2020-2021学年广东省深圳市宝安区中考数学一模试卷及答案解析
2020-2021深圳宝安区福永中学初三数学上期中一模试卷含答案
2020-2021深圳宝安区福永中学初三数学上期中一模试卷含答案一、选择题1．若关于x 的一元二次方程4x 2-4x+c=0有两个相等实数根，则c 的值是（ ） A ．-1 B ．1 C ．-4 D ．42．下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个3．若二次函数2y x bx =+的图象的对称轴是经过点(2,0)且平行于y 轴的直线，则关于x 的方程25x bx +=的解为（ ）．A ．10x =，24x =B ．11x =，25x =C ．11x =，25x =-D ．11x =-，25x = 4．如图A ，B ，C 是上的三个点，若，则等于（ ）A ．50°B ．80°C ．100°D ．130°5．下列所给的汽车标志图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A ． B ．C ．D ．6．下列事件中，属于必然事件的是（ ）A ．三角形的外心到三边的距离相等B ．某射击运动员射击一次，命中靶心C ．任意画一个三角形，其内角和是 180°D ．抛一枚硬币，落地后正面朝上7．如图，AD 、BC 是⊙O 的两条互相垂直的直径，点P 从点O 出发，沿O→C→D→O 的路线匀速运动．设∠APB=y （单位：度），那么y 与点P 运动的时间x （单位：秒）的关系图是（ ）A ．AB ．BC ．CD ．D8．如图，Rt AOB V 中，AB OB ⊥，且AB OB 3==，设直线x t =截此三角形所得阴影部分的面积为S ，则S 与t 之间的函数关系的图象为下列选项中的( )A ．B ．C ．D ．9．在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，:BC 2:3=AB ， 5AC =，则AB =（ ）． A ．52 B ．10 C ．5D ．15 10．将函数y=kx 2与y=kx+k 的图象画在同一个直角坐标系中，可能的是（ ） A ． B ． C ． D ．11．如图，直线y=kx+c 与抛物线y=ax 2+bx+c 的图象都经过y 轴上的D 点，抛物线与x 轴交于A 、B 两点，其对称轴为直线x=1，且OA=OD ．直线y=kx+c 与x 轴交于点C （点C 在点B 的右侧）．则下列命题中正确命题的是（ ）①abc＞0； ②3a+b＞0； ③﹣1＜k ＜0； ④4a+2b+c＜0； ⑤a+b＜k ．A ．①②③B ．②③⑤C ．②④⑤D ．②③④⑤12．有下列四个命题：①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧．其中正确的有A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个二、填空题13．新园小区计划在一块长为20米，宽12米的矩形场地上修建三条互相垂直的长方形甬路（一条橫向、两条纵向，且横向、纵向的宽度比为3：2），其余部分种花草．若要使种花草的面积达到144米2．则横向的甬路宽为_____米．14．如图，矩形ABCD 对角线AC 、BD 交于点O ，边AB=6，AD=8，四边形OCED 为菱形，若将菱形OCED 绕点O 旋转一周，旋转过程中OE 与矩形ABCD 的边的交点始终为M ，则线段ME 的长度可取的整数值为___________________．15．《田亩比类乘除捷法》是我国古代数学家杨辉的著作，其中有一个数学问题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何”．意思是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？根据题意得，长比宽多______步．16．已知一个直角三角形的两条直角边长分别为3cm 和4cm ，则这个直角三角形的内切圆的半径为 cm17．已知圆锥的母线长为5cm ，高为4cm ，则该圆锥的侧面积为_____ cm ²（结果保留π）．18．如图，O e 是ABC V 的外接圆，30C ∠=o ，2AB cm =，则O e 的半径为________cm ．19．若3是关于x 的方程x 2－x ＋c ＝0的一个根，则方程的另一个根等于____．20．已知二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，有下列4个结论：①abc ＞0；②b ＜a +c ；③4a +2b +c ＞0；④b 2﹣4ac ＞0；其中正确的结论有_____．（填序号）三、解答题21．甲乙两人在玩转盘游戏时，把转盘A 、B 分别分成4等份、3等份，并在每一份内标上数字，如图所示．游戏规定，转动两个转盘停止后，指针所指的两个数字之和为奇数时，甲获胜；为偶数时，乙获胜．（1）用列表法（或画树状图）求甲获胜的概率；（2）你认为这个游戏规则对双方公平吗？请简要说明理由．22．工人师傅用一块长为10dm ，宽为6dm 的矩形铁皮制作一个无盖的长方体容器，需要将四角各裁掉一个正方形．（厚度不计）（1）在图中画出裁剪示意图，用实线表示裁剪线，虚线表示折痕；并求长方体底面面积为12dm 2时，裁掉的正方形边长多大？（2）若要求制作的长方体的底面长不大于底面宽的五倍，并将容器进行防锈处理，侧面每平方分米的费用为0.5元，底面每平方分米的费用为2元，裁掉的正方形边长多大时，总费用最低，最低为多少？23．如图，在ABC ∆中，67 30AB cm BC cm ABC ==∠=o ，，, 点P 从A 点出发,以1/cm s 的速度向B 点移动，点Q 从B 点出发，以2/cm s 的速度向C 点移动．如果P Q ，两点同时出发，经过几秒后PBQ ∆的面积等于24cm ?24．如图，已知AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，点E在⊙O外，∠EAC＝∠D＝60°．（1）求∠ABC的度数；（2）求证：AE是⊙O的切线；（3）当BC＝4时，求阴影部分的面积．25．如图，△ABC的顶点坐标分别为A(0，1)、B(3，3)、C(1，3).(1) 画出△ABC关于点O的中心对称图形△A1B1C1(2) 画出△ABC绕原点O逆时针旋转90°的△A2B2C2，直接写出点C2的坐标为______.(3) 若△ABC内一点P(m，n)绕原点O逆时针旋转90°的对应点为Q，则Q的坐标为______.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【解析】【分析】根据一元二次方程根的判别式可得：当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＜0时，方程没有实数根．【详解】解：根据题意可得：△=2(4) －4×4c=0，解得：c=1 故选：B ．【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式． 2．B解析：B【解析】试题分析：A 选项既是轴对称图形，也是中心对称图形；B 选项中该图形是轴对称图形不是中心对称图形；C 选项中既是中心对称图形又是轴对称图形；D 选项中是中心对称图形又是轴对称图形.故选B ．考点: 1.轴对称图形；2.中心对称图形．3．D解析：D【解析】【详解】∵二次函数y=x 2+bx 的图象的对称轴是经过点(2，0)且平行于y 轴的直线，∴抛物线的对称轴为直线x=2，则−2b a =−2b =2， 解得：b=−4， ∴x 2+bx=5即为x 2−4x−5=0，则(x−5)(x+1)=0，解得：x 1=5，x 2=−1.故选D.【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点：把二次函数y=ax 2+bx+c （a 、b 、c 是常数，a≠0）与x 轴的交点坐标问题转化为关于x 的一元二次方程的问题.4．D解析：D【解析】试题分析：根据圆周的度数为360°，可知优弧AC 的度数为360°-100°=260°，然后根据同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，可求得∠B=130°．故选D考点：圆周角定理5．B解析：B【解析】分析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解即可．详解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形；B．是轴对称图形，也是中心对称图形；C．是轴对称图形，不是中心对称图形；D．是轴对称图形，不是中心对称图形．故选B．点睛：本题考查了中心对称图形和轴对称图形的知识，关键是掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180°后与原图重合．6．C解析：C【解析】分析：必然事件就是一定发生的事件，依据定义即可作出判断．详解：A、三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，三角形的内心到三边的距离相等，是不可能事件，故本选项不符合题意；B、某射击运动员射击一次，命中靶心是随机事件，故本选项不符合题意；C、三角形的内角和是180°，是必然事件，故本选项符合题意；D、抛一枚硬币，落地后正面朝上，是随机事件，故本选项不符合题意；故选C．点睛：解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．7．B解析：B【解析】试题分析：（1）当点P沿O→C运动时，当点P在点O的位置时，y=90°，当点P在点C的位置时，∵OA=OC，∴y=45°，∴y由90°逐渐减小到45°；（2）当点P沿C→D运动时，根据圆周角定理，可得y≡90°÷2=45°；（3）当点P沿D→O运动时，当点P在点D的位置时，y=45°，当点P 在点0的位置时，y=90°，∴y 由45°逐渐增加到90°．故选B ．考点：动点问题的函数图象．8．D解析：D【解析】【分析】Rt △AOB 中，AB ⊥OB ，且AB=OB=3，所以很容易求得∠AOB=∠A=45°；再由平行线的性质得出∠OCD=∠A ，即∠AOD=∠OCD=45°，进而证明OD=CD=t ；最后根据三角形的面积公式，解答出S 与t 之间的函数关系式，由函数解析式来选择图象．【详解】解：∵Rt △AOB 中，AB ⊥OB ，且AB=OB=3，∴∠AOB=∠A=45°，∵CD ⊥OB ，∴CD ∥AB ，∴∠OCD=∠A ，∴∠AOD=∠OCD=45°，∴OD=CD=t ，∴S △OCD =12×OD×CD=12t 2（0≤t≤3），即S=12t 2（0≤t≤3）． 故S 与t 之间的函数关系的图象应为定义域为[0，3]，开口向上的二次函数图象； 故选D ．【点睛】本题主要考查的是二次函数解析式的求法及二次函数的图象特征，解答本题的关键是根据三角形的面积公式，解答出S 与t 之间的函数关系式，由函数解析式来选择图象．9．B解析：B【解析】【分析】依题意可设=AB ，BC ，根据勾股定理列出关于x 的方程，解方程求出x 的值，进而可得答案.【详解】解：如图，设=AB ，BC =，根据勾股定理，得：222325+=x x ，解得x =AB =故选B.【点睛】本题考查了勾股定理和简单的一元二次方程的解法，属于基础题型，熟练掌握勾股定理是解题的关键.10．C解析：C【解析】【分析】根据题意，利用分类讨论的方法，讨论k＞0和k＜0，函数y=kx2与y=kx+k的图象，从而可以解答本题．【详解】当k＞0时，函数y=kx2的图象是开口向上，顶点在原点的抛物线，y=kx+k的图象经过第一、二、三象限，是一条直线，故选项A、B均错误，当k＜0时，函数y=kx2的图象是开口向下，顶点在原点的抛物线，y=kx+k的图象经过第二、三、四象限，是一条直线，故选项C正确，选项D错误，故选C．【点睛】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．11．B解析：B【解析】试题解析：∵抛物线开口向上，∴a＞0．∵抛物线对称轴是x=1，∴b＜0且b=-2a．∵抛物线与y轴交于正半轴，∴c＞0．∴①abc＞0错误；∵b=-2a，∴3a+b=3a-2a=a＞0，∴②3a+b＞0正确；∵b=-2a，∴4a+2b+c=4a-4a+c=c＞0，∴④4a+2b+c＜0错误；∵直线y=kx+c经过一、二、四象限，∴k＜0．∵OA=OD，∴点A的坐标为（c，0）．直线y=kx+c当x=c时，y＞0，∴kc+c＞0可得k＞-1．∴③-1＜k＜0正确；∵直线y=kx+c与抛物线y=ax2+bx+c的图象有两个交点，∴ax2+bx+c=kx+c，得x1=0，x2=k b a -由图象知x2＞1，∴k ba-＞1∴k＞a+b，∴⑤a+b＜k正确，即正确命题的是②③⑤．故选B．12．B解析：B【解析】分析：根据圆中的有关概念、定理进行分析判断．解答：解：①经过圆心的弦是直径，即直径是弦，弦不一定是直径，故正确；②当三点共线的时候，不能作圆，故错误；③三角形的外心是三角形三边的垂直平分线的交点，所以三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等，故正确；④在同圆或等圆中，能够互相重合的弧是等弧，所以半径相等的两个半圆是等弧，故正确．故选B．二、填空题13．3【解析】【分析】设横向的甬路宽为3x米则纵向的甬路宽为2x米由剩余部分的面积为144米2即可得出关于x的一元二次方程解之取其较小值即可得出结论【详解】设横向的甬路宽为3x米则纵向的甬路宽为2x米根解析：3【解析】【分析】设横向的甬路宽为3x 米，则纵向的甬路宽为2x 米，由剩余部分的面积为144米2，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．【详解】设横向的甬路宽为3x 米，则纵向的甬路宽为2x 米，根据题意得：（20﹣2×2x ）（12﹣3x ）=144整理得：x 2﹣9x +8=0，解得：x 1=1，x 2=8．∵当x =8时，12﹣3x =﹣12，∴x =8不合题意，舍去，∴x =1，∴3x =3．故答案为3．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 14．345【解析】【分析】连接OE 交CD 与点M 根据矩形与菱形的性质由勾股定理求出OE 的长在旋转过程中求出OM 的取值范围进而得出ME 的取值范围进而求解【详解】如图连接OE 交CD 与点M ∵矩形ABCD 对角线A解析：3，4，5【解析】【分析】连接OE 交CD 与点M ，根据矩形与菱形的性质，由勾股定理求出OE 的长，在旋转过程中，求出OM 的取值范围，进而得出ME 的取值范围，进而求解．【详解】如图，连接OE 交CD 与点M ，∵矩形ABCD 对角线AC 、BD 交于点O ，边AB=6，AD=8，∴90BAD ︒∠=，OA OB OC OD ===，∴由勾股定理知，10BD =，∴5OA OB OC OD ====，∵四边形OCED 为菱形，∴OE CD ⊥，132DM CD ==， ∴由勾股定理知，4OM =，即8OE =，∵菱形OCED 绕点O 旋转一周，旋转过程中OE 与矩形ABCD 的边的交点始终为M ， ∴当OE AD ⊥或OE BC ⊥时，OM 取得最小值3，当OE 与OA 或OB 或OC 或OD 重合时，OM 取得最大值5，∴35OM ≤≤，∵8OE =，∴35ME ≤≤，∴线段ME 的长度可取的整数值为3，4，5，故答案为：3，4，5．【点睛】本题考查矩形与菱形的性质，勾股定理，旋转的性质，将求ME的取值范围转化为求OM 的取值范围是解题的关键．15．12【解析】【分析】设长为x步宽为(60-x)步根据长方形的面积公式列出方程进行求解即可得【详解】设长为x步宽为(60-x)步x(60-x)=864解得x1=36x2=24(舍去)∴当x=36时60解析：12【解析】【分析】设长为x步，宽为 (60-x) 步，根据长方形的面积公式列出方程进行求解即可得.【详解】设长为x步，宽为(60-x) 步，x(60-x)=864 ，解得，x1=36，x2=24(舍去)，∴当x=36 时，60-x=24 ，∴长比宽多：36-24=12 (步)，故答案为：12．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，弄清题意，找准等量关系列出方程是解题的关键. 16．1【解析】通过勾股定理计算出斜边的长得到三角形的外接圆半径；再利用内切圆半径等于两直角边的和与斜边的差的一半计算出内切圆半径最后求它们的差解：因为斜边==5内切圆半径r==1；所以r=1故填1会利用解析：1【解析】通过勾股定理计算出斜边的长，得到三角形的外接圆半径；再利用内切圆半径等于两直角边的和与斜边的差的一半，计算出内切圆半径，最后求它们的差．解：因为斜边==5，内切圆半径r==1；所以r=1．故填1．会利用勾股定理进行计算．其内切圆半径等于两直角边的和与斜边的差的一半．17．15π【解析】【分析】【详解】解：由图可知圆锥的高是4cm母线长5cm 根据勾股定理得圆锥的底面半径为3cm所以圆锥的侧面积=π×3×5=15πcm²故答案为：15π【点睛】本题考查圆锥的计算解析：15π．【分析】【详解】解：由图可知，圆锥的高是4cm，母线长5cm，根据勾股定理得圆锥的底面半径为3cm，所以圆锥的侧面积=π×3×5=15πcm²．故答案为：15π．【点睛】本题考查圆锥的计算．18．2【解析】【分析】作直径AD连接BD得∠ABD=90°∠D=∠C=30°则AD=4即圆的半径是2（或连接OAOB发现等边△AOB）【详解】作直径AD连接BD 得：∠ABD=90°∠D=∠C=30°∴A解析：2【解析】【分析】作直径AD，连接BD，得∠ABD=90°，∠D=∠C=30°，则AD=4．即圆的半径是2．（或连接OA，OB，发现等边△AOB．）【详解】作直径AD，连接BD，得：∠ABD=90°，∠D=∠C=30°，∴AD=4，即圆的半径是2．【点睛】本题考查了圆周角定理．能够根据圆周角定理发现等边三角形或直角三角形是解题的关键．19．-2【解析】已知3是关于x的方程x2-5x+c=0的一个根代入可得9-3+c=0解得c=-6；所以由原方程为x2-5x-6=0即（x+2）（x-3）=0解得x=-2或x=3即可得方程的另一个根是x=解析：-2【解析】已知3是关于x的方程x2-5x+c=0的一个根，代入可得9-3+c=0，解得，c=-6；所以由原方程为x2-5x-6=0，即（x+2）（x-3）=0，解得，x=-2或x=3，即可得方程的另一个根是x=-2．20．③④【解析】【分析】【详解】由抛物线的开口向下可得a＜0；由与y 轴的交点为在y轴的正半轴上可得c＞0；因对称轴为x==1得2a=-b可得ab异号即b＞0即可得abc＜0所以①错误；观察图象根据抛物线解析：③④【分析】【详解】由抛物线的开口向下，可得a ＜0；由与y 轴的交点为在y 轴的正半轴上，可得c ＞0；因对称轴为x=2b a -=1，得2a=-b ，可得a 、b 异号，即b ＞0，即可得abc ＜0，所以①错误； 观察图象，根据抛物线与x 轴的交点可得，当x=-1时，y ＜0，所以a-b+c ＜0，即b ＞a+c ，所以②错误；观察图象，抛物线与x 轴的一个交点的横坐标在-1和0之间，根据对称轴为x=2b a -=1可得抛物线与x 轴的一个交点的横坐标在2和3之间，由此可得当x=2时，函数值是4a+2b+c ＞0，所以③正确；由抛物线与x 轴有两个交点，可得b 2-4ac ＞0，所以④正确．综上，正确的结论有③④.【点睛】本题考查了二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象与系数的关系：①二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小：当a ＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口；a 还可以决定开口大小，a 越大开口就越小．②一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a 与b 同号时（即ab ＞0），对称轴在y 轴左； 当a 与b 异号时（即ab ＜0），对称轴在y 轴右．（简称：左同右异） ③常数项c 决定抛物线与y 轴交点， 抛物线与y 轴交于（0，c ）．④抛物线与x 轴交点个数：△=b 2-4ac ＞0时，抛物线与x 轴有2个交点；△=b 2-4ac=0时，抛物线与x 轴有1个交点；△=b 2-4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点．三、解答题21．(1)12；（2）公平，理由见解析 【解析】【分析】 本题考查了概率问题中的公平性问题，解决本题的关键是计算出各种情况的概率，然后比较即可．【详解】方法一画树状图：由上图可知，所有等可能的结果共有12种，指针所指的两个数字之和为奇数的结果有6种．∴P（和为奇数）= 12．方法二列表如下：由上表可知，所有等可能的结果共有12种，指针所指的两个数字之和为奇数的结果有6种．∴P（和为奇数）= 12；（2）∵P（和为奇数）= 12，∴P（和为偶数）=12，∴这个游戏规则对双方是公平的．【点睛】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个参与者取胜的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．22．（1）作图见解析；裁掉的正方形的边长为2dm，底面积为12dm2；（2）当裁掉边长为2.5dm的正方形时，总费用最低，最低费用为25元．【解析】试题分析：（1）由题意可画出图形，设裁掉的正方形的边长为xdm，则题意可列出方程，可求得答案；（2）由条件可求得x的取值范围，用x可表示出总费用，利用二次函数的性质可求得其最小值，可求得答案．试题解析：（1）如图所示：设裁掉的正方形的边长为xdm，由题意可得（10﹣2x）（6﹣2x）=12，即x2﹣8x+12=0，解得x=2或x=6（舍去），答：裁掉的正方形的边长为2dm，底面积为12dm2；（2）∵长不大于宽的五倍，∴10﹣2x≤5（6﹣2x），解得0＜x≤2.5，设总费用为w元，由题意可知w=0.5×2x（16﹣4x）+2（10﹣2x）（6﹣2x）=4x2﹣48x+120=4（x﹣6）2﹣24，∵对称轴为x=6，开口向上，∴当0＜x≤2.5时，w 随x 的增大而减小，∴当x=2.5时，w 有最小值，最小值为25元，答：当裁掉边长为2.5dm 的正方形时，总费用最低，最低费用为25元．考点：1、二次函数的应用；2、一元二次方程的应用23．经过2秒后PBQ ∆的面积等于24cm【解析】【分析】首先构建直角三角形，求出各边长，然后利用面积构建一元二次方程，求解即可.【详解】过点Q 作QE PB ⊥于E ，则90QEB ∠=︒，如图所示：30ABC ∠=︒Q ，2QE QB ∴=12PQB S PB QE ∆∴=g g 设经过t 秒后PBQ ∆的面积等于2 4cm ，则62PB t QB t QE t =-==，，． 根据题意，16 4.2t t -=g g （） 212 680,24t t t t -+===，．当4t =时，28,87t =>，不合题意舍去，取2t =．答：经过2秒后PBQ ∆的面积等于24cm .【点睛】此题主要考查三角形中的动点问题，解题关键是利用面积构建一元二次方程.24．（1）60°；（2）见解析；（3）16433π-【解析】【分析】（1）根据∠ABC 与∠D 都是劣弧AC 所对的圆周角，利用圆周角定理可证出∠ABC ＝∠D ＝60°；（2）根据AB 是⊙O 的直径，利用直径所对的圆周角是直角得到∠ACB ＝90°，结合∠ABC ＝60°求得∠BAC ＝30°，从而推出∠BAE ＝90°，即OA ⊥AE ，可得AE 是⊙O 的切线；（3）连接OC，作OF⊥AC，根据三角形中位线性质得出OF＝2，根据圆周角定理得出∠AOC＝120°，然后根据S阴影＝S扇形﹣S△AOC即可求得．【详解】解：（1）∵∠ABC与∠D都是劣弧AC所对的圆周角，∠D＝60°，∴∠ABC＝∠D＝60°；（2）∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°．可得∠BAC＝90°﹣∠ABC＝30°，∴∠BAE＝∠BAC+∠EAC＝30°+60°＝90°，即BA⊥AE，得OA⊥AE，又∵OA是⊙O的半径，∴AE是⊙O的切线；（3）连接OC，作OF⊥AC，∴OF垂直平分AC，∵OA＝OB，∴OF＝12BC＝2，∵∠D＝60°，∴∠AOC＝120°，∠ABC＝60°，∴AC＝32AB＝43，∴S阴影＝S扇形﹣S△AOC＝2120411643243 36023ππ⨯-⨯⨯=-．【点睛】本题着重考查了切线的判定、圆周角定理以及扇形面积公式等知识，属于中档题．解题过程中，请注意注意辅助线的作法与数形结合思想的应用．25．（1）作图见解析；（2）作图见解析，（﹣3，1）；（3）（﹣n，m）．【解析】【分析】（1）根据关于原点对称的点的坐标特征写出A1、B1、C1的坐标，然后描点连线即可；（2）利用网格特点和旋转的性质画出A、B、C的对应点A2、B2、C2，从而得到点C2的坐标；（3）利用（2）中对应点的规律写出Q的坐标．【详解】（1）如图，△A1B1C1为所作；（2）如图，△A2B2C2为所作，点C2的坐标为（﹣3，1）；（3）若△ABC内一点P（m，n）绕原点O逆时针旋转90°的对应点为Q，则Q的坐标为（﹣n，m）．故答案为：（﹣3，1），（﹣n，m）．【点睛】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．。
2020-2021学年广东省中考数学模拟试卷及答案解析
广东省中考数学模拟试卷一、选择题（每题3分，共30分）1．由几个大小相同的正方体组成的几何体如图所示，则它的俯视图为（）A．B．C．D．2．下列图形是中心对称图形的是（）A． B． C．D．3．将抛物线y=x2平移得到抛物线y=（x+2）2，则这个平移过程正确的是（）A．向左平移2个单位B．向右平移2个单位C．向上平移2个单位D．向下平移2个单位4．关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为（）A．B．C．D．5．如图，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上．若测得BE=20m，EC=10m，CD=20m，则河的宽度AB=（）A．60 m B．40 m C．30 m D．20 m6．在某次聚会上，每两人都握了一次手，所有人共握手10次，设有x人参加这次聚会，则列出方程正确的是（）A．x（x﹣1）=10 B．=10 C．x（x+1）=10 D．=107．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，连接OC交⊙O于点D，连接BD，∠C=40°．则∠ABD的度数是（）A．30°B．25°C．20°D．15°8．如图，圆锥体的高h=2cm，底面半径r=2cm，则圆锥体的全面积为（）cm2．A．4πB．8πC．12πD．（4+4）π9．如图，将含60°角的直角三角板ABC绕顶点A顺时针旋转45°度后得到△AB′C′，点B经过的路径为弧BB′，若∠BAC=60°，AC=1，则图中阴影部分的面积是（）A．B．C．D．π10．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论中正确的是（）A．c＞﹣1 B．b＞0 C．2a+b≠0 D．9a+c＞3b二、填空题（每题4分，共24分）11．计算：cos245°+tan30°•sin60°= ．12．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P在第一象限，⊙P与x轴交于O，A两点，点A的坐标为（6，0），⊙P的半径为，则点P的坐标为．13．如图，把一张三角形纸片ABC沿中位线DE剪开后，在平面上将△ADE绕着点E 顺时针旋转180°，点D运动到点F的位置，则S△ADE：S四边形DBCF是．14．如图，将长为8cm的铁丝尾相接围成半径为2cm的扇形，则S扇形= cm2．15．如图，边长为1的小正方形网格中，⊙O的圆心在格点上，则∠AED的余弦值是．16．如图，是一次函数y=kx+b与反比例函数y=的图象，则关于x的方程kx+b=的解为．三、解答题（每题6分，共18分）17．解方程：（2x+1）2=2x+1．18．如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△AOB的顶点均在格点上，点A、B 的坐标分别是A（3，2）、B（1，3）．△AOB绕点O逆时针旋转90°后得到△A1OB1．（1）画出旋转后的图形；（2）求A1旋转经过的路程．19．甲乙两名同学做摸牌游戏．他们在桌上放了一副扑克牌中的4张牌，牌面分别是J，Q，K，K．将牌面全部朝下．（1）若随机从中抽出一张牌，牌面是K的概率为（2）若从这4张牌中随机取1张牌记下结果放回，洗匀后再随机取1张牌，若两次取出的牌中都没有K，则甲获胜，否则乙获胜．你认为甲乙两人谁获胜的可能性大？用列表或画树状图的方法说明理由．四、解答题（每题7分，共21分）20．雅安地震牵动着全国人民的心，某单位开展了“一方有难，八方支援”赈灾捐款活动．第一天收到捐款10 000元，第三天收到捐款12 100元．（1）如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率；（2）按照（1）中收到捐款的增长率速度，第四天该单位能收到多少捐款？21．小明家所在居民楼的对面有一座大厦AB，AB=80米，为测量这座居民楼与大厦之间的距离，小明从自己家的窗户C处测得大厦顶部A的仰角为37°，大厦底部B 的俯角为48°．求小明家所在居民楼与大厦的距离CD的长度．（结果保留整数）（参考数据：）22．如图，AB是⊙O的直径，点E是上的一点，∠DBC=∠BED．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）已知AD=3，CD=2，求BC的长．五、解答题（每题9分，共27分）23．如图，等边△OAB和等边△AFE的一边都在x轴上，双曲线y=（k＞0）经过边OB的中点C和AE的中点D．已知等边△OAB的边长为4．（1）求该双曲线所表示的函数解析式；（2）求等边△AEF的边长．24．用如图（1）两个直角三角形BC=EF=3，∠B=45°，∠E=30°，拼接如图（2），使得BC和ED重合，在BC边上有一动点P．（1）在图（2），当点P运动到∠CFB的平分线上时，连接AP，求线段AP的长；（2）在图（2），当点P在运动的过程中出现PA=FC时，求∠PAB的度数（3）当点P运动到什么位置时，以A、P、F、Q为顶点的平行四边形的顶点Q恰好在边FC上？求出此时四边形APFQ的面积．25．如图，抛物线y=（x﹣3）2﹣1与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D．（1）求点A，B，D的坐标；（2）连接CD，过原点O作OE⊥CD，垂足为H，OE与抛物线的对称轴交于点E，连接AE，AD，求证：∠AEO=∠ADC；（3）以（2）中的点E为圆心，1为半径画圆，在对称轴右侧的抛物线上有一动点P，过点P作⊙E的切线，切点为Q，当PQ的长最小时，求点P的坐标，并直接写出点Q的坐标．参考答案与试题解析一、选择题（每题3分，共30分）1．由几个大小相同的正方体组成的几何体如图所示，则它的俯视图为（）A．B．C．D．【考点】简单组合体的三视图．【分析】根据俯视图是从上边看得到的图形，可得答案．【解答】解：从上边看第二层是三个小正方形，第一层左边一个小正方形，故选：A．2．下列图形是中心对称图形的是（）A． B． C．D．【考点】中心对称图形．【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【解答】解：A、不是中心对称图形，故本选项错误；B、不是中心对称图形，故本选项错误；C、不是中心对称图形，故本选项错误；D、是中心对称图形，故本选项正确．故选D．3．将抛物线y=x2平移得到抛物线y=（x+2）2，则这个平移过程正确的是（）A．向左平移2个单位B．向右平移2个单位C．向上平移2个单位D．向下平移2个单位【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】根据图象左移加，可得答案．【解答】解：将抛物线y=x2平移得到抛物线y=（x+2）2，则这个平移过程正确的是向左平移了2个单位，故选：A．4．关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为（）A．B．C．D．【考点】根的判别式．【分析】先根据判别式的意义得到△=（﹣3）2﹣4m＞0，然后解不等式即可．【解答】解：根据题意得△=（﹣3）2﹣4m＞0，解得m＜．故选：B．5．如图，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上．若测得BE=20m，EC=10m，CD=20m，则河的宽度AB=（）A．60 m B．40 m C．30 m D．20 m【考点】相似三角形的应用．【分析】求出△ABE和△DCE相似，根据相似三角形对应边成比例列式计算即可得解．【解答】解：∵AB⊥BC，CD⊥BC，∴∠ABE=∠DCE=90°，又∵∠AEB=∠DEC，∴△ABE∽△DCE，∴=，即=，解得AB=40m．故选B．6．在某次聚会上，每两人都握了一次手，所有人共握手10次，设有x人参加这次聚会，则列出方程正确的是（）A．x（x﹣1）=10 B．=10 C．x（x+1）=10 D．=10【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．【分析】如果有x人参加了聚会，则每个人需要握手（x﹣1）次，x人共需握手x（x ﹣1）次；而每两个人都握了一次手，因此要将重复计算的部分除去，即一共握手：次；已知“所有人共握手10次”，据此可列出关于x的方程．【解答】解：设x人参加这次聚会，则每个人需握手：x﹣1（次）；依题意，可列方程为：=10；故选B．7．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，连接OC交⊙O于点D，连接BD，∠C=40°．则∠ABD的度数是（）A．30°B．25°C．20°D．15°【考点】切线的性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质；等腰三角形的性质．【分析】根据切线的性质求出∠OAC，结合∠C=40°求出∠AOC，根据等腰三角形性质求出∠B=∠BDO，根据三角形外角性质求出即可．【解答】解：∵AC是⊙O的切线，∴∠OAC=90°，∵∠C=40°，∴∠AOC=50°，∵OB=OD，∴∠ABD=∠BDO，∵∠ABD+∠BDO=∠AOC，∴∠ABD=25°，故选：B．8．如图，圆锥体的高h=2cm，底面半径r=2cm，则圆锥体的全面积为（）cm2．A．4πB．8πC．12πD．（4+4）π【考点】圆锥的计算．【分析】表面积=底面积+侧面积=π×底面半径2+底面周长×母线长÷2．【解答】解：底面圆的半径为2，则底面周长=4π，∵底面半径为2cm、高为2cm，∴圆锥的母线长为4cm，∴侧面面积=×4π×4=8π；底面积为=4π，全面积为：8π+4π=12πcm2．故选：C．9．如图，将含60°角的直角三角板ABC绕顶点A顺时针旋转45°度后得到△AB′C′，点B经过的路径为弧BB′，若∠BAC=60°，AC=1，则图中阴影部分的面积是（）A．B．C．D．π【考点】扇形面积的计算；旋转的性质．【分析】图中S阴影=S扇形ABB′+S△AB′C′﹣S△ABC．【解答】解：如图，∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，AC=1，∴BC=ACtan60°=1×=，AB=2∴S△ABC=AC•BC=．根据旋转的性质知△ABC≌△AB′C′，则S△ABC=S△AB′C′，AB=AB′．∴S阴影=S扇形ABB′+S△AB′C′﹣S△ABC==．故选：A．10．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论中正确的是（）A．c＞﹣1 B．b＞0 C．2a+b≠0 D．9a+c＞3b【考点】二次函数图象与系数的关系．【分析】由抛物线与y轴的交点在点（0，﹣1）的下方得到c＜﹣1；由抛物线开口方向得a＞0，再由抛物线的对称轴在y轴的右侧得a、b异号，即b＜0；根据抛物线的对称性得到抛物线对称轴为直线x=﹣，若x=1，则2a+b=0，故可能成立；由于当x=﹣3时，y＞0，所以9a﹣3b+c＞0，即9a+c＞3b．【解答】解：∵抛物线与y轴的交点在点（0，﹣1）的下方．∴c＜﹣1；故A错误；∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，∴x=﹣＞0，∴b＜0；故B错误；∵抛物线对称轴为直线x=﹣，∴若x=1，即2a+b=0；故C错误；∵当x=﹣3时，y＞0，∴9a﹣3b+c＞0，即9a+c＞3b．故选：D．二、填空题（每题4分，共24分）11．计算：cos245°+tan30°•sin60°= 1 ．【考点】特殊角的三角函数值．【分析】将cos45°=，tan30°=，sin60°=代入即可得出答案．【解答】解：cos245°+tan30°•sin60°=+×==1．故答案为：1．12．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P在第一象限，⊙P与x轴交于O，A两点，点A的坐标为（6，0），⊙P的半径为，则点P的坐标为（3，2）．【考点】垂径定理；坐标与图形性质；勾股定理．【分析】过点P作PD⊥x轴于点D，连接OP，先由垂径定理求出OD的长，再根据勾股定理求出PD的长，故可得出答案．【解答】解：过点P作PD⊥x轴于点D，连接OP，∵A（6，0），PD⊥OA，∴OD=OA=3，在Rt△OPD中，∵OP=，OD=3，∴PD===2，∴P（3，2）．故答案为：（3，2）．13．如图，把一张三角形纸片ABC沿中位线DE剪开后，在平面上将△ADE绕着点E 顺时针旋转180°，点D运动到点F的位置，则S△ADE：S四边形DBCF是1：4 ．【考点】相似三角形的判定与性质；三角形中位线定理；旋转的性质．【分析】由题意可知DE∥BC，所以△ADE∽△ABC，利用相似三角形的性质可得到S△ADE：S▱BCED=1：3，又因为S△ADE=S△CEF，进而可得到S△ADE：S▱DBCF的比值．【解答】解：∵DE是△ABC中位线，∴DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴AD：AB=DE：BC=1：2，∴S△ADE=：S△ABC=1：4，∴S△ADE：S▱BCED=1：3，∵将△ADE绕着点E顺时针旋转180°得到△CEF，∴△ADE≌△CEF，∴S△ADE=S△CEF，∴S△ADE：S▱DBCF=1：4，故答案为：1：4．14．如图，将长为8cm的铁丝尾相接围成半径为2cm的扇形，则S扇形= 4 cm2．【考点】扇形面积的计算．【分析】根据扇形的面积公式S扇形=×弧长×半径，求出面积即可．【解答】解：由题可知，弧长=8﹣2×2=4cm，∴扇形的面积=×4×2=4cm2，故答案为：4．15．如图，边长为1的小正方形网格中，⊙O的圆心在格点上，则∠AED的余弦值是．【考点】圆周角定理；勾股定理；锐角三角函数的定义．【分析】根据同弧所对的圆周角相等得到∠ABC=∠AED，在直角三角形ABC中，利用锐角三角函数定义求出cos∠ABC的值，即为cos∠AED的值．【解答】解：∵∠AED与∠ABC都对，∴∠AED=∠ABC，在Rt△ABC中，AB=2，AC=1，根据勾股定理得：BC=，则cos∠AED=cos∠ABC==．故答案为：16．如图，是一次函数y=kx+b与反比例函数y=的图象，则关于x的方程kx+b=的解为1或﹣2 ．【考点】反比例函数的图象；一次函数的图象．【分析】根据一次函数y=kx+b与反比例函数y=的图象交于点（1，2），（﹣2，﹣1），求出k，b的值，代入方程kx+b=，求得方程的解．【解答】解：一次函数y=kx+b与反比例函数y=的图象交于点（1，2），（﹣2，﹣1），则一次函数y=kx+b过点（1，2），又过点（﹣2，﹣1），故k=1，b=1，即y=x+1．关于x的方程kx+b=可化为x+1=，它的解为1或﹣2．故答案为：1或﹣2．三、解答题（每题6分，共18分）17．解方程：（2x+1）2=2x+1．【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．【分析】因式分解法求解可得．【解答】解：∵（2x+1）2﹣（2x+1）=0，∴（2x+1）（2x+1﹣1）=0，即2x（2x+1）=0，则x=0或2x+1=0，解得：x=0或x=﹣．18．如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△AOB的顶点均在格点上，点A、B 的坐标分别是A（3，2）、B（1，3）．△AOB绕点O逆时针旋转90°后得到△A1OB1．（1）画出旋转后的图形；（2）求A1旋转经过的路程．【考点】作图﹣旋转变换．【分析】（1）利用网格特点和旋转的性质画出A、B的对应点A1、B1，从而得到△OA1B1；（2）由于点A所走过的路线是以点O为圆心，OA为半径，圆心角为90°所对的弧，然后根据弧长公式求解．【解答】解：（1）如图，△A1OB1为所作；（2）OA==，所以A1旋转经过的路程长==π．19．甲乙两名同学做摸牌游戏．他们在桌上放了一副扑克牌中的4张牌，牌面分别是J，Q，K，K．将牌面全部朝下．（1）若随机从中抽出一张牌，牌面是K的概率为（2）若从这4张牌中随机取1张牌记下结果放回，洗匀后再随机取1张牌，若两次取出的牌中都没有K，则甲获胜，否则乙获胜．你认为甲乙两人谁获胜的可能性大？用列表或画树状图的方法说明理由．【考点】列表法与树状图法．【分析】（1）随机从中抽出一张牌，一共有四种可能，牌面是K的有两种可能，由此可知随机从中抽出一张牌牌面是K的概率=．（2）分别求出甲获胜与乙获胜的概率，进行比较，即可得出结论．【解答】解：（1）∵随机从中抽出一张牌，一共有四种可能，牌面是K的有两种可能，∴随机从中抽出一张牌，牌面是K的概率==．故答案为（2）乙获胜的可能性大．理由如下，进行一次游戏所有可能出现的结果如下表：从上表可以看出，一次游戏可能出现的结果共有16种，而且每种结果出现的可能性相等，其中两次取出的牌中都没有K的有（J，J），（J，Q），（Q，J），（Q，Q）等4种结果．∵P（两次取出的牌中都没有K）=．∴P（甲获胜）=，P（乙获胜）=．∵＜，∴乙获胜的可能性大．四、解答题（每题7分，共21分）20．雅安地震牵动着全国人民的心，某单位开展了“一方有难，八方支援”赈灾捐款活动．第一天收到捐款10 000元，第三天收到捐款12 100元．（1）如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率；（2）按照（1）中收到捐款的增长率速度，第四天该单位能收到多少捐款？【考点】一元二次方程的应用．【分析】（1）解答此题利用的数量关系是：第一天收到捐款钱数×（1+每次增长的百分率）2=第三天收到捐款钱数，设出未知数，列方程解答即可；（2）第三天收到捐款钱数×（1+每次增长的百分率）=第四天收到捐款钱数，依此列式子解答即可．【解答】解：（1）设捐款增长率为x，根据题意列方程得，10000×（1+x）2=12100，解得x1=0.1，x2=﹣2.1（不合题意，舍去）；答：捐款增长率为10%．（2）12100×（1+10%）=13310元．答：第四天该单位能收到13310元捐款．21．小明家所在居民楼的对面有一座大厦AB，AB=80米，为测量这座居民楼与大厦之间的距离，小明从自己家的窗户C处测得大厦顶部A的仰角为37°，大厦底部B 的俯角为48°．求小明家所在居民楼与大厦的距离CD的长度．（结果保留整数）（参考数据：）【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．【分析】利用所给角的三角函数用CD表示出AD、BD；根据AB=AD+BD=80米，即可求得居民楼与大厦的距离．【解答】解：设CD=x米．在Rt△ACD中，，则，∴；在Rt△BCD中，tan48°=，则，∴．∵AD+BD=AB，∴，解得：x≈43．答：小明家所在居民楼与大厦的距离CD大约是43米．22．如图，AB是⊙O的直径，点E是上的一点，∠DBC=∠BED．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）已知AD=3，CD=2，求BC的长．【考点】切线的判定；相似三角形的判定与性质．【分析】（1）AB是⊙O的直径，得∠ADB=90°，从而得出∠BAD=∠DBC，即∠ABC=90°，即可证明BC是⊙O的切线；（2）可证明△ABC∽△BDC，则=，即可得出BC=．【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的切直径，∴∠ADB=90°，又∵∠BAD=∠BED，∠BED=∠DBC，∴∠BAD=∠DBC，∴∠BAD+∠ABD=∠DBC+∠ABD=90°，∴∠ABC=90°，∴BC是⊙O的切线；（2）解：∵∠BAD=∠DBC，∠C=∠C，∴△ABC∽△BDC，∴=，即BC2=AC•CD=（AD+CD）•CD=10，∴BC=．五、解答题（每题9分，共27分）23．如图，等边△OAB和等边△AFE的一边都在x轴上，双曲线y=（k＞0）经过边OB的中点C和AE的中点D．已知等边△OAB的边长为4．（1）求该双曲线所表示的函数解析式；（2）求等边△AEF的边长．【考点】反比例函数综合题．【分析】（1）过点C作CG⊥OA于点G，根据等边三角形的性质求出OG、CG的长度，从而得到点C的坐标，再利用待定系数法求反比例函数解析式列式计算即可得解；（2）过点D作DH⊥AF于点H，设AH=a，根据等边三角形的性质表示出DH的长度，然后表示出点D的坐标，再把点D的坐标代入反比例函数解析式，解方程得到a的值，从而得解．【解答】解：（1）过点C作CG⊥OA于点G，∵点C是等边△OAB的边OB的中点，∴OC=2，∠AOB=60°，∴OG=1，CG=OG•tan60°=1•=，∴点C的坐标是（1，），由=，得：k=，∴该双曲线所表示的函数解析式为y=；（2）过点D作DH⊥AF于点H，设AH=a，则DH=a．∴点D的坐标为（4+a，），∵点D是双曲线y=上的点，由xy=，得（4+a）=，即：a2+4a﹣1=0，解得：a1=﹣2，a2=﹣﹣2（舍去），∴AD=2AH=2﹣4，∴等边△AEF的边长是2AD=4﹣8．24．用如图（1）两个直角三角形BC=EF=3，∠B=45°，∠E=30°，拼接如图（2），使得BC和ED重合，在BC边上有一动点P．（1）在图（2），当点P运动到∠CFB的平分线上时，连接AP，求线段AP的长；（2）在图（2），当点P在运动的过程中出现PA=FC时，求∠PAB的度数（3）当点P运动到什么位置时，以A、P、F、Q为顶点的平行四边形的顶点Q恰好在边FC上？求出此时四边形APFQ的面积．【考点】四边形综合题．【分析】（1）如答图1所示，过点A作AG⊥BC于点G，构造Rt△APG，利用勾股定理求出AP的长度；（2）如答图2所示，符合条件的点P有两个．解直角三角形，利用特殊角的三角函数值求出角的度数；（3）先判断出AP∥FQ，进而得出AP⊥BC，即可求出AP=BP=CP=，最后用四边形的面积公式即可得出结论．【解答】解：（1）依题意画出图形，如答图1所示：由题意，得∠CFB=60°，FP为角平分线，则∠CFP=30°，∴CF=BC•tan30°=3×=，∴CP=CF•tan∠CFP==1．过点A作AG⊥BC于点G，则AG=BC=，∴PG=CG﹣CP=﹣1=．在Rt△APG中，由勾股定理得：AP==．（2）由（1）可知，FC=．如答图2所示，以点A为圆心，以FC=长为半径画弧，与BC交于点P1、P2，则AP1=AP2=．过点A过AG⊥BC于点G，则AG=BC=．在Rt△AGP1中，cos∠P1AG==；∴∠P1AG=30°，∴∠P1AB=45°﹣30°=15°；同理求得，∠P2AG=30°，∠P2AB=45°+30°=75°．∴∠PAB的度数为15°或75°．（3）如答图3，∵以A、P、F、Q为顶点的平行四边形的顶点Q恰好在边FC上，∴AP∥QF，∴∠APC=∠BCF，∵∠BCF=90°，∴∠APC=90°，在R△ABC中，∠ABC=45°，BC=3，∴AC=AB=，∴AP=BP=CP=BC=，∴S平行四边形APFQ=AP×PC=×=，即：点P运动到BC中点的位置时，以A、P、F、Q为顶点的平行四边形的顶点Q恰好在边FC上，且面积是．25．如图，抛物线y=（x﹣3）2﹣1与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D．（1）求点A，B，D的坐标；（2）连接CD，过原点O作OE⊥CD，垂足为H，OE与抛物线的对称轴交于点E，连接AE，AD，求证：∠AEO=∠ADC；（3）以（2）中的点E为圆心，1为半径画圆，在对称轴右侧的抛物线上有一动点P，过点P作⊙E的切线，切点为Q，当PQ的长最小时，求点P的坐标，并直接写出点Q的坐标．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）根据二次函数性质，求出点A、B、D的坐标；（2）如何证明∠AEO=∠ADC？如答图1所示，我们观察到在△EFH与△ADF中：∠EHF=90°，有一对对顶角相等；因此只需证明∠EAD=90°即可，即△ADE为直角三角形，由此我们联想到勾股定理的逆定理．分别求出△ADE三边的长度，再利用勾股定理的逆定理证明它是直角三角形，由此问题解决；（3）依题意画出图形，如答图2所示．由⊙E的半径为1，根据切线性质及勾股定理，得PQ2=EP2﹣1，要使切线长PQ最小，只需EP长最小，即EP2最小．利用二次函数性质求出EP2最小时点P的坐标，并进而求出点Q的坐标．【解答】方法一：（1）解：顶点D的坐标为（3，﹣1）．令y=0，得（x﹣3）2﹣1=0，解得：x1=3+，x2=3﹣，∵点A在点B的左侧，∴A（3﹣，0），B（3+，0）．（2）证明：如答图1，过顶点D作DG⊥y轴于点G，则G（0，﹣1），GD=3．令x=0，得y=，∴C（0，）．∴CG=OC+OG=+1=，∴tan∠DCG=．设对称轴交x轴于点M，则OM=3，DM=1，AM=3﹣（3﹣）=．由OE⊥CD，易知∠EOM=∠DCG．∴tan∠EOM=tan∠DCG==，解得EM=2，∴DE=EM+DM=3．在Rt△AEM中，AM=，EM=2，由勾股定理得：AE=；在Rt△ADM中，AM=，DM=1，由勾股定理得：AD=．∵AE2+AD2=6+3=9=DE2，∴△ADE为直角三角形，∠EAD=90°．设AE交CD于点F，∵∠AEO+∠EFH=90°，∠ADC+AFD=90°，∠EFH=∠AFD（对顶角相等），∴∠AEO=∠ADC．（3）解：依题意画出图形，如答图2所示：由⊙E的半径为1，根据切线性质及勾股定理，得PQ2=EP2﹣1，要使切线长PQ最小，只需EP长最小，即EP2最小．设点P坐标为（x，y），由勾股定理得：EP2=（x﹣3）2+（y﹣2）2．∵y=（x﹣3）2﹣1，∴（x﹣3）2=2y+2．∴EP2=2y+2+（y﹣2）2=（y﹣1）2+5当y=1时，EP2有最小值，最小值为5．将y=1代入y=（x﹣3）2﹣1，得（x﹣3）2﹣1=1，解得：x1=1，x2=5．又∵点P在对称轴右侧的抛物线上，∴x1=1舍去．∴P（5，1）．∵△EQ2P为直角三角形，∴过点Q2作x轴的平行线，再分别过点E，P向其作垂线，垂足分别为M点和N点．由切割线定理得到Q2P=Q1P=2，EQ2=1设点Q2的坐标为（m，n）则在Rt△MQ2E和Rt△Q2NP中建立勾股方程，即（m﹣3）2+（n﹣2）2=1①，（5﹣m）2+（n﹣1）2=4②①﹣②得n=2m﹣5③将③代入到①得到m1=3（舍，为Q1）m2=再将m=代入③得n=，∴Q2（，）此时点Q坐标为（3，1）或（，）．方法二：（1）略．（2）∵C（0，），D（3，﹣1），∴KCD=，∵OE⊥CD，∴K CD×K OE=﹣1，∴K OE=，∴l OE：y=x，把x=3代入，得y=2，∴E（3，2），∵A（3﹣，0），D（3，﹣1），∴K EA==，∵K AD=，∴K EA×K AD=﹣1，∴EA⊥AD，∠EHD=∠EAD，∵∠EFH=∠AFD，∴∠AEO=∠ADC．（3）由⊙E的半径为1，得PQ2=EP2﹣1，要使切线长PQ最小，只需EP长最小，即EP2最小，设点P坐标为（x，y），EP2=（x﹣3）2+（y﹣2）2，∵y=（x﹣3）2﹣1，∴（x﹣3）2=2y+2，∴EP2=2y+2+（y﹣2）2=（y﹣1）2+5，∴当y=1时，EP2有最小值，将y=1代入y=（x﹣3）2﹣1得：x1=1，x2=5，又∵点P在对称轴右侧的抛物线上，∴x1=1舍去，∴P（5，1），显然Q1（3，1），∵Q1Q2被EP垂直平分，垂足为H，∴K Q1Q2×K EP=﹣1，∴K EP==﹣，K Q1Q2=2，∵Q1（3，1），∴l Q1Q2：y=2x﹣5，∵l EP：y=﹣x+，∴x=，y=，∴H（，），∵H为Q1Q2的中点，∴H x=，H Y=，∴Q2（x）=2×﹣3=，Q2（Y）=2×﹣1=，∴Q2（，）．。
2021年广东省深圳市中考数学模拟试卷(一) 解析版
2021年广东省深圳市中考数学模拟试卷（一）一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．2的相反数是（）A．﹣B．C．2D．﹣22．据统计，深圳户籍人口约为3700000人，将3700000用科学记数法表示为（）A．37×105B．3.7×105C．3.7×106D．0.37×1073．计算m6÷m2的结果是（）A．m3B．m4C．m8D．m124．下列几何体中，从左面看到的图形是圆的是（）A．B．C．D．5．如图，在△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是（﹣1，0）．以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A'B'C，使得△A'B'C的边长是△ABC的边长的2倍．设点B的横坐标是﹣3，则点B'的横坐标是（）A．2B．3C．4D．56．下列说法正确的是（）A．若点C是线段AB的黄金分割点，AB＝2，则AC＝﹣1B．平面内，经过矩形对角线交点的直线，一定能平分它的面积C．两个正六边形一定位似D．菱形的两条对角线互相垂直且相等7．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，点A与点E关于直线CD对称．若AB＝7，AC＝9，BC＝12，则△DBE的周长为（）A．9B．10C．11D．128．如图，AB是⊙O的弦，点C是优弧AB上的动点（C不与A、B重合），CH⊥AB，垂足为H，点M是BC的中点．若⊙O的半径是3，则MH长的最大值是（）A．3B．4C．5D．69．如图，等腰直角三角形ABC以1cm/s的速度沿直线l向右移动，直到AB与EF重合时停止．设xs时，三角形与正方形重叠部分的面积为ycm2，则下列各图中，能大致表示出y 与x之间的函数关系的是（）A．B．C．D．10．如图，在矩形ABCD中，AB＝12，P是边AB上一点，把△PBC沿直线PC折叠，得到△PGC，边CG交AD于点E，连接BE，∠BEC＝90°，BE交PC于点F，那么下列选项正确的有（）①BP＝BF；②若点E是AD的中点，则△AEB≌△DEC；③当AD＝25，且AE＜DE时，则DE＝16；④当AD＝25，可得sin∠PCB＝；⑤当BP＝9时，BE•EF＝108．A．5个B．4个C．3个D．2个二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）11．若+|tan B﹣|＝0，那么△ABC的形状是．12．已知二次函数y＝2x2+bx+4顶点在x轴上，则b＝．13．如图，在矩形ABCD中，已知AB＝4，BC＝3，矩形在直线上绕其右下角的顶点B向右旋转90°至图①位置，再绕右下角的顶点继续向右旋转90°至图②位置，…，以此类推，这样连续旋转2021次后，顶点A在整个旋转过程中所经过的路程之和是．14．如图，已知，在矩形AOBC中，OB＝4，OA＝3，分别以OB、OA所在直线为x轴和y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，F是边BC上的一个动点（不与B、C重合），过F 点的反比例函数y＝（k＞0）的图象与AC边交于点E，将△CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB上的点D处，则k的值为．15．如图，在△ABC中，∠B＝45°，AB＝6，D、E分别是AB、AC的中点，连接DE，在直线DE和直线BC上分别取点F、G，连接BF、DG．若BF＝3DG，且直线BF与直线DG互相垂直，则BG的长为．三、解答题：（本大题共7小题，其中第16题5分，第17题6分，第18题8分，第19题8分，第20题8分，第21题10分，第22题10分，共55分）16．（5分）计算：|1﹣|﹣（）﹣1+（2020﹣π）0﹣2cos45°．17．（6分）先化简，再求值：÷（2+），其中a＝2．18．（8分）深圳某中学为了解九年级学生的体能状况，从九年级学生中随机抽取部分学生进行体能测试，测试结果分为A，B，C，D四个等级．请根据两幅统计图中的信息回答下列问题：（1）本次抽样调查共抽取了名学生．（2）求测试结果为C等级的学生数，并补全条形图；（3）若该中学九年级共有700名学生，请你估计该中学九年级学生中体能测试结果为D 等级的学生有多少名？（4）若从体能为A等级的2名男生2名女生中随机的抽取2名学生，做为该校培养运动员的重点对象，请用列表法或画树状图的方法求所抽取的两人恰好都是男生的概率．19．（8分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，弦AE交BC于点D，且．（1）求证：AB＝AC；（2）连接BO并延长交AC于点F，若AF＝4，CF＝5，求⊙O的半径．20．（8分）在2020年新冠肺炎抗疫期间，小明决定在淘宝上销售一批口罩．经市场调研：某类型口罩进价每袋为20元，当售价为每袋25元时，销售量为250袋，若销售单价每提高1元，销售量就会减少10袋．（1）直接写出小明销售该类型口罩销售量y（袋）与销售单价x（元）之间的函数关系式；每天所得销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式．（2）若小明想每天获得该类型口罩的销售利润2000元时，则销售单价应定为多少元？（3）若每天销售量不少于100袋，且每袋口罩的销售利润至少为17元，则销售单价定位多少元时，此时利润最大，最大利润是多少？21．（10分）如图1，点B在线段CE上，Rt△ABC≌Rt△CEF，∠ABC＝∠CEF＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1．（1）求点F到直线CA的距离；（2）固定△ABC，将△CEF绕点C按顺时针方向旋转30°，使得CF与CA重合，并停止旋转．①请你在图1中用直尺和圆规画出线段EF经旋转运动所形成的平面图形（用阴影表示，保留画图痕迹，不要求写画法）并求出该图形的面积；②如图2，在旋转过程中，线段CF与AB交于点O，当OE＝OB时，求OF的长．22．（10分）如图，抛物线y＝ax2+x+c（a≠0）与x轴相交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴相交于点C（0，3），作直线BC．（1）求抛物线的解析式；（2）在直线BC上方的抛物线上存在点D，使∠DCB＝2∠ABC，求点D的坐标；（3）在（2）的条件下，点F的坐标为（0，），点M在抛物线上，点N在直线BC上．当以D，F，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点N的坐标．2021年广东省深圳市中考数学模拟试卷（一）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．2的相反数是（）A．﹣B．C．2D．﹣2【分析】根据相反数的概念作答即可．【解答】解：根据相反数的定义可知：2的相反数是﹣2．故选：D．2．据统计，深圳户籍人口约为3700000人，将3700000用科学记数法表示为（）A．37×105B．3.7×105C．3.7×106D．0.37×107【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值是易错点，由于3700000人有7位，所以可以确定n＝7﹣1＝6．【解答】解：3700000＝3.7×106，故选：C．3．计算m6÷m2的结果是（）A．m3B．m4C．m8D．m12【分析】利用同底数幂的除法运算法则计算得出答案．【解答】解：m6÷m2＝m6﹣2＝m4．故选：B．4．下列几何体中，从左面看到的图形是圆的是（）A．B．C．D．【分析】分别得出各个几何体的左视图，进行判断即可．【解答】解：选项A中的几何体的左视图为三角形，因此不符合题意；选项B中的几何体其左视图为等腰三角形，因此选项B不符合题意；选项C中的几何体的左视图是长方形，因此选项C不符合题意；选项D中的几何体，其左视图为圆，因此选项D符合题意，故选：D．5．如图，在△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是（﹣1，0）．以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A'B'C，使得△A'B'C的边长是△ABC的边长的2倍．设点B的横坐标是﹣3，则点B'的横坐标是（）A．2B．3C．4D．5【分析】作BD⊥x轴于D，B′E⊥x轴于E，根据位似图形的性质得到B′C＝2BC，根据相似三角形的性质定理计算即可．【解答】解：作BD⊥x轴于D，B′E⊥x轴于E，则BD∥B′E，由题意得CD＝2，B′C＝2BC，∵BD∥B′E，∴△BDC∽△B′EC，∴＝，即＝，解得，CE＝4，则OE＝CE﹣OC＝3，∴点B'的横坐标是3，故选：B．6．下列说法正确的是（）A．若点C是线段AB的黄金分割点，AB＝2，则AC＝﹣1B．平面内，经过矩形对角线交点的直线，一定能平分它的面积C．两个正六边形一定位似D．菱形的两条对角线互相垂直且相等【分析】根据黄金分割、中心对称图形、位似变换、菱形的性质判断即可．【解答】解：A、若点C是线段AB的黄金分割点，AB＝2，当AC＞BC时，AC＝﹣1，当AC＜BC时，AC＝3﹣，本选项说法错误；B、平面内，经过矩形对角线交点的直线，一定能平分它的面积，本选项说法正确；C、两个正六边形不一定位似，本选项说法错误；D、菱形的两条对角线互相垂直，但不一定相等，本选项说法错误；故选：B．7．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，点A与点E关于直线CD对称．若AB＝7，AC＝9，BC＝12，则△DBE的周长为（）A．9B．10C．11D．12【分析】根据轴对称的性质得到：AD＝DE，AC＝CE，结合已知条件和三角形周长公式解答．【解答】解：∵点A与点E关于直线CD对称，∴AD＝DE，AC＝CE＝9，∵AB＝7，AC＝9，BC＝12，∴△DBE的周长＝BD+DE+BE＝BD+AD+BC﹣AC＝AB+BC﹣AC＝7+12﹣9＝10．故选：B．8．如图，AB是⊙O的弦，点C是优弧AB上的动点（C不与A、B重合），CH⊥AB，垂足为H，点M是BC的中点．若⊙O的半径是3，则MH长的最大值是（）A．3B．4C．5D．6【分析】根据直角三角形斜边中线的性质以及直径是圆中最大的弦，即可求得MH的最大值是3．【解答】解：∵CH⊥AB，垂足为H，∴∠CHB＝90°，∵点M是BC的中点．∴MH＝BC，∵BC的最大值是直径的长，⊙O的半径是3，∴MH的最大值为3，故选：A．9．如图，等腰直角三角形ABC以1cm/s的速度沿直线l向右移动，直到AB与EF重合时停止．设xs时，三角形与正方形重叠部分的面积为ycm2，则下列各图中，能大致表示出y 与x之间的函数关系的是（）A．B．C．D．【分析】分别求出x≤2时与2≤x≤4时的函数解析式，然后根据相应的函数图象找出符合条件的选项即可．【解答】解：如图1，当x≤2时，重叠部分为三角形，面积y＝•x•x＝x2，如图2，当2≤x≤4时，重叠部分为梯形，面积y＝×2×2﹣×（x﹣2）2＝﹣（x ﹣2）2+4，所以，图象为两段二次函数图象，纵观各选项，只有A选项符合．故选：A．10．如图，在矩形ABCD中，AB＝12，P是边AB上一点，把△PBC沿直线PC折叠，得到△PGC，边CG交AD于点E，连接BE，∠BEC＝90°，BE交PC于点F，那么下列选项正确的有（）①BP＝BF；②若点E是AD的中点，则△AEB≌△DEC；③当AD＝25，且AE＜DE时，则DE＝16；④当AD＝25，可得sin∠PCB＝；⑤当BP＝9时，BE•EF＝108．A．5个B．4个C．3个D．2个【分析】①利用折叠的性质，得出∠PGC＝∠PBC＝90°，∠BPC＝∠GPC，进而判断出∠GPF＝∠PFB即可得出结论；②先判断出∠A＝∠D＝90°，AB＝DC再判断出AE＝DE，即可得出结论；③判断出△ABE∽△DEC，得出比例式建立方程求解即可得出AE＝9，DE＝16；④再判断出△ECF∽△GCP，进而求出PC，即可得出结论；⑤判断出四边形BPGF是菱形，即可得出结论．【解答】解：①在矩形ABCD，∠ABC＝90°，∵△BPC沿PC折叠得到△GPC，∴∠PGC＝∠PBC＝90°，∠BPC＝∠GPC，∵BE⊥CG，∴BE∥PG，∴∠GPF＝∠PFB，∴∠BPF＝∠BFP，∴BP＝BF；故①正确；②在矩形ABCD中，∠A＝∠D＝90°，AB＝DC，∵E是AD中点，∴AE＝DE，在△ABE和△DCE中，，∴△ABE≌△DCE（SAS）；故②正确；③当AD＝25时，∵∠BEC＝90°，∴∠AEB+∠CED＝90°，∵∠AEB+∠ABE＝90°，∴∠CED＝∠ABE，∵∠A＝∠D＝90°，∴△ABE∽△DEC，∴，设AE＝x，∴DE＝25﹣x，∴，∴x＝9或x＝16，∵AE＜DE，∴AE＝9，DE＝16；故③正确；④由③知：CE＝＝＝20，BE＝＝＝15，由折叠得，BP＝PG，∴BP＝BF＝PG，∵BE∥PG，∴△ECF∽△GCP，∴，设BP＝BF＝PG＝y，∴，∴y＝∴BP＝，在Rt△PBC中，PC＝＝＝，∴sin∠PCB＝＝，故④不正确；⑤如图，连接FG，由①知BF∥PG，∵BF＝PG＝PB，∴▱BPGF是菱形，∴BP∥GF，FG＝PB＝9，∴∠GFE＝∠ABE，∴△GEF∽△EAB，∴，∴BE•EF＝AB•GF＝12×9＝108；故⑤正确，所以本题正确的有①②③⑤，共4个，故选：B．二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）11．若+|tan B﹣|＝0，那么△ABC的形状是锐角三角形．【分析】利用特殊角的三角函数值可得∠A和∠B的度数，进而可得答案．【解答】解：由题意得：cos2A﹣＝0，tan B﹣＝0，则∠A＝45°，∠B＝60°，∴∠C＝180°﹣60°﹣45°＝75°，∴△ABC的形状是锐角三角形．故答案为：锐角三角形．12．已知二次函数y＝2x2+bx+4顶点在x轴上，则b＝±4．【分析】根据二次函数y＝2x2+bx+4顶点在x轴上，可知顶点的坐标为0，即可得到＝0，从而可以得到b的值．【解答】解：∵二次函数y＝2x2+bx+4顶点在x轴上，∴＝0，解得b＝，故答案为：±4．13．如图，在矩形ABCD中，已知AB＝4，BC＝3，矩形在直线上绕其右下角的顶点B向右旋转90°至图①位置，再绕右下角的顶点继续向右旋转90°至图②位置，…，以此类推，这样连续旋转2021次后，顶点A在整个旋转过程中所经过的路程之和是3032π．【分析】矩形旋转一次，顶点A所经过的路径是以右下角的顶点为圆心，这个顶点到A 的距离为半径的圆周长的，每转4次又回到开始位置，即可得出答案．【解答】解：旋转1次，A旋转到左上角，A经过的路径为：2π•4×＝2π，旋转2次，A旋转到右上角，A经过的路径为：2π+2π•5×＝π，旋转3次，A旋转到右下角，A经过的路径为：π+2π•3×＝6π，旋转4次，A旋转到左下角，A经过的路径为：6π+2π•0×＝6π，即旋转4次，A又回到左下角，故每旋转4次，A经过的路径为6π，而2021＝4×505+1，∴连续旋转2021次后，顶点A在整个旋转过程中所经过的路程之和是6π×505+2π＝3032π，故答案为：3032π．14．如图，已知，在矩形AOBC中，OB＝4，OA＝3，分别以OB、OA所在直线为x轴和y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，F是边BC上的一个动点（不与B、C重合），过F 点的反比例函数y＝（k＞0）的图象与AC边交于点E，将△CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB上的点D处，则k的值为．【分析】证明Rt△MED∽Rt△BDF，则＝＝，而EM：DB＝ED：DF＝4：3，求出DB，在Rt△DBF中，利用勾股定理即可求解．【解答】解：如图，过点E作EM⊥x轴于点M，∵将△CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB上的D点处，∴∠EDF＝∠C＝90°，EC＝ED，CF＝DF，∴∠MDE+∠FDB＝90°，而EM⊥OB，∴∠MDE+∠MED＝90°，∴∠MED＝∠FDB，∴Rt△MED∽Rt△BDF；又∵EC＝AC﹣AE＝4﹣，CF＝BC﹣BF＝3﹣，∴ED＝4﹣，DF＝3﹣，∴＝＝；∵EM：DB＝ED：DF＝4：3，而EM＝3，∴DB＝，在Rt△DBF中，DF2＝DB2+BF2，即（3﹣）2＝（）2+（）2，解得k＝，故答案为．15．如图，在△ABC中，∠B＝45°，AB＝6，D、E分别是AB、AC的中点，连接DE，在直线DE和直线BC上分别取点F、G，连接BF、DG．若BF＝3DG，且直线BF与直线DG互相垂直，则BG的长为4或2．【分析】如图，过点B作BT⊥BF交ED的延长线于T，过点B作BH⊥DT于H，证明四边形DGBT是平行四边形，求出DH，TH即可解决问题．【解答】解：如图，过点B作BT⊥BF交ED的延长线于T，过点B作BH⊥DT于H．∵DG⊥BF，BT⊥BF，∴DG∥BT，∵AD＝DB，AE＝EC，∴DE∥BC，∴四边形DGBT是平行四边形，∴BG＝DT，DG＝BT，∠BDH＝∠ABC＝45°，∵AD＝DB＝3，∴BH＝DH＝3，∵∠TBF＝∠BHF＝90°，∴∠TBH+∠FBH＝90°，∠FBH+∠F＝90°，∴∠TBH＝∠F，∴tan∠F＝tan∠TBH＝＝＝，∴＝，∴TH＝1，∴DT＝TH+DH＝1+3＝4，∴BG＝4．当点F在ED的延长线上时，同法可得DT＝BG＝3﹣1＝2．故答案为4或2．三、解答题：（本大题共7小题，其中第16题5分，第17题6分，第18题8分，第19题8分，第20题8分，第21题10分，第22题10分，共55分）16．（5分）计算：|1﹣|﹣（）﹣1+（2020﹣π）0﹣2cos45°．【分析】直接利用绝对值的性质以及负整数指数幂的性质、零指数幂的性质、特殊角的三角函数值分别化简得出答案．【解答】解：原式＝﹣1﹣3+1﹣2×＝﹣1﹣3+1﹣＝﹣3．17．（6分）先化简，再求值：÷（2+），其中a＝2．【分析】先将分式进行化简，然后代入值即可求解．【解答】解：原式＝÷＝÷＝•＝，当a＝2时，原式＝＝1．18．（8分）深圳某中学为了解九年级学生的体能状况，从九年级学生中随机抽取部分学生进行体能测试，测试结果分为A，B，C，D四个等级．请根据两幅统计图中的信息回答下列问题：（1）本次抽样调查共抽取了50名学生．（2）求测试结果为C等级的学生数，并补全条形图；（3）若该中学九年级共有700名学生，请你估计该中学九年级学生中体能测试结果为D 等级的学生有多少名？（4）若从体能为A等级的2名男生2名女生中随机的抽取2名学生，做为该校培养运动员的重点对象，请用列表法或画树状图的方法求所抽取的两人恰好都是男生的概率．【分析】（1）根据A等级的人数和所占的百分比即可求出抽样调查的总人数；（2）用总数减去A、B、D中的人数，即可求出C等级的人数，画出条形图即可；（3）用九年级共有的学生数乘以D等级所占的比例，即可得出答案；（4）画树状图，再由概率公式求解即可．【解答】解：（1）10÷20%＝50（名），即本次抽样调查共抽取了50名学生，故答案为：50；（2）测试结果为C等级的学生数为：50﹣10﹣20﹣4＝16（名），故答案为：16，补全条形图如下：（3）700×＝56（名），即估计该中学九年级学生中体能测试结果为D等级的学生有56名；（4）画树状图如图：共有12个等可能的结果，所抽取的两人恰好都是男生的结果有2个，∴抽取的两人恰好都是男生的概率＝＝．19．（8分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，弦AE交BC于点D，且．（1）求证：AB＝AC；（2）连接BO并延长交AC于点F，若AF＝4，CF＝5，求⊙O的半径．【分析】（1）连接BE，证明△ABD∽△AEB，进而可得结论；（2）连接OC，连接AO并延长交BC于点H，证明△AFB∽△OF A．进而可求⊙O的半径．【解答】（1）证明：如图，连接BE，∵，∠BAD＝∠EAB，∴△ABD∽△AEB，∴∠ABD＝∠AEB，又∠C＝∠AEB，∴∠ABD＝∠C，∴AB＝AC．（2）如图，连接OC，连接AO并延长交BC于点H，∵AF＝4，CF＝5，∴AB＝AC＝AF+CF＝4+5＝9．∵AB＝AC，OB＝OC，∴A、O在BC的垂直平分线上，∴AH⊥BC．又AB＝AC，∴AH平分∠BAC，∴∠BAH＝∠CAH．∵OA＝OB，∴∠BAH＝∠ABF．∴∠CAH＝∠ABF．∵∠AFB＝∠OF A，∴△AFB∽△OF A．∴，即．∴．∴．∴．20．（8分）在2020年新冠肺炎抗疫期间，小明决定在淘宝上销售一批口罩．经市场调研：某类型口罩进价每袋为20元，当售价为每袋25元时，销售量为250袋，若销售单价每提高1元，销售量就会减少10袋．（1）直接写出小明销售该类型口罩销售量y（袋）与销售单价x（元）之间的函数关系式y＝﹣10x+500；每天所得销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式w＝﹣10x2+700x﹣10000．（2）若小明想每天获得该类型口罩的销售利润2000元时，则销售单价应定为多少元？（3）若每天销售量不少于100袋，且每袋口罩的销售利润至少为17元，则销售单价定位多少元时，此时利润最大，最大利润是多少？【分析】（1）根据“某类型口罩进价每袋为20元，当售价为每袋25元时，销售量为250袋，若销售单价每提高1元，销售量就会减少10袋”，即可得出y关于x的函数关系式，然后再根据题意得到销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（2）代入w＝2000求出x的值，由此即可得出结论；（3）利用配方法将w关于x的函数关系式变形为w＝﹣10（x﹣35）2+2250，根据二次函数的性质即可解决最值问题．【解答】解：（1）根据题意得，y＝250﹣10（x﹣25）＝﹣10x+500；则w＝（x﹣20）（﹣10x+500）＝﹣10x2+700x﹣10000，故答案为：y＝﹣10x+500；w＝﹣10x2+700x﹣10000；（2）∵w＝2000，∴﹣10x2+700x﹣10000＝2000，解得：x1＝30，x2＝40，答：销售单价应定为30元或40元，小明每天获得该类型口罩的销售利润2000元；（3）根据题意得，，∴x的取值范围为：37≤x≤40，∵函数w＝﹣10（x﹣35）2+2250，对称轴为x＝35，∴当x＝37时，w最大值＝2210．答：销售单价定位37元时，此时利润最大，最大利润是2210元．21．（10分）如图1，点B在线段CE上，Rt△ABC≌Rt△CEF，∠ABC＝∠CEF＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1．（1）求点F到直线CA的距离；（2）固定△ABC，将△CEF绕点C按顺时针方向旋转30°，使得CF与CA重合，并停止旋转．①请你在图1中用直尺和圆规画出线段EF经旋转运动所形成的平面图形（用阴影表示，保留画图痕迹，不要求写画法）并求出该图形的面积；②如图2，在旋转过程中，线段CF与AB交于点O，当OE＝OB时，求OF的长．【分析】（1）如图，过点F作FH⊥AC于H．解直角三角形求出FH即可解决问题．（2）①根据要求作出图形即可，根据S阴＝S扇形ACF﹣S△AE′C+S△EFC﹣S扇形ECE′，计算即可．②如图2中，过点E作EH⊥CF于H，设OE＝OB＝x．利用勾股定理构建方程，求解即可．【解答】解：（1）如图，过点F作FH⊥AC于H．在Rt△FCH中，∠FHC＝90°，CF＝CA＝2BC＝2，∴FH＝CF＝1．（2）①旋转运动所形成的平面图形，如图所示，S阴＝S扇形ACF﹣S△AE′C+S△EFC﹣S扇形ECE′＝﹣＝；②如图2中，过点E作EH⊥CF于H，设OE＝OB＝x．∵EF＝BC＝2，∠CEF＝90°，∠ECF＝30°，∴CF＝2EF＝2，∠F＝60°，∴FH＝EF•cos60°＝，EH＝EF•sin60°＝，∵∠B＝90°，OB＝x，BC＝1，∴OC＝，∵EH2＝OH2+OE2，∴（）2+（﹣）2＝x2，解得x2＝，∴OC＝＝，∴OF＝CF﹣OC＝2﹣＝．22．（10分）如图，抛物线y＝ax2+x+c（a≠0）与x轴相交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴相交于点C（0，3），作直线BC．（1）求抛物线的解析式；（2）在直线BC上方的抛物线上存在点D，使∠DCB＝2∠ABC，求点D的坐标；（3）在（2）的条件下，点F的坐标为（0，），点M在抛物线上，点N在直线BC上．当以D，F，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点N的坐标．【分析】（1）把点A（﹣1，0），C（0，3）代入抛物线的解析式中，列方程组解出即可；（2）如图1，作辅助线，构建相似三角形，证明△DCH∽△CBO，则，设点D 的横坐标为t，则，列关于t的方程解出可得结论；（3）利用待定系数法求直线BC的解析式为：y＝﹣x+3，设N（m，﹣m+3），当以D，F，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，存在两种情况：如图2和图3，分别画图，根据平移的性质可表示M的坐标，代入抛物线的解析式列方程可解答．【解答】解：（1）∵抛物线经过点A（﹣1，0），C（0，3），∴，解得：，∴抛物线的解析式为：；（2）如图1，过点C作CE∥x轴交抛物线于点E，则∠ECB＝∠ABC，过点D作DH⊥CE于点H，则∠DHC＝90°，∵∠DCB＝∠DCH+∠ECB＝2∠ABC，∴∠DCH＝∠ABC，∵∠DHC＝∠COB＝90°，∴△DCH∽△CBO，∴，设点D的横坐标为t，则，∵C（0，3），∴，∵点B是与x轴的交点，∴，解得x1＝4，x2＝﹣1，∴B的坐标为（4，0），∴OB＝4，∴，解得t1＝0（舍去），t2＝2，∴点D的纵坐标为：，则点D坐标为；（3）设直线BC的解析式为：y＝kx+b，则，解得：，∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+3，设N（m，﹣m+3），分两种情况：①如图2﹣1和图2﹣2，以DF为边，DN为对角线，N在x轴的上方时，四边形DFNM 是平行四边形，∵D（2，），F（0，），∴M（m+2，﹣m+4），代入抛物线的解析式得：﹣＝﹣m+4，解得：m＝，∴N（，3﹣）或（﹣，3+）；②如图3﹣1和3﹣2，以DF为边，DM为对角线，四边形DFMN是平行四边形，同理得：M（m﹣2，﹣m+2），代入抛物线的解析式得：﹣＝﹣m+2，解得：m＝4，∴N（4+，﹣）或（4﹣，）；综上，点N的坐标分别为：（，3﹣）或（﹣，3+）或（4+，﹣）或（4﹣，）．。
2020-2021学年广东省深圳市宝安区中考数学一模试卷及答案解析
广东省深圳市中考 数学一模试卷一、选择题1．如图，某地夏季中午，当太阳移至房顶上方偏南时，光线与地面成 80 °角，房屋朝南的窗子高 AB=1.8m ，要在窗子外面上方安装水平挡光板 AC ，使午间光线不能直接射入室内，那么挡光2．如图，某市在 “旧城改造 ”中计划在一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米 a 元，则购买这种草皮至少要（A ． 450a 元B ． 225a 元C ． 150a 元D ． 300a 元3．在菱形 ABCD 中， AE ⊥BC 于点 E ，AF ⊥CD 于点 F ，且 E 、F 分别为 BC 、 CD的中A ． 1.8tan80°m B ． 1.8cos80°mD ． D ．点，则∠EAF 等于（）A ． AP=PNB ．NQ=QDC ．四边形 PQNM 是矩形D ． △ABN 是等边三角形6．如图，边长为 6 的大正方形中有两个小正方形， 若两个小正方形的面积分别为 的值为（D ．30°4．如图所示，在矩形 ABCD 中， AB= ，BC=2，对角线 AC 、BD 相交于点 O ， 过点 O 作 OE 垂直 AC 交 AD 于点 E ，则 AE 的长是（ ）5．如图， M ，N 分别是平行四边形 ABCD 的对边 AD ，BC 的中点，且AD=2AB ， 连接 AN ，BM ，交S 1、S 2，则 S 1+S 2A ． 60°B ． 55° D ．1.A． 16 B． 17 C．18 D． 197．如图，在平行四边形 ABCD中， AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，∠EAF=45°，且AE+AF=2 ，则平行四边形 ABCD 的周长是（）A． 2 B． 4 C．4 D． 88．已知，如上右图，动点 P在函数 y= （x>0）的图象上运动， PM⊥x 轴于点 M，PN⊥y 轴于点 N，线段 PM、PN分别与直线 AB：y=﹣x+1 相交于点 E，F，则 AF?BE的值是（）、填空题（共 4小题，每小题 3分，满分 12 分）9．如图，一次函数 y=ax+b的图象与 x 轴，y 轴交于 A， B两点，与反比例函数的图象相交于C， D两点，分别过 C，D两点作 y轴， x轴的垂线，垂足为 E， F，连接 CF，DE．有下列四个结论：①△ CEF与△DEF的面积相等；②△ AOB∽△ FOE；③△ DCE≌△ CDF；④AC=BD．其中正确的结论是．（把你认为正确结论的序号都填上）．11．如图，矩形 ABCD的对角线 AC、BD相交于点 0，过点 O作 OE⊥AC交 AB 于 E．若BC=8，△ AOE 的面积为 20，则 sin∠ BOE的值为．12．（ 1）如图，矩形 ABCD中， E是 AD的中点，将△ABE沿 BE折叠后得到△GBE，延长 BG 交 CD 于 F点，若 CF=1，FD=2，则 BC的长为．（2）如图，矩形 ABCD中， E． F分别是 AD和 CD的中点，将△ABE沿 BE折叠后得到△GBE，延长 BG交 CD于 F点，若 CF=1，则 BC 的长为．（3）如图，矩形 ABCD中， E 是 AD的中点，将△ABE沿 BE折叠后得到△GBE，延长BG交 CD 于 F点，若 CF=1， BC=4，则 DF的长为．三、解答题（共 6 小题，满分 39分）13．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点 D，AN是△ABC外角∠ CAM的平分线， CE⊥AN，垂足为点 E，1）求证：四边形 ADCE为矩形；2）当△ABC满足什么条件时，四边形 ADCE是一个正方形？并给出证明．14．如图，在正方形 ABCD中，等边三角形 AEF的顶点 E、F 分别在 BC和 CD上．（1）求证： CE=CF；2）若等边三角形 AEF的边长为 2，求正方形 ABCD 的周长．15．在矩形 ABCD中， DC=2 ， CF⊥BD 分别交 BD、AD于点 E、F，连接 BF．1）求证：△ DEC∽△ FDC；2）当 F 为 AD的中点时，求 sin∠FBD的值及 BC的长度．16．（ 2011?随州）如图，防洪大堤的横断面是梯形，背水坡AB的坡比 i=1：（指坡面的铅直高度与水平宽度的比），且 AB=20m．身高为 1.7m 的小明站在大堤 A 点，测得髙压电线杆顶端点 D 的仰角为 30°．已知地面 CB宽 30m，求髙压电线杆 CD 的髙度（结果保留三个有效数字，≈1.732)18．（2012?巴中）一副直角三角板如图放置，点 C 在FD的延长线上，AB∥CF，∠F=∠ACB=90°，∠E=30°，∠A=45°，AC=12 ，试求 CD的长．19．如图，矩形 OABC在平面直角坐标系中，并且 OA、 OC的长满足： |OA﹣2 |+（ OC﹣6）2=0．（1）求 A、B、 C 三点的坐标．（2）把△ABC沿AC对折，点 B落在点 B1处，AB1与 x轴交于点 D，求直线 BB1的解析式．（3）在直线 AC上是否存在点 P使 PB1+PD的值最小？若存在，请找出点 P的位置，并求出 PB1+PD 的最小值；若不存在，请说明理由．4）在直线 AC上是否存在点 P 使|PD﹣ PB|的值最大？若存在，请找出点 P的位置，并求出 |PD﹣PB|最大值．广东省深圳市中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题1．如图，某地夏季中午，当太阳移至房顶上方偏南时，光线与地面成 80 °角，房屋朝南的窗子高 AB=1.8m ，要在窗子外面上方安装水平挡光板 AC ，使午间光线不能直接射入室内，那么挡光考点】解直角三角形的应用 - 坡度坡角问题． 【专题】计算题；压轴题．【分析】在光线、遮阳板和窗户构成的直角三角形中， 80°角的正切值 =窗户高：遮阳板的宽，据此即可解答．【解答】解： ∵光线与地面成 80°角， ∴∠ ACB=80°．又∵tan ∠ACB= ， ∴AC= 故选 D ．点评】此题考查三角函数定义的应用．A ． 1.8tan80°mB ． 1.8cos80°m D ．D ．板的宽度 AC 为（ ）2．如图，某市在“旧城改造”中计划在一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米 a 元，则购买这种草皮至少要（）A． 450a元 B． 225a元 C． 150a 元 D． 300a元【考点】解直角三角形的应用．【专题】压轴题．【分析】求出三角形地的面积即可求解．如图所示，作 BD⊥CA于 D 点．在 Rt△ABD中，利用正弦函数定义求 BD，即△ ABC的高．运用三角形面积公式计算面积求解．【解答】解：如图所示，作 BD⊥CA于 D 点．∵∠ BAC=150°，∴∠ DAB=30°，∵AB=20 米，∴BD=20sin30°=10 米，2∴S△ABC= ×30×10=150（米2）．已知这种草皮每平方米 a 元，所以一共需要 150a 元．故选 C．点评】本题考查了通过作辅助线构建直角三角形，从而解斜三角形的能力．3．在菱形 ABCD 中， AE ⊥BC 于点 E ，AF ⊥CD 于点 F ，且 E 、F 分别为 BC 、 CD 的中点，则 ∠EAF考点】菱形的性质．【分析】连接 AC ，根据线段垂直平分线上的点到线段两端段的可得 AB=AC ，然后求出 △ ABC 是等边三角形，再根据等边三角形的性质求出 ∠ CAE=30°，同理可得 ∠CAF=30°，然后根据∠EAF=∠CAE+∠CAF 计算即可得解．【解答】解：如图，连接 AC ， ∵AE ⊥ BC ，点 E 是 BC 的中点， ∴AB=AC ，∵四边形 ABCD 是菱形， ∴AB=BC ，∴△ ABC 是等边三角形，∴∠ CAE=30°， 同理可得 ∠CAF=30°，∴∠ EAF=∠CAE+∠CAF=30°+30°=60°．故选 A ．等于（ ） D ．30°【点评】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，熟记各性质并作辅助线构造出等边三角形是解题的关键．4．如图所示，在矩形 ABCD中， AB= ，BC=2，对角线 AC、BD相交于点 O，过点 O作 OE 垂直 AC交 AD 于点 E，则 AE的长是（）A．B．C．1 D． 1.5【考点】矩形的性质；线段垂直平分线的性质；勾股定理．【分析】由矩形的性质得出∠ABC=∠ADC=90°，AD=BC=2， CD=AB= ，OA=OC= AC，根据勾股定理求出 AC，得出 OA，再证明△AOE∽△ ADC，得出比例式，即可求出 AE 的长．【解答】解：∵ 四边形 ABCD是矩形，∴∠ ABC=∠ADC=90°，AD=BC=2，CD=AB= ，OA=OC= AC，∴AC= = ，∴OA= ，∵OE⊥AC，∴∠ AOE=90°，∴∠ AOE=∠ ADC，又∵∠ OAE=∠ DAC，∴△ AOE∽△ ADC，∴∴，即，∴AE=1.5；故选： D．【点评】本题考查了矩形的性质、线段垂直平分线、勾股定理、相似三角形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．5．如图， M，N 分别是平行四边形 ABCD的对边 AD，BC 的中点，且 AD=2AB，连接 AN，BM，交于点 P，连接 DN， CM，交于点 Q，则以下结论错误的是（）A． AP=PN B．NQ=QDC．四边形 PQNM 是矩形 D．△ABN 是等边三角形考点】平行四边形的性质；等边三角形的判定；矩形的判定．【分析】连接 MN，由平行四边形的性质得出 AD=BC，AD∥BC，再证出 AM= AD， BN= BC，得出 AM∥BN，AM=BN，证出四边形 ABNM 是平行四边形，即可得出 AP=PN．【解答】解：连接 MN，如图所示：∵四边形 ABCD是平行四边形，∴AD=BC， AD∥ BC，∵M，N 分别是平行四边形 ABCD的对边 AD，BC的中点，∴AM= AD， BN= BC，∴AM∥ BN， AM=BN，∴四边形 ABNM 是平行四边形，∴AP=PN；同理 NQ=QD；∴A、B 正确；∵AM∥ CN， AM=CN，∴四边形 ANCM 是平行四边形，∴AN∥MC，同理： BM∥ ND，∴四边形 MPNQ 是平行四边形，∵AD=2AB，∴AB=AM，∴四边形 ABNM 是菱形，∴AN⊥BM，∴∠ MPN=90°，∴四边形 MPNQ 是矩形；∴ C 正确， D 不正确；故选： D ．【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定、菱形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．6．如图，边长为 6 的大正方形中有两个小正方形， 若两个小正方形的面积分别为 S 1、S 2，则 S 1+S 2的值为（ ）A ． 16B ． 17C ．18D ． 19 【考点】勾股定理．【分析】 由图可得， S 2 的边长为 3，由 AC= BC ，BC=CE= CD ，可得 AC=2CD ，CD=2，EC=2 ； 然后，分别算出 S 1、 S 2的面积，即可解答．【解答】解：如图， 设正方形 S 1 的边长为 x ， ∵△ ABC 和△CDE 都为等腰直角三角形， ∴AB=BC ， DE=DC ，∠ABC=∠ D=90°，∴sin ∠CAB=sin45°= = ，即 AC= BC ，同理可得：∴AC= BC=2CD ，又∵ AD=AC+CD=6，BC=CE= CD ，∴CD= =2，∴EC2=22+22，即 EC=2 ；∴S1 的面积为 EC2=2 ×2 =8；∵∠ MAO=∠MOA=45°，∴AM=MO，∵MO=MN，∴AM=MN，∴M 为 AN 的中点，∴S2 的边长为 3，∴S2 的面积为 3×3=9，∴S1+S2=8+9=17．故选 B．【点评】本题考查了勾股定理，要充分利用正方形的性质，找到相等的量，再结合三角函数进行 解答．7．如图，在平行四边形 ABCD 中， AE ⊥BC 于E ，AF ⊥CD 于F ，∠EAF=45°，且 AE+AF=2 ，则A ． 2B ． 4C ．4D ． 8【考点】平行四边形的性质．【分析】由 AE ⊥BC 于 E ，AF ⊥CD 于F ，∠EAF=45°，易求得 ∠C 的度数， 又由在平行四边形 ABCD 中，证得 △ABE 与△ADF 是等腰直角三角形，继而求得答案． 【解答】∵AE ⊥ BC ，AF ⊥CD ，∠EAF=45°，∴∠ C=180°﹣90°﹣90°﹣ 45°=135°，∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴∠ B=∠D=180°﹣∠ C=45°，∴AB= AE ， AD= AF ，∴AB+AD= （ AE+AF ） = ×2 =4，∴平行四边形 ABCD 的周长是： 4×2=8．故选 D ．【点评】此题考查了平行四边形的性质以及等腰直角三角形性质．注△ABE 与△ADF 是等平行四边形 ABCD 的周长是（ ）意证得腰直角三角形是关键．x>0）的图象上运动， PM ⊥x 轴于点 M ，PN ⊥y 轴于点 N ，线段 PM 、PN 分别与直线 AB ：y=﹣x+1 相交于点 E ，F ，则 AF?BE 的值是（ ）同理可得出 E 点的坐标为（ a ，1﹣a ），8．已知，如上右图，动点 P 在函数y= A ． 4 B ． 2 C ．1 D ．考点】反比例函数与一次函数的交点问题．分析】设 P 的坐标为（ a ， ），且 PN ⊥OB ，PM ⊥OA ，那么 N 的坐标和 M 点的坐标都可以 a 表示，那么 BN 、NF 、 BN 的长度也可以用 a 表示，接着 F 点、 E 点的也可以 a 表示，然后利用勾股定理可以分别用 a 表示 AF ，BE ，最后即可求出 AF?BE ．解答】解：作 FG ⊥x 轴，∵P 的坐标为（ a ， ），且 PN ⊥ OB ，PM ⊥OA ，∴N 的坐标为（ 0， ）， M 点的坐标为（ a ，BN=1﹣在直角三角形 BNF 中， ∠NBF=45°（OB=OA=1，三角形 OAB 是等腰直角三角形）， ∴NF=BN=1﹣∴F 点的坐标为 1﹣∴AF 2=（1﹣1+ ）2+（ ）2= ，BE 2=（a ）2+（﹣ a ）2=2a 2， ∴AF 2?BE 2= ?2a 2=1，即 AF?BE=1．【点评】本题考查了反比例函数的性质，关键是通过反比例函数上的点标，进而通过坐标系中两点的距离公式得出所求的值． 二、填空题（共 4小题，每小题 3分，满分 12 分）9．如图，一次函数 y=ax+b 的图象与 x 轴，y 轴交于 A ， B 两点，与反比例函数 的图象相交于C ，D 两点，分别过 C ，D 两点作 y 轴， x 轴的垂线，垂足为E ，F ，连接 CF ，DE ．有下列四个结 论：① △ CEF 与△DEF 的面积相等；② △ AOB ∽△ FOE ；③ △ DCE ≌△ CDF ；P 来确定 E 、 F 两点的坐故选∴AF2=（1﹣1+ ）2+（）2= ，BE2=（a）2+（﹣ a）2=2a2，④AC=BD．其中正确的结论是①②④ ．（把你认为正确结论的序号都填上）【专题】代数几何综合题；压轴题．【分析】此题要根据反比例函数的性质进行求解，解决此题的关键是要证出CD∥ EF，可从①问的面积相等入手；△DFE 中，以 DF为底， OF为高，可得 S△DFE= |x D|?|y D|= k，同理可求得△ CEF 的面积也是 k，因此两者的面积相等；若两个三角形都以 EF 为底，那么它们的高相同，即 E、F到 AD 的距离相等，由此可证得 CD∥ EF，然后根据这个条件来逐一判断各选项的正误．【解答】解：设点 D 的坐标为（ x，），则 F（x，0）．由函数的图象可知： x> 0，k>0．∴S△DFE= DF?OF= |x D|?| |= k，同理可得 S△CEF= k，故S △DEF=S△CEF．若两个三角形以 EF 为底，则 EF边上的高相等，故 CD∥EF．①由上面的解题过程可知：① 正确；②∵ CD∥ EF，即 AB∥EF，∴△ AOB∽△ FOE，故②正确；③条件不足，无法得到判定两三角形全等的条件，故③ 错误；④法一：∵CD∥EF， DF∥BE，∴四边形 DBEF是平行四边形，∴S△DEF=S△BED，同理可得 S△ACF=S△ ECF；由①得： S△DBE=S △ACF．又∵CD∥EF，BD、 AC边上的高相等，∴BD=AC，④正确；法 2：∵ 四边形 ACEF，四边形 BDEF都是平行四边形，而且 EF是公共边，即 AC=EF=BD，∴BD=AC，④正确；因此正确的结论有 3个：①②④ ．【点评】此题通过反比例函数的性质来证图形的面积相等，根据面积相等来证线段的平行或相等，设计巧妙，难度较大．ABCD，已知 A（ 1， 0）， B（0，3），则sin∠ COA=10．如图，平面直角坐标系中正方形考点】正方形的性质；坐标与图形性质；全等三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义．【分析】过点 C作 CE⊥y 轴于 E，根据点 A、B的坐标求出 OA、OB的长，再根据正方形的性质可得 AB=BC，∠ ABC=90°，再根据同角的余角相等求出∠ABO=∠BCE，然后利用“角角边”证明△ABO 和△BCE全等，根据全等三角形对应边相等可得OA=BE，CE=OB，然后求出 OE的长，再利用勾股定理列式求出 OC，然后根据两直线平行，内错角相等求出∠ OCE=∠COA，再根据锐角的正切等于对边比斜边解答即可．【解答】解：如图，过点 C作 CE⊥y 轴于 E，∵A（1，0）， B（0，3），∴OA=1，OB=3，在正方形 ABCD中， AB=BC，∠ ABC=90°，∵∠ ABO+∠CBE=90°，∠BCE+∠CBE=90°，∴∠ ABO=∠BCE，在△ ABO 和△BCE中，，∴△ ABO≌△BCE（AAS），∴OA=BE=1，CE=OB=3，∴OE=OB+BE=3+1=4，在 Rt△OCE中， OC= = =5，∵CE⊥ y轴， x 轴⊥y轴，∴CE∥x 轴，∴∠ OCE=∠ COA，点评】 本题考查了正方形的性质， 坐标与图形性质， 全等三角形的判定与性质， 锐角三角函数， 作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．11．如图，矩形 ABCD 的对角线 AC 、BD 相交于点 0，过点 O 作 OE ⊥AC 交 AB 于 E ．若 BC=8，△ AOE 的面积为 20，则 sin ∠ BOE 的值为 ．考点】矩形的性质；线段垂直平分线的性质；勾股定理；锐角三角函数的定义．分析】由题意可知， OE 为对角线 AC 的中垂线，则 CE=AE ，S △AEC =2S △AOE =40，由 S △AEC 求出线 段 AE 的长度，进而在 Rt △BCE 中，由勾股定理求出线段 BE 的长度；然后证明 ∠BOE=∠BCE ，从 而可求得结果．解答】解：如图，∴sin ∠COA=sin连接 EC．由题意可得， OE为对角线 AC 的垂直平分线，∴CE=AE， S△AOE=S△COE=5，∴S△AEC=2S△AOE=20．∴ AE?BC=20，又 BC=8，∴AE=5，∴EC=5．在 Rt△ BCE中，由勾股定理得： BE= =3．∵∠ AEO+∠EAO=90°，∠AEO=∠BOE+∠ABO，∴∠ BOE+∠ ABO+∠ EAO=90°，又∠ABO=90°﹣∠OBC=90°﹣(∠BCE+∠ECO) ∴∠ BOE+[90°﹣( ∠BCE+∠ECO)]+∠EAO=90°，化简∠BOE﹣∠ BCE﹣∠ ECO+∠ EAO=0，∵OE为 AC 中垂线，∴∠ EAO=∠ ECO．代入上式得：∠ BOE=∠ BCE．∴sin ∠BOE=sin∠BCE= =点评】此题考查矩形性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理、三角函数的定义等知识点；解 题要抓住两个关键：（ 1）求出线段 AE 的长度；（ 2）证明 ∠ BOE=∠BCE ．12．（ 1）如图，矩形 ABCD 中， E 是 AD 的中点，将 △ABE 沿 BE 折叠后得到 △GBE ，延长 BG 交 CD 于 F 点，若 CF=1，FD=2，则 BC 的长为 2 ．（2）如图，矩形 ABCD 中， E ． F 分别是 AD 和 CD 的中点，将 △ABE 沿 BE 折叠后得到 △GBE ，延 长 BG 交 CD 于 F 点，若 CF=1，则 BC 的长为 2 ．（3）如图，矩形 ABCD 中， E 是 AD 的中点，将 △ABE 沿 BE 折叠后得到 △GBE ，延长 BG 交 CD 于 F 点，若 CF=1， BC=4，则 DF 的长为 ．考点】翻折变换（折叠问题）【分析】（ 1）首先过点 E 作EM ⊥BC 于M ，交 BF 于N ，易证得 △ENG ≌△BNM （AAS ）， MN 是 △BCF 的中位线，根据全等三角形的性质，即可求得 GN=MN ，由折叠的性质，可得 BG=3，继而求得 BF 的值，又由勾股定理，即可求得 BC 的长．（2）连接 EF ，则可证明 △EA ′F ≌△ EDF ，从而根据 BF=BA ′+A ′F ，得出 BF 的长，在 Rt △ BCF 中，利 用勾股定理可求出 BC ；（3）根据点 E 是AD 的中点以及翻折的性质可以求出 AE=DE=EG ，然后利用 “HL ”证明故答案△EDF和△EGF全等，根据全等三角形对应边相等可证得DF=GF；设 FD=x，表示出 CD、 BF，列方程求解即可．解答】解：（ 1）如图 1，过点 E作EM⊥BC于 M，交BF于N，∵四边形 ABCD是矩形，∴∠ A=∠ABC=90°，AD=BC，∵∠ EMB=90°，∴四边形 ABME 是矩形，∴AE=BM，由折叠的性质得： AE=GE，∠ EGN=∠A=90°，∴EG=BM，∵∠ ENG=∠BNM，在△ENG与△BNM中，，∴△ ENG≌△BNM（AAS），∴NG=NM，∴CM=DE，∵E 是 AD的中点，∴AE=ED=BM=CM，∵EM∥CD，∴BN：NF=BM：CM，∴BN=NF，∴NM=∴NG= ，∵BG=AB=CD=CF+DF=，3∴BN=BG﹣ NG=3﹣ = ，∴BF=2BN=5∴BC= =2 ．故答案为： =2 ．（2）解：如图 2，连接 EF，∵点 E、点 F是 AD、 DC的中点，∴AE=ED， CF=DF= CD= AB=1，由折叠的性质可得 AE=GE，∴GE=DE，在 Rt△ EGF和Rt△ EDF中，∴Rt△EGF≌Rt△EDF（HL），∴GF=DF=1，∴BF=BG+GF=AB+DF=2+1=，3 在 Rt△ BCF中，BC= =2 ．故答案为： 2 ．3）解：∵E 是 AD的中点，∴AE=DE，∵△ ABE沿 BE折叠后得到△GBE，∴AE=EG，AB=BG，∴ED=EG，∵在矩形 ABCD 中，∴∠ A=∠D=90°，∴∠ EGF=90°，在 Rt△ EDF和 Rt△ EGF中，，∴Rt△EDF≌Rt△EGF（HL），∴DF=FG，设 DF=x，则 CD=AB=x+1， BF=2x+1，∴12+42=（2x+1）2，解故答案为：点评】此题考查了矩形的判定与性质、折叠的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．三、解答题（共 6 小题，满分 39分）13．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点 D，AN是△ABC外角∠ CAM 的平分线， CE⊥AN，垂足为点 E，（1）求证：四边形 ADCE为矩形；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形 ADCE是一个正方形？并给出证明．考点】矩形的判定；角平分线的性质；等腰三角形的性质；正方形的判定．专题】证明题；开放型．分析】（ 1）根据矩形的有三个角是直角的四边形是矩形，已知CE⊥ AN， AD⊥ BC，所以求证∠DAE=90°，可以证明四边形 ADCE为矩形．（2）根据正方形的判定，我们可以假设当AD= BC，由已知可得， DC= BC，由（ 1）的结论可知四边形 ADCE为矩形，所以证得，四边形 ADCE为正方形．【解答】（ 1）证明：在△ABC中， AB=AC， AD⊥ BC，∴∠ BAD=∠DAC，∵AN 是△ ABC外角∠ CAM的平分线，∴∠ MAE=∠CAE，∴∠ DAE=∠DAC+∠CAE= 180°=90°，又∵AD⊥BC，CE⊥AN，∴∠ ADC=∠CEA=90°，∴四边形 ADCE为矩形．（2）当△ABC 满足∠ BAC=90°时，四边形 ADCE是一个正方形．理由：∵AB=AC，∴∠ ACB=∠ B=45°，∵AD⊥BC，∴∠ CAD=∠ACD=45°，∴DC=AD，∵四边形 ADCE为矩形，∴矩形 ADCE是正方形．∴当∠ BAC=90°时，四边形 ADCE是一个正方形．点评】本题是以开放型试题，主要考查了对矩形的判定，正方形的判定，等腰三角形的性质，及角平分线的性质等知识点的综合运用．14．如图，在正方形 ABCD中，等边三角形 AEF的顶点 E、F 分别在 BC和 CD上．（1）求证： CE=CF；（2）若等边三角形 AEF的边长为 2，求正方形 ABCD 的周长．【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；等腰直角三角形．【分析】（1）根据正方形可知 AB=AD，由等边三角形可知 AE=AF，于是可以证明出△ ABE≌△ADF，即可得出 CE=CF；（2）连接 AC，交 EF与 G 点，由三角形 AEF是等边三角形，三角形 ECF是等腰直角三角形，于是可知 AC⊥EF，求出 EG=1，设 BE=x，利用勾股定理求出 x，即可求出 BC 的上，进而求出正方形的周长．【解答】（ 1）证明：∵ 四边形 ABCD是正方形，∴AB=AD，∵△ AEF是等边三角形，∴AE=AF，在 Rt△ ABE和 Rt△ ADF 中，∵，∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），∴BE=DF．又 BC=DC，∴BC﹣ BE=DC﹣ DF，即 EC=FC∴CE=CF，（2）解：连接 AC，交 EF于 G 点，∵△ AEF是等边三角形，△ ECF是等腰直角三角形，∴AC⊥EF，在 Rt△AGE中， EG=sin30°AE= ×2=1，∴EC= ，设 BE=x，则 AB=x+ ，在 Rt△ABE中，AB2+BE2=AE2，即（ x+ ）2+x2=4，∴正方形 ABCD 的周长为 4AB=2 +2 ．点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质和等腰三角形的性质，解答本题的关键是对正方形和三角形的性质的熟练运用，此题难度不大，是一道比较不错的试题．15．在矩形 ABCD中， DC=2 ， CF⊥BD 分别交 BD、AD于点 E、F，连接 BF．（1）求证：△ DEC∽△ FDC；（2）当 F 为 AD的中点时，求 sin∠FBD的值及 BC的长度．考点】相似三角形的判定与性质；矩形的性质；解直角三角形．专题】压轴题．【分析】（ 1）根据题意可得∠ DEC=∠FDC，利用两角法即可进行相似的判定；（2）根据 F为 AD 的中点，可得 FB=FC，根据 AD∥ BC，可得 FE：EC=FD：BC=1：2，再由 sin∠FBD=EF： BF=EF：FC，即可得出答案，设 EF=x，则 EC=2x，利用（ 1）的结论求出 x，在 Rt△ CFD中求出 FD，继而得出 BC．【解答】解：（ 1）∵∠ DEC=∠ FDC=90°，∠DCE=∠FCD，∴△ DEC∽△ FDC．2）∵F为 AD的中点， AD∥BC，∴FE： EC=FD： BC=1：2，FB=FC，∴FE： FC=1：3，∴sin∠FBD=EF：BF=EF：FC= 设 EF=x，则 FC=3x，∵△ DEC∽△ FDC，∴ =，即可得：6x2=12，解得： x= ，则 CF=3 ，在 Rt△CFD中， DF= = ，∴BC=2DF=2 ．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是掌握相似三角形的判定定理及相似三角形的性质：对应边成比例．16．（ 2011?随州）如图，防洪大堤的横断面是梯形，背水坡AB的坡比 i=1：（指坡面的铅直高度与水平宽度的比），且 AB=20m．身高为 1.7m 的小明站在大堤 A 点，测得髙压电线杆顶端点 D 的仰角为 30°．已知地面 CB宽 30m，求髙压电线杆 CD 的髙度（结果保留三个有效数字，≈1.732）．考点】解直角三角形的应用 -坡度坡角问题；解直角三角形的应用 - 仰角俯角问题．分析】由 i 的值求得大堤的高度 h，点 A到点 B的水平距离 a，从而求得 MN 的长度，由仰角求得 DN的高度，从而由 DN，AM，h 求得高度 CD．解答】解：作 AE⊥CE于 E，设大堤的高度为 h，点 A到点 B 的水平距离为 a，∴坡 AB 与水平的角度为 30°，∴ ，即得 h= =10m ，，即得 a= ，∴MN=BC+a=（ 30+10 ）m，∵测得髙压电线杆顶端点 D 的仰角为 30°，∴，解得： DN=MN?tan30°=（ 30+10 ）× =10 +10≈27.32（ m），∴CD=DN+AM+h=27.32+1.7+10=39.02≈39.0（m）答：髙压电线杆 CD的髙度约为 39.0 米．点评】本题考查了直角三角形在坡度上的应用，由 i 的值求得大堤的高度和点 A到点 B的水平距离，求得 MN，由仰角求得 DN 高度，进而求得总高度．18．（2012?巴中）一副直角三角板如图放置，点 C 在 FD的延长线上， AB∥CF，∠F=∠ACB=90°，∠E=30°，∠A=45°，AC=12 ，试求 CD的长．【考点】解直角三角形．【专题】压轴题．【分析】过点 B作BM⊥FD于点 M，根据题意可求出 BC的长度，然后在△EFD中可求出∠EDF=60°，进而可得出答案．【解答】解：过点 B作 BM⊥ FD于点 M，在△ACB中，∠ ACB=90°，∠ A=45°， AC=12 ，∴BC=AC=12∵AB∥CF，CM=BM=12，在△ EFD中，∠F=90°，∠ E=30°，∴∠ EDF=60°，∴MD=BM÷tan60°=4 ∴CD=CM﹣MD=12﹣4点评】 本题考查了解直角三角形的性质及平行线的性质， 题意建立三角形利用所学的三角函数的关系进行解答．19．如图，矩形 OABC 在平面直角坐标系中，并且 OA 、OC 的长满足： |OA ﹣2 |+（ OC ﹣6）2=0．（1）求 A 、B 、 C 三点的坐标．（2）把△ABC 沿AC 对折，点 B 落在点 B 1处，AB 1与 x 轴交于点 D ，求直线 BB 1的解析式．3）在直线 AC 上是否存在点 P 使 PB 1+PD 的值最小？若存在， 请找出点 P 的位置，并求出 PB 1+PD 的最小值；若不存在，请说明理由．4）在直线 AC 上是否存在点 P 使|PD ﹣ PB|的值最大？若存在，请找出点 P 的位置，并求出 |PD分析】（ 1）由非负数的性质可求得 OA 和 OC 的长，则可得到 A 、 C 的坐标，再由矩形的性质 可求得 B 点坐标；（2）由轴对称的性质可知 AC ⊥ BB 1，由（ 1）可知 A 、C 点的坐标，可求得直线 AC 的解析式，则难度较大， 解答此类题目的关键根据﹣PB|最大值．考点】一次函数综合可求得直线 BB 1 的解析式；（3）由B 和B 1关于直线 AC 对称可知，连接BD 与直线 AC 交于点 P ，则此时PD+PB=PD+PB 1，满 足条件；再由折叠的性质可证明 △AOD ≌△ CB 1D ，在 Rt △AOD 中可求得 OD ，则可求得 CD 长，在Rt △BCD 中由勾股定理可求得 BD 的长；（4）由三角形三边关系可知 |PD ﹣PB|<BD ，只有当 P 点在线段 BD 的延长线或反延长线上时， 才有 |PD ﹣PB|=BD ，显然不存在这样的点．【解答】解：（ 1）∵|OA ﹣ 2 |+（OC ﹣6）2=0．∴OA=2 ， OC=6，∴A （0，2 ）， C （6，0），∵四边形 OABC 为矩形，∴BC=OA=2 ，∴B （6， 2 ）；（2）设直线 AC 的解析式为 y=kx+b ， 把 A 、C 坐标代入可得 由折叠的性质可知 AC ⊥ BB 1，∴可设直线 BB 1 的解析式为 y= x+m，把 B 点坐标代入可得 2 =6 +m，解得 m=﹣ 4 ，∴直线 BB1 的解析式为 y= x﹣4 ；3）由（ 2）可知 B和 B1关于直线 AC对称，则 PB=PB1 ，∴PD+PB=PD+PB1=BD，∴此时 PD+PB1 最小，由折叠的性质可知 B1C=BC=OA=2 ，∠ AOD=∠CB1D=90°，在△AOD和△CB1D 中，，∴△ AOD≌△CB1D（ AAS），∴AD=DC，OD=DB1，设 OD=x，则 DC=AD=6﹣ x，且 OA=2 ，在 Rt△AOD中，由勾股定理可得 AO2+OD2=AD2，即（ 2 ）2+x2=（6﹣x）2，解得 x=2，∴CD=AD=6﹣2=4，在 Rt△ BCD中，由勾股定理可得 BD= = =2 ，综上可知存在使 PB1+PD 的值最小的点 P，PB1+PD 的最小值为 2 ；4）如图 2，连接 PB、 PD、 BD，当 p在点 A时|PD﹣PB|最大， B与 B1对称， |PD ﹣PB|=|PD﹣PB1|，根据三角形三边关系 |PD﹣PB1| 小于或等于 DB1，故 |PD﹣PB1|的最大值等于 DB1．∵AB1=AB=6，AD= =4，∴DB1=2，∴在直线 AC 上，存在点 P使 |PD﹣PB|的值最大，最大值为： 2．点评】本题主要考查一次函数的综合应用，涉及待定系数法、矩形的性质、轴对称的性质、全等三角形的判定和性质等知识．在（ 1）中注意非负数的性质的应用，在（ 2）中掌握相互垂直的两直线的解析式的关系是解题的关键，在（ 3）中确定出 P 点的位置是解题的关键，在（ 4）中注意三角形三边关系的应用．本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大．。
2021年广东省深圳市宝安区中考数学模拟试卷(三)(附答案详解)
2021年广东省深圳市宝安区中考数学模拟试卷（三）一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.(2021·江苏省连云港市·历年真题)−2021的相反数是()A. 2021B. −2021C. 12021D. −120212.(2021·广东省深圳市·模拟题)据报道，我国已建成全球最大5G网络，截至2020年底，开通5G基站超过71.8万个.将71.8万用科学记数法表示为()A. 71.8×104B. 7.18×104C. 7.18×105D. 71.8×1053.(2021·广东省深圳市·模拟题)校徽是一所学校的标志，蕴含着学校的文化底蕴和办学理念.以下四个图标分别是深圳大学、暨南大学、华南农业大学、广州大学校徽的重要组成部分，其中是轴对称图形的是()A. B.C. D.4.(2021·广东省深圳市·模拟题)下列计算正确的是()A. 3a2−a=2aB. (−a2)3=−a6C. a6÷a2=a3D. a2⋅a3=a65.(2021·广东省深圳市·模拟题)如图，将一副三角尺按下列位置摆放.其中，AB//DE，∠AFD的度数为()A. 10°B. 15°C. 20°D. 25°6.(2021·广东省深圳市·模拟题)某农户记录了近6年果园每棵果树产量的平均数分别为590，595，605，604，600，606，则这组数据的中位数和平均数分别为()A. 600；600B. 604；600C. 600；602D. 602；6007. (2021·广东省深圳市·模拟题)下列命题正确的是( )A. 等腰三角形的中线、角平分线和高线重合，简称“三线合一”B. 若a 2>b 2，则a 3>b 3C. 顺次连接对角线垂直的四边形的各边中点所得的四边形是矩形D. 一元二次方程ax 2−4x +2=0有实数根，则a 的取值范围是a ≤28. (2021·广东省深圳市·模拟题)《九章算术》是中国古代著名的数学专著，书里记载一道这样的题：“今有客马，日行三百里.客去忘持衣.日已三分之一，主人乃觉.持衣追及，与之而还，至家视日四分之三.问：主人马不休，日行几何？”题目译文是：现有客人的马日行300里.客人离去时忘记带衣服.时间过了13日主人才发现.主人带上衣服追上，还衣服后再返回.到家时已是34日.问：主人的马不休息，马的日行速度是多少？设主人追上客人时间用时为t 日，马的日行速度为v 里，根据题意可列方程组为( ) A. {34−13=2t v =300(13+t)tB. {34−13=t v =300(13+t)tC. {34−13=2t v =300(13+t)2tD. {34−13=t v =300(13+t)2t9. (2021·广东省深圳市·模拟题)已知二次函数y =ax 2+bx +c(a ≠0)的图象如图所示，则下列说法正确的是( )A. abc <0B. 4ac −b 2>0C. (a +c)2>b 2D. 2a =−n10. (2021·广东省深圳市·模拟题)如图，正方形ABCD 边长为3，连接BD.点E 、E 分别是AD 、CD 上的一点，AE =DF =1.连接AF 、BE 交于点G ，AF 与BD 交于点P.点M 是BC 上一点，∠MAF =45°，连接AM 交BE 于点H.将AM 绕点M 旋转90°交AF 的延长线于点N ，连接CN.下列结论：①AG =GH ；②∠MCN =135°；③S △AGHS△BMH=13；④tan∠CNM =12；⑤连接CP ，△CNP 的面积是94.其中，正确结论的个数是( )A. 5B. 4C. 3D. 2二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）11.(2021·广东省深圳市·模拟题)分解因式：3a3−6a2b+3ab2=______ ．12.(2021·广东省深圳市·模拟题)为了解学生对社会主义核心价值观的学习情况，在一个有1000人的学校随机调查了250名学生，其中有240名学生能答出社会主义核心价值观基本内容.在该学校随机问一名学生，他能答出社会主义核心价值观基本内容的概率大约为______ ．13.(2021·广东省深圳市·模拟题)如图，线段AB与⊙O相切于点A，连接AO并延长交⊙O于点C，连接OB，交⊙O于点D，且点D是OB中点，连接CD延长交AB于点E.若AB=2√3，则BE长为______ ．14.(2021·广东省深圳市·模拟题)如图，在一个坡比为1：√3，坡长为20米的小山坡上生长着一棵树(CD).身高1.8米的小明(AB)在山坡上走了12米后抬头看到树的顶端，仰角为45°，则树的高度有______ 米.15.(2021·广东省深圳市·模拟题)如图，A、B两点是反比例函数y1=10与一次函数y=x 2x的交点，点C在反比例函数y2=k上，连接OC，过点A作AD⊥x轴交OC于点xD，连接BD.若AD=BD，OC=3OD，则k=______ ．三、解答题（本大题共7小题，共55.0分）16.(2021·广东省深圳市·模拟题)计算：6tan30°−|1−2√3|+(√33)−1−(x−2012)0．17.(2021·广东省深圳市·模拟题)先化简，再求值：2a−2bab ÷(2aba−b+a2+b2b−a)，其中a=−√2，b=√24．18.(2021·广东省深圳市·模拟题)今年是建党100周年，学校决定开展观看爱国电影、制作手抄报、朗诵经典和唱响红歌四项活动喜迎建党100周年.为了解学生对四种活动的喜爱程度，随机调查了m名学生最喜爱的一项活动(每名学生只能选择一项)，并将调查结果绘制成两幅不完整的统计图表．请根据统计图表提供的信息，解答下列问题：(1)m=______ ，n=______ ，x=______ ；(2)在扇形统计图中，“朗诵经典”所对应的圆心角度数是______ 度；(3)若该学校有1000人，请你估计喜欢“制作手抄报”和“唱响红歌”的学生共有______ 名.19.(2021·广东省深圳市·模拟题)为巩固抗疫成果，“就地过年”成为一种新风尚.某社区居委会为让“留深过年”居民度过一个非同寻常的春节，感受浓浓深圳年味，计划开展“赠年花，迎春节”活动.已知每支百合花的进价比每支富贵竹的进价高7元，用150元购进的百合花数量比用160元购进的富贵竹数量少10只．(1)百合花和富贵竹的进货单价分别是多少？(2)受活动经费限制，居委会拟购进两种年花数量共200支，其中百合花的数量不小于富贵竹的3倍.问居委会应如何进货使得购买年花所需费用最小．20.(2021·广东省深圳市·模拟题)如图，在△ABC中，AB=BC，以点C为圆心，BC长为半径作⊙C，∠ABC的平分线与⊙C交于点D，连接AD、BD，AD、BD交于点O．(1)求证：四边形ABCD是菱形；(2)延长DC交⊙C于点E，连接BE，若BE=20，tan∠BED=1，求sin∠BCD．221.(2021·广东省深圳市·模拟题)数学课上对两个共顶点的直角三角形的旋转变化进行探究.△AOB和△COD均为直角三角形，将△COD绕点O在平面内旋转．若OA=OB，OC=OD，当△COD旋转到如图①位置摆放时，连接AC、BD.过点O 作OM⊥AC交AC于点M，延长MO交BD于点N.某学习小组经过探讨发现BN=DN，并给出证明思路(如图②)：过点D、B分别作DG⊥MN、BH⊥MN，易证△OBH≌△AOM、△OCM≌△DOG.→BH=OM=DG→证明△DGN与△BHN全等→BN=DN．对于小组发现的结论，数学老师提出以下问题，请你帮助解答：(1)△COD绕点O旋转，当OD在OA上时(如图③)，还能得到BN=DN吗？若能，请给出证明.若不能，请说明理由．(2)如图④，若OA=6，OB=8，OC=4，OD=3，请求出DN的值．BN(3)连接AN，在(2)的条件下，请直接写出AN的取值范围．22.(2021·广东省深圳市·模拟题)如图①，已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A(−1,0)，B两点，与y轴交于点C(0,2)，对称轴为直线x=1与x轴交于点D．2(1)求抛物线的函数表达式；(2)在对称轴上是否存在一点M，使得∠AMD=∠ACB.若存在，请求出点M坐标；若不存在，请说明理由；(3)如图②，过点B作直线BC的垂线交y轴交于点E.点F是直线BE上的动点，连接CF.过点F作CF的垂线段交y轴于点G.作△CFG关于直线BE的对称图形△C′FG′.直线C′G′与直线CF交于点M，直线CG与直线C′F交于点N，连接MN.当S△MEN=2时，求线段BF的值．答案和解析1.【答案】A【知识点】相反数【解析】解：−2021的相反数是2021．故选：A．相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，据此判断即可．本题考查了相反数，熟记相反数的定义是解答本题的关键．2.【答案】C【知识点】科学记数法-绝对值较大的数【解析】解：71.8万=718000=7.18×105．故选：C．用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|<10，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可．此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|<10，确定a与n的值是解题的关键．3.【答案】A【知识点】轴对称图形【解析】解：A.是轴对称图形，符合题意；B.不是轴对称图形，不合题意；C.不是轴对称图形，不合题意；D.不是轴对称图形，不合题意；故选：A．根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．此题主要考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．4.【答案】B【知识点】同底数幂的除法、同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方、合并同类项【解析】解：A.3a2与−a不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；B.(−a2)3=−a6，故本选项符合题意；C.a6÷a2=a4，故本选项不合题意；D.a2⋅a3=a5，故本选项不合题意；故选：B．分别根据合并同类项法则，幂的乘方运算法则，同底数幂的除法法则以及同底数幂的乘法法则逐一判断即可．本题考查了同底数幂的乘除法，合并同类项以及幂的乘方，熟记相关运算法则是解答本题的关键．5.【答案】B【知识点】平行线的性质【解析】解：如图，设AB与DF相交于点M，在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠A=30°，∠D=45°，∵AB//DE，∴∠D=∠FMB=45°，∵∠FMB=∠A+∠AFD，∴∠AFD=∠FMB−∠A=45°−30°=15°，故选：B．根据两直线平行，同位角相等得到∠FMB=∠D=45°，再根据三角形的外角定理求解即可．此题考查了平行线的性质，熟记两直线平行，同位角相等是解题的关键．6.【答案】D【知识点】算术平均数、中位数【解析】解：将所有的数据排序后位于中间的数是600，604，所以中位数为(600+604)÷2=602；平均数为(590+595+605+604+600+606)÷6=600，故选：D ．利用中位数及平均数的定义分别判断后即可确定正确的选项．本题考查了中位数及平均数的知识，解题的关键是了解有关的定义，难度不大． 7.【答案】C【知识点】矩形的判定、不等式的基本性质、等腰三角形的性质、根的判别式【解析】解：A.等腰三角形底边上的中线、角平分线和高线重合，简称“三线合一”， 故A 选项不符合题意；B .当a =−2，b =−1时，a 2=4，b 2=1，a 3=−8，b 3=−1，则a 2>b 2，a 3<b 3， 故B 选项不符合题意；C .如图，∵E 、F 、G 、H 分别为各边的中点，∴EF//AC ，GH//AC ，EH//BD ，FG//BD(三角形的中位线平行于第三边)， ∴四边形EFGH 是平行四边形(两组对边分别平行的四边形是平行四边形)，∵AC ⊥BD ，EF//AC ，EH//BD ，∴∠EMO =∠ENO =90°，∴四边形EMON 是矩形(有三个角是直角的四边形是矩形)，∴∠MEN =90°，∴四边形EFGH 是矩形(有一个角是直角的平行四边形是矩形)，所以顺次连接对角线垂直的四边形的各边中点所得的四边形是矩形，故C 选项符合题意；D .∵关于x 的一元二次方程ax 2−4x +2=0有实数根，∴{a ≠0(−4)2−4a ⋅2≥0， ∴a ≤2且a ≠0，故选：C ．根据等腰三角形的性质可判断A ；利用特殊值法可判断B ；根据三角形中位线的性质和矩形的判定定理可判断C ；利用二次项系数非零和根的判别式△≥0，求出a 的取值范围，可判断D ．本题主要考查了等腰三角形的性质，乘方的意义，三角形中位线的性质，矩形的判定，一元二次方程根的判别式，熟练掌握等腰三角形的性质，乘方的意义，三角形中位线的性质是解决问题的关键．8.【答案】A【知识点】由实际问题抽象出二元一次方程组【解析】解：设主人追上客人时间用时为t 日，马的日行速度为v 里，根据题意可列方程组为{34−13=2t v =300(13+t)t， 故选：A ．设主人的马日行t 里，马的日行速度为v 里，根据“时间过了13日主人才发现．主人带上衣服追上，还衣服后再返回．到家时已是34日”可列方程组即可．本题是一道行程问题的数学应用题，考查了行程问题的追及问题，利用先行者的路程=后行者的路程建立等量关系是关键，本题理解主人往返行驶的时间是难点． 9.【答案】D【知识点】二次函数图象与系数的关系【解析】解：∵图象开口向下，与y 轴交点在y 轴正半轴，∴a <0，c =n >0，∵对称轴x =−b 2a =−12，∴b =a <0，∴abc >0，∴A 错误；∵图象与x 轴有两个交点，∴△=b 2−4ac >0，∴B 错误；∵二次函数y =ax 2+bx +c(a ≠0)的图象与x 轴相交于(−2,0)，∴4a −2b +c =0，∵b =a ，∴2a +c =0，即c =−2a ，∴a+c=a−2a=−a，∴(a+c)2=(−a)2=a2=b2，∴C错误；∵c=n，c=−2a，∴2a=−n，∴D正确．故选：D．根据函数图象的开口方向，对称轴、与坐标轴的交点逐项分析即可．本题考查二次函数的图象与系数的关系以及二次函数的性质，关键是对二次函数对车轴、交点坐标、开口方向等知识的运用．10.【答案】B【知识点】四边形综合【解析】解：∵AD=AB，∠BAD=∠ADF=90°，DF=AE，∴△ADF≌△BAE(SAS)，∴∠DAF=∠ABE，BE=AF，∵∠MAF=45°，∴∠DAF+∠BAM=45°，∴∠ABE+∠BAM=45°=∠AHG，∴∠AHG=∠MAF=45°，∴AG=GH，∠AGH=90°，故①正确；如图，连接AC，MF，过点A作AQ//BE，交CB的延长线于Q，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ACB=∠ACD=45°，AB=BC=3，∴AC=3√2，∵将AM绕点M旋转90°交AF的延长线于点N，∴AM=MN，∠AMN=90°，∴∠MAN=∠MNA=45°，∴∠MNA=∠MCA=45°，∴点A，点M，点C，点N四点共圆，∴∠AMN=∠ACN=90°，∴∠MCN=135°，故②正确；∵AQ//BE，AE//BC，∴四边形AEBQ是平行四边形，∠QAF=∠BAD=90°，∴AE=BQ=1，∠BAQ=∠DAF，AQ=BE=AF，∵∠FAM=45°，∴∠DAF+∠BAM=45°，∴∠BAQ+∠BAM=45°=∠QAM，∴∠QAM=∠MAF，又∵AM=AM，AQ=AF，∴△AQM≌△AFM(SAS)，∴QM=MF，∵MF2=CF2+MC2，∴(1+BM)2=(3−1)2+(3−BM)2，∴BM=32，∵AD//BC，∴△AEH∽△MBH，∴S△AEHS△BHM =(AEBM)2=49，∴设S△AEH=4a，S△BHM=9a，∵tan∠DAF=DFAD =EGAG=13，∴AG=3EG=GH，∴S△AGH=3a，∴S△AGHS△BHM =13，故③正确；∵点A，点M，点C，点N四点共圆，∴∠MNC=∠MAC，∵∠MAC+∠CAN=45°，∠CAN+∠DAF=45°，∴∠DAF=∠MAC=∠MNC，∴tan∠CNM=tan∠DAF=DFAD =13，故④错误；∵AB=BC，∠ABP=∠CBP=45°，BP=BP，∴△ABP≌△CBP(SAS)，∴AP=CP，∴∠PAC=∠PCA，∵∠ACN=90°，∴∠PAC+∠ANC=90°=∠PCA+∠PCN，∴∠PCN=∠PNC，∴PC=PN=AP，∵∠CAN+∠DAF=45°=∠DAF+∠BAM，∴∠CAN=∠BAM，∴tan∠CAN=tan∠BAM，∴BMAB =CNAC，∴323=3√2，∴CN=32√2，∴S△ACN=12×AC×CN=92，∵AP=PN，∴S△CPN=94，故⑤正确；故选：B．由“SAS”可证△ADF≌△BAE，可得∠DAF=∠ABE，由角的数量关系可求∠AHG=∠MAF=45°，可得AG=GH，故①正确；通过证明点A，点M，点C，点N四点共圆，可得∠AMN=∠ACN=90°，可求∠MCN=135°，故②正确；由“SAS”可证△AQM≌△AFM，可得QM=MF，在Rt△MFC中，利用勾股定理可求MB的长，通过证明△AEH∽△MBH，可得S△AEHS△BHM =(AEBM)2=49，设S△AEH=4a，S△BHM=9a，利用锐角三角函数可求AG=3EG=GH，可求S△AGH=3a，可得S△AGHS△BHM =13，故③正确；由圆周角定理可得∠DAF=∠MAC=∠MNC，可求tan∠CNM=tan∠DAF=DFAD =13，故④错误；由“SAS”可证△ABP≌△CBP，可得AP=CP，由余角性质可求AP=CP=PN，由锐角三角形可求CN的长，即可求△CNP的面积是94，故⑤正确．本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数等知识，求出BM的长是解题的关键．11.【答案】3a(a−b)2【知识点】提公因式法与公式法的综合运用【解析】解：原式=3a(a2−2ab+b2)=3a(a−b)2．故答案为：3a(a−b)2．先提取公因式3a，再根据完全平方公式分解因式即可．本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，考核学生的计算能力，先提取公因式3a 是解题的关键．12.【答案】0.96【知识点】概率公式【解析】解：∵在所抽取的样本容量为250的样本中，能答出社会主义核心价值观基本内容的有240人，=0.96，∴抽取的样本中能答出社会主义核心价值观基本内容的频率为240250∴可估计他能答出社会主义核心价值观基本内容的概率大约为0.96，故答案为：0.96．先求出所抽取的样本中能答出社会主义核心价值观基本内容的人数对应的频率，据此可估计能答出社会主义核心价值观基本内容的概率．考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．13.【答案】2√33【知识点】解直角三角形、圆周角定理、切线的性质【解析】解：∵线段AB与⊙O相切于点A，∴∠OAB=90°，∵AC是直径，∴∠ADC=90°，∵点D是OB中点，∴AD=OD=DB，∵OA=OD，∴OA=OD=AD，∴△OAD是等边三角形，∴∠AOD=∠OAD=∠ODA=60°，∴∠C=∠B=30°，∵tanB=OAAB =√33，∴AO=2，∴AC=4，∵tanC=AEAC =√33，∴AE=4√33，∴BE=AB−AE=2√33，故答案为：2√33．由切线的性质可得∠OAB=90°，由直角三角形的性质可得AD=OD=DB，可证△OAD 是等边三角形，可得∠AOD=∠OAD=∠ODA=60°，利用锐角三角函数可求OA，AE 的长，即可求解．本题考查了锐角三角函数的应用，圆的有关知识，等边三角形的判定和性质，证明△OAD 是等边三角形是解题的关键．14.【答案】(4√3−2.2)【知识点】解直角三角形的应用【解析】解：作AQ⊥PF于点Q，AE⊥CF于点E，BH⊥CF于H，∵山坡PD的坡比为1：√3，∴DFPF=1：√3，设DF=x，则PF=√3x，在Rt△PDF中，DF2+PF2=PD2=202，即x2+(√3x)2=202，解得x=10(米)，则DF=10米，PF=10√3米，设BQ=y，则PQ=√3y，在Rt△PBQ中，BQ2+PQ2=PB2=122，即y2+(√3y)2=122，解得y=6(米)，则BQ=6米，PQ=6√3米，∵四边形BQFH为矩形，∴FH=BQ=6米，BH=QF=PF−PQ=4√3米，∴DH=10−6=4(米)，∵四边形ABHE为矩形，∴EH=AB=1.8米，AE=BH=4√3米，∴DE=4−1.8=2.2(米)，∵山坡AB上的A处测得大树CD顶端C的仰角为45°，∴CE=AE=4√3米，则CD=CE−DE=4√3−2.2=(4√3−2.2)(米)．故答案为(4√3−2.2)．作AQ⊥PF于点Q，AE⊥CF于点E，BH⊥CF于H，根据坡比求出DF、PF的长度，BQ、PQ的长度，继而求出DE的长度，然后根据仰角为45°，求出CE的长，则CD的长度也可求出．本题考查了解直角三角形的应用，解答本题需要同学们理解仰角、俯角的定义，根据实际构造直角三角形，将实际问题转化为数学问题求解．15.【答案】−452【知识点】一次函数与反比例函数综合【解析】解：联立方程{y=2x y=10x，解得{x1=−√5y1=−2√5，{x2=√5y2=2√5，∴点A坐标为(−√5,−2√5)，点B坐标为(√5,2√5)，∵A，B关于原点对称，∴O为AB中点，又∵AD=BD，∴点D在线段AB的垂直平分线上，∴CO⊥AB，又∵AH⊥x轴，∴∠AOH+∠OAH=∠AOH+∠COH=90°，∴∠OAH=∠COH，作CE ⊥x 轴于点E ，∵OC =3OD ，点D 横坐标为−√5，∴点C 横坐标为−3√5，∵tan∠OAH =tan∠COH =OH AH =CE OE =12， ∴CE =12OE =3√52， ∴点C 坐标为(−3√5,3√52)， ∴k =−3√5×3√52=−452， 故答案为：−452．先联立方程求出点A 坐标，由AD =BD 得CO ⊥AB ，由OC =3OD 得点C 坐标，再通过tan∠OAH =tan∠COH 求出点C 坐标而求解．本题考查反比例函数的综合应用，解题关键是熟练掌握反比例函数与一次函数的性质，掌握相似三角形的性质及解直角三角形的方法．16.【答案】解：原式=6×√33−(2√3−1)+√3−1 =2√3−2√3+1+√3−1=√3．【知识点】特殊角的三角函数值、负整数指数幂、零指数幂、实数的运算【解析】先计算特殊角三角函数值、绝对值、幂的运算，再去括号合并同类项即可得到答案．此题考查的是实数的运算，掌握其运算法则是解决此题关键．17.【答案】解：原式=2(a−b)ab ÷(2ab a−b −a 2+b 2a−b ) =2(a −b)ab ÷−(a −b)2a −b=2(a −b)ab ⋅1−(a −b)=−2ab ，当a =−√2，b =√24时，原式=−√2×√24=4．【知识点】分式的化简求值【解析】根据分式的混合运算法则把原式化简，把a、b的值代入化简后的式子，根据二次根式的乘法法则计算，得到答案．本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则、二次根式的乘法法则是解题的关键．18.【答案】200 25 54 90 450【知识点】扇形统计图、用样本估计总体、统计表【解析】解：(1)由题意可得，m=60÷30%=200，n%=50÷200=25%，x=200--36−50=54，故答案为：200，25，54；(2)扇形统计图中，朗诵经典”所对应的圆心角度数是360°×25%=90°；故答案为：90；(3)由题意可得，全校1000名学生中，喜爱“制作手抄报”的学生有：1000×36200=180(名)，喜爱“唱响红歌”的学生有：1000×54200=270(名)，180+270=450(名)，答：估计喜欢“制作手抄报”和“唱响红歌”的学生共有450名．故答案为：450．(1)根据喜爱观看电影的有60人，占30%可以求得m的值，从而可以求得n、x的值；(2)根据“朗诵经典”的百分比，即可得到所对应的圆心角度数；(4)求出“制作手抄报”和“唱响红歌”占的百分比，可以估算出全校1000名学生中，喜欢“制作手抄报”和“唱响红歌”的学生数；本题考查扇形统计图、统计表、用样本估计总体．一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．19.【答案】解：(1)设富贵竹的进货单价为x元，则百合花进货单价为(x+7)元．根据题意得：160x −150x+7=10，解得x1=8，x2=−14(不符题意，舍去)，经检验，x=8是原方程的解，∴百合花的进货单价为x+7=8+7=15(元)，答：百合花进货单价为15元，富贵竹进货单价为8元；(2)设购买富贵竹m支，则购买百合花(200−m)支，购买年花费用为W元．∵200−m≥3m，∴m≤50，根据题意得：W=8m+15(200−m)=−7m+3000，∵−7<0，∴W随m的增大而减小，∵m≤50，∴当m=50时，W有最小值，此时，购买百合花数量为200−m=200−50=150(支)，答：当购买富贵竹50支，百合花150支时，所需总费用最小．【知识点】分式方程的应用、一元一次不等式的应用、一次函数的应用【解析】(1)设富贵竹的进货单价为x元，根据题意列出方程即可求出答案．(2)设购买富贵竹m支，则购买百合花(200−m)支，购买年花费用为W元，根据题意列出求出m的范围，再求出W与m的函数关系即可求出答案．本题考查一次函数的应用，解题的关键是正确求出百合花和富贵竹的进货单价，以及列出买年花费用与富贵竹数量之间的函数关系．20.【答案】(1)证明：由题意得，BC=CD，∴AB=BC=CD，∴∠1=∠CDB，∵BD是∠ABC的平分线，∴∠1=∠2，∴∠2=∠CDB，∴AB//CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AB=BC，∴平行四边形ABCD是菱形．(2)解：过点D作DH⊥BC交BC于点H．由题意得，DE是⊙O的直径，∴∠DBE=90°，在Rt△DBE中，tan∠BED=12BE=20，∴BD=10，DE=10√5，∴DC=12DE=5√5，∵四边形ABCD是菱形，∴BC=DC=5√5，点O是AC的中点，∵点C是DE的中点，∴OC=12BE=10，∴AC=2OC=20，∵12BD⋅AC=BC⋅DH，即12×10×20=5√5DH，∴DH=4√5，在Rt△DBE中，∠DHC=90°，∴sin∠BCD=DHCD =√55√5=45．【知识点】菱形的判定与性质、解直角三角形、圆周角定理、等腰三角形的性质【解析】(1)先证明AB//CD，推出四边形ABCD是平行四边形，再根据AB=BC推迟平行四边形ABCD是菱形．(2)过点D作DH⊥BC交BC于点H，在Rt△DBE中，tan∠BED=12，BE=20，BD=10，DE=10√5，推出DC=12DE=5√5，根据四边形ABCD是菱形推出BC=DC=5√5，OC=12BE=10，求出AC=2OC=20，再根据菱形面积公式12BD⋅AC=BC⋅DH，求出DH=4√5，进而sin∠BCD=DHCD =√55√5=45．本题考查了圆的相关计算与证明，熟练运用菱形的性质和圆的相关定理是解题的关键．21.【答案】解：(1)结论：DN=BN．理由：如图③，过点D、B分别作DG⊥MN、BH⊥MN交MN的延长线于点G、H，∵OM⊥AC，∴∠AMO=∠OHB=90°，∴∠AOM+∠MAO=90°，∵∠AOC=∠AOM+∠COH=90°，∴∠MAO=∠COH，∵OA=OB，∴△AOM≌△OBH(ASA)，∴OM=BH，∵DG⊥MN，∴∠DGO=∠CMO=90°，∴∠AOM+∠GDO=90°，∴∠GDO=∠COM，∵OD=OC，∴△DGO≌△OMC(AAS)，∴DG=OM，∴DG=BH，∵∠DGN=∠BHN=90°，∠DNG=∠BNH，∴△DGN≌△BHN(AAS)，∴DN=BN．(2)如图④，过点D、B分别作DG⊥MN、BH⊥MN交MN的延长线于点H，∵OM⊥AC，BH⊥MN，∴∠AMO=∠H=90°，∴∠AOM+∠2=90°，∵∠AOB=90°，∴∠AOM+∠2=90°，∴∠2=∠1，∴△AOM∽△OBH ， ∴OM BH =OA OB =68=34， ∵DG ⊥MN ， ∴∠DGO =∠CMO =90°，∴∠COM +∠OCA =90°，∵∠COD =90°，∴∠COM +∠3=90°，∴∠3=∠OCA ，∴△ODG∽△COM ，∴DG OM =OD OC =34， ∴OMBH ⋅DG OM =DGBH =34⋅34=916，∵∠DGN =∠H =90°，∠DNG =∠BNH ，∴△DGN∽△BHN ，∴DN BN =DG BH =916．(3)如图⑤中，在BO 取一点J ，使得OJ ：BJ =9：16，连接AJ ．∵DN ：BN =OJ ：BJ =9：16，∴JN//OD ，∴△BJN∽△BOD ，∴JN OD =BJ BO =1625，∵OD =3，∴JN =4825，∴点N 的运动轨迹是以J 为圆心，JO 为半径的圆，在Rt △AOJ 中，AJ =√AO 2+OJ 2=√62+(7225)2=6√76925， ∴AJ −JN ≤AN ≤AJ +JN ，∴6√769−4825≤AN ≤6√769+4825．【知识点】几何变换综合【解析】(1)如图③，过点D 、B 分别作DG ⊥MN 、BH ⊥MN 交MN 的延长线于点G 、H ，证明△AOM≌△OBH(ASA)，推出OM =BH ，证明△DGO≌△OMC(AAS)，推出DG =OM ，再证明△DGN≌△BHN(AAS)，可得结论．(2)如图④，过点D 、B 分别作DG ⊥MN 、BH ⊥MN 交MN 的延长线于点H ，证明△AOM∽△OBH ，推出OM BH =OA OB =68=34，证明△ODG∽△COM ，推出DG OM =OD OC =34，推出OM BH ⋅DG OM=DG BH =34⋅34=916，再证明△DGN∽△BHN ，可DN BN =DG BH =916． (3)如图⑤中，在BO 取一点J ，使得OJ ：BJ =9：16，连接AJ.证明JN =4825，推出点N 的运动轨迹是以J 为圆心，JO 为半径的圆，求出AJ ，可得结论．本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题． 22.【答案】解：(1)∵抛物线y =ax 2+bx +c(a ≠0)与x 轴交于A(−1,0)、与y 轴交于点C(0,2)且对称轴为直线x =12，∴{−b 2a =12a −b +c =0c =2，解得{a =−1b =1c =2，∴该抛物线的函数表达式为y =−x 2+x +2．(2)存在．如图1，作BH ⊥AC 于点H ，则∠BHC =90°．∵点B 与点A(−1,0)关于直线x =12对称，∴B(2,0)；∵C(0,2)，∴OA =1，OB =OC =2，∵∠AOC =∠BOC =90°，∴AC =√12+22=√5，BC =√22+22=2√2，由12×√5BH =12×2×(2+1)，得BH =6√55， ∴CH =√(2√2)2−(6√55)2=2√55， ∴tan∠ACB =BH CH =6√552√55=3；设M(12,m)，由AD DM =tan∠ADM =tan∠ACB =3，得12+1|m|=3，解得m 1=−12，m 2=12，点M 的坐标为(12,−12)或(12,12).(3)如图2，点F 在y 轴左侧．∵OB =OC =2，∠BOC =90°，∴∠OCB =∠OBC =45°；∵BE ⊥BC ，∴∠OBE =∠OEB =45°，∴OE =OB =2；∴E(0,−2)，∵线段CG 与线段C′G′关于直线BE 对称，∴直线CG 与直线C′G′的交点在直线BE 上，这个交点就是点E ，∴∠BEC =∠BEC′=45°，∴∠MEF =∠NEF =45°，∴∠MEN =90°； ∵∠MCE =∠NC′E ，CE =C′E ，∠CEM =∠C′EN ，∴△CEM≌△C′EN(ASA)．∴EM =EN ．由12EM ⋅EN =2，得EM 2=4，∴EM =2，∴M(−2,−2)．设直线CM 的函数表达式为y =kx +2，则−2k +2=−2，解得k =2，∴y =2x +2；设直线BE 的函数表达式为y =px −2，则2p −2=0，解得p =1，∴y =x −2，由{y =2x +2y =x −2，得{x =−4y =−6， ∴F(−4,−6)，∴BF =√(2+4)2+(0+6)2=6√2；如图3，点F 在y 轴右侧，则M(2,−2)．设直线CM 的函数表达式为y =rx +2，则2r +2=−2，解得r =−2，∴y =−2x +2，由{y =−2x +2y =x −2，得{x =43y =−23， ∴F(43,−23)，∴BF =√(2−43)2+(0+23)2=2√23． 综上所述，BF 的长为6√2或2√23．【知识点】二次函数综合【解析】(1)由抛物线y =ax 2+bx +c(a ≠0)与x 轴交于A(−1,0)、与y 轴交于点C(0,2)且对称轴为直线x =12列方程组，求a 、b 、c 的值；(2)作△ABC 的边AC 上的高BH ，由勾股定理求出AC 、BC 的长，由△ABC 的面积列方程求出BH 的长，再由勾股定理求出CH 的长，便可求出∠ACB 的正切值，再由∠AMD =∠ACB ，则它们的正切值相等求点M 的坐标；(3)由BE ⊥BC 且直线BC 与坐标轴的夹角为45°，可知BE 与坐标轴也成45°角，由轴对称的性质可得C′E ⊥x 轴，△MEN 是等腰直角三角形，根据它的面积为2列方程求出它的直角边的长，得到点M 的坐标，再由直线BE 与直线CM 的函数表达式求出它们的交点坐标，再求出BF 的长．此题重点考查二次函数的数象与性质、解直角三角形、用待定系数法求函数表达式、解方程组求函数图象的交点坐标、勾股定理等知识和方法，在解题过程中应注重数形结合、分类讨论等数学思想的运用，此题难度较大，属于考试压轴题．。
2021年广东省深圳市宝安区中考一模数学试卷
2021年广东省深圳市宝安区一模数学试卷一、选择题（每小题3分，共30分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的，请把答案按要求填涂到答题卡相应位置上）1．下列实数中，最大的数是（）A．πB．C．|﹣2|D．32．今年是中国共产党建党100周年，过去的100年是奋斗的100年，中国在各个方面都取得了巨大的成就．2020年GDP同比增长2.3%，GDP总量达到约102万亿元，其中102万用科学记数法表示为（）A．10.2×105B．1.02×106C．1.02×105D．10.2×1043．在一个不透明的口袋中装有4个红球和若干个白球，它们除颜色外其他完全相同．通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在25%附近，则口袋中白球可能有（）A．6个B．15个C．12个D．13个4．不等式组的解集是（）A．x＞2B．﹣3＜x＜2C．﹣1＜x＜2D．﹣2＜x＜25．关于数据3，﹣2，﹣1，0，5的说法正确的是（）A．平均数为﹣1B．中位数为1C．众数为5D．方差为6.86．关于一元二次方程x2+4x+3＝0根的情况，下列说法中正确的是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法确定7．如图，火车匀速通过隧道（隧道长大于火车长）时，火车进入隧道的时间x与火车在隧道内的长度y之间的关系用图象描述大致是（）A．B．C．D．8．如图，在▱ABCD中，AB＝5，BC＝8，以D为圆心，任意长为半径画弧，交AD于点P，交CD于点Q，分别以P、Q为圆心，大于PQ为半径画弧交于点M，连接DM并延长，交BC于B点E，连接AE，恰好有AE⊥BC，则AE的长（）A．3B．4C．5D．9．甲、乙两个工厂生产同一种类型口罩，每小时甲厂比乙厂多生产1000个这种类型口罩，甲厂生产30000个这种类型口罩所用的时间与乙厂生产25000个这种类型口罩所用的时间相同．设甲厂每小时生产这种类型口罩x个，依题意可列方程为（）A．30000250001000x x=+B．30000250001000x x=+C．30000250001000x x=-D．30000250001000x x=-10．如图，在矩形ABCD中，BC＝AB，E为BC中点，连接AE交BD于点F，连CF，下列结论：①AE⊥BD；②S矩形ABCD＝10S△CEF；③BC2＝2DO•DF；④＝．正确的有（）个．A．1B．2C．3D．4二、填空题（每小题3分，共15分，请把答案填到答题卡相应位置上）11．分解因式：x3﹣6x2+9x＝．12．若3a＝8，9b＝2，则3a﹣2b＝．13．从﹣2，﹣1，1，2中任选两个数作为y＝kx+b中的k和b，则该函数图象不经过第三象限的概率是．14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C作△ABC外接圆⊙O的切线交AB的垂直平分线于点D，AB的垂直平分线交AC于点E．若OE＝2，AB＝8，则CD＝．15．如图，在等腰Rt△ABC中，∠B＝90°，BA＝BC，D为BC上一点，且BD＝3，E为AD上一点，连接CE，∠CED＝45°，CE＝AE，则CE的长为．三、解答题（第16题5分，第17题6分，第18题8分，第19题8分，第20题8分，第21题10分，第22题10分，共55分。
2020-2021深圳宝安区福永中学初三数学上期末一模试卷含答案
2020-2021深圳宝安区福永中学初三数学上期末一模试卷含答案一、选择题1．已知二次函数y ＝ax 2+bx +c (a ＞0)的图象经过(0，1)，(4，0)，当该二次函数的自变量分别取x 1，x 2(0＜x 1＜x 2＜4)时，对应的函数值是y 1，y 2，且y 1＝y 2，设该函数图象的对称轴是x ＝m ，则m 的取值范围是( ) A ．0＜m ＜1B ．1＜m ≤2C ．2＜m ＜4D ．0＜m ＜42．已知y 关于x 的函数表达式是24y ax x a =--，下列结论不正确的是（ ） A ．若1a =-，函数的最大值是5B ．若1a =，当2x ≥时，y 随x 的增大而增大C ．无论a 为何值时，函数图象一定经过点(1,4)-D ．无论a 为何值时，函数图象与x 轴都有两个交点3．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC=1，将绕点A 逆时针旋转30°后得到Rt △ADE ，点B 经过的路径为弧BD ，则图中阴影部分的面积是( )A ．6πB ．3π C ．2π-12D ．124．二次函数236yx x =-+变形为()2y a x m n =++的形式，正确的是（ ）A ．()2313y x =--+ B ．()2313y x =--- C ．()2313y x =-++D ．()2313y x =-+-5．受益于电子商务发展和法治环境改善等多重因素，“快递业”成为我国经济的一匹“黑马”，2016年我国快递业务量为300亿件，2018年快递量将达到450亿件，若设快递量平均每年增长率为x ，则下列方程中，正确的是( ) A ．()3001x 450+= B ．()30012x 450+= C ．2300(1x)450+=D ．2450(1x)300-=6．某同学在解关于x 的方程ax 2+bx +c ＝0时，只抄对了a ＝1，b ＝﹣8，解出其中一个根是x ＝﹣1．他核对时发现所抄的c 是原方程的c 的相反数，则原方程的根的情况是（ ） A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．有一个根是x ＝1D ．不存在实数根7．抛物线2y ax bx c =++经过点(1，0)，且对称轴为直线1x =-，其部分图象如图所示．对于此抛物线有如下四个结论：①abc ＜0； ②20a b +=；③9a-3b+c=0；④若0m n >>，则1x m =-时的函数值小于1x n =-时的函数值．其中正确结论的序号是（ ）A ．①③B ．②④C ．②③D ．③④8．如图1，一个扇形纸片的圆心角为90°，半径为4．如图2，将这张扇形纸片折叠，使点A 与点O 恰好重合，折痕为CD ，图中阴影为重合部分，则阴影部分的面积为（ ）A ．4233π-B ．8433π-C ．8233π- D ．843π- 9．正五边形绕着它的中心旋转后与它本身重合，最小的旋转角度数是（ ） A ．36° B ．54° C ．72° D ．108°10．天虹商场一月份鞋帽专柜的营业额为100万元，三月份鞋帽专柜的营业额为150万元．设一到三月每月平均增长率为x ，则下列方程正确的是（ ） A ．100（1+2x ）＝150B ．100（1+x ）2＝150C ．100（1+x ）+100（1+x ）2＝150D ．100+100（1+x ）+100（1+x ）2＝15011．下列说法正确的是（ ）A ．“任意画出一个等边三角形，它是轴对称图形”是随机事件B ．某种彩票的中奖率为11000，说明每买1000张彩票，一定有一张中奖 C ．抛掷一枚质地均匀的硬币一次，出现正面朝上的概率为13D ．“概率为1的事件”是必然事件12．二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图像如图所示，下列结论正确是( )A ．0abc >B ．20a b +<C ．30a c +<D ．230ax bx c ++-=有两个不相等的实数根二、填空题13．关于x 的230x ax a --=的一个根是2x =-，则它的另一个根是___．14．如图，⊙O 的半径OD ⊥弦AB 于点C ，连结AO 并延长交⊙O 于点E ，连结EC ．若AB ＝8，CD ＝2，则EC 的长为_______．15．心理学家发现：学生对概念的接受能力y 与提出概念的时间x （分）之间的关系式为y=﹣0.1x 2+2.6x+43（0≤x≤30），若要达到最强接受能力59.9，则需________ 分钟．16．如图，在边长为2的正方形ABCD 中，以点D 为圆心，AD 长为半径画»AC，再以BC 为直径画半圆，若阴影部分①的面积为S 1，阴影部分②的面积为S 2，则图中S 1﹣S 2的值为_____．(结果保留π)17．如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝30cm ，BC ＝40cm ，现利用该三角形裁剪一个最大的圆，则该圆半径是_____cm ．18．在一个不透明的口袋中装有5个红球和3个白球，他们除颜色外其他完全相同，任意摸出一个球是白球的概率为________．19．三角形两边长分别是4和2，第三边长是2x 2﹣9x +4＝0的一个根，则三角形的周长是_____．20．如图，点A 是抛物线24y x x =-对称轴上的一点，连接OA ，以A 为旋转中心将AO 逆时针旋转90°得到AO ′，当O ′恰好落在抛物线上时，点A 的坐标为______________．三、解答题21．某超市销售一种商品，成本每千克40元，规定每千克售价不低于成本，且不高于80元，经市场调查，每天的销售量y （千克）与每千克售价x （元）满足一次函数关系，部分数据如下表： 售价x （元/千克） 50 60 70 销售量y （千克）1008060（1）求y 与x 之间的函数表达式；（2）设商品每天的总利润为W （元），则当售价x 定为多少元时，厂商每天能获得最大利润？最大利润是多少？（3）如果超市要获得每天不低于1350元的利润，且符合超市自己的规定，那么该商品每千克售价的取值范围是多少？请说明理由．22．某商店购进一批成本为每件 30 元的商品，经调查发现，该商品每天的销售量 y （件）与销售单价 x （元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示. （1）求该商品每天的销售量 y 与销售单价 x 之间的函数关系式；（2）若商店按单价不低于成本价，且不高于 50 元销售，则销售单价定为多少，才能使销售该商品每天获得的利润 w （元）最大？最大利润是多少？（3）若商店要使销售该商品每天获得的利润不低于 800 元，则每天的销售量最少应为多少件？23．已知抛物线2y x bx c =++经过()()1,0,3,0A B -两点．（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；（2）设点P 为抛物线上一点，若6PAB S ∆=，求点P 的坐标．24．汽车产业的发展，有效促进我国现代建设．某汽车销售公司2007年盈利3000万元，到2009年盈利4320万元，且从2007年到2009年，每年盈利的年增长率相同，该公司2008年盈利多少万元? 25．解方程：2（x-3）2=x 2-9．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】 【分析】根据二次函数图象上点的坐标特征即可求得． 【详解】解：当a ＞0时，抛物线开口向上，则点（0，1）的对称点为（x 0，1）， ∴x 0＞4，∴对称轴为x=m 中2＜m ＜4， 故选C ． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，画出草图更直观．2．D解析：D 【解析】 【分析】将a 的值代入函数表达式，根据二次函数的图象与性质可判断A 、B ，将x=1代入函数表达式可判断C ，当a=0时，y=-4x 是一次函数，与x 轴只有一个交点，可判断D 错误. 【详解】当1a =-时，()224125=--+=-++y x x x ， ∴当2x =-时，函数取得最大值5，故A 正确； 当1a =时，()224125y x x x =--=--， ∴函数图象开口向上，对称轴为2x =， ∴当2x ≥时，y 随x 的增大而增大，故B 正确； 当x=1时，44=--=-y a a ，∴无论a 为何值，函数图象一定经过(1,-4)，故C 正确；当a=0时，y=-4x ，此时函数为一次函数，与x 轴只有一个交点，故D 错误； 故选D. 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，以及一次函数与x 轴的交点问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键.3．A解析：A 【解析】 【分析】先根据勾股定理得到，再根据扇形的面积公式计算出S 扇形ABD ，由旋转的性质得到Rt △ADE ≌Rt △ACB ，于是S 阴影部分=S △ADE +S 扇形ABD -S △ABC =S 扇形ABD ． 【详解】∵∠ACB=90°，AC=BC=1，∴，∴S 扇形ABD =230=3606ππ⨯，又∵Rt △ABC 绕A 点逆时针旋转30°后得到Rt △ADE ， ∴Rt △ADE ≌Rt △ACB ，∴S 阴影部分=S △ADE +S 扇形ABD −S △ABC =S 扇形ABD =6π， 故选A. 【点睛】本题考查扇形面积计算，熟记扇形面积公式，采用作差法计算面积是解题的关键.4．A解析：A 【解析】 【分析】根据配方法，先提取二次项的系数-3，得到()232y x x =--，再将括号里的配成完全平方式即可得出结果． 【详解】解：()()()222236=323211313y x x x x x x x =-+--=--+-=--+，故选：A ． 【点睛】本题主要考查的是配方法，正确的掌握配方的步骤是解题的关键．5．C解析：C 【解析】 【分析】快递量平均每年增长率为x ，根据我国2016年及2018年的快递业务量，即可得出关于x 的一元二次方程，此题得解． 【详解】快递量平均每年增长率为x ， 依题意，得：2300(1x)450+=， 故选C ． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．6．A解析：A 【解析】 【分析】直接把已知数据代入进而得出c 的值，再解方程根据根的判别式分析即可． 【详解】∵x ＝﹣1为方程x 2﹣8x ﹣c ＝0的根， 1+8﹣c ＝0，解得c ＝9， ∴原方程为x 2－8x ＋9＝0，∵24b ac ∆=-＝（﹣8）2－4×9＞0， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：A ． 【点睛】本题考查一元二次方程的解、一元二次方程根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程()200++=≠ax bx c a ，根的情况由24b ac ∆=-来判别，当24b ac -＞0时，方程有两个不相等的实数根，当24b ac -＝0时，方程有两个相等的实数根，当24b ac -＜0时，方程没有实数根．7．D解析：D 【解析】 【分析】①根据抛物线开口方向、对称轴、与y 轴的交点即可判断； ②根据抛物线的对称轴方程即可判断；③根据抛物线y ＝ax 2+bx +c 经过点（1，0），且对称轴为直线x ＝﹣1可得抛物线与x 轴的另一个交点坐标为（﹣3，0），即可判断；④根据m ＞n ＞0，得出m ﹣1和n ﹣1的大小及其与﹣1的关系，利用二次函数的性质即可判断． 【详解】解：①观察图象可知： a ＜0，b ＜0，c ＞0，∴abc ＞0， 所以①错误；②∵对称轴为直线x ＝﹣1， 即﹣2ba＝﹣1，解得b ＝2a ，即2a ﹣b ＝0， 所以②错误；③∵抛物线y ＝ax 2+bx +c 经过点（1，0），且对称轴为直线x ＝﹣1， ∴抛物线与x 轴的另一个交点为（﹣3，0）， 当a ＝﹣3时，y ＝0，即9a ﹣3b +c ＝0， 所以③正确； ∵m ＞n ＞0， ∴m ﹣1＞n ﹣1＞﹣1，由x ＞﹣1时，y 随x 的增大而减小知x ＝m ﹣1时的函数值小于x ＝n ﹣1时的函数值，故④正确； 故选：D ． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，解决本题的关键是掌握二次函数的图象和性质及点的坐标特征．8．C解析：C 【解析】 【分析】连接OD ，根据勾股定理求出CD ，根据直角三角形的性质求出∠AOD ，根据扇形面积公式、三角形面积公式计算，得到答案．【详解】解：连接OD，在Rt△OCD中，OC＝12OD＝2，∴∠ODC＝30°，CD＝2223OD OC+=∴∠COD＝60°，∴阴影部分的面积＝260418223=23 36023π⨯-⨯⨯π-，故选：C．【点睛】本题考查的是扇形面积计算、勾股定理，掌握扇形面积公式是解题的关键．9．C解析：C【解析】正五边形绕着它的中心旋转后与它本身重合，最小的旋转角度数是3605=72度，故选C．10．B解析：B【解析】【分析】可设每月营业额平均增长率为x，则二月份的营业额是100（1+x），三月份的营业额是100（1+x）（1+x），则可以得到方程即可．【详解】设二、三两个月每月的平均增长率是x．根据题意得：100（1+x）2＝150，故选：B．【点睛】本题考查数量平均变化率问题．原来的数量为a，平均每次增长或降低的百分率为x的话，经过第一次调整，就调整到a×（1±x），再经过第二次调整就是a（1±x）（1±x）=a （1±x）2．增长用“+”，下降用“-”．11．D解析：D 【解析】试题解析：A 、“任意画出一个等边三角形，它是轴对称图形”是必然事件，选项错误； B. 某种彩票的中奖概率为11000，说明每买1000张，有可能中奖，也有可能不中奖，故B 错误；C. 抛掷一枚质地均匀的硬币一次,出现正面朝上的概率为12.故C 错误； D. “概率为1的事件”是必然事件,正确. 故选D.12．C解析：C 【解析】【分析】观察图象：开口向下得到a ＜0；对称轴在y 轴的右侧得到a 、b 异号，则b ＞0；抛物线与y 轴的交点在x 轴的上方得到c ＞0，所以abc ＜0；由对称轴为x=2ba-=1，可得2a+b=0；当x=-1时图象在x 轴下方得到y=a-b+c ＜0，结合b=-2a 可得 3a+c ＜0；观察图象可知抛物线的顶点为（1，3），可得方程230ax bx c ++-=有两个相等的实数根，据此对各选项进行判断即可.【详解】观察图象：开口向下得到a ＜0；对称轴在y 轴的右侧得到a 、b 异号，则b ＞0；抛物线与y 轴的交点在x 轴的上方得到c ＞0，所以abc ＜0，故A 选项错误； ∵对称轴x=2ba-=1，∴b=-2a ，即2a+b=0，故B 选项错误； 当x=-1时， y=a-b+c ＜0，又∵b=-2a ，∴ 3a+c ＜0，故C 选项正确； ∵抛物线的顶点为（1，3），∴230ax bx c ++-=的解为x 1=x 2=1，即方程有两个相等的实数根，故D 选项错误， 故选C.【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象，当a ＞0，开口向上，函数有最小值，a ＜0，开口向下，函数有最大值；对称轴为直线x=2ba-，a 与b 同号，对称轴在y 轴的左侧，a 与b 异号，对称轴在y 轴的右侧；当c ＞0，抛物线与y 轴的交点在x 轴的上方；当△=b 2-4ac ＞0，抛物线与x 轴有两个交点．二、填空题13．6【解析】【分析】【详解】解：设方程另一根为x1把x ＝－2代入方程得（－2）2＋2a －3a ＝0解得a ＝4∴原方程化为x2－4x －12＝0∵x1＋（－2）＝4∴x 1＝6故答案为6点睛：本题考查了一元二解析：6 【解析】【分析】【详解】解：设方程另一根为x1，把x＝－2代入方程得（－2）2＋2a－3a＝0，解得a＝4，∴原方程化为x2－4x－12＝0，∵x1＋（－2）＝4，∴x1＝6．故答案为6．点睛：本题考查了一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x1，x2，则x1＋ x2＝ba-，x1·x2＝ca．也考查了一元二次方程的解．14．【解析】【分析】设⊙O半径为r根据勾股定理列方程求出半径r由勾股定理依次求BE和EC的长【详解】连接BE设⊙O半径为r则OA=OD=rOC=r-2∵OD⊥AB∴∠ACO=90°AC=BC=AB=4在解析：213【解析】【分析】设⊙O半径为r，根据勾股定理列方程求出半径r，由勾股定理依次求BE和EC的长．【详解】连接BE，设⊙O半径为r，则OA=OD=r，OC=r-2，∵OD⊥AB，∴∠ACO=90°，AC=BC=12AB=4，在Rt△ACO中，由勾股定理得：r2=42+（r-2）2，r=5，∴AE=2r=10，∵AE为⊙O的直径，∴∠ABE=90°，由勾股定理得：BE=6，在Rt△ECB中，EC222264213BE BC+=+=.故答案是：213.【点睛】考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此题的关键．15．13【解析】【分析】直接代入求值即可【详解】试题解析：把y=599代入y=﹣01x2+26x+43得599=-01x2+26x+43解得：x1=x2=13分钟即学生对概念的接受能力达到599时需要1解析：13【解析】【分析】直接代入求值即可．【详解】试题解析：把y=59.9代入y=﹣0.1x2+2.6x+43得，59.9=-0.1x2+2.6x+43解得：x1=x2=13分钟．即学生对概念的接受能力达到59.9时需要13分钟．故答案为：13．考点：二次函数的应用．16．π【解析】【分析】如图设图中③的面积为S3构建方程组即可解决问题【详解】解：如图设图中③的面积为S3由题意：可得S1﹣S2＝π故答案为π【点睛】本题考查扇形的面积正方形的性质等知识解题的关键是学会利解析：1 2π【解析】【分析】如图，设图中③的面积为S3．构建方程组即可解决问题．【详解】解：如图，设图中③的面积为S3．由题意：2132231··241··12S SS Sππ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，可得S1﹣S2＝12π，故答案为12π．【点睛】本题考查扇形的面积、正方形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程组解决问题.17．【解析】【分析】根据勾股定理求出的斜边AB再由等面积法即可求得内切圆的半径【详解】由题意得：该三角形裁剪的最大的圆是Rt△ABC的内切圆设A C边上的切点为D连接OAOBOCOD∵∠ACB＝90°AC解析：【解析】【分析】根据勾股定理求出的斜边AB，再由等面积法，即可求得内切圆的半径.【详解】由题意得：该三角形裁剪的最大的圆是Rt△ABC的内切圆，设AC边上的切点为D，连接OA、OB、OC，OD，∵∠ACB＝90°，AC＝30cm，BC＝40cm，∴AB223040+50cm，设半径OD＝rcm，∴S△ACB＝12AC BC⋅＝111AC r BC r AB r222⋅+⋅+⋅，∴30×40＝30r+40r+50r，∴r＝10，则该圆半径是 10cm．故答案为：10．【点睛】本题考查内切圆、勾股定理和等面积法的问题，属中档题.18．【解析】【分析】【详解】解：∵在一个不透明的口袋中装有5个红球和3个白球∴任意从口袋中摸出一个球来P（摸到白球）==解析：3 8【解析】【分析】【详解】解：∵在一个不透明的口袋中装有5个红球和3个白球，∴任意从口袋中摸出一个球来，P（摸到白球）=353+=38.19．【解析】【分析】先利用因式分解法求出方程的解再由三角形的三边关系确定出第三边最后求周长即可【详解】解：方程2x2﹣9x+4＝0分解因式得：（2x﹣1）（x﹣4）＝0解得：x＝或x＝4当x＝时+2＜4解析：【解析】【分析】先利用因式分解法求出方程的解，再由三角形的三边关系确定出第三边，最后求周长即可．【详解】解：方程2x2﹣9x+4＝0，分解因式得：（2x﹣1）（x﹣4）＝0，解得：x＝12或x＝4，当x＝12时，12+2＜4，不能构成三角形，舍去；则三角形周长为4+4+2＝10．故答案为：10．【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，正确使用因式分解法解一元二次方程是解答本题的关键. 20．（22）或（2-1）【解析】∵抛物线y=x2-4x对称轴为直线x=-∴设点A坐标为（2m）如图所示作AP⊥y轴于点P作O′Q⊥直线x=2∴∠APO=∠AQO′=90°∴∠QAO′+∠AO′Q=90°解析：（2，2）或（2，-1）【解析】∵抛物线y=x2-4x对称轴为直线x=-42 2-=∴设点A坐标为（2，m），如图所示，作AP⊥y轴于点P，作O′Q⊥直线x=2，∴∠APO=∠AQO′=90°，∴∠QAO′+∠AO′Q=90°，∵∠QAO′+∠OAQ=90°，∴∠AO ′Q=∠OAQ ，又∠OAQ=∠AOP ，∴∠AO ′Q=∠AOP ，在△AOP 和△AO′Q 中，APO AQO AOP AO QAO AO ∠∠'⎧⎪∠∠'⎨⎪'⎩＝＝＝∴△AOP ≌△AO ′Q （AAS ），∴AP=AQ=2，PO=QO′=m ，则点O ′坐标为（2+m ，m-2），代入y=x 2-4x 得：m-2=（2+m ）2-4（2+m ），解得：m=-1或m=2，∴点A 坐标为（2，-1）或（2，2），故答案是：（2，-1）或（2，2）．【点睛】本题考查了坐标与图形的变换-旋转，全等三角形的判定与性质，函数图形上点的特征，根据全等三角形的判定与性质得出点O ′的坐标是解题的关键．三、解答题21．（1）y ＝﹣2x +200 （40≤x ≤80）；（2）售价为70元时获得最大利润，最大利润是1800元；（3）55≤x ≤80，理由见解析【解析】【分析】（1）待定系数法求解可得；（2）根据“总利润＝每千克利润×销售量”可得函数解析式，将其配方成顶点式即可得最值情况．（3）求得W ＝1350时x 的值，再根据二次函数的性质求得W ≥1350时x 的取值范围，继而根据“每千克售价不低于成本且不高于80元”得出答案．【详解】（1）设y ＝kx +b ，将（50，100）、（60，80）代入，得：501006080k b k b +=⎧⎨+=⎩， 解得：k 2b 200=-⎧⎨=⎩， ∴y ＝﹣2x +200 （40≤x ≤80）；（2）W ＝（x ﹣40）（﹣2x +200）＝﹣2x 2+280x ﹣8000＝﹣2（x ﹣70）2+1800，∴当x ＝70时，W 取得最大值为1800，答：售价为70元时获得最大利润，最大利润是1800元．（3）当W ＝1350时，得：﹣2x 2+280x ﹣8000＝1350，解得：x ＝55或x ＝85，∵该抛物线的开口向下，所以当55≤x ≤85时，W ≥1350，又∵每千克售价不低于成本，且不高于80元，即40≤x ≤80，∴该商品每千克售价的取值范围是55≤x ≤80．【点睛】考查二次函数的应用，解题关键是明确题意，列出相应的函数解析式，再利用二次函数的性质和二次函数的顶点式解答．22．（1）0.24R m =；（2）50x =时，w 最大1200=；（3）70x =时，每天的销售量为20件.【解析】【分析】（1）将点（30，150）、（80，100）代入一次函数表达式，即可求解；（2）由题意得w=（x-30）（-2x+160）=-2（x-55）2+1250，即可求解；（3）由题意得（x-30）（-2x+160）≥800，解不等式即可得到结论．【详解】（1）设y 与销售单价x 之间的函数关系式为：y=kx+b ，将点（30，100）、（45，70）代入一次函数表达式得：100307045k b k b+⎧⎨+⎩＝＝， 解得：2160k b -⎧⎨⎩＝＝， 故函数的表达式为：y=-2x+160；（2）由题意得：w=（x-30）（-2x+160）=-2（x-55）2+1250，∵-2＜0，故当x ＜55时，w 随x 的增大而增大，而30≤x≤50，∴当x=50时，w 由最大值，此时，w=1200，故销售单价定为50元时，该超市每天的利润最大，最大利润1200元；（3）由题意得：（x-30）（-2x+160）≥800，解得：x≤70，∴每天的销售量y=-2x+160≥20，∴每天的销售量最少应为20件．【点睛】此题主要考查了二次函数的应用以及一元二次不等式的应用、待定系数法求一次函数解析式等知识，正确利用销量×每件的利润=w 得出函数关系式是解题关键．23．（1）抛物线的解析式为y ＝x 2－2x －3，顶点坐标为（1，－4）； （2）P 点坐标为（13）或（1，3）或（0，－3）或（2，－3）．【解析】【分析】（1）由点A、B的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式，再利用配方法即可求出抛物线顶点坐标；（2）设P（x，y），根据三角形的面积公式以及S△P AB＝6，即可算出y的值，代入抛物线解析式即可得出点P的坐标．【详解】解：（1）把A（－1，0）、B（3，0）分别代入y＝x2＋bx＋c中，得：10 930b cb c-+⎧⎨++⎩＝＝，解得：23 bc=-⎧⎨=-⎩，∴抛物线的解析式为y＝x2－2x－3．∵y＝ x2－2x－3＝(x－1)2－4，∴顶点坐标为（1，－4）．（2）∵A（－1，0）、B（3，0），∴AB＝4．设P（x，y），则S△P AB＝12AB•|y|＝2|y|＝6，∴|y|＝3，∴y＝±3．①当y＝3时，x2－2x－3＝3，解得：x1＝1，x2＝1，此时P点坐标为（13）或（1，3）；②当y＝－3时，x2－2x－3＝－3，解得：x1＝0，x2＝2，此时P点坐标为（0，－3）或（2，－3）．综上所述，P点坐标为（1，3）或（13）或（0，－3）或（2，－3）．【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式、三角形的面积公式以及二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）利用待定系数法求出函数解析式；（2）设出点P的坐标，找出关于y的方程．24．2008年盈利3600万元．【解析】【分析】设该公司从2007年到2009年，每年盈利的年增长率是x，根据题意列出方程进行求解即可求出年增长率；然后根据2007年的盈利，即可算出2008年的盈利．【详解】解：设每年盈利的年增长率为x，由题意得：3000(1+x)2=4320，解得：10.2x =，2 2.2x =-（不合题意，舍去），∴年增长率20%，∴3000×(1+20%)=3600，答：该公司2008年盈利3600万元．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是求出从2007年到2009年，每年盈利的年增长率．25．x 1=3，x 2=9．【解析】试题分析：方程移项后，提取公因式化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．试题解析：方程变形得：2（x ﹣3）2﹣（x+3）（x ﹣3）=0，分解因式得：（x ﹣3）（2x ﹣6﹣x ﹣3）=0，解得：x 1=3，x 2=9．考点：解一元二次方程-因式分解法．。
2020-2021深圳市初三数学上期中一模试题含答案
3．在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+2x﹣3的图象如图所示，点A（x1，y1），B（x2，y2）是该二次函数图象上的两点，其中﹣3≤x1＜x2≤0，则下列结论正确的是（ ）
A．y1＜y2B．y1＞y2C．y的最小值是﹣3 D．y的最小值是﹣4
4．下列事件中，属于必然事件的是（）
A． B． C． D．
11．在一个不透明的袋子中装有5个黑球和3个白球，这些球的大小、质地完全相同，随机地从袋子中摸出4个球，下列事件是必然事件的是（）．
A．摸出的4个球中至少有一个球是白球B．摸出的4个球中至少有一个球是黑球
C．摸出的4个球中至少有两个球是黑球D．摸出的4个球中至少有两个球是白球
12．有两个一元二次方程 ， ，其中， ， ，下列四个结论中错误的是（）
A．AB．BC．CD．D
6．已知函数 的图象与x轴有交点．则 的取值范围是( )
A．k<4B．k≤4C．k<4且k≠3D．k≤4且k≠3
7．如图，某数学兴趣小组将边长为3的正方形铁丝框ABCD变形为以A为圆心，AB为半径的扇形（忽略铁丝的粗细），则所得的扇形DAB的面积为（）
A．6B．7C．8D．9
8．若关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则 的取值范围是（）
A． 且k≠1B． C． 且k≠1D．
9．设 是方程 的两个实数根，则 的值为（）
A．2017B．2018C．2019D．2020
10．如图，一个游戏转盘中，红、黄、蓝三个扇形的圆心角度数分别为 ， ， ．让转盘自由转动，指针停止后落在黄色区域的概率是
24．已知关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根 ， .
（1）若 为正整数，求 的值；
2021年广东省深圳市宝安区中考数学模拟试卷(一)
2021年广东省深圳市宝安区中考数学模拟试卷（一）一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的）1．（3分）4的算术平方根是( )A ．2B ．2±C ．16D ．16±2．（3分）下列四个图案分别是厨余垃圾、可回收物、有害垃圾、其他垃圾的标识，其中不是轴对称图形的是( )A ．B ．C ．D ．3．（3分）2021年3月20日至29日，“2021粤港澳大湾区深圳花展”将在深圳仙湖植物园开幕，届时将有7.1万2m 的绝美花海，19个国家，5大主题，38座花园供游客欣赏．数据7.1万2m 用科学记数法表示为( )A ．427110m ⨯B ．427.110m ⨯C ．527.110m ⨯D ．520.7110m ⨯4．（3分）为了增强学生预防新冠肺炎的安全意识，某校开展疫情防控知识竞赛．来自不同年级的30名参赛同学的得分情况如下表所示，这些成绩的中位数和众数分别是( ) 成绩/分84 88 92 96 100 人数/人 2 4 9 10 5A ．92分，96分B ．94分，96分C ．96分，96分D ．96分，100分 5．（3分）一个多边形的内角和是外角和的2倍，这个多边形是( )A ．四边形B ．五边形C ．六边形D ．八边形6．（3分）天虹商场购将两件商品清仓销售，售价均为120元，其中一件商品获利20%，另一件商品亏损20%，则天虹商场销售完这两件商品的盈亏情况为( )A ．盈利10元B ．亏损10元C ．不盈不亏D ．无法确定7．（3分）如图，Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，根据尺规作图的痕迹判断以下结论错误的是()A ．DB DE = B ．AB AE =C ．EDC BAC ∠=∠D ．DAC C ∠=∠8．（3分）如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么这个正整数就称为“智慧数”，例如：22532=-，5就是一个智慧数，则下列各数不是智慧数的是( )A ．2020B ．2021C ．2022D ．20239．（3分）如图，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠对称轴为直线1x =-，则下列结论不正确的是( )A ．0abc >B ．420a b c -+>C ．320b c +<D ．()(m am b b a m ++<是任意实数）10．（3分）如图，正方形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，M 是对角线AC 上的一个动点，直线BM 与直线AD 交于点E ，过A 作AH 垂直BE 于点H ，直线AH 与直线BD 交于点N ，连接EN 、OH ，则下列结论：①BM AN =；②OH 平分MHN ∠；③当//EN OM 时，2BN DN DB =⋅；④当M 为AO 中点时，25AH BM =，正确结论的个数有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二．填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）11．（3分）因式分解：()()a a b b b a ---= ．12．（3分）有五张背面相同的卡片，正面分别印有圆、矩形、等边三角形、菱形、平行四边形，现将五张卡片正面朝下洗匀任意摆放，从中随机抽取一张，抽到的卡片恰好是中心对称图形的概率为 ．13．（3分）如图，在菱形ABCD 中，60A ∠=︒，E 为AD 边上的一个动点，连接BE ，将AB 沿着BE 折叠得到A B '，A 的对应点为A '，连接A D '，当A B AD '⊥时，A DE '∠的度数为 ．14．（3分）如图，点A ，B ，C ，D 在正方形网格的格点上，连接AB 、CD 交于点P ，则tan APC ∠= ．15．（3分）如图6，直线443y x =-+与x 轴、y 轴分别交于C 、D 两点，点B 为线段OD 上的一个动点（不与O 、D 重合），点B 关于直线CD 的对称点B '恰好落在反比例函数(0,0)k y k x x=>>的图象上，连接CB ，CB '，BB '，B D '，当tan 2CBB '∠=时，k 的值为 ．三．解答题（本题共7小题，其中第16题5分，第17题6分，第18题8分，第19题8分，第20题8分，第21题10分，第22题10分，共55分）16．（5分）计算：011(2020)|23|3tan 45()3π----+︒+-． 17．（6分）解不等式组241342163x x x x -<-⎧⎪--⎨⎪⎩，并利用数轴确定不等式组的解集．18．（8分）某校对八年级学生进行一次垃圾分类知识竞赛，成绩x 分(x 为整数）评定为优秀、良好、合格、不合格四个等级（优秀、良好、合格、不合格分别用A 、B 、C 、D 表示），A 等级：90100x ，B 等级：8090x <，C 等级：6080x <，D 等级：060x <．该校随机抽取了一部分学生的成绩进行调查，并绘制不完整的统计图表．等级 频数（人数）频率A a20%B1640%C b mD410%请你根据统计图表提供的信息解答下列问题：（1）上表中的a=，b=，m=．（2）本次调查共抽取了名学生．请补全条形图．（3）若从D等级的4名学生中抽取两名学生进行问卷调查，请用画树状图或列表的方法求抽取的两名学生恰好是一男一女的概率．19．（8分）如图，在ABC=，点D是BC中点，点E是AD中点，延长BE至∆中，AB AC=，连接AF，CF，BF与AC交于点G，连接DG．F，使EF BE（1）求证：四边形ADCF是矩形．（2）若5BC=，求线段DG的长．AB=，620．（8分）为了抗击“新型肺炎”，我市某医药器械厂接受了生产一批高质量医用口罩的任务，任务要求在30天之内（含30天）生产A型和B型两种型号的口罩共200万只．在实际生产中，由于受条件限制，该工厂每天只能生产一种型号的口罩．已知该工厂每天可生产A型口罩的个数是生产B型口罩的2倍，并且加工生产40万只A型口罩比加工生产50万只B型口罩少用6天．（1）该工厂每天可加工生产多少万只B型口罩？（2）若生产一只A型口罩的利润是0.8元，生产一只B型口罩的利润是1.2元，在确保准时交付的情况下，如何安排工厂生产可以使生产这批口罩的利润最大？21．（10分）如图1，等腰ABC⊥于点D，F为弧AB上=，CD AB∆内接于O，AC BC的一个动点，连接CF 交AB 于点G ，P 为射线AB 上的一个动点，连接PF ，AF ．（1）求证：2CF CG CA ⋅=；（2）如图1，若PG PF =，求证：PF 为O 的切线；（3）在（2）的条件下，如图2，连接PC ，若FAP PCB ∠=∠，4AB CD ==，求11BG BP-的值．22．（10分）如图，二次函数257y ax ax =++与x 轴交于A 、C 两点，与y 轴交于B 点，若:7:2OB OC =．点P 是抛物线第二象限内的一个动点．连接PC 交y 轴于点D ，连接PB ．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，设P 点横坐标为t ，PBD ∆的面积为S ，求S 与t 的关系式；（3）如图2，作PE x ⊥轴于E ，连接ED ，点F 为ED 上一个动点，连接AF 交PE 于点F ，若290GAO EDO ∠+∠=︒，2DF EG =，求P 点坐标．2021年广东省深圳市宝安区中考数学模拟试卷（一）参考答案与试题解析一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的）1．（3分）4的算术平方根是( )A ．2B ．2±C ．16D ．16±【解答】解：224=， 4∴的算术平方根是2．故选：A ．2．（3分）下列四个图案分别是厨余垃圾、可回收物、有害垃圾、其他垃圾的标识，其中不是轴对称图形的是( )A ．B ．C ．D ．【解答】解：A 、是轴对称图形，故本选项不合题意；B 、不是轴对称图形，故本选项符合题意；C 、是轴对称图形，故本选项不合题意；D 、是轴对称图形，故本选项不合题意．故选：B ．3．（3分）2021年3月20日至29日，“2021粤港澳大湾区深圳花展”将在深圳仙湖植物园开幕，届时将有7.1万2m 的绝美花海，19个国家，5大主题，38座花园供游客欣赏．数据7.1万2m 用科学记数法表示为( )A ．427110m ⨯B ．427.110m ⨯C ．527.110m ⨯D ．520.7110m ⨯【解答】解：7.1万2242710007.110m m m ==⨯．故选：B．4．（3分）为了增强学生预防新冠肺炎的安全意识，某校开展疫情防控知识竞赛．来自不同年级的30名参赛同学的得分情况如下表所示，这些成绩的中位数和众数分别是()A．92分，96分B．94分，96分C．96分，96分D．96分，100分【解答】解：把这些数据从小到大排列，最中间的两个数是第15、16个数的平均数，所以全班30名同学的成绩的中位数是：9296942+=；96出现了10次，出现的次数最多，则众数是96，所以这些成绩的中位数和众数分别是94分，96分．故选：B．5．（3分）一个多边形的内角和是外角和的2倍，这个多边形是()A．四边形B．五边形C．六边形D．八边形【解答】解：设所求多边形边数为n，由题意得(2)1803602n-⋅︒=︒⨯解得6n=．则这个多边形是六边形．故选：C．6．（3分）天虹商场购将两件商品清仓销售，售价均为120元，其中一件商品获利20%，另一件商品亏损20%，则天虹商场销售完这两件商品的盈亏情况为() A．盈利10元B．亏损10元C．不盈不亏D．无法确定【解答】解：设获利服装成本价为x元，则(120%)120x+=，解得：100x=∴获利为：12010020-=（元)，设亏损服装成本价为y元，则(120%)120y-=（元)，解得：120y=∴亏损为：15012030-=（元)，∴亏损了302010-=（元)．故选：B．7．（3分）如图，Rt ABC∠=︒，根据尺规作图的痕迹判断以下结论错误的是(ABC∆中，90)A．DB DE=B．AB AE=C．EDC BAC∠=∠∠=∠D．DAC C【解答】解：由作图可知，DAE DAB∠=∠，90DEA B∠=∠=︒，=，AD AD∴∆≅∆，ADE ADB AAS()∴=，AB AEDB DE=，∠+∠=︒180AED B∴∠+∠=︒，BAC BDE180∠+∠=︒，180EDC BDE∴∠=∠，EDC BAC故A，B，C正确，故选：D．8．（3分）如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么这个正整数就称为“智慧数”，例如：22=-，5就是一个智慧数，则下列各数不是智慧数的是()532A．2020B．2021C．2022D．2023【解答】解：除1外，所有的奇数都是智慧数，所以，B，D选项都是智慧数，不符合题意；除4外，所有的能被4整除的偶数都是智慧数，所以A选项是智慧数，不符合题意，C选项不是智慧数，符合题意．故选：C．9．（3分）如图，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠对称轴为直线1x =-，则下列结论不正确的是( )A ．0abc >B ．420a b c -+>C ．320b c +<D ．()(m am b b a m ++<是任意实数）【解答】解：A 、抛物线开口向下0a ∴<， 对称轴为直线1x =-12b a=-- 20b a ∴=<，抛物线与y 轴交点在y 轴正半轴0c ∴>0abc ∴>故符合题意；B 、当2x =-时，从图象看2420y ax bx c a b c =++=-+<，故符合题意；C 、当1x =时，0y a b c =++<，而2b a =， 故302b c +<，不符合题意； D 、1x =-时，y 取得最大值，即2am bm c a b c ++<-+，故()(m am b b a m ++是任意实数），符合题意；故选：D ．10．（3分）如图，正方形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，M 是对角线AC 上的一个动点，直线BM 与直线AD 交于点E ，过A 作AH 垂直BE 于点H ，直线AH 与直线BD 交于点N ，连接EN 、OH ，则下列结论：①BM AN =；②OH 平分MHN ∠；③当//EN OM 时，2BN DN DB =⋅；④当M 为AO 中点时，25AH BM =，正确结论的个数有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解答】解：四边形ABCD 是正方形，90BAD ∴∠=︒，45BAC ADB ∠=∠=︒，AB AD =，AC BD ⊥，AN BE ⊥，90DAN AEB AEB ABE ∴∠+∠=∠+∠=︒，DAN ABE ∴∠=∠，()ADN BAM ASA ∴∆≅∆，BM AN ∴=，故①正确；90AHB AOB ∠=∠=︒，∴点A ，点B ，点O ，点H 四点共圆，45BAO BHO ∴∠=∠=︒，45BHO OHN ∴∠=∠=︒，故②正确；//EN OM ，45DEN OAD ADO ∴∠=∠=︒=∠，90END AOD ∠=∠=︒，EN DN ∴=，90BAD BNE ∠=∠=︒，∴点A ，点B ，点E ，点N 四点共圆，EAN EBN ∴∠=∠，ABE DBE ∴∠=∠，在ABE ∆和NBE ∆中，BAD BNEABE DBE BE BE∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABE NBE AAS ∴∆≅∆，AE EN ∴=，AB BN =，设AE EN DN x ===，DE ∴=，AD x AB BN ∴=+==，222)(3BN x x =+=+，2)(2DN DB x x x x ⋅=++=，2BN DN DB ∴≠⋅，故③错误；设OA BO a ==，点M 是AO 中点，12AM OM a ∴==，BM ∴==， 点A ，点B ，点O ，点H 四点共圆，OAN OBM ∴∠=∠，cos cos OB AH OBM OAN BM AM ∴∠=∠==，∴2AH a =，AH ∴=， ∴25AH BM =，故④正确， 故选：C ．二．填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）11．（3分）因式分解：()()a a b b b a ---= ()()a b a b -+ ．【解答】解：原式()()()()a a b b a b a b a b =-+-=-+，故答案为：()()a b a b -+．12．（3分）有五张背面相同的卡片，正面分别印有圆、矩形、等边三角形、菱形、平行四边形，现将五张卡片正面朝下洗匀任意摆放，从中随机抽取一张，抽到的卡片恰好是中心对称图形的概率为 45． 【解答】解：根据中心对称图形的性质，旋转180︒后，能够与原图形完全重合的图形是中心对称图形，∴只有圆、矩形、菱形、平行四边形是中心对称图形，共有5张不同卡片，∴抽出的卡片正面图案是中心对称图形的概率为：45， 故答案为：45． 13．（3分）如图，在菱形ABCD 中，60A ∠=︒，E 为AD 边上的一个动点，连接BE ，将AB 沿着BE 折叠得到A B '，A 的对应点为A '，连接A D '，当A B AD '⊥时，A DE '∠的度数为 15︒ ．【解答】解：如图，连接AA '，BD ，四边形ABCD 是菱形，AB AD ∴=，60A ∠=︒，ABD ∴∆是等边三角形，A B AD '⊥，A B '∴垂直平分AD ，30ABA '∠=︒，AA A D ''∴=，A AD A DA ''∴∠=∠，将AB 沿着BE 折叠得到A B '，AB A B '∴=，75BAA '∴∠=︒，15A AD A DA ''∴∠=∠=︒，故答案为：15︒．14．（3分）如图，点A ，B ，C ，D 在正方形网格的格点上，连接AB 、CD 交于点P ，则tan APC ∠= 12 ．【解答】解：设线段AB 上的格点为E ，把线段BE 向下平移1个单位得到DF ，如图，则//DF BE ，CDF APC ∴∠=∠，2221310CD =+=，222112CF =+=，222228FD =+=，而2810+=，222CD CF FD ∴=+，CDF ∴∆为直角三角形，90CFD ∠=︒，21tan 222CF CDF DF ∴∠===， 1tan 2APC ∴∠=． 故答案为：12．15．（3分）如图6，直线443y x =-+与x 轴、y 轴分别交于C 、D 两点，点B 为线段OD 上的一个动点（不与O 、D 重合），点B 关于直线CD 的对称点B '恰好落在反比例函数(0,0)k y k x x=>>的图象上，连接CB ，CB '，BB '，B D '，当tan 2CBB '∠=时，k 的值为19825．【解答】解：过点A 作AE OC ⊥于点E ，过点B '作B F OC '⊥于点F ，如图，BO OE ⊥，AE OE ⊥，B F OC '⊥，////OD AE B F ∴'． ∴四边形BOFB '为梯形．B 与B '关于直线CD 对称，CD ∴垂直平分线段BB '，即A 为BB '的中点．AE ∴为梯形BOCB '的中位线．令0x =，4y =，令0y =，3x =．(0,4)D ∴，(3,0)C ．4OD ∴=，03C =．225CD OD OC ∴=+=．tan 2AC CBB BA'∠==，∴设BA a =，则2AC a =，52DA a =-．90DAB DOC ∠=∠=︒，BDA CDO ∠=∠，DBA DCO ∴∆∆∽． ∴DA BA BD DO OC CD ==． ∴52435a a BD -==． 解得： 1.5a =， 2.5BD =．3AC ∴=， 1.5OB OD BD =-=．//AE OD ，CAE CDO ∴∆∆∽． ∴CA AE CE CD OD CO ==． ∴3543AE CE ==． 解得：125AE =，95CE =． 65OE OC CE ∴=-=． 1225OF OE ∴==． 2B F OB AE '+=，24331.5510B F ∴'=-=． 1233(,)510B ∴'． 123319851025k ∴=⨯=． 故答案为19825． 三．解答题（本题共7小题，其中第16题5分，第17题6分，第18题8分，第19题8分，第20题8分，第21题10分，第22题10分，共55分）16．（5分）计算：011(2020)|245()3π---︒+-．【解答】解：原式1(21(3)=-+-123=-+4=．17．（6分）解不等式组241342163x x x x -<-⎧⎪--⎨⎪⎩，并利用数轴确定不等式组的解集．【解答】解：241342163x x x x -<-⎧⎪⎨--⎪⎩①②， 解①得3x <；解②得2x -；所以不等式组的解集为23x -<，用数轴表示为：．18．（8分）某校对八年级学生进行一次垃圾分类知识竞赛，成绩x 分(x 为整数）评定为优秀、良好、合格、不合格四个等级（优秀、良好、合格、不合格分别用A 、B 、C 、D 表示），A 等级：90100x ，B 等级：8090x <，C 等级：6080x <，D 等级：060x <．该校随机抽取了一部分学生的成绩进行调查，并绘制不完整的统计图表．等级 频数（人数）频率 A a 20%B 16 40%C bm D 4 10%请你根据统计图表提供的信息解答下列问题：（1）上表中的a=8，b=，m=．（2）本次调查共抽取了名学生．请补全条形图．（3）若从D等级的4名学生中抽取两名学生进行问卷调查，请用画树状图或列表的方法求抽取的两名学生恰好是一男一女的概率．【解答】解：（1）本次调查共抽取的学生人数为：410%40÷=（人)，4020%8a∴=⨯=，8412b=+=，120%40%10%30%m=---=；故答案为：8，12，30%；（2）由（1）得：本次调查共抽取了40名学生，故答案为：40，补全条形图如图所示：（3）画树状图如图：共有12种等可能的结果，其中抽取的两名学生恰好是一男一女的结果有8种，∴抽取的两名学生恰好是一男一女的概率为82 123=．19．（8分）如图，在ABC∆中，AB AC=，点D是BC中点，点E是AD中点，延长BE至F，使EF BE=，连接AF，CF，BF与AC交于点G，连接DG．（1）求证：四边形ADCF是矩形．（2）若5AB=，6BC=，求线段DG的长．【解答】（1）证明：点E 是AD 中点，AE DE ∴=，在AEF ∆和DEB ∆中，AE DE AEF DEB EF EB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AEF DEB SAS ∴∆≅∆，AF DB ∴=，AFE DBE ∠=∠，//AF DB ∴，AB AC =，点D 是BC 中点，DB DC ∴=，AD BC ⊥，AF DC ∴=，90ADC ∠=︒，∴四边形ADCF 是平行四边形，90ADC ∠=︒，∴平行四边形ADCF 是矩形；（2）解：过G 作GH CD ⊥于H ，如图所示：则//GH AD ，5AB AC ==，点D 是BC 中点，AD BC ∴⊥，132BD CD BC ===， 2222534AD AC CD ∴=--，由（1）得：132AF DC BD BC ====，//AF BC ， AGF CGB ∴∆∆∽，∴12AG AF CG CB ==， 12AG CG ∴=， 1533AG AC ∴==， 103CG AC CG ∴=-=， //GH AD ，CGH CAD ∴∆∆∽，∴23GH CH CG AD CD CA ===， 2833GH AD ∴==，223CH CD ==， 1DH CD CH ∴=-=，22228731()33DG DH GH ∴=+=+=．20．（8分）为了抗击“新型肺炎”，我市某医药器械厂接受了生产一批高质量医用口罩的任务，任务要求在30天之内（含30天）生产A 型和B 型两种型号的口罩共200万只．在实际生产中，由于受条件限制，该工厂每天只能生产一种型号的口罩．已知该工厂每天可生产A 型口罩的个数是生产B 型口罩的2倍，并且加工生产40万只A 型口罩比加工生产50万只B 型口罩少用6天．（1）该工厂每天可加工生产多少万只B 型口罩？（2）若生产一只A 型口罩的利润是0.8元，生产一只B 型口罩的利润是1.2元，在确保准时交付的情况下，如何安排工厂生产可以使生产这批口罩的利润最大？【解答】解：（1）设工厂每天可加工生产x 万只B 型口罩，则504062x x-=．解得5x =．经检验5x =是原方程的根．答：该工厂每天可生产5万只B 型口罩．（2）设安排工厂生产A 型口罩a 万只，则生产B 型口罩(200)a -万只，这批口罩的总利润为W 万元，则有：0.8 1.2(200)0.4240W a a a =+-=-+．要确保准时交付， ∴20030,100105a a a -+． 0.40k =-<，W 随a 的增大而减小，∴当100a =时，200W =最大值万元．答：应该安排该工厂生产100万只A 型口罩，100万只B 型口罩时利润最大．21．（10分）如图1，等腰ABC ∆内接于O ，AC BC =，CD AB ⊥于点D ，F 为弧AB 上的一个动点，连接CF 交AB 于点G ，P 为射线AB 上的一个动点，连接PF ，AF ．（1）求证：2CF CG CA ⋅=；（2）如图1，若PG PF =，求证：PF 为O 的切线；（3）在（2）的条件下，如图2，连接PC ，若FAP PCB ∠=∠，4AB CD ==，求11BG BP-的值．【解答】（1）证明：AC BC =，∴AC BC =， CAG CFA ∴∠=∠，ACG FCA ∠=∠，CAG CFA ∴∆∆∽，CF CA2CA CF CG ∴=⋅；（2）证明：如图1，连接OF ，OC OF =，OCF OFC ∴∠=∠；CD AB ⊥，90CDG ∴∠=︒，90OCF CGD ∴∠+∠=︒，90OFC CGD ∴∠+∠=︒，CGD PGF ∠=∠，90OFC PGF ∴∠+∠=︒，PG PF =，PGF PFG ∴∠=∠，90PFG OFC ∴∠+∠=︒，OF PF ∴⊥，又OF 为半径，PF ∴为为O 的切线；（3）如图2，过点B 作BM PC ⊥于M ，BN FC ⊥于N ， PCB FAP FCB ∠=∠=∠，BC ∴平分PCF ∠，BM BN ∴=， ∴1212CBGCBP CG BN S CG S CP CP BM ∆∆⋅==⋅，1212CBG CBPBG AD S BG S BP BP AD ∆∆⋅==⋅，CP BP CD AB ⊥， 122BD AD AB ∴===，设BG x =，BP y =，则2DG BD BG x =-=-，2DP BD BP y =+=+，根据勾股定理得，2222224(2)420CG CD DG x x x =+=+-=-+，2222224(2)420CP CD DP y y y =+=++=++，∴2222CG BG CP BP =，∴2222420420x x x y y y -+=++，∴2222420420y y x x y x ++-+=，∴22420420y x y x +-+=，5()xy y x ∴=-，∴15y xxy -=，∴1115x y -=，∴1115BG BP -=．22．（10分）如图，二次函数257y ax ax =++与x 轴交于A 、C 两点，与y 轴交于B 点，若:7:2OB OC =．点P 是抛物线第二象限内的一个动点．连接PC 交y 轴于点D ，连接PB ．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，设P 点横坐标为t ，PBD ∆的面积为S ，求S 与t 的关系式；（3）如图2，作PE x ⊥轴于E ，连接ED ，点F 为ED 上一个动点，连接AF 交PE 于点F ，若290GAO EDO ∠+∠=︒，2DF EG =，求P 点坐标．【解答】解析：（1）B 点是二次函数257y ax ax =++与y 轴交点， 当0x =时，7y =，(0,7)B ∴，7OB =，:7:2OB OC =，2OC ∴=，(2,0)C ∴，把C 点坐标代入解析式得41070a a ++=， 解得：12a =-，∴函数解析式为：215722y x x =--+； （2）如图1，作PH x ⊥轴于H ，90COD CHP ∠=∠=︒，PCA PCA ∠=∠， CDO CPH ∴∆∆∽， ∴OD OC PH CH=， P 点在抛物线21517(7)(2)222y x x t t =--+=-+-上， 1(,(7)(2))2P t t t ∴-+-， 2CH t =-，1(7)(2)2PH t t =-+-， ∴212(7)(2)2ODtt t =--+-， 7OD t ∴=+，7(7)BD OB OD t t =-=-+=-， 2111()()222S BD OH t t t ∴=⋅=--=； （3）90EDO DEO ∠+∠=︒，290EDO GAO ∠+∠=︒， 2DEO GAO ∴∠=∠，GAO GFE ∴∠=∠， A 点是抛物线与x 轴的交点坐标，(7,0)A ∴-，7AE EF t ∴==+，7OD t =+，即AE EF OD ==，设EG y =，则2DF y =，延长EA 至K ，使2AK y =， 则EK DE =，AFE ∴∆和KED ∆为同顶角的等腰三角形， FAE DKE ∴∠=∠，又90GEA DOK ∠=∠=︒，AGE KDO ∴∆∆∽， ∴GE AE OD KO=，∴227,(7)72772y t t y y t y+=+=+++即① 在Rt EDO ∆中，222OE OD DE +=，222()(7)(27)t t y t ∴-++=++，即224(7)4t y t y =++②， 联立①②得，10t =（舍去），24t =-， (4,9)P ∴-．。
2020-2021深圳宝安区福永中学初三数学下期中一模试卷含答案
4．观察下列每组图形，相似图形是（
C． a ）
A．
B．
D． a
C．
5．如图，过反比例函数 S△AOB=2，则 的值为（ ）
D． 的图像上一点 A 作 AB⊥ 轴于点 B，连接 AO，若
A．2
B．3
C．4
D．5
6．如图，正方形 ABCD 中，M 为 BC 上一点，ME⊥AM，ME 交 CD 于点 F，交 AD 的延
的面积为_____．
20．如图，在△ABC 中，∠C＝90°，BC＝16 cm，AC＝12 cm，点 P 从点 B 出发，沿 BC 以 2 cm/s 的速度向点 C 移动，点 Q 从点 C 出发，以 1 cm/s 的速度向点 A 移动，若点 P、Q 分别从点 B、C 同时出发，设运动时间为 ts，当 t＝__________时，△CPQ 与△CBA 相似．
17．如图，在平面直角坐标系中，正方形 ABCD 与正方形 BEFG 是以原点 O 为位似中心的
位似图形，且相似比为 1 ，点 A，B，E 在 x 轴上，若正方形 BEFG 的边长为 6，则点 C 的 3
坐标为________.
18．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左侧墙上与地面成 60°角时，梯子
1）
D．（8，﹣4）
12．如图，A、B、C 三点在正方形网格线的交点处，若将△ABC 绕着点 A 逆时针旋转得到
△AC′B′，则 tanB′的值为（ ）
A． 1 2
二、填空题
B． 2 4
C． 1 4
D． 1 3
13．若点 A(m，2)在反比例函数 y＝ 的图象上，则当函数值 y≥－2 时，自变量 x 的取值
A．1：3
B．1：4
2020-2021深圳市宝安中学九年级数学下期中第一次模拟试题(含答案)
2020-2021深圳市宝安中学九年级数学下期中第一次模拟试题(含答案)一、选择题1．若反比例函数k y x =(x<0)的图象如图所示，则k 的值可以是（ ）A ．-1B ．-2C ．-3D ．-42．如图，123∠∠∠==，则图中相似三角形共有（ ）A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对 3．如图，线段CD 两个端点的坐标分别为C （1，2）、D （2，0），以原点为位似中心，将线段CD 放大得到线段AB ，若点B 坐标为（5，0），则点A 的坐标为（ ）A ．（2，5）B ．（2.5，5）C ．（3，5）D ．（3，6）4．在Rt ABC ∆中，90,2,1C AC BC ∠=︒==，则cos A 的值是( )A ．25B ．5C ．5D ．125．如图，直线12y x b =-+与x 轴交于点A ，与双曲线4(0)y x x =-<交于点B ，若2AOB S ∆=，则b 的值是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1 6．如果两个相似三角形对应边之比是1:3，那么它们的对应中线之比是（ ）A ．1:3B ．1:4C ．1:6D ．1:9 7．如图，ABC △与ADE 相似，且ADE B ∠=∠，则下列比例式中正确的是（ ）A ．AE AD BE DC =B ．AE AB AB AC = C ．AD AB AC AE = D ．AE DE AC BC= 8．如图，正方形ABCD 中，M 为BC 上一点，ME ⊥AM ，ME 交CD 于点F ，交AD 的延长线于点E ，若AB ＝4，BM ＝2，则△DEF 的面积为（ ）A ．9B ．8C ．15D ．14.59．在小孔成像问题中，如图所示，若为O 到AB 的距离是18 cm ，O 到CD 的距离是6 cm ，则像CD 的长是物体AB 长的（ ）A ．13B ．12C ．2倍D ．3倍10．已知2x =3y ，则下列比例式成立的是（ ）A ．B ．C ．D ．11．如图，在ABC ∆中，//DE BC ，9AD =，3DB =，2CE =，则AC 的长为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．912．如图，阳光从教室的窗户射入室内，窗户框AB 在地面上的影子长DE ＝1.8m ，窗户下沿到地面的距离BC ＝1m ，EC ＝1.2m ，那么窗户的高AB 为（ ）A ．1.5mB ．1.6mC ．1.86mD ．2.16m二、填空题13．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌谣：“今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？”意思就是：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆（如图所示），它的影长五寸（提示：1丈＝10尺，1尺＝10寸），则竹竿的长为_____．14．一天，小青想利用影子测量校园内一根旗杆的高度，在同一时刻内，小青的影长为2米，旗杆的影长为20米，若小青的身高为1.60米，则旗杆的高度为__________米.15．在ABC ∆中，若45B ∠=，102AB =，55AC =，则ABC ∆的面积是______．16．如图，矩形ABCD 的顶点,A C 都在曲线k y x= （常数0k ≥，0x >）上，若顶点D 的坐标为()5,3，则直线BD 的函数表达式是_.17．如图，点A 在双曲线y ＝6x（x ＞0）上，过点A 作AB ⊥x 轴于点B ，点C 在线段AB 上且BC ：CA ＝1：2，双曲线y ＝k x （x ＞0）经过点C ，则k ＝_____．18．如图，当太阳光与地面成角时，直立于地面的玲玲测得自己的影长为1.25m ，则玲玲的身高约为________m ．（精确到0. 01m ）（参考数据：sin55°≈0.8192，cos55°≈0.5736，tan55°≈1.428）.19．在 ABC 中， 6AB = ， 5AC = ，点D 在边AB 上，且 2AD = ，点E 在边AC 上，当 AE = ________时，以A 、D 、E 为顶点的三角形与 ABC 相似．20．如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在边BC 上，2EC BE =，联结AE 交BD 于点F ，若BFE ∆的面积为2，则AFD ∆的面积为______.三、解答题21．已知：△ABC 中，∠A ＝36°，AB ＝AC ，用尺规求作一条过点B 的直线，使得截出的一个三角形与△ABC 相似．（保留作图痕迹，不写作法）22．如图，已知反比例函数11k y x=（k 1＞0）与一次函数2221(0)y k x k =+≠相交于A 、B 两点，AC ⊥x 轴于点C . 若△OAC 的面积为1，且tan ∠AOC ＝2 .（1）求出反比例函数与一次函数的解析式；（2）请直接写出B 点的坐标，并指出当x 为何值时，反比例函数y 1的值大于一次函数y 2的值.23．如图，一次函数y ＝kx +2的图象与反比例函数y ＝m x 的图象交于点P ，点P 在第一象限．P A ⊥x 轴于点A ，PB ⊥y 轴于点B ．一次函数的图象分别交x 轴、y 轴于点C 、D ，且S △PBD ＝4，12OC OA =． （1）求点D 的坐标； （2）求一次函数与反比例函数的解析式；（3）根据图象写出当x ＞0时，一次函数的值大于反比例函数的值的x 的取值范围．24．如图，在一次综合实践活动中，小亮要测量一楼房的高度，先在坡面D 处测得楼房顶部A 的仰角为30，沿坡面向下走到坡脚C 处，然后向楼房方向继续行走10米到达E 处，测得楼房顶部A 的仰角为60︒．已知坡面10CD =米，山坡的坡度1:3i =（坡度i 是指坡面的铅直高度与水平宽度的比），求楼房AB 高度．（结果精确到0.1米）（参考数据：3 1.73≈，2 1.41≈）25．如图，某市郊外景区内一条笔直的公路l 经过A 、B 两个景点，景区管委会又开发了风景优美的景点C .经测量，C 位于A 的北偏东60︒的方向上，B 的北偏东30的方向上，且10AB km =.(1)求景点B 与C 的距离.(2)求景点A 与C 的距离.(结果保留根号)【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【解析】【分析】由图像可知，反比例函数与线段AB 相交，由A 、B 的坐标，可求出k 的取值范围，即可得到答案.【详解】如图所示：由题意可知A （-2,2），B （-2,1），∴1-2⨯2<<-2⨯k ，即4-<<-2k故选C.【点睛】本题考查反比例函数的图像与性质，由图像性质得到k 的取值范围是解题的关键.2．D解析：D【解析】【分析】根据已知及相似三角形的判定定理，找出题中存在的相似三角形即可.【详解】∵∠1＝∠2，∠C＝∠C，∴△ACE∽△ECD，∵∠2＝∠3,∴DE∥AB，∴△BCA∽△ECD，∵△ACE∽△ECD，△BCA∽△ECD，∴△ACE∽△BCA，∵DE∥AB，∴∠AED＝∠BAE，∵∠1＝∠2，∴△AED∽△BAE，∴共有4对，故此选D 选项.【点睛】本题考查学生对相似三角形判断依据的理解掌握，也考察学生的看图分辨能力.3．B解析：B【解析】试题分析：∵以原点O为位似中心，在第一象限内，将线段CD放大得到线段AB，∴B点与D点是对应点，则位似比为5：2，∵C（1，2），∴点A的坐标为：（2.5，5）故选B．考点：位似变换；坐标与图形性质．4．A解析：A【解析】【分析】根据勾股定理，可得AB的长，根据余弦函数等于邻边比斜边，可得答案．【详解】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，由勾股定理，得22=5AC BC+∴cosA=255ACAB==，故选A．【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义以及勾股定理，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．5．D解析：D【解析】因为直线12y x b =-+与x 轴交于点A ,所以令y =0,可得:1 02x b -+=,解得2x b =, 则OA =2b ,又因为2AOB S ∆=,所以B 点纵坐标是:2b ,因为B 点在4(0)y x x =-<,所以B 点坐标为(－2b ,2b ),又因为B 点在直线12y x b =-+上,所以()2122b b b =-⨯-+,解得1b =±,因为直线12y x b =-+与y 轴交于正半轴,所以0b >,所以1b =,故选D. 6．A解析：A【解析】∵两个相似三角形对应边之比是1:3，∴它们的对应中线之比为1:3.故选A.点睛: 本题考查相似三角形的性质，相似三角形的对应边、对应周长，对应高、中线、角平分线的比，都等于相似比,掌握相似三角形的性质及灵活运用它是解题的关键.7．D解析：D【解析】【分析】利用相似三角形性质：对应角相等、对应边成比例，可得结论.【详解】由题意可得，A ABC DE ∽△△，所以AE DE AC BC=， 故选D .【点睛】在书写两个三角形相似时，注意顶点的位置要对应，即若ABC A B C '''∽△△，则说明点A 的对应点为点'A ，点B 的对应点B '，点C 的对应点为点C '. 8．A解析：A【解析】【分析】由勾股定理可求AM 的长，通过证明△ABM ∽△EMA ，可求AE=10，可得DE=6，由平行线分线段成比例可求DF 的长，即可求解．【详解】解：∵AB ＝4，BM ＝2，∴AM ===，∵四边形ABCD 是正方形，∴AD ∥BC ，∠B ＝∠C ＝90°，∴∠EAM＝∠AMB，且∠B＝∠AME＝90°，∴△ABM∽△EMA，∴BM AM AM AE=∴25AE 25=∴AE＝10，∴DE＝AE﹣AD＝6，∵AD∥BC，即DE∥MC，∴△DEF∽△CMF，∴DE DF MC CF=，∴642DFCF=-＝3，∵DF+CF＝4，∴DF＝3，∴S△DEF＝12DE×DF＝9，故选：A．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，勾股定理；熟练掌握相似三角形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键.9．A解析：A【解析】【分析】作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，根据题意得到△AOB∽△COD，根据相似三角形的对应高的比等于相似比计算即可．【详解】作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，由题意得,AB∥CD，∴△AOB∽△COD，∴CDAB=OFOE=13，∴像CD 的长是物体AB 长的13. 故答案选：A.【点睛】 本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是熟练的掌握相似三角形的应用.10．C解析：C【解析】【分析】把各个选项依据比例的基本性质，两内项之积等于两外项之积，已知的比例式可以转化为等积式2x =3y ，即可判断．【详解】A ．变成等积式是：xy =6，故错误；B ．变成等积式是：3x +3y =4y ，即3x =y ，故错误；C ．变成等积式是：2x =3y ，故正确；D ．变成等积式是：5x +5y =3x ，即2x +5y =0，故错误．故选C ．【点睛】本题考查了判断两个比例式是否能够互化的方法，即转化为等积式，判断是否相同即可．11．C解析：C【解析】【分析】根据平行线分线段成比例定理，由DE ∥BC 得AD AE DB EC =，然后利用比例性质求EC 和AE 的值即可【详解】∵//DE BC ， ∴AD AE DB EC =，即932AE =， ∴6AE =，∴628AC AE EC =+=+=．故选：C ．【点睛】此题考查平行线分线段成比例，解题关键在于求出AE12．A解析：A【解析】∵BE ∥AD ，∴△BCE∽△ACD，∴CB CEAC CD=，即CB CEAB BC DE EC=++，∵BC=1，DE=1.8，EC=1.2∴1 1.21 1.8 1.2 AB=++∴1.2AB=1.8，∴AB=1.5m．故选A．二、填空题13．四丈五尺【解析】【分析】根据同一时刻物高与影长成正比可得出结论【详解】解：设竹竿的长度为x尺∵竹竿的影长=一丈五尺=15尺标杆长=一尺五寸= 15尺影长五寸=05尺∴＝解得x=45（尺）故答案为：四丈解析：四丈五尺【解析】【分析】根据同一时刻物高与影长成正比可得出结论．【详解】解：设竹竿的长度为x尺，∵竹竿的影长=一丈五尺=15尺，标杆长=一尺五寸=1.5尺，影长五寸=0.5尺，∴x15＝1.50.5，解得x=45（尺）．故答案为：四丈五尺．【点睛】本题考查的是相似三角形的应用，熟知同一时刻物髙与影长成正比是解答此题的关键．14．16【解析】【分析】易得△AOB∽△ECD利用相似三角形对应边的比相等可得旗杆OA的长度【详解】解：∵OA⊥DACE⊥DA∴∠CED=∠OAB=90°∵CD∥OE∴∠CDA=∠OBA∴△AOB∽△E解析：16【解析】【分析】易得△AOB∽△ECD，利用相似三角形对应边的比相等可得旗杆OA的长度．【详解】解：∵OA⊥DA，CE⊥DA，∴∠CED=∠OAB=90°，∵CD ∥OE ，∴∠CDA=∠OBA ，∴△AOB ∽△ECD ， ∴CE OA 16OA ,DE AB 220==， 解得OA=16．故答案为16． 15．75或25【解析】【分析】过点作于点通过解直角三角形及勾股定理可求出的长进而可得出的长再利用三角形的面积公式即可求出的面积【详解】解：过点作垂足为如图所示在中；在中∴∴或∴或25故答案为：75或25解析：75或25【解析】【分析】过点A 作AD BC ⊥于点D ，通过解直角三角形及勾股定理可求出AD ，BD ，CD 的长，进而可得出BC 的长，再利用三角形的面积公式即可求出ABC ∆的面积．【详解】解：过点A 作AD BC ⊥，垂足为D ，如图所示．在Rt ABD ∆中，sin 10AD AB B =⋅=，cos 10BD AB B =⋅=；在Rt ACD ∆中，10AD =，55AC =，∴225CD AC AD =-=，∴15BC BD CD =+=或5BC BD CD =-=，∴1752ABC S BC AD ∆=⋅=或25． 故答案为：75或25．【点睛】本题考查了解直角三角形、勾股定理以及三角形的面积，通过解直角三角形及勾股定理，求出AD ，BC 的长度是解题的关键．16．【解析】【分析】利用矩形的性质和反比例函数图象上点的坐标特征得到A （3）C （5）所以B （）然后利用待定系数法求直线BD 的解析式【详解】∵D（53）∴A（3）C （5）∴B（）设直线BD 的解析式为y=m 解析：35y x =【解析】【分析】利用矩形的性质和反比例函数图象上点的坐标特征得到A （3k ，3），C （5，5k ），所以B （3k ，5k ），然后利用待定系数法求直线BD 的解析式． 【详解】∵D （5，3），∴A （3k ，3），C （5，5k ）， ∴B （3k ，5k ）， 设直线BD 的解析式为y=mx+n ，把D （5，3），B （3k ，5k ）代入得 5335m n k k m n ＝＝+⎧⎪⎨+⎪⎩，解得350m n ⎧⎪⎨⎪⎩＝＝， ∴直线BD 的解析式为35y x =． 故答案为35y x =． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=k x（k 为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x ，y ）的横纵坐标的积是定值k ，即xy=k ．也考查了矩形的性质．17．2【解析】【分析】根据反比例函数系数k 的几何意义即可得到结论【详解】解：连接OC∵点A 在双曲线y ＝（x ＞0）上过点A 作AB⊥x 轴于点B∴S△OAB＝×6＝3∵BC：CA ＝1：2∴S△OBC＝3×＝1解析：2【解析】【分析】根据反比例函数系数k的几何意义即可得到结论．【详解】解：连接OC，∵点A在双曲线y＝6x（x＞0）上，过点A作AB⊥x轴于点B，∴S△OAB＝12×6＝3，∵BC：CA＝1：2，∴S△OBC＝3×13＝1，∵双曲线y＝kx（x＞0）经过点C，∴S△OBC＝12|k|＝1，∴|k|＝2，∵双曲线y＝kx（x＞0）在第一象限，∴k＝2，故答案为2．【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数k的几何意义，熟练掌握反比例函数系数k的几何意义是解题的关键．18．79【解析】【分析】身高影长和光线构成直角三角形根据tan55°=身高：影长即可解答【详解】解：玲玲的身高=影长×tan55°=125×1428≈179（m）故答案为179【点睛】本题考查了解直角三解析：79【解析】【分析】身高、影长和光线构成直角三角形，根据tan55°=身高：影长即可解答．【详解】解：玲玲的身高=影长×tan55°=1.25×1.428≈1.79（m ）．故答案为1.79．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用、正切的概念、计算器的使用．19．【解析】当时∵∠A=∠A∴△AED∽△ABC 此时AE=；当时∵∠A=∠A∴△ADE∽△ABC 此时AE=；故答案是： 解析：51235或 【解析】 当AE AB AD AC=时， ∵∠A=∠A ， ∴△AED ∽△ABC ，此时AE=·621255AB AD AC ⨯==； 当AD AB AE AC=时， ∵∠A=∠A ，∴△ADE ∽△ABC ，此时AE=·52563AC AD AB ⨯==； 故答案是：12553或. 20．18【解析】【分析】根据求得BC=3BE 再由平行四边形得到AD ∥BC 判定△AD F ∽△EBF 再根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方求得结果【详解】∵∴BC=3BE ∵四边形ABCD 是平行四边形∴AD解析：18【解析】【分析】根据2EC BE =求得BC=3BE,再由平行四边形ABCD 得到AD ∥BC,判定△ADF ∽△EBF,再根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方求得结果.【详解】∵2EC BE =,∴BC=3BE,∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC,AD=BC,∴△ADF ∽△EBF,∴AD=3BE,∴AFD ∆的面积=9S △EBF =18，【点睛】此题考查相似三角形的判定与性质，由平行四边形ABCD 得到AD ∥BC,判定△ADF ∽△EBF 是解题的关键，再求得对应边的关系AD=3BE,即可求得AFD ∆的面积.三、解答题21．答案见解析.【解析】【分析】根据三角形相似的作图解答即可．【详解】解：如图，直线BD 即为所求．【点睛】此题主要考查相似图形的作法，关键是根据三角形相似的作图．22．（1）12y x =；21y x =+；（2）B 点的坐标为（－2，－1）；当0＜x ＜1和x ＜－2时，y 1＞y 2.【解析】【分析】（1）根据tan ∠AOC ＝AC OC＝2，△OAC 的面积为1，确定点A 的坐标，把点A 的坐标分别代入两个解析式即可求解；（2）根据两个解析式求得交点B 的坐标，观察图象，得到当x 为何值时，反比例函数y 1的值大于一次函数y 2的值．【详解】解：（1）在Rt △OAC 中，设OC ＝m ．∵tan ∠AOC ＝AC OC ＝2，∴AC ＝2×OC ＝2m ． ∵S △OAC ＝12×OC×AC ＝12×m×2m ＝1，∴m 2＝1．∴m ＝1（负值舍去）． ∴A 点的坐标为（1，2）．把A 点的坐标代入11k y x=中，得k 1＝2．∴反比例函数的表达式为12y x=． 把A 点的坐标代入221y k x =+中，得k 2＋1＝2，∴k 2＝1．∴一次函数的表达式21y x =+．（2）B 点的坐标为（－2，－1）．当0＜x ＜1和x ＜－2时，y 1＞y 2．【点睛】本题考查反比例及一次函数的的应用；待定系数法求解析式；图象的交点等，掌握反比例及一次函数的性质是本题的解题关键．23．（1）D （0,2）； （2）22y x =+；12y x =;（3）2x > 【解析】【分析】（1）在y=kx+2中，只要x=0得y=2即可得点D 的坐标为（0，2）．（2）由AP ∥OD 得Rt △PAC ∽Rt △DOC ，又12OC OA =，可得13OD OC AP AC ==，故AP=6，BD=6-2=4，由S △PBD =4可得BP=2，把P （2，6）分别代入y=kx+2与m y x =可得一次函数解析式为y=2x+2反比例函数解析式为12y x=； （3）当x ＞0时，一次函数的值大于反比例函数的值的x 的取值范围由图象能直接看出x ＞2．【详解】解：（1）在y=kx+2中，令x=0得y=2，∴点D 的坐标为（0，2）（2）∵AP ∥OD ，∴∠CDO=∠CPA ，∠COD=∠CAP ，∴Rt △PAC ∽Rt △DOC ， ∵12OC OA =，即13OD OC AP AC ==， ∴13OD OC AP AC == ∴AP=6，又∵BD=6-2=4， ∴由142PBD S BP BD =⋅=，可得BP=2， ∴P （2，6）（4分）把P （2，6）分别代入y=kx+2与m y x=可得一次函数解析式为：y=2x+2，反比例函数解析式为：12y x = （3）由图可得x ＞2．【点睛】 考查反比例函数和一次函数解析式的确定、图形的面积求法、相似三角形等知识及综合应用知识、解决问题的能力．有点难度．24．楼房AB 高度约为23.7米【解析】【分析】过D 作DG BC ⊥于G ，DH AB ⊥于H ，交AE 于F ，作FP BC ⊥于P ，则DG FP BH ==，DF GP =，求出30DCG ∠=︒，得出152FP DG CD ===，353CG DG ==，求出20310DF GP ==+，证出30DAF ADF ∠=︒=∠，得出20310AF DF ==+，得出110352FH AF ==+，因此31053AH FH ==+，即可得出答案．【详解】解：过D 作DG BC ⊥于G ，DH AB ⊥于H ，交AE 于F ，作FP BC ⊥于P ，如图所示：则,DG FP BH DF GP ===，∵坡面10CD =米，山坡的坡度3i =∴30DCG ∠=︒，∴152FP DG CD ===， ∴353CG DG ==∵60FEP ∠=︒，∴35FP EP ==，∴533EP =， ∴53203531010DF GP ==+=，∵60AEB ∠=︒，∴30EAB ∠=︒，∵30ADH ∠=︒，∴60DAH ∠=︒，∴30DAF ADF ∠=︒=∠， ∴20310AF DF ==+， ∴110352FH AF ==+， ∴31053AH FH ==+，∴105351553155 1.7323.7AB AH BH =+=++=+≈+⨯≈（米），答：楼房AB 高度约为23.7米．【点睛】此题是解直角三角形的应用--仰角，俯角问题，主要考查了仰角、坡度的定义，能够正确地构建出直角三角形，将实际问题化归为解直角三角形的问题是解答此类题的关键．25．(1)BC=10km ；(2)AC=103km.【解析】【分析】（1）由题意可求得∠C =30°，进一步根据等角对等边即可求得结果；（2）分别在Rt BCD ∆和Rt ACD ∆中利用锐角三角函数的知识解直角三角形即可求得结果.【详解】解：(1)过点C 作CD ⊥直线l ，垂足为D ，如图所示.根据题意，得：30CAD ∠=︒，60CBD ∠=︒，∴∠C =∠CBD －∠CAD =30°，∴∠CAD =∠C ，∴BC =AB =10km .(2) 在Rt BCD ∆中，sin CD CBD BC ∠=，∴sin 6053CD BC km ==， 在Rt ACD ∆中，1sin 2CD CAD AC ∠==，∴2103AC CD km ==.【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，属于基本题型，熟练掌握锐角三角函数的知识是解题的关键.。
2021年广东省深圳市中考一模数学试卷( 含答案)
2021年广东省深圳市中考一模数学试题一、选择题（共10小题）.1．在迎来庆祝新中国成立70周年之后，对于中国而言，2020年又将是一个新的时间坐标．过去40年，中国完成了卓越的经济转型，八亿两千万人成功脱贫，这是人类发展史上具有里程碑意义的重大成就．将820000000科学记数法表示为（ ） A ．98.210⨯B ．90.8210⨯C ．88.210⨯D ．78210⨯2．实数a ，b ，c 在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（ ）A ．a b c >>B ．||||b a >C ．0b c +<D ．0ab >3．画如图所示物体的俯视图，正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．4．下列运算正确的是（ ）A ．（﹣2a 2b ﹣1）2＝424a bB ．（a ＋b ）2＝a 2＋b 2C ﹣ 2D ．222a a b -＋222b b a -＝2a b- 5．某校男篮队员的年龄分布如表所示：对于不同的a ，下列关于年龄的统计量不会发生改变的是（ ） A ．平均数，中位数 B ．众数，中位数C ．众数，方差D ．平均数，方差6．商场将进价为100元的商品提高80%后标价，销售时按标价打折销售，结果仍获利44%，则这件商品销售时打几折（ ） A ．7折B ．7.5折C ．8折D ．8.5折7．以下说法正确的是（）A．三角形的外心到三角形三边的距离相等B．顺次连接对角线相等的四边形各边中点所得的四边形是菱形C．分式方程11222xx x-=---的解为x＝2D．将抛物线y＝2x2－2向右平移1个单位后得到的抛物线是y＝2x2－38．如图，平面直角坐标系xOy中，点A、B的坐标分别为（9，0）、（6，﹣9），△AB'O'是△ABO关于点A的位似图形，且O'的坐标为（﹣3，0），则点B'的坐标为（）A．（8，﹣12）B．（﹣8，12）C．（8，﹣12）或（﹣8，12）D．（5，﹣12）9．二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的顶点坐标为（﹣1，n），其部分图象如图所示，下面结论错误的是（）A．abc＞0B．4ac﹣b2＜0C．关于x的方程ax2＋bx＋c＝n＋1无实数根D．关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的正实数根x1取值范围为：1＜x1＜210．如图，边长为1的正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O．有直角∠MPN，使直角顶点P与点O重合，直角边PM、PN分别与OA、OB重合，然后逆时针旋转∠MPN，旋转角为θ（0°＜θ＜90°），PM、PN分别交AB、BC于E、F两点，连接EF交OB于点G，则下列结论中正确的是（）（1）EF OE ；（2）S 四边形OEBF ：S 正方形ABCD ＝1：4；（3）BE ＋BF OA ；（4）在旋转过程中，当△BEF 与△COF 的面积之和最大时，AE ＝34； （5）OG •BD ＝AE 2＋CF 2． A ．（1）（2）（3）（5） B ．（1）（3）（4）（5） C ．（2）（3）（4）（5） D ．（1）（2）（3）（4）二、填空题11．因式分解：9a 3b ﹣ab ＝_____．12．定义运算：*2a b ab =，若a ，b 是方程230x x +-=的两个根，则()1*2a b a ++的值为______．13．一个口袋中放有除颜色外，形状大小都相同的黑白两种球，黑球6个，白球10个．现在往袋中放入m 个白球和4个黑球，使得摸到白球的概率为35，则m ＝__． 14．在平面直角坐标系xOy 中，A （0，2），B （0，6），动点C 在直线y ＝﹣x 上，若以A 、B 、C 三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C 的个数为_____．15．如图，在平面直角坐标系中，已知菱形OABC ，点A 的坐标为（3，0），点B ，C 均在第一象限，反比例函数y ＝kx（x ＞0）的图象经过点C ，且与边AB 交于点D ，若D 是AB 的中点，则k 的值为_____．三、解答题16．计算：2020(1)2cos 45|2|--︒+-． 17．先化简再求值：（22a -+1）÷24a a -，其中a 是方程a 2+a ＝0的一个根． 18．面对突如其来的疫情，全国人民响应党和政府的号召，主动居家隔离．随之而来的，则是线上买菜需求激增．某小区为了解居民使用买菜APP 的情况，通过制作无接触配送置物架，随机抽取了若干户居民进行调查(每户必选且只能选最常用的一个APP)，现将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图： (A ：天虹到家，B ：叮咚买菜，C ：每日优鲜，D ：盒马鲜生)(1)本次随机调查了 户居民； (2)补全条形统计图的空缺部分；(3)若该小区共有1200户居民，请估计该小区居民选择“C ：每日优鲜”的大约有 户； (4)某日下午，张阿姨想购买苹果和生菜，各APP 的供货情况如下：天虹到家仅有苹果在售，叮咚买菜仅有生菜在售，每日优鲜仅有生菜在售，盒马鲜生的苹果、生菜均已全部售完，则张阿姨随机选择两个不同的APP 能买到苹果和生菜的概率是 ． 19．为了监控大桥下坡路段车辆行驶速度，通常会在下引桥处设置电子眼进行区间测速，如图，电子眼位于点P 处，离地面的铅锤高度PQ 为9米，区间测速的起点为下引桥坡面点A 处，此时电子眼的俯角为30°；区间测速的中点为下引桥坡脚点B 处，此时电子眼的俯角为60°（A 、B 、P 、Q 四点在同一平面）．（1）求路段BQ 的长（结果保留根号）；（2）当下引桥坡度1:i =AB 的长（结果保留根号）． 20．纸箱厂用如图1所示的长方形和正方形纸板，做成如图2所示的竖式与横式两种长方体形状的有底无盖纸盒（给定的长方形和正方形纸板都不用裁剪）．（1）若有150张正方形硬纸片和300张长方形硬纸片恰好全部用完，可供制作竖式与横式纸盒各多少个？（2）现有正方形纸板172张，长方形纸板330张． 若要生产两种纸盒共100个．已知每个竖式纸盒可获利2元，每个横式纸盒可获利3元．应如何安排生产，可使销售利润最大？最大利润是多少？（3）若有正方形纸板112张，长方形纸板a 张，做成上述两种纸盒，纸板恰好用完．若已知200＜a ＜210，则a 的值是 ．（直接写答案）21．在平面直角坐标系xOy 中，把与x 轴交点相同的二次函数图像称为“共根抛物线”．如图，抛物线2113:222L y x x =--的顶点为D ，交x 轴于点A 、B （点A 在点B 左侧），交y 轴于点C ．抛物线2L 与1L 是“共根抛物线”，其顶点为P ．（1）若抛物线2L 经过点(2,12)-，求2L 对应的函数表达式； （2）当BP CP -的值最大时，求点P 的坐标；（3）设点Q 是抛物线1L 上的一个动点，且位于其对称轴的右侧．若DPQ 与ABC 相似，求其“共根抛物线”2L 的顶点P 的坐标．22．如图1所示，以点M(−1，0)为圆心的圆与y 轴，x 轴分别交于点A ，B ，C ，D ，与(1)求⊙M的半径r；(2)如图2所示，连接CH，弦HQ交x轴于点P，若cos∠QHC=34，求PHPD的值；(3)如图3所示，点P为⊙M上的一个动点，连接PE，PF，求PF+12PE的最小值．参考答案1．C 【分析】科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中1||10a <，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于等于10时，n 是正数；当原数的绝对值小于1时，n 是负数． 解：88200000008.210=⨯． 故选：C 【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中1||10a <，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．2．D 【分析】根据,,a b c 对应的点在数轴上的位置，逐一判断即可． 解：由题意得：431023,a b c ---＜＜＜＜＜＜＜＜,,0,0,a b c a b b c ab ∴+＜＜＞＞＞∴A 错误，B 错误，C 错误，D 正确．故选D ． 【点评】本题考查的是有理数的大小比较，绝对值的概念，有理数的和的符号，积的符号的确定，掌握以上知识是解题的关键． 3．B 【分析】根据俯视图是从上面看得到的图形，可得答案．解：从上面看矩形分成两个矩形，分线是实线，故B 正确． 故选：B ． 【点评】本题考查了简单几何体的三视图，从上面看得到的图形是俯视图，能看到的线用实线画．4．A 【分析】直接利用积的乘方运算法则以及完全平方公式、二次根式的加减、分式的加减运算法则分别计算得出答案．解：A 、（﹣2a 2b ﹣1）2＝424a b，故此选项正确；B 、（a +b ）2＝a 2+2ab +b 2，故此选项错误；C ﹣，故此选项错误；D 、222222a b a b b a +--＝222a a b -﹣222ba b -＝2a b+，故此选项错误；故选：A ． 【点评】此题主要考查了积的乘方运算以及完全平方公式、二次根式的加减、分式的加减运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． 5．B 【分析】根据频数分布表可得前两组的频数和为4，然后求得总人数，最后结合频数分布表即可确定中位数和众数．解：由表可知，年龄13-14岁的频数和为a +4﹣a ＝4， 则总人数为：4+6＝10， 故该组数据的众数为15岁；将数据按大小排列后，第5个和第6个数据处于中间位置，则中位数为：15152+＝15岁. 即对于不同的a ，关于年龄的统计量不会发生改变的是众数和中位数. 故选：B ． 【点评】本题主要考查频数分布表及统计量的选择，根据表中数据得出数据特点确定总人数是解答本题的关键． 6．C 【分析】设这件商品销售时打x 折，根据利润=售价-进价，即可得出关于x 的一元一次方程，解之即可得出结论．解：设这件商品销售时打x 折， 依题意，得100×（1+80%）×10010044%10x-=⨯， 解得：x=8． 故选：C ． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 7．B 【分析】利用三角形的外心的性质、中点四边形、解分式方程以及抛物线的平移规律分别判断后即可确定正确的选项．解：A 、三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，故选项A 说法错误，不符合题意； B 、顺次连接对角线相等的四边形各边中点所得的四边形是菱形，故选项B 说法正确，符合题意； C 、11222x x x -=--- 去分母得，112(2)x x =--- 解这个整式方程得，x ＝2 经检验，x ＝2是原方程的增根，∴原方程无解，故选项C 说法错误，不符合题意；D 、将抛物线y =2x 2-2向右平移1个单位后得到的抛物线是y =2（x -1）2-2，故选项D 说法错误，不符合题意；； 故选：B ． 【点评】本题主要考查命题的真假判断，三角形的外心的性质、中点四边形、解分式方程及抛物线的平移等知识，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 8．D【分析】过点B作BC⊥OA于点C，过点B′作B′D⊥AO于点D，利用位似图形的性质可求出B′D 的长，可得B′的纵坐标，利用待定系数法可得直线AB的解析式，把B′纵坐标代入即可得B′的横坐标，即可得答案.【详解】过点B作BC⊥OA于点C，过点B′作B′D⊥AO于点D，∴BC、B′D分别是△ABO和△AB′O′的高，∵A（9，0）、B（6，﹣9），O′（-3，0），∴AO=9，AO′=12，BC=9，∵△AB′O′是△ABO关于点A的位似图形，∴AOAO'＝BCB D'，即912＝9DB'，解得：B′D＝12，∴点B′的纵坐标为-12，设直线AB的解析式为：y＝kx+b，∴9069 k bk b+=⎧⎨+=-⎩，解得：k3b27=⎧⎨=-⎩，∴直线AB的解析式为：y＝3x﹣27，当y＝﹣12时，﹣12＝3x﹣27，解得：x＝5，故B′点坐标为：（5，﹣12），故选D．【点评】此题主要考查了位似图形的性质以及相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的对应高的比等于相似比是解题关键.9．D【分析】根据抛物线开口方向，对称轴的位置以及与y 轴的交点可以对A 进行判断；根据抛物线与x 轴的交点情况可对B 进行判断；根据抛物线y ＝ax 2+bx +c 与直线y ＝n +1无交点，可对C 进行判断；根据抛物线的对称性，可对D 进行判断．解：A ．∵抛物线开口向下，∴a ＜0，∵对称轴为直线x ＝﹣2b a＝﹣1， ∴b ＝2a ＜0，∵抛物线与y 轴交于正半轴，∴c ＞0，∴abc ＞0，故A 正确；B ．∵抛物线与x 轴有两个交点，∴b 2﹣4ac ＞0，即4ac ﹣b 2＜0，故B 正确；C ．∵抛物线开口向下，顶点为（﹣1，n ），∴函数有最大值n ，∴抛物线y ＝ax 2+bx +c 与直线y ＝n +1无交点，∴一元二次方程ax 2+bx +c ＝n +1无实数根，故C 正确；D ．∵抛物线的对称轴为直线x ＝﹣1，抛物线与x 轴的一个交点在（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，∴抛物线与x 轴的另一个交点在（0，0）和（1，0）之间，∴于x 的方程ax 2+bx +c ＝0的正实数根x 1取值范围为：0＜x 1＜1，故D 错误；故选：D ．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数与一元二次方程的联系，解题关键是熟练运用二次函数的性质，准确识图，从图中获取准确信息，熟练运用数形结合思想． 10．A【分析】（1）由四边形ABCD 是正方形，直角∠MPN ，易证得△BOE ≌△COF （ASA ），则可证得结论；（2）由（1）易证得S 四边形OEBF ＝S △BOC ＝14S 正方形ABCD ，则可证得结论； （3）由BE ＝CF ，可得BE +BF ＝BC ，然后由等腰直角三角形的性质，证得BE +BFOA ； （4）首先设AE ＝x ，则BE ＝CF ＝1﹣x ，BF ＝x ，继而表示出△BEF 与△COF 的面积之和，然后利用二次函数的最值问题，求得答案；（5）易证得△OEG ∽△OBE ，然后由相似三角形的对应边成比例，证得OG •OB ＝OE 2，再利用OB 与BD 的关系，OE 与EF 的关系，即可证得结论．解：（1）∵四边形ABCD 是正方形，∴OB ＝OC ，∠OBE ＝∠OCF ＝45°，∠BOC ＝90°，∴∠BOF +∠COF ＝90°，∵∠EOF ＝90°，∴∠BOF +∠COE ＝90°，∴∠BOE ＝∠COF ，在△BOE 和△COF 中，BOE COF OB OCOBE OCF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△BOE ≌△COF （ASA ），∴OE ＝OF ，BE ＝CF ，∴EFOE ；故（1）符合题意；（2）∵S 四边形OEBF ＝S △BOE +S △BOE ＝S △BOE +S △COF ＝S △BOC ＝14S 正方形ABCD ， ∴S 四边形OEBF ：S 正方形ABCD ＝1：4；故（2）符合题意；（3）∵△BOE ≌△COF∵∴BE +BF ＝BF +CF ＝BC OA ；故（3）符合题意；（4）过点O 作OH ⊥BC ，∵BC ＝1，∴OH ＝12BC ＝12， 设AE ＝x ，则BE ＝CF ＝1﹣x ，BF ＝x ，∴S △BEF +S △COF ＝12BE •BF +12CF •OH ＝12x （1﹣x ）+12（1﹣x ）×12＝﹣12（x ﹣14）2+932， ∵a ＝﹣12＜0， ∴当x ＝14时，S △BEF +S △COF 最大； 即在旋转过程中，当△BEF 与△COF 的面积之和最大时，AE ＝14； 故（4）不符合题意；（5）∵∠EOG ＝∠BOE ，∠OEG ＝∠OBE ＝45°，∴△OEG ∽△OBE ，∴OE ：OB ＝OG ：OE ，∴OG •OB ＝OE 2，∵OB ＝12BD ，OE EF ， ∴OG •BD ＝EF 2，∵在△BEF 中，EF 2＝BE 2+BF 2，∴EF 2＝AE 2+CF 2，∴OG •BD ＝AE 2+CF 2．故（5）符合题意．故选：A ．【点评】此题属于四边形的综合题．考查了正方形的性质，旋转的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理以及二次函数的最值问题．注意掌握转化思想的应用是解此题的关键．11．ab(3a ＋1)(3a ﹣1)【分析】原式提取公因式后，利用平方差公式分解即可．解：原式＝ab(9a 2﹣1)＝ab(3a ＋1)(3a ﹣1)．故答案为：ab(3a ＋1)(3a ﹣1).【点评】本题考查了因式分解的方法，熟练掌握因式分解的方法是解决此类题的关键.12．8-【分析】由题中给出的运算定义式可把要求值的算式化简为包含ab 和a+b 的代数式，再由a 、b 是方程230x x +-= 的两个根可得ab 和a+b 的值，最后把ab 和a+b 的值整体代入即可得解．【详解】∵a ，b 为230x x +-=的两个实数根，∴1a b +=-，3ab =-，∴()()1*2222628a b a ab b a ++=++=-+-=-．故答案为-8．【点评】本题考查实数运算和一元二次方程根与系数关系的综合应用，由根与系数关系得到ab 和a+b 的值后代入由实数新运算法则得到的算式求解是解题关键．13．5【分析】根据概率公式列出方程，即可求出答案．解：由题意得，10m 3610m 45+=+++ 解得m ＝5，经检验m ＝5是原分式方程的根，故答案为5．【点评】本题主要考查了概率公式，根据概率公式列出方程是解题的关键．14．3【分析】分别以A 、B 、C 为三角形顶角顶点，根据平面直角坐标中两点距离公式，列出方程求解即可．解：如图所示：∵动点C 在直线y ＝﹣x 上，设点C 坐标为（x ，﹣x ），分三种情况讨论：∵A （0，2），B （0，6），∴AB =6-2=4，当AC ＝AB 时，根据勾股定理，得（x -0）2+(-x -2)2=AC 2=AB 2=42，整理得，（﹣x ﹣2）2+x 2＝42，解得，x 1＝﹣，x 2＝﹣1，所以点C 的坐标分别为：（﹣，1）、（﹣1，当BC ＝AC 时，点C 在AB 中垂线上，点C 纵坐标为（6+2）÷2=4，点C （﹣4，4）； 当BC ＝AB 时，（﹣x ﹣6）2+x 2＝42整理，得x 2+6x +10＝0，实数范围内此方程无解，这种情况不存在，所以点C 的个数为3个．故答案为3．【点评】本题考查了直线上与已知两点组成等腰三角形的点，已知两点坐标用勾股定理求两点距离，用公式法解一元二次方程，根据根的判别式判断一元二次方程根的情况，分类讨论是解决本题的关键．15．【分析】 可以先设点(,)k C m m ，则点(32m D +，)32k m +，求出点C 的横坐标m ，即可以根据菱形的特征得到3OC OA ==，根据勾股定理求得CE ，即可求得C 的纵坐标，代入解析式进行求解即可．解：依题意，过点C 作CE x ⊥轴交于点E ，设点的坐标为(,)k C m m， 点D 为AB 的中点，∴则点(32m D +，)32k m +，∴232k kmm=⨯+，解得，2m=，2OE∴=，四边形ABCD为菱形，3OA=，3OC∴=，CE∴===，C∴，2k∴==故答案为【点评】此题考查的是反比函数图象上点的坐标特征，求得C的坐标是解题的关键．16．3【分析】直接利用二次根式的性质以及绝对值的性质和特殊角的三角函数值分别化简得出答案．解：原式＝1﹣+2＝1+2＝3．【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．17．a+2，a的值为﹣1，原式＝1【分析】先把括号内通分，再把除法运算化为乘法运算，约分得到原式＝a+2，接着利用因式分解法解方程得到满足条件的a的值，然后代入计算即可．解：（22a-+1）÷24aa-＝22(2)(2) 2a a aa a+-+--＝a+2，方程a2+a＝0可化为a（a+1）＝0，解得a1＝0，a2＝﹣1，∵a≠0，∴a的值为﹣1，当a＝﹣1时，原式＝﹣1+2＝1．【点评】本题考查分式的化简求值及解一元二次方程，掌握分式的混合运算，因式分解法解一元二次方程的计算法则及分式成立的条件，正确计算是解题关键．18．(1)200；(2)见解析；(3)240；(4)1 3【分析】（1）根据“调查居民户数=D组户数÷D组所占百分比”，即可求解；（2）先求出A组居民户数，再补全条形统计图，即可；（3）由“C组户数=小区总居民户数×C组所占百分比”，即可求解；（4）先画出树状图，再根据概率公式，即可求解．【详解】（1）∵D组由30户，占总调查户数的15％，∴本次随机调查的居民有：30÷15％=200（户）．故答案是：200；（2）由题意得，A组居民有：200-80-40-30=50（户），补全条形统计图如下：（3）1200×（40÷200×100％）=240（户），答：该小区居民选择“C：每日优鲜”的大约有240户．故答案三是：240；（4）画树状图如下：由树状图可知：共有12种等可能的结果，可以买到苹果和生菜的结果有4种，∴P(买到苹果和生菜)= 4 12= 13． 故答案是： 13．【点评】本题主要考查条形统计图和随机事件的概率，掌握条形统计图的特征，学会画树状图，是解题的关键．19．（1）BQ =2）AB =【分析】（1）由题意可得∠PBQ=60°，然后在Rt △PQB 中利用60°的三角函数求解即可； （2）作AH PQ ⊥于点H ，AM BQ ⊥于点M ，如图，则四边形AMQH 是矩形，设AM a =，根据矩形的性质和坡度的定义可用含a 的代数式表示出PH 和AH ，易得∠PAH=30°，然后利用30°角的三角函数即可求出a ，再根据勾股定理即可求出结果．解：（1）作PD ∥QB ，如图，由题意得：∠PBQ=∠DPB=60°，则在Rt △PQB 中，9sin sin 60PQ BQ PBQ ===∠︒，即BQ =米；（2）作AH PQ ⊥于点H ，AM BQ ⊥于点M ，如图，则四边形AMQH 是矩形，设AM a =，∴HQ=AM=a ，AH=MQ ，∴PH=9－a ，∵:1:i AM BM ==∴BM =，∴AH=QM=QB BM +=+，由题意得：∠DPA=∠PAH=30°，在Rt △PAH 中，∵tan PH PAH AH∠=，∴tan 30︒==，解得：2a =，∴AM=2，BM=∴AB ==米．∴电子眼区间测速路段AB 的长为【点评】本题考查了解直角三角形的应用，属于常考题型，正确理解题意、熟练掌握三角函数的相关知识是解题的关键．20．（1）竖式纸盒30个，横式纸盒60个；（2）生产28个竖式纸盒、72个横式纸盒，销售利润最大，最大利润为272元；（3）203或208【分析】（1）设可供制作竖式纸盒x 个，横式纸盒y 个，根据正方形、长方形纸片的数量，即可得出关于x 、y 的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设生产竖式纸盒m 个，则生产横式纸盒（100﹣m ）个，根据正方形、长方形纸片的数量，即可得出关m 的一元一次不等式组，解之即可得出m 的取值范围，进而即可得出各生产方案；设销售利润为w 元，根据总利润＝单个利润×生产数量，即可得出w 关于m 的一次函数关系式，再利用一次函数的性质即可解决最值问题；（3）设可供制作竖式纸盒b 个，横式纸盒c 个，根据正方形、长方形纸片的数量，即可得出关a 、b 、c 的三元一次方程组，解之可得出a ＝448﹣5c ，再结合a 的取值范围即可确定a 的值．解：（1）设可供制作竖式纸盒x 个，横式纸盒y 个，根据题意得：433002150x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得：3060x y =⎧⎨=⎩． 答：可供制作竖式纸盒30个，横式纸盒60个．（2）设生产竖式纸盒m 个，则生产横式纸盒（100﹣m ）个，根据题意得：2(100)17243(100)330m m m m +-≤⎧⎨+-≤⎩， 解得：28≤m ≤30，设销售利润为w 元，根据题意得：w ＝2m +3（100﹣m ）＝﹣m +300．∵﹣1＜0，∴w 随m 的增大而减小，∴当m ＝28时，w 取最大值，最大值为272．∴最佳生产方案是：生产28个竖式纸盒、72个横式纸盒，销售利润最大，最大利润为272元．（3）设可供制作竖式纸盒b 个，横式纸盒c 个，根据题意得：211243b c b c a +=⎧⎨+=⎩， 解得：a ＝448﹣5c ，∵200＜a ＜210，且c 为整数，∴a ＝203或208．故答案为：203或208．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一次函数的性质以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出关于m 的一元一次不等式，利用总利润＝单个利润×生产数量，找出w 关于m 的一次函数关系式；（3）通过解方程组找出a ＝448﹣5c ．21．（1）2268y x x =--；（2）点3,52P ⎛⎫- ⎪⎝⎭；（3）1339,28P ⎛⎫ ⎪⎝⎭或2321,28P ⎛⎫- ⎪⎝⎭或3355,28P ⎛⎫ ⎪⎝⎭或435,28P ⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】（1）由“共根抛物线”定义可知抛物线2L 经过抛物线1L 与x 轴交点，故根据抛物线1L 可求AB 两点坐标进而由交点式设2L 为(1)(4)y a x x =+-，将点(2,12)-代入，即可求出解； （2）由抛物线对称性可知PA=PB ，∴BP CP AP CP -=-，根据三角形两边之差小于第三边可知当当A 、C 、P 三点共线时，BP CP -的值最大，而P 点在对称轴为32x =上，由此求出点P 坐标；（3）根据点ABC 坐标可证明△ABC 为直角三角形，DPQ 与ABC 相似，分两种情况讨论：当90DPQ ︒∠=、90DQP ︒∠=时，分别利用对应边成比例求解即可．解：（1）当0y =时，2132022x x --=，解得11x =-，24x =． ∴(1,0)A -、(4,0)B 、(0,2)C -．由题意得，设2L 对应的函数表达式为(1)(4)y a x x =+-，又∵2L 经过点(2,12)-，∴12(21)(24)a -=+-，∴2a =．∴2L 对应的函数表达式为22(1)(4)268y x x x x =+-=--．（2）∵1L 、2L 与x 轴交点均为(1,0)A -、(4,0)B ，∴1L 、2L 的对称轴都是直线32x =． ∴点P 在直线32x =上． ∴BP AP =．如图1，当A 、C 、P 三点共线时，BP CP -的值最大，此时点P 为直线AC 与直线32x =的交点． 由(1,0)A -、(0,2)C -可求得，直线AC 对应的函数表达式为22y x =--．∴点3,52P ⎛⎫- ⎪⎝⎭．（3）由题意可得，5AB =，CB =，CA =，因为在ABC 中，222AB BC AC =+，故90,2ACB CB CA ︒∠==． 由22131325222228y x x x ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭，得顶点325,28D ⎛⎫- ⎪⎝⎭． 因为2L 的顶点P 在直线32x =上，点Q 在1L 上， ∴PDQ ∠不可能是直角． 第一种情况：当90DPQ ︒∠=时，①如图2，当QDP ABC ∽时，则得12QP AC DP BC ==． 设213,222Q x x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，则2313,2222P x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， ∴22132513932,2282282DP x x x x QP x ⎛⎫⎛⎫=----=-+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 由12QP DP =得213923228x x x -=-+，解得12113,22x x ==． ∵32x =时，点Q 与点P 重合，不符合题意， ∴舍去，此时339,28P ⎛⎫ ⎪⎝⎭． ②如图3，当DQP ABC ∽时，则得12DP AC QP BC ==． 设213,222Q x x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，则2313,2222P x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭． ∴22132513932,2282282DP x x x x QP x ⎛⎫⎛⎫=----=-+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 由12DP QP =得239324x x x -=-+，解得1253,22x x ==（舍），此时321,28P ⎛⎫- ⎪⎝⎭． 第二种情况：当90DQP ︒∠=时，①如图4，当PDQ ABC ∽时，则得12PQ AC DQ BC ==．过Q 作QM PD ⊥交对称轴于点M ，∴QDM PDQ ∽． ∴12QM PQ DM DQ ==．由图2可知3391139,,,2828M Q ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴8,4MD MQ ==．∴QD =，又QD PD DM DQ=，代入得10PD =． ∵点325,28D ⎛⎫- ⎪⎝⎭， ∴点355,28P ⎛⎫ ⎪⎝⎭． ②如图5，当DPQ ABC ∽时，则12DQ AC PQ BC ==．过Q 作QM PD ⊥交对称轴于点M ，∴QDM PDQ ∽，则2QM PQ DM DQ==． 由图3可知321,28M ⎛⎫-⎪⎝⎭，521,28Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭， ∴12MD =，1MQ =，∴QD =又QD PD DM DQ =，代入得52PD =． ∵点325,28D ⎛⎫- ⎪⎝⎭， ∴点35,28P ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 综上所述，1339,28P ⎛⎫⎪⎝⎭或2321,28P ⎛⎫- ⎪⎝⎭或3355,28P ⎛⎫ ⎪⎝⎭或435,28P ⎛⎫- ⎪⎝⎭． 【点评】 本题是二次函数的综合题，关键是根据待定系数法求解析式，二次函数图象上点的坐标特征，以及相似三角形的性质解答．22．（1）r=2；（2）PH PD =23；（3． 【分析】（1）连接MH ，根据点E （5-，0）和点F （0，），求出EF 的值，再通过证明△EMH ∽△EFO ，得到HM EM OF EF＝，即可解出r 的值； （2）连接DQ 、CQ ，由cos ∠QDC =cos ∠QHC =34，可得34DQ CD =，由（1）可知，r=2，故CD=4，由DQ=3，CH 是RT △EHM 斜边上的中线，得到CH=12EM=2．再通过证明△CHP ∽△QDP ，即可得到23HP CH PD DQ ==； （3）取CM 的中点N ，连接PM 、PN ，由OM=1，OE=5，可得ME=4，进而得到12MN MP PM ME ==， 通过证明△PMN ∽△EMP ，可得12PN PE =，即12PN PE =，所以当F 、P 、N 三点共线时，PF+12PE 的最小值为FN 的长，根据勾股定理可求的PF+12PE 的最小值. 【详解】（1）如图，连接MH ，∵点E（5-，0）和点F（0，），∴OE=5，，∴EF===∵M（-1，0），∴OM=1，∴EM=OE-OM=4，∵∠E=∠E，∠AOE=∠EHM，∴△EMH∽△EFO，∴HM EM OF EF＝，∴r=2；(2) 如图，连接DQ、CQ.∵CD为直径，∴∠CQD=90°，∵∠QHC=∠QDC，∴cos∠QDC =cos∠QHC =34，∴34 DQCD=，由（1）可知，r=2，故CD=4，∴DQ=3，∵CH是RT△EHM斜边上的中线，∴CH=12EM=2．∵∠CHP=∠QDP，∠CPH=∠QPD，∴△CHP∽△QDP，∴23 HP CHPD DQ==；（3）如图，取CM的中点N，连接PM、PN，∵OM=1，OE=5，∴ME=4，∴12 MN MPPM ME==，又∵∠PMN=∠EMP，∴△PMN∽△EMP，∴12 PNPE=，∴12PN PE=，当F、P、N三点共线时，PF+12PE的最小值为FN的长，∴点N为CM的中点，∴ON=2，∴NF ===，∴PF+12PE . 【点评】本题综合考察圆的性质，相似三角形的判定和性质，难度较大.解题的关键是根据题意正确作出辅助线，构造相似三角形.。
2020-2021深圳宝安区冠华学校九年级数学上期中第一次模拟试卷(及答案)
2020-2021深圳宝安区冠华学校九年级数学上期中第一次模拟试卷(及答案)一、选择题1．下列事件中，属于必然事件的是（ ）A ．三角形的外心到三边的距离相等B ．某射击运动员射击一次，命中靶心C ．任意画一个三角形，其内角和是 180°D ．抛一枚硬币，落地后正面朝上2．如图，AD 、BC 是⊙O 的两条互相垂直的直径，点P 从点O 出发，沿O→C→D→O 的路线匀速运动．设∠APB=y （单位：度），那么y 与点P 运动的时间x （单位：秒）的关系图是（ ）A ．AB ．BC ．CD ．D3．如图，某小区计划在一块长为32m ，宽为20m 的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪．若草坪的面积为570m 2，道路的宽为xm ，则可列方程为（ ）A ．32×20﹣2x 2＝570 B ．32×20﹣3x 2＝570 C ．（32﹣x ）（20﹣2x ）＝570D ．（32﹣2x ）（20﹣x ）＝570 4．用配方法解一元二次方程x 2﹣6x ﹣10＝0时，下列变形正确的为( ) A ．(x+3)2＝1B ．(x ﹣3)2＝1C ．(x+3)2＝19D ．(x ﹣3)2＝19 5．已知实数0a <，则下列事件是随机事件的是（ ） A ．0a ≥ B ．10a +> C ．10a -< D ．210a +<6．一元二次方程2410x x --=配方后可化为（ ）A ．2(2)3x +=B ．2(2)5x +=C ．2(2)3x -=D ．2(2)5x -= 7．如图，△ABC 绕点A 旋转一定角度后得到△ADE，若BC=4，AC=3，则下列说法正确的是（ ）A ．DE=3B ．AE=4C ．∠ACB 是旋转角D ．∠CAE 是旋转角8．山西剪纸是最古老的汉族民间艺术之一．剪纸作为一种镂空艺术，在视觉上给人以透空的感觉和艺术享受．下列四幅剪纸图案中，是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．9．用1、2、3三个数字组成一个三位数，则组成的数是偶数的概率是（ ）A ．13B ．14C ．15D ．16 10．一元二次方程x 2＋2x ＋2＝0的根的情况是( ) A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．只有一个实数根D ．没有实数根 11．用配方法解方程2890x x ++=，变形后的结果正确的是( ) A ．()249x +=- B ．()247x +=- C ．()2425x += D ．()247x += 12．如图，在⊙O 中，AB 是⊙O 的直径，AB ＝10，»»»AC CDDB ==，点E 是点D 关于AB 的对称点，M 是AB 上的一动点，下列结论：①∠BOE ＝60°；②∠CED ＝12∠DOB ；③DM ⊥CE ；④CM ＋DM 的最小值是10，上述结论中正确的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题13．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=5cm ，BC=12cm ，将△ABC 绕点B 顺时针旋转60°，得到△BDE ，连接DC 交AB 于点F ，则△ACF 与△BDF 的周长之和为_______cm ．14．写出一个二次函数的解析式，且它的图像开口向下，顶点在y 轴上______________15．如图，若以平行四边形一边AB 为直径的圆恰好与对边CD 相切于点D ，则∠C=_______度．16．如图，在扇形CAB 中，CD ⊥AB ，垂足为D ，⊙E 是△ACD 的内切圆，连接AE ，BE ，则∠AEB 的度数为__．17．如图，五边形ABCD 内接于⊙O ，若AC=AD ，∠B+∠E=230°，则∠ACD 的度数是__________．18．圆锥的底面半径为3，母线长为5，该圆锥的侧面积为_______．19．小明同学测量一个光盘的直径，他只有一把直尺和一块三角尺，他将直尺、光盘和三角尺按图所示方法放置于桌面上，并量出AB ＝3 cm ，则此光盘的直径是________ cm ．20．如图，将ABC V 绕点A 逆时针旋转150 ，得到ADE V ，这时点B C D 、、恰好在同一直线上，则B Ð的度数为______．三、解答题21．因魔幻等与众不同的城市特质，以及抖音等新媒体的传播，重庆已成为国内外游客最喜欢的旅游目的地城市之一．著名“网红打卡地”磁器口在2018年五一长假期间，接待游客达20万人次，预计在2020年五一长假期间，接待游客将达28.8万人次．在磁器口老街，美食无数，一家特色小面店希望在五一长假期间获得好的收益，经测算知，该小面成本价为每碗6元，借鉴以往经验：若每碗卖25元，平均每天将销售300碗，若价格每降低1元，则平均每天多销售30碗．(1)求出2018至2020年五一长假期间游客人次的年平均增长率；(2)为了更好地维护重庆城市形象，店家规定每碗售价不得超过20元，则当每碗售价定为多少元时，店家才能实现每天利润6300元？22．某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本．()1求出每天的销售利润y(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式；()2求出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？()3如果该企业要使每天的销售利润不低于4000元，且每天的总成本不超过7000元，那么销售单价应控制在什么范围内？(每天的总成本=每件的成本⨯每天的销售量)23．小明和小亮利用三张卡片做游戏，卡片上分别写有A ，B ，B ．这些卡片除字母外完全相同，从中随机摸出一张，记下字母后放回，充分洗匀后，再从中摸出一张，如果两次摸到卡片字母相同则小明胜，否则小亮胜，这个游戏对双方公平吗？请说明现由．24．为提升学生的艺术素养，学校计划开设四门艺术选修课：A ．书法；B ．绘画；C ．乐器；D ．舞蹈．为了解学生对四门功课的喜欢情况，在全校范围内随机抽取若干名学生进行问卷调查（每个被调查的学生必须选择而且只能选择其中一门）．将数据进行整理，并绘制成如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给信息解答下列问题：（1）本次调查的学生共有多少人？扇形统计图中∠α的度数是多少？（2）请把条形统计图补充完整；（3）学校为举办2018年度校园文化艺术节，决定从A ．书法；B ．绘画；C ．乐器；D ．舞蹈四项艺术形式中选择其中两项组成一个新的节目形式，请用列表法或树状图求出选中书法与乐器组合在一起的概率．25．已知，关于x 的一元二次方程2210x x m -+-=有两个不相等的实数根.（1）求m 的取值范围；（2）如果m 为非负整数，且该方程的根都是整数，求m 的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【解析】分析：必然事件就是一定发生的事件，依据定义即可作出判断．详解：A、三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，三角形的内心到三边的距离相等，是不可能事件，故本选项不符合题意；B、某射击运动员射击一次，命中靶心是随机事件，故本选项不符合题意；C、三角形的内角和是180°，是必然事件，故本选项符合题意；D、抛一枚硬币，落地后正面朝上，是随机事件，故本选项不符合题意；故选C．点睛：解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．2．B解析：B【解析】试题分析：（1）当点P沿O→C运动时，当点P在点O的位置时，y=90°，当点P在点C的位置时，∵OA=OC，∴y=45°，∴y由90°逐渐减小到45°；（2）当点P沿C→D运动时，根据圆周角定理，可得y≡90°÷2=45°；（3）当点P沿D→O运动时，当点P在点D的位置时，y=45°，当点P在点0的位置时，y=90°，∴y由45°逐渐增加到90°．故选B．考点：动点问题的函数图象．3．D解析：D【解析】【分析】六块矩形空地正好能拼成一个矩形，设道路的宽为xm ，根据草坪的面积是570m 2，即可列出方程．【详解】解：设道路的宽为xm ，根据题意得：（32-2x ）（20-x ）=570，故选D ．【点睛】本题考查的知识点是由实际问题抽象出一元二次方程，解题关键是利用平移把不规则的图形变为规则图形，进而即可列出方程．4．D解析：D【解析】【分析】方程移项变形后，利用完全平方公式化简得到结果，即可做出判断．【详解】方程移项得：2610x x -=，配方得：26919x x -+=，即2(3)19x -=，故选D ． 5．B解析：B【解析】【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．【详解】解：A 、∵任何数的绝对值都是非负数，∴0a ≥是必然事件，不符合题意；B 、∵0a <，∴1a +的值可能大于零，可能小于零，可能等于零是随机事件，符合题意；C 、∵0a <，∴a-1＜-1＜0是必然事件，故C 不符合题意；D 、∵21a +>0,∴210a +<是不可能事件，故D 不符合题意；故选：B ．【点睛】本题考查随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．6．D解析：D【解析】【分析】根据移项，配方，即可得出选项．【详解】解：x2-4x-1=0，x2-4x=1，x2-4x+4=1+4，（x-2）2=5，故选：D．【点睛】本题考查了解一元二次方程的应用，能正确配方是解题的关键．7．D解析：D【解析】【分析】根据旋转的定义和三角形的性质即可求解．【详解】∵△ABC绕点A旋转一定角度得到△ADE，BC=4，AC=3.∴DE=BC=4；AE=AC=3；∠CAE是旋转角.故答案选D.【点睛】本题考查的知识点是旋转的性质，解题的关键是熟练的掌握旋转的性质.8．B解析：B【解析】【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【详解】解：A、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；B、是中心对称图形，故本选项符合题意；C、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；D、不是中心对称图形，故本选项不符合题意．故选B．【点睛】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．9．A解析：A【解析】【分析】【详解】解：用1，2，3三个数字组成一个三位数的所有组合是：123，132，213，231，312，321，是偶数只有2个，所以组成的三位数是偶数的概率是13；故选A．10．D解析：D【解析】【分析】求出b2-4ac的值，根据b2-4ac的正负即可得出答案．【详解】x2+2x+2=0，这里a=1，b=2，c=2，∵b2−4ac=22−4×1×2=−4<0，∴方程无实数根，故选D.【点睛】此题考查根的判别式，掌握运算法则是解题关键11．D解析：D【解析】【分析】先将常数项移到右侧，然后两边同时加上一次项系数一半的平方，配方后进行判断即可.【详解】2890x x++=，289x x+=-，2228494x x++=-+，所以()247x+=，故选D.【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的一般步骤以及注意事项是解题的关键.12．C解析：C【解析】【分析】【详解】解：∵弧AC=弧CD=弧DB，∴∠DOB=∠COD=∠BOE=60°，故①正确；∵AB为直径，且点E是点D关于AB的对称点∴∠E=∠ODE，AB⊥DE∴∠CED =30°=12∠DOB，故②正确；∵M和A重合时，∠MDE=60°，∴∠MDE+∠E=90°∴DM⊥CE故③不正确；根据轴对称的性质，可知D与E对称，连接CE，根据两点之间线段最短，可知这时的CM+DM最短，∵∠DOB=∠COD=∠BOE=60°∴CE为直径，即CE=10，故④正确.故选C.【点睛】本题考查了圆周角定理，圆中的有关计算问题和图形的轴对称的应用，关键是熟练地运用定理进行推理和计算，题型较好，综合性比较强，但难度不大．二、填空题13．【解析】【分析】【详解】∵将△ABC绕点B顺时针旋转60°得到△BDE∴△ABC≌△BDE∠CBD=60°∴BD=BC=12cm∴△BCD为等边三角形∴CD=BC=BD=12cm在Rt△ACB中AB解析：【解析】【分析】【详解】∵将△ABC绕点B顺时针旋转60°，得到△BDE，∴△ABC≌△BDE，∠CBD=60°，∴BD=BC=12cm，∴△BCD为等边三角形，∴CD=BC=BD=12cm，在Rt△ACB中，=13，△ACF与△BDF的周长之和=AC+AF+CF+BF+DF+BD=AC+AB+CD+BD=5+13+12+12=42（cm），故答案为42．考点：旋转的性质．14．【解析】【分析】由题意可知：写出的函数解析式满足由此举例得出答案即可【详解】解：设所求二次函数解析式为：∵图象开口向下∴∴可取∵顶点在轴上∴对称轴为∴∵顶点的纵坐标可取任意实数∴取任意实数∴可取∴二 解析：2y x =-【解析】【分析】由题意可知：写出的函数解析式满足0a <、02b a -=，由此举例得出答案即可． 【详解】解：设所求二次函数解析式为：2y ax bx c =++∵图象开口向下∴0a <∴可取1a =-∵顶点在y 轴上 ∴对称轴为02b x a =-= ∴0b =∵顶点的纵坐标可取任意实数∴c 取任意实数∴c 可取0∴二次函数解析式可以为：2y x =-．故答案是：2y x =-【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，涉及到的知识点有：二次函数2y ax bx c =++的顶点坐标为24,24b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭；对称轴为2b x a =-；当0a >时，抛物线开口向上、当0a <时，抛物线开口向下；二次函数的图象与y 轴交于()0,c ．15．【解析】试题分析：解：连接OD∵CD 是⊙O 切线∴OD⊥CD∵四边形ABCD 是平行四边形∴AB∥CD∴AB⊥OD∴∠AOD=90°∵OA=OD∴∠A=∠ADO=45°∴∠C=∠A=45°故答案为45考解析：【解析】试题分析：解：连接OD ．∵CD 是⊙O 切线，∴OD ⊥CD ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，∴AB ⊥OD ，∴∠AOD=90°，∵OA=OD ，∴∠A=∠ADO=45°，∴∠C=∠A=45°．故答案为45．考点：1．切线的性质；2．平行四边形的性质．16．135°【解析】分析：如图连接EC 首先证明∠AEC=135°再证明△EAC ≌△EAB 即可解决问题详解：如图连接EC ∵E 是△ADC 的内心∴∠AEC=90°+∠ADC=135°在△AEC 和△AEB 中∴△解析：135°．【解析】分析：如图，连接EC ．首先证明∠AEC=135°，再证明△EAC ≌△EAB 即可解决问题. 详解：如图，连接EC ．∵E 是△ADC 的内心，∴∠AEC=90°+12∠ADC=135°， 在△AEC 和△AEB 中， AE AE EAC EAB AC AB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△EAC ≌△EAB ，∴∠AEB=∠AEC=135°，故答案为135°．点睛：本题考查三角形的内心、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．17．65°【解析】【分析】连接OAOCOD 利用同弧所对的圆心角等于圆周角得2倍求出所求的角即可【详解】解：如图解:连接OAOCOD 在圆的内接五边形ABCDE 中∠B+∠E=230°∠B=(∠AOD+∠CO解析：65°【解析】【分析】连接OA,OC,OD,利用同弧所对的圆心角等于圆周角得2倍求出所求的角即可.解：如图解:连接OA,OC,OD,Q 在圆的内接五边形ABCDE 中, ∠B+∠E=230°,Q ∠B=12(∠AOD+∠COD), ∠E=12(∠AOC+∠COD),（圆周角定理） ∴12(∠AOD+∠COD)+ 12(∠AOC+∠COD)= 230°, 即:12（∠AOD+∠COD+∠AOC+∠COD ）= 230°， 可得：∠C0D=o o 2230360⨯-=0100，可得：∠CAD=050,在△ACD 中，AC=AD ，∠CAD=050，可得∠ACD=065,故答案：065.【点睛】此题考查了圆心角、弧、弦的关系,以及圆周角定理,熟练掌握定 理及法则是解本题的关键. 18．15【解析】试题分析：利用圆锥的侧面展开图为一扇形这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式求解圆锥的侧面积=•2π•3•5=15π故答案为15π考点：圆锥的计算解析：15π【解析】试题分析：利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式求解．圆锥的侧面积=12•2π•3•5=15π． 故答案为15π．考点：圆锥的计算． 19．【解析】【分析】先画图根据题意求出∠OAB=60°再根据直角三角形的性质和勾股定理即可求得结果【详解】解：∵∠CAD=60°∴∠CAB=120°∵AB 和AC 与⊙O 相切∴∠OAB=∠OAC=∠CAB=3【解析】【分析】先画图，根据题意求出∠OAB=60°，再根据直角三角形的性质和勾股定理即可求得结果．解：∵∠CAD=60°，∴∠CAB=120°，∵AB和AC与⊙O相切，∴∠OAB=∠OAC=∠12CAB=60°，∴∠AOB=30°，∵AB=3cm，∴OA=6cm，∴2233cmOB OA AB=-=所以直径为2OB=63cm故答案为：63．【点睛】本题考查了切线长定理，勾股定理，解答本题的关键是熟练掌握切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．20．15【解析】分析：先判断出∠BAD=150°AD=AB再判断出△BAD是等腰三角形最后用三角形的内角和定理即可得出结论详解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转150°得到△ADE∴∠BAD=150°AD=解析：15【解析】分析：先判断出∠BAD=150°，AD=AB，再判断出△BAD是等腰三角形，最后用三角形的内角和定理即可得出结论．详解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转150°，得到△ADE，∴∠BAD=150°，AD=AB，∵点B，C，D恰好在同一直线上，∴△BAD是顶角为150°的等腰三角形，∴∠B=∠BDA，∴∠B=12（180°-∠BAD）=15°，故答案为15°．点睛：此题主要考查了旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，判断出三角形ABD是等腰三角形是解本题的关键．三、解答题21．(1)年平均增长率为20%；(2)每碗售价定为20元时，每天利润为6300元.【解析】【分析】（1）根据题意设平均增长率为未知数x ，再根据题意建立方程式求解.（2）根据题意设每碗售价为未知数y ，再根据题意建立方程式求解.【详解】(1)设平均增长率为x ，则2201)28.8x （+=解得：10.220%x == 2 2.2x =-(舍)·答：年平均增长率为20%(2)设每碗售价定为y 元时，每天利润为6300元()6y -[300+30(25-y )]=6300·解得：120y = 221y =·∵每碗售价不超过20元，所以20y =.【点睛】本题考查了在实际生活中对方程式的建立及求解，熟练掌握方程式的实际运用是本题解题关键.22．()()21y 5x 800x 2750050x 100=-+-≤≤；()2当x 80=时，y 4500=最大值；()3 销售单价应该控制在82元至90元之间．【解析】【分析】（1）根据每天销售利润=每件利润×每天销售量，可得出函数关系式；（2）将（1）的关系式整理为顶点式，根据二次函数的顶点，可得到答案； （3）先求出利润为4000元时的售价，再结合二次函数的增减性可得出答案.【详解】解：由题意得：()()y x 50505100x ⎡⎤=-+-⎣⎦()()x 505x 550=--+25x 800x 27500=-+-()2y 5x 800x 2750050x 100∴=-+-≤≤；()22y 5x 800x 27500=-+-25(x 80)4500=--+a 50=-<Q ，∴抛物线开口向下．50x 100≤≤Q ，对称轴是直线x 80=，∴当x 80=时，y 4500=最大值；()3当y 4000=时，25(x 80)45004000--+=，解得1x 70=，2x 90=．∴当70x 90≤≤时，每天的销售利润不低于4000元．由每天的总成本不超过7000元，得()505x 5507000-+≤，解得x 82≥．82x 90∴≤≤，50x 100≤≤Q ，∴销售单价应该控制在82元至90元之间．【点睛】本题考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键.23．这个游戏对双方不公平，理由见解析.【解析】【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸到卡片字母相同的情况，再利用概率公式即可求得答案.【详解】解：画树状图得：∵共有9种等可能的结果，两次摸到卡片字母相同的有5种等可能的结果， ∴两次摸到卡片字母相同的概率为：59 ； ∴小明胜的概率为59 ，小亮胜的概率为49 ， ∵ 59≠49， ∴这个游戏对双方不公平.故答案为这个游戏对双方不公平，理由见解析.【点睛】本题考查了树状图法求概率，判断游戏的公平性.24．（1）本次调查的学生总人数为40人，∠α=108°；（2）补图见解析；（3）书法与乐器组合在一起的概率为16．【解析】【分析】（1）用A 科目人数除以其对应的百分比可得总人数，用360°乘以C 对应的百分比可得∠α的度数；（2）用总人数乘以C 科目的百分比即可得出其人数，从而补全图形；（3）画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出恰好是“书法”“乐器”的结果数，然后根据概率公式求解．【详解】（1）本次调查的学生总人数为4÷10%=40人，∠α=360°×（1﹣10%﹣20%﹣40%）=108°；（2）C 科目人数为40×（1﹣10%﹣20%﹣40%）=12人，补全图形如下：（3）画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中恰好是书法与乐器组合在一起的结果数为2， 所以书法与乐器组合在一起的概率为21126=． 【点睛】本题考查了条形统计图、扇形统计图、列表法与树状图法求概率，读懂统计图、熟练掌握列表法或树状图法求概率是解题的关键.25．(1) 2m <；(2) m 的值是1.【解析】【分析】（1）根据方程有两个不相等的实数根知△＞0，据此列出关于m 的不等式，解之可得； （2）由（1）中m 的范围且m 为非负整数得出m 的值，代入方程，解之可得．【详解】解：（1）根据题意得：()()22410m --->，解得：2m <.故m 的取值范围为2m <；（2）由（1）得：2m <m Q 为非负整数， 0m ∴=或1，把0m =代入原方程得：2210x x --=，解得：11x =21x =，0m =不合题意舍去；把1m =代入原方程得：220x x -=，解得：10x =，22x =.故m 的值是1.【点睛】此题考查根的判别式及一元二次方程的解，熟练掌握根的判别式及一元二次方程的解的定义是解题关键．。
2020-2021深圳宝安区冠华学校九年级数学下期中第一次模拟试卷(及答案)
2020-2021深圳宝安区冠华学校九年级数学下期中第一次模拟试卷(及答案) 一、选择题1．已知一次函数y1=x－1和反比例函数y2=2x的图象在平面直角坐标系中交于A、B两点，当y1＞y2时，x的取值范围是( )A．x＞2B．－1＜x＜0C．x＞2，－1＜x＜0D．x＜2，x＞0 2．如图，已知直线a∥b∥c，直线m、n与直线a、b、c分别交于点A、C、E、B、D、F，AC=4，CE=6，BD=3，则BF=（）A．7B．7.5C．8D．8.53．反比例函数kyx=与1(0)y kx k=-+≠在同一坐标系的图象可能为（）A．B．C．D．4．如图，校园内有两棵树，相距8米，一棵树树高13米，另一棵树高7米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞（）A．8米B．9米C．10米D．11米5．如图，线段AB两个端点的坐标分别为A（2，2）、B（3，1），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB扩大为原来的2倍后得到线段CD，则端点C的坐标分别为（）A．（4，4）B．（3，3）C．（3，1）D．（4，1）6．在同一直角坐标系中，函数kyx=和y=kx﹣3的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．7．在ABC V 中，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，:1:2AD BD =，那么下列条件中能够判断//DE BC 的是( )A ．12DE BC =B ．31DE BC = C ．12AE AC =D ．31AE AC = 8．若△ABC ∽△A′B′C′且34AB A B ='',△ABC 的周长为15cm ，则△A′B′C′的周长为（ ）cm.A ．18B ．20C ．154D ．8039．如图，已知△ABC 的三个顶点均在格点上，则cosA 的值为（ ）A ．33B ．5C ．233D ．25 10．如图所示，在平面直角坐标系中，已知点A （2，4），过点A 作AB ⊥x 轴于点B ．将△AOB 以坐标原点O 为位似中心缩小为原图形的12，得到△COD ，则CD 的长度是（ ）A ．2B ．1C ．4D ．511．如图所示，在△ABC 中，AB ＝6，AC ＝4，P 是AC 的中点，过 P 点的直线交AB 于点Q ，若以 A 、P 、Q 为顶点的三角形和以A 、B 、C 为顶点的三角形相似，则AQ 的长为 ( )A ．3B ．3或43C ．3或34D ．4312．给出下列函数：①y=﹣3x +2；②y=3x；③y=2x 2；④y=3x ，上述函数中符合条作“当x ＞1时，函数值y 随自变量x 增大而增大“的是（ ） A ．①③ B ．③④C ．②④D ．②③ 二、填空题13．如图，已知点A ，C 在反比例函数(0)a y a x=>的图象上，点B ，D 在反比例函(0)b y b x=<的图象上，AB ∥CD ∥x 轴，AB ，CD 在x 轴的两侧，AB=5，CD=4，AB 与CD 的距离为6，则a −b 的值是_______.14．如图，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸边每隔5米有一棵树，在北岸边每隔50米有一根电线杆．小丽站在离南岸边15米的P 点处看北岸，发现北岸相邻的两根电线杆恰好被南岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有三棵树，则河宽为________米．15．如图，已知△ABC 中，D 为边AC 上一点，P 为边AB 上一点，AB=12，AC=8，AD=6，当AP 的长度为__时，△ADP 和△ABC 相似．16．如图，当太阳光与地面成角时，直立于地面的玲玲测得自己的影长为1.25m ，则玲玲的身高约为________m ．（精确到0. 01m ）（参考数据：sin55°≈0.8192，cos55°≈0.5736，tan55°≈1.428）.17．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝16 cm ，AC ＝12 cm ，点P 从点B 出发，沿BC 以2 cm/s 的速度向点C 移动，点Q 从点C 出发，以1 cm/s 的速度向点A 移动，若点P 、Q 分别从点B 、C 同时出发，设运动时间为ts ，当t ＝__________时，△CPQ 与△CBA 相似．18．已知反比例函数y=2m x-，当x ＞0时，y 随x 增大而减小，则m 的取值范围是_____． 19．小华为了求出一个圆盘的半径，他用所学的知识，将一宽度为2cm 的刻度尺的一边与圆盘相切，另一边与圆盘边缘两个交点处的读数分别是“4”和“16”（单位：cm ），请你帮小华算出圆盘的半径是_____cm ．20．如图，已知AD AE =，请你添加一个条件，使得ADC AEB △≌△，你添加的条件是_____．（不添加任何字母和辅助线）三、解答题21．如图，某市郊外景区内一条笔直的公路a 经过三个景点A 、B 、C ，•景区管委会又开发了风景优美的景点D ，经测量，景点D 位于景点A 的北偏东30′方向8km 处，•位于景点B 的正北方向，还位于景点C 的北偏西75°方向上，已知AB=5km.（1）景区管委会准备由景点D 向公路a 修建一条距离最短的公路，不考试其他因素，求出这条公路的长．（结果精确到0.1km ）．（2）求景点C 与景点D 之间的距离．（结果精确到1km ） （参考数据：3=1.73，5=2.24，sin53°=0.80，sin37°=0.60，tan53°=1.33，tan37°=0.75，sin38°=0.62，sin52°=0.79，tan38°=0.78，tan52°=1.28，sin75°=0.97，cos75°=0.26，tan75°=3.73）．22．如图，在ABC V 中，AB AC =，点E 在边BC 上移动（点E 不与点B ，C 重合），满足DEF B ∠=∠，且点D 、F 分别在边AB 、AC 上．（1）求证：BDE CEF △∽△．（2）当点E 移动到BC 的中点时，求证：FE 平分DFC ∠．23．自开展“全民健身运动”以来，喜欢户外步行健身的人越来越多，为方便群众步行健身，某地政府决定对一段如图1所示的坡路进行改造．如图2所示，改造前的斜坡200AB =米，坡度为1:3；将斜坡AB 的高度AE 降低20AC =米后，斜坡AB 改造为斜坡CD ，其坡度为1:4．求斜坡CD 的长．（结果保留根号）24．如图，在一次综合实践活动中，小亮要测量一楼房的高度，先在坡面D 处测得楼房顶部A 的仰角为30°，沿坡面向下走到坡脚C 处，然后向楼房方向继续行走10米到达E 处，测得楼房顶部A 的仰角为60︒．已知坡面10CD =米，山坡的坡度1:3i =i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比），求楼房AB 高度．（结果精确到0.1米）（参考数据：3 1.73≈，2 1.41≈）25．如图，某市郊外景区内一条笔直的公路l 经过A 、B 两个景点，景区管委会又开发了风景优美的景点C .经测量，C 位于A 的北偏东60︒的方向上，B 的北偏东30°的方向上，且10AB km =.(1)求景点B 与C 的距离.(2)求景点A 与C 的距离.(结果保留根号)【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【解析】【分析】因为一次函数和反比例函数交于A 、B 两点，可知x-1=2x，解得x=-1或x=2，进而可得A 、B 两点的坐标，据此，再结合函数解析式画图，据图可知当x>2时，以及当-1<x<0时，y 1>y 2．【详解】解方程x −1=2x，得 x =−1或x =2，那么A 点坐标是(−1,−2),B 点坐标是(2,1)，如右图，当x >2时, 12y y >,以及当−1<x <0时, 12y y >.故选C.【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数交点问题，解题的关键是能根据解析式画出函数的图象，并能根据图象解決问题2．B解析：B【解析】【分析】由直线a ∥b ∥c ，根据平行线分线段成比例定理，即可得AC BD CE DF =，又由AC=4，CE=6，BD=3，即可求得DF 的长，则可求得答案．【详解】解：∵a ∥b ∥c ， ∴AC BD CE DF=， ∵AC=4，CE=6，BD=3， ∴436DF=， 解得：DF=92， ∴937.52BF BD DF =+=+=． 故选B ．考点：平行线分线段成比例．3．B解析：B【解析】根据反比例函数和一次函数的性质逐个对选项进行分析即可．【详解】A 根据反比例函数的图象可知，k>0,因此可得一次函数的图象应该递减，但是图象是递增的，所以A错误；B根据反比例函数的图象可知，k>0,，因此一次函数的图象应该递减，和图象吻合，所以B正确；C根据反比例函数的图象可知，k<0,因此一次函数的图象应该递增，并且过（0,1）点，但是根据图象，不过（0,1），所以C错误；D根据反比例函数的图象可知，k<0,因此一次函数的图象应该递增，但是根据图象一次函数的图象递减，所以D错误．故选B【点睛】本题主要考查反比例函数和一次函数的性质，关键点在于系数的正负判断，根据系数识别图象.4．C解析：C【解析】如图所示，AB，CD为树，且AB=13，CD=8，BD为两树距离12米，过C作CE⊥AB于E，则CE=BD=8，AE=AB-CD=6，在直角三角形AEC中，AC=10米，答：小鸟至少要飞10米．故选C．5．A解析：A【解析】【分析】利用位似图形的性质结合对应点坐标与位似比的关系得出C点坐标．【详解】∵以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB扩大为原来的2倍后得到线段CD，∴A点与C点是对应点，∵C点的对应点A的坐标为（2，2），位似比为1：2，∴点C的坐标为：（4，4）【点睛】本题考查了位似变换，正确把握位似比与对应点坐标的关系是解题关键．6．A解析：A【解析】【分析】根据一次函数和反比例函数的特点，k≠0，所以分k＞0和k＜0两种情况讨论．当两函数系数k取相同符号值，两函数图象共存于同一坐标系内的即为正确答案．【详解】分两种情况讨论：①当k＞0时，y=kx﹣3与y轴的交点在负半轴，过一、三、四象限，反比例函数的图象在第一、三象限，没有图像符合要求；②当k＜0时，y=kx﹣3与y轴的交点在负半轴，过二、三、四象限，反比例函数的图象在第二、四象限，A符合要求．故选A．【点睛】本题考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，关键是由k的取值确定函数所在的象限．7．D解析：D【解析】【分析】可先假设DE∥BC，由平行得出其对应线段成比例，进而可得出结论．【详解】如图，可假设DE∥BC，则可得12AD AEDB EC==，13AD AEAB AC==，但若只有13DE ADBC AB==，并不能得出线段DE∥BC．故选D．【点睛】本题主要考查了由平行线分线段成比例来判定两条直线是平行线的问题，能够熟练掌握并运用．8．B【解析】∵△ABC ∽△A ′B ′C ′，∴34ABC AB A B C A B ''=''='V V 的周长的周长， ∵△ABC 的周长为15cm ，∴△A ′B ′C ′的周长为20cm ．故选B ．9．D解析：D【解析】【分析】【详解】过B 点作BD ⊥AC ，如图，由勾股定理得，AB=221310+=，AD=222222+=，cosA=AD AB =2210=25， 故选D ．10．A解析：A【解析】【分析】直接利用位似图形的性质结合A 点坐标可直接得出点C 的坐标，即可得出答案．【详解】∵点A （2，4），过点A 作AB ⊥x 轴于点B ，将△AOB 以坐标原点O 为位似中心缩小为原图形的12，得到△COD ， ∴C （1，2），则CD 的长度是2，故选A ． 【点睛】本题主要考查了位似变换以及坐标与图形的性质，正确把握位似图形的性质是解题关键．11．B解析：B【解析】AP AQ AB AC =,264AQ =，AQ=43，AP AQ AC AB =,246AQ =，AQ =3.故选B.点睛：相似常见图形（1）称为“平行线型”的相似三角形（如图,有“A 型”与“X 型”图）（2）如图：其中∠1=∠2，则△ADE ∽△ABC 称为“斜交型”的相似三角形，有“反A 共角型”、“反A 共角共边型”、 “蝶型”，如下图：12．B解析：B【解析】分析：分别利用一次函数、正比例函数、反比例函数、二次函数的增减性分析得出答案． 详解：①y =﹣3x +2，当x ＞1时，函数值y 随自变量x 增大而减小，故此选项错误； ②y =3x，当x ＞1时，函数值y 随自变量x 增大而减小，故此选项错误；③y =2x 2，当x ＞1时，函数值y 随自变量x 增大而减小，故此选项正确；④y =3x ，当x ＞1时，函数值y 随自变量x 增大而减小，故此选项正确．故选B ．点睛：本题主要考查了一次函数、正比例函数、反比例函数、二次函数的性质，正确把握相关性质是解题的关键．二、填空题13．【解析】【分析】利用反比例函数k 的几何意义得出a-b=4•OEa -b=5•OF 求出=6即可求出答案【详解】如图∵由题意知：a-b=4•OEa -b=5•OF∴OE=OF=又∵OE+OF=6∴=6∴a - 解析：403 【解析】【分析】利用反比例函数k 的几何意义得出a-b=4•OE ，a-b=5•OF ，求出45a b a b --+=6，即可求出答案．【详解】 如图，∵由题意知：a-b=4•OE ，a-b=5•OF ，∴OE=4a b -，OF=5a b -， 又∵OE+OF=6，∴45a b a b --+=6， ∴a-b=403， 故答案为：403． 【点睛】 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，能求出方程45a b a b --+=6是解此题的关键．14．5【解析】根据题意画出图形构造出△PCD∽△PAB利用相似三角形的性质解题解：过P作PF⊥AB交CD于E交AB于F如图所示设河宽为x米∵AB∥CD∴∠PDC=∠PBF∠PCD=∠PAB∴△PDC∽△解析：5【解析】根据题意画出图形，构造出△PCD∽△PAB，利用相似三角形的性质解题．解：过P作PF⊥AB，交CD于E，交AB于F，如图所示设河宽为x米．∵AB∥CD，∴∠PDC=∠PBF，∠PCD=∠PAB，∴△PDC∽△PBA，∴AB PF CD PE=，∴AB15x CD15+=，依题意CD=20米，AB=50米，∴15205015x=+，解得：x=22.5（米）．答：河的宽度为22.5米．15．4或9【解析】当△ADP∽△ACB时需有∴解得AP＝9当△ADP∽△ABC时需有∴解得AP＝4∴当AP的长为4或9时△ADP和△ABC相似解析：4或9．【解析】当△ADP∽△ACB时，需有AP ADAB AC=，∴6128AP=，解得AP＝9．当△ADP∽△ABC时，需有AP ADAC AB=，∴6812AP=，解得AP＝4．∴当AP的长为4或9时，△ADP和△ABC相似．16．79【解析】【分析】身高影长和光线构成直角三角形根据tan55°=身高：影长即可解答【详解】解：玲玲的身高=影长×tan55°=125×1428≈179（m）故答案为179【点睛】本题考查了解直角三解析：79【分析】身高、影长和光线构成直角三角形，根据tan55°=身高：影长即可解答．【详解】解：玲玲的身高=影长×tan55°=1.25×1.428≈1.79（m）．故答案为1.79．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用、正切的概念、计算器的使用．17．8或【解析】【分析】根据题意可分两种情况①当CP和CB是对应边时△CPQ∽△CBA与②CP和CA是对应边时△CPQ∽△CAB根据相似三角形的性质分别求出时间t即可【详解】①CP和CB是对应边时△CP解析：8或64 11【解析】【分析】根据题意可分两种情况，①当CP和CB是对应边时，△CPQ∽△CBA与②CP和CA是对应边时，△CPQ∽△CAB，根据相似三角形的性质分别求出时间t即可.【详解】①CP和CB是对应边时，△CPQ∽△CBA，所以CPCB＝CQCA，即16216t-＝12t，解得t＝4.8；②CP和CA是对应边时，△CPQ∽△CAB，所以CPCA＝CQCB，即16212t-＝16t，解得t＝64 11.综上所述，当t＝4.8或6411时，△CPQ与△CBA相似．【点睛】此题主要考查相似三角形的性质，解题的关键是分情况讨论.18．m＞2【解析】分析：根据反比例函数y=当x＞0时y随x增大而减小可得出m ﹣2＞0解之即可得出m的取值范围详解：∵反比例函数y=当x＞0时y随x增大而减小∴m﹣2＞0解得：m＞2故答案为m＞2点睛：本解析：m＞2．分析：根据反比例函数y=2mx-，当x＞0时，y随x增大而减小，可得出m﹣2＞0，解之即可得出m的取值范围．详解：∵反比例函数y=2mx-，当x＞0时，y随x增大而减小，∴m﹣2＞0，解得：m＞2．故答案为m＞2．点睛：本题考查了反比例函数的性质，根据反比例函数的性质找出m﹣2＞0是解题的关键．19．10【解析】【分析】如图先利用垂径定理得BD=6再利用勾股定理建立方程求解即可得出结论【详解】如图记圆的圆心为O连接OBOC交AB于D∴OC⊥ABBD=AB由图知AB=16﹣4=12cmCD=2cm解析：10【解析】【分析】如图，先利用垂径定理得，BD=6，再利用勾股定理建立方程求解即可得出结论．【详解】如图，记圆的圆心为O，连接OB，OC交AB于D，∴OC⊥AB，BD=12 AB，由图知，AB=16﹣4=12cm，CD=2cm，∴BD=6，设圆的半径为r，则OD=r﹣2，OB=r，在Rt△BOD中，根据勾股定理得，OB2=AD2+OD2，∴r2=36+（r﹣2）2，∴r=10cm，故答案为10．【点睛】本题考查了垂径定理的应用，勾股定理，正确添加辅助线构造出直角三角形是解本题的关键．20．或或【解析】【分析】根据图形可知证明已经具备了一个公共角和一对相等边因此可以利用ASASASAAS证明两三角形全等【详解】∵∴可以添加此时满足SAS ；添加条件此时满足ASA ；添加条件此时满足AAS 故解析：AB AC =或ADC AEB ∠=∠或ABE ACD ∠=∠.【解析】【分析】根据图形可知证明ADC AEB V V ≌已经具备了一个公共角和一对相等边，因此可以利用ASA 、SAS 、AAS 证明两三角形全等．【详解】∵A A ∠∠= ，AD AE =，∴可以添加AB AC = ，此时满足SAS ；添加条件ADC AEB ∠∠= ，此时满足ASA ；添加条件ABE ACD ∠∠=，此时满足AAS ，故答案为：AB AC =或ADC AEB ∠∠=或ABE ACD ∠∠=；【点睛】本题考查了全等三角形的判定，是一道开放题，解题的关键是牢记全等三角形的判定方法．三、解答题21．（1）景点D 向公路a 修建的这条公路的长约是3.1km ；（2）景点C 与景点D 之间的距离约为4km ．【解析】【详解】解：（1）如图，过点D 作DE ⊥AC 于点E ，过点A 作AF ⊥DB ，交DB 的延长线于点F ，在Rt △DAF 中，∠ADF=30°，∴AF=12AD=12×8=4，∴DF=22228443AD AF -=-=， 在Rt △ABF 中BF=2222AB AF 54-=-=3， ∴BD=DF ﹣BF=43﹣3，sin ∠ABF=45AF AB =， 在Rt △DBE 中，sin ∠DBE=DB BD ，∵∠ABF=∠DBE ，∴sin ∠DBE=45， ∴DE=BD•sin ∠DBE=45×（43﹣3）=16312-≈3.1（km ），∴景点D 向公路a 修建的这条公路的长约是3.1km ；（2）由题意可知∠CDB=75°，由（1）可知sin ∠DBE=45=0.8，所以∠DBE=53°， ∴∠DCB=180°﹣75°﹣53°=52°， 在Rt △DCE 中，sin ∠DCE=DB DC ，∴DC= 3.1sin 520.79DE ︒=≈4（km ）， ∴景点C 与景点D 之间的距离约为4km ． 22．见解析【解析】试题分析：（1）由三角形内角和定理可得：∠BDE=180°-∠B-∠DEB ，∠CEF=180°-∠DEF-∠DEB ，结合∠B=∠DEF ，可得∠BDE=∠CEF ；由AB=AC 可得∠B=∠C ，由此即可证得：△BDE ∽△CEF ；（2）由（1）中结论：△BDE ∽△CEF 可得：BE DE CF EF=，结合BE=EC 可得：CE DE CF EF=，再结合∠C=∠B=∠DEF ，证得：△DEF ∽△ECF ，由此可得∠DFE=∠EFC ，从而得到结论EF 平分∠DFC.试题解析：（1）∵AB AC =，∴B C ∠=∠，∵180BDE B DAB ∠=︒-∠-∠，180CEF DEF DEB ∠=︒-∠-∠，∵DEF B ∠=∠，∴BDE CEF ∠=∠，BDE CEF V V ∽．（2）∵BDE CEF V V ∽，∴BE DE CF EF=， ∵E 是BC 中点，BE CE =，∴CE DE CF EF=， ∵DEF B C ∠=∠=∠，∴DEF ECF V V ∽，∴DFE CFE ∠=∠，∴EF 平分DFC ∠．23．斜坡CD 的长是【解析】【分析】根据题意和锐角三角函数可以求得AE 的长，进而得到CE 的长，再根据锐角三角函数可以得到ED 的长，最后用勾股定理即可求得CD 的长．【详解】∵90AEB =︒∠，200AB =，坡度为∴tan3ABE ∠==， ∴30ABE ∠=︒， ∴11002AE AB ==， ∵20AC =，∴80CE =，∵90CED ∠=︒，斜坡CD 的坡度为1:4， ∴14CE DE =， 即8014ED =， 解得，320ED =，∴CD =米，答：斜坡CD 的长是【点睛】本题考查解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，解答本题的关键是明确题意，利用锐角三角函数和数形结合的思想解答．24．楼房AB 高度约为23.7米【解析】【分析】过D 作DG BC ⊥于G ，DH AB ⊥于H ，交AE 于F ，作FP BC ⊥于P ，则DG FP BH ==，DF GP =，求出30DCG ∠=︒，得出152FP DG CD ===，CG ==103DF GP ==+，证出30DAF ADF ∠=︒=∠，得出203103AF DF ==+，得出1103523FH AF ==+，因此31053AH FH ==+，即可得出答案．【详解】解：过D 作DG BC ⊥于G ，DH AB ⊥于H ，交AE 于F ，作FP BC ⊥于P ，如图所示：则,DG FP BH DF GP ===，∵坡面10CD =米，山坡的坡度3i =∴30DCG ∠=︒， ∴152FP DG CD ===， ∴353CG DG ==∵60FEP ∠=︒，∴35FP EP ==，∴53EP = ∴53203531010DF GP ==+=， ∵60AEB ∠=︒，∴30EAB ∠=︒，∵30ADH ∠=︒，∴60DAH ∠=︒，∴30DAF ADF ∠=︒=∠，∴20310AF DF ==+， ∴110352FH AF ==， ∴31053AH FH ==+∴105351553155 1.7323.7AB AH BH =+=+=+≈+⨯≈（米）， 答：楼房AB 高度约为23.7米．【点睛】此题是解直角三角形的应用--仰角，俯角问题，主要考查了仰角、坡度的定义，能够正确地构建出直角三角形，将实际问题化归为解直角三角形的问题是解答此类题的关键．25．(1)BC=10km ；(2)AC=103km. 【解析】 【分析】（1）由题意可求得∠C =30°，进一步根据等角对等边即可求得结果；（2）分别在Rt BCD ∆和Rt ACD ∆中利用锐角三角函数的知识解直角三角形即可求得结果.【详解】解：(1)过点C 作CD ⊥直线l ，垂足为D ，如图所示.根据题意，得：30CAD ∠=︒，60CBD ∠=︒，∴∠C =∠CBD －∠CAD =30°，∴∠CAD =∠C ，∴BC =AB =10km .(2) 在Rt BCD ∆中，sin CD CBD BC ∠=，∴sin 6053CD BC km ==o g ， 在Rt ACD ∆中，1sin 2CD CAD AC ∠==，∴2103AC CD km ==.【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，属于基本题型，熟练掌握锐角三角函数的知识是解题的关键.。
2020-2021深圳宝安区龙华中英文实验学校初一数学下期中一模试卷(含答案)
【分析】
根据点到直线的距离是直线外的点与直线上垂足间的线段的长，再根据垂线段最短，可得答案．
【详解】
当PC⊥l时，PC是点P到直线l的距离，即点P到直线l的距离2cm，
当PC不垂直直线l时，点P到直线l的距离小于PC的长，即点P到直线l的距离小于2cm，
综上所述：点P到直线l的距离不大于2cm，
当B点在A点右侧的时候，B（3，4），
此时B点的横纵坐标之和是3+4=7；
故答案为：-3或7．
【点睛】
本题考查了与坐标轴平行的线上点的坐标特征以及分情况讨论的思想，要注意根据B点位置的不确定得出两种情况分别求解．
14．x=4【解析】【分析】【详解】解：∵点P(x+3x−4)在x轴上∴x−4=0解得：x=4故答案为：x=4
【点睛】
本题考查的知识点是分式方程的解，解题关键是弄清题中的新定义．
4．B
解析：B
【解析】
过E作EF∥AB，求出AB∥CD∥EF，根据平行线的性质得出∠C=∠FEC，∠BAE=∠FEA，求出∠BAE，即可求出答案．
解：
过E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF，
∴∠C=∠FEC，∠BAE=∠FEA，
Hale Waihona Puke 三、解答题21．如图，四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，BE、DF分别平分∠ABC、∠ADC，判断BE、DF是否平行，并说明理由．
22．已知方程组 和 的解相同，求 和 的值.
23．已知：如图， ， ，求证： .
24．某校为学生开展拓展性课程，拟在一块长比宽多6 m的长方形场地内建造由两个大棚组成的植物养殖区，如图（1），要求两个大棚之间有间隔4 m的路，设计方案如图（2），已知每个大棚的周长为44 m.
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广东省深圳市中考数学一模试卷一、选择题1．如图，某地夏季中午，当太阳移至房顶上方偏南时，光线与地面成80°角，房屋朝南的窗子高AB=1.8m，要在窗子外面上方安装水平挡光板AC，使午间光线不能直接射入室内，那么挡光板的宽度AC为（）A．1.8tan80°m B．1.8cos80°m C．m D．m2．如图，某市在“旧城改造”中计划在一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米a元，则购买这种草皮至少要（）A．450a元B．225a元C．150a元D．300a元3．在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，且E、F分别为BC、CD的中点，则∠EAF 等于（）A．60°B．55°C．45°D．30°4．如图所示，在矩形ABCD中，AB=，BC=2，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE垂直AC交AD于点E，则AE的长是（）A．B．C．1 D．1.55．如图，M，N分别是平行四边形ABCD的对边AD，BC的中点，且AD=2AB，连接AN，BM，交于点P，连接DN，CM，交于点Q，则以下结论错误的是（）A．AP=PN B．NQ=QDC．四边形PQNM是矩形D．△ABN是等边三角形6．如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1、S2，则S1+S2的值为（）A．16 B．17 C．18 D．197．如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，∠EAF=45°，且AE+AF=2，则平行四边形ABCD的周长是（）A．2 B．4C．4 D．88．已知，如上右图，动点P在函数y=（x＞0）的图象上运动，PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，线段PM、PN分别与直线AB：y=﹣x+1相交于点E，F，则AF•BE的值是（）A．4 B．2 C．1 D．二、填空题（共4小题，每小题3分，满分12分）9．如图，一次函数y=ax+b的图象与x轴，y轴交于A，B两点，与反比例函数的图象相交于C，D两点，分别过C，D两点作y轴，x轴的垂线，垂足为E，F，连接CF，DE．有下列四个结论：①△CEF与△DEF的面积相等；②△AOB∽△FOE；③△DCE≌△CDF；④AC=BD．其中正确的结论是．（把你认为正确结论的序号都填上）．10．如图，平面直角坐标系中正方形ABCD，已知A（1，0），B（0，3），则sin∠COA= ．11．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点0，过点O作OE⊥AC交AB于E．若BC=8，△AOE 的面积为20，则sin∠BOE的值为．12．（1）如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于F点，若CF=1，FD=2，则BC的长为．（2）如图，矩形ABCD中，E．F分别是AD和CD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于F点，若CF=1，则BC的长为．（3）如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD 于F点，若CF=1，BC=4，则DF的长为．三、解答题（共6小题，满分39分）13．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E，（1）求证：四边形ADCE为矩形；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？并给出证明．14．如图，在正方形ABCD中，等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上．（1）求证：CE=CF；（2）若等边三角形AEF的边长为2，求正方形ABCD的周长．15．在矩形ABCD中，DC=2，CF⊥BD分别交BD、AD于点E、F，连接BF．（1）求证：△DEC∽△FDC；（2）当F为AD的中点时，求sin∠FBD的值及BC的长度．16．（2011•随州）如图，防洪大堤的横断面是梯形，背水坡AB的坡比i=1：（指坡面的铅直高度与水平宽度的比），且AB=20m．身高为1.7m的小明站在大堤A点，测得髙压电线杆顶端点D的仰角为30°．已知地面CB宽30m，求髙压电线杆CD的髙度（结果保留三个有效数字，≈1.732）．18．（2012•巴中）一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F=∠ACB=90°，∠E=30°，∠A=45°，AC=12，试求CD的长．19．如图，矩形OABC在平面直角坐标系中，并且OA、OC的长满足：|OA﹣2|+（OC﹣6）2=0．（1）求A、B、C三点的坐标．（2）把△ABC沿AC对折，点B落在点B1处，AB1与x轴交于点D，求直线BB1的解析式．（3）在直线AC上是否存在点P使PB1+PD的值最小？若存在，请找出点P的位置，并求出PB1+PD 的最小值；若不存在，请说明理由．（4）在直线AC上是否存在点P使|PD﹣PB|的值最大？若存在，请找出点P的位置，并求出|PD ﹣PB|最大值．广东省深圳市中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题1．如图，某地夏季中午，当太阳移至房顶上方偏南时，光线与地面成80°角，房屋朝南的窗子高AB=1.8m，要在窗子外面上方安装水平挡光板AC，使午间光线不能直接射入室内，那么挡光板的宽度AC为（）A．1.8tan80°m B．1.8cos80°m C．m D．m【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【专题】计算题；压轴题．【分析】在光线、遮阳板和窗户构成的直角三角形中，80°角的正切值=窗户高：遮阳板的宽，据此即可解答．【解答】解：∵光线与地面成80°角，∴∠ACB=80°．又∵tan∠ACB=，∴AC=．故选D．【点评】此题考查三角函数定义的应用．2．如图，某市在“旧城改造”中计划在一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米a元，则购买这种草皮至少要（）A．450a元B．225a元C．150a元D．300a元【考点】解直角三角形的应用．【专题】压轴题．【分析】求出三角形地的面积即可求解．如图所示，作BD⊥CA于D点．在Rt△ABD中，利用正弦函数定义求BD，即△ABC的高．运用三角形面积公式计算面积求解．【解答】解：如图所示，作BD⊥CA于D点．∵∠BAC=150°，∴∠DAB=30°，∵AB=20米，∴BD=20sin30°=10米，=×30×10=150（米2）．∴S△ABC已知这种草皮每平方米a元，所以一共需要150a元．故选C．【点评】本题考查了通过作辅助线构建直角三角形，从而解斜三角形的能力．3．在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，且E、F分别为BC、CD的中点，则∠EAF 等于（）A．60°B．55°C．45°D．30°【考点】菱形的性质．【分析】连接AC，根据线段垂直平分线上的点到线段两端段的可得AB=AC，然后求出△ABC是等边三角形，再根据等边三角形的性质求出∠CAE=30°，同理可得∠CAF=30°，然后根据∠EAF=∠CAE+∠CAF计算即可得解．【解答】解：如图，连接AC，∵AE⊥BC，点E是BC的中点，∴AB=AC，∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC，∴△ABC是等边三角形，∴∠CAE=30°，同理可得∠CAF=30°，∴∠EAF=∠CAE+∠CAF=30°+30°=60°．故选A．【点评】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，熟记各性质并作辅助线构造出等边三角形是解题的关键．4．如图所示，在矩形ABCD中，AB=，BC=2，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE垂直AC交AD于点E，则AE的长是（）A．B．C．1 D．1.5【考点】矩形的性质；线段垂直平分线的性质；勾股定理．【分析】由矩形的性质得出∠ABC=∠ADC=90°，AD=BC=2，CD=AB=，OA=OC=AC，根据勾股定理求出AC，得出OA，再证明△AOE∽△ADC，得出比例式，即可求出AE的长．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=∠ADC=90°，AD=BC=2，CD=AB=，OA=OC=AC，∴AC==，∴OA=，∵OE⊥AC，∴∠AOE=90°，∴∠AOE=∠ADC，又∵∠OAE=∠DAC，∴△AOE∽△ADC，∴，即，∴AE=1.5；故选：D．【点评】本题考查了矩形的性质、线段垂直平分线、勾股定理、相似三角形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．5．如图，M，N分别是平行四边形ABCD的对边AD，BC的中点，且AD=2AB，连接AN，BM，交于点P，连接DN，CM，交于点Q，则以下结论错误的是（）A．AP=PN B．NQ=QDC．四边形PQNM是矩形D．△ABN是等边三角形【考点】平行四边形的性质；等边三角形的判定；矩形的判定．【分析】连接MN，由平行四边形的性质得出AD=BC，AD∥BC，再证出AM=AD，BN=BC，得出AM∥BN，AM=BN，证出四边形ABNM是平行四边形，即可得出AP=PN．【解答】解：连接MN，如图所示：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，AD∥BC，∵M，N分别是平行四边形ABCD的对边AD，BC的中点，∴AM=AD，BN=BC，∴AM∥BN，AM=BN，∴四边形ABNM是平行四边形，∴AP=PN；同理NQ=QD；∴A、B正确；∵AM∥CN，AM=CN，∴四边形ANCM是平行四边形，∴AN∥MC，同理：BM∥ND，∴四边形MPNQ是平行四边形，∵AD=2AB，∴AB=AM，∴四边形ABNM是菱形，∴AN⊥BM，∴∠MPN=90°，∴四边形MPNQ是矩形；∴C正确，D不正确；故选：D．【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定、菱形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．6．如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1、S2，则S1+S2的值为（）A．16 B．17 C．18 D．19【考点】勾股定理．【分析】由图可得，S2的边长为3，由AC=BC，BC=CE=CD，可得AC=2CD，CD=2，EC=2；然后，分别算出S1、S2的面积，即可解答．【解答】解：如图，设正方形S1的边长为x，∵△ABC和△CDE都为等腰直角三角形，∴AB=BC，DE=DC，∠ABC=∠D=90°，∴sin∠CAB=sin45°==，即AC=BC，同理可得：BC=CE=CD，∴AC=BC=2CD，又∵AD=AC+CD=6，∴CD==2，∴EC2=22+22，即EC=2；的面积为EC2=2×2=8；∴S1∵∠MAO=∠MOA=45°，∴AM=MO，∵MO=MN，∴AM=MN，∴M为AN的中点，的边长为3，∴S2的面积为3×3=9，∴S2+S2=8+9=17．∴S1故选B．【点评】本题考查了勾股定理，要充分利用正方形的性质，找到相等的量，再结合三角函数进行解答．7．如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，∠EAF=45°，且AE+AF=2，则平行四边形ABCD的周长是（）A．2 B．4C．4 D．8【考点】平行四边形的性质．【分析】由AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，∠EAF=45°，易求得∠C的度数，又由在平行四边形ABCD 中，证得△ABE与△ADF是等腰直角三角形，继而求得答案．【解答】解：∵AE⊥BC，AF⊥CD，∠EAF=45°，∴∠C=180°﹣90°﹣90°﹣45°=135°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B=∠D=180°﹣∠C=45°，∴AB=AE，AD=AF，∴AB+AD=（AE+AF）=×2=4，∴平行四边形ABCD的周长是：4×2=8．故选D．【点评】此题考查了平行四边形的性质以及等腰直角三角形性质．注意证得△ABE与△ADF是等腰直角三角形是关键．8．已知，如上右图，动点P在函数y=（x＞0）的图象上运动，PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，线段PM、PN分别与直线AB：y=﹣x+1相交于点E，F，则AF•BE的值是（）A．4 B．2 C．1 D．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【分析】设P的坐标为（a，），且PN⊥OB，PM⊥OA，那么N的坐标和M点的坐标都可以a 表示，那么BN、NF、BN的长度也可以用a表示，接着F点、E点的也可以a表示，然后利用勾股定理可以分别用a表示AF，BE，最后即可求出AF•BE．【解答】解：作FG⊥x轴，∵P的坐标为（a，），且PN⊥OB，PM⊥OA，∴N的坐标为（0，），M点的坐标为（a，0），∴BN=1﹣，在直角三角形BNF中，∠NBF=45°（OB=OA=1，三角形OAB是等腰直角三角形），∴NF=BN=1﹣，∴F点的坐标为（1﹣，），同理可得出E点的坐标为（a，1﹣a），∴AF2=（1﹣1+）2+（）2=，BE2=（a）2+（﹣a）2=2a2，∴AF2•BE2=•2a2=1，即AF•BE=1．故选C．【点评】本题考查了反比例函数的性质，关键是通过反比例函数上的点P来确定E、F两点的坐标，进而通过坐标系中两点的距离公式得出所求的值．二、填空题（共4小题，每小题3分，满分12分）9．如图，一次函数y=ax+b的图象与x轴，y轴交于A，B两点，与反比例函数的图象相交于C，D两点，分别过C，D两点作y轴，x轴的垂线，垂足为E，F，连接CF，DE．有下列四个结论：①△CEF与△DEF的面积相等；②△AOB∽△FOE；③△DCE≌△CDF；④AC=BD．其中正确的结论是①②④．（把你认为正确结论的序号都填上）．【考点】反比例函数综合题．【专题】代数几何综合题；压轴题．【分析】此题要根据反比例函数的性质进行求解，解决此题的关键是要证出CD ∥EF ，可从①问的面积相等入手；△DFE 中，以DF 为底，OF 为高，可得S △DFE =|x D |•|y D |=k ，同理可求得△CEF 的面积也是k ，因此两者的面积相等；若两个三角形都以EF 为底，那么它们的高相同，即E 、F 到AD 的距离相等，由此可证得CD ∥EF ，然后根据这个条件来逐一判断各选项的正误．【解答】解：设点D 的坐标为（x ，），则F （x ，0）．由函数的图象可知：x ＞0，k ＞0．∴S △DFE =DF •OF=|x D |•||=k ，同理可得S △CEF =k ，故S △DEF =S △CEF ．若两个三角形以EF 为底，则EF 边上的高相等，故CD ∥EF ．①由上面的解题过程可知：①正确；②∵CD ∥EF ，即AB ∥EF ，∴△AOB ∽△FOE ，故②正确；③条件不足，无法得到判定两三角形全等的条件，故③错误；④法一：∵CD ∥EF ，DF ∥BE ，∴四边形DBEF 是平行四边形，∴S △DEF =S △BED ，同理可得S △ACF =S △ECF ；由①得：S △DBE =S △ACF ．又∵CD ∥EF ，BD 、AC 边上的高相等，∴BD=AC ，④正确；法2：∵四边形ACEF ，四边形BDEF 都是平行四边形，而且EF 是公共边，即AC=EF=BD ，∴BD=AC ，④正确；因此正确的结论有3个：①②④．【点评】此题通过反比例函数的性质来证图形的面积相等，根据面积相等来证线段的平行或相等，设计巧妙，难度较大．10．如图，平面直角坐标系中正方形ABCD ，已知A （1，0），B （0，3），则sin ∠COA= ．【考点】正方形的性质；坐标与图形性质；全等三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义．【分析】过点C作CE⊥y轴于E，根据点A、B的坐标求出OA、OB的长，再根据正方形的性质可得AB=BC，∠ABC=90°，再根据同角的余角相等求出∠ABO=∠BCE，然后利用“角角边”证明△ABO 和△BCE全等，根据全等三角形对应边相等可得OA=BE，CE=OB，然后求出OE的长，再利用勾股定理列式求出OC，然后根据两直线平行，内错角相等求出∠OCE=∠COA，再根据锐角的正切等于对边比斜边解答即可．【解答】解：如图，过点C作CE⊥y轴于E，∵A（1，0），B（0，3），∴OA=1，OB=3，在正方形ABCD中，AB=BC，∠ABC=90°，∵∠ABO+∠CBE=90°，∠BCE+∠CBE=90°，∴∠ABO=∠BCE，在△ABO和△BCE中，，∴△ABO≌△BCE（AAS），∴OA=BE=1，CE=OB=3，∴OE=OB+BE=3+1=4，在Rt△OCE中，OC===5，∵CE⊥y轴，x轴⊥y轴，∴CE∥x轴，∴∠OCE=∠COA，∴sin∠COA=sin∠OCE==．故答案为：．【点评】本题考查了正方形的性质，坐标与图形性质，全等三角形的判定与性质，锐角三角函数，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．11．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点0，过点O作OE⊥AC交AB于E．若BC=8，△AOE 的面积为20，则sin∠BOE的值为．【考点】矩形的性质；线段垂直平分线的性质；勾股定理；锐角三角函数的定义．【分析】由题意可知，OE为对角线AC的中垂线，则CE=AE，S△AEC =2S△AOE=40，由S△AEC求出线段AE的长度，进而在Rt△BCE中，由勾股定理求出线段BE的长度；然后证明∠BOE=∠BCE，从而可求得结果．【解答】解：如图，连接EC．由题意可得，OE为对角线AC的垂直平分线，∴CE=AE，S△AOE =S△COE=5，∴S△AEC =2S△AOE=20．∴AE•BC=20，又BC=8，∴AE=5，∴EC=5．在Rt△BCE中，由勾股定理得：BE==3．∵∠AEO+∠EAO=90°，∠AEO=∠BOE+∠ABO，∴∠BOE+∠ABO+∠EAO=90°，又∠ABO=90°﹣∠OBC=90°﹣（∠BCE+∠ECO）∴∠BOE+[90°﹣（∠BCE+∠ECO）]+∠EAO=90°，化简得：∠BOE﹣∠BCE﹣∠ECO+∠EAO=0，∵OE为AC中垂线，∴∠EAO=∠ECO．代入上式得：∠BOE=∠BCE．∴sin∠BOE=sin∠BCE==．故答案为：．【点评】此题考查矩形性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理、三角函数的定义等知识点；解题要抓住两个关键：（1）求出线段AE的长度；（2）证明∠BOE=∠BCE．12．（1）如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于F点，若CF=1，FD=2，则BC的长为2．（2）如图，矩形ABCD中，E．F分别是AD和CD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于F点，若CF=1，则BC的长为2．（3）如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD 于F点，若CF=1，BC=4，则DF的长为．【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】（1）首先过点E作EM⊥BC于M，交BF于N，易证得△ENG≌△BNM（AAS），MN是△BCF的中位线，根据全等三角形的性质，即可求得GN=MN，由折叠的性质，可得BG=3，继而求得BF的值，又由勾股定理，即可求得BC的长．（2）连接EF，则可证明△EA′F≌△EDF，从而根据BF=BA′+A′F，得出BF的长，在Rt△BCF中，利用勾股定理可求出BC；（3）根据点E是AD的中点以及翻折的性质可以求出AE=DE=EG，然后利用“HL”证明△EDF和△EGF 全等，根据全等三角形对应边相等可证得DF=GF；设FD=x，表示出CD、BF，列方程求解即可．【解答】解：（1）如图1，过点E作EM⊥BC于M，交BF于N，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠ABC=90°，AD=BC，∵∠EMB=90°，∴四边形ABME是矩形，∴AE=BM，由折叠的性质得：AE=GE，∠EGN=∠A=90°，∴EG=BM，∵∠ENG=∠BNM，在△ENG与△BNM中，，∴△ENG≌△BNM（AAS），∴NG=NM，∴CM=DE，∵E是AD的中点，∴AE=ED=BM=CM，∵EM∥CD，∴BN：NF=BM：CM，∴BN=NF，∴NM=CF=，∴NG=，∵BG=AB=CD=CF+DF=3，∴BN=BG﹣NG=3﹣=，∴BF=2BN=5∴BC==2．故答案为：=2．（2）解：如图2，连接EF，∵点E、点F是AD、DC的中点，∴AE=ED，CF=DF=CD=AB=1，由折叠的性质可得AE=GE，∴GE=DE，在Rt△EGF和Rt△EDF中，∴Rt△EGF≌Rt△EDF（HL），∴GF=DF=1，∴BF=BG+GF=AB+DF=2+1=3，在Rt△BCF中，BC==2．故答案为：2．（3）解：∵E是AD的中点，∴AE=DE，∵△ABE沿BE折叠后得到△GBE，∴AE=EG，AB=BG，∴ED=EG，∵在矩形ABCD中，∴∠A=∠D=90°，∴∠EGF=90°，在Rt△EDF和Rt△EGF中，，∴Rt△EDF≌Rt△EGF（HL），∴DF=FG，设DF=x，则CD=AB=x+1，BF=2x+1，∴12+42=（2x+1）2，解得：x=；故答案为：．【点评】此题考查了矩形的判定与性质、折叠的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．三、解答题（共6小题，满分39分）13．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E，（1）求证：四边形ADCE为矩形；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？并给出证明．【考点】矩形的判定；角平分线的性质；等腰三角形的性质；正方形的判定．【专题】证明题；开放型．【分析】（1）根据矩形的有三个角是直角的四边形是矩形，已知CE⊥AN，AD⊥BC，所以求证∠DAE=90°，可以证明四边形ADCE为矩形．（2）根据正方形的判定，我们可以假设当AD=BC，由已知可得，DC=BC，由（1）的结论可知四边形ADCE为矩形，所以证得，四边形ADCE为正方形．【解答】（1）证明：在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，∴∠BAD=∠DAC，∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线，∴∠MAE=∠CAE，∴∠DAE=∠DAC+∠CAE=180°=90°，又∵AD⊥BC，CE⊥AN，∴∠ADC=∠CEA=90°，∴四边形ADCE为矩形．（2）当△ABC满足∠BAC=90°时，四边形ADCE是一个正方形．理由：∵AB=AC，∴∠ACB=∠B=45°，∵AD⊥BC，∴∠CAD=∠ACD=45°，∴DC=AD，∵四边形ADCE为矩形，∴矩形ADCE是正方形．∴当∠BAC=90°时，四边形ADCE是一个正方形．【点评】本题是以开放型试题，主要考查了对矩形的判定，正方形的判定，等腰三角形的性质，及角平分线的性质等知识点的综合运用．14．如图，在正方形ABCD中，等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上．（1）求证：CE=CF；（2）若等边三角形AEF的边长为2，求正方形ABCD的周长．【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；等腰直角三角形．【分析】（1）根据正方形可知AB=AD，由等边三角形可知AE=AF，于是可以证明出△ABE≌△ADF，即可得出CE=CF；（2）连接AC，交EF与G点，由三角形AEF是等边三角形，三角形ECF是等腰直角三角形，于是可知AC⊥EF，求出EG=1，设BE=x，利用勾股定理求出x，即可求出BC的上，进而求出正方形的周长．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∵△AEF是等边三角形，∴AE=AF，在Rt△ABE和Rt△ADF中，∵，∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），∴BE=DF．又BC=DC，∴BC﹣BE=DC﹣DF，即EC=FC∴CE=CF，（2）解：连接AC，交EF于G点，∵△AEF是等边三角形，△ECF是等腰直角三角形，∴AC⊥EF，在Rt△AGE中，EG=sin30°AE=×2=1，∴EC=，设BE=x，则AB=x+，在Rt△ABE中，AB2+BE2=AE2，即（x+）2+x2=4，解得x=，∴AB=+=，∴正方形ABCD的周长为4AB=2+2．【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质和等腰三角形的性质，解答本题的关键是对正方形和三角形的性质的熟练运用，此题难度不大，是一道比较不错的试题．15．在矩形ABCD中，DC=2，CF⊥BD分别交BD、AD于点E、F，连接BF．（1）求证：△DEC∽△FDC；（2）当F为AD的中点时，求sin∠FBD的值及BC的长度．【考点】相似三角形的判定与性质；矩形的性质；解直角三角形．【专题】压轴题．【分析】（1）根据题意可得∠DEC=∠FDC，利用两角法即可进行相似的判定；（2）根据F为AD的中点，可得FB=FC，根据AD∥BC，可得FE：EC=FD：BC=1：2，再由sin∠FBD=EF：BF=EF：FC，即可得出答案，设EF=x，则EC=2x，利用（1）的结论求出x，在Rt△CFD中求出FD，继而得出BC．【解答】解：（1）∵∠DEC=∠FDC=90°，∠DCE=∠FCD，∴△DEC∽△FDC．（2）∵F为AD的中点，AD∥BC，∴FE：EC=FD：BC=1：2，FB=FC，∴FE：FC=1：3，∴sin∠FBD=EF：BF=EF：FC=；设EF=x，则FC=3x，∵△DEC∽△FDC，∴=，即可得：6x2=12，解得：x=，则CF=3，在Rt△CFD中，DF==，∴BC=2DF=2．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是掌握相似三角形的判定定理及相似三角形的性质：对应边成比例．16．（2011•随州）如图，防洪大堤的横断面是梯形，背水坡AB的坡比i=1：（指坡面的铅直高度与水平宽度的比），且AB=20m．身高为1.7m的小明站在大堤A点，测得髙压电线杆顶端点D的仰角为30°．已知地面CB宽30m，求髙压电线杆CD的髙度（结果保留三个有效数字，≈1.732）．【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题；解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【分析】由i的值求得大堤的高度h，点A到点B的水平距离a，从而求得MN的长度，由仰角求得DN的高度，从而由DN，AM，h求得高度CD．【解答】解：作AE⊥CE于E，设大堤的高度为h，点A到点B的水平距离为a，∵i=1：=，∴坡AB与水平的角度为30°，∴，即得h==10m，，即得a=，∴MN=BC+a=（30+10）m，∵测得髙压电线杆顶端点D的仰角为30°，∴，解得：DN=MN•tan30°=（30+10）×=10+10≈27.32（m），∴CD=DN+AM+h=27.32+1.7+10=39.02≈39.0（m）．答：髙压电线杆CD的髙度约为39.0米．【点评】本题考查了直角三角形在坡度上的应用，由i的值求得大堤的高度和点A到点B的水平距离，求得MN，由仰角求得DN高度，进而求得总高度．18．（2012•巴中）一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F=∠ACB=90°，∠E=30°，∠A=45°，AC=12，试求CD的长．【考点】解直角三角形．【专题】压轴题．【分析】过点B作BM⊥FD于点M，根据题意可求出BC的长度，然后在△EFD中可求出∠EDF=60°，进而可得出答案．【解答】解：过点B作BM⊥FD于点M，在△ACB中，∠ACB=90°，∠A=45°，AC=12，∴BC=AC=12∵AB∥CF，∴BM=BC×sin45°=12×=12CM=BM=12，在△EFD中，∠F=90°，∠E=30°，∴∠EDF=60°，∴MD=BM÷tan60°=4，∴CD=CM﹣MD=12﹣4．【点评】本题考查了解直角三角形的性质及平行线的性质，难度较大，解答此类题目的关键根据题意建立三角形利用所学的三角函数的关系进行解答．19．如图，矩形OABC在平面直角坐标系中，并且OA、OC的长满足：|OA﹣2|+（OC﹣6）2=0．（1）求A、B、C三点的坐标．（2）把△ABC沿AC对折，点B落在点B1处，AB1与x轴交于点D，求直线BB1的解析式．（3）在直线AC上是否存在点P使PB1+PD的值最小？若存在，请找出点P的位置，并求出PB1+PD 的最小值；若不存在，请说明理由．（4）在直线AC上是否存在点P使|PD﹣PB|的值最大？若存在，请找出点P的位置，并求出|PD ﹣PB|最大值．【考点】一次函数综合题．【分析】（1）由非负数的性质可求得OA和OC的长，则可得到A、C的坐标，再由矩形的性质可求得B点坐标；（2）由轴对称的性质可知AC⊥BB1，由（1）可知A、C点的坐标，可求得直线AC的解析式，则可求得直线BB1的解析式；（3）由B和B1关于直线AC对称可知，连接BD与直线AC交于点P，则此时PD+PB=PD+PB1，满足条件；再由折叠的性质可证明△AOD≌△CB1D，在Rt△AOD中可求得OD，则可求得CD长，在Rt△BCD中由勾股定理可求得BD的长；（4）由三角形三边关系可知|PD﹣PB|＜BD，只有当P点在线段BD的延长线或反延长线上时，才有|PD﹣PB|=BD，显然不存在这样的点．【解答】解：（1）∵|OA﹣2|+（OC﹣6）2=0．∴OA=2，OC=6，∴A（0，2），C（6，0），∵四边形OABC为矩形，∴BC=OA=2，∴B（6，2）；（2）设直线AC的解析式为y=kx+b，把A、C坐标代入可得，解得，∴直线AC的解析式为y=﹣x+2，由折叠的性质可知AC⊥BB1，的解析式为y=x+m，∴可设直线BB1把B点坐标代入可得2=6+m，解得m=﹣4，的解析式为y=x﹣4；∴直线BB1（3）由（2）可知B和B1关于直线AC对称，如图1，连接BD交AC于点P，则PB=PB1，=BD，∴PD+PB=PD+PB1最小，∴此时PD+PB1由折叠的性质可知B1C=BC=OA=2，∠AOD=∠CB1D=90°，在△AOD和△CB1D中，，D（AAS），∴△AOD≌△CB1，∴AD=DC，OD=DB1设OD=x，则DC=AD=6﹣x，且OA=2，在Rt△AOD中，由勾股定理可得AO2+OD2=AD2，即（2）2+x2=（6﹣x）2，解得x=2，∴CD=AD=6﹣2=4，在Rt△BCD中，由勾股定理可得BD===2，综上可知存在使PB1+PD的值最小的点P，PB1+PD的最小值为2；（4）如图2，连接PB、PD、BD，当p在点A时|PD﹣PB|最大，B与B1对称，|PD﹣PB|=|PD﹣PB1|，根据三角形三边关系|PD﹣PB1|小于或等于DB1，故|PD﹣PB1|的最大值等于DB1．=AB=6，∵AB1AD==4，=2，∴DB1∴在直线AC上，存在点P使|PD﹣PB|的值最大，最大值为：2．【点评】本题主要考查一次函数的综合应用，涉及待定系数法、矩形的性质、轴对称的性质、全等三角形的判定和性质等知识．在（1）中注意非负数的性质的应用，在（2）中掌握相互垂直的两直线的解析式的关系是解题的关键，在（3）中确定出P点的位置是解题的关键，在（4）中注意三角形三边关系的应用．本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大．。