基于曲率尺度空间的角点检测

X,Y分别为曲线上的点的横纵坐标，X,Y都是u的一维函数。 （曲线随着尺度变化的演化形式） （X (u, ),Y (u, )）
X (u, ) x(u) g (u, ) （对曲线的横、纵坐标分别进行高斯滤波） Y (u, ) y(u) g (u, ) g (u, )为高斯函 (u) ( x(u), y(u)) 是一条曲线函数；u 为弧长参数； 数，其中 为尺度参数；设 g (u, ) 是高斯函数 g (u )在不同尺度 1 u2 g (u, ) exp( 2 ) ； 是一个卷积符号。 下的形式： 2 2
In order to find curvature zero-crossings or extrema from evolved versions of the input curve, one needs to compute curvature accurately and directly on an evolved version ������ of that curve. Curvature k on ������ is given by:
角点检测
评价角点检测算法性能优劣主要从以下四个方面来考虑： 准确性：即使最小的角点，角点算法也可以检测到； 定位性：检测到的角点应尽可能地接近它们真实位置； 稳定性：对相同场景拍摄多幅照片时，每一个角点的位置都不应 该移动； 复杂性：检测算法的复杂性越小，运行速度就越快，自动化程度 就越高。
当 由小变大时，曲线的尺度从细向粗演化。图1显示非洲曲线尺度从细向粗的 演化；图2显示的是非洲图片的曲率尺度空间图像。
Figure 2: Curvature Scale Space image of Africa
Figure 1: Evolution of Africa
As the contour evolves, the actual locations of the corners change. If the detection is achieved at a large scale the localization of the corners will be poor. To overcome this problem tracking is introduced in the detection. The corners are located at a high scale high , this assures that the corner detection is not affected by noise. Then sigma is reduced and the same corner points are examined at lower scales. As a result, location of corners may be updated. This is continued until the scale is very low and the operation is very local. This improves localization and the computational cost is not high, as curvature values at scales lower than high do not need to be computed at every contour point but only in a small neighborhoods of the detected corners. 由于曲率的演化，角点的实际位置会发生改变。如果角点是在大范 围内的角点局部化得到的话，结果不是很理想。为了解决这个问题，本 文介绍了一种跟踪检测的方法，角点在高尺度 high下，确保了角点检测 不受噪声干扰。然后减小 的值，在较低的尺度下研究角点，结果角点 的位置会更新。直到尺度非常低，运算非常局部。这提高了定位的准确 性，减小了计算量。作为低于高尺度曲率值不需要在每一个角点候选点 计算，只在相邻的角点进行检测。
Propose the following criteria: All the true corners should be detected Corner points should be well localized No false corners should be detected Corner detector should be robust to noise Corner detector should be efficient
The function defined implicitly by k (u, ) 0 is the CSS image of ������ . u g (u, ) gu (u, ) guu (u, ) k 其中， 为曲线 的曲率值， 和 分别为对应 的关于 k (u, ) 0 一阶和二阶导数。 当 时，得到曲线的曲率尺度空间图像。
S 0
lim

S
The curvature scale space technique
曲率尺度空间技术
The curvature scale space technique is suitable for recovering invariant geometric features (curvature zero-crossing points and/or extrema) of a planar curve at multiple scales. To compute it, the curve Γ is first parametrized by the arc length parameter u: (u) ( x(u), y(u)) （将曲线用弧长参数u表达）
曲率
曲线的曲率（curvature）就是针对曲线上某个点的切线方向 角对弧长的转动率，通过微分来定义，表明曲线偏移直线的程度。 数学上表明曲线在某一点的弯曲程度的数值。曲率越大，表示曲线 的弯曲程度越大。曲率的倒数就是曲率半径。
例如在曲线CD上点A和临近一点A’各做一条切线，A和A’之间 的弧长为ΔS，两条切线夹角为α，则曲线CD在A点的曲率为 ：
实验室讨论班
Curvature Scale Space Based Image Corner Detection
基于曲率尺度空间的图像角点测试
Farzin Mokhtarian and Riku Suomela,1998 钟雪君
Introduction:
Corner detection is an important task in various machine vision and image processing systems. Applications include motion tracking, object recognition, and stereo matching. It is a fundamental problem and several different algorithms have been proposed. 角点是图像亮度发生剧烈变化或图像边缘曲线上曲率极大值的点。在实 际地物中，存在大量道路和房屋的拐角“┐”、道路十字交岔口“X”、 “+”等，这些地物体现在图像中，就是图像中得角点。 （书 P45） 角点有两个版本的定义：一是角点可以是两个边缘的交点；二是角点是 邻域内具有两个主方向的特征点。从20世纪70年代至今，许多学者对交 点测试投入了大量的研究，因此也产生了很多角点检测算法。 这些算法大致可以分为三类： 1. 基于模板的角点测试方法；（基于二值图像的角点检测） 2. 基于边缘特征的角点测试方法；（基于轮廓曲线的角点检测） 3. 基于亮度变化的角点测试方法。（基于灰度图像的角点检测） （书P37）CSS cor源自er detection method
CSS角点检测方法
The process of CSS image corner detection is as follows: Utilize the Canny edge detector to extract edges from the original image Extract the edge contours from the edge image — Fill the gaps in the edge contour — Find T-junctions and mark them as T-corners Compute the curvature at highest scale high and determine the corner candidates by comparing the maxima of curvature to the threshold t and the neighboring local minima. Track the corners to the lowest scale to improve localization Compare the T-corners to the corners found using the curvature procedure and remove corners which are too close. 用Canny算子提取原始图像轮廓； 从边缘图像中提取轮廓曲线，填充轮廓曲线中得断点，找到T型交岔点，标记 为T型角点； 用一个较高的尺度来计算轮廓曲线上任意一点处的曲率。把局部曲率最大点作 为候选角点，如果某个候选点处的曲率值大于阈值t，并且大约是相邻局部曲率 最小点处的曲率值的2倍，则把该角点作为正确角点； 在较低的尺度下对已提取的角点进行定位。 把T型角点和提取出来的角点进行比较，剔除两个相隔较近的其中一个角点。
曲率演化形式定义 k (u, )
X u (u, )Yuu (u, ) X uu (u, )Yu (u, ) ( X u (u, ) 2 Yu (u, ) 2 )1.5