第三章习题

3. 设系统的哈密顿算符为
⎡⎛ ˆ + ˆ 1 ⎞ ˆ+b ˆ+ + b ˆb ˆ⎤ H = ℏω ⎢⎜ b b + ⎟ +α b ⎥ 2⎠ ⎣⎝ ⎦
(
)
ˆ+ 和 b ˆ 为玻色子的产生算符和消灭算符，试求系统的准粒 其中， b
子能ຫໍສະໝຸດ Baidu。
4. 一系统的哈密顿算符为
ˆ +b ˆ +γ a ˆ+ + a ˆ ˆ +a ˆ + βb ˆ +b ˆb H = αa
[αˆ ,αˆ ]
r
+ r +
ˆ r ,α ˆr ] = α ˆ r+ , α ˆ r+ = 0 = 1 ； [α
r s −
+ r
[
]
[αˆ ,αˆ ] = [αˆ ,αˆ ] = [αˆ
r
+ s −
ˆ s+ ,α
]
−
=0
r≠s
ˆ r+ 和 α ˆ r 作用在占据数表象的基矢量上由下式 ˆr = α ˆ r+α ˆ r ，α 占据数算符 n
] ]
ˆ [n ˆ [n
µ
]
µ
, sυ = −2 s µ δ µυ
9. 题其他已知条件由上题给出。设粒子之间还有对力作用，哈密顿 表示为
+ + + ˆυ ˆυ + a ˆυ ˆυ ) − G ∑ s µ H = ∑ ε υ (a a a sυ
υ
µυ
式中 G 为对力强度参量（量纲为能量） 。设体系只有一对粒子，求 它们的能量本征值，真空能量取为零。分两种类型状态，即
角动量的全部代数性质可以用它们来实现，即 （ⅰ）令
ˆ1 ⎞ ⎛a + ˆ + = (a ˆ1+ , a ˆ2 ˆ=⎜ ⎟ a )， a ⎜a ⎟ ⎝ ˆ2 ⎠ � � ˆ 1 ˆ + �ˆ 试证明： J （ σ 为 pauli 矩阵） = a σa 具有角动量的代数性质 2
+ ˆ1+ a ˆ 2 ， J + = J x − iJ y = a ˆ2 ˆ1 （ⅱ）试证明： J + = J x + iJ y = a a
+ + + + + ˆυ ˆυ , sυ = a ˆυ a ˆυ , n ˆυ = a ˆυ ˆυ + a ˆυ ˆυ sυ =a a a a
+ ˆυ 代表能级 ε υ sυ , sυ 代表在能级 ε υ 上产生和消灭一对粒子的算符， n
上的粒子数算符，试证明：
[s
µ
+ ˆ µ )δ µυ , sυ = (1 − n + + , sυ = 2s µ δ µυ
∑⎜ ⎜ E − 2ε
µ
⎛ ⎝
1
µ
⎞ ⎟=−1 ⎟ G ⎠
（提示： 用 ψ = A + 0 代入 H ψ = E ψ ， 利用 及上题求证的对易式）
[H , A ] 0
+
= HA + 0 = EA + 0
10. 设费米子体系在中心力场中运动。单粒子能级用 ε j 表示， j 为粒
ˆ+ 子的角动量，由于体系的转动对称性，单粒子态记为 a jm 0 ，
ˆ+ 转动对称性，系统的单粒子 a jm 0 可看作转动变换下的不变子空间， ˆ+ 即a jm 0 ~ jm 。之后应用角动量耦合公式，并要求求出的态满足归一
性） 。
(
)
ˆ+ ， b ˆ 为两组相互独立的玻色产生算符和消灭算符， ˆ+ ， a ˆ 和b 其中， a
试求该系统的基态能和激发能。
ˆ=a ˆ+a ˆ， ˆ, a ˆ + ] = 1 ，占据数算符为 n 5. 玻色子算符满足 [a ˆ, a ˆ + = ka ˆ + , k = 0,1,2,⋯ （ⅰ）用归纳法证明 n
给出：
⎧ n , ⋯, n r + 1, ⋯ , n∞ , n r = 0 ˆ r+ n1 , ⋯ , n r ,⋯ , n∞ = ⎨ 1 α ⎩0, n r = 1 ⎧0, n r = 0 ˆ r n1 ,⋯ , nr ,⋯ , n∞ = ⎨ α ⎩ n1 , ⋯ , nr − 1,⋯ , n∞ , n r = 1
+ + ˆµ ˆυ 0 （ⅰ） 两个粒子不配对， 分别处于不同的单粒子能级上， 用a a
描述（ µ ≠ υ ） 。体系的能量为 E = ε µ + ε υ ，应算出此结果。
+ （ⅱ）两个粒子“配对” ，用 A + 0 = ∑ c µ s µ 0 来描述对粒子的态，
µ
证明其能量本征值 E 由下式确定：
m = j, j − 1, ⋯,− j ， 能级为 2 j + 1 重简并。 考虑有一对粒子处于 ε j 能级上，
角动量耦合为 J = 0 ， 记为 ( jj )00 表示由于 j 和 j 耦合成 J = 0 的耦合态。 试用耦合成 J = 0 的粒子对产生算符把 ( jj )00 表示出来。 （由于体系的
对于体系的态矢量
Ψ (t ) = ∑∑ ⋯ ∑ ⋯ ∑ Ω(n1 , ⋯ , nr , ⋯ , n∞ ; t ) n1 ,⋯ , nr ,⋯ , n∞
n1 n2 nr n∞
试证其占据数表象波函数 Ω 满足：
⎧Ω(n1 , ⋯ , n r − 1, ⋯ , n∞ ; t ), n r = 1 ˆ r+ Ω(n1 ,⋯ , nr ,⋯ , n∞ ; t ) = ⎨ α ⎩0, n r = 0 ⎧Ω(n1 , ⋯, nr + 1, ⋯ , n∞ ; t ), n r = 0 ˆ r Ω(n1 ,⋯ , nr , ⋯, n∞ ; t ) = ⎨ α ⎩0, nr = 1
ˆ 为正定的厄米算符。 （ⅱ）证明 n
[
k
]
k
ˆ 0 = 0 ， 0 表示真空态， n ˆ 0 = 0 。令 （ⅲ）设 a
n =
1
n!
ˆ + 0 , n = 0,1,2, ⋯ a
n
试证明：
ˆ n = n n ； n n =1 n
+ ˆ2 ˆ 2 为两组相互独立的玻色产生算符和消灭算符，证明 ˆ1+ , a ˆ1 和 a 6. 设 a ,a
+ + ˆ2 , a ˆ2 ˆ2a ˆ1 , A + = a ˆ1+ a ˆ2 ˆ1 , a ˆ1+ ， a 其中 α 为实参数， A = a ，这里 a 是两组独立
[(
)]
的费米子消灭算符和产生算符。 （ⅰ）证明在上述条件下，幺正变换算符 U = eα (A − A ) 作用在 0 上可
+
表示为：
第三章 习题
ˆ+ ， a ˆ 满足反对易关系 [a ˆ, a ˆ + ]+ = 1 ，占据 1. 费米子产生算符和消灭算符 a ˆ=a ˆ+a ˆ 给出，试证明 n ˆ 的本征值只能取１和０。 数算子由 n
2. 我们在费米子体系的二次量子化一节中曾引入了具有下述性质的
ˆ r+ 和消灭算符 α ˆr ： 产生算符 α
ˆ= a ˆ+a ˆ 的本征值为 （ⅲ）应用占据数表象证明： J ⎧0,1,2, ⋯ j=⎨ ⎩1 2, 3 2 , 5 2 ,⋯ ˆ2 从而证明 J 的本征值为 j ( j + 1) 。 （已在我们讲述的角动量关系中置 �
1 2
ℏ = 1）
7. 费米子真空态 0 作如下幺正变换：
Φ = exp α A + − A 0
+ ˆ1+ a ˆ2 U = cos α + sin αa
（ⅱ）证明在上述幺正变换下费米子算符作如下变换
+ ~ ˆ = Ua ˆ1U −1 = cos αa ˆ1 − sin αa ˆ2 a 1
~ ˆ = Ua ˆ 2U −1 = cos αa ˆ 2 + sin αa ˆ1+ a 2
（ⅲ）证明上述变换为正则变换，即它保持算符的费米性。 8. 设有全同费米子组成的体系在轴对称势场中运动，单粒子能量记 为 ε υ (υ = 1,2,3⋯) 。 由于对称性存在使得单粒子能级为二重简并， ε υ 能 级上的两个简并态分别用υ ,υ 表示，令