140909 板壳力学2
2014-计算力学-9-板壳问题
的不同，它除了弯曲变形外还存在着中面变形，所以壳体中 的内力包括有弯曲内力和中面内力。
壳体弯曲问题
在壳体理论中，有以下几个计算假定： ① 垂直于中面方向的正应变极其微小，可以不计。
② 中面的法线总保持为直线，且中面法线及其垂直线段之间 的直角也保持不变，即这两方向的剪应变为零。
③ 与中面平行的截面上的正应力（即挤压应力），远小于其 垂直面上的正应力，因而它对变形的影响可以不计。 ④ 体力及面力均可化为作用在中面的载荷。
板壳问题
平板弯曲问题
矩形单元
壳体弯曲问题
平板弯曲问题
在弹性力学里，把两个平行面和垂直于这两个平行面的柱面或
棱柱面所围成的物体称为平板，简称为板，如图9-1所示。两个 板面之间的距离t称为板的厚度，而平分厚度t的平面称为板的中 间平面，简称中面。如果板的厚度 t 远小于中面的最小尺寸 b （如小于b/8～b/5），该板就称为薄板，否则就为厚板。
N yi a i (1 0 )(1 0 )(1 2 ) / 8
式中 0 i ，0 i。
矩形单元
矩形单元的刚度矩阵 矩形单元的刚度矩阵可以写成如下形式：
k11 k k 21 k 31 k 41
h/2
其中子矩阵为：
T
k12 k 22 k 32 k 42
0
,
y
z 0
0
,
xy
z 0
0
这就是说，中面的任意一部分，虽然弯曲成为弹性曲面的一 部分，但它在 xy 面上的投影形状却保持不变。
矩形单元
按薄板弯曲的基本假定，板内各点的位移为：
u z w x
w v z y
w w( x, y )
板壳理论
称为薄板的弹性曲面。 挠度：中面内各点在横向的位移。
薄板小挠度弯曲理论的假设（1）
垂直于中面方向的正应变忽略不计
z
w z
0
z 0
w w(x, y)
中面的任一根法线上，薄板全厚度内的所有各
点都具有相同的位移，也就是挠度。
薄板小挠度弯曲理论的假设（2）
z 0 xz 0 yz 0 z , xz , yz是次要的，远小于其他三个应力分量。
薄板小挠度弯曲问题中的物理方程：
x
1 E
x y
y
1 E
y x
21
xy E xy
薄板小挠度弯曲理论的假设（3）
薄板中面内的各点都没有平行于中面的位移
§1.5 简支边矩形薄板的双级数解法
代入挠度表达式得：
w
16q0
6D
m1,3,5...
n1,3,5...
sin m x
a
mn(
m2 a2
sin n y
b
n2 b2
)2
在任意位置（ξ,η）受集中载荷P时，等效为分布载荷
q P dxdy
§1.5 简支边矩形薄板的双级数解法
所以A成为
Amn
4
4
中面：平分厚度的平面 厚度：两个板面之间的距离称为板的厚度。 薄板：板的厚度t远小于中面的最小尺寸b，
这个板称为薄板，否则称为厚板。 t b t b
5 50
概念
一般载荷分解为
– 纵向载荷：作用在薄板中面内的载荷。 – 横向载荷：垂直于中面的载荷。
纵向载荷：沿薄板厚度均匀分布。 平面应力问题 失稳时
板壳力学初步
几项假设1） 板壳是均匀的、连续的，并且是各向同性的； 2） 板壳是线弹性的；3） 板壳的变形是微小的；4） 直法线假设，即认为板壳变形前垂直于中面的法线线段在变形后仍保持为直线，并垂直于变形后的中面，且其长度不变。
5） 法向应力很小，可以忽略；6） 板的中面没有变形。
板壳的应力、应变以及应力与应变的关系薄板壳内任一点沿z 方向的位移w A 与坐标z 无关，仅是坐标x 、y 的函数，横向剪应变γyz 和γzx 应为零， 几何方程 物理方程 或薄板的内力薄壳的内力薄板的边界条件x y xy u xv yu v y x εεγ∂=∂∂=∂∂∂=+∂∂1()1()2(1)x x y y y x xy xy EE E εσνσεσνσνγτ⎫=-⎪⎪⎪=-⎬⎪+⎪=⎪⎭22()1()12(1)xx y y y x xy xy E EE σενενσενεντγν⎫=+⎪-⎪⎪=+⎬-⎪⎪=⎪+⎭2222222222h hx x y y h hhxy xy h h hx xz y yz h h M zdzM zdz M zdz Q dz Q dz σστττ-----⎫⎪==⎪⎪⎪⎪=⎬⎪⎪⎪==⎪⎪⎭⎰⎰⎰⎰⎰/2/2/2/2/2/2/2/2/2/2/2/2/2/2/2/2h h xx yy h h h xy yx xy h h h x xz y yz h h h h x x y y h h h xy yx xy h MzdzMzdz M M zdzQ dz Q dz N dz N dz N N dzσστττσστ----------------⎫==⎪⎪⎪⎪==⎪⎪⎪==⎬⎪⎪⎪==⎪⎪⎪==⎪⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰简支边 0x aw==，0xx aM == 固定边 0x aw==，0x aw x=∂=∂自由边 0xy xx x ax aM V Q y ==∂⎛⎫=+= ⎪∂⎝⎭，0x x aM==薄壳的边界条件简支边 0x av==，0x aw ==，0xx aN ==，0xx aM == 固定边0x au==， 0x av==，0x aw==，0x aϕ==自由边 0xx aN ==， 0x x aM ==， 0xy xx x ay x aM V Q s ==⎛⎫∂=+= ⎪ ⎪∂⎝⎭，0xy xxy x ay x aM T N r ==⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭板壳的应力计算公式薄板,,0,,y x x y z xy y x xy xz yz M b M b z z I I M bQ S Q S z II I σσστττ⎫===⎪⎪⎬⎪===⎪⎭，其中惯性矩3/12I bh =，静面矩薄壳2222232231212,120,6464y yx xx y xy xyz xy y yz x xzN M N M z z hhh h N Mzh hQ h z h Q h z h σσστττ⎫=+=+⎪⎪⎪==+⎪⎪⎬⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭⎪⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭⎭注意，在板壳弯曲问题中，数值上最大的是法向应力x σ、y σ和切向应力xy τ，因而是主要的应力，横向剪应力yz τ、xz τ数值较小，是次要的应力，一般说来，无须对它们进行计算。
板壳理论
球壳
A1=A2= R R1=R2= R
z
椭球壳: (x/a)2 +(y/a)2+ (z/b)2=1
r a 2b2 /(a 2 sin2 b2 cos2 )3 / 2
r a 2 /(a 2 sin2 b2 cos2 )1/ 2
z
s
R
o
y
z
o
y x z
x y
r2
r1
(4) 小挠度假设：略去几何非线性
3
1.2 板壳的内力与应力(应力沿板厚线性分布)
内力素：内力，内力矩
面内 拉力 Tx
N/m z
h/ 2
h / 2
h/ 2
x dz
, Ty
h/ 2
h / 2
面内 y dz 剪力 Txy
N/m
h/ 2
h/ 2
h / 2
xy dz
Ty i Mxy
Ny n Txy My
Nx Tx
j
Mxy
弯矩
Nm/m
Mx
h / 2
h/ 2
x zdz , M y
h / 2
y zdz
Mx T xy
Mx
y
扭矩
Nm/m
M xy
h / 2
xy zdz
My
x Tx
h
Mxy
Ty
Ty 6 M y Txy 6 M xy Tx 6 M x x 2 , y 2 , xy 2 h h h h h h
拱优于梁
5
几种承力结构形式的比较：
《板壳力学》课件
2 板壳的特点
3 板壳的分类
板壳具有高强度、轻量化、 刚度高、形状复杂、适应 性广等特点，能够承受各 种力学加载。
根据形状、边界条件和受 力特点，板壳可以分为不 同类型，例如矩形板壳、 环形板壳和扭转板壳。
板壳的力学模型和假设
力学模型
板壳的力学模型可以采用理想 化的弹性平面假设，简化了计 算过程，但仍能准确描述板壳 的弯曲和扭转行为。
假设条件
在板壳的力学分析中，我们通 常假设板壳是薄的、具有轴对 称性、材料均匀等条件。
应力假设
为了简化计算，我们通常假设 板壳处于平面应力状态，通过 选择适当的应力假设来近似描 述实际应力分布。
板壳的受力分析方用解析方法进行板壳的受力分析，得到精确的应力和位 移解。
在工程领域，板壳结构广泛应用于汽车车身、 桥梁、储罐、压力容器等领域，具有重要的实 际价值。
航空航天领域
在航空航天领域，板壳结构被应用于飞机机身、 卫星反射镜和火箭燃烧室等部件的设计和制造。
科学研究
对板壳力学的研究不仅在应用层面有重要价值， 还为理论研究和学科发展提供了深厚的基础。
总结和展望
通过本节课的学习，我们深入理解了板壳力学的基本概念、力学模型、受力 分析和稳定性分析等内容。
挠度测量
通过测量板壳的挠度，可以了解 其承载能力和变形情况，在实际 工程中具有重要的应用价值。
失稳分析
失稳分析用于研究板壳的失稳模 态和失稳行为，为结构设计和优 化提供了重要依据。
板壳的应用领域和实际案例
建筑领域
板壳结构广泛用于建筑物的屋盖、墙面、地板 等部位，提供了美观、高效的结构解决方案。
工程领域
2
数值方法
为了解决复杂的板壳结构问题，可以利用数值方法，如有限元分析，对板壳进行数值模拟和 求解。
板壳力学读书报告
板壳力学读书报告李晗2013级工程力学2班2013301890037板壳力学，顾名思义，主要内容就是板和壳，就教材而言，前面第十三章到第十八章是板的内容，主要也是薄板，包括薄板的小挠度弯曲问题、薄板的振动问题、薄板的稳定问题以及薄板的大挠度问题，后面从第十九章到第二十二章是壳的内容，主要包括壳体的一般理论，柱壳、旋转壳以及扁壳问题。
板壳力学是弹性力学的下册，自然是和弹性力学紧密地联系在一起的，弹性力学中有四条基本假设，同样，在板壳力学中也有几条假设，分别如下：1)板壳是均匀的、连续的，并且是各向同性的；2)板壳是线弹性的；3)板壳的变形是微小的；4)直法线假设，即认为板壳变形前垂直于中面的法线线段在变形后仍保持为直线，并垂直于变形后的中面，且其长度不变；5)法向应力很小，可以忽略；6)板的中面没有变形。
除了这几条基本假设，弹性力学中的平衡方程、物理方程以及几何方程在板壳力学中也有广泛地应用。
一、板的问题板的中面为一个平面，板分为薄板和厚板，所谓的薄和厚，主要是看板的厚度δ与中面最小尺寸b 的相对关系，如果板的厚度δ远小于中面的最小尺寸b （例如小于/8b 至/5b ），则称其为薄板，反之则称其为厚板。
1、薄板的小挠度弯曲问题所谓薄板的小挠度弯曲问题，就是指这样的薄板：板虽然很薄，但是仍具有相当的弯曲刚度，因而板受横向荷载时挠度远小于它的厚度，这种问题就是板的小挠度弯曲问题，如果板的挠度和板的厚度同阶，则称其为大挠度弯曲问题。
薄板的小挠度弯曲问题有三个基本假定，分别为（1）垂直于中面方向的正应变z ξ为零；（2）应力分量zx τ、zy τ、z σ远小于其余三个应力分量，因而是次要的，它们所引起的形变可以忽略，但是它们本身却需要维持平衡，所以他们本身不可以忽略，这一点还是很奇妙的；（3）薄板中面内的个点都没有平行于中面的位移，这就是说，中面的任意一部分，虽然弯曲成为弹性曲面的一部分，但是它在xy 平面上的投影形状却不变，从这可以推导出，一个薄板，即使它受到横向荷载的作用，但是在小挠度弯曲问题的背景下，它在水平面上的投影依然保持不变。
(完整版)140909板壳力学2
利用Bessel函数求解
求得临界荷载
第六章 薄板的稳定问题
能量法
§6-5 用能量法求临界荷载
薄板处于平面平衡状态是否稳定的判别: 若薄板受有横向干扰力而进入某一弯曲状态,在干
扰力除去后,它是否恢复原来的平面状态。
薄板处于平面平衡状态是否稳定的能量判别: 当薄板平面状态进入弯曲状态时，势能的增加
1 2
FTy
w y
2
dxdy
（b）
第五节 用能量法求临界荷载
能量法
对于平错力 FTxydy和FTyxdx 所做的功为：
可先按 450 方向的拉压力和伸缩，然后利用
（a）和（b）计算，得到：dW1
FTx
dy
1 2
w x
2
dx
1 2
2w 2
)
0
w C1Jn (x) C3xn cos n
（6-11）
结论：利用板边的两个边界条件，由（6-11）得出关 于的一组两个齐次线性方程。命该方程组的系数行列式 等于零，即为计算临界荷载的方程。
第四节 圆形薄板的压曲
求解过程
说明：当圆形薄板在中心有圆孔，并在板边和
由能量法求临界荷载的依据：
薄板从平面状态进入邻近的弯曲状 态时，纵向荷载所做的功等于形变势能 的增加。
第五节 用能量法求临界荷载
功能方程
形变势能的增加为薄板的全部弯曲形变势能。
功能方程：形变势能的增加等于纵向荷载所做的功。
V W 0 （6-12）
其中弯曲形变势能：
V
D 2
(Fx )C
板壳理论 课件 chapter2 弹性薄板的稳定和振动
第二章 弹性薄板的稳定和振动
为了清楚地了解屈曲问题的概念和求解思路，考虑如图2.1 所示的板，取板的中面为平面，轴垂直于中面。
图2.1 板的坐标
第二章 弹性薄板的稳定和振动
图2.2 板的微单元体
第二章 弹性薄板的稳定和振动
图2.2是板的一个微单元体，单元体的平衡条件给出：
Qx Qy
M x M xy x y M xy M y x Qy
D n2 a 2 s x 2 m 2 m b a h
2 2
(2.2.6)
第二章 弹性薄板的稳定和振动
为了求得最小屈曲载荷(sx)cr ，应选择m 、 n使sx 取最小。为 此取n=1有：
1 a2 2D s x 2 m 2 2 K m b a h b h
2D
2
(2.2.7)
其中
m r K r m
2
, r
a b
(2.2.8)
利用dK/dr=0，可知r=m当时K值最小，其最小值为K=4，因而最 小的临界屈曲应力为：
s x cr
4 2 D 2 b h
(2.2.9)
第二章 弹性薄板的稳定和振动
应该注意到，当n=1, r=m时，sx具有最小值，这说明当板屈曲时， 在受压方向上可能形成几个半波，而在y轴方向则只有一个半波， 且(2.2.9)式仅当a/b为整数时才成立。 当a/b非常小时，(2.2.7)式括号内的第二项恒小于第一项，只要使括 号内的第一项取最小值m=1 ，即得sx的最小临界值。
图2.3 单向受压板
第二章 弹性薄板的稳定和振动
如以受压为正，且取代入方程(2.1.13)中，即得这一问题的 屈曲控制方程为： 边界条件是：
第5章 板壳问题的有限元法
协调性要求 协调单元 满足协调性要求的单元称为 满足协调性要求的单元称为协调单元 收敛的充要条件 w = α1 + α 2 x + α 3 y + α 4 x 2 + α 5 xy + α 6 y 2 + α 7 x 3
+ α 8 x 2 y + α 9 xy 2 + α10 y 3 + α11 x 3 y + α12 xy 3
− 2
h
M xy = ∫ h2 τ xy zdz
− 2
h
{M } = ∫
2 −h 2
h
h {σ }zdz = [D p ]{κ } = [D ]{κ } 12
薄板弯曲的弹性矩阵
11
3
薄板弯曲的应变能 弹性应变能 T 1 1 U = ∫ (σ xε x + σ yε y + τ xyγ xy )dV = ∫ {ε } {σ }dV 2V 2V ⎧ ∂2w ⎫ ⎪ − 2 ⎪ x ⎪ ⎪ ∂2 ⎪ ∂ w ⎪ {σ } = D p {ε } = D p {κ }z {ε } = z ⎨ − 2 ⎬ = z{κ } ∂y ⎪ ⎪ T 1 ∂2w ⎪ U = ∫ {κ } [D p ]{κ }z 2 dV ⎪ 2V ⎪− 2 ∂x∂y ⎪ ⎩ ⎭ T 1 = ∫ {κ } [D ]{κ }dS
∂w 法向导数θ x = ∂y 是x的三次函数，假定
θx = γ1 + γ 2x + γ 3x + γ 4x
2
3
由节点1和节点2处只能提供 θx1,θx2 两个相邻单元在边界上的法向导数的连续性 不能保证。 这种位移函数的矩形单元为非协调单元。
《板壳力学》课件
板壳力学的重要性
总结词
板壳力学在工程实践中具有重要意义，广泛应用于航空航天、船舶、建筑、机械 等领域。
详细描述
板壳力学在工程实践中具有重要意义，是解决复杂结构问题的重要工具。它广泛 应用于航空航天、船舶、建筑、机械等领域，为各种工程结构的优化设计、安全 评估和故障诊断提供了理论基础。
板壳力学的历史与发展
06
板壳力学的未来发展与挑战
新材料与新结构的板壳力学
新材料
随着科技的发展，新型材料如碳纤维 复合材料、钛合金等在航空、航天、 汽车等领域的应用越来越广泛，对板 壳力学提出了新的挑战和要求。
新结构
新型结构如曲面壳体、变厚度板等不 断涌现，需要深入研究其力学性能和 设计方法，以满足工程实际需求。
多场耦合的板壳力学问题
采用一系列简化假设来分析其力学行为。
薄壳弯曲方程
02
描述薄壳在弯曲时的挠度和转角等参数的方程。
薄壳边界条件和载荷
03
分析薄壳在边界条件和各种载荷作用下的弯曲变形和应力分布
。
厚板与厚壳理论
厚板与厚壳定义
厚板和厚壳是指厚度与另外两个尺寸相比不可忽略的板状和壳状 结构。
厚板与厚壳弯曲方程
描述厚板和厚壳在弯曲时的挠度和转角等参数的方程，通常较为复 杂，需要考虑更多的因素。
《板壳力学》ppt课件
目录
• 板壳力学概述 • 板壳力学的基本理论 • 板壳力学的应用 • 板壳力学的数值分析方法 • 板壳力学的实验研究 • 板壳力学的未来发展与挑战
01
板壳力学概述
定义与特点
总结词
板壳力学是研究板和壳体在各种外力作用下的应力、应变和位移分布规律的科 学。
详细描述
板壳力学主要研究板和壳体在受到各种外力作用时的应力、应变和位移分布规 律，包括静力学和动力学问题。它涉及到弹性力学、塑性力学、断裂力学等领 域，是固体力学的一个重要分支。
140909-板壳力学1
定
。 zx , zy , z
办法根据平衡方程可以确定它们的值。
第24页，共137页。
第二节 弹性曲面的微分方程
应力
设薄板仅受在上板面作用横向的分布载
荷，其集度为 q q。(x另, y设) 体力分量 fx f y，若0 体力分量 不等于f z 零，把
薄板每单位面积内的体积力和面力归入薄板
上面的面力之中，一并用 表q示，且以z轴
（a)薄板的中面代替了梁的轴线； （b)薄板的弹性曲面代替了梁的弹性曲线； （c)薄板的弯曲代替了梁的平面弯曲； （d)直法线假定代替了梁的平截面假定。
第17页，共137页。
第一节 有关概念及计算假定
计算假定
归纳薄板的计算三个假定：
（1）垂直与中面方向的应变可以不计。
（2）应力分量 xz , zy ,，z 引起的应变
知： f1(x, y) 0, f2 (x, y) 0
有： u w z, v w z
x
y
再由几何方程， x , y可, x用y 挠度 表示w为：
x
u x
2w x 2
z
y
v y
2w y 2
z
x
y
u y
v x
2
2w xy
z
第21页，共137页。
（1-5）
第二节 弹性曲面的微分方程
位移和形变
即有 。 z 0
由弹性力学空间问题几何方程（8～9）中，有：
w 0, w wx, y
z
（1-1）
表明：中面的任一根法线上，薄板全厚度内的 所有各点都具有相同的位移w，即挠度。
第12页，共137页。
第一节 有关概念及计算假定
计算假定
（2）应力分量 xz , zy , ，z 远小于其余三个
板壳力学
Py 板的几何条件同题1，只是y向单向均压
P
y c
k
2D
b2
6.25 2 2 D 2
a 0.5 b
3.四边简支矩形板，x向均压 Px
a
a
b
b
Px c
D
2
a
P c 压杆
EI
2
l
2
4.长条板，x向单向均压，a
b
t,D常数
Px c k
2D
b
(16-10)
三.求解步骤
1.设定w——要求满足位移边界条件 N , N , N x y xy 2.求中面内力 3.利用(14-22),(14-23)求U W 4.利用(16-10)计算 5.U-W=0，得出压曲条件
四.最小势能原理的利用
W CmWm U W 的条件不够用 U W 0 U W 0 Cm
2
2
x c y
稳定设计控制
or
x c y
x c y 若 说明该板具有较好的抗失稳能 x c y 力
若 说明该板抗失稳能力差，需要 x c 提高稳定性 如要提高 有两种方法 1.增加t，可能不满足使用要求 2.加劲肋设置
设置加劲肋，是加劲肋为沿肋骨轴线所 不值得简支支撑 计算时假设：1.忽略加劲肋的轴向变形 2.肋限制转动的能力及小 加劲肋设置两种方式： 横肋：垂直于纵向载荷 纵肋：平行于纵向载荷
dW 3 N xy ex1 dx1dy1 N xy e y1 dx1dy1 N xy ex1 e y1 dx1dy1
dx1dy1 dxdy
N xy
w w dxdy x y
板壳问题(备份)
第十章平板弯曲问题10.1基本假设10.2矩形板元10.3三角形板元10.4Mindlin板单元第十一章壳体问题11.1基于薄壳理论的轴对称壳元11.1.1轴对称薄壳理论的基本公式：11.1.2截锥薄壳元11.2位移和转动各自独立插值的轴对称壳元11.2.1考虑横向剪切变形的轴对称壳体理论的基本公式11.2.2截锥壳元第十章 平板弯曲问题薄板弯曲问题在理论及应用上有着重要意义，又为薄壳问题提供理论基础，板单元可用来模拟和分析压力容器和汽车部件。
在工程中有着广泛的应用。
本节主要讨论薄板弯曲理论的基本假设和基本方程；薄板弯曲问题有限元分析中的矩形单元和三角形单元的构造方法及各自性能上的特点；Mindlin 板单元的构造方法和特点。
10.1 基本假设如图10.1所示，平分板厚的中间平面，称作板的中面。
当板的厚度t 远小于中面尺寸时，这种板称为薄板。
图10.1 薄板弯曲的坐标和广义力选择坐标系时，通常取中面为xy 面，z 轴则垂直于中面，薄板在垂直中面载荷作用下的变形和受力状态有如下特点：中面上任一点沿z 轴方向产生挠度ω; 中面弯成曲面，叫做弹性曲面，弹性曲面发生双向弯曲变形，并伴随有扭曲变形; 在板的任一横截面上产生横剪力、弯矩和扭矩。
在薄板小挠度问题中，通常假设：变形前的中面法线在变形后仍是弹性曲面的法线; 板弯曲时，中面不产生应变, 也就是说中面是中性层; 忽略板厚度的微小变化，忽略应力σx 对变形的影响，即σx ≈0。
基于上述假设，平板问题简化成为二维问题，平板内任一点的位移可以用其中面的挠度ω表示，即：(,,)(,,)(,,)(,,0)(,)u x y z zx v x y z z yx y z x y x y ωωωωω∂=-∂∂=-∂ （10.1.1）这里要找出处，太费力了因而广义应变可以由ω得到，即：222222x y xy xL yx y ωκωκκωκω⎛⎫∂- ⎪∂ ⎪⎛⎫ ⎪⎪∂==-= ⎪ ⎪∂ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪∂ ⎪- ⎪∂∂⎝⎭(10.1.2)其中222222x L x x y ⎛⎫∂- ⎪∂ ⎪⎪∂=- ⎪∂ ⎪∂ ⎪- ⎪∂∂⎝⎭κ中各个分量分别代表薄板弯曲后中面在x 方向的曲率，y 方向的曲率以及在x 和y 方向的扭率。
板壳力学
P点
x f1 , , y f 2 , , z f , , 3
16
若令 0 , 0
得
即是关于 的一条曲线，继而可得 曲线族 同理可得 , 曲线族，总计可得三族曲线
12
,
构成曲面上曲线网 — 曲线坐标
M i , j
曲面上任意点
90 90 90
非正交曲线坐标 正交曲线坐标 主曲线坐标（主曲率线坐标）
13
例
2 2 2 x y R 0 1.隐式 xx 2. 参数式 y y R sin 坐标线（圆周线） z R cos 坐标线（母线）
45
1 k1 1 1 k2 1 壳体物理方程(19-18) s s (19-19) 21 12
板壳力学
Mechanics of Plate and Shell
第十九章 壳体的一般理论
2
第16次课内容
§19-3 §19-1
关于壳体的一些概念 曲线坐标与正交曲线坐标
3
§19-3 关于壳体的一些概念
定义 特征 假设 分类
4
一 定义
板
上板面 中面 中 曲面
壳
上壳面
下板面
下壳面
1 2 2
2 2 2 x y z d d d 1 2
1 2
x 2 y 2 z 2 d H 1d
MM 1
R1 d1
R1d1
第二章板壳理论
第二章 薄板小挠度弯曲的变分方程及近似 解法
薄板小挠度弯曲的变分方程
Ritz法
Ritz法的应用举例 Galerkin法 Galerkin法的应用举例
§2.1 薄板小挠度弯曲的变分方程
建立薄板小挠度弯曲问题的变分方程，用变分法推导弹性力学问题的基本 方程和边界条件，并在此基础上发展一系列的近似解法，是解决弹性力学 问题的一个重要途径。 薄板小挠度弯曲问题的变形能与余变形能 – 弹性体每单位体积变形能增量为：
W W M x x M y y 2M xy xy
板的余变形能密度增量为：
dW e x dM x y dM y 2 xy dM xy
§ 2.1 薄板小挠度弯曲的变分方程
板的余应变能密度应满足：
W e W e W e dW e dM x dM y dM xy M x M y M xy 所以有： W e W e 1 W e x , y , xy M x M y 2 M xy
o k o l
Sf Vn Vn w ds Rl Rl w l 1 wo 的任意性，真 真实解应使： 0，由于变分 wo , n 实解w应满足： Qx Qy q 0 在A域内 x y M n M n， Vn Vn 在S f 上
2
2 w 2 2 w 2 w 2 D 2 D (w)2 2(1 ) W x y 2 1 xy x y 2 2 2 2 xy x y 把内力分量 M x、 y 和 M xy看成是自变量，板的余变形能密度 M 满足： e
2014-计算力学-9-板壳问题
（9-7）
矩形单元
其中 a和b分别是单元的长和宽。将单元的四个节点坐标 分别代入（9-6）和（9-7）式，即可求得位移模式中的12个 参数，再代入（9-6）式，得
w
N w N
i i i 1
4xi xi 来自 yi yi N i i N e
由此得到：
x
（9-6）
w w 1 3 5 2 6 8 2 2 9 310 2 11 3 312 2 y b b w w 1 y 2 2 4 5 3 7 2 2 8 9 2 311 2 12 3 x a a
v w z y
故有
,
由于z =0， zx 0 , zy 0 ，所以中面的法线在薄板弯曲时保持不伸缩，成 为弹性曲面的法线。此外，由于不计z 所引起的应变，故其物理方程为
1 x y E 1 y y x E 2(1 ) xy xy E
（9-9）
式中 D
矩形单元
矩形单元的等效节点力
当平板单元受有分布横向载荷q时，其相应的等效节点力为
Qi
e
Wi M xi M yi
1
1
1 1
qN i T abdd （i = 1,2,3,4）
（9-10）
若q = q0 为常量时，有
1 1
k13 k 23 k 33 k 43
k14 k 24 k 34 k 44
kij Bi DB j dxdydz h / 2 1 1Bi T DB j abdd
D ab b2 a
2
船舶板壳力学 2弹性力学平面问题
式中：
E
为弹性模量； 为剪切模量； 为侧向收缩系数， 又称泊松比。
G
三个常数之间的关系：
G E 2 (1 )
空间问题
1 x [ x ( y z )] E 1 [ ( )] y z x y E 1 [ z ( x y )] z E 1 yz yz G 1 zx zx G 1 xy xy G
待定的应变分量只剩下同一平面内的 x 、 y 和 xy ，这便 是平面应变问题。
平面应力与平面应变的比较
z
y
x
y
z
x
相同点：两类平面问题都只是 x、y 的函数。 平面应力问题， z 0,
z 0
z 0
区别：
平面应变问题， z 0,
2.2 平面问题的基本方程
体力、应力、应变、位移（适用于每个质点）
1 x E ( x y ) 1 y ( y x ) E 2 (1 ) xy xy E
x
y
xy
x y xy
u v
x
y
xy
x y xy
2.3 弹性体的边界条件
（1）常微分方程：初始条件 （通解 + 初始条件 = 特解）
2 2
y
2 lm xy
斜面 AB 上的剪应力 N ，由投影可得：
N lY N mX
N
lm (
y
x ) ( l m ) xy
2 2
主应力 如果经过 P 点的某一斜面上的剪应力等于零，则该斜面上 的正应力称为 P 点的一个主应力，而该斜面称为 P 点的一个 应力主面，该斜面的法线方向称为P点的一个应力主向。 主应力的大小：
板壳力学读书报告
板壳力学读书报告李晗2013级工程力学2班2013301890037板壳力学，顾名思义，主要内容就是板和壳，就教材而言，前面第十三章到第十八章是板的内容，主要也是薄板，包括薄板的小挠度弯曲问题、薄板的振动问题、薄板的稳定问题以及薄板的大挠度问题，后面从第十九章到第二十二章是壳的内容，主要包括壳体的一般理论，柱壳、旋转壳以及扁壳问题。
板壳力学是弹性力学的下册，自然是和弹性力学紧密地联系在一起的，弹性力学中有四条基本假设，同样，在板壳力学中也有几条假设，分别如下：1)板壳是均匀的、连续的，并且是各向同性的；2)板壳是线弹性的；3)板壳的变形是微小的；4)直法线假设，即认为板壳变形前垂直于中面的法线线段在变形后仍保持为直线，并垂直于变形后的中面，且其长度不变；5)法向应力很小，可以忽略；6)板的中面没有变形。
除了这几条基本假设，弹性力学中的平衡方程、物理方程以及几何方程在板壳力学中也有广泛地应用。
一、板的问题板的中面为一个平面，板分为薄板和厚板，所谓的薄和厚，主要是看板的厚度δ与中面最小尺寸b 的相对关系，如果板的厚度δ远小于中面的最小尺寸b （例如小于/8b 至/5b ），则称其为薄板，反之则称其为厚板。
1、薄板的小挠度弯曲问题所谓薄板的小挠度弯曲问题，就是指这样的薄板：板虽然很薄，但是仍具有相当的弯曲刚度，因而板受横向荷载时挠度远小于它的厚度，这种问题就是板的小挠度弯曲问题，如果板的挠度和板的厚度同阶，则称其为大挠度弯曲问题。
薄板的小挠度弯曲问题有三个基本假定，分别为（1）垂直于中面方向的正应变z ξ为零；（2）应力分量zx τ、zy τ、z σ远小于其余三个应力分量，因而是次要的，它们所引起的形变可以忽略，但是它们本身却需要维持平衡，所以他们本身不可以忽略，这一点还是很奇妙的；（3）薄板中面内的个点都没有平行于中面的位移，这就是说，中面的任意一部分，虽然弯曲成为弹性曲面的一部分，但是它在xy 平面上的投影形状却不变，从这可以推导出，一个薄板，即使它受到横向荷载的作用，但是在小挠度弯曲问题的背景下，它在水平面上的投影依然保持不变。
板壳力学 pdf
板壳力学是一门研究薄板和薄壳结构力学行为的学科，它探讨了各种外载荷下薄板和薄壳的变形、应力和稳定性等力学特性。
板壳力学在航空航天、工程结构、汽车制造等领域具有广泛的应用价值。
在研究板壳力学时，我们需要考虑以下几个方面：
1.材料特性：不同材料具有不同的刚度、强度和耐久性等特性，这些特性对板壳结构的应力分布和变形行为具有重要影响。
2.外载荷：外载荷是指施加在板壳结构上的力或压力，如重力、风载、水压等。
研究外载荷的大小、方向和分布对于分析板壳结构的稳定性和应力分布至关重要。
3.几何特征：板壳结构的形状和尺寸也对其力学行为产生影响。
几何特征包括板壳的厚度、曲率半径、边界条件等。
4.包络理论：包络理论是研究板壳结构在受到集中载荷时的强度和稳定性的重要方法。
通过确定包络线，可以计算板壳各部分的应力和变形情况。
板壳力学的研究成果对于工程实践和产品设计具有重要的指导意义。
在实践中，我们要注重采用合理的材料和结构设计，以确保板壳结构满足安全、稳定和可持续发展等要求。
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第六章
薄板的稳定问题
薄板的压曲
§6-2 薄板的压曲
薄板在边界上受有纵向荷载时： 平面平衡状态的性态：稳定的和不稳定的。 稳定的平面平衡状态：薄板受横向干扰力而弯
曲，当干扰力除去后薄板恢复平面平超过某一
临界值，薄板受横向干扰力而弯曲，当干扰力除去 后薄板无法恢复平面平衡状态。
第五节
用能量法求临界荷载
能量判据
若势能增加：表明该平面状态下的势能为极小， 对应于稳定平衡。 若势能减少：表明该平面状态下的势能为极大， 对应于不稳定平衡。 若势能保持不变：表明该平面状态下的平衡是稳 定平衡的极限，相应与这一极限状 态的纵向荷载则为临界荷载。
第五节
用能量法求临界荷载
能量判据
由能量法求临界荷载的依据： 薄板从平面状态进入邻近的弯曲状 态时，纵向荷载所做的功等于形变势能 的增加。
第四节
圆形薄板的压曲
例题
在薄板中心处：
x 0 w
C2 C4 0
这样，压曲微分方程（6-9）的解为：
2w 2 1 1 2 2 w 1 w 1 w 1 2 w D( 2 ) w FT 2 2 FT ( ) FT ( ) 0 2 2 2 2
要使系数
Amn
不全等为零，要求：
m2 n2 2 m2 D( 2 2 ) Fx 2 2 0 a b a
纵向荷载临界值需满足的压曲条件：
2 2 m n 2 a 2 D( 2 2 ) 2 a b Fx m2
（6-4）
第三节
四边简支的矩形薄板
算例分析
要求最小的临界荷载，要求 n 1 ，即在 y方向只有一个正弦半波。得：
已知Bessel微分方程
2 d F dF 2 2 2 x x ( x n )F 0 2 dx dx
其解为： F ( x) C1J n ( x) C2 Nn ( x)
其中J n ( x)和C2 Nn ( x)分别为实宗量n阶的 第一种和第二种Bessel函数
第四节
圆形薄板的压曲
2 w 1 w 1 2 w 2 1 1 2 2 D( 2 2 2 ) w F 2 2 0 2
试取微分方程的解为：
w F ( ) cosn 其中： n 0， 1， 2， 。
第一节
薄板受纵横荷载的共同作用
平衡微分方程
当薄板受纵横荷载共同作用时,若纵向荷载很 小,中面内力也横小,可不计其对薄板弯曲的影响。 叠加原理成立。
当薄板受纵横荷载共同作用时, 若中面内力并 非很小,需考虑中面内力对薄板弯曲的影响。叠加 原理不成立。
第一节
薄板受纵横荷载的共同作用
平衡微分方程
考虑薄板任一 微分块的平衡。 由通过微分块中 心而平行于z轴的力 矩平衡，有:
第二节
薄板的压曲
薄板的压曲
薄板在纵向荷载作用下处于弯曲的平衡状态， 称纵弯曲或压曲，也称为屈曲。 当纵向荷载达到临界值后,荷载的稍许增加将 引起位移和内力的急剧增大,甚至导致薄板的破坏。 薄板的小挠度弯曲理论也不再适用。 确定薄板的临界荷载为薄板稳定问题的主要 分析内容。
第二节
薄板的压曲
薄板的压曲
第一节
第二节 第三节 第四节 第五节 第六节
薄板受纵横荷载的共同作用
薄板的压曲 四边简支的矩形薄板在均布压力下的压曲 圆形薄板的压曲 用能量法求临界载荷 用能量法求临界载荷举例
第六章
薄板的稳定问题
§6-1 薄板受纵横荷载的共同作用
当薄板仅受横向荷载作用时,按薄板小挠度
弯曲理论求解。
当薄板仅受纵向荷载作用时,按平面应力问 题求解。
注：当 n 0 ，薄板的压曲形式是轴对称的。 当 n 1、2 ，薄板的环向围线分别具有一个及 两个波，其余类推。
第四节
圆形薄板的压曲
例题
由压曲微分方程得：
d 4 F ( ) 2 d 3 F ( ) 1 2n 2 F d 2 F ( ) ( 2 ) 4 2 d d3 D d
压曲微分方程（ 6 9）
利用Bessel函数求解
求得临界荷载
第六章
薄板的稳定问题
能量法
§6-5 用能量法求临界荷载
薄板处于平面平衡状态是否稳定的判别:
若薄板受有横向干扰力而进入某一弯曲状态, 在干扰力除去后,它是否恢复原来的平面状态。 薄板处于平面平衡状态是否稳定的能量判别: 当薄板平面状态进入弯曲状态时，势能的增 加还是减少。
针对圆形薄板，宜采用极坐标。可利用坐标变
换由直角坐标得到极坐标下的相关方程。
应力分量的变换：
x cos sin 2 sin cos
2 2
y sin 2 cos2 2 sin cos xy ( ) sin cos (cos2 sin 2 )
第四节
圆形薄板的压曲
压曲微分方程
中面内力的变换：
FTx FT cos2 FT sin 2 2 FT sin cos FTy FT sin 2 FT cos2 2 FT sin cos FTxy ( FT FT ) sin cos FT (cos2 sin 2 )
w C1J n ( x) C3 xn cosn
（6-11）
结论：利用板边的两个边界条件，由（6-11）得出 关于的一组两个齐次线性方程。命该方程组的系数行列
式等于零，即为计算临界荷载的方程。
第四节
圆形薄板的压曲
求解过程
说明：当圆形薄板在中心有圆孔，并在板边
和孔边同时均布压力时，其求解过程为：
例题
由此得：
F ( x) C1J n ( x) C2 Nn ( x) C3 xn C4 xn
压曲微分方程的解可表示为：
w C1J n ( x) C2 Nn ( x) C3 xn C4 xn cosn （6-10）
由薄板中心扰度条件和边界条件确定待定系 数 C1 ~ C4 。
2 w D 4 w Fx 0 2 x
取挠度表达式为：
w Amn sin
m 1 n 1
mx ny sin a b
满足边界条件
第三节
四边简支的矩形薄板
算例分析
由压曲微分方程，得：
m2 n2 2 m2 mx ny Amn D( 2 2 ) Fx 2 2 sin sin 0 a b a a b m 1 n 1
由Lame 解答
求中面内力
2 1 1 2 2 D( 2 ) w 2 2 2w w 1 w 1 w 1 2 w FT 2 2 FT ( ) FT ( 2 2 ) 0
第五节
用能量法求临界荷载
功能方程
形变势能的增加为薄板的全部弯曲形变势能。 功能方程：形变势能的增加等于纵向荷载所做的功。
V W 0
其中弯曲形变势能：
D 2 V w 2
（6-12）
2
2 w 2 w 2 w 2 21 2 dxdy 2 x y xy
压曲微分方程的变换：
2w 2 1 1 2 2 w 1 w 1 w 1 2 w D( 2 2 2 ) w FT 2 2 FT ( ) FT ( 2 2 ) 0
2 D V＝ 2 w dxdy 2
（6-13） （6-14）
第五节
用能量法求临界荷载
能量法
纵向荷载所做的功：即为中面内力所做的功。 对图示薄板： 以
FTx dy
为例，分析其做功：
FTx dy
左右两边的内力
原来相距 dx ，当薄板弯曲后的距离为：
临界荷载：使薄板可能发生压曲时纵向荷载 的最小值。 薄板压曲的微分方程：
2 2 2 w w w D 4 w ( FTx 2 2FTxy FTy 2 ) 0 x xy y
(6-3)
求临界荷载的问题：在满足边界条件下微分 方程的非零解，确定纵向荷载的最小值。
第六章
第三节
四边简支的矩形薄板
算例分析
若四边简支矩形薄板在双向受有均布压力：
设：FTx Fx , FTy Fx , FTxy 0
由压曲微分方程有：
2 a2 2 ) 4 D b2 求得：Fx 2 x 2 a2 a 2 m n 2 b
2
w 2w D w F ( 2 2 ) 0 x y
( Fx )C k
2D
b
2
（6-5）
其中：
mb 1 k mb a a
2
（6-6）
第三节
四边简支的矩形薄板
算例分析
由此求得：
a / b 2 ( Fx ) c
D b
2
b2
a 2 ( ) （6-7） a b
2D
b2
a / b 2 ( Fx ) c (4.0 ~ 4.5)
FTyx FTxy
由x和y方向的投影平衡,有:
FTx FTyx 0, x y FTy y FTxy x 0
(6-1)
第一节
薄板受纵横荷载的共同作用
平衡微分方程
由z方向的投影平衡:
计入横向剪力、中面拉压力、中面平错力的 影响（略去三阶微量），有：
2 2 2 w w w D 4 w ( FTx 2 2FTxy FTy 2 ) q x xy y