方程的根与函数的零点课件

函数的零点定义：
对于函数y=f(x), 使f(x)=0的实数x 叫做函数 y=f(x)的零点。
等价关系 方程f(x)=0有实数根
函数y=f(x)的图象与x轴有交点 函数y=f(x)有零点
示例· 练习
求下列函数的零点
1 f x x 5 x 14 2 f x x 2 2 x 1 3 f x l g x 1
y
14 12 10
8 6
4 2 0 －2 －4 1 2
. .3 ..
4
.
.
.
.
5 6 7 8 9 10
x
思考：还有没有其他方法？
.
－6
3 利用函数的图像，指出 函数 f x x 3x 5 问题6. 的零点所在的大致区间
解：作出函数的图象，如下： 因为f(1)=1>0,f(1.5)=－2.875<0, 所以f(x)=－x3－3x+5在区间(1, 1.5) 上有零点。又因为f(x)是(－∞,＋∞） 上的减函数，所以在区间(1, 1.5)上有 且只有一个零点。
§3.1.1方程的根与
函数的零点
学习目标
1.通过二次函数的图像，了解二次函数与一元二 次方程的关系，能判断一元二次方程根的存在性 及根的个数； 2.了解函数的零点与方程根的联系，能利用函数 零点与方程根的关系确定方程根的个数。
问题· 探究
问 题1： 求 下 列 方 程 的 根 (1)3x 6 0 (2) x 5 x 6 0
解：用计算器或计算机作出x、f(x)的对应值表（表3-1） 和图象（图3.1—3）
x
1 2 3 4 5 6 7 8 9 14.1972
f（x） －4 －1.3069
1.0986 3.3863
5.6094 7.7918 9.9459 12.0794
由表3-1和图3.1—3可知 f(2)<0,f(3)>0， 即f(2)· f(3)<0， 说明这个函数在区间(2,3)内 由于函数f(x)在定义域 有零点。 (0,+∞)内是增函数，所以 它仅有一个零点。
一种科学只有在成功地运用数学时 ,才算达到完善的地步 数缺形时少直观，形少数时难入微， , 才算达到完善的地步 数缺形时少直观，形少数时难入微， 数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞 数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞？ 切莫忘，几何代数统一体，永远联系，莫分离 数形结合百般好，隔离分家万事休， ？ 数形结合百般好，隔离分家万事休，
2
(3) x 3 x 5 0 ( 4) ln x 2 x 6 0
3
今天我们可以从教科书中了解各 式各样方程的解法，但在数学发展史 上，方程的求解却经历了相当漫长的 岁月. 我国古代数学家在约公元50年— 100年编成的《九章算术》，给出了求 一次方程、二次方程和三次方程根的 具体方法…
花拉子米(约780～约850) 给出了一次方程和二次方 程的一般解法。
阿贝尔(1802～1829)挪威数学家. 证明了五次以上一般方程没有求 根公式。
卡尔达诺，意大利数学家，他第一个发 表了三次代数方程一般解法的卡尔达诺 公式，也称卡当公式（解法的思路来自 塔塔利亚，两人因此结怨，争论多年）。 他的学生费拉里第一个求出四次方程的 代数解。
解：(1)条件说明抛物线f(x)=x2+2mx+2m+1与 x轴的交点分别在区间(－1，0)和(1，2)内， 画出示意图，得
1 m 2 f (0) 2m 1 0, f ( 1) 2 0, m R, 1 f (1) 4m 2 0, m 2 , f ( 2) 6m 5 0 m 5 6
解得:
5 1 m 6 2
问题7：已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0. (3)若方程有一个根比2大,另一个根比2小,求m范围. (4)若方程两根均在区间(0，1)内，求m的范围.
解:由题意得:f(2)<0
即6m+5<0
解得:
5 m 6
问题7：已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0. (4)若方程两根均在区间(0，1)内，求m的范围.
2
-2和7
1
2
零点的求法（1）
代数法
问题4 如图是某地从0点到12点的气温变化图， 假设气温是连续变化的，请将图形补充成完 整的函数图象。这段时间内，是否一定有某 时刻的气温为0度？为什么？
问题探究
1 f a f b 0( 或 ) 在区间a , b 内 （有或无）零点 2 f b f c 0( 或 ) 在区间b, c 内 （有或无）零点 3 f c f d 0( 或 ) 在区间c , d 内 （有或无）零点
.
y
.5 4 .
3 2 1
.
1 2 3
0
－1
x
Leabharlann Baidu
.
零点的求法（2）
图像法
练习2：
请判断出函数f x x 2 的零点个数
3 x
1
【变式引申】
问题7.已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0. (1)若方程有两根，其中一根在区间(－1,0)内， 另一根在区间(1，2)内，求m的范围. (2)若方程有一个根在(0,2)内,求m的范围. (3)若方程有一个根比2大,另一个根比2小,求m范围. (4)若方程两根均在区间(0，1)内，求m的范围.
方程 f(x)=0 有实数根 （2）函数y=f(x) 在区间 (a,b) 内有零点
（3）如果函数 y=f(x) 在[a,b]上是连续的单调函数, 代数法和图象法
的一条曲线，并且有f(a)f(b)<0,那么，函数y=f(x)
f(a)· f(b)<0。 在区间(a,b)内有零点，即存在 c a, b 使得
韦达是法国十六世纪最有影响的数学家之 一。第一个引进系统的代数符号，并对方 程论做了改进。韦达讨论了方程根的各种 有理变换，发现了方程根与系数之间的关 系即“韦达定理” 。
问题· 探究
问题2 求出表中一元二次方程的实数根， 画出相应的二次函数图像的简图，并写出 函数的图象与x轴的交点坐标
x2－2x－3=0 y= x2－2x－3 .

（2）函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点
f(a)· f(b)<0。
• 思考2：如果函数 y=f(x) 在[a,b]上是连续的 单调函数, 并且在闭区间的两个端点上的函数 值互异即f(a)f(b)﹤0, 那么这个函数在(a,b) 内的零点个数能确定吗？
问题5: 求函数f x ln x 2 x 6的零点个数
.
∴
5 1 m 6 2
问题7：已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0. (2)若方程有一个根在(0,2)内,求m的范围. (3)若方程有一个根比2大,另一个根比2小,求m范围. (4)若方程两根均在区间(0，1)内，求m的范围.
解:由题意得:f(0)f(2)<0
即(2m+1)(6m+5)<0
－1
方程 函数
函 数 的 图 象
方程的实数根 函数的图象 与x轴的交点
x2－2x+1=0 y= x2－2x+1 .y
2
x2－2x+3=0 y= x2－2x+3
y
y
2
.
－1 －2
. . . 1 .
2
.
1
0
1
2
.
.
x
－1
3
x
－1
1
0
－3 －4
3 2 1
.
5 4
.
1
.
2
.
. x1=x2=1
0
3
x
x1=－1,x2=3 (－1,0)、(3,0)
作业：作业本
设计思路
• 基于数形结合思想 • 基于数学文化
谢 谢， 再 见！
y
x1 0 x2
△＜0 没有实数根
y
两个不相等 的实数根x1 、x2
y
x
0 x1
x
0
x
函数的图象 与 x 轴的交点
(x1,0) , (x2,0)
(x1,0)
没有交点
结论
1.方程根的个数就是函数图象与x轴交点的个数。 2.方程的实数根就是函数图象与x轴交点的横坐标。
概念· 形成
辨 析 : 函 数 的 零 点 是 不 是 交 点 ？
观察函数的图像图像是连续还是间断的 ？
结 论
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断 的一条曲线，并且有f(a)f(b)<0,那么，函数y=f(x) 在区间(a,b)内有零点，即存在 c a, b 使得 f(c)=0,这个c也就是方程f(c)=0 的根。
y y
b x
无实数根
(1,0)
无交点
问题3 若将上面特殊的一元二次方程推广到一般的 一元二次方程及相应的二次函数的图象与x轴交点的 关系，上述结论是否仍然成立？
判别式△ = b2－4ac 方程ax2 +bx+c=0 (a>0)的根 函数y= ax2 +bx +c(a>0)的图象 △＞0 △=0 有两个相等的 实数根x1 = x2
函数的零点定义：
对于函数y=f(x), 使f(x)=0的实数x 叫做函数 y=f(x) 的零点。 零点存在定理 三个结论：
函数 y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线： 等价关系 如果函数 y=f(x) 在区间 [a,b] 上的图象是连续不断 零点的求法 （ 1）f(a)· f(b)<0 函数 y=f(x) 在区间(a,b)内有零点；
解:由题意得:
f ( 0 ) 0, f (1) 0, 0, 0 m 1
1 m 2 , m 1 , 2 m 1 2或m 1 2 , 1 m 0.
1 解得: m 1 2 2
0 a y 0a
b
0 a y
b
x
x
0a
b
x
思考1：函数y=f(x)在区间[a,b]上的图 象是一条连续不断的曲线，若函数y=f(x) 在区间(a, b)内有零点，一定能得出 f(a)· f(b)<0的结论吗？
y
0
a
bb b
bb
bb
b b bb
b
x
结论：函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条 曲线： （1）f(a)· f(b)<0 函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点；
函数 y=f(x)的图象与 轴有交点 f(c)=0,这个 c也就是方程 f(c)=0x 的根。 且f(a)f(b)﹤0, 那么这个函数在(a,b)内的零点个数 函数y=f(x)有零点 是唯一的。
温 馨 提 示
函数零点方程根， 图象连续总有痕。 数形本是同根生， 端值计算是根本。 借问零点何处有， 端值互异零点生。