中学数学之经典案例

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高中数学教育案例分析

高中数学教育案例分析高中数学教育是培养中学生数学逻辑思维和数学运算的重要阶段,高中数学课程教育的质量一方面决定了学生高考成绩的好坏,另一方面决定了学生创新性能力的培养。

下面是小编为大家整理的高中数学教育案例分析，一起来看看吧!高中数学教育案例分析一我是从一名初中数学任课转为职业高中数学任课的教师，对于职业高中的学生学习数学的情况感到很棘手。

教学实践中，我们发现“数学学习优秀生”将学业成功更多地归结为积极原因，他们普遍认为努力学习数学，正确的数学学习方法，良好的数学思考习惯是取得好的数学学习成绩的关键。

而与“数学学习优秀生”相比，“数学学习困难生”所感觉到的数学学业失败的原因大多是消极的。

“数学学习困难生”的归因倾向有哪些主要类型，针对具体类型，在转化中有什么注意事项，本文通过个案予以初步研究.教学案例：袁某，男，职高一年级学生。

袁某的父亲母亲都是从事个体经商，家庭经济状况较好，平常工作都很忙，几乎无暇顾及袁某的学习。

袁某为家中独生子，平时由姥姥和姥爷照顾，家人对其期望较高，但中考失利，最后决定就读职业高中.上高中后，他的各科成绩都不乐观，在高一上学期第一次测验时，数学成绩仅为28分，为名副其实的数学学习困难生。

高一上学期第一次测验后，我叫袁某到办公室，很轻松地问袁某觉得自己数学学得怎么样，他说：“很烂，我什么都不懂。

”“那你愿意学吗? ”“还行吧，我以前数学很好的。

”“那现在怎么不好了?”“这个问题啊，”他迟疑地说，“我初中的数学老师可讨厌了，她课讲得不好，脾气还大得很，整天只知道考试、分数，我看到她就烦。

你说，她是不是到更年期啦。

”我诧异他竟然对初中数学老师有这么大成见，问他是否还有别的原因。

他想了想说，“也有，比如说，考试时总有很多人作弊，老师也抓不住。

他每次考试后都在全班点名批评不及格的同学，好几次都有我。

再比如，目前的数学教材各章节没什么联系，我对此不太适应。

”“那你认为自己能学好数学吗?”“能，我稍微学一点，多做些题就比别人强，我只是不想学。

挖掘数学文化内涵，彰显数学育人价值——以“中国剩余定理”为例

(
问题的解为:
R１ mod３)≡R２ (mod５)≡R３ (mod７)．
按原文
N ＝７０R１＋２１R２＋１５R３－１０５P ,
P 为正整数．
理解,则 R１＝R２＝R３＝１,那么 N 和 P 均等于１．
３．
３ “物不知数”问题解法的歌诀记忆法
«孙子算经»中给出 “物不知数”解答的后半段术
研究”(编号:
KCSZ２００９)的研究成果．
８２
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２０２２年４月上半月数学文化
依“七七数之剩二”再列出除以７余２的数:
２,９,
１６,２３,３０, ．
这样得到与题目条件契合的最小数为２３．
但由于
列举的数字后面还有无穷多个数,因此解有可能不唯
一,有可能有无穷多个解．
问题的古文本解法及现代符号表达
３．
２ “物不知数”
«孙子算经»中 “物不知数”问题用同余式符号表
示出来为:设 N ≡２(mod３)≡３(mod５)≡２(mod７),
着力阐述该定理的历史证明与拓展,以及在现代算法
从“物不知数”问题到“大衍求一术”,中国的数学
家在一次同余式方面的研究比西方早很多年,因而在
数学史上,人们不容置疑地将求解一次同余组的定理
叫作“中国剩余定理”．
３ “物不知数”问题的解答与拓展
同
时,对“中国剩余定理”的深入学习,有利于学生了解

华东师大版初中数学实验教材案例选

华东师大版初中数学实验教材案例选说明教材案例编排顺序，按代数、几何、统计三大领域顺序，每一领域按教材册数顺序，课题学习与阅读材料随同所涉及领域与册数一路编排。

每一案例附有出处、特色与简要说明。

案例清单案例1 走进数学世界（七上第1章）教材Copy[特色] 通过一些有趣生动的数学问题，给学生创设一个良好的学习环境，内容形式新颖活泼。

[说明] 一样老例，学生从小学进入初中时期，或直接学习初中数学知识，或教师以了解原学习情形为由进行测试。

咱们感到应该给学生创设一个良好的学习环境，让他们在思想、思维、学习活动等方方面面都有所预备，那样才能更好地进行新知识的学习。

为此，咱们设置了第一章《走进数学世界》，选择一些学生熟悉、有趣、容易上手、或通过实验操作探讨、或与同伴合作交流、容易解决的数学问题，内容涉及数学的代数、几何与统计等各个领域，学生能参与即可，评判以进程性为主。

案例2 有理数的乘法法那么和运算律的引入（七上第2章）教材Copy 取两个片断（七上P. 50—P. 57倒11行中取两个片断）[特色] 通过实例和理论结合，巧妙地引入有理数的乘法法那么，居高临下，深切浅出。

从小学里数的运算律的回忆，设计图式，引导学生探讨、验证，熟悉和明白得有理数乘法的运算律。

呈现形式夺目。

[说明] （1）在中学里如何引进有理数的乘法法那么，是中学数学教学法中的一个经典问题，曾经引发诸多数学家和数学教育家的关注，也提出了各类不同的处置方式。

在理论上，可用抽象代数的观点来讲明（从数系的结构考虑），显然这是难以为初中学生所同意的。

传统初中教材的具体处置，大多采纳物理模型方式，即用生活实例来讲明应该如何规定有理数的乘法法那么，但当乘数是负数的情形有点障碍。

那个地址用现代数学的观点，将二者巧妙地结合，作如下的设计：第一通过两个问题（问题1，问题2），自然引入两个等式：3×2=6 ① 和 (-3) ×2=-6 ②，问题是：如何规定3×(-2)=?, (-3) ×(-2)=? (2分钟前在哪里?现实中有点费解) 。

高中数学课堂情景引入经典案例情景设置数列解三角形不等式

太多的事物不仅与表示它的量的大小有关，而且也与方向有关．三角恒等变换左图为世界著名的艺术殿堂——法国卢浮宫，它的正门入口处有一个金字塔建筑，它的设计者就是著名的美籍华人建筑师贝聿铭．那么在测量这类建筑物的高度时(如右图)，我们需要来解复合角∠DAC ＝α－β的正、余弦值，这就需要对两角差的正、余弦进行变换．事实上，变换是数学的重要工具，同时也是高中数学学习的主要对象之一．其中代数变换我们已经在初中学习过，而且在必修4的第一章也涉及同角三角函数的变换．与代数变换一样，三角变换也是一种只变其形，不改变其本质的一种变换.两角差的余弦公式我们知道cos45°＝22，cos30°＝32.请同学们思考这样一个问题：cos15°＝cos(45°－30°)＝cos45°－cos30°成立吗？答案当然是不成立，因为cos15°的值应该是一个正值，而cos45°－cos30°是一个负值，那么cos15°的值与cos45°和cos30°之间到底存在什么关系呢？两角和与差的正弦、余弦变脸是川剧艺术中塑造人物的一种特技，演员在熟练的动作之间，奇妙地变换着不同的脸谱，用以表现剧中人物的情绪、心理状态的突然变化，达到“相随心变”的艺术效果，那么在三角函数中，两角和与差的正弦余弦之间又有怎样的变换呢？两角和与差的正切坐在教室里，需要一个合适视角才能看清楚黑板；在足球比赛中，若你从所守球门附近带球过人沿直线推进，要想把球准确地踢进大门去，需要确定一个最佳位置，这些实际生活中的问题可不是仅仅一个角度就可以解决的，其中涉及到至少两个角度的因素，只有把问题分析全面，才能稳操胜券．怎样确定两角之间的关系呢？二倍角的正弦、余弦、正切公式在我们接触到的事物中，带有一般性的事物总是大开大合，纵横驰骋，往往包含一切，而特殊的事物则是小巧玲珑，温婉和融，往往显出简洁，奇峻之美．三角函数的和(差)角的正弦、余弦、正切公式中的角都是带有一般性的，一般性中又蕴含着特殊性，即两角相等的情形，那么这些二倍角又有什么简洁，奇峻之美呢？三角恒等变换变换是生活中的常态，换一个环境，换一种心情，换一个角度，或许就柳暗花明又一村了，我们经常看到的魔术更是如此．可见，变换已深入到我们生活中的每一个角落．在前面几节的学习中，我们已经领略了三角变换的风采，那么，对于前面学习的和角公式，通过对各公式做加减运算，又能得到什么样的变换呢？解三角形在本章“解三角形”的引言中，我们遇到这么一个问题，“遥不可及的月亮离地球究竟有多远呢？”在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，那么，他们是用什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？1992年9月21日，中国政府决定实施载人航天工程，并确定了三步走的发展战略。

初中数学案例

初中数学案例
在初中数学学习中，案例是一个非常重要的学习方式。

通过实际的案例分析和解决问题，可以帮助学生更好地理解数学知识，提高数学解决问题的能力。

下面，我们就来看几个初中数学案例，帮助学生更好地理解和运用数学知识。

案例一，小明和小华的数学成绩。

小明和小华是同一个班级的同学，他们两个人在一次数学考试中的成绩如下，小明得了80分，小华得了75分。

请问，小明的成绩比小华高了多少分？如果下次考试，小华想要超过小明，他需要得多少分？
解析，小明的成绩比小华高了5分。

如果小华想要超过小明，他需要得到至少81分才能超过小明。

案例二，购买文具。

小明去文具店买了一支笔和一本笔记本，一支笔的价格是5元，一本笔记本的价格是8元。

请问，小明一共花了多少钱？
解析，小明一共花了13元。

案例三，几何图形的面积。

小华拿到了一个正方形的纸片，边长为6厘米。

请问，这个正方形的面积是多少？如果这个正方形的边长增加到8厘米，那么面积会变成多少？
解析，这个正方形的面积是36平方厘米。

如果边长增加到8厘米，那么面积会变成64平方厘米。

通过以上案例的分析，我们可以看到，数学知识在生活中无处不在。

通过实际的案例，我们可以更好地理解和应用数学知识，提高解决问题的能力。

希望同学们在学习数学的过程中，多多运用案例分析的方法，提高数学学习的效果。

初中数学案例，不仅可以帮助学生更好地理解数学知识，还可以培养学生的数学思维和解决问题的能力。

希望同学们在日常学习中，多多运用案例分析的方法，提高数学学习的效果。

建构数学模型深化解题策略——以“一线三等角全等”模型为例

技法点拨互成60°角的大小相等的两个水平恒力F 作用下，经过一段时间，物体获得的速度为v ，在力的方向上获得的速度分别为v 1、v 2，总位移为s 。

W 合=3Fs =12mv 2v 1=v2W 分=Fs cos30°=14mv 2≠12mv 12=16mv 2可见本题中对力所在的方向使用动能定理是错误的，能量依旧不能分解。

这是不是说明例题1的做法只是个例、巧合，完全没有可取之处呢？也不尽然，经典统计力学的“能量均分定理”告诉我们分子在每个自由度上都具有相同的平均动能。

由此可见，能量在某些情况下是可以分解的。

对比例题1、例题2以及能量均分定理可以发现，例题1和能量均分定理中都是在直角坐标系中进行分解，而例题2可以看做是在一个斜坐标系中分解。

似乎动能能否分方向使用是由分解坐标系的选取决定的，以下我们就直接证明直角坐标系和斜坐标系中是否能够使用。

1.直角坐标W 合=Fs =12mv 2W x =F x s x =Fs cos 2θ=12mv x 2=12mv 02cos 2θW y =F y s y =Fs sin 2θ=12mv y 2=12mv 02sin 2θ由于v 02cos 2θ+v 02sin 2θ=v 02，可以得到W 合=W x +W y ，同理空间直角坐标系中也可以得到同样的结论，所以在直角坐标系中动能定理是可以分方向使用的。

2.斜坐标系W 合=Fs =12mv 2W x =F x s x =Fs cos 2θ=12mv x 2=12mv 02cos 2θW y =F y s y =Fs cos 2α=12mv y 2=12mv 02cos 2α此时v 02cos 2θ+v 02cos 2α≠v 02，W 合≠W x +W y ，同理在空间斜坐标系可以得到一样的结论。

所以，在斜坐标系中动能定理不能分方向使用。

根据上面的证明，我们会发现只有在直角坐标系中动能定理分方向使用才成立，而且这只是在直角坐标系中数学计算恰好和动能定理计算相同，不能证明能量可以分解。

倒推型逆向思维法的介绍6个经典案例

倒推型逆向思维法的介绍6个经典案例倒推型逆向思维法是指从已知事物的相反方向进行思考而产生发明构思的途径。

这种类型的逆向思维首先要确定或设定一个可以达到的目标，然后从目标倒过来往回想，直至你现在所处的位置，从最终目标出发倒回来进行逆向思维，就能获得前进的路线图。

要获得事物的相反方向常常要从事物的功能、结构、因果关系等三个方面作反向思维。

比如，市场上出售的无烟煎鱼锅就是把原有煎鱼锅的热源由锅的下面安装到锅的上面。

这是利用逆向思维，对结构进行反转型思考的产物。

我们在中学时期就学过的数学证明中的反证法，也是应用倒推型逆向思维的典型例子。

比如证明：一个三角形至少有两个角大于或等于60度。

如果用正向思维，对每一个三角形都去进行证明，这是不可能做到的，但是，采用逆向思维，我们可以把它的成立等同于其反问题的不成立(反问题即：一个三角形的三个角可以都小于60度)。

我们只要证明这个反问题的成立是错的，那么原题即可得证：如果这个反问题成立，则至少有一个三角形的三个角的和小于360度：180度，这与三角形的三个角的和等于180度的定理是违背的，因此，反问题不成立，原题得证!逆向思维的一个基本要素就是分出阶段重点。

这样，你不得不将长远目标和近期目标清楚地区分开来，然后再将逆向思维分别应用到每一个目标中去。

20世纪60年代中期，当时在福特一个分公司任副总经理的艾科卡正在寻求方法，改善公司业绩。

他认定，达到该目的的灵丹妙药在于推出一款设计大胆、能引起大众广泛兴趣的新型小汽车。

他认为，顾客买车的唯一途径是试车。

要让潜在顾客试车，就必须把车放进汽车交易商的展室中。

吸引交易商的办法是对新车进行大规模、富有吸引力的商业推广，使交易商本人对新车型热情高涨。

说得实际点，他必须在营销活动开始前做好小汽车，送进交易商的展车室。

为达到这一目的，他需要得到公司市场营销和生产部门百分之百的支持。

同时，他也意识到生产汽车模型所需的厂商、人力、设备及原材料都得由公司的高级行政人员来决定。

(完整版)高中常见数学模型案例

高中常见数学模型案例中华人民共和国教育部2003年4月制定的普通高中《数学课程标准》中明确指出：数学探究、数学建模、数学文化是贯穿于整个高中数学课程的重要内容”，数学建模是数学学习的一种新的方式，它为学生提供了自主学习的空间，有助于学生体验数学在解决问题中的价值和作用，体验数学与日常生活和其他学科的联系，体验综合运用知识和方法解决实际问题的过程，增强应用意识；有助于激发学生学习数学的兴趣，发展学生的创新意识和实践能力。

”教材中常见模型有如下几种：一、函数模型用函数的观点解决实际问题是中学数学中最重要的、最常用的方法。

函数模型与方法在处理实际问题中的广泛运用，两个变量或几个变量，凡能找到它们之间的联系，并用数学形式表示出来，建立起一个函数关系(数学模型)，然后运用函数的有关知识去解决实际问题，这些都属于函数模型的范畴。

1、正比例、反比例函数问题例1:某商人购货，进价已按原价a扣去25%，他希望对货物订一新价，以便按新价让利销售后仍可获得售价25%的纯利，则此商人经营者中货物的件数x与按新价让利总额y 之间的函数关系是_____________ 。

分析：欲求货物数x与按新价让利总额y之间的函数关系式，关键是要弄清原价、进价、新价之间的关系。

若设新价为b,则售价为b( 1 -20%),因为原价为a,所以进价为a (1 - 25%)5 解：依题意，有b(1 0.2) a(1 0.25) b(1 0.2)0.25 化简得b a，所以45 ay 0.2bx a 0.2 x，即y x, x N4 42、一次函数问题例2:某人开汽车以60km/h的速度从A地到150km远处的B地，在B地停留1h后，再以50km/h 的速度返回A地，把汽车离开A地的路x ( km)表示为时间t ( h)的函数，并画出函数的图像。

分析：根据路程=速度X时间，可得出路程x和时间t得函数关系式x (t);同样，可列出v(t)的关系式。

让对称图形教案更加生动实用的案例分析

让对称图形教案更加生动实用的案例分析。

一、案例分析针对让对称图形教案更加生动实用这一问题，本文将介绍两个经典的案例，分析其优点和不足之处。

1.对称图形教案实用性不足的案例前段时间，某中学数学老师在教对称图形时，准备了一份讲义，但学生们不太喜欢这种传统的教学方式，因为讲义中的图形缺乏实用性，无法让学生更好地理解和掌握对称图形的知识，有些学生甚至无法感受到对称图形所蕴含的美感。

该老师开始意识到讲义的不足之处，因此开始尝试创新教学方式，通过举例子、讲故事等方式让学生更好地理解对称图形的知识，成效明显。

但教学过程中，该老师还存在以下问题：1）缺乏与课程内容相适应的实例；2）无法满足不同学生的需求，因为有些学生喜欢具体的例子，有些则更喜欢抽象的数学运算。

因此，该老师意识到，如果要让对称图形教学更加生动实用，需要有更多的实例，针对不同学生的需求，提供不同形式的教学活动。

2.对称图形教案生动实用性提升的案例某小学数学老师在教对称图形时，采用了一个非常好的方法，让教学变得更加生动实用。

该老师引导学生观察日常生活中的对称图形，例如水滴、花瓣、蜂巢等。

通过观察和讨论，让学生发现对称图形的美感和实用性。

接着，该老师引导学生在自然界中发现更多的对称现象，并通过对称图形拼图、画画等方式，让学生更好地掌握对称图形的知识。

此外，该老师还提供了多种不同形式的练习和游戏，让学生在轻松愉快的氛围中学习对称图形。

通过这种方法，该老师成功地提高了对称图形教案的生动实用性，让学生在学习的同时，也能感受到对称图形的实际应用价值。

二、总结与讨论通过以上经典案例的分析，我们可以发现，要让对称图形教案更加生动实用，需要具备以下几点：1.丰富的实例教案中必须提供丰富的实例，尤其是现实生活中的实例，这样才能让学生感受到对称图形是一个实用的数学知识。

2.针对不同需求的教学活动学生在学习过程中，往往有不同的需求，有些喜欢抽象的数学运算，有些则喜欢具体的例子。

高中数学-特级教师、优秀教师的教案、教例分析(1-10)

特级教师、优秀教师的教案、教例分析案例1 直线与平面垂直的定义及判定江苏省睢宁高级中学黄安成一、教案例描述教学目标1.从熟知的生活中的事物中提炼、概括出直线与平面垂直的定义和判定定理，进而结合图形用抽象化的数学语言总结、表述出这些内容；2.培养学生的抽象概括、思辩论证的理性精神和迅速认识事物本质的直观能力；3.通过数学知识的形成与实际应用使学生认识到真理来源于实践，并应用于实践的这一哲学理念；4.培养学生的数学观念，能自觉地运用“数学地”思维方式观察世界、分析事物、解决问题，并在此过程中提高学习数学的兴趣.教学目标是教师预期的，在教学过程中自然实现的内容.掩盖教育意图是实现教育意图最好的途径，也是科学加艺术的教育技艺的体现，所以笔者一向不采用在进行新课前将这些内容展示给学生的做法，而是在教学过程中于不知不觉间实现这些目标.教学过程1.引言我们生活在三维空间中，对直线和平面是非常熟悉的，就拿学校旗坛中的旗杆来说，它与地面的关系给我们的印象是“互相垂直”的，请大家再列举一些生活中“直线与平面垂直”的具体事例，….不过我们现在要用数学的眼光来观察、分析、研究这些事物，将旗杆（是许多事物的代表）看成直线l ，将地面（也是许多事物的代表）看成平面α，今天就来研究直线l 与平面α垂直的有关知识.2.进行新课如图1，直线l 代表旗杆，平面α代表地面，那么你认为l 与α内的直线有什么关系？学生利用生活经验和以前的知识完全可以判断是“互相垂直”关系.在引言部分指出将“旗杆看成直线l ，将地面看成平面α”，但现在面对抽象图形反过又来又将直线l 看成旗杆，将平面α看成地面，意图是运用抽象与具体的结合，引导学生平稳而迅速地完成抽象与具体之间的相互转换.在教学中，教者试图用三角板来度量从而判断l 与α内的直线是否垂直，学生往往会发出会意的笑声，教者说：“是的，立体几何中直线的互相垂直在大多数情况下是‘看’不出来的，也是度量不出来的，而是用心‘想’出来的.”这既复α习了直线与直线互相垂直（特别是异面垂直）的观察、想象、判断、识别和论证，又为后继的学习准备了条件.反过来，如果l（旗杆）与α（地面）内的直线都垂直，那么l与α是什么关系？要求学生在不看课本的前提下总结出直线与平面垂直的定义，尽管总结的语言很可能不太理想，教者也不要“着急地”去照本宣科或越俎代庖，相信学生在经历了一番“挫折”后会逐步完善他们的表述语言，这样形成的知识也就能形成更加牢固的记忆.麻烦大了，要判断直线l与平面α垂直，必须确定直线l与平面α内的所有（或任意一条）直线垂直.人们在研究和解决问题的过程中总是想采取简便的方式，现在我们追求的就是找到一种简易可行的判断直线与平面垂直的方法.下面我们来模拟植树的活动，请一位学生上来演示，其他学生在课桌上同时演示，观察判断如何确定“树”是否与地面垂直，既充分又逐步体验简化了的判断直线与平面垂直方法的形成过程.提出下面的系列问题：（1）直线与平面内的一条直线垂直，能判定这条直线与这个平面垂直吗？（2）直线与平面内的两条直线垂直，能判定这条直线与这个平面垂直吗？（3）直线与平面内的一万条直线垂直，能判定这条直线与这个平面垂直吗？（4）直线与平面内的无数条直线垂直，能判定这条直线与这个平面垂直吗？（5）要想让直线与平面垂直，这条直线至少要与平面内的几条直线垂直？（6）要想让直线与平面垂直，这条直线要与平面内的两条什么样的直线垂直？在上述研究的基础上提出猜想：如果直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面.通过演示和对上述系列问题的研讨，学生会慢慢领悟判定直线与平面垂直的本质：如果直线垂直于平面内无数条直线，也不能判定这条直线与这个平面垂直.因为这无数条直线有可能是互相平行的，这时这无数条直线只代表着一个方向，它只“相当于一条直线”.但是如果与平面内两条相交直线垂直，情况就完全不同了，虽然只有两条，而它们是相交的，它们代表着不同的两个方向，人们在植树时判定树是否与地面垂直运用的就这个原理.猜想不能代替证明，我们还要用严密的逻辑推理来证明这个结论.…通过转化问题归结为：若直线l与平面α内的两条直线垂直，证明直线l与平面α内的任意直线垂直，进而转化为(如图2)：由l⊥ml⊥nmα⊂nα⊂⇒l⊥g m∩n＝Ag是α内的任意直线这样处理的意图是：抓住本质，排除干扰，使下面的目标能集中浓缩于证明l ⊥g .具体过程略.在教学时必须指出，这里应用的是构造全等三角形法和最简单的平面几何知识，消除学生的神秘感.3.小结：（1）直线与平面垂直的定义；（2）直线与平面垂直的判定定理（编成诙谐的口诀：“线不在多，相交就行”，传神地点出问题的实质）；（3）将和（1）与（2）综合起来，得右面的重要数学模式：所谓数学模式，就是揭示事物本质的，具有相对固定格式的数学形式.模式由于它形式的简洁性，内容的深刻性，所以十分有利于理解、记忆、掌握、组装、检索、提取和运用.上述模式在以后的教学中，还要多次重复、强化，并与有关知识融合组装成有机的知识系统.该模式将成为立体几何中最重要、应用最频繁的得力“武器”.用方框围起来意在突出它的重要地位，再结合三种外显语言和大脑中的内部语言努力使该模式成为学生直观上的显然，以便运用时更加灵活自如、游刃有余.4.A 组练习（1）将一本书掀开一点，直立在桌上（图略），那么书脊与桌面是什么关系？为什么？（2）屋面是由两个矩形组成的（图略），那么屋脊与山墙所在的平面是什么关系？为什么？（3）设△ABC ，若直线l ⊥AB ，l ⊥BC ，求证：l ⊥CA.（4）做一个三角架，使三条腿中的任意两条腿都互相垂直（如图3），那么PA 与BC 、PB 与CA 、PC 与AB 分别是什么关系？为什么？以上系列练习由浅入深，从具体到抽象，环环相扣，层层递进，组成了一个使学生能力稳步增长的训练链条.在教学中，运用多样化的手段增强训练的效果.如先口述，继而写出规范的论证过程，再用黑板擦将图形擦得模糊一些，要求在这种不十分清晰的情况下说出论证过程.若学生的基础较好，还可以将图形和字母全部擦去，借助于想象，运用动作和语言表述出论证过程.还可以运用“双簧”的表演形式，一个学生做动作，另一个学生口述.总之让上面的模式牢牢地在学生脑中扎下根来，并逐步能熟练的写出规范化的思辩论证过程，使《立体几何》的学习从这里走上阳光大道.虽然从本质看，这些都是重复性练习，但由于运用了多样化的形式，学生仍然乐于投入这样的教学活动，且能取得极佳的教学效果.4.B 组练习（5）在（4）的条件下，作PH ⊥平面ABC 于H ，则H 是△ABC 的什么心？为什么？（6）如图3，若PA ⊥BC ，PB ⊥CA ，则PC 与AB 是什么关系？为什么？若l ⊥m ，l ⊥n ,相交直线m 、 n 确定平面α，则l ⊥α.又 g 是α内的任意直线，则l ⊥g图3（7）如图3，若PA⊥BC，PB⊥CA，作PH⊥平面于H，则H是△ABC的什么心？为什么？A组练习是以B组练习为铺垫，同时又是B组练习的拓展延伸.在（5）中，将上述模式重复运用了两次，题中给出了平面ABC的垂线PH，正好给（6）的证明以一定的暗示量.但在解决（6）时，应先将PH擦去，让学生感到有一定的困难.这时教者问：“估计到结论是PC⊥AB，问题是如何证明.关键是如何建立几条线段之间的联系，…”经思考后，在上题的启示下，学生定会感悟到作PH⊥面ABC于H，那么问题便迎刃而解.教者说：“我们在学习《平面几何》时，感到最为困难的是作辅助线，似乎辅助线是从天而降，非常神秘，难以捉摸.怎么样，现在在《立体几何》中，我们不是顺利地作出了一条关键性辅助线，从而使解题取得重大突破了吗！将已知与欲证分析透彻了，辅助线就能自己‘蹦’出来，一点也不神秘，我们完全可以熟练驾驭它.辅助线PH好似一座桥，架桥铺路是解数学题的永恒的法则.除了辅助线外，我们以前曾引进过，今后还将引许多辅助‘角色’，如辅助圆、辅助体、辅助球、辅助角、辅助元、辅助函数、辅助数列、辅助不等式…等等这些辅助‘角色’都将成为我们的好朋友和合作伙伴.”为今后的教学设下了良好的伏笔.做了这番工作后，解决（7）已是水到渠成之事.学生通过积极的活动取得了丰硕的成果，课堂气氛越来越热烈，学生的情绪越来越高涨，最终达到高潮，在获得成功感、满足感、喜悦感中下课，并对未来的学习充满了信心，热切地盼望着再上下一节课.二、教案分析《高中数学课程标准（实验）》[1]在《立体几何》部分有独特的要求：“通过直观感知、操作确认、思辩论证，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定.”这是确定这部分教学理念、内容、方法和程序的重要指导原则.直线与平面垂直是人们在生活中司空见惯的事实，充分利用学生在生活中已有的经验和感悟，经过提炼、概括形成抽象化的数学语言，并准确运用这些语言进行逻辑推理或计算，以解决数学和现实中的问题，是这节课的主线.这部分内容中，既有严密的、理性化的思辩论证，又需要利用数学悟性实现直观判断、猜想，所以这部分内容是理性与悟性完美结合的交汇点，是培养学生数学素养，发展学生数学综合能力的大好时机.学生开始学习立体几何往往有各种障碍，尤其是空间想象能力，画图、识图、辩图能力，三种数学语言（自然语言、图形语言、符号语言）的运用转化能力的不理想，严重地阻碍着前进的脚步.而学习《直线与平面垂直》应该是扫除这些障碍，从根本上提高这些能力的转折点.从这个意义上说，科学地设计并合理地实施这节课的教学程序，是学生从此走向《立体几何》学习的阳光大道的关键.依据上述原则与精神，笔者设计和实施了如上的教学方案，并在有关之处作必要的剖析或说明.此节课可算是“最普通、最平凡”的一节课，如何“出新”又“出彩”，确实是不容易的. 笔者在四十多年的教学实践中，孜孜以求的就是用科学加艺术的教学方式努力提高课堂教学的效率.这一节课也上过几十遍，特别是在学习、执行《高中数学课程标准（试验）》的过程中，更是投入更多的精力和智慧来思考，从而在新教学理念的指导下，逐步形成了自己的一些想法和做法.下面就这一节课再提出一些个人的见解，供方家参考，并请教正.（1）理性与悟性数学文化最光辉灿烂的就是其理性精神，但这种理性精神应该与悟性思维方式融合，才能全方位地提高学生的数学素养.文[1]中，除了上面所引外，还在许多地方提到“领悟、内化”、“猜想”、“几何直观能力”等词语，可见新教学理念决不排斥悟性.这里所说的“悟性”应该是指“数学悟性”，笔者在文[2]中将其描述为“逻辑简约、直观洞察、预见猜想、灵感顿悟”，这在《立体几何》中体现得更加充分.直线与平面垂直的定义及判定，如果没有数学悟性的参与就不可能使学生形成“直觉上的显然”（德国著名数学家克莱因语）.解立几问题时，最终依靠的当然是思辩论证，但在探索、突破的过程中，却处处离不开悟性思考.因此，在本教案的设计和实施过程中，将数学悟性思维能力的培养与应用放在相当显著的位置上.（2）模式与创新提到“模式”，很可能使人联想到“思维定势”，认为它是创造思维的障碍.这种认识是不全面的.文[1]说：“形式化是数学的基本特征之一.在数学教学中，学习形式化的表达是一项基本要求”.当然“全盘形式化是不可能的”，也是不可取的.数学模式就是揭示数学对象的本质特征及其普遍规律的，具有相对固定样式的形式.它具有两重性，对创造思维确会产生一些束缚作用，但它又是创造思维的原型.每一项发明创造都是在某个原型的启发下实现的，这就叫“原型启发”（巴甫洛夫的经典理论）.问题的关键是处理好模式与创新两者间的辨证关系.上面方框中的模式是解决千百道立几问题的“利器”，从本质上掌握它，再处理好立几图形的变形和变位问题，就可以出神入化地解决要求较高的问题.（3）课堂容量课堂容量大好还是小好？其实这是不言而喻的，在学生基础较好、教案设计科学合理、教师启发引导得法、师生关系融洽、课堂气氛活跃、学生的潜智得到充分开掘、现代化教学技术的加盟等条件下，课堂容量就是越大越好.上述教学内容，在过去是用两个课时完成的，但现在只用一个课时，从知识的发生、发展到应用，一切都显得十分自然、流畅与和谐，学生感到学得轻松、学得愉快、学得实在.（4）主体与主导笔者在这里提出一个“启发量”的概念.用字母“λ”表示启发量，则有“λ∈[0，1]”，“λ=1”表示完全靠教师讲解，“λ=0”表示完全让学生活动，教师必须寻求λ的最佳值使教学取得最佳效果.但λ的值并不是越小越好，要根据教材的具体情况合理确定λ的值.如果片面强调学生的主体地位，完全忽视教师的主导作用，还要你教师干什么？像本节课中（图2），运用构造全等三角形的方法由“l⊥m ，l⊥n”证明“l⊥ g”，λ的值就要适当地大一些，完全让学生去探索、发现、证明是不现实的.（5）例题练习例题的讲解与练习的训练，都是尽量让学生活动，也就是尽量减小的值，所以没有必要将两者截然分开，而是实行例题与练习的一体化.这样也可使教案在层次和结构上显得简洁明快.（6）现代化教学技术的应用计算机走进课堂是大势所趋，它在许多方面为提高教学效益起到了其他教学方式不可替代的作用.但必须认识到，多媒体课件永远是教学的辅助手段，它永远也不能取代黑板和粉笔.这一节课在一些地方也运用了课件，如图1、图2、图3就充分发挥了多媒体课件动画演示的优越性，取得了超乎寻常的效果.但在其他地方除了利用实物外，灵活机动地利用黑板和粉笔的特长也是取得教学效果的不可或缺的条件.参考文献[1]《普通高中数学课程标准（实验）》中华人民共和国教育部制定人民教育出版社 2003，4[2]《谈数学悟性》黄安成数学教学（沪） 1999，3作者简介黄安成，1941年7月出生于江苏省兴化市，1962年毕业于徐州师范大学，分配至睢宁县任教至今，曾任徐州市中学数学教学专业委员会副理事长、睢宁中学数学教研组组长，1988年被评聘为中学高级教师，1990年被江苏省人民政府授予“中学特级教师”称号，现仍在睢宁县高级中学任教。

勾股定理单元作业设计优秀案例

勾股定理单元作业设计优秀案例一、背景介绍在中学数学教学中，勾股定理是一个重要的知识点，也是数学中的经典定理之一。

为了帮助学生更好地掌握勾股定理，提高他们的数学素养和解决问题的能力，本案例设计了一份优秀的勾股定理单元作业。

二、教学目标1. 理解勾股定理的含义和用途；2. 掌握勾股定理的三种形式：直角三角形斜边平方等于两直角边平方和、两直角边平方和等于斜边平方、斜边长与直角边比值；3. 能够独立运用勾股定理解决实际问题。

三、教学内容1. 勾股定理的概念及三种形式；2. 勾股定理应用题。

四、教学方法1. 讲授法：通过讲解勾股定理的概念和三种形式，帮助学生掌握基本知识点；2. 实验法：通过实验验证勾股定理，让学生深入了解其应用；3. 问题导入法：通过提出实际问题引导学生运用勾股定理解决问题。

五、教学过程1. 讲授勾股定理的概念和三种形式；2. 通过实验验证勾股定理，让学生深入了解其应用；3. 提出实际问题，引导学生运用勾股定理解决问题。

六、作业设计1. 选择题（20分）（1）下列说法中正确的是：A. 两条直线段之和等于第三条直线段；B. 直角三角形斜边平方等于两直角边平方和；C. 直角三角形斜边长与直角边比值为根号2。

（2）已知一条直角边长为3，另一条直角边长为4，则斜边长为：A. 5B. 6C. 7D. 82. 填空题（20分）（1）已知一条直角边长为6，另一条直角边长为8，则斜边长为______。

（2）若一个三角形的两个内角分别为30°和60°，则第三个内角的度数是______。

3. 解答题（60分）（1）已知一个三角形的两个内角分别是45°和90°，求第三个内角的度数，并判断该三角形是否是等腰三角形。

（2）一个直角三角形的斜边长为10，其中一条直角边长为6，求另一条直角边的长度。

（3）一个人从A点出发，向东走20米到达B点，然后向北走15米到达C点，最后从C点向西走多少米可以回到A点？七、作业要求1. 作业需认真完成，并按时上交；2. 选择题和填空题需用钢笔或圆珠笔作答；3. 解答题需写清楚步骤和答案，可用铅笔或钢笔作答。

二次函数利润最值问题

二次函数利润最值问题二次函数是中学数学中非常重要的一种函数形式，它的图像为一条开口向上或向下的抛物线。

在实际问题中，二次函数可以用来描述一些变量之间的关系并进行分析。

其中，二次函数利润最值问题是一个非常经典的案例，它可以解决许多企业在制定产品价格时面临的挑战，以此来实现最大化的利润。

在解决二次函数利润最值问题时，我们首先需要确定出函数的表达式。

一般而言，企业通过销售一定数量的产品来获得利润，利润是销售收入与成本之差。

因此，我们可以将销售数量作为自变量，以此建立二次函数模型。

假设某企业生产某种产品的成本固定，每个产品的售价为x元，每个月销售量为y件，则该企业的收入为f(x)=xy元（其中，y是已知的固定值）。

根据题目要求，我们可以假设企业在销售量为x件时的总成本为：g(x)=ax^2+bx+c元。

其中，a、b、c均为常数，表示企业的固定成本、变动成本和其他杂费等损失成本。

因此，该企业的净利润为p(x)=f(x)-g(x)=(y-b)x-ax^2-c。

接下来，我们需要利用二次函数的性质来解决利润的最值问题。

由于二次函数的图像为一条开口向上或向下的抛物线，因此其函数值可能存在极值点。

对于开口向上的抛物线，函数值最小值为抛物线的顶点；对于开口向下的抛物线，函数值最大值为抛物线的顶点。

因此，我们可以通过求解二次函数的顶点坐标来确定利润的最值。

二次函数的顶点坐标可以通过以下公式求解：x=-b/2a，y=f(x)=p(-b/2a)。

其中，x和y分别为顶点的横纵坐标，-b/2a为顶点的横坐标。

最终，我们可以得到该企业在销售量为x件时的最大利润为：p(-b/2a)=(y-b)^2/(4a)-c。

当企业的销售量为-x时，利润也是最大的。

总体而言，二次函数利润最值问题是企业在制定产品价格时需要解决的问题之一。

通过建立二次函数模型，我们可以利用二次函数的性质来确定利润的最大值或最小值，并从中寻找到一个最优解，以此来优化企业的生产和经营成本。

以人教A版“阅读与思考”为素材,开展研究性学习——“斐波那契数列”思想的应用的教学案例

能有所发挥．
教师：利用斐波那契数列及其特征可以解决许多实际问题，下面请同学们思考如下问题．
经典问题１：上台阶，可以一步一阶，也可以一步两阶．问从楼下走到楼上，
（１）如果共有５个台阶，有多少种不同的走法？（２）如果共有个台阶，有多少种不同的走法？
一
５次都可以传给甲，而４次传球总的方法数是２，所
以ｎ＋ｎ一２．并且这个问题可以推广到一般情况：设第Ｔ／次传到甲手中的路线数为ａ由此可得数学模
型为ａ＋ａｌ一２，所以ａ一２。 “ ＪＪｌ一２ ”
他根据斐波那契数列特征发明了太阳能电池树，其产
生的电力比太阳能光伏电池阵列多２Ｏ％～５０％．这项研究让他获得了一项美国专利，并被美国自然历史
契数列思想．教师：怎样求斐波那契数列的通项公式呢？留给同学们课后继续研究．
总结一般规律．设计意图：引导学生归纳由１个分学生都采用画树型图（图１７）求解，这个问题是否可以应用斐波那契数列
思想来解决呢？
教师引导学生分析：除了第一次外，每次球到甲手中的路线是由乙或丙传给他的，同理球到乙（或丙）手中的球也是由其他两人传递的，这样球在每个手中的方法数是图１７

初中数学教学案例

初中数学教学案例——探索平行线的性质山东省安丘市兴安街道育英中学韩传才一、教学背景本节课是2011-2012学年度第二学期开学第三周在多媒体教室里上的一节公开课，课堂中数学优秀生、中等生及后进生都有，所用教材为青岛版义务教育课程标准实验教科书七年级数学（下册）。

二、案例主题分析与设计本节课是青岛版义务教育课程标准实验教科书七年级数学（下册）第十章第3节内容——探索平行线的性质，它是直线平行的继续，是后面研究平移等内容的基础，是“空间与图形”的重要组成部分。

《数学课程标准》强调：数学教学是数学活动的教学，是师生之间、生生之间交往互动与共同发展的过程；动手实践，自主探索，合作交流是孩子学习数学的重要方式；合作交流的学习形式是培养孩子积极参与、自主学习的有效途径。

本节课将以“生活·数学”、“活动·思考”、“表达·应用”为主线开展课堂教学，以学生看得到、感受得到的基本素材创设问题情境，引导学生活动，并在活动中激发学生认真思考、积极探索，主动获取数学知识，从而促进学生研究性学习方式的形成，同时通过小组内学生相互协作研究，培养学生合作性学习精神。

三、案例教学目标1、知识与技能：掌握平行线的性质，能应用性质解决相关问题。

2、数学思考：在平行线的性质的探究过程中，让学生经历观察、比较、联想、分析、归纳、猜想、概括的全过程。

3、解决问题：通过探究平行线的性质，使学生形成数形结合的数学思想方法，以及建模能力、创新意识和创新精神。

4、情感态度与价值观：在探究活动中，让学生获得亲自参与研究的情感体验，从而增强学生学习数学的热情和团结合作、勇于探索、锲而不舍的精神。

四、案例教学重、难点11、重点：对平行线性质的掌握与应用22、难点：对平行线性质1的探究五、案例教学用具11、教具：多媒体平台及多媒体课件22、学具：三角尺、量角器、剪刀六、案例教学过程（一）创设情境，设疑激思1、播放一组幻灯片。

纳什均衡案例

纳什均衡案例奥斯卡获奖电影《美丽心灵》主角原型、诺贝尔奖得主、美国数学家约翰-纳什日前与妻子在美国新泽西州乘搭的士时遇上车祸，两人均不幸遇难。

纳什在与命运的博弈中找到均衡，纪念大师最好的方式就是尝试了解博弈论。

纳什均衡的应用是多领域的。

而事实上，从日常生活中可以找到很多纳什均衡的经典案例，让我们普通人也可以尝试了解一下这一世界级的发现和理论！首先我们先简单看一下纳什均衡的经济学含义：所谓纳什均衡，指的是参与人的这样一种策略组合，在该策略组合上，任何参与人单独改变策略都不会得到好处。

换句话说，如果在一个策略组合上，当所有其他人都不改变策略时，没有人会改变自己的策略，则该策略组合就是一个纳什均衡。

大家可以现有一个简单的印象，结合下面的案例再回来看这个定义。

案例一、智猪博弈猪圈里有两头猪，一头大猪，一头小猪。

猪圈的一边有个踏板，每踩一下踏板，在远离踏板的猪圈的另一边的投食口就会落下少量的食物。

如果有一只猪去踩踏板，另一只猪就有机会抢先吃到另一边落下的食物。

当小猪踩动踏板时，大猪会在小猪跑到食槽之前刚好吃光所有的食物；若是大猪踩动了踏板，则还有机会在小猪吃完落下的食物之前跑到食槽，争吃到另一半残羹。

那么，两只猪各会采取什么策略？答案是：小猪将选择“搭便车”策略，也就是舒舒服服地等在食槽边；而大猪则为一点残羹不知疲倦地奔忙于踏板和食槽之间。

原因何在？因为，小猪踩踏板将一无所获，不踩踏板反而能吃上食物。

对小猪而言，无论大猪是否踩动踏板，不踩踏板总是好的选择。

反观大猪，已明知小猪是不会去踩动踏板的，自己亲自去踩踏板总比不踩强吧，所以只好亲力亲为了。

案例二、囚徒困境（1950年，数学家塔克任斯坦福大学客座教授，在给一些心理学家作讲演时，讲到两个囚犯的故事。

）假设有两个小偷A和B联合犯事、私入民宅被警察抓住。

警方将两人分别置于不同的两个房间内进行审讯，对每一个犯罪嫌疑人，警方给出的政策是：如果一个犯罪嫌疑人坦白了罪行，交出了赃物，于是证据确凿，两人都被判有罪。

巧解多个绝对值之和的最小值

--------------------------------------------------------“培养核心素养，渗透数学美育”系列研究案例（十)•研•课題2020年第12期中学数学教学参考（中旬）巧解多个绝对值之和的最小值％ A谢祥（四川省成都市金牛区教育科学研究院）摘要：利用绝对值的几何意义，将H个绝对值之和的问题转化为“在数轴上有《个已知点，动点到这7J 个已知点的距离之和的问题”，有利于培养学生逻辑推理、直观想象、数学建模等核心素养，渗透数学规律的简单美、统一美。

关键词：多个绝对值之和的最小值问题；数形结合；数学美文章编号：1002-2171 (2020) 12-005 卜 031知识背景本案例涉及绝对值、正负数运算及不等式相关知识，涉及的数学思想方法有“由特殊到一般”“分类讨论”“数形结合”“化归与转化思想”，适合七年级学生学习相关知识之后使用。

2 问题初探，感受数学方法美问题1 : 1 = _______时，代数式I X — 1丨+| x —2 | + | x —3 | -f ---h|>r —2019| 取最小值？最小值为多少？分析：如果按零点分段讨论，则要分2020段讨论，太复杂。

将复杂问题退回到初始的元问题.常常是解决问题的有效方法。

到表达。

在解题教学时，教师总是让个别优秀的学生上台展示解答过程，用极个别优秀学生的思考代替其他学生的思考。

其实，在这种情形之下，教师应该做的是:等一等，多聆听学生不同的声音！学生一味按照教师铺设的思路去想，总是按教师的“套路”出牌，这原本就不是一件好事情。

很多学生在这个过程中失去了自主选择、自主参与的机会和途径，只是“听教师讲”“听其他同学讲”，长期下去，必然形成思维的惰性。

是的，学生完全可能“答非所问”，也完全可以与教师期望的回答相差很远，甚至有时还会让教学横生(1) j ： =_____时，丨j ：—11取最小值？最小值为多少？巧解:x =l 时，丨:C —1|取最小值，最小值为0。

新课标下初中数学跨学科融合教学——以“将军饮马”为例

新课标下初中数学跨学科融合教学——以“将军饮马”为例发布时间：2023-08-04T03:07:53.997Z 来源：《基础教育参考》2023年8月作者：彭翠[导读] 何谓将军饮马呢？唐代著名诗人李颀的一首古诗,《古从军行》开篇二句中这样说“白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河.”意思是“白天士卒们都登高远眺报警的烽火台,黄昏时则牵着马匹在交河沿喝酒.”（四川省成都市郫都区第二中学）【摘要】《义务教育数学课程标准(2022年版)》的教学设计中突出了将数学课程和其他课程的结合,在数学课程中体现了跨学科学习的设计原则,并设置了跨学科的知识项目[1].文中以"将军饮马"等课题为例,通过全面介绍由此类例题所渗透的跨学科教学相关知识点,帮助读者感受数学知识和其他学科之间、数学与生活之间的联系.并从探究真实情境所蕴含的关系中,发现并提出问题,从而运用数学和其他学科的知识以及现代化信息技术教学手段,来解决问题.充分感知新课标下积极开展跨学科主题式学习教学活动的重要性，以及开发与利用跨学科课程资源的必要性.【关键词】初中数学；跨学科；案例中图分类号：G626.5 文献标识码：A 文章编号：ISSN1672-6715（2023）8-171-02一、问题提出——数学与文学知识的融合何谓将军饮马呢？唐代著名诗人李颀的一首古诗,《古从军行》开篇二句中这样说“白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河.”意思是“白天士卒们都登高远眺报警的烽火台,黄昏时则牵着马匹在交河沿喝酒.”诗中隐含着一个有趣的数学问题.便是八上第85页上的一道求最短路径的例题——俗称“将军饮马”问题.另一则说法：在二千多年前,希腊的亚历山大城居住着一个睿智的数学家海伦.一日,城中来了一个将军,因听闻海伦大名,特来向他请教了一个难题.将军说，每天早上，他都骑着马儿从营帐出发，到河边让马儿饮水，然后，再去河岸同一侧的一块草地上带着马儿去吃草，问题是，在河岸的哪个具体位置喝水，行程最短？海伦略做沉思，给出了将军最佳方案。

案例分析与讨论：提公因式法教案设计

【案例分析与讨论：提公因式法教案设计】随着教学理念的不断更新和教育技术的不断发展，教师们针对学生的学习特点，进行多种多样的教学模式创新和教学方法更新，以期达到更好的教育效果。

在此背景下，提公因式法作为数学中经典的代数方法之一，成为中学数学教学中的重要内容之一。

本文将以提公因式法教学为案例，讨论它的教学内容与教学方法，以及如何进行提高学生学习兴趣和教育效果的探究。

一、提公因式法教学内容提公因式法是一种数学中常见的代数方法，是将一个代数式分解为其可能的最简的因式乘积的方法。

在中学数学中，提公因式法主要应用于多项式的因式分解和化简中，是中学代数学中的重要内容之一。

提公因式法不仅是中学课程中的考点，也是高中、大学阶段数学知识体系中的重要组成部分。

因此，提公因式法的教学内容应包括以下几个方面：1.基本概念和基本方法。

教师要先向学生介绍有关代数式、多项式、因式、公因数和公因式的概念，然后讲解提公因式法的基本方法和步骤，包括确定公因式、用公因式提取因式、两项、三项、多项式的情况等。

2.多项式的因式分解和化简。

教师要带领学生逐步掌握使用提公因式法求解多项式的因式分解和化简的方法，包括四项、五项和六项多项式的情况。

例如，对于二项式a^2-b^2，可以用a-b和a+b分别作为其因式，进行分解。

而对于三项式a^3-b^3，可以用a-b、a^2+ab+b^2和a+b作为因式，进行分解。

3.进一步应用。

当学生掌握了提公因式法的基本方法和因式分解的技能之后，可以适当增加一些进一步的应用题目。

例如，求方程的根、计算多项式的值等。

二、提公因式法教学方法教师在进行提公因式法的教学时，应根据学生的实际情况和学习特点，采用多种教学方法，以提高学生的学习兴趣和教育效果。

1.思维导图法。

教师可以利用思维导图法来引导学生理清提公因式法的相关概念、步骤和应用。

在教学过程中，可以多次使用思维导图，给学生留下深刻印象，帮助学生巩固学习内容。

2.示教法。