专题三十四 钟面上的数学问题

练 5 钟表在一天开始时间（0 时） ，三针重合，问：多少分钟后，秒针 第一次将分针与时针所夹的锐角等分？
练 6 林锦与爸爸早晨 8 点多外出，临出门时，他看到家里钟的时针与 分针是重合的，下午 2 点多钟回到家时，他发现此时分针与时针方向正好相 反，而且成一直线。他们外出了多少时间？
练 7 一个快钟每小时比标准时间快 1 分钟，一个慢钟每小时比标准时 间慢 3 分钟。将两个钟同时调到标准时间，结果在 24 时内，快钟显示 9 点整 时，慢钟恰好显示 8 点整。此时的标准时间是多少？
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4 点与 5 点之间，什么时刻时针与分钟成一直线？（不包括重合）
练2
时针与分针在 8 点多少分时第一次重合？
练3
在 6 点与 7 点之间，钟面上时针和分针在什么时刻相互垂直？
练 4 周华家有一闹钟，每小时比标准时间慢半分钟。有一天晚上 7 点， 王亮校准了闹钟，他想第二天早晨 6 点起床，于是他将闹钟的闹铃定在 6 点， 那么这个闹钟将在标准时间何时响铃？
专题三十四
钟面上的数学问题
指点迷津：1、可把钟面看成是一个 360°的周角（60 格） ，分针 1 小时 1 旋转 1 周，即 360°（60 格） ，时针 1 小时旋转 周，即 30°（5 格） 。于是， 12 1 时针 1 分钟旋转 30°÷60＝0.5°（ 格） ；分针 1 分钟旋转 360°÷60＝6° 12 （1 格） ；秒针 1 分钟旋转 360°（1 周 60 格） 。 2、求钟面上时间问题可转化为具体的角度问题。通常以 0 时或 12 时的 刻度作为旋转角的起始边，然后利用行程问题中的追及问题来解答。 例 1 分针和时针每隔多少时重合一次？一个钟面上分针和时针一昼夜 重合几次？ 思路提示：由于分针 1 分钟旋转 60°，时针 1 分钟旋转 0.5°。当两针 第一次重合后到第二次重合，分针比时针多旋转一圈即多转 360°。因此就可 用追及问题求出两针再次重合需要的时间。
例 2 10 时 30 分时，时针与分针的夹角是多少度？ 思路提示：要求此时两针的夹角是多少度，就要求出此时，即 10 时 30 分时时针旋转过的角度与分针旋转过的角度，两针旋转角度差值就是所求的 问题。
例 3 黄怡有块手表，每分钟比标准时间快 4 秒。她早晨 6 点整将手表 校准，当这块表第一次指示 12 点时，标准时间是几点几分？ 思路提示：依题意可知李红手表走 64 秒，而标准时间只走 60 秒。因此 15 标准时间与李红手表的时间比是 60∶64＝ ，李红手表经过 6 小时，而标准 16 15 5 5 1 时间经过了 6× ＝5 小时， 小时是37 分钟，所以当李红手表指向 12 点时， 16 8 8 2 1 此时标准时间是 11 点37 分。 2
练 8 小烽上午 8 点到学校上课，可是家里的闹钟早晨 6 点 10 分停了， 他上完发条忘了对表就急急忙忙上学去了，到学校一看还提前了 10 分钟。中 午 12 点放学，小烽回到家一看钟才 11 点整。如果小烽上学、放学在路上的 时间相同，那么他家的闹钟停了多少时间？
例 4 现在是下午 4 点，从现在起时针与分针什么时候第一次重合？什 么时候两针成一直线？ 1 思路提示：分针每分钟旋转 1 格，时针每分钟旋转 格。而分针与时针 12 1 第一次重合时，分针应比时针多走 5× 4 格，所以行走时间应为 20÷ （1－ ） 12 9 ＝21 分。 11
例 5 翁辉与三个小伙伴去水族馆参观，进馆之前他看了一下手表，走 出馆时他又看了一下手表，他发现时针和分针刚好交换了一下位置，已知这 段时间不足 1 小时，那么他们在水族馆待了多长时间？ 思路提示：由两针互换位置可知，两针旋转过的角度和等于 360°。而每 分钟分针旋转 6°，时针每分钟旋转 0.5°，两针每分钟旋转（6＋0.5）°。 5 所以这段时间为 360÷ （6＋0.5）＝55 分。 13