沪教版八年级上册-二次根式
沪教版八年级数学上册,二次根式备课笔记
沪教版八年级数学上册,二次根式备课笔记二次根式1.二次根式：形如a的式子（a≥0）叫做二次根式。
在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件，如，，等是二次根式，而，等都不是二次根式。
2.最简二次根式：必须同时满足下列条件：⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式；⑵被开方数中不含分母；⑶分母中不含根式。
3.同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。
二次根式的运算：①二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式．②二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式．1、二次根式的概念与识别二次根式2、二次根式的化简与运算3、分母含有二次根式的分数进行分母有理化例题1：形如a （）的式子叫做二次根式。
1153a 21b -22a b +220m +144-的个数是（）．A ．4B ．3C ．2D ．12、下列式子一定是二次根式的是（）A ．2--xB ．xC ．22+xD ．22-x练习：下列各式是二次根式吗?为什么？例2 、二次根式中字母的取值范围a 有意义，被开方数a ≥0，被开方数a 可以是数，也可以是式子x 取何值时,下列根式有意义?4223(8)1(9)42(10)3x -≤++--322(1) 32 (2) 12 (3) 8(4) a (5) -m (m 0) (6)2a -1 (7)a a 21(1)21(2)2(3)(4)1x x x x练习：①、若13-m 有意义，则m 能取的最小整数值是（）A ．m=0B ．m=1C ．m=2D ．m=3②、二次根式31-x 有意义的条件是。
③、求使下列各式有意义的字母的取值范围：（1）43-x （2）a 831- （3）42+m （4）x1-当x +11x +在实数范围内有意义？例3、最简二次根式被开方数同时符合两个条件：1、被开方数中各因式的指数都为12、被开方数不含分母像这样的二次根式叫做最简二次根式下列二次根式中属于最简二次根式的是（）A ．14B ．48C ．ba D ．44+a 将下面的两个式子化为最简二次根式 (1).315)2(;72.0练习：将下列二次根式化为最简二次根式将下列二次根式化为最简二次根式0)b >)x y >将下列二次根式化成最简二次二次根式0)a > 0)a > 0)x >例题4：同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式。
沪教版八上教材知识点
角的平分线 →定理：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 →逆定理：在一个角的内部（包括顶点）且到角的两边距离相等的点，在 这个角的平分线上 19.6 轨迹（点的轨迹） →和线段两个端点距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线 →在一个角的内部 （包括顶点） 且到角两边距离相等的点的轨迹是这个角 的平分线 →到定点的距离等于定长的点的轨迹是以这个定点为圆心， 定长为半径的 圆 第 3 节 直角三角形 19.7 直角三角形全等的判定 →定理：如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，那么这两 个直角三角形全等（简记为 H.L） 19.8 直角三角形的性质 定理 1：直角三角形的两个锐角互余 定理 2：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 推论 1：在直角三角形中，如果一个锐角等于 300，那么它所对的直角边 等于斜边的一半 推论 2：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条 直角边所对应的角等于 300 19.9 勾股定理 →定理：在直角三角形中，斜边大于直角边 →勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和，等于斜边的平方 <→勾股定理的逆定理：>如果三角形的一条边的平方等于其他两条边的 平方和，那么这个三角形是直角三角形 19.10 两点的距离公式 19.5 →公式： AB ( X 1 X 2 ) 2 (Y1 Y2 ) 2 本章小结 阅读材料一 《几何原本》古今谈 阅读材料二 勾股定理万花筒
a a (a 0, b 0) b b
→把二次根式里被开方数所含的完全平方因式移到根号外， 或者化去被开 方数的分母的过程，称为“化简二次根式” →通常把形如 m a (a 0) 的式子也叫做二次根式
a a b ab ab (a 0, b 0) b bb b b2
沪教版八年级上册-二次根式的复习与练习题1
二次根式知识点归纳和题型归类 一、知识要点梳理知识点一、二次根式的主要性质:1. ；2. ；3. ；4.积的算术平方根的性质: ；5.商的算术平方根的性质: .6.若 , 则 .知识点二、二次根式的运算1. 二次根式的乘除运算(1) 运算结果应满足以下两个要求: ①应为最简二次根式或有理式；②分母中不含根号.(2) 注意每一步运算的算理；(3) 乘法公式的推广:2. 二次根式的加减运算 先化简, 再运算,3. 二次根式的混合运算 (1)明确运算的顺序, 即先乘方、开方, 再乘除, 最后算加减, 有括号先算括号里；(2)整式、分式中的运算律、运算法则及乘法公式在二次根式的混合运算中也同样适用.二、分类练习与讲解:1. 二次根式的概念我们把形如 的式子叫做二次根式,如 等, 都是二次根式注意: ① 二次根式都含有二次根号 ； ② 在二次根式中, 被开方数 必须满足 , 当 时, 根式无意义；③ 在二次根式中, 可以是数也可以是一个代数式；④ 二次根式 是 的算术平方根, 所以 。
例1.当 为任意实数时, 下列各式有意义的是（ ）A. B. C. D.例2、当 为何值时, 下列各式有意义？⑴ 12+x ； ⑵ xx --1132. 二次根式的性质性质:注意：性质 表明：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值, 需注意的是 不是等于 , 而是等于 , 再根据 的正、负确定最后的结果。
例3 已知 , 则 的结果是______________例4 已知 满足 , 那么 的值为（ ）A. 2004B. 2005C. 2006D. 2007练习: 二次根式的意义及性质题组1: （二次根式的识别: 式子 （ ）, 叫做二次根式）1. 下列各式中一定是二次根式的是（ ）A. B. C. D.2．下列各式中, 是二次根式的有_____________________________。
（填序号）；； ；； ； 4. 若 , 则下列各式中, 是二次根式的是（ ）A. B. C. D.题组2: （二次根式有意义的条件）1．当 是怎样的实数时, 下列各式在实数范围内有意义？（1___________；（2__________；（3；（4______。
沪教版八年级上册-二次根式
5、比较大小： ； 。
6、 的整数部分是________;小数部分是_______。
7、求值： ＝，－ ＝， ＝，－ ＝_____。
8、若x2＝52，则x＝，若x2＝5，则x＝。
9、若３－２x没有平方根，则x
10、若 的正的平方根是3，则x=______________
(1)被开方数中各因数是整数，因式是整式； (2)被开方数中不含能开的尽方的因数或因式。
四、同类二次根式
几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个根式叫做同类二次根式。
同类二次根式可以合并.
注：要判断几个根式是否为同类根式，不一定非要化成最简形式，实际上只要化成某一种形式后，在这种形式下，被开方数相同就可以了。
基本内容 二次根式
知识精要
一、二次根式
在之前数的开方学习中，我们懂得如果一个数的平方等于 （a≥0），即x2=a（a≥0）。那么这个数x叫做 的平方根，写成x= ，即代数式 叫做a的二次根式。其中 是被开方数(可为整式或分式). 有意义的条件是 ，所以 也大于等于0。
2、二次根式的性质
性质1 ；※
性质2 ;
4、如果 在实数范围内有意义，则x的取值范围是____________
5、 成立的条件是
6、 成立的条件是
7、判断下列二次根式是不是最简二次根式：
1） 2） 3） 4）
8、将下列二次根式化成最简二次根式：
1） 2） 3）
化简： = = =
9、下列二次根式，那些是同类二次根式：
， ， ， ， ，
10、若 ，化简
11、计算：
（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）
沪教版(五四制)八年级数学上册16.1二次根式初步讲义(无答案)
沪教版〔五四制〕八年级数学上册二次根式初步讲义〔无答案〕第十讲二次根式一、二次根式的定义形如a〔a0〕的式子叫做二次根式二、二次根式的根天性质：⑴a0〔a0〕；⑵(a)2a〔a0〕；⑶a2a a(a0)a(a0)三、最简二次根式：二次根式a〔a0〕中a称为被开方数．知足下边条件的二次根式我们称为最简二次根式：⑴被开放数的因数是整数，因式是整式〔被开方数不可以存在小数、分数形式〕⑵被开方数中不含能开得尽方的因数或因式⑶分母中不含二次根式二次根式的计算结果要写成最简根式的形式．四、同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式此后，假如被开方数同样，那么这几个二次根式就叫做同类二次根式。
五、二次根式的乘除二次根式的乘法法那么：a b ab〔a0，b0〕二次根式的除法法那么：a a〔a0，b0〕b b利用这两个法那么时注意a、b的取值范围，关于ab ab，a、b都非负，否那么不建立，如(7)(5)(7)(5)六、分母有理化及其初步应用分母有理化：把分母中的根号化去叫做分母有理化．互为有理化因式：两个含有二次根式的非0代数式相乘，假如它们的积不含有二次根式，我们说这两个代数式互为有理化因式．a b与a b互为有理化因式；分式有理化时，必定要保证有理化因式不为01/11沪教版〔五四制〕八年级数学上册二次根式初步讲义〔无答案〕二次根式的观点与意义【例题1】〔1〕求当x知足什么条件时，以下各式在实数范围内存心义？当x时，x22存心义：当x时，2x存心义：2x1当x时，1存心义：当x时，x4存心义。
3x6x3〔2〕当x取何值时，以下二次根式存心义x2(x3)2x x x0〔3〕使等式2a12a 1建立的实数a的取值范围a3a3【例题2】〔1〕在35,a,a2b2,24a,a,x2x2y中，最简根式有个22〔2〕将以下各式化为最简的二次根式13b3=2732a2b=x2y 752(y0)=9xy 〔3〕假定b1,那么化a为最简二次根式得：〔〕b11a(b1)B.1a(b1)C.11)D.(b1)a(b1)A.b a(bb11a2/11沪教版〔五四制〕八年级数学上册二次根式初步讲义〔无答案〕【例题3】〔1〕以下二次根式中，哪些是同类二次根式？〔字母均为正数〕①127②48③20④1125⑤1y⑥y x5 2x xy〔2〕以下各式：3，27，1，54，与3是同类二次根式的有个212〔3〕在8,175a,29a,125,23a 3,30.2,21中，与 3a 是同类二次根式的有33 a8个〔4〕在以下各组根式中，是同类二次根式的是〔〕A.3和18B.33a 4b 4和1ab4C.a 2b 和ab 2D.a1和a143〔5〕在1, 2, 3,..., 2021这2021个式子中，与2000是同类二次根式的共有多少个？与2021是同类二次根式的有多少个？〔6〕 2021 x y 且0 x y ，求知足上式的整数对〔 x ，y 〕.二次根式的简单运算3/11沪教版〔五四制〕八年级数学上册二次根式初步讲义〔无答案〕【例题4】〔1〕假如 a 2a 建立，那么实数 a 的取值范围是 ___________.〔2〕 xy x y 建立的条件是 .〔3〕实数 a 知足|2021 a| a 2021 a ，求a20212【例题5】〔1〕化简：〔当0 a1时，化简(a1 )21 ______a a〔2〕化简： 1 2 2 3 3 4 4 5〔3〕3322 339〔4〕设等式a(xa)a(y a) xaay 在实数范围内建立，此中 a ，x ，y 是两 两不一样的实数，那么3x 2 xy y 2 的值是〔 〕x 2 xy y 2A ．3B ．1C ．2D ．533〔5〕a 为实数，且a26与12 6都是整数，那么a =a【例题6】计算：〔1〕23a46ab〔2〕10mn 26m 2n4/11沪教版〔五四制〕八年级数学上册二次根式初步讲义〔无答案〕〔3〕418(28154)〔4〕2a3ab2b27a330,b0〕34aba〔a334【例题7】〔1〕假定abc0，且a b c，化简a4b3c2a1〔2〕化简：〔1〕a2a〔3〕化简：x3x2y1x y21x2yxy2y3(x0,y0)44【例题8】当a1,b5时，1a22abb21b22aba293935/11沪教版〔五四制〕八年级数学上册二次根式初步讲义〔无答案〕【例题9】把以下各式分母有理化：xy 23 5 2 3⑴2(a1) y1 ⑵⑶⑷5 2 32a4xy213【例题10】分母有理化：322 36。
沪教版数学初二上——二次根式概念及性质
【习题7】化简：
（1） ；（2） ．
【习题8】计算 的值
【例11】化简：
（1） ；（2） ；
（3） ；（4） （ ）．
【例12】化简：
（1） ；（2） ；
（3） ；（4） ．
【例13】把下列各式中根号外面的因式移到根号内，并使原式的值不变．
（1） ；（2） ；（3） ；（4） ．
【例14】化简：
（1） ；（2） ．
【例15】化简：
（1） ；（2） ．．
【例16】已知 ，求x的取值范围．
2、二次根式的性质
性质1： 推广性质1可得到：
性质：
性质3：
性质4：
二、例题讲解
【例1】下列各式中，二次根式的个数有（）
； ； ； ； ； ．
A．2个B．3个C．4个D．5个
【例2】添加什么条件时，下列式子是二次根式？
（1） ；（2） ；（3） ；（4） ．
【例3】等式 成立的条件是（）
A． B． C． D．
二次根式的概念与性质
一、知识精讲
知识一、二次根式、无理数、实数的概念
当被开方数部分是整数时，该二次根式可以看作一个无理数（开方开不尽的时候），表示对一个整数求算术平方根，联想之前七年级的中点逼近法求范围
知识二、二次根式的概念和性质
1、形如 （a ）的代数式，叫做二次根式，a是被开方数．
举例说明： 、 、 、 等都是二次根式．在实数范围内，负数没有平方根，所以像 ， 这样的式子没有意义，二次根式有意义的条件是被开方数是非负数．
【例17】
已知 ，求代数式 的值．
【例18】已知 的个位数字．
【例19】已知：m= ，求 的值．
沪教版(上海)八年级第一学期《16.1 二次根式》(共16张PPT)
开平方和平方是互逆的运算——
( a )2 a (a 0) a2 a
a2
a
3/23/2022
2
2
3
3
二次根式的性质
例3
求下列二次根式的值
（1） ( 3 ) 2
（2） x2 2x 1 其中x= 3
（3）
1
(m 2)2
其中m= 5
例4
例4：设a、b、c分别是三角形三边的长， 化简：
被开方数
a
二次根号
a在取值上有什 么要求？
a0
在实数范围内，二次根式有意义的条件就是被开方数是 非负数（即被开方数≥0 ）。
3/23/2022
例1
设x是实数，当x满足什么条件时，下列各式有 意义？
(1) 2 x
(2) 2 x 1
(3) 1 x
(4) 1 x 2
巩固练习
设x是实数，当x满足什么条件时，下列各式有 意义？
复习回顾
1、如果 x2 4，那么 x±2 ；
2、3的平方根是_____3___
3、2的算术平方根是___2 _
3/23/2022
x
?
问题情境
1.已知：一个正方形花圃的面积为5㎡，
则它的边长为___5__m；
5
2.已知：一个正方形花圃的面积为（a-5）
㎡，则它的边长为__a__5_m；
3/23/2022
能 力 和 独 立 解决问 题的能 力,积累 了更多 的这些 方面工 作经。 在 完 成 上 述 工作的 同时,还 按照工 委要求 参加了 市直机 关创先 争优和 XX年机关党组
织 书 记 述 职 考评检 查工作 。在参 加这项 工 作 的 过 程 ,自己感 到也是 一个学 习的过 程,学到 了一些 机关党 建
沪教版八年级上册数学 第十六章 二次根式 全章复习 教案
第十六章 二次根式 全章复习 教案【学习目标】1、理解并掌握二次根式、最简二次根式、同类二次根式的定义和性质.2、熟练掌握二次根式的加、减、乘、除运算，会用它们进行有关实数的四则运算.3、了解代数式的概念，进一步体会代数式在表示数量关系方面的作用.【知识网络】【要点梳理】要点一、二次根式的相关概念和性质1. 二次根式形如(0)a a ≥的式子叫做二次根式，如13,,0.02,02等式子，都叫做二次根式. 要点诠释：二次根式a 有意义的条件是0a ≥，即只有被开方数0a ≥时，式子a 才是二次根式，a 才有意义.2.二次根式的性质（1）； （2）；（3）.要点诠释：（1） 一个非负数a 可以写成它的算术平方根的平方的形式，即a 2a =（0a ≥），如2221122););)33x x ===（0x ≥）.（2）a 的取值范围可以是任意实数，即不论a .（3a ，再根据绝对值的意义来进行化简.（42的异同a 可以取任何实数，而2中的a 必须取非负数；a ，2=a （0a ≥）.相同点：被开方数都是非负数，当a 2.3. 最简二次根式（1）被开方数是整数或整式；（2)被开方数中不含能开方的因数或因式.满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.次根式.要点诠释：最简二次根式有两个要求：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中每个因式的指数都小于根指数2.4.同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式. 要点诠释：判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是否相同，再判断.显然是同类二次根式.要点二、二次根式的运算1. 乘除法（1）乘除法法则：类型法则 逆用法则二次根式的乘法 0,0)a b =≥≥积的算术平方根化简公式：0,0)a b =≥≥二次根式的除法 0,0)a b≥> 商的算术平方根化简公式：0,0)a b=≥> 要点诠释：（1）当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘（或相除）的法则，如=（2）被开方数a 、b 一定是非负数（在分母上时只能为正数）.≠.2.加减法将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变，即合并同类二次根式.要点诠释：二次根式相加减时，要先将各个二次根式化成最简二次根式，再找出同类二次根式，最后合并同类二次根式.如23252(135)22+-=+-=-. 【典型例题】 类型一、二次根式的概念与性质 1． 当________时，二次根式3x -在实数范围内有意义.【答案】x ≥3.【解析】根据二次根式的性质，必须3x -≥0才有意义.【总结升华】本例考查了二次根式成立的条件，要牢记，只有0a ≥时a 才是二次根式. 举一反三【变式】①242x x =-成立的条件是 .②2233x x x x--=--成立的条件是 . 【答案】① x ≤0；(2422x x x x ==-∴≤0.)② 2≤3x <.(20,30,x x -->∴≥2≤3x <) 2．当0≤x <1时，化简21x x +-的结果是__________.【答案】 1.【解析】因为x ≥0，所以2x =x ；又因为x <1,即x -1<0,所以1(1)1x x x -=--=-，所以21x x +-=x +1-x =1.【总结升华】利用二次根式的性质化简二次根式，即2a =a ，同时联系绝对值的意义正确解答.举一反三【变式】已知﹣=2，则+的值为_____________． 【答案】5.解：∵﹣=2， ∴=+2， 两边平方得，25﹣x 2=4+15﹣x 2+4，∴2=3，两边平方得4（15﹣x 2）=9，化简，得x 2=， ∴+=+=5．故答案为：5． 3.下列二次根式中属于最简二次根式的是（ ）. A. 14 B. 48 C.a b D. 44a + 【答案】A. 【解析】选项B ：48=43；选项C ：有分母；选项D ：44a +=21a +，所以选A.【总结升华】本题考查了最简二次根式的定义.最简二次根式要满足：（1）被开方数是整数或是整式；（2）被开方数中不含能开方的因式或因数.类型二、二次根式的运算 4．下列计算正确的是（ ）A ．﹣= B ．3×2=6 C ．（2）2=16D ．=1 【答案】B.【解析】解：A 、不能化简，所以此选项错误； B 、3×=6，所以此选项正确；C 、（2）2=4×2=8，所以此选项错误；D 、==，所以此选项错误； 故选B ．【总结升华】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的计算法则是关键，要注意：①二次根式的运算结果要化为最简二次根式；②与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的；③灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径．举一反三【变式】计算：4854453)833【答案】243610-. 5.化简20102011(32)(32)+⋅-.【答案与解析】201020102010=(32)(32)(32)(32)(32)(32)1(32)3 2.+⋅-⋅-⎡⎤=+⋅-⋅-⎣⎦=⋅-=-原式 【总结升华】本题的求解用到了积的乘方的性质，乘法运算律，平方差公式及根式的性质，是一道综合运算题型. 6.已知2231,12x x x x=-+求. 【答案与解析】2231,1=30,(1)133331=33x x x x x x x =+∴->∴=--+==原式当时，原式【总结升华】 化简求值时要注意x 的取值范围，如果未确定要注意分类讨论.举一反三【变式】已知a b +=-3, ab =1,求ab b a +的值. 【答案】∵a b +=-3,ab =1，∴<0a ,<0b11++)=-=3ab ab a b b a ab ∴原式.。
沪教版数学八年级上册16.2《二次根式的运算》(第2课时)教学设计
沪教版数学八年级上册16.2《二次根式的运算》（第2课时）教学设计一. 教材分析《二次根式的运算》是沪教版数学八年级上册第16章第2节的内容。
这一节主要介绍了二次根式的加减乘除运算方法，以及运用二次根式的性质进行化简。
教材通过实例引导学生掌握二次根式的运算规律，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
二. 学情分析八年级的学生已经掌握了实数、有理数、无理数的基本概念，对数学运算有了一定的认识。
但在实际操作中，部分学生可能对二次根式的运算规律把握不准，尤其是对含有字母的二次根式运算。
因此，在教学过程中，需要关注学生的学习需求，引导他们积极参与课堂讨论，提高运算能力。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握二次根式的加减乘除运算方法，能熟练进行二次根式的运算。
2.过程与方法：通过实例分析，让学生体会数学知识在实际问题中的应用，提高解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养他们勇于探索、积极思考的精神。
四. 教学重难点1.重点：二次根式的加减乘除运算方法。
2.难点：含有字母的二次根式运算，以及运用二次根式的性质进行化简。
五. 教学方法1.引导法：通过实例引导学生发现二次根式的运算规律，培养学生独立思考的能力。
2.互动法：鼓励学生积极参与课堂讨论，提高学生的合作意识。
3.练习法：通过适量练习，使学生巩固所学知识，提高运算能力。
六. 教学准备1.教材、教案、PPT等教学资料。
2.练习题及答案。
3.教学黑板、粉笔。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用实例引入二次根式的运算，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）讲解二次根式的加减乘除运算方法，引导学生发现运算规律。
3.操练（10分钟）让学生分组进行练习，教师巡回指导，纠正错误。
4.巩固（10分钟）针对学生练习中的共性问题进行讲解，巩固所学知识。
5.拓展（10分钟）运用二次根式的性质进行化简，引导学生解决实际问题。
6.小结（5分钟）总结本节课所学内容，强调二次根式运算的注意事项。
沪教版八年级上第十六章 二次根式全章复习与巩固 知识讲解 讲义
《二次根式》全章复习与巩固--知识讲解（提高）【学习目标】1、理解并掌握二次根式、最简二次根式、同类二次根式的定义和性质.2、熟练掌握二次根式的加、减、乘、除运算，会用它们进行有关实数的四则运算.3、了解代数式的概念，进一步体会代数式在表示数量关系方面的作用. 【知识网络】【要点梳理】知识点一、二次根式的相关概念和性质 1. 二次根式形如(0)a a ≥的式子叫做二次根式，如13,,0.02,02等式子，都叫做二次根式.要点诠释：二次根式a 有意义的条件是0a ≥，即只有被开方数0a ≥时，式子a 才是二次根式，a 才有意义.2.二次根式的性质 （1）； （2）；（3）.要点诠释：（1） 一个非负数a 可以写成它的算术平方根的平方的形式，即a 2()a =（0a ≥），如222112(2);();()33x x ===（0x ≥）.（2） 2a 中a 的取值范围可以是任意实数，即不论a 取何值，2a 一定有意义. （3）化简2a 时，先将它化成a ，再根据绝对值的意义来进行化简.（4）2a 与2()a 的异同不同点：2a 中a 可以取任何实数，而2()a 中的a 必须取非负数；2a =a ，2()a =a （0a ≥）.相同点：被开方数都是非负数，当a 取非负数时，2a =2()a .3. 最简二次根式1）被开方数是整数或整式；2)被开方数中不含能开方的因数或因式.满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.如222,,3,ab x a b +等都是最简二次根式.要点诠释：最简二次根式有两个要求：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中每个因式的指数都小于根指数2. 4.同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式.要点诠释：判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是否相同，再判断.如2与8，由于8=22，2与8显然是同类二次根式.知识点二、二次根式的运算 1. 乘除法（1）乘除法法则：类型 法则 逆用法则二次根式的乘法(0,0)a b ab a b ⨯=≥≥积的算术平方根化简公式：(0,0)ab a b a b =⨯≥≥二次根式的除法(0,0)a a a b b b=≥>商的算术平方根化简公式：(0,0)a aa b b b=≥>要点诠释：（1）当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘（或相除）的法则，如a b c d ac bd ⋅=.（2）被开方数a 、b 一定是非负数（在分母上时只能为正数）.如(4)(9)49-⨯-≠-⨯-.2.加减法将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变，即合并同类二次根式.要点诠释：二次根式相加减时，要先将各个二次根式化成最简二次根式，再找出同类二+-=+-=-.次根式，最后合并同类二次根式.如23252(135)22【典型例题】类型一、二次根式的概念与性质1． x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？(1)； (2)；【答案】（1）;（2）.【解析】(1) 要使在实数范围内有意义，则必有∴当时，在实数范围内有意义；(2) 要使在实数范围内有意义，则必有∴当时，在实数范围内有意义；a≥时a才是二次根【总结升华】本例考查了二次根式成立的条件，要牢记，只有0式.举一反三：【变式】已知，求的值.【答案】根据二次根式的意义有将代入已知等式得2.把根号外的因式移到根号内，得( ).A ．B ．C ．D ．【答案】C.【解析】由二次根式的意义知x ＜0，则.【总结升华】在利用二次根式性质化简时，要注意其符号，要明确a 是非负数，反过来将根号外的因式移到根号内时，也必须向里移非负数。
沪教版数学八年级上册16.1《二次根式的概念与性质》(第1课时)教学设计
沪教版数学八年级上册16.1《二次根式的概念与性质》（第1课时）教学设计一. 教材分析《二次根式的概念与性质》是沪教版数学八年级上册第16章的第1节课程。
本节内容主要介绍二次根式的定义、性质及其运算。
教材通过生活实例引入二次根式，让学生体会数学与实际的联系，培养学生的数学应用能力。
教材内容由浅入深，逐步引导学生掌握二次根式的基本概念和性质，为后续的二次根式运算打下基础。
二. 学情分析学生在学习本节内容前，已掌握了实数、分数、有理数等基础知识，具备一定的逻辑思维能力和运算能力。
但对于二次根式这一概念，学生可能较为陌生，需要通过实例和生活情境来理解和接受。
同时，学生可能对二次根式的性质和运算规律一时难以掌握，需要在教学过程中给予充分的时间和引导。
三. 教学目标1.理解二次根式的概念，掌握二次根式的性质。
2.能够对简单的二次根式进行运算。
3.培养学生的数学应用能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.二次根式的概念及其理解。
2.二次根式的性质及其运用。
3.二次根式的运算规律。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例引入二次根式，让学生感受数学与实际的联系。
2.引导发现法：教师引导学生发现二次根式的性质和运算规律，培养学生的自主学习能力。
3.实践操作法：让学生通过实际操作，加深对二次根式概念和性质的理解。
六. 教学准备1.教学课件：制作涵盖生活实例、二次根式定义、性质及运算规律的课件。
2.练习题：准备适量的一次和二次根式运算练习题。
3.教学道具：准备一些实际物品，如直尺、三角板等，用于演示和操作。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活实例，如计算一个物体的体积，引入二次根式。
引导学生思考：如何表示这个体积？从而引出二次根式的概念。
2.呈现（15分钟）展示教材中的例题和练习题，让学生观察和思考：这些二次根式有哪些共同特点？教师引导学生总结出二次根式的性质。
3.操练（15分钟）让学生分组进行练习，运用二次根式的性质进行计算。
沪教版八年级数学上册,二次根式的混合运算
二次根式的混合运算C0知识梳理)知识回顾2、二次根式的加减法法则二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并.注意:(1)二次根式的加减常分为两大步骤进行，第一步化简：第二步合并；(2)在合并前应注意要先判断清楚它们中哪些二次根式的被开方数是相同的：在合并时类似于以前学过的合并同类项，只需将根号外的因式进行加减.被开方数和根指数不变.3、二次根式的乘除法法则两个二次根式相乘，被开方数相乘，根指数不变。
两个二次根数相除，被开方数相除，根指数不变。
C©教学重•难点)重点：掌握二次根式的混合运算。
难点：能正确的进行二次根式的运算。
1小明从不念书却得了模范生，为什么答案:2什么车子寸步难行？答案：3哪一个月有二十八天？答案：c例I 、己知实数x 、y 满足|》一5| +心+ 4=0,求代数式(x+v) + (^+y)2 + …+ (x+y 严"的值。
例2、己知a 、b 是实数.旦+ + 问a 、卜之间有怎样的关系？例 3、已知“ 十 ' =』5 + 2、信,a-b = yl5-2^6 ,求(^|)2008 的值.例4、求满足Ovxvy 及、页志=& + /7的不同整数对(x・y)的个数口例5,先化简，再求值:a 2 + 2ab + 力"U * * (“ + b)"〃 * 力) « V a —b 叫a= --， b=—=---。
V3-1 <3 + 1当堂练习「）1、已知实数X、y满足|x—201|+Jy+200=0,求代数式(x+y)+(x+y)2+…+(x+y)‘加的值。
2、己知a+b=-Jl+4^3，a—b=J7-4>/5,求(W~)2<*IS 的值。
—13、求满足0<x<y及71539=^+77的不同整数对（X，Y）的个数。
4、B^(V3-V2)2000-x=(73+V22()01,求X的值.检测）a1、已知实数X、y满足k-iq+V7m=0,求代数式(x+y)+(jc+y)2+..・+(x+y)««的值。
上海教育出版社八年级数学上册二次根式
1、 x取何值时,下列二次根式有意义?
(1) 2x 4
x 2
(2) 1 3x x1 3
(3) x2 1
x为全体实数
(4) x3
x0
2、 当x取何值时,下列式子有意义?
(1)
2
x 3 x 3
1 (2)
(x 2)2
x2
3 1 a 1 (4) 1 x x 1且x 2
指出下列哪些是二次根式？
1 5 √ 2 3 33 21
4 bb 0 √
5 a 2a 2 √ 6 a bab
73 5m2 8 x2 1 √
3、如果 x2 a(a 0) ，
那么x a 。
导入
1. 如图，直角三角形的斜边长为 a米
___a_2___2_5_0__0__米。
?米 50米
2.如图所示的值表示正方形的
面积，则正方形的边长是 b 3
b-3
3.要修建一个面积为6.28m2的圆形喷水池，
它的半径为 2 m（ 取3.14）；
1 x 1 2 24 4x 3 5x
x≥1
x≤6
（3）-5x≥0 ∴x≤0
这会有 意义吗？
即当x≤0时， 5x 在实数范围内有意义.
当x为怎样的实数时，下列各式
有意义？
1 x 3
6 x
x≥3 x≤6
∴3≤x≤6
2 1 x x 1
x≤1 x≥1
∴x=1
3 x2 2
4 x 1
x为任何实数.
x为任何实数.
4、关系式中 h 5t 2，用含有h的式子
表示t，则t为
h 5
。
新授:
沪教版(五四制)八年级数学上册 第十六章二次根式讲义(无答案)
第三讲 二次根式一、 二次根式的定义0a ≥）的式子叫做二次根式 二、 二次根式的基本性质：0≥（0a ≥）；⑵2a =（0a ≥） (0)(0)a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩三、 最简二次根式：0a ≥）中a 称为被开方数．满足下面条件的二次根式我们称为最简二次根式： ⑴被开放数的因数是整数，因式是整式（被开方数不能存在小数、分数形式） ⑵被开方数中不含能开得尽方的因数或因式 ⑶分母中不含二次根式二次根式的计算结果要写成最简根式的形式． 四、 同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式就叫做同类二次根式。
五、 二次根式的乘除 二次根式的乘法法则：=0a ≥，0b ≥） 二次根式的除法法则：=0a ≥，0b >）利用这两个法则时注意a 、b =a 、b 都非负，否则不成立，≠六、 二次根式的加减 合并同类二次根式：(a b +【例题1】 a =-成立，求实数a 的取值范围【提高】=成立的条件是 。
【尖子】已知实数a 满足|2010|a a -=，求22010a -【例题2】 计算：⑴；⑶【例题3】 【基础】已知：1008,999a b ==【提高，尖子】已知：5,1,a b ab +=-=求+。
【例题4】 =a ，x ，y 是两两不同的实数，则22223x xy y x xy y +--+的值是（ ）A ．3B ．13C ．2D ．53【例题5】 【基础】请举出五组二次根式，（两个一组）要求它们都是同类二次根式19999多少个？【尖子】三角形最大边与最小边的长分别是与最大边上的高为，求最小边上的高【例题6】 【基础，提高】求值：当1,5a b ==-=【例题7】 已知12.62，≈ ，≈【例题8】 ⑴ 计算：⑵ 计算：(2x y-⑶ 已知1x =，1y =，求22x xy y -+和33x y xy +． ⑷ 已知x =，a 是x 的整数部分，b 是x 的小数部分，求a ba b-+的值．【例题9】2a=【例题10】【基础、提高】已知：【尖子】已知：a=，b=【例题11】。
16.1二次根式-沪教版(上海)八年级数学上册课件(共28张PPT)
∵
2x+6≥0 -2x＞0
∴
x≥-3 x＜0
?
12 为一个整数, 求自然数n的值.
则
y x
5
___2_
2-X≥0
X-2≥0
x ≤2 x≥2
∴x=2, y=5
?
实数p在数轴上的位置如图所示，化
简
(1 p)2
2
2 p
1 p (2 p)
p 1 2 p
1
在实数范围内分解因式:4 x2 - 3
解: ∵ 3
2
3
∴ 4x2 3 (2x)2
2
3
(2x 3)(2x 3)
16.1 二次根式
回忆
⑴什么叫做一个数的平方根？如何表示？ 一般地，若一个数的平方等于a，则 这个数就叫做a的平方根。
a的平方根是 a
⑵什么是一个数的算术平方根？如何表示？
若一个正数的平方等于a，则这个数就 叫做a的算术平方根。
用 a (a≥0)表示。
要求： 1.理解二次根式的概念 2.找出二次根式有意义的条件 3.二次根式的双重非负性是什么？a 0
试一试
下列式子中，哪些一定是二次根式？
① 5
② 3x (x<0)③
14
④ a 1
⑤
a 32⑥
xy(x, y同号)
⑦二x次2 根1式根⑧号内字母4的取⑨值范围必须x2满1足:
被开方数大于或等于零.
隋堂练习 1
练习1：求下列二次根式中字母的取值范围：
(1) a 1 (2) 1
1 2a
(3) (a 3)2
1 2
3
02 0
a2 a (a≥0)
沪教版(上海)八年级第一学期 二次根式概念 学案
主 题 二次根式概念学习目标1．理解二次根式的概念，知道二次根式中被开方数的取值范围和二次根式的取值范围；2．理解最简二次根式和同类二次根式的概念，会把二次根式化成最简二次根式．教学内容一、温故而知新1．已知a x =2，那么a 是x 的_________；x 是a 的________，记为__ _，a 一定是________数．2．4的算术平方根为2，用式子表示为4=______；正数a 的算术平方根为_______，0的算术平方根为_______；式子)0(0≥≥a a 的意义是 ．3．用带有根号的式子填空，看看写出的结果有什么特点：(1) 16的算术平方根是 ；(2) 一个物体从高处自由落下，落到地面的时间是t (单位：秒)与开始下落时的高度h (单位：米)满足关系式25t h =．如果用含h 的式子表示t ，则t = ；(3) 圆的面积为S ，则圆的半径是 ；(4) 正方形的面积为3-b ，则边长为 ．思考：像16，5h ，πs ,3-b 等式子有什么共同的特征？答：_____________ 于是我们把上面这些式子叫做____________________．归纳定义：一般地我们把形如________（0≥a ）的式子叫做二次根式，a 叫做_____________．试一试：判断下列各式，哪些是二次根式？哪些不是？为什么？3，16-，34，5-，(0)3a a ≥，12+x ，(0)x x >、0、42二、二次根式有意义的条件 当a 为正数时a 指a 的 ，而0的算术平方根是 ，负数 ，只有非负数a 才有算术平方根．所以，在二次根式a 中，字母a 必须满足 时，a 才有意义．如果a 满足 时a 没有意义．三、当x 是多少时下列二次根式有意义．（1）2-x （2）43-x （3）xx +-121四、二次根式的性质性质1：⎪⎩⎪⎨⎧<-=>==)0()0(0)0(2a a a a a a a （或⎩⎨⎧≤-≥==)0()0(2a a a a a a ） 性质2：)0()(2≥=a a a性质3：(0,0)ab a b a b =⋅≥≥性质4：(0,0)a a a b b b=≥>五、最简二次根式与同类二次根式归纳总结： （1）被开方数中各因式的指数都为1；（2）被开方数不含分母．同时满足上述两个条件的二次根式叫做最简二次根式．归纳总结：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式．例题1：下列式子中哪些一定是二次根式：（1）65； （2）2-； （3）； （4）38； （5）231⎪⎭⎫ ⎝⎛-； （6）)1(1>-x x ； （7）322++x x ； （8）()02<-a a ． 答： ．（只填序号）试一试：在式子2231,,1,0,,22x a x ++-中，一定是二次根式的有（ ） A 、6个 B 、5个 C 、4个 D 、3个例题2：若23x ++11x +在实数范围内有意义，则x 的取值范围 ．试一试：（1）如果a a 211-+有意义，那么a 的取值范围是 ．（2）如果215x x --有意义，那么x 的取值范围是 ．例题3：已知01<<-a ，化简414122+⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛+a a a a试一试：（1）当2x >时，化简22(2)(12)x x ---．（2）已知在实数范围内x 23-有意义，化简7296-+-x x ．（3）当2a <-时，21(1)__________a -+= ．例题4：把下列二次根式化成最简二次根式．（1）32(0)3b a a > ※（2） 1a a--试一试：（1） 34(0)8y x x> ※（2） 4b a-课堂练习1．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）A ．21；B ．8；C ．y x 2；D ．y x +2 ．2．下列根式中，与18为同类二次根式的是（ ）A ．2；B ．3；C ．5；D ．6．3．如果ab 是二次根式，则a 、b 应满足的条件是（ ）（A ）0a ≥且0b ≤ （B ）0a ≠且0b ≥ （C ）a 、b 同号 （D ）a 、b 异号4．下列各式中一定成立的是（ ）A 、22( 3.7)( 3.7)-=B 、22()m m =C 、2442x x x -+=-D 、22x y x y x y -=-•+ 5．若x x x x -•-=--32)3)(2(成立．则x 的取值范围为：（ ）A ． x≥2B ． x≤3C ． 2≤x≤3D ． 2＜x ＜36．计算：（1）234⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ （2）23553⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭（3）2212(3)2⎛⎫-- ⎪⎝⎭7．当实数x 取何值时，下列各式有意义： （1）12-x （2）2)2(-x （3）x x -+ （4）25-+x （5）123+-x x8．若11++-m m 有意义，则的取值范围是 ．9．设a 、b 、c 分别是三角形三边的长，化简：22)()(a c b c b a --++-m课后作业1．下列根式中，属于最简二次根式的是（ ）（A ）x 1； （B ）y x 2； （C ）x 8； （D ）22y x +．2．下列根式中，与2为同类二次根式的是（ ）（A ）；（B ）a 2； （C ）2.0； （D ）12．3．求下列各式有意义的条件(1)1-x (2)x 32- (3)241-x21(4)2-x x(5)()211-x (6)112+x ．4．如果2121--=--x x x x ，那么x 的取值范围是（ ） A ．1≤x≤2 B ．1＜x≤2 C ．x≥2 D ．x ＞25． 当x 时，()244x x -=- 6．若2x <，化简2(2)3x x -+-的结果为7．直接填写计算结果：（1）805=_________； （2）3590710÷=___________； （3）32111273103÷⨯=_________； （4）7623483x y x y=__________．8．将下列二次根式化成最简二次根式并计算：（1）324(0)x y y > （2）22()()(0)a b a b a b -+≥≥（3）32134273108.333a a a a a a -+-1、最困难的事就是认识自己。
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※
性质4 （ >0）一般地,我们有
三、最简二次根式
1. 化简二次根式
把二次根式里被开方数所含的完全平方因式移到根号外,或者化去被开方数的分母的过程,称为化简二次根式,通常把形如 的式子叫做最简二次根式。
2. 化简后的二次根式中：
(1)被开方数中各因式的指数都为1； (2)被开方数不含分母。
3.最简二次根式必须满足二个条件：
8、把（a－b） 化成最简二次根式，正确的结果是（）
A. ；B. ；C.－ ；D.－ 。
9、在二次根式 ， ， ， ， 中，最简二次根式个数是（）
A．1个；B. 2个；C. 3个；D. 4个
10、下列各组二次根式中，同类二次根式是（）
A. ，3 ；B. 3 ， ；C. ， ；D. ，
三、简答题
1、比较大小：
4、 的平方是___， 的平方根是__。
5、比较大小： ； 。
6、 的整数部分是________;小数部分是_______。
7、求值： ＝，－ ＝， ＝，－ ＝_____。
8、若x2＝52，则x＝，若x2＝5，则x＝。
9、若３－２x没有平方根，则x
10、若 的正的平方根是3，则x=______________
5、最简根式 和 是同类根式，则（）
A. a=1,b=1；B. a=1,b=2；C. a=2,b=1；D. a=2,b=2
6、下列各式中与 是同类二次根式的是（）。
A. ；B. ；C. ；D.
7、如果最简二次根式 是同类二次根式,那么使 有意义的x的取值范围是()
A. x≤10；B. x≥0；C. x＜10；D. x＞0
五、二次根式的运算
1.二次根式的加法和减法
一般过程：先把各个二次根式化为最简二次根式,再把同类二次根式分别合并.（化简+合并）
2.二次根式的乘法和除法
（1）两个二次根式相乘,被开方数相乘,根指数不变；
（2）两个二次根式相除,被开方数相除,ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ指数不变.
3.分母有理化
把分母中的根号化去就是分母有理化.即是指分母不含二次根式的运算的技术。
A． ；B. ；C. ；D.
2、已知 ，那么 可化简为（）
A． ；B． ；C． ；D．
3、下列二次根式中，与 不是同类二次根式的为（）
A． ；B. ；C. ；D.
4、下列说法正确的是（）
A、任何两个根式都可化为同类根式；B、最简二次根式一定是同类二次根式；
C、同类根式一定是最简根式；D、 是最简根式。
11、设a、b、c分别是三角形三边的长，化简：
精解名题
例1、
例2、 （a>b>0）
例3、解下列方程和不等式：
（1） （2） （3）
例4、已知 ，求 的值
例5、已知： 是一个正整数
(1)写出最小的正整数a
(2)这样的正整数a有多少个？如果有有限个，请写出来；如果有无数个，则a是怎样的一个整数？
例6、已知： ，求 的平方根。
基本内容 二次根式
知识精要
一、二次根式
在之前数的开方学习中，我们懂得如果一个数的平方等于 （a≥0），即x2=a（a≥0）。那么这个数x叫做 的平方根，写成x= ，即代数式 叫做a的二次根式。其中 是被开方数(可为整式或分式). 有意义的条件是 ，所以 也大于等于0。
2、二次根式的性质
性质1 ；※
性质2 ;
分母有理化的方法是把分子和分母都乘以同一个适当的代数式,使分母不含根号.
上述的适当代数式即是指有理化因式。
热身练习
1、已知x是实数，当x满足什么条件时，下列各式有意义？
1） ；2） ；3） ；4）
2、若5x+1没有平方根，则x的取值范围是____________
3、 是实数，则 ＝__________
例7、已知：实数 满足 。求： 的值
例8、若 分别表示 的整数部分和小数部分，求 的值。
巩固训练：
一、填空题
1、计算： =。
2、如果 与 是同类二次根式，那么 的值可以是（只需写出一个）。
3、x取6，9，12，18中的________时， 与 是同类二次根式。
4、若最简二次根式 ， 是同类二次根式，则a=________。
(1)3 与 ；(2) － 与2 －1；(3) － 与 － 。
2、计算与化简：
(1) ；
(2)[ ]2-( )2；
(3)( －6 )(4 ＋ )－(2 －3 )2；
(4) ；(5) ；
(6) （x>3y）。
自我测试
1、若 ，则 叫做 的，记做 。
2、若最简二次根式 与 是同类二次根式，则 。
3、16的平方根为_______________。
(1)被开方数中各因数是整数，因式是整式； (2)被开方数中不含能开的尽方的因数或因式。
四、同类二次根式
几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个根式叫做同类二次根式。
同类二次根式可以合并.
注：要判断几个根式是否为同类根式，不一定非要化成最简形式，实际上只要化成某一种形式后，在这种形式下，被开方数相同就可以了。
5、计算： · ÷ ＝； =；( －2)8( ＋2)8=。
6、当a=_______时，最简根式-2 和3 是同类根式。
7、三角形三边a＝7 ，b＝4 ，c＝2 ，则周长是。
8、若 是最简二次根式，则b可取的自然数有_____。
9、若 和 都是最简二次根式，则 。
二、选择题：
1、下列二次根式中，最简二次根式是（）
11、计算：
（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）
12、已知m、n为实数，且满足m= ，求6m-3n的值？
13、若x，y为实数，且y＝ ＋ ＋ ．求 － 的值．
14、计算
4、如果 在实数范围内有意义，则x的取值范围是____________
5、 成立的条件是
6、 成立的条件是
7、判断下列二次根式是不是最简二次根式：
1） 2） 3） 4）
8、将下列二次根式化成最简二次根式：
1） 2） 3）
化简： = = =
9、下列二次根式，那些是同类二次根式：
， ， ， ， ，
10、若 ，化简