求极限方法总结全
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
极限求解总结
1、极限运算法则
设lim n →∞
a a =a ,lim n →∞
a a =a ,则
(1) lim n →∞
(a a ±a a )=lim n →∞
a a ±lim n →∞
a a =a ±a ;
(2) lim n →∞
a a a a =lim n →∞
a a lim n →∞
a a =aa ;
(3) lim
n →∞a a
a a
=
lim n →∞a a lim n →∞
a a
=
a a
(a ≠0).
2、函数极限与数列极限的关系
如果极限lim x →a 0
a (a )存在，{a a }为函数a (a )的定义域内任一收敛于a 0的数列，且满
足:a a ≠a 0(a ∈a +)，那么相应的函数值数列{a (a )}必收敛，且lim a →∞
a (a a )=
lim a →a 0
a (a )
3、定理
（1） 有限个无穷小的和也是无穷小； （2） 有界函数与无穷小的乘积是无穷小； 4、推论
（1） 常数与无穷小的乘积是无穷小； （2） 有限个无穷小的乘积也是无穷小；
（3）如果lim a(a)存在，而c为常数，则lim[aa(a)]=a lim a(a)
（4）如果lim a(a)存在，而n是正整数，则lim[a(a)]a=[lim a(a)]a
5、复合函数的极限运算法则
设函数y=a[a(a)]是由函数u=a(a)与函数y=a(a)复合而成的，y=a[a(a)]
在点a0的某去心领域内有定义，若lim
a→a0a(a)=a0，lim
a→a0
a(a)=a，且存在a0>
0，当x∈U(a0,a0)时，有a(a)≠a0，则lim
a→a0a[a(a)]=lim
a→a0
a(a)=a
6、夹逼准则
如果
(1)当x∈U(a0,a)(或|a|>M)时,g(x)≤a(a)≤h(x)
(2)lim
a→a0(a→∞)a(a)=a,lim
a→a0(a→∞)
a(a)=a
那么lim
a→a0(a→∞)
a(a)存在，且等于A 7、两个重要极限
（1）lim
a→0sin a
a
=1
（2）lim
x→∞(1+1
x
)x=a
8、求解极限的方法（1）提取因式法
例题1、求极限lim
a→0a a+a−a−2
a2
解：lim
a→0a a+a−a−2
a2
=lim
a→0
a−a(a2a−2a a+1)
a2
=lim
a→0
a−a(a a−1
a
)2=1
例题2、求极限lim
a→0
a a
2
−a a2
(a a−a a)2
(a≠a,a.a>0)
解：lim
a→0
a a
2
−a a2
(a a−a a)2
=lim
a→0
a a
2[(a
a
)a
2
−1]
a2a[(a
a
)a−1]2
=lim
a→0
a a2−2a
a2ln a
a
(a ln a
a
)2
=1
ln
a
a
例题3、求极限lim
a→+∞a a(a1a−a
1
a+1)(a>0,a≠1)
解：lim
a→+∞a a a
1
a+1(a
1
a(a+1)−1)=lim
a→+∞
a a a
1
a+1
1
a(a+1)
ln a=
lim a→+∞
a a
a(a+1)
a
1
a+1ln a=lim
a→+∞
a a−2
1+1
a
a
1
a+1ln a=
（2）变量替换法（将不一般的变化趋势转化为普通的变化趋势）
例题1、lim
a→a sin(aa) sin(aa)
解：令x=y+π
lim a→a sin(aa)
sin(aa)
=lim
a→0
sin(aa+aa)
sin(aa+aa)
=(−1)a−a lim
a→0
sin aa
sin aa
=(−1)a−a
a
a
例题2、lim
a→1a
1
a
−1 a
1
a
−1
解：令x=y+1
lim a→1a
1
a
−1
a
1
a
−1
=lim
a→1
(1+a)
1
a
−1
(1+a)
1
a
−1
=a
a
例题3、lim
a→+∞
a2√−√3
解：令y=1
a
lim a→+∞a2√+−√+
3=lim
a→0+
√1
a2
+1
a
−√1
a3
+1
a2
3
=lim
a→0+
√1+a−√1+a
3
a
=1
6
（3）等价无穷小替换法
x→0sin a~a~sin−1a tan a~a~tan−1a
a a−1~a~ln(1+a)a a−1~a ln a
1−cos a~a2
2
(1+a)a−1~aa
注：若原函数与x互为等价无穷小，则反函数也与x互为等价无穷小
例题1、lim
a→0(a a+a a
2
)
1
a(a.a>0)
解：lim
a→0(a a+a a
2
)
1
a=a lim a→01a ln a
a+a a
2=a lim a→0
1
a
ln(1+a
a+a a−2
2
)
=a lim a→0
(a a−1)+(a a−1)
2a=
√aa