文科数学高考压轴题

1.（门头沟一模20.） （本小题满分14分）

已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，11=a ，满足下列条件

①0≠∈∀n a N n ,*

；②点),(n n n S a P 在函数2

2x

x x f +=)(的图象上；

（I ）求数列}{n a 的通项n a 及前n 项和n S ； （II ）求证：10121<-≤+++||||n n n n P P P P ．

解：（I ）由题意 2

2

n

n n a a S +=……2分，当2≥n 时

2

21

21

21

---+-+=-=n n n n n n n a a a a S S a

整理得0111=--+--))((n n n n a a a a ……5分，又0≠∈∀n a N n ,*，所以01=+-n n a a 或011=---n n a a

01

=+-n n a a 时，11=a ，11

-=-n n a a ，得1

1--=n n a )(，211n n S )(--=

……7分

011=---n n a a 时，11=a ，11

=--n n a a ，得n a n =，2

2n

n S n +=

……9分

（II ）证明：

01=+-n n a a 时，))(,)((2

1111

n

n n P ----，5121==+++||||n n n n P P P P ，

所以0121=-+++||||n n n n P P P P

…11分，011=---n n a a 时，),(2

2n

n n P n +，22121)(||++=++n P P n n ，2111)(||++=+n P P n n 2

2222

2

121112*********)()()()()()(||||++++++--++=

++-++=-+++n n n n n n P P P P n n n n 2

211213

2)()(++++++=

n n n 13分，因为

11122122+>+++>++n n n n )(,)(

所以111213

202

2

<++++++<)

()(n n n ，综上

10121<-≤+++||||n n n n P P P P

……14分．

2.（2011年高考20．）（本小题共13分）若数列12:,,,(2)n n A a a a n ⋅⋅⋅≥满足11(1,2,,1)k k a a k n +-==⋅⋅⋅-，

则称n A 为E 数列，记12()n n S A a a a =++⋅⋅⋅+. （Ⅰ）写出一个E 数列A 5满足130a a ==；

（Ⅱ）若112a =，n=2000，证明：E 数列n A 是递增数列的充要条件是n a =2011；

（Ⅲ）在14a =的E 数列n A 中，求使得()n S A =0成立得n 的最小值.

解：（Ⅰ）0，1，0，1，0是一具满足条件的E 数列A 5.（答案不唯一，0，—1，0，1，0；0，±1，0，1，2；0，

±1，0，—1，—2；0，±1，0，—1，—2，0，±1，0，—1，0都是满足条件的E 的数列A 5） （Ⅱ）必要性：因为E 数列A 5是递增数列，所以)1999,,2,1(11Λ==-+k a a k k ． 所以A 5是首项为12，公差为1的等差数列．所以a 2000=12+（2000—1）×1=2011． 充分性，由于a 2000—a 1000≤1，a 2000—a 1000≤1,……a 2—a 1≤1

所以a 2000—a t ≤19999，即a 2000≤a 1+1999．又因为a 1=12，a 2000=2011,所以a 2000=a 1+1999． 故n n n A k a a 即),1999,,2,1(011Λ=>=-+是递增数列．综上，结论得证. （Ⅲ）对首项为4的E 数列A k ，由于

,3112=-≥a a ,2123≥-≥a a …….3175-≥-≥a a ……所以)8,,3,2(021ΛΛ=>+++k a a a k ，

所以对任意的首项为4的E 数列A m ，若,0)(=m A S 则必有9≥n .

又41=a 的E 数列,0)(4,3,2,1,0,1,2,3,4:11=----A S A 满足所以n 是最小值是9.

3.（2012年高考，20）（本小题共13分）

设A 是如下形式的2行3

满足性质:,,,,,[1,1]P a b c d e f ∈-，且0a b c d e f +++++=。

记()i r A 为A 的第i 行各数之和(1,2)i =，()j c A 为第j 列各数之和(1,2,3)j =；记()k A 为1|()|r A ，2|()|r A ，1|()|c A ，2|()|c A ，3|()|c A 中的最小值。

（Ⅰ）对如下数表A ，求()k A 的值

（Ⅱ）设数表A 形如

其中10d -≤≤。求()k A 的最大值；

（Ⅲ）对所有满足性质P 的2行3列的数表A ，求()k A 的最大值

4（海淀一模20. ）（本小题满分13分）

已知函数()f x 的定义域为(0,)+∞，若()

f x y x

=在(0,)+∞上为增函数，则称()f x 为 “一阶比增函数”.

(Ⅰ) 若2()f x ax ax =+是“一阶比增函数”，求实数a 的取值范围；

(Ⅱ) 若()f x 是“一阶比增函数”，求证：12,(0,)x x ∀∈+∞，1212()()()f x f x f x x +<+； （Ⅲ）若()f x 是“一阶比增函数”，且()f x 有零点，求证：()2013f x >有解.

解：（I ）由题2()f x ax ax

y ax a x x

+===+在(0,)+∞是增函数，

由一次函数性质知

当0a >时，y ax a =+在(0,)+∞上是增函数，

所以0a > ………………3分 （Ⅱ）因为()f x 是“一阶比增函数”，即

()

f x x

在(0,)+∞上是增函数，