教师 几种特殊的平行四边形：矩形、菱形、正方形 - 副本

特殊的平行四边形：矩形、菱形、正方形【本讲教育信息】一. 教学内容：几种特殊的平行四边形：矩形、菱形、正方形［目标］1. 理解矩形、菱形的定义与性质。

2. 掌握矩形、菱形的判定方法。

二. 重点、难点：1. 矩形、菱形性质的综合应用。

特别是菱形性质和直角三角形的知识的综合应用。

2. 矩形、菱形的判定方法的综合应用。

三. 知识要点： 1. 矩形（1）矩形的概念有一个角是直角的平行四边形叫矩形。

（2）矩形的特殊性质 ①矩形的对角线相等 ②矩形四个角都是直角 （3）矩形性质的应用①矩形的一条对角线将矩形分成2个全等的直角三角形； ②矩形的2条对角线将矩形分成4个等腰三角形；③有关矩形的问题往往可以化为直角三角形或等腰三角形的问题来解决； ④矩形的面积计算公式： 宽长矩形⨯=S（4）矩形的判定条件①有三个角是直角的四边形是矩形 ②对角线相等的平行四边形是矩形 注意：1）在判定四边形是矩形的条件中，平行四边形的概念是最基本的条件，其他的判定条件都是以它为基础的。

2）四边形只要有3个角是直角，那么根据多边形内角和性质，第四个角也一定是直角。

（在判定四边形是矩形的条件中，给出“有3个角是直角”的条件，是因为数学结论的表述中一般不给出多余条件。

）3）将两个判定条件比较，后者的条件中，除了“有3个角是直角”的条件外，只要求是“四边形”，而前者的条件却包括“平行四边形”和“两条对角线相等”两个方面。

4）矩形的判定与性质的区别 2. 菱形（1）菱形的概念有一组邻边相等的平行四边形叫菱形。

（2）菱形的特殊性质 ①菱形的四条边都相等②菱形的对角线相互垂直，且每一条对角线平分一组对角 （3）菱形性质的应用由于菱形的对角线互相垂直平分，菱形的2条对角线就将菱形分成了四个全等的直角三角形，结合图形向学生介绍菱形的一个面积计算公式。

两条对角线的乘积菱形 S 的一半思考归纳：计算菱形的面积有哪些方法？ （4）菱形的判定条件①四边都相等的四边形是菱形；②对角线互相垂直的平行四边形是菱形（5）四边形、平行四边形、菱形之间的关系如图：【典型例题】例1. 等边三角形、矩形、菱形和圆中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. 等边三角形和圆 B. 等边三角形、矩形、菱形 C. 菱形、矩形和圆 D. 等边三角形、菱形、矩形和圆分析：因为等边三角形是轴对称图形而不是中心对称图形，明确了这一点，就很容易排除A 、B 、D ，只选C 了解：菱形、矩形、圆这三种图形，都是轴对称图形，且又都是中心对称图形，故选C 。

例2. 如图，过□ABCD 的对角线的交点O 作两条互相垂直的直线EF 、GH 、分别与□ABCD 的四条边交于E 、F 和G 、H ，求证EGFH 为菱形。

分析：关键在于证明四边形EGFH 为平行四边形，由中心对称图形性质易得OH ＝OG ，OE ＝OF 。

证明：O 是□ABCD 的对称中心，GH 经过O 点与BC 交于G ，与AD 交于H ∴G 、H 是以O 点为对称中心的对称点 ∴OG ＝OH同理：OE ＝OF ，∴四边形EGFH 为平行四边形 又∵EF ⊥GH∴四边形EGFH 为菱形例3. 如图，在△ABC 中，∠C=90°，CD 为AB 边上的高，∠CAB 的平分线交CD 于E ，交CB 于F ，过点F 作FG ⊥AB 于G ，连GE 。

试说明四边形CEGF 为菱形。

ABCFD GE解：如图，∵AF 平分∠CAB ，CF ⊥AC ， FG ⊥AB ， ∴CF=GF ，∠CFA=∠GFA ， 又∵DE ∥FG ∴∠AFG=∠CEF∴∠CEF=∠CFE ，则CE=CF ， ∴CE=FG ，∴四边形ECFG 为平行四边形， 又CF=FG ，∴四边形CEGF 为菱形例4. 如图，菱形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 上的点， ∠B=∠EAF=60°。

说明∠CEF=∠BAE 。

解：连结AC ，四边形ABCD 是菱形（已知），∴AB=BC=CD=AD ， ∠D=∠B=60°（菱形的四边相等、对角相等）∴△ABC与△CDA为等边三角形，则AB=AC，∠ACF=∠BAC=∠B=60°又∠EAF=60°，∠BAE=∠CAF，∴△ABE≌△ACF∴AE=AF。

而∠EAF=60°∴则△EAF为等边三角形；∴∠AEF=60°，又∠AEC=∠AEF＋∠CEF=∠B＋∠BAE，∴∠CEF=∠BAE例5. 菱形以特殊的对称美而受人们的喜爱，在生产生活中有其广泛的应用。

张伟同学家里有一面长4.2m，宽2.8m的墙壁准备装修，现有如图（甲）所示的型号瓷砖，其形状是一块长30cm，宽20cm的长方形，点E，F，G，H分别是边BC、CD、DA，AB的中点，阴影部分为淡蓝色花纹，中间部分为白色。

试问：（1）这面墙壁最少要贴这种瓷砖多少块？（2）全部贴满后，这面墙壁最多会出现多少个面积相等的菱形，其中有花纹的菱形有多少个？A G(甲)分析：通过拼图，运用由特殊到一般以及分类讨论的数学思想，解决图形的组合问题。

例如，（1）墙面上有多少个淡蓝色菱形？先根据每相邻4块、6块、9块瓷砖可分别构成1、2、4个淡蓝色菱形，再确定当每行有14块、每列14块瓷砖时，可构成淡蓝色菱形的个数为13×13=169（个）；（2）白色的菱形的个数与瓷砖的块数相同，有196块解：（1）因为墙壁总面积为4.2×2.8=11.76m2；每块瓷砖的面积为0.3×0.2=0.06m2，则最少需要这种瓷砖11.76÷0.06=196（块）（2）如下图（1），4块瓷砖构成一个淡蓝色菱形，即（2－1）×（2－1）=1；如图（2），6块瓷砖构成2个淡蓝色菱形，（3－1）×（2－1）=2；如图（3），9块瓷砖构成4个淡蓝色菱形，（3－1）×（3－1）=4。

所以在长4.2m，宽2.8m的墙壁上铺长30cm，宽20cm的长方形的瓷砖每行需14块，每列需14块，可构成淡蓝色菱形的个数为（14－1）×（14－1）个，共有13×13=169（个），同时，白色的菱形的个数与瓷砖的块数相同，有196块，故面积相等的菱形共有169+196=365（个）(1) (2)(3)答：（1）这面墙壁最少要贴这种瓷砖196块；（2）全部贴满后，这面墙壁最多会出现365个面积相等的菱形，其中有花纹的菱形有169个。

例6. 如图，在矩形ABCD中，AC、BD相交于O，AE平分∠BAD交BC于E，∠CAE= 15°，求∠BOE的度数分析：先推出△ABE 为等腰直角三角形，再说明AB=OB=BE ，则∠BOE=75° 解：在矩形ABCD 中，∠DAB=∠ABE=90° ∵AE 平分∠BAD∴∠EAB=21∠DAB=45°，而∠AEB=180°-∠ABE-∠EAB=45° ∴△ABE 为等腰直角三角形 ∴AB =BE 在直角三角形ABC 中，OB=21AC=AO ∵AO=BO ，∠OAB=∠EAB +∠CAE =45°+15°=60° ∴AB=OB=BE而∠OBE=∠ABE-∠ABO=30°∴在等腰三角形BOE 中，∠BOE=75°例7. （1）菱形的一边和等腰直角三角形的一直角边等长，若菱形一边上的高等于这边的一半，则菱形与三角形的面积之比为（ ）A. 1︰2B. 1︰1.5C. 1︰1D. 3︰4（2）如图，在矩形ABCD 中， 点E 、F 分别在边AB 、CD 上， BF ∥DE 若AD=12cm ， AB=7cm ，且AE ︰EB=5︰2。

则阴影部分EBFD 的面积为 cm 2（1）分析：此菱形的面积等于边长平方的一半，与等腰直角三角形面积相等 解：选C（2）分析：先说明四边形BEDF 是平行四边形，从而EB=2 解：阴影部分面积为BE ×AD=2×12=24例8. 如图，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，过顶点C 作BD 的垂线与∠BAD 的平分线相交于点E 。

试说明AC=CE 。

解：过A 作AF ⊥BD 于点F ，∵GE ⊥BD∴AF ∥CE （两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行）， ∴∠FAE=∠AEC （两直线平行，内错角相等），在Rt △ABD 中，∠BAF+∠ABD=90°，∠ABD+∠ADB=90°， ∴∠BAF=∠ADB又∵四边形ABCD 是矩形，∴OA=OD ，∴∠BDA=∠CAD ，∴∠BAF=∠DAC 而AE 平分∠BAD ，∴则∠BAE=∠DAE ，∴∠BAE －∠BAF=∠DAE －∠DAC 即∠FAE=∠CAE ， ∴∠CAE=∠CEA ，故CA=CE例9. 如图，在矩形ABCD 中， AB=12厘米，BC=6厘米，点P 沿AB 边从点A 开始向点B 以2厘米/秒的速度移动；点Q 沿DA 边从点D 开始向点A 以1厘米/秒的速度移动。

如果P 、Q 同时出发，用t （秒）表示移动的时间（0≤t ≤6），那么：（1）当t 为何值时，△QAP 为等腰三角形？（2）求四边形QAPC 的面积；并提出一个与计算结果有关的结论。

解：（1） ∵AP=2 t ，DQ= t ，则QA=6－t 只有当QA=AP 时△QAP 为等腰三角形， 从而6－t=2t 解得：t=2（秒），∴当t=2秒时，△QAP 为等腰三角形；（2） 在△QAP 中，QA=6－t ，QA 边上的高DC=12，则S △QAC =21QA ·DC=21（6－t ） ·12=36－6t ， 在△APC 中，AP=t ，BC=6，则S △APC =21AP · BC=21· 2t · 6=6t ，∴S △QAC ＋S △APC =（36－6t ）＋6t=36（厘米2）由计算结果发现：当P 、Q 两点在移动的过程中， 四边形QAPC 的面积始终保持不变。

【模拟试题】（答题时间：40分钟）1. 将一张矩形纸对折再对折（如图），然后沿着图中的虚线剪下，得到①、②两部分，将①展开后得到的平面图形是（ ）A. 矩形B. 三角形C. 梯形D. 菱形2. 如图，过矩形ABCD 的对角线BD 上一点K 分别作矩形两边的平行线MN 与PQ ，那么图中矩形AMKP 的面积S 1与矩形QCNK 的面积S 2的大小关系是S 1 S 2（填“＞”或“＜”或“＝”）3. 已知平行四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，分别添加下列条件： （1）∠ABC=90°；（2）AC ⊥BC ；（3）AB=BC ；（4）AC 平分∠BAD ；（5）AO=DO ， 使得四边形ABCD 是矩形的条件的序号有4. 在菱形ABCD 中，对角线AC=6，BD=8，则菱形的面积为______5. 四边形ABCD 为菱形，且∠A=60°，BD=8cm ，则此菱形的周长为 cm6. 若菱形的周长为16，两邻角度数之比为1：2，则该菱形较短的对角线长为7. 如图，小华剪了两条宽度相同的纸条，交叉叠放在一起，则它们重叠部分的形状为___________。