圆的标准方程和一般方程

圆的一般方程标准方程参数方程总结

1.圆的标准方程1、已知圆心为C(4b),半径为r,如何求的圆的方程？运用上节课求曲线方程的方法，从圆的定义出发，正确地推导出：(x-a)2+(y-b)2=r2这个方程叫做圆的标准方程2、圆的标准方程:(x-a)2 +(y-b)2 =r2若圆心在坐标原点上，这时a = b = O,则圆的方程就是x2+ /=r23、圆的标准方程的两个基本要素：圆心坐标和半径圆心和半径分别确定了圆的位置和大小，从而确定了圆，所以，只要•三个量确定了且厂>0,圆的方程就给定了。

这就是说要确定圆的方程，必须具备三个独立的条件，确定可以根据条件，利用待定系数法来解决三、讲解范例：例1求以C(l,3)为圆心，并且和直线3x-4y-7 = 0相切的圆的方程例2已知圆的方程x2+ y2=r2,求经过圆上一点M(x o,yo)的切线方程例3.求过点M(3,l),且及圆(x-l)2 + y2 =4相切的直线/的方程例4・一圆过原点O和点P(l,3),圆心在直线)=x+2上，求此圆的方程例5.已知一圆及y轴相切，在直线y = x上截得的弦AB长为2",圆心在直线x-3y = 0上，求此圆的方程.圆的一般方程1.圆的一般方程将标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2展开，整理，得 X + y2一2ax- 2by + a2 +b2 -r2 = 0 f可见，任何一个圆的方程都可以写成口 +尸+氐+ £)，+尸=0|的形式。

① 反过来，形如①的方程的曲线是否一定是圆呢？将①配方得：(x +与+ (>- +孑=D土严.. ②把方程②和圆的标准方程进行比较，可以看出：(1)当D2+E2-4F>0时，方程①表示以为圆心，为半径的圆；(2)当D2 + E2-4F = 0时，方程①表示一个点；(3)当D2 + E2-4F<0时，方程①不表示任何图形.结论：当D2+E2-4F>0时，方程①表示一个圆，此时，我们把方程①叫做圆的一般方程.2.圆的一般方程形式上的特点：(1)疋和〉卫的系数相同，且不等于o； (2)没有小这样的二次项. 以上两点是二元二次方程A.r2 + + Cy2 + Dx +Ey + F = 0表示圆的必要条件，但不是充分条件.充要条件是？(A二C H O, B二0, D2 +E2 -4FA>0 ) 说明：1、要求圆的一般方程，只要用待定系数法求出三个系数D、£、F 就可以了.2、圆的一般方程及圆的标准方程各有什么优点？(圆的标准方程：有利于作图。

圆的标准方程与一般方程

圆的标准方程1、情境设置：在直角坐标系中，确定直线的基本要素是什么？圆作为平面几何中的基本图形，确定它的要素又是什么呢？什么叫圆？在平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一个二元一次方程来表示，那么，原是否也可用一个方程来表示呢？如果能，这个方程又有什么特征呢？探索研究：2、探索研究：确定圆的基本条件为圆心和半径，设圆的圆心坐标为A(a,b)，半径为r。

（其中a、b、r都是常数，r>0）设M(x,y)为这个圆上任意一点，那么点M满足的条件是（引导学生自己列出）P={M||MA|=r},由两点间的距离公式让学生写出点M适合的条件r=①化简可得：222()()x a y b r-+-=②引导学生自己证明222()()x a y b r-+-=为圆的方程，得出结论。

方程②就是圆心为A(a,b),半径为r的圆的方程，我们把它叫做圆的标准方程。

3、知识应用及解题研究例（1）：写出圆心为(2,3)A -半径长等于5的圆的方程，并判断点12(5,7),(1)M M --是否在这个圆上。

分析探求：可以从计算点到圆心的距离入手。

探究：点00(,)M x y 及圆222()()x a y b r -+-=的关系的判断方法：（1）2200()()x a y b -+->2r ，点在圆外（2）2200()()x a y b -+-=2r ，点在圆上（3）2200()()x a y b -+-<2r ，点在圆内例（2）：ABC ∆的三个顶点的坐标是(5,1),(7,3),(2,8),A B C --求它的外接圆的方程师生共同分析：从圆的标准方程222()()x a y b r -+-= 可知，要确定圆的标准方程，可用待定系数法确定a b r 、、三个参数.（学生自己运算解决）例(3):已知圆心为C 的圆:10l x y -+=经过点(1,1)A 和(2,2)B -,且圆心在:10l x y -+=上,求圆心为C 的圆的标准方程.师生共同分析：如图确定一个圆只需确定圆心位置及半径大小.圆心为C 的圆经过点(1,1)A 和(2,2)B -,由于圆心C 及A,B 两点的距离相等，所以圆心C 在险段AB 的垂直平分线m 上，又圆心C 在直线l 上，因此圆心C 是直线l 及直线m 的交点，半径长等于CA 或CB 。

圆的标准方程与一般方程

圆的标准方程1、情境设置：在直角坐标系中，确定直线的基本要素是什么？圆作为平面几何中的基本图形，确定它的要素又是什么呢？什么叫圆？在平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一个二元一次方程来表示，那么，原是否也可用一个方程来表示呢？如果能，这个方程又有什么特征呢？探索研究：2、探索研究：确定圆的基本条件为圆心和半径，设圆的圆心坐标为A(a,b)，半径为r 。

（其中a 、b 、r 都是常数，r>0）设M(x,y)为这个圆上任意一点，那么点M 满足的条件是（引导学生自己列出）P={M||MA|=r},由两点间的距离公式让学生写出点M 适合的条件r = ①化简可得：222()()x a y b r -+-= ②引导学生自己证明222()()x a y b r -+-=为圆的方程，得出结论。

方程②就是圆心为A(a,b),半径为r 的圆的方程，我们把它叫做圆的标准方程。

3、知识应用与解题研究例（1）：写出圆心为(2,3)A -半径长等于5的圆的方程，并判断点12(5,7),(1)M M --是否在这个圆上。

分析探求：可以从计算点到圆心的距离入手。

探究：点00(,)M x y 与圆222()()x a y b r -+-=的关系的判断方法：（1）2200()()x a y b -+->2r ，点在圆外（2）2200()()x a y b -+-=2r ，点在圆上（3）2200()()x a y b -+-<2r ，点在圆内例（2）：ABC ∆的三个顶点的坐标是(5,1),(7,3),(2,8),A B C --求它的外接圆的方程师生共同分析：从圆的标准方程222()()x a y b r -+-= 可知，要确定圆的标准方程，可用待定系数法确定a b r 、、三个参数.（学生自己运算解决）例(3):已知圆心为C 的圆:10l x y -+=经过点(1,1)A 和(2,2)B -,且圆心在:10l x y -+=上,求圆心为C 的圆的标准方程.师生共同分析：如图确定一个圆只需确定圆心位置与半径大小.圆心为C 的圆经过点(1,1)A 和(2,2)B -,由于圆心C 与A,B 两点的距离相等，所以圆心C 在险段AB 的垂直平分线m 上，又圆心C 在直线l 上，因此圆心C 是直线l 与直线m 的交点，半径长等于CA 或CB 。

圆的一般方程,标准方程,参数方程总结

1. 圆的标准方程1、已知圆心为),(b a C ，半径为r ，如何求的圆的方程？运用上节课求曲线方程的方法，从圆的定义出发，正确地推导出：222)()(r b y a x =-+- 这个方程叫做圆的标准方程2、圆的标准方程：222)()(r b y a x =-+-若圆心在坐标原点上，这时0==b a ，则圆的方程就是222r y x =+3、圆的标准方程的两个基本要素：圆心坐标和半径圆心和半径分别确定了圆的位置和大小，从而确定了圆，所以，只要r b a ,,三个量确定了且r ＞0，圆的方程就给定了。

这就是说要确定圆的方程，必须具备三个独立的条件，确定r b a ,,，可以根据条件，利用待定系数法来解决三、讲解范例：例1 求以C(1,3)为圆心，并且和直线0743=--y x 相切的圆的方程例2已知圆的方程222r y x =+，求经过圆上一点),(00y x M 的切线方程例3．求过点(3,1)M ，且与圆22(1)4x y -+=相切的直线l 的方程例4．一圆过原点O 和点(1,3)P ，圆心在直线2y x =+上，求此圆的方程例5．已知一圆与y 轴相切，在直线y x =上截得的弦AB 长为，圆心在直线30x y -=上，求此圆的方程．2. 圆的一般方程1．圆的一般方程将标准方程222()()x a y b r -+-=展开，整理，得22222220x y ax by a b r +--++-=，将①配方得：22224()()224D E D E F x y +-+++=． ② 把方程②和圆的标准方程进行比较，可以看出：（1）当2240D E F +->时，方程①表示以(,)22D E --为半径的圆；（2）当2240D E F +-=时，方程①表示一个点(,)22D E --；（3）当2240D E F +-<时，方程①不表示任何图形．结论：当2240D E F +->时，方程①表示一个圆，此时，我们把方程①叫做圆的一般方程．2．圆的一般方程形式上的特点：（1）2x 和2y 的系数相同，且不等于0；（2）没有xy 这样的二次项．以上两点是二元二次方程220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=表示圆的必要条件，但不是充分条件．充要条件是？（A=C ≠0，B=0，0422>-+FA E D ）说明：1、要求圆的一般方程，只要用待定系数法求出三个系数D 、E 、F 就可以了．2、圆的一般方程与圆的标准方程各有什么优点？（圆的标准方程：有利于作图。

圆的一般方程和标准方程知识题型总结

圆的方程一、圆的标准方程确定圆的基本条件为圆心和半径，设圆的圆心坐标为A(a,b)，半径为r 。

（其中a 、b 、r 都是常数，r>0）设M(x,y)为这个圆上任意一点，那么点M 满足的条件是（引导学生自己列出）P={M||MA|=r},由两点间的距离公式写出点Mr = ①化简可得：222()()x a y b r -+-= ②自己证明为圆的方程，得出结论。

方程②就是圆心为A(a,b),半径为r 的圆的方程，我们把它叫做圆的标准方程例（1）：写出圆心为(2,3)A -半径长等于5的圆的方程，并判断点12(5,7),(1)M M --是否在这个圆上。

二、探究：点00(,)M x y 与圆222()()x a y b r -+-=的关系的判断方法：（1）2200()()x a y b -+->2r ，点在圆外（2）2200()()x a y b -+-=2r ，点在圆上（3）2200()()x a y b -+-<2r ，点在圆内例（2）：ABC 的三个顶点的坐标是(5,1),(7,3),(2,8),A B C --求它的外接圆的方程例(3):已知圆心为C 的圆:10l x y -+=经过点(1,1)A 和(2,2)B -,且圆心在:10l x y -+=上,求圆心为C 的圆的标准方程.三、特殊位置的圆的标准方程设法（无需记，关键能理解）条件方程形式圆心在原点 ()2220x y rr +=≠过原点 ()()()2222220x a y b a b ab -+-=++≠圆心在x 轴上 ()()2220x a y rr -+=≠ 圆心在y 轴上 ()()2220x y b rr +-=≠ 圆心在x 轴上且过原点 ()()2220x a y aa -+=≠ 圆心在y 轴上且过原点 ()()2220x y b bb +-=≠与x 轴相切 ()()()2220x a y b bb -+-=≠ 与y 轴相切 ()()()2220x a y b a a -+-=≠与两坐标轴都相切 ()()()2220x a y b aa b -+-==≠四、圆的一般方程(x －a)2＋(y －b)2=r 2，圆心(a ，b)，半径r ．把圆的标准方程展开，并整理：x 2＋y 2－2ax －2by ＋a 2＋b 2－r 2=0．取222,2,2r b a F b E a D -+=-=-=得022=++++F Ey Dx y x ①这个方程是圆的方程．反过来给出一个形如x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F=0的方程，它表示的曲线一定是圆吗？把x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F=0配方得44)2()2(2222F E D E y D x -+=+++ ② 这个方程是不是表示圆？(1)当D 2＋E 2－4F ＞0时，方程②表示（1）当0422>-+F E D 时，表示以（-2D ，-2E）为圆心,F E D 42122-+为半径的圆；（2）当0422=-+F E D 时，方程只有实数解2D x -=，2E y -=，即只表示一个点（-2D ，-2E）;（3）当0422<-+F E D 时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形综上所述，方程022=++++F Ey Dx y x 表示的曲线不一定是圆只有当0422>-+F E D 时，它表示的曲线才是圆，我们把形如022=++++F Ey Dx y x 的表示圆的方程称为圆的一般方程()2214x y ++=五、圆的一般方程的特点：(1)①x 2和y 2的系数相同，不等于0．②没有xy 这样的二次项．(2)圆的一般方程中有三个特定的系数D 、E 、F ，因之只要求出这三个系数，圆的方程就确定了．(3)、与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显。

圆的标准方程与一般方程

(1)求的最大值和最小值.
(2)求 x2+y2 的最大值和最小值.
圆心：－D2 ，－E2
半径：
2、直线与圆位置关系：相离、相切、相交
3、圆与圆位置关系：外离、外切、相交、内切、内含
（1）当 d r1 r2 时，两圆相离
（2）当 d r1 r2 时，两圆外切
（3）当 r1 r2 d r1 r2 时，两圆相交（4）当 d r1 r2 时，两圆内切（5）当 0 d r1 r2 时，两圆内含
A．－2
B．－4
C．－6
圆的标准方程与一般方程 D．－8
6、圆 C：(x＋1)2＋(y－2)2＝8 到直线 l：x＋y＋1＝0 的距离为 2的点的个数是(
)
A．1
B．2
C．3
D．4
7、圆 x2＋y2＝1 和 x2＋y2－6y＋5＝0 的位置关系为(
)
A．外切
B．内切
C．相离
D．内含
8、圆 x2＋y2－2x－5＝0 和圆 x2＋y2＋2x－4y－4＝0 的交点为 A、B，则线段 AB 的垂直平分线方程为( )
A．2x－y＋1＝0
B．2x－y－1＝0
C．2x＋y＋1＝0
D．2x＋y－1＝0
4、若方程 x2＋y2－x＋y＋m＝0 表示圆，则实数 m 的取值范围是(
)
－∞，1
A.
2
B．(－∞，0)
1，＋∞ C. 2
－∞，1
D.
2
5、已知圆 x2＋y2＋2x－2y＋a＝0 截直线 x＋y＋2＝0 所得弦的长度为 4，则实数 a 的值为( )
一、教学目标 1、理解掌握圆的标准方程与一般方程 3、直线与圆的应用问题二、引入新知

圆的一般方程,标准方程,参数方程总结

1. 圆的标准方程１、已知圆心为),(b a C ,半径为r ，如何求的圆的方程？运用上节课求曲线方程的方法,从圆的定义出发，正确地推导出:222)()(r b y a x =-+- 这个方程叫做圆的标准方程2、圆的标准方程 :222)()(r b y a x =-+-若圆心在坐标原点上,这时0==b a ,则圆的方程就是222r y x =+ ３、圆的标准方程的两个基本要素:圆心坐标和半径圆心和半径分别确定了圆的位置和大小,从而确定了圆,所以,只要r b a ,,三个量确定了且r >０,圆的方程就给定了。

这就是说要确定圆的方程,必须具备三个独立的条件，确定r b a ,,，可以根据条件,利用待定系数法来解决三、讲解范例:例１求以C(1，３)为圆心,并且和直线0743=--y x 相切的圆的方程例2已知圆的方程222r y x =+，求经过圆上一点),(00y x M 的切线方程例3.求过点(3,1)M ，且与圆22(1)4x y -+=相切的直线l 的方程例4.一圆过原点O 和点(1,3)P ，圆心在直线2y x =+上,求此圆的方程例５.已知一圆与y 轴相切,在直线y x =上截得的弦AB长为30x y -=上,求此圆的方程.2. 圆的一般方程1.圆的一般方程将标准方程222()()x a y b r -+-=展开，整理, 得22222220x y ax by a b r +--++-=,反过来, 将①配方得：22224()()224D E D E Fx y +-+++=. ②把方程②和圆的标准方程进行比较，可以看出： (１)当2240DE F +->时,方程①表示以(,)22D E --为圆心为半径的圆;(2)当2240D E F +-=时,方程①表示一个点(,)22D E--; （３)当2240D E F +-<时,方程①不表示任何图形.结论:当2240D E F +->时,方程①表示一个圆,此时,我们把方程①叫做圆的一般方程．2．圆的一般方程形式上的特点：（1)2x 和2y 的系数相同,且不等于0; （2)没有xy 这样的二次项．以上两点是二元二次方程220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=表示圆的必要条件,但不是充分条件．充要条件是？（Ａ＝C ≠0，B=0,0422>-+FA E D ）说明:１、要求圆的一般方程,只要用待定系数法求出三个系数D 、E 、F 就可以了．2、圆的一般方程与圆的标准方程各有什么优点?（圆的标准方程：有利于作图。

圆标准方程和一般式方程

圆标准方程和一般式方程
温故知新
1.已知两点坐标P1（x1,y1）、P2（x2,y2）
两点间距离公式：
P 1P 2（ x2x1 ） 2(y2y1)2
2.圆的定义：
y r P(x,y)
平面内到定点的距离等于定
长的点的集合 .
o
x
定点是圆心，定长是半径.
3.点和圆的位置关系有几种？用数量关系如何来判断？ (d表示点到圆心的距离)
⑴点在圆内
·d r O
d<r
⑵点在圆上
·d r O
d=r
· ⑶点在圆外
dr O
d>r
进入新课圆的标准方程
建立圆心是C(a ,b),半径是r(r >0)的圆的方程.
设P(x,y)是圆上任意一点,根据圆的定义,P到圆心的距离等于半径r,即 |PC|=r.
由两点间的距离公式,点P适合的条件可表示为:
D , E , 半径 1是 D2E24F.
2 2
2
圆的一般式方程:
x 2 y 2 D E x F y 0
具有以下特点：
(1) x2与y2项的系数相等且不等零于；
(2) 不含 xy项；
(3) D 2E24F0.
例题讲解
例4 用配方法判定下的列图方像程是否是如果是，圆求出它的圆心. 和半径
o
x
y
(2)如果圆心在原点,a=0,b=0,
那么圆的方程是: x2y2 r2
r
o
x
例题讲解
例1已知圆的方（x程 3)2为 (y1)2 2,求（1）圆心 C的坐标和圆r；的半径（2）判断M 点（3， 2）、 N（2， 0）、 P（4， 1）

数学圆的方程

数学圆的方程
圆的方程是描述平面上一个圆的标准数学公式。

在二维坐标系中，一个圆可以用其圆心和半径来唯一确定。

标准方程：
圆的标准方程是(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2，其中(h, k) 是圆心的坐标，r 是圆的半径。

这个方程描述了所有与圆心距离等于r 的点(x, y) 的集合。

一般方程：
圆的一般方程是x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0，其中D, E, 和F 是常数。

这个方程可以通过配方转化为标准方程，从而找出圆心和半径。

圆心坐标可以通过公式(-D/2, -E/2) 计算，半径r 可以通过公式r = sqrt((D^2 + E^2 - 4F) / 4) 计算（注意：这个公式仅在方程确实描述一个圆时有效，即D^2 + E^2 - 4F > 0）。

圆的参数方程是另一种描述圆的方式，它用参数t（通常是角度）来表示圆上的点。

参数方程是x = h + r * cos(t) 和y = k + r * sin(t)，其中(h, k) 是圆心坐标，r 是半径，t 是参数（通常取值范围是0 到2π）。

圆的标准方程与一般方程

圆的标准方程1、情境设置：在直角坐标系中，确定直线的基本要素是什么圆作为平面几何中的基本图形，确定它的要素又是什么呢什么叫圆在平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一个二元一次方程来表示，那么，原是否也可用一个方程来表示呢如果能，这个方程又有什么特征呢探索研究：2、探索研究：确定圆的基本条件为圆心和半径，设圆的圆心坐标为A(a,b)，半径为r 。

（其中a 、b 、r 都是常数，r>0）设M(x,y)为这个圆上任意一点，那么点M 满足的条件是（引导学生自己列出）P={M||MA|=r},由两点间的距离公式让学生写出点M 适合的条件r = ①化简可得：222()()x a y b r -+-= ②引导学生自己证明222()()x a y b r -+-=为圆的方程，得出结论。

方程②就是圆心为A(a,b),半径为r 的圆的方程，我们把它叫做圆的标准方程。

3、知识应用与解题研究例（1）：写出圆心为(2,3)A -半径长等于5的圆的方程，并判断点12(5,7),(1)M M --是否在这个圆上。

分析探求：可以从计算点到圆心的距离入手。

探究：点00(,)M x y 与圆222()()x a y b r -+-=的关系的判断方法：（1）2200()()x a y b -+->2r ，点在圆外（2）2200()()x a y b -+-=2r ，点在圆上（3）2200()()x a y b -+-<2r ，点在圆内例（2）：ABC ∆的三个顶点的坐标是(5,1),(7,3),(2,8),A B C --求它的外接圆的方程师生共同分析：从圆的标准方程222()()x a y b r -+-= 可知，要确定圆的标准方程，可用待定系数法确定a b r 、、三个参数.（学生自己运算解决）例(3):已知圆心为C 的圆:10l x y -+=经过点(1,1)A 和(2,2)B -,且圆心在:10l x y -+=上,求圆心为C 的圆的标准方程.师生共同分析：如图确定一个圆只需确定圆心位置与半径大小.圆心为C 的圆经过点(1,1)A 和(2,2)B -,由于圆心C 与A,B 两点的距离相等，所以圆心C 在险段AB 的垂直平分线m 上，又圆心C 在直线l 上，因此圆心C 是直线l 与直线m 的交点，半径长等于CA 或CB 。

高考数学第51讲圆的标准方程和一般方程

一、圆的方程的三种形式 (1)圆的标准方程： (x －a )2＋(y －b )2＝r 2，方程表示圆心为(a ，b )，半径为r 的圆． (2)圆的一般方程：对于方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0 ①当D 2＋E 2－4F ＞0时，表示圆心为 (－D 2，－E 2)，半径为12D 2＋E 2－4F 的圆； ②当D 2＋E 2－4F ＝0时，表示一个点 (－D 2，－E 2)；③当D 2＋E 2－4F ＜0时，它不表示任何图形． (3)以A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)为直径的两端点的圆的方程为(x －x 1)(x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0. 二、点与圆的位置关系圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，圆心A (a ，b )，半径r .若点M (x 0，y 0)在圆上，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2；若点M (x 0，y 0)在圆外，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2＞r 2；若点M (x 0，y 0)在圆内，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2＜r 2.三、在求圆的方程时，常用到圆的以下几个性质：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上； ②圆心在任一弦的中垂线上；③两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线．的圆的方程是( )A.(x －1)2＋(y －1)2＝1B.(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1C.(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2D.(x －1)2＋(y －1)2＝2 【解析】圆的半径r ＝2211 ＝2， ∴圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2.答案D 【拓展练习】1.(2016·浙江文10)已知a ∈R ，方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋4x ＋8y ＋5a ＝0表示圆，则圆心坐标是________.半径是________. 【解析】由已知方程表示圆，则a 2＝a ＋2，解得a ＝2或a ＝－1.当a ＝2时，方程不满足表示圆的条件，故舍去.当a ＝－1时，原方程为x 2＋y 2＋4x ＋8y －5＝0，化为标准方程为(x ＋2)2＋(y ＋4)2＝25，表示以(－2，－4)为圆心，半径为5的圆. 2.(2015·江苏文10)在平面直角坐标系xOy 中，以点(1,0)为圆心且与直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R )相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为________. 【解析】直线mx －y －2m －1＝0恒过定点(2，－1)，由题意，得半径最大的圆的半径r ＝（1－2）2＋（0＋1）2＝ 2.故所求圆的标准方程为(x －1)2＋y 2＝2.(1)确定圆的方程的主要方法是待定系数法．如果选择标准方程，求圆的标准方程时，尽量利用圆的几何性质，可以大大地减少计算量．(2)如果已知条件中圆心的位置不能确定，可考虑选择圆的一般方程，圆的一般方程也含有三个独立的参数，因此，必须具备三个独立的条件，才能确定圆的一般方程，其方法仍采用待定系数法．设所求圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，由三个条件得到关于D 、E 、F 的一个三元一次方程组，解方程组，求出参数D 、E 、F 的值即可．【例2】(2015·广东深圳模拟11)圆心在直线要点梳理用圆的标准方程直接求圆方程待定系数法求圆方程考点剖析第51讲圆的标准方程和一般方程x －2y －3＝0上，且过点A (2，－3)，B (－2，－5)的圆的方程为____________．【解析】设所求圆的标准方程为 (x －a )2＋(y －b )2＝r 2，由题意得222222(2)(3),(2)(5),230.a b r a b r a b ⎧-+--=⎪--+--=⎨⎪--=⎩解得 21, 2,10.a b r =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩故所求圆的方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10. 【拓展练习】3.圆心在直线y ＝－4x 上，且与直线l ：x ＋y －1＝0相切于点P (3，－2)的圆方程为。

圆的标准方程与一般方程

圆的标准方程1、情境设置：在直角坐标系中，确定直线的基本要素是什么？圆作为平面几何中的基本图形,确定它的要素又是什么呢?什么叫圆？在平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一个二元一次方程来表示，那么,原是否也可用一个方程来表示呢?如果能,这个方程又有什么特征呢? 探索研究：2、探索研究:确定圆的基本条件为圆心和半径，设圆的圆心坐标为Ａ（a ，b ）,半径为ｒ。

(其中a 、b 、r 都是常数，ｒ>０）设M （ｘ，y ）为这个圆上任意一点，那么点M 满足的条件是(引导学生自己列出)Ｐ＝{Ｍ||ＭA|=ｒ},由两点间的距离公式让学生写出点M 适合的条件r =ﻩ①化简可得:222()()x a y b r -+-= ②引导学生自己证明222()()x a y b r -+-=为圆的方程,得出结论。

方程②就是圆心为A(a,b),半径为r 的圆的方程,我们把它叫做圆的标准方程。

3、知识应用与解题研究例（1）：写出圆心为(2,3)A -半径长等于5的圆的方程，并判断点12(5,7),(1)M M --是否在这个圆上。

分析探求：可以从计算点到圆心的距离入手。

探究:点00(,)M x y 与圆222()()x a y b r -+-=的关系的判断方法:(１)2200()()x a y b -+->2r ，点在圆外 (２）2200()()x a y b -+-=2r ，点在圆上（３)2200()()x a y b -+-<2r ，点在圆内例(2）：ABC ∆的三个顶点的坐标是(5,1),(7,3),(2,8),A B C --求它的外接圆的方程师生共同分析：从圆的标准方程222()()x a y b r -+-= 可知，要确定圆的标准方程，可用待定系数法确定a b r 、、三个参数．（学生自己运算解决）例(３)：已知圆心为C 的圆:10l x y -+=经过点(1,1)A 和(2,2)B -,且圆心在:10l x y -+=上,求圆心为C 的圆的标准方程.师生共同分析：如图确定一个圆只需确定圆心位置与半径大小.圆心为C 的圆经过点(1,1)A 和(2,2)B -,由于圆心C 与A ，B 两点的距离相等，所以圆心C 在险段AB 的垂直平分线m 上,又圆心C 在直线l 上，因此圆心C 是直线l 与直线m 的交点，半径长等于CA 或CB 。

高考数学知识点：圆的标准方程与一般方程_知识点总结

高考数学知识点：圆的标准方程与一般方程_知识点总结
高考数学知识点：圆的标准方程与一般方程圆的定义：
平面内与一定点的距离等于定长的点的集合是圆。

定点就是圆心，定长就是半径。

圆的标准方程：
圆的标准方程，圆心（a，b），半径为r；特别当圆心是（0，0），半径为r时，圆的标准方程为。

圆的一般方程：
圆的一般方程
当＞0时，表示圆心在，半径为的圆；
当=0时，表示点；
当＜0时，不表示任何图形。

圆的定义的理解：
（1）定位条件：圆心,高考历史；定形条件：半径。

（2）当圆心位置与半径大小确定后，圆就唯一确定了．因此一个圆最基本的要素是圆心和半径．
圆的方程的理解：
(1)圆的标准方程中含有a，b，r三个独立的系数，因此，确定一个圆需三个独立的条件．其中圆心是圆的定位条件，半径是圆的定形条件．
(2)圆的标准方程的优点在于明确显示了圆心和半径．
(3)圆的一般方程形式的特点：
a．的系数相同且不等于零；
b．不含xy项．
(4)形如的方程表示圆的条件：
a．A=C≠0；
b．B=0;
c.即
几种特殊位置的圆的方程：
条件
标准方程
一般方程
圆心在原点
过原点
圆心在x轴上
圆心在y轴上
与x轴相切
与y轴相切
与x,y轴都相切
圆心在x轴上且过原点
圆心在y轴上且过原点。

圆的一般方程与标准方程互化

圆的一般方程与标准方程互化圆是数学中的一种基本概念，在日常生活中也有着广泛的应用。

圆可以用简单的几何概念来表示，但它们也可以用数学方法来表示，这就是以一般方程表示圆的方法。

圆的一般方程是一种将圆的形状、位置等信息用公式表示的方法，其形式如下：(Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0)其中A、B、C是圆的参数，它们能够让你判断这个圆的形状和位置信息。

其中A、C是决定圆形状的参数，常常称为“缩放参数”，它们表示圆的大小与轴等比。

B是旋转参数，它决定了圆的旋转方向。

D、E、F则是定位参数，它们表示圆心的位置。

圆的一般方程式是一种表达圆形的精准形式，在日常生活中及科学研究中都经常用到，比如空气动力学研究中的空气动力学模型，求解符合圆的一般方程的运动轨迹。

然而，由于圆的一般方程太复杂，手动计算太麻烦，所以有必要把圆的一般方程转换成标准方程，以便更容易地进行求解。

标准方程是指圆的方程表示形式，它的形式如下：((x-h)^2+(y-k)^2=r^2)其中h、k是圆心的坐标，r是圆半径。

圆的标准方程可以从几何角度来理解，它表明任何点到圆心的距离都是r，而且圆心正是圆的中心。

圆的一般方程与标准方程之间的互换有着很多的计算方法，它们有以下特点：1.用几何概念：根据圆的定义可以知道，圆心到点的距离等于半径，并且圆心是圆的中心，根据这一概念可以把圆的一般方程转换成标准方程。

2.用代数方法：把圆的一般方程展开，让它的两边变成同一类型，然后化简消除项，就可以求出圆的标准方程。

3.用坐标变换：即把圆心从原来的位置变换到y轴上，这样就可以把圆的一般方程转换成标准方程。

以上就是圆的一般方程与标准方程互换的方法，它们可以让我们更方便地表达圆的形状及位置，便于进行计算求解。

综上所述，圆的一般方程与标准方程之间的互换可以利用几何概念、代数方法和坐标变换等多种方法来实现，这不仅可以帮助我们更好地表达圆的形状及位置，还可以更容易地求解圆的位置和大小。

圆的标准方程与一般方程(一)

圆的标准方程与一般方程(一)教学目标：了解确定圆的几何要素（圆心和半径、不在同一直线上的三个点等），掌握圆的标准方程与一般方程，能根据问题的条件选择恰当的形式求圆的方程；理解圆的标准方程与一般方程之间的关系，会进行互化；2010年考试说明要求为C级。

知识点回顾：1. 圆的标准方程：，圆心是（a,b），半径是r；特别地：2. 圆的一般方程：，配方得，其中圆心是，半径是__________（其中：D2+E2-4F>0表示圆；D2+E2-4F=0表示点；D2+E2-4F=0不表示任何图形）；注：Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆A=C≠0且B=0且D2+E2－4AF>03. 直径式圆方程：设，则以A、B为直径的圆方程为基础训练：1.圆心在原点，半径为6的圆方程为_______________2.经过点P(6，3)，圆心为C(2，-2) 的圆方程为_______________3. 以点C(-1，-5)为圆心，并且和Y轴相切的圆方程为_______________4. 已知点A(-4，-5)，B(6，-1)，则以线段AB为直径的圆方程为__________________5.已知圆内接正方形相对的两个顶点的坐标分别是A（5，6），C（3，-4），则这个圆的方程为_____________________典型例题：已知圆截得的弦AB为直径的圆过原点？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.已知抛物线的顶点在坐标原点，准线的方程为，点在准线上，纵坐标为，点在轴上，纵坐标为．（1）求抛物线的方程；（2）求证：直线恒与一个圆心在轴上的定圆相切，并求出圆的方程。

检测与反馈：1. 下列方程各表示什么图形？若表示圆，则求其圆心和半径（1）（2）2. 已知半径为5的圆过点P（-4，3），且圆心在直线2x-y+1=0上，则这个圆的方程的方程为____________________3. 经过点A(4，1)，B(-6，3)，C(3，0)的圆方程为_________________4. 如果方程所表示的曲线关于直线y=x对称，那么必有______________5．若直线（）通过点（），则a、b必须满足关系．（用含a，b的式子表示）。

圆的标准方程和一般方程

圆的一般方程标准方程参数方程总结

圆的标准方程与一般方程

圆的标准方程与一般方程

圆的一般方程,标准方程,参数方程总结

圆的一般方程和标准方程知识题型总结

圆的标准方程与一般方程

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圆标准方程和一般式方程

数学圆的方程

圆的标准方程与一般方程

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