高等数学同济六版教学导数与微分

xx0 x x0
x0 x
y f (x) f (x0) x x x0
存在, 则称函数
在点 处可导, 并称此极限为
在点 的导数. 记作:
y xx0 ;
f (x0) ;
dy
;
dx x x0
d f (x) dx x x0
即
y xx0
f (x0 )
lim y x0 x
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h0
h
h0
h
2 cos(x h)
lim
2
h0
lim cos(x h)
h0
2
cos x
即
(sin x) cos x
类似可证得 (cos x) sin x
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例4. 求函数
的导数.
解:
lim f (x h) f (x) lim ln(x h) ln x
类似问题还有:
加速度 是速度增量与时间增量之比的极限 变
角速度 是转角增量与时间增量之比的极限 化
线密度 是质量增量与长度增量之比的极限
率 问
电流强度 是电量增量与时间增量之比的极限 题
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二、导数的定义
定义1 . 设函数
在点 的某邻域内有定义 ,
若
lim f (x) f (x0 ) lim y
h0
h
h0
h
lim 1 h0 h
x1 1
lim
hx
h0
lim
ln e
h0
即 (ln x) 1
x
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例5. 证明函数
在 x = 0 不可导.
证:
f (0 h) f (0) h
h h
1, 1,
lim f (0 h) f (0) 不存在 ,
h0
h
h0 h0
例6. 设
存在, 求极限 lim f (x0 h) f (x0 h).
h0
2h
是否可按下述方法作:
解: 令原式t x0hlim0h,则
f (x0 )
f (x00)hf)(x0f (xh0))
2(2hh)
原式
1 2
f (x0 )
1 2
f (x0 )
f (x0 )
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三、 导数的几何意义
第一节
第二章
导数的概念
一、引例 二、导数的定义 三、导数的几何意义 四、函数的可导性与连续性的关系 五、单侧导数
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一、 引例
1. 变速直线运动的速度 设描述质点运动位置的函数为
则 到 的平均速度为
v f (t) f (t0 ) t t0
而在 时刻的瞬时速度为
v lim
不存在, 就说函数在点 x0不可导.
若 lim Δy , 也称
Δ x0 Δ x
在 的导数为无穷大 .
若函数在开区间 I 内每点都可导, 就称函数在 I 内可导.
此时导数值构成的新函数称为导函数.
记作: y ; f (x) ; dy ; d f (x) .
dx dx
注意:
f (x0)
f (x) xx0
xa
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说明：
对一般幂函数 y x ( 为常数)
(x ) x1
（以后将证明）
例如， (
x
)
1
(x2
)
1 2
x
1 2
1 2
x
1 x
( x 1 )
x 11
1 x2
(
ຫໍສະໝຸດ Baidu
1
)
(x
3 4
)
3
x
7 4
xx
4
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例3. 求函数
解:
则
的导数.
lim f (x h) f (x) lim sin(x h) sin x
例7. 问曲线
哪一点有铅直切线 ? 哪一点处
的切线与直线
平行 ? 写出其切线方程.
解:
1
x
2 3
3
y x0 ,
故在原点 (0 , 0) 有铅直切线
令
11 33 x2
1, 3
得
x 1 ,
对应 y 1 ,
y
则在点(1,1) , (–1,–1) 处与直线
1
平行的切线方程分别为
1 O 1x
即
1
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在点 的某个右 (左) 邻域内
( x 0 )
( x 0 )
存在,则称此极限值为 在
f (x0 ) ( f(x0 ))
即 f (x0 )
例如, f (x) x 在 x = 0 处有
x0
处的右 (左) 导数, 记作
y y x
O
x
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定理2. 函数 是
运动质点的位置函数 s f (t)
f (t0)
在 t0 时刻的瞬时速度
O t0
f (t0 )
f (t)
t
s
曲线 C : y f (x)在 M 点处的切线斜率
f (x0 )
y y f (x) N
CM
T
O x0 x x
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若极限
y f (x) f (x0) x x x0
t t0
f (t) f (t0 ) t t0
自由落体运动
s
1 2
gt
2
f (t0)
O t0
f (t)
t
s
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2. 曲线的切线斜率
曲线
在 M 点处的切线 y y f (x) N
割线 M N 的极限位置 M T
(当
时)
CM
T
切线 MT 的斜率
O x0 x x
lim tan
割线 M N 的斜率 tan
k
lim
x x0
f (x) f (x0 ) x x0
f (x) f (x0 ) x x0
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瞬时速度 切线斜率
f (t0)
O t0
f (t)
t
s
y
y f (x) N
CM
T
两个问题的共性:
O x0 x x
所求量为函数增量与自变量增量之比的极限 .
y y f (x)
曲线
在点
的切线斜率为
tan f (x0 )
CM
T
若
曲线过
上升;
O x0
x
y
若
曲线过
下降;
若
切线与 x 轴平行, 称为驻点;
(x0 , y0 )
若
切线与 x 轴垂直 .
O x0 x
y
曲线在点
处的
切线方程:
O
x0
x
法线方程:
( f (x0 ) 0)
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d f (x0 ) dx
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例1. 求函数
(C 为常数) 的导数.
解: y lim f (x x) f (x)
x0
x
即
例2. 求函数
解:
lim f (x) f (a) lim xn an
xa x a
xa x a
lim ( xn1 a xn2 a2 xn3 an1)
四、 函数的可导性与连续性的关系
定理1.
证: 设
在点 x 处可导, 即
存在 , 因此必有
其中
故
x 0
所以函数
在点 x 连续 .
y
y x
注意: 函数在点 x 连续，但在该点未
必可导. 反例:
在 x = 0 处连续 , 但不可导. O
x
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五、 单侧导数
定义2 . 设函数 有定义, 若极限