利率期限结构模型(ppt文档)

为了解决这一问题，应该对短期债券赋予较高的权重，而对长期 债券赋予较低的权重，从而允许长期债券存在较高的误差。在Bolder和 Streliski (1999)的论文中，设定了如下的权重系数：
wj
1/ Durj 1/ Durj
而将参数
的估计过程定义为：
ˆ*
arg min
n
w2j

D10
(s)

a3

b3s

c3 s 2

d3s3
s [0, 5] s [5,10] s [10,30]
其中，函数必须满足以下的7个约束条件：

D(i) 0
D5i
(5)

D(i) 5
(5)
(10) D10i (10)

D0
(0)

1
i 0,1, 2
从而，我们可以将互相独立的参数缩减到5个：

0

1
1
exp(
1
)


2
1

exp(
1
)

exp


1


1

1

这就是Nelson-Siegel模型的基本表达形式。当固定 0 时，通过 1和2 的不同组合，利用这个模型，可以推出四种不同形状的零
s
推导出的附息债券理论价格。
显然，债券样本中长期品种的价格波动性应大于短期品种，而由此带来 的结果是：以上述方法中表示长期债券的定价误差往往大于短期债券。 这就是在进行收益率曲线拟合时无法避免的样本异方差特征，导致的结 果往往是收益率曲线在远端出现“过度拟合”（Over fitting）的情况， 而在近端则无法很好地表现短期债的实际情况。
静态利率期限结构模型
静态利率期限结构模型概述
静态利率期限结构模型以当天市场的债券价格信息为基础，构 造利率曲线函数，利用所构造的利率曲线得到理论价格来逼近债券 的市场价格，从而得出符合当天价格信息的利率期限结构。
静态利率期限结构模型最为常见的有样条函数模型和节约型模 型，样条函数模型主要包括多项式样条法、指数样条法和B样条法， 节约型模型的主要代表是Nelson-Siegel模型及其扩展模型。
选择样条函数的分段数量和取样条分界点在指数样条法中也同样 十分重要，其方法可以参见多项式样条法。并且，指数样条模型 也容易导致远期利率曲线不稳定。不同于多项式样条法的是，其 参数估计必须采用非线性最优化。
0
Nelson-Siegel模型及其扩展形式
Nelson-Siegel模型可以由一个公式来说明，该公式的形式与那些描述 动态利率的普通微分方程的解的表达式十分类似。该公式为：
(Ti
)

Di21
(Ti
)
其中 D(1) (Ti ), D(2) (Ti )分别为D(Ti ) 的一阶导数和二阶导数。
例如，考虑30年期的贴现率函数，可以用三次多项式分段 拟合如下：
D(
s)


D0
D5
(s) (s)

a1 a2

b1s c1s2 d1s3 b2s c2s2 d2s3

2

exp( 2
)
于是，可以得到：
R(0,
)

0

1
1
exp( 1

)


2
1
exp(
Pˆt j Fs( j) f (s t; ) s
于是，假想出贴现函数 B(t, s) f (s t; 1) 或零息票债券利率
R(t, s t) g(s t; 2)的具体形式，其中 1 和 2 为参数向量。然后
利用假想出的具体形式，来推导附息债券的理论价格，当推导出的
s 0,5 s 5,10
s 10,30
指数样条法
指数样条函数是Vasicek and Fong (1982)提出的。与在多项式样条函数 部分所述的原因相同，也采用三阶指数形式样条函数，其形式为：
D(s)


D1
(
s)

D2
(s)

a1 b1eus c1e2us d1e3us
零息票收益曲线（zero-coupon yield curve）， （常用）： R(t, ) 或 Rˆ (t, ) ； 远期利率曲线（forward rates curve）： T F(t, s,T s)
瞬时远期利率期限结构（instantaneous forward term structure），（常用）：s f (t, s) 。
R(t, ) 起息日为时间t，剩余到期期限为 年的连续复合利率。有：
B(t,t ) exp[ R(t, )]
F(t, s,T s) 在时间t计算的，起息日为时间s，剩余到期期限为T-s的远 期利率。有：
B f (t, s,T ) B(t,T ) exp[(T s)F (t, s,T s)] B(t, s)
利率期限结构（term structure of interest rates），又称收益率 曲线（yield curve），是指在相同风险水平下，利率与到期期限 之间的关系，或者说是理论上的零息债券利率曲线。
常见的利率期限结构有以下四种：
贴现因子曲线（discount factor curve）： B(t,t ) ；
D0(s) Nhomakorabea
1

b1s

c1s 2

d1s3
D(s)


D5
(s)

1
b1s

c1s 2

d1
s3


s

53


d2
D10
(s)

1
b1s

c1s 2

d1

s3

s

5 3



s
-
5 3


d2

s
-
53


s
103


d3

s
-10 3
f
(0,
)

0

1
exp(
1
)

2

1

exp(
1
)
其中，f (0, ) 表示即期计算的，在未来时间 时发生的瞬间远期利
率。 0 , 1, 2以及1均为待估参数。利用
R(0, ) 1

f (0, s)ds
0
可以得到：
R(0,
)
利率期限结构模型
静态模型
样条函数模型 节约型模型
多项式样条法（McCulloch，1971，1975） 指数样条法（Vasicek&Fong，1982） B样条法,（Steeley，1991）
Nelson-Siegel模型（Nelsen &Siegel，1987） Svensson扩展模型（Svensson，1994）
注意，对于即期贴现率函数 D(s) 来说，显然有 D(0) 1 。另外，为 了保证分段函数的平滑性以及在分段点的平滑过渡，必须保证贴现函 数在整个定义域内连续且一、二阶可导，还需要满足如下约束条件：
Di (Ti ) Di1(Ti )

Di1
(Ti
)

Di11 (Ti
)

Di2
ln B(t,T )
rt T
|T t
Rt 起息日为时间t，剩余到期期限为 t 年的连续复合利率。有：
Rt R(t, t)
(t,T ) 贴现债券价格 B(t,T ) 在时间t的预期瞬间收益。
(t,T ) 贴现债券价格 B(t,T ) 在时间t的瞬时波动。 W ,Wˆ 标准布朗运动。 (t,T ) 瞬间远期利率 f (t,T ) 的波动。有：
理论价格与给定的市场价格最为接近时，就可以估计出由 1 和 2
构成的参数向量，即：
n
ˆ *
arg min
(Pt j
j 1
Pˆt j )2
其中，Pˆt j 是从模型
或模型
Pˆt j Fs( j) f (s t; ) s
Pˆt j Fs( j) exp[(s t)g(s t; )]
u lim f (0, s) s
即，u可以被认为是当前的起息日为未来无限远时的瞬间远期利率。
同样，指数样条法也必须满足如下约束条件：
D(0) 1

Di
(Ti
)

Di 1 (Ti
)

Di1
(Ti
)

Di11 (Ti
)

Di
2
(Ti
)

Di21
(Ti
)
其中，D(1) (Ti ), D(2) (Ti )分别为D(Ti ) 的一阶导数和二阶导数。
a2

b2eus

c2e2us

d
e3us
2
D3 (s) a3 b3eus c3e2us d3e3us
...........
s [0,T1] s [T1,T2 ] s [T2 ,T3 ]
模型中，除了 ai , bi , ci , di外，u也是一个参数，并且有明显的经济含 义。Vasicek and Fong (1982)证明了如下等式：