复数与算法
2023年统考版《师说》高考数学复习(文科)课件 第12章 复数、推理与证明、算法
(2)复数加法的运算定律
复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1、z2、z3∈C，有z1＋z2
＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．
二、必明3个常用结论
1+i
1−i
2
1．(1±i) ＝±2i； ＝i； ＝－i；
1−i
1+i
2．－b＋ai＝i(a＋bi)；
3．i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋
第一节 数系的扩充与复数的引入
必备知识—基础落实
关键能力—考点突破
·最新考纲·
1．理解复数的基本概念．
2．理解复数相等的充要条件．
3．了解复数的代数表示及其几何意义．
4．能进行复数代数形式的四则运算．
5．了解复数代数形式的加、减运算的几何意义．
·考向预测·
考情分析：复数的基本概念(复数的实部、虚部、共轭复数、复数的
4a = 4
所以，ቊ
，解得a＝b＝1，因此，z＝1＋i.
6b = 6
)
(3)[2021·全国甲卷]已知(1－i)2z＝3＋2i，则z＝(
3
3
A．－1－ i B．－1＋ i
2
3
C．－ ＋i
2
3
D．－ －i
2
2
答案： (3)B
3+2i
解析： (3)(1－i)2z＝－2iz＝3＋2i，z＝ −2i ＝
3+2i ·i −2+3i
3
＝
＝－1＋
i.
−2i·i
2
2
)
反思感悟 复数代数形式运算问题的解题策略
复数的
fft的复数乘法和复数加法的次数
FFT（快速傅里叶变换）是一种广泛应用于信号处理、图像处理、数据压缩等领域的算法。
在计算机科学和数学中，FFT常常被用来计算大量离散数据的傅里叶变换，从而可以在频域上对数据进行分析和处理。
在FFT算法中，复数乘法和复数加法是其基本运算，因此我们需要对FFT的复数乘法和复数加法的次数进行全面评估和探讨。
让我们简要回顾一下FFT算法的基本原理。
FFT算法通过将N个复数进行傅里叶变换，可以在O(NlogN)的时间复杂度内完成计算，相比于传统的傅里叶变换算法，FFT算法具有更高的效率和速度。
在FFT算法中，复数乘法和复数加法是其基本运算，而其次数与输入的复数个数有紧密的联系。
接下来，让我们以更深入的方式来探讨FFT的复数乘法和复数加法的次数。
在FFT算法中，复数乘法和复数加法的次数取决于输入的复数个数N。
具体来说，对于N个复数进行FFT计算，其复数乘法和复数加法的次数分别为O(NlogN)和O(NlogN)。
这意味着随着输入的复数个数N的增加，FFT的复数乘法和复数加法的次数的增长速度是O(NlogN)级别的，而不是线性增长。
这也是FFT算法具有高效性和速度的重要原因之一。
从个人观点来看，我认为FFT的复数乘法和复数加法的次数的O(NlogN)级别的增长速度是非常有益的。
这意味着对于大规模复数数据进行FFT计算时，算法的效率和速度可以得到保证，能够更快地完成计算和处理。
对于信号处理、图像处理、数据压缩等领域的应用来说，FFT算法的高效性也为这些领域的发展和应用提供了重要的支持。
总结回顾一下，我们深入探讨了FFT的复数乘法和复数加法的次数，发现其与输入复数个数N呈O(NlogN)级别的增长关系。
这一特性使得FFT算法在处理大规模复数数据时具有高效性和速度，为信号处理、图像处理、数据压缩等领域的应用提供了重要的支持。
在实际应用中，我们可以充分利用FFT算法的特性，更加高效地进行数据处理和分析。
以上就是对FFT算法中复数乘法和复数加法次数的相关探讨和个人观点，希望对你的理解有所帮助。
复数、算法、推理与证明
复数、算法、推理与证明第一节 数系的扩充与复数的引入一、基础知识1．复数的有关概念 (1)复数的概念：形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫复数，其中a ，b 分别是它的实部和虚部．若b ＝0，则a ＋b i 为实数；若b ≠0，则a ＋b i 为虚数；若a ＝0且b ≠0，则a ＋b i 为纯虚数．一个复数为纯虚数，不仅要求实部为0，还需要求虚部不为0.(2)复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )． (3)共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 共轭⇔a ＝c ，b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R )． (4)复数的模：向量OZ ―→的模r 叫做复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的模，记作|z |或|a ＋b i|，即|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2.2．复数的几何意义 (1)复数z ＝a ＋b i复平面内的点Z (a ，b )(a ，b ∈R )．复数z ＝a ＋b i (a ，b ∈R )的对应点的坐标为(a ，b )，而不是(a ，b i ).(2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ) 平面向量OZ ―→.3．复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则 ①加法：z 1＋z 2＝(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ； ②减法：z 1－z 2＝(a ＋b i)－(c ＋d i)＝(a －c )＋(b －d )i ； ③乘法：z 1·z 2＝(a ＋b i)·(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ；④除法：z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝(a ＋b i )(c －d i )(c ＋d i )(c －d i )＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －adc 2＋d 2i(c ＋d i ≠0)．(2)复数加法的运算定律设z 1，z 2，z 3∈C ，则复数加法满足以下运算律： ①交换律：z 1＋z 2＝z 2＋z 1；②结合律：(z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3)．二、常用结论(1)(1±i)2＝±2i ，1＋i 1－i ＝i ，1－i1＋i＝－i. (2)－b ＋a i ＝i(a ＋b i)．(3)i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i(n ∈N *)；i 4n ＋i 4n ＋1＋i 4n ＋2＋i 4n ＋3＝0(n ∈N *)．(4)z ·z ＝|z |2＝|z |2，|z 1·z 2|＝|z 1|·|z 2|，⎪⎪⎪⎪z 1z 2＝|z 1||z 2|，|z n |＝|z |n.考点一 复数的四则运算[典例] (1)(2017·山东高考)已知i 是虚数单位，若复数z 满足z i ＝1＋i ，则z 2＝( ) A ．－2i B ．2i C ．－2D ．2(2)(2019·山东师大附中模拟)计算：(2＋i )(1－i )21－2i ＝( )A ．2B ．－2C ．2iD ．－2i[解析] (1)∵z i ＝1＋i ， ∴z ＝1＋i i ＝1i ＋1＝1－i.∴z 2＝(1－i)2＝1＋i 2－2i ＝－2i.(2)(2＋i )(1－i )21－2i ＝－(2＋i )2i 1－2i ＝2－4i1－2i ＝2，故选A.[答案] (1)A (2)A[解题技法] 复数代数形式运算问题的解题策略(1)复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式的运算，可将含有虚数单位i 的看作一类同类项，不含i 的看作另一类同类项，分别合并即可．(2)复数的除法运算是分子、分母同乘以分母的共轭复数，即分母实数化，解题中要注意把i 的幂写成最简形式．[题组训练]1．(2019·合肥质检)已知i 为虚数单位，则(2＋i )(3－4i )2－i ＝( )A ．5B ．5iC ．－75－125iD ．－75＋125i解析：选A 法一：(2＋i )(3－4i )2－i ＝10－5i2－i ＝5，故选A.法二：(2＋i )(3－4i )2－i ＝(2＋i )2(3－4i )(2＋i )(2－i )＝(3＋4i )(3－4i )5＝5，故选A.2．(2018·济南外国语学校模块考试)已知(1－i )2z ＝1＋i(i 为虚数单位)，则复数z 等于( )A ．1＋iB ．1－iC ．－1＋iD ．－1－i解析：选D 由题意，得z ＝(1－i )21＋i ＝－2i1＋i ＝－1－i ，故选D.3．已知复数z ＝i ＋i 2＋i 3＋…＋i 2 0181＋i ，则复数z ＝________.解析：因为i 4n ＋1＋i 4n ＋2＋i 4n ＋3＋i 4n ＋4＝i ＋i 2＋i 3＋i 4＝0，而2 018＝4×504＋2，所以z ＝i ＋i 2＋i 3＋…＋i 2 0181＋i ＝i ＋i 21＋i ＝－1＋i 1＋i ＝(－1＋i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝2i2＝i.答案：i考点二 复数的有关概念[典例] (1)(2019·湘东五校联考)已知i 为虚数单位，若复数z ＝a1－2i ＋i(a ∈R )的实部与虚部互为相反数，则a ＝( )A ．－5B ．－1C ．－13D ．－53(2)(2018·全国卷Ⅰ)设z ＝1－i1＋i ＋2i ，则|z |＝( )A ．0 B.12 C ．1 D. 2[解析] (1)z ＝a 1－2i ＋i ＝a (1＋2i )(1－2i )(1＋2i )＋i ＝a 5＋2a ＋55i ，∵复数z ＝a1－2i＋i(a ∈R )的实部与虚部互为相反数，∴－a 5＝2a ＋55，解得a ＝－53.故选D.(2)∵z ＝1－i 1＋i ＋2i ＝(1－i )2(1＋i )(1－i )＋2i ＝ －2i2＋2i ＝i ，∴|z |＝1.故选C. [答案] (1)D (2)C[解题技法] 紧扣定义解决复数概念、共轭复数问题(1)求一个复数的实部与虚部，只需将已知的复数化为代数形式z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则该复数的实部为a ，虚部为b .(2)求一个复数的共轭复数，只需将此复数整理成标准的代数形式，实部不变，虚部变为相反数，即得原复数的共轭复数．复数z 1＝a ＋b i 与z 2＝c ＋d i 共轭⇔a ＝c ，b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R )．[题组训练]1．(2019·山西八校第一次联考)已知a ，b ∈R ，i 为虚数单位，若3－4i 3＝2－b ia ＋i ，则a＋b 等于( )A ．－9B ．5C ．13D ．9解析：选A 由3－4i 3＝2－b i a ＋i ，得3＋4i ＝2－b ia ＋i，即(a ＋i)(3＋4i)＝2－b i ，(3a －4)＋(4a＋3)i ＝2－b i ，则⎩⎪⎨⎪⎧ 3a －4＝2，4a ＋3＝－b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－11，故a ＋b ＝－9.故选A.2．(2019·贵阳适应性考试)设z 是复数z 的共轭复数，满足z ＝4i1＋i ，则|z |＝( )A ．2B ．2 2C.22 D.12解析：选B 法一：由z ＝4i1＋i ＝4i (1－i )(1＋i )(1－i )＝2＋2i ，得|z |＝|z |＝22＋22＝22，故选B.法二：由模的性质，得|z |＝|z |＝⎪⎪⎪⎪4i 1＋i ＝|4i||1＋i|＝42＝2 2.故选B.3．若复数z ＝a 2－a －2＋(a ＋1)i 为纯虚数(i 为虚数单位)，则实数a 的值是________． 解析：由于z ＝a 2－a －2＋(a ＋1)i 为纯虚数，因此a 2－a －2＝0且a ＋1≠0，解得a ＝2. 答案：2考点三 复数的几何意义[典例] (1)如图，在复平面内，复数z1，z 2对应的向量分别是OA ―→，OB ―→，若zz 2＝z 1，则z 的共轭复数z ＝( )A.12＋32i B.12－32i C ．－12＋32iD ．－12－32i(2)复数z ＝4i 2 018－5i1＋2i (其中i 为虚数单位)在复平面内对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[解析] (1)由题意知z 1＝1＋2i ，z 2＝－1＋i ，故z (－1＋i)＝1＋2i ， 即z ＝1＋2i －1＋i ＝(1＋2i )(1＋i )(－1＋i )(1＋i )＝1－3i 2＝12－32i ，z ＝12＋32i ，故选A.(2)z ＝4i 2 018－5i1＋2i ＝4×i 2 016·i 2－5i (1－2i )(1＋2i )(1－2i )＝－4－5(2＋i )5＝－6－i ，故z 在复平面内对应的点在第三象限． [答案] (1)A (2)C[解题技法] 对复数几何意义的再理解(1)复数z 、复平面上的点Z 及向量OZ ―→相互联系，即z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )⇔Z (a ，b )⇔OZ ―→. (2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．[题组训练]1．(2019·安徽知名示范高中联考)已知复数z 满足(2－i)z ＝i ＋i 2，则z 在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选B z ＝i ＋i 22－i ＝－1＋i 2－i ＝(－1＋i )(2＋i )(2－i )(2＋i )＝－3＋i 5＝－35＋15i ，则复数z 在复平面内对应的点为⎝⎛⎭⎫－35，15，该点位于第二象限．故选B. 2．若复数z 满足|z －i|≤2(i 为虚数单位)，则z 在复平面内所对应的图形的面积为________．解析：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，由|z －i|≤2得|x ＋(y －1)i|≤2，所以x 2＋(y －1)2≤ 2， 所以x 2＋(y －1)2≤2，所以z 在复平面内所对应的图形是以点(0,1)为圆心，以2为半径的圆及其内部，它的面积为2π.答案：2π3．已知复数z ＝2＋a i1＋2i ，其中a 为整数，且z 在复平面内对应的点在第四象限，则a 的最大值为________．解析：因为z ＝2＋a i 1＋2i ＝(2＋a i )(1－2i )(1＋2i )(1－2i )＝2＋2a ＋(a －4)i5，所以z 在复平面内对应的点为⎝⎛⎭⎫2＋2a 5，a －45，所以⎩⎨⎧2＋2a5＞0，a －45＜0，解得－1＜a ＜4，又a 为整数，所以a 的最大值为3.答案：3[课时跟踪检测]1．(2019·广州五校联考)1＋2i(1－i )2＝( )A ．－1－12iB ．1＋12iC ．－1＋12iD ．1－12i解析：选C1＋2i (1－i )2＝1＋2i －2i＝(1＋2i )i 2＝－2＋i 2＝－1＋12i ，选C. 2．(2018·洛阳第一次统考)已知a ∈R ，i 为虚数单位，若a －i1＋i为纯虚数，则a 的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．2解析：选C ∵a －i 1＋i ＝(a －i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝a －12－a ＋12i 为纯虚数，∴a －12＝0且a ＋12≠0，解得a ＝1，故选C.3.(2018·甘肃诊断性考试)如图所示，向量OZ1―→，OZ 2―→所对应的复数分别为z 1，z 2，则z 1·z 2＝( )A ．4＋2iB ．2＋iC ．2＋2iD ．3＋i解析：选A 由图可知，z 1＝1＋i ，z 2＝3－i ，则z 1·z 2＝(1＋i)(3－i)＝4＋2i ，故选A.4．若复数z 1＝4＋29i ，z 2＝6＋9i ，其中i 是虚数单位，则复数(z 1－z 2)i 的实部为( ) A ．－20 B ．－2 C ．4D ．6解析：选A 因为(z 1－z 2)i ＝(－2＋20i)i ＝－20－2i ，所以复数(z 1－z 2)i 的实部为－20. 5．(2019·太原模拟)若复数z ＝1＋m i1＋i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是( )A ．(－1,1)B ．(－1,0)C ．(1，＋∞)D ．(－∞，－1)解析：选A 法一：因为z ＝1＋m i 1＋i ＝(1＋m i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝1＋m 2＋m －12i 在复平面内对应的点为⎝⎛⎭⎫1＋m 2，m －12，且在第四象限，所以⎩⎨⎧1＋m2>0，m －12<0，解得－1<m <1，故选A.法二：当m ＝0时，z ＝11＋i ＝1－i (1＋i )(1－i )＝12－12i ，在复平面内对应的点在第四象限，所以排除选项B 、C 、D ，故选A.6．(2018·昆明高三摸底)设复数z 满足(1＋i)z ＝i ，则z 的共轭复数 z ＝( ) A.12＋12i B.12－12i C ．－12＋12iD ．－12－12i解析：选B 法一：∵(1＋i)z ＝i ，∴z ＝i1＋i ＝i (1－i )(1＋i )(1－i )＝1＋i 2＝12＋12i ，∴复数z 的共轭复数z ＝12－12i ，故选B.法二：∵(1＋i)z ＝i ，∴z ＝i 1＋i ＝2i2(1＋i )＝(1＋i )22(1＋i )＝1＋i 2＝12＋12i ，∴复数z 的共轭复数z ＝12－12i ，故选B.法三：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，∵(1＋i)z ＝i ，∴(1＋i)(a ＋b i)＝i ，∴(a －b )＋(a ＋b )i ＝i ，由复数相等的条件得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝0，a ＋b ＝1，解得a ＝b ＝12，∴z ＝12＋12i ，∴复数z 的共轭复数z ＝12－12i ，故选B. 7．设复数z 满足i(z ＋1)＝－3＋2i(i 是虚数单位)，则复数z 对应的点位于复平面内( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选A 由i(z ＋1)＝－3＋2i ，得z ＝－3＋2i i －1＝3i 2＋2i i －1＝2＋3i －1＝1＋3i ，它在复平面内对应的点为(1,3)，位于第一象限．8．已知复数z ＝m i1＋i，z ·z ＝1，则正数m 的值为( ) A. 2 B ．2 C.22D.12解析：选A 法一：z ＝m i 1＋i ＝m i (1－i )(1＋i )(1－i )＝m 2＋m 2i ，z ＝m 2－m 2i ，z ·z ＝m 22＝1，则正数m ＝2，故选A.法二：由题意知|z |＝|m i||1＋i|＝|m |2，由z ·z ＝|z |2，得m 22＝1，则正数m ＝2，故选A.9．已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位，若(1＋i)(1－b i)＝a ，则ab 的值为________．解析：因为(1＋i)(1－b i)＝1＋b ＋(1－b )i ＝a ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋b ＝a ，1－b ＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，a ＝2，所以a b ＝2.答案：210．复数|1＋2i|＋⎝⎛⎭⎪⎫1－3i 1＋i 2＝________.解析：原式＝12＋(2)2＋(1－3i )2(1＋i )2＝3＋－2－23i2i ＝3＋i －3＝i. 答案：i11．(2019·重庆调研)已知i 为虚数单位，复数z ＝1＋3i 2＋i ，复数|z |＝________.解析：法一：因为z ＝1＋3i 2＋i ＝(1＋3i )(2－i )(2＋i )(2－i )＝5＋5i5＝1＋i ，所以|z |＝12＋12＝ 2.法二：|z |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋3i 2＋i ＝|1＋3i||2＋i|＝105＝ 2.答案： 212．已知复数z ＝3＋i(1－3i )2，z 是z 的共轭复数，则z ·z ＝________.解析：∵z ＝3＋i (1－3i )2＝3＋i－2－23i＝3＋i －2(1＋3i )＝(3＋i )(1－3i )－2(1＋3i )(1－3i )＝23－2i －8＝－34＋14i ，∴z ·z ＝|z |2＝316＋116＝14. 答案：1413．计算：(1)(－1＋i )(2＋i )i 3；(2)(1＋2i )2＋3(1－i )2＋i ；(3)1－i (1＋i )2＋1＋i (1－i )2； (4)1－3i (3＋i )2. 解：(1)(－1＋i )(2＋i )i 3＝－3＋i－i＝－1－3i.(2)(1＋2i )2＋3(1－i )2＋i ＝－3＋4i ＋3－3i 2＋i ＝i 2＋i ＝i (2－i )5＝15＋25i.(3)1－i (1＋i )2＋1＋i (1－i )2＝1－i 2i ＋1＋i －2i ＝1＋i －2＋－1＋i2＝－1. (4)1－3i (3＋i )2＝(3＋i )(－i )(3＋i )2＝－i 3＋i ＝(－i )(3－i )4＝－14－34i.。
复数与方程知识点总结
复数与方程知识点总结一、复数的基本概念1. 复数的定义复数是由实数和虚数构成的数，通常表示为a+bi，其中a是实部，b是虚部，i是虚数单位，满足i²=-1。
2. 复数的表示形式复数可以表示为代数形式、三角形式和指数形式，分别为a+bi、r(cosθ+isinθ)和re^(iθ)。
3. 复数的运算复数的加法、减法、乘法和除法分别满足交换律、结合律和分配律。
4. 复数的共轭复数a+bi的共轭是a-bi，其性质是共轭的共轭是其本身，共轭的乘积等于模的平方。
5. 复数的模和幅角复数a+bi的模是√(a²+b²)，幅角是arctan(b/a)，它们表示了复数的大小和方向。
6. 复数的数轴表示复数a+bi可以在复数平面上用点(a,b)表示，它可以与直角坐标系和极坐标系相对应。
二、方程的基本概念1. 方程的定义方程是含有未知数的等式，它的解是使得等式成立的值，通常用字母x、y表示未知数。
2. 一元一次方程一元一次方程是形如ax+b=0的方程，其中a、b是已知实数，x是未知数，它的解可以用等式变形和解方程法得到。
3. 一元二次方程一元二次方程是形如ax²+bx+c=0的方程，其中a、b、c是已知实数，x是未知数，它的解可以用公式法和配方法得到。
4. 多项式方程多项式方程是包含多项式的方程，它可以是一元或多元的，是代数学中研究的重要对象。
5. 方程的解方程的解是使得方程成立的值，它可以是实数、复数或其他对象，解的个数和性质与方程的形式和系数有关。
6. 方程的应用方程在代数、几何、物理、化学和工程等领域中有广泛的应用，它是解决实际问题的重要工具。
三、复数方程的解法1. 一元一次复数方程一元一次复数方程是形如az+b=c的方程，其中a、b、c、z是已知复数，它的解可以用代数法和几何法得到。
2. 一元二次复数方程一元二次复数方程是形如az²+bz+c=0的方程，其中a、b、c、z是已知复数，它的解可以用公式法和配方法得到。
江苏省12市2015届高三上学期期末考试数学试题分类汇编：复数与算法初步
江苏省12市2015届高三上学期期末考试数学试题分类汇编复数与算法初步一、复数1、（常州市2015届高三）设复数3i 1im z m +=+（0m >，i 为虚数单位），若z z =，则m 的值为 ▲ 2、（连云港、徐州、淮安、宿迁四市2015届高三）设复数z 满足()i 432i z -=+（i 是虚数单位），则z 的虚部为 ▲3、（南京市、盐城市2015届高三）若复数a i z i+=（其中i 为虚数单位）的实部与虚部相等，则实数a = ▲ 4、（南通市2015届高三）已知复数z 满足()341(i z i +=为虚数单位)，则z 的模为5、（苏州市2015届高三上期末）已知23(,,i a bi a b R i i+=+∈为虚数单位)，则a b += 6、（泰州市2015届高三上期末）复数z 满足i z 34i =+（i 是虚数单位），则z = ▲ 7、（无锡市2015届高三上期末）已知复数z 满足()11i z i -=+,则z 的模为8、（扬州市2015届高三上期末）已知i 是虚数单位，则21(1)i i +－的实部为＿＿＿＿ 参考答案1、-3 3、-1 4、15 5、1 6、43i - 7、1 8、12-二、算法初步1、（常州市2015届高三）右图是一个算法流程图，则输出的a 的值是 ▲2、（连云港、徐州、淮安、宿迁四市2015届高三）如图是一个算法的流程图，若输入x的值为2，则输出y的值为▲3、（南京市、盐城市2015届高三）运行如图所示的程序后，输出的结果为▲4、（南通市2015届高三）有图是一个算法流程图，则输出的x的值是5、（苏州市2015届高三上期末）运行如图所示的流程图，如果输入1,2a b ==， 则输出的a 的值为6、（泰州市2015届高三上期末）执行如右图所示的流程图，则输出的n 为 ▲7、（无锡市2015届高三上期末）根据如图所示的流程图，则输出的结果i为8、（扬州市2015届高三上期末）如图是一个算法流程图，输出的结果为＿＿＿＿＿参考答案1、1272、73、424、595、96、47、78、15、。
二轮复习算法与复数学案
算法与复数【学习目标】1．了解复数中的有关概念，掌握复数的四则运算．从以往的考查来看，近几年的高考都考查了复数，考题主要是以填空题的形式出现，难度都不大．2. 了解算法的概念、流程图、基本算法语句．近几年高考都考了算法，主要考查的内容是流程图，考题主要是以填空题的形式出现，难度不是很大．【学习重难点】学习重点：复数的运算，算法中的循环结构以及简单应用 学习难点：复数的运算，算法中的循环结构以及简单应用复数：1已知i 是虚数单位，若i 1zi3-=+,则z 的共轭复数为 A 1-2i B 2-4i C i 222- D 1+2i2复数ii i z )1)(1(-+=在复平面上所对应的点Z 位于A ．实轴上B ．虚轴上C ．第一象限D ．第二象限352i=- A.2i - B.2i + C.12i + D. 12i -（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限5复数1+i1i=- （A ）i - （B ）i （C ）1i + （D ）1i -6i 是虚数单位，计算41ii+=+_________. 7设复数1ii 2ix y -=++，其中,x y ∈R ，则x y +=______．8复数2ii+在复平面内对应的点的坐标是____________.9. 若复数a 2－3a ＋2＋(a －1)i 是纯虚数，则实数a 的值为________．10.设复数z 满足(1＋i)z ＝2，其中i 为虚数单位，则z ＝____________.11已知复数z 1＝m ＋2i ，z 2＝3－4i ，若z 1z 2为实数，则实数m ＝ .12若复数z 满足zi ＝2＋i(i 是虚数单位)，则|z|＝__________.算法：1. 执行右边的程序框图，则输出的S 值等于A.91817161+++ B. 9181716151++++C. 10191817161++++D. 1019181716151+++++（A ）16 （B ）12 （C ）8 （D ）74．执行如图所示的程序框图，如果输入2,2a b ==，那么输出的a 值为______．5 执行如图所示的程序框图，输出的x 值为（A ）85 （B ）2912（C ）53 （D ）138。
复数的运算与应用
复数的运算与应用复数是数学中的一个重要概念，它由实数部分和虚数部分组成。
在实际生活和科学研究中，复数的运算与应用广泛存在并发挥重要作用。
本文将探讨复数的基本运算规则和实际应用领域。
一、复数的基本运算规则1. 复数的表示形式复数可以用 a + bi 的形式表示，其中 a 为实数部分，b 为虚数部分，i 是虚数单位，满足 i^2 = -1。
例如，2 + 3i 就是一个复数。
2. 复数的加法和减法复数的加法和减法与实数的运算类似，实部与实部相加（减），虚部与虚部相加（减）。
例如，(2 + 3i) + (1 - 2i) = 3 + i，(2 + 3i) - (1 - 2i)= 1 + 5i。
3. 复数的乘法复数的乘法采用分配律，即 (a + bi) × (c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i。
例如，(2 + 3i) × (1 - 2i) = 8 - i。
4. 复数的除法复数的除法需要将除数的复数共轭乘以被除数，然后分子分母分别实部相除、虚部相除。
例如，(2 + 3i) ÷ (1 - 2i) = (4/5) + (7/5)i。
二、复数的应用领域1. 电路分析在电学领域中，复数广泛用于描述交流电路的分析和计算。
通过将电阻、电感和电容等元件的阻抗用复数表示，可以简化计算过程。
复数运算在求解电压、电流和功率等问题中发挥着重要作用。
2. 信号处理在信号处理领域，复数被用于描述和分析信号的频谱特性。
傅里叶变换是将信号从时域转换到频域的重要工具，复数的性质使得傅里叶变换能够有效描述信号的频谱分布和频域特性。
3. 物理学在量子力学和波动光学中，复数起到了关键的作用。
薛定谔方程中的波函数用复数表示，复数的模的平方表示了粒子在空间中的概率密度分布。
光的传播和干涉现象也可以用复数表示，例如，复振幅描述了光的强度和相位。
4. 统计学在统计学中，复数被应用于描述多维数据的特征和相似性。
复数 算法总结-单数算法
复数算法总结-单数算法本文总结了复数算法和单数算法的主要特点和应用场景。
复数算法复数算法是指处理复数数据的数学算法。
复数是由实部和虚部组成的数，可以用 a + bi 的形式表示，其中 a 为实部，b 为虚部，i是虚数单位。
复数算法常用于信号处理、电路分析、图像处理等领域。
复数算法有以下主要特点：1. 实部和虚部分别进行计算：复数算法将实部和虚部分别进行计算，并最后再合并得到最终结果。
2. 常用运算：复数算法常用的运算包括加法、减法、乘法、除法、求模、取共轭等。
这些运算可以通过对实部和虚部的运算得到。
3. 特殊功能：复数算法还具有一些特殊的功能，如求平方根、求幂等。
复数算法的应用场景包括：- 信号处理：复数算法用于处理各种类型的信号，如音频信号、图像信号等。
- 电路分析：复数算法可以用于电路分析，比如计算电阻、电容和电感等元件的阻抗。
- 图像处理：复数算法广泛应用于图像处理领域，用于图像增强、滤波和变换等操作。
单数算法单数算法是指处理单一数值的算法。
单数算法常用于基本的数学运算和数据处理。
单数算法的主要特点包括：1. 只处理一个数值：单数算法只针对一个数值进行计算，不涉及复杂的数学结构。
2. 常见运算：单数算法包括加法、减法、乘法和除法等常见运算。
3. 简单应用：单数算法常用于简单的计算任务，比如计算器的基本功能、简单数据统计等。
单数算法的应用场景包括：- 计算器：单数算法用于计算器的基本运算，如加减乘除等。
- 数据统计：单数算法用于对数据进行简单的统计分析，如计算平均值、求和等。
- 数值计算：单数算法可用于数值计算任务，如求解方程、计算函数值等。
总结复数算法和单数算法在数学运算和数据处理领域具有不同的应用场景和特点。
复数算法适用于处理复数数据，常用于信号处理、电路分析、图像处理等。
而单数算法则适用于处理单一数值，常用于基本的数学运算和数据统计。
无论是复数算法还是单数算法，在实际应用中都发挥着重要的作用。
复数的运算与应用
复数的运算与应用复数是数学中的一种数形式，由实部和虚部构成。
复数的运算是重要的数学基础知识之一，广泛应用于物理学、工程学和计算机科学等领域。
本文将介绍复数的基本运算规则以及它们在实际应用中的具体用途。
一、复数的定义与表示复数通常表示为a+bi的形式，其中a为实部，b为虚部，i为虚数单位，满足i^2 = -1。
实部和虚部均可为实数。
复数的实部和虚部可以用复数的实数部分和虚数部分分别表示。
例如，复数2+3i的实部为2，虚部为3。
二、复数的加法与减法复数的加法与减法可以分别对实部和虚部进行运算。
即，对于两个复数(a+bi)和(c+di)，它们的和是(a+c)+(b+d)i，差是(a-c)+(b-d)i。
通过实部和虚部的相加减，我们可以得到复数的加法与减法结果。
三、复数的乘法复数的乘法公式为：(a+bi)*(c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i。
通过这个公式，实部和虚部的运算可以得到复数乘法的结果。
例如，(2+3i)*(4+5i) = (2*4-3*5)+(2*5+3*4)i = -7+22i。
四、复数的除法复数的除法相对复杂一些，需要进行分子分母的有理化。
例如，要求(2+3i)/(4+5i)的结果，可以先乘以复数的共轭，即(2+3i)*(4-5i)，得到(-7+22i)。
然后，分子分母同时除以(4^2+5^2)，即16+25，最终结果为(-7/41)+(22/41)i。
五、复数的模和共轭复数的模表示复数到原点的距离，模的计算公式为：|a+bi| =√(a^2+b^2)。
共轭复数表示实部相同而虚部符号相反的复数，共轭的计算公式为：(a+bi)的共轭为(a-bi)。
模和共轭在复数的运算中具有重要的应用。
六、复数的应用1. 物理学中的应用：复数广泛应用于电磁场、振动和波动等物理学问题的描述和计算。
例如，复数形式的电场强度和磁场强度可以方便地表示电磁场的振幅和相位信息。
2. 工程学中的应用：工程学中常用复数描述电路中的电压、电流和阻抗等。
复数的模运算法则
复数的模运算法则目录1. 引言1.1 背景和意义1.2 结构概述1.3 目的2. 模运算的基础知识2.1 复数的定义2.2 复数的表示方式2.3 复数的加法和减法规则3. 复数模运算的定义与性质3.1 复数模运算的定义3.2 模运算性质-乘法规则3.3 模运算性质-除法规则4. 实例分析与应用场景4.1 实例分析一：复数模运算在电路中的应用4.2 实例分析二：复数模运算在信号处理中的应用4.3 实例分析三：复数模运算在图像处理中的应用5. 结论与未来展望5.1 结论总结5.2 存在问题与改进方向1. 引言1.1 背景和意义复数是数学中一个重要的概念，它包括了实部和虚部两个部分。
复数的模运算作为一种对复数进行量化的方法，在许多领域中广泛应用。
在过去的几十年里，计算机科学与工程领域取得了巨大的发展，需要处理各种复杂的问题。
而复数模运算作为一种重要的数学工具，已经成为了这些问题求解过程中不可或缺的一环。
它能够帮助我们理解和处理一些具有实际意义的问题，并且具有很强的简洁性和通用性。
1.2 结构概述本文将首先介绍模运算的基础知识，包括复数的定义、表示方式以及加法和减法规则。
接着我们将详细探讨复数模运算的定义与性质，包括乘法规则和除法规则。
然后，通过实例分析，我们将展示复数模运算在电路、信号处理和图像处理等领域中的应用场景。
最后，文章总结结论并提出未来展望。
1.3 目的本文旨在全面介绍复数模运算法则，并探讨其在各个领域中的实际应用。
通过本文的阅读，读者将能够了解复数模运算的基础概念与性质，理解其在实际问题求解中的作用，并有助于拓展复数模运算在其他领域中的应用。
2. 模运算的基础知识2.1 复数的定义复数是由实部和虚部组成的数字，通常表示为a + bi的形式，其中a和b都是实数，而i则是一个虚数单位，满足i^2 = -1。
在复平面上，复数可以用坐标表示，实部决定了复数在x轴上的位置，虚部则确定了复数在y轴上的位置。
算法复数
图5
解析： 执行程序框图， x＝－25， |x|＝|－25|>1， x＝ |－25| －1＝4，|4|>1，x＝ |4|－1＝1,1>1 不成立，∴x＝2×1＋1＝ 3.故选 C.
答案：C
考向二 算法语言 【例 2】 读程序回答问题．
对甲、乙两程序和输出结果判断正确的是( A．程序不同，结果不同 B．程序不同，结果相同 C．程序相同，结果不同 D．程序相同，结果相同
【答案】
(1)D
(2)C
变式迁移 1＋i 2011 (1)i 为虚数单位，则( ) ＝( ) 1－i A．－i B．－1 C．i D．1 (2)设复数 z 满足(1＋i)z＝2，其中 i 为虚数单位，则 z＝ ( ) A．1＋i B．1－i C．2＋2i D．2－2i (3)若 z＝cosθ＋isinθ(i 为虚数单位)，则使 z2＝－1 的 θ 值可能是( ) π π π π A. B. C. D. 6 4 3 2
答案：1－2i
6．(2012· 江西)下图为某算法的程序框图，则程序运行后 输出的结果是________．
图3
解析：依题意知 k＝6 时，输出 T.又 k＝1,4,5 时，a＝1.k ＝2,3 时，a＝0，故输出 T＝0＋1＋0＋0＋1＋1＝3.
答案：3
考点分类 考向一 程序框图 【例 1】 如图 4 是某同学为求 1 006 个偶数： 2,4,6， 2 012 „， 的平均数而设计的程序框图的部分内容，则在该程序框图中的空 白判断框和处理框中应填入的内容依次是( ) x x A．i>1 006？，x＝ B．i≥1 006？，x＝ 1 006 2 012 x x C．i<1 006？，x＝ D．i≤1 006？，x＝ 1 006 2 012
算法、复数、统计、概率、计数原理复习问答
算法、复数、统计、概率、计数原理复习问答作者：顾燕声来源：《新高考·高三数学》2012年第06期问题一高考中的算法题主要考哪些内容？做好这类题目有哪些技巧？●回●答对于算法初步这章内容，考查用自然语言叙述算法思想的可能性不大，而应重视流程图表示的算法及算法语句（伪代码）表示的算法.虽然不同版本教材中的算法语句不同，但是流程图是相同的，因此更应该重视对流程图的复习.在对本章内容进行复习的时候，不宜搞得太难，掌握基本思想及格式即可.另外要注意的是流程图与其他知识相结合的实际应用型题目，如2008年江苏高考第7题.要做好算法的题目，首先必须熟练掌握程序框图和基本算法语句.不管做哪种形式的算法问题，都要特别注意条件结构和循环结构.常常用条件结构来设计算法的有分段函数的求值、数据的大小关系等问题，而循环结构主要用在一些有规律的重复计算的算法中，如累加求和、累乘求积等问题.在循环结构中，要注意分析计数变量、累加变量以及循环结构中条件的表达和含义,特别要注意避免出现多一次循环或少一次循环的情况.问题二复数问题会以什么形式出现？主要考查哪些知识点？●回●答高考对复数的要求还是围绕着“数系扩充”和基本概念、基本运算展开的，在考查时，题型仍以小题为主，难度不大.复数的基本概念中，难点在于对复数中诸多概念的正确理解.特别要领会和掌握的有以下几点：①复数是实数的条件：z=a+b i ∈ R（a, b∈ R） b =0 z=z-；②复数是纯虚数的条件：z=a+b i （a,b∈R）是纯虚数 z+z-=0（z≠0）；③两个复数相等的条件：a+b i =c+d i a=c且b=d（其中，a,b,c,d∈R），特别地，a+b i =0 a=b=0；④复数z=a+b i （a,b∈R）的模|z|=a 2+b 2，共轭复数z-=a-b i .复数的代数形式运算类似多项式的运算，加法类似合并同类项，乘法类似多项式相乘，除法实际是分母实数化（类似分母有理化）.复数运算常用的结论有：① i 2 =-1；②-1, i 4n+3 =- i ，其中i 4n =1, i 4n+1 = i,i 4n+2 =-n∈N； ③（1± i ） 2=±2 i ；④ ω=-12+ 32 i , ω 2=ω,ω=1ω 2,ω 3=1,1+ω+ω 2=0.复数的几何意义是复数中的难点，化解难点的关键是对复数的几何意义的正确理解.理解复数的几何意义可以从以下方面入手：①复数z=a+b i （a,b∈R）的模|z|=a 2+b 2实际上就是指复平面上的点 Z（a, b）到原点O的距离；|z 1-z 2|的几何意义是复平面上的两点Z 1，Z 2之间的距离；②复数z、复平面上的点Z及向量 OZ 一一对应，即z= a+b i （a,b∈R） Z（a,b） OZ .解答复数问题，要学会从整体的角度出发去分析和求解.如果遇到复数就设z=a+b i （a,b∈R），则有时会给问题的解答带来不必要的运算上的困难，如能把握住复数的整体性质，充分运用整体思想求解，则能事半功倍.问题三概率统计部分考查的侧重点是什么？会出哪些题型？●回●答统计初步主要考查对统计思想、统计方法的理解与运用.统计初步的考查重点是：（1）随机抽样的三种方法，即简单随机抽样：适用于总体中的个体数量不多的情况；系统抽样：适用于总体中的个体数量较多的情况；分层抽样：适用于总体中的个体具有明显层次的情况.三种抽样方法的共同点是：它们都是等概率抽样，体现了抽样的公平性.（2）频率分布表和直方图是表示样本数据的图表，在频率分布表中我们可以看出样本数据在各个组内的频数以及频率；而频率分布直方图更加直观地表示了样本数据的分布情况，值得注意的是频率分布直方图中纵轴上的点表示频率除以组距.解答频率分布图表问题的关键是弄清楚其含义.（3）理解样本数据平均数与方差的意义和作用，能从已有样本数据中提取基本的数字特征（如平均数，方差）.概率部分的考查内容主要包括古典概型、几何概型以及随机变量的概率问题.古典概型是学习以及高考的重点，几何概型是等可能概型的一种，直观性强，特别要注意对几何图形的构造，体会测度的含义——对线段而言为长度，对平面图形而言为面积，对立体图形而言是体积.对古典概型和几何概型的考查多以小题的形式出现，以中等难度题目为主.古典概型和几何概型的复习关键是：（1）一个事件是否为古典概型，在于这个实验是否具有“有限性和等可能性”这两个基本特征.（2）几何概型具有“无限性和等可能性”这两个特点.化解实际问题向几何概型的转化过程中，要清楚几何概型的意义和计算公式，特别要注意的是很多几何概型往往要通过一定的手段才能转化到几何度量值的计算上来.在解决问题时要善于根据问题的具体情况进行转化，如把从两个区间内取出的实数看成坐标平面上的点的坐标，将问题转化为平面上的区域问题等，这种转化策略是化解几何概型试题难点的关键.（3）在求互斥事件概率时，要合理利用公式P（A+B）=P（A）+P（B）.在求对立事件概率时，要运用公式P（A-）=1-P（A）.对于比较复杂的概率问题，可尝试利用其对立事件求解（即逆向思维），或分解成若干个互斥事件（即分类讨论），利用互斥事件的概率加法公式求解.概率初步研究的是孤立的事件发生与否的概率，而随机变量研究的概率问题是在一次试验中，某类现象发生概率的状态（即分布）.要理解离散型随机变量的数学期望与方差的意义，掌握其计算公式，而超几何分布和二项分布需要引起重视.，此外有：E 离散型随机变量的期望公式是E（X）=x 1p 1+x 2p 2+…+x np n+…（aX+b）=aE（X）+b；方差公式是V（X）= （x 1-μ） 2p 1+ （x 2-μ）2p 2+…+ （x n-μ） 2p n=∑n i=1（x i-μ） 2p i或 V（X）-μ 2，此外也有：V（aX+b）=a 2V（X）.=∑n i=1 x 2 ip i问题四近几年高中计数原理的重点在哪里？会以什么样的题型进行考查？●回●答近几年高中普遍提高了对计数原理应用的考查要求，即高考对计数问题的考查更多着眼于对计数原理的应用，而淡化了技巧与繁琐的运算，很多考题已经很难区分是单独地考查计数原理还是排列组合，更多的是趋于统一与融合.计数原理的复习关键是：（1）要理解两个原理的含义，分类加法计数原理强调完成一件事有若干种方法，每一种方法都可以独立完成这件事，各种方法互不干涉；而分步计数原理强调完成一件事分成几个步骤，各步之间彼此依赖，只有完成所有的步骤才能完成这件事，缺少其中任何一步都不能完成这件事且各步中的方法是相互独立的.（2）解排列、组合应用题时，首先要认真审题，弄清是组合问题还是排列问题，可以按元素的性质分类，按事件发生的过程分步；然后要弄清楚题目中的关键字眼“在”与“不在”，“相邻”与“不相邻”等，常用的方法有“先排特殊元素或特殊位置”、“捆绑法”、“插空法”等.（3）常见的解题策略有以下几种：①特殊元素优先安排的策略；②合理分类与准确分步的策略；③排列、组合混合问题先选后排的策略；④正难则反、等价转化的策略； ⑤相 邻问题捆绑处理的策略；⑥不相邻问题插空处理的策略；⑦定序问题除法处理的策略；⑧分排问题直排处理的策略；⑨ “小集团”排列问题中先整体后局部的策略； ⑩构 造模型的策略.（4）对于排列数与组合数的计算问题，要注意依据排列数与组合数公式及其变形，在计算过程中要注意阶乘的运算、组合数性质的使用和提取公因式等方法的运用.另外，含有排列数或组合数的方程都是在正整数范围内求解.利用这一点可以根据题目的条件将方程及时化简.证明题一般用 A m n=n!（n-m）!或 C m n=n!m!（n-m）!及组合数的性质，证明过程中要注意阶乘的运算及技巧.。
专题01 集合、复数、算法、命题与简易逻辑(原卷)2020年高考物理十年真题精解(全国Ⅰ卷)
三观一统2020年高考数学十年高考真题精解（全国卷I）专题1 集合、复数、算法、命题与简易逻辑十年树木，百年树人，十年磨一剑。
本专辑按照最新2020年考纲，对近十年高考真题精挑细选，去伪存真，挑选符合最新考纲要求的真题，按照考点/考向同类归纳，难度分层精析，对全国卷Ⅰ具有重要的应试性和导向性。
三观指的观三题（观母题、观平行题、观扇形题），一统指的是统一考点/考向，并对十年真题进行标灰（调整不考或低频考点标灰色）。
（一）2020考纲（二）本节考向题型研究汇总一、考向题型研究一：集合（2019新课标I 卷T1理科）已知集合{}}242{60M x x N x x x =-<<=--<，，则M N ⋂=A ．}{43x x -<<B ．}{42x x -<<-C ．}{22x x -<<D ．}{23x x <<（2019新课标I 卷T2文科）已知集合U ＝{1，2，3，4，5，6，7}，A ＝{2，3，4，5}，B ＝{2，3，6，7}，则B ∩∁U A ＝（ ） A ．{1，6} B ．{1，7}C ．{6，7}D ．{1，6，7}（2018新课标I 卷T2理科） 已知集合A ={x |x 2−x −2>0}，则∁R A = A. {x |−1<x <2} B. {x |−1≤x ≤2}C. {x|x <−1}∪{x|x >2}D. {x|x ≤−1}∪{x|x ≥2}（2017新课标I 卷T1文科）已知集合A={x|x ＜2}，B={x|3﹣2x ＞0}，则（ ） A ．A∩B={x|x ＜} B ．A∩B=∅ C ．A ∪B={x|x ＜} D ．A ∪B=RB ．（2016新课标I 卷T1理科）设集合{}2430A x x x =-+<，{}230x x ->,则A B =I（A ）33,2⎛⎫--⎪⎝⎭ （B ）33,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ （C ）31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭（D ）3,32⎛⎫⎪⎝⎭（2017新课标I 卷T1理科）已知集合A={x|x ＜1}，B={x|3x ＜1}，则（ ） A ．A∩B={x|x ＜0} B ．A ∪B=R B ．A ∪B={x|x ＞1} D ．A∩B=∅C ．（2016新课标I 卷T1文科）设集合A={1,3,5,7}，B={x |2≤x ≤5}，则A ∩B=( )A ．{1,3}B ．{3,5}C ．{5,7}D ．{1,7}B ．（2015新课标I 卷T1文科）已知集合{|32A x x n ==+，}n N ∈，{6B =，8，10，12，14}，则集合A B I 中元素的个数为( )A ．5B ．4C ．3D ．2(2014新课标Ⅰ卷T1理科)已知集合A={x|x 2﹣2x ﹣3≥0}，B={x|﹣2≤x ＜2}，则A∩B=（ ）A ．[﹣2，﹣1] B ．[﹣1，2） C ．[﹣1，1] D ．[1，2）(2013新课标Ⅰ卷T1理科)已知集合A ＝{x |x 2－2x ＞0}，B ＝{x |－5＜x ＜5}，则( )．A ．A∩B ＝B ．A ∪B ＝RC ．B ⊆AD ．A ⊆B(2013新课标I 卷T1文科)已知集合A ＝{1,2,3,4}}4,3,2,1{=A ，},|{2A n n x xB ∈==，则=B A I ( )．A ．}4,1{B ．}3,2{C ．}16,9{D ．}2,1{（2012新课标I 卷T1文科）已知集合A={x |x 2−x −2<0}，B={x |−1<x <1}，则（A ）A ̹B （B ）B ̹A （C ）A=B （D ）A∩B=（2011新课标I 卷T1文科）已知集合M={0，1，2，3，4}，N={1，3，5}，P=M∩N ，则P 的子集共有（ ） A ．2个 B ．4个C ．6个D ．8个（2010新课标I 卷T2文科）设全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}1,4M =，{}1,3,5N =，则()U N M ⋂=ð A.{}1,3 B. {}1,5 C. {}3,5 D. {}4,5一、集合的基本概念1．元素与集合的关系：a A a A∈⎧⎨∉⎩属于，记为不属于，记为.2．集合中元素的特征：一个集合中的元素必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素要么是该集合中的元素，要么不是，二者必居其一，这个特性通常被用来判断涉及的总体是否能构成集合集合中的元素必须是互异的．对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同3．集合的分类：有限集与无限集，特别地，我们把不含有任何元素的集合叫做空集，记作∅. 4．常用数集及其记法：注意：实数集R 不能表示为{x |x 为所有实数}或{R }，因为“{ }”包含“所有”“全体”的含义. 5．集合的表示方法：自然语言、列举法、描述法、图示法. 二、集合间的基本关系集合A ，B 中元素相同或集合A ，B 互为子集空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集注意：（1）若集合A 中含有n 个元素，则有2n 个子集，有21n -个非空子集，有21n -个真子集，有22n -个非空真子集．（2）子集关系的传递性，即,A B B C A C ⊆⊆⇒⊆.三、集合的基本运算 1．集合的基本运算2．集合运算的相关结论*集合间的基本关系在高考中时有出现，常考查求子集、真子集的个数及利用集合关系求参数的取值范围问题，主要以选择题的形式出现，且主要有以下几种命题角度：（1）求子集的个数；（2）由集合间的关系求参数的取值范围.在此题型中，我们常通过数轴来表示集合之间的关系，那么如何利用数轴来求解集合间的关系？涉及到单变量的范围问题，均可考虑利用数轴来进行数形结合，尤其是对于含有参数的问题时，由于数轴左边小于右边，所以能够以此建立含参数的不等关系在同一数轴上作多个集合表示的区间时，可用不同颜色或不同高度来区分各个集合的区域。
高考数学一轮第11章 算法初步、复数、推理与证明 11-2
板块三 启智培优·破译高考
数学思想系列 12——解决复数问题的实数化思想 [2018·金华模拟]已知 z∈C，解方程 z·－z －3i－z ＝1＋3i. 解题视点 设 z＝a＋bi(a，b∈R)，根据已知中恒等的 条件，列出一组含 a，b 的方程，解方程组使问题获得解决．
解 设 z＝a＋bi(a，b∈R)，则(a＋bi)(a－bi)－3i(a－bi) ＝1＋3i，即 a2＋b2－3b－3ai＝1＋3i.
∴－2λ－λ＋μμ＝＝－3，4， 解得λμ＝＝－2. 1， ∴λ＋μ＝1.
考向 复数的代数运算 命题角度 1 复数的乘法运算 例 3 [2017·山东高考]已知 a∈R，i 是虚数单位．若 z＝a＋ 3i，z·z ＝4，则 a＝( ) A．1 或－1 B. 7或－ 7 C．－ 3 D. 3
A. 5 B．2 5 C．5 2 D. 10
解析 ∵z＝－2＋i，∴－z ＝－2－i， ∴|(1＋z)·－z |＝|(1－2＋i)·(－2－i)|＝|3－i|＝ 1＋9＝ 10，故选 D.
5．[2017·江苏高考]已知复数 z＝(1＋i)(1＋2i)，其中 i 是虚数单位，则 z 的模是____1_0___．
解析 ∵a∈R，a2－＋ii＝a2－＋ii22－－ii＝2a－1－5a＋2i＝ 2a5－1－a＋5 2i 为实数，∴－a＋5 2＝0，∴a＝－2.
触类旁通 求解与复数概念相关问题的技巧
复数的分类、复数的相等、复数的模、共轭复数的概念 都与复数的实部和虚部有关，所以解答与复数相关概念有关 的问题时，需把所给复数化为代数形式，即 a＋bi(a，b∈R) 的形式，再根据题意列方程(组)求解．
∴a＝43， b＝1，
解析 依题意得(a＋ 3i)(a－ 3i)＝4，即 a2＋3＝4，∴ a＝±1.故选 A.
高中数学中的复数与复数运算应用相关性质解析
高中数学中的复数与复数运算应用相关性质解析复数是高中数学中一个重要的概念。
它由实数和虚数部分组成，可表示为a+bi的形式，其中a为实数部分，b为虚数部分，i为虚数单位。
复数在数学中有广泛的应用，特别是在代数学和物理学中。
本文将解析高中数学中的复数与复数运算应用相关的性质。
一、复数的定义与性质复数是由实数和虚数部分组成的数。
实数部分可以为任意实数，而虚数部分可以写成bi的形式，b为一个非零实数。
复数的加、减、乘、除等运算可以用代数方式进行。
复数的加法和减法遵循有理数加法和减法的规律，即实部相加或相减，虚部相加或相减。
例如，(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i，(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i。
复数的乘法按照分配率进行计算。
例如，(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i。
复数的除法需要进行有理化处理，通过乘以共轭复数来除去分母中的虚数部分。
例如，(a+bi)/(c+di)=(ac+bd)/(c^2+d^2)+[(bc-ad)/(c^2+d^2)]i。
二、复数运算在方程中的应用复数在方程的求解中有广泛的应用。
考虑一元二次方程ax^2+bx+c=0，其中a、b、c为实数且a≠0。
当Δ=b^2-4ac<0时，方程的解为复数。
复数解由下式给出：x=(-b±√Δ)/(2a)。
例如，考虑方程x^2+1=0。
由于Δ=(-1)^2-4(1)(1)=-3<0，所以方程的两个解为虚数，即x=(-1±√(-3))/(2(1))=(-1±i√3)/2。
复数解在数学中有重要的应用，特别是在解析几何和数学模型中。
例如，复数解可用于描述平面上的向量和旋转操作。
它们还可以用于解决无理数问题，如开方运算中对负数的求根等。
三、复数运算在物理学中的应用复数在物理学中具有广泛的应用，尤其是在描述振动和波动过程中。
例如，交流电的电流和电压可以用复数来表示。
高三数学二轮专题突破 专题六 第4讲算法与复数
第4讲算法与复数【高考考情解读】 1.高考题中对算法的程序框图的考查主要以选择题或填空题的形式为主，试题难度中等偏易，试题主要以考查循环结构的程序框图为主，且常常与其它数学知识融汇在一起考查，如算法与函数、算法和数列、算法和统计以及应用算法解决实际问题.2.复数的概念和运算主要考查复数的分类、共轭复数、复平面和复数的四则运算为主，试题侧重对基本运算的考查，试题难度较低易于得满分，主要分布在试卷的第1、2题位置．1．算法的三种基本逻辑结构(1)顺序结构：如图(1)所示．(2)条件结构：如图(2)和图(3)所示． (3)循环结构：如图(4)和图(5)所示． 2． 复数(1)复数的相等：a ＋b i ＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )⇔a ＝c ，b ＝d .(2)共轭复数：当两个复数实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数． (3)运算：(a ＋b i)±(c ＋d i)＝(a ±c )＋(b ±d )i 、(a ＋b i)(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(bc ＋ad )i 、(a ＋b i)÷(c ＋d i)＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －dac 2＋d2i(c ＋d i ≠0)．(4)复数的模：|z |＝|a ＋b i|＝r ＝a 2＋b 2(r ≥0，r ∈R ).考点一 程序框图例1 (1)(2013·安徽)如图所示，程序框图(算法流程图)的输出结果是( )A.16B.2524C.34D.1112(2)(2013·课标全国Ⅱ)执行右面的程序框图，如果输入的N ＝10，那么输 出的S 等于( )A ．1＋12＋13＋…＋110B ．1＋12！＋13！＋…＋110！C ．1＋12＋13＋…＋111D ．1＋12！＋13！＋…＋111！答案 (1)D (2)B 解析 (1)赋值S ＝0，n ＝2 进入循环体：检验n ＝2<8， S ＝0＋12＝12，n ＝2＋2＝4； 检验n <8， S ＝12＋14＝34， n ＝4＋2＝6； 检验n <8， S ＝34＋16＝1112， n ＝6＋2＝8，检验n ＝8，脱离循环体， 输出S ＝1112.(2)k ＝1，T ＝11，S ＝1，k ＝2，T ＝11×2＝12！，S ＝1＋12！，k ＝3，T ＝11×2×3＝13！，S ＝1＋12！＋13！，…由于N ＝10，即k >10时，结束循环，共执行10次． 所以输出S ＝1＋12！＋13！＋…＋110！.(1)高考中对于程序框图的考查主要有“输出结果型”“完善框图型”“确定循环变量取值型”“实际应用型”，具体问题中要能够根据题意准确求解．(2)关于程序框图的考查主要以循环结构的程序框图为主，求解程序框图问题关键是能够应用算法思想列出每一次循环的结果，注意输出值和循环变量以及判断框中的限制条件的关系．(1)执行如图所示的程序框图，如果输出的a＝341，那么判断框中可以是()A．k<4? B．k<5?C．k<6? D．k<7?(2)执行如图所示的程序框图，输出的结果S的值为________．答案(1)C(2)－1解析(1)执行程序后，a1＝4a＋1＝1，k1＝k＋1＝2；a2＝4a1＋1＝5，k2＝k1＋1＝3；a3＝4a2＋1＝21，k3＝k2＋1＝4，a4＝4a3＋1＝85，k4＝k3＋1＝5；a5＝4a4＋1＝341，k5＝k4＋1＝6.要使输出的a＝341，判断框中可以是“k<6？”或“k≤5？”．∴选C.(2)第一次运行：S＝0，n＝2；第二次运行：S＝－1，n＝3；第三次运行：S＝－1，n＝4；第四次运行：S＝0，n＝5.……可推出其循环周期为4，从而可知，第2 011次运行时，S＝－1，n＝2 012，此时2 012<2 012不成立，则输出S＝－1.考点二复数的基本概念例2(1)(2013·安徽)设i是虚数单位，若复数a－103－i(a∈R)是纯虚数，则a的值为() A．－3 B．－1 C．1 D．3(2)(2013·四川)如图，在复平面内，点A表示复数z，由图中表示z的共轭复数的点是()A．A B．BC．C D．D答案(1)D(2)B解析(1)a－103－i＝a－(3＋i)＝(a－3)－i，由a∈R，且a－103－i为纯虚数知a＝3.(2)表示复数z的点A与表示z的共轭复数的点关于x轴对称，∴B点表示z.选B.复数的基本概念问题涉及复数的分类、共轭复数、复数相等条件、复平面等基本知识，解决复数基本概念问题关键是能够充分地掌握各个概念，其实质上就是对复数z＝a＋b i(a，b∈R)中实部和虚部的限制条件的应用或运算．(1)复数1＋i1－a i(i为虚数单位)是纯虚数，则实数a的值为________．(2)(2012·课标全国)下面是关于复数z＝2－1＋i的四个命题：p1：|z|＝2; p2：z2＝2i；p3：z的共轭复数为1＋i; p4：z的虚部为－1.其中的真命题为() A．p2，p3B．p1，p2C．p2，p4D．p3，p4答案(1)1(2)C解析(1)1＋i1－a i＝(1＋i)(1＋a i)1＋a2＝(1－a)＋(1＋a)i1＋a2，∴1－a＝0，a＝1.(2)利用复数的有关概念以及复数的运算求解．∵z＝2－1＋i＝－1－i，∴|z |＝(－1)2＋(－1)2＝2，∴p 1是假命题； ∵z 2＝(－1－i)2＝2i ， ∴p 2是真命题；∵z ＝－1＋i ，∴p 3是假命题； ∵z 的虚部为－1，∴p 4是真命题． 其中的真命题共有2个：p 2，p 4. 考点三 复数的运算例3 (1)(2013·山东)复数z 满足(z －3)(2－i)＝5(i 为虚数单位)，则z 的共轭复数z 为( )A ．2＋iB ．2－iC ．5＋iD ．5－i(2)(2012·江苏)设a ，b ∈R ，a ＋b i ＝11－7i1－2i (i 为虚数单位)，则a ＋b 的值为________．答案 (1)D (2)8解析 (1)由(z －3)(2－i)＝5得，z －3＝52－i ＝2＋i ，∴z ＝5＋i ，∴z ＝5－i.(2)化11－7i 1－2i 为标准形式，利用复数相等，求出a ，b .∵11－7i 1－2i ＝(11－7i )(1＋2i )(1－2i )(1＋2i )＝15(25＋15i)＝5＋3i ， ∴a ＝5，b ＝3.∴a ＋b ＝5＋3＝8.(1)与复数z 有关的复杂式子为纯虚数，可设为m i(m ≠0)，利用复数相等去运算较简便．(2)在有关复数z 的等式中，可设出z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，用待定系数法求解． (3)熟记一些常见的运算结果可提高运算速度： (1±i)2＝±2i ，1＋i 1－i ＝i ，1－i1＋i＝－i ， 设ω＝－12＋32i ，则ω3＝1，|ω|＝1，ω2＝ω，1＋ω＋ω2＝0.(1)已知复数z ＝3＋i(1－3i )2，z 是z 的共轭复数，则z ·z ＝________.(2)(2013·安徽)设i 是虚数单位，z 是复数z 的共轭复数．若z ·z i ＋2＝2z ，则z 等于( ) A ．1＋iB ．1－iC ．－1＋iD ．－1－i答案 (1)14 (2)A解析 (1)∵z ＝3＋i(1－3i )2＝3＋i－2－23i ＝3＋i－2(1＋3i )＝(3＋i )(1－3i )－2(1＋3i )(1－3i )＝23－2i －8＝－34＋14i ，故z ＝－34－14i ， ∴z ·z ＝⎝⎛⎭⎫－34＋14i ⎝⎛⎭⎫－34－14i ＝316＋116＝14. (2)设z ＝a ＋b i ，a ，b ∈R ，代入z ·z i ＋2＝2z ，整理得：(a 2＋b 2)i ＋2＝2a ＋2b i则⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝2a 2＋b 2＝2b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝1，因此z ＝1＋i.1． 算法(1)解答有关程序(算法)框图问题，首先要读懂程序(算法)框图，要熟练掌握程序(算法)框图的三个基本结构．(2)循环结构常常用在一些有规律的科学计算中，如累加求和，累乘求积，多次输入等．利用循环结构表示算法，第一要选择准确地表示累计的变量，第二要注意在哪一步结束循环．解答循环结构的程序(算法)框图题，最好的方法是执行完整每一次循环，防止执行程序不彻底，造成错误．(3)注意直到型循环和当型循环的本质区别．直到型循环是先执行再判断，直到条件满足才结束循环；当型循环是先判断再执行，若满足条件则进入循环体，否则结束循环． 2． 复数(1)与复数的相关概念和复数的几何意义有关的问题，一般是先变形，把复数的非代数形式化为代数形式，然后再根据条件，列方程(组)求解．(2)与复数z 的模|z |和共轭复数z 有关的问题，一般都要先设出复数z 的代数形式z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，代入条件，用待定系数法解决． (3)复数运算中常用的结论 ①(1±i)2＝±2i ； ②1＋i 1－i ＝i ； ③1－i 1＋i ＝－i ； ④－b ＋a i ＝i(a ＋b i)；⑤i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i ，其中n ∈N .1． 已知m ∈R ，复数1－mi在复平面内对应的点在直线x －y ＝0上，则实数m 的值是( )A ．－1B ．0C ．1D ．2答案 C解析 1－mi ＝1＋m i ，该复数对应的点为(1，m )，∴1－m ＝0，m ＝1.2． 执行如图所示的程序框图，输出的M 的值为( )A ．17B ．53C ．161D ．485答案 C解析 由框图算法可得：M ＝1，k ＝0；k ＝1，M ＝3×1＋2＝5；k ＝2，M ＝3×5＋2＝17； k ＝3，M ＝3×17＋2＝53； k ＝4，M ＝3×53＋2＝161；不满足循环条件，跳出循环，输出M ＝161，选C. 3． 已知z 是纯虚数，z ＋21－i是实数，那么z ＝________.答案 －2i解析 由题意设z ＝a i(a ∈R 且a ≠0)， ∴z ＋21－i ＝(2＋a i )(1＋i )(1－i )(1＋i )＝2－a ＋(a ＋2)i 2，则a ＋2＝0，∴a ＝－2，即z ＝－2i.(推荐时间：40分钟)一、选择题1． (2013·北京)在复平面内，复数(2－i)2对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 D解析 (2－i)2＝4－4i ＋i 2＝3－4i ， ∴对应点坐标为(3，－4)，位于第四象限．2． (2012·陕西)设a ，b ∈R ，i 是虚数单位，则“ab ＝0”是“复数a ＋bi为纯虚数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B 解析 直接法．∵a ＋bi ＝a －b i 为纯虚数，∴必有a ＝0，b ≠0，而ab ＝0时有a ＝0或b ＝0，∴由a ＝0，b ≠0⇒ab ＝0，反之不成立．∴“ab ＝0”是“复数a ＋bi 为纯虚数”的必要不充分条件．3． 设复数z 满足z (1＋2i)＝4－2i(i 为虚数单位)，则|z |等于( )A ．1B ．2C.32D.85答案 B解析 由题知z ＝4－2i1＋2i，∴|z |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4－2i 1＋2i ＝|4－2i||1＋2i|＝205＝2. 4． (2013·课标全国Ⅰ)执行右面的程序框图，如果输入的t ∈[－1,3]，则输出的s 属于( )A ．[－3,4]B ．[－5,2]C ．[－4,3]D ．[－2,5] 答案 A解析 由程序框图知：s ＝⎩⎨⎧3t (t <1)4t －t 2 (t ≥1)， ①当－1≤t <1时，－3≤s <3；②当1≤t ≤3时，s ＝－(t －2)2＋4∈[3,4]， 由①②知，s ∈[－3,4]．故选A.5． 如图所示的程序框图中，若输入值分别为a ＝20.9，b ＝(－0.9)2，c ＝log 0.91.3，则输出的数为( )A ．aB ．bC ．cD ．不确定答案 A解析 由此程序框图可知输出的数是a ，b ，c 三者当中最大的， ∵a ＝20.9>1，b ＝(－0.9)2∈(0,1)，c ＝log 0.91.3<0， ∴a 最大．∴输出的数是a ，故选A.6． 已知i 是虚数单位，复数z ＝－1＋2i 2＋i ＋21－i，则|z |等于( )A ．1B ．2 C. 5 D ．2 2答案 C解析 z ＝5i 5＋2(1＋i )2＝1＋2i ⇒|z |＝ 5.7． (2013·陕西)设z 1，z 2是复数，则下列命题中的假．命题是 ( )A ．若|z 1－z 2|＝0，则z 1＝z 2B ．若z 1＝z 2，则z 1＝z 2C ．若|z 1|＝|z 2|，则z 1·z 1＝z 2·z 2D ．若|z 1|＝|z 2|，则z 21＝z 22答案 D解析 由|z 1－z 2|＝0，则z 1－z 2＝0，∴z 1＝z 2，所以z 1＝z 2，故A 为真命题；由于z 1＝z 2，则z 1＝z 2＝z 2，故B 为真命题；由|z 1|＝|z 2|，得|z 1|2＝|z 2|2，则有z 1·z 1＝z 2·z 2，故C 为真命题，D 为假命题． 8． 执行如图的程序框图，输出的A 为( )A ．2 047B ．2 049C ．1 023D ．1 025答案 A解析 该程序框图的功能是求数列{a n }的第11项，而数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝2a n －1＋1.∵a n ＋1＝2a n －1＋2＝2(a n －1＋1)，∴{a n ＋1}是以2为首项，以2为公比的等比数列． ∴a n ＝2n －1，∴a 11＝211－1＝2 047.9． 某程序框图如图所示，现输入如下四个函数，其中可以输出的函数是( )A ．f (x )＝x 2B ．f (x )＝1xC ．f (x )＝ln x ＋2x －6D ．f (x )＝sin x答案 D解析 第一个判断框的目的是判断输入的函数是否为奇函数，第二个判断框的目的是判断输入的函数是否存在零点．结合选项知，函数f (x )＝sin x 为奇函数，且存在零点，故选D.10．(2013·重庆)执行如图所示的程序框图，如果输出s＝3，那么判断框内应填入的条件是()A．k≤6? B．k≤7?C．k≤8? D．k≤9?答案 B解析当k＝2时，s＝log23，当k＝3时，s＝log23·log34，当k＝4时，s＝log23·log34·log45.由s＝3，得lg 3lg 2×lg 4lg 3×lg 5lg 4×…×lg(k＋1)lg k＝3，即lg(k＋1)＝3lg 2，所以k＝7.再循环时，k＝7＋1＝8，此时输出s，因此判断框内应填入“k≤7”．故选B.二、填空题11．已知集合A＝{x|x2＋y2＝4}，集合B＝{x||x＋i|<2，i为虚数单位，x∈R}，则集合A与B 的关系是________．答案B A解析|x＋i|＝x2＋1<2，即x2＋1<4，解得－3<x<3，∴B＝(－3，3)，而A＝[－2,2]，∴B A.12．如图所示的程序框图，当x1＝3，x2＝5，x3＝－1时，输出的p值为________．答案 4解析依题意得，当x1＝3，x2＝5，x3＝－1时，|x1－x2|<|x2－x3|，p＝x1＋x22＝4，因此输出的p值是4.13．(2013·湖南)执行如图所示的程序框图，如果输入a＝1，b＝2，则输出的a的值为________．答案9解析输入a＝1，b＝2，执行第一次循环a＝3；第二次循环a＝5；第三次循环a＝7；第四次循环a＝9.循环终止，输出a＝9.14．(2013·广东)执行如图所示的程序框图，若输入n的值为4，则输出s的值为________．答案7解析i＝1，s＝1→i＝2，s＝1→i＝3，s＝2→i＝4，s＝4→i＝5，s＝7结束．15．(2013·湖北)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序．若输入m的值为2，则输出的结果i＝________.答案 4解析第一次循环：i＝1，A＝2，B＝1；第二次循环：i＝2，A＝4，B＝2；第三次循环：i＝3，A＝8，B＝6；第四次循环：i＝4，A＝16，B＝24，终止循环，输出i＝4.。
复数计算技巧
复数计算技巧
复数计算是进行数学计算时必不可少的重要技巧，它主要用于确定一个数字不
仅是单数，也是另一组较大的数字的乘积，或者确定两个数字乘积的余数是多少。
因此，复数计算技巧的熟练掌握和应用对于正确的数学计算非常重要。
一般来说，复数计算技巧主要有四种：分为法、提高法、四环法和乘除法。
在
使用分解法时，可以将复数拆分成较小的数字，再分别进行计算；提高法则是将其内部的数进行调整，最后通过乘积的某一项的除数进行单一的计算；四环法则是将乘积分为两组，再写成可以简化的乘积；而乘除法则则是将乘除法则简化成乘法法，或将除法简化成乘法法。
复数计算的正确使用是为了防止误差并提高数学算法的准确性，但是在使用这
些技巧时要更加小心慎重，以避免出现计算错误。
事实上，一位准确数学算术的计算师，在运算中使用了复数计算技巧，其准确性也会得到大大提升，而且他或她的日常工作又会有质的飞跃。
数据结构复数的四则运算
数据结构复数的四则运算复数是由实数和虚数构成的数，实数部分可以为任意实数，虚数部分可以表示为实数乘以一个虚数单位i（i^2=-1）。
复数的四则运算包括加法、减法、乘法和除法。
下面将分别介绍这四种运算的定义和算法。
1.加法：复数的加法定义为：(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i其中，a、b、c、d为实数部分和虚数部分。
算法流程：-将两个复数的实部相加，得到新复数的实部。
-将两个复数的虚部相加，得到新复数的虚部。
-构建新的复数对象，实部为上一步得到的实部，虚部为上一步得到的虚部。
2.减法：复数的减法定义为：(a+bi) - (c+di) = (a-c) + (b-d)i其中，a、b、c、d为实数部分和虚数部分。
算法流程：-将两个复数的实部相减，得到新复数的实部。
-将两个复数的虚部相减，得到新复数的虚部。
-构建新的复数对象，实部为上一步得到的实部，虚部为上一步得到的虚部。
3.乘法：复数的乘法定义为：(a+bi) * (c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i其中，a、b、c、d为实数部分和虚数部分。
算法流程：-将两个复数的实部相乘，得到新复数的实部1-将两个复数的虚部相乘，得到新复数的虚部1-将一个复数的实部乘以另一个复数的虚部，得到新复数的实部2-将一个复数的虚部乘以另一个复数的实部，得到新复数的虚部2-将新复数的实部1减去虚部1，得到新复数的实部。
-将新复数的实部2与虚部2相加，得到新复数的虚部。
-构建新的复数对象，实部为上一步得到的实部，虚部为上一步得到的虚部。
4.除法：复数的除法定义为：(a+bi) / (c+di) = [(ac+bd)/(c^2+d^2)] + [(bc-ad)/(c^2+d^2)]i其中，a、b、c、d为实数部分和虚数部分。
算法流程：-将两个复数的实部分别相乘，得到实部分子式1-将两个复数的虚部分别相乘，得到虚部分子式1-将一个复数的实部乘以另一个复数的虚部，得到实部分子式2-将一个复数的虚部乘以另一个复数的实部，得到虚部分子式2-将实部分子式1与虚部分子式1相加，得到分子的实部。
平面向量,算法,复数..
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第一部分 专题一
第二讲
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2．复数 (1)复数 z＝a＋bi(a，b∈R)的分类 ①z 是实数⇔b＝0； ②z 是虚数⇔b≠0； ③z 是纯虚数⇔a＝0，且 b≠0. (2)共轭复数 复数 a＋bi(a，b∈R)的共轭复数是 a－bi(a，b∈R)．
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3．算法的三种基本逻辑结构 (1)顺序结构：如图(1)所示．
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(2)条件结构：如图(2)和图(3)所示． (3)循环结构：如图(4)和图(5)所示．
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高频热点全透视 02
考点突破 解码命题
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热点考向一 平面向量的运算及应用 【例 1】 (1)(2015· 新课标全国卷Ⅰ)设 D 为△ABC 所在 → → 平面内一点，BC＝3CD，则( )
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(3)注意直到型循环和当型循环的本质区别． 直到型循环 是先执行再判断，直到条件满足才结束循环；当型循环是先 判断再执行，若满足条件则进入循环体，否则结束循环．
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2．若复数 z＝a＋3＋a2i＋2a－3i(i 为虚数单位)为纯虚 数，则实数 a 的值为( )
A．－3 B．－3 或 1 C．3 或－1 D．1
解析 ∵z＝a＋3＋a2i＋2a－3i＝(a2＋2a－3)－(a＋3)i
是纯虚数，∴a－2＋a2＋a－3≠3＝0，0，
高中数学
第3讲 复数、算法
[考情分析] 高考中对复数的考查多以选择题、填空题 的形式出现，单独命题，一般难度较小．对程序框图的考查 主要以循环结构的程序框图为载体，考查学生对算法的理 解．
热点题型分析
热点1 复数的基本概念 【方法结论】
1．复数的分类
实数b＝0， a＋bi(a，b∈R)虚数b≠0非纯纯虚虚数数a＝a0≠，0.
【题型分析】 1．(2016·全国卷Ⅰ)设 x(1＋i)＝1＋yi，其中 x，y 为实数， 则|x＋yi|＝( ) A．1 B． 2 C． 3 D．2
解析 因为 x(1＋i)＝1＋yi，所以 x＋xi＝1＋yi，x＝1，y ＝x＝1，|x＋yi|＝|1＋i|＝ 2，故选 B.
2．设复数 z 满足11＋－zz＝i，则 z＝(
2．处理有关复数概念的问题时，首先要找准复数的实 部与虚部(若复数为非标准的代数形式，则应通过代数运算 化为标准代数形式)，然后根据定义解题．
3．复数问题实数化是解决复数问题的最基本也是最重 要的方法．
【题型分析】 1．若复数 z＝i(3－2i)(i 是虚数单位)，则 z ＝( ) A．2－3i B．2＋3i C．3＋2i D．3－2i
热点2 复数的几何意义 【方法结论】 1.
2．复数加减法的几何意义可按平面向量加减法理解， 利用平行四边形法则或三角形法则解决问题．
【题型分析】 1．设 i 是虚数单位，则复数12－i i在复平面内所对应的点 位于( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
解析 由题意12－i i＝12－ii1＋1＋i i＝－22＋2i＝－1＋i，其 对应的点坐标为(－1,1)，位于第二象限，故选 B.
热点4 程序框图的应用 【方法结论】 1．判断循环结构的输出结果的方法 (1)首先要清楚循环体、变量的初始条件和循环的终止条 件分别是什么，再模拟电脑的运行步骤去运行． (2)当循环次数较少时，列出每一步的运行结果，直到程 序结束，自然就得出答案．当循环次数较多时，注意列出前 面的若干步骤，观察、归纳出规律，从而得出答案．
2．执行如图所示的程序框图，则输出的 S 为( ) A．－2 B．12 C．43 D．3
解析 模拟执行程序，可得：S＝3，k＝1， 不满足条件 k＝2017？，执行循环体，S＝43，k＝2， 不满足条件 k＝2017？，执行循环体，S＝12，k＝3， 不满足条件 k＝2017？，执行循环体，S＝－2，k＝4， 不满足条件 k＝2017？，执行循环体，S＝3，k＝5， 不满足条件 k＝2017？，执行循环体，S＝43，k＝6， …
2．(2016·全国卷Ⅱ)已知 z＝(m＋3)＋(m－1)i 在复平面内 对应的点在第四象限，则实数 m 的取值范围是( )
A．(－3,1) B．(－1,3) C．(1，＋∞) D．(－∞，－3)
解析 要使复数对应的点在第四象限应满足 m＋3>0， m－1<0，
解得－3<m<1，故选 A.
【误区警示】 1．分式形式的复数，要将分母实数化(分子分母同乘以 分母的共轭复数)，化成 z＝a＋bi(a，b∈R)的形式进行判断， 第 1 题易直接根据分母 1－i 得出点位于第四象限，错选 D. 2．复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数 的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形 式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．
2．当型循环与直到型循环要明确 当型循环是“先判断，后循环，条件满足时执行循环”； 直到型循环是“先循环，后判断，条件满足时终止循环”．两 者的判断框内的条件表述在解决同一问题时是不同的，它们 恰好相反． 3．控制循环的变量要明确 明确每一次执行循环体前和执行循环体后，变量的值发 生的变化．
【题型分析】 1．(2017·全国卷Ⅱ)执行下面的程序框图，如果输入的 a ＝－1，则输出的 S＝( )
热点3 复数的四则运算 【方法结论】 1．在复数代数形式的四则运算中，加减乘运算按多项式 运算法则进行，除法则需分母实数化． 2．在进行复数的代数运算时，记住以下结论，可提高计 算速度：
①(1±i)2＝±2i；11＋－ii＝i；11－＋ii＝－i. ②－b＋ai＝i(a＋bi)，a，b∈R. ③i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋ i4n＋2＋i4n＋3＝0，n∈N*.
)
A．－i B．i C．1－i D．1＋i
解析 由11＋－zz＝i 得 z＝－1＋1＋i i＝－1＋2i1－i＝i，故选 B.
【误区警示】 1．复数相等要注意化成 a＋bi(a，b∈R)的形式，再利 用实部与实部相等，虚部与虚部相等． 2．复数运算中 i2＝－1 的负号易忽略，第 2 题容易忽略 复数的运算法则而从 z＝a＋bi 形式入手，导致运算量太大 或者计算出错．
得aa＝≠－－33或，a＝1，
∴a＝1.故选虚部变为原来的相反数即 可．第 1 题易混淆概念错选 C.
2．解题时一定要先把复数化为 z＝a＋bi(a，b∈R)的形 式，以确定实部和虚部．复数 z 为纯虚数的充要条件是 a＝ 0 且 b≠0.第 2 题易只考虑实部 a2＋2a－3＝0，得 a＝－3 或 a＝1，错选 B.
A．2 B．3 C．4 D．5
解析 阅读流程图，初始化数值 a＝－1，K＝1，S＝0. 循环结果执行如下： 第一次：S＝0－1＝－1，a＝1，K＝2； 第二次：S＝－1＋2＝1，a＝－1，K＝3； 第三次：S＝1－3＝－2，a＝1，K＝4； 第四次：S＝－2＋4＝2，a＝－1，K＝5； 第五次：S＝2－5＝－3，a＝1，K＝6； 第六次：S＝－3＋6＝3，a＝－1，K＝7； 结束循环，输出 S＝3.故选 B.