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《三角函数》教材分析及教学建议

一、新旧教材对比分析

三角函数是描述周期现象的重要数学模型，在数学和其他领域屮具有重要的作用。这是学生在高屮阶段学习的最后一个基本初等函数。三角恒等变换在数学屮有一定的应用。三角函数与三角恒等变换是高屮数学课程的传统内容，因此，木模块的内容属于“传统内容”。与以往的教科书相比较，本书在内容、要求以及处理方法上都有新的变化。

1. 以基本概念为主干内容贯穿本书，削枝强干，教材体系更显合理。

“标准”设定的三角函数与三角恒等变换学习H标是：

（1）通过实例，学习三角函数及其基本性质，体会三角函数在解决具有周期变化规律的问题屮的作用；

（2）运用向量的方法推导基本的三角恒等变换公式，由此出发导出其他的三角恒等变换公式，并运用这些公式进行简单的三角恒等变换。

根据上述学习Fl标，在编写教科书过程屮，特别注意突出主干内容，强调模型思想、数形结合思想。

“三角函数”一章，突出了三角函数作为描述周期变化的数学模型这一本质。即通过现实世界的周期现象，在学生感受引入三角函数必要性的基础上，引出三角函数概念，研究三角函数的基本性质，并用三角函数的基础知识解决一些实际问题。

与传统的处理方法不同，这里把三角恒等变换从三角函数屮独立出来，其H的也是为了在三角函数一章屮突出“函数作为描述客观世界变化规律的数学模型”这条主线。

为了实现削枝强干的Fl标，教科书除了将三角恒等变换独立成章外，还在具体内容上进行了处理。在三角函数部分删减了任意角的余切、正割、余割，已知三角函数值求角以及符号arcsinx,arccosx,arctanx等内容。任意角、弧度制概念，同角三角函数的基本关系式，周期函数与最小正周期，三角函数的奇偶性等内容都降低了要求。三角恒等变换屮，两角和与差的正余弦、正切公式，二倍角的正余弦、正切公式由原来的掌握减弱为能从两角差的余弦公式导出。积化和差、和差化积、半角公式都作为三角恒等变换基本训练的例题，不要求用积化和差、和差化积、半角公式作复杂的恒等变形。

根据上述考虑，本模块先安排三角函数，再安排平面向量，然后再把三角恒等变换作为平面向量的一个应用，安排在第3章，紧接着再安排解三角形的内容（放在数学5的第1章）。这样的教材体系的合理性在于：

（1）以已有的集合与函数、指数函数与对数函数的知识为基础，三角函数置于其上位概念（即函数）之下，使三角函数的学习有一•个好的“先行组织者”，找到一个有力的“固着点”-三角函数的学习是一种“逐渐分化”式的学习。

（2）三角函数的学习为平面向量的学习作了必要的准备，因为平面向量的某些内容（向量的数量积）需要用到钝角的三角函数。

（3）将三角恒等变换安排在平而向量Z后，使学生能够切实感受到平而向量的威力（用向量为工具推导三角变换公式非常简捷，血用其他方法都比较繁琐）。另外, 由于三角

恒等变换与“函数”讨论的主题关系较远，作为平面向量的一个应用而独立成章，对三角

函数的系统性没有破坏。

（4）将解三角形的内容安排在平而向量Z后，可以使正弦定理、余弦定理的证明获

得更多途径，能更好地体现向量的工具性作用。

2. 强调联系、类比等思想方法的应用，强调教科书的思想性，加强思维能力的培养。

在讨论三角函数及其性质时，经常提醒学生注意用数学1屮获得的一般函数概念及其

思想方法作指导。例如，教科书小有这样的话：

“遇到一个新的函数，非常自然的是画出它的图象，观察图彖的形状，看看有没有特

殊点，并借助图彖研究一下它的性质，如：单调性、奇偶性、最大值、最小值等。

特别的，三角函数具有'周而复始'的特性到底应当如何描述？”

这段话实际上是提示学生，在思考三角函数性质到底研究的是哪些问题以及应半如何研究时，应半与自己在数学1屮建立的关于函数性质的己有经验联系起来，显然, 这对学生

把握三角函数基本性质的讨论方向是非常有用的。

3. 加强几何直观，强调数形结合思想。

本书的内容为加强几何直观，引导学生用数学结合的思想方法研究数学问题提供

了很好的条件，同时，几何直观对学生理解三角函数、向量等概念也发挥了重要作用。

三角函数一章，特别强调了单位圆的直观作用，借助单位圆直观地认识任意角、任意角的三角函数，理解三角函数的周期性、诱导公式、同角三角函数关系式以及三角函数的图象，借助三角函数的图象理解三角函数在一•个周期上的单调性、最大和最小值、图彖与x 轴的交点等性质。

这里我们特别说明一下用单位圆上点的坐标定义正弦函数、余弦函数的意义。这样来

定义三角函数，除了考虑到使学生在三角函数学习Z初就能感受到单位圆的重耍性，为后

续借助单位圆的直观讨论三角函数的图彖与性质奠定坚实的基础外，主耍还是为了这样的

定义能够更好地反映三角函数的本质。

事实上，任意角的三角函数可以有不同的定义方法。过去习惯于用角的终边上点的坐

标及它到原点的距离的“比值”来定义，这种定义的一个基本理由是可以反映从锐角三角

函数到任意角三角函数的推广，有利于引导学生从自己己有认知基础出发学习三角函数。

但它对准确把握三角函数的本质也有一•定的不利影响，因为锐角三角函数与解三角形是直

接相关的，血任意角的三角函数与解三角形却没有任何关系，它是一个最基本的、最有表

现力的周期函数，这才是三角函数最本质的地方。

本章利用单位圆上点的坐标定义任意角的正弦函数、余弦函数。这样定义的好处就是直接用（弧度制下）任意角的集合到区间［-1, 11上的映射来定义，去掉了“求比值”这一小间过程，有利于学生理解任意角的三角函数屮自变量与函数值Z间的对应关系。

事实上，在弧度制（用半径来度量角）下，角度和长度的单位是统一的，这样，我们

可以用下述方式来描述这两个函数的对应关系：

把实数轴想彖为一条柔软的细线，原点固定在单位点/（1, 0）,数轴的正半轴逆时针缠绕在单位圆上，负半轴顺时针缠绕在单位圆上，那么数轴上的任意一个实数（点）（被