直线的方向向量与直线的向量方程1
直线的方向向量与直线的向量方程
§3.2.1直线的方向向量与直线的向量方程一．知识梳理1．给定一个定点A 和一个向量a ，再任给一个实数，以A 为起点作向量AP →＝ta ，这时点P 的位置被完全确定．当t 在R 上变化时，点P 的轨迹是一条通过点A 且平行于向量a 的一条直线l 0.反之，在直线上任取一点P ，一定存在一个实数t ，使AP →＝ta ，向量方程AP →＝ta 通常称作_____________________ __，也表示为OP →＝OA →＋ta 及OP →＝(1－t )OA →＋tOB →2．设O 是空间任一点，M 是线段AB 的中点，则线段AB 中点的向量表示式是OM →＝ _. 3．设空间直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1，v 2，则l 1∥l 2(或l 1与l 2重合)⇔________.4．已知两个非零向量v 1，v 2与平面α共面，一条直线l 的一个方向向量为v ，则l ∥α(或l ⊂α)⇔ __________________________________________________________.5. 已知两个不共线的向量v 1，v 2与α共面，则由两平面平行的判定和性质，得α∥β或α与β重合⇔ ；6.设两条直线所成角为θ(锐角)，则直线方向向量的夹角与θ相等或互补，设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l 1⊥l 2⇔_________，cos θ＝ ；.二．典型例题[例1] （线线平行）在长方体OAEB －O1A1E1B1中，|OA|＝3，|OB|＝4，|OO1|＝2，点P 在棱AA1上，且|AP|＝2|PA1|，点S 在棱BB1上，且|SB1|＝2|BS|，点Q 、R 分别是O1B1、AE 的中点，求证：PQ ∥RS.【例2】（线面平行）如图所示，在正方体ABCD －A1B1C1D1中，M 、N 分别是C1C 、B1C1的中点．求证：MN ∥平面A 1BD .【例3】（线线成角） 如图所示，已知正四棱锥S —ABCD 侧棱长为2，底面边长为3，E 是SA 的中点，则异面直线BE 与SC 所成角的大小为______．【例4】（线线垂直问题）如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，AA 1＝4，点D 是AB 的中点．(Ⅰ)求证：AC ⊥BC 1；(Ⅱ)求证：AC 1∥平面CDB 1．§3.2.2平面的法向量与平面的向量表示一．知识梳理1．已知平面α，如果一个向量n的基线与平面α垂直，则向量n叫做_____________________________．。
教学设计4：3.2.1 直线的方向向量与直线的向量方程
3.2.1直线的方向向量与直线的向量方程教学目标 1.知识与技能(1)会求空间直线的方向向量和向量参数方程；(2)会用向量方法证明直线与直线平行、直线与平面平行、平面与平面平行； (3)会用向量运算证明两条直线垂直或求两条直线所成的角． 2．过程与方法理解、体会用向量方法解决立体几何中的平行问题及两条直线所成角的问题的思想及过程． 3．情感、态度与价值观引导学生用联系与转化的观点看问题，体验在探索问题的过程中的受挫感和成功感，培养合作意识和创新精神，同时感受数学的形式美与简洁美，从而激发学习兴趣．教学重点：用向量方法判断有关直线和平面平行关系及用向量运算求两条直线所成的角． 教学难点：空间直角坐标系的正确建立，空间向量的运算及其坐标表示；用向量语言证明立体几何中有关平行关系的问题．知识点1用向量表示直线或点在直线上的位置 问题导思1．如图，直线l ∥m ，在直线l 上取两点A 、B ，在直线m 上取两点C 、D ，向量AB →与CD →有怎样的关系？【答案】 AB →∥CD →.2．给定一个定点A 和向量a ，再任给一个实数t ，以A 为起点作向量AP →＝t a ，当t 取遍全体实数时，P 点的轨迹是什么？ 【答案】 一条直线． 1．直线的方向向量与直线平行或共线的非零向量，叫做此直线的方向向量． 2．空间直线的向量参数方程点A 为直线l 的定点，a 为直线l 的一个方向向量，点P 为直线l 上任一点，t 为一个任意实数．3．线段中点的向量表示式设点M 是线段AB 的中点，则OM →＝12(OA →＋OB →)．知识点2：用向量方法证明直线与直线平行、直线与平面平行、平面与平面平行1．设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则由向量共线的条件，得l 1∥l 2(或l 1与l 2重合)⇔ v 1∥v 2 .2．①已知两个不共线向量v 1、v 2与平面α共面，一条直线l 的一个方向向量为v ，则由共面向量定理，可得l ∥α或l 在α内⇔存在两个实数x 、y ，使v ＝x v 1＋y v 2.②如果A 、B 、C 三点不共线，则点M 在平面ABC 内的充要 条件是存在一对实数x 、y ，使向量表达式AM →＝xAB →＋yAC →成立．3．已知不共线的向量v 1和v 2与平面α共面，则由两平面平行的判定与性质，得α∥β或α与β重合⇔v 1∥β且v 2∥β .知识点3：用向量运算证明两条直线垂直或求两条直线所成的角 .设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则有l 1⊥l 2⇔v 1⊥v 2 ，cos θ＝|cos 〈v 1，v 2〉| . 例题解析例1 已知点A (2,4,0)，B (1,3,3)，如图，以AB →的方向为正向，在直线AB 上建立一条数轴，P ，Q 为轴上的两点，且分别满足条件： (1)AP ∶PB ＝1∶2； (2)AQ ∶QB ＝－2. 求点P 和点Q 的坐标.解 （1）由已知，得PB →＝2AP →， 即OB →－OP →＝2(OP →－OA →)， OP →＝23OA →＋13OB →.设点P 坐标为(x ，y ，z )，则上式换用坐标表示，得 (x ，y ，z )＝23(2,4,0)＋13(1,3,3)，（2） 因为AQ ∶QB ＝－2，所以AQ →＝－2QB →，OQ →－OA →＝－2(OB →－OQ →)， OQ →＝－OA →＋2OB →，设点Q 的坐标为(x ，y ，z )，则上式换用坐标表示， 得(x ，y ，z )＝－(2,4,0)＋2(1,3,3)＝(0,2,6)， 即x ＝0，y ＝2，z ＝6. 因此，Q 点的坐标是(0,2,6).例2 如图，已知正方体ABCD —A ′B ′C ′D ′，点M ，N 分别是面对角线A ′B 与面对角线A ′C ′的中点.求证：MN ∥侧面AD ′；MN ∥AD ′，并且MN ＝12AD ′.证明 设AB →＝a ，AD →＝b ，AA ′→＝c ， 则AM →＝12(a ＋c )，AN →＝c ＋12(a ＋b )，因此MN →＝AN →－AM →＝12(b ＋c ).因为M 不在平面AD ′内，所以MN ∥平面AD ′. 又因为b ＋c ＝AD ′→，所以MN →＝12AD ′→，因此MN ∥AD ′，MN ＝12AD ′.例3 已知正方体ABCD —A ′B ′C ′D ′中，点M 、N 分别是棱BB ′与对角线CA ′的中点. 求证：MN ⊥BB ′；MN ⊥A ′C .证明 不妨设已知正方体的棱长为1，如图， 以A 为坐标原点O 建立空间直角坐标系.由已知， 得M ⎝⎛⎭⎫1，0，12，B (1,0,0)，C (1,1,0)， A ′(0,0,1)，N ⎝⎛⎭⎫12，12，12，B ′(1,0,1)，MN →＝⎝⎛⎭⎫－12，12，0，A ′C →＝(1,1，－1)，BB ′→＝(0,0,1)， ∵MN →·A ′C →＝⎝⎛⎭⎫－12，12，0·(1,1，－1)＝0， MN →·BB ′→＝⎝⎛⎭⎫－12，12，0·(0,0,1)＝0. ∴MN ⊥A ′C ；MN ⊥BB ′.例4 已知三棱锥O —ABC (如图)，OA ＝4，OB ＝5，OC ＝3，∠AOB ＝∠BOC ＝60°， ∠COA ＝90°，M ，N 分别是棱OA ，BC 的中点. 求直线MN 与AC 所成角（精确到0.1°）.解 设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，直线MN 与AC 所成的角为θ，则 MN →＝ON →－OM →＝12(b ＋c )－12a ＝12(b ＋c －a )，AC →＝c －a .∴|MN →|2＝14(b ＋c －a )2＝14(|a |2＋|b |2＋|c |2＋2b·c －2a·b －2a·c ) ＝14(42＋52＋32＋15－20－0)＝454， |AC →|2＝(c －a )2＝|a |2＋|c |2－2a·c ＝42＋32－02＝25， MN →·AC →＝12(b ＋c －a )·(c －a )＝12(b·c ＋|c |2－a·b －2a·c ＋|a |2) ＝12⎝⎛⎭⎫152＋9－10－0＋16＝454. cos θ＝|cos 〈MN →，AC →〉| ＝|MN →·AC →|MN →||AC →||＝454454×5＝3510. ∴直线MN 与AC 所成角的余弦值为3510.课堂练习1.已知O 为坐标原点，四面体OABC 中，A (0,3,5)、B (1,2,0)、C (0,5,0)，直线AD ∥BC ，并且AD 交坐标平面xOz 于点D ，求点D 的坐标． 解 ∵O 为坐标原点，∴O (0,0,0)． ∵AD 交xOz 于D ，∴D (x,0，z )． ∵AD ∥BC ，∴AD →＝λBC →， 即：(x ，－3，z －5)＝λ(－1,3,0)． ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－λ－3＝3λz －5＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1z ＝5.∴D 点坐标为(1,0,5)．2.在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD ＝DC ，E 是PC 的中点．证明：P A ∥平面EDB .证明 建立如图所示的空间直角坐标系． 连接AC 交BD 于G ，连接EG .设DC ＝a ， 依题意得A (a,0,0)，P (0,0，a )，E (0，a 2，a2)．∵底面ABCD 是正方形， ∴G 是此正方形的中心， 故点G 的坐标为(a 2，a2，0)．∴P A →＝(a,0，－a )，E G →＝(a 2，0，－a 2)．∴P A →＝2EG →，∵A ∉EG ，∴P A ∥EG . 又∵EG ⊂平面EDB 且P A ⊄平面EDB ， ∴P A ∥平面EDB .3.如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是B 1C 1，C 1D 1的中点， 且AA 1＝2，AB ＝AD ＝1. (1)求证：EF ⊥A 1C ；(2)求直线A 1C 1与DF 所成角的余弦值．解 建立如图所示空间直角坐标系．∴A (1,0,0)，D 1(0,0,2)，C (0,1,0)，A 1(1,0,2)，F ⎝⎛⎭⎫0，12，2， E ⎝⎛⎭⎫12，1，2，C 1(0,1,2)． (1)EF →＝⎝⎛⎭⎫－12，－12，0，A 1C →＝(－1,1，－2)， ∴EF →·A 1C →＝0. ∴EF ⊥A 1C .(2)A 1C 1→＝(－1,1,0)，DF →＝⎝⎛⎭⎫0，12，2， ∴cos 〈A 1C 1→，DF →〉＝122×4＋14＝3434， ∴异面直线A 1C 1与DF 所成角的余弦值为3434. 课堂小结1．利用向量解决立体几何问题的“三步曲”：(1)建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；(2)进行向量运算，研究点、直线、平面之间的关系(距离和夹角等)； (3)根据运算结果的几何意义来解释相关问题．2．证明线面平行问题，可以转化为线线平行，利用向量共线来证明．3．证明两直线垂直，要根据具体的立体几何环境，合理选择已知向量来表示待求的向量，然后证明其数量积为零．。
高中数学空间向量与立体几何直线的方向向量与直线的向量方程
典例导航(dǎoháng)
题型三：利用(lìyòng)向量证明线面平行
例3 如图所示，四棱锥(léngzhuī)P—ABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD， PA⊥底面ABCD，PA＝AD＝CD＝2AB＝2，M为PC中点． 求证：BM∥平面PAD.
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3.如图变，式在训多练面体(xùnAliàBn)CDEF中，四边形ABCD是正方形，EF∥AB，EF⊥FB，AB
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自主(zìzhǔ)练习
3．已知直线(zhíxiàn)l1的一个方向向量为(－7,3,4)， 直线l2的一个方向向量为(x，y,8)，且l1∥l2， 则x＝____-1_4___，y＝_____6___.
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题型一：由方向(fāngxiàng)向量判断线线关系
P
O
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走进教材(jiàocái)
2.直线(zhíxiàn)的方向向量
空间中任意一条直线l的位置可以由 l上一个定点A以及(yǐjí)一个定方向确定.
P
B
A
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走进教材(jiàocái)
与平行 3.向量(xiàngliàng)
(1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则由向量共线的条件， 得l1∥l2(或l1与l2重合)⇔v1∥v2 . (2)①已知两个(liǎnɡ ɡè)不共线向量v1、v2与平面α共面，一条直线l的 一个方向向量为v，则由共面向量定理，可得l∥α或l在α内 ⇔存在两个实数x、y，使v＝xv1＋yv2.
直线的方向向量与直线的向量方程
1．若A (1，－2，3)，B (2，5，6)在直线l 上，则直线l 的一个方向向量为( )A ．(1，－2，3)B ．(2，5，6)C ．(1，7，3)D ．(－1，－7，3)解析：∵AB ＝(1，7，3)，又与AB 平行的非零向量都可作为l 的方向向量，∴(1，7，3)＝AB 可作为l 的方向向量．答案：C2．已知a ＝(2，4，5)，b ＝(3，x ，y )分别是直线l 1，l 2的方向向量，若l 1∥l 2，则( )A ．x ＝6，y ＝15B ．x ＝3，y ＝152C ．x ＝3，y ＝15D ．x ＝6，y ＝152解析：∵l 1∥l 2，∴a ∥b .∴32＝x 4＝y 5，即x ＝6，y ＝152. 答案：D3．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为AB 、CC 1的中点，则异面直线EF 与A 1C 1所成角的大小是( )A ．45°B ．30°C ．60°D ．90° 解析：建立如图所示的直角坐标系，设正方体棱长为2，则E (0，1，2)，F (2，2，1)，A 1(0，0，0)，C 1(2，2，0)，∴EF ＝(2，1，－1)，11A C ＝(2，2，0)，∴cos 〈EF ，11A C 〉＝1111..||||EF A C EF A C ＝66·8＝32， ∴EF 与A 1C 1所成的角为30°.答案：B4.如图，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点M ，P ，Q 分别为棱AB ，CD ，BC 的中点，若平行六面体的各棱长均相等，则①A 1M ∥D 1P ；②A 1M ∥B 1Q ；③A 1M ∥平面DCC 1D 1；④A 1M ∥平面D 1PQB 1.四个结论中正确的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：∵1A M ＝1A A ＋AM ＝1A A ＋12AB ， 1D P ＝1D D ＋DP ＝1A A ＋12AB ， ∴1A M ∥1D P ，从而A 1M ∥D 1P .可得①③④正确．又B 1Q 与D 1P 不平行，故②不正确．答案：C5．若AB ＝λCD ＋u CE (λ，u ∈R)，则直线AB 与平面CDE 的位置关系是________． 解析：∵AB ＝λCD ＋u CE ，∴AB 与CD 、CE 共面，∴AB ∥平面CDE 或AB ⊂平面CDE .答案：AB ∥平面CDE 或AB ⊂平面CDE6．直线l 1的方向向量为v 1＝(1，0，－1)，直线l 2的方向向量为v 2＝(－2，0，－2)，则直线l 1与l 2的位置关系是________．解析：∵v 1·v 2＝(1，0，－1)·(－2，0，－2)＝0，∴v 1⊥v 2，∴l 1⊥l 2.答案：垂直7.在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，求证：平面A 1BD ∥平面CB 1D 1.证明：如图，分别以AB 、AD 、AA 1为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则A 1(0，0，1)，B (1，0，0)，D (0，1，0)，B 1(1，0，1)，C (1，1，0)，D1(0，1，1)，1A B ＝(1，0，－1)，1D C ＝(1，0，－1)．11B D ＝(－1，1，0)，BD ＝(－1，1，0)，∴1A B ∥1D C ，11B D ∥BD .∴A 1B ∥D 1C ，B 1D 1∥BD .又∵D 1C ⊂平面B 1D 1C ，A 1B ⊄平面B 1D 1C ，∴A 1B ∥平面B 1D 1C ，同理BD ∥平面B 1D 1C .又∵A 1B ∩BD ＝B ，∴平面A 1BD ∥平面B 1D 1C .8．如图，在四棱锥P -ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，AB ⊥BC ，AB ⊥AD ，且PA ＝AB ＝BC ＝12AD ＝1. (1)求证：PC ⊥CD ；(2)求PB 与CD 所成的角．解：建立如图所示的空间直角坐标系，∵PA ＝AB ＝BC ＝12AD ＝1， ∴P (0，0，1)，B (1，0，0)，C (1，1，0)，D (0，2，0)．∴PB ＝(1，0，－1)，CD ＝(－1，1，0)，PC ＝(1，1，－1)．(1)证明：∵PC ·CD ＝(1，1，－1)·(－1，1，0)＝0 ∴PC ⊥CD .(2)cos 〈PB ，CD 〉＝－1＋0＋02·2＝－12. ∴〈PB ，CD 〉＝120°.∴PB 与CD 所成的角为60°.。
3.2.1直线的方向向量与直线的向量方程解析
3．用向量方法证明两条直线垂直或求两条直线 所成的角
如果知道两条直线的方向向量，我们可以利 用两个方向向量是否平行(或重合)、垂直来判定 直线是否平行、垂直。 设两条直线所成的角为θ(锐角)，则直线方 向向量间的夹角与θ相等或互补。
例3．已知正方体ABCD－A’B’C’D’中，点 M、N分别是棱BB’与4．已知三棱锥O－ABC，OA=4，OB=5，
OC=3，∠AOB=∠BOC=60°,∠COA=90°, M、N分别是棱OA、BC的中点，求：直线 MN与AC所成的角的余弦值。
O c b C N B M a A
3 5 10
解：设 OA a, OB b, OC c ，
1 则 MN ON OM (b c a ) ， AC c a ， 2
谢谢
l
OP (1 t )OA t OB
即 OP OA t AB OA t (OB OA) ③ ①或②或③都叫做空间直线的向量参数方程.
P ta B
M
Aa
O
注: ⑴当t=
1 时, 1 1 OP OA OB .此时P是线段AB的中 2 2 2
点,这就是线段AB中点的向量表达式.
小结
直线的向量参数方程
(1)过点A，方向向量为a的直线l的方程为： AP ta. 对于空间任一点 O, 如图，点P在直线l上的充要条 件是OP OA ta. (2)若在直线l上取两点A, B, 使 AB a, 则直线向量 方程又可写为 OP OA t AB, 即OP (1 t )OA t OB, 如图.
x
A
例1
(2)因为AQ : QB 2, 所以 AQ 2QB, OQ OA 2(OB OQ), OQ OA 2OB, 设点Q的坐标为( x, y, z ),则上式换用坐标表示， 得 ( x, y, z ) 2(2,4,0) 2(1,3,3) (0,2,6) 即x 0, y 2, z 6 因此, 点Q的坐标是(0,2,6).
3.2.1直线的方向向量与直线的向量方程【公开课】
谢谢!
x
A
例1
(2)因为AQ : QB 2, 所以 AQ 2QB, OQ OA 2(OB OQ), OQ OA 2OB,
l z Q B P
O
x
A
y
设点Q的坐标为( x, y, z ),则上式换用坐标表示， 得 ( x, y, z ) 2(2,4,0) 2(1,3,3) (0,2,6) 即x 0, y 2, z 6 因此, 点Q的坐标是(0,2,6).
证明:因为x y 1, 所以y 1 x
即MA x MB ห้องสมุดไป่ตู้ (1 x) MC x( MB MC ) MC MA MC x( MB MC ) 即CA xCB 所以A, B, C三点共线
跟踪练习2
OA 2OB 3OC, 则A, B, C三点是否共线？
点,这就是线段AB中点的向量表达式. ⑵ ③中
OP 、 OA 、 OB有共同的起点.
⑶ ③中OA 、 OB的系数之和为1.
• 思考探究： • 观察到空间直线向量参数方程中的系数满 足（1－t）＋t＝ 1, 这与点A , P , B三点共 线有关系吗？ • （1）若令t＝0或1， 则点P在直线AB的什 么位置？ • （2）若令t＝或2， 则点P在直线AB的什么 位置？ • （3）若令t＝或3， 则点P在直线AB的什么 位置？ • （4）若令t＝－1， 则点P在直线AB的什 么位置？
3.2 空间向量在立体几 何中的应用
已知向量a，在空间固定一个基
点，再作向量 OA a ，则点A在空间 的位置就被向量a所惟一确定了，这
时，我们称这个向量为位置向量。
3.2.1直线的方向向量与直线的向量方程
3.2.1 直线的方向向量与直线的向量方程
3．2 空间向量在立体几何中的应用3．2.1 直线的方向向量与直线的向量方程学习 目 标核 心 素 养1.理解直线的方向向量，了解直线的向量方程．(重点)2.会用向量方法证明线线、线面、面面平行．(难点、易混点)3.会用向量证明两条直线垂直，求两条直线所成的角．(难点)1.通过学习直线的方向向量及方向方程等概念，培养学生的数学抽象素养.2.利用向量法证明两直线垂直，求两直线所成的角，提升学生的逻辑推理素养.1．用向量表示直线或点在直线上的位置(1)在直线l 上给定一个定点A 和它的一个方向向量a ，对于直线l 上的任意一点P ，则有AP →＝ta 或OP →＝ 或OP →＝ AB →＝a )，上面三个向量等式都叫做空间直线的 ．向量a 称为该直线的方向向量．(2)线段AB 的中点M 的向量表达式OM →＝12．2．用向量方法证明直线与直线平行、直线与平面平行、平面与平面平行 (1)设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则由向量共线的条件，得l 1∥l 2或l 1与l 2重合⇔ .(2)已知两个不共线向量v 1，v 2与平面α共面，一条直线l 的一个方向向量为v ，则由共面向量定理，可得l ∥α或l 在α内⇔存在两个实数x ，y ，使v ＝ .(3)已知两个不共线向量v 1，v 2与平面α共面，则由两平面平行的判定与性质，得α∥β或α与β重合⇔ .3．用向量运算证明两条直线垂直或求两条直线所成的角设两条直线所成的角为θ，v 1和v 2分别是l 1和l 2的方向向量，则l 1⊥l 2⇔2，cos θ＝||.1．直线l 1，l 2的方向向量分别为v 1＝(3,0,1)，v 2＝(－1,0，m )，若l 1∥l 2，则m 等于( )A ．1B ．3 C.13D ．－132．若A (1,0，－1)，B (2,1,2)在直线l 上，则直线l 的一个方向向量是( ) A ．(2,2,6) B ．(1,1,3) C ．(3，l,1)D ．(－3,0,1)3．直线l 1与l 2不重合，直线l 1的方向向量为v 1＝(－1,1,2)，直线l 2的方向向量v 2＝(2,0,1)，则直线l 1与l 2的位置关系是________．空间中点的位置确定C (0,3,5)．(1)若OP →＝12(AB →－AC →)，求P 点的坐标；(2)若P 是线段AB 上的一点，且AP ∶PB ＝1∶2，求P 点的坐标．[思路探究] (1)由条件先求出AB →，AC →的坐标，再利用向量的运算求P 点的坐标．(2)先把条件AP ∶PB ＝1∶2转化为向量关系，再运算． [解] (1)AB →＝(－1,1,5)，AC →＝(－3，－1,5)． OP →＝12(AB →－AC →)＝12(2,2,0)＝(1,1,0)．∴P 点的坐标为(1,1,0)．(2)由P 是线段AB 上的一点，且AP ∶PB ＝1∶2，知AP →＝12PB →.设点P 的坐标为(x ，y ，z )，则AP →＝(x －3，y －4，z )，PB →＝(2－x,5－y,5－z )， 故(x －3，y －4，z )＝12(2－x,5－y,5－z )，即⎩⎪⎨⎪⎧ x －3＝12(2－x )y －4＝12(5－y )，z ＝12(5－z )得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝83y ＝133.z ＝53因此P 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫83，133，53.此类问题常转化为向量的共线、向量的相等解决，设出要求点的坐标，利用已知条件得关于要求点坐标的方程或方程组求解即可.1．已知点A (2,4,0)，B (1,3,3)，如图，以AB →的方向为正向，在直线AB 上建立一条数轴，P ，Q 为轴上的两点，且分别满足条件：(1)AP ∶PB ＝1∶2； (2)AQ ∶QB ＝2∶1. 求点P 和点Q 的坐标．利用向量法求异面直线的夹角【例2】(1)直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成角的余弦值为()A.110 B.25 C.3010 D.22(2)如图所示，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M在线段PQ上，E，F分别为AB，BC的中点，设异面直线EM与AF所成的角为θ，则cos θ的最大值为________．[思路探究](1)建立空间直角坐标系，表示出BM→，AN→的坐标，利用向量法求解；(2)以A为原点，建立空间直角坐标系，设出正方形的边长，表示出向量AF→，EM→的坐标，建立函数关系式讨论最值．(1)C(2)25[(1)以C1为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设BC＝CA＝CC1＝2，则A(2,0,2)，N(1,0,0)，M(1,1,0)，B(0,2,2)，∴AN→＝(－1,0，－2)，BM→＝(1，－1，－2)，∴cos〈AN→，BM→〉＝AN→·BM→|AN→||BM→|＝－1＋45×6＝330＝3010.(2)以AB，AD，AQ所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，设正方形边长为2，M(0，y,2)(0≤y≤2)，则A(0,0,0)，E(1,0,0)，F (2，1,0)，∴EM →＝(－1，y,2)，|EM →|＝y 2＋5，AF →＝(2,1,0)，|AF →|＝5，∴cos θ＝|EM →·AF →||EM →||AF →|＝|y －2|5·y 2＋5＝2－y 5·y 2＋5.令t ＝2－y ，要使cos θ最大，显然0<t ≤2. ∴cos θ＝15×t 9－4t ＋t 2＝15×1⎝ ⎛⎭⎪⎫3t －232＋59≤15×1⎝ ⎛⎭⎪⎫32－232＋59＝15×25＝25. 当且仅当t ＝2，即点M 与点Q 重合时，cos θ取得最大值25.]利用向量求异面直线所成角的步骤 (1)确定空间两条直线的方向向量； (2)求两个向量夹角的余弦值；(3)确定线线角与向量夹角的关系：当向量夹角为锐角时，即为两直线的夹角；当向量夹角为钝角时，两直线的夹角为向量夹角的补角.提醒：两异面直线夹角范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2，时刻注意两异面直线夹角的范围是解题的关键.2．如图所示，已知正四棱锥P -ABCD 底面边长为a ，高PO 的长也为a ，E ，F 分别是PD ，PA 的中点，求异面直线AE 与BF 所成角的余弦值．利用空间向量处理平行问题1．直线的方向向量在确定直线时起到什么作用？ [提示] (1)非零性：直线的方向向量是非零向量．(2)不唯一性：直线l 的方向向量有无数多个，可以分为方向相同和相反两类，它们都是共线向量.(3)给定空间中的任一点A 和非零向量a ，就可以确定唯一一条过点A 且平行于向量a 的直线．2．两条平行直线的方向向量有什么关系？[提示] 设直线l ，m 的方向向量分别为a ，b ，则l ∥m ⇔a ∥b ⇔a ＝λb . 【例3】 (1)已知直线l ∥平面ABC ，且l 的一个方向向量为a ＝(2，m,1)，A (0,0,1)，B (1,0,0)，C (0,1,0)，则实数m 的值是________．(2)如图所示，已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E ，F 分别是BB 1，DD 1的中点，求证：FC 1∥平面ADE .(1)－3 [AB →＝(1,0，－1)，AC →＝(0,1，－1)．因为l ∥平面ABC ，所以存在实数λ，μ，使a ＝λAB →＋μAC →， 即(2，m,1)＝λ(1,0，－1)＋μ(0,1，－1)． ∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝2，m ＝μ，－λ－μ＝1，解得m ＝－3.](2)[证明] 如图所示，建立空间直角坐标系Dxyz ，则有D (0，0,0)，A (2,0,0)，C (0,2,0)，C 1(0,2,2)，E (2,2,1)，F (0,0,1)．所以FC 1→＝(0,2,1)，DA →＝(2,0,0)，AE →＝(0,2,1)， 因为DA ⊂平面ADE ， AE ⊂平面ADE ，且(0,2,1)＝0×(2,0,0)＋1×(0,2,1)， 即FC 1→＝0×DA →＋1×AE →，所以有FC 1⊂平面ADE 或FC 1∥平面ADE ， 又因为FC 1⊄平面ADE ， 所以FC 1∥平面ADE .1．(改变问法)本例3中若G ，H 分别为AD ，B 1C 1的中点．试求证EG ∥FH . 2．(改变问法)本例3条件不变，改为求平面ADE ∥平面B 1C 1F .(1)证两条直线平行可转化为证明两直线的方向向量平行.(2)用向量法证明线面平行：一是证明直线的方向向量与平面内的某一向量是共线向量且直线不在平面内；二是证明直线的方向向量与平面内的两个不共线向量是共面向量且直线不在平面内.(3)利用向量证明面面平行，可转化为证明线面平行.提醒：利用直线的方向向量证明直线与直线平行、直线与平面平行时，要注意向量所在的直线与所证直线或平面无公共点.1．思考辨析(1)直线l 的方向向量是唯一的．( )(2)若两条直线平行，则它们的方向向量的方向相同或相反．( ) (3)若向量a 是直线l 的一个方向向量，则向量ka 也是直线l 的一个方向向量．( )2．若A (－1,0,1)，B (1,4,7)在直线l 上，则直线l 的一个方向向量为 ( ) A ．(1,2,3) B ．(1,3,2) C ．(2,1,3)D ．(3,2,1) 3．若异面直线l 1，l 2的方向向量分别是a ＝(0，－2，－1)，b ＝(2,0,4)，则异面直线l 1与l 2的夹角的余弦值等于( )A ．－25B.25 C ．－255D.2554．若AB →＝aCD →＋bCE →(a ，b 为实数)，则直线AB 与平面CDE 的位置关系为________．。
3.2.1直线的方向向量与直线向量方程
能力训练
2.已知两点 A , 点 Q 在 OP （， 1 2， 3 ）,（ B 2， 1， 2 ）,（， P 1 1， 2 ） 上运动,求当 QA QB 取得最小值时,点 Q 的坐标.
解:设 OQ OP ( ) ∴ QA QB 6 16 , ∴当 时, QA QB 取得最小值, 4 4 8 此时 Q( , , ) 3 3 3
O
x
设点P坐标为(x, y,z),则上式换用坐标表示 ,得 2 1 y A (x, y,z) (2,4,0) (1,3,3), 3 3
5 11 所以, x ,y , z 1 3 3 5 11 因此, 点P的坐标是 ( , ,1 ) 3 3
2 1 OP OA OB. 3 3
例1
3.2.1直线的方向向量与直线的向量方程
基础知识
2.直线的向量方程:
定点A，向量
a ，t R, P , a //
则： AP ta
为直线 的参数方 程，其中t为参数 称为直线的方向向量
a
A
O
P
a
OP OA ta, t R
基础知识
2.直线的向量方程:
P
① AP ta, t R ② OP OA ta, t R
5.A，B，C，三点不共线，四点A，B，C，M 共面的充要条件是：
AM xAB y AC,( x, y R)
图示：
M
C A B
基础知识
6.用向量方法证明平面与平面平行:
两个不共线向量 v1 , v2 与平面 共面
// 或与 重合 v1 // 且v2 //
v1
(2)因为AQ : QB 2, 所以 AQ 2QB,
直线的方向向量与直线的向量方程
1 (2)MN∥AD1 ,并且 MN AD1 . 2 D1
C1
C
例9. 在正方体 ABCD A1B1C1D1中，E, F分别是面对角线 BA1和AC的前三等分点. 求证： EF∥侧面A1B1CD.
EF EB BA AF
D1 B1
C1
D
F
E
C B
课堂小结
一、基础知识
（一）用向量表示直线或点在直线上的位置
1. 空间直线的向量参数方程（用向量表示直线）： AP ta OP OA ta OP (1 t )OA tOB 2. 用向量表示点在直线上的位置： OP (1 t )OA tOB
l1⊥l2 v1 ⊥ v2
l2
v2
v1 l1
三、用向量运算求两条直线所成的角
思考：
两条直线所成的角与这两条直线的方向
向量的夹角之间有什么关系？
l2 l2
v2
v1 l1
v2
v1 l1
三、用向量运算求两条直线所成的角
设两条直线所成的角为θ ，则它们的 方向向量的夹角与θ 相等或互补.
设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2 ，则
B(1,1, 0), C (0,1,0), B1 (1,1,1), 1 1 1 1 A1 A1 (1,0,1), M (1,1, ), N ( , , ), 2 2 2 2 BB1 (0,0,1), AC (1,1, 1), 1 1 1 MN ( , , 0), D 2 2 1 1 MN BB1 0 ( ) 0 0 1 0 2 2 A 1 1 MN A1C (1) ( ) 1 0 (1) 0 2 2 MN BB1; MN AC 1 .
人教版数学选修21第三章直线的方向向量与直线的向量方程讲义
案例（二）——精析精练课堂合作探究重点难点突破知识点一 空间直线的向量参数方程给定一个定点A 和一个向量a ，再任给一个实数t ，以A 为起点作向量ta AP =①，如下左图，这时点P 的位置被完全确定，向量方程①通常称作直线l 以t 为参数的参数方程，向量a 称为该直线的方向向量。
如上右图，ta OA AP OA OP +=+=②，若在直线l 上取a AB =，则②式可化为()()OB t OA t OA OB t OA AB t OA OP +-=-+=+=1③，①或②或③都叫做空间直线的向量参数方程。
②和③的推导依据的是向量加法的三角形法则。
知识点二 用向量方法证明平行关系。
（1）设直线1l 和2l 的方向向量分别为1v 和2v ，则由向量共线的条件，得21//l l （或1l 与2l 重合）21//v v ⇔。
（2）已知两个非零向量，1v ，2v 平面α共面，一条直线l 的一个方向向量为v ，则由共面向量定理，可得α//l 或⇔⊂αl 存在两个实数y x ,，使21yv xv v +=。
（3）如果C B A ,,三点不共线，则点M 在平面ABC 内的充分必要条件是：存在一对实数y x ,，使向量表达式y x +=成立。
（4）已知两个不共线的向量21,v v 与平面α共面，则由两平面平行的判定与性质，得βα//或α与β重合β//1v ⇔且β//2v 。
知识点三 用向量运算求证两条直线垂直或求两条直线所成的角（1）两直线垂直的条件如果我们知道两条直线的方向向量，我们就可以利用两个方向向量是否垂直来判定两直线是否垂直，如下左图，设直线1l 、2l 的方向向量分别为1v 、2v ，则有2121v v l l ⊥⇔⊥。
由上述条件，证明空间两条直线21l l ⊥可转化为证明两条直线的方向向量垂直，即证明021=⋅v v 。
（2）两条直线所成的角设空间两条直线所成的角为θ，当两直线平行时︒=0θ，当两直线垂直时︒=90θ，既不平行也不垂直的两直线所成的角()︒︒∈90,0θ，所以空间两直线所成的角[]︒︒∈90,0θ。
2019-2020学年高中数学人教B版选修2-1课件： 3.2.1 直线的方向向量与直线的向量方程
值是
.
2.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E,F分别是
BB1,DD1的中点,求证:FC1∥平面ADE.
世纪金榜导
学号
【解题探究】1.典例1中如何用向量表示直线l∥平面
ABC?
提示:a=
uuur xAB
uuur yAC.
2.典例2中要利用向量证明FC1∥平面ADE,第一步应做 什么? 提示:要利用向量证明FC1∥平面ADE1第一步是建立空间 直线坐标系.
4.用向量运算证明两条直线垂直或求两条直线所成的
角:设两条直线所成的角为θ,ν1和ν2分别是l1和l2的 方向向量,则l1⊥l2⇔ν__1_⊥__ν_2_,cos θ=|_c_o_s_<_ν__1_,_ν__2_>_|_.
【思考】 判断: (1)直线l的方向向量是唯一的. ( ) (2)若两条直线平行,则它们的方向向量的方向相同或 相反.( ) (3)若向量a是直线l的一个方向向量,则向量ka也是直 线l的一个方向向量. ( )
线线平行 线面平行
设 l1∥直l2线或ll11和与ll22的重方合向⇔向_v_1量_∥_分_v_2别为v1,v2,则
不共线向量v1,v2与平面α共面,v是一条 直线l的一个方向向量,则l∥α或l在α内 ⇔_存__在__两__个__实__数__x_,_y_使__v_=_x_v_1+_y_v_2_
面面平行 不 或α共与线β向重量v合1,⇔v2_v与_1∥_平_β_面_且_α_v_共2_∥_面_β_,_则α∥β
(0,0, 2),
3
故在线段DD1上存在一点G,使CG∥EF,点G是DD1上靠近
点D1的三等分点.
【延伸探究】 若将典例1中v2改为v2=(1,0,1),则直线l1和l2的位置关 系是什么?
课件6：3.2.1直线的方向向量与直线的向量方程
一、复习引入
立体几何的基本要素是空间内的点、线、面、 体，我们利用空间向量来研究立体几何，关键是先 要学会利用向量来表示空间内的点与直线.进而利 用空间向量研究空间的点、线、面的位置关系.
二、提出问题 如何确定空间中的点的位置？ 确定平面内点的位置，通常采用两个方法——“平面 直角坐标系内的坐标(x,y)”或“该点相对于某一已知 点的方向及距离”.那么，空间内呢？
l1 / /l2或l1与l2重合 1 / / 2
也可写成
l1 / /l2或l1与l2重合 1 2
三、概念形成
概念3.用向量证明直线与直线平行、直线与平面平行， 平面与平面平行
2.用向量的方法证明线面平行
设两个不共线向量
1和
与平面
2
共面，直线
l
的一个方
向向量为 ，则
l1 / /或l x, y R, 使 x1 y 2
＝42＋32－02＝25，
M→N·A→C＝12(b＋c－a)·(c－a) ＝12(b·c＋|c|2－a·b－2a·c＋|a|2)
＝12125＋9－10－0＋16＝445.
cos θ＝|cos〈M→N，A→C〉| ＝||MM→→NN|·|AA→→CC||
45
＝
4 45
＝3105.
4 ×5
∴直线 MN 与 AC 所成角的余弦值为3105.
五、课堂练习 课本第101页，练习A，1，2，3
六、课堂总结 1.用向量表示空间直线或点在直线上的位置；
2.用空间向量证明空间的平行关系； 3.用空间向量证明空间的垂直关系及异面直线所称的角；
4.思想方法：用向量计算或证明几何问题时，可以先建 立直角坐标系，然后把向量、点坐标化，借助向量的直 角坐标运算法则进行计算或证明.
直线的方向向量与直线的向量方程
方向向量与向量方程的关系：方向向量是向量方程的基础向量方程是方向向量的具体应用
向量方程的求解：通过方向向量和起点坐标可以求解向量方程得到直线上任意一点的坐标
物理：描述物体的运动状态和轨迹
工程：计算物体的位移、速度和加速度
计算机图形学：描述物体的位置和方向
机器人技术：控制机器人的运动和姿态
方向向量：直观、易于理解但需要确定原点和方向
向量方程：形式简洁、通用性强但需要理解向量运算和线性代数
方向向量：适用于几何图形的表示和计算但难以处理复杂的空间问题
向量方程：适用于复杂的空间问题但难以直观理解几何图形的表示和计算
研究方向：向量方程在几何、代数、物理等领域的应用
技术发展：向量方程在计算机图形学、虚拟现实等领域的应用
教育领域：向量方程在数学教育、工程教育等领域的应用
汇报人：
,
01
02
03
04
直线的方向向量：表示直线方向的向量
方向向量的性质：方向向量的长度和方向决定了直线的方向
方向向量的表示：可以用向量的坐标表示
方向向量的应用：在几何、物理、工程等领域都有广泛应用
添加标题
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添加标题
添加标题
方向向量的长度表示直线的长度
方向向量表示直线的方向
向量方程的解是直线上任意一点的方向向量
向量方程的建立：根据已知条件建立直线的向量方程
向量方程的求解：利用向量的线性运算求解向量方程
向量方程的验证：验证求解结果是否满足已知条件
向量方程的应用：将求解结果应用于实际问题如求解直线的斜率、截距等
方向向量：表示直线的方向和长度
向量方程：表示直线上任意一点的坐标与直线的方向向量和起点坐标的关系
3.2.1直线的方向向量与直线的向量方程
3.2.1直线的方向向量与直线的向量方程【预习目标】1、知道空间直线的方向向量和向量的参数方程。
2、会用向量方法证明直线与直线平行、直线与平面平行、平面与平面平行。
3、会用向量运算证明两条直线垂直或求两条直线所成的角。
一、【自主探究】1.给定一个定点A 和一个向量a ，再任给一个实数t ，以A 为起点作向量AP =t a，这时点P 的位置被完全确定，此时点P 的轨迹为过点A 且与a 平行的直线，故AP = t a，称为直线的_______ ，对于空间任一点O ，直线参数方程还可写为OP OA ta =+或1.OP t OA tOB =-+（）2.M 为线段AB 的中点，则____________________。
3、直线与直线平行的条件：设直线12,l l 的方向向量分别为12,v v ，则由向量的共线条件，可得12//l l 或1l 与2l 重合⇔_______________.4、直线与平面平行的条件：（1）已知两个不共线的向量12,v v 与平面α共面，一条直线l 的一个方向向量为v ，则由共面向量的定理，可得//l α或l在平面α内⇔_________________________________.（2）如果,,A B C 三点不共线，则点M 在平面ABC内⇔________________________. 5、平面与平面平行的条件：已知两个不共线的向量12,v v 与平面α共面，则由两平面平行的判定与性质得，//αβ或α与β重合⇔_______________.6、两直线垂直的条件：设直线12,l l 的方向向量分别为12,v v ，则有12l l ⊥⇔_____________⇔____________.7、两条直线所成的角： 设直线12,l l 的方向向量分别为12,v v ，则有12cos cos ,v v θ=<>=______________.二、【课前检测】1.直线1l 的方向向量(2)a x =，4，，2l 的方向向量为(2)b y =，，2若||6a =，且a b ⊥，则x y +=（ ）A.—3或1B.3或—1C.—3D.12.若直线1l 、2l 的方向向量分别为(1)(2)a b ==-，2，-2，，3，2，则（ ） A.1l ∥2l B.12l l ⊥ C. 1l 、2l 相交但不垂直 D.不能确定3.长方体1111ABCD A BC D -中，113AB BC AA ===，，则异面直线AC 与1BC 所成角的余弦值为______________。
直线的方向向量空间直线的向量参数方程
直线的方向向量、空间直线的向量参数方程1、直线的方向向量：空间中任意一条直线l的位置可以由l上一个定点A以及一个定方向确定．直线l上的向量以及与共线的向量叫做直线l的方向向量．注意：①一条直线l有无穷多个方向向量，这些方向向量之间互相平行．②直线l的方向向量也是所有与l平行的直线的方向向量．2、方向向量的求法：可根据直线l上的任意两点的坐标写出直线l的一个方向向量．3、平面的法向量：由于垂直于同一平面的直线是互相平行的，所以，可以用垂直于平面的直线的方向向量来刻画平面的“方向”．如果表示向量的有向线段所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面，记作⊥α，如果⊥α，那么向量叫做平面α的法向量．注意：①法向量一定是非零向量；②一个平面α有无穷多个法向量，这些法向量之间互相平行；③向量是平面的法向量，向量是与平面平行或在平面内，则有•＝0．④一个平面α的法向量也是所有与平面α平行的平面的法向量．4、法向量的求法：（1）设：设出平面法向量的坐标为＝（u，v，w）；（2）列：根据＝0，＝0，列出方程组；（3）解：把u（或v或w）看作常数，用u（或v或w）表示另外两个量（4）取：取u为任意一个数（当然取得越特殊越好），则得到平面法向量的坐标．1、空间直线的点向式方程或标准方程：设直线L过点M0（x0，y0，z0），＝（m，n，p）是直线L的方向向量．设M（x，y，z）是直线L上任意一点，则＝（x﹣x0，y﹣y0，z﹣z0），且∥．由两向量平行的充要条件可知改方程组称为直线的点向式方程或标准方程（当m、n、p中有一个或两个为零时，就理解为相应的分子为零）．若直线L的方程为，平面π的方程为Ax+By+Cz+D＝0，则直线L与平面π平行的充要条件是mA+nB+pC＝0；直线L与平面π垂直得充要条件是2、空间直线的参数方程：在直线方程中，记其比值为t，则有（※）这样，空间直线上动点M的坐标x、y、z就都表达为变量t的函数．当t取遍所有实数值时，由所确定的点M（x，y，z）就描出来直线．形如（※）的方程称为直线的参数方程，t为参数．。
直线的向量方程-高中数学知识点讲解
直线的向量方程
1．直线的向量方程
【知识点的知识】
直线的方向向量与直线的向量方程：
→→→
（1）给定一个定点A 和一个向量푎，再任给一个实数t，以A 为起点作向量퐴푃=t푎①，这时点P 的位置被t 的值
→
完全确定．当t 在实数集R 中取遍所有值时，点P 的轨迹是通过点A 且平行于向量푎的一条直线l，反之，在l 上
→→
任取一点P，一定存在一个实数t，使向量퐴푃=t，则向量方程①通常称作直线l 以t
为参数的参数方程．푎称为该
直线的方向向量．
→（2）对空间任一确定的点O，点P 在直线l 上的充要条件是存在唯一的实数t，满足等式푂푃=
→
푂퐴
+푡푎②．如果在
→
l 上取퐴퐵=→→→→
푎，则②式可化为푂푃=(1―푡)푂퐴+푡푂퐵
③①或②或③都叫做空间直线的向量参数方程，它们都与
平面的直线向量参数方程相同．
【解题方法点拨】
1、向量法证明平行：
（1）证两条直线平行可转化为证明两直线的方向向量平行．
（2）用向量法证明线面平行：一是证明直线的方向向量与平面内的某一向量是共线向量且直线不在平面内；二是证明直线的方向向量与平面内的两个不共线向量是共面向量且直线不在平面内．
（3）利用向量证明面面平行，可转化为证明线面平行．
1/ 2
2、利用向量求异面直线所成角的步骤为：
（1）确定空间两条直线的方向向量；
（2）求两个向量夹角的余弦值；
（3）确定线线角与向量夹角的关系：当向量夹角为锐角时，即为两直线的夹角；当向量夹角为钝角时，两直线的夹角为向量夹角的补角．
2/ 2。
人教版选修21第三章直线的方向向量与直线的向量方程讲义
人教版选修21第三章直线的方向向量与直线的向量方程讲义讲堂合作探究重点难点突破知识点一 空间直线的向量参数方程给定一个定点A 和一个向量a ，再任给一个实数t ，以A 为开始作向量ta AP =①，如 下左图，这时点P 的位置被完全确定，向量方程①通常称作直线l 以t 为参数的参数方程，向量a 称为该直线的偏向向量。
如上右图，ta OA AP OA OP +=+=②，若在直线l 上取a AB =，则②式可化为()()OB t OA t OA OB t OA AB t OA OP +-=-+=+=1③，①或②或③都叫做空间直线的向量参数方程。
②和③的推导依据的是向量加法的三角形准则。
知识点二 用向量要领证明平行干系。
（1）设直线1l 和2l 的偏向向量分别为1v 和2v ，则由向量共线的条件，得21//l l （或1l 与2l 重合）21//v v ⇔。
（2）已知两个非零向量，1v ，2v 平面α共面，一条直线l 的一个偏向向量为v ，则由共面向量定理，可得α//l 或⇔⊂αl 存在两个实数y x ,，使21yv xv v +=。
（3）要是C B A ,,三点不共线，则点M 在平面ABC 内的充分必要条件是：存在一对实数y x ,，使向量表达式AC y AB x AM +=成立。
（4）已知两个不共线的向量21,v v 与平面α共面，则由两平面平行的鉴定与性质，得βα//或α与β重合β//1v ⇔且β//2v 。
知识点三 用向量运算求证两条直线垂直或求两条直线所成的角（1）两直线垂直的条件要是我们知道两条直线的偏向向量，我们就可以利用两个偏向向量是否垂直来鉴定两直线是否垂直，如下左图，设直线1l 、2l 的偏向向量分别为1v 、2v ，则有2121v v l l ⊥⇔⊥。
由上述条件，证明空间两条直线21l l ⊥可转化为证明两条直线的偏向向量垂直，即证明021=⋅v v 。
（2）两条直线所成的角 设空间两条直线所成的角为θ，当两直线平行时︒=0θ，当两直线垂直时︒=90θ，既 不平行也不垂直的两直线所成的角()︒︒∈90,0θ，所以空间两直线所成的角[]︒︒∈90,0θ。
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∴点 P 与 A、B 、C 共面.
⑵必要性
∵点 P 在平面 ABC 内, 不共线的三点 A、B 、C ∴存在有序实数对 (m, n) 使 AP m AB nAC
∴ OP OA m(OB OA) n(OC OA) ∴ OP (1 m n)OA mOB nOC
学习目标 1.会用向量表示点、直线、平面 2.掌握用向量法证明线与线、
线与面、面与面的平行的方法
3. 能根据具体问题合理选定基底、建系
基础知识
空间向量在立体几何中的应用
平面向量 推广到
空间向量
向量 渐渐成为重要工具
立体几何问题
(研究的基本对象是点、直线、平面 以及由它们组成的空间图形)
基础知识
思考： 已知空间任意一点 O 和不共线的三点 A、B 、C ,
满 足 向 量 关 系 式 OP xOA yOB zOC ( 其 中 x y z 1 )的点 P 与点 A、B 、C 是否共面?
证明:⑴充分性 ∵ OP xOA yOB zOC 可变形为 OP (1 y z)OA yOB zOC ,
A
a 称为直线的方向向量
基础知识
2.直线的向量方程:
定点A，向量 a ，tR,P, a //
则： APta
a
为直线 的参数方
P
程，其中t为参数
A
a 称为直线的方向向量
O
O P O A ta ,t R
基础知识
2.直线的向量方程:
① A P ta ,t R
P
Ba
A
② O P O A ta ,t R
2
A' D'
N B'
M
C'
A D
B C
基础知识
5.用向量方法证明平面与平面平行:
两个不共线向量 v1 , v 2 与平面 共面 / /或 与 重 合 v 1 / /且 v 2 / /
v1
v2
基础训练
解题反思：（1）用向量法证两直线垂直的步骤是： a)以不共面的三个向量为基底， b)用基底表示欲证的两直线的方向向量， c)验证这两个方向向量的数量积为零。 （2）空间四边形中有两组对边垂直，则第三组对边也垂直。
∵ O 为直线 AB 外一点,∴ OA、OB 不共线
∴由平面向量基本定理可知 x 1 t , y t
∴x y1
反过来,如果已知 OP xOA yOB ,且 x y 1 , 那么 A 、B 、P 三点共线吗?
思考： 已知空间任意一点 O 和不共线的三点 A、B 、C ,
满 足 向 量 关 系 式 OP xOA yOB zOC ( 其 中 x y z 1 )的点 P 与点 A、B 、C 是否共面?
G
E
分析:
C
F
证三点共线可 尝试用向量来分析.
B M
D
O
O
A
基础训练
4:已知A、B、P三点共线，O为直线AB
外一点 , 且 O P x O A y O B ，求 x y的值.
解:∵ A 、B 、P 三点共线,∴ t R ,使OP OA t AB
∴ OP (1 t )OA tOB
∵ A 、B 、P 、O 四点在同一个平，且分别
满足条件（1）AP：PB=1：2；
B
（2）AQ：QB=－2， 求点P 和点Q 的坐标。
P
O
y
解：由P已 B 2A 知P得
A
l
O O B 2 P (O O P )A x
OP2OA 1OB )
33 设P(x，y，z),则
(x,y,z)2(2,4,0)1(1,3,3)
③
O P O A tA B ,t R O
O P ( 1 t ) O A t O B , t R
O P x O A y O B , ( x y 1 )
①、②、③都叫做空间直线的向量参数方程
例1．已知点A(2，4，0)，B(1，3，3)， Q 以AB 的方向为正向，在直线AB上建立 z
则 B D C D C B
(1 )C C 1B D C C 1C D C C 1C B
a c o s a c o s 0 ∴C1C⊥BD；
基础训练
3: 已 知 OE 是 以 OA、OB 、OC 为 棱 的 平 行 六 面 体
OADB─CFEG 的对角线,点 M 是△ABC 的重心.
求证:点 M 在直线 OE 上.
1
v2
1 2
v1
v2
2
基础知识
4.用向量方法证明直线与平面平行:
直线 的方向向量为 v
思考：如何用向
两个不共线向量 v1 , v 2 与平面量证共线面面平行？
结论：/ / 或 x 、 y R , 使 v x v 1 y v 2
图示：
v
v1
v2
例2．如图，已知正方体ABCD－A’B’C’D’，点M， N 分别是面对角线A’B 与面对角线A’C’的中点， 求证：MN//侧面AD’；MN/1 /AADD.’；并且MN=
1.用向量表示空间中的点:
在空间中，我们取一定点 O 作为基点，那 么空间中任意一点 P 的位置就可以用向量 OP 来表示，我们把向量 OP 称为点 P 的位置向量.
P
O
基础知识
2.用向量表示空间中的直线及直线的向量方程:
定点A，向量 a ，tR,P, a //
则： APta
a
为直线 的参数方
P
程，其中t为参数
∵OP xOA yOB zOC . 又∵点 O 在平面 ABC 外,∴ OA 、OB 、OC 不共面, ∴ x 1 m n, y m, z n , ∴ x y z 1
得证.
为什么?
如图，已知平行四边形ABCD,从平 面AC外一点O引向量 O EkO A , O FkO B , O G kO C, O H kO D, 求证： ⑴四点E、F、G、H共面； ⑵平面EG//平面AC.
小结：
1.直线的向量方程: 2.用向量方法证明直线与直线平行:
3.用向量方法证明直线与平面平行: 4.用向量方法证明平面与平面平行: 5.用向量运算证明两条直线垂直
或求两条直线所成的角: 6.A，B，C，三点不线，四点A，B，C，M
共面的充要条件
P99例3（垂直） P100例4（求角 ）
基础训练
2.如图所示，平行六面体ABCDA1B1C1D1底面
是菱形，且C1CBC1CDBCD600
求证：(1）CC1
BD;(2)当CD的值为多少时， CC1
能使A1C平面C1BD,并加以证明。
基础训练
CD
解：设CC1为1个单位，C C 1
a
，则CD=CB=a，设∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=
3x5,y3 11,z1
33
P(5,11,1) 同法可求Q(得 0,2,6)
33
基础知识
3.用向量方法证明直线与直线平行:
直线 1 的方向向量为 v 1 思考：如何用向
直线 2 的方向向量为 v 2 量证两直线平行？
结论： 1 / /2 或 1 与 2 重 合 v 1 / / v 2
图示：
v1