理论力学计算题复习

习题1-1 图中设AB=l ，在A 点受四个大小均等于F 的力1F r 、2F r 、3F r 和4F r 作用。试分别计算每个力对

B 点之矩。

【解答】：

112()sin 452

B M F F l F l =-⋅⋅︒=-⋅r 22()B M F F l F l =-⋅=-⋅r

332()sin 452

B M F F l F l =-⋅⋅︒=-⋅r 4()0B M F =r 。

习题1-2 如图所示正平行六面体ABCD ，重为P F =100N ，边长AB=60cm ，AD=80cm 。 今将其斜放使它的底面与水平面成30ϕ=︒角，试求其重力对棱A 的力矩。又问当ϕ等于多大时，该力矩等于零。

【解法1——直接计算法】：

设AC 与BD 的交点为O ，∠BAO=α，则：

cos()cos cos sin sin 33410.1196552

αϕαϕαϕ

+=-=-⨯= 221806050cm=0.5m 2AO =+= ()cos()

1000.50.1196 5.98N m A P P P M F F d F AO αϕ=⋅=⨯⨯+=⨯⨯=⋅r

当()0A P M F =r 时，重力P F r 的作用线必通过A 点，即90αβ+=︒，所以：

令cos()cos cos sin sin 0αϕαϕαϕ+=-=→3

4cos sin 055

ϕϕ⨯-⨯=，得： 3tan 4

ϕ=→3652ϕ'=︒。 【解法2——利用合力矩定理】：

将重力P F r 分解为两个正交分力1P F r 和2P F r

， 其中：1P F AD r P ，2P F AB r P ，则：

1cos P P F F ϕ=⨯，2sin P P F F ϕ=⨯

根据合力矩定理：1212()()()22

cos 0.3sin 0.4

11000.31000.4 5.98N m 2

A P A P A P P P P P A

B AD M F M F M F F F F F ϕϕ=+=⨯-⨯=⨯⨯-⨯⨯=-⨯⨯=⋅r r r 确定ϕ等于多大时，()0A P M F =r

令()0A P M F =r ，即：cos 0.3sin 0.40P P F F ϕϕ⨯⨯-⨯⨯=

→100cos 0.3100sin 0.40ϕϕ⨯⨯-⨯⨯=→3tan 4

ϕ=

→3652ϕ'=︒。

习题1-11

习题1-22

R F 'r

O M R F 'r M R F 'r R

F r R F r R F r 习题2-1 三力作用在正方形上，各力的大小、方向及位置如图所示，试求合力的大小、方向及位置。分别以O 点和A 点为简化中心，讨论选不同的简化中心对结果是否有影响。

【解答】：

（1）以O 点为简化中心，求主矢和主矩。

31024N 5

=⨯-=∑x F 41044N 5

=⨯-=∑y F 因此，主矢大小为： 2222()()4442N R

x y F F F '=+=+=∑∑ 主矢与x 轴夹角为：tan

454y x

F arc rad F πα===︒∑∑，如图中红色箭头所示。

主矩大小为：43()21010455

O O M M F a a a a ==⨯+⨯⨯-⨯⨯=∑r （逆时针，如图所示。） （2）确定最终合成结果

根据主矢和主矩均不为零，可知力系最终合成一个合力，合力大小和方向与主矢相同，即：R R

F F '=r r 合力作用线方程由下式确定：Ry Rx O x F y F M ⋅-⋅=→444x y a -=

这说明合力作用线通过A 点，如上图所示。

（3）如果以A 点为简化中心，求得主矢为：

2222()()4442N R

x y F F F '=+=+=∑∑ 主矩为：3()241005A A M M F a a a ==⨯+⨯-⨯⨯=∑r

此时合力等于主矢。

x y

习题2-2 如图所示等边三角形ABC ，边长为l ，现在其三顶点沿三边作用三个大小相等的力F r ，试求此力系的简化结果。

【解答】：力系的合成结果与简化中心的选择无关，

因此任选一点（例如A 点作简化中心），建立坐标系，

计算主矢和主矩：（注意三角形ABC 为等边三角形） cos60cos600x F

F F F =-⨯︒-⨯︒=∑ sin60sin600y F F F =⨯︒-⨯︒=∑

因此主矢大小为：22()()0R

x y F F F '=+=∑∑ 3()sin 602

A A M M F F l Fl ==⨯⨯︒=∑r （逆时针） 由此判断力系的简化结果是一个逆时针转动的力偶，力偶矩等于主矩。

习题2-7 求如图所示平行力系合力的大小和方向，并求平行力系中心。图中每格代表1m 。

【解答】：（1）根据题目示意图，合力大小为：

1015203025kN R F F ==+--=∑

写出各力的作用点坐标：

11x =，11y =，10z =

21x =，23y =，20z =

32x =，32y =，30z =

43x =，15y =，10z =

（2）根据平行力系中心坐标公式，求力系的中心：

11223344101151202303 4.210152030C F x F x F x F x x F

⋅+⋅+⋅+⋅⨯+⨯-⨯-⨯===+--∑m 11223344101153202305 5.410152030C F y F y F y F y x F ⋅+⋅+⋅+⋅⨯+⨯-⨯-⨯=

==+--∑ 0C z =