离散变量优化问题ppt课件

5
x1 x1
6 x2
30 4
x1, x2 0
5
分枝定界法基本思想： 设有最大化的整型优化问题A，相应有松弛问题B，从解松弛问题 B开始，若其最优解不符合A的整数条件，那么B的最优目标函数
必是A的最优目标函数 z * 的上界，记作 z ；而A的任意可行解
的目标函数值将是 z * 的一个下界，记作 z 。
当所有的子问题均被关闭或剪枝后 目标函数值最大的整数解既为所求的最优解
10
例：用分枝定界法求解整型优化问题（用图解法计算）：
max Z x1 5x2
x1 x2 2
s.t.
5
x1 x1
6
x2
30 4
x1, x2 0且全为整数
首先去掉整数约束，变为一般线性优化问题（松弛问题），记为
LP：
先将（LP）划分为（LP1）和（LP2）, 取 x1 1, x1 2。
14
将（LP）划分为（LP1）和（LP2）,取 x1 1, x1 2 。
max Z x1 5x2
x1 x2 2
(
IP1)
5
x1 x1
6
x2
30 4
x1
1
max Z x1 5x2
x1 x2 2
(IP2)
子问题L1 : 1、L1无最优解，剪枝 2、最优解X *1 (x *11 ，x *12 , , x *1n ),
最优值z1
(1) X *1 为整数解 , z1为下界 关闭
(2) X *1 中至少有一个是分数： 继续分枝
子问题L2 :
9
设已找到下界Zi0：
讨论子问题Lk : 若 Lk 的最优值 Zk Zi0，剪枝 若 Lk 的最优值 Zk Zi0； (1)最优解X *k 是整数解 将下界改为 Z k ,关闭Lk (2)最优解X *k 不是整数解 继续对Lk 分枝
分枝定界法就是将B的可行域分成子区域(称为分枝)的方法，
逐步减小 z ，增大 z ，最终求到 z *。
z z* z
6
三个基本操作： （1）分枝
在松弛问题B的最优解中任选一个不符合整数条件的变量 x j ,其
值为 b j ,以 [bj ] 表示小于 b j 的最大整数。构造两个约束条件
x j [bj ] 和 x j [bj ] 1 将这两个约束条件,分别加入问题B,求两个后继规划问题B1和B2, 不考虑整数条件求解这两个后继问题.
7
（2）定界 以每个后继问题为一分枝标明求解结果,在解的结果中,找出最优 目标函数值最大者作为新的上界.从已符合整数条件的各分支中, 找出目标函数值为最大者作为新的下界,若无,则下界为0.
（3）比较与剪枝
各分支的最优目标函数中若有小于 z ，则剪掉这枝；若大于 z
且不符合整数条件，则重复前两步，直到找到最优解。
4
§9.3 分枝定界法（the branch and bound algorithm）
引入概念：松弛问题。
以整型优化问题为例：
松弛问题：
max Z x1 5x2
x1 x2 2
s.t.
5x1
x1
6
x2
30 4
x1, x2 0且全为整数
max Z x1 5x2
x1 x2 2
s.t.
3
离散变量优化方法
离散变量优化难点：不存在指导搜索过程的最优性条件。 直接方法：枚举法（enumeration）。可行点过多时，计算量大。 减少计算量：随机思想（stochastic ideas）、启发式原则（heuristic rules）。 两种基本方法： （隐式）枚举法：如，分枝定界法（the branch and bound algorithm）； 随机或进化方法：如，模拟退火算法、遗传算法等。
离散变量问题优化算法 （Algorithms for Discrete Variable Problem）
1
§9.1 引言
一般的优化方法只能求得连续变量的最优解。 工程实际中存在大量混合设计变量问题。 混合设计变量包含：连续设计变量、整型设计变量和离散设 计变量。 例如：齿轮传动装置的优化设计， 齿数是一个整型量，模数是一系列 离散量，变位系数可以看做连续量， 齿宽若按长度1mm单位计算，则也可 以看做整型量。
8
分枝定界法计算过程：
上界
讨论松弛问题L0 : 1、L0无最优解，则(IP)无最优解 结束
2、最优解X *0 (x *01 ，x *02 , , x *on ), 最优值z0
(1) X *0 为整数解 ，则X *0 为(IP)的最优解 结束
(2) X *0 中至少有一个是分数， 设x *01 是分数 ：分枝
Z (0) 218 / 11 19.8
即 Z（0）也是离散问题目标函数的上限。
12
13
松弛问题最优解： x* (x1, x2 ) (18 / 11, 40 / 11)
Z (0) 218 / 11 19.8
对于x1＝18 / 11 1.64， 取值x1 1，x1 2 对于x2 40 / 11 3.64， 取值x2 3，x2 4
2
传统方法的局限性
求离散问题的最优解，传统的方法是先用连续变量优化 设计方法求连续变量的最优解，然后圆整到离散值上。
弊病：可能得不到可行最优解，或所得的解不是离散最 优解。
x *为连续变量最优解；
x(1)是圆整后最近的离散点，但不可 行；
x(2)是最近的可行离散点，但不是离 散最优点；
x(3)是离散最优点。
(IP1)
5
x1 x1
6 x2
30 4
x1
1
此时B在点取得最优解。 x1＝1, x2 3, Z 1＝16
18
19
求（LP2）,如图所示。
5
x1 x1
6
x2
30 4
x1
2
现在只要求出（LP1）和（LP2）的最优解即可。
15
16
先求（LP1）,如图所示。
max Z x1 5x2
x1 x2 2
(IP1)
5
x1 x1
6 x2
30 4
x1
1
17
先求（LP1）,如图所示。
max Z x1 5x2
x1 x2 2
max Z x1 5x2
x1 x2 2
s.t.
5
x1 x1
6 x2
30 4
x1, x2 0
Leabharlann Baidu11
求出松弛问题最优解：
max Z x1 5x2
x1 x2 2
s.t.
5
x1 x1
6 x2
30 4
x1, x2 0
x* (x1, x2 ) (18 / 11, 40 / 11)