直线的参数方程
选修4-4 第五节几种常见的参数方程
x＝1＋2cos t， (0≤t≤π)，把它化为普通 y＝－2＋2sin t
方程，并判断该曲线表示什么图形．
所求的曲线的参数方程为 (x－1)2＋(y＋2)2＝4(－2≤y≤0)． 这是一个半圆，其圆心为(1，－2)，半径为 2.
例2
已知圆的普通方程为
x2＋y2＋2x－6y＋9＝0， 将它化为参
轴上，所以椭圆的标准方程为 ＋ ＝1， 25 16 x＝4cos θ ， 故参数方程为 (θ 为参数)． y＝5sin θ
y2
x2
（x－1）2 （y＋2）2 1． 写出圆锥曲线 ＋ ＝1 的 3 5
例1
x＝5＋3t， 设直线的参数方程为 y＝10－4t.
(1)求直线的普通方程； (2)化参数方程为标准形式．
解析：(1) 4x＋3y－50＝0.
3 4 4 k tan (2) 3 cos α ＝－ ，sin α ＝ . 5 5 3 x＝5－ u， 5 则参数方程的标准形式为： 4 y＝10＋ u. 5
例 3 已知直线 l 的方程为 3x－4y＋1＝0，点 P(1，1)在 直线 l 上，写出直线 l 的参数方程，并求点 P 到点 M(5，4)和 点 N(－2，6)的距离．
3 解析：由直线方程 3x－4y＋1＝0 可知，直线的斜率为 ，设直线的 4 3 3 4 则 tan α ＝ ，sin α ＝ ，cos α ＝ . 4 5 5
制作人：葛海泉
课前预习
1.பைடு நூலகம்线的参数方程
x＝x0＋tcosα ， 1． 经过点 M0(x0， y0)， 倾斜角为 α 的直线 l 的参数方程为 y＝y0＋tsinα
(t 为参数)．
t0
直线的参数方程及应用
直线的参数方程及应用直线的参数方程及应用直线参数方程的标准式过点P(x,y)，倾斜角为α的直线l的参数方程是x = x + tcosαy = y + tsinα其中t为参数，表示有向线段PP的数量，P(x,y)为直线上的任意一点。
直线l上的点与对应的参数t是一一对应关系。
若P1、P2是直线上两点，所对应的参数分别为t1、t2，则P1P2 = t2 - t1，|P1P2| = |t2 - t1|。
若P1、P2、P3是直线上的点，所对应的参数分别为t1、t2、t3，则P1P2中点P3的参数为t3 = (t1 + t2)/2，|PP3| = |(t1 + t2)/2|。
若P为P1P2的中点，则t1 + t2 = 0，t1·t2 < 0.直线参数方程的一般式过点P(xb,y)，斜率为k = a的直线的参数方程是x = x + aty = y + bt其中t为参数，表示有向线段PP的数量，P(xb,y)为直线上的任意一点。
直线的参数方程给定点P(xl,y)，倾斜角为α，求经过该点的直线l的参数方程。
直线l的参数方程为x = x + tcosαy = y + tsinα其中t为参数，表示有向线段PP的数量，P(xl,y)为直线上的任意一点。
特别地，若直线l的倾斜角α = 90°，直线l的参数方程为x = x + ty = y其中t为参数，表示有向线段PP的数量，P(xl,y)为直线上的任意一点。
2、直线的参数方程与标准形式如果直线的方向已知，那么可以使用参数方程来表示直线。
对于倾斜角为 $\alpha$，过点 $M(x,y)$ 的直线 $l$，其参数方程一般式为：begin{cases}x=x_M+t\cos\alpha \\y=y_M+t\sin\alphaend{cases}其中 $t$ 是参数，表示从点 $M$ 沿着直线 $l$ 方向前进的距离。
如果要将参数方程转化为标准形式，可以通过以下步骤：1.消去参数 $t$，得到 $y-y_M=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}(x-x_M)$。
直线的参数方程
直线的参数方程（1）直线的标准参数方程：经过定点，倾斜角为的直线的参数方程为：（为参数）；性质：（2）直线的一般参数方程：过定点，且其斜率为的直线的参数方程为： 性质：（为参数，为为常数，）例1.把y=2x+3化为参数方程。
变式：直线l 的方程：1sin 252cos 25x t y t ì=-ïí=+ïî（t 为参数），那么直线l 的倾斜角( ) A 65° B 25° C 155° D 115°例2. 已知直线l：15x t y ì=+ïíï=-î (t 为参数)与直线m：0x y --=交于P 点， 求点M(1,－5)到点P 的距离.例3：已知直线L过点M（1，1），且倾斜角的余弦值为35，L与圆229x y+=交与A，B，且AB中点为C（1）求L的参数方程（2）求中点C所对应的参数t及C点坐标（3）求|CM|（4）求|AM|（5）求|AB|（6）求|MA|+|MB|（7）求|MA||MB|二、根据t的式子求解1．在平面直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数），直线经过点，倾斜角．（Ⅰ）写出圆的标准方程和直线的参数方程；（Ⅱ）设与圆相交于、两点，求的值．2．在直角坐标系xOy中，直线的参数方程为（为参数）．在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为ρ=2sinθ．（1）求圆C的直角坐标方程；（2）设圆C与直线交于点．若点的坐标为（3，），求．3．在直角坐标系中，以原点为极点，以轴正半轴为极轴，圆的极坐标方程为（Ⅰ）将圆的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）过点作斜率为1直线与圆交于两点，试求的值．4．在直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线，过点的直线的参数方程为 （为参数），与分别交于． （Ⅰ）写出的平面直角坐标系方程和的普通方程； （Ⅱ）若成等比数列，求的值．5．已知圆锥曲线（为参数）和定点，、是此圆锥曲线的左、右焦点，以原点为极点，以轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求直线的直角坐标方程； （2）经过点且与直线垂直的直线交此圆锥曲线于、两点，求的值．6.在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为22(+6)+=25x y .（Ⅰ）以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；（Ⅱ）直线l 的参数方程是（t 为参数），l 与C 交于A ，B 两点，AB =求l 的斜率.圆的参数方程已知圆心为，半径为的圆的参数方程为：（是参数，）；1.在直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为2cos r q =，0,2p q 轾Î犏臌. （Ⅰ）求C 的参数方程；（Ⅱ）设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线:2l y =+垂直，根据（Ⅰ）中你得到的参数方程，确定D 的坐标.椭圆的参数方程椭圆（）的参数方程（为参数）。
直线的参数方程及应用
直线的参数方程及应用1、 直线参数方程的标准式(1)过点P 0(00,y x )，倾斜角为α的直线l 的参数方程是 ⎩⎨⎧+=+=ααs i n c o s00t y y t x x （t 为参数）t 的几何意义：t 表示有向线段P P 0的数量，P(y x ,)为直线上任意一点.P 0P=t ∣P 0P ∣=t(2)若P 1、P 2是直线上两点，所对应的参数分别为t 1、t 2，则P 1P 2=t 2－t 1,∣P 1P 2∣=∣t 2(3) 若P 1、P 2、P 3是直线上的点，所对应的参数分别为t 1、t 2、t 3 则P 1P 2中点P 3的参数为t 3＝221t t +,∣P 0P 3∣=221t t +2.直线参数方程的一般式过点P 0(00,y x )，斜率为ab k =的直线的参数方程是:⎩⎨⎧+=+=bty y at x x 00 （t 为参数） 例1：化直线1l 的普通方程13-+y x ＝0为参数方程，并说明参数的几何意 义,例2：化直线2l 的参数方程⎩⎨⎧+=+-= t313y t x （t 为参数）为普通方程，并求倾斜角， 说明∣t ∣的几何意义.例3：已知直线l 过点M 0（1，3），倾斜角为3π，判断方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=t y tx 233211（t 为参数）和方程⎩⎨⎧+=+= t331y t x （t 为参数）是否为直线l 的参数方程？如果是直线l 的参数方程，指出方程中的参数t 是否具有标准形式中参数t 的几何意义.例4：写出经过点M 0（－2，3），倾斜角为43π的直线l 的标准参数方程，并且求出直线l 上与点M 0相距为2的点的坐标.例5：已知直线l 过点P （2，0），斜率为34，直线l 和抛物线x y 22=相交于A 、B 两点， 设线段AB 的中点为M,求：(1)P 、M 两点间的距离|PM|;(2)M 点的坐标； (3)线段AB 的长|AB|例6：已知直线l 经过点P （1,－33）,倾斜角为3π， (1)求直线l 与直线l '：32-=x y 的交点Q 与P 点的距离| PQ |； (2)求直线l 和圆22y x +＝16的两个交点A ，B 与P 点的距离之积.例7：设抛物线过两点A(－1,6)和B(－1,－2)，对称轴与x 轴平行，开口向右，直线y=2x +7被抛物线截得的线段长是410，求抛物线方程.xy ,)例8：已知椭圆134)1(22=+-y x ，AB 是通过左焦点F 1的弦，F 2为右焦点， 求| F 2A |·| F 2B |的最大值.方法总结：利用直线l 的参数方程⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x （t 为参数），给研究直线与圆锥曲线C ：F(y x ,)=0的位置关系提供了简便的方法.一般地，把l 的参数方程代入圆锥曲线C ：F(y x ,)=0后，可得一个关于t 的一元二次方程，)(t f =0, 1、(1)当Δ<0时，l 与C 相离；(2) 当Δ＝0时，l 与C 相切；(3) 当Δ>0时，l 与C 相交有两个交点；2、 当Δ>0时，方程)(t f =0的两个根分别记为t 1、t 2，把t 1、t 2分别代入l 的参数方程即可求的l 与C 的两个交点A和B 的坐标.3、 l 被C 截得的弦AB 的长|AB|＝|t 1－t 2|；P 0A ·P 0B= t 1·t 2；弦AB 中点M 点对应的参数为221t t +；| P 0M |=221t t +基础知识测试1、 求过点(6,7),倾斜角的余弦值是23的直线l 的标准参数方程.2、 直线l 的方程：⎩⎨⎧+=-= 25cos 225sin 1t y t x （t 为参数），那么直线l 的倾斜角( ) A 65° B 25° C 155° D 115°3、 直线⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=-=ty t x 521511（t 为参数）的斜率和倾斜角分别是( )A) －2和arctg(－2) B) －21和arctg(－21) C) －2和π－arctg2 D) －21和π－arctg 214、 已知直线⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x （t 为参数）上的点A 、B 所对应的参数分别为t 1,t 2，点P 分线段BA 所成的比为λ（λ≠－1），则P 所对应的参数是 .5、直线l ：⎩⎨⎧+=+=bty y at x x 00 （t 为参数）A 、B 是直线l 上的两个点，分别对应参数值t 1、t 2，那么|AB|等于( )A ∣t 1－t 2∣B 22b a +∣t 1－t 2∣C 2221b a t t +- D ∣t 1∣+∣t 2∣6、 已知直线l ：⎩⎨⎧+-=+= t351y tx (t 为参数)与直线m ：032=--y x 交于P 点，求点M(1,－5)到点P 的距离.7、 直线⎩⎨⎧+-=+=t21y t x (t 为参数)与椭圆8222=+y x 交于A 、B 两点，则|AB|等于( ) 8、直线⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x （t 为参数）与二次曲线A 、B 两点，则|AB|等于( )A |t 1+t 2|B |t 1|＋|t 2|C |t 1－t 2| D221t t +9、 直线⎪⎩⎪⎨⎧+-=-=t211212y t x (t 为参数)与圆122=+y x 有两个交点A 、B ，若P 点的坐标为(2,-1),则|PA|·|PB|=10、过点P(6, 27)的直线⎪⎩⎪⎨⎧+=+=t 2726y t x 与抛物线y 2=2x 相交于A 、B 两点，则点P 到A,B 距离之积为 11.直线⎩⎨⎧-=+=20cos 420sin 3t y t x （t 为参数）的倾斜角 .。
直线的标准参数方程
直线的标准参数方程直线是平面几何中的基本图形之一，它具有许多重要的性质和应用。
在直角坐标系中，直线的方程有多种表示形式，其中标准参数方程是一种常用的形式。
本文将介绍直线的标准参数方程的定义、推导方法和应用示例。
一、定义。
直线的标准参数方程是指用参数形式表示直线的方程。
设直线L上有一点P(x, y)，则点P到直线L上某一固定点A的距离与点P到直线L的方向垂直的距离成比例。
这里引入参数t，点P的坐标可以表示为x=x0+mt，y=y0+nt，其中m和n是常数，称为参数。
二、推导方法。
1. 已知直线上的两点A(x1, y1)和B(x2, y2)，求直线的标准参数方程。
设直线上任一点P(x, y)，则向量AP=(x-x1, y-y1)，向量AB=(x2-x1, y2-y1)。
由于向量AP与向量AB垂直，根据向量的垂直条件可得(x-x1, y-y1)·(x2-x1, y2-y1)=0，展开得到(x-x1)(x2-x1)+(y-y1)(y2-y1)=0，整理可得直线的标准参数方程。
2. 已知直线的斜率k和截距b，求直线的标准参数方程。
直线的斜率k定义为k=(y2-y1)/(x2-x1)，截距b定义为y=kx+b。
将y=kx+b代入直线方程中，整理可得x=(x1-kt)/(1-k)，y=(y1-kt)/(1-k)，即为直线的标准参数方程。
三、应用示例。
1. 求直线通过两点A(1, 2)和B(3, 4)的标准参数方程。
根据推导方法1，代入已知点的坐标得到(x-1)(3-1)+(y-2)(4-2)=0，整理得到直线的标准参数方程。
2. 求直线的斜率为2，截距为3的标准参数方程。
根据推导方法2，代入已知斜率和截距得到x=(1-2t)/(1-2)，y=(2-2t)/(1-2)，即为直线的标准参数方程。
综上所述，直线的标准参数方程是一种常用的表示形式，通过已知直线上的点或斜率和截距可以求得直线的标准参数方程。
在实际问题中，标准参数方程可以方便地描述直线的性质和运动规律，具有重要的应用价值。
直线参数方程标准形式
直线参数方程标准形式直线是平面几何中的基本概念，而直线的参数方程标准形式是描述直线的一种重要方式。
在学习直线参数方程标准形式之前，我们首先要了解直线的一般方程和点斜式方程，这样才能更好地理解参数方程标准形式的概念和应用。
一、直线的一般方程和点斜式方程。
1. 直线的一般方程。
直线的一般方程通常表示为Ax + By + C = 0，其中A、B、C为常数，且A和B不全为零。
这种形式的方程可以表示任意一条直线，但并不直观，不利于直线的直观理解和运用。
2. 直线的点斜式方程。
直线的点斜式方程通常表示为y y1 = k(x x1)，其中(x1, y1)为直线上的一点，k 为直线的斜率。
点斜式方程直观地表示了直线的斜率和一点坐标，更容易理解和使用。
二、直线参数方程标准形式。
直线的参数方程标准形式是另一种描述直线的方式，它的形式为：x = x1 + at。
y = y1 + bt。
其中(x1, y1)为直线上的一点，a和b为参数。
直线的参数方程标准形式比点斜式方程更加灵活，可以更直观地描述直线的方向和位置。
三、直线参数方程标准形式的应用。
1. 直线的平行和垂直关系。
通过直线的参数方程标准形式，我们可以很容易地判断两条直线是否平行或垂直。
如果两条直线的参数a和b分别成比例，那么它们平行；如果两条直线的参数a和b的乘积为-1，那么它们垂直。
2. 直线的交点。
两条直线的交点可以通过它们的参数方程标准形式求解。
将两条直线的参数方程联立，解出交点的坐标，即可得到它们的交点。
3. 直线的平移和旋转。
直线的参数方程标准形式可以很方便地描述直线的平移和旋转。
对参数a和b进行变换，即可得到平移或旋转后的直线方程。
四、总结。
直线的参数方程标准形式是描述直线的一种重要方式，它比一般方程和点斜式方程更加灵活和直观。
通过参数方程标准形式，我们可以更方便地判断直线的性质、求解直线的交点，以及描述直线的平移和旋转。
因此，掌握直线参数方程标准形式对于理解和运用直线的性质具有重要意义。
直线的参数方程怎么求直线的参数方程及其推导过程直线的参数方程t的意义
直线的参数方程：过定点倾斜角为α的直线的参数方程为（t为参数）。
过定点倾斜角为α的直线的参数方程为（t为参数）。
直线的参数方程及其推导过程：设e是与直线l平行且方向向上(l的倾斜角不为0)或向右（l的倾斜角为0）的单位方向向量（单位长度与坐标轴的单位长度相同）．直线l的倾斜角为α，定点M0、动点M的坐标分别为直线的参数方程中参数t的几何意义是：表示参数t对应的点M 到定点Mo的距离，当同向时，t取正数；当异向时，t取负数；当点M与Mo重合时，t=0．直线参数方程何时必须化为标准形式在求解直线与圆相交得到的弦的长度问题时，可以采用的思路很多：①利用几何方法，即利用弦心距、半弦长、半径组成的Rt△Rt△来求解决；②弦长公式，即|AB|=1+k2−−−−−√⋅|x1−x2||AB|=1+k2⋅|x1−x2|来求解；③利用直线的参数方程的参数的几何意义来求解；从平面解析几何的角度来看，平面上的直线就是由平面直角坐标系中的一个二元一次方程所表示的图形。
求两条直线的交点，只需把这两个二元一次方程联立求解，当这个联立方程组无解时，两直线平行；有无穷多解时，两直线重合；只有一解时，两直线相交于一点。
常用直线向上方向与 X 轴正向的夹角（叫直线的倾斜角）或该角的正切（称直线的斜率）来表示平面上直线(对于X轴)的倾斜程度。
可以通过斜率来判断两条直线是否互相平行或互相垂直，也可计算它们的交角。
直线与某个坐标轴的交点在该坐标轴上的坐标，称为直线在该坐标轴上的截距。
直线在平面上的位置，由它的斜率和一个截距完全确定。
在空间，两个平面相交时，交线为一条直线。
因此，在空间直角坐标系中，用两个表示平面的三元一次方程联立，作为它们相交所得直线的方程。
直线标准参数方程
直线标准参数方程
x
《直线标准参数方程》
直线的标准参数方程是一种几何形式，用于描述直线的性质，表示直线的位置，方向，长度，以及与其他直线之间的关系。
它可以用一个公式表示，为：
Ax + By + C = 0
其中，A，B和C是实数，A和B不能同时为零。
当A和B都不为0时，以A和B确定直线的斜率，C确定直线与原点的距离。
在这里，A，B，C的取值受到斜率和距离的限制，且有一定的规律：
（1）当A，B和C都不为0时，C的符号取决于斜率是否小于1，即：
①当斜率小于1时，C为正；
②当斜率大于1时，C为负。
（2）当A或B不为0时，当斜率大于或小于1时，A，B及C的符号可能不一定；
（3）当A不为0而B为0时，A为正，C，B及C不一定。
符号及规律只影响参数A，B，C的取值，不影响直线的位置，方向和长度。
因此，直线的标准参数方程可以表示为：Ax + By + C = 0，它
与斜率和距离之间有着紧密的联系，且可根据斜率及距离的不同来决定A，B和C的取值。
直线的参数方程
在工程中，直线参数方程被广泛应用于机械设计、土木工程等领域。例如，在机 械设计中，直线参数方程可以用来描述机器的运动轨迹；在土木工程中，直线参 数方程可以用来描述建筑物的轮廓线。
物理应用
在物理学中，直线参数方程也被广泛应用于描述运动轨迹和实验数据。例如，在 研究物体的运动时，直线参数方程可以用来描述物体的位置和速度随时间的变化 。
通过两点确定直线
对于通过两点的直线，参数方程可以表示为 `x = tcosθ + ρcosθ`, `y = tsinθ + ρsinθ`，其中t为参数，θ为角度，ρ为距离。
斜截式
对于斜截式直线，参数方程可以表示为 `x = ty + b`, `y = t`，其中t为参数，b 为截距。
应用直线参数方程解决实际问题
向量推导的应用
利用向量推导直线参数方程，可以直观地理解直线的方向和位置 ，为解决几何问题提供方便。
使用点斜式推导直线参数方程
点斜式的定义
点斜式是直线方程的一种形式，它表示直线通过 某一点且与该直线的斜率有关。
点斜式的推导
通过点斜式的定义，推导出直线参数方程的系数 ，并得到点斜式对应的参数方程。
点斜式的应用
直线参数方程在几何中的应用
直线的平行和垂直判定
利用参数方程求解直线的斜率和 截距
直线的参数方程可以用来表示直 线上的点，其应用包括
直线与圆、椭圆的交点求解
通过引入参数，直线的参数方程 可以将直线上的点坐标表示为参 数的函数，从而简化了直线相关 的几何问题的求解
直线参数方程在物理中的应用
直线的参数方程可以 用于描述物理学中的 波的传播和运动轨迹 ，其应用包括
机械工程中的机构运动学分析
直线的参数方程
1.运动(一般)式：
x y
x0 y0
vx vy
t t
(t为参数) (t为时间)
vy
M(x,y)
vx
M0(x0,y0)
2.数量(标准)式：
(t为参数) M0(x0,y0)
(t为数量)
M(x,y)
x
注1.区分： 运动特例数量式 非负为1平方和
运动(一般)式
x y
x0 y0
at bt
数量(标准)式 a2 b2 1
x y
1 2t at 2 .
,(t为为参参数
,aa∈ R
)) ,且点M(5,4)在C
则常数a=__1_____
(4)若曲线M:
x
y
sin cos 2
A.(2,7)
B. (1 , 1) 32
(θ为参数) ,则在M上的点是
C. (1 , 1) 22
【C】 D.(1,0)
二、直线的参数方程
一、以焦点F为极点，以对称轴为极轴的极坐标系：
建立如图所示的极坐标系，
则圆锥曲线有统一的极坐标方程
M(ρ,θ)
ep
F
x
1 e cos
注1：椭圆(双曲线)的焦参数 p b2c注2：若AB为焦源自弦，则|AB|
2ep
1 e2 cos2
;
1 1 2 | AF | | BF | ep
二、以直角坐标系的x正半轴为极轴的极坐标系：
cos 20
数形结合巧转化 类比三角辅助角
除以振幅正余弦 同＋异－纵为正
(7)将直线的普通方程 x 3y 1 0 改写成参数方程
析①
：直线的参数方程为
x
y
x0 y0
t t
直线的标准参数方程
直线的标准参数方程直线是平面几何中最基本的图形之一，它具有许多重要的性质和特点。
在直角坐标系中，直线可以通过不同的方程来描述，其中标准参数方程是一种常用的描述方法。
本文将详细介绍直线的标准参数方程，包括其定义、性质和应用。
一、标准参数方程的定义。
直线的标准参数方程是指通过直线上任意一点到直线上某一固定点的距离与该点到另一固定点的距离之比为常数的方程。
设直线上某一点为P(x,y)，直线上固定点为A(x₁,y₁)和B(x₂,y₂)，则直线的标准参数方程可以表示为：(x x₁)/(x₂ x₁) = (y y₁)/(y₂ y₁)。
其中(x,y)为直线上任意一点的坐标。
二、标准参数方程的性质。
1. 直线的标准参数方程是直线的一般方程的一种特殊形式，通过标准参数方程可以方便地求出直线的斜率和截距。
2. 标准参数方程中的参数是直线上任意一点的坐标，通过参数的取值范围可以确定直线的位置和方向。
3. 直线的标准参数方程可以方便地表示直线的交点、垂直平分线、角平分线等相关性质。
三、标准参数方程的应用。
1. 在平面几何中，直线的标准参数方程可以用于求解直线的方程和性质，进而解决与直线相关的几何问题。
2. 在工程和物理学中，标准参数方程可以用于描述直线运动的轨迹和方向，为实际问题的分析和求解提供便利。
3. 在计算机图形学和计算机辅助设计领域，标准参数方程可以用于描述和绘制直线，实现图形的生成和变换。
四、总结。
直线的标准参数方程是描述直线的一种重要方法，它具有简洁、直观的特点，适用于多个领域的问题求解。
通过标准参数方程，我们可以方便地求解直线的性质、应用于实际问题的分析和计算，是平面几何和相关学科中不可或缺的重要工具。
以上就是关于直线的标准参数方程的介绍，希望对您有所帮助。
如果您对此有任何疑问或者补充，欢迎留言讨论。
直线的参数方程
t t ( t t ) 4t t
' 1 ' 2 ' 1 ' 2 2 ' ' 1 2
4 17
.
练习
2.动点M作匀速直线运动,它在x轴和y轴方向的 分速度分别是3m/s和4m/s,直角坐标系的长 度单位是1cm,点M的起始位置在点M0(2,1)处, 求点M的轨迹的参数方程.
y
B
A M（x，y）
0
(t是参数）
M0（x0，y0）
0
O
x •t表示有向线段M0P的数量。|t|=| M0M|
若M 0为中点, t 0 t1＋t 2 0
•t只有在标准式中才有上述几何意义 设A,B为直线上任意两点，它们所对应的参 数值分别为t1,t2. （1）|AB|＝ t1 t 2
直线的参数方程
直线的参数方程(标准式）
x x 0 t cos 直线的参数方程 ( t为参数) y y 0 t sin
其中(x 0 , y0 )时直线上的定点, 是倾斜角; 其对应的 普通方程为y y0 k ( x x0 )或x x0。 t表示几何意义： M（ （x, y )(不同于点M 0）的 0 x0 , y0 )到直线上的点M 有向线段M 0 P的数量.
（2）M是AB的中点，求M对应的参数
t1 t 2 2
1 x 1 t 2 5.一条直线的参数方程是 (t为参数）， y 5 3 t 2 另一条直线的方程是x-y-2 3 0, 则两直线的交点 与点（1，-5）间的距离是
4 3
6.动点M作等速直线运动,它在x轴和y轴方向分 速度分别为9,12,运动开始时,点M位于A(1,1), 求点M的轨迹的参数方程. x 1 9t (t为参数） y 1 12t
关于直线的参数方程
关于直线的参数方程直线是平面几何中最基础的几何图形之一，其具有简洁的参数方程表示方法，可以方便地描述直线的性质和特征。
本文将详细介绍直线的参数方程及其应用。
一、直线的定义直线是由无数个点组成的一条无宽度的线段，它没有起点和终点，只有一个方向。
直线有着重要的几何性质，例如平行、垂直等。
二、直线的一般方程一般来说，直线的方程可以用直线上的两个点表示。
假设直线上有两个点A(x1,y1)和B(x2,y2)，直线AB的斜率为k，那么直线AB的一般方程为：y = mx + b其中m为斜率，b为截距，可以通过两点的坐标计算得到。
三、直线的点斜式方程点斜式方程是直线的另一种表示方式，它由直线上的一个点的坐标和直线的斜率决定。
假设直线上有一个点A(x1,y1)和斜率k，那么直线的点斜式方程为：y-y1=k(x-x1)四、直线的截距式方程截距式方程是直线的第三种表示方式，它由直线在x轴和y轴上的截距决定。
假设直线在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，那么直线的截距式方程为：x/a+y/b=1参数方程是直线的一种特殊表示方式，它由直线上的一个点的坐标和直线的方向向量决定。
假设直线上有一个点A(x1,y1)和方向向量v=(a,b)，那么直线的参数方程为：x = x1 + aty = y1 + bt其中t为参数，可以取任意实数。
六、参数方程的特点与应用1.参数方程表示直线的形式简洁，可以直观地描述直线的位置和方向。
2.通过调节参数t的值，可以在直线上获取任意一点的坐标。
3.参数方程可以方便地描述直线的运动轨迹，例如在平面内做匀速直线运动的物体。
七、例题分析1.用参数方程表示过点A(2,3)且以向量v=(1,2)为方向的直线。
解：直线的参数方程为：x=2+t(1)y=3+t(2)或者简化为：x=2+ty=3+2t2.已知直线的点斜式方程为y-4=-2(x-1)，求直线的参数方程。
解：将点斜式方程转化为参数方程，得到：x-1=ty-4=-2t即：x=1+ty=4-2t八、总结直线的参数方程是一种便于描述直线性质和应用的表示方法。
直线的参数方程
8 由根与系数的关系，t′1＋t′2＝－ ， 5 t′1· t′2＝－4. 根据参数 t′的几何意义． 12 5 |t′1－t2′|＝ t′1＋t′2 －4t′1t′2＝ 5 . 12 5 故直线被圆截得的弦长为 5 .
x x0 at (t为参数） y y0 bt
a 2 2 x x ( a b t) 0 2 2 a b b y y0 ( a 2 b 2 t) 2 2 a b
x 1 t y 3 3 t
1 2 2 x 1 ( 1 ( 3 ) t) 2 2 1 ( 3) 3 y 3 ( 12 ( 3 ) 2 t ) 2 2 1 ( 3 )
【自主解答】
x＝1＋2t， 将参数方程 y＝2＋t
(t 为参数)转化
为直线参数方程的标准形式为 x＝1＋ y＝2＋ 2 t′， 5 1 t′ 5
(t′为参数)
代入圆方程 x2＋y2＝9， 2 1 2 得(1＋ t′) ＋(2＋ t′)2＝9， 5 5 整理，有 5t′2＋8t′－4 5＝0.
(θ 为参数)交于 A，
B 两点，求|PA|· |PB|. 【解】 (1)直线 l 的参数方程为
5 3 x＝－3＋tcos6π＝－3－ 2 t， y＝3＋t sin5π＝3＋ t . 6 2
(t 为参数)
(2)把曲线 C 的参数方程中参数 θ 消去，得 4x2＋y2－16 ＝0. 把直线 l 的参数方程代入曲线 C 的普通方程中，得 3 2 1 2 4(－3－ t) ＋(3＋ t) －16＝0. 2 2 即 13t2＋4(3＋12 3)t＋116＝0. 由 t 的几何意义，知 |PA |· |PB |＝|t1· t2|， 116 故|PA |· |PB |＝ |t1· t2|＝ 13 .
直线的参数方程
1直线的参数方程直线参数方程的标准式(1)过点P 0(00,y x )，倾斜角为α的直线l 的参数方程是 ⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x （t 为参数） t 的几何意义：t 表示有向线段P P 0的数量，P(y x ,)为直线上任意一点P 0P=t ，∣P 0P ∣=|t| 当t>0时，点P 在点P 0的上方；当t ＝0时，点P 与点P 0重合；当t<0时，点P 在点P 0的下方.若直线l 的倾斜角α＝0时，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧=+=00y y t x x (2)若P 1、P 2是直线上两点，所对应的参数分别为t 1、t 2，则P 1P 2=t 2－t 1，｜P 1P 2∣=∣t 2－t 1∣ (3)若P 1、P 2、P 3是直线上的点，所对应的参数分别为t 1、t 2、t 3 则P 1P 2中点P 3的参数为t 3＝221t t +,∣P 0P 3∣=221t t + (4)若P 0为P 1P 2的中点，则t 1＋t 2＝0，t 1·t 2<0 直线参数方程的一般式过点P 0(00,y x )，斜率为a b k =的直线的参数方程是 ⎩⎨⎧+=+=bt y y at x x 00 （t 为参数）斜率tan b k a α== 当22b a +＝1时，则t 的几何意义是有向线段M M 0的数量.当22b a +≠1时，则t 不具有上述的几何意义. ⎩⎨⎧+=+=bt y y at x x 00可化为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+++=)()(2222022220t b a b a b y y t b a b a a x x 令t '=t b a 22+ 则可得到标准式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧'++='++=t b a b y y t b a a x x 220220 t '的几何意义是有向线段M M 0的数量. 1、化直线2l 的参数方程⎩⎨⎧+=+-= t313y t x （t 为参数）为普通方程，并求倾斜角， 说明∣t ∣的几何意义.2、直线⎩⎨⎧-=+=20cos 420sin 3t y t x （t 为参数）的倾斜角 . 3、直线l 的方程： ⎩⎨⎧+=+=bty y at x x 00 （t 为参数）A 、B 是直线l 上的两个点，分别对应参数值t 1、t 2，2 那么|AB|等于( ) A ∣t 1－t 2∣ B 22b a +∣t 1－t 2∣ C2221b a t t +- D ∣t 1∣+∣t 2∣ 4、已知直线l 经过点P （1,－33）,倾斜角为3π， (1)求直线l 与直线l '：32-=x y 的交点Q 与P 点的距离| PQ |；(2)求直线l 和圆22y x +＝16的两个交点A ，B 与P 点的距离之积.5、在直角坐标系x y O 中，直线l的参数方程为132x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）．以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，C的极坐标方程为ρθ=．（I ）写出C 的直角坐标方程； （II ）P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标．6、已知直线52:12x t l y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=.（1）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设点M的直角坐标为，直线l 与曲线C 的交点为A ，B ，求||||MA MB ⋅的值.一般地，把l 的参数方程代入圆锥曲线C ：F(y x ,)=0后，可得一个关于t 的一元二次方程，)(t f =0,(1)当Δ<0时，l 与C 相离；(2) 当Δ＝0时，l 与C 相切；(3) 当Δ>0时，l 与C 相交有两个交点；当Δ>0时，方程)(t f =0的两个根分别记为t 1、t 2，把t 1、t 2分别代入l 的参数方程即可求的l 与C 的两个交点A 和B 的坐标.,定点P 0(00,y x )是弦AB 中点⇔ t 1+t 2=0，l 被C 截得的弦AB 的长|AB|＝|t 1－t 2|；P 0A ·P 0B= t 1·t 2；弦AB 中点M 点对应的参数为221t t +；| P 0M |=221t t +。
直线的参数方程及弦长公式
直线的参数方程及弦长公式直线是几何学中非常基础的概念，常用于描述两点之间的最短路径。
在数学中，直线可以通过参数方程来表示。
本文将介绍直线的参数方程以及计算直线上两点之间的弦长公式。
直线的参数方程直线的参数方程可以通过一个参数来表示。
一条直线可以平行于 x 轴、y 轴或者斜率不为零，这里我们以斜率不为零的情况进行讨论。
对于一条斜率不为零的直线，我们可以通过两个参数 x 和 y 来表示，其中 x 是直线上的任一点横坐标，y 是对应的纵坐标。
假设直线上已知一点坐标为(x₁, y₁)，斜率为 k。
我们通过以下步骤可以求得直线的参数方程：1.利用斜率公式k = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)，选择另外一个已知点坐标(x₂,y₂)。
2.将斜率公式变形得到 y = k * (x - x₁) + y₁，即为直线的参数方程。
在参数方程中，x 是一个自变量，y 是一个关于 x 的函数。
弦长公式弦长是指直线上两点之间的距离，可以通过两点的坐标来计算。
对于直线的参数方程，我们可以通过给定的参数值来计算两点的坐标，从而得到弦长。
假设我们有直线的参数方程为：x = f(t)，y = g(t)。
我们可以进行如下步骤计算弦长：1.选择两个参数值t₁ 和t₂。
2.根据参数方程计算得到两点坐标为(x₁, y₁) 和(x₂, y₂)。
3.计算两点之间的距离d = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²)。
根据上述步骤，我们可以得到直线上任意两点之间的弦长。
通过本文，我们了解了直线的参数方程以及求解直线上两点之间弦长的公式。
直线的参数方程可以通过选择斜率不为零的点以及斜率，通过参数方程，我们可以方便地描述直线上的任意一点。
而弦长公式则可以用于计算直线上任意两点之间的距离，提供了一个有效的方法进行数学计算和几何分析。
需要注意的是，本文的讨论主要针对斜率不为零的直线情况，对于平行于 x 轴和 y 轴的直线，可以使用不同的参数方程来表示。
直线的参数方程
直线的参数方程1．直线的参数方程经过点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos αy ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．2．直线的参数方程中参数t 的几何意义(1)参数t 的绝对值表示参数t 所对应的点M 到定点M 0的距离．(2)当M 0M →与e (直线的单位方向向量)同向时，t 取正数．当M 0M →与e 反向时，t 取负数，当M 与M 0重合时，t ＝0．3．直线参数方程的其他形式对于同一条直线的普通方程，选取的参数不同，会得到不同的参数方程．我们把过点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线，选取参数t ＝M 0M 得到的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos αy ＝y 0＋t sin α(t 为参数)称为直线参数方程的标准形式，此时的参数t 有明确的几何意义．一般地，过点M 0(x 0，y 0)，斜率k ＝ba (a ，b 为常数)的直线，参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋at y ＝y 0＋bt (t为参数)，称为直线参数方程的一般形式，此时的参数t 不具有标准式中参数的几何意义．1．已知直线l 的方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－t sin 25°，y ＝2＋t cos 25°(t 为参数)，则直线l 的倾斜角为( )A ．65°B ．25°C ．155°D ．115°解析：选D.方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－t sin 25°，y ＝2＋t cos 25°(t 为参数)，化为标准形式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos 115°，y ＝2＋t sin 115°(t为参数)，倾斜角为115°.故选D.2．已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－22t ，y ＝2＋22t (t 为参数)，则直线l 的斜率为( )A ．1B ．－1 C.22D ．－22解析：选B.直线l 的普通方程为x ＋y －1＝0，斜率为－1.故选B.3．以t 为参数的方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－12t ，y ＝－2＋32t表示( )A ．过点(1，－2)且倾斜角为π3的直线B ．过点(－1，2)且倾斜角为π3的直线C ．过点(1，－2)且倾斜角为2π3的直线D ．过点(－1，2)且倾斜角为2π3的直线解析：选C.化参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－12t ，y ＝－2＋32t (t 为参数)为普通方程得y ＋2＝－3(x －1)．直线过定点(1，－2)，斜率为－3，倾斜角为2π3，故选C.4．过抛物线y 2＝4x 的焦点F 作倾斜角为π3的弦AB ，则弦AB 的长是________．解析：由已知焦点F (1，0)，又倾斜角为π3，cos π3＝12，sin π3＝32.所以弦AB 所在直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝32t (t 为参数)，代入抛物线的方程y 2＝4x ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫32t 2＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12t .整理得3t 2－8t －16＝0.设方程两根分别为t 1，t 2，则有⎩⎪⎨⎪⎧t 1＋t 2＝83，t 1·t 2＝－163.由参数t 的几何意义得|AB |＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫832＋643＝163.答案：163根据直线的参数方程求直线的倾斜角、斜率已知直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t sin αy ＝－2＋t cos α，(t 为参数)，其中实数α的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π.求直线l 的倾斜角． [解] 设直线l 的倾斜角为θ，则由题意知tan θ＝cos αsin α＝1tan α＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α，所以θ＝3π2－α.所以直线l 的倾斜角为3π2－α.由直线的参数方程求倾斜角与斜率的方法已知直线l 的参数方程(1)若是标准式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos αy ＝y 0＋t sin α(t 为参数)，则可直接得出倾斜角即方程中的α，否则需化成标准式再求α.(2)若是一般式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋at y ＝y 0＋bt ，则当a ≠0时，斜率k ＝b a ，再由tan α＝ba 及0≤α<π求出α，当a ＝0时，显然直线与x 轴垂直，倾斜角为α＝π2. (3)若是其他形式，则通过消参化成普通方程，再求斜率及倾斜角．1.若直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋12t y ＝3－32t，(t为参数)，则此直线的斜率为( )A. 3 B ．－ 3 C ．33D ．－33解析：选B.直线的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋12t y ＝3－32t，(t为参数)可化为标准形式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12(－t )y ＝3＋32(－t )，(－t 为参数)． 所以直线的斜率为－ 3.2．若直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－3ty ＝1＋t ，(t 为参数)，求直线的斜率．解：法一：把直线的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－3ty ＝1＋t ，消去参数t 得x ＋3y －5＝0， 所以其斜率k ＝－13.法二：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－3t y ＝1＋t ，得⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝－3ty －1＝t ，所以k ＝y －1x －2＝t －3t ＝－13. 直线参数方程中参数几何意义的应用已知过点M (2，－1)的直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－t2，y ＝－1＋t2(t 为参数)，与圆x 2＋y 2＝4交于A ，B 两点，求|AB |及|AM |·|BM |.[解] l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－22⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2，y ＝－1＋22⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2(t 为参数)．令t ′＝t2，则有⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－22t ′，y ＝－1＋22t ′(t ′为参数)．其中t ′是点M (2，－1)到直线l 上的一点P (x ，y )的有向线段的数量，代入圆的方程x 2＋y 2＝4，化简得t ′2－32t ′＋1＝0.因为Δ>0，可设t 1′，t 2′是方程的两根，由根与系数的关系得t 1′＋t 2′＝32，t 1′t 2′＝1.由参数t ′的几何意义得|MA |＝|t 1′|，|MB |＝|t 2′|，所以|MA |·|MB |＝|t 1′·t 2′|＝1，|AB |＝|t 1′－t 2′|＝(t 1′＋t 2′)2－4t 1′t 2′＝14.(1)在直线参数方程的标准形式下，直线上两点之间的距离可用|t 1－t 2|来求．本题易错的地方是：将题目所给参数方程直接代入圆的方程求解，忽视了参数t 的几何意义．(2)根据直线的参数方程的标准式中t 的几何意义，有如下常用结论： ①直线与圆锥曲线相交，交点对应的参数分别为t 1，t 2，则弦长l ＝|t 1－t 2|； ②定点M 0是弦M 1M 2的中点⇒t 1＋t 2＝0；③设弦M 1M 2中点为M ，则点M 对应的参数值t M ＝t 1＋t 22(由此可求|M 1M 2|及中点坐标).在极坐标系中，已知圆心C ⎝⎛⎭⎪⎫3，π6，半径r ＝1.(1)求圆的直角坐标方程；(2)若直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋32t ，y ＝12t(t 为参数)与圆交于A ，B 两点，求弦AB 的长．解：(1)由已知得圆心C ⎝ ⎛⎭⎪⎫332，32，半径为1，圆的方程为⎝⎛⎭⎪⎫x －3322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝1，即x 2＋y 2－33x －3y ＋8＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋32t ，y ＝12t (t 为参数)得直线的直角坐标方程x －3y ＋1＝0，圆心到直线的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪332－332＋12＝12，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫|AB |22＋d 2＝1，解得|AB |＝ 3. 直线参数方程的综合应用已知直线l 过定点P (3，2)且与x 轴和y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，求|PA |·|PB |的值为最小时的直线l 的方程．[解] 设直线的倾斜角为α，则它的方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋t cos α，y ＝2＋t sin α(t 为参数)．由A ，B 是坐标轴上的点知y A ＝0，x B ＝0，所以0＝2＋t sin α， 即|PA |＝|t |＝2sin α，0＝3＋t cos α，即|PB |＝|t |＝－3cos α，故|PA |·|PB |＝2sin α·⎝ ⎛⎭⎪⎫－3cos α＝－12sin 2α. 因为90°<α<180°，所以当2α＝270°，即α＝135°时， |PA |·|PB |有最小值．所以直线方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3－22t ，y ＝2＋22t (t 为参数)，化为普通方程为x ＋y －5＝0.利用直线的参数方程，可以求一些距离问题，特别是求直线上某一定点与曲线交点距离时使用参数的几何意义更为方便．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3－22t ，y ＝5＋22t (t 为参数)．在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，圆C 的方程为ρ＝25sin θ.(1)求圆C 的直角坐标方程；(2)设圆C 与直线l 交于点A ，B .若点P 的坐标为(3，5)，求|PA |＋|PB |. 解：(1)由ρ＝25sin θ，得ρ2＝25ρsin θ. 所以x 2＋y 2－25y ＝0，即x 2＋(y －5)2＝5. (2)法一：直线l 的普通方程为y ＝－x ＋3＋5，与圆C ：x 2＋(y －5)2＝5联立，消去y ，得x 2－3x ＋2＝0，解之得⎩⎨⎧x ＝1y ＝2＋5或⎩⎨⎧x ＝2，y ＝1＋ 5.不妨设A (1，2＋5)，B (2，1＋5)． 又点P 的坐标为(3，5)， 故|PA |＋|PB |＝8＋2＝3 2.法二：将l 的参数方程代入x 2＋(y －5)2＝5，得⎝⎛⎭⎪⎫3－22t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22t 2＝5，即t 2－32t ＋4＝0，① 由于Δ＝(32)2－4×4＝2>0. 故可设t 1，t 2是①式的两个实根． 所以t 1＋t 2＝32，且t 1t 2＝4. 所以t 1>0，t 2>0.又直线l 过点P (3，5)，所以由t 的几何意义，得|PA |＋|PB |＝|t 1|＋|t 2|＝3 2.1．对直线参数方程标准形式中参数t 的理解从参数方程推导的过程中可知参数t 应理解为直线l 上有向线段M 0M →的数量，它的几何意义可以与数轴上点A 的坐标的几何意义作类比，|t |＝|M 0M →|代表有向线段M 0M →的长度．另外，将直线的点斜式方程y －y 0＝k (x －x 0)改写成y －y 0sin α＝x －x 0cos α，其中k ＝tan α，α为直线倾斜角，则t ＝y －y 0sin α＝x －x 0cos α，则有⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos αy ＝y 0＋t sin α，从中不难看出直线的普通方程(点斜式)与参数方程(标准式)的联系．2．化直线的参数方程一般式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋at y ＝y 0＋bt (t 为参数)为标准式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos αy ＝y 0＋t sin α(t 为参数)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋aty ＝y 0＋bt 变形为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋a a 2＋b 2·a 2＋b 2ty ＝y 0＋b a 2＋b2·a 2＋b 2t，令cos α＝aa 2＋b2，sin α＝b a 2＋b2，t ′＝a 2＋b 2 t ，则可得标准式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t ′cos αy ＝y 0＋t ′sin α(t ′为参数)，其中α为直线的倾斜角，k ＝tan α＝ba 为直线的斜率．1．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos αy ＝－2＋t sin α，(α为参数，0≤α<π)必过点( )A ．(1，－2)B ．(－1，2)C ．(－2，1)D ．(2，－1)解析：选A.由参数方程可知该直线是过定点(1，－2)，倾斜角为α的直线．2．已知直线l 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋3ty ＝2－4t ，(t 为参数)与直线l 2：2x －4y ＝5相交于点B ，且点A (1，2)，则|AB |＝________．解析：将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋3t y ＝2－4t，代入2x －4y ＝5，得t ＝12，则B ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，0.而A (1，2)，得|AB |＝52.答案：523．已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋4ty ＝3t ，(t 为参数)，则直线l与曲线C 相交所截得的弦长为________．解析：曲线C 的直角坐标方程为x2＋y 2＝1，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋4ty ＝3t ，代入x 2＋y 2＝1中得25t 2－8t ＝0，解得t 1＝0，t 2＝825.故直线l 与曲线C 相交所截得的弦长l ＝42＋32·|t 2－t 1|＝5×825＝85. 答案：85[A 基础达标]1．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋3ty ＝－1＋t ，(t 为参数)上对应t ＝0，t ＝1两点间的距离是( )A ．1B ．10C ．10D ．2 2解析：选B.将t ＝0，t ＝1代入参数方程可得两点坐标为(2，－1)和(5，0)， 所以d ＝(2－5)2＋(－1－0)2＝10.2．若⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0－3λ，y ＝y 0＋4λ(λ为参数)与⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)表示同一条直线，则λ与t 的关系是( )A ．λ＝5tB ．λ＝－5tC ．t ＝5λD ．t ＝－5λ解析：选C.由x －x 0，得－3λ＝t cos α，由y －y 0，得4λ＝t sin α，消去α的三角函数，得25λ2＝t 2，得t ＝±5λ，借助于直线的斜率，可排除t ＝－5λ，所以t ＝5λ.3．经过点M (1，5)且倾斜角为π3的直线，以定点M 到动点P 的位移t 为参数的参数方程是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝5－32t(t 为参数)B ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－12t ，y ＝5＋32t (t 为参数)C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－12t ，y ＝5－32t(t 为参数)D ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝5＋32t(t 为参数)解析：选D.该直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos π3，y ＝5＋t sin π3(t 为参数)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝5＋32t(t 为参数)，选D.4．若直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2t ，y ＝－12＋at (t 为参数)与直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－s ，y ＝1＋s (s 为参数)互相垂直，那么a 的值等于( )A ．1B ．－13C ．－23D ．－2解析：选D.直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2t ，y ＝－12＋at (t 为参数)的斜率为y ＋12x ＝－a2，直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－s ，y ＝1＋s (s 为参数)的斜率为y －1x －1＝－1，由两直线垂直得－a2×(－1)＝－1得a ＝－2.故选D. 5．对于参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－t cos 30°y ＝2＋t sin 30°和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos 30°y ＝2－t sin 30°，下列结论正确的是( )A ．是倾斜角为30°的两平行直线B ．是倾斜角为150°的两重合直线C ．是两条垂直相交于点(1，2)的直线D ．是两条不垂直相交于点(1，2)的直线 解析：选B.因为参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－t cos 30°，y ＝2＋t sin 30°可化为标准形式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos 150°，y ＝2＋t sin 150°，所以其倾斜角为150°.同理，参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos 30°，y ＝2－t sin 30°，可化为标准形式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋(－t )cos 150°，y ＝2＋(－t )sin 150°，所以其倾斜角也为150°.又因为两直线都过点(1，2)，故两直线重合．6．若直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－2ty ＝2＋3t ，(t 为参数)与直线4x ＋ky ＝1垂直，则常数k ＝________．解析：由直线的参数方程可得直线的斜率为－32，由题意得直线4x ＋ky ＝1的斜率为－4k ，故－32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k ＝－1，解得k ＝－6.答案：－67．已知直线l 的斜率k ＝－1，经过点M 0(2，－1)．点M 在直线上，以M 0M →的数量t 为参数，则直线l 的参数方程为____________．解析：因为直线的斜率为－1， 所以直线的倾斜角α＝135°. 所以cos α＝－22，sin α＝22. 所以直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－22t y ＝－1＋22t ，(t 为参数)．答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－22t y ＝－1＋22t ，(t 为参数)8．已知直线l的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋t ，y ＝1＋t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2cos 2θ＝4⎝⎛⎭⎪⎫ρ>0，3π4<θ<5π4，则直线l 与曲线C 的交点的极坐标为________．解析：直线l 的普通方程为y ＝x ＋2，曲线C 的直角坐标方程为x 2－y 2＝4(x ≤－2)，故直线l 与曲线C 的交点为(－2，0)，对应极坐标为(2，π)．答案：(2，π)9．已知曲线C ：ρ＝2cos θ，直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－t ，y ＝32＋34t ，(t 为参数)．(1)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；(2)过曲线C 上任一点P 作与l 夹角为45°的直线，交l 于点A ，求|PA |的最大值与最小值．解：(1)曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos α，y ＝sin α，(α是参数)．直线l 的普通方程为3x ＋4y －12＝0.(2)曲线C 上任意一点P (1＋cos α，sin α)到l 的距离为d ＝15|3cos α＋4sin α－9|，则|PA |＝d sin 45°＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin(α＋φ)－95，且tan φ＝34. 当sin(α＋φ)＝－1时，|PA |取得最大值1425； 当sin(α＋φ)＝1时，|PA |取得最小值425. 10．(2016·高考全国卷甲)在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x ＋6)2＋y 2＝25.(1)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；(2)直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝10，求l 的斜率．解：(1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ可得圆C 的极坐标方程为ρ2＋12ρcos θ＋11＝0.(2)在(1)中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R)．设A ，B 所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得ρ2＋12ρcos α＋11＝0.于是ρ1＋ρ2＝－12cos α，ρ1ρ2＝11.|AB |＝|ρ1－ρ2|＝(ρ1＋ρ2)2－4ρ1ρ2＝144cos 2α－44. 由|AB |＝10得cos 2α＝38，tan α＝±153. 所以l 的斜率为153或－153. [B 能力提升]11．在平面直角坐标系xOy 中，若直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t －a (t 为参数)过椭圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)的右顶点，则常数a 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 解析：选C.直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t －a 消去参数t 后得y ＝x －a .椭圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ，y ＝2sin φ消去参数φ后得x 29＋y 24＝1. 又椭圆C 的右顶点为(3，0)，代入y ＝x －a 得a ＝3.12．给出两条直线l 1和l 2，斜率存在且不为0，如果满足斜率互为相反数，且在y 轴上的截距相等，那么直线l 1和l 2叫做“孪生直线”．现在给出4条直线的参数方程如下：l 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2t ，y ＝－4－2t (t 为参数)； l 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3－22t ，y ＝4－22t (t 为参数)； l 3：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t ，y ＝1－t (t 为参数)； l 4：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6＋22t ，y ＝8＋22t (t 为参数)． 其中能构成“孪生直线”的是________．解析：根据条件，两条直线构成“孪生直线”意味着它们的斜率存在且不为0，且互为相反数，且在y 轴上的截距相等，也就是在y 轴上交于同一点．对于本题，首先可以判断出其斜率分别为－1，1，－1，1，斜率互为相反数条件很明显．再判断在y 轴上的截距，令x ＝0得出相应的t 值，代入y 可得只有直线l 3和直线l 4在y 轴上的截距相等，而其斜率又恰好互为相反数，可以构成“孪生直线”．答案：直线l 3和直线l 413．在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C ：ρsin 2θ＝2a cos θ(a >0)，过点P (－2，－4)的直线l 的参数方程为：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋22t y ＝－4＋22t ，(t 为参数)，直线l 与曲线C 分别交于M ，N 两点．(1)写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；(2)若|PM |，|MN |，|PN |成等比数列，求a 的值．解：(1)曲线的极坐标方程变为ρ2sin 2θ＝2aρcos θ，化为直角坐标方程为y 2＝2ax ；直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋22t y ＝－4＋22t ，(t 为参数)化为普通方程为y ＝x －2. (2)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋22t y ＝－4＋22t ，代入y 2＝2ax 得 t 2－22(4＋a )t ＋8(4＋a )＝0.则有t 1＋t 2＝22(4＋a )，t 1t 2＝8(4＋a )，因为|MN |2＝|PM |·|PN |，所以(t 1－t 2)2＝t 1·t 2，即(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝t 1t 2，(t 1＋t 2)2－5t 1t 2＝0，故8(4＋a )2－40(4＋a )＝0，解得a ＝1或a ＝－4(舍去)．故所求a 的值为1.14．(选做题)以直角坐标系原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12＋t cos αy ＝t sin α，(t 为参数，0<α<π)，曲线C的极坐标方程ρ＝2cos θsin 2θ. (1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，当α变化时，求|AB |的最小值．解：(1)由ρ＝2cos θsin 2θ得ρ2sin 2θ＝2ρcos θ，所以曲线C 的直角坐标方程为y 2＝2x .(2)将直线l 的参数方程代入y 2＝2x ，得t 2sin 2α－2t cos α－1＝0，设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝2cos αsin 2α，t 1·t 2＝－1sin 2α， 所以|AB |＝|t 1－t 2| ＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2 ＝4cos 2αsin 4α＋4sin 2α＝2sin 2α， 当α＝π2时，|AB |取得最小值2.。
直线和圆的参数方程重要知识
1．直线的参数方程
(1)过点 M0(x0，y0)，倾斜角为 α 的直线 l 的参数方程为
x＝x0＋tcos α y＝y0＋t sin α
(t 为参数)
.
重点辅导
1
2 参数的几何意义 直线的参数方程中参数 t 的几何意义是：
直线上动点Ｍ到定点M0(x0，y0)的距离就是参数t的绝对值
M• 450 P x
O
的坐标为x, y,根据条件知
台风中心M移动形成的直线
图2 15
l 的方程为
x 300 40t cos1350 ,
y 40t sin1350 ,
t 为参数,t 0
x 300 20 2t ,
即 y 20 2t ,
t 为参数,t 0
重点辅导
18
当点M 300 20 2t,20 2t 在圆O内或在圆O上时,有
t为参数
②
思考 由M 0M te,你能得到直线l的参数 方 程②中 参 数t 的 几 何 意 义 吗?
重点辅导
4
因为e cos,sin ,所以| e | 1.由 M0M
te,得到| M0M || t | .所以,直线上的动点M 到定点M0的距离,等于② 中参数t 的绝对值.
当 0 时,sin 0,所以,直线l的单位
(2)设l与圆 x 2 y2 ＝4相交于两点A，B，求点P
到A，B两点的距离之积．
解：(1)直线的参数方程是
x＝1＋
3 2t
y＝1＋12t
(t 是参数)．
重点辅导
7
(2)因为点 A，B 都在直线 l 上，所以可设它们对应的参数为 t1 和 t2，则点 A，B 的坐标分别为 A1＋ 23t1，1＋12t1，B1＋ 23t2，1＋21t2. 以直线 l 的参数方程代入圆的方程 x2＋y2＝4， 整理得到 t2＋( 3＋1)t－2＝0.① 因为 t1 和 t2 是方程①的解，从而 t1t2＝－2. 所以|PA|·|PB|＝|t1t2|＝|－2|＝2.
直线直角坐标系化为参数方程
直线直角坐标系化为参数方程直线是几何学中的基本概念之一，描述了两点之间最短路径的轨迹。
在直角坐标系中，我们通常用直线的斜率和截距来表示直线的方程。
然而，有时使用参数方程来描述直线更加方便和直观。
本文将介绍如何将直线从直角坐标系化为参数方程的形式。
直线的参数方程表示直线的参数方程表示形式为：x = x0 + a * ty = y0 + b * t其中(x, y)是直线上的任意一点，(x0, y0)是直线上的一个已知点，(a, b)是表示直线方向的向量，t是参数。
从直角坐标系到参数方程的转化要将直线从直角坐标系转化为参数方程的形式，首先需要找到直线上的一个已知点，以及表示直线方向的向量。
假设我们已经得到直线的斜率k，以及直线上的一点(x1, y1)。
根据直线的斜率性质，可以得到直线的方向向量为(1, k)。
然后，我们可以在参数方程中设置x0 = x1和y0 = y1，进一步得到直线的参数方程形式。
例如，考虑直线y = 2x + 3，其中已知点为(1, 5)。
根据上述步骤，我们可以得到直线的参数方程为：x = 1 + ty = 5 + 2t从参数方程到直角坐标系的转化与从直角坐标系到参数方程的转化相反，要将直线从参数方程转化为直角坐标系的形式，需要已知直线上的一个点和表示直线方向的向量。
给定直线的参数方程为x = x0 + a * t和y = y0 + b * t，我们可以设置t= 0，并将x和y的值代入参数方程中，得到直线上的一个点(x0, y0)。
然后找到直线的斜率k，从而得到直线的直角坐标系表示。
例如，考虑参数方程x = 2 + t和y = 1 - 2t。
将t = 0代入参数方程中，我们得到直线上的一个点为(2, 1)。
然后计算直线的斜率k = (y - y0) / (x - x0) = (-2 - 1) / (1 - 2) = 3。
由此，我们可以得到直线的直角坐标系表示为y =3x - 5。
示例下面是一个具体的示例，展示了如何将直线y = 2x + 3从直角坐标系转化为参数方程形式。
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A.20
o
B.70oC.110源自oD.160o
??? 我们是否可以根据t的值来确定向量 M0M
我们知道e是直线l的单位方向向量，那 么它的方向应该是向上还是向下的？还
M0 M
的方向呢?
是有时向上有时向下呢？ 分析: 此时 , 若 t>0, 则 是直线的倾斜角， 当0< < 时,sin >0 0 M 的方向向上; M 又 sin 表示e的纵坐标， e 的纵坐标都大于 0 若 t<0, 则 那么e的终点就会都在第一，二象限， e的方向 ; M0 M的点方向向下 若t=0,则M与点 就总会向上。 M0重合.
分析: 1.用普通方程去解还 是用参数方程去解; 2.分别如何解. 3.点M是否在直线上 A
y
M(-1,2)
O
B
x
例 例 11.已知直线l : x y 1 0与抛物线y x 交于 A,B两点，求线段AB的长度和点M(-1,2)到A,B
2
两点的距离之积。
解:因为把点M的坐标代入直线方 程后,符合直线方程,所以点M A 在直线上. 3 易知直线的倾斜角为 4 所以直线的参数方程可以写成 3 x=-1+tcos 4 (t为参数） y 2 t sin 3 4
3 x=2+ t x 3t 2 5 ( t 为参数） ( t 为参数） y 4t 1 y 1 4 t 5
x t cos x 4 2cos 5.直线 (t为参数）与圆 y t sin a y 2sin (为参数）相切，则直线倾斜角 为( )
5 5 3 2 D. 或 A. 或 C. 或 B. 或 6 6 6 6 3 3 4 4
x 4 at 2 2 6.如直线 (t为参数）与曲线x y 4 x y bt 2 1 0相切，则这条直线的倾斜角等于 或
3 3
x t sin 20 3 1。直线 (t为参数）的倾斜角是 o y t cos 20
x x0 at (t为参数） y y0 bt
当a b 1时，t有明确的几何意义，它表示 M 0 M
2 2
此时我们可以认为a cos , b sin . 为倾斜角。 当a b 1时，t没有明确的几何意义。
2 2
）
t1 t2 A. 2
t1 t2 B. 2
|t1 t2 | C. 2
| t1 t2 | D. 2
小结:
1.直线参数方程
x x0 at (t为参数） |t|=|M0M| t 才具有此几何意义 y y0 bt 其它情况不能用。
3.注意向量工具的使用.
2.利用直线参数方程中参数t的几何意义, 简化求直线上两点间的距离 2 2.
要注意: y y0 tan ( x x0 ) 解: 直线的普通方程为 x0, y0 都是常 sin
把它变成y y0
求这条直线的方程.
求这条直线的方程. 解: 在直线上任取一点M(x,y),则 （x, y) ( x0 y0 ) ( x x0 , y y0 ) M 0M y 设 e是直线l的单位方向向量，则 M(x,y) e (cos ,sin ) 因为M 0 M // e, 所以存在实数t R, M0(x0,y0) 使M 0 M te,即 ( x x0 , y y0 ) t (cos ,sin ) e x x0 t cos , y y0 t sin 所以 即，x x0 t cos , y y0 t sin (cos ,sin ) 所以，该直线的参数方程为 O
所以,直线参数方程中 参数t的绝对值等于直 这就是t的几何 意义 ,要牢记M 的 线上动点 M到定点 0 距离. |t|=|M0M|
e
O
x
2 例 1 例1.已知直线l : x y 1 0与抛物线y x 交于
A,B两点，求线段AB的长度和点M(-1,2)到A,B 两点的距离之积。
x=x0 t cos 1.直线 (t为参数）上有参数分别 y y0 t sin a 为t1和t2对应的两点A和B,则A,B两点的距离为
A.t1 t2 B. t1 t2 C. t1 t2 D. t1 t2
练习
x a t cos 2。在参数方程 (t为参数）所表示 y b t sin 的曲线上有B,C两点，它们对应的参数值分别为 t2、t2 , 则线段BC的中点M对应的参数值是（
y
M(-1,2)
O
B
x
2 t x 1 2 即 (t为参数） A y 2 2 t 22 把它代入抛物线y=x 的方程,得
y
M(-1,2)
t 2t 2 0
2
O
B
x
由参数t的几何意义得
2 10 2 10 解得t1 ，t2 2 2
AB t1 t2 10
MA MB t1 t2 t1t2 2
探究
直线与曲线y f ( x)交于M 1 , M 2两点，对应的参数 分别为t1 , t2 . (1)曲线的弦M 1M 2的长是多少？ （2）线段M 1M 2的中点M 对应的参数t的值是多少？
(1) M 1M 2 t1 t2 t1 t2 (2)t 2
x x0 t cos （t为参数） y y0 t sin
问题：已知一条直线过点M 0(x0 ,y0 )，倾斜角，
x
思考
由M 0 M te, 你能得到直线l的参数方程中 参数t的几何意义吗？
y M M0
解: M 0 M te M 0 M te 又 e是单位向量， e 1 M 0M t e t
x=x0 t cos y y0 t sin
探究:直线的 参数方程形 (t是参数） 式是不是唯 一的
当a b 1时，
作业:p41第1题
预习:例2,例3.例4
1 x 1 t 2 3.一条直线的参数方程是 (t为参数）， y 5 3 t 2 另一条直线的方程是x-y-2 3 0, 则两直线的交点 与点（1，-5）间的距离是
直线的参数方程
请同学们回忆:
我们学过的直线的普通方程都有哪些? y kx b y y k ( x x ) 点斜式: 0 0
y y1 x x1 两点式: y2 y1 x2 x1
x y 1 a b
一般式: Ax By C 0
y2 y1 k x2 x1
tan
问题：已知一条直线过点M 0(x0 ,y0 )，倾斜角，
( x x0 ) 数,t才是参cos y y0 x x0 进一步整理，得： 数 sin cos y y0 x x0 t 令该比例式的比值为t ,即 sin cos x=x0 t cos 整理，得到 (t是参数） y y0 t sin
4 3
4。求直线l : 4 x y 4 0与l1：x 2 y 2 0及直线 l2： 4 x 3 y 12 0所得两交点间的距离。
9 17 14
5.动点M作匀速直线运动,它在x轴和y轴方向的 分速度分别是3m/s和4m/s,直角坐标系的长 度单位是1cm,点M的起始位置在点M0(2,1)处, 求点M的轨迹的参数方程.
辨析: 例:动点M作等速直线运动,它在x轴和y轴方向分 速度分别为9,12,运动开始时,点M位于A(1,1), 求点M的轨迹的参数方程. 解: 请思考:此时的t x 1 9 t 有没有明确的几 (t为参数） 何意义? y 1 12t
没有
重要结论:
直线的参数方程可以写成这样的形式: