高考数学函数专题习题集复习资料

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高考数学函数专题习题及详细答案

高考数学函数专题习题及详细答案

函数专题练习【1】1.函数1()x y ex R +=∈的反函数是( )A .1ln (0)y x x =+>B .1ln (0)y x x =->C .1ln (0)y x x =-->D .1ln (0)y x x =-+>2.已知(31)4,1()log ,1a a x a x f x x x -+<⎧=⎨>⎩是(,)-∞+∞上的减函数,那么a 的取值范围是(A )(0,1)(B )1(0,)3(C )11[,)73(D )1[,1)73.在下列四个函数中,满足性质:“对于区间(1,2)上的任意1212,()x x x x ≠,1221|()()|||f x f x x x -<-恒成立”的只有(A )1()f x x=(B )()||f x x = (C )()2xf x =(D )2()f x x =4.已知()f x 是周期为2的奇函数,当01x <<时,()lg .f x x =设63(),(),52a f b f ==5(),2c f =则(A )a b c << (B )b a c << (C )c b a << (D )c a b <<5.函数2()lg(31)f x x =++的定义域是 A .1(,)3-+∞B . 1(,1)3-C . 11(,)33-D . 1(,)3-∞-6、下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是减函数的是A .3 ,y x x R =-∈B . sin ,y x x R =∈C . ,y x x R =∈D . x 1() ,2y x=∈7、函数()y f x =的反函数1()y f x -=的图像与y 轴交于点(0,2)P (如右图所示),则方程()0f x =在[1,4]上的根是x =A .4B .3C . 2D .18、设()f x 是R 上的任意函数,则下列叙述正确的是(A )()()f x f x -是奇函数 (B )()()f x f x -是奇函数 (C ) ()()f x f x --是偶函数 (D ) ()()f x f x +-是偶函数9、已知函数xy e =的图象与函数()y f x =的图象关于直线y x =对称,则A .()22()xf x e x R =∈B .()2ln 2ln (0)f x x x =>)C .()22()xf x e x R =∈D .()2ln ln 2(0)f x x x =+>10、设1232,2()((2))log (1) 2.x e x f x f f x x -⎧⎪=⎨-≥⎪⎩<,则的值为, (A )0(B )1 (C )2 (D )3 11、对a ,b ∈R ,记max {a ,b }=⎩⎨⎧≥ba b ba a <,,,函数f (x )=max {|x +1|,|x -2|}(x ∈R )的最小值是(A )0 (B )12 (C ) 32(D )3 12、关于x 的方程222(1)10x x k ---+=,给出下列四个命题: ①存在实数k ,使得方程恰有2个不同的实根;②存在实数k ,使得方程恰有4个不同的实根; ③存在实数k ,使得方程恰有5个不同的实根; ④存在实数k ,使得方程恰有8个不同的实根; 其中假.命题的个数是 A .0B .1C .2D .3 (一) 填空题(4个)1.函数()f x 对于任意实数x 满足条件()()12f x f x +=,若()15,f =-则()()5f f =_______________。

高中数学函数与导数复习 题集附答案

高中数学函数与导数复习 题集附答案

高中数学函数与导数复习题集附答案1. 函数的概念与性质1.1 函数的定义函数是一种具有对应关系的数学工具,它使得一个集合中的每个元素都与另一个集合中的唯一元素相对应。

一般来说,函数由输入和输出组成,输入称为自变量,输出称为因变量。

1.2 函数的性质函数有以下几个基本性质:- 定义域:函数的自变量能取的值的范围。

例如,对于函数f(x) =√x,定义域是非负实数集。

- 值域:函数的因变量能取的值的范围。

继续以f(x) = √x为例,值域是非负实数集。

- 单调性:函数的增减关系。

可分为严格单调递增、严格单调递减、非严格单调递增、非严格单调递减四种情况。

- 奇偶性:函数图像相对于y轴的对称性。

奇函数满足f(-x) = -f(x),偶函数满足f(-x) = f(x)。

- 周期性:函数图像的重复性。

周期函数满足f(x+T) = f(x),其中T为正数。

2. 常见函数类型及性质2.1 一次函数(线性函数)一次函数的一般形式为f(x) = kx + b,其中k和b为常数。

- 斜率 k 决定了函数图像的斜率和单调性。

- 截距 b 决定了函数图像与y轴的交点位置。

2.2 二次函数(抛物线函数)二次函数的一般形式为f(x) = ax^2 + bx + c,其中a、b和c为常数,且a ≠ 0。

- 抛物线开口方向由二次项系数a的正负决定。

- 顶点坐标为(-b/2a, f(-b/2a))。

- 对称轴方程为x = -b/2a。

2.3 幂函数幂函数的一般形式为f(x) = x^a,其中a为常数。

- 当a > 1时,函数图像在定义域上是递增的。

- 当0 < a < 1时,函数图像在定义域上是递减的。

- 当a < 0时,函数图像具有奇对称性。

2.4 指数函数指数函数的一般形式为f(x) = a^x,其中a > 0且a ≠ 1。

- 指数函数的图像都通过点(0, 1)。

- 当a > 1时,函数图像在整个定义域上递增。

高考三角函数复习专题

高考三角函数复习专题

三角函数复习专题一、核心知识点归纳: ★★★1、正弦函数、余弦函数与正切函数的图象及性质:sin y x =cos y x = tan y x =图象定义域 R R值域[]1,1- []1,1-R最值当()k ∈Z 时,max 1y =;当 ()k ∈Z 时,min 1y =-.当()2x k k π=∈Z 时,max 1y =;当2x k ππ=+()k ∈Z 时,min 1y =-. 既无最大值也无最小值周期性 2π 2ππ奇偶性奇函数 偶函数奇函数单调性在()k ∈Z 上是增函数;在()k ∈Z 上是减函数.在[]()2,2k k k πππ-∈Z 上是增函数;在[]2,2k k πππ+()k ∈Z 上是减函数.在()k ∈Z 上是增函数.对称性对称中心()(),0k k π∈Z对称轴对称中心对称轴()x k k π=∈Z 对称中心无对称轴函 数 性 质★★2.正、余弦定理:在ABC ∆中有: ①正弦定理:2sin sin sin a b cR A B C===〔R 为ABC ∆外接圆半径〕 ⇒ 注意变形应用②面积公式:111sin sin sin 222ABC S abs C ac B bc A ∆===③余弦定理: 2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c a b ab C ⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩⇒二、方法总结:1.三角函数恒等变形的根本策略。

〔1〕注意隐含条件的应用:1=cos 2x +sin 2x 。

〔2〕角的配凑。

α=〔α+β〕-β,β=-等。

〔3〕升幂及降幂。

主要用2倍角的余弦。

〔4〕化弦〔切〕法,用正弦定理或余弦定理。

〔5〕引入辅助角。

asin θ+bcos θ=22b a +sin (θ+ϕ),这里辅助角ϕ所在象限由a 、b 的符号确定,ϕ角的值由tan ϕ=ab确定。

2.解答三角高考题的策略。

〔1〕发现差异:观察角、函数运算间的差异,即进展所谓的“差异分析〞。

2023届全国高考数学复习:专题(导数的运算)重点讲解与练习(附答案)

2023届全国高考数学复习:专题(导数的运算)重点讲解与练习(附答案)

2023届全国高考数学复习:专题(导数的运算)重点讲解与练习1.基本初等函数的导数公式2.导数的运算法则若f ′(x ),g ′(x )存在,则有[cf (x )]′=cf ′(x );[f (x )±g (x )]′=f ′(x )±g ′(x );[f (x )g (x )]′=f ′(x )g (x )+f (x )g ′(x );⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′=f ′(x )g (x )-f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0); 3.复合函数的定义及其导数(1)一般地,对于两个函数y =f (u )和u =g (x ),如果通过中间变量u ,y 可以表示成x 的函数,那么称这个函数为函数y =f (u )与u =g (x )的复合函数,记作y =f (g (x )).(2)复合函数y =f (g (x ))的导数和函数y =f (u ),u =g (x )的导数间的关系为y ′x =y ′u ꞏu ′x ,即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积.【方法总结】导数运算的原则和方法基本原则:先化简、再求导; 具体方法:(1)连乘积形式:先展开化为多项式的形式,再求导;(2)分式形式:观察函数的结构特征,先化为整式函数或较为简单的分式函数,再求导; (3)对数形式:先化为和、差的形式,再求导; (4)根式形式:先化为分数指数幂的形式,再求导;(5)三角形式:先利用三角函数公式转化为和或差的形式,再求导; (6)复合函数:由外向内,层层求导. 【例题选讲】[例1] 求下列函数的导数: (1)y =x 2sin x ;(2)y =cos x e x ;(3)y =x sin ⎝⎛⎭⎫2x +π2cos ⎝⎛⎭⎫2x +π2; (4)y =ln(2x -5).[例2] (1) (2020ꞏ全国Ⅲ)设函数f (x )=e x x +a .若f ′(1)=e4,则a =________.(2)已知函数f (x )的导函数为f ′(x ),f (x )=2x 2-3xf ′(1)+ln x ,则f (1)= .(3)已知f 1(x )=sin x +cos x ,f n +1(x )是f n (x )的导函数,即f 2(x )=f 1′(x ),f 3(x )=f 2′(x ),…,f n +1(x )=f n ′(x ),n ∈N *,则f 2 022(x )等于( )A .-sin x -cos xB .sin x -cos xC .-sin x +cos xD .sin x +cos x (4)(多选)给出定义:若函数f (x )在D 上可导,即f ′(x )存在,且导函数f ′(x )在D 上也可导,则称f (x )在D 上存在二阶导函数,记f ″(x )=(f ′(x ))′,若f ″(x )<0在D 上恒成立,则称f (x )在D 上为凸函数.以下四个函数在⎝⎛⎭⎫0,π2上是凸函数的是( ) A .f (x )=sin x +cos x B .f (x )=ln x -2x C .f (x )=x 3+2x -1 D .f (x )=x e x(5)已知f (x )的导函数为f ′(x ),若满足xf ′(x )-f (x )=x 2+x ,且f (1)≥1,则f (x )的解析式可能是( ) A .x 2-x ln x +x B .x 2-x ln x -x C .x 2+x ln x +x D .x 2+2x ln x +x 【对点训练】1.下列求导运算正确的是( )A .⎝⎛⎭⎫x +1x ′=1+1x 2B .(log 2x )′=1x ln 2C .(5x )′=5x log 5xD .(x 2cos x )′=-2x sin x 2.函数y =x cos x -sin x 的导数为( )A .x sin xB .-x sin xC .x cos xD .-x cos x 3.(多选)下列求导运算正确的是( )A .(sin a )′=cos a (a 为常数)B .(sin 2x )′=2cos 2xC .(x )′=12xD .(e x -ln x +2x 2)′=e x -1x +4x4.已知函数f (x )=sin x cos x +1x 2,则f ′(x )= .5.已知函数f (x )的导函数为f ′(x ),记f 1(x )=f ′(x ),f 2(x )=f ′1(x ),…,f n +1(x )=f ′n (x )(n ∈N *),若f (x )=x sin x ,则f 2 019(x )+f 2 021(x )=( )A .-2cos xB .-2sin xC .2cos xD .2sin x 6.f (x )=x (2 021+ln x ),若f ′(x 0)=2 022,则x 0等于( )A .e 2B .1C .ln 2D .e7.已知函数f (x )=1ax -1+e x cos x ,若f ′(0)=-1,则a = .8.已知函数f (x )=ln(2x -3)+ax e -x ,若f ′(2)=1,则a = .9.已知函数f (x )的导函数为f ′(x ),且满足关系式f (x )=x 2+3xf ′(2)+ln x ,则f ′(2)的值等于( )A .-2B .2C .-94D .94 10.已知f (x )=x 2+2xf ′(1),则f ′(0)=________.11.设函数f (x )在(0,+∞)内可导,其导函数为f ′(x ),且f (ln x )=x +ln x ,则f ′(1)= . 12.已知f ′(x )是函数f (x )的导数,f (x )=f ′(1)ꞏ2x +x 2,则f ′(2)=( )A .12-8ln 21-2ln 2B .21-2ln 2C .41-2ln 2 D .-213.(多选)若函数f (x )的导函数f ′(x )的图象关于y 轴对称,则f (x )的解析式可能为( )A .f (x )=3cos xB .f (x )=x 3+xC .f (x )=x +1x D .f (x )=e x +x 14.f (x )=3e x+1+x 3,其导函数为f ′(x ),则f (2020)+f (-2020)+f ′(2019)-f ′(-2019)的值为( ) A .1 B .2 C .3 D .4 15.已知f (x )=ax 4+b cos x +7x -2.若f ′(2 020)=6,则f ′(-2 020)=______. 16.分别求下列函数的导数:(1)y =e xln x ;(2)y =x ⎝⎛⎭⎫x 2+1x +1x 3;(3)y =x -sin x 2cos x2;(4)y =ln 1+2x .(5)f (x )=x 3+2x -x 2ln x -1x 2.参考答案【例题选讲】[例1] 求下列函数的导数: (1)y =x 2sin x ; (2)y =cos x e x ;(3)y =x sin ⎝⎛⎭⎫2x +π2cos ⎝⎛⎭⎫2x +π2; (4)y =ln(2x -5).解析 (1)y ′=(x 2)′sin x +x 2(sin x )′=2x sin x +x 2cos x .(2)y ′=⎝⎛⎭⎫cos x e x ′=(cos x )′e x -cos x (e x )′(e x )2=-sin x +cos x e x . (3)∵y =x sin ⎝⎛⎭⎫2x +π2cos ⎝⎛⎭⎫2x +π2=12x sin(4x +π)=-12sin4x , ∴y ′=-12sin 4x -12x ꞏ4cos 4x =-12sin 4x -2x cos 4x . (4)令u =2x -5,y =ln u .则y ′=(ln u )′u ′=12x -5ꞏ2=22x -5,即y ′=22x -5. [例2] (1) (2020ꞏ全国Ⅲ)设函数f (x )=e xx +a.若f ′(1)=e 4,则a =________. 答案 1 解析 f ′(x )=e x (x +a )-e x (x +a )2=e x (x +a -1)(x +a )2,则f ′(1)=a e (a +1)2=e 4,整理可得a 2-2a +1=0,解得a =1.(2)已知函数f (x )的导函数为f ′(x ),f (x )=2x 2-3xf ′(1)+ln x ,则f (1)= .答案 -74 解析 ∵f (x )=2x 2-3xf ′(1)+ln x ,∴f ′(x )=4x -3f ′(1)+1x x =1代入,得f ′(1)=4-3f ′(1)+1,得f ′(1)=54.∴f (x )=2x 2-154x +ln x ,∴f (1)=2-154=-74.(3)已知f 1(x )=sin x +cos x ,f n +1(x )是f n (x )的导函数,即f 2(x )=f 1′(x ),f 3(x )=f 2′(x ),…,f n +1(x )=f n ′(x ),n ∈N *,则f 2 022(x )等于( )A .-sin x -cos xB .sin x -cos xC .-sin x +cos xD .sin x +cos x 答案 C 解析 ∵f 1(x )=sin x +cos x ,∴f 2(x )=f 1′(x )=cos x -sin x ,f 3(x )=f 2′(x )=-sin x -cos x ,f 4(x )=f 3′(x )=-cos x +sin x ,f 5(x )=f 4′(x )=sin x +cos x ,∴f n (x )的解析式以4为周期重复出现,∵2 022=4×505+2,∴f 2 022(x )=f 2(x )=cos x -sin x .故选C .(4)(多选)给出定义:若函数f (x )在D 上可导,即f ′(x )存在,且导函数f ′(x )在D 上也可导,则称f (x )在D 上存在二阶导函数,记f ″(x )=(f ′(x ))′,若f ″(x )<0在D 上恒成立,则称f (x )在D 上为凸函数.以下四个函数在⎝⎛⎭⎫0,π2上是凸函数的是( )A .f (x )=sin x +cos xB .f (x )=ln x -2xC .f (x )=x 3+2x -1D .f (x )=x e x答案 AB 解析 对于A :f ′(x )=cos x -sin x ,f ″(x )=-sin x -cos x ,∵x ∈⎝⎛⎭⎫0,π2,∴f ″(x )<0,f (x )在⎝⎛⎭⎫0,π2上是凸函数,故A 正确.对于B :f ′(x )=1x -2,f ″(x )=-1x 2<0,故f (x )在⎝⎛⎭⎫0,π2上是凸函数,故B 正确;对于C :f ′(x )=3x 2+2,f ″(x )=6x >0,故f (x )在⎝⎛⎭⎫0,π2上不是凸函数,故C 错误;对于D :f ′(x )=(x +1)e x ,f ″(x )=(x +2)e x >0,故f (x )在⎝⎛⎭⎫0,π2上不是凸函数,故D 错误.故选AB . (5)已知f (x )的导函数为f ′(x ),若满足xf ′(x )-f (x )=x 2+x ,且f (1)≥1,则f (x )的解析式可能是( ) A .x 2-x ln x +x B .x 2-x ln x -x C .x 2+x ln x +x D .x 2+2x ln x +x 答案 C 解析 由选项知f (x )的定义域为(0,+∞),由题意得xf ′(x )-f (x )x 2=1+1x ,即⎣⎡⎦⎤f (x )x ′=1+1x ,故f (x )x =x +ln x +c (c 为待定常数),即f (x )=x 2+(ln x +c )x .又f (1)≥1,则c ≥0,故选C .【对点训练】1.下列求导运算正确的是( )A .⎝⎛⎭⎫x +1x ′=1+1x 2B .(log 2x )′=1x ln 2C .(5x )′=5x log 5xD .(x 2cos x )′=-2x sin x 1.答案 B 解析 (log 2x )′=1x ln 2,故B 正确. 2.函数y =x cos x -sin x 的导数为( )A .x sin xB .-x sin xC .x cos xD .-x cos x 2.答案 B 解析 y ′=x ′cos x +x (cos x )′-(sin x )′=cos x -x sin x -cos x =-x sin x . 3.(多选)下列求导运算正确的是( )A .(sin a )′=cos a (a 为常数)B .(sin 2x )′=2cos 2xC .(x )′=12xD .(e x -ln x +2x 2)′=e x -1x +4x3.答案 BCD 解析 ∵a 为常数,∴sin a 为常数,∴(sin a )′=0,故A 错误.由导数公式及运算法则知B ,C ,D 正确,故选BCD .4.已知函数f (x )=sin x cos x +1x 2,则f ′(x )= .4.答案 1cos 2x -2x 3 解析 f ′(x )=(sin x )′ꞏcos x -sin x ꞏ(cos x )′cos 2x+(x -2)′=cos 2x +sin 2x cos 2x +(-2)x -3=1cos 2x -2x 3. 5.已知函数f (x )的导函数为f ′(x ),记f 1(x )=f ′(x ),f 2(x )=f ′1(x ),…,f n +1(x )=f ′n (x )(n ∈N *),若f (x )=x sin x ,则f 2 019(x )+f 2 021(x )=( )A .-2cos xB .-2sin xC .2cos xD .2sin x5.答案 D 解析 由题意,f (x )=x sin x ,f 1(x )=f ′(x )=sin x +x cos x ,f 2(x )=f ′1(x )=cos x +cos x -x sin x =2cos x -x sin x ,f 3(x )=f ′2(x )=-3sin x -x cos x ,f 4(x )=f ′3(x )=-4cos x +x sin x ,f 5(x )=f ′4(x )=5sin x +x cos x ,…,据此可知f 2 019(x )=-2 019sin x -x cos x ,f 2 021(x )=2 021sin x +x cos x ,所以f 2019(x )+f 2 021(x )=2sin x ,故选D .6.f (x )=x (2 021+ln x ),若f ′(x 0)=2 022,则x 0等于( )A .e 2B .1C .ln 2D .e6.答案 B 解析 f ′(x )=2 021+ln x +x ×1x =2 022+ln x ,又f ′(x 0)=2 022,得2 022+ln x 0=2 022,则ln x 0 =0,解得x 0=1.7.已知函数f (x )=1ax -1+e x cos x ,若f ′(0)=-1,则a = .7.答案 2 解析 f ′(x )=-(ax -1)′(ax -1)2e x cos x -e x sin x =-a (ax -1)2+e x cos x -e xsin x ,∴f ′(0)=-a +1=-1, 则a =2.8.已知函数f (x )=ln(2x -3)+ax e -x ,若f ′(2)=1,则a = .8.答案 e 2解析 f ′(x )=12x -3ꞏ(2x -3)′+a e -x +ax ꞏ(e -x )′=22x -3+a e -x -ax e -x ,∴f ′(2)=2+a e -2-2a e -2=2-a e -2=1,则a =e 2.9.已知函数f (x )的导函数为f ′(x ),且满足关系式f (x )=x 2+3xf ′(2)+ln x ,则f ′(2)的值等于( )A .-2B .2C .-94D .949.答案 C 解析 因为f (x )=x 2+3xf ′(2)+ln x ,所以f ′(x )=2x +3f ′(2)+1x 所以f ′(2)=2×2+3f ′(2)+12,解得f ′(2)=-94.10.已知f (x )=x 2+2xf ′(1),则f ′(0)=________.10.答案 -4 解析 ∵f ′(x )=2x +2f ′(1),∴f ′(1)=2+2f ′(1),∴f ′(1)=-2,∴f ′(0)=2f ′(1)=2×(-2)=-4. 11.设函数f (x )在(0,+∞)内可导,其导函数为f ′(x ),且f (ln x )=x +ln x ,则f ′(1)= .11.答案 1+e 解析 因为f (ln x )=x +ln x ,所以f (x )=x +e x ,所以f ′(x )=1+e x ,所以f ′(1)=1+e 1=1+e .12.已知f ′(x )是函数f (x )的导数,f (x )=f ′(1)ꞏ2x +x 2,则f ′(2)=( )A .12-8ln 21-2ln 2B .21-2ln 2C .41-2ln 2 D .-212.答案 C 解析 因为f ′(x )=f ′(1)ꞏ2x ln 2+2x ,所以f ′(1)=f ′(1)ꞏ2ln 2+2,解得f ′(1)=21-2ln 2,所以f ′(x )=21-2ln 2ꞏ2x ln 2+2x ,所以f ′(2)=21-2ln 2×22ln 2+2×2=41-2ln 2. 13.(多选)若函数f (x )的导函数f ′(x )的图象关于y 轴对称,则f (x )的解析式可能为( )A .f (x )=3cos xB .f (x )=x 3+xC .f (x )=x +1x D .f (x )=e x +x13.答案 BC 解析 对于A ,f (x )=3cos x ,其导数f ′(x )=-3sin x ,其导函数为奇函数,图象不关于y轴对称,不符合题意;对于B ,f (x )=x 3+x ,其导数f ′(x )=3x 2+1,其导函数为偶函数,图象关于y 轴对称,符合题意;对于C ,f (x )=x +1x ,其导数f ′(x )=1-1x 2,其导函数为偶函数,图象关于y 轴对称,符合题意;对于D ,f (x )=e x +x ,其导数f ′(x )=e x +1,其导函数不是偶函数,图象不关于y 轴对称,不符合题意. 14.f (x )=3e x+1+x 3,其导函数为f ′(x ),则f (2020)+f (-2020)+f ′(2019)-f ′(-2019)的值为( ) A .1 B .2 C .3 D .414.答案 C 解析 f ′(x )=-3e x (e x +1)2+3x 2,f ′(-x )=-3e x (e x +1)2+3x 2,所以f ′(x )为偶函数,f ′(2019)-f ′(-2019) =0,因为f (x )+f (-x )=31+e x+x 3+31+e -x -x 3=31+e x +3e x 1+e x =3,所以f (2020)+f (-2020)+f ′(2019)-f ′(-2019)=3.故选C .15.已知f (x )=ax 4+b cos x +7x -2.若f ′(2 020)=6,则f ′(-2 020)=______.15.答案 8 解析 因为f ′(x )=4ax 3-b sin x +7,所以f ′(-x )=4a (-x )3-b sin(-x )+7=-4ax 3+b sin x +7.所以f ′(x )+f ′(-x )=14.又f ′(2 020)=6,所以f ′(-2 020)=14-6=8. 16.分别求下列函数的导数:(1)y =e xln x ;(2)y =x ⎝⎛⎭⎫x 2+1x +1x 3;(3)y =x -sin x 2cos x2;(4)y =ln 1+2x .(5)f (x )=x 3+2x -x 2ln x -1x 2. 16.解析 (1)y ′=(e x )′ln x +e x (ln x )′=e x ln x +e x ꞏ1x =⎝⎛⎭⎫ln x +1x e x . (2)∵y =x 3+1+1x 2,∴y ′=3x 2-2x 3. (3)∵y =x -12sin x ,∴y ′=1-12cos x .(4)∵y =ln 1+2x =12ln(1+2x ),∴y ′=12ꞏ11+2x ꞏ(1+2x )′=11+2x.(5)由已知f (x )=x -ln x +2x -1x 2.所以f ′(x )=1-1x -2x 2+2x 3=x 3-x 2-2x +2x 3.。

高考数学《函数与方程综合问题》专题复习

高考数学《函数与方程综合问题》专题复习

第五讲函数与方程综合A 组一、选择题1.(2018全国卷Ⅰ)已知函数⎩⎨⎧>≤=,0,ln ,0,)(x x x e x f x ()()=++g x f x x a .若()g x 存在2个零点,则a 的取值范围是( ) A .[1,0)-B .[0,)+∞C .[1,)-+∞D .[1,)+∞【答案】C【解析】函数()()=++g x f x x a 存在 2个零点,即关于x 的方程()=--f x x a 有2 个不同的实根, 函数()f x 的图象与直线=--y x a 有2个交点,作出直线=--y x a 与函数()f x 的图象, 如图所示,xy–1–2123–1–2123O由图可知,1≤-a ,解得1-≥a ,故选C .2.已知实数a ,b 满足23a=,32b=,则函数()xf x a x b =+-的零点所在的区间是( )A. ()21--,B.()1,0-C.()0,1D.()1,2 【解析】23a =,32b =,∴1a >,01b <<,又()x f x a x b =+-,∴()1110f b a-=--<,()010f b =->,从而由零点存在定理可知()f x 在区间()1,0-上存在零点.故选B.3.已知函数()12+-=x x f ,()kx x g =.若方程()()f x g x =有两个不相等的实根,则实数k 的取值范围是A .),(210B .),(121C .),(21D .),(∞+2【答案】B【解析】如图所示,方程()()f x g x =有两个不相等的实根等价于两个函数的图象有两个不同的交点,结合图象可知,当直线y kx =的斜率大于坐标原点与点(2,1)的连续的斜率,且小于直线1y x =-的斜率时符合题意,故选112k <<.4.设函数1()ln 3f x x x =-,则函数()f x ( ) A .在区间1(,1)e ,(1,)e 内均有零点 B .在区间1(,1)e ,(1,)e 内均无零点C .在区间1(,1)e内有零点,在(1,)e 内无零点 D .在区间1(,1)e内无零点,在((1,)e 内有零点 【解析】1()ln 3f x x x =-的定义域为(0,)+∞,'11()3f x x=-,故()f x 在(0,3)上递减,又 1()0,(1)0,()0f f f e e>><,故选D. 5. 已知函数()f x 满足:()()1fx f x +=-,且()f x 是偶函数,当[]0,1x ∈时,()2f x x =,若在区间[]1,3-内,函数()()k kx x f x g --=有4个零点,则实数k 的取值范围是( ) A .()+∞,0 B .⎥⎦⎤ ⎝⎛21,0 C .⎥⎦⎤ ⎝⎛41,0 D .11,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】由(1)()()f x f x f x +=-⇒的周期为2,又()f x 是偶函数,且[]0,1x ∈时,()2f x x =,故可示意()f x 在[1,3]-上图象,()()k kx x f xg --=有4个零点转化为函数()f x 与(1)y k x =+在x ∈[1,3]-上有4个交点,由图象知1(0,]4k ∈,故选C.6.已知方程923310x xk -⋅+-=有两个实根,则实数k 的取值范围为( ) A.2[,1]3 B. 12(,]33 C.2[,)3+∞ D.[1, +∞)【解析】设3xt =,原题转化为函数2()231g t t t k =-+-在(0,)t ∈+∞上有两个零点(可以相同),则44(31)020310k k --≥⎧⎪>⎨⎪->⎩解得12(,]33k ∈,故选B.7.(2016高考新课标2卷理)已知函数()()f x x ∈R 满足()2()f x f x -=-,若函数1x y x+=与()y f x =图像的交点为1122(,),(,),,(,),m m x y x y x y ⋅⋅⋅则1()miii x y =+=∑( )A. 0B. mC. 2mD. 4m 【解析】由于()()2f x f x -+=,不妨设()1f x x =+,与函数111x y x x+==+的交点为()()1,2,1,0-,故12122x x y y +++=,故选B.(客观上函数()y f x =与1x y x+=有共同的对称中心(0,1),所以它们的所有交点 关于(0,1)对称 二、填空题8.(2018年全国卷Ⅲ)函数()cos(3)6f x x π=+在[0,]π的零点个数为________.【答案】3【解析】由题意知,cos(3)06x π+=,所以362x k πππ+=+,k ∈Z ,所以93k x ππ=+,k ∈Z ,当0k =时,9x π=;当1k =时,49x π=;当2k =时,79x π=,均满足题意,所以函数()f x 在[0,]π的零点个数为3.10.若函数f (x )=21x --x-m 无零点,则实数m 的取值范围是 .【解析】原题转化为函数y =1的平行线系y x m =+没有公共点的问题,画图,可得1m <-或2m >.11.设常数a 使方程sin 3cos x x a +=在闭区间[0,2]π上恰有三个解123,,x x x ,则123x x x ++= . 【解析】原方程可变为2sin()3a x π=+,作出函数2sin()3y x π=+的图象,再作直线y a =,从图象可知 函数2sin(x )3y π=+在[0,]6π上递增,在7[,]66ππ上递减,在7[,2]6ππ上递增,只有当3a =时,才有三个交点,1230,,23x x x ππ===,所以123x x x ++=73π.12.(2016高考山东卷理)已知函数2||,()24,x x m f x x mx m x m≤⎧=⎨-+>⎩ 其中0m >,若存在实数b ,使得关于x 的方程()f x b =有三个不同的根,则m 的取值范围是________________.【解析】画出函数图象如下图所示:由图所示,要()f x b =有三个不同的根,需要红色部分图像在深蓝色图像的下方,即2224,30m m m m m m m >-⋅+->,解得3m >.13.(2018年高考上海卷)某群体的人均通勤时间,是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时,某地上班族S 中的成员仅以自驾或公交方式通勤,分析显示:当S 中%(0100)x x <<的成员自驾时,自驾群体的人均通勤时间为30,030,()1800290,30100x f x x x x <⎧⎪=⎨+-<<⎪⎩≤(单位:分钟), 而公交群体的人均通勤时间不受x 影响,恒为40分钟,试根据上述分析结果回答下列问题: (1)当x 在什么范围内时,公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间?(2)求该地上班族S 的人均通勤时间()g x 的表达式;讨论()g x 的单调性,并说明其实际意义.(2)设该地上班族总人数为n ,则自驾人数为%n x ⋅,乘公交人数为(1%)n x ⋅-.因此人均通勤时间30%40(1%),030()1800(290)%40(1%),30100n x n x x ng x x n x n x x x n ⋅⋅+⋅⋅-⎧<⎪⎪=⎨+-⋅⋅+⋅⋅-⎪<<⎪⎩≤,整理得:240,0010()1(32.5)36.875,3010050x x g x x x ⎧-<⎪⎪=⎨⎪-+<<⎪⎩≤3,则当(0,30](30,32.5]x ∈,即(0,32.5]x ∈时,()g x 单调递减;当(32.5,100)x ∈时,()g x 单调递增.实际意义:当有32.5%的上班族采用自驾方式时,上班族整体的人均通勤时间最短.适当的增加自驾比例,可以充分的利用道路交通,实现整体效率提升;但自驾人数过多,则容易导致交通拥堵,使得整体效率下降.B 组一、选择题 1.设函数1()f x x=,2()g x x bx =-+.若()y f x =的图象与()y g x =的图象有且仅有两个不同的公共点11(,)A x y ,22(,)B x y ,则下列判断正确的是( )A .120x x +>,120y y +>B .120x x +>,120y y +<C .120x x +<,120y y +>D .120x x +<,120y y +< 【解析】依题意,示意图象,可知120x x +>,且12,x x 异号,而1212120x x y y x x ++=<,故选B.2.已知函数()1xf x xe ax =--,则关于()f x 的零点叙述正确的是( ) A.当0a =时,函数()f x 有两个零点 B.函数()f x 必有一个零点是正数 C.当0a <时,函数()f x 有两个零点 D.当0a >时,函数()f x 只有一个零点 【解析】函数()1xf x xe ax =--的零点可转化为函数xy e =与1y a x=+图象的交点情况研究,选B. 3.已知函数2()22(4)1f x mx m x =--+,()g x mx =,若对于任意实数x ,()f x 与()g x 的值至少有一个为正数,则实数m 的取值范围是( )A. (0,2)B. (0,8)C. (2,8)D.(,0)-∞【解析】依题意,0m =不符;0m <时,则对于[0,)x ∀∈+∞,当x →+∞时,显然()0f x <,不符;0m >时,则对于(,0]x ∀∈-∞,()0f x >,由(0)10f =>,需对称轴:024>-=m m x 或⎪⎩⎪⎨⎧<--≤-08)4(40242m m mm, 解得(0,8)x ∈,故选B.4.函数()lg(1)sin 2f x x x =+-的零点个数为 ( )A. 9B. 10C. 11D. 12 【解析】示意函数lg(||1)y x =+与y sin 2x =的图象可确定选D.5.已知函数sin()1,0()2log (0,1),0a x x f x x a a x π⎧-<⎪=⎨⎪>≠>⎩的图象上关于y 轴对称的点至少有3对,则实数a 的取值范围是( ) A.5(0,)5 B.5(,1)5C.3(,1)3D.3(0,)3 【解析】依题意,需要()f x 在y 轴左侧图象对称到y 轴右侧,即sin()1(0)2xy x π=-->,需要其图象与()f x 原y 轴右侧图象至少有3个公共点,1a >不能满足条件,只有01a <<,如图,此时,只需在5x =时,log a y x =的纵坐标大于2-,即log 52a >-,得505a <<. 6.已知实数,0,()lg(),0,x e x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩若关于x 的方程2()()0f x f x t ++=有三个不同的实根,则t 的取值范围为( )A .]2,(--∞ B .),1[+∞ C .]1,2[- D .),1[]2,(+∞--∞【解析】做出函数)(x f 的图象,如图所示,由图可知,当1≥m 时直线m y =与)(x f 的图象有两个交点,当1<m 时直线m y =与)(x f 的图象有一个交点,题意要求方程0)()(2=++t x f x f 有三个不同的实根,则方程20m m t ++=必有两不等实根,且一根小于1,一根不小于1,当011=++t ,即2-=t 时,方程022=-+m m 的两根为1和2-,符合题意;当011<++t ,即2-<t 时,方程20m m t ++=有两个不等实根,且一根小于1,一根大于1,符合题意.综上由2-≤t .7.(2018年江苏卷)若函数)(12)(23R a ax x x f ∈+-=在()+∞,0内有且只有一个零点,则)(x f 在[]1,1-上的最大值与最小值的和为________. 【答案】–3【解析】由得,因为函数在上有且仅有一个零点且,所以,因此从而函数在上单调递增,在上单调递减,所以,8. 设函数2,1()4()(2),1x a x f x x a x a x ⎧-<=⎨--≥⎩.(1)若1a =,则()f x 的最小值为______;(2)若()f x 恰有2个零点,则实数a 的取值范围是 . 【解析】(1)当1a =时,若1x <,()(1,1)f x ∈-;当时1x ≥,223()4(32)4()12f x x x x =-+=--,则32x =时,min () 1.f x =- (2)0a ≤时,()f x 无零点;不符;102a <<时,()f x 有一个零点;112a ≤<,符合;12a ≤<,()f x 有3个零点;2a ≥,符合. 综上得112a ≤<或 2.a ≥ 9.已知32,(),x x af x x x a⎧≤=⎨>⎩,若存在实数b ,使函数()()g x f x b =-有两个零点,则a 的取值范围是 .【解析】由题意,问题等价于方程)(3a xb x ≤=与方程)(2a xb x >=的根的个数和为2,若两个方程各有一个根:则可知关于b 的不等式组13b a b a b a ⎧≤⎪⎪>⎨⎪-≤⎪⎩有解,∴23a b a <<,从而1>a ;若方程)(3a x b x ≤=无解,方程)(2a xb x >=有2个根:则可知关于b 的不等式组⎪⎩⎪⎨⎧>->a b a b 31有解,从而0<a ,综上,实数a 的取值范围是),1()0,(+∞-∞ .10.已知函数23f xx x ,R x ∈.若方程10f x a x 恰有4个互异的实数根,则实数a 的取值范围为__________ . 【解析】在同一坐标系中画23f xx x 和1g x a x 的图象(如图),问题转化为xy13O tyO 91f x 与g x 图象恰有四个交点.当1ya x 与23yx x (或1ya x 与23yx x )相切时,f x 与g x 图象恰有三个交点.把1y a x 代入23yx x ,得231x xa x ,即230x a xa,由0=∆,得2340aa,解得1a或9a .又当0a 时,f x 与g x 仅两个交点,01a ∴<<或9a >. 三、解答题11.设函数22()(ln )x e f x k x x x=-+(k 为常数, 2.71828e =⋅⋅⋅是自然对数的底数).(Ⅰ)当0k ≤时,求函数()f x 的单调区间;(Ⅱ)若函数()f x 在(0,2)内存在两个极值点,求k 的取值范围. 【解析】(I )函数()y f x =的定义域为(0,)+∞,2'42221()()x x x e xe f x k x x x -=--+322(2)x x xe e k x x x --=-3(2)()x x e kx x--= 由0k ≤可得0xe kx ->, 所以当(0,2)x ∈时,'()0f x <,函数()y f x =单调递减,当(2,)x ∈+∞时,'()0f x >,函数()y f x =单调递增. 所以()f x 的单调递减区间为(0,2),单调递增区间为(2,)+∞. (II )由(I )知,0k ≤时,函数()f x 在(0,2)内单调递减,故()f x 在(0,2)内不存在极值点; 当0k >时,设函数(),[0,)xg x e kx x =-∈+∞, 因为'ln ()xxkg x e k e e=-=-,当01k <≤时,当(0,2)x ∈时,'()0xg x e k =->,()y g x =单调递增,故()f x 在(0,2)内不存在两个极值点; 当1k >时,得(0,ln )x k ∈时,'()0g x <,函数()y g x =单调递减,(ln ,)x k ∈+∞时,'()0g x >,函数()y g x =单调递增, 所以函数()y g x =的最小值为(ln )(1ln )g k k k =-, 函数()f x 在(0,2)内存在两个极值点;当且仅当(0)0(ln )0(2)00ln 2g g k g k >⎧⎪<⎪⎨>⎪⎪<<⎩, 解得22e e k <<,综上所述,函数在(0,2)内存在两个极值点时,k 的取值范围为2(,)2e e .C 组一、选择题1.记方程①:2110x a x ++=,方程②:2220x a x ++=,方程③:2340x a x ++=,其中123,,a a a 是正实数.当123,,a a a 成等比数列时,下列选项中,能推出方程③无实根的是( )A.方程①有实根,且②有实根B.方程①有实根,且②无实根C.方程①无实根,且②有实根D.方程①无实根,且②无实根【解析】按D 考虑,则由2142222223321132123408064161604,,0a a a a a a aa a a aa ⎧-<⎪⎪-<⎪⇒=<=⇒-<⎨⎪=⎪>⎪⎩,故选D. 2.若,a b 是函数2()(0,0)f x x px q p q =-+>>的两个不同的零点,且,,2a b -这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则p q +的值等于( )A .6B .7C .8D .9【解析】依题,0a b pab q p q +=⎧⎪=⎨⎪>⎩得0,0a b >>,则,,2a b -这三个数适当排序排成等比数列必有4ab =,,,2a b -这三个数适当排序后成等差数列应有2222a b b a -=-=或,解得4114a ab b ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩或 则5,4p q ==,故9p q +=,选D.3.已知函数()()22,2,2,2,x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩ 函数()()2g x b f x =-- ,其中b R ∈,若函数()()y f x g x =- 恰有4个零点,则b 的取值范围是( ) A. 7,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭ B. 7,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ C.70,4⎛⎫⎪⎝⎭ D. 7,24⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】由()()22,2,2,2,x x f x x x -≤⎧⎪=⎨->⎪⎩得222,0(2),0x x f x x x --≥⎧⎪-=⎨<⎪⎩, 所以222,0()(2)42,0222(2),2x x x y f x f x x x x x x x ⎧-+<⎪=+-=---≤≤⎨⎪--+->⎩,即222,0()(2)2,0258,2x x x y f x f x x x x x ⎧-+<⎪=+-=≤≤⎨⎪-+>⎩ ()()()(2)y f x g x f x f x b =-=+--,所以()()y f x g x =-恰有4个零点等价于方程()(2)0f x f x b +--=有4个不同的解,即函数y b =与函数()(2)y f x f x =+-的图象的4个公共点,由图象可知724b <<. 故选D. 8642246815105510154.定义在),1(+∞上的函数)(x f 满足下列两个条件:(1)对任意的),1(+∞∈x 恒有)(2)2(x f x f =成立;(2)当(]2,1∈x 时,x x f -=2)(.记函数()g x =()(1)f x k x --,若函数)(x g 恰有两个零点,则实数k 的取值范围是( ) .A [)1,2 .B ⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,34 .C ⎪⎭⎫ ⎝⎛2,34 .D ⎪⎭⎫⎢⎣⎡2,34【解析】∵对任意的),1(+∞∈x 恒有)(2)2(x f x f =成立,且当(]2,1∈x 时,x x f -=2)(, ∴()2,(,2]f x x b x b b =-+∈.由题意得()(1)f x k x =-的函数图象是过定点(1,0)的直线,如图所示红色的直线与线段AB 相交即可(可以与B 点重合但不能与A 点重合),∴可得k 的范围为423k ≤<.5.设函数()f x 在R 上存在导数'()f x ,x R ∀∈,有2()()f x f x x -+=,在(0,)+∞上'()f x x <,若(4)()84f m f m m --≥-,则实数m 的取值范围为( )A .[2,2]-B .[2,)+∞C . [0,)+∞D .(,2][2,)-∞-+∞ 【解析】设21()()2g x f x x =-,依题()()0g x g x -+=,则()g x 是奇函数,又在(0,)+∞上'()f x x <,可判断()g x在R 上递减,不等式(4)()84f m f m m --≥-可转化为(4)()g m g m -≥,则4m m -≤,得2m ≥, 故选B.6.定义在R 上的奇函数()f x ,当0x ≥时,13log (1),[0,2)()14,[2,)x x f x x x +∈⎧⎪=⎨⎪--∈+∞⎩,则关于x 的函数()()(01)F x f x a a =-<<的所有零点之和为( )A .31a- B .13a- C .31a-- D .13a --【解析】由题意得:133log (1)(1,0],[0,2)1|4|(,1],[2,)()log (1)(0,1),(2,0)|4|1[1,),(,2)x x x x f x x x x x +∈-∈⎧⎪⎪--∈-∞∈+∞=⎨⎪-∈∈-⎪+-∈-+∞∈-∞-⎩,所以当01a <<时()y f x =与y a =有五个交点,其中1|4|,[2,)y x x =--∈+∞与y a =的两个交点关于4x =对称,和为8;|4|1,(,2)y x x =+-∈-∞-与y a =的 两个交点关于4x =-对称,和为-8;3log (1),(2,0)y x x =-∈-与y a =的一个交点,值为13a -;因此 所有零点之和为13a -,故选B. 二、填空题7.(2018年高考浙江卷)已知λ∈R ,函数f (x )=24,43,x x x x x λλ-≥⎧⎪⎨-+<⎪⎩,当λ=2时,不等式f (x )<0的解集是 ___________.若函数f (x )恰有2个零点,则λ的取值范围是___________.【答案】(1,4) (1,3](4,)⋃+∞8.已知函数)(x f 是定义在),0()0,(+∞-∞ 上的偶函数,当0>x 时,⎪⎩⎪⎨⎧>-≤<-=-,2),2(21,20,12)(1x x f x x f x ,则函数1)(2)(-=x f x g 的零点个数为 个.【解析】函数1)(2)(-=x f x g 的零点个数等价于函数)(x f y =的图象与直线21=y 的图象的交点的个数.由已知条件作出函数)(x f y =的图象与直线21=y 的图象,如下图.由图可知,函数()y f x =的图象与直线21=y 的图象有6个交点.9.已知函数32()31f x ax x =-+,若()f x 存在唯一的零点0x ,且00x >,则a 的取值范围是 .【解析】令32310ax x -+=,得313()a xx =-+,设1t x=,即33a t t =-+,原问题转化为直线y a =与函数 3()3f t t t =-+只有一个交点且此交点的横坐标为正,由'2()330f t t =-+=,得1t =±,且()f t 在(,1)-∞-递增,在(1,1)-上递减,在(1,)+∞上递增,可知(2)(1)2f f =-=-,由图象得2a <-.10. 函数ln ,0()2ln ,x x ef x x x e⎧<≤⎪=⎨->⎪⎩若,,a b c 互不相等,且()()()f a f b f c ==,则a b c ++的取值范围为 .【解析】示意()f x 图象,由,,a b c 互不相等,且()()()f a f b f c ==,不妨令a b c <<,应有211a b e c e e<<<<<<得 ln ln 2ln a b c -==-得1ab =,2c ae =,则 21(1)a b c e a a ++=++,可判断函数21()(1)g a e a a =++在1(,1)a e ∈上递增,故 21(2,2)a b c e e e ++∈++三、解答题11. 已知a R ∈,函数21()log ()f x a x=+. (1)当5a =时,解不等式()0f x >;(2)若关于x 的方程2()log [(4)25]0f x a x a --+-=的解集中恰好有一个元素,求a 的取值范围;(3)设0a >,若对任意1[,1]2t ∈,函数()f x 在区间[,1]t t +上的最大值与最小值的差不超过1,求a 的取值范围.【解析】(1)由21log 50x ⎛⎫+> ⎪⎝⎭,得151x +>,解得()1,0,4x ⎛⎫∈-∞-+∞ ⎪⎝⎭.(2)()1425a a x a x+=-+-,()()24510a x a x -+--=, 当4a =时,1x =-,经检验,满足题意.当3a =时,121x x ==-,经检验,满足题意. 当3a ≠且4a ≠时,114x a =-,21x =-,12x x ≠. 1x 是原方程的解当且仅当110a x +>,即2a >;2x 是原方程的解当且仅当210a x +>,即1a >. 于是满足题意的(]1,2a ∈. 综上,a 的取值范围为(]{}1,23,4.(3)当120x x <<时,1211a a x x +>+,221211log log a a x x ⎛⎫⎛⎫+>+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 所以()f x 在()0,+∞上单调递减.函数()f x 在区间[],1t t +上的最大值与最小值分别为()f t ,()1f t +. ()()22111log log 11f t f t a a t t ⎛⎫⎛⎫-+=+-+≤ ⎪⎪+⎝⎭⎝⎭即()2110at a t ++-≥,对任意1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦成立. 因为0a >,所以函数()211y at a t =++-在区间1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增,12t =时, y 有最小值3142a -,由31042a -≥,得23a ≥. 故a 的取值范围为2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.。

高考数学压轴专题新备战高考《函数与导数》全集汇编及答案

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数学《函数与导数》复习资料一、选择题1.函数()1sin cos 1sin cos 1tan 01sin cos 1sin cos 32x x x x f x x x x x x x π+-++⎛⎫=++<< ⎪+++-⎝⎭的最小值为( ) ABCD【答案】B 【解析】 【分析】利用二倍角公式化简函数()f x ,求导数,利用导数求函数的最小值即可. 【详解】22222sin 2sin cos 2cos 2sin cos1sin cos 1sin cos 2222221sin cos 1sin cos 2cos 2sin cos 2sin 2sin cos 222222x x x x x x x x x x x x x x x xx x x x +++-+++=++++-++ 2sin sin cos 2cos sin cos sin cos 222222222sin cos sin 2cos sin cos 2sin sin cos 22222222x x x x x x x xx x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+=+=⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 则()21tan 0sin 32f x x x x π⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭, 32222221sin 2cos 16cos cos 1()sin 3cos sin 3cos 3sin cos x x x x f x x x x x x x '''--+⎛⎫⎛⎫=+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 令()cos 0,1t x =∈,()3261g t t t =--+为减函数,且102g ⎛⎫= ⎪⎝⎭, 所以当03x π<<时,()11,02t g t <<<,从而()'0f x <; 当32x ππ<<时,()10,02t g t <<>,从而()'0f x >. 故()min 33f x f π⎛⎫== ⎪⎝⎭. 故选:A 【点睛】本题主要考查了三角函数的恒等变换,利用导数求函数的最小值,换元法,属于中档题.2.设复数z a bi =+(i 为虚数单位,,a b ∈R ),若,a b 满足关系式2a b t =-,且z 在复平面上的轨迹经过三个象限,则t 的取值范围是( ) A .[0,1] B .[1,1]- C .(0,1)(1,)⋃+∞ D .(1,)-+∞【答案】C 【解析】 【分析】首先根据复数的几何意义得到z 的轨迹方程2xy t =-,再根据指数函数的图象,得到关于t 的不等式,求解.【详解】由复数的几何意义可知,设复数对应的复平面内的点为(),x y ,2ax a y b t=⎧⎨==-⎩ ,即2xy t =- , 因为z 在复平面上的轨迹经过三个象限, 则当0x =时,11t -< 且10t -≠ , 解得0t >且1t ≠ ,即t 的取值范围是()()0,11,+∞U . 故选:C 【点睛】本题考查复数的几何意义,以及轨迹方程,函数图象,重点考查数形结合分析问题的能力,属于基础题型.3.已知函数f (x )=e b ﹣x ﹣e x ﹣b +c (b ,c 均为常数)的图象关于点(2,1)对称,则f (5)+f (﹣1)=( ) A .﹣2 B .﹣1C .2D .4【答案】C 【解析】 【分析】根据对称性即可求出答案. 【详解】解:∵点(5,f (5))与点(﹣1,f (﹣1))满足(5﹣1)÷2=2, 故它们关于点(2,1)对称,所以f (5)+f (﹣1)=2, 故选:C . 【点睛】本题主要考查函数的对称性的应用,属于中档题.4.函数f (x )=x ﹣g (x )的图象在点x =2处的切线方程是y =﹣x ﹣1,则g (2)+g '(2)=( ) A .7 B .4C .0D .﹣4【答案】A【解析】()()()(),'1'f x x g x f x g x =-∴=-Q ,因为函数()()f x x g x =-的图像在点2x =处的切线方程是1y x =--,所以()()23,'21f f =-=-,()()()()2'2221'27g g f f ∴+=-+-=,故选A .5.函数22cos x xy x x--=-的图像大致为( ).A .B .C .D .【答案】A 【解析】 【分析】 本题采用排除法:由5522f f ππ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭排除选项D ; 根据特殊值502f π⎛⎫>⎪⎝⎭排除选项C; 由0x >,且x 无限接近于0时, ()0f x <排除选项B ; 【详解】对于选项D:由题意可得, 令函数()f x = 22cos x xy x x--=-,则5522522522f ππππ--⎛⎫-= ⎪⎝⎭,5522522522f ππππ--⎛⎫=⎪⎝⎭;即5522f f ππ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.故选项D 排除; 对于选项C :因为55225220522f ππππ--⎛⎫=> ⎪⎝⎭,故选项C 排除;对于选项B:当0x >,且x 无限接近于0时,cos x x -接近于10-<,220x x -->,此时()0f x <.故选项B 排除;故选项:A 【点睛】本题考查函数解析式较复杂的图象的判断;利用函数奇偶性、特殊值符号的正负等有关性质进行逐一排除是解题的关键;属于中档题.6.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数,且在()0,∞+上单调递增,则( ) A .()()()0.633log 132f f f -<-<B .()()()0.6332log 13f f f -<<-C .()()()0.632log 133f f f <-<- D .()()()0.6323log 13f f f <-<【答案】C 【解析】 【分析】利用指数函数和对数函数单调性可得到0.632log 133<<,结合单调性和偶函数的性质可得大小关系. 【详解】()f x Q 为R 上的偶函数,()()33f f ∴-=,()()33log 13log 13f f -=,0.633322log 9log 13log 273<=<<=Q 且()f x 在()0,∞+上单调递增,()()()0.632log 133f f f ∴<<,()()()0.632log 133f f f ∴<-<-.故选:C . 【点睛】本题考查函数值大小关系的比较,关键是能够利用奇偶性将自变量转化到同一单调区间内,由自变量的大小关系,利用函数单调性即可得到函数值的大小关系.7.函数()2sin 2xf x x x x=+-的大致图象为( )A .B .C .D .【答案】D 【解析】 【分析】利用()10f <,以及函数的极限思想,可以排除错误选项得到正确答案。

高中数学函数经典复习题含答案

高中数学函数经典复习题含答案

高中数学函数经典复习题含答案1、求函数的定义域1)y=(x-1)/(x^2-2x-15)先求分母为0的解:x^2-2x-15=0x-5)(x+3)=0得到:x=5或x=-3但是x=-3不在定义域内,因为分母为0时分式无意义,所以定义域为(-∞,-3)∪(-3,5)∪(5,+∞)2)y=1-((x+1)/(x+3))-3先求分母为0的解:x+3=0得到:x=-3但是x=-3不在定义域内,因为分母为0时分式无意义,所以定义域为(-∞,-3)∪(-3,-1)∪(-1,+∞)2、设函数1/(x-1)+(2x-1)+4-x^2的定义域为[1,∞),则函数f(x^2)的定义域为[1,∞);函数f(x-2)的定义域为[3,∞)。

3、若函数f(x+1)的定义域为[-2,3],则函数f(2x-1)的定义域为[-1,2],函数f(2x-1)的值域为[-2,3]。

4、已知函数f(x)的定义域为[-1,1],且函数F(x)=f(x+m)-f(x-m)的定义域存在,求实数m的取值范围。

因为F(x)的定义域存在,所以f(x+m)和f(x-m)的定义域必须都存在,即:1≤x+m≤11≤x-m≤1将两个不等式联立,得到:1≤x≤1m≤x≤m所以m的取值范围为[-1,1]。

二、求函数的值域5、求下列函数的值域:1)y=x+2/x-3 (x∈R)先求分母为0的解:x-3=0得到:x=3但是x=3不在定义域内,因为分母为0时分式无意义,所以定义域为(-∞,3)∪(3,+∞)当x→±∞时,y→±∞,所以值域为(-∞,-2]∪[2,+∞)2)y=x+2/x-3 (x∈[1,2])先求分母为0的解:x-3=0得到:x=3但是x=3不在定义域内,因为分母为0时分式无意义,所以定义域为[1,3)∪(3,2]∪(2,+∞)当x→1+时,y→-∞,当x→2-时,y→+∞,所以值域为(-∞,-2]∪[2,+∞)3)y=22/(3x-13x-1)先求分母为0的解:3x-13x-1=0得到:x=4但是x=4不在定义域内,因为分母为0时分式无意义,所以定义域为(-∞,4)∪(4,+∞)当x→±∞时,y→0,所以值域为(0,+∞)4)y=(5x^2+9x+4)/(2x-6) (x≥5)当x→+∞时,y→+∞,当x→5+时,y→+∞,所以值域为[5,+∞)5)y=(x-3)/(x+1)+x+1先求分母为0的解:x+1=0得到:x=-1但是x=-1不在定义域内,因为分母为0时分式无意义,所以定义域为(-∞,-1)∪(-1,+∞)化简得到y=x-2,所以值域为(-∞,-2]∪[-2,+∞)6)y=(x-3+x+1)/(2x-1x+2)先求分母为0的解:2x-1=0或x+2=0得到:x=1/2或x=-2但是x=1/2不在定义域内,因为分母为0时分式无意义,所以定义域为(-∞,1/2)∪(1/2,-2)∪(-2,+∞)化简得到y=1/2,所以值域为{1/2}7)y=x^2-x/(x+2)先求分母为0的解:x+2=0得到:x=-2但是x=-2不在定义域内,因为分母为0时分式无意义,所以定义域为(-∞,-2)∪(-2,+∞)化简得到y=x-2-5/(x+2),所以值域为(-∞,-13/4]∪[1/4,+∞)8)y=(2-x^2-x)/(3x+6)先求分母为0的解:3x+6=0得到:x=-2但是x=-2不在定义域内,因为分母为0时分式无意义,所以定义域为(-∞,-2)∪(-2,+∞)化简得到y=-1/3,所以值域为{-1/3}三、求函数的解析式1、已知函数f(x-1)=x-4x,求函数f(x),f(2x+1)的解析式。

高三数学专题复习-函数概念及其表示专题练习带答案

高三数学专题复习-函数概念及其表示专题练习带答案

04 函数概念及其表示1.函数f (x )=log 2(1-2x )+1x +1的定义域为( ) A.⎝⎛⎭⎫0,12 B .⎝⎛⎭⎫-∞,12 C .(-1,0)∪⎝⎛⎭⎫0,12 D .(-∞,-1)∪⎝⎛⎭⎫-1,12 【答案】D.要使函数有意义,需满足⎩⎪⎨⎪⎧1-2x >0,x +1≠0,解得x <12且x ≠-1,故函数的定义域为(-∞,-1)∪(-1,12).2.已知集合A={x|x 2-2x ≤0},B={y|y=log 2(x+2),x ∈A },则A ∩B 为( ) A.(0,1) B.[0,1] C.(1,2) D.[1,2]【答案】D由题意,集合A={x|x 2-2x ≤0}=[0,2], 因为x ∈A ,则x+2∈[2,4],所以B={y|y=log 2(x+2),x ∈A }=[1,2], 所以A ∩B=[1,2].故选D .3.已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧f (-x ),x >2,ax +1,-2≤x ≤2,f (x +5),x <-2,若f (2 019)=0,则a =( )A .0B .-1C .1D .-2【答案】B.由于f (2 019)=f (-2 019)=f (-404×5+1)=f (1)=a +1=0,故a =-1.4.下列函数中,其定义域和值域分别与函数y=10lg x 的定义域和值域相同的是( ) A.y=x B.y=lg x C.y=2x D.y=【答案】Dy=10lg x =x ,定义域与值域均为(0,+∞).A 项中,y=x 的定义域和值域均为R;B 项中,y=lg x 的定义域为(0,+∞),值域为R;C 项中,y=2x 的定义域为R,值域为(0,+∞);D 项中,y=的定义域与值域均为(0,+∞).故选D . 5.若函数f (x )满足f (1-ln x )=1x,则f (2)等于( )A.12 B .e C.1e D .-1【答案】B.解法一:令1-ln x =t ,则x =e 1-t ,于是f (t )=1e1-t ,即f (x )=1e1-x ,故f (2)=e.解法二:由1-ln x =2,得x =1e ,这时1x =11e =e ,即f (2)=e.6.若函数y=f (x )的值域是[1,3],则函数F (x )=1-f (x+3)的值域是( ) A.[-8,-3] B.[-5,-1]C.[-2,0]D.[1,3]【答案】C∵1≤f (x )≤3,∴1≤f (x+3)≤3,-3≤-f (x+3)≤-1,∴-2≤1-f (x+3)≤0.故F (x )的值域为[-2,0].7.设函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧3x -b , x <1,2x , x ≥1.若f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫56=4,则b =( ) A .1 B .78C.34 D .12【答案】D.f ⎝⎛⎭⎫56=3×56-b =52-b , 当52-b ≥1,即b ≤32时,f ⎝⎛⎭⎫52-b =252-b , 即252-b =4=22,得到52-b =2,即b =12;当52-b <1,即b >32时,f ⎝⎛⎭⎫52-b =152-3b -b =152-4b , 即152-4b =4,得到b =78<32,舍去. 综上,b =12,故选D.8. 若任意都有,则函数的图象的对称轴方程为A .,B .,C .,D .,【答案】A令,代入则联立方程得解方程得=所以对称轴方程为解得所以选A 。

函数考试题库及答案大全

函数考试题库及答案大全

函数考试题库及答案大全一、选择题1. 下列哪个选项是函数的定义?A. 函数是一种数学工具B. 函数是一种关系C. 函数是一种映射D. 函数是一种运算答案:C2. 函数f(x) = 2x + 3的值域是什么?A. {x | x > 0}B. RC. {x | x < 0}D. {x | x = 2}答案:B3. 函数f(x) = x^2 + 2x + 1的最小值是多少?A. 0B. 1C. 3D. 4答案:B二、填空题1. 若函数f(x) = 3x - 5,则f(2) = ____。

答案:12. 函数y = x^3 - 6x + 8的导数是 ____。

答案:3x^2 - 63. 函数y = sin(x)的反函数是 ____。

答案:arcsin(y)三、解答题1. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 4,求函数的极值点。

答案:函数f(x) = x^2 - 4x + 4可以写成f(x) = (x - 2)^2,因此函数的极小值点为x = 2。

2. 求函数y = 2x - 3在x = 1处的切线方程。

答案:函数y = 2x - 3的导数为y' = 2,当x = 1时,y = -1,切线的斜率为2,因此切线方程为y + 1 = 2(x - 1),即y = 2x - 3。

3. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2,求函数的单调区间。

答案:函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2的导数为f'(x) = 3x^2 - 6x,令f'(x) > 0,解得x < 0或x > 2,因此函数在(-∞, 0)和(2, +∞)上单调递增;令f'(x) < 0,解得0 < x < 2,因此函数在(0, 2)上单调递减。

四、证明题1. 证明函数f(x) = x^3 + 2x是奇函数。

答案:由于f(-x) = (-x)^3 + 2(-x) = -x^3 - 2x = -(x^3 + 2x) = -f(x),所以函数f(x) = x^3 + 2x是奇函数。

高考函数复习题目

高考函数复习题目

高考函数复习题目一、选择题1. 函数f(x) = 2x^2 + 3x - 5的图像关于x轴对称,那么f(x)的图像关于y轴对称的函数g(x)可以表示为:A. g(x) = 2x^2 - 3x - 5B. g(x) = -2x^2 + 3x + 5C. g(x) = -2x^2 - 3x + 5D. g(x) = 2x^2 + 3x + 52. 若函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + 1在区间[-1, 2]上单调递增,则f(x)的导数f'(x)满足:A. f'(x) ≥ 0B. f'(x) ≤ 0C. f'(x) > 0D. f'(x) < 0二、填空题3. 已知函数y = √x + 1,当x = 4时,y的值是______。

4. 函数f(x) = x^2 - 2x + 3的最小值是______。

三、解答题5. 求函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6在区间[1, 5]上的极值。

6. 已知函数f(x) = 2x - 1,g(x) = x^2 + 3x + 2,求f(g(x))的表达式。

四、综合题7. 某工厂生产一种产品,其成本函数为C(x) = 100 + 20x,其中x为生产数量。

求当x在[10, 50]区间内时,成本函数的最小值。

8. 已知函数f(x) = x^2 + bx + c,若f(1) = 3,f(2) = 8,求b和c的值,并写出函数的表达式。

五、证明题9. 证明函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + 1在x = 2处取得极小值。

10. 证明函数f(x) = sin(x) + cos(x)在区间[0, π/2]上单调递增。

六、应用题11. 某公司计划在新市场销售一种新产品,预计销售函数为S(x) =100 - 0.5x,其中x为销售价格(单位:元)。

求当销售价格在[50, 150]区间内时,销售函数的最大值。

(完整版)数学高职高考专题复习_三角函数

(完整版)数学高职高考专题复习_三角函数

高考三角函数问题专题复习一、三角函数基础题1、已知角α的终边通过点P(-3,4),则sinα+cosα+t an α= ( )A.1523-B.1517-C.151-D.15172、π617sin = ( )A.21 B.23- C.21- D.23-3、x y 2sin 21=的最小正周期是 ( ) A.2πB.πC.2πD. 4π 4、设tan α=2,且sin α<0,则cos α的值等于 ( ) A.55 B.51- C.55- D.51 5、y=cos 2(2x)的最小正周期是 ( )A .2πB. πC.4πD.8π 6、命题甲:sin x=1,命题乙:x=2π,则 ( )A.甲是乙充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充分必要条件D.甲不是乙的必要条件也不是乙的充分条件 7、命题甲:A=B ,命题乙:sinA=sinB,则 ( ) A.甲不是乙的必要条件也不是乙的充分条件 B.甲是乙的充分必要条件C.甲是乙的必要条件但不是充分条件D.甲是乙的充分条件但不是必要条件 8、函数y=sin x 在区间________上是增函数. ( ) A.[0,π] B.[π,2π] C.]25,23[ππ D .]87,85[ππ 9、函数)43tan(π+=x y 的最小正周期为 ( )A.3πB.πC.32π D.3π10、设角α的终边通过点P (-5,12),则cot α+sin α等于 ( ) A.137 B.-137 C.15679 D.- 1567911、函数y=cos3x -3sin3x 的最小正周期和最大值分别是 ( )A.32π, 1 B.32π, 2 C.2π, 2 D.2π, 1 12、若23cos ],2,[-=∈x x ππ ,则x 等于 ( ) A.67π B.34π C.35π D.611π 13、已知57cos sin ,51cos sin =-=+αααα,则tan α等于 ( )A.34- B.-43 C.1 D.- 114、ο150cos = ( )A.21 B.23 C.﹣21D. ﹣2315、在△ABC 中,AB=3,AC=2,BC=1,则sin A 等于 ( )A.0B.1C.23 D.2116、在]2,0[π上满足sinx≤-0.5的x 的取值范围是区间 ( ) A.[0,6π] B.[6π,65π] C.]67,65[ππ D .]611,67[ππ17、使等式cosx=a -2有意义的a 的取值范围是区间 ( )A .[0,2] B.[1,3] C.[0,1] D.[2,3]18、=-+-)690sin(495tan )585cos(οοο ( )A .22 B.32 C.32- D.2 19、如果51cos sin =+x x ,且0≤x<π,那么tanx= ( ) A .34- B.43- C.43 D.3420、要得到)62sin(π-=x y 的图象,只需将函数y=sin2x 的图象 ( )A .向右平行移动3π个单位 B.向右平行移动6π个单位 C.向右平行移动12π个单位 D.向左平行移动12π个单位21、已知παππ0,53cos =α,那么=+)sin(πα ( ) A .-1 B.53- C.54 D.54-22、tan165°-tan285°= ( )A .32- B.31+ C.32 D.32+23、函数y=2sin2xcos2x 是 ( )A .周期为2π的奇函数 B.周期为2π的偶函数 C.周期为4π的奇函数 D.周期为4π的偶函数24、在△ABC 中,已知∠BAC=120o ,AB=3,BC=7,则AC=____________.25、在△ABC 中,AB=3,BC=5,AC=7,则cosB=________.26、在△ABC 中,已知AB=2,BC=3,CA=4,则cosA=____ ______.27、函数y=x x cos sin 3+的值域是___ ______. 28、函数y=sinx-3cosx 的最小正周期是___________. 29、设38πα-=,则与α终边相同的最小正角是_________. 30、cos 2398o +cos 2232o =___________. 31、函数tan(3)4y x π=+的最小正周期是 . 二、三角函数式的变换及其应用32、015tan 115tan 1-+= ( )A.3-B.33C.3D.33- 33、已知=-=θθπθπθθsin cos ,24,81cos sin 那么且ππ ( )A .23 B.23- C.43 D.43- 34、当=+∈≠xxx x ,Z k k x cos 3cos sin 3sin )(2时π ( ) A .-2cos2x B.2cos2x C.4cos2x D.-4cos2x 35、=++-)67sin()67sin(θπθπ ( ) A .23B.θcosC.θcos -D.θ2cos 3 36、已知=--==)tan(,21tan ,3tan βαβα则 ( ) A .-7 B.7 C.-5 D.137、=+2280cos 1ο( )A .cos14° B.sin50° C.cos50° D.cos140° 38、如果=-=+=ββααβα那么且是锐角,1411)cos(,734sin ,, ( ) A .3π B.4π C.6π D.8π39、如果=++-x x x sin 1sin 1,20那么πππ ( )A .2cosx B.2sinx C.2sin 2x D.2cos 2x40、当=--=+)tan 1)(tan 1(43βαπβα,时 ( )A .21 B.31C.1D.2 41、在△ABC 中,已知cosAcosB=sinAsinB ,那么△ABC 是 ( ) A .直角三角形 B.钝角三角形 C.等边三角形 D.不等边锐角三角形42、在△ABC 中,已知cosA=135,cosB=53,那么cosC= ( ) A .6563- B.6563 C.6533- D.653343、已知sin α.+cos α.=53,则sin2α.=_______.44、函数y=2cosx -cos2x 的最大值是___ _____.45、如果51cos sin =+αα (0<α<π=,那么tg α的值是____ ____. 46、设0<α<2π,则2cos2sin sin 1ααα--等于______ __________.三、三角函数综合题47、在ABC 中,已知∠A=45o ,∠B=30o ,AB=2,求AC.48、在ABC 中,已知∠A=60o ,且BC=2AB ,求sinC.49、设函数θθθθθcos sin 25cos sin 2)(++=f , ]2,0[πθ∈,(Ⅰ)求)12(πf ; (Ⅱ)求函数f(θ)的最小值.50、已知sin α=54,α是锐角,求1)28(cos 22--απ的值。

高三数学函数题集附解答

高三数学函数题集附解答

高三数学函数题集附解答-----------------1. 函数f(x) = 2x^2 + 3x - 1中,当x = 1时的函数值是多少?解答:将x = 1代入函数表达式中,得到:f(1) = 2(1)^2 + 3(1) - 1 = 2 + 3 - 1 = 4-----------------2. 已知函数g(x) = x^3 + 3x^2 - 2x - 5,求函数的导数g'(x)。

解答:对函数g(x)按照幂次降序求导,得到:g'(x) = 3x^2 + 6x - 2-----------------3. 已知函数h(x) = 2^(x+1),求函数在x = 3处的值以及导数h'(x)。

解答:将x = 3代入函数表达式中,得到:h(3) = 2^(3+1) = 2^4 = 16对函数h(x)求导,使用指数函数的导数公式,得到:h'(x) = (ln2) * 2^(x+1)-----------------4. 函数f(x) = 3x^2 - 4x + 1和g(x) = x + 2的复合函数f(g(x))是多少?解答:将g(x)代入f(x)的表达式,得到:f(g(x)) = 3(g(x))^2 - 4(g(x)) + 1= 3(x + 2)^2 - 4(x + 2) + 1= 3(x^2 + 4x + 4) - 4x - 8 + 1= 3x^2 + 12x + 12 - 4x - 7= 3x^2 + 8x + 5-----------------5. 已知函数f(x) = 3x^2 - 2x + 1和g(x) = x + 1,求f(x)与g(x)的和f(x) + g(x)。

解答:将f(x)和g(x)相加,得到:f(x) + g(x) = (3x^2 - 2x + 1) + (x + 1)= 3x^2 - 2x + 1 + x + 1= 3x^2 - x + 2-----------------6. 函数f(x) = x^3 - x^2 + 2x - 1的图像是否关于y轴对称?请说明理由。

高中数学高考总复习函数概念习题及详解

高中数学高考总复习函数概念习题及详解

高中数学高考总复习函数概念习题及详解一、选择题1.(文)(2010·浙江文)已知函数f (x )=log 2(x +1),若f (a )=1,则a =( ) A .0 B .1 C .2D .3[答案] B[解析] 由题意知,f (a )=log 2(a +1)=1,∴a +1=2, ∴a =1.(理)(2010·广东六校)设函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧2xx ∈(-∞,2]log 2x x ∈(2,+∞),则满足f (x )=4的x 的值是( )A .2B .16C .2或16D .-2或16[答案] C[解析] 当f (x )=2x 时.2x =4,解得x =2. 当f (x )=log 2x 时,log 2x =4,解得x =16. ∴x =2或16.故选C.2.(文)(2010·湖北文,3)已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧log 3x x >02x x ≤0,则f (f (19))=( )A .4 B.14 C .-4D .-14[答案] B[解析] ∵f (19)=log 319=-2<0∴f (f (19))=f (-2)=2-2=14.(理)设函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧21-x-1 (x <1)lg x (x ≥1),若f (x 0)>1,则x 0的取值范围是( )A .(-∞,0)∪(10,+∞)B .(-1,+∞)C .(-∞,-2)∪(-1,10)D .(0,10) [答案] A[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧ x 0<121-x 0-1>1或⎩⎪⎨⎪⎧x 0≥1lg x 0>1⇒x 0<0或x 0>10.3.(2010·天津模拟)若一系列函数的解析式相同,值域相同,但其定义域不同,则称这些函数为“同族函数”,那么函数解析式为f (x )=x 2,值域为{1,4}的“同族函数”共有( )A .7个B .8个C .9个D .10个[答案] C[解析] 由x 2=1得x =±1,由x 2=4得x =±2,故函数的定义域可以是{1,2},{-1,2},{1,-2},{-1,-2},{1,2,-1},{1,2,-2},{1,-2,-1},{-1,2,-2}和{-1,-2,1,2},故选C.4.(2010·柳州、贵港、钦州模拟)设函数f (x )=1-2x1+x ,函数y =g (x )的图象与y =f (x )的图象关于直线y =x 对称,则g (1)等于( )A .-32B .-1C .-12D .0[答案] D[解析] 设g (1)=a ,由已知条件知,f (x )与g (x )互为反函数,∴f (a )=1,即1-2a1+a =1,∴a =0.5.(2010·广东六校)若函数y =f (x )的图象如图所示,则函数y =f (1-x )的图象大致为( )[答案] A[解析] 解法1:y =f (-x )的图象与y =f (x )的图象关于y 轴对称.将y =f (-x )的图象向右平移一个单位得y =f (1-x )的图象,故选A.解法2:由f (0)=0知,y =f (1-x )的图象应过(1,0)点,排除B 、C ;由x =1不在y =f (x )的定义域内知,y =f (1-x )的定义域应不包括x =0,排除D ,故选A.高考总复习含详解答案6.(文)(2010·广东四校)已知两个函数f (x )和g (x )的定义域和值域都是集合{1,2,3},其定义如下表,填写下列g (f (x ))的表格,其三个数依次为( )A.3,1,2 C .1,2,3D .3,2,1[答案] D[解析] 由表格可知,f (1)=2,f (2)=3,f (3)=1,g (1)=1,g (2)=3,g (3)=2, ∴g (f (1))=g (2)=3,g (f (2))=g (3)=2,g (f (3))=g (1)=1, ∴三个数依次为3,2,1,故选D.(理)(2010·山东肥城联考)已知两个函数f (x )和g (x )的定义域和值域都是集合{1,2,3},其定义如下表:则方程g [f (x )]=x 的解集为( ) A .{1} B .{2} C .{3}D .∅[答案] C[解析] g [f (1)]=g (2)=2,g [f (2)]=g (3)=1; g [f (3)]=g (1)=3,故选C.7.若函数f (x )=log a (x +1) (a >0且a ≠1)的定义域和值域都是[0,1],则a 等于( ) A.13B. 2C.22D .2[答案] D[解析] ∵0≤x ≤1,∴1≤x +1≤2,又∵0≤log a (x +1)≤1,故a >1,且log a 2=1,∴a =2.8.(文)(2010·天津文)设函数g (x )=x 2-2(x ∈R),f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧g (x )+x +4,x <g (x )g (x )-x ,x ≥g (x ),则f (x )的值域是( )A.⎣⎡⎦⎤-94,0∪(1,+∞) B .[0,+∞)C.⎣⎡⎭⎫-94,+∞D.⎣⎡⎦⎤-94,0∪(2,+∞) [答案] D[解析] 由题意可知f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 2+x +2 x <-1或x >2x 2-x -2 -1≤x ≤21°当x <-1或x >2时,f (x )=x 2+x +2=⎝⎛⎭⎫x +122+74 由函数的图可得f (x )∈(2,+∞).2°当-1≤x ≤2时,f (x )=x 2-x -2=⎝⎛⎭⎫x -122-94, 故当x =12时,f (x )min =f ⎝⎛⎭⎫12=-94, 当x =-1时,f (x )max =f (-1)=0, ∴f (x )∈⎣⎡⎦⎤-94,0. 综上所述,该分段函数的值域为⎣⎡⎦⎤-94,0∪(2,+∞). (理)定义在R 上的函数f (x )满足f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧log 2(1-x ) (x ≤0)f (x -1)-f (x -2) (x >0),则f (2010)的值为( ) A .-1 B .0 C .1D .2[答案] B[解析] f (2010)=f (2009)-f (2008)=(f (2008)-f (2007))-f (2008)=-f (2007),同理f (2007)=-f (2004),∴f (2010)=f (2004),∴当x >0时,f (x )以6为周期进行循环, ∴f (2010)=f (0)=log 21=0.9.(文)对任意两实数a 、b ,定义运算“*”如下:a *b =⎩⎪⎨⎪⎧a ,若a ≤b ;b ,若a >b函数f (x )=log 12(3x高考总复习含详解答案-2)*log 2x 的值域为( )A .(-∞,0)B .(0,+∞)C .(-∞,0]D .[0,+∞)[答案] C[解析] ∵a *b =⎩⎪⎨⎪⎧a ,若a ≤b ,b ,若a >b .而函数f (x )=log 12(3x -2)与log 2x 的大致图象如右图所示,∴f (x )的值域为(-∞,0].(理)定义max{a 、b 、c }表示a 、b 、c 三个数中的最大值,f (x )=max{⎝⎛⎭⎫12x,x -2,log 2x (x >0)},则f (x )的最小值所在范围是( )A .(-∞,-1)B .(-1,0)C .(0,1)D .(1,3)[答案] C[解析] 在同一坐标系中画出函数y =⎝⎛⎭⎫12x,y =x -2与y =log 2x 的图象,y =⎝⎛⎭⎫12x 与y =log 2x 图象的交点为A (x 1,y 1),y =x -2与y =log 2x 图象的交点为B (x 2,y 2),则由f (x )的定义知,当x ≤x 1时,f (x )=⎝⎛⎭⎫12x,当x 1<x <x 2时,f (x )=log 2x ,当x ≥x 2时,f (x )=x -2,∴f (x )的最小值在A 点取得,∵0<y 1<1,故选C.10.(文)(2010·江西吉安一中)如图,已知四边形ABCD 在映射f :(x ,y )→(x +1,2y )作用下的象集为四边形A 1B 1C 1D 1,若四边形A 1B 1C 1D 1的面积是12,则四边形ABCD 的面积是()A .9B .6C .6 3D .12[答案] B[解析] 本题考察阅读理解能力,由映射f 的定义知,在f 作用下点(x ,y )变为(x +1,2y ),∴在f 作用下|A 1C 1|=|AC |,|B 1D 1|=2|BD |,且A 1、C 1仍在x 轴上,B 1、D 1仍在y 轴上,故S ABCD =12|AC |·|BD |=12|A 1C 1|·12|B 1D 1|=12SA 1B 1C 1D 1=6,故选B.(理)设函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 2+bx +c x ≤02 x >0,若f (-4)=f (0),f (-2)=-2,则关于x 的方程f (x )=x 的解的个数为( )A .1B .2C .3D .4[答案] C[解析] 解法1:当x ≤0时,f (x )=x 2+bx +c . ∵f (-4)=f (0),f (-2)=-2,∴⎩⎪⎨⎪⎧ (-4)2+b ·(-4)+c =c (-2)2+b ·(-2)+c =-2,解得⎩⎪⎨⎪⎧b =4c =2, ∴f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 2+4x +2 x ≤02 x >0,当x ≤0时,由f (x )=x 得,x 2+4x +2=x , 解得x =-2,或x =-1; 当x >0时,由f (x )=x 得,x =2, ∴方程f (x )=x 有3个解.解法2:由f (-4)=f (0)且f (-2)=-2可得,f (x )=x 2+bx +c 的对称轴是x =-2,且顶点为(-2,-2),于是可得到f (x )的简图如图所示.方程f (x )=x 的解的个数就是函数图象y =f (x )与y =x 的图象的交点的个数,所以有3个解.二、填空题11.(文)(2010·北京东城区)函数y =x +1+lg(2-x )的定义域是________. [答案] [-1,2)[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧x +1≥02-x >0得,-1≤x <2.(理)函数f (x )=x +4-x 的最大值与最小值的比值为________. [答案]2[解析] ∵⎩⎪⎨⎪⎧x ≥04-x ≥0,∴0≤x ≤4,f 2(x )=4+2x (4-x )≤4+[x +(4-x )]=8,且f高考总复习含详解答案2(x )≥4,∵f (x )≥0,∴2≤f (x )≤22,故所求比值为 2.[点评] (1)可用导数求解;(2)∵0≤x ≤4,∴0≤x 4≤1,故可令x 4=sin 2θ(0≤θ≤π2)转化为三角函数求解.12.函数y =cos x -1sin x -2 x ∈[0,π]的值域为________.[答案] ⎣⎡⎦⎤0,43 [解析] 函数表示点(sin α,cos α)与点(2,1)连线斜率.而点(sin α,cos α)α∈[0,π]表示单位圆右半部分,由几何意义,知y ∈[0,43].13.(2010·湖南湘潭市)在平面直角坐标系中,横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点,如果函数f (x )的图象恰好通过n (n ∈N *)个整点,则称函数f (x )为n 阶整点函数,有下列函数①f (x )=sin2x ②g (x )=x 3 ③h (x )=⎝⎛⎭⎫13x ④φ(x )=ln x .其中是一阶整点函数的是________.(写出所有正确结论的序号) [答案] ①④[解析] 其中①只过(0,0)点,④只过(1,0)点;②过(0,1),(1,1),(2,8)等,③过(0,1),(-1,3)等.14.(文)若f (a +b )=f (a )·f (b )且f (1)=1,则f (2)f (1)+f (3)f (2)+…+f (2012)f (2011)=________.[答案] 2011[解析] 令b =1,则f (a +1)f (a )=f (1)=1,∴f (2)f (1)+f (3)f (2)+…+f (2012)f (2011)=2011. (理)设函数f (x )=x |x |+bx +c ,给出下列命题: ①b =0,c >0时,方程f (x )=0只有一个实数根; ②c =0时,y =f (x )是奇函数; ③方程f (x )=0至多有两个实根.上述三个命题中所有的正确命题的序号为________. [答案] ①②[解析] ①f (x )=x |x |+c=⎩⎪⎨⎪⎧x 2+c ,x ≥0-x 2+c ,x <0, 如右图与x 轴只有一个交点.所以方程f (x )=0只有一个实数根正确. ②c =0时,f (x )=x |x |+bx 显然是奇函数.③当c =0,b <0时,f (x )=x |x |+bx =⎩⎪⎨⎪⎧x 2+bx ,x ≥0-x 2+bx ,x <0如右图方程f (x )=0可以有三个实数根. 综上所述,正确命题的序号为①②. 三、解答题15.(文)(2010·深圳九校)某自来水厂的蓄水池存有400吨水,水厂每小时可向蓄水池中注水60吨,同时蓄水池又向居民小区不间断供水,t 小时内供水总量为1206t 吨,(0≤t ≤24).(1)从供水开始到第几小时时,蓄水池中的存水量最少?最少水量是多少吨?(2)若蓄水池中水量少于80吨时,就会出现供水紧张现象,请问在一天的24小时内,有几小时出现供水紧张现象.[解析] (1)设t 小时后蓄水池中的水量为y 吨, 则y =400+60t -1206t (0≤t ≤24) 令6t =x ,则x 2=6t 且0≤x ≤12,∴y =400+10x 2-120x =10(x -6)2+40(0≤x ≤12); ∴当x =6,即t =6时,y min =40,即从供水开始到第6小时时,蓄水池水量最少,只有40吨. (2)依题意400+10x 2-120x <80, 得x 2-12x +32<0,解得4<x <8,即4<6t <8,∴83<t <323;∵323-83=8,∴每天约有8小时供水紧张.(理)某物流公司购买了一块长AM =30米,宽AN =20米的矩形地块AMPN ,规划建设占地如图中矩形ABCD 的仓库,其余地方为道路和停车场,要求顶点C 在地块对角线MN 上,B 、D 分别在边AM 、AN 上,假设AB 长度为x 米.(1)要使仓库占地ABCD 的面积不少于144平方米,AB 长度应在什么范围内? (2)若规划建设的仓库是高度与AB 长度相同的长方体形建筑,问AB 长度为多少时仓库的库容最大?(墙体及楼板所占空间忽略不计)高考总复习含详解答案[解析] (1)依题意得三角形NDC 与三角形NAM 相似,所以DC AM =ND NA ,即x 30=20-AD20,AD =20-23x ,矩形ABCD 的面积为S =20x -23x 2 (0<x <30),要使仓库占地ABCD 的面积不少于144平方米, 即20x -23x 2≥144,化简得x 2-30x +216≤0,解得12≤x ≤18. 所以AB 长度应在[12,18]内.(2)仓库体积为V =20x 2-23x 3(0<x <30),V ′=40x -2x 2=0得x =0或x =20, 当0<x <20时,V ′>0,当20<x <30时V ′<0, 所以x =20时,V 取最大值80003m 3,即AB 长度为20米时仓库的库容最大.16.(2010·皖南八校联考)对定义域分别是Df ,Dg 的函数y =f (x ),y =g (x ),规定: 函数h (x )=⎩⎪⎨⎪⎧f (x )g (x ),当x ∈Df 且x ∈Dg ,f (x ),当x ∈Df 且x ∉Dg ,g (x ),当x ∈Dg 且x ∉Df .(1)若函数f (x )=1x -1,g (x )=x 2,写出函数h (x )的解析式;(2)求问题(1)中函数h (x )的值域;(3)若g (x )=f (x +α),其中α是常数,且α∈[0,π],请设计一个定义域为R 的函数y =f (x ),及一个α的值,使得h (x )=cos4x ,并予以证明.[解析] (1)由定义知,h (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 2x -1,x ∈(-∞,1)∪(1,+∞),1,x =1.(2)由(1)知,当x ≠1时,h (x )=x -1+1x -1+2,则当x >1时,有h (x )≥4(当且仅当x =2时,取“=”); 当x <1时,有h (x )≤0(当且仅当x =0时,取“=”). 则函数h (x )的值域是(-∞,0]∪{1}∪[4,+∞).(3)可取f (x )=sin2x +cos2x ,α=π4,则g (x )=f (x +α)=cos2x -sin2x ,于是h (x )=f (x )f (x +α)=cos4x .(或取f (x )=1+2sin2x ,α=π2,则g (x )=f (x +α)=1-2sin2x .于是h (x )=f (x )f (x +α)=cos4x ).[点评] 本题中(1)、(2)问不难求解,关键是读懂h (x )的定义,第(3)问是一个开放性问题,乍一看可能觉得无从下手,但细加观察不难发现,cos4x =cos 22x -sin 22x =(cos2x +sin2x )(cos2x -sin2x )积式的一个因式取作f (x ),只要能够找到α,使f (x +α)等于另一个因式也就找到了f (x )和g (x ).17.(文)某种商品在30天内每件的销售价格P (元)与时间t (天)的函数关系如图所示:该商品在30天内日销售量Q (件)与时间t (天)之间的关系如表所示:(1)(2)在所给直角坐标系中,根据表中提供的数据描出实数对(t ,Q )的对应点,并确定日销售量Q 与时间t 的一个函数关系式;(3)求该商品的日销售金额的最大值,并指出日销售金额最大的一天是30天中的第几天?(日销售金额=每件的销售价格×日销售量)[解析] (1)P =⎩⎪⎨⎪⎧t +20 (0<t <25,t ∈N *)-t +100 (25≤t ≤30,t ∈N *) (2)图略,Q =40-t (t ∈N *) (3)设日销售金额为y (元),则y =⎩⎪⎨⎪⎧-t 2+20t +800 (0<t <25,t ∈N *)t 2-140t +4000 (25≤t ≤30,t ∈N *)高考总复习含详解答案=⎩⎪⎨⎪⎧-(t -10)2+900 (0<t <25,t ∈N *)(t -70)2-900 (25≤t ≤30,t ∈N *) 若0<t <25(t ∈N *),则当t =10时,y max =900;若25≤t ≤30(t ∈N *),则当t =25时,y max =1125.由1125>900,知y max =1125,∴这种商品日销售金额的最大值为1125元,30天中的第25天的日销售金额最大. (理)(2010·广东六校)某西部山区的某种特产由于运输的原因,长期只能在当地销售,当地政府通过投资对该项特产的销售进行扶持,已知每投入x 万元,可获得纯利润P =-1160(x -40)2+100万元(已扣除投资,下同),当地政府拟在新的十年发展规划中加快发展此特产的销售,其规划方案为:在未来10年内对该项目每年都投入60万元的销售投资,其中在前5年中,每年都从60万元中拨出30万元用于修建一条公路,公路5年建成,通车前该特产只能在当地销售;公路通车后的5年中,该特产既在本地销售,也在外地销售,在外地销售的投资收益为:每投入x 万元,可获纯利润Q =-159160(60-x )2+1192·(60-x )万元,问仅从这10年的累积利润看,该规划方案是否可行?[解析] 在实施规划前,由题设P =-1160(x -40)2+100(万元),知每年只需投入40万,即可获得最大利润100万元,则10年的总利润为W 1=100×10=1000(万元)实施规划后的前5年中,由题设P =-1160(x -40)2+100知,每年投入30万元时,有最大利润P max =7958(万元) 前5年的利润和为7958×5=39758(万元) 设在公路通车的后5年中,每年用x 万元投资于本地的销售,而剩下的(60-x )万元用于外地区的销售投资,则其总利润为W 2=[-1160(x -40)2+100]×5+(-159160x 2+1192x )×5=-5(x -30)2+4950. 当x =30时,W 2=4950(万元)为最大值,从而10年的总利润为39758+4950(万元). ∵39758+4950>1000, ∴该规划方案有极大实施价值.。

高考数学《函数》专题复习

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函数一、17届 一模一、填空、选择题1、(宝山区2017届高三上学期期末) 若点(8,4)在函数()1log a f x x =+图像上,则()f x 的反函数为2、(崇明县2017届高三第一次模拟)设函数2log ,0()4,0x x x f x x >⎧⎪=⎨⎪⎩≤,则((1))f f -= .3、(虹口区2017届高三一模)定义{}()f x x =(其中{}x 表示不小于x 的最小整数)为“取上整函数”,例如{}2.13=,{}44=.以下关于“取上整函数”性质的描述,正确的是( ).①(2)2()f x f x =; ②若12()()f x f x =,则121x x -<; ③任意12,x x R ∈,1212()()()f x x f x f x +≤+;④1()()(2)2f x f x f x ++=..A ①② .B ①③ .C ②③ .D ②④4、(黄浦区2017届高三上学期期终调研)已知函数()y f x =是奇函数,且当0x ≥时,2()log (1)f x x =+.若函数()y g x =是()y f x =的反函数,则(3)g -= .5、(静安区2017届向三上学期期质量检测)已知)(x g y =与)(x h y =都是定义在),0()0,(+∞-∞ 上的奇函数,且当0>x 时,⎩⎨⎧>-≤<=.1),1(,10,)(2x x g x x x g ,x k x h 2log )(=(0>x ),若)()(x h x g y -=恰有4个零点,则正实数k 的取值范围是 【 】A .]1,21[;B .]1,21(;C .]2log ,21(3;D .]2log ,21[3.6、(闵行区2017届高三上学期质量调研)函数()1f x =的反函数是_____________.7、(浦东新区2017届高三上学期教学质量检测)已知定义在*N 上的单调递增函数()y f x =,对于任意的*n N ∈,都有()*f n N ∈,且()()3f f n n =恒成立,则()()20171999f f -=____________.8、(普陀区2017届高三上学期质量调研)函数x x f 2log 1)(+=(1≥x )的反函数=-)(1x f .9、(青浦区2017届高三上学期期末质量调研)如图,有一直角墙角,两边的长度足够长,若P 处有一棵树与两墙的距离分别是4m 和(012)am a <<,不考虑树的粗细.现用16m 长的篱笆,借助墙角围成一个矩形花圃ABCD .设此矩形花圃的最大面积为u ,若将这棵树围在矩形花圃内,则函数()u f a =(单位2m )的图像大致是……………………( ).A .B .C .D .10、(松江区2017届高三上学期期末质量监控)已知函数()1xf x a =-的图像经过(1,1)点,则1(3)f -=▲ .11、(徐汇区2017届高三上学期学习能力诊断)若函数22,0(),0xx f x x m x ⎧≤⎪=⎨-+>⎪⎩的值域为(],1-∞,则实数m 的取值范围是____________12、(杨浦区2017届高三上学期期末等级考质量调研)若函数2()log 1x af x x -=+的反函数的图像过点(2,3)-,则a =________.13、(长宁、嘉定区2017届高三上学期期末质量调研)若函数a x x f ++=)1(log )(2的反函数的图像经过点)1,4(,则实数=a __________.14、(崇明县2017届高三第一次模拟)下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是A .tan y x =B .3xy =C .13y x =D .lg y x =15、(浦东新区2017届高三上学期教学质量检测)已知函数()y f x =的反函数为()1y f x -=,则函数()y f x =-与()1y f x -=-的图像( ). A .关于y 轴对称 B .关于原点对称C .关于直线0x y +=对称D .关于直线0x y -=对称16、(普陀区2017届高三上学期质量调研)设∈m R ,若函数()11)(32+++=mx x m x f 是偶函数,则)(x f 的单调递增区间是 .17、(普陀区2017届高三上学期质量调研)方程()()23log 259log 22-+=-x x 的解=x .18、(普陀区2017届高三上学期质量调研)已知定义域为R 的函数)(x f y =满足)()2(x f x f =+,且11<≤-x 时,21)(x x f -=;函数⎩⎨⎧=≠=.0,1,0,lg )(x x x x g ,若)()()(x g x f x F -=,则[]10,5-∈x ,函数)(x F 零点的个数是 .19、(奉贤区2017届高三上学期期末)方程1lg )3lg(=+-x x 的解=x ____________ 20、(金山区2017届高三上学期期末)函数()2xf x m =+的反函数为1()y fx -=,且1()y f x -=的图像过点(5,2)Q ,那么m =二、解答题1、(崇明县2017届高三第一次模拟)设12()2x x af x b+-+=+(,a b 为实常数).(1)当1a b ==时,证明:()f x 不是奇函数;(2)若()f x 是奇函数,求a 与b 的值;(3)当()f x 是奇函数时,研究是否存在这样的实数集的子集D ,对任何属于D 的x 、c ,都有2()33f x c c <-+成立?若存在试找出所有这样的D ;若不存在,请说明理由.2、(虹口区2017届高三一模)已知二次函数2()4f x ax x c =-+的值域为[)0,+∞.(1)判断此函数的奇偶性,并说明理由; (2)判断此函数在2,a⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭的单调性,并用单调性的定义证明你的结论;(3)求出()f x 在[1,)+∞上的最小值()g a ,并求()g a 的值域.3、(黄浦区2017届高三上学期期终调研)已知集合M 是满足下列性质的函数()f x 的全体:在定义域内存在实数t ,使得(2)f t +()(2)f t f =+.(1)判断()32f x x =+是否属于集合M ,并说明理由; (2)若2()lg2af x x =+属于集合M ,求实数a 的取值范围;(3)若2()2x f x bx =+,求证:对任意实数b ,都有()f x M ∈.4、(静安区2017届向三上学期期质量检测)设集合|)({x f M a =存在正实数a ,使得定义域内任意x 都有)}()(x f a x f >+.(1) 若22)(x x f x-=,试判断)(x f 是否为1M 中的元素,并说明理由;(2) 若341)(3+-=x x x g ,且a M x g ∈)(,求a 的取值范围; (3) 若),1[),(log )(3+∞∈+=x xkx x h (R ∈k ),且2)(M x h ∈,求)(x h 的最小值.5、(普陀区2017届高三上学期质量调研)已知∈a R ,函数||1)(x a x f += (1)当1=a 时,解不等式x x f 2)(≤;(2)若关于x 的方程02)(=-x x f 在区间[]1,2--上有解,求实数a 的取值范围.6、(青浦区2017届高三上学期期末质量调研)已知函数2()2(0)f x x ax a =->. (1)当2a =时,解关于x 的不等式3()5f x -<<;(2)对于给定的正数a ,有一个最大的正数()M a ,使得在整个区间[0 ()]M a ,上,不等式|()|5f x ≤恒成立. 求出()M a 的解析式;(3)函数()y f x =在[ 2]t t +,的最大值为0,最小值是4-,求实数a 和t 的值.7、(松江区2017届高三上学期期末质量监控)已知函数21()(21x xa f x a ⋅-=+为实数) . (1)根据a 的不同取值,讨论函数)(x f y =的奇偶性,并说明理由; (2)若对任意的1x ≥ ,都有1()3f x ≤≤,求a 的取值范围.8、(徐汇区2017届高三上学期学习能力诊断)某创业团队拟生产A 、B 两种产品,根据市场预测,A 产品的利润与投资额成正比(如图1),B 产品的利润与投资额的算术平方根成正比(如图2).(注:利润与投资额的单位均为万元)(1)分别将A 、B 两种产品的利润()f x 、()g x 表示为投资额x 的函数;(2)该团队已筹集到10万元资金,并打算全部投入A 、B 两种产品的生产,问:当B 产品的投资额为多少万元时,生产A 、B 两种产品能获得最大利润,最大利润为多少?参考答案:一、填空、选择题1、解析:1+log 8a =4,log 8a =3,化为指数:3a =8,所以,a =221log y x =+,即:12y x -=,所以反函数为12x y -=2、-23、C4、-75、C6、()()211(1)fx x x -=-≥ 7、548、【解析】∵x ≥1,∴y=1+2log x ≥1,由y=1+2log x ,解得x=2y ﹣1,故f ﹣1(x )=2x ﹣1(x ≥1).故答案为:2x ﹣1(x ≥1). 9、B 10、211、01m <≤ 12、2a =13、【解析】函数a x x f ++=)1(log )(2的反函数的图象经过点(4,1), 即函数a x x f ++=)1(log )(2的图象经过点(1,4), ∴4=log 2(1+1)+a ∴4=1+a , a=3.故答案为:3. 14、C 15、D16、【解析】由题意:函数()11)(32+++=mx x m x f 是偶函数,则mx=0,故得m=0, 那么:f (x )=23x +1,根据幂函数的性质可知:函数f (x )的单点增区间为(0,+∞). 故答案为:(0,+∞). 17、【解析】由题意可知:方程log 2(9x ﹣5)=2+log 2(3x ﹣2)化为:log 2(9x ﹣5)=log 24(3x ﹣2) 即9x ﹣5=4×3x ﹣8 解得x=0或x=1;x=0时方程无意义,所以方程的解为x=1. 故答案为1. 18、【解析】定义域为R 的函数y=f (x )满足f (x +2)=f (x ), 可得f (x )的周期为2, F (x )=f (x )﹣g (x ),则令F (x )=0,即f (x )=g (x ), 分别作出y=f (x )和y=g (x )的图象, 观察图象在[﹣5,10]的交点个数为14.x =0时,函数值均为1,则函数F (x )零点的个数是15. 故答案为:15.19、5 20、1二、解答题1、解:(1)证明:511212)1(2-=++-=f ,412121)1(=+-=-f ,所以)1()1(f f -≠-,所以)(x f 不是奇函数............................3分(2))(x f 是奇函数时,)()(x f x f -=-,即bab a x x x x ++--=++-++--112222对定义域内任意实数x 都成立即0)2(2)42(2)2(2=-+⋅-+⋅-b a ab b a x x ,对定义域内任意实数x 都成立...........................................5分所以⎩⎨⎧=-=-042,02ab b a 所以⎩⎨⎧-=-=21b a 或⎩⎨⎧==21b a .经检验都符合题意........................................8分(2)当⎩⎨⎧==21b a 时,121212212)(1++-=++-=+x x x x f ,因为02>x ,所以112>+x ,11210<+<x, 所以21)(21<<-x f .......................................10分 而4343)23(3322≥+-=+-c c c 对任何实数c 成立;所以可取D =R 对任何x 、c 属于D ,都有33)(2+-<c c x f 成立........12分当⎩⎨⎧-=-=21b a 时,)0211212212)(1≠-+-=---=+x x f xx x (, 所以当0>x 时,21)(-<x f ;当0<x 时,21)(>x f .............14分1)因此取),0(+∞=D ,对任何x 、c 属于D ,都有33)(2+-<c c x f 成立. 2)当0<c 时,3332>+-c c ,解不等式321121≤-+-x 得:75log 2≤x .所以取]75log ,(2-∞=D ,对任何属于D 的x 、c ,都有33)(2+-<c c x f 成立.....16分2、解:(1)由二次函数2()4f x ax x c =-+的值域为[)0,+∞,得0a >且41604ac a-=,解得4ac =.……………………2分(1)4f a c =+-,(1)4f a c -=++,0a >且0c >,从而(1)(1)f f -≠,(1)(1)f f -≠-,∴此函数是非奇非偶函数.……………………6分(2)函数的单调递增区间是2,a ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.设1x 、2x 是满足212x x a >≥的任意两个数,从而有21220x x a a->-≥,∴222122()()x x a a ->-.又0a >,∴222122()()a x a x a a ->-,从而22212424()()a x c a x c a a a a-+->-+-,即22221144ax x c ax x c -+>-+,从而21()()f x f x >,∴函数在2,a ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上是单调递增.……………………10分(3)2()4f x ax x c =-+,又0a >,02x a=,[)1,x ∈+∞ 当021x a =≥,即02a <≤时,最小值0()()0g a f x == 当021x a =<,即2a >时,最小值4()(1)44g a f a c a a==+-=+-综上,最小值002()442a g a a a a <≤⎧⎪=⎨+->⎪⎩……………………14分 当02a <≤时,最小值()0g a = 当2a >时,最小值4()4(0,)g a a a=+-∈+∞ 综上()y g a =的值域为[0,)+∞……………………16分3、解:(1)当()32f x x =+时,方程(2)()(2)38310f t f t f t t +=+⇔+=+ ……2分 此方程无解,所以不存在实数t ,使得(2)()(2)f t f t f +=+,故()32f x x =+不属于集合M . ……………………………4分(2)由2()lg2af x x =+属于集合M ,可得 方程22lg lg lg (2)226a a ax x =++++有实解22[(2)2]6(2)a x x ⇔++=+有实解2(6)46(2)0a x ax a ⇔-++-=有实解,………7分若6a =时,上述方程有实解;若6a ≠时,有21624(6)(2)0a a a ∆=---≥,解得1212a -≤+故所求a的取值范围是[1212-+. ……………………………10分 (3)当2()2x f x bx =+时,方程(2)()(2)f x f x f +=+⇔+2222(2)244x x b x bx b ++=+++⇔32440x bx ⨯+-=, ………………12分令()3244x g x bx =⨯+-,则()g x 在R 上的图像是连续的,当0b ≥时,(0)10g =-<,(1)240g b =+>,故()g x 在(0,1)内至少有一个零点;当0b <时,(0)10g =-<,11()320bg b =⨯>,故()g x 在1(,0)b内至少有一个零点;故对任意的实数b ,()g x 在R 上都有零点,即方程(2)()(2)f x f x f +=+总有解, 所以对任意实数b ,都有()f x M ∈. ………………………16分 4、解:(1)∵1)0()1(==f f , ∴1)(M x f ∉. ……………………………4分(2)由0413341)(41)()()(32233>-++=++--+=-+a a x a ax x a x x a x x g a x g …2分 ∴0)41(12934<--=∆a a a a , ……………………………3分 故 1>a . ……………………………1分(3)由0)(log ]2)2[(log )()2(33>+-+++=-+xkx x k x x h x h , ………………1分 即:)(log ]2)2[(log 33xkx x k x +>+++∴ 022>+>+++xkx x k x 对任意),1[+∞∈x 都成立∴ 3113)2(2<<-⇒⎩⎨⎧-><⇒⎩⎨⎧->+<k k k xk x x k ……………………………3分 当01≤<-k 时,)1(log )1()(3min k h x h +==; ……………………………1分 当10<<k 时,)1(log )1()(3min k h x h +==; ……………………………1分 当31<≤k 时,)2(log )()(3min k k h x h ==. ……………………………1分 综上:⎪⎩⎪⎨⎧<≤<<-+=.31),2(log ,11),1(log )(33min k k k k x h ……………………………1分5、【解】(1)当1=a 时,||11)(x x f +=,所以x x f 2)(≤x x 2||11≤+⇔……(*) ①若0>x ,则(*)变为,0)1)(12(≥-+x x x 021<≤-⇔x 或1≥x ,所以1≥x ;②若0<x ,则(*)变为,0122≥+-xx x 0>⇔x ,所以φ∈x 由①②可得,(*)的解集为[)+∞,1。

高考数学函数专题习题与详细

高考数学函数专题习题与详细

函数专题练习1.函数 ye x 1 ( x R) 的反函数是 ( )A . y1 ln x( x 0)B . y 1 ln x(x 0)C . y1 ln x( x 0)D . y1 ln x( x 0)已知 f ( x) (3a 1)x 4a, x1 是 (,) 上的减函数,那么a 的取值围是2.log a x, x 1( A) (0,1)( B) (0,1)(C)[1,1)(D) [1,1)37 373.在以下四个函数中,知足性质:“对于区间 (1,2)上 的 任 意 x 1, x 2 (x 1 x 2 ) ,| f (x 1)f (x 2 ) | | x 2 x 1 | 恒建立”的只有( A) f ( x)1 ( B) f x| x | (C) f ( x) 2x( D) f ( x) x 2x4. 已 知 f ( x)是周期为 2的奇函数,当0 x 1 时 , f (x)lg x. 设a f ( 6), bf ( 3), cf (5), 则5 22(A) ab c(B) ba c(C) c b a(D ) ca b5.函数 f ( x)3x 21) 的定义域是1 lg(3 xxA. ( 1 ,)B. (1,1)C. ( 1,1)D . (, 1 )333 336、以下函数中,在其定义域既是奇函数又是减函数的是A. yx 3 , x RB. y sin x , xRC. y x , xRD. y( 1 )x , x Ry 27、函数 yf ( x) 的反函数 y f1( x) 的图像与 y 轴交于点4 yf 1( x)P(0,2) (如右图所示 ),则方程 f ( x)0 在 [1,4] 上的根是 x2C. 2D .18、设 f ( x) 是 R 上的随意函数,则以下表达正确的选项是1 O3x(A) f (x) f ( x) 是奇函数(B) f ( x) f ( x) 是奇函数(C) f (x)f ( x) 是偶函数(D) f (x)f (x) 是偶函数9、已知函数 ye x 的图象与函数 yf x 的图象对于直线 y x 对称,则A . f2x e 2 x (x R)B . f 2x ln 2gln x( x 0)C.f2x2e x ( x R) D .f2x ln x ln 2(x0)10、设f ( x)2e x 1, x<2,则 f ( f (2))的值为log 3 ( x21), x 2.(A)0(B)1(C)2(D)311、对 a,b R,记 max{ a,b} =a,a bR)的最小值,<,函数 f(x)= max{| x+ 1|, |x- 2|}( xbb a是(A)0(B) 1(C)3(D)32212、对于x的方程(x21)2x21k0 ,给出以下四个命题:①存在实数 k ,使得方程恰有2 个不一样的实根;②存在实数 k ,使得方程恰有4 个不一样的实根;③存在实数 k ,使得方程恰有5 个不一样的实根;④存在实数 k ,使得方程恰有8 个不一样的实根;此中假命题的个数是.A. 0B. 1C. 2D. 3(一)填空题 (4 个)1. 函数f x对于任意实数 x 满足条件 f x 21,若 f15, 则f xf f 5_______________。

高考数学专题复习题:利用函数性质判定方程解的存在性

高考数学专题复习题:利用函数性质判定方程解的存在性

高考数学专题复习题:利用函数性质判定方程解的存在性
一、单项选择题(共3小题)
1.已知函数f (x)=ax2+bx+c,若f (1)>0,f (2)<0,那么f (x)在区间(1,2)上零点的个数为()
A.至多有一个
B.有一个或两个
C.有且仅有一个
D.一个也没有
2.函数y=x+1的图象与x轴的交点坐标及其零点分别是()
A.-1,(-1,0)
B.(-1,0),0
C.(-1,0),-1
D.-1,-1
3.已知f(x)=(x-a)(x-b)-2(a<b),且α,β(α<β)是函数f(x)的两个零点,则实数a,b,α,β的大小关系是()
A.a<α<b<β
B.a<α<β<b
C.α<a<b<β
D.α<a<β<b
二、填空题(共3小题)
4.函数f(x)=2x-3的零点在区间(k,k+1)内,则整数k的值为________.
5.已知函数f(x)=3mx-4,若在区间[-2,0]上存在x0,使f(x0)=0,则实数m的取值范围是________.
6.若方程a x-x-a=0(a>0,且a≠1)有两个实数解,则实数a的取值范围是________.
三、解答题(共2小题)
7.已知关于x的方程x2-2x+a=0.求当a的取值范围是多少时:
(1)方程的一根大于1,另一根小于1;
(2)方程的一个根在区间(-1,1)内,另一个根在区间(2,3)内;
(3)方程的两个根都大于零.
8.已知函数f(x)=x2-|x|+3+a有4个零点,求实数a的取值范围.
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函数专题练习(一) 选择题(12个) 1.函数1()x y ex R +=∈的反函数是( )A .1ln (0)y x x =+>B .1ln (0)y x x =->C .1ln (0)y x x =-->D .1ln (0)y x x =-+> 2.已知(31)4,1()log ,1a a x a x f x x x -+<⎧=⎨>⎩是(,)-∞+∞上的减函数,那么a 的取值范围是(A )(0,1)(B )1(0,)3(C )11[,)73(D )1[,1)73.在下列四个函数中,满足性质:“对于区间(1,2)上的任意1212,()x x x x ≠,1221|()()|||f x f x x x -<-恒成立”的只有(A )1()f x x=(B )()||f x x = (C )()2xf x =(D )2()f x x =4.已知()f x 是周期为2的奇函数,当01x <<时,()lg .f x x =设63(),(),52a f b f ==5(),2c f =则(A )a b c << (B )b a c << (C )c b a << (D )c a b <<5.函数2()lg(31)f x x =++的定义域是 A .1(,)3-+∞ B . 1(,1)3- C . 11(,)33- D . 1(,)3-∞- 6、下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是减函数的是A .3 ,y x x R =-∈B . sin ,y x x R =∈C . ,y x x R =∈ D7、函数()y f x =的反函数1()y f x -=的图像与y 轴交于点(0,2)P (如右图所示),则方程()0f x =在[1,4]上的根是x =A .4B .3C . 2D .1 8、设()f x 是R 上的任意函数,则下列叙述正确的是(A )()()f x f x -是奇函数 (B )()()f x f x -是奇函数 (C ) ()()f x f x --是偶函数 (D ) ()()f x f x +-是偶函数 9、已知函数xy e =的图象与函数()y f x =的图象关于直线y x =对称,则)A .()22()xf x e x R =∈ B .()2ln 2ln (0)f x x x =>gC .()22()xf x e x R =∈ D .()2ln ln 2(0)f x x x =+>10、设1232,2()((2))log (1) 2.x e x f x f f x x -⎧⎪=⎨-≥⎪⎩<,则的值为, (A )0 (B )1 (C )2 (D )3 11、对a ,b ∈R ,记max {a ,b }=⎩⎨⎧≥ba b ba a <,,,函数f (x )=max {|x +1|,|x -2|}(x ∈R )的最小值是(A )0 (B )12 (C ) 32(D )3 12、关于x 的方程222(1)10x x k ---+=,给出下列四个命题: ①存在实数k ,使得方程恰有2个不同的实根;②存在实数k ,使得方程恰有4个不同的实根; ③存在实数k ,使得方程恰有5个不同的实根; ④存在实数k ,使得方程恰有8个不同的实根; 其中假.命题的个数是 A .0 B .1 C .2 D .3 (二) 填空题(4个)1.函数()f x 对于任意实数x 满足条件()()12f x f x +=,若()15,f =-则()()5f f =_______________。

2设,0.(),0.x e x g x lnx x ⎧≤=⎨>⎩则1(())2g g =__________3.已知函数()1,21xf x a =-+,若()f x 为奇函数,则a =________。

4. 设0,1a a >≠,函数2()log (23)a f x x x =-+有最小值,则不等式log (1)0a x ->的解集为 。

(三) 解答题(6个) 1. 设函数54)(2--=x x x f .(1)在区间]6,2[-上画出函数)(x f 的图像;(2)设集合{}),6[]4,0[]2,(,5)(∞+-∞-=≥=Y Y B x f x A . 试判断集合A 和B 之间的关系,并给出证明;(3)当2>k 时,求证:在区间]5,1[-上,3y kx k =+的图像位于函数)(x f 图像的上方.2、设f(x)=3ax 0.2=++++c b a c bx b若,f (0)>0,f (1)>0,求证:(Ⅰ)a >0且-2<ba<-1; (Ⅱ)方程f (x )=0在(0,1)内有两个实根.3. 已知定义域为R 的函数12()2x x bf x a+-+=+是奇函数。

(Ⅰ)求,a b 的值;(Ⅱ)若对任意的t R ∈,不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立,求k 的取值范围;4.设函数f (x )=,22aax x c ++其中a 为实数. (Ⅰ)若f (x )的定义域为R ,求a 的取值范围; (Ⅱ)当f (x )的定义域为R 时,求f (x )的单减区间.5. 已知定义在正实数集上的函数21()22f x x ax =+,2()3ln g x a x b =+,其中0a >.设两曲线()y f x =,()y g x =有公共点,且在该点处的切线相同. (I )用a 表示b ,并求b 的最大值; (II )求证:()()f x g x ≥(0x >).6. 已知函数2()1f x x x =+-,,αβ是方程f (x )=0的两个根()αβ>,'()f x 是f (x )的导数;设11a =,1()'()n n n n f a a a f a +=-(n =1,2,……) (1)求,αβ的值;(2)证明:对任意的正整数n ,都有n a >a ; (3)记lnn n n a b a aβ-=-(n =1,2,……),求数列{b n }的前n 项和S n 。

(四) 创新试题1. 下图为某三岔路口交通环岛的简化模型,在某高峰时段,单位时间进出路口,,A B C 的机动车辆数如图所示,图中123,,x x x 分别表示该时段单位时间通过路段、、的机动车辆数(假设:单位时间内,在上述路段中,同一路段上驶入与驶出的车辆数相等),则 (A )123x x x >> (B )132x x x >> (C )231x x x >> (D )321x x x >>2. 设函数f (x )=3sinx +2cosx +1。

若实数a 、b 、c 使得af (x )+bf (x −c )=1对任意实数x 恒成立,则a cb cos 的值等于( ) A . 21- B . 21C . −1D . 1解答: 一、选择题1解:由1x y e+=得:1ln ,x y +=即x=-1+lny ,所以1ln (0)y x x =-+>为所求,故选D 。

2解:依题意,有0a1且3a -10,解得0a13,又当x 1时,(3a -1)x +4a7a -1,当x1时,log a x 0,所以7a -10解得x 17故选C3解:2112121212x x 111|||||x x x x x x |x x |--==-|12x x 12∈Q ,(,)12x x ∴>1121x x ∴<11211|x x -||x 1-x 2|故选A 4解:已知()f x 是周期为2的奇函数,当01x <<时,()lg .f x x =设644()()()555a f f f ==-=-,311()()()222b f f f ==-=-,51()()22c f f ==<0,∴c a b <<,选D .5解:由1311301<<-⇒⎩⎨⎧>+>-x x x ,故选B .6解:B 在其定义域内是奇函数但不是减函数;C 在其定义域内既是奇函数又是增函数;D 在其定义域内不是奇函数,是减函数;故选A . 7解:0)(=x f 的根是=x 2,故选C8解:A 中()()()F x f x f x =-则()()()()F x f x f x F x -=-=,即函数()()()F x f x f x =-为偶函数,B 中()()()F x f x f x =-,()()()F x f x f x -=-此时()F x 与()F x -的关系不能确定,即函数()()()F x f x f x =-的奇偶性不确定, C 中()()()F x f x f x =--,()()()()F x f x f x F x -=--=-,即函数()()()F x f x f x =--为奇函数,D 中()()()F x f x f x =+-,()()()()F x f x f x F x -=-+=,即函数()()()F x f x f x =+-为偶函数,故选择答案D 。

9解:函数xy e =的图象与函数()y f x =的图象关于直线y x =对称,所以()f x 是xy e =的反函数,即()f x =ln x ,∴ ()2ln 2ln ln 2(0)f x x x x ==+>,选D .10解:f (f (2))=f (1)=2,选C 11解:当x -1时,|x +1|=-x -1,|x -2|=2-x ,因为(-x -1)-(2-x )=-30,所以2-x-x -1;当-1x12时,|x +1|=x +1,|x -2|=2-x ,因为(x +1)-(2-x )=2x-10,x +12-x ;当12≤x 2时,x +12-x ;当x 2时,|x +1|=x +1,|x -2|=x -2,显然x +1x -2;故2((,1)12([1,))2()11([,2))21([2,))x x x x f x x x x x -∈-∞-⎧⎪⎪-∈-⎪=⎨⎪+∈⎪⎪+∈+∞⎩据此求得最小值为32。

选C12解:关于x 的方程()011222=+---k x x 可化为()22211011x x k x x --+=≥≤(-)(或-)…(1) 或()222110x x k -+=+(-)(-1x 1) (2)① 当k =-2时,方程(1)的解为3,方程(2)无解,原方程恰有2个不同的实根② 当k =14时,方程(1)有两个不同的实根62,方程(2)有两个不同的实根22,即原方程恰有4个不同的实根③ 当k =0时,方程(1)的解为-1,+1,2,方程(2)的解为x =0,原方程恰有5个不同的实根 ④ 当k =29时,方程(1)的解为153,233,方程(2)的解为33,6,即原方程恰有8个不同的实根 选A二、填空题。

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