一次不定方程的解法

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一次不定方程的解我们现在就这个问题，先给出一个定理

定理如是互质的正整数是整数，且方,①cby?ax?有一组整数解则此

方程的一切整数解可以表示为yx,00其中…3,??1,?2,t?0,证因为是方程①的整数解，当然满足y,x00②c?ax?by00因此

．cby?at)?ax?ba(x?bt)?(y?0000这表明，也是方程①的解．at?y??x?xbty00设是方程①的任一整数解，则有??y,x③??caxby???②得④③

??)y(?)x(ax??by?00精心整理．

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t是整数．将，其中代入④，即得由于，所以，即???

atyy?y?at??y ya?y1)?,(ab000．因此可以表示成，的形式，所以，

???y?y?atx?x?x?x?btyy?x??x?btatbty,x00000表示方程①的一切整数解，命题得证．有了上述定理，求解二元一次不定方程的关键是求它的一组特殊解. 例1求的整数解．715y?11x?将方程变形得1解是这个方程的的倍数．由观察是整数，所应是因211组整数解，所以方程的解先考，通过观

察易得解11114所以

(7711，，从而可取21?x??28,y00可见，二元一次不定方程在无约束条件的情况下，通常有无数组整数解，由于

求出的特解不同，同一个不定方程的解的形式可以不同，但它们所包含的全部解是 t一样的．将解中的参数做适当代换，就可化为同一

形式．求方程的非负整数解．2例9022y??6x得因为，所以方程两边同

除以解2?(6,22)2①45?3x?11y由观察知，是方程1??yx?4,11②1?11y?x3

的一组整数解，从而方程①的一组整数解为

由定理，可得方程①的一切整数解为精心整理．

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因为要求的是原方程的非负整数解，所以必有

180?11t?0?③??45?3t?0?由于是整数，由③得，所以只有两种可能．16?t?15,tt16t?15?当；当．所以原方程的非负整数解是

3??4,yy?0?t16,xt?15,x?15,x?415x???，??y?3y?0??求方的所有正整数解211?分析这个方程的系数较大，用观察法去求其特殊解比较困难，碰到这种情况们可用逐步缩小系数的方法使系数变小，最后再用观察法求得其解

解用方

211?的最小系除方程①的各项，并移项

211y②?30?2y?x?77y?53．化简得到是整数，故因为也是整数，于是?u yx,3?7u5y?7③3??7u5y3?2u（整数），由此得令?v5④35v?2u?u??1u??1??是方程④的一组解．将代入③得，再将由观察知代入②得

2?2y?y??v?1v?1??x?25x?25?19t??t为整数，所以它的一切解为．于是方程①有一组解025x???y?2y?2?7t??0由于要求方程的正整数解，所以

解不等式，得只能取．因此得原方程的正整数解为0,1t精心整理．精心整理

x?25x?6??，??y?2y?9??当方程的系数较大时，我们还可以用辗转相除法求其特解，其解法结合例题说明．

求方程的整数解．4例25??107y37x解

为表示，我们把上述辗转相除过程回代，1031由此可是方的一组整数解．于2610322652?x22600是方的一组整数解23107所以原方程的一切整数解

某国硬币分分两种，问用这两种硬币支分货款，有多少种不例14的方法

解设需枚分，枚分恰好支付分，于是x y57142①1425?y?7x所以

由于，所以，并且由上式知．因为，所以，从而1xx?1)5?52(12)?(5,20x?x7?142，所以①的非负整数解为1,6,11,16?x x?1x?6x?11x?16????，，，

????y?27y?20y?13y?6????所以，共有4种不同的支付方式．

说明当方程的系数较小时，而且是求非负整数解或者是实际问题时，这时候的解的组数往往较少，可以用整除的性质加上枚举，也能较容易地解出方程．

多元一次不定方程可以化为二元一次不定方程．

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求方程的整数解．6例1000?y?5z9x?24解设，即，于是．于是原方程可化为t8y?3t?3x?9x?24y1000??5z3t3x?8y?t?①?3t?5z?1000?用前面的方

法可以求得①的解为

x?3t?8?（是整数）②u?y??t?3u②的解为

200是整数）100，得消去1600都是整数200100年以前，我国古代数学家张丘建在他编写的《张丘建算经》里，曾1500 大约提出并解决

了“百钱买百鸡”这个有名的数学问题，通俗地讲就是下例．只个钱买小鸡每个钱三只．用母鸡每只三个钱，今有公鸡每只五个钱，7 例100100鸡，问公鸡、母鸡、小鸡各买了多少只？只，由题意列方程组解设公鸡、母鸡、小鸡各买z,x,y①②化简得③300?z?15x?9y②得③?200y?14x?8得，解即1?100x7?4y?4x7?y的一个特解为于是1004x7?y?精心整理．

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由定理知的所有整数解为100?x?4y7由题意知，，所以

100?y,z0?x,4?25?t?28??7解得?24?28??t14?77?4∴28t?25?7

只公鸡只母鸡8811

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