3.2导数的计算2

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3.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(课件)

第三章导数及其应用
§3.2 导数的计算
3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数
的运算法则
1.掌握基本初等函数的导数公式． 2.掌握导数的和、差、积、商的求导法则． 3.会运用导数的四则运算法则解决一些函数的求导问题.
1.导数公式表的记忆．(重点)
2.应用四则运算法则求导．(重点)
3.利用导数研究函数性质．(难点)
x xlna
2.导数的四则运算法则设f(x)、g(x)是可导的. 公式语言叙述两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(差)
[f(x)±g(x)]′＝ f′(x)±g′(x)
[f(x)g(x)]′＝ f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)
两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘上第二个函数，加上第一个函数乘上第二个函数的导数
答案： 1± 7 3
4．求下列函数的导数： 1 (1)y＝2x －x＋ x；(2)y＝2xtan x.
3
解析： (1) y′＝(2x
3
1 1 2 )′－x′＋ x ′＝6x －1－x2.
(2)y′＝(2xtan x)′＝(2x)′tan x＋2x(tan x)′ ＝2 ln 2tan x＋2
1.基本初等函数的导数公式
（1）若f(x)=c，则f′(x)=0；
nxn-1 ；（2）若f(x)=xn(n∈Q*)，则f′(x)=_____
（3）若f(x)=sinx，则f′(x)=_____ cosx ；
（4）若f(x)=cosx，则f′(x)=______; -sinx （5）若f(x)=ax，则f′(x)=_____( axlna a>0)；（6）若f(x)=ex，则f′(x)=__ ex；（7）若f(x)=logax，则f′(x)= 1 (a>0且a≠1)； (8)若f(x)=lnx，则f′(x)= 1 .

人教A版高中同步学考数学选修1精品课件 3.2 导数的计算

探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
利用导数公式和运算法则求复杂函数的导数
例2求下列函数的导数:
(1)y=x2ln
;(2)y=
3- 5+ 7

4
4
4
;
(3)y=e2x;(4)y=sin4 +cos .
分析所给函数解析式较为复杂,不能直接套用导数公式和导数运算
法则,可先对函数解析式进行适当的变形与化简,然后再用相关公
和法则求导的问题.尤其是当函数解析式中含有三角函数时,更需
要先运用相关的三角函数公式对解析式进行化简与整理,最后再运
用公式进行求导.
课堂篇探究学习
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
变式训练 2 求下列函数的导数:
1

4
2
(1)y= cos2 ;
(2)y=ln2x.
1
2
解:(1)由于 y=4cos
()
()
'=
'()
'()
的错误.
2.注意积与商的导数运算法则中符号的异同,积的导数中是“+”号,
而商的导数中分子上是“-”号.
课前篇自主预习
【做一做3】 (1)函数y=x2-ln x的导数为
(2)函数y=xcosห้องสมุดไป่ตู้x的导数为
.

(3)函数 y=e 的导数为
.
1
解析:(1)y'=(x2-ln x)'=(x2)'-(ln x)'=2x- .
课堂篇探究学习
探究一
探究二
探究三
解:(1)由已知得 f'(x)=

3.2导数的计算

2.函数f(x)在点x0处的导数 f ( x0 ) 就是导函数 f (x)在x=
x0处的函数值,即f ( x0 ) 处的导数的方法之一。
f
(
x
)
|
x
x0
.这也是求函数在点x0
3.函数 y=f(x)在点x0处的导数的几何意义,就是曲线y= f(x)在点P(x0 ,f(x0))处的切线的斜率.
二、几种常见函数的导数
sin x x2 sin 2 x
(sin
x)'
2x sin x x2 cos x sin 2 x
4. 求
y
x3 x2 3
在点x
3处的导数
解：y'
1 ( x2
3) (x (x2 3)2
3) 2x
x2 6x (x2 3)2
3
当x 3时, f (3) 32 63 3 1
例2：(1)求函数h(x) x sin x的导数. (2)求函数f (x) 2x ln x的导数.
解: (1)h(x) (x sin x) xsin x x(sin x) sin x x cosx
(2) f (x) (2x ln x) (2x) ln x (2x)(ln x) 2 ln x 2
公式2.若f (x) xa , 则f '(x) axa1;
公式3.若f (x) sin x, 则f '(x) cos x;
公式4.若f (x) cos x,则f '(x) sin x;
公式5.若f (x) a x ,则f '(x) a x ln a(a 0);
公式6.若f (x) ex ,则f '(x) ex ;
1、函数 y lg x 在点 1,0 处

3.2 导数的基本公式及四则运算法则

x
所以
∆y 1 ∆x ∆x = lim[ log a (1 + ) ] lim ∆x →0 ∆x ∆x − 0 x x
x
1 ∆x ∆x = log a lim (1 + ) ∆x →0 x x 1 1 ， = log a e = x x ln a
x
即
1 ． (log a x)′ = x ln a
y′ = 5( x 2 )′ + 3( x −3 )′ − (2 x )′ + 4(cos x)′
= 5 × 2 x + 3 × (−3) x −4 − 2 x ln 2 + 4(− sin x) 9 = 10 x − 4 − 2 x ln 2 − 4 sin x ． x
2.乘积函数的导数 2.乘积函数的导数
= 30 x 2 − 2 x − 1 ．
例3
设 y = x sin x ln x ，求 y′
解 y′ = ( x)′ sin x ln x + x(sin x)′ ln x + x sin x(ln x)′ 1 = 1 ⋅ sin x ln x + x cos x ln x + x sin x ⋅ x = sin x ln x + x cos x ln x + sin x ．
(uvw)′ = u′vw + uv′w + uvw′ ．
例2 解
2 设 y = (1 + 2 x)(5 x − 3 x + 1) ，求 y′． y′ = (1 + 2 x)′(5 x 2 − 3 x + 1) + (1 + 2 x)(5 x 2 − 3 x + 1)′ = 2(5 x 2 − 3 x + 1) + (1 + 2 x)(10 x − 3)

人教A版高中数学选修1-1课堂10分钟达标练 3.2 导数的计算第2课时导数的运算法则探究导学课型

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课堂10分钟达标练
1.已知f(x)=x3+3x+ln3,则f′(x)为( )
A.3x2+3x
B.3x2+3x·ln3+
C.3x2+3x·ln3
D.x3+3x·ln3
【解析】选C.f′(x)=3x2+3x ln3.
2.函数y=x·lnx的导数是( )
A.y′=x
B.y′=
C.y′=lnx+1
D.y′=lnx+x
【解析】选C.y′=x′·lnx+x·(lnx)′=lnx+x·=lnx+1.
3.函数y=的导数是( )
A.y′=-
B.y′=-sinx
C.y′=-
D.y′=-
【解析】选C.y′=′=
==-.
4.曲线y=x3-2x+1在点(1,0)处的切线方程为( )
A.y=x-1
B. y=-x+1
C.y=2x-2
D.y=-2x+2
【解析】选A.y′=3x2-2,因为点(1,0)在曲线上,
所以k=3-2=1,所以切线方程为y=x-1.
5.求曲线y=在点(1,-1)处的切线方程.
【解析】y′=′=.因为点(1,-1)在曲线上,
所以k=-2,所以切线方程为y+1=-2(x-1),即2x+y-1=0.
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高中数学学习技巧：
在学习的过程中逐步做到：提出问题，实验探究，展开讨论，形成新知，应用反思。

重视基础题和领悟数学思想方法，多做综合题目。

人教A版高中数学选修1-1 二十一 3.2 导数的计算第2课时导数的运算法则精讲优练课型

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课时提升作业二十一导数的运算法则一、选择题(每小题5分,共25分)1.关于x的函数f(x)=cosx+sina,则f′(0)等于( )A.0B.-1C.1D.±1【解析】选A.f′(x)=-sinx,f′(0)=0.2.(2016·临沂高二检测)若曲线f(x)=xsinx+1在x=处的切线与直线ax+2y+1=0互相垂直,则实数a等于( )A.-2B.-1C.1D.2【解析】选D.f′(x)=sinx+xcosx,f′=1,由题意得-=-1,即a=2.3.(2016·德州高二检测)函数y=(a>0)在x=x0处的导数为0,那么x0等于( )A.aB.±aC.-aD.a2【解析】选B.y′===.由=0,得x0=±a.4.已知直线y=kx+1与曲线y=x3+ax+b相切于点(1,3),则b的值为( )A.3B.-3C.5D.-5【解析】选A.由点(1,3)在直线y=kx+1上,得k=2,由点(1,3)在曲线y=x3+ax+b上,得1+a+b=3,即a+b=2,y′=3x2+a,由题意得3×12+a=2.所以a=-1.所以b=3.5.(2016·武汉高二检测)正弦曲线y=sinx上一点P,以点P为切点的切线为直线l,则直线l 的倾斜角的范围是( )A.∪B.[0,π)C. D.∪【解析】选A.因为(sinx)′=cosx,因为k l=cosx,所以-1≤k l≤1,所以αl∈∪.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2016·滨州高二检测)在曲线y=上求一点P,使得曲线在该点处的切线的倾斜角为135°,则P点坐标为.【解析】设点P(x0,y0),y′=′=(4x-2)′=-8x-3,所以tan135°=-1=-8,所以x0=2.所以y0=1.所以P点坐标为(2,1).答案:(2,1)7.(2016·天津高考)已知函数f(x)=(2x+1)e x,f′(x)为f(x)的导函数,则f′(0)的值为.【解题指南】求出f′(x),代入x=0即可.【解析】因为f′(x)=(2x+3)e x,所以f′(0)=3.答案:38.曲线y=xlnx在点(e,e)处的切线方程为.【解析】因为y′=lnx+1,y′=2,所以切线方程为y-e=2(x-e),即2x-y-e=0.答案:2x-y-e=0三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知函数f(x)=ax3+bx2+cx过点(1,5),其导函数y=f′(x)的图象如图所示,求f(x)的解析式.【解题指南】本题主要考查利用导数求解参数问题,观察y=f′(x)的图象可知y=f′(x)过点(1,0),(2,0),即f′(1)=0,f′(2)=0.【解析】f′(x)=3ax2+2bx+c,又f′(1)=0,f′(2)=0,f(1)=5,故解得a=2,b=-9,c=12.故f(x)的解析式是f(x)=2x3-9x2+12x.10.已知函数f(x)=的图象在点M(-1,f(-1))处的切线的方程为x+2y+5=0,求函数的解析式.【解析】由于(-1,f(-1))在切线上,所以-1+2f(-1)+5=0,所以f(-1)=-2.因为f′(x)=,所以解得a=2,b=3(因为b+1≠0,所以b=-1舍去).故f(x)=.一、选择题(每小题5分,共10分)1.(2016·临沂高二检测)已知函数f(x)=x3+(b-|a|)x2+ (a2-4b)x是奇函数,则f′(0)的最小值是( )A.-4B.0C.1D.4【解析】选A.由f(x)是奇函数,得b-|a|=0,即b=|a|,所以f(x)=x3+(b2-4b)x(b≥0),f′(x)=3x2+(b2-4b),f′(0)=b2-4b=(b-2)2-4,当b=2时,f′(0)取最小值-4.2.(2016·广州高二检测)已知f(x)=x2+cosx,f′(x)为f(x)的导函数,则f′(x)的大致图象是( )【解析】选A.因为f(x)=x2+cosx,所以f′(x)=-sinx.又因为f′(-x)= -sin(-x)=-=-f′(x),故f′(x)为奇函数,故函数f′(x)的图象关于原点对称,排除B、D,又因为f′=×-sin=-<0,排除C.二、填空题(每小题5分,共10分)3.(2015·全国卷Ⅱ)已知曲线y=x+lnx在点(1,1)处的切线与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切,则a= .【解析】y′=1+,则曲线y=x+lnx在点(1,1)处的切线斜率为k=f′(1)=1+1=2,故切线方程为y=2x-1.因为y=2x-1与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切,联立得ax2+ax+2=0,显然a≠0,所以由Δ=a2-8a=0⇒a=8.答案:8【补偿训练】若f(x)=(2x+a)2,且f′ (2)=20,则a= .【解析】f(x)=(2x+a)2=4x2+4ax+a2,f′(x)=8x+4a,所以f′(2)=16+4a=20,所以a=1.答案:14.(2015·太原高二检测)已知函数f(x)的导函数为f′(x),且满足f(x)=2xf′(e)+lnx则f′(e)= .【解析】因为f(x)=2xf′(e)+lnx,所以f′(x)=2f′(e)+,所以f′(e)=2f′(e)+,解得f′(e)=-.答案:-三、解答题(每小题10分,共20分)5.(2016·烟台高二检测)已知二次函数f(x)=ax2+bx+3(a≠0),其导函数f′(x)=2x-8.(1)求a,b的值.(2)设函数g(x)=e x sinx+f(x),求曲线g(x)在x=0处的切线方程.【解析】(1)因为f(x)=ax2+bx+3(a≠0),所以f′(x)=2ax+b,又知f′(x)=2x-8,所以a=1,b=-8.(2)由(1)可知g(x)=e x sinx+x2-8x+3,所以g′(x)=e x sinx+e x cosx+2x-8,所以g′(0)=e0sin0+e0cos0+2×0-8=-7,又知g(0)=3.所以曲线g(x)在x=0处的切线方程为y-3=-7(x-0),即7x+y-3=0.6.(2016·重庆高二检测)设f(x)=x3+ax2+bx+1的导数f′(x)满足f′(1)=2a,f′(2)=-b,其中常数a,b∈R.求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程.【解题指南】求出导函数,根据f′(1)=2a,f′(2)=-b求出a,b,最后将x=1分别代入原函数及导函数求出f(1)及切线斜率.【解析】因为f(x)=x3+ax2+bx+1,所以f′(x)=3x2+2ax+b.令x=1,得f′(1)=3+2a+b,又f′(1)=2a,因此3+2a+b=2a,解得b=-3.又令x=2,得f′(2)=12+4a+b,又f′(2)=-b,因此12+4a+b=-b,解得a=-.因此f(x)=x3-x2-3x+1,从而f(1)=-.又f′(1)=2×=-3,故曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-=-3(x-1),即6x+2y-1=0.关闭Word文档返回原板块小课堂：如何培养中学生的自主学习能力？自主学习是与传统的接受学习相对应的一种现代化学习方式。

§3.2 求导数的方法——法则与公式

对y=x 两边取对数,得: lny=lnx y 两端对x求导,得: y x
y x y 即得 (x)=x1 x x
五、指数函数y=ax (a>0,且a1)的导数
两边取对数,得: lny=xlna y ln a y=ylna 两端对x求导,得: y 即得 (ax)=axlna 特别, (ex)=ex
sec2 y 0. (tan y )
1 1 1 1 从而 (arc tan x ) 2 2 2 (tan y ) sec y 1 tan y 1 x
1 类似 (arccotx ) 2 1 x
x a 2 x 2 a arcsin x 例18. 求函数 y 2 2 a 的导数 2 ( x a 2 x 2 ) ( a arcsin x ) 解: y 2 2 a 2 2 ( x ) ( a x ) a 2 2 2 a 1 a x x 2 2 2 a2 x2 2 x )2 1 ( a 2 2 2 2 a x x a 2 2 2 2 2 2 a x 2 a x 2 2 a x
u ) uv uv (v( x ) 0) (3) ( 2 v v 1 ) v 特别, ( 2 v v
推论:
(1) [ f i ( x )] f i( x )
i 1 i 1
n
n
(2) [Cf(x)]=Cf (x)
(3) [ f i ( x )] f1( x ) f 2 ( x ) f n ( x )
二、复合函数的求导法则
如果函数u=(x)在点x处可导, y=f(u) 在对应点u=(x)处也可导,则有复合函数 y=f[(x)]在点x可导,其导数为: dy dy du dx du dx

3.2 导数的计算第2课时导数的运算法则

第2课时导数的运算法则
基本初等函数的导数公式 (1)若f(x)＝c(常数)，则f′(x)＝
0
.
(2)若f(x)＝xα(α∈Q﹡)，则f′(x)＝ αxα－1 .
(3)若f(x)＝sin x，则f′(x)＝ cos x .
(4)若f(x)＝cos x，则f′(x)＝－sin x .
(5)若f(x)＝ax，则f′(x)＝
求下列函数的导数:
1 2 (1) y 2 . x x
x ( 2) y . 2 1 x
1 x2 (2) y . 2 2 (1 x )
1 4 答案: (1) y 2 3 . x x
例2
日常生中的饮用水通常是经过净化的，
随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加. 已知1吨水净化到纯净度为x%时所需费用（单位:元）为： 5 284 c(x)= (80 x 100). 100 x 求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率. (1)90%. (2)98%.
1．若f(x)与g(x)是定义在R上的两个可导函数，且 f(x)，g(x)满足f(x)=g(x)，则f(x)与g(x)满足（ B ） A.f(x)＝g(x)
B.f(x)－g(x)为常数函数
C.f(x)=g(x)=0
D.f(x)+g(x)为常数函数
2．函数y=sinx(cosx＋1)的导数为 y′=cos2x+cosx .
平行, 求切点坐标与切线方程.
解: 因为切线与直线 y=4x+3 平行, 所以切线的斜率为 4. 又切线在 x0 处的斜率为 y |
x=x0
=(x3+x-10) |
所以3x02+1=4，所以x0=1. 当 x0=1 时, y0=-8; 当 x0=-1 时, y0=-12. 所以切点坐标为 (1, -8) 或 (-1, -12).

原创1：3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)

第三章导数及其应用
§3.2 导数的计算
3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则（一）
掌握基本初等函数的导数公式，会求简单函数的导数.
1.本课重点是掌握基本初等函数的导数公式及应用. 2.本课的难点是利用基本初等函数的导数公式求简单函数的导数与导数公式的简单应用.
基本初等函数的导数公式
9
27
此时公切线的斜率为k=2x1=64 .
27
综上所述，曲线C1，C2有两条公切线，其斜率分别为0，2674 ③. …………………………………………………………………12分
1.曲线y=xn在x=2处的导数为12，则n=( ) （A）1 （B）3 （C）2 （D）4 【解析】选B.∵y′=nxn-1,∴n×2n-1=12,可得n=3.所以选B.
（1）若f(x)=c，则f′(x)=0；
（2）若f(x)=xn(n∈Q*)，则f′(x)=_n_x_n_-1_；
（3）若f(x)=sinx，则f′(x)=__c_o_sx_；
（4）若f(x)=cosx，则f′(x)=__-_si_n_x_;
（5）若f(x)=ax，则f′(x)=_a_x_ln_a_(a>0)；
…………………………………………………………………4分
②当x=2 时，2x=3x2=4
3
3
.此时C1的切线方程为y-
4=
9
4(x-
3
)，2
3
而C2的切线方程为y- 8 = (4x- ).2显然两者不是同一条
27 3 3
切线，所以x= 2舍去.………………………………………6分
3
(2)当公切线切点不同时①，在曲线C1，C2上分别任取一点A
1 x；-23 1 1

3.2求导法则与导数公式

第二节求导法则与导数公式导数的四则运算基本初等函数的导数复合函数的导数反函数求导法则导数的四则运算（1）设 u ( x) v( x) 在x可导，则[u ( x) ± v( x)]′ = u ′( x) ± v′( x) 设 y = g ( x) = u ( x) + v( x)Δy = g ( x + Δx) − g ( x) = [u ( x + Δx) + v( x + Δx)] − [u ( x) + v( x)]= [u ( x + Δx) − u ( x)] + [v( x + Δx) − v( x)]= Δu + Δv Δy Δu Δv lim Δy = lim [ Δu + Δv ] = u ′( x) + v′( x) + = Δx Δx Δx Δx →0 Δx Δx →0 Δx Δx推广[u1 ( x) ± u2 ( x) ±′ ( x) ± u2 ′ ( x) ± u n ( x)]′ = u1′ ( x). ± un[u ( x) ± v( x)]′ = u ′( x) ± v′( x)[u1 ( x) ± u2 ( x) ±例解′ ( x) ± u2 ′ ( x) ± u n ( x)]′ = u1′ ( x). ± unf ( x) = x + sin x − cos x + 9 求其导数 f ′( x) = ( x + sin x − cos x + 9)′ = ( x )′ + (sin x)′ − (cos x)′ + (9)′= 1 / 2 x + cos x + sin x(2)设u ( x) , v( x)在x可导,则[u ( x)v( x)]′ = u ( x)v′( x) + u ′( x)v ( x ) 设 y = g ( x ) = u ( x )v ( x )Δy = g ( x + Δx ) − g ( x ) = u ( x + Δ x ) v ( x + Δx ) − u ( x ) v ( x ) = u ( x + Δ x ) v ( x + Δ x ) − u ( x ) v ( x + Δx ) + u ( x ) v ( x + Δ x ) − u ( x ) v ( x )= Δu ⋅ v( x + Δx) + u ( x)Δv. Δv Δy Δu = v ( x + Δx ) + u ( x ) . Δx Δx Δx Δy Δu Δv lim = lim ⋅ lim v( x + Δx) + u ( x) ⋅ lim Δx → 0 Δx Δx → 0 Δx Δx → 0 Δx → 0 Δx= u ( x)v′( x) + u ′( x)v( x).[u ( x)v( x)]′ = u ( x)v′( x) + u ′( x)v ( x )[cu ( x)]′ = cu ′( x) （常数因子可以提出来）特别：例、求 f (x) = 7 x cosx 的导数解 f ′( x) = (7 x cos x)′ = 7[( x ) cos x +′′ x (cos x ) ]cos x = 7[ − x sin x] 2 x推广 (u ( x)v( x) w( x))′轮流求导= u ′( x)v( x) w( x) + u ( x)v′( x) w( x) + u ( x)v( x) w′( x)[u1 ( x)u2 ( x)′ ( x)u2 ( x) un ( x)]′ = u1 ′ ( x) + u1 ( x)u 2 un ( x) +un ( x) + u1 ( x)u2 ( x) ′ ( x). un例、求 f ( x ) = 4 x 2 ⋅ ln x ⋅ cos x 的导数解 f ′(x) = (4x2 ⋅ ln x ⋅ cosx)′ = 4(x2 ⋅ ln x ⋅ cosx)′1 = 4(2x ⋅ ln x ⋅ cosx + x2 ⋅ ⋅ cosx − x2 ⋅ ln x ⋅ sin x) x = 4(2x ⋅ ln x ⋅ cosx + x cosx − x2 ⋅ ln x ⋅ sin x)（3）设′ u ( x) ⎡ u ( x) ⎤ u ′( x)v( x) − u ( x)v′( x) 设 y = g ( x) = . ⎢ v( x) ⎥ = v( x) 2 [v( x)] ⎣ ⎦ Δy = g ( x + Δx ) − g ( x ) u ( x + Δx) u ( x) u ( x + Δx)v( x) − u ( x)v( x + Δx) = − = v( x + Δx) v( x) v( x + Δx)v( x) u ( x + Δx)v( x) − u ( x)v( x) + u ( x)v( x) − u ( x)v( x + Δx) = v( x + Δx)v( x) Δuv( x) − u ( x)Δv = v( x + Δx)v( x) Δu Δv ⋅ v( x) − u ( x) ⋅ Δy Δx Δx = 因为u,v可导，所以也连续 Δx v( x + Δx)v( x)u ( x) , v( x) 在x可导 v( x ) ≠ 0u ′( x) ⋅ v( x) − u ( x) ⋅ v′( x) Δy lim = Δx →0 Δx [v( x)]2例、求y=tanx的导数 sin x ∵ y = tan( x) = cos x ′ sin x ⎞ (sin x)′ cos x − sin x(cos x)′ cos 2 x + sin 2 x ⎛ ∴ y′ = ⎜ ⎟= = 2 2 x cos cos x cos x ⎠ ⎝(tan x)′ = sec 2 x(cot x)′ = − csc 2 x= sec 2 x′ 1 ⎞ − v′( x) 特别地 ⎛ ⎜ ⎜ v( x) ⎟ ⎟ = [v( x)]2 ⎝ ⎠ ′ sin x 1 ⎞ ⎛ = tan x ⋅ sec x (sec x)′ = ⎜ ⎟ = 2 ⎝ cos x ⎠ cos x (csc x)′ = − cot x ⋅ csc x例x2 y= x 2(u ± v )′ = u ′ ± v′ (uv )′ = u ′v + uv′′ u ⎛ ⎞ u ′v − uv′ ⎜ ⎟ = v2 ⎝v⎠解： y′ = ( x 2 ⋅ 2− x )′= 2 x 2− x + x 2 (−2− x ln 2) 2 x − x 2 ln 2 = . x 2基本的初等函数的求导公式c′ = 0(c为常数 ).( x a )' = ax a −1 (a为实数 ) .y′ y == 2x 例：，求 y′ 1 x x x − 1 2 y′ = x 2 ⎛ ⎞′ 7 ′ − 1 ⎛ ⎞ 1 −2 ⎜ ⎟ 8 y′ = − x = − 解： x = ⎜ ⎟ 2⎟ ⎜ x ⎠ ⎝ x 3x x ⎠ ⎝ 1 −2 1 y′ = − x 15 =− 2 7 − 8 2 x3 =− x . 81y=x ,2y= x =x 1 y = = x −1 x 1 − 1 y= =x 2 x1 2基本的初等函数的求导公式c′ = 0(c为常数 ).(a x )' = a x ⋅ ln a (a > 0, a ≠ 1). 1 1 (log a x)' = ⋅ (a > 0, a ≠ 1). x ln a ( x )′ = 3 x3 2( x a )' = ax a −1 (a为实数 ) . (e x )' = e x . 1 (lnx)' = . x(3x )' = 3x ln 3 (π x )′ = π x ln π ((tan α ) x )′ = (tan α ) x ⋅ ln tan α( xπ )′ = π xπ −1 ( x tan α )′ = tan α ⋅ x tan α −1识别函数关键常数、变量所在位置幂函数例如指数函数ax＝aa＝xx＝xa识别对数函数log a x＝ log x a ＝log x x基本的初等函数的求导公式c′ = 0(c为常数 ).( x a )' = ax a −1 (a为实数 ) .(e x )' = e x . 1 1 1 (log a x)' = ⋅ (a > 0, a ≠ 1). (lnx)' = . x ln a x (sin x)' = cos x. 比较两边 (cos x)' = − sin x. (tan x)' = sec 2 x. (sec x)' = sec x ⋅ tan x. 1 (arcsin x)' = . 2 1− x 1 (arctan x)' = . 2 1+ x (cot x)' = − csc 2 x. (csc x)' = − csc x ⋅ cot x. 1 (arccos x)' = − . 1 − x2 1 . (arc cot x)' = − 2 1+ x(a x )' = a x ⋅ ln a (a > 0, a ≠ 1).例．设，求f ′ (1) , f ′( ) 8 4 π 解： f ′( x ) = ( x sin x)′ + (tan )′ π π 8 f ′( )＝{ f ( )}′ ′ 4 4 ′ = x sin x + x (sin x ) f ′(1)＝{ f (1)}′ 1 sin x + x cos x = 2 x 1 f ′(1) = sin 1 + cos1 2 π 1 π π π 3π f ′( ) = sin + cos = 4 4 2 4 4 π π 注： tan 是常数，其导数等于零； 8f ( x ) = x sin x + tanππ( )x +2 x− π , 求y'. 例设y = x解1 1 x − πx + 2 − y' = ( )' = ( x 2 − π + 2 x 2 )' x=1 ( x 2 )'− 1 2− ( π )' + 2( x1 + 2 ⋅ (− ) x 2 − 1 x x .−3 2−1 2 )'求导前先化简可减少计算量1 = x 2 =1 2 x1 例. 求 y = 的导数 1+ x1 ′(1 + x ) − (1 + x )′ ( 1 ) 解： y′ = ( )′ = 1+ x (1 + x ) 21 2 x =− = 2 2 x (1 + x ) 2 (1 + x )1 − f ′( x) )′ = 2 一般 ( , 其中f (x)可导, f (x) ≠ 0 f ( x) f ( x)−1复合函数的导数若函数 u = g ( x ) 在x可导, 函数 y = f (u ) 在u可导则复合函数 y= f [ g ( x )] 在x 可导且{ f [ g ( x)]}′ = f ′(u ) g ′( x)Δy = f ( g ( x + Δx)) − f ( g ( x)) Δu = g ( x + Δx ) − g ( x ) ,= f (u + Δu ) − f (u )Δy Δy Δu = ⋅ Δx Δu Δxlim Δu = 0 所以 Δ x →0( Δu ≠ 0)Δy Δu Δy lim = lim ⋅ lim Δx →0 Δx Δx →0 Δu Δx →0 Δx因为u在 x 可导，所以必连续Δy Δu = lim ⋅ lim Δu → 0 Δu Δx → 0 Δx分析{ f [ g ( x)]}′ = f ′(u ) g ′( x){(6 x + 7) 2 }′ = 2(6 x + 7) ⋅ (6 x + 7)′y = u2 y′ = (u 2 )′ ⋅ (6 x + 7)′ = 12uu=6x+7= 12(6 x + 7)设 y = f (u ), u = ϕ ( x) , 则复合函数 y = f [ϕ ( x)] 的导数为dy dy du = dx du dx或{ f [ϕ ( x )]}′ = f ′(u )ϕ ′( x )例.求y = sin2x的导数解：y = sin2x是由y = sinu，u = 2x复合而成dy du y′ = ⋅ = cos u ⋅ 2 = 2cos 2 x du dx例设 y=sin3 x，求 y'. 解令y = u 3，u = sin x，则dy dy du = ⋅ dx du dx = 3u 2 cos x = 3 sin 2 x ⋅ cos x.例. 求y = (3x2+1)100的导数解： y = u100，而 u = 3x2+1 由公式dy du y′ = ⋅ du dx= 100 u ⋅ 6 x99= 600x(3x 2 + 1)99)2ctg ( )4(′=′xy )2ctg (2ctg21′⋅=x x)2()2csc (2ctg 212′⋅−⋅=x x x )21(2ctg22csc 2⋅−=x x 2csc 2412x x tg ⋅−=})]([{′x f ϕ)()]([u f x f ′=′ϕ表示复合函数对自变量x 求导；而对中间变量求导。

高二数学人教A版选修1-1课件：3.2 导数的计算

设过(1,0)②的直线与 y=x3 相切于点(x0,��03), 则在该点处的切线斜率为 k=3��02, 所以切线方程为 y-��03=3��02(x-x0), 即 y=3��02x-2��03.
案例探究
误区警示
思悟升华
又(1,0)在切线上,则 x0=0 或 x0=32. 当 x0=0 时,切线方程为 y=0.由 y=0 与 y=ax2+145x-9 相切可得 a=-2654, 当 x0=32时,切线方程为 y=247x-247.由 y=247x-247与 y=ax2+145x-9 相切,
以及
这样想当然的错误;其次还要特��别��((��注��)) 意'=两��个��''((��函��))数积与商的求导公式中符号的异同,积的导数
法则中是“+”,商的导数法则中分子上是“-”.
一二三
知识精要
典题例解
迁移应用
【例 1】求下列函数的导数:
f(x)=ln x
导函数
f'(x)=0 f'(x)=αxα-1
f'(x)=cos x
f'(x)=-sin x
f'(x)=axln a(a>0)
f'(x)=ex
f'(x)=��
1 ln
��
(a>0,且
a≠1)
f'(x)=1
��
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预习导引
123
判一判(正确的打“√”,错误的打“×”).
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数学3.2《导数计算》教案(新人教A版选修1-1)

§3.2 导数的计算【高效预习】（核心栏目）“要养成学生阅读书籍的习惯就非教他们预习不可”。

——叶圣陶【关注.思考】1.阅读课本第81——82页，总结四个常用函数的导数公式，认真阅读导数公式的推导过程，这四个常用函数有什么共同的特征，其导数有什么意义？细节提示：利用导数的定义求解四种函数的导数，对照函数图象，把握住导数的物理意义和几何意义；四种常用函数实际上都是幂函数，探讨规律时，应把导函数的系数与幂指数与原函数进行对比.【领会.感悟】1.这四种函数实质上都是特殊的幂函数，它们的导函数的系数为幂函数的指数，指数为幂函数的指数减去1所的数值；函数的导数的几何意义是函数图象在该点处的切线的斜率【精读·细化】2.认真阅读教材83页,记住基本初等函数的导数公式，注意各公式之间的联系，特别注意对数函数与指数函数的导函数.细节提示:前面四个常见函数的导函数实际上就是公式1、2所对应公式，对数函数的导函数与指数函数的导函数形式不同，应注意两者之间的区别. 【领会·感悟】2.基本初等函数的导数公式是我们求解函数导数的基础，要记准确，记牢，才可能在运算过程中不出现错误。

例1是导数的简单应用.【精读·细化】3.认真阅读教材84——85页,识记到数的运算法则，两个函数的和（差）与积的导数的形式一致吗？两函数的商的导数有什么特征？它们成立的前提条件是什么.细节提示:两个函数和（差）与积的导数的形式是不一致的，特别要注意两函数积的导数，两函数上的导数的特征非常明显，注意法则成立的前提是两函数的导数都存在. 【领会·感悟】3.深刻理解和掌握到数的运算法则，在结合给定函数自身的特点，才能有效地进行求导运算；理解和掌握求导法则与公式的结构规律是灵活进行求导的前提。

【学习细节】（核心栏目）A ．基础知识导数的计算知识点1 几个常用函数的导数【情景引入】化学中常用PH 表示不同液体的酸碱性。

导数计算(2)

（理）1.2 导数的计算1.2.1 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则（文）3.2 导数的计算3.2.1 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则［素养目标］1．能利用导数的四则运算法则和复合函数的求导法则求解导函数，培养数学运算的核心素养。

2．导数的应用让学生进一步理解导数的几何意义及其应用，达成逻辑推理的核心素养。

【课前·预习案】[问题导学]知识点1. 导数的运算法则【思考1】一个函数可以求其导数，那么两个函数加、减、乘、除能求导吗？【提示】能．〖梳理〗导数的运算法则设两个函数f (x )，g (x )可导，则 (1)和(差)的导数符号表示：[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )． (2)积的导数符号表示：[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )．特别地，当g (x )＝c (c 为常数)时，[cf (x )]′＝cf ′(x )． (3)商的导数符号表示：⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝f′(x )g (x )－f (x )g′(x ) g 2(x ) (g (x )≠0)．（理）知识点2. 复合函数的导数【思考2】如何求y ＝cos ⎝⎛⎭⎫3x －π4的导数．【提示】令u ＝g (x )＝3x －π4，y ＝f (u )＝cos u ，∴y ＝f (u )＝f (g (x ))＝cos ⎝⎛⎭⎫3x －π4. 〖梳理〗复合函数的导数复合函数y ＝f(g(x))的导数和函数y ＝f(u)，u ＝g(x)的导数间的关系为y x ′＝y u ′· u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积． [达标自评]1.判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”： (1)和的导数就是导数的和，差的导数就是导数的差．( )(2)积的导数就是导数的积，商的导数就是导数的商. ( )(3)(x 2cos x )′＝－2x sin x ．( )解析：(1)正确.和、差的导数就是导数的和、差；（2）错.根据导数的运算法则知积的导数不是导数的积，商的导数也不是导数的商；（3）错. (x 2cos x )′＝ (x 2)′·cos x +x 2·(cos x )′=2x cos x －x 2sin x ．答案：（1）√ （2）× （3）× 2．已知函数f(x)＝cos x ＋ln x ，则f ′(1)的值为( )A ．1－sin 1B ．1＋sin 1C ．sin 1－1D ．－sin 1解析：因为f ′(x )＝－sin x ＋1x ，所以f ′(1)＝－sin 1＋11＝1－sin 1.答案：A3．函数y ＝sin x ·cos x 的导数是( )A ．y ′＝cos2x ＋sin2xB ．y ′＝cos2x －sin2xC ．y ′＝2cos x ·sin xD ．y ′＝cos x ·sin x解析：y ′＝(sin x ·cos x)′＝cos x ·cos x ＋sin x ·(－sin x)＝cos2x －sin2x.答案：B4．若f(x)＝(2x ＋a)2，且f ′(2)＝20，则a ＝________.解析：f(x)＝4x2＋4ax ＋a2，∵f ′(x)＝8x ＋4a ，∴f ′(2)＝16＋4a ＝20，∴a ＝1. 答案：15．设f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4，则f ′⎝⎛⎭⎫π4＝________.解析：∵f ′(x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4·⎝⎛⎭⎫3x ＋π4′ ＝6cos ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4， ∴f ′⎝⎛⎭⎫π4＝6cos ⎝⎛⎭⎫3π4＋π4＝－6. 答案：－6【课堂·探究案】探究一导数的四则运算法则的应用【例1】求下列函数的导数：(1)y ＝15x 5－43x 3＋3x ＋2；(2)y ＝(3x 5－4x 3)(4x 5＋3x 3)； (3)y ＝33x 4＋4x 3.【分析】这些函数是由基本初等函数经过四则运算得到的简单函数，求导时，可直接利用导数的四则运算法则进行求导．解：(1)y ′＝⎝⎛⎭⎫15x 5－43x 3＋3x ＋2′ ＝⎝⎛⎭⎫15x 5′－⎝⎛⎭⎫43x 3′＋(3x )′＋(2)′＝x 4－4x 2＋3.(2)法1：y ′＝(3x 5－4x 3)′(4x 5＋3x 3)＋ (3x 5－4x 3)(4x 5＋3x 3)′＝(15x 4－12x 2)(4x 5＋3x 3)＋(3x 5－4x 3)(20x 4＋9x 2)＝60x 9－48x 7＋45x 7－36x 5＋60x 9－80x 7＋27x 7－36x 5＝120x 9－56x 7－72x 5.法2：∵y ＝12x 10－7x 8－12x 6 ∴y ′＝120x 9－56x 7－72x 5. (3)y ′＝(33x 4＋4x 3)′＝(3x 43)′＋(4x 32)′＝4x 13＋6x 12＝43x ＋6x .【方法总结】1.多项式的积的导数，通常先展开再求导更简便．2．含根号的函数求导一般先化为分数指数幂，再求导．【跟踪训练1】求下列函数的导数．(1)y ＝x ·tan x ；(2)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)； (3)y ＝x －1x ＋1.解：(1)y ′＝(x ·tan x )′＝⎝⎛⎭⎫x sin x cos x ′ ＝(x sin x )′cos x －x sin x (cos x )′cos 2x＝(sin x ＋x cos x )cos x ＋x sin 2x cos 2x ＝sin x cos x ＋xcos 2x.(2)解法1：y ′＝[(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)]′ ＝[(x ＋1)(x ＋2)]′(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)′＝[(x ＋1)′(x ＋2)＋(x ＋1)(x ＋2)′](x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2)＝(x ＋2＋x ＋1)(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2)＝(2x ＋3)(x ＋3)＋x 2＋3x ＋2＝3x 2＋12x ＋11；解法2：∵(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)＝(x 2＋3x ＋2)(x ＋3)＝x 3＋6x 2＋11x ＋6，∴y ′＝[(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)]′＝(x 3＋6x 2＋11x ＋6)′＝3x 2＋12x ＋11；(3)解法1：y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ＋1′ ＝(x －1)′(x ＋1)－(x －1)(x ＋1)′(x ＋1)2＝x ＋1－(x －1)(x ＋1)2＝2(x ＋1)2；解法2：∵y ＝x －1x ＋1＝x ＋1－2x ＋1＝1－2x ＋1， ∴y ′＝⎝⎛⎭⎫1－2x ＋1′＝⎝⎛⎭⎫－2x ＋1′＝2(x ＋1)2. 答案：(1)y ′＝sin x cos x ＋xcos 2x (2)y ′＝3x 2＋12x ＋11 (3)y ′＝2(x ＋1)2（理）探究二复合函数的导数【例2】求下列函数的导数： (1)y ＝(2x －1)4；(2)y ＝11－2x； (3)y ＝sin(－2x ＋π3)；(4)y ＝102x ＋3.【分析】对于简单复合函数的求导，其一般步骤为“分解——求导——回代”，即：(1)弄清复合关系，将复合函数分解成基本初等函数形式；(2)利用求导法则分层求导；(3)最终结果要将中间变量换成自变量．注意不要漏掉第(3)步回代的过程．解：(1)原函数可看作y ＝u 4，u ＝2x －1的复合函数，则y x ′＝y u ′·u x ′＝(u 4)′·(2x －1)′＝4u 3·2＝8(2x －1)3. (2)y ＝11－2x＝(1－2x )－12可看作y ＝u －12，u ＝1－2x 的复合函数，则y x ′＝y u ′·u x ′＝(－12)u －32·(－2)＝(1－2x )－32＝1(1－2x )1－2x；(3)原函数可看作y ＝sin u ，u ＝－2x ＋π3的复合函数，则y x ′＝y u ′·u x ′＝cos u ·(－2)＝－2cos(－2x ＋π3)＝－2cos(2x －π3)．(4)原函数可看作y ＝10u ，u ＝2x ＋3的复合函数，则y x ′＝y u ′·u x ′＝102x ＋3·ln 10·2＝(ln100)102x ＋3.【方法总结】分析复合函数的结构，找准中间变量是求导的关键，要善于把一部分量、式子暂时看作一个整体，并且它们必须是一些常见的基本函数．复合函数的求导熟练后，中间步骤可以省略，不必再写出函数的复合过程，直接运用公式，从外层开始由外及内逐层求导．【跟踪训练2】求下列函数的导数． (1)y ＝(2x ＋3)3； (2)y ＝e－0.05x ＋1；(3)y ＝sin(πx ＋φ)．解：(1)函数y ＝(2x ＋3)2可以看成函数y ＝u 2，u ＝2x ＋3的复合函数．∴y x ′＝y u ′·u x ′＝(u 2)′·(2x ＋3)′＝2u ·2＝4(2x ＋3)＝8x ＋12. (2)函数y ＝e－0.05x ＋1可以看成函数y ＝e u 和函数u ＝－0.05x ＋1的复合函数．∴y x ′＝y u ′·u x ′＝(e u)′·(－0.05x ＋1)′＝－0.05e u ＝－0.05 e－0.05x ＋1.(3)函数y ＝sin(πx ＋φ)可以看成函数y ＝sin u ，u ＝πx ＋φ的复合函数．∴y x ′＝y u ′·u x ′＝(sin u )′·(πx ＋φ)′＝cos u ·π＝π cos(πx ＋φ)．探究三导数的应用命题角度一与切线方程有关的应用 [例3](1)（2018高考全国高考I 卷）设函数()()321f x x a x ax =+-+．若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点()00，处的切线方程为（） A ．2y x =- B ．y x =- C ．2y x =D ．y x =(2)已知函数f (x )＝13x 3－2x 2＋ax (x ∈R ，a ∈R )，在曲线y ＝f (x )的所有切线中，有且仅有一条切线l 与直线y ＝x 垂直．求a 的值和切线l 的方程．（理）（3）求曲线y ＝e 2x ＋1在点(－12，1)处的切线方程．解析：(1) ∵()f x 为奇函数，∴()()f x f x -=-，即1a =，∴3()f x x x =+，∴'(0)1f =，∴切线方程为：y x =. 答案：D解：(2)∵f (x )＝13x 3－2x 2＋ax ，∴f ′(x )＝x 2－4x ＋a .由题意可知，方程f ′(x )＝x 2－4x ＋a ＝－1有两个相等的实根．∴Δ＝16－4(a ＋1)＝0，∴a ＝3.∴f ′(x )＝x 2－4x ＋3＝－1可化为x 2－4x ＋4＝0.解得切点横坐标为x ＝2， ∴f (2)＝13×8－2×4＋2×3＝23，∴切线l 的方程为y －23＝(－1)×(x －2)，即3x ＋3y －8＝0.∴a ＝3，切线l 的方程为3x ＋3y －8＝0.（3）∵y ′＝e 2x ＋1·(2x ＋1)′＝2e 2x＋1，∴y ′|12x =-＝2，∴曲线y ＝e 2x ＋1在点(－12，1)处的切线方程为y －1＝2(x ＋12)，即2x －y ＋2＝0.【互动探究】题(2)的条件改为“f (x )＝13x 3－2x 2＋ax (x ∈R ，a ∈R )，且f ′(1)＝5”，求曲线在(1，f (1))处的切线方程．解：∵f ′(x )＝x 2－4x ＋a ， ∴f ′(1)＝1－4＋a ＝5，∴a ＝8， ∴f (x )＝13x 3－2x 2＋8x ，∴f (1)＝193，则切线方程为y －193＝5(x －1)，即15x －3y ＋4＝0.【方法总结】求曲线切线的关键是正确求函数的导数，要注意“在某点处的切线”与“过某点的切线”两种不同的说法．【跟踪训练3】(1)曲线y ＝sin x sin x ＋cos x －12在点M ⎝⎛⎭⎫π4，0处的切线的斜率为( ) A ．－12B.12 C ．－22D.22(2)设函数f (x )＝13x 3－a2x 2＋bx ＋c ，其中a >0，曲线y ＝f (x )在点P (0，f (0))处的切线方程为y ＝1，确定b 、c 的值．（理）（3）曲线y ＝e sin x 在(0,1)处的切线与直线l 平行，且与l 的距离为2，求直线l 的方程．解析：（1）y ′＝cos x (sin x ＋cos x )－sin x (cos x －sin x )(sin x ＋cos x )2＝1(sin x ＋cos x )2，故y ′|x ＝π4＝12，∴曲线在点M ⎝⎛⎭⎫π4，0处的切线的斜率为12. 答案：B（2）由题意得，f ′(x )＝x 2－ax ＋b ，∴f ′(0)＝b ＝0.由切点P (0，f (0))既在曲线f (x )＝13x 3－a2x 2＋bx ＋c 上又在切线y ＝1上知⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＝c ，y |x ＝0＝1，即c ＝1.综上所述，b ＝0，c ＝1.（3）设u ＝sin x ，则y ′＝(e sin x )′＝(e u )′(sin x )′. ＝cos x e sin x . y ′|x ＝0＝1.则切线方程为y －1＝x －0，即x －y ＋1＝0.若直线l 与切线平行可设直线l 的方程为x －y ＋c ＝0.两平行线间的距离d ＝|c －1|2＝2⇒c ＝3或c ＝－1.故直线l 的方程为x －y ＋3＝0或x －y －1＝0.命题角度二与最值有关的应用[例4]在抛物线y ＝－x 2上求一点，使之到直线4x ＋3y －8＝0的距离最小．【素养解读】∴点P ⎝⎛⎭⎫23，－49，即抛物线y ＝－x 2上的点⎝⎛23距离最小．很多综合问题我们可以数形即切线的往可以结合导数4】已知点P 是曲线y ＝x 2－ln x P 到直线y ＝x －2的最小距离．P 作y ＝x －2的平行直线，且与2－ln x 相切，设P (x 0，x 20－ln x 0)，|x ＝x 0＝2x 0－1x 0＝1，∴x 0＝1或x 0)，∴p 的坐标为(1,1)，∴d min ＝＝ 2. 【本节小结】【基础巩固】1．（2018•山西太原市期中）已知函数f （x ）=sinx ﹣x ，则f′（0）=（）A ．0B ．﹣1C ．1D ．﹣2解析：f′（x ）=cosx ﹣1，∴f′（0）=cos0﹣1=1﹣1=0．答案：A2．（2018•四川资阳雁江区期中）下列运算正确的个数为（）A ．B．（3x）'=3x log3eC．（lgx）′=D．（x2cosx）'=﹣2xsinx解析：根据题意，依次分析选项：对于A ，）′==，正确；对于B，（3x）'=3x ln3，错误；对于C，（lgx）′=，错误；对于D，（x2cosx）'=（x2）′cosx+x2（cosx）′=2xcosx﹣x2sinx，错误；答案：A3.（2018•河南商丘市期中）已知函数f（x）=（x3﹣2x）e x，则的值为（）A．﹣e B．1 C．e D．0解析：∵f（x）=（x3﹣2x）e x，∴f′（x）=（x3+3x2﹣2x﹣2）e x，∴=f′（1）=（1+3﹣2﹣2）e=0．答案：D4.（2018•福建三明三元区月考）某厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x 小时，原油温度（单位：℃）为f （x ）=x3﹣x2+8（0≤x＜5），那么原油温度的瞬时变化率的最小值为（）A．8 B ．﹣C．﹣1 D．﹣8 解析：由题意，f′（x）=x2﹣2x=（x ﹣）2﹣，∵0≤x≤5∴x=时，f′（x ）的最小值为﹣，即原油温度的瞬时变化率的最小值是﹣.答案：B5．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(e)＋ln x，则f′(e)＝() A．e－1 B．－1C．－e－1 D．－e解析：∵f(x)＝2xf′(e)＋ln x，∴f′(x)＝2f′(e)＋1x，∴f′(e)＝2f′(e)＋1e，解得f′(e)＝－1e.答案：C6．(2018•高考全国高考II卷）曲线2lny x=在点(1,0)处的切线方程为__________．解析：由()2lny f x x==，得()2f xx'=，则曲线2lny x=在点()1,0处的切线的斜率为()12k f='=，则所求切线方程为()021y x-=-，即22y x=-．答案：y =2x –27．(全国大纲卷改编)已知曲线y ＝x 4＋ax 2＋1在点(－1，a ＋2)处切线的斜率为8，则a ＝________.解析： y ′＝4x 3＋2ax ，因为曲线在点(－1，a ＋2)处切线的斜率为8，所以y ′|x ＝－1＝－4－2a ＝8，解得a ＝－6.答案：－6（文）8．已知直线y ＝2x －1与曲线y ＝ln(x ＋a )相切，则a 的值为________.解析：∵y ＝ln(x ＋a )，∴y ′＝1x ＋a ，设切点为(x 0，y 0)，则y 0＝2x 0－1，y 0＝ln(x 0＋a )，且1x 0＋a＝2，解之得a ＝12ln2.答案：12ln2（理）8．设函数f (x )＝cos(3x ＋φ)(0＜φ＜π)，若f (x )＋f ′(x )是奇函数，则φ＝________.解析：f ′(x )＝－3sin(3x ＋φ)， f (x )＋f ′(x )＝cos(3x ＋φ)－3sin(3x ＋φ)＝2sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋φ＋5π6. 若f (x )＋f ′(x )为奇函数，则f (0)＋f ′(0)＝0，即0＝2sin ⎝⎛⎭⎫φ＋5π6，∴φ＋5π6＝k π(k ∈Z )．又∵φ∈(0，π)，∴φ＝π6.答案：π69．求下列函数的导数(1)y ＝x 5－3x 3－5x 2＋6；(2)y ＝(2x 2＋3)(3x －2)；（理）(3)y ＝ln(2x 2＋x )；（理）(4)y ＝x ·2x －1.解：(1)y ′＝(x 5－3x 3－5x 2＋6)′ ＝(x 5)′－(3x 3)′－(5x 2)′＋6′ ＝5x 4－9x 2－10x .(2)方法一：y ′＝(2x 2＋3)′(3x －2)＋(2x 2＋3)(3x －2)′＝4x (3x －2)＋3(2x 2＋3)＝18x 2－8x ＋9. 方法二∵y ＝(2x 2＋3)(3x －2)＝6x 3－4x 2＋9x －6，∴y ′＝18x 2－8x ＋9.(3)设u ＝2x 2＋x ，则y x ′＝y u ′·u x ′ ＝(ln u )′·(2x 2＋x )′ ＝1u ·(4x ＋1)＝4x ＋12x 2＋x. (4)y ′＝x ′·2x －1＋x ·(2x －1)′. 先求t ＝2x －1的导数．设u ＝2x －1，则t ＝u 12，t x ′＝t u ′·u x ′＝12·u －12·(2x －1)′＝12×12x －1×2＝12x －1. ∴y ′＝2x －1＋x2x －1＝3x －12x －1. 10.已知函数f (x )＝a ln x x ＋1＋bx ，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为x ＋2y －3＝0，求a ，b 的值．解：f ′(x )＝a ⎝⎛⎭⎫x ＋1x －ln x (x ＋1)2－bx 2，由于直线x ＋2y －3＝0的斜率为－12，且过点(1,1)，故⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)＝1，f ′(1)＝－12，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，a 2－b ＝－12.解得a ＝1，b ＝1.【能力提升】11．设曲线y ＝ax －ln(x ＋1)在点(0,0)处的切线方程为y ＝2x ，则a ＝( )A ．0B ．1C ．2D ．3 解析：本题考查导数的基本运算及导数的几何意义．令f (x )＝ax －ln(x ＋1)，∴f ′(x )＝a －1x ＋1. ∴f (0)＝0，且f ′(0)＝2.联立解得a ＝3.答案：D12．设f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f 0′(x )，f 2(x )＝f 1′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N ，则f 2017(x )等于( )A ．sin xB ．－sin xC ．cos xD ．－cos x 解析： f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f 0′(x )＝(sin x )′＝cos x ， f 2(x )＝f 1′(x )＝(cos x )′＝－sin x ， f 3(x )＝f 2′(x )＝(－sin x )′＝－cos x ， f 4(x )＝f 3′(x )＝(－cos x )′＝sin x ， ∴4为最小正周期，∴f 2017(x )＝f 1(x )＝cos x .答案：C（文）13.已知直线x －y －1＝0与抛物线y ＝ax 2相切，则a 的值为________．解析：设切点为P (x 0，y 0)．则f ′(x 0)＝2ax 0，即2ax 0＝1. 又y 0＝ax 20，x 0－y 0－1＝0，联立以上三式，得⎩⎪⎨⎪⎧2ax 0＝1，y 0＝ax 20，x 0－y 0－1＝0，解得a ＝14.答案： 14（理）13．设曲线y ＝e x 在点(0,1)处的切线与曲线y ＝1x (x >0)上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为________.解析：设f (x )＝e x ，则f ′(x )＝e x ，所以f ′(0)＝1，因此曲线f (x )＝e x 在点(0,1)处的切线方程为y －1＝1×(x －0)，即y ＝x ＋1；设g (x )＝1x (x ＞0)，则g ′(x )＝－1x 2，由题意可得g ′(x P )＝－1，解得x P ＝1，所以P (1,1)．答案：(1,1)14．等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，函数f (x )＝x (x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)，则f ′(0)＝________.解析：f ′(x )＝x ′·[(x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)]＋[(x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)]′·x＝(x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)＋[(x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)]′·x ，所以f ′(0)＝(0－a 1)(0－a 2)…(0－a 8)＋[(0－a 1)(0－a 2)…(0－a 8)]′·0＝a 1a 2…a 8.因为数列{a n }为等比数列，所以a 2a 7＝a 3a 6＝a 4a 5＝a 1a 8＝8，所以f ′(0)＝84＝212.答案：212【创新探究】15．已知曲线y ＝e 2x ·cos 3x 在点(0,1)处的切线与直线l 的距离为5，求直线l 的方程．解：∵y ′＝(e 2x )′·cos 3x ＋e 2x ·(cos 3x )′＝2e 2x ·cos 3x －3e 2x ·sin 3x ，∴y′|x＝0＝2，∴经过点(0,1)的切线方程为y－1＝2(x－0)，即y＝2x＋1.设适合题意的直线方程为y＝2x＋b，根据题意，得5＝|b－1|5，解得b＝6或－4.∴适合题意的直线方程为y＝2x＋6或y ＝2x－4.。

3.2导数的乘法与除法四则运算(修改好)

x (2)求函数f(x) x 的导数. e x x x
x e x ( e ) ) x x 2 e (e ) x x x x x e x(e ) e xe 1 x x x 2 2x (e ) e e
x 思考3. y 的导数 sin x 2 ' 2 ' ( x ) sin x x (sin x) ' 解：y 2 sin x
2
sin xcos x＋x ＝ . cos2x
[再练一题] 2．求下列函数的导数： x －1 2 (1)y＝；(2)y＝xsin x－； cos x x ＋1 x5＋ x7＋ x9 (3)y＝ . x x ＋3 (4)y＝ 2 . x ＋3
【解】
x－1′ x＋1－x－1 2 (1)法一：y′＝＝＝ 2 2. x ＋ 1 x ＋ 1 x ＋ 1
x＋1－2 2 法二：y＝＝1－， x＋1 x＋1
′ ′ 2 2 ∴y′＝1－x＋1 ＝－x＋1
2′x＋1－2x＋1′ 2 ＝－＝ 2 2. x＋1 x＋1
2 ′ 2sin x (2)y′＝(xsin x)′－ cos x ＝sin x＋xcos x－cos2 x.
其中g ( x) 0
t 1 例2： (1)求函数s(t ) 的导数. t
2
2 t 1 (t 1) t (t 1)t 解 : (1) s(t ) ( ) t t2 2t 2 t 2 1 t 2 1 2 2 t t
2
2
解 : (2) f ( x) (
x5 ＋ x7 ＋ x9 2 3 4 (3)∵y＝＝x ＋x ＋x ， x ∴y′＝(x2＋x3＋x4)′＝2x＋3x2＋4x3.

(二十一) 3.2 导数的计算第2课时导数的运算法则探究导学课型 Word版含答案

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课时提升作业(二十一)导数的运算法则(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.函数y=xsinx+的导数是( )A.y=sinx+xcosx+B.y=sinx-xcosx+C.y=sinx+xcosx-D.y=sinx-xcosx-【解析】选A.因为y=xsinx+,所以y′=′=′+′=x′sinx+x·(sinx)′+=sinx+xcosx+.2.(2015·泉州高二检测)下列求导运算正确的是( )A.′=1+B.′=C.′=3x·log3eD.′=-2sinx【解析】选B.因为′=x′+′=1-,所以A选项错误;又′=,所以选项B正确;又′=3x ln3,所以选项C错误;又′=(x2)′cosx+x2(cosx)′=2xcosx-x2sinx,所以选项D错误.3.(2015·太原高二检测)已知函数f(x)的导函数为f′(x),且满足f(x)=2xf′(e)+lnx,则f′(e)=( )A.e-1B.-1C.-e-1D.-e【解析】选C.因为f(x)=2xf′(e)+lnx,所以f′(x)=2f′(e)+,所以f′(e)=2f′(e)+,解得f′(e)=-=-e-1.4.已知f(x)=ax3+3x2+2,若f′(-1)= 4,则a的值是( )A. B. C. D.【解析】选D.f′(x)=3ax2+6x,因为f′(-1)=3a-6,所以3a-6=4,所以a=.5.(2015·贵阳高二检测)曲线y=xe x+1在点(0,1)处的切线方程是( )A.x-y+1=0B.2x-y+1=0C.x-y-1=0D.x-2y+2=0【解析】选A.y′=e x+xe x,且点(0,1)在曲线上,当x=0时,导数值为1,故所求的切线方程是y-1=x,即x-y+1=0.【补偿训练】曲线C:f(x)=sinx+e x+2在x=0处的切线方程为________.【解析】由f(x)=sinx+e x+2得f′(x)=cosx+e x,从而f′(0)=2,又f(0)=3,所以切线方程为y-3=2(x-0),即y=2x+3.答案:y=2x+3二、填空题(每小题5分,共15分)6.某物体做直线运动,其运动规律是s=t2+(t的单位:s,s的单位:m),则它在第4s末的瞬时速度应该为________m/s.【解析】因为s′=2t-,所以当t=4时,v=8-=(m/s).答案:7.(2015·鸡西高二检测)若函数f(x)=,则f′(π)=________.【解析】因为f′(x)==,所以f′(π)==.答案:8.设a∈R,函数f(x)=x3+ax2+(a-3)x的导函数是f′(x),若f′(x)是偶函数,则曲线y=f(x)在原点处的切线方程为______________.【解析】f′(x)=3x2+2ax+(a-3),又f′(-x)=f′(x),即3x2-2ax+(a-3)=3x2+2ax+(a-3)对任意x∈R都成立,所以a=0,f′(x)=3x2-3,f′(0)=-3,曲线y=f(x)在原点处的切线方程为y=-3x.答案:y=-3x三、解答题(每小题10分,共20分)9.(2015·哈尔滨高二检测)求下列函数的导数.(1)y=.(2)y=2x cosx-3xlog2015x.(3)y=x·tanx.【解析】(1)y′===.(2)y′=(2x)′cosx+(cosx)′2x-3=2x ln2·cosx-sinx·2x-3=2x ln2·cosx-2x sinx-3log2015x-3log2015e=2x ln2·cosx-2x sinx-3log2015(ex).(3)y′=(xtanx)′=′=====.10.求过点(1,-1)与曲线y=x3-2x相切的直线方程.【解题指南】由于(1,- 1)不一定是切点,所以先设切点坐标,求出切线方程,利用切点在切线上,求出切点坐标进而求出切线方程.【解析】设P(x0,y0)为切点,y′=3x2-2,则切线斜率为k=3-2.故切线方程为y-y0=(3-2)(x-x0). ①因为(x0,y0)在曲线上,所以y0=-2x0. ②又因为(1,-1)在切线上,所以将②式和(1,-1)代入①式得-1-(-2x0)=(3-2)(1-x0).解得x0=1或x0=-.当x0=1时,k=1,当x0=-时,k=-.故所求的切线方程为y+1=x-1或y+1=-(x-1).即x-y-2=0或5x+4y-1=0.(20分钟40分)一、选择题(每小题5分,共10分)1.(2015·西安高二检测)设a∈R,函数f(x)=e x+a·e-x的导函数是f′(x),且f′(x)是奇函数.若曲线y=f(x)的一条切线的斜率是,则切点的横坐标为( ) A.ln2 B.-ln2 C. D.-【解析】选A.因为f′(x)=e x-ae-x为奇函数,所以a=1,设切点横坐标为x0,则f′(x0)=-=,因为>0,所以=2,所以x0=ln2.【补偿训练】若函数f(x)=e x sinx,则此函数图象在点(4,f(4))处的切线的倾斜角为( ) A. B.0 C.钝角 D.锐角【解析】选C.y′=e x sinx+e x cosx,当x=4时,y′=e4(sin4+cos4)=e4sin<0,故倾斜角为钝角.2.(2015·聊城高二检测)设f0(x)=sinx,f1(x)=f′0(x),f2(x)=f′1(x),…,f n+1(x)=f′n(x),n∈N,则f2015(x)= ( )A.sinxB.-sinxC.cosxD.-cosx【解析】选 D.f1(x)=(sinx)′=cosx,f2(x)=(cosx)′=-sinx,f3(x)=(-sinx)′=-cosx,f4(x)=(-cosx)′=sinx,f5(x)=(sinx)′=f1(x),f6(x)=f2(x),…,f n+4(x)=f n(x),可知周期为4.2015=4×503+3,所以f2015(x)=f3(x)= -cosx.【延伸探究】若将“f0(x)=sinx”改为“f0(x)=sinx+cosx,其他条件不变,则f2015(x)=________. 【解析】f1(x)=f0′(x)=cosx-sinx,f2(x)=(cosx-sinx)′=-sinx-cosx,f3(x)=-cosx+sinx,f4(x)=sinx+cosx,以此类推,可得出f n(x)=f n+4(x).2015=4×503+3,所以f2015(x)=f3(x)=-cosx+sinx.答案:-cosx+sinx二、填空题(每小题5分,共10分)3.(2015·天津高考)已知函数f=axlnx,x∈,其中a为实数,f′为f的导函数,若f′=3,则a的值为______.【解析】因为f′=a,所以f′=a=3.答案:34.(2015·衡阳高二检测)若函数f(x)=x2-ax+lnx存在垂直于y轴的切线,则实数a的取值范围是________.【解析】垂直于y轴的切线,其切线的斜率为0,因为f(x)=x2-ax+lnx,所以f′(x)=x-a+.设切点横坐标为x0(x0>0),则有x0-a+=0,a=x0+≥2.答案:a≥2【补偿训练】(2015·沈阳高二检测)已知函数f(x)=x2·f′(2)+5x,则f′(2)=________.【解析】因为f′(x)=f′(2)·2x+5,所以f′(2)=f′(2)×2×2+5,所以3f′(2)=-5,所以f′(2)=-.答案:-三、解答题(每小题10分,共20分)5.函数f(x)=x3-x2-x+1的图象上有两点A(0,1)和B(1,0),在区间(0,1)内求实数a,使得函数f(x)的图象在x=a处的切线平行于直线AB.【解题指南】可先由A,B两点的坐标求AB的斜率,再求f(x)=x3-x2-x+1在x=a处切线的斜率,令其相等,即可求出a的值.【解析】直线AB的斜率k AB=-1,f′(x)=3x2-2x-1,令f′(a)=-1(0<a<1),即3a2-2a-1=-1,解得a=.6.(2015·天水高二检测)已知曲线C:f(x)=x3-x.(1)试求曲线C在点(1,f(1))处的切线方程.(2)试求与直线y=5x+3平行的曲线C的切线方程.【解析】(1)因为f(x)=x3-x,所以f(1)=13-1=0,即切点坐标为(1,0),又f′(x)=3x2-1.所以,切线的斜率k=f′(1)=3×12-1=2.故切线方程为y-0=2(x-1),即2x-y-2=0.(2)设切点坐标为(x0,-x0),又f′(x)=3x2-1,所以切线的斜率k=3-1.又切线与直线y=5x+3平行,所以3-1=5,解得=2,切点为或,故切线方程为:y-=5(x-)或y+=5(x+),即:5x-y-4=0或5x-y+4=0.关闭Word文档返回原板块。

3.2导数的计算2

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