矩阵论矩阵分解汇总PPT课件

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7
(2) 解Ux y
2 5 6 x1 10
3
7
x2
1
4 x3 4
解 得 ： x(3,2,1)T。
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8
满秩分解
定 理 ： 设 A C rm n ， 则 存 在 F C rm r(列 满 秩 )， G C rr n ， ( 行 满 秩 ) ， 使 得 A F G
矩阵的分解汇总
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1
目录
三角分解(LU分解) Cholesky分解 满秩分解 矩阵的QR分解 矩阵的奇异值分解 矩阵的谱分解
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2
三角分解(LU分解)
矩阵的三角分解主要是用来解方程组Ax=b. 如果A=LU,其中L为下三角，U为上三角，
则方程组Ax＝b等价于Ly=b,Ux=y.
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3
若下三角矩阵L是单位下三角矩阵，称A＝ LU为Doolittle分解；
如果限定R的对角元全正， 则QR分解是唯一的。
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Householder变换求QR分解
我们先介绍Householder变换的性质 如何利用Householder变换求矩阵的QR分解
0 0 0 0 0 0 1 1 1
0 0 0 0 0 0 0 0 2 1
则 P A = A = G 0 A = P 1 G 0 FF 1 G 0 F G
.
12
1
而
P
1
1
1
，
2 1 1
4
2
2
1
.
13
1
F
1
2
4
0
1
,
1
2
G10
2 0
1 1
0 1
1 2
2 1
称 B为 H e rm ite 标 准 形 。
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定 理 ： 设 ACrmn,通 过 行 初 等 变 换 将 A 化 成 Hermite标 准 形 B,取 B的 前 r行 为 G, A的 j1,j2, ,jr列 构 成 F,则 AFG为 满 秩 分 解 。
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例 求满秩分解
1 2 1 0 1 2
QR分解也叫正交三角分解。 本节我们介绍三种求QR分解的方法—
Schmidt正交化方法、Householder 变换法、 Givens变换法。
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矩阵的正交三角分解（QR分解）
设ARnnn，则A可分解为： A=QR 其中，Q为正交阵，R为上三角阵。
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A=(QD)(DR)=QR 其中，D为对角阵，对角元为1 A=(QD)(DR)=QR也是QR分解
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10
1 2 1 0 1 2 1
[A E]=1 2 2 1 3 3 2 4 3 1 4 5
1
1
4 8 6 2 8 10
1
1 2 1 0 1 2 1
00
0 0
11 00
2 0
1 1 1 0 1 1
1
0 0 0 0 0 0 0 0 2 1
.
11
1 2 1 0 1 2 1
设A=0 0 1 1 2 1,P1 1
且 第 一 个 非 零 元 是 1 (2)B 的 后 m-r行 都 是 零 行
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(3)设B的第一行的第一个1元所在的列为j1列， 第二行的第一个1元所在的列为j2列 ， 第r行的第一个1元所在的列为jr列,则 j1<j2< <jr
( 4 )j 1 , j 2 , , j r构 成 单 位 阵 的 前 r 列 ，
若上三角矩阵U是单位上三角矩阵，称 A=LU为Crout分解
矩阵分解A=LDU，其中，L为单位下三角 矩阵，U为单位上三角矩阵。
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4
Cholesky分解
A是实的对称正定矩阵（或者复Hermite正定 矩阵），
则存在唯一的下三角阵G，使得A=GGT,其 中，G的对角元全正。这种分解称为矩阵A 的Cholesky分解。
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5
例1.试用Doolittle分解求解方程组 .
2 5 6 x1 10
4
13
19x2
19
6 3 6 x3 30
1 2 5 6
解： A2 1
3 7LU
3 4 1
4
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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6
（1）解Ly b
1
y1 10
2
1
y2
19
3 4 1 y3 30
得 y(10,1,4)T
这 种 分 解 ， 称 为 矩 阵 A 的 满 秩 分 解
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9
求 矩 阵 A的 满 秩 分 解
1 2 1 0 1 2
A
1
2
2
1
3
3
2 4 3 1 4 5
4
8
6
2
8
1
0
解 ( 1 ) 将 矩 阵 [ A E ] 做 行 初 等 变 换 ， ( 只 能 做 行 变 换 ) 目 标 是 将 A 的 前 r 行 线 性 无 关 ， 后 面 的 行 为 零 行 。
A F G 为 所 求 的 满 秩 分 解
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14
在求矩阵的满秩分解的过程中，要求矩阵 的逆，这比较麻烦
我们将介绍矩阵的Hermit标准形，用它来求 矩阵的满秩分解比较方便。
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15
矩阵的Hermite标准形
设 BCrmn,满 足 (1)B 的 前 r行 每 一 行 至 少 含 一 个 非 零 元 ，
1
2
4
1
2 3
C
2
4
2
,
6
G1 0
2 0
0 1
1 1
211 1C226
A F G 为 所 求 的 满 秩 分 解
.
21
求 A=0 0
0 0
1 2
2 4
6 3的 满 秩 分 解
解:A00
0 0
1 0
2 0
3 0
.
22
F
1 2
C1
21
,
G 00123 C 1 1 5
A F G 为 满 秩 分 解
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23
0 1 0 1 1 求A=0 2 0 1 1的满秩分解
0 3 0 2 2
0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 解：A0 0 0 3 3 0 0 0 1 1
0 0 0 5 5 0 0 0 0 0
.
24
0 1 0 0 0 0 0 0 1 1
0 0 0 0 0
1
F
2
3
1
1
C232 ,
A
=
1
2
2
1
3
3
2 4 3 1 4 5
4
8
6
2
8
1
0
.
19
解 ： 对 A 做 行 初 等 变 换 ， 得 到
1 2 1 0 1 2
A 0
0
1
1
2
1
0 0 0 0 0 0
0
0
0
0
0
0
1 2 0 1 1 1
0 0 1 1
2
1
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0
0
0
.
20
1
所以，F
2
G0 0
1 0
0 0
0 1
01C225
A F G 为 满 秩 分 解
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25
由 前 面 的 例 题 可 以 看 出 ， 矩 阵 A的 满 秩 分 解 不 是 唯 一 的 。
若A=FG为满秩分解，P为任意r阶 可逆矩阵， 则A=(FP)(P-1G)=FG也是满秩分解
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26
矩阵的QR分解
矩阵QR分解在求解最小二乘问题、特征值 问题等方面具有很重要的运用。