仰角与俯角
北京版数学九年级上册《仰角与俯角》说课稿
北京版数学九年级上册《仰角与俯角》说课稿一. 教材分析北京版数学九年级上册《仰角与俯角》这一节的内容，主要介绍了仰角和俯角的定义、计算方法以及应用。
通过这一节的学习，使学生能够理解并掌握仰角和俯角的概念，学会如何利用三角板和直尺等工具进行角度的测量和计算，培养学生空间想象能力和实际操作能力。
在教材的处理上，我将以学生的生活经验为基础，利用多媒体教学手段，直观地展示仰角和俯角的概念和应用，通过学生的自主探究和合作交流，使学生能够深刻理解仰角和俯角的含义，提高学生的数学素养。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的空间想象能力和几何知识，对于角度的概念也有一定的了解。
但是，对于仰角和俯角这两个概念，学生可能还比较陌生，需要通过具体的实例和生活情境来进行引导和讲解。
此外，学生在进行角度计算时，可能还存在一些困难，需要通过具体的操作和实践来进行巩固。
三. 说教学目标1.知识与技能：学生能够理解仰角和俯角的概念，学会如何利用三角板和直尺等工具进行角度的测量和计算。
2.过程与方法：学生通过自主探究和合作交流，学会如何运用仰角和俯角的概念解决实际问题。
3.情感态度与价值观：学生能够体验到数学与生活的紧密联系，提高学生学习数学的兴趣和自信心。
四. 说教学重难点1.重点：学生能够理解仰角和俯角的概念，学会如何利用三角板和直尺等工具进行角度的测量和计算。
2.难点：学生能够运用仰角和俯角的概念解决实际问题，提高学生的空间想象能力和实际操作能力。
五. 说教学方法与手段在这一节课中，我将采用多媒体教学手段，结合学生的自主探究和合作交流，以案例教学法和问题驱动法为主，引导学生通过观察、思考、操作、交流等活动，掌握仰角和俯角的概念和应用。
六. 说教学过程1.导入新课：通过多媒体展示一些生活中的实例，如登山运动员观察山峰、建筑师观察建筑物的立面图等，引导学生思考这些实例中涉及到的角度概念。
2.自主探究：学生通过观察实例，总结出仰角和俯角的定义，并学会如何利用三角板和直尺等工具进行角度的测量和计算。
解直角三角形(仰角和俯角)讲义
解直角三角形（仰角和俯角）一、知识点讲解1、仰角和俯角的定义：在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角。
二、典例分析利用解直角三角形解决仰角、俯角问题例1 一数学兴趣小组为了测量河对岸树AB的高，在河岸边选择一点C，从C处测得树梢A的仰角为45°，沿BC方向后退10米到点D，再次测得A的仰角为30°，求树高．（结果精确到0.1米，参考数据：≈1.414，≈1.732）变式练习：1、如图，为了测得电视塔的高度AB，在D处用高为1米的测角仪CD，测得电视塔顶端A的仰角为30°，再向电视塔方向前进100米达到F处，又测得电视塔顶端A的仰角为60°，则这个电视塔的高度AB（单位：米）为A、50B、51C、50+1D、101第1题第2题第3题2、如图，从坡顶C处测得地面A、B两点的俯角分别为30°、45°，如果此时C处的高度CD为150米，且点A、D、B在同一直线上，则AB两点间距离是米。
3、如图，在数学活动课中，小敏为了测量校园内旗杆AB的高度．站在教学楼的C处测得旗杆底端B的俯角为45°，测得旗杆顶端A的仰角为30°．若旗杆与教学楼的距离为9m，则旗杆AB的高度是m（结果保留根号）4、如图，平台AB高为12m，在B处测得楼房CD顶部点D的仰角为45°，底部点C的俯角为30°，则楼房CD 的高度m（结果保留根号）反馈练习 基础夯实1、如图，某飞机在空中A 处探测到它的正下方地平面上目标C ，此时飞行高度AC =1200m ，从飞机上看地平面 A 、 1200m B 、 1200m C ．、 1200m D 、 2400m第1题 第2题 第3题 第4题2、如图，为测量一棵与地面垂直的树OA 的高度，在距离树的底端30米的B 处，测得树顶A 的仰角∠ABO 为α，、 米B D 的仰角为α，从点A 测得点D 的仰角为β，已知甲、乙两建筑物之间的距离为a ，则甲建筑物的高AB 为 。
28.2.2应用举例(仰角、俯角)教案
-学生对仰角和俯角的识别，特别是在复杂的实际问题中，如何准确判断和测量。
-在解决问题时，如何将实际问题抽象为数学模型，并选择合适的三角函数进行求解。
-对三角函数在不同角度下的值的变化规律的理解，以及在实际问题中的灵活运用。
举例解释：
-在识别仰角和俯角时，难点在于如何引导学生从复杂的实际情境中抽象出角度信息，如通过画图、实际操作等方式，帮助学生理解仰角和俯角的含义。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解仰角和俯角的基本概念。仰角是我们从水平面向上看时，视线与水平面的夹角；俯角则是我们从水平面向下看时，视线与水平面的夹角。它们在测量学、工程学等领域有广泛的应用。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。例如，如何利用仰角和俯角来测量一座山的高度。通过这个案例，大家可以看到仰角和俯角在实际问题中的具体应用。
-在将实际问题转化为数学模型时，难点在于如何引导学生建立正确的数学关系，如利用实际案例，展示如何从给定的信息中选取有用的数据，并运用三角函数进行求解。
-在理解三角函数值的变化规律时，难点在于如何让学生掌握角度与三角函数值之间的关系，特别是当角度在0°到90°之间变化时，三角函数值的变化规律。可以通过制作表格、绘制函数图像等方式，帮助学生理解和记忆。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调仰角和俯角的识别，以及如何利用三角函数求解相关问题。对于难点部分，我会通过实际案例和图示来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与仰角、俯角相关的实际问题，如测量教学楼的高度等。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如使用三角板和直尺来模拟测量过程，演示仰角和俯角的计算原理。
九年级数学解直角三角形(仰角与俯角)
六、变式提升、走近中考1学校操场上有一 根旗杆，上面有一根开旗用的绳子（绳子 足够长），王同学拿了一把卷尺，并且向 数学老师借了一把含300的三角板去度量旗 杆的高度。 （2）若王同学分别在点C、点D处将 （1）若王同学将旗杆上绳子拉成仰角 （3）此时他的数学老师来了一看，建 旗杆上绳子分别拉成仰角为600、300， 为600，如图用卷尺量得BC=4米，则 议王同学只准用卷尺去量，你能给王 如图量出CD=8米，你能求出旗杆AB的 旗杆AB的高多少？ 同学设计方案完成任务吗？ 长吗？
2 (1)
(1)2
八、布置作业 P92习题28.2 第3,4题
.
.
谢谢大家
. .
关适 是 何知 （ 找示 先 系出意 将） 角 当 直 图角 求 来与图 实解 三 的 角 形、 直 角 辅 三 ，边 角 求已， 物决 形 助 角 如时 三 解线 形 果 模 实 知尽 型 来 角可， 际 问 求 ， 时 示 转角 、能先形 解画，意化 题 出 添 图画 中 边直 为时 直 加 不出 未 的接 几，
分析：从飞船上能最远直接
看到的地球上的点，应是视 线与地球相切时的切点．
①题中有哪些已知条件，所求结论是什么？ ②如何把实际问题抽象成数学问题，建立数学模型的？图形中有 符合解直角三角形的图形吗? ③要求的边与已知的边和已知的角有什么关系？应该选择哪一种 三角函数？
• 1、P87例题
如图，⊙O表示地球，点F是 飞船的位置，FQ是⊙O的切线， 切点Q是从飞船观测地球时的 ⌒ 最远点．PQ的长就是地面上P， Q两点间的距离，为计算PQ 的 ⌒ 长需先求出∠POQ（即a）
45
30
解得 x 100 3 100
所以河宽为 (100 3 100)米.
仰角和俯角
P
X
A
45°
X
C
60°
B
157.73海里
1、解直角三角形的关键是找到与已知和未知相关联
的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过 作辅助线构筑直角三角形（作某边上的高是常用的辅 助线）；当问题以一个实际问题的形式给出时，要善 于读懂题意，把实际问题化归为直角三角形中的边角 关系。 2、一些解直角三角形的问题往往与其他知识联系， 所以在复习时要形成知识结构，要把解直角三角形作 为一种工具，能在解决各种数学问题时合理运用。
铅 垂 线
仰角
水平线
俯角
视线
A A
例1 在升旗仪式上，一位同学站在 离旗杆24米处，行注目礼，当国旗 升至旗杆顶端时，该同学视线的仰 角恰为30度，若两眼离地面1.5米， 则旗杆的高度是否可求？若可求， 求出旗杆的高，若不可求，说明理 由.（精确到0.1米）
90度 B
24米
30度
E
1.5米
C
. D
仰角和俯角
三边之间关系 锐角之间关系
a2+b2=c2（勾股定理）
∠A+∠B=90º
A的邻边 AC A的对边 BC cos A sin A 斜边 AB 斜边 AB
A的对边 BC tan A A的邻边 AC
边角之间关系 (以锐角A为例)
仰角和俯角
视线
在进行测量时， 从下向上看，视 线与水平线的夹 角叫做仰角； 从上往下看，视 线与水平线的夹 角叫做俯角.
解： 在RtABE中,
A
AB tan AEB BE AB BE tan AEB
B C
90° 24 1.5
30° E D
俯角和仰角讲解新教学设计
俯角和仰角讲解新教学设计引言：在学习过程中，如何提高学生的理解和掌握能力始终是教师不断思考和探索的问题。
针对这一问题，本文将介绍一个全新的教学设计方案，通过讲解俯角和仰角的概念，帮助学生更好地理解和应用这两个概念。
通过这个新的教学设计，教师将能够提高学生的学习兴趣和学习效果，从而促进他们在这个领域的深入学习。
一、背景介绍俯角和仰角是物体与水平面之间的夹角，它们在几何学和物理学中起到非常重要的作用。
然而，对于许多学生来说，理解和应用这两个概念并不容易。
在传统的教学方法中，教师通常只是简单地定义这两个概念，并给出一些例题让学生进行计算。
这种教学方式往往无法引起学生的兴趣，也无法帮助他们真正理解和应用这两个概念。
二、新教学设计的目标本教学设计的目标是通过创新的教学方法，帮助学生更好地理解和应用俯角和仰角的概念。
具体目标如下：1. 培养学生对俯角和仰角的兴趣和好奇心；2. 帮助学生理解俯角和仰角的数学定义；3. 培养学生运用俯角和仰角解决实际问题的能力；4. 通过实例讲解，巩固学生对俯角和仰角的理解。
三、教学方法1. 引发学生的兴趣在进行俯角和仰角的讲解之前，教师可以通过引发学生的兴趣来预热课堂氛围。
可以通过展示一些与俯角和仰角相关的实际问题或现象的图片或视频来引起学生的兴趣。
例如，飞机起飞和降落时的角度、建筑物的倾斜角度等。
2. 讲解俯角和仰角的定义在引发学生的兴趣之后，教师可以给出俯角和仰角的数学定义。
可以通过绘制示意图、使用实物模型或投影仪等方式来直观地展示这两个概念。
同时，可以通过与学生的互动，让学生参与其中，提出问题和解答问题，加深学生对俯角和仰角概念的理解。
3. 运用俯角和仰角解决实际问题理解了俯角和仰角的概念后，教师可以给出一些实际问题让学生运用这两个概念进行解答。
例如，给出一个飞机起飞的问题，要求学生计算出飞机的仰角；或者给出一个建筑物高度的问题，要求学生计算出观察者的俯角。
这样的实际问题能够帮助学生将抽象的概念与实际问题联系起来，提高他们的应用能力。
仰角和俯角的意思
仰角和俯角的意思仰角和俯角是物理学中常用的概念，用于描述物体或光线与地平面的夹角。
在空间导航、航空航天、地理测量等领域中，仰角和俯角的应用非常广泛。
本文将详细介绍仰角和俯角的概念、计算方法及实际应用。
1. 仰角仰角是指物体或者观测点朝天空方向偏离地面的角度，通常用竖直线与视线的夹角来表示。
在天文学中，仰角通常用于描述天体在天空中的位置。
在观测卫星时，需要知道卫星的仰角，以便调整观测仪器的朝向和位置。
2. 俯角二、仰角和俯角的计算方法1. 计算方法（1）在地理测量中，仰角和俯角可以通过测量两点之间的水平距离和垂直距离来计算。
假设A点比B点高h米，则A点到B点的俯角为atan(h/d)，其中d为A点到B点的水平距离。
如果B点比A点高，则仰角为90度减去俯角。
（2）在天文学中，仰角可以通过观测天体时测量天顶角（垂直于地面的角度）和天体高度角（天体与地平面的夹角）来计算。
仰角=90度-天体高度角。
俯角=天体高度角。
（3）在航空航天领域中，仰角和俯角需要通过仪器进行测量。
无人机上装有摄像头，可以通过调整仰角和俯角来改变拍摄视角。
2. 测量仪器（1）测距仪：可以测量两点之间的水平距离和垂直距离。
（2）全站仪：可测量目标物体的仰角、方位角和距离等参数。
三、仰角和俯角的实际应用1. 航空航天在航空航天中，仰角和俯角的应用非常广泛。
飞机、无人机等航空器需要根据目标物体的仰角和俯角来选择飞行高度，调整拍摄角度等。
在航天探测中，也需要测量行星、卫星等目标物体的仰角和俯角。
在地理测量中，仰角和俯角用于计算两点之间的高度差，确定地形高低等。
地面的地形特征对于城市规划、农业种植等方面有着重要的参考价值。
3. 天文观测在天文观测中，仰角和俯角通常用于描述恒星、行星等天体在天空中的位置。
天文观测对于了解宇宙的物理特性和演化历史具有重要的意义。
四、小结仰角和俯角是物理学中重要的概念，在导航、航空航天、地理测量等领域有着广泛的应用。
九年级数学上册《仰角俯角问题》教案、教学设计
2.交流分享：各小组代表汇报讨论成果，其他同学认真倾听，互相学习，共同提高。
3.教师指导：在学生讨论过程中，教师巡回指导，及时解答学生的疑问，引导学生深入探讨问题。
（四）课堂练习
在课堂练习环节，我将设计以下练习：
-设想一：通过观看建筑物、桥梁等图片，引导学生观察并描述其中的仰角、俯角，激发学生的学习兴趣；
-设想二：组织学生走出教室，实地观察校园中的仰角、俯角，增强学生的实际体验。
2.利用多媒体、教具等教学资源，帮助学生形象地理解仰角、俯角与直线、平面图形之间的关系，突破难点。
-设想一：运用Flash动画演示仰角、俯角的形成过程，使学生直观地理解两种角的定义；
1.学生对角度的认识已较为成熟，但在区分仰角与俯角时可能存在一定的困惑，需要教师引导和巩固；
2.学生的空间想象力较强，但对于将实际问题转化为数学模型的能力尚需提高，需要教师在教学过程中予以关注和指导；
3.学生在解直角三角形的实际应用中，可能会遇到计算上的困难，需要教师耐心讲解和辅导；
4.部分学生对数学学习兴趣浓厚，具有较强的自主学习能力，但也有部分学生对数学存在恐惧心理，需要教师激发兴趣和自信心；
-设想二：借助三角板、量角器等工具，让学生动手操作，加深对角度的认识。
3.设计丰富的课堂练习，巩固所学知识，提高学生解决问题的能力。
-设想一：编制与仰角、俯角相关的习题，让学生独立完成，培养其解决问题的能力；
-设想二：设置小组讨论环节，让学生在合作交流中互相学习，共同进步。
4.个性化教学，关注学生个体差异，使每个学生都能在原有基础上得到提高。
-设想一：针对不同学生的学习情况，制定个性化的学习计划，提高教学效果；
28.2.2仰角、俯角(教案)2023-2024学年九年级下册数学人教版(安徽)
在今天的仰角与俯角教学中，我尝试了多种方法来帮助学生理解和掌握这一概念。首先，通过日常生活中的实际问题导入新课，我发现同学们的兴趣被激发了，他们开始积极思考仰角和俯角的应用。这种生活化的引入有助于学生认识到数学知识的实用性和重要性。
在理论讲授环节，我注意到了一些学生在理解仰角和俯角定义时的困难。我意识到，仅仅通过语言描述可能不足以让学生形成清晰的认识，因此在接下来的教学中，我加入了实物演示和图示辅助，希望能更直观地帮助学生建立起空间观念。
在总结回顾环节，我对学生今天的学习成果进行了梳理，并强调了对仰角和俯角知识的应用。我感到欣慰的是，大多数学生能够掌握今天的教学内容，但也有学生提出了疑问，我及时给予了解答。
反思今天的整个教学过程，我认为以下几点值得注意：
1.对于空间观念的培养，需要更多的直观教具和实物演示，帮助学小组讨论、实践操作，提升数学探究和问题解决的综合素养。
5.引导学生运用所学知识，关注生活中的数学现象，培养数学应用意识和创新意识。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-仰角与俯角的概念：准确理解仰角和俯角的定义，掌握它们的度数表示方法。
-画仰角与俯角的方法：学会使用三角板、直尺等工具在平面图上正确画出仰角和俯角。
在教学过程中，教师应通过实物演示、图示说明、案例分析和反复练习等多种方法，帮助学生突破这些难点，确保学生能够深刻理解和掌握仰角与俯角的核心知识。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《仰角、俯角》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要判断物体高度或视线范围的情况？”（如看旗杆的高度）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索仰角与俯角的奥秘。
解直角三角形的应用(仰角和俯角问题)
计算角度证结果：检 查计算结果是 否满足三角形 内角和为180
度的条件
添加标题
确定已知条件：已知三角形的边长和角度
添加标题
利用正弦定理：sin/ = sinB/b = sinC/c
添加标题
利用余弦定理：cos = (b^2 + c^2 - ^2) / (2bc)
正弦定理：在直角三角形中 任意一边的长度等于其对角 的正弦值乘以斜边的长度
余弦定理：在直角三角形中 任意两边长度的平方和等于 斜边的平方
正切定理：在直角三角形中 任意一边的长度等于其对角 的正切值乘以斜边的长度
余切定理：在直角三角形中 任意两边长度的平方差等于 斜边的平方
正割定理：在直角三角形中 任意一边的长度等于其对角 的正割值乘以斜边的长度
确保测量工具的 准确性和稳定性
避免在危险区域 进行测量如高空、
高压电等
遵守操作规程确 保人身安全
做好防护措施如 佩戴安全帽、手
套等
及时清理现场避 免杂物影响测量
结果
遇到突发情况及 时停止操作并寻
求帮助
仰角和俯角为0度：此时三角形退化为直线无法求解
仰角和俯角为90度：此时三角形退化为直角三角形可以直接求解
全站仪等
测量误差：注 意测量误差对 仰角和俯角测 量结果的影响
测量环境：注 意测量环境的 影响如温度、 湿度、风速等
测量方法：注 意测量方法的 选择如直接测 量、间接测量
等
测量误差：测量工具的精度、测量人员的操作水平等
计算误差：计算过程中的舍入误差、公式使用错误等
环境误差：温度、湿度、光照等环境因素对测量结果的影响
添加文档副标题
目录
01.
02.
第十二讲仰角、俯角
第十二讲、仰角、俯角第一部分、教学目标：1、能够用三角函数有关知识解决问题，学会解决仰角俯角问题。
2、掌握仰角俯角的关系，能利用解直角三角形的知识，解决相关的实际问题。
第二部分、教学重点和难点：1、理解仰角与俯角的概念，并能灵活运用。
2、利用仰角与俯角等条件，解决有关的实际问题。
第三部分、教学过程：例题讲解：例1、直角梯形ABCD如图放置，AB、CD为水平线，BC⊥AB，如果∠BCA＝67°，从低处A处看高处C处，那么点C在点A的（）A．俯角67°方向B．俯角23°方向C．仰角67°方向D．仰角23°方向【分析】求出∠BAC＝23°，即可得出答案．【解答】解：∵BC⊥AB，∠BCA＝67°，∴∠BAC＝90°﹣∠BCA＝23°，从低处A处看高处C处，那么点C在点A的仰角23°方向；故选：D．练1.1、跳伞运动员小李在200米的空中测得地面上的着落点A的俯角为60°，那么此时小李离着落点A的距离是（）A．200米B．400米C．米D．米【分析】已知直角三角形的一个锐角和直角边求斜边，运用三角函数定义解答．【解答】解：根据题意，此时小李离着落点A的距离是＝，故选：D．练1.2、如图，某风景区为了方便游人参观，计划从主峰A处架设一条缆车线路到另一山峰C处，若在A处测得C处的俯角为30°，两山峰的底部BD相距900米，则缆车线路AC 的长为（）A．B．C．D．1800米【分析】此题可利用俯角的余弦函数求得缆车线路AC的长，AC＝．【解答】解：由于A处测得C处的俯角为30°，两山峰的底部BD相距900米，则AC＝＝600（米）．故选：B．例2、如图，在桥外一点A测得大桥主架与水面的交汇点C的俯角为α，大桥主架的顶端D 的仰角为β，已知测量点与大桥主架的水平距离AB＝a，则此时大桥主架顶端离水面的高CD 为（）A．a sinα+a sinβB．a cosα+a cosβC．a tanα+a tanβD．+【分析】根据直角三角形锐角三角函数即可求解．【解答】解：∵在Rt△ABC中，BC＝AB•tanα＝a tanα，在Rt△ABD中，BD＝AB•tanβ＝a tanβ，∴CD＝BC+BD＝a tanα+a tanβ．故选：C．练2.1、某滑雪场举办冰雪嘉年华活动，采用直升机航拍技术拍摄活动盛况．如图，通过直升机的镜头C观测到水平雪道一端A处的俯角为30°，另一端B处的俯角为45°．若直升机镜头C处的高度CD为300米，点A、D、B在同一直线上，则雪道AB的长度为（）A．300米B．150米C．900米D．（300+300）米【分析】由题意可得在Rt△ACD中，∠A＝30°，CD＝300米，在Rt△BCD中，∠B＝45°，然后利用三角函数，求得AD与BD的长，继而求得答案．【解答】解：∵在Rt△ACD中，∠A＝30°，CD＝300米，∴AD＝＝＝300（米），∵在Rt△BCD中，∠B＝45°，CD＝300米，∴BD＝CD＝300米，∴AB＝AD+BD＝（300+300）米．故选：D．练2.2、在湖边高出水面40m的山顶A处看见一架无人机停留在湖面上空某处，观察到无人机底部标志P处的仰角为45°，又观其在湖中之像的俯角为60°，则无人机底部P距离湖面的高度是（）A．（40+40）m B．（40+80）m C．（50+100）m D．（50+50）m 【分析】设AE＝x，则PE＝AE＝x，根据山顶A处高出水面40m，得出OE＝40，OP′＝x+40，根据∠P′AE＝60°，得出P′E＝x，从而列出方程，求出x的值即可．【解答】解：设AE＝xm，在Rt△AEP中∠P AE＝45°，则∠P＝45°，∴PE＝AE＝x，∵山顶A处高出水面40m，∴OE＝40m，∴OP′＝OP＝PE+OE＝x+40，∵∠P′AE＝60°，∴P′E＝tan60°•AE＝x，∴OP′＝P′E﹣OE＝x﹣40，∴x+40＝x﹣40，解得：x＝40（+1）（m），∴PO＝PE+OE＝40（+1）+40＝40+80（m），即无人机离开湖面的高度是（40+80）m．故选：B．例3、如图，一架飞机在点A处测得水平地面上一个标志物P的俯角为α，水平飞行m千米后到达点B处，又测得标志物P的俯角为β，那么此时飞机离地面的高度为（）A．千米B．千米C．千米D．千米【分析】根据题意，作出合适的辅助线，然后根据锐角三角函数即可表示出此时飞机离地面的高度．【解答】解：作PC⊥AB交AB于点C，如右图所示，AC＝，BC＝，∵m＝AC﹣BC，∴m＝﹣，∴PC＝＝，故选：A．练3.1、小明同学在数学实践课中测量路灯的高度．如图，已知他的目高AB为1.5米，他先站在A处看路灯顶端O的仰角为30°，向前走3米后站在C处，此时看灯顶端O的仰角为60°（≈1.732），则灯顶端O到地面的距离约为（）A．3.2米B．4.1米C．4.7米D．5.4米【分析】过点O作OE⊥AC于点F，延长BD交OE于点F，设DF＝x，根据锐角三角函数的定义表示OF的长度，然后列出方程求出x的值即可求出答案．【解答】解：过点O作OE⊥AC于点F，延长BD交OE于点F．设DF＝x，∵tan60°＝，∴OF＝x，∴BF＝3+x，∵tan30°＝，∴OF＝（3+x）•，∴x＝（3+x），∴x＝1.5，∴OF＝1.5×≈2.60，∴OE≈2.60+1.5≈4.1，故选：B．练3.2、当地时间2019年4月15日下午，法国巴黎圣母院发生火灾，大火烧毁了巴黎圣母院后塔的塔顶．烧毁前，为测量此塔顶B的高度，在地面选取了与塔底D共线的两点A、C，A、C在D的同侧，在A处测量塔顶B的仰角为27°，在C处测量塔顶B的仰角为45°，A到C的距离是89.5米．设BD的长为x米，则下列关系式正确的是（）A．tan27°＝B．cos27°＝C．sin27°＝D．tan27°＝【分析】根据三角函数得出CD＝BD，进而利用根据CD＝AD﹣AC可得答案．【解答】解：∵在A处测量塔顶B的仰角为27°，在C处测量塔顶B的仰角为45°，A到C的距离是89.5米．设BD的长为x米，可得：tan27°＝，故选：A．例4、如图，某高速公路建设中需要测量某条江的宽度AB，飞机上的测量人员在C处测得A、B两点的俯角分别为60°和45°．若飞机离地面的高度CO为900m，且点O，A，B在同一水平直线上，则这条江的宽度AB为．（结果保留根号）【分析】在Rt△ACO和Rt△OCB中，利用锐角三角函数，用CO表示出AO、BO的长，然后计算出AB的长．【解答】解：由于CD∥OB，∴∠CAO＝∠ACD＝60°，∠B＝∠BCD＝45°在Rt△ACO中，∵∠CAO＝30°∴AO＝CO＝300米，在Rt△OCB，∵tan∠B＝∴OB＝（米）．∴AB＝OB﹣OA＝900﹣300（米）故答案为：900﹣300（米）练4.1、如图，一辆小汽车在公路l上由东向西行驶，已知测速探头M到公路l的距离MN 为9米，测得此车从点A行驶到点B所用的时间为0.6秒，并测得点A的俯角为30o，点B的俯角为60o．那么此车从A到B的平均速度为米/秒．（结果保留三个有效数字，参考数据：≈1.732，≈1.414）【分析】根据题意需求AB长．由已知易知AB＝BM，解直角三角形MNB求出BM即AB，再求速度，与限制速度比较得结论．注意单位．【解答】解：在Rt△AMN中，AN＝MN×tan∠AMN＝MN×tan60°＝9×＝9．在Rt△BMN中，BN＝MN×tan∠BMN＝MN×tan30°＝9×＝3．∴AB＝AN﹣BN＝9﹣3＝6．则A到B的平均速度为：＝＝10≈17.3（米/秒）．故答案为：17.3．练4.2、如图，无人飞机从A点水平飞行10秒至B点，在地面上C处测得A点、B点的仰角分别为45°，75°，已知无人飞机的飞行速度为80米/秒，则这架无人飞机的飞行高度为．【分析】如图，作AD⊥BC，BH⊥水平线，根据题意确定出∠ABC与∠ACB的度数，利用锐角三角函数定义求出AD与BD的长，由CD+BD求出BC的长，即可求出BH的长．【解答】解：如图，作BD⊥AC，AH⊥水平线，由题意得：∠BCH＝75°，∠ACH＝30°，AB∥CH，∴∠BAC＝45°，∠ACB＝30°，∵AB＝80×10＝800m，∴BD＝AD＝400m，CD＝＝400m，∴AC＝CD+AD＝（400+400）m，则AH＝AC•sin45°＝（400+400）m．答：这架无人飞机的飞行高度为（400+400）m例5、金牛区某学校开展“数学走进生活”的活动课，本次任务是测量大楼AB的高度．如图，小组成员选择在大楼AB前的空地上的点C处将无人机垂直升至空中D处，在D处测得楼AB的顶部A处的仰角为42°，测得楼AB的底部B处的俯角为30°．已知D处距地面高度为12m，则这个小组测得大楼AB的高度是多少？（结果保留整数，参考数据：tan42°＝0.90，tan48°＝1.11，≈1.73）【分析】首先分析图形：根据题意构造直角三角形．本题涉及到两个直角三角形△AED、△CBD，通过解这两个直角三角形求得AE、DC的长度，进而可解即可求出答案．【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于点E．依题意得：∠ADE＝42°，∠CBD＝30°，CD＝12m．可得四边形DCBE是矩形．∴BE＝DC，DE＝CB．∵在直角△CBD中，tan∠CBD＝，∴DE＝CB＝．∵在直角△ADE中，tan∠ADE＝．∴AE＝DE•tan42°．∴AE＝•tan42°≈＝18.68（米）．∴AB＝AE+BE≈31（米）．答：楼AB的高度约为31米．练5.1、如图，小明家的窗口到地面的距离CE＝9米，他在C处测得正前方花园中树木顶部A点的仰角为37°，树木底部B点的俯角为45°，求树木AB的高度．（参考数据sin37°≈060，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）【分析】根据等腰直角三角形的性质求出DC，根据正切的概念计算即可．【解答】解：如图，由题意得，DB＝CE＝9，∵∠CDB＝90°，∠DCB＝45°，∴CD＝DB＝9，在Rt△ADC中，AD＝DC×tan∠ACD＝9tan37°，∴AB＝AD+BD＝9+9tan37°≈15.75，答：旗杆AB的高约为15.75米．练5.2、从一栋二层楼AE的楼顶点A处看对面的教学楼CD，看到教学楼底部点C处的俯角为45°，看到楼顶部点D处的仰角为60°，已知楼AE高6米，AB⊥CD于B，求楼CD高度（结果保留根号）【分析】在Rt△ABC根据三角函数求出CB，再在Rt△ABD中根据三角函数求出BD，继而相加可求出CD．【解答】解：在Rt△ACB中，∠CAB＝45°，AB⊥DC，AE＝6米，∴AB＝BC＝AE＝6米，在Rt△ABD中，∵tan∠BAD＝，∴BD＝AB•tan∠BAD＝6，∴DC＝CB+BD＝6+6（米）．答：教学楼的高CD是（6+6）米．例6、为庆祝中华人民共和国成立70周年，深圳举办了灯光秀，某数学兴趣小组为测量“平安金融中心”AB的高度，他们在地面C处测得另一幢大厦DE的顶部E处的仰角为32°，测得“平安中心”AB的顶部A处的仰角为44°．登上大厦DE的顶部E处后，测得“平安中心”AB的顶部A处的仰角为60°，（如图）．已知C、D、B三点在同一水平直线上，且CD＝400米，求平安金融中心AB的高度．（参考数据：sin32°≈0.53，cos32°≈0.85，tan32°≈0.62，tan44°≈0.99，≈1.41，）【分析】作EF⊥AB于F．在Rt△DCE中，根据正切函数的定义即可求出大厦DE的高度；设EF＝DB＝x米，BF＝DE，∠AEF＝60°．在Rt△ABC中，根据正切函数的定义得出AB＝BC•tan∠ACB，在Rt△AFE中，根据正切函数的定义得出AF＝EF•tan∠AEF，由AB＝BF+AF列出方程求出x，从而求解．【解答】解：如图，作EF⊥AB于F．∵在Rt△DCE中，∠CDE＝90°，∠ECD＝32°，CD＝400米，∴DE＝CD•tan∠ECD≈400×0.62＝248（米）．设EF＝DB＝x米，BF＝DE＝248米，∠AEF＝60°．∵在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC•tan∠ACB≈0.99（400+x）（米），∵在Rt△AFE中，∠AFE＝90°，∴AF＝EF•tan∠AEF＝x（米），∴AB＝BF+AF＝248+x＝0.99（400+x），解得x＝200，AB＝0.99（400+x）＝0.99×（400+200）＝594．故平安金融中心AB的高度约为594米．练6.1、在小水池旁有一盏路灯（如图），已知支架AB的长是0.8m，A端到B地面的距离AC是4m，支架AB与灯柱AC的夹角为65°小明在水池的外沿D测得支架B端的仰角是45°，在水池的内沿E测得支架A端的仰角是50°（点C，E，D在同一直线上），求小水池的宽DE．（结果精确到0.1．参考数据：sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，tan50°≈1.2）【分析】作BF⊥AC于F，作BG⊥CD于G，则CG＝BF，BG＝CF，在Rt△ABF中，由三角函数得出BF＝AB×sin65°≈0.72，AF＝AB×cos65°≈0.32，得出BG＝CF＝AF+AC ＝0.32+4＝4.32，CG＝BF＝0.72，在Rt△ACE中，由三角函数得出CE＝≈3.333，证明△BDG是等腰直角三角形，得出DG＝BG＝4.32，求出CD的长，即可得出答案．【解答】解；作BF⊥AC于F，作BG⊥CD于G，如图所示：则CG＝BF，BG＝CF，在Rt△ABF中，∠BAF＝65°，AB＝0.8，sin∠BAF＝，cos∠BAF＝，∴BF＝AB×sin65°≈0.8×0.9＝0.72，AF＝AB×cos65°≈0.8×0.4＝0.32，∴BG＝CF＝AF+AC＝0.32+4＝4.32，CG＝BF＝0.72，在Rt△ACE中，tan∠CEA＝，∴CE＝≈≈3.333，∵∠BDG＝45°，∠BGD＝90°，∴△BDG是等腰直角三角形，∴DG＝BG＝4.32，∴CD＝CG+DG＝0.72+4.32＝5.04，∴DE＝CD﹣CE＝5.04﹣3.333≈1.7（m）；答：小水池的宽DE约为1.7m．练6.2、如图是某校体育场内一看台的截面图，看台CD与水平线的夹角为30°，最低处C 与地面的距离BC为2.5米，在C，D正前方有垂直于地面的旗杆EF，在C，D两处测得旗杆顶端F的仰角分别为60°和30°，CD长为10米，升旗仪式中，当国歌开始播放时，国旗也在离地面1.5米的P处同时冉冉升起，国歌播放结束时，国旗刚好上升到旗杆顶端F，已知国歌播放时间为46秒，求国旗上升的平均速度．（结果精确到0.01米/秒）【解答】解：由题意得，∠FCD＝90°，∠FDC＝60°，∴FC＝CD•tan∠FDC＝10，在Rt△CGF中，FG＝FC•sin∠FCG＝10×＝15，∴PF＝FG+GE﹣PE＝15+2.5﹣1.5＝16，16÷46≈0.35，答：国旗上升的平均速度约为0.35米/秒．第四部分、出门测试时间（10分钟左右）第六部分、作业布置今天是2020年月日星期天气今日所学：仰角俯角今日作业：自我巩固1-10题老师说：1、下次正常上课2、路上注意安全。
九年级数学上册《仰角与俯角》教案、教学设计
（二）过程与方法
1.利用情境导入法，通过生活中的实例引出仰角与俯角的概念，激发学生的学习兴趣；
2.采用直观演示法，通过实物模型、图片等展示仰角与俯角，帮助学生形成直观的认识；
3.运用任务驱动法，设计丰富的教学活动，让学生在探究、实践过程中掌握仰角与俯角的性质和应用；
（3）运用量角器、三角板等工具，测量并记录身边的仰角与俯角，分析它们的特点。
2.选做题：
（1）探究题目：在三角形中，如何求解未知仰角与俯角？请给出解题步骤并举例说明；
（2）拓展题目：结合其他学科知识，探讨仰角与俯角在物理学、工程学等领域的应用。
作业要求：
1.认真完成必做题，选做题可根据自己的兴趣和实际情况进行选择；
2.作业过程中，注意书写规范，保持卷面整洁；
3.遇到问题，及时与同学、老师沟通交流，提高解决问题的能力；
4.作业完成后，认真检查，确保无误。
作业批改与反馈：
1.教师将及时批改作业，给予评价和指导；
2.针对作业中出现的共性问题，教师在课堂上进行讲解和解答；
3.鼓励学生互相批改作业，取长补短，共同提高；
5.采用分层教学策略，针对不同学生的学习需求，设计难易程度不同的练习题，使每个学生都能在原有基础上得到提高。同时，注重课后辅导，及时解答学生的疑问。
6.强化课堂小结，通过师生互动、生生互动，总结本节课所学知识，形成知识体系。
7.注重评价与反馈，采用多元化评价方式，关注学生在知识掌握、能力提升、情感态度等方面的全面发展。
c.教师点评，强调重点、难点，纠正错误；
d.布置课后作业，巩固所学知识。
五、作业布置
为了巩固本节课所学知识，提高学生对仰角与俯角的理解和应用能力，特布置以下作业：
仰角和俯角
≈6.7+12.51+7.9≈27.1， 4.2米 32°
28°
答：路基下底的宽约为27.1米．A E
F
B
利用直角三角形解决实际问题的一般过程是: （1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形， 转化为解直角三角形的问题） （2）根据条件，适当选用锐角三角函数，运用直角 三角形的有关性质解直角三角形. （3）得到数学问题的答案. （4）得到实际问题的答案.
重点：利用坡度和坡角等条件，解决有关实际问题.
难点：将实际问题中的数量关系转化为数学中的直角
三角形中的元素之间的关系.
1、坡度（坡比）的概念
在修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要注
明斜坡的倾斜程度．
如图，坡面的铅垂高度（h）和水平长度（l）的比 h
叫做坡面的坡度（或坡比），记作i，即i= l
坡度通常写成1∶m的形式，如i＝1:6．
学习目标：
1、理解仰角、俯角的概念及意义. 2、会利用解直角三角形的知识解决与仰角、俯角有关 的实际问题，提高把实际问题转化为数学问题的能力.
重点：会利用解直角三角形的知识解决与仰角、俯角
有关的实际问题.
难点：构造直角三角形，把实际问题转化为数学问题.
如图，在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹 角叫做仰角，从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.
坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，
h 有i= l=tanα.
i=h:l
h
α
l
显然，坡度越大，坡角就越大，坡面就越陡.
通过本节课的学习，你有哪些收获呢？ 3、利用直角三角形解决实际问题的方法：
{ 实际问题图形→数学图形.
(1)两个转化 已知条件→数学图形中的边角关系.
北师大版数学九年级下册第2课时 仰角、俯角问题课件
30º
60º
50 m
解：如图∠DAC=30°，∠DBC=60°，AB=50m，设塔高DC=x m.
Rt△ADC中, tan 30 = DC .
AC
Rt△BDC中,
tan 60
=
DC BC
.
∴AB=AC－BC=
x tan 30
x tan 60
.
30º
60º
50 m
∴x=
50 1－1
25 3 ≈43(m).
楼顶部B处测得乙楼底部D处的俯角是45°，已知甲楼的高 AB是100 m，则乙楼的高CD为___1_0_03_3___（结果保留根号）.
tan 30 CD CD 3
AD 100 3
45º
CD 100 3 3
100 m
100 m
3.[内江中考]如图，有两座建筑物DA 与CB，其中 CB的高为120 m， 从DA 的顶点A测得CB顶部B的仰角为30°，测得其底部C的俯角为 45°，这两座建筑物的地面距离DC为多少米？（结果保留根号）
解：在Rt△CBD中，∵BC=5tan40°≈4.195（m）， ∴EB=EC+CB=2+4.195=6.195（m）. 在Rt△EBD中，
ED BE 2 DB2 6.1952 52 7.96m .
∴钢缆ED的长度约为7.96m.
课堂小结
通过本节课的学习， 你有哪些收获？
数学源于生活 又服务于生活
tan 30
PQ CM MQ CP 1 1475.6 248 1229m .
答：这座大桥PQ的长度约为1229m.
M
4. 如图，一灯柱AB被一钢缆CD固定，CD与地面成40°夹角， 且DB=5m.在C点上方2m处加固另一条钢缆ED，那么钢缆ED 的长度为多少？（结果精确到0.01m）
华师大版数学九年级上册《仰角、俯角问题》教学设计4
华师大版数学九年级上册《仰角、俯角问题》教学设计4一. 教材分析华师大版数学九年级上册《仰角、俯角问题》是学生在掌握了角的定义、分类以及基本性质的基础上进行学习的内容。
本节课主要介绍仰角和俯角的概念，并通过实际问题引出它们的计算方法。
教材通过丰富的实例，让学生体会数学与生活的联系，提高学习兴趣。
此外，本节课还为后续学习三角函数、解直角三角形等知识打下基础。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的逻辑思维能力和空间想象能力，对角的定义和性质有一定的了解。
但学生在实际应用中，可能对仰角和俯角的概念理解不深，难以将理论知识与实际问题相结合。
因此，在教学过程中，教师需要注重引导学生通过实际问题探究仰角和俯角的计算方法，提高学生的应用能力。
三. 教学目标1.了解仰角和俯角的概念，掌握它们的计算方法。
2.能运用仰角和俯角的知识解决实际问题，提高应用能力。
3.培养学生的空间想象能力，提高对数学的兴趣。
四. 教学重难点1.重点：仰角和俯角的概念，计算方法的掌握。
2.难点：实际问题中仰角和俯角的运用。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例引入仰角和俯角的概念，激发学生的学习兴趣。
2.启发式教学法：引导学生通过实际问题探究仰角和俯角的计算方法，培养学生的逻辑思维能力。
3.实践操作法：让学生亲自动手操作，体会仰角和俯角的计算过程，提高学生的动手能力。
六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示仰角和俯角的实例及计算方法。
2.教学素材：准备一些实际问题，用于引导学生探究仰角和俯角的计算方法。
3.板书设计：设计合理的板书，突出本节课的重点知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用课件展示一些生活中的实际问题，如登山运动员观测山的高度、飞行员观测地面目标等，引导学生思考这些问题与数学知识的联系。
2.呈现（10分钟）介绍仰角和俯角的概念，通过实例解释它们的含义。
同时，讲解仰角和俯角的计算方法，让学生初步掌握。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，运用仰角和俯角的知识解决实际问题。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
小结：
本节课我们主要研究的是关于仰角，俯角 的基本定义，及用解直角三角形的方法解 决实际问题
1.仰角与俯角的定义 在视线与水平线所成的角中规定: 视线在水平线上方的叫做仰角， 视线在水平线下方的叫做俯角。
视线 铅 垂 线
仰角 俯角
视线
水平 线
A A
例1 在升旗仪式上，一位同学站在 离旗杆24米处，行注目礼，当国旗 升至旗杆顶端时，该同学视线的仰 角恰为30度，若两眼离地面1.5米， 则旗杆的高度是否可求？若可求， 求出旗杆的高，若不可求，说明理 由.（精确到0.1米）
答：旗杆的高为15.4米。
例2.河的对岸有水塔AB, 今在C处测得塔 顶A的仰角为30° ，前进 20米到D处， 又测得塔顶A的仰角为60° . 解： ADB是ACD的外角 求塔高AB. ADB C CAD
示意图
A
C 30 , ADB 60 CAD 30
例如，要测出一座铁塔的高度，一般需用测 角仪测出一个角来，BE是铁塔，要求BE是 不能直接度量的，怎样测量呢？
常常在距塔底B的适当地方，比如100米的A处， 架一个测角仪，测角仪高1.52米，那么从C点可测出 一个角，即∠ECD，比如∠ECD=24° 24′，那么在 Rt△ECD中，DE=CDtan∠ECD，显然DE＋BD即 铁塔的高：
24.4 解直角三角形
在RtABC中，C 90
2 2 2
A b
90度
1.三边关系 a b c (勾股定理) 2.锐角关系 3. 边角关系
c
A B 90
C
a
B
a b a b sin A ,cos A ,tan A ,cot A c c b a b a b a sin B ,cos A ,tan B ,cot B c c a b
分析：解决此类实际问题的关键是画出正 确的示意图，能说出 题目中每句话对 应图中哪个角或边，将实际问题转化 直角三角形的问题来解决。
如图：
α
A
1200m
B C 解：在RtΔABC中， sinB=AC/AB, ∴AB=AC/sinB=AC/sin16° 31′ ≈1200/0.2843 =4221（米） 答：飞机A到控制点B的距离为4221米。
练习2．如图8，两建筑物AB、CD的水平距 离BC=32.6米，从A点测得D点的俯角 α=35° 12′，C点的俯角β=43° 24′，求这两个建 筑物的高AB和CD(精确到0.1m)．
练习3 . 如图,沿AC方向开山修渠．为了加 快施工进度，要在小山的另一边同时施工． 从AC上的一点B取∠ABD=140° ，BD=520米 ，∠D=50° ．那么开挖点E离D多远(精确到 0.1米)，正好能使A，C，E成一直线？
B C
90度
24米
30度
E
1.5米
. D
解： 在RtABE中,
A
AB tan AEB BE AB BE tanAEB
90
B 1.5 C
24
30
E D
BE tan30 3 24 3 8 3(米)
AC AB BC
8 3 1.5 15.4(米)
CD AD
CD 20米 AD 2B
又 B 90 AB sin 60 AD AB ADsin 60 10 （米 3
答：塔高为 10 3米
练习1.某飞机与空中A处探测到目标 C，此时飞行高度AC=1200米， 从飞机上看地平面控制点B的 俯角α=16°31′，求飞机A到 控制点B的距离。