常微分方程练习题

常微分方程练习题

§1 一阶常微分方程

1．求下列微分方程的通解：

（1）)(22y y y x y '+='-；

（2）0)4(2=-+dy x x ydx ；

（3）0)2()2(2222=-++-+dy x xy y dx y xy x ；

（4）x

y x y y x tan =-'； （5）2122⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-++='y x y y ； （6）0)2(=-+dy y xe dx e y y ；

（7）0)cos sin 3()1cos (222=-+-dy y y x y dx y x ；

（8）0)(4223=+++dy y x y ydy xdx ；

（9）0)()(2=++-dy x y dx xy x ；

（10）22x xe xy y -=+'；

（11）x x e x y y x 1

22-=-'；

（12）02)6(2=+'-y y x y ；

（13）x

y y y y y -+='ln 2； （14）0)(24=-+dy x y xydx ；

（15）x y x x y y =-+'1

41

2； （16）0]1)[ln(=--'xy y y x ；

（17）0cos 232=+-'x x y y xy ；

（18）212

22sin 22sin 1x e y x y y x ++='+； （19）02)1(322=+'-xy y y x ；

（20）y y x y x ++='22)(。

2．求下列微分方程的特解：

（1）ydy x xdx y ln ln =，11==x y ；

（2）x y x y y tan +='，6

1π==x y ； （3）022=---'x y y y x ，11==x y ；

（4）0)

()2(2=+++y x ydy dx y x ，10==x y ； （5）0)1(2=---dx x ydx xdy ，01==x y ；

（6）x x y x y 2cos sin cos =+'，10==x y ；

（7）0tan )sin (=+-ydx dy y x ，61π==x y ；

（8）0)cos 1(cos sin ln =-+'y x y y x y x ，π==1x y 。

3. 试确定具有连续导数的一元函数ϕ，它满足2)0(-=ϕ，使得

0)(]tan )(2[sin =+-dy x ydx x x x ϕϕ

是全微分方程，并求此全微分方程的通解。

4．试确定在),0(∞+具有连续导数的一元函数ϕ，它满足

⎰+=⎪⎭

⎫ ⎝⎛-x

x dt t t t t 121)()(ln )(ϕϕϕ。 5．有一曲线)(x f y =（0)(>x f ），它通过)1,1(点，且该曲线在],1[x 上所形成的曲边梯形的面积等于22-y

x ，其中)(x f y =。求)(x f 。 6．设),(y x u 具有二阶连续导数，且不恒等于0。证明)()(),(y g x f y x u =的充要条件为y

u x u y x u u ∂∂∂∂=∂∂∂2。

7．某湖泊的水量为V ，每年排入湖泊内含污染物A 的污水量为

6V ，流入湖泊内不含A 的水量为6V ，流出湖泊的水量为3

V 。已知1999年底湖中A 的含量为05m ，超过国家标准。为了治理污染，从2000年起，限定排入湖泊中含A 污水的浓度不超过V

m 0。问至多需经过多少年，湖泊中的污染物A 的含量会降至0m 以内（假定湖水中A 的浓度是均匀的）？

8．一摩托艇以km/h 10的速度在静水上运动，全速时停止发动机。过了s 20后，摩托艇的速度减至km/h 6，试确定发动机停止2分钟后，摩托艇的速度。假定水的阻力与摩托艇的运动速度成正比。

§2 二阶线性微分方程

1．求下列微分方程的通解：

（1）082=-'+''y y y ；

（2）064=+'+''y y y ；

（3）0)4(=-y y ；

（4）02)4(=''+'''-y y y ；

（5）122+='+''x y y ；

（6）x xe y y y -=+'+''323；

（7）x e y y y x 2sin 52=+'-''；

（8）x x y y cos +=+''；

（9）x xe y y y x cos 22=+'-''；

（10）x x y y 2sin sin =+''；

（11）0332=+'-''y y x y x ；

（12）x x y y x y x ln 22=+'-''；

（13）348)12(4)12(2-=-'-+''-x y y x y x 。

2．求下列微分方程的特解：

（1）0134=+'-''y y y ，00==x y ，30='=x y ；

（2）x xe y y 4=-''，00==x y ，10='=x y ；

（3）x xe y y x sin 42+=+''，00==x y ，00='=x y ；

（4）x e x y y y --=+'-'')712(65，00==x y ，00='=x y 。

3．已知x e y =是方程0)1(=-'-''+xy y y x 的一个解，求这个方程的通解。

4．用常数变易法求方程x xe

y y y 12=+'+''的通解。 5．设)cos sin (21x C x C e y x +=（1C ，2C 是任意常数）为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解，求该方程。

6．设一元函数f 具有二阶连续导数，且1)0()0(='=f f 。试确定f ，使得在全平面上曲线积分

⎰-'+-L

x dy y x f ydx x f e ]sin )([)](5[2 与路径无关，并求⎰-'+-)

,(0),0(2]sin )([)](5[ππdy y x f ydx x f e x 。

7．设一元函数f 具有二阶连续导数，)sin (y e f z x =满足方程z e y

z x z x 22222=∂∂+∂∂，求f 。

8．某种飞机在机场降落时，为了减少滑行距离，在触地瞬间，飞机尾部张开减速伞以增大阻力，使飞机减速停下。现有一质量为kg 9000的飞机，着陆时的水平速度为km/h 700。经测试，减速伞打开后，飞机所受阻力与飞机的速度成正比（比例系数6100.6⨯=k ）。问从着陆点算起，飞机滑行的最大距离是多少？

9．一长为20m 且质量均匀的链条悬挂在钉子上，开始挂上时有一端为8m 。问不计钉子对链条的摩擦力时，链条自然滑下所需的时间？

§3 可降阶的微分方程

1．.求解下列微分方程：

（1）211x

y +=''；