中考数学专题复习第十八讲等腰三角形与直角三角形

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2024年中考数学复习课件第18讲等腰三角形与直角三角形

∴ △ 是等边三角形.
要点梳理
典题精析
备考练习
14
第18讲等腰三角形与直角三角形
（2）如图②， △ 仍是等边三角形，
点在的延长线上，连接，判
断 ∠ 的度数及线段，，
之间的数量关系，并说明理由．
图3
思路点拨由等边三角形的性质,可将转化为 .若能将转化为 ,
（2）点是否也在边的垂直平分线上？请说明理由.
解：点也在边的垂直平分线上.
理由如下： ∵ = ， ∴ 点在边的垂直平分线上.
要点梳理
典题精析
备考练习
22
第18讲等腰三角形与直角三角形
考点四直角三角形的性质
名师指导在直角三角形中求角度时，通常利用“直角三角形的两锐角互
上的中线，为的中点．若 = 8 ，
3
= 5 ，则 = ___．
20
第18讲等腰三角形与直角三角形
（2）求的长.
思路点拨利用垂直平分线的性质,可将转化为 .
因此根据勾股定理,求出长就可以了.
解： ∵ ∠ = 90∘ ， = 12 = 5， ∴ =
，
图6
2 + 2 = 122 + 52 =13.
∵ 是的垂直平分线， ∴ = = 13
①有一个角是______的三角形是直角三角形
直角
②有两个角______的三角形是直角三角形
互余
判定
2+

③（勾股定理的逆定理）若三角形的三边长，，满足______
2 = 2

_______，则这个三角形是直角三角形

中考数学总复习第18讲等腰三角形、等边三角形、直角三角形

第四章三角形
第18讲等腰三角形、等边三角形、直角三角形
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数学
课前预习
1．(2018 成都)等腰三角形的一个底角为 50° ，则它的顶角的度数为 80° . 2．(2018 南通)一个等腰三角形的两边长分别为 4 cm 和 9 cm，则它的周长为 22 cm.
垂直平分线．
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数学
(3)判定：①有两条边相等的三角形是等腰三角形；②有两个角相等的三角形是等腰三角形，即“等角对等边”．
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数学 2．等边三角形
(1)定义：三边相等的三角形是等边三角形． (2)性质：①等边三角形的三边相等，三角相等，都等于 60° ； ②“三线合一”；③等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴． (3)判定：①三条边都相等的三角形是等边三角形；②三个角都相等的三角形是等边三角形；③有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形．
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数学
3．(2018 湖州)如图，AD，CE 分别是△ABC 的中线和角平分线．若 AB＝AC，∠CAD＝20° ，则∠ACE 的度数是( B )
A．20° B．35° C．40° D．70°
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数学
4．(2018 永定模拟)等边△ABC 的边长是 2 cm，则等边△ABC 的高是( C ) A．0.5 m C． 3 cm B．1 cm D．2 cm
例1 例2 在等腰三角形 ABC 中，∠A＝110° ，求∠B 的度数．(答在等腰三角形 ABC 中，∠A＝40° ，求∠B 的度数．(答案：35° ) 案：40° 或 70° 或 100° ) 张老师启发同学们进行变式，小敏编了如下一题：变式在等腰三角形 ABC 中，∠A＝80° ，求∠B 的度数．(答案： 50°或20°或80° )

中考数学专题18 等腰三角形与直角三角形(解析版)

3 1 3
3 3
，∴S△OBC

1 2
BC•ON

3
．
3
∵∠EOF=∠AOB=120°，∴∠EOF﹣∠BOF=∠AOB﹣∠BOF，即∠EOB=∠FOC．
OBE OCF 30
在△EOB 和△FOC 中，∵ OB OC EOB FOC
，∴△EOB≌△FOC（ASA），∴S 阴影=S△OBC
【例 2】（2019 四川省宜宾市，第 7 题，3 分）如图，∠EOF 的顶点 O 是边长为 2 的等边△ABC 的重心，
∠EOF 的两边与△ABC 的边交于 E，F，∠EOF=120°，则∠EOF 与△ABC 的边所围成阴影部分的面积是（）
3
23
3
3
A． B． C． D．
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（2）在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；（3）在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．基本方法归纳：（1）两个内角互余的三角形是直角三角形．（2）三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形．注意问题归纳：注意区分直角三角形的性质与直角三角形的判定，在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半，它的逆命题不能直接使用．
【详解】连接 OB、OC，过点 O 作 ON⊥BC，垂足为 N．
∵△ABC 为等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°．
∵点 O 为△ABC 的内心，∴∠OBC=∠OBA 1 ∠ABC，∠OCB 1 ∠ACB，∴∠OBA=∠OBC=∠OCB=30
2
2
°，∴OB=OC．∠BOC=120°．
∵ON⊥BC，BC=2，∴BN=NC=1，∴ON=tan∠OBC•BN

优艺学堂中考数学复习专题等腰三角形与直角三角形

专题18 等腰三角形与直角三角形知识点高老师总结等腰三角形等腰三角形的性质理解等腰三角形的性质，并能解决等腰三角形的有关计算等腰三角形的判定掌握等腰三角形的判定方法，会证明一个三角形是等腰三角形等边三角形等边三角形的性质理解等边三角形的性质等边三角形的判定掌握等边三角形的判定方法，会证明一个三角形是等边三角形直角三角形直角三角形的性质理解直角三角形的有关性质直角三角形的判定掌握直角三角形的判定方法，会证明一个三角形是直角三角形勾股定理理解并掌握勾股定理及其逆定理☞2年中考1．下列各组线段中，能够组成直角三角形的一组是（）A．1，2，3 B．2，3，4 C．4，5，6 D．1，2，3考点：勾股定理的逆定理．2．如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠B=70°，则∠C的度数为（）A．35°B．40°C．45°D．50°考点：等腰三角形的性质．3．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，AB的垂直平分线DE分别交AB、BC于点D、E，则∠BAE=（）A．80°B．60°C．50°D．40°考点：1．线段垂直平分线的性质；2．等腰三角形的性质．4．如图，在△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC交AC于点D，AE∥BD交CB的延长线于点E．若∠E=35°，则∠BAC的度数为（）A．40°B．45°C．60°D．70°考点：1．等腰三角形的性质；2．平行线的性质．5．已知一个等腰三角形的两边长分别是2和4，则该等腰三角形的周长为（）A．8或10 B．8 C．10 D．6或12考点：1．等腰三角形的性质；2．三角形三边关系；3．分类讨论．6．已知2是关于x的方程2230x mx m-+=的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC的两条边长，则三角形ABC的周长为（）A．10 B．14 C．10或14 D．8或10考点：1．解一元二次方程-因式分解法；2．一元二次方程的解；3．三角形三边关系；4．等腰三角形的性质；5．分类讨论．7．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，E为BC延长线上一点，∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D，则∠D的度数为（）A．15°B．17.5°C．20°D．22.5°考点：等腰三角形的性质．8．如图，在边长为3的等边三角形ABC中，过点C垂直于BC的直线交∠ABC的平分线于点P，则点P到边AB所在直线的距离为（）A33B32C．3D．1考点：1．角平分线的性质；2．等边三角形的性质；3．含30度角的直角三角形；4．勾股定理．9．如图，已知△ABC的三个顶点均在格点上，则cosA的值为（）A33B55C233D255考点：1．锐角三角函数的定义；2．勾股定理；3．勾股定理的逆定理；4．网格型．10．如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（）A．13cm B．261cm C61D．234考点：1．平面展开-最短路径问题；2．最值问题．11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD为AB边上的高，若点A关于CD所在直线的对称点E恰好为AB的中点，则∠B的度数是（）A．60°B．45°C．30°D．75°考点：1．直角三角形斜边上的中线；2．轴对称的性质．12．如图，在Rt△ABC中，∠B=900，∠A=300，DE垂直平分斜边AC，交AB于D，E是垂足，连接CD．若BD=l，则AC的长是（）A．32B．2 C．34D．4考点：1．含30度角的直角三角形；2．线段垂直平分线的性质；3．勾股定理．13．如图，在△ABC中，∠BAC=Rt∠，AB=AC，点D为边AC的中点，DE⊥BC于点E，连接BD，则tan∠DBC的值为（）A．13B．21-C．23-D．14考点：1．解直角三角形；2．等腰直角三角形．14．如图，在△ABC中，∠B=30°，BC的垂直平分线交AB于点E，垂足为D，CE平分∠ACB．若BE=2，则AE的长为（）A3B．1 C2D．2考点：1．含30度角的直角三角形；2．角平分线的性质；3．线段垂直平分线的性质．15．如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开．若测得AM的长为1.2km，则M，C两点间的距离为（）A．0.5km B．0.6km C．0.9km D．1.2km考点：1．直角三角形斜边上的中线；2．应用题．16．如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=2，2，点P在四边形ABCD 的边上．若点P到BD的距离为32，则点P的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．5考点：1．等腰直角三角形；2．点到直线的距离．17．如图，在边长为3的等边三角形ABC中，过点C垂直于BC的直线交∠ABC的平分线于点P，则点P到边AB所在直线的距离为（）A33B32C．3D．1考点：1．角平分线的性质；2．等边三角形的性质；3．含30度角的直角三角形；4．勾股定理．18．△ABC中，AB=AC=5，BC=8，点P是BC边上的动点，过点P作PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E，则PD+PE的长是（）A．4.8 B．4.8或3.8 C．3.8 D．5考点：1．勾股定理；2．等腰三角形的性质；3．动点型．19．如图，点O是矩形ABCD的中心，E是AB上的点，沿CE折叠后，点B恰好与点O重合，若BC=3，则折痕CE的长为（）A．32B．323C．3D．6考点：1．翻折变换（折叠问题）；2．勾股定理．20．如图，在直角∠O的内部有一滑动杆AB，当端点A沿直线AO向下滑动时，端点B会随之自动地沿直线OB向左滑动，如果滑动杆从图中AB处滑动到A′B′处，那么滑动杆的中点C所经过的路径是（）A．直线的一部分B．圆的一部分C．双曲线的一部分D．抛物线的一部分考点：1．轨迹；2．直角三角形斜边上的中线．21．如图，正方形ABCD的边长为2，其面积标记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2，…按照此规律继续下去，则S2015的值为（）A．20122()B．20132C．20121()2D．20131()2考点：1．等腰直角三角形；2．正方形的性质；3．规律型；4．综合题．22．等腰三角形边长分别为a ，b ，2，且a ，b 是关于x 的一元二次方程2610x x n -+-=的两根，则n 的值为（）A ．9B ．10C ．9或10D ．8或10考点：1．根的判别式；2．一元二次方程的解；3．等腰直角三角形；4．分类讨论．23．下列图形是将正三角形按一定规律排列，则第4个图形中所有正三角形的个数有（）A ．160B ．161C ．162D ．163 考点：1．规律型；2．综合题．24．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，点D ，E ，F 分别为AB ，AC ，BC 的中点．若CD=5，则EF 的长为．考点：1．三角形中位线定理；2．直角三角形斜边上的中线．25．如图是根据某公园的平面示意图建立的平面直角坐标系，公园的入口位于坐标原点O ，古塔位于点A （400，300），从古塔出发沿射线OA 方向前行300m 是盆景园B ，从盆景园B 向左转90°后直行400m 到达梅花阁C ，则点C 的坐标是．考点：1．勾股定理的应用；2．坐标确定位置；3．全等三角形的应用． 26．如图，△ABC 中，D 是BC 上一点，AC=AD=DB ，∠BAC=102°，则∠ADC= 度．考点：等腰三角形的性质．27．如图，在△ABC 中，CD 是高，CE 是中线，CE=CB ，点A 、D 关于点F 对称，过点F 作FG ∥CD ，交AC 边于点G ，连接GE ．若AC=18，BC=12，则△CEG 的周长为．考点：1．三角形中位线定理；2．等腰三角形的性质；3．轴对称的性质． 28．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角的度数为20°，则顶角的度数是．考点：1．等腰三角形的性质；2．分类讨论．29．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，则∠BED的度数是．考点：1．正方形的性质；2．等边三角形的性质．30．如图，在边长为2的等边△ABC中，D为BC的中点，E是AC边上一点，则BE+DE的最小值为．考点：1．轴对称-最短路线问题；2．等边三角形的性质；3．最值问题；4．综合题．31．如图，△ABC是等边三角形，高AD、BE相交于点H，BC=43，在BE上截取BG=2，以GE为边作等边三角形GEF，则△ABH与△GEF重叠（阴影）部分的面积为．考点：等边三角形的判定与性质；三角形的重心；三角形中位线定理；综合题；压轴题．32．如图，等腰直角三角形BDC的顶点D在等边三角形ABC的内部，∠BDC=90°，连接AD，过点D 作一条直线将△ABD分割成两个等腰三角形，则分割出的这两个等腰三角形的顶角分别是度．考点：1．等腰直角三角形；2．等腰三角形的性质；3．等边三角形的性质；4．综合题．cm．33．在△ABC 中，AB=13cm，AC=20cm，BC 边上的高为12cm，则△ABC 的面积为__________2考点：1．勾股定理；2．分类讨论；3．综合题．34．在底面直径为2cm，高为3cm的圆柱体侧面上，用一条无弹性的丝带从A至C按如图所示的圈数缠绕，则丝带的最短长度为cm．（结果保留π）考点：1．平面展开-最短路径问题；2．最值问题．35．如图，是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：AM=4米，AB=8米，∠MAD=45°，∠MBC=30°，则警示牌的高CD为米（结果精确到0.1米，参考数据：2=1.41，3）．考点：勾股定理的应用．36．如图，在△ABC中，BD⊥AC于D，点E为AB的中点，AD=6，DE=5，则线段BD的长等于．考点：1．直角三角形斜边上的中线；2．勾股定理．37．如图，在△ABC中，D为AC边的中点，且DB⊥BC，BC=4，CD=5．（1）求DB的长；（2）在△ABC中，求BC边上高的长．考点：1．勾股定理；2．三角形中位线定理．38．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=8cm，AD=12cm，BC=18cm，点P从点A出发以2cm/s的速度沿A→D→C运动，点P从点A出发的同时点Q从点C出发，以1cm/s的速度向点B 运动，当点P到达点C时，点Q也停止运动．设点P，Q运动的时间为t秒．（1）从运动开始，当t取何值时，PQ∥CD？（2）从运动开始，当t取何值时，△PQC为直角三角形？考点：平行四边形的判定与性质；勾股定理的逆定理；直角梯形；动点型；分类讨论；综合题．☞考点归纳归纳 1：等腰三角形基础知识归纳：1、等腰三角形的性质（1）等腰三角形的性质定理及推论：定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边。

2013年中考数学专题复习第18讲：等腰三角形与直角三角形(含详细参考答案)

云南中考数学一轮复习第十八讲等腰三角形和直角三角形课件

问题 2 若△ ABC 的一边长为 3，周长为 12，则 AB＝__2__．
【满分技法】在已知等腰三角形的两边长求其周长或已知周长和一边长求等腰三角形三边长时，需注意： (1)利用分类讨论思想列举出三角形的三边长； (2)利用三角形的三边关系检验是否能构成三角形．
问题 3 如图，AD 是∠BAC 的平分线，且△ ABC 的周长为 20，AD＝6.求△ ACD 的周长．
问题 3 若 AD⊥BC，BC＝8，∠C＝30°时，BD＝_2__．
【提分要点】含 30°角的直角三角形的性质 (1)在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半； (2)三个角之比为 1∶2∶3； (3)三边之比为 1∶ 3 ∶2.
问题 4 当∠B＝45°，BC＝10 时，求 S△ ABC.
＝__3_6__度．
问题 8 如图，若 BD 是∠ABC 的平分线，交 AC 于点 D，∠A＝36°. 求证：△ BDC 是等腰三角形．
【证明】略【提分要点】等腰三角形的判定方法
(1)证明三角形有两条边相等； (2)证明三角形有两个角相等(等角对等边).
线段垂直平分线的性质与判定如图，在△ ABC 中，AB 的垂直平分线交 AB 于点 D，交 BC 于点 E，连接 AE.
若 BC＝6，AC＝5，则△ ACE 的周长为( B )
A．8 B．11 C．16 D．17
【变式】如图，∠AOB 内一点 P，P1，P2 分别是 P 关于 OA，OB 的对称点，P1P2 交
OA 于 M，交 OB 于 N，若 P1P2＝5 cm，则△ PMN 的周长是__5__cm.
【提分要点】线段垂直平分线的性质与判定的应用线段垂直平分线的性质与判定在几何证明中应用广泛．利用尺规作出线段垂直平分线可用来作一条直线的垂线或找线段的中点等．

第18讲等腰三角形与直角三角形-2023年中考数学一轮复习备考(考点清单+强化演练+答案)

2023年中考数学一轮复习备考第18讲等腰三角形与直角三角形考点清单考点1 等腰三角形的性质与判定性质(1)两底角相等，即∠B＝∠C(等边对等角)；(2)两腰相等，即AB＝AC；(3)是轴对称图形，有一条对称轴，即AD所在的直线；(4)“三线合一”(即顶角的①、底边上的中线和底边上的高互相重合)判定(1)两边相等的三角形是等腰三角形；(2)②相等的三角形是等腰三角形(等角对等边)周长、面积周长：C＝a＋2b；面积：S＝③(其中a是底边长，b是腰长，h是底边上的高)【易错警示】等腰三角形中的分类讨论：(1)当顶角和底角不确定时，需要分类讨论，且需要用三角形内角和定理检验；(2)当腰长和底边长不确定时，需要分类讨论，且需要用三角形三边关系检验．考点2 等边三角形的性质与判定性质(1)等边三角形的三条边相等，即AB＝BC＝AC；(2)等边三角形的三个内角相等且每一个角都等于④，即∠B＝∠C＝∠BAC＝60°；(3)等边三角形是轴对称图形，有⑤条对称轴；(4)等边三角形“三线合一”；(5)等边三角形的内心、外心重合判定(1)三条边都相等的三角形是等边三角形；(2)三个角都相等的三角形是等边三角形；(3)有一个角是⑥的等腰三角形是等边三角形周长、面积周长：C＝3a；面积：S＝12ah＝34a2(h＝32a)(其中a是边长，h是任一边上的高)考点3 直角三角形的性质与判定性质(1)两锐角之和等于90°，即∠A＋∠B＝90°；(2)斜边上的中线等于斜边的⑦；(3)30°角所对的直角边等于斜边的⑧；(4)勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么⑨；【拓展】在直角三角形中，如果一条直角边长等于斜边长的一半，那么这条直角边所对的锐角等于⑩；外接圆半径R＝c2，内切圆半径r＝12(a＋b－c)判定(1)有一个角为⑪的三角形是直角三角形；(2)有两个角互余的三角形是直角三角形；(3)勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足⑫，那么这个三角形是直角三角形；【拓展】一条边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形周长、面积周长：C＝a＋b＋c；面积：S△ABC＝12ab＝12ch(其中a，b分别为两个直角边长，c为斜边长，h为斜边上的高)考点4 等腰直角三角形的性质与判定性质(1)两直角边相等，即AC＝BC；(2)两锐角相等且都等于45°；(3)是轴对称图形，有一条对称轴，即CD所在的直线；(4)“三线合一”判定(1)顶角为⑬的等腰三角形是等腰直角三角形；(2)有两个角为⑭的三角形是等腰直角三角形；(3)有一个角为⑮的直角三角形是等腰直角三角形；(4)两直角边相等的直角三角形是等腰直角三角形周长、面积周长：C ＝2a ＋c ；面积：S ＝12a 2＝12ch ＝22ah (其中a 为直角边长，c 为斜边长，h 为斜边上的高)强化演练基础练1．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，过点C 作 CD ⊥AB ，垂足为D ，E 为BC 的中点，AE 与CD 交于点F .若DF 的长为23，则AE 的长为( )A ．2B ．2C ．5D ．2 52．已知a ，b 是等腰三角形的两边长，且a ，b 满足2a －3b ＋5＋(2a ＋3b －13)2＝0，则此等腰三角形的周长为( )A ．8B ．6或8C ．7D ．7或83．如图，在等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝8，AD ⊥AC 交BC 于点D ，则AD 的值为( )A ．125B ．154C ．5D ．2034．如图，AD 是等边三角形ABC 的中线，AE ＝AD ，则∠EDC 的度数为( )A ．30°B ．20°C ．25°D ．15°5．如图是“人字形”钢架，其中斜梁AB ＝AC ，顶角∠BAC ＝120°，跨度BC ＝10 m ，AD 为支柱(即底边BC 上的中线)，两根支撑架DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，则DE ＋DF 等于( )A ．10 mB ．5 mC ．2.5 mD ．9.5 m6．如图，在△ABC 中，AB ＝BC ，由图中的尺规作图痕迹得到的射线BD 与AC 交于点E ，点F 为BC 的中点，连接EF .若BE ＝AC ＝2，则△CEF 的周长为( )A ．3＋1B ．5＋3C ．5＋1D ．47．如图，在4×4的正方形网格中有两个格点A ，B ，连接AB ，在网格中再找一个格点C , 使得△ABC 是等腰直角三角形，满足条件的格点C 的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．58．如图，在△ABC 中AC ＝BC ，点D 和E 分别在AB 和AC 上，且AD ＝AE .连接DE ，过点A 作AH ⊥BC 于点H ，交DE 于点F .若∠C ＝40°，则∠AFE 的度数为( )A ．60°B ．65°C ．75°D ．80°9．如图，在△ABC 中，点O 是角平分线AD ，BE 的交点．若AB ＝AC ＝10，BC ＝12，则tan ∠OBD 的值是( )A ．12B ．2C ．63D ．6410．如图，在Rt △ABC 中，CD 为斜边AB 上的中线．若CD ＝2，则AB ＝ .11．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝2，P 是BC 上任意一点，PE ⊥AB 于点E ，PF ⊥AC 于点F .若S △ABC ＝1，则PE ＋PF ＝ .12．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AF＝EF.若∠CFE＝72°，则∠B＝.13．如图，EA＝EB＝EC，∠AEB＝70°，则∠ACB＝°.14．如图，在Rt△ABC中，∠A＝30°，DE垂直平分斜边AC，交AB于点D，E为垂足，连接CD.若BD＝1，则AC的长是 .15．如图，在△ABC中，∠ABC的平分线BD交AC边于点D，AE⊥BC于点E.已知∠ABC＝60°，∠C ＝45°.(1)求证：AB＝BD；(2)若AE＝3，求△ABC的面积．16．如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，BD＝CD，延长BC至点E，使得CE＝CA，连接AE.(1)求证：∠B＝∠ACB；(2)若AB＝5，AD＝4，求△ABE的周长和面积．强化练17．如图，在等边三角形ABC中，AB＝10，E为AC的中点，点F，G为AB边上的动点，且FG＝5，则EF＋CG的最小值是()A．57 B．5 6 C．53＋5 D．1518．如图，在△ABC中，AD和BE是高，∠ABE＝45°，F是AB的中点，AD与FE，BE分别交于点G，H，∠CBE＝∠BAD.有下列结论：①FD＝FE；②AH＝2CD；③BC·AD＝2AE2；④S△ABC＝4S△ADF.其中正确的有()A．1个B．2个C．3个D．4个提升练19．七巧板是大家熟悉的一种益智类玩具，用七巧板能拼出许多有趣的图案．小聪同学将一个直角边长为20 cm的等腰直角三角形纸板，切割七块，正好制成一副七巧板，则图中阴影部分的面积为cm2.20．如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，∠BAC＝120°，P是BC上的动点，Q是AC上的动点(Q不与A，C重合)．(1)线段P A的最小值为；(2)当△ABP 为直角三角形，△PCQ 也为直角三角形时，CQ 的长度为 .参考答案考点清单①两角 ②两角 ③12ah ④60° ⑤三 ⑥60° ⑦一半 ⑧一半 ⑨a 2＋b 2＝c 2 ⑩30° ⑪90° ⑫a 2＋b 2＝c 2 ⑬90° ⑭45° ⑮45°强化演练1. C2. D3. B4. D5. B6. C7. B8. C9. A 10. 4 11. 1 12. 54° 13. 35 14. 2 3 15. (1)证明：∵BD 平分∠ABC ，∠ABC ＝60°，∴∠DBC ＝12∠ABC ＝30°. ∵∠C ＝45°，∴∠ADB ＝∠DBC ＋∠C ＝75°，∠BAC ＝180°－∠ABC －∠C ＝75°，∴∠BAC ＝∠ADB ，∴AB ＝BD .(2)解：在Rt △ABE 中，∵∠ABC ＝60°，AE ＝3，∴BE ＝AE tan ∠ABC ＝ 3. 在Rt △AEC 中，∵∠C ＝45°，AE ＝3，∴EC ＝AE tan C ＝3，∴BC ＝3＋3，∴S △ABC ＝12BC ·AE ＝9＋332.16. (1)证明：在△ADB 和△ADC 中，⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝AD ，∠ADB ＝∠ADC ，BD ＝CD ，∴△ADB ≌△ADC (SAS)，∴∠B ＝∠ACB .(2)解：在Rt △ADB 中，∵AB ＝5，AD ＝4，∴BD ＝AB 2－AD 2＝52－42＝3，∴BD ＝CD ＝3，AC ＝AB ＝CE ＝5，∴BE ＝2BD ＋CE ＝2×3＋5＝11，DE ＝CD ＋CE ＝8. 在Rt △ADE 中，由勾股定理，得AE ＝AD 2＋DE 2＝42＋82＝45，∴C △ABE ＝AB ＋BE ＋AE ＝5＋11＋45＝16＋45，S △ABE ＝12BE ·AD ＝12×11×4＝22.17. A 18. D 19.25420. (1)3 (2)4.5或4或3。

中考数学复习第18课时等腰三角形与直角三角形数学课件

图（3）
(4)勾股定理：若直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，则有a2 ＋b2＝c2； (5)在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°. 2．判定 (1)有—个角为90°的三角形是直角三角形； (2)勾股定理逆定理：若a2＋b2＝c2，则以a、b、c为三
第2题图
2．等边三角形(如图(2))
(1)性质： ①三边相等，即AB＝BC＝AC； ②三角相等，且每一个角都等于② _6_0_°___； ③是轴对称图形，有三条对称轴．
图（2）
(2)判定： ①三条边都相等的三角形是等边三角形； ②三个角都相等的三角形是等边三角形； ③有—个角是60°的③_等__腰___三角形是等边三角形．
提分必练
3．如图，若∠ABC＝∠ACD＝
90°，AB＝4，BC＝3，CD＝
12，则AD＝( B )
A．5
B．13
Cቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ17
D．18
第3题图
提分必练
4．如图，在△ABC中，∠ACB ＝90°，∠B＝40°，D为线段 AB的中点，则∠ACD＝ ___5_0_°___．
第4题图
提分必练
1．如图，在△ABC中，AB＝AC，DE∥BC，
则下列结论中不正确的是( D )
A．AD＝AE C．∠ADE＝∠C
B．DB＝EC D．DE＝ 1 BC
2
第1题图
提分必练
2．如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝ AC，BD是△ABC的角平分线．若在边AB上截取BE＝BC，连接DE，则图中等腰三角形共有( D ) A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
第一部分夯实基础提分多
第四单元三角形

中考数学专题复习第十八讲等腰三角形与直角三角形(学生版)

2013年中考数学专题复习第十八讲等腰三角形与直角三角形【基础知识回顾】一、等腰三角形1、定义：有两边的三角形叫做等腰三角形，其中的三角形叫做等边三角形2、等腰三角形的性质：⑴等腰三角形的两腰等腰三角形的两个底角简称为⑵等腰三角形的顶角平分线、互相重合，简称为⑶等腰三角形是轴对称图形，它有条对称轴，是3、等腰三角形的判定：⑴定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形⑵有两相等的三角形是等腰三角形，简称【名师提醒：1、等腰三角形的性质还有：等腰三角形两腰上的相等，两腰上的相等，两底角的平分线也相等2、同为等腰三角形腰和底角的特殊性，所以在题目中往常出现对边和角的讨论问题，讨论边时应注意保证讨论角时应主要底角只被围角】4、等边三角形的性质：⑴等边三角形的每个内角都都等于⑵等边三角形也是对称图形，它有条对称轴1、等边三角形的判定：⑴有三个角相等的三角形是等边三角形⑵有一个角是度的三角形是等边三角形【名师提醒：1、等边三角形具备等腰三角形的所有性质2、有一个角是直角的等腰三角形是三角形】二、线段的垂直平分线和角的平分线1、线段垂直平分线定义：一条线段且这条线段的直线叫做线段的垂直平分线2、性质：线段垂直平分线上的点到得距离相等3、判定：到一条线段两端点距离相等的点在角的平分线：1、性质：角平分线上的点到得距离相等2、判定：到角两边距离相等的【名师提醒：1、线段的垂直平分可以看作是的点的集合，角平分线可以看作是的点的2、要移用作一条已知线段的垂直平分线和已知角的角平分线】三、直角三角形：1、勾股定理和它的逆定理：勾股定理：若一个直角三角形的两直角边为a、b斜边为c则a、b、c满足逆定理：若一个三角形的三边a、b、c满足则这个三角形是直角三角形【名师提醒：1、勾股定理在几何证明和计算中应用非常广泛，要注意和二次根式的结合2、勾股定理的逆定理是判断一个三角形是直角三角形或证明线段垂直的主要依据，3、勾股数，列举常见的勾股数三组、、】2、直角三角形的性质：除勾股定理外，直角三角形还有如下性质：⑴直角三角形两锐角⑵直角三角形斜边的中线等于⑶在直角三角形中如果有一个锐角是300，那么它就对边是边的一半3、直角三角形的判定：除勾股定理的逆定理外，直角三角形还有如下判定方法：定义法：⑴有一个角是的三角形是直角三角形⑵有两个角是的三角形是直角三角形⑶如果一个三角形一边上的中线等于这边的这个三角形是直角三角形【名师提醒：直角三角形的有关性质在边形，中均有广泛应用，要注意这几条性质的熟练掌握和灵活运用】【重点考点例析】考点一：等腰三角形性质的运用例1（2012•襄阳）在等腰△ABC中，∠A=30°，AB=8，则AB边上的高CD的长是．对应训练1．（2012•广安）已知等腰△ABC中，AD⊥BC于点D，且AD=12△BC，则ABC底角的度数为（）A．45°B．75°C．45°或75°D．60°考点二：线段垂直平分线例2（2012•毕节地区）如图．在△Rt ABC中，∠A=30°，DE垂直平分斜边AC，交AB 于D，E是垂足，连接CD，若BD=1，则AC的长是（）A．23B．2C．43D．4思路分析：求出∠ACB，根据线段垂直平分线求出AD=CD，求出∠ACD、∠DCB，求出对应训练2．（2012•贵阳）如图，在△Rt ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线DE交于BC的延长线于F，若∠F=30°，DE=1，则EF的长是（）A．3B．2C．3D．1考点三：等边三角形的判定与性质例3（2012•遵义）如图，△ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由A向C运动（与A、C不重合），Q是CB延长线上一点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动（Q不与B重合），过P作PE⊥AB于E，连接PQ交AB于D．（1）当∠BQD=30°时，求AP的长；（2）当运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果变化请说明理由．对应训练3．（2012•湘潭）如图，△ABC是边长为3的等边三角形，将△ABC沿直线BC向右平移，使B点与C点重合，得到△DCE，连接BD，交AC于F．（1）猜想AC与BD的位置关系，并证明你的结论；（2）求线段BD的长．考点四：角的平分线例4（2012•梅州）如图，∠AOE=∠BOE=15°，EF∥OB，EC⊥OB，若EC=1，则EF=．对应训练4．（2012•常德）如图，在△Rt ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，DC=2，则D 到AB边的距离是．8考点五：勾股定理例 5 （2012•黔西南州）如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，D 是 BC 的中点，DE ⊥BC ， CE ∥AD ，若 AC=2，CE=4，则四边形 ACEB 的周长为．对应训练5．（2012•新疆）如图所示，分别以直角三角形的三边为直径作半圆，其中两个半圆的面积 S 1=25 π，S 2=2π，则 S 3 是．【备考真题过关】一、选择题1．（2012•肇庆）等腰三角形两边长分别为 4 和 8，则这个等腰三角形的周长为（）A ．16B ．18C ．20D ．16 或 202．（2012•攀枝花）已知实数 x ，y 满足|x-4|+ y 8 =0，则以 x ，y 的值为两边长的等腰三角形的周长是（） A ．20 或 16 B ．20 C ．16 D ．以上答案均不对 3．（2012•江西）等腰三角形的顶角为 80°，则它的底角是（） A ．20° B ．50° C ．60° D ．80°4．（2012•三明）如图，在平面直角坐标系中，点 A 在第一象限，点 P 在 x 轴上，若以 P ， O ，A 为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点 P 共有（） A ．2 个 B ．3 个 C ．4 个 D ．5 个5．（2012•本溪）如图在直角△ABC中，∠BAC=90°，AB=8，AC=6，DE是AB边的垂直平分线，垂足为D，交边BC于点E，连接△AE，则ACE的周长为（）A．16B．15C．14D．13 6．（2012•荆门）如图，△ABC是等边三角形，P是∠ABC的平分线BD上一点，PE⊥AB于点E，线段BP的垂直平分线交BC于点F，垂足为点Q．若BF=2，则PE的长为（）A．2B．23C．3D．37．（2012•黔东南州）如图，矩形A BCD中，AB=3，AD=1，AB在数轴上，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交数轴的正半轴于M，则点M的坐标为（）A．（2，0）B．（5-1，0）C．（10-1，0）D．（5，0）1．（2012铜仁地区）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM+CN=9，则线段MN的长为（）（A ．6B ．7C ．8D ．92．（2012 佳木斯）如图，△ ABC 中，AB=AC=10，BC=8，AD 平分∠BAC 交 BC 于点 D ，点 E 为 AC 的中点，连接 DE △，则 CDE 的周长为（）A ．20B ．12C ．14D ．13二、填空题8．（2012•随州）等腰三角形的周长为 16，其一边长为 6，则另两边为． 9． 2012•泉州）如图，在△ABC 中，AB=AC ，BC=6，AD ⊥BC 于 D ，则 BD=． 10．（2012•钦州）已知等腰三角形的顶角为 80°，那么它的一个底角为． 11．（2012•黑龙江）等腰三角形一腰长为 5，一边上的高为 4，则底边长． 12．（2012•贵阳）如图，在△ABA 1 中，∠B=20°，AB=A 1B ，在 A 1B 上取一点 C ，延长 AA 1 到 A 2，使得 A 1A 2=A 1C ；在 A 2C 上取一点 D ，延长 A 1A 2 到 A 3，使得 A 2A 3=A 2D ；…，按此做法进行下去，∠A n 的度数．13．（2012•海南）如图，在△ABC 中，∠B 与∠C 的平分线交于点 O ，过点 O 作 DE ∥BC ，分别交 AB 、AC 于点 D 、E ．若 AB=5，AC=4，则△ADE 的周长是．14．（2012•黄冈）如图，在△ABC 中，AB=AC ，∠A=36°，AB 的垂直平分线交 AC 于点 E ，垂足为点 D ，连接 BE ，则∠EBC 的度数为．15．（2012•黔东南州）用 6 根相同长度的木棒在空间中最多可搭成个正三角形．（16．（2012•泰州）如图，△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，若CD=4，则点D到AB的距离是．17．2012•佳木斯）等腰三角形一腰长为5，一边上的高为3，则底边长为．4．（2012•鸡西）△Rt ABC中，∠A=90°，BC=4，有一个内角为60°，点P是直线AB上不同于A、B的一点，且∠ACP=30°，则PB的长为4或或．5．（2012•无锡）如图，△ABC中，∠ACB=90°，AB=8cm，D是AB的中点．现将△BCD 沿BA方向平移1cm，得到△EFG，FG交AC于H，则GH的长等于3cm．6．（2012•朝阳）下列说法中正确的序号有①②③④．①在△Rt ABC中，∠C=90°，CD为AB边上的中线，且CD=2，则AB=4；②八边形的内角和度数约为1080°；③2、3、4、3这组数据的方差为0.5；④分式方程的解为x=；⑤已知菱形的一个内角为60°，一条对角线为2，则另一条对角线长为2．三、解答题18．（2012•益阳）如图，已知AE∥BC，AE平分∠DAC．求证：AB=AC．19．（2012•珠海）如图，在△ABC中，AB=AC，AD是高，AM是△ABC外角∠CAE的平分线．（1）用尺规作图方法，作∠ADC的平分线DN；（保留作图痕迹，不写作法和证明）（2）设DN与AM交于点△F，判断ADF的形状．（只写结果）（ B20．（2012•常州）如图，在四边形 ABCD 中，AD ∥BC ，对角线 AC 的中点为 O ，过点 O 作 AC 的垂线分别与 AD 、BC 相交于点 E 、F ，连接 AF ．求证：AE=AF ．7． 2012•淮安）如图，△ ABC 中，∠C=90°，点 D 在 AC 上，已知∠BDC=45°，BD=10AB=20．求∠A 的度数．，21．（2012•南京）如图，A 、B 是⊙O 上的两个定点，P 是⊙O 上的动点（P 不与 A 、B 重合）、我们称∠APB 是⊙O 上关于点 A 、B 的滑动角．（1）已知∠APB 是⊙O 上关于点 A 、B 的滑动角， ①若 AB 是⊙O 的直径，则∠APB= °；②若⊙O 的半径是 1，AB=2 ，求∠APB 的度数；（2）已知 O 2 是⊙O 1 外一点，以 O 2 为圆心作一个圆与⊙O 1 相交于 A 、两点，∠APB 是⊙O 1 上关于点 A 、B 的滑动角，直线 PA 、PB 分别交⊙O 2 于 M 、N （点 M 与点 A 、点 N 与点 B 均不重合），连接 AN ，试探索∠APB 与∠MAN 、∠ANB 之间的数量关系．1．（2012•河池）如图，在 10×10 的正方形网格中，△ ABC 的顶点和线段 EF 的端点都在边长为 1 的小正方形的顶点上．（，（1）填空：tanA=，AC=2（结果保留根号）；（2）请你在图中找出一点D（仅一个点即可），连接DE、DF，使以D、E、F为顶点的三角形与△ABC全等，并加以证明．2．（2012•鄂州）小明是一位善于思考的学生，在一次数学活动课上，他将一副直角三角板如图位置摆放，A、B、D在同一直线上，EF∥AD，∠A=∠EDF=90°，∠C=45°，∠E=60°，量得DE=8，试求BD的长．3．2012•北京）如图，在四边形ABCD中，对角线AC BD交于点E，∠BAC=90°，∠CED=45°，∠DCE=30°，DE=，BE=2．求CD的长和四边形ABCD的面积．。

初中毕业生学业考试复习初中数学第18讲等腰三角形与直角三角形（WORDPPT）课件

(3)(2012·湖北)如图，在△ABC 中，AB＝AC，∠A＝36°，AB 的垂直平分线交 AC 于点 E，垂足为点 D，连接 BE，则∠EBC 的度数为____________．
例 1(3)题【点拨】本题组主要考查等腰三角形、直角三角形、垂直平分线的有关概念及性质．
考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练
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考点二等边三角形的性质与判定 1．性质：(1)等边三角形的内角都相等，且等于 60°；(2)等边三角形是轴对称图形，等边三角形每条边上的中线、高和所对角的平分线都“三线合一”，它们所在的直线都是等边三角形的对称轴． 2．判定：三个角相等的三角形是等边三角形；有一个角是 60°的等腰三角形是等边三角形．
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考点三线段的中垂线 1．概念：垂直且平分一条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线，也叫中垂线． 2．性质：线段中垂线上的点到这条线段两端点的距离相等． 3．判定：到一条线段的两个端点距离相等的点在中垂线上，线段的中垂线可以看作是到线段两端点距离相等的点的集合．
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1．如果等腰三角形的两边长是6 cm和3 cm，那么它的周长是( )
A．9 cm
B．12 cm
C．15 cm或12 cm
D．15 cm
答案：D
2．已知等腰三角形的一个内角为40°，则这个等腰三角形的顶角为( )

等腰三角形、直角三角形、勾股定理

不见直角三角形，
自己动手来构造。
1、一直角三角形的一条直角边长是7cm，另一条直角边与斜边长的和是49cm，则斜边( D ) A、18cm B、20cm C、24cm D、25cm 2、在下列以线段a、b、c的长为三边的三角形中，不能构成直角三角形的是（ D、） A、a=9,b=41,c=40 C、a:b:c=3:4:5 B、a=b=5, c 5 2 D、a=11 b=12 ,c=15
②
与AE重合，你能求出CD的长吗？
(CD=3cm)
5、如图，每个小方格都是边长为1的正方形，（1）求图中格点四边形ABCD的面积和周长。（2）求∠ADC的度数。
（1）面积：5＋7.5＝12.5
周长： 12 ＋2 2 ＋ 3 2 ＋3 2 ＋ 2 2 ＋3 2 ＋ 2 2 ＋4 2 ＝ 5＋ 18＋ 13＋ 20
7.如图，若直角三角形ABC 的周长 E 为2+ 6，斜边上的中线长为l，那么这个 1/2B 直角三角形的面积是_________.
C
三、基本练习
㈡选择题
1. 下列命题中，正确的是（ C ）。
(A) 两腰对应相等的两个等腰三角形全等 (B) 两条边彼此相等的两个直角三角形全等 (C) 有一高对应相等的等边三角形全等 (D) 有一条边彼此相等的等腰直角三角形全等 2. 等腰三角形的一个内角为98 º ，那么一腰上的高线与底边的夹角为（ A ）。 (A) 49º (B) 41º (C) 36º (D) 8º 3. 下列条件：①已知两腰；②已知底边和顶角；③ 已知顶角与底边；④已知底边和底边上的高；⑤ 已知腰和腰上的高线。其中能确定一个等腰三角形的条件是（）。 B
3.在△ABC中，AB=13,AC=15，高AD=12,则BC的长为（ B.） A. 14 B. 14或4 C. 8 D. 4和8

(中考全景透视)中考数学一轮复习第18讲等腰三角形与直角三角形课件

2．判定 (1)定义法； (2)如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简写成：等角对等边)．
温馨提示：等腰三角形的判定定理，是证明两条线段相等的重要定理，是把三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据.
考点三 1．性质
等边三角形的性质和判定
等边三角形的三个内角都相等，并且每一个内角都等于 60° . 2．判定 (1)三个角都相等的三角形是等边三角形； (2)有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形．
①∠EBO＝∠DCO；②BE＝CD；③OB＝OC. (1) 上述三个条件中，由哪两个条件可以判定 △ABC 是等腰三角形？(用序号写出所有成立的情形) (2)请选择(1)中的一种情形，写出证明过程．【点拨】本题以开放题的形式考查等腰三角形的判定．
解：(1)①②；①③ (2)选①②证明如下：在△BOE 和△COD 中， ∠EBO＝∠DCO， ∠EOB＝∠DOC， BE＝CD， ∴△BOE≌△COD.
考点一
等腰三角形的性质
例 1(2014· 南充)如图，在△ABC 中，AB＝AC，且 D 为 BC 上一点，CD＝AD，AB＝BD，则∠B 的度数为( )
A．30° C．40°
B．36° D．45°
【点拨】 ∵AB＝AC， CD＝AD， AB＝BD， ∴∠B＝∠C ＝∠CAD，∠BAD＝∠BDA.又∵∠BDA 是△ADC 的外角， ∴∠BDA＝∠C＋∠CAD＝2∠C.设∠B＝x° ，则∠BDA＝ ∠BAD＝2x° ，根据题意，得 x° ＋2x° ＋2x° ＝180° ，解得 x＝ 36，即∠B＝36° .故选 B. 【答案】 B
方法总结：等腰三角形有两个性质：1“等边对等角”，利用这个性质可以证明两个角相等，也可以计算角的大小；2“三线合一”，利用这个性质可以证明线段相等、角相等、一个角等于90° 、计算线段长度和角的大小等.

2020年中考数学人教版专题复习：等腰三角形与直角三角形

2020年中考数学人教版专题复习：等腰三角形与直角三角形考点梳理等腰三角形的性质1．等腰三角形是轴对称图形，它有1条或3条对称轴． 2．等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°．3．等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）． 4．等腰三角形的三边关系：设腰长为a ，底边长为b ，则2b<a ． 5．等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为∠A ，底角为∠B 、∠C ，则∠A =180°-2∠B ，∠B =∠C =2180A∠-︒．典例精析典例1 等腰三角形的一个内角为40°，则其余两个内角的度数分别为 A ．40°，100° B ．70°，70°C ．60°，80°D ．40°，100°或70°，70°【答案】D【解析】①若等腰三角形的顶角为40°时，另外两个内角=（180°–40°）÷2=70°； ②若等腰三角形的底角为40°时，它的另外一个底角为40°，顶角为180°–40°–40°=100°．所以另外两个内角的度数分别为：40°、100°或70°、70°．故选D ．【名师点睛】考查了等腰三角形的性质和三角形的内角和为180o ，解题关键是分情况进行讨论①已知角为顶角时；②已知角为底角时．典例2 （2019·延安市实验中学初二期末）如图，在ABC ∆中，AB =AC ，D 是BC 的中点，下列结论不正确的是A ．AD ⊥BCB ．∠B =∠C C ．AB =2BDD ．AD 平分∠BAC【答案】C【解析】因为△ABC中，AB=AC，D是BC中点，根据等腰三角形的三线合一性质可得，A．AD⊥BC，故A选项正确；B．∠B=∠C，故B选项正确；C．无法得到AB=2BD，故C选项错误；D．AD平分∠BAC，故D选项正确．故选C．【名师点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质，本题关键熟练运用等腰三角形的三线合一性质.拓展1．等腰三角形的周长为13cm，其中一边长为4cm，则该等腰三角形的底边为__________cm.等腰三角形的判定1．等腰三角形的判定定理是证明两条线段相等的重要依据，是把三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据．2．底角为顶角的2倍的等腰三角形非常特殊，其底角平分线将原等腰三角形分成两个等腰三角形．典例精析典例3 如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D，E是AB上的一点，EF∥AD交CA的延长线于F．求证：△AEF是等腰三角形．【解析】∵AB=AC，AD⊥BC，∴∠BAD=∠CAD．又∵AD∥EF，∴∠F=∠CAD，∠FEA=∠BAD，∴∠FEA=∠F，∴△AEF是等腰三角形．拓展2．已知在△ABC中，AB=5，BC=2，且AC的长为奇数．（1）求△ABC 的周长；（2）判断△ABC 的形状．等边三角形的性质1．等边三角形具有等腰三角形的一切性质． 2．等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴． 3．等边三角形的内心、外心、重心和垂心重合．典例精析典例4如图，在△ABC 中，∠B =∠C =60°，点D 为AB 边的中点，DE ⊥BC 于E ，若BE =1，则AC 的长为__________．【答案】4【解析】∵DE ⊥BC ，∠B =∠C =60°， ∴∠BDE =30°，∴BD =2BE =2，∵点D 为AB 边的中点，∴AB =2BD =4， ∵∠B =∠C =60°，∴△ABC 为等边三角形， ∴AC =AB =4，故答案为：4．【名师点睛】本题主要考查直角三角形的性质、等边三角形的判定和性质，利用直角三角形的性质求得AB =2BD 是解题的关键. 拓展3．如图，ABC ∆是等边三角形，点D 在AC 上，以BD 为一边作等边BDE ∆，连接CE ．（1）说明ABD CBE ∆≅∆的理由；（2）若080BEC ∠=，求DBC ∠的度数．等边三角形的判定在等腰三角形中，只要有一个角是60°，无论这个角是顶角还是底角，这个三角形就是等边三角形．典例精析典例5 下列推理中，错误的是A．∵∠A=∠B=∠C，∴△ABC是等边三角形B．∵AB=AC，且∠B=∠C，∴△ABC是等边三角形C．∵∠A=60°，∠B=60°，∴△ABC是等边三角形D．∵AB=AC，∠B=60°，∴△ABC是等边三角形【答案】B【解析】A，∵∠A=∠B=∠C，∴△ABC是等边三角形，故正确；B，条件重复且条件不足，故不正确；C，∵∠A=60°，∠B=60°，∴∠C=60°，∴△ABC是等边三角形60°，故正确；D，根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形可以得到，故正确．故选B．拓展4．如图，已知OA=5，P是射线ON上的一个动点，∠AON=60°．当OP=__________时，△AOP 为等边三角形．直角三角形在直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半，这个性质常常用于计算三角形的边长，也是证明一边（30°角所对的直角边）等于另一边（斜边）的一半的重要依据．当题目中已知的条件或结论倾向于该性质时，我们可运用转化思想，将线段或角转化，构造直角三角形，从而将陌生的问题转化为熟悉的问题．典例精析典例6 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若∠B=30°，BD=6，则CD的长为__________．【答案】3【解析】∵在Rt △ABC 中，∠C =90°，∠B =30°，∴∠BAC =60°．又AD 平分∠BAC ，∴∠BAD = ∠CAD =30°，∴∠BAD =∠B =30°，∴AD =BD =6，∴CD =12AD =3，故答案为：3．拓展5．已知直角三角形的两条边分别是5和12，则斜边上的中线的长度为__________．勾股定理1．应用勾股定理时，要分清直角边和斜边，尤其在记忆a 2+b 2=c 2时，斜边只能是c ．若b 为斜边，则关系式是a 2+c 2=b 2；若a 为斜边，则关系式是b 2+c 2=a 2．2．如果已知的两边没有明确边的类型，那么它们可能都是直角边，也可能是一条直角边、一条斜边，求解时必须进行分类讨论，以免漏解．典例精析典例7cm cm ，则这个直角三角形的周长为__________.【答案】【解析】∵直角边长为cm cm ，∴斜边（cm ），∴周长cm ）.故答案为:【名师点睛】本题考查了二次根式与三角形边长，面积的综合运用.熟练掌握勾股定理的计算解出斜边是关键拓展6．如图所示，在ABC ∆中，90B ∠=︒，3AB =，5AC =，D 为BC 边上的中点.（1）求BD 、AD 的长度；（2）将ABC ∆折叠，使A 与D 重合，得折痕EF ；求AE 、BE 的长度. 同步测试1．直角三角形两直角边长分别为6和8，则此直角三角形斜边上的中线长是 A ．3B ．4C ．7D ．52．如图，ABC △是等边三角形，0,20BC BD BAD =∠=，则BCD ∠的度数为A ．50°B ．55°C ．60°D ．65°3．如图是“人字形”钢架，其中斜梁AB =AC ，顶角∠BAC =120°，跨度BC =10m ，AD 为支柱（即底边BC 的中线），两根支撑架DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，则DE +DF 等于A ．10mB ．5mC ．2.5mD ．9.5m4．如图，ABC ∆是边长为1的等边三角形，BDC ∆为顶角120BDC ∠=︒的等腰三角形，点M 、N 分别在AB 、AC 上，且60MDN ∠=︒，则AMN ∆的周长为A．2 B．3 C．1.5 D．2.55．如图，△ABC中，D、E两点分别在AC、BC上，AB=AC，CD=DE．若∠A=40°，∠ABD：∠DBC=3：4，则∠BDE=A．24°B．25°C．30°D．35°6．已知等腰三角形的一边长等于4，一边长等于9，则它的周长为A．22 B．17C．17或22 D．267．如图，△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点D在BC上，且AD平分∠BAC，则AD的长为A．6 B．5C．4 D．38．如图，A、B两点在正方形网格的格点上，每个方格都是边长为1的正方形，点C也在格点上，且△ABC是等腰三角形，则符合条件是点C共有A ．8个B ．9个C ．10个D ．11个9．如图，Rt △ABC 中，∠B =90〬，AB =9，BC =6，，将△ABC 折叠，使A 点与BC 的中点D 重合，折痕为MN ，则线段AN 的长等于A ．5B ．6C ．4D ．310．将一个有45°角的三角尺的直角顶点C 放在一张宽为3 cm 的纸带边沿上，另一个顶点A在纸带的另一边沿上，测得三角尺的一边AC 与纸带的一边所在的直线成30°角，如图，则三角尺的最长边的长为A ．6B ．C ．D ．11．三角形的三边a ，b ，c （b ﹣c ）2=0；则三角形是_____三角形. 12．如图，等腰△ABC 中，AB =AC =13cm ，BC =10cm ，△ABC 的面积=________．13．已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为35°，则这个等腰三角形顶角的度数为__________.14．若一个等腰三角形的周长为26，一边长为6，则它的腰长为__________．15．如图，在ABC △中，AB AC =，D 、E 分别是BC 、AC 上一点，且AD AE =，12EDC ∠=︒，∠=__________．则BAD16．如图，已知△ABC是等边三角形，点B，C，D，E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则∠EFD=__________°．17．如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=7，点E是AD上的一个动点，把△BAE沿BE向矩形内部折叠，当点A的对应点A1恰好落在∠BCD的平分线上时，CA1的长为__________．18．如图，在Rt△ABC中，点E在AB上，把△ABC沿CE折叠后，点B恰好与斜边AC的中点D重合.（1）求证：△ACE为等腰三角形；（2）若AB=6，求AE的长.19．如图，一架2.5 m 长的梯子斜立在竖直的墙上，此时梯足B 距底端O 为0.7 m ．（1）求OA 的长度；（2）如果梯子顶端下滑0.4米，则梯子将滑出多少米？20．ABC ∆与DCE ∆有公共顶点C （顶点均按逆时针排列），AB AC =，DC DE =，180BAC CDE ∠+∠=︒，//DE BC ，点G 是BE 的中点，连接DG 并延长交直线BC于点F ，连接,AF AD .（1）如图，当90BAC ∠=︒时，求证：①BF CD =； ②AFD ∆是等腰直角三角形.（2）当60BAC ∠=︒时，画出相应的图形（画一个即可），并直接指出AFD ∆是何种特殊三角形.。

中考总复习之等腰三角形与直角三角形

中考总复习之等腰三角形与直角三角形在中考数学的复习中，等腰三角形和直角三角形是两个非常重要的知识点。

它们不仅在几何题目中经常出现，而且在解决实际问题中也有着广泛的应用。

接下来，让我们系统地复习一下这两个重要的三角形类型。

一、等腰三角形（一）定义等腰三角形是指至少有两边相等的三角形。

相等的两条边称为这个三角形的腰，另一边称为底边。

两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。

（二）性质1、等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。

例如，在等腰三角形 ABC 中，AB ＝ AC，那么∠B ＝∠C。

2、等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）。

若 AD 是等腰三角形 ABC 的顶角平分线，则 AD 也是底边 BC 上的中线和高；反之亦然。

（三）判定1、有两条边相等的三角形是等腰三角形。

2、如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）。

（四）常见题型1、计算角度：利用等腰三角形的性质，求出顶角或底角的度数。

例如，已知等腰三角形的一个底角为 70°，则顶角为 180° 70°× 2 ＝40°。

2、证明线段相等：通过证明三角形是等腰三角形，得出两条线段相等。

3、求边长：根据等腰三角形的性质和已知条件，计算出三角形的边长。

二、直角三角形（一）定义有一个角为 90°的三角形，叫做直角三角形。

直角所对的边称为斜边，其余两边称为直角边。

（二）性质1、直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）。

若直角三角形的两条直角边分别为 a、b，斜边为 c，则 a²＋ b²＝c²。

2、在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。

例如，在直角三角形 ABC 中，∠C ＝ 90°，D 是斜边 AB 的中点，则 CD ＝ 1/2 AB 。

3、直角三角形的两个锐角互余。

中考复习专题第18讲等腰三角形与直角三角形

第十八讲等腰三角形与直角三角形【基础知识回顾】1、等腰三角形：有两边的三角形叫做等腰三角形，其中的三角形叫做等边三角形2、等腰三角形的判定：⑴定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形⑵有两相等的三角形是等腰三角形，简称【提醒：1、等腰三角形的性质还有：等腰三角形两腰上的相等，两腰上的相等，两底角的平分线也相等。

】3、等边三角形的性质：⑴等边三角形的每个内角都都等于⑵等边三角形也是对称图形，它有条对称轴4、等边三角形的判定：⑴有三个角相等的三角形是等边三角形⑵有一个角是度的三角形是等边三角形5、线段的垂直平分线和角的平分线●定义：一条线段且这条线段的直线叫做线段的垂直平分线●性质：线段垂直平分线上的点到得距离相等●判定：到一条线段两端点距离相等的点在●角的平分线性质：角平分线上的点到的距离相等●角的平分线判定：到角两边距离相等的点在6、直角三角形：勾股定理：若一个直角三角形的两直角边为a、b斜边为c则a、b、c满足逆定理：若一个三角形的三边a、b、c满足则这个三角形是直角三角形7、除勾股定理外，直角三角形还有如下性质：⑴直角三角形两锐角⑵直角三角形斜边的中线等于⑶在直角三角形中如果有一个锐角是300，那么它所对边是边的一半3、直角三角形的判定：⑴定义法有一个角是的三角形是直角三角形⑵有两个角的三角形是直角三角形⑶如果一个三角形一边上的中线等于这边的这个三角形是直角三角形【提醒：直角三角形的有关性质在四边形、相似图形、圆中均有广泛应用，要注意这几条性质的熟练掌握和灵活运用】【重点考点例析】考点一：角的平分线例1如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=7，DE=2，AB=4，则AC 长是（） A．3 B．4 C．6 D．5考点二：线段垂直平分线例2 如图，锐角三角形ABC中，直线L为BC的中垂线，直线M为∠ABC的角平分线，L与M 相交于P点．若∠A=60°，∠ACP=24°，则∠ABP的度数为何（）A．24 B．30 C．32 D．36考点三：等腰三角形性质的运用例3 如图，在等腰三角形纸片ABC中，AB=AC，∠A=50°，折叠该纸片，使点A落在点B处，折痕为DE，则∠CBE=________°考点四：等边三角形的判定与性质例4 如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F．（1）求∠F的度数；（2）若CD=2，求DF的长．考点五：三角形中位线定理例5如图，AB是池塘两端，设计一方法测量AB的距离，取点C，连接AC、BC，再取它们的中点D、E，测得DE=15米，则AB=（）米． A．7.5 B．15 C．22.5 D．30考点六：直角三角形例6 如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，H是AF的中点，那么CH的长是（） A．2.5 B．2考点七：勾股定理例7 如图，△ABC中，CD⊥AB于D，E是AC的中点．若AD=6，DE=5，则CD的长等于________【聚焦中考】3．如图，∠ACB=90°，D为AB的中点，连接DC并延长到E，使CE=CD，过点B作BF∥DE，3与AE的延长线交于点F．若AB=6，则BF的长为（）A．6 B．7 C．8 D．10【备考真题过关】一、选择题1．若等腰三角形的顶角为40°，则它的底角度数为（）A．40°B．50°C．60°D．70°2．一个等腰三角形的两边长分别是3和7，则它的周长为（）A．17 B．15 C．13 D．13或173．如图，一个矩形纸片，剪去部分后得到一个三角形，则图中∠1+∠2的度数是（）A．30° B．60° C．90° D．120°4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=60°，DE是斜边AC的中垂线，分别交AB、AC于D、E两点．若BD=2，则AC的长是（） A．4 B．．．85．将四根长度相等的细木条首尾相接，用钉子钉成四边形ABCD，转动这个四边形，使它形状改变，当∠B=90°时，如图1，测得AC=2，当∠B=60°时，如图2，AC=（）6．如图，A，B两地被池塘隔开，小明通过下列方法测出了A、B间的距离：先在AB外选一点C，然后测出AC，BC的中点M，N，并测量出MN的长为12m，由此他就知道了A、B间的距离．有关他这次探究活动的描述错误的是（）A．AB=24m B．MN∥AB C．△CMN∽△CAB D．CM：MA=1：27．如图，已知∠AOB=60°，点P在边OA上，OP=12，点M，N在边OB上，PM=PN，若MN=2，则OM=（） A．3 B．4 C．5 D．68．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD平分∠CAB交BC于点D，E为AB上一点，连接DE，则下列说法错误的是（）A．∠CAD=30°B．AD=BD C．BD=2CD D．CD=ED9．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，ED⊥AB于D．如果∠A=30°，AE=6cm，那么CE等于（）A．2cm C．3cm D．4cm10．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B都是格点，则线段AB 的长度为（）A．5 B．6 C．7 D．2511．在等腰△ABC中，AB=AC，其周长为20cm，则AB边的取值范围是（）A．1cm＜AB＜4cm B．5cm＜AB＜10cm C．4cm＜AB＜8cm D．4cm＜AB＜10cm12．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，DE⊥BC，垂足为点E，连接AC交DE于点F，点G为AF的中点，∠ACD=2∠ACB．若DG=3，EC=1，则DE的长为（）A．．二、填空题1．已知OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D、E，PD=10，则PE的长度为 _____．2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC与BC相交于点D，若BD=4，CD=2，则AB的长是________.3．如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10，AD是△ABC的一条角平分线．若CD=3，则△ABD的面积为_________.4．如图，在△ABC中，BC边的中垂线交BC于D，交AB于E．若CE平分∠ACB，∠B=40°，则∠A= ________度．5．如图，△ABC 中，∠A=40°，AB 的垂直平分线MN 交AC 于点D ，∠DBC=30°，若AB=m ，BC=n ，则△DBC 的周长为_________ ．6．如图，在△ABC 中，若E 是AB 的中点，F 是AC 的中点，∠B=50°，则∠AEF=__________.7．如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高6米，两树相距8米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，问小鸟至少飞行________米．8．已知：如图，在△ABC 中，点111A B C ，，分别是BC 、AC 、AB 的中点，222A B C ，，分别是111111B C A C A B ，，的中点，依此类推…．若△ABC 的周长为1，则n n n A B C 的周长为_________.三、解答题1.在△ABC 中，AB=AC ，点E ，F 分别在AB ，AC 上，AE=AF ，BF 与CE 相交于点P ．求证：PB=PC ，并直接写出图中其他相等的线段．2.（1）在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，BD ⊥AD ，垂足为D ，过D 作DE ∥AC ，交AB 于E ，若AB=5，求线段DE 的长.。

中考数学复习讲义课件中考考点解读第四单元三角形第18讲等腰三角形与直角三角形

是()
A．15
B．18
C．20
D．22
A
9．(2020·岳阳)如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB 上的中线，∠A＝702°0°，则∠BCD＝______.
重点难点素养拓展
焦点1等腰三角形的性质及相关计算样题1 已知在△ABC中，AB＝AC. (1)若△ABC的一边长为4，周长为16，6 则AB＝ _____；
(3)∵点D是BC边的中点， ∴BD＝DC. 又△ABC的周长为20， ∴AB＋AC＋BC＝20， ∴AB＋BD＝10. 又AD＝6， ∴AB＋BD＋AD＝16. 即△ABD的周长为16.
(4)根据等腰三角形的性质得到∠ABC＝∠C＝72°，根据角平分线的定义得到∠ABD＝∠DBC＝36°， ∠BDC＝72°，根据等腰三角形的判定即可得到结论．
(2)如图1，若点D在BC的延长线上，∠ACD＝ 10386°°，则∠BAC＝______； (3)如图2，若点D是BC边的中点，△ABC的周长为 20，AD＝6，1则6 △ABD的周长为_____； (4)如图3，若∠A＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D，求证：AD＝BC.
[分析] (1)当底边BC＝4时，AB＝AC＝6；当AB＝AC＝4时，底边BC＝8，此时不能构成三角形，故AB＝6. (2)∵∠ACD＝108°， ∴∠ACB＝72°.又AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝ 72°， ∴∠BAC＝180°－(∠ABC＋∠ACB)＝36°.
小值为_____.
5．(2020·铁岭)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°， ∠B＝60°，D为AB边的中点，连接DC，过D作 DE⊥DC交AC于点E. (1)求∠EDA的度数； (2)如图2，F为BC边上一点，连接DF，过D作 DG⊥DF交AC于点G，请判断线段CF与EG的数量关系，并说明理由．

第18讲等腰三角形、等边三角形、直角三角形-2021年中考数学一轮复习之考点讲解册(广东专用)

第18讲等腰三角形、等边三角形、直角三角形知识梳理1.等腰三角形（1）等腰三角形（1）若题目中没明确边是底还是腰，角没有明确是顶角还底角，就需要进行分类讨论；（2）在进行边的讨论是要注意任意两边之和大于第三边这个隐含条件．（2）等边三角形2 直角三角形3 线段的垂直平分线与角的平分线 5年真题命题点1 直角三角形1．（7分）（2019•广东）在如图所示的网格中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫格点，△ABC 的三个顶点均在格点上，以点A 为圆心的EF ̂与BC 相切于点D ，分别交AB 、AC 于点E 、F ．（1）求△ABC 三边的长；（2）求图中由线段EB 、BC 、CF 及EF̂所围成的阴影部分的面积．解：（1）AB =√22+62=2√10，AC =√62+22=2√10，BC =√42+82=4√5；（2）由（1）得，AB 2+AC 2＝BC 2，∴∠BAC ＝90°，连接AD ，AD =√22+42=2√5， ∴S 阴＝S △ABC ﹣S 扇形AEF =12AB •AC −14π•AD 2＝20﹣5π．2．（7分）（2016•广东）如图，Rt △AB C 中，∠B ＝30°，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 交AB 于D ，以CD 为较短的直角边向△CDB 的同侧作Rt △DEC ，满足∠E ＝30°，∠DCE ＝90°，再用同样的方法作Rt △FGC ，∠FCG ＝90°，继续用同样的方法作Rt △H I C ，∠HC I ＝90°．若AC ＝a ，求C I 的长．解：解法一：在Rt △AC B 中，∠B ＝30°，∠ACB ＝90°，∴∠A ＝90°﹣30°＝60°， ∵CD ⊥AB ，∴∠ADC ＝90°，∴∠ACD ＝30°，在Rt △AC D 中，AC ＝a ，∴AD =12a ，由勾股定理得：CD =√a 2−(12a)2=√3a2，同理得：FC =√32×√3a 2=3a4，CH =√32×3a 4=3√3a8，在Rt △HC I 中，∠I ＝30°，∴H I ＝2HC =3√3a4，由勾股定理得：C I =(3√3a 4)(3√3a 8)=9a 8，解法二：∠DCA ＝∠B ＝30°，在Rt △DC A 中，cos30°=CD AC，∴CD ＝AC •cos30°=√32a ，在Rt △CDF 中，cos30°=CFCD ，CF =√32×√32a =34a ，同理得：CH ＝cos30°CF =√32×34a =3√38a ，在Rt △HC I 中，∠H I C ＝30°，tan30°=CHCI，C I =3√38a ÷√33=98a ；答：C I 的长为9a8．3年模拟1．（2020•东莞市一模）等腰三角形的一边长为5，周长为20．则这个等腰三角形的底边长为（ A ） A ．5B ．10C ．5或10D ．5或7.52．（2020•光明区一模）如图，AB ∥CE ，∠A ＝40°，CE ＝DE ，则∠C ＝（ C ）A ．40°B ．30°C ．20°D ．15°3．（2020•龙华区二模）如图，直线a ∥b ∥c ，等边三角形△ABC 的顶点A 、B 、C 分别在直线a 、b 、c 上，边BC 与直线c 所夹的角∠1＝25°，则∠2的度数为（ C ）A．25°B．30°C．35°D．45°4．（2019•福田区校级模拟）下列性质中，直角三角形具有而等腰三角形不一定具有的是（C）A．两边之和大于第三边B．内角和等于180°C．有两个锐角的和等于90°D．有一个角的平分线垂直于这个角的对边4．（2020•顺德区模拟）判断下列几组数能作为直角三角形的三边长的是（D）A．8，10，7B．2，3，4C．12，15，20D．√3，1，25．（2020•英德市一模）如图，在直角三角形AB C中，∠C＝90°，点E、F分别为AC和AB 的中点，AF＝5，AE＝4，则BC＝（B）A．3B．6C．8D．106．（2020•南海区二模）如图，在△AB C中，AB＝AC＝3，BC＝4，AE平分∠BAC交BC于点E，点D为AB的中点，连接DE，则△BDE的周长是（C）A．3B．4C．5D．67．（2019•新会区一模）如图，在Rt△AB C中，∠C＝90°，∠CAB的平分线交BC于点D，DE恰好是AB的垂直平分线，垂足为E．若BC＝6，则AB的长为（B）A．3√3B．4√3C．8D．108．（2019•罗湖区一模）由三角函数定义，对于任意锐角A，有sin A＝cos（90°﹣A）及sin2A+cos2A ＝1成立．如图，在△AB C中，∠A，∠B是锐角，BC＝a，AC＝b，AB＝c．CD⊥AB于D，DE∥AC交BC于E，设CD＝h，BE＝a'，DE＝b'，BD＝c'，则下列条件中能判定△ABC是直角三角形的个数是（D）①a2+b2＝c2；②aa'+bb'＝cc'；③sin2A+sin2B＝1；④1a2+1b2=1ℎ2．A．1个B．2个C．3个D．4个D【解析】∵a2+b2＝c2，∴∠ACB＝90°，∴△ABC是直角三角形，故①正确，∵DE∥AC，∴△DEB∽△ACB，∴BEBC =DEAC=BDAB，∴a′a =b′b=c′c，不妨设a′a=b′b=c′c=k，则a′＝ak，b′＝bk，c′＝ck，∵aa'+bb'＝cc'，∴a2k+b2k＝c2k，∴a2+b2＝c2，∴△ABC是直角三角形，故②正确，∵sin2A+sin2B＝1，sin2A+cos2A＝1，∴sin2B＝cos2A，∴sin B＝cos A，∵sin A＝cos（90°﹣A），∴90°﹣∠B＝∠A，∴∠A+∠B＝90°，∴△ABC是直角三角形，故③正确，∵1a2+1b2=1ℎ2，∴ℎ2a2+ℎ2b2=1，∴sin2B+sin2A＝1，∴△ABC是直角三角形，故④正确．故选：D．9．（2019•天河区模拟）如图，在△AB C中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝5，点P是AC 上的动点，连接BP，以BP为边作等边△BPQ，连接CQ，则点P在运动过程中，线段CQ长度的最小值是54．54【解析】如图，取AB的中点E，连接CE，PE．∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴∠CBE＝60°，∵BE＝AE，∴CE＝BE＝AE，∴△BCE是等边三角形，∴BC＝BE，∵∠PBQ＝∠CBE＝60°，∴∠QBC＝∠PBE，∵QB＝PB，CB＝EB，∴△QBC≌△PBE（SAS），∴QC＝PE，∴当EP⊥AC时，QC的值最小，在Rt△AEP中，∵AE=52，∠A＝30°，∴PE =12AE =54，∴CQ 的最小值为54．10．（2020•龙岗区模拟）如图，在△AB C 中，AD ⊥BC 于D ，BE ⊥AC 于E ，M 为AB 边的中点，连结ME 、MD 、ED ，设AB ＝10，∠DBE ＝30°，则△EDM 的面积为254√3 ．25√34【解析】∵在△AB C 中，AD ⊥BC ，垂足为点D ，BE ⊥AC ，垂足为点E ，∴△ABE ，△ADB 是直角三角形， ∴EM ，DM 分别是它们斜边上的中线， ∴EM ＝DM =12AB ＝5， ∵ME =12AB ＝MA ， ∴∠MAE ＝∠MEA ， ∴∠BME ＝2∠MAE ，同理，MD =12AB ＝MA ， ∴∠MAD ＝∠MDA ， ∴∠BMD ＝2∠MAD ，∴∠EMD ＝∠BME ﹣∠BMD ＝2∠MAE ﹣2∠MAD ＝2∠DAC ＝60°， ∴△EDM 是边长为5的等边三角形， ∴S △EDM =√34×52=25√34．故答案为：25√34．11．（2020•宝安区校级一模）如图，在等腰Rt △OAA 1中，∠OAA 1＝90°，OA ＝1，以OA 1为直角边作等腰Rt△OA1A2，以OA2为直角边作等腰Rt△OA2A3，…则OA8的长度为16．16【解析】∵△OAA1为等腰直角三角形，OA＝1，∴AA1＝OA＝1，OA1=√2OA=√2；∵△OA1A2为等腰直角三角形，∴A1A2＝OA1=√2，OA2=√2OA1＝2；∵△OA2A3为等腰直角三角形，∴A2A3＝OA2＝2，OA3=√2OA2＝2√2；∵△OA3A4为等腰直角三角形，∴A3A4＝OA3＝2√2，OA4=√2OA3＝4．∵△OA4A5为等腰直角三角形，∴A4A5＝OA4＝4，OA5=√2OA4＝4√2．∵△OA5A6为等腰直角三角形，∴A5A6＝OA5＝4√2，OA6=√2OA5＝8．∴OA8的长度为√28=16．故答案为：16．12．（2019•潮州模拟）如图，在Rt△AB C中，∠A＝90°，AB＝AC＝4√2．一动点P从点B 出发，沿BC方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，到达点C即停止，在整个运动过程中，过点P作PD⊥BC与Rt△ABC的直角边相交于点D，延长PD至点Q，使得PD＝QD，以PQ为斜边在PQ左侧作等腰直角三角形PQE．设运动时间为t秒（t＞0）（1）在整个运动过程中，判断PE与AB的位置关系是（2）如图2，当点D在线段AB上时，连接AQ、AP，是否存在这样的b，使得AP＝PQ？若存在，求出对应的t的值；若不存在，请说明理由；时，点E在边AB上．设△ABC与△PQE重叠部分（3）当t＝4时，点D经过点A：当t=163的面积为S，请求出在整个运动过程中S与t之间的函数关系式，以及写出相应的自变量t时S的最大值．的取值范围，并求出当4＜t≤163解：（1）结论：PE 与AB 互相垂直．理由：如图1中，设PE 交AB 于K ．∵△ABC ，△PQE 都是等腰直角三角形， ∴∠B ＝∠EPQ ＝45°，∵PQ ⊥BC ， ∴∠BPQ ＝90°，∴∠EPB ＝90°， ∴∠B +∠EPB ＝90°，∴∠PKB ＝90°， ∴PE ⊥A B ．（2）如图2中，过点A 作AH ⊥BC 于点H ．∵Rt △AB C 中，AB ＝AC ＝4√2 ∴BC =√AB 2+AC 2=8， ∴AH ＝BH ＝CH ＝4，依题意得BP ＝t ．PH ＝BH ﹣BP ＝4﹣t ， ∴P A =√AH 2+PH 2=√42+(4−t)2， ∵PD ⊥BC ，∠B ＝45°，∴PD ＝BP ＝t ，PQ ＝2PD ＝2t ，∵PQ ＝AP ， ∴2t =√42+(4−t)2，解得：t =−4+4√73或−4−4√73（舍弃）， ∴t 的值为−4+4√73．（3）如图3﹣1中，△ABC 与△PQE 的重叠部分为△PF D ．由题意可得△PFD 、△BPD 为等腰直角三角形，∴BP ＝PD ＝t ， ∴PF ＝DF ＝PD •cos45°=√22t ， ∴S =12•PF •DF =t 24（0＜t ≤4）．如图3﹣2中，△ABC 与△PQE 的重叠部分为四边形PDAF ．由题意可得△PFB 、△PDC 为等腰直角三角形， ∵BP ＝t ，PC ＝BC ﹣PB ＝8﹣t ， ∴BF ＝PF =√22t ，DP ＝PC ＝8﹣t ， ∴S ＝S △ABC ﹣S △PFB ﹣S △PDC =12×4√2×4√2−12×√22t ×√22t −12•（8﹣t ）•（8﹣t ）=−34t 2+8t ﹣16（4＜t ≤163）=−34（t −163）2+163， ∵−34＜0，∴当t =163时，S 有最大值163．如图3﹣3中，△ABC 与△PQE 的重叠部分为四边形FEP D ．∵CP ＝PD ＝8﹣t ，∴QD ＝PD ＝8﹣t ，PQ ＝16﹣2t ，由题意可得△QDF 为等腰直角三角形, ∴QF =√22（8﹣t ），QE =√22（16﹣2t ）， ∴S ＝S △PQE ﹣S △QDF=12×√22（16﹣2t ）•√22（16﹣2t ）−12×√22（8﹣t ）×√22（8﹣t ） =34t 2﹣12t +48（163＜t ≤8）．。

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