140909 板壳力学2
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4
第六章
薄板的稳定问题
薄板的压曲
§6-2 薄板的压曲
薄板在边界上受有纵向荷载时： 平面平衡状态的性态：稳定的和不稳定的。 稳定的平面平衡状态：薄板受横向干扰力而弯
曲，当干扰力除去后薄板恢复平面平衡状态。
不稳定的平面平衡状态：当纵向荷载超过某一
临界值，薄板受横向干扰力而弯曲，当干扰力除去 后薄板无法恢复平面平衡状态。
第五节
用能量法求临界荷载
功能方程
形变势能的增加为薄板的全部弯曲形变势能。 功能方程：形变势能的增加等于纵向荷载所做的功。
V W 0
其中弯曲形变势能：
D 2 V w 2
（6-12）
2
2 w 2 w 2 w 2 21 2 dxdy 2 x y xy
例题
由此得：
F ( x) C1J n ( x) C2 Nn ( x) C3 xn C4 xn
压曲微分方程的解可表示为：
w C1J n ( x) C2 Nn ( x) C3 xn C4 xn cosn （6-10）
由薄板中心扰度条件和边界条件确定待定系 数 C1 ~ C4 。
第一节
第二节 第三节 第四节 第五节 第六节
薄板受纵横荷载的共同作用
薄板的压曲 四边简支的矩形薄板在均布压力下的压曲 圆形薄板的压曲 用能量法求临界载荷 用能量法求临界载荷举例
第六章
薄板的稳定问题
§6-1 薄板受纵横荷载的共同作用
当薄板仅受横向荷载作用时,按薄板小挠度
弯曲理论求解。
当薄板仅受纵向荷载作用时,按平面应力问 题求解。
1 2n 2 1 F dF( ) 4n 2 n 4 n 2 F ( 3 ) ( 2 )F ( ) 0 4 D d D
注：引入量纲一的变量
x ，其中 F / D
第四节
圆形薄板的压曲
例题
整理后得：
2 2 d2 d d F dF 2 2 2 2 3x (4 n ) x x (x n )F 0 x 2 2 dx dx dx dx
FTyx FTxy
由x和y方向的投影平衡,有:
FTx FTyx 0, x y FTy y FTxy x 0
(6-1)
第一节
薄板受纵横荷载的共同作用
平衡微分方程
由z方向的投影平衡:
计入横向剪力、中面拉压力、中面平错力的 影响（略去三阶微量），有：
2 2 2 w w w D 4 w ( FTx 2 2FTxy FTy 2 ) q x xy y
第二节
薄板的压曲
薄板的压曲
薄板在纵向荷载作用下处于弯曲的平衡状态， 称纵弯曲或压曲，也称为屈曲。 当纵向荷载达到临界值后,荷载的稍许增加将 引起位移和内力的急剧增大,甚至导致薄板的破坏。 薄板的小挠度弯曲理论也不再适用。 确定薄板的临界荷载为薄板稳定问题的主要 分析内容。
第二节
薄板的压曲
薄板的压曲
w C1J n ( x) C3 xn cosn
（6-11）
结论：利用板边的两个边界条件，由（6-11）得出 关于的一组两个齐次线性方程。命该方程组的系数行列
式等于零，即为计算临界荷载的方程。
第四节
圆形薄板的压曲
求解过程
说明：当圆形薄板在中心有圆孔，并在板边
和孔边同时均布压力时，其求解过程为：
第三节
四边简支的矩形薄板
算例分析
若四边简支矩形薄板在双向受有均布压力：
设：FTx Fx , FTy Fx , FTxy 0
由压曲微分方程有：
2 a2 2 ) 4 D b2 求得：Fx 2 x 2 a2 a 2 m n 2 b
2
w 2w D w F ( 2 2 ) 0 x y
第四节
圆形薄板的压曲
例题
在薄板中心处：
x 0 w
C2 C4 0
这样，压曲微分方程（6-9）的解为：
2w 2 1 1 2 2 w 1 w 1 w 1 2 w D( 2 ) w FT 2 2 FT ( ) FT ( ) 0 2 2 2 2
薄板的稳定问题
算例分析
§6-3 四边简支的矩形薄板 在均布压力下的压曲
设有四边简支的矩形薄板，它的一对边受有均 布压力，在板边的每单位长度上为 Fx ，试确定临
界荷载。
第三节
四边简支的矩形薄板
算例分析
中面内力有：
FTx Fx , FTy 0, FTxy 0
由压曲微分方程（6-3），得：
压曲微分方程的变换：
2w 2 1 1 2 2 w 1 w 1 w 1 2 w D( 2 2 2 ) w FT 2 2 FT ( ) FT ( 2 2 ) 0
(m 2 n 2
（6-8）
第三节
四边简支的矩形薄板
算例分析
对不同的比值 a / b及 Fy / Fx ，均可 由式（6-8）中取不同的m和n，求得临界荷 载 ( Fx )c 。 当
Fy
为拉力时， 取负值，式（6-8）
求临界荷载仍适用。
第六章
薄板的稳定问题
圆形薄板的压曲
§6-4 圆形薄板的压曲
2 D V＝ 2 w dxdy 2
（6-13） （6-14）
第五节
用能量法求临界荷载
能量法
纵向荷载所做的功：即为中面内力所做的功。 对图示薄板： 以
FTx dy
为例，分析其做功：
FTx dy
左右两边的内力
原来相距 dx ，当薄板弯曲后的距离为：
2 w D 4 w Fx 0 2 x
取挠度表达式为：
w Amn sin
m 1 n 1
mx ny sin a b
满足边界条件
第三节
四边简支的矩形薄板
算例分析
由压曲微分方程，得：
m2 n2 2 m2 mx ny Amn D( 2 2 ) Fx 2 2 sin sin 0 a b a a b m 1 n 1
针对圆形薄板，宜采用极坐标。可利用坐标变
换由直角坐标得到极坐标下的相关方程。
应力分量的变换：
x cos sin 2 sin cos
2 2
y sin 2 cos2 2 sin cos xy ( ) sin cos (cos2 sin 2 )
2 w 1 w 1 2 w 2 1 1 2 2 D( 2 2 2 ) w F 2 2 0 2
试取微分方程的解为：
w F ( ) cosn 其中： n 0， 1， 2， 。
要使系数
Amn
不全等为零，要求：
m2 n2 2 m2 D( 2 2 ) Fx 2 2 0 a b a
纵向荷载临界值需满足的压曲条件：
2 2 m n 2 a 2 D( 2 2 ) 2 a b Fx m2
（6-4）
第三节
四边简支的矩形薄板
算例分析
要求最小的临界荷载，要求 n 1 ，即在 y方向只有一个正弦半波。得：
( Fx )C k
2D
b
2
（6-5）
其中：
mb 1 k mb a a
2
（6-6）
第三节
四边简支的矩形薄板
算例分析
由此求得：
a / b 2 ( Fx ) c
D b
2
b2
a 2 ( ) （6-7） a b
2D
b2
a / b 2 ( Fx ) c (4.0 ~ 4.5)
由Lame 解答
求中面内力
2 1 1 2 2 D( 2 ) w 2 2 2w w 1 w 1 w 1 2 w FT 2 2 FT ( ) FT ( 2 2 ) 0
（6-9）
第四节
圆形薄板的压曲
例题
例题：设有圆形薄板，沿板边受有均布压力 F 的
作用，求临界荷载。 解：按平面应力问题进行分析。 得应力分量：
F
, 0
中面内力：
FT FT F , F T 0
第四节
圆形薄板的压曲
例题
由压曲微分方程（6-9），有：
第五节
用能量法求临界荷载
能量判据
若势能增加：表明该平面状态下的势能为极小， 对应于稳定平衡。 若势能减少：表明该平面状态下的势能为极大， 对应于不稳定平衡。 若势能保持不变：表明该平面状态下的平衡是稳 定平衡的极限，相应与这一极限状 态的纵向荷载则为临界荷载。
第五节
用能量法求临界荷载
能量判据
由能量法求临界荷载的依据： 薄板从平面状态进入邻近的弯曲状 态时，纵向荷载所做的功等于形变势能 的增加。
压曲微分方程（ 6 9）
利用Bessel函数求解
求得临界荷载
第六章
薄板的稳定问题
能量法
§6-5 用能量法求临界荷载
薄板处于平面平衡状态是否稳定的判别:
若薄板受有横向干扰力而进入某一弯曲状态, 在干扰力除去后,它是否恢复原来的平面状态。 薄板处于平面平衡状态是否稳定的能量判别: 当薄板平面状态进入弯曲状态时，势能的增 加还是减少。
第一节
薄板受纵横荷载的共同作用
平衡微分方程
当薄板受纵横荷载共同作用时,若纵向荷载很 小,中面内力也横小,可不计其对薄板弯曲的影响。 叠加原理成立。
当薄板受纵横荷载共同作用时, 若中面内力并 非很小,需考虑中面内力对薄板弯曲的影响。叠加 原理不成立。
第一节
薄板受纵横荷载的共同作用
平衡微分方程
考虑薄板任一 微分块的平衡。 由通过微分块中 心而平行于z轴的力 矩平衡，有:
来自百度文库已知Bessel微分方程
2 d F dF 2 2 2 x x ( x n )F 0 2 dx dx
其解为： F ( x) C1J n ( x) C2 Nn ( x)
其中J n ( x)和C2 Nn ( x)分别为实宗量n阶的 第一种和第二种Bessel函数
第四节
圆形薄板的压曲
临界荷载：使薄板可能发生压曲时纵向荷载 的最小值。 薄板压曲的微分方程：
2 2 2 w w w D 4 w ( FTx 2 2FTxy FTy 2 ) 0 x xy y
(6-3)
求临界荷载的问题：在满足边界条件下微分 方程的非零解，确定纵向荷载的最小值。
第六章
注：当 n 0 ，薄板的压曲形式是轴对称的。 当 n 1、2 ，薄板的环向围线分别具有一个及 两个波，其余类推。
第四节
圆形薄板的压曲
例题
由压曲微分方程得：
d 4 F ( ) 2 d 3 F ( ) 1 2n 2 F d 2 F ( ) ( 2 ) 4 2 d d3 D d
(6-2)
第一节
薄板受纵横荷载的共同作用
具体求解
具体求解：
求σ x、 y、 xy 按平面应力问题 求中面内力FTx、FTy、FTxy 求挠度w 由(6 - 2) 求弯曲内力M x、M y、M xy、FSx、FSy
2w 2w 2w D w ( FTx 2 2FTxy FTy 2 ) q x xy y
第四节
圆形薄板的压曲
压曲微分方程
中面内力的变换：
FTx FT cos2 FT sin 2 2 FT sin cos FTy FT sin 2 FT cos2 2 FT sin cos FTxy ( FT FT ) sin cos FT (cos2 sin 2 )
第六章
薄板的稳定问题
薄板的压曲
§6-2 薄板的压曲
薄板在边界上受有纵向荷载时： 平面平衡状态的性态：稳定的和不稳定的。 稳定的平面平衡状态：薄板受横向干扰力而弯
曲，当干扰力除去后薄板恢复平面平衡状态。
不稳定的平面平衡状态：当纵向荷载超过某一
临界值，薄板受横向干扰力而弯曲，当干扰力除去 后薄板无法恢复平面平衡状态。
第五节
用能量法求临界荷载
功能方程
形变势能的增加为薄板的全部弯曲形变势能。 功能方程：形变势能的增加等于纵向荷载所做的功。
V W 0
其中弯曲形变势能：
D 2 V w 2
（6-12）
2
2 w 2 w 2 w 2 21 2 dxdy 2 x y xy
例题
由此得：
F ( x) C1J n ( x) C2 Nn ( x) C3 xn C4 xn
压曲微分方程的解可表示为：
w C1J n ( x) C2 Nn ( x) C3 xn C4 xn cosn （6-10）
由薄板中心扰度条件和边界条件确定待定系 数 C1 ~ C4 。
第一节
第二节 第三节 第四节 第五节 第六节
薄板受纵横荷载的共同作用
薄板的压曲 四边简支的矩形薄板在均布压力下的压曲 圆形薄板的压曲 用能量法求临界载荷 用能量法求临界载荷举例
第六章
薄板的稳定问题
§6-1 薄板受纵横荷载的共同作用
当薄板仅受横向荷载作用时,按薄板小挠度
弯曲理论求解。
当薄板仅受纵向荷载作用时,按平面应力问 题求解。
1 2n 2 1 F dF( ) 4n 2 n 4 n 2 F ( 3 ) ( 2 )F ( ) 0 4 D d D
注：引入量纲一的变量
x ，其中 F / D
第四节
圆形薄板的压曲
例题
整理后得：
2 2 d2 d d F dF 2 2 2 2 3x (4 n ) x x (x n )F 0 x 2 2 dx dx dx dx
FTyx FTxy
由x和y方向的投影平衡,有:
FTx FTyx 0, x y FTy y FTxy x 0
(6-1)
第一节
薄板受纵横荷载的共同作用
平衡微分方程
由z方向的投影平衡:
计入横向剪力、中面拉压力、中面平错力的 影响（略去三阶微量），有：
2 2 2 w w w D 4 w ( FTx 2 2FTxy FTy 2 ) q x xy y
第二节
薄板的压曲
薄板的压曲
薄板在纵向荷载作用下处于弯曲的平衡状态， 称纵弯曲或压曲，也称为屈曲。 当纵向荷载达到临界值后,荷载的稍许增加将 引起位移和内力的急剧增大,甚至导致薄板的破坏。 薄板的小挠度弯曲理论也不再适用。 确定薄板的临界荷载为薄板稳定问题的主要 分析内容。
第二节
薄板的压曲
薄板的压曲
w C1J n ( x) C3 xn cosn
（6-11）
结论：利用板边的两个边界条件，由（6-11）得出 关于的一组两个齐次线性方程。命该方程组的系数行列
式等于零，即为计算临界荷载的方程。
第四节
圆形薄板的压曲
求解过程
说明：当圆形薄板在中心有圆孔，并在板边
和孔边同时均布压力时，其求解过程为：
第三节
四边简支的矩形薄板
算例分析
若四边简支矩形薄板在双向受有均布压力：
设：FTx Fx , FTy Fx , FTxy 0
由压曲微分方程有：
2 a2 2 ) 4 D b2 求得：Fx 2 x 2 a2 a 2 m n 2 b
2
w 2w D w F ( 2 2 ) 0 x y
第四节
圆形薄板的压曲
例题
在薄板中心处：
x 0 w
C2 C4 0
这样，压曲微分方程（6-9）的解为：
2w 2 1 1 2 2 w 1 w 1 w 1 2 w D( 2 ) w FT 2 2 FT ( ) FT ( ) 0 2 2 2 2
薄板的稳定问题
算例分析
§6-3 四边简支的矩形薄板 在均布压力下的压曲
设有四边简支的矩形薄板，它的一对边受有均 布压力，在板边的每单位长度上为 Fx ，试确定临
界荷载。
第三节
四边简支的矩形薄板
算例分析
中面内力有：
FTx Fx , FTy 0, FTxy 0
由压曲微分方程（6-3），得：
压曲微分方程的变换：
2w 2 1 1 2 2 w 1 w 1 w 1 2 w D( 2 2 2 ) w FT 2 2 FT ( ) FT ( 2 2 ) 0
(m 2 n 2
（6-8）
第三节
四边简支的矩形薄板
算例分析
对不同的比值 a / b及 Fy / Fx ，均可 由式（6-8）中取不同的m和n，求得临界荷 载 ( Fx )c 。 当
Fy
为拉力时， 取负值，式（6-8）
求临界荷载仍适用。
第六章
薄板的稳定问题
圆形薄板的压曲
§6-4 圆形薄板的压曲
2 D V＝ 2 w dxdy 2
（6-13） （6-14）
第五节
用能量法求临界荷载
能量法
纵向荷载所做的功：即为中面内力所做的功。 对图示薄板： 以
FTx dy
为例，分析其做功：
FTx dy
左右两边的内力
原来相距 dx ，当薄板弯曲后的距离为：
2 w D 4 w Fx 0 2 x
取挠度表达式为：
w Amn sin
m 1 n 1
mx ny sin a b
满足边界条件
第三节
四边简支的矩形薄板
算例分析
由压曲微分方程，得：
m2 n2 2 m2 mx ny Amn D( 2 2 ) Fx 2 2 sin sin 0 a b a a b m 1 n 1
针对圆形薄板，宜采用极坐标。可利用坐标变
换由直角坐标得到极坐标下的相关方程。
应力分量的变换：
x cos sin 2 sin cos
2 2
y sin 2 cos2 2 sin cos xy ( ) sin cos (cos2 sin 2 )
2 w 1 w 1 2 w 2 1 1 2 2 D( 2 2 2 ) w F 2 2 0 2
试取微分方程的解为：
w F ( ) cosn 其中： n 0， 1， 2， 。
要使系数
Amn
不全等为零，要求：
m2 n2 2 m2 D( 2 2 ) Fx 2 2 0 a b a
纵向荷载临界值需满足的压曲条件：
2 2 m n 2 a 2 D( 2 2 ) 2 a b Fx m2
（6-4）
第三节
四边简支的矩形薄板
算例分析
要求最小的临界荷载，要求 n 1 ，即在 y方向只有一个正弦半波。得：
( Fx )C k
2D
b
2
（6-5）
其中：
mb 1 k mb a a
2
（6-6）
第三节
四边简支的矩形薄板
算例分析
由此求得：
a / b 2 ( Fx ) c
D b
2
b2
a 2 ( ) （6-7） a b
2D
b2
a / b 2 ( Fx ) c (4.0 ~ 4.5)
由Lame 解答
求中面内力
2 1 1 2 2 D( 2 ) w 2 2 2w w 1 w 1 w 1 2 w FT 2 2 FT ( ) FT ( 2 2 ) 0
（6-9）
第四节
圆形薄板的压曲
例题
例题：设有圆形薄板，沿板边受有均布压力 F 的
作用，求临界荷载。 解：按平面应力问题进行分析。 得应力分量：
F
, 0
中面内力：
FT FT F , F T 0
第四节
圆形薄板的压曲
例题
由压曲微分方程（6-9），有：
第五节
用能量法求临界荷载
能量判据
若势能增加：表明该平面状态下的势能为极小， 对应于稳定平衡。 若势能减少：表明该平面状态下的势能为极大， 对应于不稳定平衡。 若势能保持不变：表明该平面状态下的平衡是稳 定平衡的极限，相应与这一极限状 态的纵向荷载则为临界荷载。
第五节
用能量法求临界荷载
能量判据
由能量法求临界荷载的依据： 薄板从平面状态进入邻近的弯曲状 态时，纵向荷载所做的功等于形变势能 的增加。
压曲微分方程（ 6 9）
利用Bessel函数求解
求得临界荷载
第六章
薄板的稳定问题
能量法
§6-5 用能量法求临界荷载
薄板处于平面平衡状态是否稳定的判别:
若薄板受有横向干扰力而进入某一弯曲状态, 在干扰力除去后,它是否恢复原来的平面状态。 薄板处于平面平衡状态是否稳定的能量判别: 当薄板平面状态进入弯曲状态时，势能的增 加还是减少。
第一节
薄板受纵横荷载的共同作用
平衡微分方程
当薄板受纵横荷载共同作用时,若纵向荷载很 小,中面内力也横小,可不计其对薄板弯曲的影响。 叠加原理成立。
当薄板受纵横荷载共同作用时, 若中面内力并 非很小,需考虑中面内力对薄板弯曲的影响。叠加 原理不成立。
第一节
薄板受纵横荷载的共同作用
平衡微分方程
考虑薄板任一 微分块的平衡。 由通过微分块中 心而平行于z轴的力 矩平衡，有:
来自百度文库已知Bessel微分方程
2 d F dF 2 2 2 x x ( x n )F 0 2 dx dx
其解为： F ( x) C1J n ( x) C2 Nn ( x)
其中J n ( x)和C2 Nn ( x)分别为实宗量n阶的 第一种和第二种Bessel函数
第四节
圆形薄板的压曲
临界荷载：使薄板可能发生压曲时纵向荷载 的最小值。 薄板压曲的微分方程：
2 2 2 w w w D 4 w ( FTx 2 2FTxy FTy 2 ) 0 x xy y
(6-3)
求临界荷载的问题：在满足边界条件下微分 方程的非零解，确定纵向荷载的最小值。
第六章
注：当 n 0 ，薄板的压曲形式是轴对称的。 当 n 1、2 ，薄板的环向围线分别具有一个及 两个波，其余类推。
第四节
圆形薄板的压曲
例题
由压曲微分方程得：
d 4 F ( ) 2 d 3 F ( ) 1 2n 2 F d 2 F ( ) ( 2 ) 4 2 d d3 D d
(6-2)
第一节
薄板受纵横荷载的共同作用
具体求解
具体求解：
求σ x、 y、 xy 按平面应力问题 求中面内力FTx、FTy、FTxy 求挠度w 由(6 - 2) 求弯曲内力M x、M y、M xy、FSx、FSy
2w 2w 2w D w ( FTx 2 2FTxy FTy 2 ) q x xy y
第四节
圆形薄板的压曲
压曲微分方程
中面内力的变换：
FTx FT cos2 FT sin 2 2 FT sin cos FTy FT sin 2 FT cos2 2 FT sin cos FTxy ( FT FT ) sin cos FT (cos2 sin 2 )