直线的参数方程

x=x0 t cos y y0 t sin
探究:直线的 参数方程形 (t是参数） 式是不是唯 一的
当a b 1时，
作业:p41第1题
预习:例2,例3.例4
1 x 1 t 2 3.一条直线的参数方程是 (t为参数）， y 5 3 t 2 另一条直线的方程是x-y-2 3 0, 则两直线的交点 与点（1，-5）间的距离是
x x0 t cos （t为参数） y y0 t sin
问题：已知一条直线过点M 0(x0 ,y0 )，倾斜角，
x
思考
由M 0 M te, 你能得到直线l的参数方程中 参数t的几何意义吗？
y M M0
解: M 0 M te M 0 M te 又 e是单位向量， e 1 M 0M t e t
3 x=2+ t x 3t 2 5 ( t 为参数） ( t 为参数） y 4t 1 y 1 4 t 5
x t cos x 4 2cos 5.直线 (t为参数）与圆 y t sin a y 2sin (为参数）相切，则直线倾斜角 为( )
tan
问题：已知一条直线过点M 0(x0 ,y0 )，倾斜角，
( x x0 ) 数,t才是参cos y y0 x x0 进一步整理，得： 数 sin cos y y0 x x0 t 令该比例式的比值为t ,即 sin cos x=x0 t cos 整理，得到 (t是参数） y y0 t sin
所以,直线参数方程中 参数t的绝对值等于直 这就是t的几何 意义 ,要牢记M 的 线上动点 M到定点 0 距离. |t|=|M0M|
e
O
x
2 例 1 例1.已知直线l : x y 1 0与抛物线y x 交于
A,B两点，求线段AB的长度和点M(-1,2)到A,B 两点的距离之积。
辨析: 例:动点M作等速直线运动,它在x轴和y轴方向分 速度分别为9,12,运动开始时,点M位于A(1,1), 求点M的轨迹的参数方程. 解: 请思考:此时的t x 1 9 t 有没有明确的几 (t为参数） 何意义? y 1 12t
没有
重要结论:
直线的参数方程可以写成这样的形式:
分析: 1.用普通方程去解还 是用参数方程去解; 2.分别如何解. 3.点M是否在直线上 A
y
M(-1,2)
O
B
x
例 例 11.已知直线l : x y 1 0与抛物线y x 交于 A,B两点，求线段AB的长度和点M(-1,2)到A,B
2
两点的距离之积。
解:因为把点M的坐标代入直线方 程后,符合直线方程,所以点M A 在直线上. 3 易知直线的倾斜角为 4 所以直线的参数方程可以写成 3 x=-1+tcos 4 (t为参数） y 2 t sin 3 4
x=x0 t cos 1.直线 (t为参数）上有参数分别 y y0 t sin a 为t1和t2对应的两点A和B,则A,B两点的距离为
A.t1 t2 B. t1 t2 C. t1 t2 D. t1 t2
练习
x a t cos 2。在参数方程 (t为参数）所表示 y b t sin 的曲线上有B,C两点，它们对应的参数值分别为 t2、t2 , 则线段BC的中点M对应的参数值是（
5 5 3 2 D. 或 A. 或 C. 或 B. 或 6 6 6 6 3 3 4 4

x 4 at 2 2 6.如直线 (t为参数）与曲线x y 4 x y bt 2 1 0相切，则这条直线的倾斜角等于 或
3 3
x t sin 20 3 1。直线 (t为参数）的倾斜角是 o y t cos 20
AB t1 t2 10
MA MB t1 t2 t1t2 2
探究
直线与曲线y f ( x)交于M 1 , M 2两点，对应的参数 分别为t1 , t2 . (1)曲线的弦M 1M 2的长是多少？ （2）线段M 1M 2的中点M 对应的参数t的值是多少？
(1) M 1M 2 t1 t2 t1 t2 (2)t 2
4 3
4。求直线l : 4 x y 4 0与l1：x 2 y 2 0及直线 l2： 4 x 3 y 12 0所得两交点间的距离。
9 17 14
5.动点M作匀速直线运动,它在x轴和y轴方向的 分速度分别是3m/s和4m/s,直角坐标系的长 度单位是1cm,点M的起始位置在点M0(2,1)处, 求点M的轨迹的参数方程.
）
t1 t2 A. 2
t1 t2 B. 2
|t1 t2 | C. 2
| t1 t2 | D. 2
小结:
1.直线参数方程
x x0 at (t为参数） |t|=|M0M| t 才具有此几何意义 y y0 bt 其它情况不能用。
3.注意向量工具的使用.
2.利用直线参数方程中参数t的几何意义, 简化求直线上两点间的距离 2 2.
直线的参数方程
请同学们回忆:
我们学过的直线的普通方程都有哪些? y kx b y y k ( x x ) 点斜式: 0 0
y y1 x x1 两点式: y2 y1 x2 x1
x y 1 a b
一般式: Ax By C 0
y2 y1 k x2 x1
x x0 at (t为参数） y y0 bt
当a b 1时，t有明确的几何意义，它表示 M 0 M
2 2
此时我们可以认为a cos , b sin . 为倾斜角。 当a b 1时，t没有明确的几何意义。
2 2
要注意: y y0 tan ( x x0 ) 解: 直线的普通方程为 x0, y0 都是常 sin
把它变成y y0
求这条直线的方程.
求这条直线的方程. 解: 在直线上任取一点M(x,y),则 （x, y) ( x0 y0 ) ( x x0 , y y0 ) M 0M y 设 e是直线l的单位方向向量，则 M(x,y) e (cos ,sin ) 因为M 0 M // e, 所以存在实数t R, M0(x0,y0) 使M 0 M te,即 ( x x0 , y y0 ) t (cos ,sin ) e x x0 t cos , y y0 t sin 所以 即，x x0 t cos , y y0 t sin (cos ,sin ) 所以，该直线的参数方程为 O
y
M(-1,2)
O
B
x
2 t x 1 2 即 (t为参数） A y 2 2 t 22 把它代入抛物线y=x 的方程,得
y
M(-1,2)
t 2t 2 0
2
O
B
x
由参数t的几何意义得
2 10 2 10 解得t1 ，t2 2 2
o
A.20
o
B.70
o
C.110
o
D.160
o
??? 我们是否可以根据t的值来ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ定向量 M0M
我们知道e是直线l的单位方向向量，那 么它的方向应该是向上还是向下的？还
M0 M
的方向呢?
是有时向上有时向下呢？ 分析: 此时 , 若 t>0, 则 是直线的倾斜角， 当0< < 时,sin >0 0 M 的方向向上; M 又 sin 表示e的纵坐标， e 的纵坐标都大于 0 若 t<0, 则 那么e的终点就会都在第一，二象限， e的方向 ; M0 M的点方向向下 若t=0,则M与点 就总会向上。 M0重合.