因式分解16种方法
因式分解方法大全
因式分解方法大全以下是一些常用的因式分解方法:方法一:提取公因式法如果一个多项式的各项系数可以同时被一个常数整除,那么可以将这个常数提取出来,然后再对多项式进行因式分解。
例如:2x+4y=2(x+2y)方法二:两项提取公因式法当多项式的两项具有相同的因子时,可以将这个因子提取出来,然后再对多项式进行因式分解。
例如:3x^2+6x=3x(x+2)方法三:平方差公式如果多项式是两个平方数相减,那么可以使用平方差公式进行因式分解。
平方差公式为:a^2-b^2=(a+b)(a-b)例如:9x^2-4=(3x+2)(3x-2)方法四:差平方公式如果多项式是两个平方数相加,那么可以使用差平方公式进行因式分解。
差平方公式为:a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab例如:x^2+4=(x+2)^2-4方法五:分组法当多项式含有多项之和时,可以根据各项的共同因子进行分组,然后进行因式分解。
例如:2ab + 4bc + 6ca = 2a(b + 2c) + 2c(2b + 3a)方法六:完全平方公式当多项式是一个完全平方时,可以使用完全平方公式进行因式分解。
完全平方公式为:a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2例如:x^2+4x+4=(x+2)^2方法七:配方法对于一些多项式,可以通过将其形式转化为一个平方差或平方和的形式,然后使用平方差公式或完全平方公式进行因式分解。
例如:4x^2+12x+9=4(x^2+3x)+9=4(x^2+2x+1)然后使用完全平方公式进行因式分解。
方法八:综合运用多项式的因式分解方法往往需要综合运用多种方法,根据具体情况选择合适的方法进行因式分解。
对于较复杂的多项式,可能需要多次分解才能得到最简形式。
因此,需要对各种方法进行熟练运用,并根据具体情况进行灵活组合。
以上是一些常用的因式分解方法,它们可以用来解决不同类型的多项式因式分解问题。
需要注意的是,进行因式分解时要善于观察和发现多项式中的模式和规律,以便选择合适的方法进行分解。
因式分解方法大全
因式分解方法大全(一)因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一,它被广泛地应用于初等数学之中。
因式分解是将一个多项式转化成几个整式的积的形式,叫因式分解或分解因式。
它与整式乘法是方向相反的变形,是有效解决许多数学问题的工具。
因式分解方法灵活,技巧性强。
初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法。
因式分解的主要方法:⑴提公国式法;⑵运用公式法;⑶分组分解法;⑷十字相乘法;⑸添项折项法;⑹配方法;⑺求根法;⑻特殊值法;⑼待定系数法;(io)主元法;(11)换元法;(⑵综合短除法等。
一、提公因式法:ma + mb÷me = m(a + 6 + c)二、运用公式法:⑴平方差公式:a2-b2=(a + b)(a-b)⑵完全平方公式:a2±2ah + h2=(a±b)2⑶立方和公式:a3+b3=(a + b)(a2-ab-^-b2)(新课标不做要求)⑷立方差公式:a3-b3=(a-hXa2^-ah + b2)(新课标不做要求)(5)三项完全平方公式:a1+⅛2 +c2 + 2ab + 2ac + 2bc= (tz + ⅛ + c)2(6) / -1- b + i — 3abc = (a + + C)(Ω~÷b~ + c~ —cιb — be —cιc)三、分组分解法.㈠分组后能直接提公因式例:分解因式:2ax- lθay + 5by -bx 解法一:第一、二项为一组;第三、四项为一组。
解:J≡⅛= (2ax -1 Oay) + (5by - bx)=2a(x - 5y) - b(x - 5y) = (x-5y)(2a-b)㈡分组后能直接运用公式或提公因式 例:分解因式:a 2 -2ah-^-h 2 -c 2 解:原式=(〃2-2加/)-/= (a-b)2 -c 2-{a-b + c){a-b-c)四、十字相乘法.凡是能十字相乘的二次三项式ax 1+bx + c,都要求Δ = ⅛2-4ac> 0而且是一个完全平方数。
因式分解的16种方法
因式分解的16种方法因式分解没有普遍的方法,初中数学教材中主要介绍了提公因式法、公式法。
而在竞赛上,又有拆项和添减项法,分组分解法和十字相乘法,待定系数法,双十字相乘法,对称多项式轮换对称多项式法,余数定理法,求根公式法,换元法,长除法,除法等。
注意三原则1 分解要彻底2 最后结果只有小括号3 最后结果中多项式首项系数为正(例如:()1332--=+-x x x x )分解因式技巧1.分解因式与整式乘法是互为逆变形。
2.分解因式技巧掌握:①等式左边必须是多项式;②分解因式的结果必须是以乘积的形式表示;③每个因式必须是整式,且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数;④分解因式必须分解到每个多项式因式都不能再分解为止。
注:分解因式前先要找到公因式,在确定公因式前,应从系数和因式两个方面考虑。
基本方法⑴提公因式法各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。
如果一个多项式的各项有公因式,可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式,这种分解因式的方法叫做提公因式法。
具体方法:当各项系数都是整数时,公因式的系数应取各项系数的最大公约数;字母取各项的相同的字母,而且各字母的指数取次数最低的;取相同的多项式,多项式的次数取最低的。
如果多项式的第一项是负的,一般要提出“-”号,使括号内的第一项的系数成为正数。
提出“-”号时,多项式的各项都要变号。
提公因式法基本步骤:(1)找出公因式;(2)提公因式并确定另一个因式:①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数在确定字母;②第二步提公因式并确定另一个因式,注意要确定另一个因式,可用原多项式除以公因式,所得的商即是提公因式后剩下的一个因式,也可用公因式分别除去原多项式的每一项,求的剩下的另一个因式;③提完公因式后,另一因式的项数与原多项式的项数相同。
口诀:找准公因式,一次要提净;全家都搬走,留1把家守;提负要变号,变形看奇偶。
例如:-am+bm+cm=-m(a-b-c);a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(x-y)(a-b)。
因式分解的常用方法
因式分解的常用方法
因式分解是将一个多项式表示为两个或多个因子的乘积的过程。
以下是常见的因式分解方法:
1. 公因式法:找出多项式中的公因式,并将其提取出来。
例如,对于多项式6x + 9y,可以提取公因式3,得到3(2x + 3y)。
2. 二次方程法:对于二次多项式,可以使用二次方程法进行因式分解。
例如,对于多项式x^2 - 4x + 4,可以通过找到它的
平方根来进行因式分解,即(x - 2)^2。
3. 差平方法:对于一些特殊形式的多项式,可以使用差平方法进行因式分解。
例如,对于多项式x^2 - y^2,可以通过差平
公式(x-y)(x+y)进行因式分解。
4. 分组法:对于四项或更多项的多项式,可以使用分组法进行因式分解。
该方法将多项式分为两组,将每一组的相同项提取出来,并进行因式分解。
例如,对于多项式2xy + 3x + 2y + 3,可以将其分为两组并进行因式分解为(2xy + 3x) + (2y + 3) =
x(2y + 3) + (2y + 3) = (x + 1)(2y + 3)。
5. 换元法:对于一些特殊形式的多项式,可以使用换元法进行因式分解。
该方法通过引入新的变量,将多项式转化为较简单的形式,并进行因式分解。
例如,对于多项式a^3 + b^3 + c^3 - 3abc,可以进行换元a + b + c = p,然后进行较简单的因式分解。
注意,这里的方法只是介绍了因式分解的常见方法,并不涵盖所有情况。
在实际问题中,有时需要根据具体情况使用不同的方法进行因式分解。
初中生因式分解
因式分解是将一个多项式表达为几个多项式的乘积的过程。
对于初中生来说,通常需要掌握以下几种基本的因式分解方法:
1. 提公因式法:如果多项式的各项中都有公共的因子,可以提取出来,使得原多项式变为公因子与剩余部分的乘积。
例如:ax + ay = a(x + y)
2. 分组分解法:将多项式的各项分成几组,每组提出公因子,再将提取公因子后的表达式进行合并。
例如:ax + ay + bx + by = a(x + y) + b(x + y) = (a + b)(x + y)
3. 完全平方公式法:利用完全平方公式(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2和(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2进行因式分解。
例如:x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2
4. 差平方公式法:利用差平方公式a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)进行因式分解。
例如:x^2 - 9 = (x + 3)(x - 3)
5. 十字相乘法:适用于形如ax^2 + bx + c的三项式的因式分解,其中a、b、c是常数。
例如:x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)
6. 配方法:通过添加和减去同一个数,将二次项和一次项的部分转换为完全平方的形式。
例如:x^2 + 4x = x^2 + 4x + 4 - 4 = (x + 2)^2 - 4
7. 其他特殊公式:如立方和公式、立方差公式等,用于特定形式的多项式因式分解。
因式分解是初中数学中的一个重要知识点,它不仅能够帮助简化多项式的表达,还是解决方程、不等式等问题的重要工具。
因式分解方法大全
因式分解方法大全因式分解是数学中一种常见的运算方法,指将一个多项式按照约定的规则展开或合并,以求得其约简或简化的过程。
因式分解在代数中的应用非常广泛,可以用来解方程、简化算式、求最大公因式等。
1.提取公因式法:当一个多项式中各项都含有相同的因子时,可以先将这个公因子提取出来。
例如,对于多项式2x+6,可以将公因子2提取出来,得到2(x+3)。
2.公式法:对于一些常见的代数公式,可以直接运用它们进行因式分解。
例如,平方差公式a^2-b^2可以分解为(a+b)(a-b)。
3. 完全平方公式法:当一个多项式是一个完全平方时,可以利用完全平方公式进行因式分解。
完全平方公式为a^2 + 2ab + b^2 = (a +b)^2、例如,对于多项式x^2 + 4x + 4,可以看出它是一个完全平方,因此可以因式分解为(x + 2)^24.分组法:当一个多项式中含有四项及以上的项,并且无法直接运用其他公式进行因式分解时,可以尝试使用分组法。
分组法的基本思想是将多项式中的项以一定的方式分成两组,并将每一组内的项提取出一个公因式,然后再运用其他的因式分解方法进一步简化。
例如,对于多项式3x^3-6x^2+4x-8,可以将其分为两组:(3x^3-6x^2)+(4x-8),然后分别提取每一组内的公因式,得到3x^2(x-2)+4(x-2),再将公共因子(x-2)提取出来,得到(x-2)(3x^2+4)。
5. 和差平方公式法:当一个多项式可以表示为两个项的平方之差时,可以运用和差平方公式进行因式分解。
和差平方公式有两个形式:(a +b)(a - b) = a^2 - b^2和(a + b)^2 - 2ab = a^2 + 2ab + b^2、例如,对于多项式x^2 - 4y^2,可以看出它是一个差的平方,因此可以因式分解为(x + 2y)(x - 2y)。
6.相异二次根法:当一个多项式为一个一次二次根式相减或相加时,可以尝试运用相异二次根法进行因式分解。
(完整)因式分解的16种方法
因式分解的16种方法因式分解没有普遍的方法,初中数学教材中主要介绍了提公因式法、公式法。
而在竞赛上,又有拆项和添减项法,分组分解法和十字相乘法,待定系数法,双十字相乘法,对称多项式轮换对称多项式法,余数定理法,求根公式法,换元法,长除法,除法等。
注意三原则1 分解要彻底2 最后结果只有小括号3 最后结果中多项式首项系数为正(例如:()1332--=+-x x x x )分解因式技巧1.分解因式与整式乘法是互为逆变形。
2.分解因式技巧掌握:①等式左边必须是多项式;②分解因式的结果必须是以乘积的形式表示;③每个因式必须是整式,且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数;④分解因式必须分解到每个多项式因式都不能再分解为止。
注:分解因式前先要找到公因式,在确定公因式前,应从系数和因式两个方面考虑。
基本方法⑴提公因式法各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。
如果一个多项式的各项有公因式,可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式,这种分解因式的方法叫做提公因式法.具体方法:当各项系数都是整数时,公因式的系数应取各项系数的最大公约数;字母取各项的相同的字母,而且各字母的指数取次数最低的;取相同的多项式,多项式的次数取最低的。
如果多项式的第一项是负的,一般要提出“—”号,使括号内的第一项的系数成为正数.提出“—”号时,多项式的各项都要变号.提公因式法基本步骤:(1)找出公因式;(2)提公因式并确定另一个因式:①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数在确定字母;②第二步提公因式并确定另一个因式,注意要确定另一个因式,可用原多项式除以公因式,所得的商即是提公因式后剩下的一个因式,也可用公因式分别除去原多项式的每一项,求的剩下的另一个因式;③提完公因式后,另一因式的项数与原多项式的项数相同.口诀:找准公因式,一次要提净;全家都搬走,留1把家守;提负要变号,变形看奇偶。
例如:—am+bm+cm=—m(a-b-c );a (x —y )+b(y —x )=a (x-y )-b (x —y)=(x —y)(a-b )。
因式分解的十二种方法(已整理)
因式分解的十二种方法:把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解。
因式分解的方法多种多样,现总结如下:1、提公因法如果一个多项式的各项都含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式。
例1、分解因式x -2x -x(2003淮安市中考题)x -2x -x=x(x -2x-1)2、应用公式法由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系,如果把乘法公式反过来,那么就可以用来把某些多项式分解因式。
例2、分解因式a +4ab+4b (2003南通市中考题)解:a +4ab+4b =(a+2b)3、分组分解法要把多项式am+an+bm+bn分解因式,可以先把它前两项分成一组,并提出公因式a,把它后两项分成一组,并提出公因式b,从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n,从而得到(a+b)(m+n)例3、分解因式m +5n-mn-5m解:m +5n-mn-5m= m -5m -mn+5n= (m -5m )+(-mn+5n)=m(m-5)-n(m-5)=(m-5)(m-n)4、十字相乘法对于mx +px+q形式的多项式,如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p,则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c)例4、分解因式7x -19x-6分析:1 _37 _22-21=-19解:7x -19x-6=(7x+2)(x-3)5、配方法对于那些不能利用公式法的多项式,有的可以利用将其配成一个完全平方式,然后再利用平方差公式,就能将其因式分解。
例5、分解因式x +3x-40解x² +3x-40=x² +3x+( 3/2)² -(9/4 ) -40=(x+ 3/2) ²-(169/3 )=(x+3/2+13/2)(x+3/2-13/2)=(x+8)(x-5)6、拆、添项法可以把多项式拆成若干部分,再用进行因式分解。
因式分解的十二种途径
因式分解的十二种途径1. 公因式法则:如果一个多项式中的每一项都有相同的因子,可以通过提取公因式进行因式分解。
2. 平方差公式:对于两个数的平方差,可以使用平方差公式进行因式分解,即a² - b² = (a+b)(a-b)。
3. 完全平方公式:对于一个完全平方的多项式,可以使用完全平方公式进行因式分解,即a² + 2ab + b² = (a+b)²。
4. 分组法则:对于一个多项式中含有四项以上的情况,可以使用分组法进行因式分解。
将多项式中的项进行分组,然后尝试提取每个组的公因式进行因式分解。
5. 同底数幂公式:对于同底数的几个幂相乘的情况,可以使用同底数幂公式进行因式分解,即a^m * a^n = a^(m+n)。
6. 因子分解法则:对于一个多项式,可以尝试将其写成一些因子的积的形式,从而进行因式分解。
7. 代数和几何图像法则:有时候可以通过对代数表达式进行几何图像的分析来找到因式分解的途径。
8. 次高次幂定理:对于二次及高次多项式,可以使用次高次幂定理进行因式分解,即ax^(n+1) + bx^n + cx^(n-1) + ... + k = 0。
9. 有理根定理:对于具有整数系数的多项式,可以使用有理根定理来寻找有理根,从而进行因式分解。
10. 组合方法:可以尝试将多项式分解为两个或多个组合项的乘积,然后再进一步进行因式分解。
11. 复根定理:对于具有实系数的多项式,可以使用复根定理来寻找复根,从而进行因式分解。
12. 分解定理:对于具有多项式系数的多项式,可以使用分解定理来将多项式分解为线性和二次因子的乘积。
这些是因式分解中常用的十二种途径,通过使用不同的方法,在不同的情况下,选择合适的途径可以更加高效地进行因式分解。
因式分解的16种方法
因式分解的16种方法
因式分解是将一个多项式或整数表达式分解为不可再分的乘积的过程。
在因式分解的方法中,常见的有以下16种方法:
1.公因式法:根据多项式的各项之间的最大公因式进行因式分解。
2.差平方公式:利用两个完全平方数的差可以分解成两个因数的平方差。
3.完全平方公式:利用两个因数的平方和可以分解成两个完全平方数
的和。
4.配方法:将多项式按照公式进行配方分解,然后进行因式分解。
5.一元两次方程法:对于一元二次方程,可以通过二次方程的解,将
方程进行因式分解。
6.和差化积:将多项式中的和差进行化积,然后进行因式分解。
7.分组法:将多项式中的项进行分组,然后进行因式分解。
8.提公因式法:将多项式的各项提取公因式,然后进行因式分解。
9.代入法:将因式分解的结果代入方程,通过求方程的解,验证因式
分解的正确性。
10.根式法:将多项式转化为根式表达式,然后进行因式分解。
11.差因式公式:利用一个完全平方数与一个差的因式的乘积可以表
示为两个因数的差的平方。
12.和因式公式:利用一个完全平方数与一个和的因式的乘积可以表
示为两个因数的和的平方。
13.二次齐次因式分解:对于二次齐次方程,可以通过齐次方程的解,将方程进行因式分解。
14.辗转相除法:对于整数表达式,可以利用辗转相除法,将整数进
行因式分解。
15.因数分解法:将整数进行因数分解,找出所有的因数,然后进行
因式分解。
16.文氏因式分解法:将多项式的各项按照文氏图进行排列,然后进
行因式分解。
因式分解所有方法归纳总结
因式分解所有方法归纳总结因式分解是代数学中的重要概念之一,常用于解决多项式的运算和方程的求解问题。
在代数学中,因式分解是将一个多项式通过寻找公因式或使用特定的公式进行拆解,使得多项式可以写成更简单的乘积形式的过程。
本文将对因式分解的所有方法进行归纳总结,帮助读者更好地理解和掌握这一概念。
一、公因式因式分解公因式因式分解是最简单也是最常见的一种因式分解方法。
它的基本思想是找出多项式中各项的最高公因式,然后将其提取出来,得到一个公因式和剩余的部分。
例如,对于多项式2x+4xy,可以找到其公因式2,然后将公因式提取出来,得到2(x+2y)。
这样,原多项式就被因式分解成了公因式2和剩余因式(x+2y)的乘积形式。
二、常用公式因式分解除了公因式因式分解外,一些常用的公式也可以用于因式分解。
这些公式包括平方差公式、完全平方公式等。
平方差公式可以用于分解两个平方数的差,例如(a+b)(a-b)=a^2-b^2。
完全平方公式可以用于分解一个完全平方的平方根,例如(a+b)^2=a^2+2ab+b^2。
通过运用这些公式,可以将一些特殊形式的多项式进行因式分解,使得多项式化简成更简洁的形式,便于后续的运算。
三、分组因式分解分组因式分解是一种适用于四项或更多项的多项式的因式分解方法。
其基本思想是将多项式按照一定规则进行拆分,然后在各个拆分后的组中找到公因式,并将其提取出来。
例如,对于多项式x^3+2x^2+2x+4,可以按照分组因式分解的方法将其拆分成(x^3+2x^2)+(2x+4),然后在每个组中找到公因式,即为x^2(x+2)+2(x+2)。
这样,原多项式就被因式分解成了公因式(x+2)和剩余因式(x^2+2)的乘积形式。
四、倒序配对因式分解倒序配对因式分解也是一种常用的因式分解方法,适用于多项式中存在多个含有负号的项。
其基本思想是将多项式的各项按照一定的规则进行配对,并将每对中的一项提取出来。
例如,对于多项式x^2-2xy-y^2-2x+2y-1,我们可以将其按照倒序配对因式分解的方法进行配对,得到(x^2-y^2)-2(x-y)-(2x-1),然后将每对中的一项提取出来,得到(x-y)^2-2(x-y)-(2x-1)。
因式分解的16种方法
因式分解的16种方法因式分解の16種方法因式分解沒有普遍の方法,初中數學教材中主要介紹了提公因式法、公式法。
而在競賽上,又有拆項和添減項法,分組分解法和十字相乘法,待定係數法,雙十字相乘法,對稱多項式輪換對稱多項式法,餘數定理法,求根公式法,換元法,長除法,除法等。
注意三原則1 分解要徹底2 最後結果只有小括弧3 最後結果中多項式首項係數為正(例如:()1332--=+-x x x x )分解因式技巧1.分解因式與整式乘法是互為逆變形。
2.分解因式技巧掌握:①等式左邊必須是多項式;②分解因式の結果必須是以乘積の形式表示;③每個因式必須是整式,且每個因式の次數都必須低於原來多項式の次數;④分解因式必須分解到每個多項式因式都不能再分解為止。
注:分解因式前先要找到公因式,在確定公因式前,應從係數和因式兩個方面考慮。
基本方法⑴提公因式法各項都含有の公共の因式叫做這個多項式各項の公因式。
如果一個多項式の各項有公因式,可以把這個公因式提出來,從而將多項式化成兩個因式乘積の形式,這種分解因式の方法叫做提公因式法。
具體方法:當各項係數都是整數時,公因式の係數應取各項係數の最大公約數;字母取各項の相同の字母,而且各字母の指數取次數最低の;取相同の多項式,多項式の次數取最低の。
如果多項式の第一項是負の,一般要提出“-”號,使括弧內の第一項の係數成為正數。
提出“-”號時,多項式の各項都要變號。
提公因式法基本步驟:(1)找出公因式;(2)提公因式並確定另一個因式:①第一步找公因式可按照確定公因式の方法先確定係數在確定字母;②第二步提公因式並確定另一個因式,注意要確定另一個因式,可用原多項式除以公因式,所得の商即是提公因式後剩下の一個因式,也可用公因式分別除去原多項式の每一項,求の剩下の另一個因式;③提完公因式後,另一因式の項數與原多項式の項數相同。
口訣:找准公因式,一次要提淨;全家都搬走,留1把家守;提負要變號,變形看奇偶。
因式分解16种方法
因式分解16种方法因式分解是数学中一个重要的概念,也是解决多项式、代数方程的基本步骤之一、在因式分解过程中,我们将一个多项式或代数方程表示为较为简单的乘积形式,以便更好地理解和处理问题。
以下将介绍因式分解的16种常见方法。
1.分解公因式:分解公因式是最基本的因式分解方法。
当多项式中的各项存在公因式时,我们可以因式分解出这个公因式。
2.提取因子:对于完全平方数或完全立方数的形式,我们可以将其提取因子,即将多项式中的完全平方数或完全立方数作为因子分解出来。
3.配方法:配方法适用于二次多项式和三次多项式的因式分解。
我们通过将多项式表示成两个括号内两项的积来进行因式分解。
4.差平方公式:差平方公式是一种特殊的因式分解方法,可用于将差的平方表达式分解为两个乘积。
5.平方差公式:平方差公式是差平方公式的逆向操作,可用于将平方差表达式分解为两个乘积。
6.完全平方公式:完全平方公式是分解完全平方三项式的方法,它将三项式分解为两个括号内两项的平方和。
7.和差公式:和差公式可以将两个平方和式或差和式分解为两个括号内的和或差。
8.乘法公式:乘法公式是将一个多项式展开为多个括号内的乘积的方法,反过来,我们也可以将一个乘积表达式分解为多项式。
9.代换法:代换法是一种巧妙的因式分解方法,通过将多项式中的变量替换为另一个变量或表达式,使得分解过程更加简化。
10.二次差分公式:二次差分公式是一种用于分解二次多项式的方法,它将二次多项式分解为两个括号内的差的平方。
11.组合方法:组合方法是将多项式中的项进行重组,以便进行因式分解。
通过合并或拆分多项式的项,可以更好地进行因式分解。
12.卡方差分公式:卡方差分公式是一种因式分解方法,将二次多项式分解为两个完全平方的差。
13.分组公式:分组公式是一种因式分解方法,将多项式按照一定的规律进行分组,再进行因式分解。
14.换元法:换元法是一种常用的因式分解方法,通过替换多项式变量为新的变量,使得多项式能够更容易地进行因式分解。
因式分解的十二种方法
因式分解的十二种方法1. 公因式提取法:当代数表达式中的各项含有公共因子时,可以将公因式提取出来,从而简化计算。
例如,对于表达式2x+4xy,可以将2x提取出来得到2x(1+2y)。
2.公式法:当代数表达式满足特定的公式时,可以直接应用公式进行因式分解。
例如,表达式a^2-b^2满足差平方公式:a^2-b^2=(a+b)(a-b)。
3.平方差公式法:当代数表达式为两个数的平方差时,可以应用平方差公式进行因式分解。
例如,表达式a^2-b^2可以分解为(a+b)(a-b)。
4. 完全平方公式法:当代数表达式满足完全平方公式时,可以直接应用公式进行因式分解。
例如,表达式a^2+2ab+b^2满足完全平方公式:a^2+2ab+b^2=(a+b)^25.因式定理法:当代数表达式是两个或多个一次式的乘积时,可以应用因式定理进行因式分解。
例如,表达式x^2-4可以分解为(x-2)(x+2)。
6. 分组分解法:对于一些多项式,可以通过分组的方式拆分为若干个因式的乘积形式。
例如,对于表达式ax+ay+bx+by,可以将ax+ay和bx+by进行分组,得到a(x+y)+b(x+y),再将公因式(x+y)提取出来,得到(x+y)(a+b)。
7. 十字相乘法:对于形如ab+ad+cb+cd的多项式,可以应用十字相乘法进行因式分解。
这种方法主要适用于四项的多项式。
例如,对于表达式ab+ad+cb+cd,可以通过十字相乘法将其分解为(a+c)(b+d)。
8. 二次三项全图算法:对于二次三项的多项式,可以通过这种算法进行因式分解。
例如,对于表达式ax^2+bx+c,通过这个算法可以找到其因式分解形式。
9. 因数分解法:对于一些特殊的多项式,可以通过因式分解法进行因式分解。
例如,对于表达式x^3+y^3,可以通过因式分解法将其分解为(x+y)(x^2-xy+y^2)。
10.配方法:对于一些高次多项式,可以应用配方法来进行因式分解。
初中数学:还不知道因式分解有十六种方法?学霸们都得心应手
初中数学:还不知道因式分解有十六种方法?学霸们都得心应
手
因式分解作为初二数学的重要内容,有部分同学掌握得并不是很牢,原因是因式分解计算过程对于没有认真听讲的同学来说较为复杂,再加上它的概念如果不经过老师的讲解分析,同学们自学起来也是有一定困难的。
因式分解在试卷中常常出现的地方就是计算题,但就整个中考数学来讲,它所占分值可能不会太多,但因为高中也会有部分内容会涉及到因式分解,所以同学们不能因为中考分值不重而不认真学习。
大家都知道,初二数学的重点只是很多,因式分解在整个学期里面所占的时间不会太多,但是知识点的掌握同学们却不能忽视,有部分同学就对老师说,因式分解实在是不知道应该怎么学,就连碰到习题也无从下手,实在是很苦恼。
同学们不要着急,学习都是慢慢来的,今天老师就给大家整理了初二数学因式分解的十六种方法,各位有兴趣的可以收藏打印,配合学习。
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因式分解所有方法归纳总结
因式分解所有方法归纳总结因式分解所有方法归纳总结因式分解的十二种方法:把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解。
因式分解的方法多种多样,现总结如下:1、提公因法如果一个多项式的各项都含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式。
例1、分解因式x-2x-x(201*淮安市中考题)x-2x-x=x(x-2x-1)2、应用公式法由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系,如果把乘法公式反过来,那么就可以用来把某些多项式分解因式。
例2、分解因式a+4ab+4b(201*南通市中考题)解:a+4ab+4b=(a+2b)3、分组分解法要把多项式am+an+bm+bn分解因式,可以先把它前两项分成一组,并提出公因式a,把它后两项分成一组,并提出公因式b,从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n,从而得到(a+b)(m+n)例3、分解因式m+5n-mn-5m解:m+5n-mn-5m=m-5m-mn+5n=(m-5m)+(-mn+5n)=m(m-5)-n(m-5)=(m-5)(m-n)4、十字相乘法对于mx+px+q形式的多项式,如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p,则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c)例4、分解因式7x-19x-6分析:1-3722-21=-19 解:7x-19x-6=(7x+2)(x-3)5、配方法对于那些不能利用公式法的多项式,有的可以利用将其配成一个完全平方式,然后再利用平方差公式,就能将其因式分解。
例5、分解因式x+3x-40解x+3x-40=x+3x+()-()-40=(x+)-()=(x++)(x+-)=(x+8)(x-5)6、拆、添项法可以把多项式拆成若干部分,再用进行因式分解。
例6、分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)解:bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)=(c+b)(c-a)(a+b)7、换元法有时在分解因式时,可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数,然后进行因式分解,最后再转换回来。
因式分解16种方法
因式分解16种方法因式分解是代数学中的一项重要内容,它是将一个多项式写成几个因子相乘的形式。
在代数中,我们可以使用不同的方法来进行因式分解,下面将介绍16种常用的因式分解方法。
一、常数公因子法:当多项式中的每一项都有一个相同的因子时,可以将这个公因子提取出来。
二、提公因式法:可以将多项式中的公因子提取出来,并分别乘在每一项的前面。
三、平方差公式:平方差公式可以将两个平方差分解为两个因子相乘的形式。
四、求和差公式:求和差公式可以将两个数的和或差分解为两个因子相乘的形式。
五、特殊公式:特殊公式是一些特定形式的因式分解规律,如完全平方公式、立方差公式等。
六、分组法:将多项式中的项分成若干组,每一组内部有一个公因子,然后进行合并、提公因子的操作。
七、配方法:如果多项式中存在二次项或一次项,可以使用配方法将其转化为完全平方或完全立方。
八、三项因式分解法:将三个项的多项式进行因式分解,可以根据其特征进行分解,如完全平方三项式、卷积三项式等。
九、因式分解公式:在代数学中,有一些常见的因式分解公式,如平方差公式、和差的立方公式等。
十、分式因式分解法:将分式分解为最简形式,可以进行因式分解,然后进行约分、合并等操作。
十一、二次三项式分解法:将二次三项式进行因式分解,可以根据特定的形式进行分解,如完全平方三项式、卷积三项式等。
十二、差的立方公式:差的立方公式可以将两个数的差分解为两个因子相乘的形式。
十三、平方根的平方差公式:平方根的平方差公式可以将平方根的平方差分解为两个因子相乘的形式。
十四、特殊三项式分解法:特殊三项式分解法是针对特定形式的三项式进行因式分解,如完全平方三项式、卷积三项式等。
十五、分场因子法:将多项式中的每一项提取出一个因子,并按照对应的规律进行提取。
十六、根与系数的关系:多项式的根与系数之间存在一定的关系,可以通过观察根与系数之间的关系进行因式分解。
以上是常用的16种因式分解方法,每一种方法都适用于特定的情况和形式的多项式。
初中数学:因式分解的方法与技巧汇总
初中数学:因式分解的方法与技巧汇总
定义
定义:把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解(也叫作分解因式).
因式分解与整式乘法为相反变形,同时也是解一元二次方程中公式法的重要步骤.
因式分解原则
1.分解要彻底(是否有公因式,是否可用公式)
2.最后结果只有小括号
3.最后结果中多项式首项系数为正
基本方法
方法1:提公因式法
方法2:公式法
方法3:分组分解法
方法4:十字相乘法
方法5:换元法
方法6:拆项、添项法
方法7:配方法
方法8:主元法
方法9:特殊值法
方法10:待定系数法
方法11:双十字相乘法
方法12:长除法。
因式分解的十二种方法,赶紧收藏
因式分解的十二种方法,赶紧收藏因式分解的十二种方法把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解.因式分解的方法多种多样,现总结如下:1、提公因法如果一个多项式的各项都含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式.例1、分解因式x -2x -xx -2x -x=x(x -2x-1)2、应用公式法由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系,如果把乘法公式反过来,那么就可以用来把某些多项式分解因式.例2、分解因式a +4ab+4ba +4ab+4b =(a+2b)3、分组分解法要把多项式am+an+bm+bn分解因式,可以先把它前两项分成一组,并提出公因式a,把它后两项分成一组,并提出公因式b,从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n,从而得到(a+b)(m+n)例3、分解因式m +5n-mn-5mm +5n-mn-5m= m -5m -mn+5n= (m -5m )+(-mn+5n)=m(m-5)-n(m-5)=(m-5)(m-n)4、十字相乘法对于mx +px+q形式的多项式,如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p,则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c)例4、分解因式7x -19x-6分析:1 -37 22-21=-197x -19x-6=(7x+2)(x-3)5、配方法对于那些不能利用公式法的多项式,有的可以利用将其配成一个完全平方式,然后再利用平方差公式,就能将其因式分解.例5、分解因式x +3x-40解x +3x-40=x +3x+( ) -( ) -40=(x+ ) -( )=(x+ + )(x+ - )=(x+8)(x-5)6、拆、添项法可以把多项式拆成若干部分,再用进行因式分解.例6、分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)=(c+b)(c-a)(a+b)7、换元法有时在分解因式时,可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数,然后进行因式分解,最后再转换回来.例7、分解因式2x -x -6x -x+22x -x -6x -x+2=2(x +1)-x(x +1)-6x=x [2(x + )-(x+ )-6令y=x+ ,x [2(x + )-(x+ )-6= x [2(y -2)-y-6]= x (2y -y-10)=x (y+2)(2y-5)=x (x+ +2)(2x+ -5)= (x +2x+1) (2x -5x+2)=(x+1) (2x-1)(x-2)8、求根法令多项式f(x)=0,求出其根为x ,x ,x ,……x ,则多项式可因式分解为f(x)=(x-x )(x-x )(x-x )……(x-x )例8、分解因式2x +7x -2x -13x+6令f(x)=2x +7x -2x -13x+6=0通过综合除法可知,f(x)=0根为 ,-3,-2,1则2x +7x -2x -13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1)9、图象法令y=f(x),做出函数y=f(x)的图象,找到函数图象与X轴的交点x ,x ,x ,......x ,则多项式可因式分解为f(x)= f(x)=(x-x )(x-x )(x-x ) (x)x )例9、因式分解x +2x -5x-6令y= x +2x -5x-6作出其图象,见右图,与x轴交点为-3,-1,2则x +2x -5x-6=(x+1)(x+3)(x-2)10、主元法先选定一个字母为主元,然后把各项按这个字母次数从高到低排列,再进行因式分解.例10、分解因式a (b-c)+b (c-a)+c (a-b)分析:此题可选定a为主元,将其按次数从高到低排列a (b-c)+b (c-a)+c (a-b)=a (b-c)-a(b -c )+(b c-c b)=(b-c) [a -a(b+c)+bc]=(b-c)(a-b)(a-c)11、利用特殊值法将2或10代入x,求出数P,将数P分解质因数,将质因数适当的组合,并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式,将2或10还原成x,即得因式分解式.例11、分解因式x +9x +23x+15令x=2,则x +9x +23x+15=8+36+46+15=105将105分解成3个质因数的积,即105=3×5×7注意到多项式中最高项的系数为1,而3、5、7分别为x+1,x+3,x+5,在x=2时的值则x +9x +23x+15=(x+1)(x+3)(x+5)12、待定系数法首先判断出分解因式的形式,然后设出相应整式的字母系数,求出字母系数,从而把多项式因式分解.例12、分解因式x -x -5x -6x-4分析:易知这个多项式没有一次因式,因而只能分解为两个二次因式. 设x -x -5x -6x-4=(x +ax+b)(x +cx+d)= x +(a+c)x +(ac+b+d)x +(ad+bc)x+bd所以解得则x -x -5x -6x-4 =(x +x+1)(x -2x-4)- END -。
(完整版)高中数学因式分解方法大全(十二种)
(完整版)高中数学因式分解方法大全(十二种)因式分解的十二种方法把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解。
因式分解的方法多种多样,现总结如下:1、提公因法如果一个多项式的各项都含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式。
例1、分解因式x -2x -xx -2x –x=x(x -2x-1)2、应用公式法由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系,如果把乘法公式反过来,那么就可以用来把某些多项式分解因式。
例2、分解因式a +4ab+4b解:a +4ab+4b=(a+2b)3、分组分解法要把多项式am+an+bm+bn分解因式,可以先把它前两项分成一组,并提出公因式a,把它后两项分成一组,并提出公因式b,从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n,从而得到(a+b)(m+n)例3、分解因式m +5n-mn-5m解:m +5n-mn-5m= m -5m -mn+5n= (m -5m )+(-mn+5n)=m(m-5)-n(m-5)=(m-5)(m-n)4、十字相乘法对于mx +px+q形式的多项式,如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p,则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c)例4、分解因式7x -19x-6分析: 1 -37 22-21=-19解:7x -19x-6=(7x+2)(x-3)5、配方法对于那些不能利用公式法的多项式,有的可以利用将其配成一个完全平方式,然后再利用平方差公式,就能将其因式分解。
例5、分解因式x +3x-40解x +3x-40=x +3x+( ) -( ) -40=(x+ ) -( )=(x+ + )(x+ - )=(x+8)(x-5)6、拆、添项法可以把多项式拆成若干部分,再用进行因式分解。
例6、分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)解:bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)=(c+b)(c-a)(a+b)7、换元法有时在分解因式时,可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数,然后进行因式分解,最后再转换回来。
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因式分解的16种方法因式分解没有普遍的方法,初中数学教材中主要介绍了提公因式法、公式法。
而在竞赛上,又有拆项和添减项法,分组分解法和十字相乘法,待定系数法,双十字相乘法,对称多项式轮换对称多项式法,余数定理法,求根公式法,换元法,长除法,除法等。
注意三原则1分解要彻底2最后结果只有小括号3最后结果中多项式首项系数为正(例如:—3x2• x=-x3x —1)分解因式技巧1•分解因式与整式乘法是互为逆变形。
2. 分解因式技巧掌握:①等式左边必须是多项式;②分解因式的结果必须是以乘积的形式表示;③每个因式必须是整式,且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数;④分解因式必须分解到每个多项式因式都不能再分解为止。
注:分解因式前先要找到公因式,在确定公因式前,应从系数和因式两个方面考虑。
基本方法⑴提公因式法各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。
如果一个多项式的各项有公因式,可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式,这种分解因式的方法叫做提公因式法。
具体方法:当各项系数都是整数时,公因式的系数应取各项系数的最大公约数;字母取各项的相同的字母,而且各字母的指数取次数最低的;取相同的多项式,多项式的次数取最低的。
如果多项式的第一项是负的,一般要提出“-”号,使括号内的第一项的系数成为正数。
提出“ ”号时,多项式的各项都要变号。
提公因式法基本步骤:(1)找出公因式;(2)提公因式并确定另一个因式:①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数在确定字母;②第二步提公因式并确定另一个因式,注意要确定另一个因式,可用原多项式除以公因式,所得的商即是提公因式后剩下的一个因式,也可用公因式分别除去原多项式的每一项,求的剩下的另一个因式;③提完公因式后,另一因式的项数与原多项式的项数相同。
口诀:找准公因式,一次要提净;全家都搬走,留1把家守;提负要变号,变形看奇偶。
例如:-am+bm+cm=-m(a-b-c);a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(x-y)(a-b)。
1 1注意:把2a2+ —变成2(a2+-)不叫提公因式2 4⑵公式法如果把乘法公式反过来,就可以把某些多项式分解因式,这种方法叫公式法。
平方差公式:a2「b2 =(a+b)(a-b);完全平方公式:a2± 2ab+ b2= a-b2注意:能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式,其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式,另一项是这两个数(或式)的积的2倍。
立方和公式:a3b3=(a+b)( a2-ab+b2);立方差公式:a3-b3 =(a--b)( a2 +ab+ b2);完全立方公式:a3±3a2b+ 3a b2± b3 =(a ± b)2•公式:a3+ b3 + c3-3abc=(a+b+c)( a2 + b2+ c2 -ab-bc-ca)例如:a2 +4ab+4 b2 =(a+2b) 2。
⑶分组分解法分组分解是解方程的一种简洁的方法,我们来学习这个知识。
能分组分解的方程有四项或大于四项,一般的分组分解有两种形式:二二分法,三一分法。
比如:ax+ay+bx+by =a(x+y)+b(x+y) =(a+b)(x+y)我们把ax和ay分一组,bx和by分一组,利用乘法分配律,两两相配,立即解除了困难。
同样,这道题也可以这样做。
ax+ay+bx+by =x(a+b)+y(a+b) =(a+b)(x+y)几道例题:1.5ax+5bx+3ay+3by解法:=5x(a+b)+3y(a+b) =(5x+3y)(a+b)说明:系数不一样一样可以做分组分解,和上面一样,把5ax和5bx看成整体,把3ay和3by看成一个整体,利用乘法分配律轻松解出。
2. x3-x2+x-1解法:=(x3-x2)+(x-1) = x2 (x-1)+ (x-1) =(x-1)( x2+1)利用二二分法,提公因式法提出x2,然后相合轻松解决。
3. x -x-y -y解法:=(x2-y2 )-(x+y) =(x+y)(x-y)-(x+y) =(x+y)(x-y-1)利用二二分法,再利用公式法a2-b2=(a+b)(a-b),然后相合解决。
⑷十字相乘法这种方法有两种情况。
①x2+(p+q)x+pq型的式子的因式分解这类二次三项式的特点是:二次项的系数是1;常数项是两个数的积;一次项系数是常数项的两个因数的和。
因此,可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解:x +(p+q)x+pq=(x+p)(x+q).②k x2+mx+n型的式子的因式分解女口果有k=ac,n=bd,且有ad+bc=m时,那么kx2 +mx+n=(ax+b)(cx+d).图示如下:a d 例如:因为1 -3x xc d 7 2 -x 7=-21,1X 2=2,且2-21=-19,所以7X2-19X-6=(7X+2)(X-3).十字相乘法口诀:首尾分解,交叉相乘,求和凑中⑸裂项法这种方法指把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项(或几项) ,使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解。
这钟方法的实质是分组分解法。
要注意,必须在与原多项式相等的原则下进行变形。
例如:bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b) =bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b) =c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a) =(c+b)(c-a)(a+b).⑹配方法对于某些不能利用公式法的多项式,可以将其配成一个完全平方式,然后再利用平方差公式,就能将其因式分解,这种方法叫配方法。
属于拆项、补项法的一种特殊情况。
也要注意必须在与原多项式相等的原则下进行变形。
2 2例如:X2+3X-40=X2+3X+2.25-42.25=(x+1.5) -(6.5 ) =(x+8)(x-5).⑺应用因式定理对于多项式f(x)=O,如果f(a)=O,那么f(x)必含有因式x-a.例如:f(x)= X2+5X+6,f(-2)=O,则可确定X+2是X2+5X+6的一个因式。
(事实上,2X +5X+6=(X+2)(X+3).)注意:1、对于系数全部是整数的多项式,若X=q/p (p,q为互质整数时)该多项式值为零,则q为常数项约数,p最高次项系数约数;2、对于多项式f(a)=O,b为最高次项系数,c为常数项,则有a为c/b约数⑻换元法有时在分解因式时,可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数,然后进行因式分解,最后再转换回来,这种方法叫做换元法。
注意:换兀后勿忘还兀.例如在分解(X2+X+1)(X2+X+2)-12时,可以令y=x2+x,则原式=(y+1)(y+2)-12 =y 2 +3y+2-12=y 2 +3y-10 =(y+5)(y-2)=(X2+X+5)(X2+X-2)=( X2+X+5)(X+2)(X-1).⑼求根法令多项式f(x)=O,求出其根为X1,X,X3, .......... x n,则该多项式可分解为f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3) ......... (X-X n).例如在分解2X A4+7X A3-2X A2-13X+6时,令2X A4+7X A3-2X2-13X+6=0,则通过综合除法可知,该方程的根为O.5 , -3, -2, 1.所以2xA4+7xA3-2 X2-13X+6=(2X-1)(X+3)(X+2)(X-1).⑽图象法令y=f(x),做出函数y=f(x)的图象,找到函数图像与X轴的交点X1,X2,X3 , .................. xn,则多项式可因式分解为f(x)= f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3) ........ (X-X n).与方法⑼相比,能避开解方程的繁琐,但是不够准确。
例如在分解X A3+2X2-5X-6时,可以令y=xA3; +2X2-5X-6.作出其图像,与X轴交点为-3,-1, 2则X A3+2X2-5X-6=(X+1)(X+3)(X-2).(11)主元法先选定一个字母为主元,然后把各项按这个字母次数从高到低排列,再进行因式分解。
(12)特殊值法将2或10代入x,求出数p,将数p分解质因数,将质因数适当的组合,并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式,将2或10还原成x,即得因式分解式。
例如在分解x A3+9x2+23x+15时,令x=2,则x A3 +9 x2 +23x+15=8+36+46+15=105将105分解成3个质因数的积,即105=3X 5X 7 .注意到多项式中最高项的系数为1,而3、5、7分别为x+1, x+3,x+5,在x=2时的值,则X A3+9X2+23X+15可能等于(x+1)(x+3)(x+5),验证后的确如此。
(13)待定系数法首先判断出分解因式的形式,然后设出相应整式的字母系数,求出字母系数,从而把多项式因式分解。
例如在分解xA4-xA3-5 x2 -6x-4时,由分析可知:这个多项式没有一次因式,因而只能分解为两个二次因式。
于是设xA4-xA3-5 x2-6x-4=( x2 +ax+b)( x2+cx+d)=xA4+(a+c)xA3+(ac+b+d) x2+(ad+bc)x+bd由此可得a+c=-1,ac+b+d=-5, ad+bc=-6 bd=-4.解得a=1, b=1, c=-2, d=-4.则xA4-xA3-5x 2 -6x-4=(x2 +x+1)(x2 -2x-4).(14双十字相乘法双十字相乘法属于因式分解的一类,类似于十字相乘法。
双十字相乘法就是二元二次六项式,启始的式子如下:2 2ax +bxy+cy +dx+ey+fx、y为未知数,其余都是常数用一道例题来说明如何使用。
例:分解因式:x2 +5xy+6y2 +8x+18y+12.分析:这是一个二次六项式,可考虑使用双十字相乘法进行因式分解。
解:原式=(x+2y+2)(x+3y+6).双十字相乘法其步骤为:①先用十字相乘法分解2次项,如十字相乘图①中x2 +5xy+6y2 =(x+2y)(x+3y);②先依一个字母(如y )的一次系数分数常数项。
如十字相乘图②中6y2 +18y+12=(2y+2)(3y+6);③再按另一个字母(如x)的一次系数进行检验,如十字相乘图③,这一步不能省,否则容易出错。
多项式因式分解的一般步骤①如果多项式的各项有公因式,那么先提公因式;②如果各项没有公因式,那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解;③如果用上述方法不能分解,那么可以尝试用分组、拆项、补项法来分解;④分解因式,必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。