三角函数的图像的变换口诀解读

三角函数的图像的变换口诀解读

变T 数倒系数议，变A 伸压 y 无疑， 变φ 要把系数提，正φ 左进负右移．

周期变换是通过改变x 的系数来实现的，即周期T 的变化只与ω有关而与φ无关．这是因为ω

π

2=T

，故要使周期扩大或缩小m (m >0) 倍，则须用

x

m

1去代原式中的x (纵坐标不

变)，故有“变T 数倒系数议”之说．

相位φ变换实质上就是将函数的图像向左或向右平移．当先作周期变换后作相位变换时，须提出系数ω，这是因为周期变化时改变了x 的值，此时其初相位（非0初相）同时也改变相应得到改变，且改变的倍数相同．当先作相位变换后作周期变换，由于此时x 的系数为1，系数提不提无影响，为了统一记忆我们也视为提出系数“1”．因而有“变φ要把系数提”之说．

三角函数图像的周期﹑振幅﹑相位等变换的问题是历年高考中常考查的内容．对此类命题的求解，无论三种变换怎样摆设，先要弄清哪是原函数的图像，哪是新函数的图像，再据本歌诀所述，很快就可得到解决．

例1 为了得到 y =)

62sin(π-x 的图像，可以将函数 y = cos2x 的图像 (2004年高考) ( )

(A)向右平移6

π

个单位长度 (B)向右平移3

π

个单位长度

(C)向左平移

6

π

个单位长度 (D) 向左平移

3

π

个单位长度

解法1 ∵ y = cos2x =)

4

(2sin )2

2sin(π

π

+

=+

x x , 而 y =]

3

)4

[(2sin )6

2sin(π

π

π

-

+

=-

x x ，

由此可得 只须将函数y = cos2x 的图像向右平移3

π

个单位长度即可．故选(B)．

解法2 ∵ y =)62sin(π

-

x )

6

22

cos(

ππ

x +

-=，即y )

3(2cos π

-

=

x , 而已知的函数为y = cos2x ,

由此可得，须将函数y = cos2x 的图像向右平3

π

个单位即可．故选(B)．

点评 由于当ω

ϕ-

=x 时, 相位0

=+ϕω

x ．因而，我们可称此时的相位为零相位．由此可

见，在作相位变换时，其平移的数值与方向是由两个0相位对应的x 值的差来决定的．对于本题而言，由于两个0相位对应的x 的值分别为12

π与4

π

-

，故所作的平移就是要将已知函数

的0相位对应的点)

0 ,4(π

-

移到点)0 12

(

，π

处．易知要平移的数值是：

3

)4

(12

π

π

π

=

-

-，方向是向

右的．显然这一方法就是“五点作图法”中的第一零点判断法．

例2 已知函数 f (x ) =)

5

sin(

2π

+

x (x ∈R ) 的图像为C, 函数 y =

)

5

2sin(π

-

x (x ∈R ) 的图

像为C 1, 为了得到C 1，只需把C 上所有的点先向右平移 ，再将 ． ( )

(A)

5

2π个单位，横、纵坐标都缩短到原来的2

1

(B)

5

2π个单位，横、纵坐标都伸

长到原来的2倍

(C)

5

π

个单位，横、纵坐标都缩短到原来的2

1 (D)

5

π

个单位，横、纵坐标都伸

长到原来的2倍

解 ∵ 要求的变换是先作平移变换，后作周期变换，再作振幅变换．故将函数y ＝

)

5

sin(2π

+

x 的图像向右平移

5

2π个单位, 得到)

5

sin(2)5

25

sin(2π

ππ

-

=-

+

=x x y

的图像．再将此图

像的横坐标缩小到原来的一半，得到y =2)

5

2sin(π

-x 的图像．最后将其纵坐标缩小到原来的

一半，即可得到y =)

52sin(π

-

x 的图像．故选(A)．

点评 本题要求先作相位变换，后作周期变换，再作振幅变换，且原函数中x 的系数为“1”,明确这一点是非常重要的．