电磁场与电磁波静态场的边值问题

s c
B ds 0 H dl I
B 0 H J
这是恒定磁场的基本方程。
磁介质中的本构方程为
B H
从以上方程可知，恒定磁场是一个旋涡场，电流是这个旋 涡场的源，电流线是闭合的。
静态场的位函数
1、静电场的位函数分布
静电场可以用一个标量函数 即

的梯度来表示它:
+
A C B
-
恒定电流的形成 要想在导线中维持恒定电流，必须依靠非静电力将B极板的正电荷抵抗电场力搬
到A极板。这种提供非静电力将其它形式的能量转为电能装置称为电源。
若一闭合路径经过电源，则：
ò E ?dl
c
eE
E
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
即电场强度的线积分等于电源的电动势 E 若闭合路径不经过电源，则：

c
E dl 0
2、恒定电场的位函数分布
在无电源区域，恒定电场是一个位场，即有 E 0
这时同样可以引入一个标量位函数

使得
E
根据电流连续性方程 J 0 及物态方程 J E 并设电导率 为一常数（对应于均匀导电媒质），则有
2 J ( E) ( ) 0
恒定电场在无电源区的基本方程的积分形式和微分形式分别为
J ds 0 E dl 0
s
c
J 0 E 0
导体中的本构方程为
J E
3、恒定磁场的基本方程 恒定电流的导体周围或内部不仅存在电场，而且存在 磁场，但这个磁场不随时间变化，是恒定磁场。假设导体
中的传导电流为I，电流密度为 J ,则有
第 5章
静态场的边值问题
5.1 引言
数学物理方程是描述物理量随空间和时间的变化规律。
对于某一特定的区域和时刻，方程的解取决于物理量的初始 值与边界值，这些初始值和边界值分别称为初始条件和边界 条件，两者又统称为该方程的定解条件。 静态场是指场量不随时间变化的场，静态场包括：静电场、 恒定电场及恒定磁场。静电场的场量与时间无关，位函数所 满足的泊松方程及拉普拉斯方程的解仅决定于边界条件。 静电场的边值问题：给定边界条件下，求泊松方程或拉普拉 斯方程解的问题。
1、静电场的基本方程 静电场是静止电荷或静止带电体产生的场，其基本方程为

s c
Dds q E dl 0
D E 0
上式表明：静电场中的旋度为0，即静电场中的电场不可 能由旋涡源产生；电荷是产生电场的通量源。 电介质的本构方程为
D E
2、恒定电场的基本方程 维持恒定电流的电场为恒定电场
2 2 2 2 2 2 x y z 2 2 2 2 1 (r ) 1 r r r 2 2 r z 2
在圆柱坐标系中
在球坐标系中
2 2 (sin 1 1 1 (R ) ) R R2 R R2 sin R 2 sin 2 2 2
则有
＝0
2
这说明，在无电源区域，恒定电场的位函数满足拉普拉 斯方程。
3、恒定磁场的位函数分布
(1) 磁场的矢量位函数 恒定磁场是有旋场，即 B J ,但它却是无散场， 即 B 0
引入一个矢量磁位 A 后，由于 B＝ A ，可得
2 A ( A) A J
域内，静电场的电位函数所满足的方程，我们将这种形式 的方程称为 泊松方程。
如果场中某处有ρ=0，即在无源区域，则上式变为
2 0
我们将这种形式的方程称为 拉普拉斯方程。它 是在不存在电荷的区域内，电位函数 应满足的方程。
2 拉普拉斯算符 在不同的坐标系中有不同的表达形式：
在直角坐标系中
静电场问题
1. 由场求源：由微分方程求解。 2.由源求场：分布型问题和边值型问题。 (1)分布型
若源的分布具有某种对称性，从而判断场的分布也具有 某种对称性时，可用高斯通量定理求解电场或安培环路 定理来求磁场。
(2)边值型 已知确定区域中的源分布和其边界上的位函数或位函 数的法向导数分布，求解该区域中位函数的分布状况， 这类问题称为边值型问题或简称为边值问题。
重点：
1.静电场、恒定电场 、恒定磁场的基本方程。 2.静态场的位函数方程。 3.理论依据：唯一性定理、叠加原理。 4.镜像法 、分离变量法。
静态场的基本方程
静态场与时变场最基本的区别在于静态场的电场和磁场是 彼此独立存在的，即电场只由电荷产生，磁场只由电流产 生。没有变化的磁场，也没有变化的电场。
m
即令
H m
注意：标量磁位的定义只是在无电流源区才能应用。 以上所导出的三个静态场的基本方程表明：静态场可以用
位函数表示，而且位函数在有源区域均满足泊松方程，在
边值问题的分类：
边值问题根据边界条件给出的形式不同可分为以下三 种类型。 第一类边值问题：给定整个边界上的位函数求区域中位 函数的分布，这类问题又称为狄里赫利问题。
第二类边值问题：给定整个边界上位函数的法向导数 求区域中位函数的分布，这类问题又称为纽曼问题。
第三类边值问题：给定一部分边界上的位函数和其余部 分边界上的法向导数，求区域中位函数的分布，这类问 题混合问题。
E
式中的标量函数 电位函数。

称为
对于均匀、线性、各向同性的介质，ε为常数, 所以有
0
D ( E ) E
( )
即

2
静电场的位函数 的方程。

满足
上式即为在有电荷分布的区域内，或者说在有“源”的区
人为规定
A 0
这个规定被称为库仑规范
于是有
2 A J
此式即为矢量磁位的泊松方程。
在没有电流的区域有J 0
2 A0
此式即为矢量磁位的拉普拉斯方程。 (2) 磁场的标量位函数 在没有电流分布的区域内，恒定磁场的基本方程变为
H 0
B0
这样，在无源区域内，磁场也成了无旋场，具有位场的性 质，因此，象静电场一样，我们可以引入一个标量函数， 即标量磁位函数