1)；（4）由(1)(2)步骤可知，不等式对于n=1成立，又由(3)步骤可知，当n=k+1时不等式也成立，综上可得，不等式对于所有的n成立。
2.数学推理数学推理是一种常用的证明不等式的方法，它主要是通过运用已知的数学定理、性质和等式进行逻辑推理，从而得出结论。
例如，可以利用已知的三角函数性质、代数运算等进行推理，通过一系列推导和等价变形得出需要证明的不等式。
3.代入法代入法是一种常用的证明不等式的方法，它主要是利用数值替换变量，通过对不等式成立条件的特殊取值进行代入，从而证明不等式成立。
例如，对于一个两个变量的不等式，可以分别取其中一个变量为0或1，然后对不等式进行推导和比较，得出结论。
4.反证法反证法是一种常用的证明不等式的方法，它通过假设所要证明的不等式不成立，然后从假设出发推导出与已知矛盾的结论，从而证明原不等式成立。
具体步骤如下：（1）假设不等式不成立，即存在一些条件使得不等式不成立，这个条件可以是一个数、一个式子等；（2）利用假设条件进行推导，推导出与已知矛盾的结论；（3）由于假设条件导致与已知矛盾，所以假设不成立，即原不等式成立。
5.AM-GM不等式（算术平均数-几何平均数不等式）AM-GM不等式是一种常用的证明不等式的方法。
它断言，若a1，a2，...，an是n个非负实数，则有(a1+a2+...+an)/n ≥√(a1*a2*...*an)，等号成立的条件是a1=a2=...=an。
不等式的证明与数学归纳法结合
不等式的证明与数学归纳法结合不等式在数学中起着重要的作用，它们用于比较和描述数值之间的关系。
在解决不等式问题时，数学归纳法是一种常见的证明方法。
本文将介绍不等式的证明以及如何结合数学归纳法来解决相关问题。
一、不等式的证明方法不等式的证明可以通过直接证明法、反证法、数学归纳法等多种方法来实现。
在这里，我们重点介绍数学归纳法与不等式的结合运用。
数学归纳法是一种常用的证明方法，适用于证明对于所有自然数n 都成立的命题。
它分为三个步骤：基础步骤、归纳假设和归纳步骤。
基础步骤：证明当n=1时，命题成立。
归纳假设：假设当n=k时，命题成立，即命题对于某个自然数k成立。
归纳步骤：证明当n=k+1时，命题也成立。
二、不等式证明的案例为了更好地理解不等式的证明与数学归纳法的结合运用，我们来看一个具体的案例。
假设我们要证明对于所有自然数n都有1+3+5+...+(2n-1)=n^2。
基础步骤：当n=1时，命题左边为1，右边为1^2=1，显然相等，基础步骤成立。
归纳假设：假设当n=k时，命题成立，即1+3+5+...+(2k-1)=k^2成立。
归纳步骤：我们需要证明当n=k+1时，命题也成立。
即1+3+5+...+(2(k+1)-1)=(k+1)^2也成立。
在归纳步骤中，我们需要将左边的项展开并进行简化：1+3+5+...+(2k-1)+(2(k+1)-1)=k^2+(2(k+1)-1)=(k^2+2k+1)=(k+1)^2可以看出，当n=k+1时，命题也成立。
因此，根据数学归纳法，对于所有自然数n，1+3+5+...+(2n-1)=n^2成立。
三、结合数学归纳法证明不等式数学归纳法可以用于证明不等式的正确性。
我们将通过一个例子来说明这一点。
假设我们要证明对于所有自然数n都有2^n>n^2。
基础步骤：当n=1时，命题左边为2^1=2，右边为1^2=1，显然左边大于右边，基础步骤成立。
归纳假设：假设当n=k时，命题成立，即2^k>k^2成立。
归纳法证明不等式用归纳法证明不等式
归纳假设
提出归纳假设
根据已知条件和不等式的性质，提出一个归纳假设，即假设在某个条件下不等 式成立。
验证归纳假设
验证在初始条件下，归纳假设成立。
归纳步骤
归纳递推
根据归纳假设，推导出在更广泛的情况下不等式也成立。
完成证明
通过递推和归纳，最终完成对不等式的证明。
CHAPTER 03
归纳法证明不等式的例子
归纳法证明
利用数学归纳法证明平方和公式，首先需要证明基础步骤，即当$n=1$时，公式成立。然后通过假设 当$n=k$时公式成立，推导出当$n=k+1$时公式也成立。最后，根据数学归纳法，可以得出平方和公 式对于所有正整数$n$都成立。
CHAPTER 04
归纳法证明不等式的注意事 项
初始基础要正确
确定初始基础
在开始归纳法之前，确保选择正确的初 始基础，这可以是已知的不等式或数学 定理。
VS
检查基础条件
确保所选择的初始基础是正确的，并且满 足所给定的条件。
归纳假设要合理
要点一
选择归纳假设
选择一个合理的归纳假设，以便在归纳步骤中使用。
Hale Waihona Puke 要点二验证归纳假设
确保所选择的归纳假设是正确的，并且满足所给定的 条件。
归纳法证明
利用数学归纳法证明等比数列求和公式，首先需要证明基础步骤，即当$n=1$时，公式成立。然后通过假设当 $n=k$时公式成立，推导出当$n=k+1$时公式也成立。最后，根据数学归纳法，可以得出公式对于所有正整数 $n$都成立。
利用数学归纳法证明平方和公式
平方和公式
平方和公式是指一个数列中所有数的平方和的极限存在时，该极限等于数列的各项的平方和。
如何通过数学归纳法证明不等式
如何通过数学归纳法证明不等式数学归纳法是一种证明数学命题的常用方法，其基本思想是利用已知的某些命题推出新的命题。
在数学证明中，常常使用归纳法来证明一些不等式，这种方法既简单又直观，下面我们来探讨如何通过数学归纳法证明不等式。
一、归纳法的基本思想首先，我们来了解一下归纳法的基本思想。
设P(n)是一个依赖于自然数n的命题，则通过归纳法证明P(n)对于所有自然数n成立的一般方法为：1.证明当n=1时P(1)成立；2.假设当n=k时P(k)成立，即前提条件为P(k)成立；3.证明当n=k+1时P(k+1)成立，即由前提条件P(k)可以导出P(k+1)。
这就是数学归纳法的基本思想。
二、通过数学归纳法证明不等式接下来我们探讨如何通过数学归纳法证明不等式。
对于一些不等式，我们可以通过归纳法来证明它们的成立性。
1. 首先，我们需要确定适用于归纳法的不等式类型。
一般来说，递推式、等差数列、等比数列等都是适用于归纳法的不等式类型。
2. 其次，我们需要证明当n=1时不等式成立。
通常情况下，我们可以通过代数化简或数值计算的方法证明不等式在n=1时成立。
3. 第三步是归纳假设。
假设当n=k时不等式成立，即前提条件为不等式在n=k时成立。
4. 第四步是证明当n=k+1时不等式成立。
通过推导得出不等式在n=k+1时成立。
5. 最后需要证明这个不等式在所有自然数下成立。
通常情况下，我们可以通过归纳证明法的反证法来证明，如果该不等式在某个自然数下不成立，那么其前面的所有自然数也不成立，即矛盾。
因此，该不等式在所有自然数下成立。
比如，对于一个递推式an=a(n-1)+n，我们可以通过数学归纳法证明其大于等于n(n+1)/2。
具体证明如下：当n=1时，an=1，n(n+1)/2=1，因此不等式在n=1时成立。
假设当n=k时，an大于等于k(k+1)/2成立。
当n=k+1时，an=a(k+1-1)+(k+1)=ak+k+1。
根据归纳假设，ak 大于等于k(k+1)/2，于是k+ak大于等于k(k+1)/2+k+1=(k+1)(k+2)/2，因此，an大于等于(k+1)(k+2)/2。
用数学归纳法证明不等式举例
用数学归纳法证明不等式举例使用数学归纳法证明不等式是一种常用的方法，它可以帮助我们证明一类问题的正确性。
在这篇文章中，我们将使用数学归纳法证明一个特定的不等式，并且详细解释这个过程。
这个不等式是一个经典的例子，在不等式理论中非常有用，它的证明将展示使用数学归纳法的步骤和思路。
要证明的不等式为：对于任意正整数n，有1+2+3+...+n≤n²/2我们将使用数学归纳法证明这个不等式。
数学归纳法分为两个步骤：基础步骤和归纳步骤。
一、基础步骤：首先，我们需要验证对于n=1时，不等式是否成立。
即：1≤1²/2通过计算可知，1≤1/2，显然成立。
因此，基础步骤得证。
二、归纳步骤：我们假设对于任意的k（k≥1）都有：1+2+3+...+k≤k²/2我们需要证明当n=k+1时，也就是将k+1代入不等式中，不等式仍然成立。
即：1+2+3+...+k+(k+1)≤(k+1)²/2接下来，我们将左右两边进行推导。
我们已经假设对于任意k都有不等式成立，所以可以得到：1+2+3+...+k≤k²/2我们可以将左右两边分别加上(k+1)，得到：1+2+3+...+k+(k+1)≤k²/2+(k+1)接下来，我们需要对右侧进行变换，目的是能够使用归纳假设。
我们注意到，k²/2+(k+1)=(k²+2(k+1))/2=(k²+2k+2)/2我们知道(k+1)²=k²+2k+1，所以(k+1)²/2=(k²+2k+1)/2我们可以将这个等式代入之前的不等式：1+2+3+...+k+(k+1)≤(k²+2k+1)/2对于右边的分数1+2+3+...+k+(k+1)≤(k²+2k+1)/2=(k²+2k)/2+1/2由于我们已经假设1+2+3+...+k≤k²/2，所以可以用k²/2替换分子中的1+2+3+...+k：1+2+3+...+k+(k+1)≤(k²+2k)/2+1/2≤k²/2+1/2+1/2我们可以对右边的不等式相加得到：1+2+3+...+k+(k+1)≤(k²+2k)/2+1/2≤k²/2+1我们将右侧简化得到(k²+2k)/2+1/2=(k²+2k+1)/2，因为1/2可以写成1/2的分数。
数学归纳法证明不等式
数学归纳法证明不等式数学归纳法是一种证明数学命题的重要方法，它基于数学归纳的思想，通过证明一个命题在一些特定条件下成立，并且在此条件下该命题的下一步也具有同样的性质，从而证明该命题对于一切满足该条件的情况都成立。
在这里，我们将使用数学归纳法来证明一个不等式。
不等式是数学中常见的一种关系式，它描述了两个数或者更多数之间大小关系的性质。
在这里，我们将使用数学归纳法来证明一个形如：$2^n>n^2$的不等式，其中$n$是一个正整数。
首先，我们需要证明当$n=1$时，不等式$2^n>n^2$成立。
当$n=1$时，不等式变为$2^1>1^2$，显然成立。
其次，我们需要证明对于任意一个正整数$k$，如果当$n=k$时不等式$2^k>k^2$成立，那么当$n=k+1$时，不等式$2^{k+1}>(k+1)^2$也成立。
也就是说，我们需要证明如果$2^k>k^2$，那么$2^{k+1}>(k+1)^2$。
根据我们的假设，我们知道$2^k>k^2$。
将不等式两边都乘以2，我们得到$2^{k+1}>2k^2$。
由于$k$是一个正整数，所以$k^2>k$。
将这个不等式代入前面的结果中，我们得到$2^{k+1}>2k^2>k^2+k^2>k^2+k>(k+1)^2$。
也就是说，如果$2^k>k^2$，那么$2^{k+1}>(k+1)^2$。
通过对$n=1$和$n=k+1$的情况都进行证明，我们完成了对于任意正整数$n$的证明。
根据数学归纳法的原理，这意味着不等式$2^n>n^2$对于一切$n$都成立。
综上所述，我们使用数学归纳法成功地证明了不等式$2^n>n^2$，其中$n$是一个正整数。
数学归纳法证明不等式的两个技巧
数学归纳法证明不等式的两个技巧数学归纳法是一种数学证明方法，常用于证明自然数的性质。
它的基本思想是：首先证明当n为一些特定的自然数时，不等式成立；然后假设当n为一些自然数时，不等式也成立；最后利用这个假设证明当n为n+1时，不等式仍然成立。
下面将介绍两种常用的数学归纳法证明不等式的技巧。
技巧一：基础情况的证明在使用数学归纳法证明不等式时，首先需要证明基础情况，即当n为一些特定的自然数时，不等式是否成立。
例如，我们想要证明对于任意的正整数n，都有1+2+3+...+n≤n²。
基础情况是n=1时，不等式左边为1，右边为1²=1，不等式成立。
技巧二：归纳假设的运用假设当n为一些自然数时，不等式也成立，即假设1+2+3+...+n≤n²成立。
然后我们要利用这个假设来证明当n为n+1时，不等式仍然成立。
例如，我们要证明对于任意的正整数n，都有1+2+3+...+n+(n+1)≤(n+1)²。
根据归纳假设，我们可以得到1+2+3+...+n≤n²，所以我们可以将不等式右边的(n+1)²展开为n²+2n+1现在，我们需要证明1+2+3+...+n+(n+1)≤n²+2n+1、我们可以逐步将左边拆分成两部分，即(1+2+3+...+n)+(n+1)。
根据归纳假设，我们知道前一部分不大于n²，所以该不等式可以进一步简化为n²+(n+1)≤n²+2n+1最后，可以发现左边的n²+(n+1)小于等于右边的n²+2n+1，因为(n+1)小于等于2n+1、所以，我们得到了当n为n+1时，不等式仍然成立。
综上所述，通过基础情况的证明和归纳假设的运用，可以使用数学归纳法证明不等式。
这两个技巧可以帮助我们在证明过程中合理利用已有的条件和假设，从而简化证明的过程。
第3章 3.2 用数学归纳法证明不等式,贝努利不等式
3.2 用数学归纳法证明不等式，贝努利不等式3.2.1 用数学归纳法证明不等式3.2.2 用数学归纳法证明贝努利不等式1.会用数学归纳法证明简单的不等式.2.会用数学归纳法证明贝努利不等式；理解贝努利不等式的应用条件.[根底·初探]教材整理1用数学归纳法证明不等式在不等关系的证明中，有多种多样的方法，其中数学归纳法是最常用的方法之一，在运用数学归纳法证不等式时，推导“k＋1〞成立时其他的方法如比拟法、分析法、综合法、放缩法等常被灵敏地运用.教材整理2贝努利不等式1.定理1(贝努利不等式)设x>－1，且x≠0，n为大于1的自然数，那么(1＋x)n＞1＋nx.2.定理2(选学)设α为有理数，x>－1，(1)假如0<α<1，那么(1＋x)α≤1＋αx；(2)假如α<0或者α>1，那么(1＋x)α≥1＋αx.当且仅当x＝0时等号成立.事实上，当α是实数时，也是成立的.，那么2n与n的大小关系是()设n∈N＋A.2n>nB.2n<nC.2n＝nD.不确定【解析】2n＝(1＋1)n，根据贝努利不等式有(1＋1)n≥1＋n×1＝1＋n，上式右边舍去1，得(1＋1)n>n，即2n>n.【答案】 A[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们〞讨论交流：疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑：[小组合作型]数学归纳法证明不等式S n ＝1＋12＋13＋…＋1n (n >1，n ∈N ＋)，求证：S 2n >1＋n2(n ≥2，n ∈N ＋). 【精彩点拨】 求S n 再证明比拟困难，可运用数学归纳法直接证明，注意S n 表示前n 项的和(n >1)，首先验证n ＝2，然后证明归纳递推.【自主解答】 (1)当n ＝2时，S 22＝1＋12＋13＋14＝2512>1＋22，即n ＝2时命题成立.(2)假设n ＝k (k ≥2，k ∈N ＋)时命题成立，即S 2k ＝1＋12＋13＋…＋12k >1＋k2. 当n ＝k ＋1时，S 2k ＋1＝1＋12＋13＋…＋12k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋1>1＋k 2＋2k 2k ＋2k ＝1＋k 2＋12＝1＋k ＋12.故当n ＝k ＋1时，命题也成立.由(1)(2)知，对n ∈N ＋，n ≥2，S 2n >1＋n2都成立.此题容易犯两个错误，一是由n ＝k 到n ＝k ＋1项数变化弄错，认为12k 的后一项为12k ＋1，实际上应为12k ＋1；二是12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋1共有多少项之和，实际上 2k ＋1到2k ＋1是自然数递增，项数为2k ＋1－(2k ＋1)＋1＝2k .[再练一题]1.假设在本例中，条件变为“设f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N ＋)，由f (1)＝1>12，f (3)>1，f (7)>32，f (15)>2，…〞 .试问：你能得到怎样的结论？并加以证明.【解】 数列1,3,7,15，…，通项公式为a n ＝2n －1，数列12，1，32，2，…，通项公式为a n ＝n2，∴猜测：f (2n －1)>n2.下面用数学归纳法证明：①当n ＝1时，f (21－1)＝f (1)＝1>12，不等式成立.②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N ＋)时不等式成立， 即f (2k －1)>k2， 那么f (2k ＋1－1)＝f (2k－1)＋12k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋1－2＋12k ＋1－1>f (2k－1)＋＝f (2k－1)＋12>k 2＋12＝k ＋12.∴当n ＝k ＋1时不等式也成立.据①②知对任何n ∈N ＋原不等式均成立.利用数学归纳法比拟大小设P n ＝(1＋x )n ，Q n ＝1＋nx ＋n (n －1)2x 2，n ∈N ＋，x ∈(－1，＋∞)，试比拟P n 与Q n 的大小，并加以证明.【导学号：38000059】【精彩点拨】 此题考察数学归纳法的应用，解答此题需要先对n 取特殊值，猜测P n 与Q n 的大小关系，然后利用数学归纳法证明.【自主解答】 (1)当n ＝1,2时，P n ＝Q n .(2)当n ≥3时，(以下再对x 进展分类). ①假设x ∈(0，＋∞)，显然有P n ＞Q n . ②假设x ＝0，那么P n ＝Q n . ③假设x ∈(－1,0)，那么P 3－Q 3＝x 3＜0，所以P 3＜Q 3.P 4－Q 4＝4x 3＋x 4＝x 3(4＋x )＜0，所以P 4＜Q 4. 假设P k ＜Q k (k ≥3)，那么P k ＋1＝(1＋x )P k ＜(1＋x )Q k ＝Q k ＋xQ k ＝1＋kx ＋k (k －1)x 22＋x ＋kx 2＋k (k －1)x 32＝1＋(k ＋1)x ＋k (k ＋1)2x 2＋k (k －1)2x 3 ＝Q k ＋1＋k (k －1)2x 3＜Q k ＋1， 即当n ＝k ＋1时，不等式成立. 所以当n ≥3，且x ∈(－1,0)时，P n ＜Q n .1.利用数学归纳法比拟大小，关键是先用不完全归纳法归纳出两个量的大小关系，猜测出证明的方向，再用数学归纳法证明结论成立.2.此题除对n 的不同取值会有P n 与Q n 之间的大小变化，变量x 也影响P n 与Q n 的大小关系，这就要求我们在探究大小关系时，不能只顾“n 〞，而无视其他变量(参数)的作用.[再练一题]2.数列{a n }，{b n }与函数f (x )，g (x )，x ∈R ，满足条件：b 1＝b ，a n ＝f (b n )＝g (b n＋1)(n ∈N ＋)，假设函数y ＝f (x )为R 上的增函数，g (x )＝f －1(x )，b ＝1，f (1)＜1，证明：对任意x ∈N ＋，a n ＋1＜a n .【证明】 因为g (x )＝f －1(x )，所以a n ＝g (b n ＋1)＝f －1(b n ＋1)，即b n ＋1＝f (a n ).下面用数学归纳法证明a n ＋1＜a n (n ∈N ＋). (1)当n ＝1时，由f (x )为增函数，且f (1)＜1，得 a 1＝f (b 1)＝f (1)＜1， b 2＝f (a 1)＜f (1)＜1， a 2＝f (b 2)＜f (1)＝a 1， 即a 2＜a 1，结论成立.(2)假设n ＝k 时结论成立，即a k ＋1＜a k .由f (x )为增函数，得f (a k ＋1)＜f (a k )，即b k ＋2＜b k ＋1. 进而得f (b k ＋2)＜f (b k ＋1)，即a k ＋2＜a k ＋1. 这就是说当n ＝k ＋1时，结论也成立. 根据(1)和(2)可知，对任意的n ∈N ＋，a n ＋1＜a n .利用贝努利不等式证明不等式设n 为正整数，记a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n n +1，n ＝1,2,3，….求证：a n ＋1<a n .【精彩点拨】 用求商比拟法证明a n ＋1<a n ，其中要用贝努利不等式. 【自主解答】 由a n 的意义知对一切n ＝1,2,3，…都成立. ∴只需证明a na n ＋1>1，n ＝1,2,3，….由于a n a n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n n ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ＋1n ＋2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1＋1n 1＋1n ＋1n ＋1×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ＋1－1 ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤(n ＋1)(n ＋1)n (n ＋2)n ＋1×n ＋1n ＋2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1＋n (n ＋2)n (n ＋2)n ＋1×n ＋1n ＋2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋1n (n ＋2)n ＋1×n ＋1n ＋2，因此，根据贝努利不等式， 有a na n ＋1>⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋(n ＋1)×1n (n ＋2)×n ＋1n ＋2>⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋n ＋1n 2＋2n ＋1×n ＋1n ＋2 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ＋1×n ＋1n ＋2＝1. ∴a n >a n ＋1对于一切正整数n 都成立.此题在证明的过程中，综合运用了求商比拟法，放缩法，进而通过贝努利不等式证明不等式成立.[再练一题]3.设a 为有理数，x >－1.假如0<a <1，证明：(1＋x )a ≤1＋ax ，当且仅当x ＝0时等号成立.【证明】 0<a <1，令a ＝mn ，1≤m <n ，其中m ，n 为正整数，那么由平均值不等式，得(1＋x )a＝(1＋x )mn≤m (1＋x )＋(n －m )n ＝mx ＋n n ＝1＋m n x ＝1＋ax ，当且仅当1＋x ＝1，即x ＝0时，等号成立.[探究共研型]放缩法在数学归纳法证明不等式中的应用探究【提示】 放缩法是不等式证明中最重要的变形方法之一，放缩必须有目的.而且要恰到好处，目的往往要从证明的结论考虑.常用的放缩方法有增项、减项、利用分式的性质、利用不等式的性质、利用不等式、利用函数的性质进展放缩等.比方：舍去或加上一些项：⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋122＋34＞⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋122；将分子或分母放大(缩小)：1k 2＜1k (k －1)，1k 2＞1k (k ＋1)，1k ＜2k ＋k －1，1k ＞2k ＋k ＋1(k ∈R ，k ＞1)等.证明：2n ＋2>n 2(n ∈N ＋). 【精彩点拨】验证n ＝1，2，3时不等式成立⇒假设n ＝k 成立，推证n ＝k ＋1⇒n ＝k ＋1成立，结论得证【自主解答】 (1)当n ＝1时，左边＝21＋2＝4；右边＝1，左边>右边； 当n ＝2时，左边＝22＋2＝6，右边＝22＝4， 所以左边>右边；当n ＝3时，左边＝23＋2＝10，右边＝32＝9，所以左边>右边. 因此当n ＝1,2,3时，不等式成立.(2)假设当n ＝k (k ≥3且k ∈N ＋)时，不等式成立，即2k ＋2>k 2(k ∈N ＋). 当n ＝k ＋1时，2k ＋1＋2＝2·2k ＋2 ＝2(2k ＋2)－2>2k 2－2 ＝k 2＋2k ＋1＋k 2－2k －3＝(k 2＋2k ＋1)＋(k ＋1)(k －3)≥k 2＋2k ＋1＝(k ＋1)2.(因为k ≥3，那么k －3≥0，k ＋1>0)所以2k＋1＋2>(k＋1)2，故当n＝k＋1时，原不等式也成立.根据(1)(2)知，原不等式对于任何n∈N＋都成立.1.本例中，针对目的k2＋2k＋1，由于k的取值范围(k≥1)太大，不便于缩小.因此，用增加奠基步骤(把验证n＝1扩大到验证n＝1,2,3)的方法，使假设中k的取值范围适当缩小到k≥3，促使放缩成功，到达目的.2.利用数学归纳法证明数列型不等式的关键是由n＝k到n＝k＋1的变形.为满足题目的要求，常常要采用“放〞与“缩〞等手段，但是放缩要有度，这是一个难点，解决这个难题一是要仔细观察题目构造，二是要靠经历积累.[再练一题]4.设x＞－1，且x≠0，n为大于1的自然数，用数学归纳法证明(1＋x)n＞1＋nx.【证明】(1)当n＝2时，由x≠0，知(1＋x)2＝1＋2x＋x2＞1＋2x，因此n＝2时命题成立.(2)假设n＝k(k≥2为正整数)时命题成立，即(1＋x)k＞1＋kx，那么当n＝k＋1时，(1＋x)k＋1＝(1＋x)k(1＋x)＞(1＋kx)(1＋x)＝1＋x＋kx＋kx2＞1＋(k＋1)x.即n＝k＋1时，命题也成立.由(1)(2)及数学归纳法知原命题成立.不等式中的探究、猜测、证明探究2【提示】 利用数学归纳法解决探究型不等式的思路是先通过观察、判断，猜测出结论，然后用数学归纳法证明.这种分析问题和解决问题的思路是非常重要的，特别是在求解存在型或探究型问题时.假设不等式1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋13n ＋1>a 24对一切正整数n 都成立，求正整数a 的最大值，并证明你的结论.【导学号：38000060】【精彩点拨】 先通过n 取值计算，求出a 的最大值，再用数学归纳法进展证明，证明时，根据不等式特征，在第二步，运用比差法较方便.【自主解答】 当n ＝1时，11＋1＋11＋2＋13×1＋1>a 24，那么2624>a24，∴a <26. 又a ∈N ＋，∴取a ＝25. 下面用数学归纳法证明1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n ＋1>2524. (1)n ＝1时，已证.(2)假设当n ＝k 时(k ≥1，k ∈N ＋)，1k ＋1＋1k ＋2＋…＋13k ＋1>2524， ∴当n ＝k ＋1时，1(k ＋1)＋1＋1(k ＋1)＋2＋…＋13k ＋1＋13k ＋2＋13k ＋3＋13(k ＋1)＋1＝⎝⎛⎭⎪⎫1k ＋1＋1k ＋2＋…＋13k ＋1＋⎝ ⎛ 13k ＋2＋13k ＋3＋⎭⎪⎫13k ＋4－1k ＋1 >2524＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤13k ＋2＋13k ＋4－23(k ＋1). ∵13k ＋2＋13k ＋4＝6(k ＋1)9k 2＋18k ＋8>23(k ＋1)，∴13k ＋2＋13k ＋4－23(k ＋1)>0，∴1(k ＋1)＋1＋1(k ＋1)＋2＋…＋13(k ＋1)＋1>2524也成立.由(1)(2)可知，对一切n ∈N ＋， 都有1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n ＋1>2524，∴a 的最大值为25.1.不完全归纳的作用在于发现规律，探究结论，但结论必须证明.2.此题中从n ＝k 到n ＝k ＋1时，左边添加项是13k ＋2＋13k ＋3＋13k ＋4－1k ＋1，这一点必须清楚.[再练一题]5.设a n ＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N ＋)，是否存在n 的整式g (n )，使得等式a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n －1＝g (n )(a n －1)对大于1的一切正整数n 都成立？证明你的结论.【解】 假设g (n )存在，那么当n ＝2时， 由a 1＝g (2)(a 2－1)，即1＝g (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12－1，∴g (2)＝2； 当n ＝3时，由a 1＋a 2＝g (3)(a 3－1)， 即1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＝g (3)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋13－1，∴g (3)＝3，当n ＝4时，由a 1＋a 2＋a 3＝g (4)(a 4－1)， 即1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋13＝g (4)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋13＋14－1，∴g (4)＝4，由此猜测g (n )＝n (n ≥2，n ∈N ＋).下面用数学归纳法证明：当n ≥2，n ∈N ＋时，等式a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n －1＝n (a n －1)成立.(1)当n ＝2时，a 1＝1，g (2)(a 2－1)＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12－1＝1， 结论成立.(2)假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N ＋)时结论成立，即a 1＋a 2＋a 3＋…＋a k －1＝k (a k －1)成立，那么当n ＝k ＋1时，a 1＋a 2＋…＋a k －1＋a k＝k (a k －1)＋a k ＝(k ＋1)a k －k＝(k ＋1)a k －(k ＋1)＋1＝(k ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫a k ＋1k ＋1－1＝(k ＋1)(a k ＋1－1)， 说明当n ＝k ＋1时，结论也成立，由(1)(2)可知，对一切大于1的正整数n ，存在g (n )＝n 使等式a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n －1＝g (n )(a n －1)成立.[构建·体系]1.用数学归纳法证不等式：1＋12＋14＋…＋12n －1＞12764成立，起始值至少取( )A.7B.8C.9D.10【解析】 左边等比数列求和S n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＞12764， 即1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＞127128，⎝ ⎛⎭⎪⎫12n＜1128，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫127，∴n ＞7， ∴n 取8，选B.【答案】 B2.用数学归纳法证明2n ≥n 2(n ≥5，n ∈N ＋)成立时第二步归纳假设的正确写法是( )A.假设n ＝k 时命题成立B.假设n ＝k (k ∈N ＋)时命题成立C.假设n ＝k (k ≥5)时命题成立D.假设n ＝k (k >5)时命题成立【解析】 由题意知n ≥5，n ∈N ＋，故应假设n ＝k (k ≥5)时命题成立.【答案】 C3.用数学归纳法证明不等式1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n >1314(n ≥2，n ∈N ＋)的过程中，由n ＝k 递推到n ＝k ＋1时不等式左边( )【导学号：38000061】A.增加了一项12(k ＋1)B.增加了两项12k ＋1，12k ＋2 C.增加了两项12k ＋1，12k ＋2，但减少了一项1k ＋1D.以上各种情况均不对【解析】 ∵n ＝k 时，左边＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ，n ＝k ＋1时，左边＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2， ∴增加了两项12k ＋1，12k ＋2，少了一项1k ＋1.【答案】 C4.用数学归纳法证明“2n ＋1≥n 2＋n ＋2(n ∈N ＋)〞时，第一步的验证为________.【解析】 当n ＝1时，21＋1≥12＋1＋2，即4≥4成立.【答案】 21＋1≥12＋1＋25.试证明：1＋12＋13＋ (1)<2n (n ∈N ＋). 【证明】 (1)当n ＝1时，不等式成立.(2)假设n ＝k (k ≥1，k ∈N ＋)时，不等式成立，即1＋12＋13＋ (1)<2k . 那么n ＝k ＋1时，⎝⎛⎭⎪⎫1＋12＋13＋…＋1k ＋1k ＋1 <2k ＋1k ＋1＝2k (k ＋1)＋1k ＋1< k ＋(k ＋1)＋1k ＋1＝2k ＋1. 这就是说，n ＝k ＋1时，不等式也成立.根据(1)(2)可知，不等式对n ∈N ＋成立.我还有这些缺乏：(1)(2) 我的课下提升方案：(1)(2)。
用数学归纳法证明不等式举例
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【自主解答】 当n＝1时，1＋1 1＋1＋1 2＋3×11＋1>2a4， 则2264>2a4， ∴a<26. 又a∈N*， ∴取a＝25.
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下面用数学归纳法证明n＋1 1＋n＋1 2＋…＋3n1＋1>2254.
(1)n＝1时，已证．
(2)假设当n＝k时(k≥1，k∈N*)，
(1)当n＝2时，S22＝1＋
1 2
＋
1 3
＋
1 4
＝
25 12
>1＋
22，
即n＝2时命题成立．
(2)假设n＝k(k≥2，k∈N*)时命题成立，即S2k＝1＋
1 2
＋
1 3
＋…＋21k>1＋2k.
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当n＝k＋1时， S2k＋1＝1＋12＋13＋…＋21k＋2k＋1 1＋…＋2k1＋1 >1＋2k＋2k＋1 1＋2k＋1 2＋…＋2k1＋1 >1＋2k＋2k＋2k 2k＝1＋2k＋12＝1＋k＋2 1. 故当n＝k＋1时，命题也成立． 由(1)、(2)知，对n∈N*，n≥2，S2n>1＋n2都成立．
不等式1<an<1－1 a成立．
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(2)假设n＝k(k≥1 ，k∈N*)时，命题成立，即1<ak<1－1 a. 当n＝k＋1时，由递推公知，知 ak＋1＝a1k＋a>(1－a)＋a＝1， 同时，ak＋1＝a1k＋a<1＋a＝11－－aa2<1－1 a， 因此当n＝k＋1时，1<ak＋1<1－1 a，命题也成立． 综合(1)、(2)可知，对一切正整数n，有1<an<1－1 a.
1．贝努利(Bernoulli)不等式
：数学归纳法证明不等式
第四讲：数学归纳法证明不等式数学归纳法证明不等式是高中选修的重点内容之一，包含数学归纳法的定义和数学归纳法证明基本步骤，用数学归纳法证明不等式。
数学归纳法是高考考查的重点内容之一，在数列推理能力的考查中占有重要的地位。
本讲主要复习数学归纳法的定义、数学归纳法证明基本步骤、用数学归纳法证明不等式的方法：作差比较法、作商比较法、综合法、分析法和放缩法，以及类比与猜想、抽象与概括、从特殊到一般等数学思想方法。
在用数学归纳法证明不等式的具体过程中，要注意以下几点：（1）在从n=k 到n=k+1的过程中，应分析清楚不等式两端（一般是左端）项数的变化，也就是要认清不等式的结构特征；（2）瞄准当n=k+1时的递推目标，有目的地进行放缩、分析； （3）活用起点的位置；（4）有的试题需要先作等价变换。
例题精讲例1、用数学归纳法证明n n n n n 212111211214131211+++++=--++-+-分析：该命题意图：本题主要考查数学归纳法定义，证明基本步骤 证明：1︒当n=1时，左边=1-21=21，右边=111+=21，所以等式成立。
2︒假设当n=k 时，等式成立，即k k k k k 212111211214131211+++++=--++-+-。
那么，当n=k+1时，221121211214131211+-++--++-+-k k k k 221121212111+-+++++++=k k k k k )22111(1212131214131211+-+++++++++=++-+-k k k k k k )1(21121213121+++++++++=k k k k k这就是说，当n=k+1时等式也成立。
综上所述，等式对任何自然数n 都成立。
点评：数学归纳法是用于证明某些与自然数有关的命题的一种方法．设要证命题为P （n ）．（1）证明当n 取第一个值n 0时，结论正确，即验证P （n 0）正确；（2）假设n=k （k ∈N 且k≥n 0）时结论正确，证明当n=k+1时，结论也正确，即由P （k ）正确推出P （k+1）正确，根据（1），（2），就可以判定命题P （n ）对于从n 0开始的所有自然数n 都正确．要证明的等式左边共2n 项，而右边共n 项。
数学归纳法证明不等式
二.用数学归纳法证明几何问题
例2.平面上有n( n N , n 3)个点, 其中任何三点都不在 同一条直线上, 过这些点中任意两点作 直线, 这样的直线 共有多少条? 证明你的结论.
特别提示:
用数学归纳法证几何问题,应特别注意语言叙述正确,清 楚,一定要讲清从n=k到n=k+1时,新增加量是多少.一般 地,证明第二步常用的方法是加一法,即在原来的基础上, 再增加一个,也可以从k+1个中分出一个来,剩下的k个利 用假设.
例2.证明不等式sin n n sin ( n N )
例3.证明贝努利不等式: 如果x是实数, 且x 1, x 0, n为大于1的自然数, 那么有 (1 x ) 1 nx
n
注： 事实上， 把贝努利不等式中的正整数 n 改为实数 仍有 类似不等式成立 . 当 是实数,且 或 0 时 ,有 (1 x ) ≥ 1 x ( x 1) 当 是实数,且 0 1 时 ,有 (1 x ) ≤ 1 x ( x 1)
若 k 1 个正数 a1 , a2 , , ak , ak 1 都相等 ,则它们都是 1. 其和为 k 1 ,命题成立.
若这 k 1 个正数 a1 , a2 , , ak , ak 1 不全相等 , 则其中 必有大于 1 的数,也有小于 1 的数(否则与 a1a2 ak ak 1 1 矛盾).不妨设 a1 1, a2 1 „„
一.用数学归纳法证明等式问题
通过计算下面的式子, 猜想出 1 3 5 ( 1)n ( 2n 1) 的结果, 并加以证明. 1 3 _____;1 3 5 ______ 1 3 5 7 ______;1 3 5 7 9 _______
如何应用数学归纳法证明不等式
如何应用数学归纳法证明不等式数学归纳法是一种常见的数学证明方法，通过证明初始情况成立和任意情况都成立，来证明一般情况成立。
在不等式证明中，也可以应用数学归纳法。
本文将介绍如何应用数学归纳法证明不等式。
第一步，证明初始情况成立。
通常，需要选取一个最小的自然数来作为初始情况，然后证明不等式在该自然数下成立。
以证明$a^n-1$能够被$(a-1)$整除为例。
当$n=1$时，$a^1-1=a-1$，由于$a-1$显然能够整除$a-1$，因此初始情况成立。
第二步，假设任意情况成立。
即假设当$n=k(k \in N^*)$时，$a^k-1$能够被$(a-1)$整除。
第三步，证明一般情况也成立。
即证明当$n=k+1$时，$a^{k+1}-1$也能够被$(a-1)$整除。
由于$a^{k+1}-1 = a^k \cdot a - 1 = (a^k-1) \cdot a + (a-1)$，而根据假设，$a^k-1$能够被$(a-1)$整除，因此$a^{k+1}-1$也能够被$(a-1)$整除。
通过上述三步，我们得到了$a^n-1$能够被$(a-1)$整除。
类似的，可以应用数学归纳法证明其他的不等式。
例如证明$1+2+...+n=\frac{n(n+1)}{2}$，我们可以选取$1$作为初始情况；假设当$n=k(k \in N^*)$时，$1+2+...+k=\frac{k(k+1)}{2}$；然后证明当$n=k+1$时，$1+2+...+k+(k+1)=\frac{(k+1)(k+2)}{2}$。
当然，在进行数学归纳法证明时，选择初始情况和需要证明的语句都需要谨慎选择。
总结一下，数学归纳法是一种常见的数学证明方法，可以应用在不等式证明当中。
通过证明初始情况成立、假设任意情况成立、证明一般情况也成立这三步，可以有效地证明不等式。
第2节证明不等式的基本方法
第2节证明不等式的基本方法证明不等式的基本方法总结如下：一、利用数学分析中的中值定理、极值、单调性等性质进行证明。
1.利用中值定理：利用连续函数介值定理或拉格朗日中值定理，根据函数的一些性质，可以推出不等式的成立。
例如，证明一个凸函数在区间上的函数值不小于端点的函数值。
2.利用极值：通过求导或其他方法，找到函数的极值点，然后证明这些极值点就是不等式的最小（最大）值点。
例如，证明两数之积不大于它们的平方和，可以通过求导得到函数的极值点，然后通过证明这个极值点为最小值点来完成。
3.利用单调性：如果已知函数在一些区间上是严格递增（递减）的，可以通过证明不等式在一些特殊点成立，并通过函数的单调性推出在整个区间上成立。
例如，证明一个正数的倒数小于它自己，则可以先证明在0到1之间成立，然后利用单调性推出在整个正数范围内成立。
二、利用数学归纳法进行证明。
如果不等式中的变量是正整数，可以利用数学归纳法进行证明。
首先证明当n=1时不等式成立，然后假设当n=k时不等式成立，再证明当n=k+1时不等式也成立。
例如，证明n个正数的平均值不小于它们的几何平均值，可以先证明当n=1时成立，然后假设当n=k时成立，再证明当n=k+1时也成立，最后利用数学归纳法推出结论。
三、利用代数方法。
1.利用等价变形：对于一个复杂的不等式，可以通过进行等价变形来简化证明。
通过将不等式的两边同时加上或减去一些式子，或者将不等式两边同时乘以或除以一些式子，可以得到一个等价的不等式，然后证明这个等价的不等式。
例如，证明正数的n次方大于等于它的平方，可以将不等式两边同时开方，然后证明这个等价的不等式。
2. 利用加减法、乘除法不等式：对于一个分式或多项式不等式，可以通过利用加减法、乘除法的不等式性质，将不等式化简为更简单的形式，再进行证明。
例如，证明a+b≤2ab，则可以将两边同时减去a+b再加上2，利用不等式的性质简化后得到ab≥1，再证明这个等价的不等式。
5.3数学归纳法证明不等式 课件(人教A版选修4-5)
因为kx2＞0，所以左边＞右边，即(1+x)k+1>1+(k+1)x．
这就是说，原不等式当n=k+1时也成立． 根据(1)和(2)，原不等式对任何不小于2的自然数n都成立.
1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 3 k ( k 1) k ( k 1)2
2.当 n≥ 2 时,求证: 1
1 2
1
1 3
1 n
n
2 . 证明： （1） 当n 2 时，左式 1 1 17 2 右式 2 2
若 k 1 个正数 a1 , a2 ,, ak , ak 1 都相等,则它们都是 1. 其和为 k 1 ,命题成立.
若这 k 1 个 正数 a1 , a2 ,, ak , ak 1 不全 相等,则 其中 必有大于 1 的数,也有小于 1 的数(否则与 a1a2 ak ak 1 1 矛盾).不妨设 a1 1, a2 1 .
证明:⑴当 n 1 时,有 a1 1 ，命题成立. ⑵ 设 当 n k (k≥1) 时 ， 命 题 成 立 ， 即 若 k 个 正数 a1 , a2 ,, ak 的乘积 a1a2 ak 1,那么它们的和 a1 a2 ak ≥ k . 那么当 n k 1 时 ,已知 k 1 个正 数 a1 , a2 ,, ak , ak 1 满 足 a1a2 ak ak 1 1 .
高中不等式的证明方法
高中不等式的证明方法在高中数学学习中，不等式是一个非常重要的内容。
在解决不等式问题的过程中，常常需要使用一些证明方法。
下面我将介绍一些高中不等式的证明方法。
一、计算法对于一般的不等式，我们可以通过计算来证明。
该方法常常适用于直接证明不等式的正确性。
示例：对于不等式a + b ≥ 2√(ab)，我们可以对其两边进行平方运算，化简得到(a + b)² ≥ 4ab，继续化简得到a² + 2ab + b² ≥ 4ab，最后得到a² + b² ≥ 2ab。
由于a²，b²为非负数，所以a² + b² ≥ 2ab成立，从而不等式得到证明。
二、数轴法数轴法是一种简便的证明不等式的方法。
示例：对于不等式x+1>2，我们可以画出数轴，将不等式变形为x>1，即x的取值范围在1的右侧。
通过观察数轴即可发现x的取值大于1，所以不等式成立。
三、加减法对于含有多个项，且项之间存在加减关系的不等式，我们可以通过加减法将不等式转化为一个已知不等式来证明。
示例：对于不等式a+b+c>3，我们可以将不等式两边都减去c，得到a+b>3-c。
由于c是一定的，所以不等式a+b>3-c成立，即不等式得到证明。
四、乘法当不等式中存在连续的乘法关系时，我们可以通过乘法来证明不等式。
示例：对于不等式(x+1)(x+2)>0，我们可以使用因式分解法将不等式化简为(x+1)(x+2)≠0。
由于(x+1)(x+2)的乘积肯定不为0，所以不等式成立。
五、数学归纳法对于有一定规律的不等式，我们可以使用数学归纳法来证明。
示例：对于不等式2ⁿ>n²，我们首先验证n=1时不等式成立，然后假设对于一些自然数k，不等式成立。
即2ᵏ>k²。
然后再证明当n=k+1时，也成立。
即2^(k+1)>(k+1)²。
高中证明不等式的四大方法
高中证明不等式的四大方法
研究不等式是很重要的，它作为数学、物理和其他领域的基础，对日常生活也有着十分重要的意义。
高中时期学习不等式的过程中，常常会遇到如何证明不等式所带来的问题，证明不等式一般可以有四种方法：
一、函数极值法
函数极值法是借助函数及其导数的性质来证明不等式，判断函数的极值的性质，然后用极值来证明不等式。
这种方法适用于不等式中带有 x 的函数及其导数，比如函数 f ( x ) = x^2 + ax + b ( a，b 为常数) 的大于、小于及其证明，都可以用函数极值法来证明。
二、不等式组合法
不等式组合法是利用不等式和其他熟悉的性质，把不等式组合起来，以有效证明一个不等式的方法，一般可用自然数的定理、AM-GM 定理、费马平方和定理、牛顿黎曼不等式等方法结合不等式证明原不等式。
三、几何法
几何法是一种综合的方法，它的核心是运用间接证明的思想，通过几何形象中的定理，证明几何形象和不等式之间的关系，如正方形边长和正数之间的关系等。
四、数学归纳法
数学归纳法是一种经典的元素数学思想，包括数学归纳和数学归纳法，它利用数学归纳法的思想，由简到难，从某一特定情况，以及一切类似的情况中得出一般性的结论和推论，最终证明某个不等式。
以上就是证明不等式的四大方法。
不等式是所有科目中都有用到的知识，学习不等式也需要一定技巧，上面介绍的四大方法可以帮助我们更好的学习不等式，并有助于我们准确地研究不等式。
在数学学习中，不要把不等式搞混、弄回，按照上面介绍的四大方法认真学习，才能更好的掌握不等式的学习方法，正确地解答各种不等式的问题。
数列不等式的证明方法
数列不等式的证明方法一、数学归纳法：数学归纳法是一种证明数学命题的方法，常用于证明数列不等式的成立。
1.基本思路：数学归纳法证明数列不等式的基本思路如下：（1）首先，证明当n=1时命题成立；（2）然后，假设当n=k时命题成立，即假设P(k)成立；（3）最后，证明当n=k+1时命题也成立，即证明P(k+1)成立。
2.具体操作步骤：（1）证明当n=1时命题成立；（2）假设当n=k时命题成立，即假设P(k)成立；（3）证明当n=k+1时命题也成立，即证明P(k+1)成立。
3.举例说明：以证明斐波那契数列F(n)的递推形式F(n)=F(n-1)+F(n-2)为例。
（1）首先，证明当n=1时命题成立。
易知F(1)=1，F(0)=0，F(1)=F(0)+F(-1)成立。
（2）假设当n=k时命题成立，即假设F(k)=F(k-1)+F(k-2)成立。
（3）证明当n=k+1时命题也成立，即证明F(k+1)=F(k)+F(k-1)成立。
根据假设，F(k+1)=F(k)+F(k-1)成立，所以命题成立。
二、递推法：递推法的证明思路是通过已知条件和递推关系来逐步推导出结论。
1.基本思路：递推法证明数列不等式的基本思路如下：（1）首先，根据数列的递推关系列出递推式；（2）然后，推导出递推式的通项公式；（3）最后，利用递推式的通项公式证明数列不等式的成立。
2.具体操作步骤：（1）根据数列的递推关系列出递推式；（2）推导出递推式的通项公式；（3）利用递推式的通项公式证明数列不等式的成立。
3.举例说明：以证明斐波那契数列F(n)的递推式F(n)=F(n-1)+F(n-2)为例。
（1）根据递推关系列出递推式：F(n)=F(n-1)+F(n-2)；（2）推导出递推式的通项公式：解这个递推方程得到F(n)=A*φ^n+B*λ^n，其中A、B为常数，φ和λ为一元二次方程x^2-x-1=0的两个根，φ≈1.618，λ≈-0.618；（3）利用递推式的通项公式证明数列不等式的成立：证明F(n)>n，通过证明A*φ^n+B*λ^n>n，根据递推式的通项公式可得证。
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例4、已知x> 1，且x0，nN，n2． 求证：(1+x)n>1+nx.
证明： （1）当n=2时，左＝(1＋x)2=1+2x+x2
∵ x0，∴ 1+2x+x2>1+2x=右
∴n=1时不等式成立 （2）假设n=k时，不等式成立，即 (1+x)k>1+kx 当n=k+1时，因为x> 1 ，所以1+x>0，于是 左边=(1+x)k+1=(1+x)k(1+x)>(1+x)(1+kx)=1+(k+1)x+kx2； 右边=1+(k+1)x． 因为kx2＞0，所以左边＞右边，即(1+x)k+1>1+(k+1)x． 这就是说，原不等式当n=k+1时也成立． 根据(1)和(2)，原不等式对任何不小于2的自然数n都成立.
1 1 1 1 2° 假设 n＝k 时命题成立，即 1＋ 2＋ 2＋„＋ 2<2－ 2 3 k k 1 1 1 1 当 n＝k＋1 时，1＋22＋32＋„＋k2＋ 2< (k＋1) 1 1 1 1 1 1 1 2－ ＋ <2－ ＋ ＝2－ ＋ － k (k＋1)2 k k(k＋1) k k k＋1 1 ＝2－ 命题成立． k＋1 由 1° 、2° 知原不等式在 n≥2 时均成立．
2.数学归纳法适用范围,主要用于研究与正整数有关 的数学问题。 3. 数学归纳法的关键与难点： 在 “归纳递推 ” 中 , “证明当 n =k+1 时 命题也成立 ”, 必须利用归纳假设 ：“当 n= k (k ≥n 0, k ∈ N *时命题成立 ” 否则便不是 , 数学归纳法。
应用数学归纳法时特别注意：
则当 n＝k＋1 时，左边＝1· [(k＋1)2－12]＋2[(k＋1)2－ 22]＋„＋k[(k＋1)2 －k2]＋(k＋1)[(k＋1)2 －(k＋1)2]＝1· 2 (k －12)＋2(k2 －22)＋„＋k(k2 －k2)＋1· (2k＋1)＋2(2k＋1) 1 4 1 2 ＋„＋k(2k＋1)＝ k ＋－4k ＋(2k＋1)＋2(2k＋1)＋„＋ 4 k(2k＋1) 1 1 4 ＝4(k＋1) －4(k＋1)2.(为什么？) ∴当 n＝k＋1 时，等式也成立． 由(1)，(2)得等式对一切的 n∈N*均成立．
[解析] 27－1 127 26 ＝ 64
1 1 1 ∵1＋ 2 ＋ 4 ＋„＋ 7－1 ＝ 2
1 1－27
1 1 ＝2－ 26 ＝ 1－2
1 1 1 127 而 1＋2＋4＋„＋ 8－1> 64 ，故应选 B. 2
二、填空题 4．用数学归纳法证明等式 1＋2＋3＋„＋(n＋3)＝ (n＋3)(n＋4) (n∈N*)，当 n＝1 时，左边应为______． 2
a＋b＋c＝0 16a＋4b＋c＝3 81a＋9b＋c＝18
下面用数学归纳法证明： (1)当 n＝1 时，由上可知等式成立； (2)假设当 n＝k(k≥1，k∈N*)时，等式成立，即 1(k2－ 1 4 1 2 1 )＋2(k －2 )＋„＋k(k －k )＝ k － k ， 4 4
2 2 2 2 2
[例5]
是否存在常数a，b，c使等式1·(n2－12) ＋2(n2－22)＋„＋n(n2－n 2)＝an4＋bn2＋c对一 切正整数n成立？证明你的结论．
先取n＝1,2,3探求a，b，c的值，然后用数学 归纳法证明对一切的n∈N*，a，b，c所确定的等式都成 立．
[分析]
[解析]
分别用 n＝1,2,3 代入解方程组 1 a＝4 1 ⇒ b＝－4 c＝0
[证明]
1 1 (1)当 n＝1 时，左边＝ ＝ ，右边＝ 1×3 3
1 1 ＝ ，左边＝右边，所以等式成立． 2×1＋1 3 (2)假设 n＝k(k≥1)时等式成立，即有 1 1 1 k ＋ ＋„＋ ＝ ， 1×3 3×5 (2k－1)(2k＋1) 2k＋1 则当 n＝k＋1 时，
1 1 1 1 ＋ ＋„＋ ＋ 1×3 3×5 (2k－1)(2k＋1) (2k＋1)(2k＋3) k(2k＋3)＋1 k 1 ＝ ＋ ＝ 2k＋1 (2k＋1)(2k＋3) (2k＋1)(2k＋3) 2k2＋3k＋1 k＋1 k＋1 ＝ ＝ ＝ . (2k＋1)(2k＋3) 2k＋3 2(k＋1)＋1 所以当 n＝k＋1 时，等式也成立． 由(1)、(2)可知，对一切 n∈N*等式都成立．
[例 2]
用数学归纳法证明：
1 1 1 1 1＋ 2＋ 2＋„＋ 2<2－ (n≥2)． 2 3 n n
[分析] 按照数学归纳法的步骤证明，在 由n＝k到n＝k＋1的推证过程中应用了放 缩技巧，使问题简单化，这是利用数学归 纳法证明不等式的常用技巧之一．
[证明]
1 5 1 3 1° n＝2 时，1＋22＝4<2－2＝2，命题成立． 当
练习:
1．用数学归纳法证明1＋2＋„＋(2n＋1) ＝(n＋1)(2n＋1)时，在验证n＝1成立时， 左边所得的代数式是( ) A．1 B．1＋3 C．1＋2＋3 D．1＋2＋3＋4
[解析] 当n＝1时，2n＋1＝2×1＋1＝3， 所以左边为1＋2＋3.故应选C.
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1 1 1 1 n 2． 用数学归纳法证明1·＋2·＋3·＋„＋ ＝ 2 3 4 n(n＋1) n＋1 (n∈N*)，从“n＝k 到 n＝k＋1”时，等式左边需要增添的项 是 1 A. k(k＋1) 1 1 B. ＋ k(k＋1) (k＋1)(k＋2) 1 C. k(k＋2) 1 D. (k＋1)(k＋2) ( )
三、解答题 6．用数学归纳法证明：12＋32＋52＋„＋(2n－1)2＝ 1 n(4n2－1)． 3
[证明]
(1)当 n＝1 时，左边＝12＝1，
1 右边＝ ×1×(4－1)＝1，等式成立． 3 (2)假设当 n＝k(k∈N*)时等式成立， 12＋32＋52＋„ 即 1 2 ＋(2k－1) ＝ k(4k2－1)． 3 则当 n＝k＋1 时，2＋32＋52＋„＋(2k－1)2＋(2k＋1)2 1 1 ＝ k(4k2－1)＋(2k＋1)2 3
[解析] 1 k(k＋1)
1 1 当 n＝k 时，等式左边＝ ＋ ＋„＋ 1· 2· 2 3
1 1 1 当 n＝k＋1 时，等式左边＝1·＋2·＋„＋ ＋ 2 3 k(k＋1) 1 (k＋1)(k＋2) 1 两者比较需添加的项为 . (k＋1)(k＋2) 故应选 D.
1 1 1 127 3．用数学归纳法证明不等式 1＋2＋4＋„＋ n－1> 64 成 2 立时，起始值 n 至少应取为 A．7 C．9 B．8 D．10 ( )
[解析] 当n＝1时，n＋3＝4， 所以等式左边为1＋2＋3＋4.
5．用数学归纳法证明某个命题时，左边为 1·2·3·4＋2·3·4·5＋„＋n(n＋1)(n＋2)(n＋3)， 从n＝k到n＝k＋1左边需增加的代数式为 ________．
[解析] 当n＝k时，左边＝1·2·3·4＋2·3·4·5 ＋„＋k(k＋1)(k＋2)(k＋3)． 当n＝k＋1时，左边＝1·2·3·4＋2·3·4·5＋„ ＋k(k＋1)(k＋2)(k＋3)＋(k＋1)(k＋2)(k＋3)(k＋4)， 所以从n＝k到n＝k＋1左式应增加(k＋1)(k＋2)(k ＋3)(k＋4)．
[例4] 平面内有n个圆，其中每两个圆都交于两 点，且无三个及以上的圆交于一点，求证：这n 个圆将平面分成n2－n＋2(n∈N*)个区域． [分析] 本题关键是弄清第k＋1个圆与前k个圆 的交点个数，以及这些交点又将第k＋1个圆分成 了多少段弧，每一段弧又是怎样影响平面区域 的划分的．
[证明] (1)当n＝1时，1个圆将平面分成2个区域， 命题显然成立． (2)假设当n＝k(k∈N * )时命题成立，即k个圆将 平面分成k2－k＋2个区域．则当n＝k＋1时，第k ＋1个圆交前面k个圆于2k个点，这2k个点将第k ＋1个圆分成2k段弧，每段弧将各自所经过的区 域一分为二，于是增加了2k个区域，所以这k＋ 1个圆将平面分成k 2－k＋2＋2k个区域，即(k＋ 1)2－(k＋1)＋2个区域，故当n＝k＋1时，命题也 成立． 由(1)、(2)可知，对一切n∈N*，命题都成立．
故x2k+2-y2k+2能被x+y整除,即当n=2k+2时命题成立. 由(1)、(2)知原命题对一切正偶数均成立.
例2、用数学归纳法证明: An 5n 2 3n1 1(n N * ) 能被8 整除. 证:(1)当n=1时,A1=5+2+1=8,命题显然成立. (2)假设当n=k时,Ak能被8整除,即 Ak 5 2 3 是8的倍数. Ak 1 5k 1 2 3k 1 5(5k 2 3k 1 1) 那么: 4(3k 1 1) 5 Ak 4(3k 1 1)
2k 2
2
y
2k 2
2
x x y y
2 2k 2
2k 2k 2k
2k
x ( x y ) y ( x y ) x ( x y ) y ( x y)(x y) x2 ( x2k y 2k )、y 2k ( x y)(x y) 都能被x+y整除.
1.数学归纳法定义：
证明一个与正整数n有关的命题，可按下 列步骤进行： 第一个值n0(n0∈N*) 时 ①(归纳奠基)证明当n取 命题成立． n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立， ②(归纳递推)假设 证明当n＝k＋1时命题也成立 ． 只要完成这两步骤, 就可以断定命题对从 n0 开始的所有正整数 n 都成立。
(1)用数学归纳法证明的对象是与 正整数n 有关的 命题． (2)在用数学归纳法证明中，两个基本步骤缺一不 可．