侯风波版高等数学练习答案
高等数学-高教版第五版-侯风波 第2章第3节
xπ
2
2
3． 复合函数求极限的方法
例 4 求极限 lim ln (1 x ) ．
x 0
x
解
ln(1
x)
ln(1
1
x) x
，
1
ln(1 x) x
是
由
x
1
1
y ln u,u (1 x) x 复合而成的，而lim(1 x) x e，在 u e
x0
点ln u连续，故lim
二、初等函数的连续性
1． 初等函数的连续性
定理 一切初等函数在其定义区间内都是连续的．
求初等函数的连续区间就是求其定义区间．关于分段 函数的连续性，除按上述结论考虑每一段函数的连续性 外，还必须讨论分界点处的连续性．
f (x) 1 x 1
解：要使
f (x)
1 x
1
有意义，则x+1>0
因此函数 f (x) 1 x 1
至少存在一点 (a,b) ，使得 f ( ) ．
定理 3 称为根的存在定理．从几何上看，如下页左图 所 示 ，连 续曲 线 y f (x) 从 x 轴 下 侧 的点 A ( 纵坐 标 f (a) 0 ) 笔 不 离 纸 地 画 到 x 轴 上 侧 的 点 B ( 纵 坐 标
f (b) 0时，比与 x轴至少相交于一点C( ,0) ．这表明若
无穷间断点属第二类间断点．
例
1
设
f
x
x2, x
x
1,
x
1 1
，
讨论 ，
f
(x)在
x
1处的连续性．
解 因为
lim f (x) lim x2 1 ,
(完整版)侯风波版《高等数学》练习答案
第一章 函数 习题 函数一、填空题：略 . 二、略 . 三、图略 .四、图略； 0 ， 2， 6.五、 1.函数 f (x) 与 g(x) 不相同 ； 2.函数 f (x) 与 g(x) 是同一个函数3六、 y log a (2 t)3 .七、 1. y log a u,u sin v, v 2w ,w x 1；2. y arcsin u, u v,v lg w,w x 1 ；2x3. y cosu,u v ,v e 1 ；224. y u ,u cosv,v ln w,w x 2x 1.第二章 极限与连续 习题一 极限的概念一、判断题：略 . 二、图略； lim f (x) =0.x0三、 (1) f(x)无定义 ,g(1) 2,h(1) 3；左极限 lim f(x) 0；右极限 lim f (x) 1；函数在 x 0处的极限不存在 . 0(2) lim f(x) 2； lim g(x)2； lim h(x) 2. x1四、五、 1)lim x1f(x)2； lim f(x)x11；lim f (x) 不存在；x12) lim 3 x 2f(x)9lim f (x) 34x29； lim 3 f (x) 9； x 3 423)lim x2f (x)4； lim f(x)x28； lim f(x)不存在 . x2习题二 极限的四则运算、求下列极限1. 30；2. 17 ；3. 40 ； 、 10x 2 x ；1．1 4. ．4四、求下列极限21. ；3 五、 1． 六、 1 ．习题三 两个重要极限、求下列极限11. 1；2. 16；3.；4. 1；5. 1； 6. 8．24、求下列极限3 2 91. e ；2. e ；3. e ；4.习题四 无穷小与无穷大一、 1. x ； 2. x0．二、 1. x 1 及 x； 2. x ．三、 1. x 1 ； 2. x 1．四、求下列极限1. 0；2. 0 ．五、 sin 3 x 是比 4x 2 高阶的无穷小． 六、提示：由极限运算及等价无穷小定义．习题五 函数的连续与间断一、选择题：略 . 二、 a 2.三、 1. 可去间断点是 x 1 ；2. x 7 为函数的第二类间断点； x 1为函数的跳跃间断点四、求下列极限11 1. 0； 2. ； 3. ； 4. 4.22五、 1,4 为函数的定义区间，即为函数的连续区间 .、求下列极限1. 12；2. 0 ；3. 4；4. 1 ．62.12．e5第三章 导数与微分 习题一 导数的定义3一、 1. f (1) 2；2. f (2) 3. 4二、y a .三、 f (0) 0.四、左导数 f (0) 1，右导数为 f _(0) 0 ，函数在 x 0处的导数不存在五、在( 1 ， 1)点处切线平行于直线 .习题二 导数的四则运算、填空题：略． 、求下列函数的导数41. y 5x ； xln22. y e x (sin x cosx) ；323.y 1 x 2 5 x 33三、① 定义域 R 即为函数的连续区间；4. y5. y12[(2xln x 1cos 2 xx23sec x1 1 x 22x) cosx (1 x )ln xsinx]；；6.2xarctanx2x1 x 2dy 2x 5sinx 5dx 25 x 5cosx ；③ 由定义，f (0) 0 ；④ f (x) 23 255x 5 sin x x5 cosx ．习题三复合函数求导5第一章 函数 班级 学号 姓名1 3sin 3x ；；x cos3xw sin 2( wt )；a(t) 2w 2 cos2(wt ).e f(x)[f (e x )e x f(e x )f (x)] .习题四 隐函数 对数函数求导 高阶导数 、是非题：略．、求下列方程所确定的隐函数 y f (x) 的导数三、用对数求导法求下列函数的导数2. y 2x12e2 2 cosx ；x 23. y 360(12x)8；4. y 6 400sin2x ．2 d dx y x 2x (2lnx 2)．一、填空题：略 . 二、求下列函数的导数1. sin2x sin x 22xsin 2 xcosx2.sin2x 2 1e [sec ( x 12 ) 2cos2xx2tan 1x]；3.99200(1 x)99101 (1 x)1014.xcos1 1ex[cosx 1sin 1] ；xx5.6.2xln x ln(ln x)四、v(t) 1. yxy1 e x esin x； ；x2.xyyexyex1. y1 4 (x 1)(x 1)3(23 4x) (1 4 (x 2)(x 3)(x 13 x14 1 1 )23 4x x 2 x 3)三、求方程所确定的隐函数 y f(x)的微分 dye x 2xyb 2 x1. dy 2dx ； 2. dy 2 dx .x 2 cosya 2 y四、利用微分计算下列各数的近似值1. 3 1.01 1.0033 ；2. e 0.21 1.21.五、球的体积扩大约为 1800π cm 3.第四章 微分学的应用 习题一 洛必达法则、是非题：略 . 、求下列各式的极限1. 0 ；2. 1；3. 1；4. 0.、求下列各式的极限1. 0；2. 0 .四、求下列极限11. 0 ；2. 1；3. 1；4.e 2 ；5. 3；6. 0.、填空题：略 、求下列函数的微分1. dy 2(1 x cosx)1 sinx dx ；2. dy e 2x (2sin3x 3cos3x)dx ； 习题五 微分3. dy4. dy2ln x 3 dx ； x3e 3x 1 1 e 6x 2dx .习题二函数的单调性一、单项选择题：略．二、求下列函数的单调区间1. 单增区间( ,0) (2, ) ，单减区间(0,2) ；2. 单增区间( ,0)，单减区间(0, ) ；113. 单增区间(2, ) ，单减区间(0,2)；4. 单增区间( , 1) (0, ) ，单减区间( 1,0) ．三、提示：利用函数单调性证明．11 四、单调递增区间( , ) ，单调递减区间( , ) .22习题三函数的极值一、单项选择题：略．二、1. f (x) ；2. f (x)；3. 极小值；4. f(1) 3．三、最大值为f( 1) 10 ，最小值为f (3) 22．四、极大值为f(0) 0 ，极小值为f( 2 ) f( 2 ) 1．2 2 4五、当直径2r与高h之比为1∶1时，所用的材料最少．习题四曲线的凹凸性与拐点、填空题：略．、曲线在( 2332 3)及(2 333) 内上凹, 在( 2 3, 2 3) 内下凹，拐点为3323 109)和四、示意图第五章 不定积分 习题一 不定积分的概念与基本公式 、填空题：略 .、选择题：略 . 三、计算下列不定积分1332. 3x C ； x 3 5x ln 5 13. 3sinx 2ln x C ；x4.cosx 2 arcsin x πx C .四、求解下列各题1.f (x)dx 2e 2x C ；x22. f (x) e sec x ； 33. 所求函数为 y x 3 3x 2.习题二 不定积分的换元积分法三、函数在 (0,2) 上的极大值为 f ( ) 2327，极小值为 f(1) 1 ；最大值为 f(2) 1 ，最小值为f(1)1；拐点为 (23， 25 27). 1.13C ；一、填空题：略．二、选择题：略．三、多步填空题：略．四、计算下列不定积分1. 1 x2 3C；2. 1arcsinx2C ；23. 1ln(14 x4) arctan x24. tanx 1tan4x C ；32 321 x C；5. 1 x2333arccos C6. x2 9x习题三分部积分法简单有理函数的积分、填空题：略.、多步填空题：略. 、求下列不定积分1x1. 2e 1 x 1 x 1 C ；22xx2. ( x)ln x x C ；242x3. (x 2x 2)e C ；6. ln(x x23)2C.四、e2x f (e x)dx e x f (e x) f (e x) C．第六章定积分习题一定积分的概念微积分基本公式234. x arcsin x (1 x2)2 C；5. 2 xcos x 2sin x C、选择题：略 . 、求下列定积分、解答下列各题41. f (x) sinx 2x ；习题二 定积分的换元积分法与分部积分法 、 填空题：略 .、 求下列定积分π21 2 π 3 1. 2(2 e) ； 2. ； 3. (e 2 1) ； 4.1；324 12 2921221 5. ln ；6. 2；7. (e 21) ； 8. ln4a 2223习题三 定积分的应用六、 P 18 g .、S3.、Vπr 32h . 、(1)S 2；1. 334；2.44 2 4；3.2 ；4. 1π；5. 4 ；6.42.l ximx0 f(t)dt3.21 f(x)dx(2π 4) : (8π 2π 4)= (6π 4) : (18π 4).33习题四 反常积分、填空题：略．、选择题：略．三、计算下列广义积分1π1. ；2. ．22四、1 x2 dx发散x 2第七章 常微分方程习题一 常微分方程的基本概念与分离变量法一、判断正误：略 . 二、填空题：略 . 三、多步填空题：略 . 四、求解下列各题21 1. 1 y 2C （其中 C C 1为任意常数） ；3x习题二 一阶线性微分方程习题三 二阶常系数齐次线性微分方程一、填空题：略． 二、多步填空题：略． 三、求下列微分方程的通解6x x1.y C 1eC 2e ；2. 冷却规律为 T （t ） 20 30ekt一、填空题：略． 二、多步填空题： 略．三、通解为 y1 Cex 2其中 C 为任意常数） ．2. y(C 1C 2x)e 5x ；3. y1xe 2x3(C 1 cos x123 C 2sin x) ；4. y Ce25x．四、f (x) y 2e x 1 ．习题四 二阶常系数非齐次线性微分方程一、填空题：略． 二、多步填空题：略．5 13 4x 4 8 x三、 y e ( x )e ．4 36 3 9四、求下列微分方程满足初始条件的特解 (1) y (x x 2)e 2x ； (2) y sin x ．第八章 空间解析几何习题一 空间直角坐标系与向量的概念一、填空题：略． 二、选择题：略． 三、求解下列问题4. C( 2,0,0) ．习题二 向量的点积与叉积、是非题：略． 、填空题：略．1.3AB 2AC 2i 3k ；2. d AB 14 ；3. 333 9993； 9；三、选择题：略． 三、求解下列各题2. b 12,6, 4 ；习题三 平面和直线一、填空题：略． 二、选择题：略． 三、求解下列问题1. 4x 3y z 5 ；2. z y 2 ； x 1 y 2 z 13. ；1 1 24. ① p 5 ；② p 7 ．习题四 曲面与空间曲线一、填空题：略． 二、选择题：略． 三、求解下列问题221. 方程为 y 5z 2 4x ，是旋转抛物面；第九章 多元函数微分学5 投影方程为 y 2z 5,x 0 ;1.5 , 3 , 7 83, 83, 833.S ABC3 21 ．3. 投影方程为x 2 2z 4 0,y02四、表面积 S π r 2 2π rh ，体积 V 五、 f ( x, y) f (0, 0)= ( x ()2x)( (y)y)2习题二 偏导数及高阶偏导数 、是非题：略．、填空题：略． 、解下列各题1. z 4x ， z 9y 2； xy2. z 4xy 6， z 6x 2 y 2； xy z3. 2x ln y ，x2z四、略．习题三 全微分、填空题：略． 、解答下列各题1. dz y(ln x 1)dx xln xdy ；2. du yx y 1dx (x y lnx sin z)dy y cos zdz ；3. z 0.119 ；x4.xy arctan z ，yx arctan z ，zxy1 z 2习题一 一、填空题：略．二、函数的定义域为(x,y)122xy三、xy三、lim4 1．x y 00 xy4z1x0 x，yyyx，2z1；2，；y 2yxy2， 多元函数及其极限2z2 y 24. dz 0.125 ．三、 sin0.01cos0.03 0.01． 四、对角线变化约为 0.045m ． 五、所需水泥的近似值为 9.4m 3 ．习题四 复合函数的偏导数、填空题：略． 、多步填空题：略． 、解下列各题dz 1；1.dt2.zz， zz(xy)；2；x yyy3. z2 xycos y(2sin x z2 2xcosx)， x7 8sin x(cos 2 y ysin2y)xy习题五 偏导数的几何应用、填空题：略． 、求解下列各题习题六 多元函数的极值一、判断题：略． 二、选择题：略． 三、计算下列各题24；r :h 1: 2时，所用材料最省．第十章 多元函数积分学7 函数在 (2,1) 点取得极小值 8 当端面半径与半圆柱高满足1. 切线方程为 x1y9z 27 272. 切平面方程为 2(x 1) 4(y 1) (z 3)=0 ；3. 切线方程为x 1 y 1 z 1 16 9 1法平面方程为16(x 1)9(y 1) 1(z 1) 0 ．2x( )；习题一 二重积分及其在直角坐标系下的计算一、判断题：略． 二、填空题：略． 三、计算下列各题1. I 0 ；、求解下列各题2. V 32π； 13. 薄片的质量为 ．12章 级数习题一 数项级数一、判断题：略． 二、选择题：略． 三、判断下列级数的敛散性1. ( 1)n 发散； n14.21n1 2n收敛；2. ① I2 2x20dx 0 y 2dy32；② I 30dyy y 2dx2323. I10dye y dx习题二 、填空题：略． 、多步填空题极坐标下二重积分的计算及二重积分的应用提示： e (x y )dxdye r rd rd θDD1 r2 d θre rdr 0d θ 0 11 e 02 d(r 2) 12(1 1)d θe1. cos(x 2 y 2)dxdy D 2 π；2提示：化为极坐标下的二重积分）2.11 461 2n发散；e5. ( 1)n 1 n n收敛；n 1 26. n 123(n 1)n收敛．习题二幂级数、填空题：略．、求解下列各题1. 级数2n nx n的收敛半径为R0 2n 1 21；；2. 级数2n2 x2n 1的收敛半径为R0 2n 12；2；3. 级数(x 1n)的收敛域为[ 1,3) ；n2n4. 级数n1nx01的和函数为S(x)1；(1 x)2 ；5. 级数2n 1x2n 1的和函数为S(x)1ln(1 x)2 ．1x、填空题：略.二、求解下列各题1. 展开为ln(22.展开为sin2 x习题三函数的幂级数展开x)xln 22(2x)22!(2x)42 4!3. 2x=1 x2x ln 2 (ln 2)2 2x2!(2x)22(2x)331)n(2x)n1(n 1)，收敛域为x (2,2]；1)n1(2x)2n2(2n)! ，收敛域为x( )；(ln 2)32x3!(ln 2)n2x x nxn!，收敛区间为2 x( )；1 n n4. 展开式为x2 13x 2 n 0( 1)n x n 1 ( 1)n(x)n，收敛区间为( 1,1). 2n 0 2四、切线方程为y 0 ．五、求下列函数的二阶导数351. y 10x3(9x5 4) ；4五、Wπ r。
最新版高等数学课后习题答案
高等数学（上） 第一章 函数与极限1. 设 ⎪⎩⎪⎨⎧≥<=3||,03|||,sin |)(ππϕx x x x , 求).2(446ϕπϕπϕπϕ、、、⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛6sin )6(ππϕ=21= 224sin )4(==ππϕ()0222)4sin()4(==-=-ϕππϕ2. 设()x f 的定义域为[]1,0，问：⑴()2x f ； ⑵()x f sin ； ⑶()()0>+a a x f ； ⑷()()a x f a x f -++ ()0>a 的定义域是什么？（1）][；，－的定义域为所以知－11)(,111022x f x x ≤≤≤≤ []ππππ)12(,2)(sin ),()12(21sin 0)2(+∈+≤≤≤≤k k x f Z k k x k x 的定义域为所以知由][a a a x f a x a a x -+-≤≤≤+≤1,)(110)3(－的定义域为所以知－由][φ时，定义域为当时，定义域为当从而得－知由211,210111010)4(>-≤<⎩⎨⎧+≤≤-≤≤⎩⎨⎧≤-≤≤+≤a a a a a x a a x a a x a x3. 设()⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=111011x x x x f ，()x e x g =，求()[]x g f 和()[]x f g ，并做出这两个函数的图形。
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=<==⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=-1,1,11,)]([.)20,10,00,1)]([1)(,11)(,01)(,1)]([.)11)(x e x x e e x f g x x x x g f x g x g x g x g f x f 从而得4. 设数列{}n x 有界, 又,0lim =∞→n n y 证明: .0lim =∞→n n n y x{}结论成立。
高等数学11单元第八章常微分方程
授课11单元教案第一节微分方程的基本概念教学过程一、引入新课初等数学中就有各种各样的方程：线性方程、二次方程、高次方程、指数方程、对数方程、三角方程和方程组等等。
这些方程都是要把研究的问题中的已知数和未知数之间的关系找出来，列出包含一个未知数或几个未知数的一个或者多个方程式，然后求取方程的解。
方程的定义：含有未知数的的等式。
它表达了未知量所必须满足的某种条件。
根据对未知量所施行的数学运算的不同，我们可以将方程分成许多不同的类型来研究。
引例1二、新授课1、微分方程的定义：含有未知函数的导数或微分的方程，称为微分方程如果未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程式；如果未知函数是多元函数的微分方程式称为偏微分方程。
例如，22;d yx y x dx=+=dx 和是常微分方程dyzxy x∂=∂是偏微分方程. 微分方程中未知函数的最高阶导数的阶数，称为微分方程式的阶。
一阶微分方程的一般形式为 (,,)0F x y y '= 例如：2354()0y x y x '+-=，2()20dy dyx y x dx dx-+=都是一阶微分方程。
二阶微分方程的一般形式为 (,,,)0F x y y y '''= 例如：222sin 0d y dyyx dx dx-+=，2223()(2)y k y '''=+都是二阶微分方程。
类似可写出n 阶微分方程的一般形式 ()(,,,,)0n F x y y y y '''=。
其中F 是n +2个变量的函数。
这里必须指出，在方程()(,,,,)0n F x y y y y '''=中，()n y 必须出现，而,,,x y y '(1),n y y -''等变量可以不出现。
例如()()n y f x =也是n 阶微分方程。
例1 ．指出下列方程中哪些是微分方程，并说明它们的阶数：122222222(1) 0; (2) 2;(3) sin 0; (4) 3;(5) '''3; (6) ;(7) '''(')0. t dy y dx y y x d yxdy y xdx y e dt yy y x dy dx x y xy y -==++=+=+==+-=2、微分方程的解能够满足微分方程的函数都称为微分方程的解 求微分方程的解的过程，称为解微分方程例如，函数3x 16是微分方程22d y x dx =的解。
最新侯风波版《高等数学》练习答案
侯风波版《高等数学》练习答案第一章函数习题函数一、填空题：略.二、略.三、图略.四、图略；«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...».五、1.函数«Skip Record If...»与«Skip Record If...»不相同；2.函数«Skip Record If...»与«Skip Record If...»是同一个函数.六、«Skip Record If...».七、1. «Skip Record If...»；2. «Skip Record If...»；3. «Skip Record If...»；4. «Skip Record If...».第二章极限与连续习题一极限的概念一、判断题：略.二、图略；«Skip Record If...»=0.三、(1)«Skip Record If...»无定义,«Skip Record If...»,«Skip Record If...»；(2)«Skip Record If...»；«Skip Record If...»；«Skip Record If...».四、左极限«Skip Record If...»；右极限«Skip Record If...»；函数在«Skip Record If...»处的极限不存在.五、（1）«Skip Record If...»；«Skip Record If...»；«Skip Record If...»不存在；（2）«Skip Record If...»«Skip Record If...»；«Skip Record If...»；（3）«Skip Record If...»；«Skip Record If...»；«Skip Record If...»不存在.习题二极限的四则运算一、求下列极限1. «Skip Record If...»；2. «Skip Record If...»；3. «Skip Record If...»；4. «Skip Record If...»．二、«Skip Record If...»；1．三、求下列极限1. «Skip Record If...»；2. «Skip Record If...»；3. «Skip Record If...»；4. «Skip Record If...»．四、求下列极限1. «Skip Record If...»；2. «Skip Record If...»．五、«Skip Record If...»．六、«Skip Record If...»．习题三两个重要极限一、求下列极限1. «Skip Record If...»；2. «Skip Record If...»；3. «Skip Record If...»；4. «Skip Record If...»；5. «Skip Record If...»；6. «Skip Record If...»．二、求下列极限1. «Skip Record If...»；2. «Skip Record If...»；3. «Skip Record If...»；4. «Skip Record If...»．习题四无穷小与无穷大一、1. «Skip Record If...»； 2. «Skip Record If...»．二、1. «Skip Record If...»及«Skip Record If...»； 2. «Skip Record If...»．三、1. «Skip Record If...»； 2. «Skip Record If...»．四、求下列极限1. «Skip Record If...»；2. «Skip Record If...»．五、«Skip Record If...»高阶的无穷小．六、提示：由极限运算及等价无穷小定义．习题五函数的连续与间断一、选择题：略.二、«Skip Record If...».三、1. 可去间断点是«Skip Record If...»；2. «Skip Record If...»为函数的第二类间断点；«Skip Record If...»为函数的跳跃间断点.四、求下列极限1. «Skip Record If...»；2. «Skip Record If...»；3. «Skip Record If...»；4. «Skip Record If...».五、«Skip Record If...»为函数的定义区间，即为函数的连续区间.第三章导数与微分习题一导数的定义一、1. «Skip Record If...»；2. «Skip Record If...».二、«Skip Record If...».三、«Skip Record If...».四、左导数 «Skip Record If...»，右导数为 «Skip Record If...»，函数在«Skip Record If...»处的导数不存在.五、在（1«Skip Record If...»，1）点处切线平行于直线.习题二导数的四则运算一、填空题：略．二、求下列函数的导数1. «Skip Record If...»；2. «Skip Record If...»；3. «Skip Record If...»；4. «Skip Record If...»；5. «Skip Record If...»；6. «Skip Record If...»．三、①定义域«Skip Record If...»即为函数的连续区间；② «Skip Record If...»；③由定义，«Skip Record If...»；④ «Skip Record If...»．习题三复合函数求导一、填空题：略.二、求下列函数的导数1. «Skip Record If...»；2. «Skip Record If...»；3. «Skip Record If...»；4. «Skip Record If...»；5. «Skip Record If...»；6. «Skip Record If...».三、«Skip Record If...»；«Skip Record If...».四、«Skip Record If...».习题四隐函数对数函数求导高阶导数一、是非题：略．二、求下列方程所确定的隐函数«Skip Record If...»的导数1. «Skip Record If...»；2. «Skip Record If...»．三、用对数求导法求下列函数的导数1.«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»2. «Skip Record If...»．四、切线方程为«Skip Record If...»．五、求下列函数的二阶导数1. «Skip Record If...»；2. «Skip Record If...»；3. «Skip Record If...»；4. «Skip Record If...»«Skip Record If...»．习题五微分一、填空题：略.二、求下列函数的微分1. «Skip Record If...»；2. «Skip Record If...»；3. «Skip Record If...»；4. «Skip Record If...».三、求方程所确定的隐函数«Skip Record If...»的微分«Skip Record If...»1. «Skip Record If...»；2. «Skip Record If...».四、利用微分计算下列各数的近似值1. «Skip Record If...»；2. «Skip Record If...».五、球的体积扩大约为«Skip Record If...».第四章微分学的应用习题一洛必达法则一、是非题：略.二、求下列各式的极限1. «Skip Record If...»；2. «Skip Record If...»；3. «Skip Record If...»；4. «Skip Record If...».三、求下列各式的极限1. «Skip Record If...»；2. «Skip Record If...».四、求下列极限1. «Skip Record If...»；2. «Skip Record If...»；3. «Skip Record If...»；4.«Skip Record If...»；5. «Skip Record If...»；6. «Skip Record If...».习题二函数的单调性一、单项选择题：略．二、求下列函数的单调区间1. 单增区间«Skip Record If...»，单减区间«Skip Record If...»；2. 单增区间«Skip Record If...»，单减区间«Skip Record If...»；3. 单增区间«Skip Record If...»，单减区间«Skip Record If...»；4. 单增区间«Skip Record If...»，单减区间«Skip Record If...»．三、提示：利用函数单调性证明．四、单调递增区间«Skip Record If...»，单调递减区间«Skip Record If...».习题三函数的极值一、单项选择题：略．二、1.«Skip Record If...»； 2.«Skip Record If...»； 3. 极小值； 4. «Skip Record If...»．三、最大值为«Skip Record If...»，最小值为«Skip Record If...»．四、极大值为«Skip Record If...»，极小值为«Skip Record If...»．五、当直径«Skip Record If...»与高«Skip Record If...»之比为«Skip Record If...»时，所用的材料最少．习题四曲线的凹凸性与拐点一、填空题：略．二、曲线在«Skip Record If...»及«Skip Record If...»内上凹,在«Skip Record If...»内下凹，拐点为«Skip Record If...»和«Skip Record If...»．三、函数在«Skip Record If...»上的极大值为«Skip Record If...»，极小值为«Skip Record If...»；最大值为«Skip Record If...»，最小值为«Skip Record If...»；拐点为«Skip Record If...».四、示意图:第五章不定积分习题一不定积分的概念与基本公式一、填空题：略.二、选择题：略.三、计算下列不定积分1. «Skip Record If...»；2. «Skip Record If...»；3. «Skip Record If...»；4. «Skip Record If...».四、求解下列各题1. «Skip Record If...»；2. «Skip Record If...»；3.所求函数为«Skip Record If...».习题二不定积分的换元积分法一、填空题：略．二、选择题：略．三、多步填空题：略．四、计算下列不定积分1. «Skip Record If...»；2. «Skip Record If...»；3. «Skip Record If...»；4. «Skip Record If...»；5. «Skip Record If...»；6. «Skip Record If...»．习题三分部积分法简单有理函数的积分一、填空题：略.二、多步填空题：略.三、求下列不定积分1. «Skip Record If...»；2. «Skip Record If...»；3. «Skip Record If...»；4. «Skip Record If...»；5. «Skip Record If...»；6. «Skip Record If...».四、«Skip Record If...»«Skip Record If...»．第六章定积分习题一定积分的概念微积分基本公式一、选择题：略.二、求下列定积分1. «Skip Record If...»；2. «Skip Record If...»；3. «Skip Record If...»；4. «Skip Record If...»；5. «Skip Record If...»；6. «Skip Record If...».三、解答下列各题1. «Skip Record If...»；2. «Skip Record If...»；3. «Skip Record If...».习题二定积分的换元积分法与分部积分法一、填空题：略.二、求下列定积分1. «Skip Record If...»；2. «Skip Record If...»；3. «Skip Record If...»；4. «Skip Record If...»；5. «Skip Record If...»；6. «Skip Record If...»；7. «Skip Record If...»；8. «Skip Record If...».习题三定积分的应用一、«Skip Record If...».二、«Skip Record If...».三、（1）«Skip Record If...»；（2）«Skip Record If...».四、两部分面积比为«Skip Record If...»:«Skip Record If...»= «Skip Record If...»:«Skip Record If...».五、«Skip Record If...».六、«Skip Record If...».习题四反常积分一、填空题：略．二、选择题：略．三、计算下列广义积分1.«Skip Record If...»；2. «Skip Record If...»．四、«Skip Record If...»发散．第七章常微分方程习题一常微分方程的基本概念与分离变量法一、判断正误：略.二、填空题：略.三、多步填空题：略.四、求解下列各题1.«Skip Record If...»（其中«Skip Record If...»为任意常数）；2. 冷却规律为«Skip Record If...».习题二一阶线性微分方程一、填空题：略．二、多步填空题：略．三、通解为«Skip Record If...»（其中«Skip Record If...»为任意常数）．习题三二阶常系数齐次线性微分方程一、填空题：略．二、多步填空题：略．三、求下列微分方程的通解1. «Skip Record If...»«Skip Record If...»；2. «Skip Record If...»«Skip Record If...»；3. «Skip Record If...»«Skip Record If...»；4. «Skip Record If...»«Skip Record If...»．四、«Skip Record If...»．习题四二阶常系数非齐次线性微分方程一、填空题：略．二、多步填空题：略．三、«Skip Record If...»．四、求下列微分方程满足初始条件的特解（1）«Skip Record If...»；（2）«Skip Record If...»．第八章空间解析几何习题一空间直角坐标系与向量的概念一、填空题：略．二、选择题：略．三、求解下列问题1. «Skip Record If...»；2. «Skip Record If...»；3. «Skip Record If...»和 «Skip Record If...»；4. «Skip Record If...»．习题二向量的点积与叉积一、是非题：略．二、填空题：略．三、选择题：略．三、求解下列各题1. «Skip Record If...»；2. «Skip Record If...»；3. «Skip Record If...»．习题三平面和直线一、填空题：略．二、选择题：略．三、求解下列问题1. «Skip Record If...»；2. «Skip Record If...»；3. «Skip Record If...»；4. ①«Skip Record If...»；②«Skip Record If...»．习题四曲面与空间曲线一、填空题：略．二、选择题：略．三、求解下列问题1. 方程为«Skip Record If...»，是旋转抛物面；2. 投影方程为«Skip Record If...»3. 投影方程为«Skip Record If...»第九章多元函数微分学习题一多元函数及其极限一、填空题：略．二、函数的定义域为«Skip Record If...»；草图三、«Skip Record If...»．四、表面积«Skip Record If...»，体积«五、«Skip Record If...»=«Skip Record If...»．习题二偏导数及高阶偏导数一、是非题：略．二、填空题：略．三、解下列各题1. «Skip Record If...»，«Skip Record If...»；2. «Skip Record If...»，«Skip Record If...»；3. «Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»；4. «Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»．四、略．习题三全微分一、填空题：略．二、解答下列各题1. «Skip Record If...»；2. «Skip Record If...»；3. «Skip Record If...»；4. «Skip Record If...»．三、«Skip Record If...»．四、对角线变化约为«Skip Record If...»．五、所需水泥的近似值为«Skip Record If...»．习题四复合函数的偏导数一、填空题：略．二、多步填空题：略．三、解下列各题1. «Skip Record If...»；2. «Skip Record If...»，«Skip Record If...»；3. «Skip Record If...»，«Skip Record If...»．习题五偏导数的几何应用一、填空题：略．二、求解下列各题1. 切线方程为 «Skip Record If...»和«Skip Record If...»；2. 切平面方程为 «Skip Record If...»=«Skip Record If...»；3. 切线方程为 «Skip Record If...»，法平面方程为 «Skip Record If...»．习题六多元函数的极值一、判断题：略．二、选择题：略．三、计算下列各题1. 函数在«Skip Record If...»点取得极小值«Skip Record If...»；2. 当端面半径与半圆柱高满足«Skip Record If...»时，所用材料最省．«Skip Record If...»第十章多元函数积分学习题一二重积分及其在直角坐标系下的计算一、判断题：略．二、填空题：略．三、计算下列各题1. «Skip Record If...»；2. ①«Skip Record If...»；②«Skip Record If...»；3.«Skip Record If...»．习题二极坐标下二重积分的计算及二重积分的应用一、填空题：略．二、多步填空题提示：«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»．三、求解下列各题1. «Skip Record If...»；（提示：化为极坐标下的二重积分）；2. «Skip Record If...»；3. 薄片的质量为«Skip Record If...»．第十一章级数习题一数项级数一、判断题：略．二、选择题：略．三、判断下列级数的敛散性1. «Skip Record If...»发散；2. «Skip Record If...»发散；3. «Skip Record If...»当«Skip Record If...»或«Skip Record If...»时收敛，当«Skip Record If...»时发散；4. «Skip Record If...»收敛；5. «Skip Record If...»收敛；6. «Skip Record If...»收敛．习题二幂级数一、填空题：略．二、求解下列各题1. 级数«Skip Record If...»的收敛半径为«Skip Record If...»；2. 级数«Skip Record If...»的收敛半径为«Skip Record If...»；3. 级数«Skip Record If...»的收敛域为«Skip Record If...»；4. 级数«Skip Record If...»的和函数为«Skip Record If...»；5. 级数«Skip Record If...»的和函数为«Skip Record If...»．习题三函数的幂级数展开一、填空题：略.二、求解下列各题1. 展开为 «Skip Record If...»，收敛域为«Skip Record If...»；2.展开为«Skip Record If...»，收敛域为«Skip Record If...»；3. «Skip Record If...»=«Skip Record If...»，收敛区间为«Skip Record If...»；4. 展开式为«Skip Record If...»，收敛区间为«Skip Record If...».。
高等数学-高教版第五版-侯风波 第1章
2.函数的两个要素 函数的对应规律和定义域称为函数的两个要素. （１）对应法则 给定自变量的一个值后，通过对应法则得到唯一的函数值。
例3 下面各组对应法则是否相同？为什么？
(1)
f:
x y
1 6
2 7
3 8
4 9
g:
x y
1 6
2 7
3 8
4 9
(2)
φ:
x y
1 1
2 1
3 1
4 1
ψ:
x y
4 1
一、基本初等函数
函数名称
函数表达式
常数函数
y =C
(C 为常数)
幂函数
y x ( 为实数)
指数函数
y ax
(a ＞0,a ≠1,a 为常数)
对数函数
y =log a x (a ＞0,a ≠1,a 为常数)
三角函数 y = sin x , y =cos x , y =tan x , y =cot x
而成的，其定义域为［-1，1］，它是 u 1 x2 的定义域的一
部分. （3） y =arcsin u ,u =2+x 2 是不能复合成一个函数的．
例2 分析下列复合函数的结构：
⑴ y = cot x
2
解 ⑴ y= u,
⑵ y = eu ,
; u cot v ,
u sin v ,
⑵ y esin . x21
习惯上总是用 x 表示自变量，而用 y 表示函数，因此， 往往把 x = (y )改写成 y = ( x )，称为y = f (x) 的矫形反
函数，记作 y f 1(x) .称函数 y f (x) 的反函数 x ( y) 为
高等数学-高教版第五版-侯风波 第2章 第1节
解： 函数sgn（x）的图形见图所示，由图不难看出：
y
1
O
x
-1
新课导入：
五、无穷小量 分组讨论： 1、无穷小量指的是什么？ 2、怎样确定自变量x在变化过程中函数为无穷小？举例说明。 3、极限与无穷小有什么样的关系？ 4、无限个无穷小的和是无穷小吗？无穷小与有界变量的积、商会是什么？
x0
x0
x0
解 函数sgn x 的图形如图 4(见右上图)所示，不难看
出； limsgn x 1； lim sgn x 1；lim sgn x 不存在.
x0
x0
x0
定理 1 lim f (x) A的充要条件是 x x0
lim f (x) lim f (x) A.
lim f (x) lim f (x) A.
x x0
x x0
x , x 0，
例
1
设
f
(x)
1
, x 0，画出该函数的图形，
x , x 0，
并讨论 lim f (x)，lim f (x)， lim f (x)是否存在．
x0
x0
x0
解 看出：
f (x)的图形如图 3(见下页)所示，由该图不难
lim ( 2 n 1) 不 存 在 ；
n
（ 4 ） 对 于 数 列 u n ( 1) n 1 ， 即 1, 1,1,..., ( 1) n 1 ,... 极 限
lim ( 1) n 1 不 存 在 ．
n
单调数列 如果数列{un}对于每一个正整数 n ，都
小．一个量不管多么小，都不能是无穷小量，零是惟一例外 的．即无穷小量是绝对值无限变小且趋于零的量．
北大版高等数学课后习题答案 完整版
习题1.1222222222222222222.,,.3,3.3,,313 2.961,9124,31.3,93,3,3.,,.,,,,p p p q p q p q q p p k p k p k k p k k p p k k q q k q p q p a a a b p a pb b b====+=+=++=++======为互素自然数除尽必除尽否则或除将余故类似得除尽与互素矛盾.设是正的素数为互素自然数,则素证 2.证 1.2222222,,.,..,:(1)|||1| 3.\;(2)|3| 2.0,13,22,1,(1,0);01,13,13,(0,1);1,13,3/2,(1,3/2).(1,0)(0,1)p a p a a pk p k pb pk b p b a b x x x x x x x x x x x x x x x X ===+-<-<<-+-<>->--<<+-<<>+-<<=-⋃数除尽故除尽类似得除尽此与为互素自然数矛盾.解下列不等式若则若则若则3.解(1)222(1,3/2).(2)232,15,1||5,1||(1).,(1)||||||;(2)||1,|||| 1.(1)|||()|||||||||,||||||.(2)|||()||||||x x x x x a b a b a b a b a b a a b b a b b a b b a b a b a b a b b a b b ⋃-<-<<<<<<<=⋃-+≥--<<+=++-≤++-=+++≥-=+-≤+-<设为任意实数证明设证明证4.,| 1.(1)|6|0.1;(2)||.60.160.1. 5.9 6.1.(, 6.1)( 5.9,).(2)0,(,)(,);0,;0,(,).11,01,.1, 1.11x x a l x x x x X l X a l a l l x a l X a a n na b a ++>->+>+<->-<-=-∞-⋃-+∞>=++∞⋃-∞-=≠<=-∞+∞-><<>=>-=-=解下列不等式或或若若若若证明其中为自然数若解(1)证5.:6.1200001)(1)1).(,),(,).1/10.{|}.(,),,{|},10{|}./10,(1)/10,/10(1)/101/10n n n n n n n n n n n b b n a b a b n b a mA A m A a b ABC B A x x b C A x x a B m m C b a m m --+++><-=∈⋂=∅=⋃=⋂≥=⋂≤-∈-≤-Z 设为任意一个开区间证明中必有有理数取自然数 满足考虑有理数集合= 若则中有最小数-=证7.(,),(,).1/10.|}.10n n n n a b a b mn b a A m <-=∈Z ,此与的选取矛盾. 设为任意一个开区间证明中必有无理数取自然数 满足考虑无理数集合 以下仿8题.8.证习题1.26426642642666613.(1,)1).13.(,).13||13,||1,3,11||3,(,).yy xx x xyxx x x x x x xx xx x xy y x=+∞===<>++=-∞+∞+++++≤≤>≤=++=≤∈-∞+∞证明函数内是有界函数.研究函数在内是否有界时,时证解习题1.4221.-(1)0);(2)lim;(3)lim;(4)lim cos cos.1)0,|,,||.,||,|,(2)0x ax a x a x a x axa x a e e x ax a x aεδεεεδδεε→→→→→=>===∀>=<<<-<=-<<∀>直接用说法证明下列各极限等式:要使取则当时故证(222222,|| 1.||||||,|||||2|1|2|,1|2|)||,||.min{,1},||,1|2|1|2|||,lim(3)0,.||(1),01),1x ax a a x a x aax a x a x a x ax a x a a aa x a x a x aa ax a x ax a e e e e eeεεεεδδεεεε→---<-=+-<+≤-+<++-<-<=-<++-<=∀>>-=-<<-<<不妨设要使由于只需(取则当时故设要使即(.1,0ln1,min{,1},0,||,1|2|lim lim lim0,|cos cos|2sin sin2sin sin||,2222,|,|cos cosx aax aax a x a x ax a x a x aeex a x a e ee ae e e e e ex a x a x a x ax a x a x a x aεεεδδεεδεδ-→+→-→<+⎛⎫<-<+=<-<-<⎪+⎝⎭===+-+-∀>-==≤-=-<-取则当时故类似证故要使取则当|时...(4)2|,lim cos cos.2.lim(),(,)(,),().1,0,0|-|,|()|1,|()||()||()|||1||.(1)1(1)lim lim2x ax ax xx af x l a a a a a u f xx a f x lf x f x l l f x l l l Mxxεδδεδδ→→→→<==-⋃+==><<-<=-+≤-+<+=+-=故设证明存在的一个空心邻域使得函数在该邻域内使有界函数对于存在使得当 时从而求下列极限证3.:20022222000221222lim(1) 1.222sin sin1cos11122(2)lim lim lim1.2222(3)0).22(4)lim.22332(5)lim22xx x xx xxxx x xxx xxxx xax xx xx xx x→→→→→→→→+=+=⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎪====⎪⎪⎝⎭==>---=-------2.33-=-20103030300022********(23)(22)2(6)lim 1.(21)2 1.13132(8)lim lim lim 11(1)(1)(1)(1)(1)(2)lim lim (1)(1)x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x →∞→→→-→-→-→--+==+==-+---⎛⎫-== ⎪+++-++-+⎝⎭+-==+-+214442100(2)31.(1)3(9)244.63(1)1(1)12(10)lim lim lim .1(11)lim x x x nn n xy y x x x x n n ny y y x y n x y y→-→→→→→→→∞--==--+====-+++-+-===-101100100101001010.(12)lim (0)./,(13)lim(0)0,, .(14)lim x m m m mnnn x n n mm m n n x nx x a x a x a a b b x b x b b a b m na x a x a a bn m b x b xb m n --→--→∞→∞→∞==+++≠=+++=⎧+++⎪≠=>⎨+++⎪∞>⎩= 1.=2030232232203(15)lim12(12)5lim(112)55lim .3(112)(16)0,l x x x xx xx x x x x x x x xx x x x a →→→→+-+=++-+=++-+==++-+>00imlim lim x a x a x a →+→+→+⎫=+⎫=00lim lim x a x a →+→+⎛⎫=⎛⎫==000222200000sin 14.lim 1lim 1sin sin(1)lim lim lim cos .tansin sin(2)sin(2)2(2)lim lim lim 100323tan 3sin 2tan 3sin 2(3)lim lim lim sin 5sin 5xx x x x x x x x x x x x e x x x x x x x x x x x x xx x x x x αααββββ→→∞→→→→→→→→→⎛⎫=+= ⎪⎝⎭=====-=-利用及求下列极限:00()1/0321.sin 5555(4)lim lim 2cos sinsin sin 22(5)lim lim cos .2(6)lim 1lim 1lim 1.(7)lim(15)x x x a x a kxxxk kk k x x x yy x x xxx a x a x a a x a x ak k k e x x x y →→+→→----→∞→∞→∞→=-===+--==--⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥+=+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦-=51/(5)50100100lim(15).111(8)lim 1lim 1lim 1.5.lim ()lim ().lim ():0,0,0|-|().lim (y y x xx x x x ax x a x y e e x x x f x f x f x A x a f x A f x δδ--→+→∞→∞→∞→→-∞→→-∞⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦=+∞=-∞=+∞>><<>给出及的严格定义对于任意给定的存在使得当时):0,0,().A x f x A =-∞>∆><-∆<-对于任意给定的存在使得当时习题1.5222 21.(2)sin5.(1)0,|.,,|||||,0555()(2)(1)0,|sin5sin5|2|cos||sin|.22xx x axx x x xx a x ax aεδεεεδδεεε-==∀>=<≤<<=<<=+-∀>-=<试用说法证明连续在任意一点连续要使只需取则当时有连续.要使由于证000000555()2|cos||sin|5||,5||,||,225,|||sin5sin5|,sin55()()0,0||()0.(),()/2,0||(x a x ax a x a x ax a x a x x a y f x x f x x x f xf x x f x x xf xεεεδδεδδεδδ+-≤--<-<=-<-<==>>-<>=>-<只需取则当时有故在任意一点连续.2.设在处连续且证明存在使得当时由于在处连续对于存在存在使得当时证000000000000 )()|()/2,()()()/2()/20.3.()(,),|()|(,),?(,),.0,0|||()()|,||()||()|||()()|,||.f x f x f x f x f x f xf x a b f x a bx a b f x x xf x f x f x f x f x f x f xεδδεε-<>-=>∈>>-<-<-≤-<于是设在上连续证明在上也连续并且问其逆命题是否成立任取在连续任给存在使得当时此时故在连续其证0001,,(),()|11,ln(1),1,0,(1)()(2)()arccos, 1.0;lim()lim1(0),lim()(0)x x xxf x f xxax xxf x f xa x xa x xf x f f x fπ→-→→+⎧=≡⎨-⎩+≥⎧<==⎨<+≥⎩⎪⎩=====逆命题是有理数不真例如处处不连续但是|处处连续.是无理数4.适当地选取,使下列函数处处连续:解(1)11112sin2limsin31.(2)lim()lim ln(1)ln2(1),lim()lim arccos(1)ln2,ln2.5.3:(1)lim cos lim cos0 1.(2)lim(3)lim xx x x xx xxxxxaf x x f f x a x a fae eπ→→+→+→-→-→+∞→+∞→→==+====-===-=====利用初等函数的连续性及定理求下列极限sin22sin33.(4)lim arctan arctan1.4xxx xeπ→∞→∞====()()(ln ())()(5)6.lim ()0,lim (),lim)().lim)()lim)x g x b x x x x x x g x f x g x x x x x f x a g x b f x a f x e →→→→→=====>====设证明证0lim [(ln ())()]ln 22.7.,,(1)()cos ([]),,(2)()sgn(sin ),,,,1,(3)()1,1/2, 1.1(4)()x x f x g x b a b e e a f x x x n f x x n n x x f x x x x f x ππ→===-∈=∈⎧≠==⎨=⎩+=Z Z 指出下列函数的间断点及其类型若是可去间断点请修改函数在该点的函数值,使之称为连续函数:间断点第一类间断点.间断点第一类间断点.间断点第一类间断点.,011,sin,12,11,01,2(5)(),12,2,1,2 3.1x x x x x x f x x x x x xπ⎧≤≤⎪=⎨<≤⎪-⎩⎧≤≤⎪-⎪=<≤=⎨⎪⎪<≤-⎩间断点第二类间断点.间断点第一类间断点.0000008.(),(),()()()()()()()()()()(()())()()()()()0,()().y f x y g x x h x f x g x x f x g x x h x f x g x x x g x f x g x f x x x f x g x x f x g x D x ϕϕ===+==+=+-=≡=R R 设在上是连续函数而在上有定义但在一点处间断.问函数及在点是否一定间断?在点一定间断.因为如果它在点连续,将在点连续,矛盾.而在点未必间断.例如解习题1.600001.:()lim (),lim (),,,,()0,()0,[,],,(,),()0.2.01,,sin ,.(x x P x P x P x A B A B P A P B P A B x A B P x y y x x f x εε→+∞→-∞=+∞=-∞<<>∈=<<∈=-R 证明任一奇数次实系数多项式至少有一实根.设是一奇数次实系数多项式,不妨设首项系数是正数,则存在在连续根据连续函数的中间值定理存在使得设证明对于任意一个方程有解且解是唯一的令证证000000000000000212121212121)sin ,(||1)||1||,(||1)||1||,[||1,||1],,[||1,||1],().,()()(sin sin )||0,.3.()(,x x f y y y y f y y y y f y y x y y f x y x x f x f x x x x x x x x x f x a b εεεεε=---=--+<-≤+≥+->≥--+∈--+=>-=---≥--->在连续由中间值定理存在设故解唯一设在1212112212121121121112212221212121212),,(,),0,0,(,)()()().()(),.()(),()()()()()()()(),[,]x x a b m m a b m f x m f x f m m f x f x x f x f x m f x m f x m f x m f x m f x m f x f x f x m m m m m m x x ξξξ∈>>∈+=+==<+++=≤≤=+++连续又设证明存在使得如果取即可设则在上利用连续函数的中间值定理证.4.()[0,1]0()1,[0,1].[0,1]().()(),(0)(0)0,(1)(1)10.,01.,,(0,1),()0,().5.()[0,2],(0)(2).y f x f x x t f t t g t f t t g f g f t t g t f t t y f x f f =≤≤∀∈∈==-=≥=-≤∈====即可设在上连续且证明在存在一点使得如果有一个等号成立取为或如果等号都不成立则由连续函数的中间值定理存在使得即设在上连续且证明证12121212[0,2],||1,()().()(1)(),[0,1].(0)(1)(0),(1)(2)(1)(0)(1)(0).(0)0,(1)(0),0, 1.(0)0,(0),(1),,(0,1)()(1x x x x f x f x g x f x f x x g f f g f f f f g g f f x x g g g g f ξξξ-===+-∈=-=-=-=-====≠∈=+在存在两点与使得且令如果则取如果则异号由连续函数的中间值定理存在使得证12)()0,, 1.f x x ξξξ-===+取第一章总练习题221.:581 2.3|58|1422.|58|6,586586,.3552(2)33,52333,015.5(3)|1||2|1(1)(2),2144,.22|2|,.2,2,4,2;2,3x x x x x x x x x x x x x x x x x y x x x y x y x y x y x y x -≥-≥-≥-≥-≤-≥≤-≤-≤-≤≤≤+≥-+≥-+≥-+≥=+-≤=+≤=->=求解下列不等式（）或或设试将表示成的函数当时当时解解解2.解222312312,4,(2).32,41(2), 4.313.1.22,4(1)44,0.1,0.4.:1232(1)2.222221211,.22123222n n y x y y y x y y x x x x x x x x x x n n n n ->=--≤⎧⎪=⎨->⎪⎩<+≥-<++<++>≥-≠+++++=-+==++的全部用数学归纳法证明下列等式当时,2-等式成立设等式对于成立,则解证1231111121211222112312222222124(1)(1)3222,22221..1(1)(2)123(1).(1)1(11)1(1)1,(1)(1)n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n x nx x x nxx x x x x n x x ++++++-+++++=++++++++-+++=-+=-=-+-++++++=≠--++-===--即等式对于也成立故等式对于任意正整数皆成立当时证1,1212.1(1)123(1)(1)(1)n n n nnn n x nx x x nxn x n xx +--++++++++=++-等式成立设等式对于成立,则122122112211221221(1)(1)(1)(1)1(1)(12)(1)(1)1(1)(2)(1)(1)1(1)(2)(1)(1)1(2)(1),(1)1n n n n n n n n n n n n n n n n n n n x nx x n x x n x nx x x n x x n x nx x x x n x n x nx x x x n x n x n x x n ++++++++++-+++-+=--+++-++=--+++-++=--+++-++=--+++=-+即等式对于成立.,.|2|||25.()(1)(4),(1),(2),(2);(2)();(3)0()(4)224211222422(1)(4)1,(1)2,(2)2,(2)0.41224/,2(2)()x x f x xf f f f f x x f x x f f f f x x f x +--=---→→----------==--==-====----≤-=由归纳原理等式对于所有正整数都成立设求的值将表成分段函数当时是否有极限:当时是否有极限?解00022222222;2,20;0,0.(3).lim ()2,lim ()0lim ().(4).lim ()lim (4/)2,lim ()lim 22lim (),lim () 2.6.()[14],()14(1)(0),x x x x x x x x x x x f x f x f x f x x f x f x f x f x x f x x f →-→+→-→--→--→-+→-+→--→-⎧⎪-<≤⎨⎪>⎩==≠=-======--无因为有设即是不超过的最大整数.求003,;2(2)()0?(3)()?391(1)(0)[14]14,1467.[12]12.244(2).lim ()lim[14]14(0).(3).()12,()x y x x f f f x x f x x f f f f x y f f x f x →→+⎛⎫⎪⎝⎭==⎛⎫⎡⎤⎡⎤=-=-=-=-+=-=-=- ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦=-=-==-的值在处是否连续在连续因为不连续因为解111111.7.,0,,:(1)(1);(2)(1).n n n n n n a b a b n b a b a n b n a b a b a++++=-≤<--<++<--设两常数满足对一切自然数证明1111111()()(1),(1).118.1,2,3,,1,1.:{},{}..111,1,7,111n n n n n n n n n n n n nn n n n n n n b a b a b b a a b b b b n b b a b a b a n a b an a b n n a b a b a b n nn ++--+++--+++=<+++=+--->+-⎛⎫⎛⎫==+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭<+=++⎛+ ⎝类似有对令证明序列单调上升而序列单调下降,并且令则由题中的不等式证证=11111111111(1)1,111111111(1)11(1)1111111,11111.1111(1)11n n nn n nn nn nn n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n +++++++⎫⎛⎫-+⎪ ⎪+⎛⎫⎭⎝⎭<++ ⎪⎝⎭-+⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+<++ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+<+ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫+<+ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎛⎫+ ⎛⎫⎝⎭++< ⎪+⎝⎭111111121111111111(1)1111(1)11111111111111111.1111111.111n n nn n nn n n n n n n n n n n n n n n n n n nn n n n n +++++++⎛⎫-+⎪ ⎪+⎝⎭-+⎛⎫⎛⎫⎛⎫++<+-+ ⎪ ⎪⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫+<+-+ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++<+ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫++>+ ⎪++⎝⎭⇔我们证明22111211111(1)11..(1)(1)1111,1,1,11.nn n n n n n n n n n n e e e n n n n ++++>+++++⇔>++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫→∞+→+→+<<+ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭最后不等式显然成立当时故9.求极限22222222221111lim 1111234111111112341324351111().2233442210.()lim (00, ()lim n n n n n n n n n n n n nxf x a nx ax nxf x nx a →∞→∞→∞⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---- ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---- ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭++==→→∞=≠+===+作函数)的图形.解解0;1/,0.x x ⎧⎨≠⎩1111.?,()[,]|()|,[,].,(),[,],max{||,||}1,|()|,[,].,|()|,[,],(),[,].12.f x a b M f x M x a b M N f x N x a b M M N f x M x a b M f x M x a b M f x M x a b <∀∈≤≤∀∈=+<∀∈<∀∈-<<∀∈1在关于有界函数的定义下证明函数在区间上为有界函数的充要条件为存在一个正的常数使得设存在常数使得M 取则有反之若存在一个正的常数使得则证12121212:()()[,],()()()()[,].,,|()|,|()|,[,].|()()||()||()|,|()()||()||()|,[,].113.:()cos 0y f x y g x a b f x g x f x g x a b M M f x M g x M x a b f x g x f x g x M M f x g x f x g x M M x a b f x x x xπ==+<<∀∈+≤+<+=<∀∈==证明若函数及在上均为有界函数则及也都是上的有界函数存在证明在的任一证,0().11(,),00,,,(),1()(,)0,()(21/2)cos(21/2)0,21/20().n x f x M n n M f n M n nf x f x n n n x f x δδδδδδπ→->><>=>-=→=++=→∞+→n 邻域内都是无界的但当时不是无穷大量任取一个邻域和取正整数满足和则故在无界.但是x 故当时不是无穷大量证11111000114.lim (1)ln (0).1ln 1,ln ln(1),.lim lim 10.ln(1)ln(1)lim lim ln(1)ln lim(1)ln 1,ln (1)ln ().ln(1)15.()()nn nn n n n n y y y y y n nn n x x x xx y x y n y x n y y y y e y y xn x x n y f x g x →∞→∞→∞→→→-=>-==+==-=++=+=+==-=→→∞+证明令则注意到我们有设及在实轴上有证00002022222220000.:()(),,()lim ()lim ()().1cos 116.lim.22sin 1cos 2sin 1sin 12lim lim lim lim 1422n n n n n x x x y y f x g x x x x f x f x g x g x x x x x y y x x y y →∞→∞→→→→→→===-=⎛⎫-==== ⎪⎝⎭定义且连续证明若与在有理数集合处处相等,则它们在整个实轴上处处相等.任取一个无理数取有理数序列证明证证0011000000001.2ln(1)17.:(1)lim 1;(2)lim .ln(1)(1)lim lim ln(1)ln lim(1)ln 1.(1)11(2)lim lim lim lim ln(1)ln(1)lim1.1x a xa y x y y y y y x a a a x x aa ax x x y y a a y e e e y x y y y e ye e e e e y e e e y x x x y ye e +→→→→→+→→→→→=+-==+=+=+==---====++==证明证0111018.()lim ()0,()lim ()()0.|()|,0||.0,0,0|||()|/.min{,},0||,|()()||()||()|,li x ax ay f x a f x y g x a f x g x g x M x a x a f x M x a f x g x f x g x M Mδεδδεδδδδεε→→====<<-<>><-<<=<-<=<=设在点附近有定义且有极限又设在点附近有定义,且是有界函数.证明设对于任意存在使得当时令则时故证m ()()0.x af xg x →=19.()(,),,()()|()|() () ()(),()(,).y f x c g x f x f x c g x c f x cc f x c g x g x =-∞+∞≤⎧⎪=>⎨⎪-<-⎩-∞+∞设在中连续又设为正的常数定义如下 当当当试画出的略图并证明在上连续0000000000000|()|,0,||lim ()lim ()()().(),0,||()lim ()lim ().(),().0,,0,x x x x x x x x f x c x x g x f x f x g x f x c x x f x c g x c c g x f x c g x c c δδδδεεδ→→→→<>-<===>>-<>=====><>一若则存在当时|f(x)|<c,g(x)=f(x),若则存在当时,g(x)=c,若则对于任意不妨设存在使证()0000121212|||()|.||.(),()(),|()()||()|,(),(),|()-()|0.()()min{(),}max{(),}().max{(),()}(|()()|()())/2.min x x f x c x x f x c g x f x g x g x f x c f x c g x c g x g x g x f x c f x c f x f x f x f x f x f x f x δεδεε-<-<-<≤=-=-<>==<=+--=-++得当时设若则若 则二利用证121212123123123111123{(),()}(|()()|(()())/2.120.()[,],[()()()],3,,[,].[,],().()()(),(),.()min{(),(),()},f x f x f x f x f x f x f x a b f x f x f x x x x a b c a b f c f x f x f x f x c x f x f x f x f x f ηηη=--++=++∈∈======设在上连续又设其中证明存在一点使得若则取即可否则设证31231313000000()min{(),(),()},()(),[,],,[,],().21.()(),()g(),,.0()g()()g()x f x f x f x f x f x f x x c a b f c y f x x g x x x kf x l x x k l l kf x l x x kf x l x x ηη=<<∈==+=+≠+在连续根据连续函数的中间值定理存在一点使得设 在点连续而在点附近有定义但在不连续问是否在连续其中为常数如果在连续;如果在解,l 0,000000||()[[()lg()]()]/.22.Dirichlet ..,()1;,()0;lim (),()11(1)lim 0;(2)lim (arctan )sin 12n n n n x x x x x g x kf x x kf x l x x x x D x x x D x D x D x x x x x →→∞→+∞=+-''→→→→+⎛⎫= ⎪+⎝⎭不连续,因否则将在连续证明函数处处不连续任意取取有理数列则取无理数列则故不存在在不连续.23.求下列极限:证222001/112132100;2tan 5tan 5/5(3)lim lim 5.ln(1)sin [[ln(1)]/]sin /1(4)lim(1).24.()[0,),0().0,(),(),,().{x x y x y n n x x x x x x x x x x x y e y f x f x x a a f a a f a a f a π→→→→+=====++++=+==+∞≤≤≥===设函数在内连续且满足设是一任意数并假定一般地试证明11},lim .lim ,(),().(),{}()0(1,2,),{}n n n n n n n n n n n n a a l a l f x x f l l a f a a a a f a n a →∞→∞++====≤=≥=单调递减且极限存在若则是方程的根即单调递减.又单调递减有下界,证111lim ,lim lim ()(lim )().25.()(,),:(0)1,(1),()()().()((,)).()()().()()n n n n n n n n n x n n a l a l a f a f a f l y E x E E e E x y E x E y E x e x E x x E x E x E nx E x +→∞→∞→∞→∞======-∞+∞==+==∀∈-∞+∞++==故有极限.设则设函数在内有定义且处处连续并且满足下列条件证明用数学归纳法易得于是证11.,()(11)(1).1(0)(())()()(),().().1111,(1)()()()(),().11()()().,n n n n n n nn mmm n n n E n E E e E E n n E n E n e E n E n e E n e n E E n E n E e E E e n n n n m E E m E e e r E n n n -=++====+-=-=--======⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭设是正整数则于对于任意整数对于任意整数即对于所有有理数lim ().,,(),()lim ()lim ().nnn r x x x x n n n r e x x E x E x E x e ee e →∞→∞→∞=→====n 对于无理数取有理数列x 由的连续性的连续性习题2.1201.,.,.()2(0)(1),;(2),?(3)lim ,?x l O x x m x x x l x x m mx mx ∆→=≤≤∆∆∆∆∆∆设一物质细杆的长为其质量在横截面的分布上可以看作均匀的现取杆的左端点为坐标原点杆所在直线为轴设从左端点到细杆上任一点之间那一段的质量为给自变量一个增量求的相应增量求比值问它的物理意义是什么求极限问它的物理意义是什么2222222000(1)2()22(2)22(2).2(2)(2)2(2).(3)lim lim 2(2)4.lim x x x m x x x x x x x x x x x m x x x m x x x x x x x x m mx x x x x x∆→∆→∆→∆=+∆-=+∆+∆-=∆+∆∆∆+∆∆==+∆+∆∆∆∆∆∆=+∆=∆∆是到那段细杆的平均线密度.是细杆在点的线密度.解33332233222 00002.,:(1);(2)0;(3)sin5.()(1)lim(33)lim lim(33)3. (2)lim limlimxx xxxxy ax y p y xa x x axyxx x x x x x xa a x x x x axxyx∆→∆→∆→∆→→→==>=+∆-'=∆+∆+∆+∆-==+∆+∆=∆'==∆=根据定义求下列函数的导函数解00000limlim5(2)52cos sinsin5()sin522(3)lim lim55(2)552cos sin sin5(2)2222lim5lim cos lim5522xxx xx x xx x xx x xyx xx x x xx xx→→∆→∆→∆→∆→∆→===+∆∆+∆-'==∆∆+∆∆∆+∆==∆∆5cos5.2xx=00223.()(,()):(1)2,(0,1); (2)2,(3,11).(1)2ln2,(0)ln2,1ln2(-0),(ln2) 1.(2)2,(3)6,:116(3).4.2(0)(,)(0,0)xxy f x M x f xy M y x By y y x y xy x y y xy px p M x y x y===+''==-==+ ''==-=-=>>>求下列曲线在指定点处的切线方程切线方程切线方程试求抛物线上任一点处的切线斜率解,0,.2pF x⎛⎫⎪⎝⎭,并证明:从抛物线的焦点发射光线时其反射线一定平行于轴2000,().(),.,2,.2,.p py y M PMN Y y X x yy p y x N X y X x X x x y p p FN x FM p x FN FNM FMN M PQ x PMQ FNM FMN '===-=--=-=-=-=+=====+=∠=∠∠=∠=∠过点的切线方程：切线与轴交点(,0),故过作平行于轴则证2005.2341,.224,1,6,4112564(1),4 2.:6(1),.444y x x y x y x x y k y x y x y x y x =++=-'=+====⎛⎫-=-=+-=--=-+ ⎪⎝⎭曲线上哪一点的切线与直线平行并求曲线在该点的切线和法线方程切线方程:法线方程解323226.,,;(),,, (1)():(2)();(3)().()lim ()lim,lim ()limr R r R r R r R r g r GMrr R R g r R M G GM r R rg r r g r g r r GMr GMr R g r g r R RGM g r r →-→-→+→+⎧<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩≠====离地球中心处的重力加速度是的函数其表达式为其中是地球的半径是地球的质量是引力常数.问是否为的连续函数作的草图是否是的可导函数明显地时连续.解,2lim (),()r R GMg r g r r R R→-==在连续.(2)33(3)()2(),()(),().r R g r GM GMg R g R g R g r r R R R-+-≠'''==-≠=时可导.在不可导227.(),:(1,3)(),(0)3,(2) 1.3(),()2.34111113,,3(),()3.2222P x y P x P P a b c P x ax bx c P x ax b b a b b a c a b P x x x ''===++=⎧⎪'=++=+=⎨⎪+=⎩==-=-+==-++求二次函数已知点在曲线上且解3222222222228.:(1)87,24 1.(2)(53)(62),5(62)12(53)903610.(3)(1)(1)tan (1)tan ,(2)tan (1)sec .9(92)(56)5(9)51254(4),56(56)y x x y x y x x y x x x x x y x x x x x y x x x x x x x x x x x x y y x x '=++=+'=+-=-++=+-'=+-=-=+-+++-+++'===++求下列函数的导函数22.(56)122(5)1(1),.11(1)x x y x y x x x ++'==-+≠=---23322222226(6)(1),.1(1)1(21)(1)1(7),.(8)10,1010ln1010(1ln10).sin cos sin (9)cos ,cos sin .(10)sin ,sin cos (s x x x x xx x x x x x x x x y x y x x x x x e e x x x x y y e e ey x y x x x x x xy x x y x x x x x y e x y e x e x e -'=≠=--+++-++-+-'==='==+=+-'=+=-+'==+=in cos ).x x +00000001001100009.:()()()(),()0().()()(1)(2).()()(),()0()()()()()()(()()())()(),(m k k k k k P x P x x x g x g x x P x m x P x k x P x k k P x x x g x g x P x k x x g x x x g x x x kg x x x g x x x h x h x ---=-≠'->=-≠''=-+-'=-+-=-定义若多项式可表为则称是的重根今若已知是的重根,证明是的重根证00)()0,()(1)kg x x P x k '=≠-由定义是的重根.000000010.()(,),()(),().()(0),(0)0.()(0)()(0)()(0)(0)lim lim lim (0),(0)0.()()11.(),lim 22x x x x f x a a f x f x f x f x f f f x f f x f f x f f f f x x xf x x f x x f x x f x→→→∆→--=''=-----'''==-=-=-+∆--∆'=∆若在中有定义且满足则称为偶函数设是偶函数,且存在试证明设在处可导证明证=000000000000000000000().()()()()()()1lim lim 22()()()()1lim 2()()()()11lim lim [()22x x x x x x f x x f x x f x x f x f x x f x x x x f x x f x f x x f x x x f x x f x f x x f x f x x x ∆→∆→∆→∆→∆→+∆--∆+∆--∆-⎡⎤=-⎢⎥∆∆∆⎣⎦+∆--∆-⎡⎤=+⎢⎥∆-∆⎣⎦+∆--∆-⎡⎤'=+=+⎢⎥∆-∆⎣⎦证002()]().12.,(0/2)()((),()):.f x f x y x t t P t x t y t OP x t t π''==<<=一质点沿曲线运动且已知时刻时质点所在位置满足直线与轴的夹角恰为求时刻时质点的位置速度及加速度.222222422222()()()tan ,()tan ,()()(tan ,tan ),()(sec ,2tan sec ),()(2sec tan ,2sec 4tan sec )2sec (sec ,2tan ).y t x t x t t y t t x t x t t t v t t t t v t t t t t t t t t ===='=''=+=位置解1/1/1/1/1/000013.,0()10, 00.1111(0)lim lim 1,(0)lim lim 0.1114.()||(),()()0.().()limxx x x x x x x x x xx f x ex x x x e e f f x e xe f x x a x x x a a f x x a f a ϕϕϕ→-→-→+→+-→⎧≠⎪=+⎨⎪=⎩=++''======++=-=≠='=求函数在的左右导数设其中在处连续且证明在不可导-+解证()()()()(),()lim ()().a x a a x x x a x a a a f a x a x aϕϕϕϕ-→---''=-==≠--+-f习题2.2()()()22221.,:sin sin111(2)[ln(1)],.[ln(1)](1).111(3)2.22x x xx x xx xx x x x''=-=-='''-=-=-=---'''⎡==⎣'''⎡=+=⎣=下列各题的计算是否正确指出错误并加以改正错错错3322222()221(4)ln|2sin|(14sin)cos,.2sin1ln|2sin|(14sin cos).2sin2.(())()|.() 1.(1)(),(0),(),(sin);(2)(),(sin);(3)u g xx x x xx xx x x xx xf g x f u f x xf x f f x f xd df x f xdx dx=='⎡⎤+=+⎣⎦+'⎡⎤+=+⎣⎦+''==+''''错记现设求求[]()[][]2222223(())(())?.(1)()2,(0)0,()2,(sin)2sin.(2)()()224.(sin)(sin)(sin)2sin cos sin2.(3)(())(()),(())(())().f g x f g xf x x f f x x f x xdf x f x x x x xdxdf x f x x x x xdxf g x f g x f g x f g x g x''''''====''===''==='''''=与是否相同指出两者的关系与不同解()()()222233312232323.2236(1),.111(2)sec,(cos)(cos)(cos)(cos)(sin)tan sec.(3)sin3cos5,3cos35sin5.(4)sin cos3,3sin cos cos33sin sin33sinx xy yx x xy x y x x x x x x x y x x y x xy x x y x x x x x---'==-=----'''===-=--='=+=-'==-=求下列函数的导函数:2(cos cos3sin sin3)3sin cos4.x x x x x x x-=22222222222232222222241sin 2sin cos cos (1sin )(sin )2(5),cos cos sin 2cos 2(1sin )(sin ).cos 1(6)tan tan ,tan sec sec 13tan sec tan tan (sec 1)tan .(7)sin ,s ax ax x x x x x x x y y x x x x x x x xy x x x y x x x x x x x x x y e bx y ae +-+-'==++='=-+=-+=-=-='==5422in cos (sin cos ).(8)cos 5cos sin 11(9)ln tan ,sec 24224tan 2411112tan cos 2sin 24242ax ax bx be bx e a bx b bx y y x x y y x x x x ππππππ+=+'==-=⎛⎫⎛⎫'=+=+ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭+ ⎪⎝⎭==⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭222cos 42411sec .cos sin()211()()1(10)ln (0,),.22()x x x x x a x a x a x a y a x a y a x a a x a x a x a ππ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭===+-++--'=>≠±==+-+-22222222224.:11(1)arcsin (0),11111(2)arctan (0),.1(3)arccos (||1),2arccos 1111(4)arctan ,.111(5)ar 2xy a y aa a x y a y a a a a a x x a y x x x y x x y y x x x xa y '=>==-'=>==+⎛⎫+ ⎪⎝⎭'=<=-'===-++=求下列函数的导函数csin (0),x a a>22222222(6)ln(0)212(7)arcsin,1ya xy aayxy xx'=+==+=>⎛⎫'=++===≠±+22222222221.2112sgn(1)2.111(8)(0).212211sec2()tan()cos()s22xx x xyx xxxy a bxyxx xab a b a b a b--'===++-⎫=>≥⎪⎪⎭⎛⎫'= ⎪⎝⎭==++-++-2in21.cos(9)(1ln(1ln(1ln(1 /.(10)(11)(12)xa b xy yy yy yy yy y=+=+++=++++ '=+⎡⎤'=+'=='==y y'==(13)ln(121(14)(ln(1)ln(31)ln(2),331211131321211.13132(15),(1).(16)xxxx e x e x x e y x y y x y x x x y y x x x y y x x x y e e y e e e e e ⎛⎫'==+==-=-+++-'-=++-+--⎡⎤'=++⎢⎥-+-⎣⎦'=+=+=+11112(0).ln ()ln ln ln ln .aaxa a xaaxa x a a a x a a x a ax a a x y x a a a y a x a a ax a aa aa x a aa x a a a ----=++>'=++=++222225.()1()()84,tan (),24001001()arctan ,()100110t x t t x t t t t t t t t θθθθ===='==+2一雷达的探测器瞄准着一枚安装在发射台上的火箭,它与发射台之间的距离是400m.设t=0时向上垂直地发射火箭,初速度为0,火箭以的匀加速度8m/s 垂直地向上运动;若雷达探测器始终瞄准着火箭.问:自火箭发射后10秒钟时,探测器的仰角的变化速率是多少?解222110,(10)0.1(/).505010101006.,2m t s θπθ'==⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭弧度在图示的装置中飞轮的半径为且以每秒旋转4圈的匀角速度按顺时针方向旋转.问:当飞轮的旋转角为=时,活塞向右移动的速率是多少?20()2cos8(8)()16sin 8,811()8,,,()16.2161616m/s.x t t t x t t t t t t x ππππππαπππ='=-+'====-活塞向右移动的速率是解习题2.323222(1)(1).1.0,?(1)10100.1(2)2(3)(1cos)2sin ,222.:0,()().()().()()3.()()(0),()()(0).o o o x o o o x x y x x x y x xy x x x x x x x x x x x x xx x x x x x αααααβ=→=++===-=→=====→=→当时下列各函数是的几阶无穷小量阶.阶.阶.已知当时试证明设试证明证00(1)(1)(1)()()()(0).()()()().()()().4.(1)sin ,/4.sin cos ,1,1.444(2)(1)(0).o o o o o o o x x x x x x x x x x xx x x x y x x x y x x x y dy dx y x y ααβαβαβππππα+=→+=+=+=+=⎛⎫⎫⎫''===+=+=+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎭⎭=+>':上述结果有时可以写成计算下列函数在指定点处的微分:是常数证122(1),(0),.5.1222(1)1,,.11(1)(1)(2),(1).(1).26.(1),3 3.001,11,(3).222.001x x x x x x y dy dx x dxy y dy x x x x y xe y e xe e x dy e x dx y x x x y y αααα-'=+==-'==-+=-=-++++'==+=+=+=≠-''=-∆=求下列各函数的微分:设计算当由变到时函数的增量和向相应的微分.22解 y =-(x -1)1222113333332220.0010.0011,.2.00127..1.162(1) 2.002.5328.:11(1)(0).0,.33(2)()()(,,).2()2()dy y x y a a xy y y x x a y b c a b c x a y b y ---=-=-==+=⎛⎫''+=>+==- ⎪⎝⎭-+-='-+-=求下列方程所确定的隐函数的导函数为常数0,.x ay y b-'=--。
高等数学教材四答案完整版
高等数学教材四答案完整版第一章：极限与连续1.1 极限的概念与性质1.1.1 数列极限的定义与性质对于数列$a_n$，当$n$趋向于无穷时，如果存在实数$a$，使得对于任意给定的正数$\varepsilon$，总存在正整数$N$，使得当$n>N$时，$|a_n-a|<\varepsilon$成立，那么我们称$a$为数列$a_n$的极限，记作$\lim_{n\to\infty} a_n=a$。
1.1.2 函数极限的定义与性质对于函数$f(x)$，当$x$趋向于$c$时，如果存在实数$L$，使得对于任意给定的正数$\varepsilon$，总存在正数$\delta$，使得当$0<|x-c|<\delta$时，$|f(x)-L|<\varepsilon$成立，那么我们称$L$为函数$f(x)$的极限，记作$\lim_{x\to c}f(x)=L$。
1.2 基本极限公式与极限计算1.2.1 三角函数极限1) $\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$2) $\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x}=0$3) $\lim_{x\to 0}\frac{\tan x}{x}=1$4) $\lim_{x\to 0}\frac{a^x-1}{x}=\ln a$，其中$a>0$1.2.2 自然对数的底$\lim_{x\to \infty}(1+\frac{1}{x})^x=e$1.2.3 无穷小与无穷大1) 当$x$趋向于$0$时，$x^n$与$x$同阶无穷小。
2) 当$x$趋向于无穷时，$a^x$与$x^n$同阶无穷大（$a>1$，$n$为正整数）。
3) 当$x$趋向于无穷时，$a^x$与$b^x$同阶无穷大（$a>1,b>1$）。
第二章：一元函数微分学2.1 导数的概念与性质2.1.1 导数的定义导数是描述函数变化率的概念。
高等数学(上)课后习题参考答案
0 ,极大值
f
(e2 )
=
4 e2
2. x = 2 , x = 0 5
3.最大值为 2,最小值为 -2.
4.最小值 y x=−2 = 12
5.
x0
=
16 3
,
Smax
(16 3
)
=
151.7
3.6 函数图形的描绘
1. 水平渐近线 y = 0 .
区间 (0,1), (1, 2), (2,3) 内.
3.提示：利用反证法.
1、(1) arctan x ~ x ；
4、-1 6、0
7、2 x 8、3
(2) a = e 时等价; a ≠ e 时同阶；
(3) 同阶； (4) 同阶．
9、(1) a ； (2) 2 e n
(3) 3 abc 10、0
2、(1) n = 6 ； (2) n = 1； (3) m = 1 ，n = 2 ． 2
2
分别补充定义 1,0；
2.1 导数概念 1、（1）-20 （2）1
2、（1） f ′(0) （2） − f ′(x0 ) （3） 2 f ′(x0 )
x = kπ（k ≠ 0）为第二类无穷；
（3） x = 0 第二类无穷． 3、（− ∞，− 2），（− 2，1），（1，+ ∞）
f（x）⎯⎯x→⎯−2→ − 1，f（x）⎯⎯x⎯→1→ ∞. 3
高等数学作业答案（14-15-1）
第一章 函数、极限与连续 1.1 映射与函数
(2)
例：
f
(x)
=
⎧1 ⎨⎩−1
x > 0， x≤0
1．(1) f（x）与 h（x）相同；
g（x）与 f（x），h（x）不同．
高等数学经管类参考答案与提示
参考答案与提示习题1-21、7)0(=f ；27)4(=f ；9)21(=-f ；732)(2+-=a a a f ；62)1(2++=+x x x f2、1)2(-=-f ；0)1(=-f ；1)0(=f ；2)1(=f3、（1）[)(]1,00,1 -；（2）1>x （3）[]3,1- （4）()()()+∞∞-,22,11,4、（1）x y 2cos 2+=（2）23cot x arc y =习题1-31. （1）5；（2）1；（3）不存在；（4）不存在 2．（1）2；（2）25；（3）23；（4）32-；（5）12-；（6）1. 习题1-41. (1)无穷小；（2）无穷大；（3）无穷大（∞-）；（4）-→0x 时是无穷小；+→0x 时是无穷大；2. （1）同阶无穷小；（2）高阶无穷小；（3）等价无穷小3. （1）1；（2）21；（3）23；（4）1 习题1-5（1）．24;（ 2）.0;（ 3）.35；（4）.∞；（5）.503030532⋅；（6）.21-；（7）.0；（8）.1259-；（9）.24925+；（10）.0 习题1-61．（1）35；（2）1x xsin lim x -=-→ππ；（3）4；（4）32（5）2；（6）2 2．（1）8e ；（2）1-e ；（3）32-e；（4）2-e （5）5e ；（6）e习题1-71.1=a ；1=b2.（1）1±=x 是第二类间断点中无穷间断点；（2）0x =是第二类间断点中的无穷间断点；（3）1=x 是第一类间断点中可去间断点；（4）1-=x 是第二类间断点中的无穷间断点，1=x 是第一类间断点中的跳跃间断点3.（1）)1ln(+e ；（2）232；（3）e a log 3；（4）1 复习题一1、（1）1；（2）[]2,1)0,2(⋃-；（3）[)3,0；（4）3；（5）ke ；（6）23；（7）2；（8）第一类间断点且可去间断点2、（1）C ；（2C （A.1x y -=；1x y .C --=）；（3）B ；（4）B ；（5）C ；（6）D ；（7）A ；（8）A3、（1）34；（2）312x x )1x sin(21x lim =-+-→；（3）2-e ；（4）1)x (sin x sin 330x lim =→；（5）31；（6）0)2x (sin xx 3x 2x lim=+-+∞→；（7）a cos ；（8）4π-4、1=a5、23=a 6、6b ,4a == 7、（1）21；（2）a 28、（1）11=x 是第一类间断点且是可去间断点，22=x 是第二类型无穷间断点；（2）01=x 是第一类间断点且是可去间断点，)(22Z k k x ∈+=ππ是第二类型无穷间断点；（3）0=x 是第一类间断点且是可去间断点；（4）0=x 是第一类间断点且是跳跃间断点 9、1=a习题2-11、(1) √ (2) × (3) × (4) × (5) × (6)、√2、2126()v t t =+∆+∆ 0.10.012|12.61|12.0601|12t t t v v v ∆=∆=====3、()2f x '=4、 (1) 在0x =处连续且可导(2) 在0x =处连续，但不可导5、切线方程：210x y --= 法线方程：230x y +-=6、t t d dtθ=7、dT dt习题2-21、 (1) × (2) × (3)、× (4)、√ (5)、×2、 (1) (0)0()2f f ππ''== (2) (0)1()1f f π''==- (3) (0)0(1)13f f ''== (4) 11(1)(4)418f f ''=-=-3、略4、 (1)2664x x ++ (2)212ln 2xx -(3)12632220xx x -----(4)1cos x x +(5)(ln sin cos )xa a x x ⋅+ (6)1cos ln sin x x x x⋅+(7)2983x x +- (8) 22(2tan 2sec )sec x x x x x ++(9) 31221122x x ---- (10)2sin 1cos x x x x ++-(11) 11222(1)x xx -+-- (12)22cos (sin 1)x x -- (13) cos 1sin x x x -+ (14) 22sin cos cos (1)x x x x x x +++(15)122ln 22xxx x --- (16)3cos 2sin 2x x xx- 5、切线方程：ln 210x y -+= 法线方程：ln 2ln 20x y +-= 6、切点坐标：(1,1)-- 切线方程：20x y ++= 法线方程：0x y -=习题2-31、(1)√ (2) × (3)× (4) ×2、(1) 2(41)xe x x ++(2) (3) tan x -(4) 23ln (1)+1x x + (5))1x ln n (nx 1n +- (6) 222sin 2sin 2sin cos x x x x x +(7)(8) (9) 24()x x e e ---(10)arcsin x(11)(12) 2242(1)16x x x -++ 3、()(1)(4)824f x f f '''===4、切线方程：20x y e --= 法线方程：230x y e +-= 5、30x y --习题2-41、(1)223(1)a y - (2)x ayax y+-+ (3)x y x y e y e x ---+ (4)21y xy - (5)y y e x -+ (6)cos()cos()x y x y e y xy e x xy +++-+2、 (1)232(2)31y y y x x x +-+-+ (2)cot 224(1)xxy y ye x x e +-- (3)(cos ln cos sin tan )y x x x x - (4) ln(5)5xyy x x -+-+ 3、(1)232te - (2) tan t 4、32t dydx π==-- 5、 (1)在0x =处切线方程：210x y +-= 法线方程：220x y -+=(2)在2t =处切线方程：43120x y a +-= 法线方程：3460x y a -+=习题2-51、 (1) 221(ln 3)3xx -(2) 22csc cot x x ⋅ (3)22(arctan )1x x x ++ (4) 2sec (tan sec )x x x + (5) -322(1)x x -+ (6) 21(ln 1)x x x x x-++2、(1) (1)7,(1)4,(1)0f f f ''''''=== (2)11(1),(0)2,(1)22f f f ''''''-==-= 3、 (1)0 (2) 3(ln3)xn(3)()11(2)!ln 1(1)(3)n n n n y x y y n xx--'''=+==-⋅≥ (4) ()xn x e + (5) 12cos(2)2n y x n π-=+⋅(6) 11(1)!5n ny n x +⎛⎫=- ⎪+⎝⎭4、略5、 (1)(4)4sin x ye x =-(2) (5)22sin cos 16cos y x x x x x =-- (3)(20)0y = 6、31cot 3,sin 3a θθ--。
高等数学(侯风波)第2章课件
lim(2n 1) 不存在；
n
（ 4 ） 对 于 数 列 un (1)n1 ， 即1,1,1,...,(1)n1,... 极 限 lim(1)n1不存在．
n
第十三页，共60页。
3.数列极限存在定理
单调数列 如果数列{un} 对于每一个正整数 n，都
有un un1，则称数列{un} 为单调递增数列；类似地，如
有定义无关．
邻域的概念：开区间（x ，x ）称为以x 为中 心，以 （ ＞０）为半径的邻域，简称为点x 的邻域，
记为 N （x ， ）．用N (xˆ0, ) 表示 x0 的空心邻域，即 (x0 , x0) (x0, x0 )( 0)．
定义１ 设函数 f (x)在 x0 的某一空心邻域N (xˆ0 , )
则称 x x0时， f (x)以 A 为极限，记为 lim f (x) A． xx0 五、无穷小量 1． 无穷小量的定义 定义 8 极限为零的变量称为无穷小量，简称无穷小． 说明（1）数零是惟一可作为无穷小的常数. （2）无穷小表达的是量的变化状态，而不是量的大
小．一个量不管多么小，都不能是无穷小量，零是惟一例外 的．即无穷小量是绝对值无限变小且趋于零的量．
x
x x
x
x
f (x) x 1 1 1 中的1 为 x 时的无穷小量，所以，
x
xx
f (x) 1 1为所求极限值与一个无穷小量之和的形式． x
3． 无穷小量的运算性质
定理 5 有限个无穷小的代数和是无穷小量．
说明：无穷多个无穷小量的代数和未必是无穷小量.如
n
时
，
1 n2
,
2 n2
,
n 均 为 无 穷 小 量 ， 但 n2
x0
高等数学侯风波微分方程思考题
高等数学侯风波微分方程思考题全文共四篇示例，供您参考第一篇示例：高等数学是大多数理工科学生必修的一门课程，微分方程侯风波教授是中国数学界的泰斗之一，他在微分方程领域有着深厚的造诣。
微分方程作为高等数学中的重要内容，对于理工科学生来说是非常重要的基础知识。
今天我们将围绕侯风波教授的微分方程思考题展开讨论，希望能够帮助大家更好地理解和应用微分方程知识。
1. 试题一：设某个物体的运动满足微分方程dy/dx=ky，其中y是物体的位移，x是时间，k是一个常数。
请问这个微分方程描述的是什么样的运动？请用数学语言详细解释。
这个微分方程描述了一种指数衰减的运动。
当k大于0时，表示物体的运动是指数增长，当k小于0时，表示物体的运动是指数衰减。
这是因为dy/dx与y之间的关系是指数函数，根据指数函数的性质可得到上述结论。
实际生活中，很多物理现象都可以用指数函数描述，比如放射性物质的衰变、弹簧振子的振动等都可以用指数函数进行描述。
2. 试题二：已知微分方程y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)描述了某个力学系统的运动，其中y是系统的位移，x是时间，p(x)、q(x)和f(x)是已知函数。
请问对于这个微分方程来说，能否使用解耦变量的方法求解？如果可以，请详细解释解耦变量的步骤和求解过程。
对于这个微分方程，我们可以利用解耦变量的方法求解。
解耦变量的基本思路是引入新的变量，将原微分方程化为一组关于新变量的简单微分方程，然后通过求解新微分方程来得到原微分方程的解。
在这个微分方程中，引入新的变量u=y'，则原微分方程变为u'+p(x)u+q(x)y=f(x)，然后我们再利用变量代换的方法，将这个方程化为u'+p(x)u=g(x)的形式，其中g(x)是一个新的已知函数，接下来可以通过分离变量的方法对这个新微分方程进行求解。
3. 试题三：已知某个电路的电压满足微分方程Ldi/dt+Ri=V，其中i是电路中的电流，t是时间，L、R、V是已知常数。
《高等数学》 详细上册答案(一--七)
2014届高联高级钻石卡基础阶段学习计划《高等数学》上册（一----七）第一单元、函数极限连续使用教材：同济大学数学系编；《高等数学》；高等教育出版社；第六版；同济大学数学系编；《高等数学习题全解指南》；高等教育出版社；第六版；核心掌握知识点：1.函数的概念及表示方法；2.函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性；3.复合函数、分段函数、反函数及隐函数的概念；4.基本初等函数的性质及其图形；5.极限及左右极限的概念，极限存在与左右极限之间的关系；6.极限的性质及四则运算法则；7.极限存在的两个准则，会利用其求极限；两个重要极限求极限的方法；8.无穷小量、无穷大量的概念，无穷小量的比较方法，利用等价无穷小求极限；9.函数连续性的概念，左、右连续的概念，判断函数间断点的类型；10.连续函数的性质和初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），会用这些性质.天数学习时间学习章节学习知识点习题章节必做题目巩固习题（选做）备注第一天2h第1章第1节映射与函数函数的概念函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性复合函数、反函数、分段函数和隐函数初等函数具体概念和形式，函数关系的建立习题1－14(3) (6)(8),5(3)★,9(2),15(4)★,17★4(4)(7),5(1),7(2),15(1)本节有两部分内容考研不要求，不必学习：1. “二、映射”；2. 本节最后——双曲函数和反双曲函数第二天3h1章第2节数列的极限数列极限的定义数列极限的性质(唯一性、有界性、保号性)习题1－21(2) (5)(8)★3(1)1. 大家要理解数列极限的定义中各个符号的含义与数列极限的几何意义；2. 对于用数列极限的定义证明，看懂即可。
第1章第3节函数的极限函数极限的概念函数的左极限、右极限与极限的存在性函数极限的基本性质（唯一性、局部有界性、局部保号性、不等式性质，函数极限与数列极限的关系等）习题1－32,4★3,1. 大家要理解函数极限的定义中各个符号的含义与函数极限的几何意义；2. 对于用函数极限的定义证明，看懂即可。
高等数学参考答案与提示
3n 2 1 3＝ 3 an 3 ＝ n 1 n 1 1 欲使 an 3 , 则应有n 1 1 令N 1 , 则有n N时，不等式 an 3 成立
习题1-2
1；3；5（3）；6；8.
n
3、若 lim un a, 证明lim un a .并举例说明：如果数列
h 0
解 原式= lim
x
x2 x x2 1
x3 x 2 3x 27 1 13 lim x 3 x 3 x3 0 解 lim 3 2 x 3 x x 3 x 27 x3 x 2 3x 27 lim x 3 x 3
证明 f x 有界
又 lim g x 0
x
M 0, x D f , 都有 f x M
0, X 0, 当 x X 时，有 g x 此时有 f x g x M
lim f x g x 0
解
1 x, x 0, 因为 f x 1, x 0,
1 f x , f x 0, 所以 f f x f x 0, 1,
当 x 1 时， f x 1 x 0, 故 f f x 1 1 x 2 x ; 当 1 x 0 时， f x 1 x 0, 故 f f x 1; 当 x 0 时， f x 1 0, 故 f f x 1; 2 x, x 1, 所以 f f x 1, x 1.
0, 2 2, x
x a; x a.
2 1 f 2a 2 2 4a 2a
参考答案及析解答
参考答案及解析第一部分 数量关系一、数字推理1. C ［解析］1+1＝2，1+3＝4，3+5＝8，5+11＝16，由此判断，空缺处应为32-11＝21。
2. D ［解析］48110245 241831 121621 61432 31232⨯⨯⨯⨯⨯＝，＝，＝，＝，＝，故空缺处应为8169112＝⨯。
3. B ［解析］2+0＝2，0+3＝3，3+2＝5，2+6＝8，6+6＝12；故2，3，5，8，12空缺处应为12+5-6＝11。
4. C ［解析］缺处应为2×4×32＝256。
5. A ［解析］后项减去前项得：1，2，2，4，8，故空缺处应为32+18＝50。
二、数学运算6. D ［解析］原式＝19.98×37+19.98×23+19.98×40＝19.98×（37+23+40）＝1998 7. A ［解析］原式＝（0.34×6×4×25+3×437+4126×3）×213 ＝（34×6+3×34）×213 ＝34×9×213 ＝17×9×13＝19898. D ［解析］我们将这列数每个数分别被5除，观察余数有什么规律。
3，2，0，2，2，4，1，0，1，1，2，3，0，3，3，1，4，0，4，4，3，2，0，2，2，4，1，0，…从上述结果可知，余数每20个数出现一周期循环。
那么有：1998÷20=99……18,而一周期中第18个数是0，所以第1998个数被5除余数是0；9. C ［解析］只用B 商品的家庭占被调查家庭总数的：616131＝-；同样，只用A 商品的家庭占被调查家庭总数的：42716174＝-；那么既用A 商品又用B 商品的商店占被调查家庭的：4211427161611）＝（++-。
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第一章 函数习题 函数一、填空题：略.二、略.三、图略.四、图略；0，2，6-.五、1.函数)(x f 与)(x g 不相同； 2.函数)(x f 与)(x g 是同一个函数.六、3)2(log t y a +=.七、1. 1,2,sin ,log +====x w v v u u y w a ； 2. 1,lg ,,arcsin -====x w w v v u u y ； 3. 1e ,,cos 2-===x v v u u y ；4. 12,ln ,cos ,22+-====x x w w v v u u y .第二章 极限与连续习题一 极限的概念一、判断题：略.二、图略；)(lim 0x f x →=0. 三、(1))(x f 无定义,2)1(=g ,3)1(=h ；(2)2)(lim 1=→x f x ；2)(lim 1=→x g x ；2)(lim 1=→x h x . 四、左极限0)(lim 0=-→x f x ；右极限1)(lim 0=+→x f x ；函数在0=x 处的极限不存在. 五、（1）2)(lim 1=-→x f x ；1)(lim 1=+→x f x ；)(lim 1x f x →不存在； （2）=-→)(lim 23x f x 49)(lim 23=+→x f x ；49)(lim 23=→x f x ； （3）4)(lim 2=-→x f x ；8)(lim 2=+→x f x ；)(lim 2x f x →不存在.习题二 极限的四则运算一、求下列极限1. 30；2. 17；3. 40；4. 41． 二、x x ++210；1．三、求下列极限1. 12-；2. 0；3. 4；4. 61．四、求下列极限 1. 32； 2. 32．五、1．六、1-．习题三 两个重要极限一、求下列极限1. 1；2. 16；3. 241；4. 1；5. 1；6. 8．二、求下列极限1. 3e ；2. 2e -；3. 9e ；4. 2e 1．习题四 无穷小与无穷大一、1. ∞→x ； 2. -→0x ．二、1. +-→1x 及+∞→x ； 2. ∞→x ．三、1. 1-→x ； 2. 1→x ．四、求下列极限1. 0；2. 0．五、234sin x x 是比高阶的无穷小．六、提示：由极限运算及等价无穷小定义．习题五 函数的连续与间断一、选择题：略.二、2=a .三、1. 可去间断点是1=x ；2. 7-=x 为函数的第二类间断点；1=x 为函数的跳跃间断点.四、求下列极限1. 0；2. 21；3. 21； 4. 4. 五、(]4,1为函数的定义区间，即为函数的连续区间.第三章 导数与微分习题一 导数的定义一、1. 2)1(='f ；2. 43)2(-='f . 二、a y ='.三、0)0(='f .四、左导数 1)0(='+f ，右导数为 0)0(_='f ，函数在0=x 处的导数不存在.五、在（1，1）点处切线平行于直线.习题二 导数的四则运算一、填空题：略．二、求下列函数的导数 1. 2ln 354x x y +='； 2. )cos (sin e x x y x +='； 3. 3223351--+-='x xy ； 4. ]sin ln )1(cos )1ln 2[(cos 122x x x x x x x x xy ++++='； 5. 2211sec 3x x y --='；6. 221arctan 2x x x x y ++='． 三、① 定义域R 即为函数的连续区间；② x x x x x y cos sin 52d d 5253+=-；③ 由定义，0)0(='f ；④ x x x x x f cos sin 52)(5253+='-．习题三 复合函数求导一、填空题：略.二、求下列函数的导数1. 222cos sin 2sin 2sin x x x x x y +⋅='；2. ]1tan 2cos 2)1(1[sec e 222sin x x x x y x ⋅+-='； 3. 10199)1()1(200x x y -+='； 4. ]1sin 11[cos e 1cos x x x y x x +='； 5. x x xy 3cos 3sin 31-+='； 6. )ln(ln ln 21x x x y ='.三、)(2sin )(ϕ+=wt w t v ；)(2cos 2)(2ϕ+=wt w t a .四、)]()e (e )e ([e )(x f f f y x x x x f '+'='.习题四 隐函数 对数函数求导 高阶导数一、是非题：略．二、求下列方程所确定的隐函数)(x f y =的导数1. ()x xy y x x -+-='e sin e 1；2. x y y y x yx --='++e e ．三、用对数求导法求下列函数的导数1.41='y 4)3)(2()423()1)(1(3---+-x x x x x )312142341311(------++-x x x x x 2. )2ln 2(d d 2+=x x x yx ．四、切线方程为0=y ．五、求下列函数的二阶导数1. )49(1053+=''x x y ；2. x x y x cos 2e 1222--=''；3. 8)21(360x y -=''；4. =''y x 2sin 4006-．习题五微分 一、填空题：略.二、求下列函数的微分1. ()x x x x y d sin 1)cos 1(2d +-+=；2. x x x y x d )3cos 33sin 2(e d 2+=；3. x x xy d ln 21d 3-=； 4. x y x x d e 1e 3d 2613+++=.三、求方程所确定的隐函数)(x f y =的微分y d 1. x y x xy y xd cos 2e d 2--=； 2. x y a xb y d d 22-=.四、利用微分计算下列各数的近似值 1. 0033.101.13≈； 2. 21.1e 21.0≈.五、球的体积扩大约为3πcm 1800.第四章 微分学的应用习题一 洛必达法则一、是非题：略.二、求下列各式的极限1. 0；2. 1；3. 1；4. 0.三、求下列各式的极限1. 0；2. 0.四、求下列极限1. 0；2. 1；3. 1；4.21e -；5. 3；6. 0.习题二 函数的单调性一、单项选择题：略．二、求下列函数的单调区间1. 单增区间),2()0,(+∞-∞ ，单减区间)2,0(；2. 单增区间)0,(-∞，单减区间),0(+∞；3. 单增区间),21(+∞，单减区间)21,0(；4. 单增区间),0()1,(+∞--∞ ，单减区间)0,1(-．三、提示：利用函数单调性证明． 四、单调递增区间),21(+∞，单调递减区间)21,(-∞.习题三 函数的极值一、单项选择题：略．二、1.)(x f '； 2.)(x f ''； 3. 极小值； 4. 3)1(=f ．三、最大值为10)1(=-f ，最小值为22)3(-=f ．四、极大值为0)0(=f ，极小值为41)22()22(-==-f f ． 五、当直径r 2与高h 之比为11∶时，所用的材料最少．习题四 曲线的凹凸性与拐点一、填空题：略．二、曲线在)332,(--∞及),332(+∞上凹,在)332,332(-下凹，拐点为)910,332(--和)910,332(-． 三、函数在)2,0(上的极大值为2723)31(-=f ，极小值为1)1(-=f ；最大值为1)2(=f ，最小值为1)1(-=f ；拐点为)272532(-，. 四、示意图:第五章 不定积分习题一 不定积分的概念与基本公式一、填空题：略.二、选择题：略.三、计算下列不定积分1. C x +313133；2. C x x x+-53ln 533； 3. C x x x ++--ln 2sin 31；4. C x x x +++-πarcsin 2cos .四、求解下列各题1. C x x f x +='⎰2e 2d )(；2. x x f x 2sec e )(+=；3. 所求函数为233+-=x x y .习题二 不定积分的换元积分法一、填空题：略．二、选择题：略．三、多步填空题：略．四、计算下列不定积分 1. C x +--21； 2. C x +2arcsin 21； 3. C x x +++24arctan )1ln(41； 4. C x x ++3tan 31tan ； 5. ()()C x x ++-+1213223； 6. C x x +--3arccos 392．习题三 分部积分法 简单有理函数的积分一、填空题：略.二、多步填空题：略.三、求下列不定积分 1. ()C x x +-++11e 21； 2. C x x x x x ++--4ln )2(22；3. C x x x ++-e )22(2；4. C x x x +-+212)1(arcsin ； 5. C x x x ++-sin 2cos 2； 6. C x x +--3)2(ln 2.四、⎰''x f x x d )e (e 2C f f x x x +-'=)e ()e (e ．第六章 定积分习题一 定积分的概念 微积分基本公式一、选择题：略.二、求下列定积分 1. 43433-；2. 3424-；3. 2；4. 4π1-；5. 4；6. 61.三、解答下列各题1. x x x f 2sin )(4⋅='；2. 23d )(lim 200=⎰→x tt f xx ； 3. 67d )(21=⎰-x x f .习题二 定积分的换元积分法与分部积分法一、 填空题：略.二、 求下列定积分1. )e 2(2-；2. 32π2；3. )1e (412+；4. 12312π-+； 5. 49ln ； 6. 22a ； 7. )1e (212-π； 8. 3212ln -+.习题三 定积分的应用 一、32=S . 二、h r V 23π=.三、（1）2=S ；（2）2π2=V .四、两部分面积比为 )34π2(+:)34π2π8(--= )4π6(+:)4π18(-. 五、4π4r W ⋅=ρ.六、g P ρ18=.习题四 反常积分一、填空题：略．二、选择题：略．三、计算下列广义积分1. 21； 2. 2π． 四、⎰∞+∞-+x x xd 12发散．第七章 常微分方程习题一 常微分方程的基本概念与分离变量法一、判断正误：略.二、填空题：略.三、多步填空题：略.四、求解下列各题 1.C x y +=-3112（其中1C C -=为任意常数）；2. 冷却规律为kt t T -+=e 3020)(.习题二 一阶线性微分方程一、填空题：略．二、多步填空题：略．三、通解为2e 1x C y -+=（其中C 为任意常数）．习题三 二阶常系数齐次线性微分方程一、填空题：略．二、多步填空题：略．三、求下列微分方程的通解1. =y xx C C -+e e 261；2. =y xx C C 521e )(+；3. =y )23sin 23cos (e 2121x C x C x +；4. =y x C 25e -．四、1e 2)(-==x y x f ．习题四 二阶常系数非齐次线性微分方程一、填空题：略．二、多步填空题：略．三、x x x y e )9834(e 3613454+-++-=．四、求下列微分方程满足初始条件的特解（1）x x x y 22e )(-+=；（2）x y sin =．第八章 空间解析几何习题一 空间直角坐标系与向量的概念一、填空题：略．二、选择题：略．三、求解下列问题 1. k j i AC AB 3223-+-=-；2. ()14=AB d ；3. ⎭⎬⎫⎩⎨⎧939393,, 和 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧---939393,,；4. ),,(002-C ．习题二 向量的点积与叉积一、是非题：略．二、填空题：略．三、选择题：略．三、求解下列各题 1. ⎭⎬⎫⎩⎨⎧-±837833835,,；2. {}4,6,12-±=b ；3. 213S ABC =∆．习题三 平面和直线一、填空题：略．二、选择题：略．三、求解下列问题1. 534=++z y x ；2. 2=-y z ；3. 211211-=--=-z y x ； 4. ①5-=p ；②7=p ．习题四 曲面与空间曲线一、填空题：略．二、选择题：略．三、求解下列问题1. 方程为x z y 422=+，是旋转抛物面； 2. 投影方程为⎩⎨⎧==+;0,52x z y 3. 投影方程为⎩⎨⎧==++．0,0422y z x第九章 多元函数微分学习题一 多元函数及其极限一、填空题：略． 二、函数的定义域为{}41),(22<+≤y x y x ；草图 三、4142lim 00-=+-→→xy xy y x ． 四、表面积rh π2r πS 2⋅+⋅=，体积h r πV 2⋅=．五、)0,0(),(f y x f -∆∆=22)()())((y x y x ∆+∆∆∆．习题二 偏导数及高阶偏导数一、是非题：略．二、填空题：略．三、解下列各题 1. x x z 4=∂∂，29y y z=∂∂； 2. 34xy x z =∂∂，226y x y z=∂∂； 3. y x x z ln 2+=∂∂，y xy x y z =+=∂∂10，222=∂∂x z ，222y x y z -=∂∂，y x y z12=∂∂∂； 4. z y x f arctan =∂∂，z x y farctan =∂∂，21z xyz f +=∂∂．四、略．习题三 全微分一、填空题：略．二、解答下列各题1. y x x x x y z d ln d )1(ln d ++=；2. z z y y z x x x yx u y y d cos d )sin ln (d d 1+++=-；3. 119.0-=∆z ；4. 125.0d -=z ．三、01.003.0cos 01.0sin ≈．四、对角线变化约为m 045.0．五、所需水泥的近似值为3m 4.9．习题四 复合函数的偏导数一、填空题：略．二、多步填空题：略．三、解下列各题 1. 1d d -=t z； 2. y z x z =∂∂，2)(y y x z y z +-=∂∂；3. )cos sin 2(cos 2x x x y xy x z+=∂∂，)2sin (cos sin 22y y y x x y z-=∂∂．习题五 偏导数的几何应用一、填空题：略．二、求解下列各题1. 切线方程为 312111-=-=-z y x 和27272913-=-=-z y x ；2. 切平面方程为 )3()1(4)1(2-+--+z y x =0；3. 切线方程为 1191161--=-=-z y x ，法平面方程为 0)1(1)1(9)1(16=---+-z y x ．习题六 多元函数的极值一、判断题：略．二、选择题：略．三、计算下列各题1. 函数在)1,2(点取得极小值24-；2. 当端面半径与半圆柱高满足2:1:=h r 时，所用材料最省．第十章 多元函数积分学习题一 二重积分及其在直角坐标系下的计算一、判断题：略．二、填空题：略．三、计算下列各题1. 0=I ；2. ①⎰⎰==20202332d d x y y x I ；②332d d 40222==⎰⎰y x y y I ； 3. 21d e d 1002==⎰⎰y y x x y I ．习题二 极坐标下二重积分的计算及二重积分的应用一、填空题：略．二、多步填空题提示：y x D y x d d e )(22⎰⎰+-θr D r d rd e 2⎰⎰-=⎰⎰π-=2010d e d 2r r θr ⎰⎰π-=20102)d(e 21d 2r θr θd )e 11(2120-=⎰π)e 11(π-=． 三、求解下列各题 1. π22d d )cos(22=+⎰⎰y x y x D ；（提示：化为极坐标下的二重积分）； 2. π32=V ；3. 薄片的质量为121． 第十一章 级数习题一 数项级数一、判断题：略．二、选择题：略．三、判断下列级数的敛散性1. ∑∞=-1)1(n n 发散； 2. +++++n21614121发散； 3. ∑∞=+1)1(1n n x 当0>x 或2-<x 时收敛，当02≤≤-x 时发散；4. ∑∞=+1221n n n 收敛； 5. ∑∞=--112)1(n n n n 收敛； 6. ∑∞=-+13)1(2n n n收敛．习题二 幂级数一、填空题：略．二、求解下列各题1. 级数∑∞=+0122n n n x n 的收敛半径为21=R ； 2. 级数∑∞=++012122n n nx n 的收敛半径为22=R ； 3. 级数∑∞=-02)1(n n nn x 的收敛域为)3,1[-； 4. 级数∑∞=-011n n nx 的和函数为2)1(1)(x x S +=； 5. 级数 +-+++-123123n x x x n 的和函数为21)11ln()(x x x S -+=．习题三 函数的幂级数展开一、填空题：略.二、求解下列各题1. 展开为 ++-+-+-+=++)1()2()1(3)2(2)2(22ln )2ln(132n x x x x x n n ，收敛域为]2,2(-∈x ； 2.展开为 +-++⋅-⋅=+)!2(2)2()1(!42)2(!22)2(sin 21422n x x x x n n ，收敛域为),(+∞-∞∈x ；3. x 2= ++++++n x n x x xx n x x x !2)2(ln !32)2(ln !22)2(ln 2ln 213322，收敛区间为),(+∞-∞∈x ；4. 展开式为∑∑∞=∞=---=++002)2()1(21)1(231n n n n n n x x x x ，收敛区间为)1,1(-.。