第六章 第七节 数学归纳法

A 组 考点能力演练

1．用数学归纳法证明：1＋122＋132＋…＋1n 2<2－1

n (n ∈N ＋，n ≥2)．

证明：(1)当n ＝2时，1＋122＝54<2－12＝3

2，命题成立．

(2)假设n ＝k 时命题成立，即 1＋122＋132＋…＋1k 2<2－1

k

. 当n ＝k ＋1时，1＋122＋132＋…＋1k 2＋1(k ＋1)2<2－1k ＋1(k ＋1)2<2－1k ＋1k (k ＋1)＝2－1k ＋1k －1k ＋1＝2－1k ＋1

命题成立． 由(1)，(2)知原不等式在n ∈N ＋，n ≥2时均成立．

2．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，通项公式为a n ＝1

n f (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧

S 2n ，n ＝1，S 2n －S n －1

，n ≥2，

(1)计算f (1)，f (2)，f (3)的值；

(2)比较f (n )与1的大小，并用数学归纳法证明你的结论． 证明：(1)由已知f (1)＝S 2＝1＋12＝3

2，

f (2)＝S 4－S 1＝12＋13＋14＝13

12，

f (3)＝S 6－S 2＝13＋14＋15＋16＝19

20；

(2)由(1)知f (1)>1，f (2)>1；

下面用数学归纳法证明：当n ≥3时，f (n )<1. ①由(1)知当n ＝3时，f (n )<1；

②假设n ＝k (k ≥3)时，f (k )<1，即f (k )＝1k ＋1k ＋1＋…＋1

2k <1，那么

f (k ＋1)＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ＋12k ＋1＋1

2k ＋2

＝⎝⎛⎭

⎫1k ＋1k ＋1＋1k ＋2＋…＋1

2k ＋

12k ＋1＋12k ＋2－1

k

<1＋⎝⎛⎭⎫12k ＋1－12k ＋⎝⎛⎭⎫12k ＋2－12k ＝1＋

2k －(2k ＋1)2k (2k ＋1)＋2k －(2k ＋2)2k (2k ＋2)＝1－12k (2k ＋1)－1

k (2k ＋2)

<1，所以当n ＝k ＋1时，f (n )<1也成立．

由①和②知，当n ≥3时，f (n )<1.

所以当n ＝1和n ＝2时，f (n )>1；当n ≥3时，f (n )<1.

3．(2015·安庆模拟)已知数列{a n }满足a 1＝a >2，a n ＝a n －1＋2(n ≥2，n ∈N *)．

(1)求证：对任意n ∈N *，a n >2；

(2)判断数列{a n }的单调性，并说明你的理由；

(3)设S n 为数列{a n }的前n 项和，求证：当a ＝3时，S n <2n ＋4

3.

解：(1)证明：用数学归纳法证明a n >2(n ∈N *)； ①当n ＝1时，a 1＝a >2，结论成立；

②假设n ＝k (k ≥1)时结论成立，即a k >2，则n ＝k ＋1时，a k ＋1＝a k ＋2>2＋2＝2，所以n ＝k ＋1时，结论成立．

故由①②及数学归纳法原理，知对一切的n ∈N *，都有a n >2成立． (2){a n }是单调递减的数列．

因为a 2n ＋1－a 2n ＝a n ＋2－a 2

n ＝－(a n －2)(a n ＋1)，又a n >2， 所以a 2n ＋1－a 2n <0，所以a n ＋1

根据(1)知a n >2(n ∈N *)，所以a n ＋1－2a n －2＝1a n ＋1＋2<14，所以a n ＋1－2<14(a n －2)<⎝⎛⎭⎫142·(a n －1－2)<…<⎝⎛⎭⎫14n

(a 1－2)．

所以，当a ＝3时，a n ＋1－2<⎝⎛⎭⎫14n

，即a n

＋1<⎝⎛⎭⎫14n ＋2. 当n ＝1时，S 1＝3<2＋4

3.

当n ≥2时，

S n ＝3＋a 2＋a 3＋…＋a n <3＋⎝⎛⎭⎫14＋2＋⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫142＋2＋…＋⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫14n －1＋2 ＝3＋2(n －1)＋1

41－

14⎣⎡⎦⎤

1－⎝⎛⎭⎫14n －1

＝2n ＋1＋13⎣⎡⎦⎤1－

⎝⎛⎭⎫14n －1<2n ＋43. 综上，当a ＝3时，S n <2n ＋4

3

(n ∈N *)．

B 组 高考题型专练

1．(2014·高考江苏卷)已知函数f 0(x )＝sin x

x (x >0)，设f n (x )为f n －1(x )的导数，n ∈N *.

(1)求2f 1⎝⎛⎭⎫π2＋π2f 2⎝⎛⎭⎫

π2的值； (2)证明：对任意的n ∈N *，

等式⎪

⎪⎪⎪nf n －1⎝⎛⎭⎫π4＋π4f n

⎝⎛⎭⎫π4＝22都成立． 解：(1)由已知，得f 1(x )＝f ′0(x )＝⎝⎛⎭⎫sin x x ′＝cos x x －sin x

x 2， 于是f 2(x )＝f ′1(x )＝⎝⎛⎭⎫cos x x ′－⎝⎛⎭⎫sin x x 2′＝－sin x x －2cos x x 2＋2sin x x 3， 所以f 1⎝⎛⎭⎫π2＝－4π2，f 2

⎝⎛⎭⎫π2＝－2π＋16π3， 故2f 1⎝⎛⎭⎫π2＋π2f 2⎝⎛⎭⎫π2＝－1.

(2)证明：由已知，得xf 0(x )＝sin x ，等式两边分别对x 求导，得f 0(x )＋xf ′0(x )＝cos x ， 即f 0(x )＋xf 1(x )＝cos x ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π

2，类似可得 2f 1(x )＋xf 2(x )＝－sin x ＝sin(x ＋π)， 3f 2(x )＋xf 3(x )＝－cos x ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋3π2， 4f 3(x )＋xf 4(x )＝sin x ＝sin(x ＋2π)．

下面用数学归纳法证明等式nf n －1(x )＋xf n (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋n π

2对所有的n ∈N *都成立． ①当n ＝1时，由上可知等式成立．

②假设当n ＝k 时等式成立，即kf k －1(x )＋xf k (x )＝sin ⎝⎛⎭

⎫x ＋k π2. 因为[kf k －1(x )＋xf k (x )]′＝kf ′k －1(x )＋f k (x )＋xf ′k (x )＝(k ＋1)f k (x )＋xf k ＋1(x )，

⎣⎡⎦⎤sin ⎝⎛⎭⎫x ＋k π2′＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋k π2·⎝⎛⎭

⎫x ＋k π2′

＝sin ⎣

⎡⎦⎤x ＋(k ＋1)π2，

所以(k ＋1)f k (x )＋xf k ＋1(x )＝sin ⎣⎡⎦⎤

x ＋(k ＋1)π2.

因此当n ＝k ＋1时，等式也成立．

综合①②可知等式nf n －1(x )＋xf n (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋n π

2对所有的n ∈N *都成立． 令x ＝π

4，可得nf n －1⎝⎛⎭⎫π4＋π4f n ⎝⎛⎭⎫π4 ＝sin ⎝⎛⎭

⎫

π4＋n π2(n ∈N *) 所以⎪

⎪⎪⎪nf n －1⎝⎛⎭⎫π4＋π4f n

⎝⎛⎭⎫π4＝22(n ∈N *

)． 2．(2014·高考安徽卷)设实数c >0，整数p >1，n ∈N *. (1)证明：当x >－1且x ≠0时，(1＋x )p >1＋px .