离散傅里叶变换及其快速算法
[理学]离散傅里叶变换及其快速算法
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非周期序列的离散时间傅里叶变换 (DTFT) /序列的傅里叶变换
• 定义序列x(n)的离散时间傅里叶变换(DTFT)为：
X (e ) DTFT{x(n)}
j n jn x ( n )e
• 序列x(n)的离散时间傅里叶逆变换(IDTFT)为：
x(n) IDTFT{X (e j )} 1 2
按时间抽取的FFT算法
• 设N=2M，M为正整数，如取N=23=8，即离散时间信号为
x(n) {x(0), x(1), x(2), x(3), x(4), x(5), x(6), x(7)}
• 按照规则①将序列x(n)分为奇偶两组，一组序号为偶数， 另一组序号为奇数，即
{x(0), x(2), x(4), x(6) | x(1), x(3), x(5), x(7)}
X (e j )e jn d
傅里叶变换对小结
• 傅里叶级数(FS)（时域：连续周期；频域：非周期离散）
1 Xk T
T 2
T 2
x(t )e jk1t dt
x(t )
k
X k e jk1t
k 0, 1, 2,
• 傅里叶变换(FT)（时域：连续非周期；频域：非周期连续）
第2章 离散傅里叶变换和快速算法.ppt
杨毅明 第2章 离散傅里叶变换和快速算法
2.1.1 离散傅里叶级数
离散傅里叶级数的定义：
X~ (k )
N 1 ~x (n)e
j 2 N
kn
n0
~x (n)
杨毅明 第2章 离散傅里叶变换和快速算法
2.2 利用DFT做连续信号的频谱分析
离散傅里叶变换可以用来分析连续时间信号的频谱，其 原理如下：
这种方法存在如下问题： 混叠，泄漏，栅栏效应，分辨率，周期效应。 根据例6（书上63页）说明上面5个问题。
杨毅明 第2章 离散傅里叶变换和快速算法
clear;close all; f=10;a=4;T=1/(a*f);t=0:T:3; x=sin(2*pi*f*t); subplot(211);plot(t,x);xlabel('t/s');ylabel('x(t)'); N=length(t);n=0:N-1;k=n; W=exp(-j*2*pi/N*k'*n); X=W*conj(x'); subplot(212);stem(k,abs(X),'.');xlabel('k');ylabel('X(k)');
N 1 ~x1 (m) ~x2 (n rL m) RN (n)
m0
r
yL (n rL) RN (n) r
杨毅明 第2章 离散傅里叶变换和快速算法
yL(n)和yC(n) 的关系
yC (n) yL (n rL) RN (n) r
第3章 离散傅里叶变换及其快速算法
计算中， 在DFT计算中，不论是乘法和加法，运算量均与 计算中 不论是乘法和加法， N2成正比。因此，N较大时，运算量十分可观。例 成正比。因此， 较大时 运算量十分可观。 较大时， 计算N=10点的 点的DFT，需要 次复数相乘， ，计算 点的 ，需要100次复数相乘，而 次复数相乘 N=1024点时，需要 点时， 点时 需要1048576（一百多万）次复数乘 （一百多万） 如果要求实时处理， 法，如果要求实时处理，则要求有很高的计算速 度才能完成上述计算量。 度才能完成上述计算量。 反变换IDFT与DFT的运算结构相同，只是多 与 的运算结构相同， 反变换 的运算结构相同 乘一个常数1/N，所以二者的计算量相同。 乘一个常数 ，所以二者的计算量相同。
nk X (k ) = ∑ { Re [ x( n)]Re WN − I m [ x(n)]I m [WNnk ] n =0 N −1
(
+ j Re [ x(n)]I m
(
[ ] [W ]+ I
nk N
)
nk [ x( n)]Re WN } m
[ ])
又每个复数相加包括2个实数相加，所以，每计算一个 X（ k） 要进行 次实数相乘和 次实数相乘和2N+2（ N-1） =2（ 2N-1） 次实 （ ） 要进行4N次实数相乘和 （ ） （ ） 数相加，因此，整个DFT运算需要 2实数相乘和 （2N-1） 运算需要4N 实数相乘和2N（ 数相加，因此，整个 运算需要 ） 次实数相加。 次实数相加。
虽然频谱分析和DFT运算很重要 ， 但在很长 运算很重要， 虽然频谱分析和 运算很重要 一段时间里， 由于DFT运算复杂 ， 并没有得到 运算复杂， 一段时间里 ， 由于 运算复杂 真正的运用， 真正的运用 ， 而频谱分析仍大多采用模拟信号 滤波的方法解决， 直到1965年首次提出 年首次提出DFT运 滤波的方法解决 ， 直到 年首次提出 运 算的一种快速算法以后， 情况才发生了根本变 算的一种快速算法以后 ， 人们开始认识到DFT运算的一些内在规律 ， 运算的一些内在规律， 化 ， 人们开始认识到 运算的一些内在规律 从而很快地发展和完善了一套高速有效的运算 方法——快速付里变换（FFT）算法。FFT的出 快速付里变换（ 方法 快速付里变换 ）算法。 的出 现 ， 使 DFT 的 运 算 大 大 简 化 ， 运 算 时 间 缩 短 二个数量级， 一 ～ 二个数量级 ， 使 DFT的运算在实际中得到 的运算在实际中得到 广泛应用。 广泛应用。
第三章 离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法-庄
频域
离散
周期
时域的离散造成频域的延拓（周期性）。根据 对偶性，频域的离散也会造成时域的延拓（周 期散化，
令 d 0 从而 k 0
k 2F0 , N
j 0 kT N 1 n 0
s 0
n 0
N 1
j
2 kn N
0 k N 1
N称为DFT变换区间长度， N M
令
WN e
j
2 N
，记作旋转因子
傅里叶变换与逆变换对为：
kn X (k ) DFT [ x(n)] x(n)WN n 0 N 1 N 1
0 k N 1 0 n N 1
N
示周期序列的频谱特性，即DFT能够描述FT的特征
24
2.DFT与FT、ZT之间的关系
有限长序列
x(n) n 0,1, 2, M 1
N M
DFT与ZT、FT、DFS
X ( z ) ZT [ x(n)] X (e ) FT [ x(n)]
j j
n
x(n) z
7
2 时域：以Ts 采样，频域延拓周期 s Ts 2 频域：以0 采样，时域延拓周期T0 0
x(n)
T0 1 F0
Ts
1 fs
t n
| X (e
jk0T
)|
s
2 Ts
0
2 T0
k
8
四种形式归纳
类型
傅里叶变换 傅里叶级数
时间函数
连续 非周期
频率函数
N
(1)
1-z -8 X(z)= , -1 1-z
离散傅里叶变换及其快速算法
离散傅里叶变换及其快速算法离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，DFT）是一种将离散信号转换为频域表示的数学工具。
它在信号处理、图像处理、通信等领域有广泛的应用。
而快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform，FFT）是一种能够高效计算DFT的算法，大大减少了计算量。
首先，我们来看一下DFT的原理。
给定一个有限长度的离散信号序列x(n)，DFT将其转换为频谱X(k)，其中k为频率索引，取值范围为0到N-1，N为序列的长度。
DFT的定义公式如下：X(k) = Σ x(n) * exp(-j * 2π * nk / N)其中，exp为自然指数函数，j为虚数单位。
DFT将信号分解为了N个复数的和，这些复数代表了不同频率分量在信号中的贡献。
然而，直接计算DFT的时间复杂度非常高，为O(N^2)。
为了提高计算效率，Cooley和Tukey于1965年提出了FFT算法。
FFT算法基于以下性质：若N为2的整数次幂，则DFT可以被分解为两个较小长度的DFT的线性组合。
具体来说，将N个点的DFT拆分为长度为N/2的两个DFT，然后再对这两个子序列进行DFT，最后将两个子序列的结果组合起来。
这个过程可以递归地进行，直到序列长度为1，即可得到最终的DFT结果。
FFT算法的时间复杂度为O(NlogN)，远远小于直接计算DFT的复杂度。
这使得FFT成为了处理大规模数据的首选方法之一、此外，FFT还有其他一些优点，如可并行化计算、对称性质等。
FFT算法可以采用不同的实现方式，最著名的是基于蝶形运算的Cooley-Tukey算法。
这种实现方式将FFT过程分为了两个阶段：置换阶段和蝶形运算阶段。
置换阶段通过将信号重新排序，将原始序列分为奇偶两个子序列，并计算每个子序列的DFT。
这个过程可以递归地应用于子序列，直到长度为1蝶形运算阶段是FFT算法的核心部分。
蝶形运算是指将两个频域上的复数进行运算，得到新的复数。
fft计算公式
fft计算公式摘要：一、引言二、FFT 计算公式简介1.离散傅里叶变换2.快速傅里叶变换三、FFT 计算公式推导1.基2 递归算法2.蝴蝶运算四、FFT 在实际应用中的优势五、总结正文：一、引言在数字信号处理、图像处理等领域，傅里叶变换是一种非常重要的数学工具。
然而，对于大规模的信号处理问题，直接应用傅里叶变换的计算复杂度较高，因此，快速傅里叶变换（FFT）应运而生。
本文将详细介绍FFT 的计算公式及应用。
二、FFT 计算公式简介为了便于理解FFT 的计算公式，我们先简要介绍一下离散傅里叶变换（DFT）和快速傅里叶变换（FFT）。
1.离散傅里叶变换（DFT）DFT 是一种将离散信号从时域转换到频域的方法，其计算公式如下：X[k] = ∑N/2^n i^(-k+n) * x[n]其中，X[k] 表示频域的系数，x[n] 表示时域的信号，k 和n 分别为频域和时域的下标，N 为信号长度。
2.快速傅里叶变换（FFT）FFT 是DFT 的高效实现方法，它采用分治策略和循环移位技术，将DFT 的计算复杂度从O(N^2) 降低到O(NlogN)。
FFT 的计算公式如下：X[k] = ∑(N/2^n)^(2m) * C[m, k] * x[n]其中，m 为迭代次数，k 和n 分别为频域和时域的下标，N 为信号长度，C[m, k] 为复合基函数。
三、FFT 计算公式推导为了更直观地理解FFT 的计算过程，我们分两步进行推导。
1.基2 递归算法（1）首先，将输入序列x[n] 进行零填充，使其长度变为2 的整数次幂，即N = 2^n。
（2）将x[n] 和x[n+N/2] 进行旋转，得到x[n] 和x[n+N/2]，其中x[n] 为原始序列，x[n+N/2] 为旋转后的序列。
（3）对旋转后的序列进行DFT 计算，得到频域系数X[k] 和X[k+N/2]。
（4）根据旋转序列的关系，可以得到频域系数X[k+N/2] = X[k]，因此，我们只需计算一半的频域系数。
离散傅里叶变换及快速算法
（5-5）
W e N
j
2 N
的性质:
正交性，周期性，
共轭对称性（偶序列），可约性。
§5．离散傅里叶变换及快速算法
1.离散傅里叶级数
1.2离散傅里叶级的计算
例5-1 求出下面周期序列的DFS
x(n) 0 ,1,2,3, 0 ,1,2,3, 0,1,2,3
n0
为改进嵌套循环计算的效率，将循环结构改为矩阵形式计算
§5．离散傅里叶变换及快速算法
0.概述
离散时间傅里叶变换(DTFT)是通过周期频谱 来描述一个离散信号序列，即DTFT是连续变 量w的连续函数。离散傅里叶变换(DFT)则是 针对有限长序列，是对DTFT采样后得到的离 散序列。 此种表示方法非常有利于数值计算以及数字信 号处理算法的DSP硬件实现。 本章将研究离散傅里叶级数，离散傅里叶变换 (DFT)，及离散傅里叶变换的快速算法FFT。
（5-3）
n0
称之为离散傅里叶级数DFS的系数。是一个基波周期为N的 周期序列。
X (k) X (k N)
§5．离散傅里叶变换及快速算法
W e 在DFS变换中引入复数 N
j
2 N
将DFS正反变换描述为
N 1
X (k) x(n)WNnk
n0
x (n)
1 N
N 1
X (k )WNnk
k 0
n0
x(n)
1 N
N 1
X (k )WNnk
k 0
x
1 N
WN* X
WN WNkn 0
k,n
N
1
1 1
1
WN1
1
W ( N 1) N
1
W ( N 1) N
第三章-离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)
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x(n)
IDFT[ X (k)]N
1 N
N 1
X (k)WNk n ,
k 0
n 0, 1,
, N 1
也可以表示为矩阵形式:
x DN1 X
DN1称为N点IDFT矩阵，定义为
1
DN1
1 N
1 1
1
1 WN1 WN2
WN( N 1)
线性性质 DFT的隐含周期性 循环移位性质 复共轭序列的DFT DFT的共轭对称性 循环卷积定理 离散巴塞伐尔定理
返回
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① 线性性质 设有限长序列x1(n)和x2 (n)的长度分别为N1和N2 ， x(n) ax1(n) bx2 (n) ，a和b为常数。
则
)
N M
xN (n) x((n))N X (k ) X ((k ))N
有限长序列x(n)的DFT变换X(k)，就是x(n)的周期延拓序列 ~x(n) 的DFS系数 X~(k ) 的主值序列
返回
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DFS与FT之间的关系:
M 1
X (k) DFS[xN (n)] x(n)WNkn n0
xN (n) xN (n)RN (n)
主值区间序列 N M , xN (n) x(n)
返回
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x8 (n) x4 (n)
返回
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周期序列DFS: N 1 X (k ) DFS[ xN (n)] xN (n)WNkn n0
M 1
x(n)WNkn
k
返回
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xN (n)
n
N
0
N
离散傅里叶变换及其快速算法
ak 也是以 N周期的周期序列，满足 ak
~ X (k ) Nak
ak 。令 ln
（3.5）
将式（3.4）代入，得
N 1 j kn ~ ~ N X ( k ) x ( n )e n 0 2
k
（3.6）
~ X (k ) 式中， 是以N为周期的周期序列，称为
~ x (n) 的离散傅里叶级数，用DFS表示。
~(k )， N 相位为 幅度为 X
~ arg[ X (k )]
。
基波分量的频率为 2 N ，幅度为
~ 为arg[ X (1)]
~ X (1) N
，相位
。
x ( n ) 以 N 8 为周期 n) 【例3-1】设 x(n) R4 (，将
进行周期延拓，得到周期序列 幅频特性。
~ x ( n)
2016-12-8
解：根据定义求解
14 12 e 8e
j
j
2 k 6
10e
j
j
2 2k 6 j 2 5k 6
2 3k 6
6e
2 4k 6
10e
X (0) 60 X (3) 0
X (1) 9 j 3 3 X (4) 3 j 3
X (2) 3 j 3 X (5) 9 j 3 3
x 3(n )
当k取奇数（ k=2m+1 ，m=0，1，…， N/4-1 ）时
N n(2 m 1) X 1(2m 1) x 1(n ) x 1 n 4 W N 2 n 0 N 4 1 N n mn x 1(n ) x 1 n W W N N 4 4 n 0 2
离散傅里叶变换及其快速计算方法
X N (k ) X '( z )
z WN k
n
x '(n)WNkn
24
X '( z ) Z [ x '(n)]
X N (k ) X '( z )
xN ( n)
z WN k
x '(n rN )
r
频域抽样序列 的得到的
是原来非周期序列 ′ 基于
j
2
mk
N
~
X (k )
2
j
mk ~
~
mk ~
N
DFS [ x ( n m)] WN X (k ) e
X (k )
Note：时域延迟，频域有线性相移
3、调制性质
~
DFS [WNln x(n)] X (k l )
13
4、周期卷积和（时域）
~
~
~
若 Y (k ) X 1 (k ) X 2 (k )
N 1
1
nk
x ( n) x ( n) R ( n)
X ( k )W N RN ( n)
N
N k 0
x(n),X(k)
代替
( , (
DFT变换对（标准形式）：
2
N 1
N 1
j nk
nk
N
X
(
k
)
DFT
[
x
(
n
)]
x
(
n
)
W
=
x
(
周期为点的周期延拓
第四章 离散傅里叶变换及其快速算法
离散 连续
周期延拓 非周期
4.1 离散傅里叶变换的定义
kn X (k ) DFT [ x(n)] x(n)WN , n 0 N 1 N 1 n 0 2 kn N
= x ( n )e
j
k=0, 1, , N-1
X ( k )WN kn k 0 N 1
1 x(n) IDFT [ X (k )] N 1 N
4 N
x D1X N
W N ( N 1 ) 2 ( N 1 ) WN W N ( N 1 )( N 1 ) 1
1
D
1 N
W N 2 ( N 1 )
1 DN N
dftmtx(N) 函数产生N×N的DFT矩阵DN conj(dftmtx(N))/N 函数产生N×N的IDFT矩阵DN-1
二、 圆周移位性质
1. 序列的圆周移位 x(n)的圆周移位定义为
y(n)=x((n+m))N RN(n) 其过程为: 1)、将x(n)以N为周期进行周期延拓得x((n))N 2)、将x((n))N左移m位，得x((n+m))N 3)、取其主值序列x((n+m))N RN(n) 循环移位过程如图所示
WNN 1
2 WN ( N 1)
WNN 1 2 WN ( N 1) ( WN N 1) ( N 1)
DFT
IDFT矩阵形式为
1 1 1 W 1 N 1 D 1 1 W N 2 N N 1 W N ( N 1 ) 1 W N 2 W
0 n N `1 0 k N `1
DFT 则： x1 (n) x2 (n) X1 ( K ) X 2 ( K )
傅里叶变换及其快速算法
傅里叶变换及其快速算法傅里叶变换是一种重要的信号分析工具，它在多个领域中被广泛应用，包括图像处理、音频处理、通信系统等等。
本文将介绍傅里叶变换的基本原理，并详细探讨其快速算法。
一、傅里叶变换的基本原理傅里叶变换是将一个信号表示为频域的复振幅和相位的分析工具。
它能够将一个连续时间域信号转换为连续频域信号，通过分析信号的频谱信息来揭示信号的特征和特性。
傅里叶变换的表达式如下：\[ F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t)e^{-j\omega t}dt \]其中，\(F(\omega)\)表示信号的频谱，\(f(t)\)表示信号在时域的函数。
二、离散傅里叶变换在数字信号处理中，我们通常处理离散时间域的信号。
离散傅里叶变换（DFT）是傅里叶变换在离散时间域上的推广。
DFT的表达式如下：\[ F[k] = \sum_{n=0}^{N-1} f[n]e^{-j\frac{2\pi}{N}kn} \]其中，\(F[k]\)表示信号的频谱，\(f[n]\)表示信号在时域的离散序列，\(N\)表示序列的长度，\(k\)表示频率的序号。
三、快速傅里叶变换DFT的计算复杂度为\(O(N^2)\)，当信号长度较大时，计算量将非常巨大。
为了解决这个问题，提出了快速傅里叶变换（FFT）算法，能够将计算复杂度降低到\(O(N\log N)\)。
FFT算法基于分治法，将信号分解为较小的子问题，然后进行逐层合并。
其基本思想是通过迭代和递归的方式将DFT计算变为多个较小规模的DFT计算。
常用的FFT算法有蝶形算法（Butterfly Algorithm）和Cooley-Tukey 算法。
蝶形算法是一种基于时域采样点的折叠和重叠计算的方法；Cooley-Tukey算法则是一种使用递归分治的迭代算法。
FFT算法的快速计算使其得到了广泛的应用，特别是在实时系统和大规模数据处理中。
四、应用领域傅里叶变换及其快速算法在各个领域都有着广泛的应用。
离散傅里叶变换及其快速算法
第五章 离散傅里叶变换及其快速算法 1 离散傅里叶变换(DFT)的推导(1) 时域抽样：目的：解决信号的离散化问题。
效果：连续信号离散化使得信号的频谱被周期延拓。
(2) 时域截断：原因：工程上无法处理时间无限信号。
方法：通过窗函数(一般用矩形窗)对信号进行逐段截取。
结果：时域乘以矩形脉冲信号，频域相当于和抽样函数卷积。
(3) 时域周期延拓：目的：要使频率离散，就要使时域变成周期信号。
方法：周期延拓中的搬移通过与)(s nT t -δ的卷积来实现。
表示：延拓后的波形在数学上可表示为原始波形与冲激串序列的卷积。
结果：周期延拓后的周期函数具有离散谱。
(4)1。
图1 DFT 推导过程示意图(5) 处理后信号的连续时间傅里叶变换：∑∑∞-∞=-=π--δ⋅⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=k N n N kn j s kf f e nT h f H )()()(~010/2(i))(~f H 是离散函数，仅在离散频率点SNT kT k kf f ===00处存在冲激，强度为k a ，其余各点为0。
(ii) )(~f H 是周期函数，周期为ss T NT N T N Nf 100===，每个周期内有N 个不同的幅值。
(iii) 时域的离散时间间隔(或周期)与频域的周期(或离散间隔)互为倒数。
2 DFT 及IDFT 的定义(1) DFT 定义：设()s nT h 是连续函数)(t h 的N 个抽样值1,,1,0-=N n ，这N 个点的宽度为N 的DFT 为：[])1,...,1,0(,)()(10/2-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛==∆-=π-∑N k NTk H enT h nT h DFT s N n Nnk j s s N (2) IDFT 定义：设⎪⎪⎭⎫⎝⎛s NT kH 是连续频率函数)(f H 的N 个抽样值1,,1,0-=N k ， 这N 个点的宽度为N 的IDFT 为：())1,...,1,0(,110/21-==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫⎝⎛∆-=π--∑N k nT h e NTkH NNT kH DFT s N k N nk j s sN (3) N nk j e /2π-称为N 点DFT 的变换核函数，N nk j e /2π称为N 点IDFT 的变换核函数。
知识2 离散傅里叶变换及其快速算法
用Fourier 变换来表示序列和线性时不变系统的频域特征，但是频谱()ωj e X 是ω的连续函书，用计算机处理和分析频谱是不方便的。
那么就需要像时序信号那样，通过采集把连续信号变为离散信号，也对连续频谱采样而得到离散频谱，然后用数字电路或计算机进行处理和分析。
有限长序列在应用中有重要的作用，通过它可以导出另一种Fourier 变换表达式，即离散傅里叶变换(DFT)，此为解决频谱离散化的有效方法，同时DFT 的高效算法——快速傅里叶变换FFT 。
周期序列一个周期为N 的周期序列~x ，对于所有的n ，应该满足：()()为整数k kN n x x +=~~周期序列的周期N ，一般使用最小周期作为周期。
与连续时间周期函数相比，周期序列由于n 及N 均为整数，周期序列中应用最广泛的序列是：kn Njkn NeWπ2-=（2-1）ImRe1上图就是周期序列nN W （N=8），从n=0开始到8取完周期内的所有值。
令k = 1时，nN W 就是一个周期序列。
当n 从0依次加1到N-1时，序列nN W 取完周期内的所有值，这些值可以看成是Z 平面上以原点为圆心的单位圆被N 等分的交点的的坐标值。
k 为其他数值时，knN W 的最小周期也许不是N ，但是N 一定是knN W 的周期。
knN W 的性质很明显：周期性：knN W =nN k NW )(-=)(N n k NW -对称性：kn N W -=()*kn N W =nk N NW )(-=)(n N k NW -正交性：()()∑-=⎩⎨⎧==10n 0,N k knNr rN n N W其他为整数 或者 ()()∑-=⎩⎨⎧==1n 0,N n kn Nr rN k N W其他为整数 一个周期为N 的周期序列()n x ~，在n=∞-到n=+∞的范围内仅有N 个序列值是独立的其中一个周期内的N 个序列值足以表征整个序列的特征。
而对于长度为N 的有限长序列，只讨论n=0到N-1之间的N 个序列值，其余皆为0。
第三章离散傅里叶变换及其快速计算方法(DFT、FFT)
X (e jw )
（2）Z 变换 -- 提供任意序列的 z 域表示。
n
x( n)e jnw
X (z)
n
x ( n) z n
这两种变换有两个共同特征：
（1）变换适合于无限长序列 （2）它们是连续变量 ω 或 z 的函数
华北电力大学自动化系
3
3.1 问题的提出：可计算性
( k )W kn X N
k 0
21
N 1
华北电力大学自动化系
DFS 定义：反变换
DFS 变换对：时域周期序列与频域周期序列间的关系
N 1 X ( k ) x ( n)W N kn n 0 1 N 1 x ( n) X ( k )W N kn N k 0
其中：
2 N
称为频域中的取样间隔，
Im
也称为频率分辨率。
2 k N
1
2 N
Re
Z平面
华北电力大学自动化系
17
DFS 定义：正变换
X ( z ) |z e j X (e j ) x (n )e jn
n 0 N 1
X (e j ) |
则
2 k N
X (e
华北电力大学自动化系
5
3.1 问题的提出：傅里叶变换的四种形式 （2）
1. 连续信号（非周期）的付氏变换
x(t ) X ()
t
x(t ) X (),
1 x(t ) 2
t
X () x(t )e jt dt
X ()e d
jt
时域连续函数造成频域是非周期的谱 时域的非周期造成频域是连续的谱
离散傅里叶变换及其快速算法
w nk N
又如
w
N N
/
2
1,
因此
w(kN / 2) N
wNk
利用这些周期性和对称性，使DFT运算中有些项可合并；
2）利用
w
nk N
的周期性和对称性，把长度为N点的大点数的DFT
运算依次分解为若干个小点数的DFT。因为DFT的计算量正比于N2，
N小，计算量也就小。
FFT算法正是基于这样的基本思想发展起来的。它有多种形式，
n0
N / 21
X (2r 1) [x(n) x(n N / 2)]WNn(2r1)
n0
N / 21
[x(n) (n)=x(n)+x(n+N/2) b(n)=[x(n)-x(n+N/2]wnN
这两个序列都是N/2点的序列，将其代入上两式，得
结果仍然储存在同一组存储器中，直到最后 输出，中间无需其它存储器，这叫原位计算 。 每一级运算均可在原位进行，这种原位运算 结构可节省存储单元，降低设备成本，还可 节省寻址的时间。
21
（3）序数重排
对按时间抽取FFT的原位运算结构，当运算完毕
时，正好顺序存放着 X（0），X（1），X（2），
…，X（7），因此可直接按顺序输出，但这种原
但基本上可分为两类：时间抽取法和频率抽取法。
6
2、按时间抽取的FFT（N点DFT运算的分解） 先从一个特殊情况开始，假定N是2的整数次方，
N=2M，M：正整数
首先将序列x（n）分解为两组，一组为偶数项，一组为奇数 项，
x(2r) x1(r) x(2r 1) x2 (r
)
r 0,1,, N/2-1
位运算的输入 x（n）却不能按这种自然顺序存入
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按时间抽取的FFT算法
• 设N=2M，M为正整数，如取N=23=8，即离散时间信号为
x(n) = {x(0), x(1), x(2), x(3), x(4), x(5), x(6), x(7)}
• 按照规则①将序列x(n)分为奇偶两组，一组序号为偶数， 另一组序号为奇数，即
{x(0), x(2), x(4), x(6) | x(1), x(3), x(5), x(7)}
N −1
−j
2π nk N
0 ≤ k ≤ N −1
1 x(n) = IDFT [ X (k )] = N
∑ X (k )e
k =0
N −1
j
2π nk N
0 ≤ n ≤ N −1
• 通常记 WN
= e − j 2π / N
N −1 n=0
，则DFT简化为
nk N
X (k ) = ∑ x(n)W
1 x ( n) = N
离散傅里叶变换及其快速算法
概述
• 傅里叶变换实现了时域到时域到频域的转换，在连续信号 和离散信号处理技术领域有广泛的应用。 • 为利用计算机计算傅里叶变换,对信号与频谱有如下要求： 1. 信号与频谱应是离散的 2. 数据长度都是有限的 • 本节介绍如何将傅里叶级数和傅里叶变换的分析方法应用 于离散时间信号，它们是由傅里叶变换发展而来的一种变 换方法。 • 离散傅里叶变换(DFT)和快速傅里叶变换(FFT)在理论上解 决了利用计算机进行傅里叶分析的问题。
离散傅里叶变换的泄漏问题(Leakage)
在实际应用中，通常将所观测的信号限制在一定的时间间隔 内，也就是说，在时域对信号进行截断操作，或称作加时间 窗，亦即用时间窗函数乘以信号，即 ˆ x(t ) = b(t ) x(t ) 由卷积定理可知，时域相乘，频域为卷积，则有 ˆ X ( f ) = B( f ) ∗ X ( f )
常用窗函数
(1) 矩形窗(Rectangular) w(t)=1 (2) 汉宁窗(Hanning) w(t)=1-cos(2πt/T), (3) 凯塞窗(Kaiser-Bessel) w(t)=1-2.4 cos(2πt/T)+0.244 cos(4πt/T)-0.00305 cos(6πt/T) (4) 平顶窗（FlatTop） w(t)=1-1.93 cos(2πt/T)+1.29 cos(4πt/T)-0.388 cos(6πt/T) +0.0322 cos(8πt/T)
jω
∫π
−
π
X (e jω )e jω n d ω
傅里叶变换对小结
• 傅里叶级数(FS)（时域：连续周期；频域：非周期离散 连续周期 非周期离散 连续周期 非周期离散）
1 T X k = ∫ 2 T x(t )e − jkω1t dt T −2
x(t ) =
k =−∞
∑
∞
X k e jkω1t
k = 0, ±1, ±2,L
• 计算一个X(k)值需要N次复数乘法和(N-1)次复数加法，那 么N个X(k)共需N2次复数乘法和N(N-1)次复数加法。每次 复数乘法包括4次实数乘法和2次实数加法，每次复加法包 括2次实数加法，因此计算N点的DFT共需要4N2次实数乘 法和(2N2+2N(N-1))次实数加法，如N=2048时，计算量为 419万次。
1
有时会造成能量分散现象，称之为频谱泄漏 频谱泄漏。 频谱泄漏
• 余弦信号被矩形窗截断形成的泄漏 余弦信号被矩形窗截断形成的泄漏
• 对于连续周期函数，在符合采样定理的条件下， 保证窗函数b(t)的时段τ等于被截函数的周期T的 整倍数，可以保证逆变换后准确地恢复原波形， 整倍 不产生泄漏。 • 对于随机振动信号（非周期函数），控制泄漏的 方法是采用特定的窗函数 特定的窗函数，以达到控制旁瓣的效 特定的窗函数 果。
非周期函数的离散傅里叶变换的物理逻辑过程
• (a) 原函数，(b)截断后保留部分，(c)周期拓广，(d)离散 采样，(e)离散傅里叶变化后的离散谱
离散傅里叶变换的频混问题(Aliasing)
• 采样间隔为∆t，采样频率 f s = 1 / ∆t 。若采样频率过 小，则有可能高频部分重叠到低频部分上，形成 “频混 频混”。 频混
• 周期函数的离散傅里叶级数 离散傅里叶级数(DFS): 离散傅里叶级数
1 Xk = N
∑ x(n)e
n=0
N −1
−j
2π nk N
x ( n) = ∑ X k e
n =0
N −1
2π nk j N
k = 0,1, 2,L , N − 1
离散傅里叶级数(DFS)的性质
• 离散傅里叶系数 X k 是一个由 N 个独立谐波分量 组成的傅立叶级数 • 离散傅里叶系数 X k 也是离散周期 离散周期的，周期为N。 离散周期
窗函数用法
• 矩形窗：瞬态信号、伪随机或周期随机、窗长等 于周期信号整周期时 • 汉宁窗：纯随机 • 平顶窗：周期或准周期信号 • 力窗或指数衰减窗：锤击法测频响函数时的力信 号和脉冲响应信号
快速傅里叶变换(FFT)
• 直接利用DFT进行谱分析时，存在一个突出矛盾，即当序 列长度N较大时计算量大、计算时间长、数据占用内存多 ，难以利用DFT进行实时处理，其应用受到很大的限制。 • 1965年库利(Cooley)和图基(Tukey)提出了一种DFT的快速 算法，这就是FFT。FFT算法使计算量大大降低，计算时 间减少，特别是当序列长度N较大时，效果更为显著。 • FFT并不是一种新的变换形式，它只是DFT的一种快速算 法。并且根据对序列分解与选取方法的不同而产生了FFT 的多种算法。 • FFT在离散傅里叶反变换、线性卷积和线性相关等方面也 有重要应用。
离散傅里叶变换(DFT)的定义和基本概念
• 现借助于DFS的概念对有限长序列进行傅里叶分 析： • 设x(n)为有限长序列：
x ( n) 0 ≤ n ≤ N − 1 x ( n) = n其他值 0
• 正变换： • 逆变换：
X (k ) = DFT [ x( n)] = ∑ x(n)e
n=0
离散傅里叶变换(DFT)
• 上面讨论的傅里叶变换对，都不适用在计算机上 运算。因为从数字计算角度，我们感兴趣的是时 域及频域都是离散的情况。而工作中经常要对有 限长序列进行频谱分析,这就是我们这里要谈到的 离散傅里叶变换。 离散傅里叶变换
• 可借助于DFS定义DFT，思路如下： (1) 把时域周期序列看作是有限长序列x(n)的周期延 拓； (2) 把频域周期序列看作是有限长序列X(k)的周期延 拓； (3) 这样只要把DFS的定义式两边（时域、频域）各 取主值区间,就得到关于有限长序列的时频域的对 应变换对——离散傅里叶变换(DFT)。
− X ( k )WN nk ∑ k =0
N −1
• 上两式可写为矩阵形式
DFT与DTFT的区别
• DTFT是对任意序列的傅里叶分析，它的频谱是一 个连续函数；而DFT是把有限长序列作为周期序 列的一个周期，对有限长序列的傅里叶分析， DFT的特点是无论在时域还是频域都是有限长序 列。 • DFT提供了使用计算机来分析信号和系统的一种 方法，尤其是DFT的快速算法FFT，在许多科学 技术领域中得到了广泛的应用，并推动了数字信 号处理技术的迅速发展。
DFT的计算量
• 有限长序列x(n)的DFT为：
X (k ) = ∑ x(n)W
n=0 N −1 nk N
1 x ( n) = N
− X (k )WN nk ∑ k =0
N −1
WN = e− j 2π / N
• 将DFT定义式展开成方程组
写为矩阵形式
• 用向量表示
X = Wx
• 用复数表示
Wx = {Re[W ] Re[ x] − Im[W ] Im[ x]} + j{Re[W ] Im[ x] + Re[ x] Im[W ]}
周期序列的离散分析
• 连续周期函数x(t)，抽样间隔∆t=T/N
周期序列的离散傅里叶级数(DFS)
• 连续周期函数x(t)的傅里叶级数：
x(t ) =
n =−∞
∑
∞
X k e jkω1t
1 T X k = ∫ 2 T x(t )e− jkω1t dt T −2
k = 0, ±1, ±2,L
2π • 抽样间隔∆t=T/N，ω1 = T
FFT原理
• FFT算法主要利用了 WNnk 的两个性质： 1. 对称性
W
( nk + N ) 2
= −W nk
nk ) N
2. 周期性
W nk = W
mod( nk ) N
mod(
表示用N除nk之后的余数
• FFT算法利用
nk WN
的对称性和周期性，将一个大的
DFT分解成一些逐次变小的DFT来计算。 • 分解过程遵循两条规则： ①对时间进行偶奇分解——按时间抽取的FFT算法 ②对频率进行前后分解——按频率抽取的FFT算法
离散时间序列
• 数字计算机只能处理有限长的数字信号。因此， 必须把一个连续的变化的模拟信号转换成有限长 的离散时间序列，才能由计算机来处理。这一转 换称模拟信号数字化。 • 对x(t)进行抽样，抽样间隔为∆， x(t)的离散值在 时间t=k∆，写为xk。{xk},k= …,-1,0,1,2,3, …叫做 离散时间序列。 离散时间序列
• 傅里叶变换(FT)（时域：连续非周期；频域：非周期连续 连续非周期 非周期连续 连续非周期 非周期连续）
X ( f ) = F [ x(t )] = ∫
−1
∞ −∞
∞
x(t )e − j2πft dt
X ( f )e j2πft df
2π nk N