幻方技巧(最新整理).ppt
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竟惊奇地发现9种花点数正巧 是1—9这9个数，各数位置的排 列也相当奇妙，后来人们就称 这个图案为洛书
我国汉朝的一本叫 《数术记遗》的书把 这样的图形叫“九宫 图”，宋朝数学家杨 辉把类似“九宫图” 的图形叫“纵横图”， 国外数学家把它叫做 “幻方”。
816 357 492
幻方有多少
3阶幻方只有1种 4阶幻方方有880种 5 阶 幻 方 有 275305224 种 （ 约 两 亿七千五百万） 7阶幻方有363916800种（约三亿 六千四百万）
8阶幻方超过10亿种
分类
按照幻方阶数的奇偶性， 幻方可以分为奇数阶幻方 与偶数阶幻方
偶阶幻方
• 四阶幻方
16 2 3 13 5 11 10 8 9 7 6 12 4 14 15 1
• 六阶幻方
10 1 34 33 5 28 29 23 22 11 18 8 30 12 17 24 21 7 2 26 19 14 15 35 31 13 16 25 20 6 9 36 3 4 32 27
国王研究后发现确实如此，高兴地拿来九
个银元在每一堆中加一个，并打算将这些 银元送给数学家。这时，站立在一旁的一 个宫女对数学家说：“如果我在每一堆中 取出数量相同的银元使之成为一个新的质 数幻方，您能让我带走这些取出的银元 吗？”数学家想了一下，认为这是绝对不 可能的，就答应了。宫女走上前来，在每 一堆中取出两个银元，国王与数学家同时 发现确实得到一个新的质数幻方。数学家 只好让宫女将 18 个银元拿走。
192 18 240
198 150 102
60 282 108
193 19 241 199 151 103 61 283 109
191 17 239 197 149 101 59 281 107
THANK YOU!
5
17 5 13 21 9
21
10 10 18 1 14 22 22
23 6 19 2 15
6
2
1
四维挺进
11 24 7 20 3 4 12 25 8 16 17 5 13 21 9 10 18 1 14 22 23 6 19 2 15
Merzirac法生成奇阶幻方
在第一行居中的方格内放1，依次向右上 方填入2、3、4…，如果右上方已有数字， 则向下移一格继续填写。
1
1
3
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16
35 7
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三阶质数幻方
下面介绍一个关于质数幻方的故事：有一次某 国的一个宫廷数学家领到了他一年的工资—— 1350 个银元后，一时来了灵感，竟然将这些银元 分成九堆，各堆银元的个数恰好组成一个很特别 的三阶幻方。他高兴地将得到的幻方给国王看了， 国王看后很是欣赏，但是他为其中没有一个数是 质数而深表遗憾（国王是一个对质数情有独钟的 人）。数学家胸有成竹地说：“如果您再给我九 个银元，我在每一堆中加一个，就能得到一个由 九个质数组成的三阶幻方。”
我国数学家杨辉的《续古摘奇算经》对于3阶幻方
的构造方法是：“九子斜排，上下对易，左右相更，四 维挺进。”，具体操作如下图：
其结果为：“戴九履一，左七右三，二四为肩，六 八为足。”
1 42 753 86
9
9 42 357 86
1
492 753 816
类似的原理可以构造5阶、 7阶、9阶等奇数阶幻方。 下图给出了5阶幻方的构
奇阶幻方
• 三阶幻方
• 特点：横的3行、纵的3列以及两对角线上各自的数 字之和都为15。
816
357 492
• 五阶幻方
特点：横的5行、 纵的5列以及两对 角线上各自的数 字之和都为65。
17 23 1 8 15 22 5 7 14 16 4 6 13 20 21
10 12 19 25 3
奇阶幻方的解法
幻方
幻方
816 357 492
幻方
幻方：一般地， 把n2个不同数字 依次填入由n×n 个小方格构成的 正方形中。
这样的一个图叫 做一个（n阶）幻 方。
幻方的定义
使得横行、直 纵列以及两对 角线数字之和 都相等。
各直线上各 数字之和叫 幻和。
幻方的历史
相传在公元前23世纪大 禹治水的时候，在黄河支 流洛水中，浮现出一个大 乌龟， 人们将乌甲上背有 9种花点的图案图案中的花 点数了一下
造过程。
1
6
2
11 7
3
16 12 8
4
21 17 13 9
5
22 18 14 10
23 19 15
24 20
25
25子斜排
25
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10 18 14 22
23 19 15
6
2
1
Байду номын сангаас
上下对易，左右相更
25
24 20
11 24 7 20 3
4 4 12 25 8 16 16
我国汉朝的一本叫 《数术记遗》的书把 这样的图形叫“九宫 图”，宋朝数学家杨 辉把类似“九宫图” 的图形叫“纵横图”， 国外数学家把它叫做 “幻方”。
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幻方有多少
3阶幻方只有1种 4阶幻方方有880种 5 阶 幻 方 有 275305224 种 （ 约 两 亿七千五百万） 7阶幻方有363916800种（约三亿 六千四百万）
8阶幻方超过10亿种
分类
按照幻方阶数的奇偶性， 幻方可以分为奇数阶幻方 与偶数阶幻方
偶阶幻方
• 四阶幻方
16 2 3 13 5 11 10 8 9 7 6 12 4 14 15 1
• 六阶幻方
10 1 34 33 5 28 29 23 22 11 18 8 30 12 17 24 21 7 2 26 19 14 15 35 31 13 16 25 20 6 9 36 3 4 32 27
国王研究后发现确实如此，高兴地拿来九
个银元在每一堆中加一个，并打算将这些 银元送给数学家。这时，站立在一旁的一 个宫女对数学家说：“如果我在每一堆中 取出数量相同的银元使之成为一个新的质 数幻方，您能让我带走这些取出的银元 吗？”数学家想了一下，认为这是绝对不 可能的，就答应了。宫女走上前来，在每 一堆中取出两个银元，国王与数学家同时 发现确实得到一个新的质数幻方。数学家 只好让宫女将 18 个银元拿走。
192 18 240
198 150 102
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191 17 239 197 149 101 59 281 107
THANK YOU!
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四维挺进
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Merzirac法生成奇阶幻方
在第一行居中的方格内放1，依次向右上 方填入2、3、4…，如果右上方已有数字， 则向下移一格继续填写。
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三阶质数幻方
下面介绍一个关于质数幻方的故事：有一次某 国的一个宫廷数学家领到了他一年的工资—— 1350 个银元后，一时来了灵感，竟然将这些银元 分成九堆，各堆银元的个数恰好组成一个很特别 的三阶幻方。他高兴地将得到的幻方给国王看了， 国王看后很是欣赏，但是他为其中没有一个数是 质数而深表遗憾（国王是一个对质数情有独钟的 人）。数学家胸有成竹地说：“如果您再给我九 个银元，我在每一堆中加一个，就能得到一个由 九个质数组成的三阶幻方。”
我国数学家杨辉的《续古摘奇算经》对于3阶幻方
的构造方法是：“九子斜排，上下对易，左右相更，四 维挺进。”，具体操作如下图：
其结果为：“戴九履一，左七右三，二四为肩，六 八为足。”
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类似的原理可以构造5阶、 7阶、9阶等奇数阶幻方。 下图给出了5阶幻方的构
奇阶幻方
• 三阶幻方
• 特点：横的3行、纵的3列以及两对角线上各自的数 字之和都为15。
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• 五阶幻方
特点：横的5行、 纵的5列以及两对 角线上各自的数 字之和都为65。
17 23 1 8 15 22 5 7 14 16 4 6 13 20 21
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奇阶幻方的解法
幻方
幻方
816 357 492
幻方
幻方：一般地， 把n2个不同数字 依次填入由n×n 个小方格构成的 正方形中。
这样的一个图叫 做一个（n阶）幻 方。
幻方的定义
使得横行、直 纵列以及两对 角线数字之和 都相等。
各直线上各 数字之和叫 幻和。
幻方的历史
相传在公元前23世纪大 禹治水的时候，在黄河支 流洛水中，浮现出一个大 乌龟， 人们将乌甲上背有 9种花点的图案图案中的花 点数了一下
造过程。
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