复数与算法

热点2 复数的几何意义 【方法结论】 1.
2．复数加减法的几何意义可按平面向量加减法理解， 利用平行四边形法则或三角形法则解决问题．
【题型分析】 1．设 i 是虚数单位，则复数12－i i在复平面内所对应的点 位于( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
解析 由题意12－i i＝12－ii1＋1＋i i＝－22＋2i＝－1＋i，其 对应的点坐标为(－1,1)，位于第二象限，故选 B.
2．(2016·全国卷Ⅱ)已知 z＝(m＋3)＋(m－1)i 在复平面内 对应的点在第四象限，则实数 m 的取值范围是( )
A．(－3,1) B．(－1,3) C．(1，＋∞) D．(－∞，－3)
解析 要使复数对应的点在第四象限应满足 m＋3>0， m－1<0，
解得－3<m<1，故选 A.
【误区警示】 1．分式形式的复数，要将分母实数化(分子分母同乘以 分母的共轭复数)，化成 z＝a＋bi(a，b∈R)的形式进行判断， 第 1 题易直接根据分母 1－i 得出点位于第四象限，错选 D. 2．复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数 的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形 式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．
【题型分析】 1．(2016·全国卷Ⅰ)设 x(1＋i)＝1＋yi，其中 x，y 为实数， 则|x＋yi|＝( ) A．1 B． 2 C． 3 D．2
解析 因为 x(1＋i)＝1＋yi，所以 x＋xi＝1＋yi，x＝1，y ＝x＝1，|x＋yi|＝|1＋i|＝ 2，故选 B.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2．设复数 z 满足11＋－zz＝i，则 z＝(
)
A．－i B．i C．1－i D．1＋i
解析 由11＋－zz＝i 得 z＝－1＋1＋i i＝－1＋2i1－i＝i，故选 B.
【误区警示】 1．复数相等要注意化成 a＋bi(a，b∈R)的形式，再利 用实部与实部相等，虚部与虚部相等． 2．复数运算中 i2＝－1 的负号易忽略，第 2 题容易忽略 复数的运算法则而从 z＝a＋bi 形式入手，导致运算量太大 或者计算出错．
得aa＝≠－－33或，a＝1，
∴a＝1.故选 D.
【误区警示】
1．共轭复数只需实部不变，虚部变为原来的相反数即 可．第 1 题易混淆概念错选 C.
2．解题时一定要先把复数化为 z＝a＋bi(a，b∈R)的形 式，以确定实部和虚部．复数 z 为纯虚数的充要条件是 a＝ 0 且 b≠0.第 2 题易只考虑实部 a2＋2a－3＝0，得 a＝－3 或 a＝1，错选 B.
解析 ∵z＝i(3－2i)＝2＋3i，∴ z ＝2－3i，故选 A.
2．若复数 z＝a＋3＋a2i＋2a－3i(i 为虚数单位)为纯虚 数，则实数 a 的值为( )
A．－3 B．－3 或 1 C．3 或－1 D．1
解析 ∵z＝a＋3＋a2i＋2a－3i＝(a2＋2a－3)－(a＋3)i
是纯虚数，∴a－2＋a2＋a－3≠3＝0，0，
A．2 B．3 C．4 D．5
解析 阅读流程图，初始化数值 a＝－1，K＝1，S＝0. 循环结果执行如下： 第一次：S＝0－1＝－1，a＝1，K＝2； 第二次：S＝－1＋2＝1，a＝－1，K＝3； 第三次：S＝1－3＝－2，a＝1，K＝4； 第四次：S＝－2＋4＝2，a＝－1，K＝5； 第五次：S＝2－5＝－3，a＝1，K＝6； 第六次：S＝－3＋6＝3，a＝－1，K＝7； 结束循环，输出 S＝3.故选 B.
热点4 程序框图的应用 【方法结论】 1．判断循环结构的输出结果的方法 (1)首先要清楚循环体、变量的初始条件和循环的终止条 件分别是什么，再模拟电脑的运行步骤去运行． (2)当循环次数较少时，列出每一步的运行结果，直到程 序结束，自然就得出答案．当循环次数较多时，注意列出前 面的若干步骤，观察、归纳出规律，从而得出答案．
2．当型循环与直到型循环要明确 当型循环是“先判断，后循环，条件满足时执行循环”； 直到型循环是“先循环，后判断，条件满足时终止循环”．两 者的判断框内的条件表述在解决同一问题时是不同的，它们 恰好相反． 3．控制循环的变量要明确 明确每一次执行循环体前和执行循环体后，变量的值发 生的变化．
【题型分析】 1．(2017·全国卷Ⅱ)执行下面的程序框图，如果输入的 a ＝－1，则输出的 S＝( )
热点3 复数的四则运算 【方法结论】 1．在复数代数形式的四则运算中，加减乘运算按多项式 运算法则进行，除法则需分母实数化． 2．在进行复数的代数运算时，记住以下结论，可提高计 算速度：
①(1±i)2＝±2i；11＋－ii＝i；11－＋ii＝－i. ②－b＋ai＝i(a＋bi)，a，b∈R. ③i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋ i4n＋2＋i4n＋3＝0，n∈N*.
高中数学
第3讲 复数、算法
[考情分析] 高考中对复数的考查多以选择题、填空题 的形式出现，单独命题，一般难度较小．对程序框图的考查 主要以循环结构的程序框图为载体，考查学生对算法的理 解．
热点题型分析
热点1 复数的基本概念 【方法结论】
1．复数的分类
实数b＝0， a＋bi(a，b∈R)虚数b≠0非纯纯虚虚数数a＝a0≠，0.
2．处理有关复数概念的问题时，首先要找准复数的实 部与虚部(若复数为非标准的代数形式，则应通过代数运算 化为标准代数形式)，然后根据定义解题．
3．复数问题实数化是解决复数问题的最基本也是最重 要的方法．
【题型分析】 1．若复数 z＝i(3－2i)(i 是虚数单位)，则 z ＝( ) A．2－3i B．2＋3i C．3＋2i D．3－2i
2．执行如图所示的程序框图，则输出的 S 为( ) A．－2 B．12 C．43 D．3
解析 模拟执行程序，可得：S＝3，k＝1， 不满足条件 k＝2017？，执行循环体，S＝43，k＝2， 不满足条件 k＝2017？，执行循环体，S＝12，k＝3， 不满足条件 k＝2017？，执行循环体，S＝－2，k＝4， 不满足条件 k＝2017？，执行循环体，S＝3，k＝5， 不满足条件 k＝2017？，执行循环体，S＝43，k＝6， …