图形折叠问题的探究
中考数学中折叠问题
中考数学中的折叠问题探究中考数学中，经常通过折叠操作类问题考查学生的数、形结合的数学思想方法和空间想象能力，题目灵活多变，趣味性强，更为引导学生在数学学习与生活相联系中激发兴趣，体会数学学习的快乐。
几何图形的折叠问题，实质上是轴对称问题。
解答这类问题的关键是根据轴对称的性质，找准折叠前后的两个全等图形。
确定其中对应角相等、对应线段相等。
折痕平分线段、平分角等条件。
下面分几个类型来探索这类问题的解答思路。
一、折叠求角度类此类问题往往利用折叠中的对应角相等，再通过邻补角、平行线性质等得到各角度的数量关系。
此类问题通常难度较低。
例1.将五边形abcde纸片按如图1的方式折叠，折痕为af，点e，d分别落在e′，d′。
已知∠afc=76°，则∠cfd′等于（）a.31°b.28°c.24°d.22°分析：根据题意，由邻补角的关系求得∠afd=∠afd′=180°-76°=104°，则∠cfd′=104°-76°=28°，故选b。
例2.如图2，把一个长方形纸片沿ef折叠后，点d、c分别落在d′、c′的位置，若∠efb=65°，则∠aed′等于（）a.50°b.55°c.60°d.65°二、折叠求线段类此类问题多通过折叠中的全等图形，确定对应线段的等量关系，再运用勾股定理或相似比寻求线段间数量关系，构建方程，从而求解。
方程建模思想的应用是解决此类问题的主要思路。
三、折叠求坐标类此类题目中勾股定理与三角函数的综合运用较多。
求坐标一般要通过求线段长来解决。
但有些题目中适当运用三角函数比运用相似图形解答会更便捷。
四、折叠求面积类此类问题的解答一般要借助线段长的求解，但问题的关键是确定所求图形的形状，再求面积；若图形是非规则图形，则要通过其他规则图形的面积关系转化求解。
人教课标版 初中数学九年级上册第二十二章 23折叠型问题的探究(共22张PPT)
（4）在折叠问题中，若直接解决较困难时， 可将图形还原，可让问题变得简单明了。有时 还可采用动手操作，通过折叠观察得出问题的 答案。
全等性
轴对称
对称性（折痕）
实 质 折 重过程 折叠问题 重结果 叠
精 髓
利用Rt△
方程思想
【二】利用勾股定理解决问题
如图，沿AE折叠长方形，使D点落在BC边上的F处，已知
AB=8,BC=10.求CE的长.
10
A
D
解∴AA总1：FB、结根==标A8：据D已c折=m知1叠，0c可EmF知，＋，EEF△C==AEDDFCE，=≌8△cmAD，E，
8
10
B 6
8-x
E 8-x x F4C
∴2在、R找t△相A等BF中
练习
1.如图,矩形纸片ABCD中，AB=6cm,AD=8cm，
在BC上找一点F，沿DF折叠矩形ABCD，使C点落在对角 线BD上的点E处，此时折痕DF的长是多少？
A
8
D
6
4x
6
B 8-x
xC
心得：先标等量，把条件集中到一Rt△中， 利用勾股定理得方程。
练习
2.如图，将一长方形纸片ABCD沿对角线AC折叠，点B落在
• 3、Patience is bitter, but its fruit is sweet. (Jean Jacques Rousseau , French thinker)忍耐是痛苦的，但它的果实是甜蜜的。10:516.17.202110:516.17.202110:5110:51:196.17.202110:516.17.2021
初中几何折叠问题的三种解法
初中几何折叠问题的三种解法初中几何折叠问题的三种解法初中几何是数学中的一个重要分支，而折叠问题则是初中几何中常见的一种问题。
在这里，我们将介绍三种不同的方法来解决初中几何折叠问题。
方法一：手工模拟法手工模拟法是一种简单直观的方法。
它通过将纸张折叠成所需形状来解决问题。
步骤：1. 根据题目给出的图形，画出所需大小和比例的图形。
2. 将纸张按照比例剪成相应大小。
3. 按照题目要求，将纸张进行折叠，直到得到所需形状。
4. 计算所需参数并得出答案。
优点：手工模拟法操作简单易懂，适合初学者使用。
同时也能够帮助学生更好地理解折叠问题的本质。
缺点：手工模拟法需要较长时间完成，并且需要精确测量和折叠。
同时也容易出现误差和偏差。
方法二：平面几何法平面几何法是一种基于平面几何知识来解决问题的方法。
它通过利用图形相似性和对称性来计算所需参数。
步骤：1. 根据题目给出的图形，画出所需大小和比例的图形。
2. 根据平面几何知识，计算所需参数，如角度、长度等。
3. 得出答案。
优点：平面几何法具有计算速度快、精度高等特点。
同时也能够帮助学生更好地理解平面几何知识的应用。
缺点：平面几何法需要学生具备一定的数学基础，并且需要对图形相似性和对称性有深入理解。
同时也容易出现计算错误和漏算情况。
方法三：三维几何法三维几何法是一种基于立体几何知识来解决问题的方法。
它通过利用立体图形的投影和相似性来计算所需参数。
步骤：1. 根据题目给出的图形，画出所需大小和比例的图形。
2. 利用三维几何知识，将立体图形投影到二维平面上，并计算所需参数，如角度、长度等。
3. 得出答案。
优点：三维几何法具有计算速度快、精度高等特点。
同时也能够帮助学生更好地理解立体几何知识的应用。
缺点：三维几何法需要学生具备一定的数学基础，并且需要对立体图形的投影和相似性有深入理解。
同时也容易出现计算错误和漏算情况。
结论：初中几何折叠问题可以通过多种方法来解决，其中手工模拟法、平面几何法和三维几何法是常见的三种方法。
浅谈初中数学中的折叠问题
浅谈初中数学中的折叠问题王华榆林实验中学陕西榆林719000在初中数学中，折叠问题将图形的变换与学生的实际操作能力紧密联系起来。
在折叠过程中，通过观察图形中的变与不变，灵活应用平面图形的基本性质及定理解决问题。
在变化过程中使学生初步体会了数学的动态美，同时提高了学生的观察能力、空间想象能力及动手能力。
归纳起来，折叠问题有如下几类题型：一、折叠问题中涉及的探索规律问题。
例：（如图1）将一张长方形纸对折可得到一条折痕，继续对折，对折时每次折痕与上次折痕保持平行，连续对折六次能得到几条折痕，n次有几条折痕？图1分析：在这个折叠问题中对折方式不变，变化的是随着对折次数的增加折痕有规律的增加，情况如下表所以对折6次能得到63条折痕，对折n次可得到( 2n-1 )条折痕。
二、折叠中发现图形的基本性质。
1、（如图2）等腰三角形△ABC中,AB=BC,折叠使AB与AC重合,折痕为AD。
则折痕AD集“三线合一”于一身，即：底边BC上的中线、高线和顶角∠BAC的平分线。
（图2）2、（如图3）正方形ABCD经过两次沿对角线折叠，可确定正方形的中心，同时将正方形分成四个全等的等腰直角三角形。
D C（图3）3、（如图4）圆形纸片通过两次对折，可确定圆形纸片的圆心，折痕就是圆的直径。
DC B（图4）三.利用图形全等的性质解决折叠问题.例1、（如图5）三角形纸片△ABC中，∠A=65o , ∠B=75o，把纸片的一角折叠, 使点C落在△ABC内, 若∠C′DB=20o ,求∠C′EA的度数？BA E C（图5）分析：由三角形内角和为180o ，∠A+∠B+∠C=180o∠C=180o -（∠A+∠B）=40o因为折叠前后△C′ED≌△C ED，所以∠C′=40o由四边形AEDB内角和得：∠A+∠B+∠C′EA+∠C′ED+∠C′DE+∠C′DB=360o得：∠C′EA=60o例2. 一张长方形的纸片按（如图6）方式折叠，EM，FM为折痕，折痕后的点C落在M B′或M B′的延长线上，那么∠EMF的度数是多少？B M C（图6）分析：∠EMF=∠EM B′+∠FMC′因为在折叠过程中△EBM≌△E B′M ，四边形CDFM与C′D′FM全等。
几何图形的折叠问题
纸艺制作
产品设计
通过折叠纸张或其他材料，制作各种纸艺 作品，如纸飞机、千纸鹤等。
在产品设计中，折叠结构可以用于节省空 间、便于携带和运输，如折叠家具、折叠 雨伞等。
建筑模型
数学教育
通过折叠纸张或其他材料，制作建筑模型 ，展示建筑的三维形态。
折叠问题在数学教育中用于培养学生的空 间想象能力和几何思维能力，帮助学生理 解平面与立体几何之间的关系。
应用拓展
探索几何图形折叠问题在建 筑、航空航天、生物医学等 领域的应用，以推动相关领 域的技术进步和创新。
感谢您的观看
THANKS
1 2
正方体折叠成三棱锥
将一个正方体的一个面朝下，然后将其顶点与正 方体的中心相连，可以得到一个三棱锥。
长方体折叠成三棱柱
将一个长方体的一个面朝下，然后将其顶点与长 方体的中心相连，可以得到一个三棱柱。
3
球体折叠成椭球体
将一个球体的赤道线何图形折叠实例
01
02
需要开发更有效的算法和软件 工具，以模拟和优化几何图形
的折叠过程。
未来发展方向
新材料与技术应用
探索新型材料和加工技术， 以提高几何图形折叠的效率 和精度。
智能化与自动化
利用人工智能和机器学习技 术，实现几何图形折叠过程 的智能化和自动化。
多学科交叉研究
加强数学、物理学、工程学 等多个学科在几何图形折叠 问题上的交叉研究，以推动 理论和实践的深入发展。
02
几何图形的折叠问题解析
平面几何图形的折叠
定义
平面几何图形的折叠问题是指将 一个平面图形沿着一条或几条折 痕进行折叠，使其从一个平面状
态变为立体状态的过程。
常见类型
如正方形、三角形、圆形等平面图 形的折叠问题，以及由这些基本图 形组合形成的复杂图形的折叠问题。
折叠问题探究教案
折叠问题探究教案.docx折叠问题探究教学任务分析教学目标知识技能1初步掌握折叠问题的本质和解决问题的方法。
2通过例题的学习，使学生感知动手操作是解决数学问题的一种方法。
3能使用轴对称，全等三角形，矩形，方程解决综合问题。
数学思考1经历做数学（实践），思考，再合情推理的数学知识形成过程。
2通过例题的学习，将转化，方程，分类讨论，由特殊到一般的思想渗透到几何的求解过程中。
3渗透从轴对称变换的角度思考折叠问题。
解决问题通过对折叠问题的探究，形成解决折叠问题的一些基本策略，体验解决问题策略的多样性，发展实践水平与创新精神。
情感态度价值观建立一些活动（折纸）与几何世界的多种联系，激发学习几何的兴趣。
通过改变已知条件结果不变；变化折叠方式方法不受，培养学生勇于探索与合作交流的意识。
重点折叠运动变化中存有的等量关系的发现和如何利用折叠中的不变量解决具体问题。
难点1解决折叠问题方法的归纳。
2综合使用轴对称、矩形、方程解决折叠问题。
教学方式讲授启发；探究合作式教学手段多媒体教学流程安排活动流程图活动内容和目的活动1创设情景引入课题通过简单的折纸引入课题，激发学生学习兴趣。
活动2通过对三角形纸片的折叠猜想定理的证明，探究折叠的应用通过活动培养学生善于动手，善于观察的数学品质，从变换的角度理解折叠，直观感知折叠的应用。
活动3探究不同图形折叠的本质特征探究折叠后产生的新图形的形状，通过对题中的已知条件作了相对应发散，总结解决折叠问题的基本方法，并为活动4做铺垫。
活动4探究解决不同形式的矩形折叠问题的共同方法在活动3的基础上，以矩形折叠为例，探究不同情况下矩形折叠问题中线段的计算方法。
对于同一线段长度的求解，通过/、同方法的比较，启发学生选择最优方案解决问题。
活动5思考题将折叠问题放在平面直角坐标系里，培养学生综合使用知识的水平。
活动6评价和反思小结和布置课后作业教学过程设计问题与情境师生行为设计意图由学生实际操作，得出答案。
正方形折叠问题解题技巧
正方形折叠问题解题技巧正方形折叠问题是一类经典的几何问题，其解题技巧可以帮助我们更好地理解几何知识，提高数学思维能力。
本文将从以下几个方面展开讨论：问题描述、基本原理、常见方法和注意事项。
一、问题描述正方形折叠问题是指将一个正方形沿着对角线折叠成一个三角形，然后再将三角形沿着某个边缘折叠成一个新的三角形，如此重复进行下去，直到无法继续折叠为止。
这个过程中形成的图形称为“折纸图”。
二、基本原理在正方形折叠问题中，有两个基本原理需要掌握：1. 对称性原理：在每次折叠时，要保持图形的对称性不变。
例如，在将正方形沿着对角线折叠成三角形时，要使得三角形两侧的长度相等。
2. 重合性原理：在每次折叠时，要使得图形上的某些点或线段与之前已经出现过的点或线段重合。
例如，在将三角形沿着某条边缘折叠成新的三角形时，要使得边缘上的某些点与之前已经出现过的点重合。
三、常见方法在解决正方形折叠问题时，有几种常见的方法：1. 坐标法：将正方形的四个顶点分别标记为坐标系中的点，然后根据对称性和重合性原理进行计算。
这种方法需要较强的计算能力和空间想象能力。
2. 图形法：将正方形折叠成三角形后，用图形上的线段或角度来描述折叠过程。
这种方法需要较强的几何直觉和图像处理能力。
3. 递归法：将正方形折叠成三角形后，不断重复进行相同的折叠操作，直到无法继续为止。
这种方法需要较强的逻辑思维能力和耐心。
四、注意事项在解决正方形折叠问题时，需要注意以下几点：1. 确定基本原理：在进行每次折叠时，一定要遵循对称性和重合性原理，否则可能会得到错误的结果。
2. 注意单位：在使用坐标法时，要注意单位的选择。
如果单位不统一，则可能导致计算错误。
3. 注意精度：在使用图形法或递归法时，要注意精度问题。
如果精度不够，则可能导致结果偏差较大。
4. 多角形折叠问题：除了正方形折叠问题外，还有其他多边形的折叠问题，其解题方法类似，但需要根据实际情况进行调整。
五、结语正方形折叠问题是一类经典的几何问题，其解题技巧可以帮助我们更好地理解几何知识，提高数学思维能力。
折叠问题的解题方法
折叠问题的解题方法折叠问题是一种常见的数学问题，通常涉及到将一个二维图形折叠成一个三维形状。
解决这类问题需要一定的空间想象力和几何知识。
解决折叠问题的基本步骤如下：1. 理解问题：首先，你需要理解问题的具体要求，明确你要折叠的对象是什么，以及折叠的方式。
2. 分析图形：仔细观察你要折叠的二维图形，找出它的对称轴、对称中心、角度和边的长度等关键信息。
3. 预测结果：根据二维图形的信息，尝试预测折叠后的三维形状会是什么样。
这需要你具备一定的空间想象力。
4. 建立数学模型：如果预测结果涉及到具体的数值，你可能需要建立一个数学模型来描述这个过程。
这可能涉及到几何、代数等知识。
5. 求解问题：根据建立的数学模型，求解出问题的答案。
这可能涉及到计算、推理等步骤。
6. 验证答案：最后，你需要验证你的答案是否正确。
这可以通过重新检查你的计算过程或与标准答案进行对比来完成。
下面是一个具体的例子：题目：一个正方形的纸片，对折两次后展开，得到的图形是( )。
A.三角形B.菱形C.矩形D.平行四边形解题步骤：1. 理解问题：我们需要确定对折两次后展开得到的图形是什么。
2. 分析图形：正方形有四条等长的边和四个直角。
对折一次后，我们会得到一个矩形；再对折一次，我们会得到一个更小的矩形。
3. 预测结果：当纸片展开时，折痕会形成一条线，将纸片分成两个相同的部分。
因此，展开后的图形会有四条相等的边和四个直角。
4. 建立数学模型：由于对折两次后展开的图形有四条相等的边和四个直角，它是一个菱形。
5. 求解问题：答案是 B.菱形。
6. 验证答案：我们可以再次检查我们的推理过程，确保答案正确。
三年级折叠问题巧妙解题技巧
三年级折叠问题巧妙解题技巧
在三年级数学中，折叠问题是一个常见的题型。
这类问题通常涉及到图形折叠后的形状和大小变化。
为了更好地解决这类问题，我们需要掌握一些解题技巧。
解题技巧：
1. 理解折叠原理：折叠图形时，相对的两边会重合，而相对的两角会重合。
因此，在折叠前后的图形中，线段长度和角度大小是不变的。
2. 画图分析：通过画图可以帮助我们更好地理解题目的要求和图形的变化。
在画图时，要特别注意折叠后的图形与原图的关系，以及线段和角度的变化。
3. 利用已知条件：题目中通常会给出一些已知条件，如线段的长度、角度的大小等。
这些条件可以帮助我们确定折叠后的图形形状和大小。
4. 逻辑推理：在解决折叠问题时，逻辑推理是非常重要的。
我们需要根据已知条件和图形变化规律，逐步推导出未知的答案。
5. 反复练习：通过反复练习，我们可以加深对折叠问题的理解，提高解题速度和准确性。
示例题目：
1. 把一张长方形纸对折，每份是它的(1/2)，这张纸被折成多少份？
答案：2份
2. 把一张正方形纸对折两次，每份是它的多少？
答案：(1/4)
通过掌握这些解题技巧，我们可以更好地解决三年级数学中的折叠问题。
七年级下册数学折叠问题
七年级下册数学折叠问题七年级下册数学折叠问题一、问题描述在许多数学教材中，有一种经典问题，被称为折叠问题。
正是通过这个问题，我们可以更深刻地认识盘古开天辟地所存在的数学逻辑和美学意义。
现在我们介绍七年级下册数学折叠问题。
二、问题求解首先，我们需要从一个长方形纸片中，剪出一个正方形。
然后，我们把长方形对折，将一条边与另一条边平行，并把两个角对齐。
接着，我们把纸片展开成一张长方形，再折成一个正方形。
最后，我们可以欣赏到一个美丽的完整图形，这个图形刚好是我们在前面剪下的那个正方形。
三、进一步探究这个问题看起来无聊而琐碎，但是，它引出了一个深刻的数学原理，即：等角定理。
我们在进行折叠操作时，实际上是在改变长方形内角的角度，从而使得边界在不同的位置相遇。
如果将这个长方形对折了一次，就相当于将其中一个内角旋转了180度，而且这个角度保存不变。
因此，无论我们如何对折纸片，都不会改变纸片的形状和大小，只会改变它的位置和朝向。
这个问题还揭示了一些有趣的数学性质。
例如，我们可以证明，无论我们从一个长方形纸片中剪下多大的正方形，最终都能通过折叠成一个新的完整图形。
这个结论对于我们理解数学的整体性非常重要，尤其是在计算几何和复杂图形识别中，也有着广泛的应用。
四、数学美学折叠问题还体现了一种数学美学的思维方式，即从简单的问题出发，然后探究它背后的数学原理。
这种思维方式和传统的数学教学方式不同，传统的数学教学常常是先讲授理论，再解决具体问题。
但是，从折叠问题这个例子来看，我们可以把具体的问题作为引子，然后再从中发掘出一些通用的数学原理和思维方式。
五、总结在这个文章中，我们介绍了七年级下册数学折叠问题，并探讨了它背后的数学原理和应用。
这个问题看起来非常简单，但是它通过一种独特的思维方式，揭示了一些深刻的数学原理和美学意义。
因此，我们应该从这个问题中受到启发，学会从简单问题中发掘出深刻的数学思维。
几何图形折叠问题解法浅析
1 / 2几何图形折叠问题解法浅析贵州省兴仁县巴铃中学 张志明折叠型问题是近年中考的热点问题，通常是把某个图形按照给定的条件折叠，通过折叠前后图形变换的相互关系来命题。
折叠型问题立意新颖，变幻巧妙，对培养学生的识图能力及灵活运用数学知识解决问题的能力非常有效。
下面我们一起来探究这种题型的解法。
折叠的规律是:折叠部分的图形，折叠前后，关于折痕成轴对称，两图形全等。
1. 如图，长方形ABCD 沿AE 折叠，使D 落在边BC 上的F 点处，如果∠BAF=60°，则 ∠DAE=___。
答案：A ，15°分析 根据折叠的规律：可证△ADE ≌△AFE,从而∠DAE=∠FAE=(90°-60°)÷2=150A.15°B.30°C.45°D.60°2. 如图，折叠矩形纸片ABCD ，先折出折痕（对角线）BD ，再折叠，使AD 落在对角线BD 上，得折痕DG ，若AB = 2，BC = 1，求AG. 答案：AG =215- 分析 折叠后的图形（如图一），设A 点落在BD 上的位置为A 1，则 A 点关于直线 DG 的对称点为点 A 1， 连结 A 1G ，（如图二）可知△ADG ≌ △A 1DG ，AG = A 1G ， AD = A 1D 。
∵矩形ABCD ，AB = 2，BC = 1，∴BD =2212+=5，BA 1 =5–1，∵∠ BA 1G = ∠ A = 90°。
设AG = A 1G= X ，在Rt △BA 1G 中，利用勾股定理列出方程：x 2 +(5–1)2 = ( 2 – x )2,∴ x =215-，即：AG =215-. 3. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°∠A<∠B ，CM 是斜边AB 的中线，将△ACM 沿直线CM折叠，点A 落在D 处，如果CD 恰好与AB 垂直，那么∠A 等于_____.答案：30°解析：根据折叠规律：可知△CMA ≌ △CMD ，∴ ∠ 1 = ∠ 2，∵CM 为斜边AB 的中线，∴ CM = AM ，∴ ∠ A= ∠ 1。
勾股定理解析折叠问题含详细的答案
解题步骤
1、标已知，标问题，明确目标在哪个直角三 角形中，设适当的未知数x； 2、利用折叠，找全等。 3、将已知边和未知边（用含x的代数式表示） 转化到同一直角三角形中表示出来。 4、利用勾股定理，列出方程，解方程，得解。
三角形中的折叠
例1：一张直角三角形的纸片，如图1所 示折叠，使两个锐角的顶点A、B重合。若 ∠B=30°，AC= ，3 求DC的长。 B
C′
求能角重得平叠到分等部线腰分与三△平角B行形E线D的组面合积时,。 A E
D
B
C
在矩形的折叠问题中，求线段长时，常设未知数，找
到相应的直角三角形，用勾股定理建立方程，利用方
程思想解决问题。
探究三 如图,矩形纸片ABCD中， AB=6cm,
把矩形ABCD折叠，使点C恰好落在AB边的 中点F处，折痕为DE，则AD的长为多少？
（3）在折叠问题中，若直接解决较困难时，可将 图形还原，可让问题变得简单明了。有时还可采用 动手操作，通过折叠观察得出问题的答案。
谢谢大家！
课后作业
1、如图，矩形ABCD沿AE折叠，使D点落在
BC边上的F点处，如果∠BAF=60°，那么
∠DAE等于
y
AD
B
E
O
C
x
2、如图，将一矩形纸片OABC放在直角坐标系 中,O为原点,C在x轴上,OA=6,OC=10.在OA上取 一点E，将△EOC沿EC折叠，使O落在AB边上 的D点，求E点的坐标。
动手折一折
折叠过程就是轴对称变
成用面一积张减直半角的三矩角形形吗形换? 痕,状说折两的痕明边纸就理的片是图由对,形。你称全能轴等，折。折叠
若用一张任意三角形形状的纸片,你还能 折叠成面积减半的矩形吗?
数学初中折叠问题解题技巧
数学初中折叠问题解题技巧
初中数学中的折叠问题是一种常见的几何问题，涉及到对图形的折叠、展开或转化等操作。
以下是一些常见的折叠问题解题技巧:
1. 观察特殊图形法：直接观察题目所给出的目标图形中的特殊面，或者特殊图形连接的位置，然后对比选项，与之不符的直接排除。
2. 相对面不相邻法：空间折叠类题目要结合排除法解题，最常用的排除技巧是相对面不相邻原则。
即一定要抓住某两个相邻面或对立面的图形特征，从而可以利用排除法选择正确答案，违背这些特征的，便是错误选项。
3. 初中数学坐标系里折叠的问题：对于在平面直角坐标系中的折叠问题，可以通过建立直角坐标系来解决。
一般来说，需要根据折叠前后的形状及坐标变化关系，画出折叠后的图形，然后根据题意找到对应的坐标值。
4. 长方形折叠问题：对于长方形的折叠问题，可以通过对折将长方形变成长方体，然后根据长方体的面积公式及长方形的面积公式来求解。
另外，也可以利用折叠的性质：折叠后的图形与图形全等，来解决问题。
总结起来，对于折叠问题的解题技巧，需要结合具体的题目来进行理解和应用。
同时，需要学生具备一定的空间想象能力和逻辑思维能力，才能更好地解决折叠问题。
空间几何中的折叠问题例题和知识点总结
空间几何中的折叠问题例题和知识点总结在空间几何的学习中，折叠问题是一个重要且具有一定难度的考点。
通过折叠，可以将平面图形转化为空间图形，从而增加了问题的复杂性和抽象性。
下面，我们将通过一些例题来深入探讨空间几何中的折叠问题，并对相关知识点进行总结。
一、折叠问题的基本概念折叠问题通常是指将一个平面图形沿着某条直线或折线进行折叠，使其成为一个空间几何体。
在这个过程中，图形的某些元素（如线段的长度、角度的大小等）保持不变，而有些元素则会发生变化。
例如，将一个矩形沿着其中一条边折叠，可以得到一个三棱柱；将一个直角三角形沿着斜边折叠，可以得到一个三棱锥。
二、折叠问题的关键知识点1、不变量在折叠过程中，有些量是不变的。
例如，折叠前后对应线段的长度不变，对应角度的大小不变。
2、垂直关系折叠前后，原来垂直的线段和平面在折叠后仍然垂直。
3、距离和角度的变化折叠后，某些线段之间的距离和角度会发生变化，需要根据折叠的方式和几何关系进行重新计算。
三、例题分析例 1：已知矩形 ABCD 中，AB ＝ 3，BC ＝ 4。
现将矩形沿着对角线 AC 折叠，求折叠后点 B 到平面 ACD 的距离。
解：首先，通过勾股定理求出 AC 的长度：AC ＝√（AB²＋ BC²) ＝ 5设点 B 折叠后对应的点为 B'，由于折叠前后三角形 ABC 的面积不变。
三角形 ABC 的面积＝ 1/2 × AB × BC ＝ 1/2 × AC × h （h 为点 B 到平面 ACD 的距离）所以 h ＝（AB × BC) ／ AC ＝（3 × 4) ／ 5 ＝ 12 ／ 5例 2：如图，在直角三角形 ABC 中，∠ACB ＝ 90°，AC ＝ 2，BC ＝ 1，将三角形 ABC 沿斜边 AB 折叠，得到三棱锥 C ABD。
求证：平面 CAD ⊥平面 BAD。
初中数学几何图形中的折叠问题解题思路
初中数学几何图形中的折叠问题解题思路折叠问题中的背景图形通常有，三角形、正方形、矩形、梯形等，解决这类问题的关键是一定要灵活运用轴对称和背景图形的性质。
轴对称性质：折线是对称轴、折线两边图形全等、对应点连线垂直对称轴、对应边平行或交点在对称轴上。
典型例题：例题1、如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AB=10，AC=8，E、F 分别为 AB、BC 上的点，沿线段 EF 将∠B 折叠，使点 B 恰好落在AC 上的点 D 处，试问当△ADE 恰好为直角三角形时，此时 BE 的长度为多少?解题思路：△ADE 为直角三角形分两种情况：①∠ADE = 90°，②∠AED = 90°，此题需要分类讨论，结合三角形的相似、折叠的性质，来求折叠中线段的长度，关键是能画出折叠后的图形。
解答过程：当∠ADE = 90°时，如下图所示：证明：先来证明四边形 DEBF 为棱形：∵在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，∠ADE = 90°，∴ DE∥BC ，∴∠DEF = ∠EFB ，又∵沿线段 EF 将∠B 折叠，∴ DE = BE ,DF = BF ，∠DFE = ∠BFE ，∴∠DEF = ∠DFE ，DE = DF = BF ，∴四边形 DEBF 为棱形。
(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，邻边相等的平行四边形是棱形)。
再来证明Rt△ADE ∽Rt△ACB (相似三角形判断图形中的“A”字型)∵在三角形 ACB 中，DE∥BC ，∴ Rt△ADE ∽ Rt△ACB ，设棱形 DEBF 的边长为 x , 则有 DE = x , AE = 10 - x ,在 Rt△ACB 中，AB = 10 , AC = 8 ,由勾股定理得：BC = 6 。
∴ DE : BC = AE : AB , 即 x : 6 = (10-x) : 10 ,解得 x = 15/4 ,∴ BE = 15/4 ;当∠AED = 90°时，如下图所示：易证 Rt△AED ∽ Rt△ACB ，由折叠的性质可得 DE = BE ，设 DE = BE = x ，则 AE = 10 - x ，由相似三角形的性质可得：DE : BC = AE : AC , 即 x : 6 = ( 10 -x ) : 8 ,解得 x = 30/7，∴ BE = 30/7 。
初中数学中的折叠问题
初中数学中的折叠问题折叠问题（对称问题）是近几年来中考出现频率较高的一类题型，学生往往由于对折叠的实质理解不够透彻，导致对这类中档问题失分严重。
本文试图通过对在初中数学中经常涉及到的几种折叠的典型问题的剖析，从中抽象出基本图形的基本规律，找到解决这类问题的常规方法。
其实对于折叠问题，我们要明白：1、折叠问题（翻折变换）实质上就是轴对称变换．2、折叠是一种对称变换，它属于轴对称．对称轴是对应点的连线的垂直平分线，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．3、对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，在画图时，画出折叠前后的图形，这样便于找到图形之间的数量关系和位置关系．4、在矩形（纸片）折叠问题中，重合部分一般会是一个以折痕为底边的等腰三角形5、利用折叠所得到的直角和相等的边或角，设要求的线段长为x ，然后根据轴对称的性质用含x 的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求解．一、矩形中的折叠1．将一张长方形纸片按如图的方式折叠，其中BC ，BD 为折痕，折叠后BG 和BH在同一条直线上，∠CBD= 度．2．如图所示，一张矩形纸片沿BC 折叠，顶点A 落在点A′处，再过点A ′折叠使折痕DE ∥BC ，若AB=4，AC=3，则△ADE 的面积是 ．3．如图，矩形纸片ABCD 中，AB=4，AD=3，折叠纸片使AD 边与对角线BD 重合，得折痕DG ，求AG 的长．GCD4．把矩形纸片ABCD 沿BE 折叠，使得BA 边与BC 重合，然后再沿着BF 折叠，使得折痕BE 也与BC 边重合，展开后如图所示，则∠DFB 等于（ ）5．如图，沿矩形ABCD 的对角线BD 折叠，点C 落在点E 的位置，已知BC=8cm ，AB=6cm ，求折叠后重合部分的面积．7．如图，将矩形纸片ABCD 按如下的顺序进行折叠：对折，展平，得折痕EF （如图①）；延CG 折叠，使点B 落在EF 上的点B ′处，（如图②）；展平，得折痕GC （如图③）；沿GH 折叠，使点C 落在DH 上的点C ′处，（如图④）；沿GC ′折叠（如图⑤）；展平，得折痕GC ′，GH （如图 ⑥）．（1）求图 ②中∠BCB ′的大小；（2）图⑥中的△GCC ′是正三角形吗？请说明理由．B AD‘DB C A E8．如图，正方形纸片ABCD 的边长为8，将其沿EF 折叠，则图中①②③④四个三角形的周长之和为9．如图，将边长为4的正方形ABCD 沿着折痕EF 折叠，使点B 落在边AD 的中点G 处，求四边形BCFE 的面积C'AM B'13．将宽2cm的长方形纸条成如图所示的形状，那么折痕PQ的长是14．如图a是长方形纸带，∠DEF=20°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c中的∠CFE的度数是（）图aC FB C15．将一张长为70 cm的长方形纸片ABCD，沿对称轴EF折叠成如图的形状，若折叠后，AB与CD间的距离为60cm，则原纸片的宽AB是（）三、三角形中的折叠17．如图，把Rt△ABC（∠C=90°），使A，B两点重合，得到折痕ED，再沿BE折叠，C点恰好与D点重合，则CE：AE=D（3）如图（3）把△CDE沿DE斜向上折叠，探求∠1、∠2、∠C的关系．20．观察与发现：将三角形纸片ABC（AB＞AC）沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为AD，展开纸片（如图①）；在第一次折叠的基础上第二次折叠该三角形纸片，使点A和点D重合，折痕为EF，展平纸片后得到△AEF（如图②）．小明认为△AEF是等腰三角形，你同意吗？请说明理由．实践与运用：(1)将矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC边上的点F处，折痕为BE（如图③）；再沿过点E的直线折叠，使点D落在BE上的点D’处，折痕为EG（如图④）；再展平纸片（如图⑤）．求图⑤中∠α的大小．(2)将矩形纸片ABCD 按如下步骤操作：将纸片对折得折痕EF，折痕与AD边交于点E，与BC边交于点F；将矩形ABFE与矩形EFCD分别沿折痕MN和PQ折叠，使点A、点D都与点F重合，展开纸片，此时恰好有MP=MN=PQ（如图④），求∠MNF的大小．21．直角三角形纸片ABC中，∠ACB=90°，AC≤BC，如图，将纸片沿某条直线折叠，使点A落在直角边BC上，记落点为D，设折痕与AB、AC边分别交于点E、点F．探究：如果折叠后的△CDF与△BDE均为等腰三角形，那么纸片中∠B的度数是多少？写出你的计算过程，并画出符合条件的后的图形．22．下列图案给出了折叠一个直角边长为2的等腰直角三角形纸片（图1）的全过程：首先对折，如图2，折痕CD交AB于点D；打开后，过点D任意折叠，使折痕DE交BC于点E，如图3；打开后，如图4；再沿AE折叠，如图5；打开后，折痕如图6．则折痕DE和AE长度的和的最小值是（）23．小华将一条1（如图1），沿它对称轴折叠1次后得到（如图），再将图沿它对称轴折叠后得到（如图3），则图3中一条腰长；同上操作，若小华连续将图1折叠n次后所得到（如图n+1）一条腰长为多少？．25．如图，直角三角形纸片ABC中，AB=3，AC=4，D为斜边BC中点，第1次将纸片折叠，使点A与点D重合，折痕与AD交于点P1；设P1D的中点为D1，第2次将纸片折叠，使点A与点D1重合，折痕与AD交于点P2；设P2D1的中点为D2，第3次将纸片折叠，使点A与点D2重合，折痕与AD交于点P3；…；设P n-1D n-2的中点为D n-1，第n次纸片折叠，使A与点D n-1重合，折痕与AD交于点P n（n＞2），则AP6长（）27．我们知道：任意的三角形纸片可通过如图①所示的方法折叠得到一个矩形．（1）实践：将图②中的正方形纸片通过适当的方法折叠成一个矩形（在图②中画图说明）．（2）探究：任意的四边形纸片是否都能通过适当的方法折叠成一个矩形？若能，直接在图③中画图说明；若不能，则四边形至少应具备什么条件才行？并画图说明．（要求：画图应体现折叠过程，用虚线表示折痕，用箭头表示方向，后图形中既无缝隙又无重叠部分）29．已知一个直角三角形纸片OAB ，其中∠AOB=90°，OA=2，OB=4．如图，将该纸片放置在平面直角坐标系中，折叠该纸片，折痕与边OB 交于点C ，与边AB 交于点D ．（1）若折叠后使点B 与点A 重合，求点C 的坐标；（2）若折叠后点B 落在边OA 上的点为B ′，设OB ′=x ，OC=y ，试写出y 关于x 的函数解析式，并确定y的取值范围；（3）若折叠后点B 落在边OA 上的点为B ″，且使B ″D ∥OB ，求此时点C 的坐标．。
利用图形折叠解决图形双解问题初探
利用图形折叠解决图形双解问题初探考虑问题全面性是学好空间图形问题至关重要的一点．在初中有关“空间与图形”部分知识的学习中，经常会碰到分两种或多种情况来解的问题，那么我们怎么能更好的解决这部分问题呢？这要靠平时的点滴积累，对比较常见的分情况考虑的问题要熟悉．例如遇到等腰三角形的角条件时要考虑是顶角还是底角，遇到等腰三角形的边的条件要考虑是底还是腰，说到过一点作直线和圆相交，要考虑点和圆有三种位置关系，所以要画出三种图形．也就是说，文字和数量表述上不是很明确，出现了不确定性，这样的情况在图形问题的学习中是非常常见的，在这里不一一列举，但大家在做题时一定要注重考虑到是否要分情况考虑．很多时候是你平常注重积累了，你心里有了这个问题，你作题时才会自然而然的想到．新课标要求：初中阶段，教师应培养学生逐步树立空间观念和形成空间思维能力，即根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体;能够想象出空间物体的方位和相互之间的位置关系；根据语言描述或通过想象画出图形等．我下面所要探讨的图形双解问题，其本质上，两种解是通过“图形的折叠（即轴对称）”变换相联系的，是初中新课程标准中关于“空间与图形”部分的主要内容．折叠问题题型多样，变化灵活，从考察学生空间想象能力与动手操作能力的实践操作题，到直接运用折叠相关性质的说理计算题，发展到基于折叠操作的综合题，甚至是压轴题. 考查的着眼点日趋灵活，能力立意的意图日渐明显. 这对于识别和理解几何图形的能力、空间思维能力和综合解决问题的能力都提出了比以往更高的要求.初中阶段（7-9年级）三个年级都会遇到涉及折叠关系的双解问题，举例如下：例1：已知A、B、C三点在一条直线上AB=4，BC=3，求线段AC的长．分析：由“三点在一条直线”条件可知：AB与 BC存在公共点B，A、C两点可能在B点同侧也可能在B点两侧，即形成了C点关于B点成中心对称（也可视为关于过B点与已知直线垂直的直线成轴对称）两种可能位置，如图：解：由图（1）可得：AC=AB+BC=4+3=7由图（2）可得：AC=AB-BC=4-3=1 所以AC长为7或1．如果将例1稍加变化，改成“已知A、B、C三点，AB=4，BC=3，则AC的长？”去掉了“三点在一条直线上”，进一步增加了此问题的不确定性，换句话说，A、B、C三点不一定共线了，也就是说：AC的就不是一个具体数了，如图（3）：而是一个范围：AB+BC≤AC≤AB-BC 即1 ≤AC≤7 ，它适合于设置成一道选择题，此种问题有助于学生加强几何建模以及探究过程，强调几何直觉，培养空间观念．例2：若∠AOB=50°，∠BOC=30°，求∠AOC．分析：此问题中，∠AOB与∠BOC存在公共边OB，OA、OC两条射线可能在OB同侧也可能在OB两侧，即形成了OC关于OB所在直线成轴对称的两种可能位置，如图：解：由图（3）可得：∠AOC=∠AOB+∠BOC=50°+30°=80°由图（4）可得：∠AOC=∠AOB-∠BOC=50°-30°=20°所以∠AOC的大小为80°或20°．例3：已知三角形ABC中，AB=17，AC=10，BC边上的高AD=8，求三角形ABC的面积．分析：求三角形的面积主要是求底边BC的长，本题中⊿ABD与⊿ACD存在公共边AD，⊿ACD与⊿ABD可能在AD同侧也可能在AD两侧，即形成了⊿ACD关于AD所在直线成轴对称的两种可能位置，如图：所以三角形ABC的面积为36或84．例4：如图所示，一块四边形耕地ABCD，AD=4m，CD=3m，∠ ADC=90°，AB=13m，BC=12m，求这块地的面积．分析：本题求四边形面积的关键是判断它是由两个直角三角形组合而成的，本题中⊿ABC与⊿ACD存在公共边AC，⊿ACD与⊿ABC可能在AC同侧也可能在AC两侧，即形成了⊿ACD关于AC所在直线成轴对称的两种可能位置，如图：例5：点P到⊙O上最近点距离为2，最远点的距离为8，则⊙O的半径r是多少？分析：所谓最远点和最近点都在点P与点O所在直线（连心线）与⊙O的交点，而点P可能在⊙O内，也可能在⊙O外，如图（9），图（10），两图中的AP也可以看作是关于过点A的切线对称的位置关系，这样就出现了与例1相同的情形．解：如图（9），2r=PA+PB=2+8=10，所以r=5如图（10），2r=PB-PA=8-2=6，所以r=3例6：若半径分别为4和5两圆相切，求这两圆的圆心距．分析：此题与例1有着异曲同工之处只是增加了圆的问题环境而已，此题关键之处还是能画出两种情况的图形，如图11与图12，由图观察，不难求出圆心距分别是：5+4=9和5-4=1（解题过程不详写了）例7：圆内两条平行弦AB、CD，AB=8，CD=6，求两条平行弦AB与CD的距离．分析：求两条平行弦AB与CD的距离，主要是求两条弦的弦心距，本题中需要构建与弦、弦心距、半径组成的直角三角形，通过勾股定理求两条弦的弦心距，而两条弦心距又构成了例1中两条线段的关系．即在圆心的两侧，即形成了关于与这两条弦平行直径所在直线成轴对称的两种可能位置，如图：以上七道例题，都以折叠的方式实现了图形之间的转换，将疑难问题加以归纳、整理，形成了同种类型题的系统归纳，实际上折叠操作就是将图形的一部分沿着一条直线翻折1800，使它与另一部分图形在这条直线的同旁与其重叠或不重叠，其中“折”是过程，“叠”是结果. 折叠问题的实质是图形的轴对称变换，折叠更突出了轴对称问题的应用. 所以在解决有关的折叠问题时可以充分运用轴对称的思想和轴对称的性质.在解题过程中要充分运用轴对称的性质，借助辅助线构造直角三角形，来解决有关折叠问题，可以使得解题思路更加清晰，解题步骤更加简洁.。
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图形折叠问题的探究已知矩形纸片ABCD，AB＝2，AD＝1将纸片折叠，使顶点A与边CD上的点E重合. （1）如果折痕FG分别与AD，AB交于点F，G（如图（1），）AF＝23.求DE的长. （2）如果折痕FG分别与CD，AB交于点F，G（如图（2），），△AED的外接圆与直线BC相切，求折痕FG 的长.（2012•南宁）如图，已知矩形纸片ABCD，AD=2，AB=4．将纸片折叠，使顶点A与边CD上的点E重合，折痕FG分别与AB，CD交于点G，F，AE与FG交于点O．（1）如图1，求证：A，G，E，F四点围成的四边形是菱形；（2）如图2，当△AED的外接圆与BC相切于点N时，求证：点N是线段BC的中点；（3）如图2，在（2）的条件下，求折痕FG的长．本题通过矩形纸片折叠，利用轴对称图形的性质，在丰富的图形关系中，考查学生获取信息和利用所得信息认识新事物的能力，本题对图形折叠前后的不变量的把握、直线与圆位置关系的准确理解、方程思想的运用意识和策略等具有可再抽象性．变式：已知点P是矩形ABCD边AB上的任意一点（与点A、B不重合）（1）如图①，现将△PBC沿PC翻折得到△PEC；再在AD上取一点F，将△PAF沿PF翻折得到△PGF，并使得射线PE、PG重合，试问FG与CE的位置关系如何，请说明理由；（2）在（1）中，如图②，连接FC，取FC的中点H，连接GH、EH，请你探索线段GH 和线段EH的大小关系，并说明你的理由；（3）如图③，分别在AD、BC上取点F、C’，使得∠APF=∠BPC’，与（1）中的操作相类似，即将△PAF沿PF翻折得到△PFG，并将△CPB′沿CP′翻折得到△CPE′，连接CF′，取CF′的中点H，连接GH、EH，试问（2）中的结论还成立吗？请说明理由．例4.（1）观察与发现：小明将三角形纸片ABC（AB >AC）沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为AD，展开纸片（如图①）；再次折叠该三角形纸片，使点A和点D重合，折痕为EF，展平纸片后得到△AEF（如图②）．小明认为△AEF是等腰三角形，你同意吗？请说明理由．（2）实践与运用：将矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC边上的点F处，折痕为BE（如图③）；再沿过点E的直线折叠，使点D落在BE 上的点D′处，折痕为EG（如图④）；再展平纸片（如图⑤）．求图⑤中∠α的大小．如图,矩形纸片ABCD中,AD=9,AB=3,将其折叠,使点D与点B重合,折痕为EF,则EF的长为如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现将直角边AC沿着直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD的长为cm．（2008•荆门）如图，矩形纸片ABCD中，AD=9，AB=3，将其折叠，使点D与点B重合，折痕为EF，那么折痕EF的长为本题利用了：1、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等；2、矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质求解．例6. 如图，正方形硬纸片ABCD的边长是4，点E、F分别是AB、BC的中点，若沿左图中的虚线剪开，拼成如下右图的一座“小别墅”，则图中阴影部分的面积是（）A．2 B．4 C．8 D．10考点：；分析：先根据矩形的特点求出BC的长，再由翻折变换的性质得出△CEF是直角三角形，利用勾股定理即可求出CF的长，再在△ABC中利用勾股定理即可求出AB的长．点评：本题考查的是翻折变换及勾股定理，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解答此题的关键．如图，矩形纸片ABCD中，AB=18cm，把矩形纸片沿直线AC折叠，点B落在点E 处，AE交DC于点F，若AF=13，则AD的长为（）考点：；；分析：根据折叠前后角相等可证AF=FC，在直角三角形ADF中，运用勾股定理求解解答：解：根据折叠前后角相等可知△ADF≌△CEF，设DA=x，又AF=13，DF=18-13=5，在直角三角形ADF中，x2+52=132，解之得，x=12cm．故选D点评：本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后角相等．求线段与面积间的变化关系例5 已知一三角形纸片ABC，面积为25，BC的长为10，?B和?C都为锐角，M为AB上的一动点(M与A、B不重合)，过点M作MN∥BC，交AC于点N，设MN=x. (1)用x表示△AMN的面积SΔAMN。
(2)ΔAMN 沿MN折叠，设点A关于ΔAMN对称的点为A1，ΔA1MN与四边形BCMN重叠部分的面积为y.①试求出y与x的函数关系式，并写出自变量X的取值范围；②当x为何值时，重叠部分的面积y最大，最大为多少？（2010•荆门）将三角形纸片ABC（AB＞AC）沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为AD，展平纸片，如图（1）；再次折叠该三角形纸片，使得点A与点D重合，折痕为EF，再次展平后连接DE、DF，如图2，证明：四边形AEDF是菱形．（2012•衢州）课本中，把长与宽之比为2的矩形纸片称为标准纸．请思考解决下列问题：（1）将一张标准纸ABCD（AB＜BC）对折，如图1所示，所得的矩形纸片ABEF是标准纸．请给予证明．（2）在一次综合实践课上，小明尝试着将矩形纸片ABCD（AB＜BC）进行如下操作：第一步：沿过A点的直线折叠，使B点落在AD边上点F处，折痕为AE（如图2甲）；第二步：沿过D点的直线折叠，使C点落在AD边上点N处，折痕为DG（如图2乙），此时E点恰好落在AE边上的点M处；第三步：沿直线DM折叠（如图2丙），此时点G恰好与N点重合．请你探究：矩形纸片ABCD是否是一张标准纸？请说明理由．（3）不难发现：将一张标准纸按如图3一次又一次对开后，所得的矩形纸片都是标准纸．现有一张标准纸ABCD，AB=1，BC=2，问第5次对开后所得标准纸的周长是多少？探索直接写出第2012次对开后所得标准纸的周长．…四．折叠后得图形例9.将一张矩形纸对折再对折（如图），然后沿着图中的虚线剪下，得到①、②两部分，将①展开后得到的平面图形是（）A．矩形B．三角形C．梯形D．菱形例10. 在我们学习过的数学教科书中，有一个数学活动，其具体操作过程是：第一步：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展开（如图1）；第二步：再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到线段BN （如图2）．请解答以下问题：（1）如图2，若延长MN交BC于P，△BMP是什么三角形？请证明你的结论；（2）在图2中，若AB=a，BC=b，a、b满足什么关系，才能在矩形纸片ABCD上剪出符合（1）中结论的三角形纸片BMP？（3）设矩形ABCD的边AB=2，BC=4，并建立如图3所示的直角坐标系．设直线BM′为y=kx，当∠M′BC=60°时，求k的值．此时，将△ABM′沿BM′折叠，点A是否落在EF上（E、F分别为AB、CD中点），为什么？例11. 如图1所示，把一个正方形三次对折后沿虚线剪下，则所得的图形是（）例12. 如图，已知BC为等腰三角形纸片ABC的底边，AD⊥BC，AD=BC. 将此三角形纸片沿AD剪开，得到两个三角形，若把这两个三角形拼成一个平面四边形，则能拼出互不全等的四边形的个数是（）A. 1 B. 2 C. 3 D.五．折叠后得结论六．折叠和剪切的应用例15.在一张长12cm、宽5cm的矩形纸片内，要折出一个菱形.李颖同学按照取两组对边中点的方法折出菱形EFGH（见方案一），张丰同学沿矩形的对角线AC折出∠CAE=∠DAC，∠ACF=∠ACB的方法得到菱形AECF（见方案二），请你通过计算，比较李颖同学和张丰同学的折法中，哪种菱形面积较大？七．以折叠为背景的存在性问题例16. 已知矩形纸片OABC的长为4，宽为3，以长OA所在的直线为x轴，O为坐标原点建立平面直角坐标系；点P是OA边上的动点（与点O、A不重合），现将△POC沿PC翻折得到△PEC，再在AB边上选取适当的点D，将△PAD沿PD翻折，得到△PFD，使得直线PE、PF重合．（1）若点E落在BC边上，如图①，求点P、C、D的坐标，并求过此三点的抛物线的函数关系式；（2）若点E落在矩形纸片OABC的内部，如图②，设OP ＝x，AD＝y，当x为何值时，y取得最大值？（3）在（1）的情况下，过点P、C、D三点的抛物线上是否存在点Q使△PDQ是以PD为直角边的直角三角形？若不存在，说明理由；若存在，求出点Q的坐标八．以折叠为背景的探索题例17.已知：矩形纸片ABCD中，AB＝26cm，BC＝18.5cm，点E在AD上，且AE＝6cm，点P是AB边上一动点，按如下操作：步骤一，折叠纸片，使点P与点E重合，展开纸片得折痕MN（如图（1）所示）；步骤二，过点P作PT⊥AB交MN所在的直线于点Q，连结QE（如图（2）所示）；（1）无论点P在AB边上任何位置，都有PQ QE （填“＞”、“=”、“＜”号）（2）如图（3）所示，将矩形纸片ABCD放在直角坐标系中，按上述步骤一、二进行操作：①当点P在A点时，PT与MN交于点Q1，Q1点的坐标是（，）；②当PA＝6cm时，PT与MN交于点Q2，Q2点的坐标是（，）；③当PA＝12cm时，在图（3）中画出MN，PT（不要求写画法）并求出MN与PT的交点Q3的坐标；（3）点P在在运动过程中，PT与MN形成一系列的交点Q1，Q2，Q3…观察，猜想：众多的交点形成的图象是什么？并直接写出该图象的函数表达式解：Ⅰ、过点N作NR⊥AB，垂足为R，连接BB′交MN于点Q．则由折叠知，△MBQ与△MB′Q关于直线MN对称，∴MQ⊥BB′．在△RNM和△ABB′中，∠A=∠MRN=90°，∠ABB′+∠BMQ=∠RNM+∠BMN=90°∴∠ABB′=∠RNM，又∵RN=AB=1，∴△RNM≌△ABB′，∴BB′=MN．Ⅱ、由Ⅰ可知△MQB∽△B′AB，。