东城区2019-2020高二数学

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北京市东城区2019-2020学年高二上学期期末考试理科数学试卷Word版含解析

北京市东城区2019-2020学年上学期期末考试高二理科数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知A（﹣1，﹣3），B（3，5），则直线AB的斜率为（）A．2 B．1 C．D．不存在2．圆心为（﹣3，2）且过点A（1，﹣1）的圆的方程是（）A．（x﹣3）2+（y﹣2）2=5 B．（x+3）2+（y﹣2）2=5 C．（x﹣3）2+（y﹣2）2=25 D．（x+3）2+（y﹣2）2=25 3．已知直线x﹣2y+5=0与直线2x+my﹣6=0互相垂直，则m=（）A．﹣1 B．C．1 D．44．已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥nC．若m⊥α，m⊥n，则n∥αD．若m∥α，m⊥n，则n⊥α5．双曲线2x2﹣y2=8的实轴长是（）A．4 B．4 C．2 D．26．一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的体积是（）A．1 B．2 C．3 D．47．在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组，所表示的区域上一动点，则直线OM 斜率的最小值为（）A ．B ．C ．1D ．28．已知抛物线C ：y 2=x 的焦点为F ，A （x 0，y 0）是C 上一点，AF=|x 0|，则x 0=（）A ．1B ．2C ．4D ．89．过点P （﹣，﹣1）的直线l 与圆x 2+y 2=1有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是（）A ．（0，]B ．（0，] C ．[0，] D ．[0，]10．点P 到图形C 上每一个点的距离的最小值称为点P 到图形C 的距离，那么平面内到定圆C 的距离与到定点A 的距离相等的点的轨迹不可能是（）A ．圆B ．椭圆C ．双曲线的一支D ．直线二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．双曲线的两条渐近线方程为．12．以等腰直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，将该三角形旋转一周，若等腰直角三角形的直角边长为1，则所得圆锥的侧面积等于．13．已知=（1，1，0），=（﹣1，0，2），则|2﹣|= ．14．如图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽为米．15．设F 1、F 2是椭圆E ： =1（a ＞b ＞0）的左、右焦点，P 为直线x=上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则椭圆E 的离心率为．16．如图，在棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别是棱BC ，CC 1的中点，P 是侧面BCC 1B 1内一点，若A 1P ∥平面AEF ，则线段A 1P 长度的取值范围是．三、解答题（本大题共5小题，共52分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是菱形，PA=PB ，且侧面PAB ⊥平面ABCD ，点E 是AB 的中点．（Ⅰ）求证：CD ∥平面PAB ；（Ⅱ）求证：PE ⊥AD ．18．已知圆C 经过A （1，3），B （﹣1，1）两点，且圆心在直线y=x 上．（Ⅰ）求圆C 的方程；（Ⅱ）设直线l 经过点（2，﹣2），且l 与圆C 相交所得弦长为，求直线l 的方程．19．已知平行四边形的两条边所在直线的方程分别为x+y ﹣1=0，3x ﹣y+4=0，且它的对角线的交点是M （3，3），求这个平行四边形其他两边所在直线的方程．20．如图，PA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，AB=PA=2BC=2，M 为PB 的中点．（Ⅰ）求证：AM ⊥平面PBC ；（Ⅱ）求二面角A ﹣PC ﹣B 的余弦值；（Ⅲ）证明：在线段PC 上存在点D ，使得BD ⊥AC ，并求的值．21．已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，短轴长为2，且两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的顶点．过右焦点F与x轴不垂直的直线l交椭圆于P，Q两点．（1）求椭圆的方程；（2）当直线l的斜率为1时，求△POQ的面积；（3）在线段OF上是否存在点M（m，0），使得以MP，MQ为邻边的平行四边形是菱形？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．北京市东城区2019-2020学年上学期期末考试高二理科数学试卷参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知A（﹣1，﹣3），B（3，5），则直线AB的斜率为（）A．2 B．1 C．D．不存在【考点】直线的斜率．【专题】方程思想；综合法；直线与圆．【分析】根据两点坐标求出直线AB的斜率即可．【解答】解：直线AB的斜率k==2，故选：A．【点评】此题考查学生会根据两点坐标求过两点直线的斜率，是一道基础题．2．圆心为（﹣3，2）且过点A（1，﹣1）的圆的方程是（）A．（x﹣3）2+（y﹣2）2=5 B．（x+3）2+（y﹣2）2=5 C．（x﹣3）2+（y﹣2）2=25 D．（x+3）2+（y﹣2）2=25 【考点】圆的标准方程．【专题】计算题；方程思想；数学模型法；直线与圆．【分析】由已知利用两点间的距离公式求出圆的半径，代入圆的标准方程得答案．【解答】解：∵圆心为（﹣3，2）且过点A（1，﹣1），∴圆的半径，则圆的方程为（x+3）2+（y﹣2）2=25．故选：D．【点评】本题考查圆的方程的求法，是基础的会考题型．3．已知直线x﹣2y+5=0与直线2x+my﹣6=0互相垂直，则m=（）A．﹣1 B．C．1 D．4【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．【专题】方程思想；综合法；直线与圆．【分析】由直线的垂直关系可得1×2+（﹣2）m=0，解方程可得．【解答】解：∵直线x﹣2y+5=0与直线2x+my﹣6=0互相垂直，∴1×2+（﹣2）m=0，解得m=1故选：C【点评】本题考查直线的一般式方程和垂直关系，属基础题．4．已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥nC．若m⊥α，m⊥n，则n∥αD．若m∥α，m⊥n，则n⊥α【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【专题】空间位置关系与距离．【分析】A．运用线面平行的性质，结合线线的位置关系，即可判断；B．运用线面垂直的性质，即可判断；C．运用线面垂直的性质，结合线线垂直和线面平行的位置即可判断；D．运用线面平行的性质和线面垂直的判定，即可判断．【解答】解：A．若m∥α，n∥α，则m，n相交或平行或异面，故A错；B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥n，故B正确；C．若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，故C错；D．若m∥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α或n⊥α，故D错．故选B．【点评】本题考查空间直线与平面的位置关系，考查直线与平面的平行、垂直的判断与性质，记熟这些定理是迅速解题的关键，注意观察空间的直线与平面的模型．5．双曲线2x2﹣y2=8的实轴长是（）A．4 B．4 C．2 D．2【考点】双曲线的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】双曲线方程化为标准方程，即可确定实轴长．【解答】解：双曲线2x2﹣y2=8，可化为∴a=2，∴双曲线2x2﹣y2=8的实轴长是4故选B．【点评】本题考查双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．6．一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的体积是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；图表型．【分析】由三视图及题设条件知，此几何体为一个四棱锥，其较长的侧棱长已知，底面是一个正方形，对角线长度已知，故先求出底面积，再求出此四棱锥的高，由体积公式求解其体积即可【解答】解：由题设及图知，此几何体为一个四棱锥，其底面为一个对角线长为2的正方形，故其底面积为=2由三视图知其中一个侧棱为棱锥的高，其相对的侧棱与高及底面正方形的对角线组成一个直角三角形由于此侧棱长为，对角线长为2，故棱锥的高为=3此棱锥的体积为=2故选B．【点评】本题考点是由三视图求几何体的面积、体积，考查对三视图的理解与应用，主要考查三视图与实物图之间的关系，用三视图中的数据还原出实物图的数据，再根据相关的公式求表面积与体积，本题求的是四棱锥的体积，其公式为×底面积×高．三视图的投影规则是：“主视、俯视长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视宽相等”，三视图是新课标的新增内容，在以后的高考中有加强的可能．7．在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组，所表示的区域上一动点，则直线OM斜率的最小值为（）A． B． C．1 D．2【考点】简单线性规划．【专题】作图题；对应思想；数形结合法；不等式．【分析】由约束条件作出可行域，求出可行域内使直线OM斜率取最小值的点M，由两点求斜率公式得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得M（3，﹣1），∴直线OM 斜率的最小值为k=．故选：A ．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．8．已知抛物线C ：y 2=x 的焦点为F ，A （x 0，y 0）是C 上一点，AF=|x 0|，则x 0=（）A ．1B ．2C ．4D ．8【考点】抛物线的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用抛物线的定义、焦点弦长公式即可得出．【解答】解：抛物线C ：y 2=x 的焦点为F，∵A （x 0，y 0）是C 上一点，AF=|x 0|，∴=x 0+，解得x 0=1．故选：A ．【点评】本题考查了抛物线的定义、焦点弦长公式，属于基础题．9．过点P （﹣，﹣1）的直线l 与圆x 2+y 2=1有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是（）A ．（0，]B ．（0，]C ．[0，]D ．[0，]【考点】直线与圆的位置关系．【分析】用点斜式设出直线方程，根据直线和圆有交点、圆心到直线的距离小于或等于半径可得≤1，由此求得斜率k 的范围，可得倾斜角的范围．【解答】解：由题意可得点P （﹣，﹣1）在圆x 2+y 2=1的外部，故要求的直线的斜率一定存在，设为k ，则直线方程为 y+1=k （x+），即 kx ﹣y+k ﹣1=0．根据直线和圆有交点、圆心到直线的距离小于或等于半径可得≤1，即 3k 2﹣2k+1≤k 2+1，解得0≤k ≤，故直线l 的倾斜角的取值范围是[0，]，故选：D ．【点评】本题主要考查用点斜式求直线方程，点到直线的距离公式的应用，体现了转化的数学思想，属于中档题．10．点P 到图形C 上每一个点的距离的最小值称为点P 到图形C 的距离，那么平面内到定圆C 的距离与到定点A 的距离相等的点的轨迹不可能是（）A ．圆B ．椭圆C ．双曲线的一支D ．直线【考点】轨迹方程．【专题】压轴题；运动思想．【分析】根据题意“点P到图形C上每一个点的距离的最小值称为点P到图形C的距离”，将平面内到定圆C的距离转化为到圆上动点的距离，再分点A现圆C的位置关系，结合圆锥曲线的定义即可解决．【解答】解：排除法：设动点为Q，1．当点A在圆内不与圆心C重合，连接CQ并延长，交于圆上一点B，由题意知QB=QA，又QB+QC=R，所以QA+QC=R，即Q的轨迹为一椭圆；如图．2．如果是点A在圆C外，由QC﹣R=QA，得QC﹣QA=R，为一定值，即Q的轨迹为双曲线的一支；3．当点A与圆心C重合，要使QB=QA，则Q必然在与圆C的同心圆，即Q的轨迹为一圆；则本题选D．故选D．【点评】本题主要考查了轨迹方程，以及分类讨论的数学思想，属于中档题．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．双曲线的两条渐近线方程为．【考点】双曲线的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】先确定双曲线的焦点所在坐标轴，再确定双曲线的实轴长和虚轴长，最后确定双曲线的渐近线方程．【解答】解：∵双曲线的a=4，b=3，焦点在x轴上而双曲线的渐近线方程为y=±x∴双曲线的渐近线方程为故答案为：【点评】本题考查了双曲线的标准方程，双曲线的几何意义，特别是双曲线的渐近线方程，解题时要注意先定位，再定量的解题思想12．以等腰直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，将该三角形旋转一周，若等腰直角三角形的直角边长为1，则所得圆锥的侧面积等于．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【专题】数形结合；数形结合法；立体几何．【分析】圆锥的底面半径为1，高为1，母线为．【解答】解：∵等腰直角三角形的斜边长为，∴圆锥的母线l=．∵圆锥的底面半径r=1，∴圆锥的侧面积S=πrl=．故答案为．【点评】本题考查了圆锥的结构特征和侧面积计算，属于基础题．13．已知=（1，1，0），=（﹣1，0，2），则|2﹣|= ．【考点】空间向量的加减法．【专题】计算题；转化思想；综合法；空间向量及应用．【分析】利用平面向量坐标运算公式求出﹣，由此能求出|2﹣|．【解答】解：∵ =（1，1，0），=（﹣1，0，2），∴﹣=（2，2，0）﹣（﹣1，0，2）=（3，2，﹣2），∴|2﹣|==．故答案为：．【点评】本题考查向量的模的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间向量坐标运算法则的合理运用．14．如图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽为 2 米．【考点】抛物线的应用．【专题】计算题；压轴题．【分析】先建立直角坐标系，将A 点代入抛物线方程求得m ，得到抛物线方程，再把y=﹣3代入抛物线方程求得x 0进而得到答案．【解答】解：如图建立直角坐标系，设抛物线方程为x 2=my ，将A （2，﹣2）代入x 2=my ，得m=﹣2∴x 2=﹣2y ，代入B （x 0，﹣3）得x 0=，故水面宽为2m ．故答案为：2．【点评】本题主要考查抛物线的应用．考查了学生利用抛物线解决实际问题的能力．15．设F 1、F 2是椭圆E ： =1（a ＞b ＞0）的左、右焦点，P 为直线x=上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则椭圆E 的离心率为．【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，可得|PF 2|=|F 2F 1|，根据P 为直线x=上一点建立方程，由此可求椭圆的离心率．【解答】解：设x=交x 轴于点M ， ∵△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形∴∠PF 2F 1=120°，|PF 2|=|F 2F 1|，且|PF 2|=2|F 2M|∵P 为直线x=上一点，∴2（﹣c ）=2c ，解之得3a=4c∴椭圆E 的离心率为e==故答案为：【点评】本题给出与椭圆有关的等腰三角形，在已知三角形形状的情况下求椭圆的离心率．着重考查椭圆的几何性质，解题的关键是确定几何量之间的关系，属于基础题．16．如图，在棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别是棱BC ，CC 1的中点，P 是侧面BCC 1B 1内一点，若A 1P ∥平面AEF ，则线段A 1P 长度的取值范围是 []．．【考点】直线与平面平行的性质．【专题】空间位置关系与距离．【分析】分别取棱BB 1、B 1C 1的中点M 、N ，连接MN ，易证平面A 1MN ∥平面AEF ，由题意知点P 必在线段MN 上，由此可判断P 在M 或N 处时A 1P 最长，位于线段MN 中点处时最短，通过解直角三角形即可求得．【解答】解：如下图所示：分别取棱BB 1、B 1C 1的中点M 、N ，连接MN ，连接BC 1，∵M 、N 、E 、F 为所在棱的中点，∴MN ∥BC 1，EF ∥BC 1，∴MN ∥EF ，又MN ⊄平面AEF ，EF ⊂平面AEF ，∴MN ∥平面AEF ；∵AA 1∥NE ，AA 1=NE ，∴四边形AENA 1为平行四边形，∴A 1N ∥AE ，又A 1N ⊄平面AEF ，AE ⊂平面AEF ，∴A 1N ∥平面AEF ，又A 1N ∩MN=N ，∴平面A 1MN ∥平面AEF ，∵P 是侧面BCC 1B 1内一点，且A 1P ∥平面AEF ，则P 必在线段MN 上，在Rt △A 1B 1M 中，A 1M===，同理，在Rt △A 1B 1N 中，求得A 1N=， ∴△A 1MN 为等腰三角形，当P 在MN 中点O 时A 1P ⊥MN ，此时A 1P 最短，P 位于M 、N 处时A 1P 最长，A 1O===，A 1M=A 1N=，所以线段A 1P 长度的取值范围是[]．故答案为：[]．【点评】本题考查点、线、面间的距离问题，考查学生的运算能力及推理转化能力，属中档题，解决本题的关键是通过构造平行平面寻找P 点位置．三、解答题（本大题共5小题，共52分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是菱形，PA=PB ，且侧面PAB ⊥平面ABCD ，点E 是AB 的中点．（Ⅰ）求证：CD ∥平面PAB ；（Ⅱ）求证：PE ⊥AD ．【考点】直线与平面平行的判定；空间中直线与直线之间的位置关系．【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】（Ⅰ）由已知CD∥AB，由此能证明CD∥平面PAB．（Ⅱ）推导出PE⊥AB，从而PE⊥平面ABCD，由此能证明PE⊥AD．【解答】证明：（Ⅰ）∵底面ABCD是菱形，∴CD∥AB．又∵CD⊄平面PAB，且AB⊂平面PAB，∴CD∥平面PAB．（Ⅱ）∵PA=PB，点E是AB的中点，∴PE⊥AB．∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，PE⊂平面PAB，∴PE⊥平面ABCD．∵AD⊂平面ABCD，∴PE⊥AD．【点评】本题考查线面平行的证明，考查线线垂直的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．18．已知圆C经过A（1，3），B（﹣1，1）两点，且圆心在直线y=x上．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）设直线l经过点（2，﹣2），且l与圆C相交所得弦长为，求直线l的方程．【考点】直线与圆的位置关系．【专题】综合题；分类讨论；综合法；直线与圆．【分析】（Ⅰ）设圆C的圆心坐标为（a，a），利用CA=CB，建立方程，求出a，即可求圆C的方程；（Ⅱ）分类讨论，利用圆心到直线的距离公式，求出斜率，即可得出直线方程．【解答】解：（Ⅰ）设圆C的圆心坐标为（a，a），依题意，有，即a2﹣6a+9=a2+2a+1，解得a=1，所以r2=（1﹣1）2+（3﹣1）2=4，所以圆C的方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=4．（Ⅱ）依题意，圆C的圆心到直线l的距离为1，所以直线x=2符合题意．设直线l方程为y+2=k（x﹣2），即kx﹣y﹣2k﹣2=0，则，解得，所以直线l的方程为，即4x+3y﹣2=0．综上，直线l的方程为x﹣2=0或4x+3y﹣2=0．【点评】本题考查圆的标准方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，正确运用点到直线的距离公式是关键．19．已知平行四边形的两条边所在直线的方程分别为x+y﹣1=0，3x﹣y+4=0，且它的对角线的交点是M（3，3），求这个平行四边形其他两边所在直线的方程．【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系；直线的一般式方程．【专题】计算题．【分析】依题意，由方程组可解得平行四边形ABCD的顶点A的坐标，再结合对角线的交点是M（3，3），可求得C点坐标，利用点斜式即可求得其他两边所在直线的方程．【解答】解：联立方程组解得，所以平行四边形ABCD的顶点A（﹣，）．设C（x0，y），由题意，点M（3，3）是线段AC的中点，所以，解得所以C（，）．由已知，直线AD的斜率kAD=3．因为直线BC∥AD，所以，直线BC的方程为3x﹣y﹣16=0．由已知，直线AB的斜率kAB=﹣1．因为直线CD∥AB，所以，直线CD的方程为x+y﹣11=0．因此，其他两边所在直线的方程是3x﹣y﹣16=0，x+y﹣11=0．【点评】本题考查直线的一般式方程与直线的平行关系，考查方程思想与运算能力，属于中档题．20．如图，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，AB=PA=2BC=2，M为PB的中点．（Ⅰ）求证：AM⊥平面PBC；（Ⅱ）求二面角A﹣PC﹣B的余弦值；（Ⅲ）证明：在线段PC上存在点D，使得BD⊥AC，并求的值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【专题】空间位置关系与距离；空间角．【分析】（Ⅰ）根据线面垂直的判定定理即可证明AM⊥平面PBC；（Ⅱ）建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法即可求二面角A﹣PC﹣B的余弦值；（Ⅲ）根据向量关系，以及直线垂直，利向量法进行求解即可．【解答】证明：（Ⅰ）因为PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以PA⊥BC．因为BC⊥AB，PA∩AB=A，所以BC⊥平面PAB．又AM⊂平面PAB，所以AM⊥BC．因为PA=AB，M为PB的中点，所以AM⊥PB．又PB∩BC=B，所以AM⊥平面PBC．（Ⅱ）如图，在平面ABC内，作AZ∥BC，则AP，AB，AZ两两互相垂直，建立空间直角坐标系A﹣xyz．则A（0，0，0），P（2，0，0），B（0，2，0），C（0，2，1），M（1，1，0）．，，设平面APC的法向量为，则即令y=1，则z=﹣2．所以=（0，1，﹣2）．由（Ⅰ）可知=（1，1，0）为平面的法向量，设，的夹角为α，则cosα=．因为二面角A﹣PC﹣B为锐角，所以二面角A﹣PC﹣B的余弦值为．（Ⅲ）设D（u，v，w）是线段PC上一点，且，（0≤λ≤1）．即（u﹣2，v，w）=λ（﹣2，2，1）．所以u=2﹣2λ，v=2λ，w=λ．所以．由，得．因为，所以在线段PC存在点D，使得BD⊥AC．此时=．【点评】本题主要考查空间位置关系的判断，以及利用向量法求二面角的大小以及空间线面垂直的判定，考查学生的推理能力．21．已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，短轴长为2，且两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的顶点．过右焦点F与x轴不垂直的直线l交椭圆于P，Q两点．（1）求椭圆的方程；（2）当直线l的斜率为1时，求△POQ的面积；（3）在线段OF上是否存在点M（m，0），使得以MP，MQ为邻边的平行四边形是菱形？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．【考点】椭圆的标准方程；直线的斜率；直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】压轴题．【分析】（1）设椭圆方程为．由两个焦点和短轴的两个端点恰为正方形的顶点，且短轴长为2，由此能够求出a ，b ，c 的值，从而得到所求椭圆方程．（2）右焦点F （1，0），直线l 的方程为y=x ﹣1．设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），由题设条件得．由此入手可求出．（3）假设在线段OF 上存在点M （m ，0）（0＜m ＜1），使得以MP ，MQ 为邻边的平行四边形是菱形．因为直线与x 轴不垂直，设直线l 的方程为y=k （x ﹣1）（k ≠0）．由题意知（1+2k 2）x 2﹣4k 2x+2k 2﹣2=0．由此可知．【解答】解：（1）由已知，椭圆方程可设为．∵两个焦点和短轴的两个端点恰为正方形的顶点，且短轴长为2，∴．所求椭圆方程为．（2）右焦点F （1，0），直线l 的方程为y=x ﹣1．设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），由得3y 2+2y ﹣1=0，解得．∴．（3）假设在线段OF 上存在点M （m ，0）（0＜m ＜1），使得以MP ，MQ 为邻边的平行四边形是菱形．因为直线与x 轴不垂直，所以设直线l 的方程为y=k （x ﹣1）（k ≠0）．由可得（1+2k 2）x 2﹣4k 2x+2k 2﹣2=0．∴．．其中x 2﹣x 1≠0以MP ，MQ 为邻边的平行四边形是菱形⇔（x 1+x 2﹣2m ，y 1+y 2）（x 2﹣x 1，y 2﹣y 1）=0⇔（x 1+x 2﹣2m ）（x 2﹣x 1）+（y 1+y 2）（y 2﹣y 1）=0⇔（x 1+x 2﹣2m ）+k （y 1+y 2）=0⇔2k 2﹣（2+4k 2）m=0．∴．【点评】本题考查圆锥曲线的位置关系，解题时要认真审题，仔细解答．。

2019-2020学年北京市东城区数学高二(下)期末质量跟踪监视试题含解析

2019-2020学年北京市东城区数学高二(下)期末质量跟踪监视试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．由2y x =-与直线23y x =-围成的图形的面积是（）A ．53B ．643C ．323D ．9【答案】C【解析】分析：先联立方程，组成方程组，求得交点坐标，可得被积区间，再用定积分表示出y=﹣x 2与直线y=2x ﹣3的面积，即可求得结论．详解：由y=﹣x 2与直线y=2x ﹣3联立，解得y=﹣x 2与直线y=2x ﹣3的交点为（﹣3，﹣9）和（1，﹣1）因此，y=﹣x 2与直线y=2x ﹣3围成的图形的面积是S=12-3-23)x x dx -+⎰（ =（﹣13x 3﹣x 2+3x ）13|-=323 ．故答案为：C ．点睛：（1）本题主要考查利用定积分的几何意义和定积分求面积，意在考查学生对这些知识的掌握水平.（2）从几何上看，如果在区间[],a b 上函数()f x 连续，且函数()y f x =的图像有一部分在x 轴上方，有一部分在x 轴下方，那么定积分()ba f x dx ⎰表示x 轴上方的曲边梯形的面积减去下方的曲边梯形的面积. 2．下列函数中既是奇函数又在区间（﹣∞，0）上单调递增的函数是（）A ．y ＝22x x --B ．y ＝x 2+1C ．y ＝x 13⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．y ＝1x 【答案】A【解析】【分析】由函数的奇偶性的定义和常见函数的单调性，即可得到符合题意的函数．【详解】对于A ，y ＝f （x ）＝2x ﹣2﹣x 定义域为R ，且f （﹣x ）＝﹣f （x ），可得f （x ）为奇函数，当x ＜0时，由y ＝2x ，y ＝﹣2﹣x 递增，可得在区间（﹣∞，0）上f （x ）单调递增，故A 正确；y ＝f （x ）＝x 2+1满足f （﹣x ）＝f （x ），可得f （x ）为偶函数，故B 不满足条件；y ＝f （x ）＝（13）|x|满足f （﹣x ）＝f （x ），可得f （x ）为偶函数，故C 不满足题意； y 1x=为奇函数，且在区间（﹣∞，0）上f （x ）单调递减，故D 不满足题意．故选：A ．【点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性的判断，注意运用常见函数的奇偶性和单调性，考查判断能力，属于基础题．3．已知随机变量Z 服从正态分布N （0，2σ ）,若P(Z>2)=0.023,则P(-2≤Z≤2)=A ．0.477B ．0.625C ．0.954D ．0.977【答案】C【解析】因为随机变量服从正态分布,所以正态曲线关于直线对称,又,所以, 所以0.954,故选C. 【命题意图】本题考查正态分布的基础知识,掌握其基础知识是解答好本题的关键.4．已知R a ∈，则“1a >”是“11a <”的（） A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件【答案】A【解析】【分析】 “a ＞1”⇒“11a ＜”，“11a＜”⇒“a ＞1或a ＜0”，由此能求出结果．【详解】 a ∈R ，则“a＞1”⇒“11a ＜”， “11a ＜”⇒“a ＞1或a ＜0”， ∴“a ＞1”是“11a＜”的充分非必要条件．故选A ．【点睛】充分、必要条件的三种判断方法．1．定义法：直接判断“若p 则q ”、“若q 则p ”的真假．并注意和图示相结合，例如“p ⇒q ”为真，则p 是q 的充分条件．2．等价法：利用p ⇒q 与非q ⇒非p ，q ⇒p 与非p ⇒非q ，p ⇔q 与非q ⇔非p 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件．5．函数的图象可能是下面的图象( )A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】因为，所以函数的图象关于点（2,0）对称，排除A ，B ．当时，，所以，排除D ．选C ．6．6(3)x y +的二项展开式中，24x y 项的系数是（）A ．90B ．45C ．135D ．270 【答案】C【解析】分析：先求出二项式展开式的通项公式，再令x 的幂指数等于2，且y 的幂指数等于4，求得r 的值，即可求得结果详解：()63x y+的展开式中，通项公式为()6163rrr r T C x y -+=n n 令62r -=，且4r =，求得4r =24x y ∴项的系数是()4263135C =n故选C 点睛：本题主要考查的是二项式定理，先求出其通项公式，即可得到其系数，本题较为简单。

北京市东城区2019-2020学年高二数学下学期期末考试文新人教A版

北京市东城区（南片）2019-2020学年下学期高二年级期末统一测试数学试卷（文科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共100分。

考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题，共36分）一、选择题（本大题共9小题，每小题4分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1. 已知复数i z 211+=，i z -=12，那么21z z z +=在复平面上对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2. 已知全集R U =，集合{}32≤≤-=x x A ，{}41>-<=x x x B 或，那么集合()B C A U 等于A. {}42<≤-x xB. {}43≥≤x x x 或C. {}12-<≤-x xD. {}31≤≤-x x3. 读下面的程序框图，输出结果是 A. 1 B. 3C. 4D. 54. 若1212121<⎪⎭⎫⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛xx，则A. 120x x <<B. 121<<x xC. 012<<x xD. 021<<x x5. 用反证法证明命题“若整系数一元二次方程()002≠=++a c bx ax 存在有理数根，那么c b a ,,中至少有一个是偶数”时，下列假设中正确的是 A. 假设c b a ,,不都是偶数 B. 假设c b a ,,都不是偶数C. 假设c b a ,,至多有一个是偶数D. 假设c b a ,,至多有两个是偶数 6. 下列函数中在区间()+∞,0上单调递增的是A. x y sin =B. 2x y -=C. x e y -=D. 3x y = 7. 若0x 是方程5lg =+x x 的解，则0x 属于区间 A. ()2,1 B. ()3,2 C. ()4,3 D. ()5,48. 以下四图，都是同一坐标系中三次函数及其导函数的图象，其中一定不．正确的序号是A. ③④B. ①②C. ②③D. ②④9. 已知xx x tan 1tan 14tan -+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+π⎪⎭⎫⎝⎛+≠4ππk x ，那么函数x y tan =的周期为π。

北京市东城区2019-2020学年度第二学期期末统一检测高二数学试卷 (含答案)

北京市东城区2019-2020学年度第二学期期末统一检测北京市东城区2019-2020学年度第二学期期末教学统一检测高二数学参考答案及评分标准 2020.7一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）（1）A （2）B （3）B （4）D （5）D（6）C （7）C （8）B （9）A （10）C二、填空题（共5小题，每小题4分，共20分）（11）58− （12）①③ （13）12（14）42 （15）1ln 2−+注：（12）题给出的结论中，有多个符合题目要求。

全部选对得4分，不选或错选得0分，其他得2分。

三、解答题（共5小题，共40分）（16）（共8分）解：由题意可知函数()f x 的定义域为(0,)+∞.（Ⅰ）因为21()23ln 2f x x x x =−−，所以3'()2f x x x=−−， ………1分 '(1)4f =−. ………2分因为3(1)2f =−， ………3分所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为8250x y +−=.………4分（Ⅱ） ()f x 的定义域为(0,)+∞. ………5分因为2323(1)(3)'()2x x x x f x x x x x−−+−=−−==，由'()0f x =，得11x =−，23x =. ………6分因为函数()f x 的定义域为(0,)+∞，当x 变化时，'()f x ，()f x 的变化情况如下表：单调递减单调递增 7分所以，()f x 的单调递增区间为(3,)+∞，()f x 的单调递减区间为(0,3). ………8分（17）（共8分）解：（Ⅰ）共需要填6个空，对2个空 ……1分对4个空 ………2分全对 ………4分（Ⅱ）由题可知，22()=()()()()n ad bc K a b c d a c b d −++++，经过计算， 4.762k ≈，………7分参照附表，所以在犯错误的概率不超过0.05的前提下，可以认为“爱好冰上运动与性别有关”. ………8分（18）（共8分）解：（Ⅰ）由题意可知，样本中垃圾种类一共200种，辨识度高的垃圾种数是：700.9600.6300.9400.6150+++=⨯⨯⨯⨯.………1分所求概率为1500.75200=. ………3分（Ⅱ）X 的可能取值为0,1,2,3. ………4分依题意可知，(3,0.6)X B ~.033(0)(10.6)0.064P X C ===−,123(1)0.6(10.6)0.288P X C ===−,223(2)0.6(10.6)0.432P X C ===−,333(3)0.60.216P X C ===. ………6分所以X 的分布列为………7分()30.6 1.8E X =⨯=. ………………8分（19）（共8分）解：由题意可知函数()f x 的定义域为R .（Ⅰ）因为2()e x f x x =，所以22'()2e e e (2)e (2)x x x x f x x x x x x x =⋅+⋅=⋅+=⋅+⋅. ………1分由'()0f x =，得12x =−，20x =. ………2分当x 变化时，'()f x ，()f x 的变化情况如下表：因此，当2x =−时，()f x 有极大值，并且极大值为24(2)ef −=；当0x =时，()f x 有极小值，并且极小值为(0)0f =.………4分（全对给1分）（Ⅱ）因为()y f x ax =−，所以2()e e x x ax y x x x a −=−=⋅.所以0x =为一个零点.所以“函数2e x x a y x =−在定义域内有三个零点”可以转化为“方程e x a x =⋅有两个非零实根”. ………5分令()e x h x x =，则'()e e (1)e x x x h x x x =+=+⋅，所以，当1x <−时，'()0h x <，()h x 在(,1)−∞−上单调递减；当1x >−时，'()0h x >，()h x 在(1,)−+∞上单调递增.当1x =−时，()h x 有最小值1(1)e h −=−. ………6分若方程e x a x =⋅有两个非零实根，则1(1)e h −=−a <，即1e a >−. 又0a ≥，(,1)x ∈−∞−，e 0x x a ⋅−<恒成立，不存在零点，………7分所以0a <．综上，10ea −<<. 所以当1(,0)e a ∈−时，函数()y f x ax =−在定义域内有三个零点．………8分（20）（共8分）（Ⅰ）解：当3n =时，{3,4,5}n S =.n S 的所有奇子集为{3}{5}{3,4}{4,5}，，，. ………3分（少写或写错扣1分）（Ⅱ）证明：首先证明n S 的奇子集与偶子集个数相等.设奇数n k S ∈，对于n S 的每个奇子集A ，当k A ∈时，取{|B x x A =∈且}x k ≠.当k A ∉时，取{}B A k =，则B 为n S 的偶子集.反之，亦然.所以，n S 的奇子集与偶子集是一一对应的.所以，n S 的奇子集与偶子集个数相等.对于n i S ∀∈，1>i ，含i 的n S 的子集共有12−n 个， …4分其中必有一半是奇子集，一半是偶子集，从而对于每个数i ，在奇子集的和与偶子集的和中，i 所占的个数是一样的.所以n S 的所有奇子集的容量的和与所有偶子集的容量的和相等. …6分（Ⅲ）解：由于每个元素在奇子集中都出现22−n 次，故奇子集的容量和为23(121)2(31)2n n n n n n n −−++++−⨯=−⨯． ………8分。

2019-2020学年北京市东城区新高考高二数学下学期期末质量跟踪监视试题

基础练习一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知()xae f x x=，[]1,3x ∈且()()12122f x f x x x -<-恒成立，则实数a 的取值范围是（） A ．28(,]e-∞ B ．39[,)e+∞ C ．28[,)e+∞ D ．39 ,e ⎛-∞⎤ ⎥⎝⎦2．()5111x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中，x 的系数为( )A ．-10B ．-5C ．5D ．03．函数y=2x 2–e |x|在[–2,2]的图像大致为（）A ．B ．C ．D ．4．设随机变量X 的分布列为P(X ＝i)＝a(13)i，i ＝1，2，3，则a 的值为( ) A ．1B ．913C ．1113D ．27135．已知三棱锥D ABC -外接球的表面积为12π，ABC ∆是边长为1的等边三角形，且三棱锥D ABC -的外接球的球心O 恰好是CD 的中点，则三棱锥D ABC -的体积为（） A ．23B 2C 3D 6 6．已知集合{}202,{0}A x x B x x x =≤≤=->，则A B =( )A ．(,1](2,)-∞+∞B ．(,0)(1,2)-∞C ．[1,2)D ．(1,2]7．对于各数互不相等的正数数组（i 1，i 1，…，i n ）（n 是不小于1的正整数），如果在p ＜q 时有i p ＜i q ，则称“i p 与i q ”是该数组的一个“顺序”，一个数组中所有“顺序”的个数称为此数组的“顺序数”．例如，数组（1，4，3，1）中有顺序“1，4”、“1，3”，其“顺序数”等于1．若各数互不相等的正数数组（a 1，a 1，a 3，a 4，a 5）的“顺序数”是4，则（a 5，a 4，a 3，a 1，a 1）的“顺序数”是（） A ．7B ．6C ．5D ．48．已知向量,a b 满足||1,||3a b ==,且a 与b 的夹角为6π,则()(2)a b a b +⋅-=( ) A ．12B ．32-C ．12-D ．32 922z i =+-所对应的点在第几象限（）C ．第三象限D ．第四象限10．幂函数y=kx a 过点（4，2），则k –a 的值为 A ．–1 B ．12 C ．1D ．3211．在平面几何里有射影定理：设三角形ABC 的两边AB AC ⊥，D 是A 点在BC 上的射影，则2AB BD BC =⋅.拓展到空间，在四面体A BCD -中，AD ⊥面ABC ，点O 是A 在面BCD 内的射影，且O 在BCD ∆内，类比平面三角形射影定理，得出正确的结论是（） A ．2ABC BCD BCO S S S ∆∆∆=⋅ B ．2ABD BCD BCO S S S ∆∆∆=⋅ C ．2ADC DOC BOC S S S ∆∆∆=⋅D ．2BDC ABD ABC S S S ∆∆∆=⋅12．下列函数中，既是偶函数，又在区间（1,2）内是增函数的为( ) A ．cos 2y x =，x ∈R B ．2log y x =，x ∈R 且x≠0 C ．2x xe e y --=,x ∈RD ．3+1y x =，x ∈R 二、填空题：本题共4小题13．已知函数()f x 的导函数为()f x '，且()()2ln f x xf e x '=-，则()e f '=_____14．给出下列几个命题：①三点确定一个平面；②一个点和一条直线确定一个平面；③垂直于同一直线的两直线平行；④平行于同一直线的两直线平行.其中正确命题的序号是____.15．已知C 是以AB 为直径的半圆弧上的动点，O 为圆心，P 为OC 中点，若4AB =，则()PA PB PC +⋅=__________．16．在平面直角坐标系Oxy 中，直线1y =与抛物线2yx 所围成的封闭图形的面积为（）．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

北京市东城区2019-2020学年高二上学期期末考试数学(理)试题Word版含答案

北京市东城区2019-2020学年上学期期末考试高二数学（理）试题本试卷共4页，共100分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共 36分）一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若A , B 两点的纵坐标相等，则直线 AB 的倾斜角为 A. 0 B. - C. - D. n422. 已知命题p: x^ R , lgx 0<0,那么命题一p 为 A. -x R , lgx>0 B.-I x ^ R , |g x 。

>0C. -x R , Igx >0D. 讽 R , Ig x 0> 0 3.在平面直角坐标系中，正三角形ABC 的边BC 所在直线的斜率是 0,则边AB, AC 所在直线的斜率之和为A. -2 3B.-1C.0D. 2 34. 已知m, n 表示两条不同的直线， a 表示平面，且n 二，则“ m// n ”是“ m// a ”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5. 结晶体的基本单位称为晶胞，如图是食盐晶胞的示意图（可看成是八个棱长为-的小正方体堆积成的2 正方体），其中白点O 代表钠原子，黑点•代表氯原子 .建立空间直角坐标系 O-xyz 后，图中最上层中心的钠原子所在位置的坐标是6. 如图所示，在正方体 ABCD-ABQD 中，四面体 A-B 1CD 在面AADD 上的正投影图形为A. ^,-,1B.(0,0,1)C.2 2D.AB C D27.设椭圆笃+2=1 (a>b>0)的左、右焦点分别是F1, F2，线段FF被点-,0份成3:1的两段，则此椭a b12丿圆的离心率为A. -B.1C.D.32228.已知直线l，m和平面a,B，且l la, m〃B ,则下列命题中正确的是A.若a丄B ,则1 // mB.若a// B ,贝U l 丄mC.若1 //B , 贝H ml a D.若 1 丄m, y a // B9. 若半径为1的动圆与圆(x-1) 2+y2=4相切，则动圆圆心的轨迹方程为2 2 2 2A.(x-I) +y =9B.(x-l) +y =3C.(x-l) +y =9 或(x-l) +y =1D.(x-1) +y =3 或(x-l) +y =52 210. 已知双曲线C:笃-為=1(a>0,b>0)的焦距为10,点P(2,l)在C的一条渐近线上，则C的方程为a b2 2 2 2A.x y=1B.x y=120805202222C.x y=1D.x y=1802020511. 平面上动点P到定点F与定直线I的距离相等，且点F与直线|的距离为1.某同学建立直角坐标系后, 得到点P 的轨迹方程为x2=2y-1，则它的建系方式是12. 正方体ABCD-ABCD的棱长为2，M, N为棱AD, AB上的动点，且MN =3，则线段MN中点P的轨迹A. 线段B. 圆的一部分C. 椭圆的一部分D. 双曲线的一部分第二部分(非选择题共64分)二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)13. 在空间直角坐标系中，点P(2,-1,1)在yOz平面内的射影为Q(x,y,z)，则x+y+z= _____________ .14. 若直线I与直线2x-y-仁0垂直，且不过第一象限，试写出一个直线I的方程：___________ .15. 已知直线I : x-y-m=0经过抛物线y2=8x的焦点，且与抛物线交于A, B两点，贝U m= _______ ，AB = ________ .16. 圆(x-l) 2+y2=2绕直线kx-y-k=0旋转一周所得的几何体的表面积为 ______________ .17. 在长方体ABCD-ABiCD中，M N分别是棱BB, BQ的中点，若/ CMN=90，则异面直线AD与DM所成的角为_________ .J218. 已知曲线C上的任意一点M(x,y)满足到两条直线y 2x的距离之积为12.给出下列关于曲线C的2描述：①曲线C关于坐标原点对称；②对于曲线C上任意一点M(x,y) —定有x, 6 ;③直线y=x与曲线C有两个交点；— 2 2④曲线C与圆x+y=16无交点.其中所有正确描述的序号是_________ .三、解答题(本大题共4小题，共46分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)19. (本题满分10分)已知直线l过点A(0,4)，且在两坐标轴上的截距之和为 1.(I)求直线l的方程；(n)若直线丨1与直线l平行，且丨1与I间的距离为2,求直线11的方程.20. (本题满分11分)2 2已知圆C: x+y+10x+10y+34=0.(I)试写出圆C的圆心坐标和半径；(H)圆D的圆心在直线x=-5上，且与圆C相外切，被x轴截得的弦长为10，求圆D的方程;(川)过点P(0,2)的直线交(n)中圆D于E, F两点，求弦EF的中点M的轨迹方程.21. (本题满分12分)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，/ BAD=60 , Q为AD的中点.(I)若PA=PD求证：平面PQBL平面PAD(n)点M在线段PC上，PM=tPC试确定实数t的值，使PA//平面MQB(川)在(n)的条件下，若平面PADL平面ABCD且PA=PD=AD=2求二面角M-BQ-C的大小.22. (本题满分13分)2 2已知椭圆C: x2 Z =1(a>b>0)的焦点在圆x2+y2=3上，且离心率为.a b 2(I)求椭圆C的方程；(n)过原点0的直线I与椭圆C交于A, B两点，F为右焦点，若△ FAB为直角三角形，求直线l的方程.北京市东城区2019-2020学年上学期期末考试高二数学(理)试题参考答案三、解答题(本大题共4小题，共46分)19. (本题满分10分)解：(I)由直线l过点(0,4)，所以直线I在y轴上的截距为4. 由已知条件可得直线I在x轴上的截距为-3，即直线过点B(-3,0).故直线方程为—y =1，即4x-3y+12=0. 4 分-3 4(H)由条件设直线I 1的方程为4x-3y+m=0,由两条直线间的距离为2,可得(0,4)到直线I 1的距离为2,则有 2 = °，2-m，解得m=2或m=22.74^7故所求直线11的方程为4x-3y+2=0或4x-3y+22=0. 10 分20. (本题满分11分)解：(I)将圆的方程改写为(x+5) +(y+5) =16，故圆心坐标为(-5,-5)，半径为4. 4 分(H)设圆D的半径为r，圆心纵坐标为b，由条件可得r2=(r-1) 2+52,解得r=13.此时圆心纵坐标b=r-1=12.所以圆D的方程为(x+5) 2+(y-12) 2=169. 8 分(川)设M(x,y)，依题意有DMLPM.即心(x工0 且X M -5 ),x x 5整理得x2+y2+5x-14y+24=0 (X M 0 且X M-5 ).设平面MQB 勺法向量为n =（x,y,z ）当x=0时，y=12，符合题意，当 x=-5时，y=2，符合题意.2 2故所求点M 的轨迹方程为x+y+5x-14y+24=0. 11 分21. （本题满分12分）证明：（I ）连接BD. 因为 AD=AB / BAD=60 , 所以△ ABD 为正三角形. 因为Q 为AD 的中点，所以ADL BQ.因为PA=PD Q 为AD 中点，所以AD L PQ. 又 BQ P PQ=Q 所以ADL 平面PQB. 因为AD 平面PAD ,所以平面PQBL 平面PAD. 4 分(H)连接AC ,交BQ 于点N.由 AQ/ BC,可得△ AN3A CNB 所以A2 =空=1BC NC 2因为PA//平面 MQB PA 二平面PAC ，平面PA6平面 MQB=MN 所以 PA// MN.PM AN 11 1所以，即PM PC ,所以t .8 分 PC AC 333(川)由 PA=PD=AD=2Q 为AD 的中点，贝U PQLAD,又平面 PADL 平面 ABCD 所以PQL 平面ABCD.以Q 为坐标原点，分别以QA QB QP 所在的直线为x , y , z 轴，建立如图所示的坐标系，则A(1,0,0),B 0, 3,0 , Q(0,0,0) , P 0,0, 3 . P A= 1,0,-、3 , QB 二0r 3,0 .FA FB U M一3 X2 —3 y〃2 =(k2 - 1)为x? —3(X i X2) ' 3FA FB U M 一 3 X 2 — 3 y 〃2 =(k 2 - 1)为x ? — 3(X i X 2) ' 3可得n MN =0 j n QB =0.令 z=1，则 x = 3， y=0. 于是 n =3,0,1 .取平面ABCD 的法向量m=(O,O,l)22. (本题满分13 分) 解：(I)因为椭圆的焦点在x 轴上，所以焦点为圆 x 2+y 2=3与x 轴的交点，即 —..3,0 ,.3,0 .J 3 又离心率e =—，所以a=2.22故所求椭圆方程为 -y 2 =1.4 分4(□)当厶FAB 为直角三角形时，显然直线 l 斜率存在,可设直线l 方程为y=kx ，设A(x i ,yd ，B(x 2,y 2).(i)当FA 丄 FB 时，FA = X i - 3, y i, FB = x ?-3, y ?.由Wx +4y =4,22消 y 得(4k +1)x -4=0. 则 xi+x2=0,联一4^因为PA// MN 所以「0j n QB 二 0,即 x 「3z =0, .3y 二 0.所以cos m , n =1. 故二面角 M-BQ-C 的大小为60° .C2—4=(k 21) 2 3 =04k +1解得k 2 . 4 此时直线l 的方程为y= ^x. 8 分4 (ii)当FA 与FB 不垂直时，根据椭圆的对称性，不妨设 TT./FAB =—2X 2 2 —y i =1, 所以4解得 k AB k AF 丄— X i *'3 - X|0 - yi 2J3 Xy J6 所以k =里 2x 1 2 此时直线l 的方程为y 2x. 2 综上，直线I 的方程为y 2 x 或y 2 x . 13 分42。

2019-2020学年北京市东城区高二上学期期末考试数学试题--解析版

北京市东城区2019-2020高二上学期期末考试数学试题（解析版）一、单选题1．设z =i(2+i)，则z =A ．1+2i B ．–1+2i C ．1–2i D ．–1–2i【答案】D【解析】本题根据复数的乘法运算法则先求得z ，然后根据共轭复数的概念，写出z ．【详解】2i(2i)2i i 12i z =+=+=-+，所以12z i =--，选D ．【点睛】本题主要考查复数的运算及共轭复数，容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查．理解概念，准确计算，是解答此类问题的基本要求．部分考生易出现理解性错误．2．设抛物线2y 4x =上一点P 到y 轴的距离是2，则点P 到该抛物线焦点的距离是()A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】抛物线24y x =的准线方程为1x =-。

因为P 到y 轴的距离为2，所以P 到准线1x =-的距离为3.由抛物线的几何性质可知，P 到抛物线焦点的距离为3，故选C 3．设等差数列{}n a 的前n 项和是S n ，若2466++=a a a ，则7S 等于（）A ．7B ．14C ．21D ．28【答案】B【解析】根据等差数列的性质求解即可.【详解】由题,246436a a a a ++==,故42a =,故74S 714a ==.故选：B 【点睛】本题主要考查了等差数列的性质运用,包括等和性与“当n 为奇数时,12n n S na +=”等.属于基础题.4．已知双曲线2221(0)x y a a -=>与椭圆22194x y +=有相同的焦点，则a 等于（）A ．2BC ．D 【答案】A【解析】根据双曲线与椭圆的c 的公式求解即可.【详解】椭圆22194x y +=中c ==.故双曲线中有21a +=,因为0a >,解得2a =.故选：A 【点睛】本题主要考查了椭圆与双曲线的基本量关系,属于基础题.5．如图，从甲地到乙地有3条路，从乙地到丁地有2条路；从甲地到丙地有3条路，从丙地到丁地有4条路.从甲地到丁地的不同路线共有（）A ．12条B ．15条C ．18条D ．72条【答案】C【解析】分甲乙丁与甲丙丁两种情况分类,再根据乘法原理分别求解再求和即可.【详解】若线路为甲乙丁则有326⨯=,路线为甲丙丁则有3412⨯=.故共有61218+=.故选：C 【点睛】本题主要考查了分步与分类计数的方法,属于基础题.6．在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==，1AA =1AD与1DB 所成角的余弦值为A ．15B ．56C ．55D．2【答案】C【解析】分析：先建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用向量数量积求向量夹角，再根据向量夹角与线线角相等或互补关系求结果.详解：以D 为坐标原点，DA,DC,DD 1为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则11(0,0,0),(1,0,0),D A B D ,所以11(AD DB =-=,因为1111115cos ,5AD DB AD DB AD DB ⋅===，所以异面直线1AD 与1DB 所成角的余弦值为55，选C.点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.7．在四面体ABCD 中，点F 在AD 上，且2AF FD =，E 为BC 中点，则EF等于（）A ．112223EF AC AB AD=+-B ．112223EF AC AB AD=--+C ．112223EF AC AB AD=-+ D ．112223EF AC AB AD=-+-【答案】B【解析】根据空间向量的线性运算求解即可.【详解】()1211223223EF EB BA AF AB AC AB AD AC AB AD =++=--+=--+.故选：B 【点睛】本题主要考查了空间向量的线性运算,属于基础题.8．已知12,F F 是椭圆C 的左、右焦点，P 是椭圆C 上的一点，若1212||,||,||PF PF F F 构成公比为23的等比数列，则椭圆C 的离心率为（）A ．415B ．14C ．13D ．25【答案】A【解析】根据1212||,||,||PF PF F F 构成公比为23的等比数列可知121239||||||24PF PF F F ==,再利用椭圆的定义以及基本量与离心率的关系求解即可.【详解】由题,121239||||||24PF PF F F ==.故离心率1212||214392||||1524F c c e a F PF P a F =====++.故选：A 【点睛】本题主要考查了等比数列的性质以及椭圆离心率的计算,属于基础题.9．设等比数列的{}n a 的前n 项和是n S ，则“10a >”是“32S S >”的A ．充要条件B ．充分而不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】先化解32S S >，再根据公比范围以及不等式性质确定选项.【详解】设等比数列的{}n a 的公比为q ，则q 0≠，所以232311000S S a a q a >⇔>⇔>⇔>，即“10a >”是“32S S >”的充要条件，选A.【点睛】本题考查等比数列通项公式以及不等式性质，考查基本分析化简能力，属基本题.10．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 在底面ABCD 内运动，使得△1A CM 的面积为13，则动点M 的轨迹为（）A ．椭圆的一部分B ．双曲线的一部分C ．一段圆弧D ．一条线段【答案】A【解析】分析可知动点M 到弦1A C 的距离为定值,再分析所有动点M 的轨迹与面ABCD 的交线形状即可.【详解】易得1A C =,又1A CM ∆的面积为13,设M 到弦1A C 的距离为h ,则1112233AC h h ⋅=⇒=为定值.故点M 在以1A C 为中轴线,底面半径为23的圆柱的侧面上.故动点M 的轨迹是平面ABCD 截该圆柱所得的截痕,因为平面不垂直于1A C ,且该平面与圆柱的截痕为封闭图形,故平面ABCD 与该圆柱的截痕为椭圆,又点M 在底面ABCD 内运动,故截痕是椭圆的一部分.故选：A 【点睛】本题主要考查了空间中动点的轨迹问题,需要根据题意求得动点的所有轨迹,再分析与平面的截痕,属于基础题.二、填空题11．已知复数()()22563m m m m i -++-是纯虚数，则实数m 为__________．【答案】2【解析】解：因为复数（m 2-5m+6）+(m 2-3m)i 是纯虚数，所以实部为零，即m 2-5m+6=0，m=2,m=3,(舍去)，只有填写2.12．若双曲线2221(0)y x b b-=>经过点(3,4)，则该双曲线的渐近线方程为_____【答案】y =【解析】代入(3,4)可求得双曲线的方程,继而求得渐近线方程.【详解】因为双曲线2221(0)y x b b-=>经过点(3,4),故22224312b b b -=⇒=⇒=.故该双曲线的渐近线方程为y =.故答案为：y =【点睛】本题主要考查了双曲线的方程与渐近线方程,属于基础题.13．在等比数列{}n a 中，1336a a =，2460a a +=，则公比q =________.【答案】3±【解析】根据等比数列的性质求解即可.【详解】因为等比数列中1336a a =,故222366a a =⇒=±,又()2242160a a a q+=+=,故26a =,故21103q q +=⇒=±.故答案为：3±【点睛】本题主要考查了等比数列的性质运用,需要注意分析项与公比的正负,属于基础题.14．用0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的三位数，其中奇数的个数为_________.【答案】48【解析】先分析百位数再分析个位数求解即可.【详解】由题,百位不能为0,且个位为奇数.当百位为1,3,5其中一个时,奇数的个数为32424⨯⨯=个.当百位为2,4其中一个时,奇数的个数为23424⨯⨯=.故共有242448+=个奇数.故答案为：48【点睛】本题主要考查了根据分步计数原理解决特殊位置类的排列问题,属于基础题.15．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ，若存在过原点的直线交椭圆于,A B 两点，且AF BF ⊥，则椭圆的离心率的取值范围是__________【答案】2,1)2【解析】根据AF BF ⊥可知ABF 为直角三角形,再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可知即求椭圆上存在一点A 满足OA c =再列式求解即可.【详解】由题,ABF 为直角三角形,故OA c =.故原题转化为椭圆上存在一点A 满足OA c =.又椭圆上的点到原点距离的最小值为短半轴长b ,故b c ≤.故222222212c b c a c c a ≤⇒-≤⇒≥.故离心率2[,1)2e ∈.故答案为：2,1)2【点睛】本题主要考查了离心率范围的求解,需要根据题意确定基本量之间的关系,进而列式求解离心率满足的不等式即可.属于中档题.三、解答题16．已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，其前n 项和为n S ，12a =，314S =.数列{}n b 满足15b =，33b =，且{}n n b a -为等差数列.（Ⅰ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（Ⅰ）2nn a =，247n n b n =-+，*n N ∈.（Ⅱ）122252n n T n n +=-+-，*n N ∈.【解析】(Ⅰ)设公比为q ,公差为d ,再利用基本量法求解即可.(Ⅱ)由(Ⅰ)可知247nn b n =-+,再用分组与等差等比数列求和的方法即可.【详解】解：(Ⅰ)设等比数列{}n a 的公比为q ,等差数列{}n n b a -的公差为d .因为12a =,312314S a a a =++=,所以260q q +-=.解得2q =或3q =-（舍）.又因为11b a -,22b a -,33b a -成等差数列,所以3311()()2b a b a d -=-+.解得4d =-.所以2nn a =,247nn b n =-+,*n N ∈.(Ⅱ)由(Ⅰ)知,247nn b n =-+.因此数列{}n b 的前n 项和为2(222)4(12)7nn T n n =+++-++++ ,所以,数列{}n b 的前n 项和为122252n n T n n +=-+-,*n N ∈.【点睛】本题主要考查了基本量求解数列的方法,同时也考查了等比等差数列求和的公式等.属于中档题.17．已知向量(2,1,2)=-- a ，(1,1,2)b =-，(,2,2)x = c .（Ⅰ）当||c = 时，若向量ka b + 与c垂直，求实数x 和k 的值；（Ⅱ）若向量c 与向量a ，b共面，求实数x 的值.【答案】（Ⅰ）实数x 和k 的值分别为0和3-.（Ⅱ）12-【解析】(Ⅰ)根据||c =可求得0x =,再根据垂直的数量积为0求解k 即可.(Ⅱ)根据共面有c a b λμ=+r r r,再求解对应的系数相等关系求解即可.【详解】解：(Ⅰ)因为||c =,0x =⇒=.且ka b =+(21,1,22)k k k ---+.因为向量ka b + 与c垂直,所以()0ka b c =+⋅ .即260k +=.所以实数x 和k 的值分别为0和3-.(Ⅱ)因为向量c 与向量a ，b共面,所以设c a b λμ=+r r r（,R λμ∈）.因为(,2,2)(2,1,2)(1,1,2)x λμ=--+-,2,2,222,x λμμλλμ=--⎧⎪=-⎨⎪=+⎩所以1,21,23.2x λμ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩所以实数x 的值为12-.【点睛】本题主要考查了空间向量的基本求解方法,包括模长的运算以及垂直的数量积表达与共面向量的关系等.属于基础题.18．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD AB =，点,,E F G 分别为,,PC PA BC 的中点.（Ⅰ）求证：PB EF ⊥；（Ⅱ）求证：FG //平面PCD ；（Ⅲ）求平面EFG 与平面PAD 所成二面角D FG E --（锐角）的余弦值.【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析（Ⅲ）66【解析】（Ⅰ）以D 为原点,,,DA DC DP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴,再证明0PB EF ⋅=即可.（Ⅱ）同（Ⅰ）,证明FG 与平面PCD 的法向量AD垂直即可.（Ⅲ）分别计算平面EFG 与平面PAD 的法向量再求解二面角的夹角余弦值即可.【详解】解：（Ⅰ）因为PD ⊥平面ABCD ,所以PD AD ⊥,PD CD ⊥,且底面ABCD 为正方形,所以AD CD ⊥.以D 为原点,,,DA DC DP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴,建立如图所示空间直角坐标系D xyz -,设1DC =,则(0,0,0)D ,(0,0,1)P ,(1,1,0)B ,11(0,,22E ,11(,0,)22F ,1(,1,0)2G .(1,1,1)PB =-,11(,,0)22EF =- ,110022PB EF ⋅=-+= .所以PB EF ⊥.（Ⅱ）由（Ⅰ）知,PD AD ⊥,AD CD ⊥,(1,0,0)AD =-.且PD DC D ⋂=,所以AD ⊥平面PCD .所以AD是平面PCD 的法向量.1(0,1,2FG =- 因为0000FG AD ⋅=++=,且FG ⊄平面PCD ,所以FG ∥平面PCD .（Ⅲ）设平面EFG 的法向量为(,,)n x y z =,则0,0.n EF n FG ⎧⋅=⎨⋅=⎩即0,20.x y y z -=⎧⎨-=⎩令1x =,则1y =,2z =.于是(1,1,2)n =.平面PAD 的法向量为(0,1,0)CD =.设平面EFG 与平面PAD 所成二面角（锐角）D FG E --为α,则6cos cos ,6n CD n CD n CDα⋅=〈〉==⋅ .所以平面EFG 与平面PAD 所成二面D FG E --角（锐角）的余弦值为66.【点睛】本题主要考查了建立空间直角坐标系证明线线垂直与线面平行的方法,同时也考查了利用空间直角坐标系求解二面角夹角的问题,属于中档题.19．已知椭圆222:1(3x y C a a +=>的离心率为12，过点(0,1)的直线l 与C 有两个不同的交点,A B ，线段AB 的中点为D ，O 为坐标原点，直线l 与直线OD 分别交直线4x =于点,M N .（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）求线段||MN 的最小值.【答案】（Ⅰ）22143x y +=（Ⅱ）1-【解析】（Ⅰ）根据题意列出关于,,a b c 的等式再求解即可.（Ⅱ）设直线l 方程为1y kx =+,再联立直线与椭圆的方程,求得中点D 的坐标,利用韦达定理可得3|||||41|M N MN y y k k=-=++,再分析0k >与k 0<两种情况分别利用基本不等式求解最值即可.【详解】解：（Ⅰ）22223,1,2,b c a a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩解得2a =.所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=.（Ⅱ）显然直线l 斜率存在.设过点(0,1)点的直线l 方程为1y kx =+.（0k ≠,否则直线OD 与直线4x =无交点.）直线l 与椭圆C 的交点为1122(,),(,)A x y B x y .由221,34120y kx x y =+⎧⎨+-=⎩得22(34)880k x kx ++-=.>0∆恒成立.则122834k x x k-+=+,121226()234y y k x x k +=++=+.所以2243(,)3434k D k k-++.令4x =,41M y k =+.直线OD 方程为34y x k =-,令4x =,3N y k =-.所以3|||||41|M N MN y y k k =-=++.①当0k >时,3||411MN k k =++≥+当且仅当34k k =时,即k =时取“=”.②当k 0<时,334[(4)()]k k k k +=--+-≤-.当且仅当32k =-时取“=”.此时3|||41|1MN k k =++≥-.综上,线段||MN 的最小值为1-.【点睛】本题主要考查了椭圆的基本量求解以及联立直线与椭圆的方程求点的坐标,并表示所求量的参数关系,再利用基本不等式求最值的问题.属于难题.20．定义：首项为1且公比为正数的等比数列为“M -数列”.（Ⅰ）已知等比数列{}n a （*n N ∈）满足：234a a a =，13223a a a +=，判断数列{}n a 是否为“M -数列”；（Ⅱ）设m 为正整数，若存在“M -数列”{}n c （*n N ∈），{}()*n c n N ∈对任意不大于m 的正整数k ，都有1k k c k c +≤≤成立，求m 的最大值.【答案】（Ⅰ）数列{}n a 是“M -数列”（Ⅱ）5【解析】（Ⅰ）利用基本量法,设等比数列{}n a 的公比为q 再根据“M -数列”的定义辨析即可.（Ⅱ）先证明对于6m ≥时,不存在对应的m ,再分布求解当5m =时1k k c k c +≤≤均存在“M -数列”满足条件即可.【详解】解：（Ⅰ）设等比数列{}n a 的公比为q .因为等比数列{}n a 满足234a a a =,所以23111a q a q a q ⋅=.解得11a =.又因为13223a a a +=,所以223q q +=.得1q =或2q =.满足首项为1,公比为正数,所以数列{}n a 是“M -数列”（Ⅱ）对于6m ≥时,因为对任意不大于m 的正整数k ,都1k k c k c +≤≤,即1k k q k q -≤≤.取3,6k =,有233q q ≤≤,且566q q ≤≤,即33q ≤且56q ≤.所以5153q ≤且1536q ≤.即15243216q ≤≤,无解.所以不存在满足题意的q .因此所求m 的最大值小于6.对于5m =时,找到q 满足1k k q k q -≤≤,1,2,3,4,5k =,解不等式组2233445112345q q q q q q q q q≤≤⎧⎪≤≤⎪⎪≤≤⎨⎪≤≤⎪≤≤⎪⎩解得12q q q q q ≤⎧≤≤≤≤≤≤≤≤q ≤≤,存在q 满足题意.即存在“M -数列”{}n c （*n N ∈）,满足题意,综上m 的最大值等于5.【点睛】本题主要考查了数列新定义的应用,需要根据所给的定义判断数列是否满足.同时也考了数列中不等式成立的问题,属于难题.。

北京市东城区2019-2020学年高二下学期期末统一检测数学答案

北京市东城区2019-2020学年高二下学期期末统一检测数学试题参考答案1．A 【思路点拨】令1x =即可求得63x⎛- ⎝展开式中各项系数之和.【解析】解：令1x =，得63x⎛⎝展开式中各项系数之和为()66312-=. 故选：A .【名师指导】本题考查二项式定理展开式各项系数之和，解题的关键在于赋值法，是基础题. 2．B 【思路点拨】由已知结合导数的定义即可直接求解. 【解析】解：因为函数()y f x =在0x x =处的导数为1，则()()()()()0000000111limlim 2222x x f x x f x f x x f x f x x x ∆→∆→+∆-+∆-'===∆∆.故选：B .【名师指导】本题考查导数的概念，涉及极限的性质，属于基础题． 3．B 【思路点拨】由表格中的数据求得样本点的中心的坐标，则答案可求. 【解析】由表格中的数据可得：124534x +++==，7691084y +++==.则样本点的中心的坐标为()3,8. 即回归直线必过定点()3,8. 故选：B.【名师指导】本题主要考查了回归直线的性质，必过样本中心点，属于基础题.4．D 【思路点拨】根据题意，分2步进行分析：①将4名学生站成一排，②4人排好后，有5个空位可选，在其中任选3个，安排三名教师，由分步计数原理计算可得答案. 【解析】解：根据题意，分2步进行： ①将4名学生站成一排，有44A 种排法；②4人排好后，有5个空位可选，在其中任选3个，安排三名教师，有35A 种情况；则有4345A A 种排法；故选：D .【名师指导】本题考查排列的应用，解题方法是插空法，属于基础题． 5．D 【思路点拨】利用离散型随机变量的期望与方差公式，转化求解即可. 【解析】解：随机变量X 服从二项分布，即(),XB n p ，且()2E X =，() 1.6D X =，可得2np =，()1 1.6np p -=，解得0.2p =，10n =，故选：D.【名师指导】此题考查离散型随机变量的期望与方差公式的应用，考查二项分布的性质，属于基础题 6．A【解析】试题分析：由正态曲线和均值、标准差的意义，得1212,μμσσ<>；故选A ．考点：正态曲线．7．C 【思路点拨】本题首先可以求出当2X =时的概率，然后求出当3X =时的概率，最后两者相加，即可得出结果.【解析】当2X =时，()12533815256C C P X C ===；当3X =时，()33381356C P X C ===，则()()()151222356567P X P X P X ≥==+==+=，故选：C.【名师指导】本题考查超几何分布的概率计算公式，能否将2X ≥分为2X =、3X =两种情况是解决本题的关键，考查计算能力，是简单题.8．B 【思路点拨】将9个数分为2组，一组为奇数：1､3､5､7､9，一组为偶数：2､4､6､8，然后分2种情况讨论：①取出的3个数全部为奇数，②取出的3个数有1个奇数，2个偶数，再由加法原理计算可得答案.【解析】解：根据题意，将9个数分为2组，一组为奇数：1､3､5､7､9，一组为偶数：2､4､6､8，若取出的3个数和为奇数，分2种情况讨论：①取出的3个数全部为奇数，有3510C =种情况，②取出的3个数有1个奇数，2个偶数，有1254C C 30=种情况，则和为奇数的情况有103040+=种. 故选：B .【名师指导】本题考查组合问题，分类加法计数原理，是基础题.9．A 【思路点拨】由函数()()1y x f x '=-的图象，可得1x >时，()0f x '<；21x -<<时，()0f x '<；2x <-时，()0f x '>.由此可得函数()f x 的单调性，则答案可求. 【解析】解：函数()()1y x f x '=-的图象如图所示，∴1x >时，()0f x '<；21x -<<时，()0f x '<；2x <-时，()0f x '>. ∴函数()f x 在(),2-∞-上单调递增，在()2,1-上单调递减，在()1,+∞上单调递减. ∴()f x 有极大值()2f -.故选：A .【名师指导】本题考查根据导函数的相关图象求函数的单调区间，考查数形结合思想，是中档题.10．C 【思路点拨】根据体积公式用r 表示出l ，得出费用关于r 的函数，利用导数求出函数的极小值点即可.【解析】解：由题意知2323142282333V r l r r l r πππππ=+⨯=+=，故33322222282282282333333V r r r l r r r r r πππππ---===-=，由0l >可知r <.∴ 建造费用()3222221282562344611723r y rl r r r r r r rπππππππ-=+⨯+⨯⨯=⨯+=+，(0r <<，则()3221445614r y r r rπππ-'=-=.当(r ∈时，0y '<，r ∈时，0y '>.当r =.故选：C .【名师指导】本题考查数学建模能力，利用导数求解最值问题，考查运算能力，是中档题.11．58-【思路点拨】本题首先可以写出二项式522x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项，然后令x 的幂的指数等于3，求出r 的值，即可求得3x 的系数.【解析】二项式522x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项()555215521222rr r r r r rr x x T C C x ---+⎛⎫⎛⎫⋅⋅- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫==⋅-⋅⋅ ⎪⎝⎭，令523-=r ，解得1r =，则()154133212258T C x x ⎛⎫=⋅-⋅⋅ ⎪⎝=-⎭，3x 的系数为58-，故答案为：58-.【名师指导】本题考查多项式中某一项的系数的求法，考查二项展开式的通项的应用，二项式()na b +的展开式的通项1rn rr r n T C ab -+=⋅⋅，考查计算能力，是简单题.12．①③【思路点拨】根据题意，由导数的计算公式依次分析3个结论，综合即可得答案. 【解析】解：根据题意，依次分析3个结论： ①若y =y '=，①正确；②若x y e -=，则x y e -'=-，②错误； ③若cos y x =，则sin y x '=-，③正确；即正确的为①③ 故答案为：①③．【名师指导】本题考查导数的运算，掌握基本初等函数的导数公式是解题关键． 13．12【思路点拨】根据题中条件，先确定第一次抽到白球后，袋中还有3个红球，3个白球，进而可求出结果.【解析】解：第一次抽到白球后，袋中还有3个红球，3个白球，故第二次抽到红球的概率为12. 故答案为：12. 【名师指导】本题主要考查求古典概型的概率，属于基础题型.14．42【思路点拨】分两种情况，甲排在第一位和甲排在第二位进行求解即可【解析】解：由题意知，甲的位置影响乙的排列，∴①甲排在第一位共有4424A =种， ②甲排在第二位共有133318A A =种，∴故编排方案共有241842+=种. 故答案为：42.【名师指导】此题考查排列问题，属于基础题15．ln21-【思路点拨】根据()()f m g n t ==得到m ，n 的关系，利用消元法转化为关于t 的函数，构造函数，求函数的导数，利用导数研究函数的最值即可得到结论. 【解析】解：不妨设()()f m g n t ==， ∴31ln 22m net -=+=，(0t >) ∴3ln m t -=，即3ln m t =+，122t n e-=⋅，故1223ln t n m e t --=⋅--(0t >)，令()1223ln t h t et -=⋅--(0t >)，()1212t h t et-'=⋅-，()1221''20t h t e t -=⋅+>所以()h t '在()0,∞+上是增函数，且102h ⎛⎫'=⎪⎝⎭，当12t >时，()0h t '>，当102t <<时，()0h t '<，即当12t =时，()h t 取得极小值同时也是最小值，此时1123ln ln 2122h ⎛⎫⎛⎫=-+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即n m -的最小值为ln21-，故答案为：ln21-.【名师指导】本题考查利用导数求函数的最小值，考查化归转化思想与运算能力，是中档题. 16．（1）8250x y +-=；（2）()f x 的单调递增区间为()3,+∞，()f x 的单调递减区间为()0,3.【思路点拨】（1）先对函数求导，然后结合导数的几何意义可求切线的斜率，进而可求切线方程；（2）先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系即可求解. 【解析】函数()f x 的定义域为()0,∞+，()2123ln 2f x x x x =--，()312f ∴=- 求导()32f x x x'=--，()14f '=-.由点斜式得切线方程为：34(1)2y x +=--，即8250x y +-=.所以曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为8250x y +-=.（2）由（1）知，()()()2133232x x x x f x x x x x+---'=--==()0x >，令()0f x '=，得11x =-，23x =.当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：所以，()f x 的单调递增区间为()3,+∞，()f x 的单调递减区间为()0,3.【名师指导】本题主要考查了利用导数求解曲线在某点处的切线方程，以及利用导数求解函数的单调区间，考查学生的逻辑推理与运算能力，属于中档题. 17．【思路点拨】（1）根据题意补全列联表即可；（2）由表中数据计算2K ，参照附表得出结论. 【解析】解：（1）根据题意补全列联表，如下；（2）由表中数据，计算()()()()()()22210010304020 4.762 3.84130705050n ad bc K a b c d a c b d ⨯⨯-⨯=≈>-=++++⨯⨯⨯，参照附表知，在犯错误的概率不超过0.05的前提下，可以认为“爱好冰上运动与性别有关”. 【名师指导】本题考查列联表，独立性检验，考查运算能力，是基础题.18．【思路点拨】（1）先计算出200种垃圾中能辨识的垃圾种数，即可求出概率；（2）由题可知X 的可能取值为0，1，2，3，且X 服从二项分布，计算出概率，即可列出分布列，求出数学期望.【解析】（1）由题意可知，样本中垃圾种类一共200种，能辨识的垃圾种数是：700.9600.6300.9400.6150⨯+⨯+⨯+⨯=. 所求概率为1500.75200=. （2）X 的可能取值为0，1，2，3，依题意可知，()~3,0.6X B ,033(0)(10.6)0.064P X C ==-=，123(1)0.6(10.6)0.288P X C ==-=，223(2)0.6(10.6)0.432P X C ==-=，333(3)0.60.216P X C ===，所以X 的分布列为()30.6 1.8E X =⨯=.【名师指导】本题考查二项分布的分布列即数学期望的求法，属于基础题.19．【思路点拨】（1）先对函数求导，然后结合导数可分析函数的单调性，进而可求函数的极值；（2）“函数2xy x e ax ⋅=-，在定义域内有三个零点”可以转化为“方程x a xe =有两个非零实根”.构造函数，对其求导，然后结合导数及函数的性质可求. 【解析】解：由题意可知函数()f x 的定义域为R . （1）因为()2xf x x e =⋅.所以()()22xf x exx '=+，由()0f x '=，得12x =-，20x =，当2x <-时，()0f x '>，函数单调递增，当20x -<<时，()0f x '<，函数单调递减，当0x >时，()0f x '>，函数单调递增，因此，当2x =-时，()f x 有极大值，并且极大值为()242f e-=；当0x =时，()f x 有极小值，并且极小值为()00f =. （2）因为()2xy f x ax x e ax =-=⋅-，所以0x =为一个零点.所以“函数2xy x e ax ⋅=-，在定义域内有三个零点”可以转化为“方程x a xe =有两个非零实根”.令()xh x xe =，则()()1xh x x e '=+，所以，当1x <-时，()0h x '<，()h x 在(),1-∞-上单调递减；当1x >-时，()0h x '>，()h x 在()1,-+∞上单调递增；当1x =-时，()h x 有最小值()11h e-=-，0x <时，()0h x <，0x >时，()0h x >. 若方程x a xe =有两个非零实根，则()11h a e-=-<，即1a e >-.若0a ≥，方程x a xe =只有一个非零实根，所以0a <. 综上，10a e-<<. 【名师指导】本题考查函数极值的求解，利用导数研究函数零点的个数，考查化归转化思想和数学运算能力，是中档题.20．【思路点拨】（1）当3n =时，{}3,4,5n S =.由此能写出n S 的所有奇子集.（2）首先证明n S 的奇子集与偶子集个数相等，对于n i S ∀∈，1i >，含i 的n S 的子集共有12n -个，从而对于每个数i ，在奇子集的和与偶子集的和中，i 所占的个数是一样的.由此能证明n S 的所有奇子集的容量的和与所有偶子集的容量的和相等. （3）每个元素在奇子集中都出现22n -次，由此能求出奇子集的容量和. 【解析】解：（1）解：当3n =时，{}3,4,5n S =n S 的所有奇子集为{}3，{}5，{}3,4，{}4,5.（2）证明：首先证明n S 的奇子集与偶子集个数相等. ∵3n ≥，∴一定存在奇数n k S ∈，设奇数n k S ∈，对于n S 的每个奇子集A ，当k A ∈时，取{}B x x A x k =∈≠且. 当k A ∉时，取{}B A k =，则B 为n S 的偶子集.反之，亦然.所以，n S 的奇子集与偶子集是一一对应的. 所以，n S 的奇子集与偶子集个数相等.对于n i S ∀∈，1i >，含i 的n S 的子集共有12n -个，其中必有一半是奇子集，一半是偶子集，从而对于每个数i ，在奇子集的和与偶子集的和中，i 所占的个数是一样的. 所以n S 的所有奇子集的容量的和与所有偶子集的容量的和相等. （3）解：由于每个元素在奇子集中都出现22n -次，故奇子集的容量和为()()231212312n n n n n n n --++++-⨯=-⨯.【名师指导】本题考查集合新定义，理解新定义是解题基础，解题关键是通过集合中的任一奇数，把奇子集与偶子集建立一一对应的关系，从而完成解题．考查了学生分析解决问题的能力，创新意识，逻辑推理能力．。

北京市东城区2019-2020学年高二上学期期末教学统一检测数学试题

北京市东城区2019-2020学年上学期高二年级期末教学统一检测数学试卷本试卷共4页，满分100分。

考试时长120分钟。

第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1. 已知i(2i)z =+，则z 等于A. 1+2iB. 12i -+C. 12i -D. 12i -- 2. 设抛物线24y x =上一点P 到y 轴的距离是2，则点P 到该抛物线焦点的距离是 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 设等差数列{}n a 的前n 项和是n S ，若2466a a a ++=，则7S 等于 A. 7 B. 14 C. 21 D. 284. 已知双曲线2221(0)x y a a -=>与椭圆22194x y +=有相同的焦点，则a 等于A. 2B. 6C. 3D.145. 如图，从甲地到乙地有3条路，从乙地到丁地有2条路；从甲地到丙地有3条路，从丙地到丁地有4条路。

从甲地到丁地的不同路线共有A. 12条B. 15条C. 18条D. 72条6. 在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==，13AA =1AD 与1DB 所成角的余弦值为A.15B. 5C. 5D. 27. 在四面体ABCD 中，点F 在AD 上，且2AF FD =，E 为BC 中点，则EF 等于A. 112223EF AC AB AD =+- B. 112223EF AC AB AD =--+ C. 112223EF AC AB AD =-+ D. 112223EF AC AB AD =-+- 8. 已知12,F F 是椭圆C 的左、右焦点，P 是椭圆C 上的一点，若1212||,||,||PF PF F F 构成公比为12的等比数列，则椭圆C 的离心率为 A.16 B.14C.13D.259. 设等比数列{}n a 的前n 项和是n S ，则“10a >”是“32S S >”的（） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件10. 在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 在底面ABCD 内运动，使得△1ACM 的面积为13，则动点M 的轨迹为 A. 椭圆的一部分 B. 双曲线的一部分 C. 一段圆弧 D. 一条线段第二部分（非选择题共60分）二、填空题共5小题，每小题4分，共20分。

北京市东城区2019-2020学年数学高二下期末质量跟踪监视试题含解析

北京市东城区2019-2020学年数学高二下期末质量跟踪监视试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．设(),22a b a b F a b -+=-.若函数()f x ，()g x 的定义域是R .则下列说法错误．．的是（） A ．若()f x ，()g x 都是增函数，则函数()()(),F f x g x 为增函数B ．若()f x ，()g x 都是减函数，则函数()()(),F f x g x 为减函数C ．若()f x ，()g x 都是奇函数，则函数()()(),F f x g x 为奇函数D ．若()f x ，()g x 都是偶函数，则函数()()(),F f x g x 为偶函数【答案】C【解析】【分析】根据题意得出()()()()()()()()(),,,g x f x g x F f x g x f x f x g x ⎧≥⎪=⎨<⎪⎩，据此依次分析选项，综合即可得出答案．【详解】根据题意可知，(),,,22a a b a b a b F a b b a b ≥-⎧+=-=⎨<⎩，则()()()()()()()()(),,,g x f x g x F f x g x f x f x g x ⎧≥⎪=⎨<⎪⎩，据此依次分析选项：对于A 选项，若函数()f x 、()g x 都是增函数，可得图象均为上升，则函数()()(),F f x g x 为增函数，A 选项正确；对于B 选项，若函数()f x 、()g x 都是减函数，可得它们的图象都是下降的，则函数 ()()(),F f x g x 为减函数，B 选项正确；对于C 选项，若函数()f x 、()g x 都是奇函数，则函数()()(),F f x g x 不一定是奇函数，如()f x x =，()3g x x =，可得函数()()(),F f x g x 不关于原点对称，C 选项错误；对于D 选项，若函数()f x 、()g x 都是偶函数，可得它们的图象都关于y 轴对称，则函数 ()()(),F f x g x 为偶函数，D 选项正确．故选C ．【点睛】本题考查分段函数的奇偶性与单调性的判定，解题时要理解题中函数的定义，考查判断这些基本性质时，可以从定义出发来理解，也可以借助图象来理解，考查分析问题的能力，属于难题．2．函数()x x f x e =的图象为（） A ． B ．C ．D ．【答案】A【解析】【分析】利用导数研究函数的单调性，根据单调性，对比选项中的函数图象，从而可得结果.【详解】因为()x x f x e =，所以1'()xx f x e -=， 1x <时，()'0f x >，()xx f x e =在(),1-∞上递增； 1x >时，()'0f x <，()x x f x e =在()1,+∞上递减，只有选项A 符合题意，故选A.【点睛】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及0,0,,x x x x +-→→→+∞→-∞时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.3．若命题22:,421p x ax x a x ∀∈++≥-+R 是真命题，则实数a 的取值范围是A ．(,2]-∞B ．[2,)+∞C ．(2,)-+∞D ．(2,2)-【答案】B【解析】因为命题22:421p x R ax x a x ∀∈++≥-+，是真命题，即不等式22421ax x a x ++≥-+对x R ∀∈恒成立，即()()22410a x x a +++-≥恒成立，当a ＋2＝0时，不符合题意，故有200a +>⎧⎨∆≤⎩，即220164480a a a +>⎧⎨--+≤⎩，解得2a ≥，则实数a 的取值范围是[)2,+∞．故选：B ． 4．在区间,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上随机取一个数x ，cos x 的值介于0到12之间的概率为（） A ．13 B ．2π C ．12 D ．23【答案】A【解析】因为[,]22x ππ∈-,若1cos [0,]2x ∈,则[,][,]2332x ππππ∈--⋃, ()21233()22P ππππ-⨯∴==--，故选A. 5．用反证法证明命题：若整系数一元二次方程有有理数根，那么、、中至少有一个是偶数时，下列假设中正确的是（）A ．假设、、都是偶数B ．假设、、都不是偶数C ．假设、、至多有一个偶数D ．假设、、至多有两个偶数【答案】B 【解析】分析：本题考查反证法的概念，逻辑用语，否命题与命题的否定的概念，逻辑词语的否定．根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定，故只须对“b 、c 中至少有一个偶数”写出否定即可．解答：解：根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定“至少有一个”的否定“都不是”．即假设正确的是：假设a 、b 、c 都不是偶数故选B ．点评：一些正面词语的否定：“是”的否定：“不是”；“能”的否定：“不能”；“都是”的否定：“不都是”；“至多有一个”的否定：“至少有两个”；“至少有一个”的否定：“一个也没有”；“是至多有n 个”的否定：“至少有n+1个”；“任意的”的否定：“某个”；“任意两个”的否定：“某两个”；“所有的”的否定：“某些”． 6．已知6个高尔夫球中有2个不合格，每次任取1个，不放回地取两次．在第一次取到合格高尔夫球的条件下，第二次取到不合格高尔夫球的概率为（）A ．35B ．25C ．23D ．310【答案】B【解析】【分析】记事件{A =第一次取到的是合格高尔夫球}，事件{B =第二次取到不合格高尔夫球}，由题意可得事件B 发生所包含的基本事件数()428n A B ⋂=⨯=，事件A 发生所包含的基本事件数()4520n A =⨯=，然后即可求出答案.【详解】记事件{A =第一次取到的是合格高尔夫球} 事件{B =第二次取到不合格高尔夫球}由题意可得事件B 发生所包含的基本事件数()428n A B ⋂=⨯=事件A 发生所包含的基本事件数()4520n A =⨯= 所以()()()82205n A B P B A n A ⋂=== 故选：B【点睛】本题考查的是条件概率，较简单.7．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是（）A ．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B ．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C ．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D ．某城市机动车最高限速80千米/小时. 相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油【答案】D【解析】【分析】【详解】解：对于A ，由图象可知当速度大于40km/h 时，乙车的燃油效率大于5km/L ，∴当速度大于40km/h 时，消耗1升汽油，乙车的行驶距离大于5km ，故A 错误；对于B ，由图象可知当速度相同时，甲车的燃油效率最高，即当速度相同时，消耗1升汽油，甲车的行驶路程最远，∴以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最少，故B 错误；对于C ，由图象可知当速度为80km/h 时，甲车的燃油效率为10km/L ，即甲车行驶10km 时，耗油1升，故行驶1小时，路程为80km ，燃油为8升，故C 错误；对于D ，由图象可知当速度小于80km/h 时，丙车的燃油效率大于乙车的燃油效率，∴用丙车比用乙车更省油，故D 正确故选D ．考点：1、数学建模能力；2、阅读能力及化归思想.8．若随机变量X 服从正态分布()8,1N ，则()67P X <<=（）附：随机变量()()2~,0X N μσσ>，则有如下数据：()0.6826P X μσμσ-<<+=，()220.9544P X μσμσ-<<+=，()330.9974P X μσμσ-<<+=. A ．1B ．0.1359C ．0.3413D ．0.4472 【答案】B【解析】【分析】先将6、7用μ、σ表示，然后利用题中的概率求出()67P X <<的值.【详解】由题意可知8μ=，21σ=，则1σ=，62μσ∴=-，7μσ=-，因此，()()672P X P X μσμσ<<=-<<-()()0.95440.6826022.135922P X P X μσμσμσμσ-===-<<+--<<+，故选B.【点睛】本题考查利用正态分布3σ原则求概率，解题时要将相应的数用μ和σ加以表示，并利用正态曲线的对称性列式求解，考查计算能力，属于中等题.9．函数()[]cos sin ,,=-∈-f x x x x x ππ的大致图象为（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】【分析】判断函数的奇偶性和对称性，利用2f π⎛⎫⎪⎝⎭的符号进行排除即可．【详解】 ()()()cos sin cos sin f x x x x x x x f x -=-+=--=-，函数()f x 是奇函数，图象关于原点对称，排除,A Ccos sin 102222f ππππ⎛⎫=-=-< ⎪⎝⎭，排除B ，故选：D ．【点睛】本题考查函数的图象的判断与应用，考查函数的零点以及特殊值的计算，是中档题；已知函数解析式，选择其正确图象是高考中的高频考点，主要采用的是排除法，最常见的排出方式有根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等性质，同时还有在特殊点处所对应的函数值或其符号，其中包括,,0,0x x x x +-→+∞→-∞→→等.10．从4名男同学和3名女同学中选出3名参加某项活动，则男女生都有的选法种数是（） A ．18B ．24C ．30D ．36【答案】C【解析】【分析】由于选出的3名学生男女生都有，所以可分成两类，一类是1男2女，一类是2男1女.【详解】由于选出的3名学生男女生都有，所以可分成两类：（1）3人中是1男2女，共有12434312C C =⨯=；（2）3人中是2男1女，共有21436318C C =⨯=；所以男女生都有的选法种数是121830+=.【点睛】本题考查分类与分步计算原理，考查分类讨论思想及简单的计算问题.11．函数()sin ln sin x x f x x x -⎛⎫ ⎪+⎝⎭＝的图象大致是 ( ) A ． B ．C ．D ．【答案】A【解析】因为sin sin ()ln()ln()()sin sin x x x x f x f x x x x x -+--===--+ ，所以舍去B,D; 当(0,)2x π∈时，sin sin 0sin sin 01,ln()0sin sin x x x x x x x x x x x x --<-<+∴<<∴<++ 所以舍C ，选A.点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路(1)由解析式确定函数图象的判断技巧：（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复．(2)由实际情景探究函数图象．关键是将问题转化为熟悉的数学问题求解，要注意实际问题中的定义域问题． 12．若随机变量η的分布列如下表： η-2 -1 0 1 2 3 P 0.1 0.2 0.2 0.3 0.1 0.1则当()0.8P x η<=时，实数x 的取值范围是A ．2x ≤B ．12x ≤≤C ．12x <≤D ．12x <<【答案】C【解析】分析：根据概率为0.8，确定实数x 的取值范围详解：因为0.10.20.20.30.8+++=，所以实数x 的取值范围为12x <≤选C.点睛：本题考查分布列及其概率，考查基本求解能力.二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．用1,2,3,4,5,6组成没有重复数字，且至少有一个数字是奇数的三位偶数，这样的三位数一共有______个.【答案】54【解析】【分析】运用排列组合，先求出偶数的可能一共有多少个，然后减去三个数字都是偶数的情况【详解】当个位是偶数的时候共有215360A C ⋅=种可能三个数字都是偶数时，有336A =种可能则满足题意的三位数共有60654-=种故答案为54【点睛】本题考查了排列组合的数字的排序问题，只要按照题目要求进行分类求出一共的情况，然后减去不符合情况即可得出结果14．中医药是反映中华民族对生命、健康和疾病的认识，具有悠久历史传统和独特理论及技术方法的医药学体系，是中华文明的瑰宝.某科研机构研究发现，某品种中成药的药物成份A 的含量x （单位：g ）与药物功效y （单位：药物单位）之间具有关系：(20)y x x =-.检测这种药品一个批次的5个样本，得到成份A 的平均值为8g ，标准差为2g ，估计这批中成药的药物功效的平均值为__________药物单位．【答案】92【解析】【分析】由题可得1234540x x x x x ++++=，()()()22212520x x x x x x -+-++-=L进而可得222125340x x x +++=L ，再计算出125y y y +++L ，从而得出答案．【详解】5个样本12345,,,,x x x x x 成份A 的平均值为8g ，标准差为2g ，所以1234540x x x x x ++++=，()()()22212520x x x x x x -+-++-=L ，即()22221251252520x x x x x x x x +++-++++=L L ，解得222125340x x x +++=L因为2(20)20y x x x x =-=-，所以()()22212512512520460y y y x x x x x x +++=+++-+++=L L L 所以这批中成药的药物功效的平均值460925y ==药物单位【点睛】本题考查求几个数的平均数，解题的关键是求出222125x x x +++L ，属于一般题．15．已知向量(,a t t =-v 与()2b t =+v 共线且方向相同，则t =_____. 【答案】3【解析】【分析】先根据向量平行，得到2230t t --=，计算出t 的值，再检验方向是否相同．【详解】因为向量(,a t t =-r 与()b t =+r 共线且方向相同所以得2230t t --=．解得1t =-或3t =．当1t =-时，1)b a =-r r ，不满足条件；当3t =时，33b a =r r ，a r 与b r 方向相同，故3t =．【点睛】本题考查两向量平行的坐标表示，属于基础题.16．由曲线2y x=与直线1y =x -及1x=所围成的封闭图形的面积为__________．【答案】12ln 22- 【解析】【分析】转化为定积分求解.【详解】如图：, 曲线2y x=与直线1y =x -及1x=所围成的封闭图形的为曲边形ABC , 因为ABC ABCD ACD S S S =- , 曲线2y x =与直线1y =x -及1x=的交点分别为(1,2)，(2,1) 且212ABCD S dx x =⎰，21(1)ACD S x dx =-⎰，所以，()22222111121(1)2ln 2ABCS dx x dx x x x x ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭⎰⎰ ()221112ln 22ln122112ln 2222⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--⨯--⨯-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 由曲线2y x =与直线1y =x -及1x=所围成的封闭图形的面积为12ln 22-. 【点睛】本题考查定积分的意义及计算.三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．椭圆C 经过点()2,3Q ，对称轴为坐标轴，且点()2,0F 为其右焦点，求椭圆C 的标准方程. 【答案】2211612x y += 【解析】【分析】由题可先利用定义求椭圆的长轴长,再求椭圆C 的标准方程即可.【详解】由题,设椭圆方程2222:1x y C a b+=,则由椭圆的定义有 22222(22)3[2(2)]3358a =-+--+=+=,故4a =,又2c =,所以22216412b a c =-=-=.所以22:11612x y C +=.。

北京市东城区2019-2020学年数学高二下期末质量跟踪监视试题含解析

北京市东城区2019-2020学年数学高二下期末质量跟踪监视试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知点F 是抛物线24x y =的焦点，点P 为抛物线上的任意一点，(1,2)M 为平面上点，则PM PF +的最小值为（） A ．3 B ．2 C ．4 D ．23 【答案】A 【解析】【分析】作PN 垂直准线于点N ，根据抛物线的定义，得到+=+PM PF PM PN ，当,,P M N 三点共线时，PM PF +的值最小，进而可得出结果.【详解】如图，作PN 垂直准线于点N ，由题意可得+=+≥PM PF PM PN MN ，显然，当,,P M N 三点共线时，PM PF +的值最小；因为(1,2)M ，(0,1)F ，准线1y =-，所以当,,P M N 三点共线时，(1,1)-N ，所以3MN =.故选A【点睛】本题主要考查抛物线上任一点到两定点距离的和的最值问题，熟记抛物线的定义与性质即可，属于常考题型.2．设,a b 是两个平面向量，则“a b =”是“a b =”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】由a b =，则a b =是成立的；反之，若a b =，而a b =不一定成立，即可得到答案.【详解】由题意,a b 是两个平面向量，若a b =，则a b =是成立的；反之，若a b =，则向量,a b 可能是不同的，所以a b =不一定成立，所以a b =是a b =是成立的充分而不必要条件，故选A.【点睛】本题主要考查了向量的概念以及向量模的概念的应用，以及充分条件与必要条件的判定，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.3．a ，b ，c 三个人站成一排照相，则a 不站在两头的概率为（）A ．12B ．13C ．14D ．15【答案】B【解析】分析：a ，b ，c 三个人站成一排照相，总的基本事件为336A =种，a 不站在两头，即a 站中间，则有222A =种情况，从而即可得到答案.详解：a ，b ，c 三个人站成一排照相，总的基本事件为336A =种，a 不站在两头，即a 站中间，则有222A =种情况，则a 不站在两头的概率为2163P ==. 故选：B. 点睛：本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题. 4．已知i 为虚数单位，z 41i i =+，则复数z 的虚部为（） A ．﹣2iB ．2iC ．2D ．﹣2 【答案】C【解析】【分析】根据复数的运算法则，化简得22z i =+，即可得到复数的虚部，得到答案.【详解】由题意，复数()()()41422111i i i i z i i i ⋅-==+++-=，所以复数z 的虚部为2，故选C. 【点睛】本题主要考查了复数的概念，以及复数的除法运算，其中解答中熟记复数的运算法则是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.5．把67化为二进制数为A ．1100001(2)B ．1000011(2)C ．110000(2)D ．1000111(2)【答案】B【解析】如图：所以把67化为二进制数为1 000 011(2)．故选B.考点：二进制法.6．已知3cos tan 4θθ⋅=，则sin 22πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（） A ．378 B ．74± C ．12- D ．18- 【答案】D【解析】【分析】利用同角三角函数基本关系式，诱导公式，二倍角的余弦函数公式即可求值得解．【详解】∵cosθ•tanθ＝sinθ34=， ∴sin （22πθ-）＝cos2θ＝1﹣2sin 2θ＝1﹣2231()48⨯=-．故选D ．【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，诱导公式，二倍角的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．7．在平面直角坐标系中，，，，，若，，则的最小值是（） A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：设P （x,y ）,则()2,AP x y =+，()2,BP x y =-，所以2245AP BP x y =-+=，所以P 点轨迹为229x y +=，根据条件1233OQ t OM t ON ⎛⎫⎛⎫=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可以整理得到：1233t MQ t QN ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以M,Q,N 三点共线，即Q 点在直线MN 上，由M （8，0），N （0，8）可知Q 点在直线80x y +-=上运动，所以PQ 的最小值问题转化为圆229x y +=上点到直线80x y +-=的最33-=。

北京市东城区2019-2020学年数学高二第二学期期末质量跟踪监视试题含解析

北京市东城区2019-2020学年数学高二第二学期期末质量跟踪监视试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知x ，y 为正实数，则（） A ．2lgx+lgy =2lgx +2lgy B ．2lg （x+y ）=2lgx •2lgy C ．2lgx•lgy =2lgx +2lgy D ．2lg （xy ）=2lgx •2lgy【答案】D 【解析】因为a s+t =a s •a t ，lg （xy ）=lgx+lgy （x ，y 为正实数），所以2lg （xy ）=2lgx+lgy =2lgx •2lgy ，满足上述两个公式，故选D ．2．曲线3 2y x x =-+在点(0,(0))f 处的切线方程为（） A ．21y x =+ B ．21y x =-C ．2y x =-+D ．2y x =--【答案】C 【解析】【分析】求导，把0x =分别代入导函数和原函数，得到斜率和切点，再计算切线方程. 【详解】32 2'31y x x y x =-+⇒=-将0x =代入导函数方程，得到1k =- 将0x =代入曲线方程，得到切点为：(0,2) 切线方程为：2y x =-+ 故答案选C 【点睛】本题考查了曲线的切线，意在考查学生的计算能力.3．在极坐标系中，已知圆C 经过点6P π⎛⎫ ⎪⎝⎭，，圆心为直线sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭与极轴的交点，则圆C 的极坐标方程为A ．4cos ρθ=B ．4sin ρθ=C ．2cos ρθ=D ．2sin ρθ=【答案】A 【解析】【分析】求出圆C 的圆心坐标为（2，0），由圆C 经过点6P π⎛⎫⎪⎝⎭，得到圆C 过极点，由此能求出圆C 的极坐标方程．【详解】在sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭中，令0θ=，得2ρ=，所以圆C 的圆心坐标为（2，0）. 因为圆C 经过点6P π⎛⎫⎪⎝⎭，，所以圆C 的半径2r ==，于是圆C 过极点，所以圆C 的极坐标方程为4cos ρθ=. 故选A 【点睛】本题考查圆的极坐标方程的求法，考查直角坐标方程、参数方程、极坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，属于中档题． 4．已知平面向量a ，b 的夹角为3π，且1a =，2b =，则32a b -=（）A ．13 BC D ．11【答案】C 【解析】分析：根据向量的运算，化简()23232a b a b-=-，由向量的数量积定义即可求得模长．详解：平面向量数量积cos a b a b θ⋅= ，所以()22232329124a b a b a a b b -=-=-⋅+2212cos 4a a b b θ=-⋅+22911212cos 42θ=⨯-⨯⨯+⨯ 13=所以选C点睛：本题考查了向量的数量积及其模长的求法，关键是理解向量运算的原理，是基础题．5．端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个，则三种粽子各取到1个的概率是（） A ．12B ．13C ．14D ．310【答案】C 【解析】试题分析：由题可先算出10个元素中取出3个的所有基本事件为；310120C =种情况；而三种粽子各取到1个有11123530C C C =种情况，则可由古典概率得；3011204P == 考点：古典概率的算法．6．PQ 是异面直线,a b 的公垂线，,, , a b A a B b C ⊥∈∈在线段PQ 上(异于,P Q )，则ABC 的形状是（） A ．锐角三角形 B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．三角形不定【答案】C 【解析】【分析】用,,,PA PC CQ QB 表示出,,AC BC AB ，结合余弦定理可得ACB ∠为钝角．【详解】如图，由,a b PQ b ⊥⊥可得b ⊥平面APQ ，从而b AQ ⊥，线段长如图所示，由题意22x m p =+22y n t =+，222()z p m n t =+++显然222x y z +<，∴222cos 02x y z ACB xy+-∠=<，ACB ∠为钝角，即ABC ∆为钝角三角形．故选C ．【点睛】本题考查异面直线垂直的性质，考查三角形形状的判断．解题关键是用,,,PA PC CQ QB 表示出,,AC BC AB ．7．用反证法证明“,20x x ∀∈>R ”时，应假设（）A ．00,20x x ∃∈≤RB ．00,20x x ∃∈<R C ．,20x x ∀∈≤R D ．00,20x x ∃∈>R【答案】A 【解析】【分析】根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定，即可得出正确选项．【详解】根据反证法的步骤，假设是对原命题的否定，P （x 0）成立的否定是使得P （x 0）不成立，即用反证法证明“∀x ∈R ，2x ＞0”，应假设为∃x 0∈R ，02x ≤0 故选：A ．【点睛】本题考查反证法的概念，全称命题的否定，注意 “ 改量词否结论”8．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，122n n n a a a ++=+，若37513a a a +-=，770S =，则1a =（） A ．1- B ．0C ．1D ．2【答案】C 【解析】【分析】首先根据122n n n a a a ++=+得到数列{}n a 为等差数列，再根据770S =，37513a a a +-=即可算出1a 的值. 【详解】因为122n n n a a a ++=+，所以数列{}n a 为等差数列. 因为17747()7702a a S a +===，所以410a =. 375555213a a a a a a +-=-==. 543d a a =-=.因为41310a a d =+=，所以11a =. 故选：C 【点睛】本题主要考查等差数列的性质，同时考查了等差中项，属于简单题.9．=⎰（）A ．πB ．2πC ．2D ．1【答案】A【分析】根据定积分2204x dx 表示直线0,2,0x x y ===与曲线24y x =-围成的图像面积，即可求出结果. 【详解】因为定积分2204x dx 表示直线0,2,0x x y ===与曲线24y x =-围成的图像面积，又24y x =-表示圆224x y +=的一半，其中0y ≥；因此定积分2204x dx 表示圆224x y +=的14，其中0,02y x ≥≤≤，故22201424x dx ππ-=⋅⋅=⎰.故选A 【点睛】本题主要考查定积分的几何意义，熟记定积分几何意义即可，属于基础题型.10．已知双曲线2212x y m -=的离心率为2，则m=A ．4B ．2C ．2D ．1【答案】B 【解析】【分析】根据离心率公式计算．【详解】由题意2c m =+，∴22c m e a m+===，解得2m =．故选B ．【点睛】本题考查双曲线的离心率，解题关键是掌握双曲线的标准方程，由方程确定,a b ． 11．在平面内，点到直线的距离公式为，通过类比的方法，可求得在空间中，点到平面的距离为（） A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】类比得到在空间，点到直线的距离公式,再求解.【详解】类比得到在空间，点到直线的距离公式为，所以点到平面的距离为.故选：B 【点睛】本题主要考查类比推理，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.12．已知命题p ：x R ∃∈，sin x a >，若p ⌝是真命题，则实数a 的取值范围为（） A ．1a ≥ B ．1a ≤C ．1a =D ．1a <【答案】A 【解析】分析：先写出命题的否定形式，将其转化为恒成立问题，求出a 的值.详解：命题p ：x R ∃∈，sin x a >，则p ⌝为,sin x R x a ∀∈≤，p ⌝是真命题，即sin x a ≤恒成立，sin x 的最大值为1，所以1a ≥ 故选A.点睛：含有一个量词的命题的否定命题命题的否定(),x M p x ∀∈ ()00,x M p x ∃∈⌝()00,x M p x ∃∈(),x M p x ∀∈⌝二、填空题：本题共4小题13．曲线224x y e x x =+-在1x =处的切线方程是_____________ 【答案】20ex y --= 【解析】【分析】求导函数，确定曲线2y 24xe x x =+-在1x =处的切线斜率，从而可求切线方程．【详解】求导函数可得y '44x e x =+-，当1x =时，y 'e =，∴曲线2y 24xe x x =+-在点12e -（，）处的切线方程为()()21,20.y e e x ex y --=-∴--= 即答案为20ex y --=．【点睛】本题考查导数的几何意义，考查切线方程，属于基础题． 14．540的不同正约数共有______个．【答案】24 【解析】【分析】将540进行质因数分解为23540235=⨯⨯，然后利用约数和定理可得出540的不同正约数个数. 【详解】将540进行质因数分解为23540235=⨯⨯，因此，540的不同正约数共有()()()12131124+⨯+⨯+=. 故答案为：24. 【点睛】本题考查合数的正约数个数的计算，一般将合数质因数分解，并利用约数和定理进行计算，也可以采用列举法，考查计算能力，属于中等题.15．从1,2,3,4,5,6，中任取2个不同的数，事件A = “取到的两个数之和为偶数”，事件B =”取到的两个数均为偶数”，则(|)P B A =_______．【答案】12【解析】【分析】先求得事件A 所包含的基本事件总数，再求得事件AB 所包含的基本事件总数，由此求得()|P B A 的值. 【详解】依题意，事件A 所包含的基本事件为13,15,24,26,35,46共六种，而事件AB 所包含的基本事件为24,26,46共三种，故()31|62P B A ==. 【点睛】本小题主要考查条件概型的计算，考查列举法，属于基础题.16．()1a x >－的解集为A ，且{}02|A x x ⊆<<，那么实数a 的取值范围是 ____【答案】[2,)+∞ 【解析】【分析】将不等式两边分别画出图形，根据图像得到答案. 【详解】不等式24x x -()1a x >－的解集为A ，且{}02|A x x ⊆<< 2224(2)4(0)y x x x y y =-⇒-+=≥1()y a x =－画出图像知：112a a -≥⇒≥故答案为：[2,)+∞ 【点睛】本题考查了不等式的解法，将不等式关系转化为图像是解题的关键. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

2019-2020学年北京市东城区数学高二下期末质量跟踪监视试题含解析

2019-2020学年北京市东城区数学高二(下)期末质量跟踪监视试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．过点(,)e e -作曲线x y e x =-的切线，则切线方程为（） A ．2(1)y e x e =--+ B ．2(1)y e x e =-- C ．12(1)e e y e x e ++=--D ．1(1)e e y e x e +=--2．已知()()211f x ax x a x =+--≤≤且1a ≤,则()f x 的最大值为( ) A ．54B ．34C ．3D ．13．下面由火柴棒拼出的一列图形中，第n 个图形由n 个正方形组成．通过观察可以发现第10个图形中火柴棒的根数是（）A ．30B ．31C ．32D ．344．已知等比数列{a n }中，2341a a a =，67864a a a =，则5a =（） A ．±2B ．－2C ．2D ．45．平面向量a r 与b r的夹角为3π，()2,0a =r ，1b =r ，则2a b -=r r ( )A ．23B ．6C ．0D ．26．已知复数21iz i+=+，则复数z 在复平面内对应的点在（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限7．通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好体育，得到如下的列联表：由公式算得：K 2＝()()()()()2n ad bc a b c d a c b d -++++≈7.8.附表：参照附表，得到的正确结论是( )A ．有99%以上的把握认为“爱好体育运动与性别有关”B ．有99%以上的把握认为“爱好体育运动与性别无关”C ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好体育运动与性别有关”D ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好体育运动与性别无关” 8．古印度“汉诺塔问题”：一块黄铜平板上装着三根金铜石细柱，其中细柱上套着个大小不等的环形金盘，大的在下、小的在上.将这些盘子全部转移到另一根柱子上，移动规则如下：一次只能将一个金盘从一根柱子转移到另外一根柱子上，不允许将较大盘子放在较小盘子上面.若柱上现有个金盘（如图），将柱上的金盘全部移到柱上，至少需要移动次数为（）A ．B ．C ．D ．9．如图所示的函数图象，对应的函数解析式可能是（）A ．221x y x =--B ．2sin y x x =C ．ln xy x=D ．()22xy x x e -=10．已知集合{}{}1,2,3,4,5,5,8,9A B ==，现从这两个集合中各取出一个元素组成一个新的双元素集合，则可以组成这样的新集合的个数为（） A ．8B ．12C ．14D ．1511．设离散型随机变量X 的概率分布列如表：X1 2 3 4P110x310 110则x 等于（） A ．110B ．15C ．25D ．1212．某体育彩票规定: 从01到36个号中抽出7个号为一注，每注2元．某人想先选定吉利号18，然后再从01到17个号中选出3个连续的号，从19到29个号中选出2 个连续的号，从30到36个号中选出1个号组成一注．若这个人要把这种要求的号全买，至少要花的钱数为( ) A ．2000元B ．3200 元C ．1800元D ．2100元二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分） 13．已知下列命题：①若,,a b c ∈R ，则“22ac bc >”是“a b >”成立的充分不必要条件；②若椭圆2251162x y +=的两个焦点为12,F F ，且弦AB 过点1F ，则2ABF ∆的周长为16；③若命题“p ⌝”与命题“p 或q ”都是真命题，则命题q 一定是真命题； ④若命题p ：2,10x R x x ∃∈++<，则p ⌝：2,10x R x x ∀∈++>其中为真命题的是__________（填序号）． 14．已知抛物线的准线与双曲线交于两点，点为抛物线的交点，若为正三角形，则双曲线的离心率是____ 15．已知复数z ＝11i+，其中i 是虚数单位，则z 的实部为________． 16．函数()ln 1f x x =-________．三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．袋中有形状和大小完全相同的四种不同颜色的小球，每种颜色的小球各有1个，分别编号为1，2，3，1．现从袋中随机取两个球．（Ⅰ）若两个球颜色不同，求不同取法的种数；（Ⅱ）在（1）的条件下，记两球编号的差的绝对值为随机变量X ，求随机变量X 的概率分布与数学期望． 18．已知数列{}n a 满足111,()(1)2nn n na a a n N n a *+==∈++，（1）求23,a a ，并猜想{}n a 的通项公式；（2）用数学归纳法证明(1)中所得的猜想． 19．（6分）完成下列证明：（Ⅰ）求证：2x y -≥524x y x ⎛⎫- ⎪⎝⎭；（Ⅱ）若12m >，求证：211342412m m m ++≥+-.20．（6分）如图，在矩形ABCD 中，4AB =，2AD =，E 是CD 的中点，以AE 为折痕将DAE ∆向上折起，D 变为D ¢，且平面D AE '⊥平面ABCE ．（1）求证：AD EB '⊥；（2）求二面角A BD E -'-的大小．21．（6分）设()log (1)log (3)(0,1)a a f x x x a a =++->≠，且(1)=2f . (1)求a 的值；(2)求()f x 在区间30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值.22．（8分）数列{}n a 满足2(n n S n a n =-∈N *）. （1）计算1234,,,a a a a ，并由此猜想通项公式n a ；（2）用数学归纳法证明（1）中的猜想.参考答案一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．C 【解析】【分析】设出切点坐标00x x e （，），求出原函数的导函数，得到函数在0x x =时的导数值，即切线的斜率，然后由直线方程的点斜式得切线方程，代入已知点的坐标后求出切点的坐标，则切线方程可求．【详解】由xy e x =-，得1xy e '=-，设切点为00xx e （，），则00|1xx x y e -'＝＝，∴切线方程为()0001()xxy e e x x ---＝，∵切线过点(),e e -， ∴−e x 0＝e x 0(1−x 0)，解得：0e 1x =+ ． ∴切线方程为111e e y e e x e ++-=--（），整理得：()121e e y e x e ++=--. 故选C.．【点睛】本题考查了利用导数研究过曲线上某点的切线方程，过曲线上某点处的切线的斜率，就是函数在该点处的导数值，是中档题． 2．A 【解析】【分析】根据绝对值三角不等式可知()21f x a x x ≤-+；根据1a ≤可得()21f x x x ≤-+，根据x 的范围可得()21524f x x ⎛⎫≤--+ ⎪⎝⎭，根据二次函数的性质可求得结果.【详解】由题意得：()()222111f x a x x a x x x x =-+≤-+≤-+11x -≤≤Q 22221511124x x x x x x x ⎛⎫∴-+=-+=-++=--+ ⎪⎝⎭∴当12x =，即12x =±时，()2max 514x x -+= 即：()54f x ≤，即()f x 的最大值为：54本题正确选项：A 【点睛】本题考查函数最值的求解，难点在于对于绝对值的处理，关键是能够将函数放缩为关于x 的二次函数的形式，从而根据二次函数性质求解得到最值. 3．B 【解析】每个图形中火柴棒的根数构成一个等差数列，首项为4，公差为3.其数列依次为4,7,10,13,…,所以第10个图形中火柴棒的根数为49331+⨯=. 4．C 【解析】【分析】根据等比数列性质得3a ，7a ，再根据等比数列性质求得5a . 【详解】因为等比数列{}n a 中，2346781,64a a a a a a ==，所以33371,64a a ==，即以371,4a a ==，因此25a =374a a =，因为5a ，3a 同号，所以5 2.a =选C. 【点睛】在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法.性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形. 5．D 【解析】【分析】先由()2,0a =r ，求出a r ，再求出a b r n r ，进而可求出2a b -r r【详解】因为()2,0a =r ，所以2a =r ，所以13a b a b cos r r r r n π==，所以22a b -===r r .故选D 【点睛】本题主要考查向量模的运算，熟记公式即可，属于基础题型. 6．D 【解析】因为2(2)(1)31222i i i i z i ++-===-+，所以复数z 在复平面内对应的点为31(,)22-，在第四象限，选D.7．A 【解析】【分析】【详解】22110(40302020)7.860506050k ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯27.8 6.635K ≈> ，则有99%以上的把握认为“爱好体育运动与性别有关”. 本题选择A 选项.点睛：独立性检验得出的结论是带有概率性质的，只能说结论成立的概率有多大，而不能完全肯定一个结论，因此才出现了临界值表，在分析问题时一定要注意这点，不可对某个问题下确定性结论，否则就可能对统计计算的结果作出错误的解释. 8．B 【解析】【分析】设细柱上套着个大小不等的环形金盘，至少需要移动次数记为，则，利用该递推关系可求至少需要移动次数. 【详解】设细柱上套着个大小不等的环形金盘，至少需要移动次数记为.要把最下面的第个金盘移到另一个柱子上，则必须把上面的个金盘移到余下的一个柱子上，故至少需要移动次.把第个金盘移到另一个柱子上后，再把个金盘移到该柱子上，故又至少移动次，所以，，故，，故选B.【点睛】本题考查数列的应用，要求根据问题情境构建数列的递推关系，从而解决与数列有关的数学问题. 9．D 【解析】【分析】对B 选项的对称性判断可排除B. 对C 选项的定义域来看可排除C ，对A 选项中，2x =-时，计算得0y <，可排除A ，问题得解．【详解】Q 2sin y x x =为偶函数，其图象关于y 轴对称，∴排除B. Q 函数ln xy x=的定义域为{}011x x x <或，∴排除C . 对于221x y x =--，当2x =-时，()222210y -=---<，∴排除A故选D 【点睛】本题主要考查了函数的对称性、定义域、函数值的判断与计算，考查分析能力，属于中档题． 10．C 【解析】分析：根据解元素的特征可将其分类为：集合中有5和没有5两类进行分析即可.详解：第一类：当集合中无元素5：11428C C =种，第二类：当集合中有元素5：1142+6C C =种，故一共有14种，选C点睛：本题考查了分类分步计数原理，要做到分类不遗漏，分步不重叠是解题关键. 11．D 【解析】分析：利用离散型随机变量X 的概率分布列的性质求解. 详解：由离散型随机变量X 的分布列知：1311101010x +++=，解得12x =. 故选：D.点睛：本题考查概率的求法，是基础题，解题时要注意离散型随机变量X 的概率分布列的性质的灵活应用. 12．D 【解析】第1步从01到17中选3个连续号有15种选法；第2步从19到29中选2个连续号有10种选法；第3步从30到36中选1个号有7种选法.由分步计数原理可知：满足要求的注数共有151071050⨯⨯=注,故至少要花105022100⨯=,故选D.二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分） 13．①③ 【解析】逐一分析所给的各个说法： ①∵a ，b ，c ∈R ， ∴“ac 2>bc 2”⇒“a>b”，反之，当0c =时，由22a b ac bc >⇒>不成立。

北京市东城区2019-2020学年高二数学上学期期末考试教学统一检测试题(含解析)

【解析】【分析】先分析百位数再分析个位数求解即可.
【详解】由题,百位不能为 0,且个位为奇数.当百位为1, 3, 5 其中一个时,奇数的个数为
3 2 4 24 个.
当百位为 2, 4 其中一个时, 奇数的个数为 2 3 4 24 .故共有 24 24 48 个奇数.
故答案为： 48
【点睛】本题主要考查了根据分步计数原理解决特殊位置类的排列问题,属于基础题.
【详解】由题,
|
PF1
|
3 2
|
PF2
|
9 4
|
F1F2
|
.故离心率
e c 2c | F1F2 | 1 4 a 2a | PF1 | | PF2 | 3 9 15 24 .
故选：A
【点睛】本题主要考查了等比数列的性质以及椭圆离心率的计算,属于基础题.
9.设等比数列的
an
的前
n
项和是
Sn
D. –1–2i
【解析】
【分析】
本题根据复数的乘法运算法则先求得 z ，然后根据共轭复数的概念，写出 z ．
【详解】 z i(2 i) 2i i2 1 2i ，
所以 z 1 2i ，选 D．
【点睛】本题主要考查复数的运算及共轭复数，容易题，注重了基础知识、基本计算能力
的考查．理解概ห้องสมุดไป่ตู้，准确计算，是解答此类问题的基本要求．部分考生易出现理解性错
【详解】因为等比数列中 a1a3 36 ,故 a22 36 a2 6 ,又 a2 a4 a2
1 q2
60
,
故 a2 6 ,故1 q2 10 q 3 .
故答案为： 3
【点睛】本题主要考查了等比数列的性质运用,需要注意分析项与公比的正负,属于基础题.

北京市东城区2019-2020学年高二上学期期末考试文科数学试卷Word版含解析

北京市东城区2019-2020学年上学期期末考试高二文科数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．圆x2+y2﹣2x+4y+1=0的半径为（）A．1 B．C．2 D．42．直线x﹣3y+1=0的倾斜角为（）A．30° B．60° C．120°D．150°3．过点（1，0）且与直线x﹣2y﹣2=0平行的直线方程是（）A．x﹣2y﹣1=0 B．x﹣2y+1=0 C．2x+y﹣2=0 D．x+2y﹣1=04．双曲线2x2﹣y2=8的实轴长是（）A．4 B． 4 C．2 D．25．已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（）A．若m⊥α，n⊂α，则m⊥n B．若m⊥α，m⊥n，则n∥αC．若m∥α，m⊥n，则n⊥αD．若m∥α，n∥α，则m∥n6．若x，y满足，则z=x+2y的最大值为（）A．0 B．1 C．D．27．设抛物线y2=8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是（）A．4 B．6 C．8 D．128．一个四棱锥的底面为长方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的体积是（）A．1 B．2 C．3 D．49．过点的直线l与圆x2+y2=1有公共点，则直线l的斜率的取值范围是（）A．B．C．D．10．甲工厂八年来某种产品年产量与时间（单位：年）的函数关系如图所示．现有下列四种说法：①前三年该产品产量增长速度越来越快；②前三年该产品产量增长速度越来越慢；③第三年后该产品停止生产；④第三年后该产品年产量保持不变．其中说法正确的是（）A．①③ B．①④ C．②③ D．②④二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．抛物线y2=4x的准线方程是．12．以边长1的正方形的一边所在直线为旋转轴将正方形旋转一周，所得圆柱的侧面积等于．13．双曲线的两条渐近线方程为．14．f′（x）是的导函数，则f′（﹣1）的值是．15．设椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，右顶点为A，上顶点为B，已知，则C的离心率为．16．如图所示，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，BD∩AC=O，M是线段D1O上的动点，过点M作平面ACD1的垂线交平面A1B1C1D1于点N，则点N到点A距离的最小值为．三、解答题（本大题共5小题，共52分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知三角形的三个顶点A（4，6），B（﹣3，0），C（﹣1，﹣4），求BC边上中线和高线所在的直线方程．18．已知圆C经过A（1，3），B（﹣1，1）两点，且圆心在直线y=x上．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）设直线l经过点（2，﹣2），且l与圆C相交所得弦长为，求直线l的方程．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，PA=PB，且侧面PAB⊥平面ABCD，点E是棱AB的中点．（Ⅰ）求证：CD∥平面PAB；（Ⅱ）求证：PE⊥AD；（Ⅲ）若CA=CB，求证：平面PEC⊥平面PAB．20．设a∈R，函数f（x）=2x3+（6﹣3a）x2﹣12ax+2．（Ⅰ）若a=1，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）求函数f（x）在[﹣2，2]上的最小值．21．已知椭圆的长轴长为，离心率，过右焦点F的直线l交椭圆于P，Q两点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）当直线l的斜率为1时，求△POQ的面积；（Ⅲ）若以OP，OQ为邻边的平行四边形是矩形，求满足该条件的直线l的方程．北京市东城区2019-2020学年上学期期末考试高二文科数学试卷参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．圆x2+y2﹣2x+4y+1=0的半径为（）A．1 B．C．2 D．4【考点】圆的一般方程．【专题】计算题；方程思想；分析法；直线与圆．【分析】将圆方程化为标准方程，找出半径即可．【解答】解：圆x2+y2﹣2x+4y+1=0变形得：（x﹣1）2+（y+2）2=4，∴圆的半径为2．故选：C．【点评】本题考查了圆的标准方程，将所求圆方程化为标准方程是解本题的关键，是基础题．2．直线x﹣3y+1=0的倾斜角为（）A．30° B．60° C．120°D．150°【考点】直线的倾斜角．【专题】计算题．【分析】先由直线的方程求出斜率，再根据倾斜角的正切值等于斜率，再结合倾斜角的范围求出倾斜角．【解答】解：由题意，直线的斜率为即直线倾斜角的正切值是又倾斜角大于或等于0°且小于180°，故直线的倾斜角为30°，故选 A．【点评】本题以直线为载体，考查由直线的方程求直线的斜率，直线的斜率和倾斜角的关系，应注意直线倾斜角的范围．3．过点（1，0）且与直线x﹣2y﹣2=0平行的直线方程是（）A．x﹣2y﹣1=0 B．x﹣2y+1=0 C．2x+y﹣2=0 D．x+2y﹣1=0【考点】两条直线平行的判定；直线的一般式方程．【专题】计算题．【分析】因为所求直线与直线x﹣2y﹣2=0平行，所以设平行直线系方程为x﹣2y+c=0，代入此直线所过的点的坐标，得参数值【解答】解：设直线方程为x﹣2y+c=0，又经过（1，0），∴1﹣0+c=0故c=﹣1，∴所求方程为x﹣2y﹣1=0；故选A．【点评】本题属于求直线方程的问题，解法比较灵活．4．双曲线2x2﹣y2=8的实轴长是（）A．4 B．4 C．2 D．2【考点】双曲线的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】双曲线方程化为标准方程，即可确定实轴长．【解答】解：双曲线2x2﹣y2=8，可化为∴a=2，∴双曲线2x2﹣y2=8的实轴长是4故选B．【点评】本题考查双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．5．已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（）A．若m⊥α，n⊂α，则m⊥n B．若m⊥α，m⊥n，则n∥αC．若m∥α，m⊥n，则n⊥αD．若m∥α，n∥α，则m∥n【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【专题】对应思想；数形结合法；空间位置关系与距离．【分析】在A中，由线面垂直的性质得m⊥n；在B中，n∥α或n⊂α；在C中，n与α相交、平行或n⊂α；在D中，m与n相交、平行或异面．【解答】解：由m，n表示两条不同直线，α表示平面，知：在A中：若m⊥α，n⊂α，则由线面垂直的性质得m⊥n，故A正确；在B中：若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，故B错误；在C中：若m∥α，m⊥n，则n与α相交、平行或n⊂α，故C错误；在D中：若m∥α，n∥α，则m与n相交、平行或异面，故D错误．故选：A．【点评】本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．6．若x，y满足，则z=x+2y的最大值为（）A．0 B．1 C．D．2【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，再将目标函数z=x+2y对应的直线进行平移，即可求出z取得最大值．【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，当l经过点B时，目标函数z达到最大值∴z最大值=0+2×1=2．故选：D．【点评】本题给出二元一次不等式组，求目标函数z=x+2y的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．7．设抛物线y2=8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是（）A．4 B．6 C．8 D．12【考点】抛物线的定义．【专题】计算题．【分析】先根据抛物线的方程求得抛物线的准线方程，根据点P到y轴的距离求得点到准线的距离进而利用抛物线的定义可知点到准线的距离与点到焦点的距离相等，进而求得答案．【解答】解：抛物线y2=8x的准线为x=﹣2，∵点P到y轴的距离是4，∴到准线的距离是4+2=6，根据抛物线的定义可知点P到该抛物线焦点的距离是6故选B【点评】本题主要考查了抛物线的定义．充分利用了抛物线上的点到准线的距离与点到焦点的距离相等这一特性．8．一个四棱锥的底面为长方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的体积是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；方程思想；综合法；立体几何．【分析】几何体是四棱锥，再根据三视图判断四棱锥的高与底面长方形的长与宽，把数据代入棱锥的体积计算可得答案．【解答】解：由三视图知几何体是四棱锥，且四棱锥的一条侧棱与底面垂直，高为3，四棱锥的底面是长方形，长方形的长、宽分别为1、2，∴几何体的体积V=×1×2×3=2．故选：B．【点评】本题考查了由三视图求几何体的体积，解题的关键是判断几何体的形状及数据所对应的几何量．9．过点的直线l与圆x2+y2=1有公共点，则直线l的斜率的取值范围是（）A．B．C．D．【考点】直线与圆的位置关系．【专题】计算题；方程思想；综合法；直线与圆．【分析】用点斜式设出直线方程，根据直线和圆有交点、圆心到直线的距离小于或等于半径可得≤1，由此求得斜率k的范围．【解答】解：由题意可得点在圆x2+y2=1的外部，故要求的直线的斜率一定存在，设为k，则直线方程为y+1=k（x+），即 kx﹣y+k﹣1=0．根据直线和圆有公共点、圆心到直线的距离小于或等于半径可得≤1，即3k2﹣2k+1≤k2+1，解得0≤k≤，故选：D．【点评】本题主要考查用点斜式求直线方程，点到直线的距离公式的应用，体现了转化的数学思想，属于中档题．10．甲工厂八年来某种产品年产量与时间（单位：年）的函数关系如图所示．现有下列四种说法：①前三年该产品产量增长速度越来越快；②前三年该产品产量增长速度越来越慢；③第三年后该产品停止生产；④第三年后该产品年产量保持不变．其中说法正确的是（）A．①③ B．①④ C．②③ D．②④【考点】函数的图象．【专题】数形结合；数形结合法；函数的性质及应用．【分析】根据图象的变化快慢进行判断．【解答】解：设产量与时间的关系为f（x），由图可知f（3）﹣f（2）＜f（2）﹣f（1），∴前三年该产品产量增长速度越来越慢．故①错误，②正确．由图可知从第四年开始产品产量不发生变化且f（4）≠0，故③错误，④正确．故选：D．【点评】本题考查了函数图象的物理意义，属于基础题．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．抛物线y2=4x的准线方程是x=﹣1 ．【考点】抛物线的简单性质．【专题】计算题．【分析】先根据抛物线的标准方程形式求出p，再根据开口方向，写出其准线方程．【解答】解：∵2p=4，∴p=2，开口向右，∴准线方程是x=﹣1．故答案为x=﹣1．【点评】根据抛物线的方程求其焦点坐标和准线方程，一定要先化为标准形式，求出的值，再确定开口方向，否则，极易出现错误．12．以边长1的正方形的一边所在直线为旋转轴将正方形旋转一周，所得圆柱的侧面积等于2π．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【专题】空间位置关系与距离．【分析】边长为1的正方形，绕其一边所在直线旋转一周，得到的几何体为圆柱，从而可求圆柱的侧面积．【解答】解：边长为1的正方形，绕其一边所在直线旋转一周，得到的几何体为圆柱，则所得几何体的侧面积为：1×2π×1=2π，故答案为：2π【点评】本题是基础题，考查旋转体的侧面积的求法，考查计算能力．13．双曲线的两条渐近线方程为．【考点】双曲线的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】先确定双曲线的焦点所在坐标轴，再确定双曲线的实轴长和虚轴长，最后确定双曲线的渐近线方程．【解答】解：∵双曲线的a=4，b=3，焦点在x轴上而双曲线的渐近线方程为y=±x∴双曲线的渐近线方程为故答案为：【点评】本题考查了双曲线的标准方程，双曲线的几何意义，特别是双曲线的渐近线方程，解题时要注意先定位，再定量的解题思想14．f′（x）是的导函数，则f′（﹣1）的值是3 ．【考点】函数的值；导数的运算．【专题】计算题．【分析】利用求导法则（x n）′=nx n﹣1，求出f（x）的导函数，然后把x等于﹣1代入导函数中求出f′（﹣1）即可．【解答】解：f′（x）=x2+2，把x=﹣1代入f′（x）得：f′（﹣1）=1+2=3故答案为：3【点评】此题考查学生灵活运用求导法则求函数的导函数，会求自变量对应的导函数的函数值，是一道基础题．15．设椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，右顶点为A，上顶点为B，已知，则C的离心率为．【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题；作图题；数形结合；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由题意作图，从而可得|AB|2=a2+b2，|F1F2|2=4c2，再结合，化简可得a2=2c2，从而求得．【解答】解：由题意作图如下，，由题意知，|AB|2=a2+b2，|F1F2|2=4c2，∵，∴a2+b2=•4c2，即a2+a2﹣c2=3c2，即a2=2c2，故e==，故答案为：．【点评】本题考查了圆锥曲线的性质应用，同时考查了学生的作图能力及数形结合的思想应用．16．如图所示，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，BD∩AC=O，M是线段D1O上的动点，过点M作平面ACD1的垂线交平面A1B1C1D1于点N，则点N到点A距离的最小值为．【考点】点、线、面间的距离计算．【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】根据正方体的结构特征，可证，N在B1D1上，过N作NG⊥A1B1，交A1B1于G，设NG=x，利用勾股定理构造关于x的函数，求函数的最小值．【解答】解：∵平面ACD1⊥平面BDD1B1，又MN⊥平面ACD1，∴MN⊂平面BDD1B1，∴N∈B1D1，过N作NG⊥A1B1，交A1B1于G，将平面A1B1C1D1展开，如图：设NG=x，（0≤x≤1），∴AN===≥，当x=时，AN取最小值．故答案为：．【点评】本题考查了正方体的结构性质，考查了函数思想的应用，构造函数模型，利用二次函数求最小值是解题的关键．三、解答题（本大题共5小题，共52分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知三角形的三个顶点A（4，6），B（﹣3，0），C（﹣1，﹣4），求BC边上中线和高线所在的直线方程．【考点】待定系数法求直线方程．【专题】数形结合；转化思想；直线与圆．【分析】利用中点坐标公式、点斜式可得BC边上中线所在的直线方程，利用相互垂直的直线斜率之间的关系可得BC边上的高线AH的斜率，进而得出BC边上高线所在的直线方程．【解答】解：设BC边中点为M（x0，y0），∵B（﹣3，0），C（﹣1，﹣4），∴，．∴M（﹣2，﹣2）．（2分）又A（4，6），．（4分）∴BC边上中线所在的直线方程为4x﹣3y+2=0．（6分）设BC边上的高线为AH，∵AH⊥BC，∴．（8分）∴BC边上高线所在的直线方程为x﹣2y+8=0．（10分）【点评】本题考查了中点坐标公式、点斜式、相互垂直的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．已知圆C经过A（1，3），B（﹣1，1）两点，且圆心在直线y=x上．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）设直线l经过点（2，﹣2），且l与圆C相交所得弦长为，求直线l的方程．【考点】直线与圆的位置关系．【专题】综合题；分类讨论；综合法；直线与圆．【分析】（Ⅰ）设圆C的圆心坐标为（a，a），利用CA=CB，建立方程，求出a，即可求圆C的方程；（Ⅱ）分类讨论，利用圆心到直线的距离公式，求出斜率，即可得出直线方程．【解答】解：（Ⅰ）设圆C的圆心坐标为（a，a），依题意，有，即a2﹣6a+9=a2+2a+1，解得a=1，（2分）所以r2=（1﹣1）2+（3﹣1）2=4，（4分）所以圆C的方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=4．（5分）（Ⅱ）依题意，圆C的圆心到直线l的距离为1，所以直线x=2符合题意．（6分）设直线l方程为y+2=k（x﹣2），即kx﹣y﹣2k﹣2=0，则，解得，所以直线l的方程为，即4x+3y﹣2=0．（9分）综上，直线l的方程为x﹣2=0或4x+3y﹣2=0．（10分）【点评】本题考查圆的标准方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，正确运用点到直线的距离公式是关键．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，PA=PB，且侧面PAB⊥平面ABCD，点E是棱AB的中点．（Ⅰ）求证：CD∥平面PAB；（Ⅱ）求证：PE⊥AD；（Ⅲ）若CA=CB，求证：平面PEC⊥平面PAB．【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的性质．【专题】空间位置关系与距离．【分析】（Ⅰ）因为底面ABCD是菱形，推断出CD∥AB．进而根据线面平行的判定定理推断出CD∥平面PAB．（Ⅱ）因为PA=PB，点E是棱AB的中点，可知PE⊥AB，因为平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，PE⊂平面PAB，推断出PE⊥平面ABCD，进而根据线面垂直的性质可知PE⊥AD．（Ⅲ）因为CA=CB，点E是棱AB的中点，进而可知CE⊥AB，（Ⅱ）可得PE⊥AB，进而判断出AB⊥平面PEC，根据面面垂直的判定定理推断出平面PAB⊥平面PEC．【解答】解：（Ⅰ）因为底面ABCD是菱形，所以CD∥AB．又因为CD⊄平面PAB，所以CD∥平面PAB．（Ⅱ）因为PA=PB，点E是棱AB的中点，所以PE⊥AB，因为平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，PE⊂平面PAB，所以PE⊥平面ABCD，因为AD⊂平面ABCD，所以PE⊥AD．（Ⅲ）因为CA=CB，点E是棱AB的中点，所以CE⊥AB，由（Ⅱ）可得PE⊥AB，所以AB⊥平面PEC，又因为AB⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面PEC．【点评】本题主要考查了线面平行，线面垂直，面面垂直的判定定理及性质．要求对满足的条件全面．20．设a∈R，函数f（x）=2x3+（6﹣3a）x2﹣12ax+2．（Ⅰ）若a=1，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）求函数f（x）在[﹣2，2]上的最小值．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值．【专题】计算题．【分析】（Ⅰ）求出函数的导函数，把a=1代入导函数确定出导函数的解析式，然后把x=0代入导函数中求出值即为切线的斜率，把x=0代入f（x）的解析式中求出切点的纵坐标f（0），然后根据求出的切点坐标和斜率写出切线的方程即可；（Ⅱ）令导函数等于0求出此时x的值，然后分a大于等于2和a小于2大于﹣2两种情况，由x的值讨论导函数的正负即可得到函数的单调区间，由函数的增减性即可得到函数的最小值．【解答】解：（Ⅰ）f'（x）=6[x2+（2﹣a）x﹣2a]=6（x+2）（x﹣a）．（3分）当a=1时，f'（0）=﹣12f（0）=2，所以切线方程为y﹣2=﹣12x，即12x+y﹣2=0．（6分）（Ⅱ）令f'（x）=0，解得：x1=﹣2，x2=a．①a≥2，则当x∈（﹣2，2）时，f'（x）＜0，函数f（x）在（﹣2，2）上单调递减，所以，当x=2时，函数f（x）取得最小值，最小值为f（2）=42﹣36a．（ 8分）②﹣2＜a＜2，则当x∈（﹣2，2）时，当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：所以，当x=a时，函数f（x）取得最小值，最小值为f（a）=﹣a3﹣6a2+2．（11分）③a≤﹣2，则当x∈（﹣2，2）时，f'（x）＞0，函数f（x）在（﹣2，2）上单调递增，所以，当x=﹣2时，函数f（x）取得最小值，最小值为f（﹣2）=10+12a．（13分）综上，当a≤﹣2时，f（x）的最小值为10+12a；当﹣2＜a＜2时，f（x）的最小值为﹣a3﹣6a2+2；当a≥2时，f（x）的最小值为42﹣36a．（14分）【点评】此题考查会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，会根据斜率和一点写出直线的方程，会利用导函数的正负判断函数的单调区间并根据函数的增减性得到函数的最值，是一道综合题．21．已知椭圆的长轴长为，离心率，过右焦点F的直线l交椭圆于P，Q两点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）当直线l的斜率为1时，求△POQ的面积；（Ⅲ）若以OP，OQ为邻边的平行四边形是矩形，求满足该条件的直线l的方程．【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题；分类讨论；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）由题意可得2a=，e=，从而解出椭圆方程；（Ⅱ）设直线l的方程为y=x﹣1，从而联立方程，从而解出交点坐标，从而求面积；（Ⅲ）分类讨论是否与x轴垂直，从而解出直线l的方程．【解答】解：（Ⅰ）由已知，椭圆方程可设为，∵长轴长2a=，离心率e=，∴，所求椭圆方程为；（Ⅱ）∵直线l过椭圆右焦点F（1，0），且斜率为1，∴直线l的方程为y=x﹣1，设P（x1，y1），Q（x2，y2），由得，3y2+2y﹣1=0，解得，∴．（Ⅲ）①当直线l与x轴垂直时，直线l的方程为x=1，此时∠POQ小于90°，OP，OQ为邻边的平行四边形不可能是矩形．②当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y=k（x﹣1）．由可得（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0．因为△=16k4﹣4（1+2k2）（2k2﹣2）=8（k2+1）＞0，所以．因为y1=k（x1﹣1），y2=k（x2﹣1），所以．因为以OP，OQ为邻边的平行四边形是矩形，所以k OP•k OQ=﹣1，因为，所以x1x2+y1y2=得k2=2．所以．所以所求直线的方程为．【点评】本题考查了圆锥曲线与直线的位置关系应用，同时考查了分类讨论的思想与学生的化简运算能力．。

2019-2020学年北京市东城区高二(上)期末数学试卷

2019-2020学年北京市东城区高二（上）期末数学试卷题号一二三总分得分第I 卷（选择题）一、选择题（本大题共10小题，共40.0分） 1. 若z =2+i ，则zz−1=( )A. 1B. −1C. iD. −i2. 抛物线x 2=4y 上一点P 到焦点的距离为3，则点P 到y 轴的距离为( )A. 2√2B. 1C. 2D. 33. 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知2a 1+a 13=−9，则S 9=( )A. −27B. 27C. −54D. 544. 与双曲线x 22−y 2=1有相同渐近线，且与椭圆y 28+x 22=1有共同焦点的双曲线方程是( )A. x 22−y 24=1B. y 22−x24=1C. x 24−y 22=1D. y 24−x22=15. 如图，从A 地到B 地要经过C 地和D 地，从A 地到C 地有3条路，从C 地到D 地有2条路，从D 地到B 地有4条路，则从A 地到B 地不同走法的种数是( )A. 9B. 24C. 3D. 16. 在棱长为3的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别在棱A 1B 1，CC 1上且A 1E =1，C 1F =1，则异面直线AE ，B 1F 所成角的余弦值为( )A. 310B. 19C. 111D. 07. 在空间四边形OABC 中，点M 在线段OA 上，且OM =12MA ，点N 为BC 的中点．若OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ⃗ ，则MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 等于( ) A. 13a⃗ −12b ⃗ −12c ⃗ B. 12a⃗ −12b ⃗ −12c ⃗ C. −13a ⃗ +12b ⃗ +12c ⃗ D. −12a ⃗ +12b ⃗ +12c ⃗8.椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右顶点分别是A、B，左、右焦点分别是F1、F2.若AF1，F1F2，F1B的长成等比数列，则此椭圆的离心率为()A. 14B. √55C. 12D. √5−29.等比数列{a n}中，a1=−1，前n项和为S n，若S10S5=3132，则a n等于()A. −12n−1 B. (−1)n12n−1C. −2 n−1 D.(−1)n−12n−110.已知正方体ABCD−A1B1C1D1中，M为AB中点，棱长为2，P是底面ABCD上的动点，且满足条件PD1=3PM，则动点P在底面ABCD上形成的轨迹是()A. 圆B. 椭圆C. 双曲线D. 抛物线第II卷（非选择题）二、填空题（本大题共5小题，共20.0分）11.若复数z=2m2−3m−2+(6m2+5m+1)i是纯虚数，则实数m的值为______．12.双曲线y2−x22=1的渐近线方程为______________．13.在等比数列{a n}中，若a1+a2=18，a2+a3=12，则公比q为______．14.从1，3，5，7四个数中选两个数字，从0，2，4三个数中选一个数字，组成没有重复数字的三位数，其中奇数的个数为______．15.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)，存在过左焦点F的直线与椭圆C交于A、B两点，满足AFBF=2，则椭圆C离心率的最小值是____________．三、解答题（本大题共5小题，共40.0分）16.已知等差数列{a n}中，a3=8，a6=17，d为公差．⑴求a1，d；⑴设b n=a n+2n−1，求数列{b n}的前n项和S n．17.已知向量a=(3,−1,4)，b=(−9,3，5−x)．(1)若a//b，求实数x的值．(2)若a⊥b，求实数x的值．18.如图正方形ABCD的边长为2√2，四边形BDEF是平行四边形，BD与AC交于点G，O为GC的中点，FO=√3，且FO⊥平面ABCD．(1)求证：AE//平面BCF；(2)求证：CF⊥平面AEF；(3)求二面角A−CF−B余弦值的大小．19.已知椭圆x2a2+y2b2=1 (a>b>0)，其离心率为√33，点F是其一个焦点，P为椭圆上一点，|PF|的最小值为√3−1，直线l：y=m(x−1)．(1)求椭圆的标准方程；(2)证明：直线l与椭圆C总有两个不同的交点；(3)设直线l与椭圆C交于A、B两点，是否存在实数m，使得以线段AB为直径的圆过坐标原点？若存在，求实数m的值，若不存在，请说明理由．20.已知数列{b n}是首项为2、公比为q的等比数列，数列{a n}满足a1=3q，a n+1−qb n+1=a n−qb n(n∈N∗)．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若q=12,数列{b n}前n项和为S n，求所有满足等式S n−mS n+1−m=1b m+1成立的正整数m，n；(3)若q<0且对任意m,n∈N∗,都有a ma n ∈(16,6)，求实数q的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】本题考查复数的共轭复数以及复数的四则运算，首先根据z=2+i得到z=2−i，代入式子计算即可，属于基础题．【解答】解：若z=2+i，z=2−i，则zz−1=4i(2+i)(2−i)−1=4i5−1=4i4=i．故选C．2.【答案】A【解析】根据抛物线方程可求得焦点坐标为(0,1)，准线方程为y=−1，由抛物线的定义可得y P+1=3，解得y P=2，将其代入抛物线的方程求得x P=±2√2，∴点P到y轴的距离为2√2．3.【答案】A【解析】【分析】本题考查等差数列的前9项和的求法，是基础题．由已知利用等差数列的通项公式得到a1+4d=−3，由此利用等差数列的前n项和公式能求出S9的值．【解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，2a1+a13=−9，∴3a1+12d=−9，即a1+4d=−3，∴S9=92(a1+a9)=9(a1+4d)=−27．故选：A．4.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查椭圆的几何性质，根据渐近线和焦点求解．设双曲线方程为y2−x22=λ，由椭圆焦点可得所求双曲线c=√6，由几何性质得2λ+λ=6，即可求解．【解答】解：由椭圆焦点可得所求双曲线c=√6，且焦点在y轴上，设双曲线方程为y2−x22=λ即y2λ−x22λ=1，故2λ+λ=6,λ=2，所以所求双曲线方程为y22−x24=1．故选B．5.【答案】B【解析】解：根据分步计数原理得，从A地到B地不同走法的种数是A31⋅A21⋅A41=24种．故选：B．从A地到B地不同走法需要3步，根据分步计数原理即可解决．本题主要考查了分步计数原理，属于基础题．6.【答案】A【解析】【分析】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是基础题．以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AE，B1F所成角的余弦值．【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系D−xyz，∵在棱长为3的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别在棱A 1B 1，CC 1上且A 1E =1，C 1F =1， ∴A(3,0，0)，E(3,1，3)，B 1(3,3，3)，F(0,3，2)， AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1，3)，B 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3,0，−1)，设异面直线AE ，B 1F 所成角为θ，则cosθ=|AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅B 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||AE ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|B 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√10×√10=310．∴异面直线AE ，B 1F 所成角的余弦值为310．故选A ．7.【答案】C【解析】【分析】本题考查向量的线性运算的应用，三角形法则的应用，属于较易题．直接利用向量的线性运算和三角形法则求出结果．【解答】解：如图所示：由题意OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13a ⃗ ，ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=12b ⃗ +12c ⃗ ，所以MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12b ⃗ +12c ⃗ −13a ⃗ ，故选C ．8.【答案】B【解析】【分析】本题考查椭圆的性质和等比数列的性质，是基础题．由题意得|AF1|=a−c,|F1F2|=2c,|F1B|=a+c，根据题意得(a−c)(a+c)=4c2化简即可．【解答】解：由题意知|AF1|=a−c,|F1F2|=2c,|F1B|=a+c，因为AF1，F1F2，F1B的长成等比数列，所以(a−c)(a+c)=4c2，即a2=5c2，所以e=ca =√55．故选B．9.【答案】B【解析】【分析】本题考查了等比数列的通项公式和等比数列的求和公式的应用.由等比数列的和，得到公比q=−12，从而得到等比数列的通项公式．【解答】解：∵等比数列{a n}中，a1=−1，S10S5=3132，设等比数列的公比为q，易知q≠1，∴a1(1−q10)1−qa1(1−q5)1−q=3132，∴1−q101−q5=3132，∴1+q5=3132，∴q 5=−132， ∴q =−12， ∴a n =a 1q n−1=−1×(−12)n−1=(−1)n 12n−1．故选B ．10.【答案】A【解析】【分析】本题考查轨迹方程，属于中档题．在底面上建立平面直角坐标系，设出P 的坐标，写出M 的坐标，根据正方体的性质，利用两点之间的距离公式写出等式PD 1=3PM 中涉及到的线段的长，代入等式整理出关于x ，y 的方程，结果是一个圆．【解答】解：如图，以DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，设P(x,y ，0)，M 的坐标是(2,1，0)，D 1(0,0，2)，故PD 1=√x 2+y 2+4， PM =√(x −2)2+(y −1)2，再代PD 1=3PM 化简得(x −94)2+(y −98)2=7764．故P 点轨迹是圆．故选A．11.【答案】2【解析】【分析】本题考查了复数的基本概念，是基础题．由复数z=2m2−3m−2+(6m2+5m+1)i是纯虚数，得实部等于0，虚部不等于0，由此求解即可．【解答】解：∵复数z=2m2−3m−2+(6m2+5m+1)i是纯虚数，∴{2m2−3m−2=06m2+5m+1≠0，解得m=2．故答案为：2．12.【答案】√2x±2y=0【解析】【分析】本题考查双曲线的渐近线方程，考查双曲线的简单性质，是基础题．由双曲线方程求出a，b的值，然后代入渐近线方程得答案．【解答】解：由双曲线y2−x22=1，得a2=1，b2=2，∴a=1，b=√2，∴双曲线y2−x22=1的渐近线方程为y=±abx=±√22x．故答案为√2x±2y=0．13.【答案】23【解析】解：∵a1+a2=18，a2+a3=12，∴公比q=a2+a3a1+a2=q(a1+a2)a1+a2=1218=23．故答案为：23．利用等比数列的通项公式及其性质即可得出．本题考查了等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14.【答案】60【解析】解：从1，3，5，7四个数中选两个数字，从0，2，4三个数中选一个数字，组成没有重复数字的三位数，其中奇数的个数为C 42C 31C 21A 22−C 42A 22=60，故答案为：60．由排列、组合及简单的计数问题得：从1，3，5，7四个数中选两个数字，从0，2，4三个数中选一个数字，组成没有重复数字的三位数，其中奇数的个数为C 42C 31C 21A 22−C 42A 22=60，得解．本题考查了排列、组合及简单的计数问题，属中档题．15.【答案】13 【解析】【分析】本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查．利用椭圆的性质，以及已知条件列出不等式，转化求解即可．【解答】解：椭圆C ：x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)，存在过左焦点F 的直线与椭圆C 交于A 、B 两点，满足AF BF =2可得a+c a−c ≥2，即3c ≥a ，所以e =c a ≥ 1 3．所以椭圆C 离心率的最小值是：13．故答案为：13． 16.【答案】解：(1)依题意，{a 1+2d =8a 1+5d =17, ∴{a 1=2d =3； (2)由(1)得：a n =a 1+(n −1)d =3n −1，∴b n =3n −1+2n−1，=n(2+3n−1)2+1−2n1−2=n(3n+1)2+2n −1=3n 2+n−22+2n ．【解析】本题考查了等差数列的通项公式、等差数列的求和、等比数列的求和及分组转化求和法，是中档题．(1)由等差数列得出a 1和d ；(2)由(1)得：a n =a 1+(n −1)d =3n −1， b n =3n −1+2n−1，分组转化求和法即可．17.【答案】解：(1)因为a ⇀//b ⇀，所以设a ⇀=tb ⇀，即(3,−1,4)=t(−9,3，5−x)=(−9t ，3t ，5t −xt)，所以−9t =3，3t =−1，5t −xt =4，解得t =−13,x =17；(2)因为a ⇀⊥b ⇀，所以a ⇀·b ⇀=−9×3−1×3+4(5−x)=0，解得−52．【解析】本题考查空间向量平行和垂直的条件，属于基础题．(1)由向量共线基本定理，设a ⇀=tb ⇀，利用坐标相等，解出x 的值；(2)由向量垂直的坐标表示，利用数量积的坐标运算，列式求解．18.【答案】(1)证明：取BC 中点H ，连结OH ，则OH//BD ，又四边形ABCD 为正方形，∴AC ⊥BD ，∴OH ⊥AC ，∴以O 为原点，建立如图所示的直角坐标系，则A(3,0，0)，E(0,−4,√3)，C(−1,0，0)，D(1,−2,0)，F(0,0，√3)，B(1,2，0)，BC⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,−2,0)，CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0，√3)，BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,−2,√3)，设平面BCF 的法向量为n⃗ =(x,y ，z)，则{n ⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2x −2y =0n⃗ ⋅CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =x +√3z =0，取z =1，得n ⃗ =(−√3,√3,1)，又AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3,−4,√3)，∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =3√3−4√3+√3=0，∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥n ⃗ ，又AE ⊄平面BCF ，∴AE//平面BCF ．(2)证明：AF⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3,0,√3)， CF⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =−3+3=0， CF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =−3+3=0，∴CF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，即CF ⊥AF ，CF ⊥AE ，又AE ∩AF =A ，AE 、AF ⊂平面AEF ，∴CF ⊥平面AEF ．(3)解：∵FO ⊥平面ABCD ，OH ⊂平面ABCD ，∴FO ⊥OH ，又OH ⊥AC ，FO ∩AC =O ，FO ，AC ⊂平面ACF ，∴OH ⊥平面ACF ，∴OH⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,0)是平面ACF 的法向量，平面BCF 的法向量为n ⃗ =(−√3,√3,1)，设二面角A −CF −B 的平面角为θ，∴|cosθ|=|OH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||OH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=√3√7=√217．由图可知二面角A −CF −B 的平面角θ为锐角，∴二面角A −CF −B 余弦值为√217．【解析】本题考查线面平行、线面垂直的证明，考查二面角的平面角的余弦值的求法，是中档题．(1)取BC 中点H ，连结OH ，则OH//BD ，由正方形性质得AC ⊥BD ，从而OH ⊥AC ，以O 为原点，建立直角坐标系，利用向量法能证明AE//平面BCF ．(2)求出CF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，CF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，从而CF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，由此能证明CF ⊥平面AEF ． (3)求出平面ACF 的法向量和平面BCF 的法向量，由此利用向量法能求出二面角A −CF −B 余弦值的大小．19.【答案】解：(1)由椭圆的离心率e =c a =√33，则a =√3c ，由|PF|的最小值为√3−1，即a −c =√3−1，解得a =√3，c =1，b 2=a 2−c 2=2，∴椭圆的标准方程：x 23+y 22=1；(2)证明：由y =m(x −1)，可知直线恒过点(1,0)，代入椭圆方程左边得点(1,0)在椭圆内，∴对于m ∈R ，直线l 与椭圆C 总有两个不同的交点；(3)设A 、B 的坐标分别为(x 1,y 1)、(x 2,y 2)，由{x 23+y 22=1mx −y −m =0, ⇒(3m 2+2)x 2−6m 2x +3m 2−6=0，易得△>0，所以x 1+x 2=6m 23m 2+2，x 1⋅x 2=3m 2−63m 2+2，y 1y 2=m(x 1−1)⋅m(x 2−1)=m 2[x 1x 2−(x 1+x 2)+1]=−4m 23m 2+2，假设存在实数m ，则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则x 1x 2+y 1y 2=0，可得m 2=−6，所以不存在．【解析】本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，韦达定理及向量数量积的坐标运算，考查计算能力，属于较难题．(1)由椭圆的离心率公式，求得a =√3c ，又a −c =√3−1，即可求得a 和c 的值，则b 2=a 2−c 2=2，即可求得椭圆的标准方程；(2)求得直线恒过定点，该定点在椭圆内，则直线l 与椭圆C 总有两个不同的交点；(3)由韦达定理及向量数量积的坐标运算，解得：m 2=−6，故不存在这样的实数，使得以线段AB 为直径的圆过坐标原点．20.【答案】解：(1)由题意得b n =2q n−1，由a n+1−a n =qb n+1−qb n (n ∈N ∗)，可得当n ≥2时，a n =(a n −a n−1)+(a n−1−a n−2)+⋯+(a 2−a 1)+a 1=(qb n −qb n−1)+(qb n−1−qb n−2)+⋯+(qb 2−qb 1)+a 1=qb n −qb 1+a 1=2q n +q ．当n =1时，2q +q =3q =a 1，因此a n =2q n +q ．(2)由题意得b n =2(12)n−1=42n ，S n =2(1−12n )1−12=4(1−12n )，由S n −m S n+1−m =1b m +1得4(1−12n)−m 4(1−12n+1)−m =142m +1化简得(4−m)2n =4+2m−1(∗)，由4+2m−1>0得4−m >0:因为m ∈N ∗，所以m =1，2，3，当m =1时，由(∗)式得3×2n =5，无正整数解；当m =2时，由(∗)式得2×2n =6，无正整数解；当m =3时，由(∗)式得2n =8，所以n =3．综上可知，满足条件的正整数m =n =3．(3)∵a 1=3q <0，且对任意n ∈N ∗，都有a 1a n ∈(16,6)， ∴a n <0，∴a 2=2q 2+q <0⇒q ∈(−12,0)．当q ∈(−12,0)时，a 2n+2−a 2n =2q 2n (q 2−1)<0，a 2n+1−a 2n−1=2q 2n−1(q 2−1)>0，又a 2n =2|q|2n +q >q ，a 2n−1=−2|q|2n−1+q <q ，所以{a n }的最大项为a 2，最小项为a 1，由a n <0知a m a n 最大值为a 1a 2，最小值为a 2a 1，因此a 1a 2<6，a 2a 1>16，即32q+1<6，2q+13>16⇒−14<q <0，故实数q 的取值范围为(−14,0)．【解析】本题考查了数列的函数特征、数列的递推关系和等比数列的综合应用，是难题．(1)由题意得b n =2q n−1，当n ≥2时，a n =(a n −a n−1)+(a n−1−a n−2)+⋯+(a 2−a 1)+a 1，即可得出数列{a n } 的通项公式；(2)由S n −mS n+1−m =1b m +1得(4−m)2n =4+2m−1，逐一验证即可得出结果；(3)先得出q ∈(−12,0)，又a 2n =2|q|2n +q >q ，a 2n−1=−2|q|2n−1+q <q ，所以{a n }的最大项为a 2，最小项为a 1，因此a 1a 2<6，a 2a 1>16，解得−14<q <0，即可得出实数q 的取值范围．。

北京市东城区2019-2020学年高二上学期期末考试文科数学试卷Word版含解析 (2)

北京市东城区2019-2020学年上学期期末考试高二文科数学试卷一、选择题：（共大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．直线x ﹣y+1=0的倾斜角为（） A ．﹣45° B ．﹣30° C ．45°D ．135°2．用一个平面去截一个几何体，得到的截面不可能是圆的几何体是（） A ．圆锥B ．圆柱C ．球D ．三棱锥3．命题“∃x 0∈R ，使得x 2﹣2x ﹣3＜0成立”的否定形式是（） A ．∃x 0∈R ，使得x 2﹣2x ﹣3＞0成立B ．∃x 0∈R ，使得x 2﹣2x ﹣3≥0成立C ．∀x ∈R ，x 2﹣2x ﹣3＜0恒成立D ．∀x ∈R ，x 2﹣2x ﹣3≥0恒成立4．已知三条不同的直线a ，b ，c ，若a ⊥b ，则“a ⊥c ”是“b ∥c ”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．圆C 1：x 2+（y ﹣1）2=1和圆C 2：x 2﹣6x+y 2﹣8y=0的位置关系为（） A ．相交B ．内切C ．外切D ．内含6．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且m ⊂α，n ⊂β，下列命题中正确的是（）A ．若α⊥β，则m ⊥nB ．若α∥β，则m ∥nC ．若m ⊥n ，则α⊥βD ．若n ⊥α，则α⊥β7．已知抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，P （x 0，y 0）是C 上一点，且，则x 0的值为（）A ．8B ．4C ．2D ．18．图中的两条曲线分别表示某理想状态下捕食者和被捕食者数量随时间的变化规律．对捕食者和被捕食者数量之间的关系描述正确的是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分．请把答案填在答题卡中相应题中横线上）9．若双曲线=1（a＞0）的一条渐近线方程为y=2x，则a= ．10．若x，y满足约束条件则z=x+2y的最小值为．11．一个几何体的三视图如图所示，那么这个几何体的表面积是．12．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AB=BC，PA=AC，E为PC上的动点，当 BE⊥PC时，的值为．13．已知O为椭圆中心，F1为椭圆的左焦点，A，B分别为椭圆的右顶点与上顶点，P为椭圆上一点，若PF1⊥F1A，PO∥AB，则该椭圆的离心率为．14．某销售代理商主要代理销售新京报、北京晨报、北京青年报三种报刊．代理商统计了过去连续100天的销售情况，数据如下：三种报刊中，日平均销售量最大的报刊是；如果每份北京晨报的销售利润分别为新京报的1.5倍，北京青年报的1.2倍，那么三种报刊日平均销售利润最大的报刊是．三、解答题（本大题共6个小题，共52分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．已知直线l过点A（2，a），B（a，﹣1），且与直线m：2x﹣y+2=0平行．（Ⅰ）求直线l的方程；（Ⅱ）过点A与l垂直的直线交直线m于点C，求线段BC的长．16．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中．（ I）求证：AC⊥BD1；（Ⅱ）是否存在直线与直线 AA1，CC1，BD1都相交？若存在，请你在图中画出两条满足条件的直线（不必说明画法及理由）；若不存在，请说明理由．17．已知圆C的圆心为点D（2，3），且与y轴相切，直线y=kx﹣1与圆C交于M，N两点．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）若DM⊥DN，求k的值．18．已知边长为2的正方形ABCD与菱形ABEF所在平面互相垂直，M为BC中点．（Ⅰ）求证：EM∥平面ADF．（Ⅱ）若∠ABE=60°，求四面体M﹣ACE的体积．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，E，F，G分别是AB，BD，PC的中点，PE⊥底面ABCD．（Ⅰ）求证：平面EFG∥平面PAD．（Ⅱ）是否存在实数λ满足PB=λAB，使得平面PBC⊥平面PAD？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，且经过点（0，1），四边形MNPQ的四个顶点都在椭圆C上，对角线MP所在直线的斜率为﹣1，且MN=MQ，PN=PQ．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）求四边形MNPQ面积的最大值．北京市东城区2019-2020学年上学期期末考试高二文科数学试卷参考答案一、选择题：（共大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．直线x﹣y+1=0的倾斜角为（）A．﹣45°B．﹣30°C．45°D．135°【考点】直线的倾斜角．【分析】把已知直线的方程变形后，找出直线的斜率，根据直线斜率与倾斜角的关系，即直线的斜率等于倾斜角的正切值，得到倾斜角的正切值，由倾斜角的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出倾斜角的度数．【解答】解：由直线x﹣y+1=0变形得：y=x+1所以该直线的斜率k=1，设直线的倾斜角为α，即tanα=1，∵α∈[0，180°），∴α=45°．故选C．2．用一个平面去截一个几何体，得到的截面不可能是圆的几何体是（）A．圆锥B．圆柱C．球D．三棱锥【考点】平面的基本性质及推论．【分析】在A中，圆锥的横截面是圆；在B中，圆柱的横截面是圆；在C中，球的横截面是圆；在D中，三棱锥的截面不可能是圆．【解答】解：在A中，圆锥的横截面是圆，故A不成立；在B中，圆柱的横截面是圆，故B不成立；在C中，球的横截面是圆，故C不成立；在D中，三棱锥的截面不可能是圆，故D成立．故选：D．3．命题“∃x∈R，使得x2﹣2x﹣3＜0成立”的否定形式是（）A．∃x0∈R，使得x2﹣2x﹣3＞0成立B．∃x∈R，使得x2﹣2x﹣3≥0成立C．∀x∈R，x2﹣2x﹣3＜0恒成立D．∀x∈R，x2﹣2x﹣3≥0恒成立【考点】命题的否定．【分析】根据特称命题的否定是全称命题进行判断即可．【解答】解：命题是特称命题，则命题的否定是全称命题，即∀x∈R，x2﹣2x﹣3≥0恒成立，故选：D4．已知三条不同的直线a，b，c，若a⊥b，则“a⊥c”是“b∥c”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据直线平行和垂直的关系结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：垂直于同一条直线的两条直线不一定平行，即当a⊥c时，b∥c不一定成立，即充分性不成立，若b∥c，则a⊥c成立，即必要性成立，则“a⊥c”是“b∥c”的必要不充分条件，故选：B5．圆C1：x2+（y﹣1）2=1和圆C2：x2﹣6x+y2﹣8y=0的位置关系为（）A．相交B．内切C．外切D．内含【考点】圆与圆的位置关系及其判定．【分析】把圆的方程化为标准形式，求出圆心和半径，根据两圆的圆心距，大于半径之差，而小于半径之和，可得两个圆关系．【解答】解：圆C1：x2+（y﹣1）2=1，表示以C1（0，1）为圆心，半径等于1的圆．圆C2：x2﹣6x+y2﹣8y=0，即（x﹣3）2+（y﹣4）2=25，表示以C2（3，4）为圆心，半径等于5的圆．∴两圆的圆心距d==3∵5﹣1＜3＜5+1，故两个圆相交．故选：A ．6．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且m ⊂α，n ⊂β，下列命题中正确的是（）A ．若α⊥β，则m ⊥nB ．若α∥β，则m ∥nC ．若m ⊥n ，则α⊥βD ．若n ⊥α，则α⊥β【考点】空间中直线与平面之间的位置关系；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】对4个命题分别进行判断，即可得出结论．【解答】解：对于A ，若α⊥β，则m 、n 位置关系不定，不正确；对于B ，若α∥β，则m ∥n 或m ，n 异面，不正确；对于C ，若m ⊥n ，则α、β位置关系不定，不正确；对于D ，根据平面与平面垂直的判定可知正确．故选D ．7．已知抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，P （x 0，y 0）是C 上一点，且，则x 0的值为（）A ．8B ．4C ．2D ．1【考点】直线与抛物线的位置关系．【分析】求出焦点坐标坐标，根据抛物线的定义可知该点到准线的距离与其到焦点的距离相等，进而利用点到直线的距离求得x 0的值即可．【解答】解：该抛物线C ：y 2=4x 的焦点（1，0）．P （x 0，y 0）是C 上一点，且，根据抛物线定义可知x 0+1=，解得x 0=2，故选：C ．8．图中的两条曲线分别表示某理想状态下捕食者和被捕食者数量随时间的变化规律．对捕食者和被捕食者数量之间的关系描述正确的是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】由已知可得：捕食者和被捕食者数量与时间以10年为周期呈周期性变化，故捕食者和被捕食者数量之间的关系应为环状，进而得到答案．【解答】解：由已知中某理想状态下捕食者和被捕食者数量随时间的变化规律．可得捕食者和被捕食者数量与时间以10年为周期呈周期性变化，故捕食者和被捕食者数量之间的关系应为环状，故选：B二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分．请把答案填在答题卡中相应题中横线上）9．若双曲线=1（a＞0）的一条渐近线方程为y=2x，则a= 1 ．【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用双曲线的渐近线方程，得到a的值即可．【解答】解：双曲线=1（a＞0）的一条渐近线方程为y=2x，可得：，解得a=1．故答案为：1．10．若x，y满足约束条件则z=x+2y的最小值为 3 ．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，由z=x+2y，得y=，平移直线y=，由图象可知当直线经过点C时，直线y=的截距最小，此时z最小，由，得，即C（3，0）此时z=3+2×0=3．故答案为：311．一个几何体的三视图如图所示，那么这个几何体的表面积是．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；由三视图求面积、体积．【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以主视图为底面的四棱柱，代入柱体表面积公式，可得答案．【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以主视图为底面的四棱柱，底面面积为：×（1+2）×2=3，底面周长为：2+2+1+=5+，高为2，故棱柱的表面积S=3×2+（5+）×2=，故答案为：12．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AB=BC，PA=AC，E为PC上的动点，当 BE⊥PC时，的值为．【考点】点、线、面间的距离计算．【分析】取特殊值，设AB⊥BC，AB=BC=，以B为原点，BA为x轴，BC为y轴，过B作平面ABC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出当BE⊥PC时，的值为．【解答】解：取特殊值，设AB⊥BC，AB=BC=，以B 为原点，BA 为x 轴，BC 为y 轴，过B 作平面ABC 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，则B （0，0，0），P （，2，0），C （0，，0），设E （a ，b ，c ），=λ（0≤λ≤1），则，即（a ，b ﹣，c ）=λ（，0），∴，∴E （）， ∴=（），=（﹣，，0），∵BE ⊥PC ，∴ =﹣2λ+﹣（2﹣）2λ=0，解得．∴当BE ⊥PC 时，的值为．故答案为：．13．已知O 为椭圆中心，F 1为椭圆的左焦点，A ，B 分别为椭圆的右顶点与上顶点，P 为椭圆上一点，若PF 1⊥F 1A ，PO ∥AB ，则该椭圆的离心率为．【考点】椭圆的简单性质．【分析】画出图形，利用已知条件列出方程，求解即可．【解答】解：O 为椭圆中心，F 1为椭圆的左焦点，A ，B 分别为椭圆的右顶点与上顶点，P 为椭圆上一点，若PF 1⊥F 1A ，PO ∥AB ，如图：可得：， ==，可得b=c ，a=c ，所以椭圆的离心率为：．故答案为：．14．某销售代理商主要代理销售新京报、北京晨报、北京青年报三种报刊．代理商统计了过去连续100天的销售情况，数据如下：三种报刊中，日平均销售量最大的报刊是新京报；如果每份北京晨报的销售利润分别为新京报的1.5倍，北京青年报的1.2倍，那么三种报刊日平均销售利润最大的报刊是北京晨报．【考点】函数模型的选择与应用．【分析】求出三种报刊中，日平均销售量，日平均销售利润，可得结论；【解答】解：三种报刊中，日平均销售量分别为=2230；=1720， =2100∴日平均销售量最大的报刊是新京报；设每份北京晨报的销售利润为x 元，则新京报为x ，北京青年报x ，∴三种报刊日平均销售利润分别是×2300， x×1720，2100x，可得三种报刊日平均销售利润最大的报刊是北京晨报．故答案为新京报，北京晨报．三、解答题（本大题共6个小题，共52分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．已知直线l过点A（2，a），B（a，﹣1），且与直线m：2x﹣y+2=0平行．（Ⅰ）求直线l的方程；（Ⅱ）过点A与l垂直的直线交直线m于点C，求线段BC的长．【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系；直线的一般式方程与直线的垂直关系．【分析】（Ⅰ）根据题意，得，解得a=1，即可求直线l的方程；（Ⅱ）过点A与l垂直的直线方程为，与直线m：2x﹣y+2=0联立，求出C 的坐标，即可求线段BC的长．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，得，解得a=1．所以A（2，1），B（1，﹣1）．所求直线l的方程为2x﹣y﹣3=0．…（Ⅱ）过点A与l垂直的直线方程为，整理，得x+2y﹣4=0．由解得C（0，2）．．…16．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中．（ I）求证：AC⊥BD1；（Ⅱ）是否存在直线与直线 AA1，CC1，BD1都相交？若存在，请你在图中画出两条满足条件的直线（不必说明画法及理由）；若不存在，请说明理由．【考点】直线与平面垂直的性质；平面的基本性质及推论．【分析】（Ⅰ）连结BD，推导出D1D⊥AC，AC⊥BD．由此能证明AC⊥BD1．（Ⅱ）作出满足条件的直线一定在平面ACC1A1中，且过BD1的中点并与直线A1A，C1C相交．【解答】（本题满分9分）（Ⅰ）证明：如图，连结BD．∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1，∴D1D⊥平面ABCD．∵AC⊂平面ABCD，∴D1D⊥AC．∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD．∵BD∩D1D=D，∴AC⊥平面BDD1．∵BD1⊂平面BDD1，∴AC⊥BD1．…（Ⅱ）存在．答案不唯一，作出满足条件的直线一定在平面ACC1A1中，且过BD1的中点并与直线A1A，C1C相交．下面给出答案中的两种情况，其他答案只要合理就可以给满分．17．已知圆C的圆心为点D（2，3），且与y轴相切，直线y=kx﹣1与圆C交于M，N两点．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）若DM⊥DN，求k的值．【考点】圆的标准方程；直线与圆相交的性质．【分析】（Ⅰ）求出圆的半径，即可求圆C的方程；（Ⅱ）若DM⊥DN，|DM|=|DN|=r，所以△DMN为等腰直角三角形，因为r=2，则圆心D到直线y=kx﹣1的距离，即可求k的值．【解答】解：（Ⅰ）因为圆C的圆心为点D（2，3），且与y轴相切，所以圆C的半径r=2．则所求圆C的方程为（x﹣2）2+（y﹣3）2=4．…（Ⅱ）因为DM⊥DN，|DM|=|DN|=r，所以△DMN为等腰直角三角形．因为r=2，则圆心D到直线y=kx﹣1的距离．则，解得k=1或k=7．…18．已知边长为2的正方形ABCD与菱形ABEF所在平面互相垂直，M为BC中点．（Ⅰ）求证：EM∥平面ADF．（Ⅱ）若∠ABE=60°，求四面体M﹣ACE的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）方法一：取AD中点N，连结MN．MN AB．证明EM∥NF．然后过证明EM∥平面ADF．方法二：证明BC∥AD．说明BC∥平面ADF．通过证明平面BCE∥平面ADF．推出EM∥平面ADF．（Ⅱ）方法一：取AB中点P，连结PE．证明EP⊥平面ABCD，然后利用等体积法求解即可．方法二：取BE中点Q，连结AQ．说明AQ为四面体A﹣EMC的高．求出．利用等体积法求解体积即可．【解答】（本题满分9分）（Ⅰ）方法一：取AD中点N，连结MN．∵四边形ABCD是正方形，M为BC中点，∴MN AB．∵四边形ABEF是菱形，∴AB EF．∴MN EF．∴四边形MNFE是平行四边形．∴EM∥NF．∵EM⊄平面ADF，NF⊂平面ADF，∴EM∥平面ADF．…方法二：∵四边形ABCD是正方形，∴BC∥AD．∵BC⊄平面ADF，AD⊂平面ADF，∴BC∥平面ADF．∵四边形ABEF是菱形，∴BE∥AF．∵BE⊄平面ADF，AF⊂平面ADF，∴BE∥平面ADF．∵BC∥平面ADF，BE∥平面ADF，BC∩BE=B，∴平面BCE∥平面ADF．∵EM⊂平面BCE，∴EM∥平面ADF．（Ⅱ）方法一：取AB中点P，连结PE．∵在菱形ABEF中，∠ABE=60°，∴△AEB为正三角形，∴EP⊥AB．∵AB=2，∴．∵平面ABCD⊥平面ABEF，平面ABCD∩平面ABEF=AB，∴EP⊥平面ABCD，∴EP为四面体E﹣ACM的高．∴．…方法二：取BE中点Q，连结AQ．∵在菱形ABEF，∠ABE=60°，∴△AEB为正三角形，∴AQ⊥BE．∵AB=2，∴．∵四边形ABCD为正方形，∴BC⊥AB．∵平面ABCD⊥平面ABEF，∴BC⊥平面ABEF．∵AQ⊂平面ABEF，BE⊂平面ABEF，∴AQ⊥BC，BC⊥BE．∴AQ⊥平面BEC．∴AQ为四面体A﹣EMC的高．∵CB⊥EB，∴．∴．…19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，E，F，G分别是AB，BD，PC的中点，PE ⊥底面ABCD．（Ⅰ）求证：平面EFG∥平面PAD．（Ⅱ）是否存在实数λ满足PB=λAB，使得平面PBC⊥平面PAD？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．【考点】平面与平面垂直的判定；平面与平面垂直的性质．【分析】（Ⅰ）连结AC．证明GF∥PA．推出GF∥平面PAD．然后证明EF∥AD．得到EF∥平面PAD．即可证明平面EFG∥平面PAD．（Ⅱ）存在λ，，即时，平面PBC⊥平面PAD．方法一：证明PE⊥BC，PE⊥AB．得到BC⊥平面PAB．说明PA=PB．当PA⊥PB，时，PA⊥平面PBC．然后求解即可．方法二：过点P作PQ∥BC．说明PQ，AD共面，推出PE⊥BC．说明∠APB是平面PAD和平面PBC所成二面角的平面角．然后通过．即时，说明平面PBC⊥平面PAD．．【解答】（本题满分9分）（Ⅰ）证明：连结AC．∵底面ABCD是矩形，F是BD中点，∴F也是AC的中点．∵G是PC的中点，∴GF是△PAC的中位线，∴GF∥PA．∵GF⊄平面PAD，PA⊂平面PAD，∴GF∥平面PAD．∵E是AB中点，F是BD中点，∴EF是△ABD的中位线，∴EF∥AD．∵EF⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，∴EF∥平面PAD．∵GF∥平面PAD，EF∥平面PAD，EF∩FG=F，∴平面EFG∥平面PAD．…（Ⅱ）解：存在λ，，即时，平面PBC⊥平面PAD．方法一：∵PE⊥底面ABCD，BC⊂底面ABCD，AB⊂底面ABCD，∴PE⊥BC，PE⊥AB．∵底面ABCD是矩形，∴AB⊥BC．∵PE∩AB=E，∴BC⊥平面PAB．∵PA⊂平面PAB，∴PA⊥BC．∵PE⊥AB，E为AB的中点，∴PA=PB．当PA⊥PB，即时，∴PA⊥平面PBC．∵PA⊂平面PAD，∴平面PAD⊥平面PBC．此时．…方法二：过点P作PQ∥BC．∴PQ，BC共面，即PQ⊂平面PBC．∵底面ABCD是矩形，∴AD∥BC．∵PQ∥BC，∴PQ∥AD．∴PQ，AD共面，即PQ⊂平面PAD．∴平面PBC∩平面PAD=PQ．∵PE⊥底面ABCD，BC⊂底面ABCD，∴PE⊥BC．∵底面ABCD是矩形，∴AB⊥BC．∵PQ∥BC，∴PE⊥PQ，AB⊥PQ．∵PE∩AB=E，∴PQ⊥平面PAB．∵PA⊂平面PAB，PB⊂平面PAB，∴PA⊥PQ，PB⊥PQ，∴∠APB是平面PAD和平面PBC所成二面角的平面角．∵平面PAD⊥平面PBC，∴∠APB=90°．∵PE⊥AB，E为AB的中点，∴PA=PB．∴△PAB是等腰直角三角形．∴．即时，平面PBC⊥平面PAD．…20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，且经过点（0，1），四边形MNPQ的四个顶点都在椭圆C上，对角线MP所在直线的斜率为﹣1，且MN=MQ，PN=PQ．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）求四边形MNPQ面积的最大值．【考点】椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题；直线与椭圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）利用椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，且经过点（0，1），列出方程组求解a，b即可．（Ⅱ）设MP，NQ所在直线方程分别为y=﹣x+m，y=x+n，N（x1，y1），Q（x2，y2），NQ中点P（x，y）．利用直线与椭圆联立方程组，利用判别式以及韦达定理，通过两点间距离公式，求出四边形面积表达式，利用0≤n2＜4，所以0≤m2＜1．求解四边形MNPQ面积的最大值．【解答】（本题满分8分）解：（Ⅰ）根据题意得，解得．所求椭圆方程为．…（Ⅱ）因为MN=MQ，PN=PQ，所以对角线MP垂直平分线段NQ．设MP，NQ所在直线方程分别为y=﹣x+m，y=x+n，N（x1，y1），Q（x2，y2），NQ中点P（x，y）．由得4x2+6nx+3n2﹣3=0．令△=48﹣12n2＞0，得n2＜4.，．则．同理．所以．又因为，所以NQ中点．由点A在直线MP上，得n=﹣2m，所以．因为0≤n2＜4，所以0≤m2＜1．所以当m=0时，四边形MNPQ面积的最大值为3．…。

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丁地
东城区2019-2020学年度第一学期期末教学统一检测
高二数学 2020.1
本试卷共4页，满分100分。

考试时长120分钟。

第一部分（选择题共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题
目要求的一项．
（1）已知i(2i)z =+，则z 等于
（A ）1+2i （B ）12i -+ （C ）12i - （D ）12i --
（2）设抛物线2
4y x =上一点P 到y 轴的距离是2，则点P 到该抛物线焦点的距离是（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 （3）设等差数列{}n a 的前n 项和是n S ，若2466a a a ++=，则7S 等于
（A ）7 （B ）14 （C ）21 （D ）28
（4）已知双曲线22
21(0)x y a a -=>与椭圆22194
x y +=有相同的焦点，则a 等于
（A ）2 （B
（C
）（D
（5）如图，从甲地到乙地有3条路，从乙地到丁地有2条
路；从甲地到丙地有3条路，从丙地到丁地有4路．从甲地到丁地的不同路线共有（A ）12条（B ）15条（C ）18条（D ）72条
（6）在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==
，1AA =1AD 与1DB 所成角的余弦值为
（A ）1
5
（B
（C
（D
）2
B
D
（7）在四面体ABCD 中，点F 在AD 上，且2AF FD =，E 为BC 中点，则EF 等于
（A ）112
223
EF AC AB AD =+-
（B ）112
223
EF AC AB AD =-
-+ （C ）112
223EF AC AB AD =-+
（D ）112
223
EF AC AB AD =-+-
（8）已知12,F F 是椭圆C 的左、右焦点，P 是椭圆C 上的一点，若1212||,||,||PF PF F F 构
成公比为
1
2
的等比数列，则椭圆C 的离心率为（A ）
16 （B ）14 （C ）13 （D ）25
（9）设等比数列{}n a 的前n 项和是n S ，则“10a >”是“32S S >”的（）
（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（10）在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 在底面ABCD 内运动，使得
△1
ACM 的面积为1
3
，则动点M 的轨迹为（A ）椭圆的一部分（B ）双曲线的一部分（C ）一段圆弧（D ）一条线段
第二部分（非选择题共60分）
二、填空题共5小题，每小题4分，共20分．
（11）复数2
2
(56)(3)i m m m m -++-是纯虚数，则实数m = ．
（12）若双曲线2
2
21(0)y x b b
-=>经过点(3,4)，则该双曲线的渐近线方程为．
（13）在等比数列{}n a 中，1336a a =，2460a a +=，则公比q =________. （14）用0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的三位数，其中奇数的个数为．
（15）已知椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左焦点为F ，若存在过原点的直线交椭圆于,A B
两点，且AF BF ⊥，则椭圆的离心率的取值范围是．
C
三、解答题共5小题，共40分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．（16）（本小题7分）
已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，其前n 项和为n S ，12a =，314S =．数列{}n b 满足15b =，33b =，且{}n n b a -为等差数列．（Ⅰ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）求数列{}n b 的前n 项和n T ．
（17）（本小题7分）
已知向量(2,1,2)=--a ，(1,1,2)=-b
，(,2,2)x =c ．（Ⅰ）当||=c k +a b 与c 垂直，求实数x 和k 的值；（Ⅱ）若向量c 与向量a ，b 共面，求实数x 的值．
（18）（本小题9分）
如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD AB =，点,,E F G 分别为,,PC PA BC 的中点．（Ⅰ）求证：PB EF ⊥；（Ⅱ）求证：FG ∥平面PCD ；
（Ⅲ）求平面EFG 与平面PAD 余弦值．
（19）（本小题9分）
已知椭圆222:1(3x y C a a +
=>的离心率为1
2
，过点(0,1)的直线l 与C 有两个不同的交点,A B ，线段AB 的中点为D ，O 为坐标原点，直线l 与直线OD 分别交直线4x =于点,M N ．
（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）求线段||MN 的最小值．
（20）（本小题8分）
定义：首项为1且公比为正数的等比数列为“M -数列”．
（Ⅰ）已知等比数列{}n a （*
n ∈N ）满足：234a a a =，13223a a a +=，判断数列{}n a 是
否为“M -数列”；
（Ⅱ）设m 为正整数，若存在“M -数列”{}n c （*
n ∈N ），对任意不大于m 的正整数
k ，都有1k k c k c +≤≤成立，求m 的最大值．。

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