一次不定方程的解法
n元一次不定方程的一种解法
n元一次不定方程的一种解法
一次不定方程的求解
1、概念：一次不定方程是指一次方程中未知数的数量多于未知数的数量的一种方程。
它的系数可以是不同的数字或未知数。
2、求解思路：
（1）消去法：从方程的右边开始，将未知数的系数乘以一个系数，将
左边的式子也乘以相反的一个数，然后相加，使未知数消去。
（2）完全平方法：将右边的式子凑成完全平方的形式，方程会拆分成
两个等式，可以用上式中乘法法则来求解。
（3）互反法：将方程中的系数和未知数互反，使右边等于零，然后计
算出未知数的值。
（4）图解法：画出一次不定方程的图解，用图形找出未知数的解。
3、应用：一次不定方程的解法可以应用到科学计算、数学论文推理、建模与计算、最优化等很多领域：
（1）科学计算：一次不定方程可以用于计算物理系统中未知量的关系，如求解动力学问题，电势场方程等。
（2）数学论文推理：一次不定方程可以用来推导一个式子、证明一个
定理，或是分析数理关系。
（3）建模与计算：一次不定方程的解可以用于建立数学模型，用于系
统分析和系统控制，它可以为科学研究找出一条最佳途径。
（4）最优化：一次不定方程可以用于调节机器学习算法，生物学算法中的路径规划，或者求出最优化解，解决计算机科学中的问题。
4、总结：一次不定方程的求解有消去法，完全平方法，互反法，图解法等，他们均可应用于科学计算、数学论文推理、建模与计算、最优化等领域，从而有助于将科学的研究都串联起来，使得学术研究得以进展等。
一次方程和一次不等式的解法
一次方程和一次不等式的解法一次方程和一次不等式是数学中最基础且常见的问题类型之一，其解法对于学习数学的基础知识和提高逻辑思维能力非常重要。
本文将对一次方程和一次不等式的解法进行详细介绍。
一、一次方程的解法一次方程是指其各项指数均为1的方程，也就是形如ax + b = 0的方程。
其中，a和b为已知常数，而x为未知数。
解一次方程的关键在于找出未知数的值，使得方程等式成立。
解一次方程的一种常见方法是移项法。
具体步骤如下：1. 首先将方程中包含x的项移至方程左边，常数项移到方程右边，得到ax = -b的形式。
2. 接下来，通过除以a的操作，将方程化简为x = -b/a的形式即可。
例如，对于方程2x + 3 = 7，我们可以利用移项法解得x = (7-3)/2 = 2。
如果方程的系数较复杂，可以借助合并同类项的方法进行化简，然后再使用移项法解方程。
此外，还有使用代入法、等式法等方法解一次方程的常见技巧。
代入法是指找出方程中一个已知数的值，然后将其代入方程求解未知数的方法。
等式法则是通过两个等式之间的关系，将一个方程的解代入另一个方程求解未知数。
二、一次不等式的解法一次不等式是指其各项指数均为1的不等式，也就是形如ax + b < c或ax + b > c的不等式。
同样地，其中a、b、c为已知常数，x为未知数。
解一次不等式就是找出所有满足不等式条件的x的取值范围。
解一次不等式的方法常见有图像法和代数法两种。
1. 图像法：可以将一次不等式的解集表示在数轴上，通过观察图像得出解的范围。
例如，对于不等式3x + 5 < 8，我们可以将其转化为方程3x + 5 = 8，在数轴上标出该方程的解x = 1，然后观察不等式的方向为<，所以解集为(-∞, 1)区间上的所有实数。
2. 代数法：通过代数方法来解一次不等式，可以借助于一次方程的解法。
对于不等式3x + 5 < 8，我们可以先将其转化为3x + 5 - 8 < 0的形式，然后化简得到3x - 3 < 0。
连分数求解一次不定方程
连分数求解一次不定方程不定方程是数学中最常见的一类方程，它们的解法有多种，比如当被称为“一次不定方程”的方程的系数和未知数的关系是复杂的时候，就需要采用连分数求解。
连分数求解一次不定方程，首先需要对方程做同乘以全约，即把系数和未知数分开，如多项式两边取相同的除数，然后把方程转化为极限形式，就可以运用连分数求解了。
例如，若有一次不定方程：2x/7 - 6/5 + 3/7 = (x + 1)/2，将两边同时乘以7/2，得到2x - 3 + 15 = 7x + 7，将方程转化为极限形式：(2x - 3)/(7x + 7) = 15/7，可见，这是一个关于x的未知连分数，而这就是一次不定方程的求解过程。
接下来，就要进行连分数求解。
首先，要把连分数分解为若干份：(2x - 3)/(7x + 7) = ((2x - 3))/(7x + 7) + ((15/7 - (2x - 3)/(7x + 7))/(7x + 7)) = (2x - 3 + 15 - 2x +3)/(7x + 7) = (15 - x)/(7x + 7)，即((2x - 3))/(7x + 7) + ((15 - x)/(7x + 7))。
对于每一份，分母相同，可把它们的分子相加，得到15 - x + 2x - 3 = 12，即x = 3，于是得到解为x = 3。
可知，将一次不定方程转化为极限形式，运用连分数求解，可以得到解的可能性。
连分数求解一次不定方程的过程，也可以用同样的方法求解多项式方程组，它也是线性代数中最重要的技术之一。
它可以使复杂，长程运算更加便捷，而且可以简化多项式方程组的处理过程，只要把每一个方程分别乘以同约因子，然后把它们转化为最简形式，就可以将其转化为一个有着相同分母的式子，把它们的分子相加，就可以得出多项式方程组的解了。
作为数学中的一种基本技术，连分数求解一次不定方程在线性代数，统计学等领域中都得到了广泛的应用，更形函数的求解等技术的研究也离不开这一技术。
第十六讲 一次不定方程
第十六讲 一次不定方程一、知识要点1、不定方程：未知数的个数多于方程的个数的方程（或方程组）称为不定方程（或方程组）。
2、二元一次不定方程的一般形式：ax+by=c 。
3、二元一次不定方程ax+by=c 有整数解的判定：定理1：若二元一次不定方程ax+by=c 中，a 和b 的最大公约数不能整除c ，则方程没有整数解。
例如，方程2x+4y=5没有整数解。
（想一想为什么？）定理2：如果正整数a,b 互质，则方程ax+by=1有整数解，同时方程ax+by=c 有整数解。
例如，3x+5y=7，3与5互质，x=-1,y=2是这个方程的一组整数解。
定理3：如果a,b 互质，且方程ax+by=c 有一组整数解x 0,y 0，则此方程式的所有整数解可表示为⎩⎨⎧-=+=）t at y y bt x x 为整数(00 或 ⎩⎨⎧+=-=）t at y y bt x x 为整数(00 例如，3x+5y=7的所有整数解可表示为⎩⎨⎧+=--=）t t y t x 为整数(3251 4、一次不定方程的整数解的求法：观察法；辗转相除法。
二、例题示范例1、判断下列不定方程（组）哪些有整数解，哪些没有整数解。
(1) 4x+6y=7 (2) 4x+8y=10(3) ⎩⎨⎧=-=+12536z y y x (4) ⎩⎨⎧=-=+121036z y y x例2、求方程3x+5y=1的整数解。
（1）观察法； （2）辗转相除法。
练习：求4x+5y=7的整数解。
例3、求方程37x+107y=25的整数解。
例4、求方程7x+4y=100的所有正整数解。
例5、如果三个既约真分数32,4a ,5b 的分子都加上b ，这时得到的三个分数的和为6，求这三个既约真分数的积。
例7、百鸡问题：鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一，百钱买百鸡，问鸡翁、鸡母、鸡雏各几何？提示：列不定方程组，化为不定方程解之。
例8、设七位数42762xy 为99的倍数，则x,y 的值是 。
一次不定方程的解法
（ ２ ）不定 方程 （ 组） 的解 的表 达形 式不 唯
一
把矩阵③ 展开得
８× １＋６ × （ 一１ ） ＝２ （＝ ｇ ｅ ｄ （ ８ ， ６） ） ，
如 在例 １中， 该不定方程 的通 解也可表达为 （ ， Ｙ ）＝（ 一１— ３ ， ２＋４ ｋ ） ， ｋ∈Ｚ， 其中（ ，
３ ｙ＋１的一个 特解 （ ， Ｙ ）＝ （ ２ ， ２ ３ ）得到 的 ； ２ ｌ 是 由二元一次不定方程 ２ １ ｘ＝５ ｙ＋ｌ 的 一 个
（ 三－ １ ８… …②
（ ３
＝
８年第 ９ 期
＝
数 学 教 学
９一 裆
（ ３ ＿ ４ １ ） （ …・ ③
数之 ， 取数 ２ １ ， 与余 数 ３相 乘 ； 七七 数 之 ， 取数
ｌ ５ ， 与余 数 ２相 乘． 将诸乘积相加 ， 然 后 除 以 ３×５ Ｘ ７ ＝１ ０ ５ ， 得 到余 数 ７ ０ Ｘ ２＋２ １ Ｘ ３＋ ｌ ５× ２— ２ Ｘ １ ０ ５＝３ ５ ， ３ ５ 是方程组 ① 的一个 特 解， 也是符合 题 意 的最小 解 ； ３ ５＋１ ０ ５ ｋ （ ｋ是 非 负整数 ） 是符合题意 的通解． 为什么要寻求 ７ Ｏ 、 ２ １ 、 １ ５这些数？如何求 出这些数 呢？我们 注意到 ， ７ ０是 ５×７＝３ ５的 倍数， 且 除以 ３ 余１ ； ２ １ 是 ３× ７＝２ １ 的倍数 ， 且 除以５ 余１ ； １ ５ 是 ３×５的倍数 ， 且除 以 ７ 余１ ． 也就 是 说 ， ７ ０是 由二 元 一 次 不 定 方 程 ３ ５ ｘ：
６ ＋ｒ ， ０≤ ｒ＜ ｂ ，ｋ是 非 负 整 数．易 证 得 ｇ ｃ ｄ （ ０ ， ｂ ）＝ ｇ ｃ ｄ （ ｂ ， ｒ ） ， 据此 我们可用辗 转相 除法求 出 ：
一次不定方程的解法
一次不定方程的解法我们现在就这个问题，先给出一个定理．定理 如果,a b 是互质的正整数，c 是整数，且方程ax by c += ①有一组整数解00,x y 则此方程的一切整数解可以表示为00x x bty y at =-⎧⎨=+⎩其中0,1,2,3,t =±±±…证 因为00,x y 是方程①的整数解，当然满足00ax by c += ②因此0000()()a x bt b y at ax by c -++=+=．这表明0x x bt =-，0y y at =+也是方程①的解． 设,x y ''是方程①的任一整数解，则有ax by c ''+= ③③-②得 00()()a x x b y y ''-=-- ④由于(,)1a b =，所以0a y y '-，即0y y at '=+，其中t 是整数．将0y y at '=+代入④，即得0x x bt '=-．因此,x y ''可以表示成0x x bt =-，0y y at =+的形式，所以0x x bt =-，0y y at =+表示方程①的一切整数解，命题得证．有了上述定理，求解二元一次不定方程的关键是求它的一组特殊解.例1 求11157x y +=的整数解．解法1 将方程变形得71511y x -=因为x 是整数，所以715y -应是11的倍数．由观察得002,1x y ==-是这个方程的一组整数解，所以方程的解为215111x t y t=-⎧⎨=-+⎩ t 为整数解法2 先考察11151x y +=，通过观察易得11(4)1531⨯-+⨯=，所以11(47)15(37)7⨯-⨯+⨯⨯=，可取0028,21x y =-=，从而28152111x ty t=--⎧⎨=+⎩ t 为整数 可见，二元一次不定方程在无约束条件的情况下，通常有无数组整数解，由于求出的特解不同，同一个不定方程的解的形式可以不同，但它们所包含的全部解是一样的．将解中的参数t 做适当代换，就可化为同一形式．例2 求方程62290x y +=的非负整数解． 解 因为(6,22)2=，所以方程两边同除以2得31145x y += ①由观察知，114,1x y ==-是方程3111x y += ②的一组整数解，从而方程①的一组整数解为0045418045(1)45x y =⨯=⎧⎨=⨯-=-⎩ 由定理，可得方程①的一切整数解为18011453x ty t=-⎧⎨=-+⎩ 因为要求的是原方程的非负整数解，所以必有1801104530t t -≥⎧⎨-+≥⎩③ 由于t 是整数，由③得1516t ≤≤，所以只有15,16t t ==两种可能．当15,15,0t x y ===；当16,4,3t x y ===．所以原方程的非负整数解是150x y =⎧⎨=⎩ ，43x y =⎧⎨=⎩ 例3 求方程719213x y +=的所有正整数解．分析 这个方程的系数较大，用观察法去求其特殊解比较困难，碰到这种情况我们可用逐步缩小系数的方法使系数变小，最后再用观察法求得其解． 解 用方程719213x y += ①的最小系数7除方程①的各项，并移项得213193530277y yx y --==-+② 因为,x y 是整数，故357yu -=也是整数，于是573y u +=．化简得到573y u += ③令325uv -=（整数），由此得 253u v += ④由观察知11u v =-⎧⎨=⎩是方程④的一组解．将11u v =-⎧⎨=⎩代入③得2y =，再将2y =代入②得25x =．于是方程①有一组解00252x y =⎧⎨=⎩，所以它的一切解为251927x t y t =-⎧⎨=+⎩t 为整数由于要求方程的正整数解，所以25190270t t ->⎧⎨+>⎩解不等式，得t 只能取0,1．因此得原方程的正整数解为252x y =⎧⎨=⎩ ，69x y =⎧⎨=⎩ 当方程的系数较大时，我们还可以用辗转相除法求其特解，其解法结合例题说明． 例4 求方程3710725x y +=的整数解．解1072373337133433841=⨯+=⨯+=⨯+ 为用37和107表示1，我们把上述辗转相除过程回代，得13384=-⨯37484=--⨯ 3794=-⨯ 379(3733)=-⨯- 933837=⨯-⨯9(107237)837=⨯-⨯-⨯ 91072637=⨯-⨯ 37(26)1079=⨯-+⨯由此可知1126,9x y =-=是方程371071x y +=的一组整数解．于是025(26)650x =⨯-=-，0259225y =⨯=是方程3710725x y +=的一组整数解． 所以原方程的一切整数解为65010722537x t y t=--⎧⎨=+⎩ t 为整数例5 某国硬币有5分和7分两种，问用这两种硬币支付142分货款，有多少种不同的方法？解 设需x 枚7分，y 枚5分恰好支付142分，于是75142x y += ①所以142722222828555x x x y x x ---==-+=--由于7142x ≤，所以20x ≤，并且由上式知52(1)x -．因为(5,2)1=，所以51x -，从而1,6,11,16x =，所以①的非负整数解为127x y =⎧⎨=⎩ ，620x y =⎧⎨=⎩ ，1113x y =⎧⎨=⎩ ，166x y =⎧⎨=⎩所以，共有4种不同的支付方式．说明 当方程的系数较小时，而且是求非负整数解或者是实际问题时，这时候的解的组数往往较少，可以用整除的性质加上枚举，也能较容易地解出方程．多元一次不定方程可以化为二元一次不定方程． 例6 求方程92451000x y z +-=的整数解．解 设9243x y t +=，即38x y t +=，于是351000t z -=．于是原方程可化为38351000x y tt z +=⎧⎨-=⎩ ① 用前面的方法可以求得①的解为383x t y t u =-⎧⎨=-+⎩（u 是整数） ② ②的解为2000510003t vz v=+⎧⎨=+⎩ （v 是整数） ③ 消去t ，得600081520003510003x u v y u v z v =-+⎧⎪=-+-⎨⎪=+⎩（,u v 都是整数） 大约1500年以前，我国古代数学家张丘建在他编写的《张丘建算经》里，曾经提出并解决了“百钱买百鸡”这个有名的数学问题，通俗地讲就是下例．例7 今有公鸡每只五个钱，母鸡每只三个钱，小鸡每个钱三只．用100个钱买100只鸡，问公鸡、母鸡、小鸡各买了多少只？解 设公鸡、母鸡、小鸡各买,,x y z 只，由题意列方程组 ①②化简得159300x y z ++= ③ ③-②得148200x y +=即74100x y +=，解741x y +=得12x y =-⎧⎨=⎩于是74100x y +=的一个特解为⎧⎪⎨⎪⎩1531003x y z ++=100x y z ++=00100200x y =-⎧⎨=⎩ 由定理知74100x y +=的所有整数解为10042007x t y t =-+⎧⎨=-⎩t 为整数由题意知，0,,100x y z <<，所以0100410002007100t t <-+<⎧⎨<-<⎩t 为整数解得42528724142877t t ⎧<<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩∴ 425287t <<由于t 是整数，故t 只能取26,27,28，而且,,x y z 还应满足100x y z ++=．即可能有三种情况：4只公鸡，18只母鸡，78只小鸡；或8只公鸡，11只母鸡，81只小鸡；或12只公鸡，4只母鸡，84只小鸡．。
不定方程求解方法
不定方程求解方法一、不定方程是啥。
1.1 不定方程呢，就是方程的个数比未知数的个数少的方程。
比如说，x + y = 5，这里就两个未知数x和y，但是就一个方程。
这就像你要去猜两个东西是啥，但是只给了你一个线索，有点像雾里看花，摸不着头脑。
1.2 这种方程在数学里可是很常见的。
它的解不是唯一确定的，往往有好多组解。
这就好比一个大宝藏，有好多条路可以通向它。
二、求解不定方程的一些常用方法。
2.1 枚举法。
这就像一个一个去试。
比如说对于简单的不定方程2x + 3y = 10，我们可以从x = 0开始试。
当x = 0的时候，y就不是整数了；当x = 1的时候，y也不是整数；当x = 2的时候，y = 2。
就这么一个一个试，虽然有点笨，但是对于一些简单的不定方程还是很有效的。
就像我们找东西，有时候没有捷径，那就只能一个角落一个角落地找，这就叫笨鸟先飞嘛。
2.2 利用数的性质。
比如说奇偶性。
如果方程是x + y = 11，我们知道两个数相加是奇数，那么这两个数必定是一奇一偶。
这就像给我们开了一个小窗户，能看到一点里面的情况。
再比如说倍数关系，如果方程是3x + 6y = 18，我们可以先把方程化简成x + 2y = 6，因为6y肯定是3的倍数，18也是3的倍数，所以x也得是3的倍数。
这就像是在一团乱麻里找到了一个线头，顺着这个线头就能把麻理清楚。
2.3 换元法。
就拿方程x²+ y²+ 2x 4y = 20来说，我们可以设u = x + 1，v = y 2，这样方程就变成了u²+ v²= 25。
这就像给方程换了一身衣服，让它看起来更顺眼，更容易解决。
这就好比我们整理房间，把东西重新摆放一下，看起来就整齐多了。
三、实际应用中的不定方程求解。
3.1 在生活里有很多地方会用到不定方程求解。
比如说你去买水果，苹果一个3元，香蕉一根2元，你带了10元钱，设买苹果x个，买香蕉y根，那方程就是3x + 2y = 10。
不定方程三种解法
不定方程三种解法不定方程是指方程中含有一个或多个未知量，并且在给定范围内存在多个整数解的方程。
解决不定方程的问题在数学中具有重要意义，因为它们可以应用于各种实际问题，如商业、工程和密码学等领域。
在这篇文章中，我们将讨论三种解决不定方程的常见方法。
## 1. 穷举法穷举法是最简单的解决不定方程的方法之一。
它的原理是通过穷举所有可能的解来找到符合方程要求的整数解。
首先，我们需要确定未知数的取值范围。
然后，使用循环结构，从最小值开始逐个尝试，直到找到满足方程条件的解或超出最大值。
例如，考虑求解方程x + y = 8，其中x和y是整数。
我们可以通过以下伪代码来实现穷举法：```for x in range(1, 9):for y in range(1, 9):if x + y == 8:print("x =", x, "y =", y)```通过这个方法，我们可以得到方程的所有整数解：(1, 7), (2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2), (7, 1)和(8, 0)。
然而，穷举法在大规模的问题上效率较低，因为它需要遍历所有可能的解，而不是有针对性地解决问题。
## 2. 辗转相除法辗转相除法，也称为欧几里德算法，用于求解关于两个未知数的不定方程。
这种方法的关键思想是利用两个整数的最大公约数来解决方程。
例如，考虑求解方程ax + by = c，其中a、b和c是已知整数，x和y是未知数。
我们可以使用辗转相除法来求解。
首先，我们需要计算a和b的最大公约数。
然后，检查c是否可以被最大公约数整除。
如果是，则方程有解，否则方程无解。
如果方程有解，我们可以使用扩展欧几里德算法来找到x和y的值。
扩展欧几里德算法可以通过递归方式计算出未知数的值。
辗转相除法是一种较为高效的方法，因为它只需要计算最大公约数和进行有限次的递归运算。
## 3. 数论方法数论方法是解决特定类型不定方程的一种方法。
初一数学不定式方程的解法精华
初一数学不定式方程的解法精华一次不定方程的整数解⑴设整系数方程0=++c by ax （a ＞0，b ≠0） ①中（a,b ）＝1，则它必有整数解⑵设①中，（a,b ）＝d ＞1，则当d c ，时，方程①中无整数解；当d ｜c 时，，方程①有整数解⑶设x ＝x0,y ＝y0,是①的一组整数解（称为一个特解），则它的一切整数解（称为通解）可以表示为⎩⎨⎧-=+=kb y y kb x x 00（k 为任意整数） ②求不定方程3x ＋7y ＋16z ＝40的整数解分析：这是一个三元一次不定方程，把其中一个未知数暂时看做常数，这样就把原方程化为二元一次不定方程了。
解法1、把z 看做常数，则3x ＋7y ＝40－16z利用观察法（或连分数法）易知：x ＝－2，y ＝1是方程3x ＋7y ＝1的一个特解于是⎩⎨⎧-=+-=z y z x 16403280是方程3x ＋7y ＝40－16z 的一个特解，于是⎪⎩⎪⎨⎧=--=++-=z z tz y t z x 3164073280（z,t 取一切整数）是原方程3x ＋7y ＋16z ＝40的通解解法2、将原方程变形为315213316740z y z y z y x --+--=--=令t z y =--31 则y ＝1－z －3t ，于是x ＝11－3z ＋7t ，从而，原方程的通解是 ⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-=z z tz y t z x 317311（z,t 取一切整数）例2、（百鸡问题）鸡翁一，值钱五，鸡母一，值钱三，鸡雏三，值钱一，百钱买百鸡，问鸡翁，鸡母、鸡雏各几何？分析：本题是我国古代数学家张丘建《算经》中的名题，基本解法是消元，化为二元一次不定方程求解解：用x,y,z 分别表示鸡翁，鸡母，鸡雏的数目，依题意得方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++ ②①100100335z y x z y x3×①－②得 7x ＋4y ＝100＝7×20－4×10也即7（x －20）＋4（y ＋10）＝07（x －20）＋4（y ＋10）＝0∴x0＝20 y0＝－10，从而得⎩⎨⎧--=-=+=+=k k y y k k x x 7107420400∵x,y 均为非负，故有⎩⎨⎧≥≥+07100420k k －－10从而知－5≤k≤－7由此可得整数k与非负整数x,y,z的取值如下：。
简明初中数学复习不定方程的求解技巧
简明初中数学复习不定方程的求解技巧不定方程的求解技巧不定方程是指含有未知数的方程，其解不限于整数或有理数。
在初中数学中，我们学习了一些基本的不定方程求解技巧，本文将对这些技巧进行简要复习。
一、一元一次不定方程的求解一元一次不定方程的一般形式为ax + b = 0，其中a和b为已知常数，x为未知数。
我们可以借助基本的代数运算来求解这类方程。
1. 将方程变形，消去系数a。
首先，将方程两边同时减去b，得到ax = -b。
2. 消去未知数系数a。
通过两边同时除以a，我们可以得到x = -b/a。
因此，一元一次不定方程的解为x = -b/a。
二、一元二次不定方程的求解一元二次不定方程的一般形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b和c为已知常数，x为未知数。
我们可以应用一些方法来解决这类方程。
1. 因式分解法。
当方程存在两个不同的解时，我们可以尝试将其因式分解为两个一次式相乘的形式。
例如，若方程为x^2 - 5x + 6 = 0，我们可以将其因式分解为(x - 3)(x - 2) = 0。
然后，我们可以得到两个不同的解x = 3和x = 2。
2. 完全平方式。
当方程可以表示为一个完全平方时，我们可以直接利用完全平方式求解。
例如，若方程为x^2 + 6x + 9 = 0，我们可以将其表示为(x + 3)^2 = 0。
然后，我们可以得到唯一解x = -3。
3. 二次方程求根公式。
对于一般的一元二次不定方程ax^2 + bx + c = 0，我们可以使用二次方程求根公式来求解。
公式为x = (-b ± √(b^2 - 4ac))/(2a)。
我们通过计算判别式D = b^2 - 4ac的值来确定方程的解的性质：a) 当D > 0时，方程有两个不同的实数解。
b) 当D = 0时，方程有一个重根（重复解）。
c) 当D < 0时，方程没有实数解，但可能有复数解。
三、常见的应用问题不定方程的求解技巧在数学中有着广泛的应用，在实际问题中也有许多应用。
matlab一次不定方程的解法
matlab一次不定方程的解法在数学中，一次不定方程（也称为一次方程）是指形如ax + by = c的方程，其中a，b，c为已知实数，x，y为未知数。
解一次不定方程，我们需要找到满足方程的所有可能解。
一次不定方程的解法有多种方法，我将介绍其中的几种常见方法。
方法一：穷举法穷举法是最直观的解一次不定方程的方法之一。
我们可以从一个范围内的整数开始让x取值，然后通过方程计算相应的y值，看是否满足方程。
如果找到了满足方程的x和y，就是方程的一个解。
举例来说，对于方程2x + 3y = 10，我们可以从x = 0开始穷举，计算y = (10-2x)/3，如果y是一个整数，则找到了一个解。
继续增加x的值，直到找到所有满足方程的解为止。
穷举法的优点是简单易懂，但缺点是计算量较大，特别是当范围较大时。
因此，穷举法一般适用于简单的不定方程，或者当解的范围较小的情况。
方法二：欧几里得算法欧几里得算法（也称为辗转相除法）是解一次不定方程的另一种常见方法。
该算法可以找到一组整数解(x0, y0)，使得方程的形式变为a'x + b'y = g，其中a'和b'是a和b的最大公约数，g是a和b的最大公约数。
举例来说，对于方程2x + 3y = 10，我们可以使用欧几里得算法计算a = 2和b = 3的最大公约数。
在这个例子中，gcd(2, 3) = 1，因此我们可以找到一组整数解(x0, y0) = (3, -2)。
然后，我们可以通过将方程乘以10/g得到通解，即2x + 3y = 10的解为x = (3*10/1) + (3*t)和y = (-2*10/1) - (2*t)，其中t为任意整数。
欧几里得算法的优点是计算效率较高，特别适用于解方程的最大公约数不为1的情况。
方法三：整数解的性质一次不定方程的解也可以通过其整数解的性质来求解。
首先，我们知道，如果方程ax + by = c有整数解(x0, y0)，那么该方程的任何解(x, y)均可以表示为(x, y) = (x0 + bt, y0 - at)，其中t为任意整数。
简单不定方程的四种基本解法
简单不定方程的四种基本解法一、一元不定方程求解1.穷举法简单不定方程指的是形如ax + b = c的方程，其中a、b、c为已知实数。
对于这种类型的方程，一种常见的解法是穷举法。
穷举法的基本思路是通过遍历所有可能的解来找到满足方程的解。
具体步骤如下：1.设定一个变量x，从一个初始值开始（如0）。
2.将x代入方程ax + b = c中。
3.检查方程是否成立，即判断等式左右两边是否相等。
4.如果等式成立，则找到一个解，否则增加x的值并重复步骤2和步骤3，直到找到满足方程的解。
穷举法的优点是简单易行，但是对于复杂的方程可能需要较长的时间来找到解。
2.代入法代入法是另一种求解一元不定方程的常见方法。
与穷举法不同，代入法通过代入不同的值来逐步确定解。
具体步骤如下：1.将方程ax + b = c转化为x = (c - b) / a的形式。
2.选定一个合适的值代入右侧的表达式中。
3.计算等式左侧的值。
4.如果等式成立，则找到一个解；否则选取另一个值重复步骤2和步骤3，直到找到满足方程的解。
代入法的优点是可以提高求解的效率，但在某些情况下，可能需要多次尝试才能找到满足方程的解。
二、二元不定方程求解1.等价变形法对于形如ax + by = c的二元不定方程，我们可以利用等价变形法来求解。
等价变形法的基本思路是通过变换等价方程，将方程转化为求解一元不定方程的问题。
具体步骤如下：1.将方程ax + by = c转化为ax = c - by的形式。
2.将x用y的表达式表示，即x = (c - by) / a。
3.根据所给的条件，取合适的整数值代入y。
4.计算等式右侧的值。
5.如果等式成立，则找到一个解；否则选取另一个整数值重复步骤3和步骤4，直到找到满足方程的解。
等价变形法的优点是可以将复杂的二元不定方程问题转化为求解一元不定方程的问题，降低了求解难度。
2.消元法消元法是另一种常见的二元不定方程求解方法。
该方法利用两个方程的线性组合，通过消去其中一个变量，从而得到一个只含有一个未知数的方程。
一次不定方程及方程的整数解问题-1
一次不定方程（组）及方程的整数解问题【写在前面】不定方程（组）是数论中的一个重要课题，不仅是数学竞赛，甚至在中考试卷中也常常出现. 对于不定方程（组），我们往往只求整数解，甚至是只求正整数解，加上条件限制后，解就可确定.有时还可以解决计数、求最值等方面的问题.二元一次不定方程是最简单的不定方程，一些复杂的不定方程（组）常常要转化为二元一次不定方程问题加以解决.【本讲重点】求一次不定方程（组）的整数解【知识梳理】不定方程（组）是指未知数的个数多于方程的个数的方程（组），其特点是往往有无穷多个解，不能唯一确定.重要定理：设a 、b 、c 、d 为整数，则不定方程c by ax =+有：定理1 若,),(d b a =且d 不能整除c ，则不定方程c by ax =+没有整数解；定理2 若),(00y x 是不定方程c by ax =+且的一组整数解（称为特解），则⎩⎨⎧-=+=aty y bt x x 00,（t 为整数）是方程的全部整数解（称为通解）. （其中d b a =),(,且d 能整除c ）.定理3 若),(00y x 是不定方程1=+by ax ，1),(=b a 的特解，则),(00cy cx 是方程c by ax =+的一个特解. （其中d b a =),(,且d 能整除c ）.求整系数不定方程c by ax =+的正整数解，通常有以下步骤： （1） 判断有无整数解； （2） 求出一个特解； （3） 写出通解；（4） 有整数t 同时要满足的条件（不等式组），代入命题（2）中的表达式，写出不定方程的正整数解.解不定方程（组），需要依据方程（组）的特点，并灵活运用以下知识和方法： （1）分离整系数法； （2）穷举法； （3）因式分解法； （4）配方法；（5）整数的整除性； （6）奇偶分析； （7）不等式分析； （8）乘法公式.【学法指导】【例1】求下列不定方程的整数解（1）862=+y x ； （2）13105=+y x . 【分析】根据定理1、定理2确定方程的整数解. 【解答】（1）原方程变形为：43=+y x ， 观察得到⎩⎨⎧==1,1y x 是43=+y x 的一组整数解（特解），根据定理2 ，)(1,31是整数t t y t x ⎩⎨⎧-=+=是原方程的所有整数解.（2）∵（5，10）=5，但5不能整除13，∴根据定理1，原方程的无整数解.【点评】先判断方程是否有整数解，多于系数不大的题目优先选用观察法寻找特解. 求出的特解不同，同一个不定方程的解的形式可以不同，但它们所包含的全部解是一样的. 【实践】求下列不定方程的整数解（1）211147=+y x ； （2）11145=-y x .答案：（1）无整数解；（2）)(51,145是整数t ty t x ⎩⎨⎧-=-= 【例2】求方程213197=+y x 的所有正整数解.【分析】此方程的系数较大，不易用观察法得出特解.根据方程用y 来表示x ,再将含y 的代数式分离出整系数部分，然后对分数系数部分进行讨论，赋予y 不同的整数，寻找一个使分数系数部分成为正整数的y 0，然后再求x 0，写出通解，再解不等式组确定方程的正整数解. 【解答】∵（7，19）=1，根据定理2，原方程有整数解.由原方程可得75323075314210719213yy y y y x -+-=-+-=-=， 由此可观察出一组特解为x 0=25，y 0=2.∴方程的通解为)(72,1925是整数t t y t x ⎩⎨⎧-=+=.其中⎩⎨⎧>->+072,01925t t ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<->72,1925t t ∴721925<<-t ∴0,1-=t 代入通解可得原方程的正整数解为⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==.2,25.9,6y x y x 或 【点评】根据定理2解这类方程，若未知数的系数较大不容易观察出一组整数解时，可用一个未知数去表示另一个未知数，再利用整数的知识，这是解二元一次不定方程基本的方法，称为分离整系数法. 这样就容易找出一组整数解来.【实践】求方程2654731=+y 的正整数解. 答案： x=4,y=3.【例3】大客车能容纳54人，小客车能容纳36人，现有378人要乘车，问需要大、小客车各几辆才能使每个人都能上车且各车都正好坐满.【分析】本题是不定方程的应用，根据题意列出方程并求出非负整数解即可. 【解答】设需要大客车x 辆，小客车y 辆，根据题意可列方程 3783654=+y x ，即2123=+y x .又（3，2）=1，根据定理2，原方程有整数解. 易知⎩⎨⎧==9,1y x 是一个特解，通解为)(99,21是整数t ty t x ⎩⎨⎧-=+= 由题意可知⎩⎨⎧≥-≥+099,021t t 解得.3,2,1,0=t 相应地⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==.0,7.3,5.6,3.9,1y x y x y x y x 答：需要大客1车辆，小客车9辆；或需要大客车3辆，小客车6辆；或需要大客车5辆，小客车3辆；也可以只要大客车7辆，不要小客车. 【点评】一般来说实际问题通常取正整数解或者非负整数解.【实践】某次考试共需做20道小题，对1道得8分，错一道扣5分，不做不得分.某生共得13分，他没做的题目有几道？ 答案：7【例4】某人的生日月份数乘以31，生日的日期数乘以12，相加后得347，求此人的生日. 【分析】本题的隐含条件是：月份的取值[1，12]，日期的取值[1，31]. 【解答】设此人生日的月份数为x ,日期数y. 根据题意可列方程 31x+12y=347.〈方法一〉 〈方法二〉特解：)(3116125165是整数通解：t ty t x y x ⎩⎨⎧-=+=⎩⎨⎧== )31347(|123134712x x y -∴-=答：此人的生日为5月16日.【点评】求出通解后，要利用隐含条件求出符合题意的解. 其中方法二是利用了同余的知识. 【实践】已知有一个三位数，如果它本身增加3，那么新的三位数的各位数字和就减少到原来的31，求一切这样三位数的和. 答案：432【例5】(新加坡数学竞赛题)设正整数m,n 满足698+=+mn n m ，则m 的最大值为 . 【分析】把m 用含有n 的代数式表示，用分离整系数法，再结合整除的知识，求出m 的最大值.【解答】∵698+=+mn n m ，∴n mn m 968-=-，n m n 96)8(-=- 由题意可得，n ≠8，∴8669866729869896-+=-+-=--=--=n n n n n n n m ， ∵m,n 为正整数， ∴ 当n=9时，m 有最大值为75.【点评】此题是求最值的问题，利用分离整系数法是一种典型的常用方法.【实践】(北京市数学竞赛题)有8个连续的正整数，其和可以表示成7个连续的正整数的和，但不能3个连续的正整数的和，那么这8个连续的正整数中最大数的最小值是 . 答案：281655125121121)(512)12(mod 711)12(mod 31347===∴=∴≤+≤∴≤≤+=∴≡∴≡∴y x x t t x t t x x x 代入原方程得：把是整数 .16503131161121251311121是符合题意解解得⎩⎨⎧==∴=∴⎩⎨⎧≤-≤≤+≤∴⎩⎨⎧≤≤≤≤y x t t t y x【例6】我国古代数学家张建丘所著《算经》中的“百钱买百鸡”问题：鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一，百钱买百鸡，问鸡翁，鸡母，鸡雏各几何？ 【分析】分析：用x,y,z 来表示鸡翁，鸡母，鸡雏的只数，则可列方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=++=++1001003135z y x z y x如何解这个不定方程组？消元转化为不定方程.【解答】解：设鸡翁，鸡母，鸡雏的只数分别为x,y,z.⎪⎩⎪⎨⎧=++=++)2(1003135)1(100z y x z y x (2)×3－(1)得：14x +8y =200，即7x +4y =100.〈方法一〉)(71844.184是整数通解：，特解：t t y tx y x ⎩⎨⎧-=+=⎩⎨⎧== .2,1,07181071804400=∴⎪⎩⎪⎨⎧<->⎩⎨⎧>->+∴⎩⎨⎧>>t t t t t y x 解得 ⎪⎩⎪⎨⎧===⎪⎩⎪⎨⎧===⎪⎩⎪⎨⎧===844128111878184,z y x z y x z y x 原方程有三组解：相应地〈方法二〉〉下面的方法同〈方法一为整数）（通解：的特解是其特解为令.75004300.1004750030053,147t t y tx y x y x y x y x ⎩⎨⎧--=+==+⎩⎨⎧-==∴⎩⎨⎧-===+ 〈方法三〉下面方法同〈一〉是整数得：代入把是整数，即，，).(71844718)3(44).(44)4(mod 30:)4(mod 7100)7100(|4)3(71004t ty tx ty t x t t x x x x x y ⎩⎨⎧-=+=∴-=+=+=∴≡≡∴-∴-= 【点评】充分挖掘题目的隐含条件，进而求整数解.【实践】如果1只兔可换2只鸡，2只兔可换3只鸭，5只兔可换7只鹅.某人用20只兔换得鸡、鸭、鹅共30只.问：其中的鸡、鸭、鹅各多少只？ 答案：（2，21，7）、（4，12，14）、（6，3，21）【例7】求方程23732=++z y x 的整数解.【分析】对于三元一次不定方程，可以另外引进一个未知数，将其转化为方程组，然后分别解方程组中的各个方程，从而得到原方程的解.【解答】设t y x =+32，则原方程可看作⎩⎨⎧=+=+)2(.237)1(,32z t t y x 对于方程（1）x =-t ,y =t 是一个特解，从而（1）的整数解是)()4(.2)3(,3-是整数u u t y u t x ⎩⎨⎧+=-=又t =2,z =3是方程（2）的一个特解，于是（2）的整数解是)()6(.72)5(,3是整数v v t v z ⎩⎨⎧+=-= 将（6）代入（3）、（4）消去t 得到原方程的所有整数解为：)(.3,272,372是整数、v u v z u v y u v x ⎪⎩⎪⎨⎧-=++=---= 【点评】一次不定方程在无约束条件的情况下，通常有无数组整数解，由于求出的特解不同，同一个不定方程的解的形式可以不同，但它们所包含的全部解是一样的，将解中的参数作适当代换，就可以化为同一形式.【实践】求方程7892439=+-z y x 的整数解.答案：)(.83213,3,238是整数、v u v u z v y u v x ⎪⎩⎪⎨⎧--=-=+-=【例8】(海峡两岸友谊赛试题)甲组同学每人有28个核桃，乙组同学每人有30个核桃，丙组同学没人有31个核桃，三组共有核桃总数是365个.问：三个小组共有多少名同学？ 【分析】设甲组同学a 人，乙组同学b 人，丙组同学c 人，由题意得365313028=++c b a . 要求c b a ++，可以运用放缩法从确定c b a ++的取值范围入手.【解答】设甲组同学a 人，乙组同学b 人，丙组同学c 人，则365313028=++c b a .∵)(31365313028)(28c b a c b a c b a ++<=++<++，∴2836531365<++<c b a .∵c b a ++是整数，∴c b a ++=12或13.但当c b a ++=13时，得132=+c b ，无正整数解. 答：三个小组共有12名同学.【点评】整体考虑和的问题，巧妙运用放缩法.【实践】Alice wants to buy some radios, pens and bags. If she buys 3 radios,6 pens,2 bags,she will pay ¥302. If she buys 5 radios,11 pens,3 bags,she will pay ¥508. Question: How much will Alice pay for 1 radio,1 pen and 1 bag?答案：96【例9】一个布袋里有红、黄、蓝三种颜色大小相同的木球.红球上标有数字1，黄球上标有数字2，蓝球上标有数字3.小明从布袋中摸出10个球，它们上面所标的数字和等于21.（1） 小明摸出的球中，红球的个数最多不超过几个？ （2） 若摸出的球中三种颜色都有，有多少种不同的摸法？【分析】由于知道三种球的个数和，因此可设二元.第（2）问计数问题的实质是就是求正整数解的组数.【解答】（1）设小明摸的红球有x 个，黄球有y 个，蓝球有）（y x --10个，则21)10(32=--++y x y x ，整理，得x y 29-=，因为x 、y 均为正整数，可知x 的最大值为4.即红球最多不超过4个.（2）由（1）知蓝球的个数是1)29(1010+=---=--=x x x y x z ，又∵.290.01,029,0,0,0,0<<⎪⎩⎪⎨⎧>+>->∴⎪⎩⎪⎨⎧>>>x x x x z y x 解得 ∴.4,3,2,1=x因此共有4种不同的摸法，如下：（1，7，2），（2，5，3），（3，3，4），（4，1，5）.【点评】此题求的是未知数的范围及可能取值的个数，因此不需要求出方程的通解，而是根据题意对未知数的限制利用不等式分析出未知数的取值范围，以及整数解的个数. 【实践】已知有两堆水泥，若从第一堆中取出100袋放进第二堆，则第二堆比第一堆多一倍；相反，若从第二堆中取出一些放进第一堆，则第一堆比第二堆多5倍.问第一堆中可能的最少水泥袋数是多少？并在这种情况下求出第二堆水泥的袋数. 答案：170，40.【例10】设非负整数n ，满足方程n z y x =++2的非负整数（x,y,z ）的组数记为n a . （1）求3a 的值；（2）求2001a 的值.【分析】审清题中n a 的n 与方程n z y x =++2是同一个非负整数，3a 的含义是方程32=++z y x 的非负整数解的（x,y,z ）的组数.【解答】（1）当n=3时，原方程为32=++z y x ，由于.10,0,0≤≤≥≥z y x 得 当z=1时，方程为x+y=1，其解（x,y ）=(0,1),(1,0) 有2组；当z=0时，方程为x+y=3，其解（x,y ）=(0,3),(1,2)，(2,1),(3,0) 有4组. 综上，3a =6.（2）当n=2001时，原方程为20012=++z y x ，由于.10000,0,0≤≤≥≥z y x 得当z=1000时，方程为x+y=1，其解有2组；当z=999时，方程为x+y=3，其解有4组；当z=998时，方程为x+y=5，其解（x,y ）=(0,5),(1,4)，(2,3),(3,2)，(4,1),(5,0)有6组；…；当z=0时，方程为x+y=2001，其解（x,y ）=(0,2001),(1,2000)，…，(2001,0)有2002组.综上，2001a =2+4+6+…+2002=1003002.【点评】此题综合较强，涉及解不定方程、分类讨论、计数等方面的知识，需要灵活运用所学只是解决问题.【实践】一次不定方程x+y+z=1999的非负整数解有( )个 CA.20001999B.19992000C.2001000D.2001999【总结反思】以上介绍了初中数学竞赛中一次不定方程的基本解法、各种解题技巧以及应用. 解不定方程的基本方法是分离整系数法，要熟练掌握. 在具体应用问题上，能将实际问题转化为不定方程的问题，并根据题意挖掘题目的隐含条件，也就是未知数的取值范围.【题海拾贝】1.（2000年希望杯竞赛题）若a 、b 均为正整数，且2a>b ，2a+b=10，则b 的值为（ ） A. 一切偶数 B.2、4、6、8 C.2、4、6 D.2、42. 若正整数x,y 满足2004a=15y ，则 x+y 的最小值为 .3. 如果三个既约真分数6,432b a ，的分子都加上b ，这时得到的三个分数之和为6. 求这三个既约真分数的和.4. （重庆市竞赛题）一个盒子里装有不多于200粒棋子，如果每次2粒、3粒、4粒或6粒地取出，最终盒内都剩余1粒棋子；如果每次11粒地取出，那么正好取完.问：盒子里装有多少粒棋子？5. （2006年国际城市竞赛题）一辆汽车下坡的速度是72km/h ，在平地上的速度是63km/h ，上坡的速度是56km/h.汽车从A 地到B 地用了4h ，而返程用了4小时40分，求AB 两地的距离. 答案： 1.D 2.673 3.125 4.121 5.273。
不定方程求解题技巧
不定方程求解题技巧不定方程是指在未知数为整数的条件下，求满足方程的整数解的问题。
解不定方程的方法有很多种，下面将介绍一些常见的技巧和方法。
1. 分类讨论法这种方法适用于一元不定方程，即方程只有一个未知数。
根据方程中未知数的系数，可以将不定方程分为以下几类：A. 当方程中未知数系数为1时，通常可以考虑逐个尝试法，即从0开始尝试，逐渐增加或减少，直到找到满足方程的整数解为止。
B. 当方程中未知数系数为负数时，可以将方程两边同时乘以-1，转化为系数为正数的方程，然后按照分类A的方法求解。
C. 当方程中未知数系数为其他整数时，可以将方程两边同时乘以适当的倍数，转化为系数为1或负数的方程，然后按照分类A或B的方法求解。
2. 辗转相除法辗转相除法是求解线性不定方程（即方程的最高次数为1）的有效方法。
假设要解形如ax + by = c的方程（a、b、c为整数），首先通过欧几里得算法求得a和b的最大公约数d。
然后，如果c不是d的倍数，那么方程无整数解。
如果c是d的倍数，可以将方程两边同除以d，得到形如(a/d)x + (b/d)y = c/d的新方程。
由于a/d和b/d互质，可以通过扩展欧几里得算法求得一个整数解x0和y0。
然后，通解可以表示为x = x0 + (b/d)t和y = y0 - (a/d)t （t为整数），对所有整数t都满足原方程。
3. 特殊解与通解对于一些特殊的不定方程，可以通过观察得到一个或多个特殊解，并通过特殊解推导出通解。
例如，对于二次不定方程x^2 + y^2 = z^2（其中x、y、z为整数），可以取特殊解x = 3，y = 4，z = 5，然后可以推导出通解x = 3(m^2 - n^2)，y = 4mn，z = 5(m^2 + n^2)（m、n 为整数）。
通过这个通解，可以找到无穷多个满足方程的整数解。
4. 数论方法数论是研究整数性质的一门学科，其中有许多定理和技巧可以应用于解不定方程。
不定方程的所有解法
不定方程的所有解法
不定方程是指含有未知数的方程，但未知数的个数多于方程的个数，因此方程无法唯一确定未知数的值。
不定方程的所有解法取决于方程的具体形式和条件。
以下是解决不定方程的常见方法：
一、列举法：对于简单的不定方程，可以通过列举所有可能的解来确定方程的解。
例如，对于一元一次方程ax = b，其中a和b为已知常数，可以通过计算x = b/a 来确定方程的解。
二、参数法：对于形如ax + by = c的不定方程，可以引入参数t，将方程转化为x = at + x0，y = bt + y0的形式，其中x0和y0为常数，然后通过选择合适的t值来确定方程的解。
三、降维法：对于高维的不定方程，可以通过将方程进行降维处理，转化为更简单的形式来求解。
例如，对于二元二次方程ax^2 + by^2 = c，可以通过代换u = x^2 和v = y^2来将方程转化为线性方程的形式，然后求解。
四、递归法：对于某些特殊形式的不定方程，可以通过递归的方式求解。
例如，对于费马大定理中的不定方程x^n + y^n = z^n，可以利用递归方法求解。
五、数学工具：对于一些复杂的不定方程，可以利用数学工具如数值方法、图形法、线性规划等来求解。
需要注意的是，不定方程的解并不总是存在或唯一的，有时候可能存在无穷多个解，有时候可能不存在解。
因此，在求解不定方程时，需要根据具体的问题和条件来选择合适的解法和策略。
初等数论多元一次不定方程的解法
这时候我们就可以通过给 y 赋值，来求出对应的 x 值。比如当 y = 1 时，x = (5 - 4) / 3 = 1 / 3，这不是整数解。当 y = 2 时，x = (5 - 8) / 3 = -1，这就是一组整数解了。
再来看一个稍微复杂点的例子，2x + 3y + 5z = 10。这种三个未知数的不定方程，我们同样可以通过类似的方法来求解。
我们可以先固定其中一个未知数的值，比如让 z = 0，那方程就变成 2x + 3y = 10。然后按照前面说的方法求出 x 和 y 的一些解。接着再让 z = 1 等等，依次求出不同情况下的解。
在实际应用中，这种不定方程也很常见。比如说，在分配资源的问题中。假设我们有一些苹果和香蕉要分给小朋友，已知一个苹果 2 块钱，一个香蕉 3 块钱，我们一共有 10 块钱，问有几种分配方法。这其实就可以转化成刚才说的不定方程来求解。
同学们，对于初等数论多元一次不定方程的解法，关键就是要找到合适的方法去求解。通过不断尝试和探索，一定能掌握其中的窍门。大家要多做练习，在实践中加深理解。相信大家都能学好这部分知识！
初等数论多元一Leabharlann 不定方程的解法“嘿，同学们，今天咱们来好好讲讲初等数论多元一次不定方程的解法。”
多元一次不定方程，简单来说，就是有多个未知数，且未知数的次数都是一次的方程。那怎么解呢？
咱们先来看一个例子，比如 3x + 4y = 5。这种情况下，我们可以用辗转相除法来求解。辗转相除法就是不断用较大数除以较小数，再用出现的余数来代替较大数，直到余数为 0 为止。
N元一次不定方程的矩阵解法
N 元一次不定方程的矩阵解法王巧 相琪 尹菲（数学与应用数学2009级1班）摘要 解不定方程主要需要解决三个问题：：①判断何时有解。
②有解时决定解的个数。
③求出所有的解。
本文在简单介绍传统的辗转相除法求n 元一次方程解的同时，给出了n 元一次方程的另一种解法——矩阵解法。
关键字 n 元一次不定方程；矩阵解法1 引言所谓多元一次不定方程，就是可以写成下列形式的方程：1122...n n a x a x a x A +++=，它是指未知数的个数多余方程个数的方程，这类方程可能有无穷多解。
传统方法中常用的方法为辗转相除法，但是当n 较大的时候计算起来比较繁琐，因此，本文将给出利用矩阵的初等变换球不定方程的一切通解的一种简便方法。
2 辗转相除法解n 元一次不定方程定理1 1122...n n a x a x a x N +++=整数解的充分与必要条件是()12,,...,n a a a N设(a , b )= 1,先用b 除a 得商数q 1 ,余数r 1; 若r 1≠0, 再用r 1 除b 得商q 2, 余r 2; 若r 2≠0, 再用r 2 除r 1得商q 3, 余r 3，以此类推经过有限步后, 必有余数为零. 于是得到以下等式：a = bq 1+ r 1 (1)b = r 1q 2+ r 2(2) r 1= r 2q 3+ r 3 (3)… …r n -2= r n -1q n + r n (n )r n -1= r n q n +1(n +1)由(1) 知a , b 与b , r 1 的公因数完全相同, 因而最大公因数相同, 再由(2)～ (n + 1)类推下去, 得(a , b ) = (b , r 1 ) = ( r 1, r 2) = ( r 2, r 3 ) = … = ( r n - 2, r n - 1) = ( r n - 1,r n ) ( r n , 0) = r n . 因为(a,b ) = 1, 所以r n - 1= 1. 由(1) 知, r 1 是a , b 的组合(即能表成a 的一个倍数与b 的一个倍数之和) ; 从(1) 中解出 r 1 代入(2) 知 r 2 是a , b 的组合; 从(1)、(2) 中解出r 1, r 2, 代入(3) 知r 3 是a , b 的组合;…如此下去, 可知r n- 1= 1是a , b 的组合, 即通过上边这组等式可求出整数u , v 使au + bv = 1. 这就求出了方程ax + by = 1 的一个特解。
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一次不定方程的解我们现在就这个问题，先给出一个定理
定理如是互质的正整数是整数，且方,①cby?ax?有一组整数解则此
方程的一切整数解可以表示为yx,00其中…3,??1,?2,t?0,证因为是方程①的整数解，当然满足y,x00②c?ax?by00因此
．cby?at)?ax?ba(x?bt)?(y?0000这表明，也是方程①的解．at?y??x?xbty00设是方程①的任一整数解，则有??y,x③??caxby???②得④③
??)y(?)x(ax??by?00精心整理．
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t是整数．将，其中代入④，即得由于，所以，即???
atyy?y?at??y ya?y1)?,(ab000．因此可以表示成，的形式，所以，
???y?y?atx?x?x?x?btyy?x??x?btatbty,x00000表示方程①的一切整数解，命题得证．有了上述定理，求解二元一次不定方程的关键是求它的一组特殊解. 例1求的整数解．715y?11x?将方程变形得1解是这个方程的的倍数．由观察是整数，所应是因211组整数解，所以方程的解先考，通过观
察易得解11114所以
(7711，，从而可取21?x??28,y00可见，二元一次不定方程在无约束条件的情况下，通常有无数组整数解，由于
求出的特解不同，同一个不定方程的解的形式可以不同，但它们所包含的全部解是 t一样的．将解中的参数做适当代换，就可化为同一
形式．求方程的非负整数解．2例9022y??6x得因为，所以方程两边同
除以解2?(6,22)2①45?3x?11y由观察知，是方程1??yx?4,11②1?11y?x3
的一组整数解，从而方程①的一组整数解为
由定理，可得方程①的一切整数解为精心整理．
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因为要求的是原方程的非负整数解，所以必有
180?11t?0?③??45?3t?0?由于是整数，由③得，所以只有两种可能．16?t?15,tt16t?15?当；当．所以原方程的非负整数解是
3??4,yy?0?t16,xt?15,x?15,x?415x???，??y?3y?0??求方的所有正整数解211?分析这个方程的系数较大，用观察法去求其特殊解比较困难，碰到这种情况们可用逐步缩小系数的方法使系数变小，最后再用观察法求得其解
解用方
211?的最小系除方程①的各项，并移项
211y②?30?2y?x?77y?53．化简得到是整数，故因为也是整数，于是?u yx,3?7u5y?7③3??7u5y3?2u（整数），由此得令?v5④35v?2u?u??1u??1??是方程④的一组解．将代入③得，再将由观察知代入②得
2?2y?y??v?1v?1??x?25x?25?19t??t为整数，所以它的一切解为．于是方程①有一组解025x???y?2y?2?7t??0由于要求方程的正整数解，所以
解不等式，得只能取．因此得原方程的正整数解为0,1t精心整理．精心整理
x?25x?6??，??y?2y?9??当方程的系数较大时，我们还可以用辗转相除法求其特解，其解法结合例题说明．
求方程的整数解．4例25??107y37x解
为表示，我们把上述辗转相除过程回代，1031由此可是方的一组整数解．于2610322652?x22600是方的一组整数解23107所以原方程的一切整数解
某国硬币分分两种，问用这两种硬币支分货款，有多少种不例14的方法
解设需枚分，枚分恰好支付分，于是x y57142①1425?y?7x所以
由于，所以，并且由上式知．因为，所以，从而1xx?1)5?52(12)?(5,20x?x7?142，所以①的非负整数解为1,6,11,16?x x?1x?6x?11x?16????，，，
????y?27y?20y?13y?6????所以，共有4种不同的支付方式．
说明当方程的系数较小时，而且是求非负整数解或者是实际问题时，这时候的解的组数往往较少，可以用整除的性质加上枚举，也能较容易地解出方程．
多元一次不定方程可以化为二元一次不定方程．
精心整理．
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求方程的整数解．6例1000?y?5z9x?24解设，即，于是．于是原方程可化为t8y?3t?3x?9x?24y1000??5z3t3x?8y?t?①?3t?5z?1000?用前面的方
法可以求得①的解为
x?3t?8?（是整数）②u?y??t?3u②的解为
200是整数）100，得消去1600都是整数200100年以前，我国古代数学家张丘建在他编写的《张丘建算经》里，曾1500 大约提出并解决
了“百钱买百鸡”这个有名的数学问题，通俗地讲就是下例．只个钱买小鸡每个钱三只．用母鸡每只三个钱，今有公鸡每只五个钱，7 例100100鸡，问公鸡、母鸡、小鸡各买了多少只？只，由题意列方程组解设公鸡、母鸡、小鸡各买z,x,y①②化简得③300?z?15x?9y②得③?200y?14x?8得，解即1?100x7?4y?4x7?y的一个特解为于是1004x7?y?精心整理．
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由定理知的所有整数解为100?x?4y7由题意知，，所以
100?y,z0?x,4?25?t?28??7解得?24?28??t14?77?4∴28t?25?7
只公鸡只母鸡8811
精心整理．。