整式第3讲--整式竞赛综合

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整式第3讲--整式竞赛综合

第三讲：整式竞赛综合代数式求值：给出字母值的，一般先化简，再带入求值；没有给出具体字母值的，要根据已知条件求出字母值，或者整体代入，求出式子的值。

【练习1】填空：1、（北京迎春杯）当x=2时，代数式31ax bx -+的值为﹣17，当x=﹣1时，31235ax bx --的值＝2、（天津市竞赛）已知17个连续整数的和是306，那么，紧接在这17个数后面的那17个整数的和是3、（重庆市竞赛）已知1112,1(1,2,3,.....)n nx x n x -==-=，则2001x = 4、（华杯赛）当m=2π时，多项式31am bm ++的值是0，则多项式31452a b ππ++= 5、（06希望杯）若m+n-p=0，则111111()()()m n p n p m p m n-+--+的值为 6、（河南竞赛）某同学上学时步行，回家时坐车，路上一共要用90min ，若往返都坐车，全程只需30min ，如果往返都步行，那么需要的时间是7、（江苏竞赛）如图，甲中取阴影等边三角形各边的中点，连成一个等边三角形，将其挖去，得到图乙；对图乙中的每个阴影等边三角形仿照先前的做法，得到图丙，如此继续，如果图甲的等边三角形的面积为1，则第n 个图形中所有阴影三角形的面积和为【练习2】选择： 1、（江苏竞赛）下列四个数中，可以写成100个连续自然数之和的是（）A 、1627384950B 、2345678910C 、3579111300D 、46925814702、（希望杯）设a ＞0＞b ＞c ，a+b+c=1，,,b c a c a b m n p a b c+++===，则m 、n 、p 之间的关系是（） A 、m ＞n ＞p B 、n ＞p ＞m C 、p ＞m ＞n D 、m ＞p ＞n3、（16届希望杯）有三组数位123,,x x x ；123,,y y y ；123,,z z z ，它们的平均数分别为a 、b 、c ，那么111x y z +-，222x y z +-，333x y z +-的平均数是（）A 、3a b c++ B 、3a b c+- C 、a+b-c D 、3（a+b-c ）4、如果a 是一个三位数，现在把1放在它的右边得到一个四位数，这个四位数是（）A 、1000a+1B 、100a+1C 、10a+1D 、a+15、（江苏竞赛）如图，正方形ABCD 和CEFG 的边长分别为m 、n ，那么△AEG 的面积的值（）A 、只与m 的大小有关B 、只与n 的大小有关C 、与m 、n 大小都有关D 、与m 、n 大小都无关6、已知有理数a 、b 、c 、d 满足33332005202728222820a b c d -=+=-=+，那么（）A 、a ＞c ＞b ＞dB 、b ＞d ＞a ＞cC 、c ＞a ＞b ＞dD 、d ＞b ＞a ＞c7、（五羊杯）计算：564 2.5322981 4.54⨯÷+⨯÷=⨯÷+⨯÷（）A 、 52B 、103 C 、209 D 、4098、如果对于某一特定范围内x 的任意允许值，p=|1-2x|+|1-3x|+|1-4x|+……+|1-10x|的值恒为一常数，此值为（） A 、 2 B 、3 C 、4 D 、59、已知2310x x x +++=，则（）A 、 0B 、1C 、-1D 、200410、给出两列数：1、3、5、7、9、…、2001和1、6、11、16、21、…、2001同时出现在这两列数中的数的个数（）A 、 199B 、200C 、201D 、202【练习3】求下列代数式的值：1、323221113542252424ab a b ab a b ab a b --+---，其中a=1，b=﹣2 2、(){}222223243(453)x y xyz xyz x z x z x y xyz x z xyz ⎡⎤----+---⎣⎦，其中x=﹣1，y=2，z=-3【练习4】已知a=3b ，c=5a ，求5a b c a b c+++-的值【练习5】已知2xy x y =+，求代数式3533x xy y x xy y-+-+-的值。

第3讲代数式与整式(含因式分解)复习课件

A.x（x2－4x）
B.x（x＋4）（x－4）
C.x（x＋2）（x－2）
D.x（x2－4）
11.[2023省卷11题]因式分解：ax2－2ax＋a＝ a（x－1）2 .
12.[2023兰州13题]因式分解：x2－25y2＝（x＋5y）（x－5y）
13.[2021省卷11题]分解因式：4m－2m2＝ 2m（2－m） .
A.－2
B.－1
C.2
D.3
答题模板
示范题：计算：（a－3b）（a＋3b）＋（a－3b）2.
第一步：展开完全平方式与平方差公式
解：原式＝_____________________________
a2－（3b）2＋（a2－6ab＋9b2
）
第二步：乘方计算与去括号
＝_______________________
1
例：若x＝ 2 ，则代数
5
式－x2－1＝－ 4
例：若6y2－3y＋5＝14
，则代数式2y2－y＋1
＝4
考点 2
整式的相关概念
由数与字母的① 乘积组成的代数式叫做单项式（单独的一个数
单概念
或一个字母也是单项式）
项
系数单项式中的② 数字因数
式
次数单项式中所有字母的指数的③_____
和
概念几个单项式的④ 和叫做多项式
第3讲
代数式与整式
（含因式分解）
考点 1
概念
代数式
用基本运算符号连接数和字母组成的式子叫做代数式，单独的一个数
或字母也是代数式.
直接
代数
式求
值
代入法
把已知字母的值直接代入
利用提公因式法、平方差公式、完全

第3讲整式

4a－ b 2
答案：D
1 10．若 x＝1，y＝，则 x2＋4xy＋4y2 的值是( 2 A．2 B．4 3 1 C. D. 2 2
2 2 2
)
1 【解析】x ＋4xy＋4y ＝(x＋2y) ，当 x＝1，y＝时，原 2 12 式＝(1＋2× ) ＝(1＋1)2＝22＝4. 2
答案：B
11．(2012· 苏州)若3×9m×27m＝321，则m的值是(
【解答】(1)D
(2)A (3)B (4)C
例 3(2012· 山西)先化简，再求值． (2x＋3)(2x－3)－4x(x－1)＋(x－2)2，其中 x＝－ 3.
【点拨】本题考查利用平方差公式和完全平方公式进行整式的化简求值．
【解答】原式＝4x2－9－4x2＋4x＋x2－4x＋4＝x2－5. 当 x＝－ 3时，原式＝(－ 3)2－5＝3－5＝－2.
A．3 B．4 C．5 D．6
)
【解析】3×9m×27m＝3×32m×33m＝35m＋1＝321，得m ＝4. 答案：B
12．(2012· 南通)已知x2 ＋16x＋k是完全平方式，则常数k等于( ) A．64 B．48 C．32 D．16
【解析】∵16x＝2×x×8，∴这两个数是x、8，
∴k＝82＝64. 答案：A
3．因式分解的一般步骤 (1)一提：如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式； (2)二用：如果各项没有公因式，那么可以尝试运用公式法来分解； (3)三查：因式分解必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止．
例 1(1)(2012· 广州)下面的计算正确的是( ) A．6a－5a＝1 B．a＋2a2＝3a3 C．－(a－b)＝－a＋b D．2(a＋b)＝2a＋b (2)(2012· 吉林)下列计算正确的是( ) A．3a－a＝2 B．a2＋2a2＝3a2 C．a2·3＝a6 D．(a＋b)2＝a2＋b2 a (3)(2012· 杭州)下列计算正确的是( ) A．(－p2q)3＝－p5q3 B．(12a2b3c)÷ (6ab2)＝2ab C．3m2÷ (3m－1)＝m－3m2 D．(x2－4x)x－1＝x－4 (4)(2012· 南京)计算(a2)3÷ 2)2 的结果是( (a ) A．a B．a2 C．a3 D．a4

整式及因式分解

整式的除
法
乘法公式
把系数与同底数幂分别相除，作为商
单项式除以单的因式，对于只在被除式里含有的字
项式
母，则连同它的指数作为商的一个因
式
多项式除以单先把这个多项式的每一项分别除以这
项式
个单项式，然后把所得的商相加
平方差公式
(a＋b)(a－b)＝__a_2－__b_2__
完全平方公式
(a±b)2＝a_2_±__2a_b_＋__b2
y)，(y－x)2＝(x－y)2。 (3)应用公式法因式分解时，要牢记平方差公式
和完全平方式及其特点。
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第3讲┃整式及因式分解
► 探究四整式运算与因式分解的应用命题角度：
1．整式的规律性问题；
2．利用整式验证公式或等式；
3．新定义运算；
4．利用因式分解进行计算与化简；
整式的
单项式与多项式相乘
就是用单项式去乘多项式的每一项，再把
所得的积相加，即m(a＋b＋c)＝ma＋mb ＋mc
乘
法
多项式与多项式相乘
先用一个多项式的每一项乘另一个多项式
的每一项，再把所得的积相加，即(m＋ n)(a＋b)＝ma ＋mb＋na＋nb
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第3讲┃整式及因式分解
同底数幂的乘法法则计算得到结果；C.原式不能合并；D.利
用积的乘方运算法则计算得到结果．
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第3讲┃整式及因式分解
例 3 [2013·娄底] 先化简，再求值：
(x＋y)(x－y)－(4x3y－8xy3)÷2xy，其中

竞赛讲座(整式的恒等变形)

竞赛讲座(整式的恒等变形)一、知识要点1、整式的恒等变形把一个整式通过运算变换成另一个与它恒等的整式叫做整式的恒等变形2、整式的四则运算整式的四则运算是指整式的加、减、乘、除，熟练掌握整式的四则运算，善于将一个整式变换成另一个与它恒等的整式，可以解决许多复杂的代数问题，是进一步学习数学的基础。

3、乘法公式乘法公式是进行整式恒等变形的重要工具，最常用的乘法公式有以下几条：①(a+b) (a-b)=a2-b2②(a±b)2=a2±2ab+b2③ (a+b) (a2-ab+b2)=a3+b3④ (a-b) (a2+ab+b2)=a3-b3⑤ (a+b+c)2= a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca⑥ (a+b+c) (a2+b2+c2-ab-bc-ca)= a3+b3+c3-3abc⑦(a±b)3= a3±3a2b+3a b2±b34、整式的整除如果一个整式除以另一个整式的余式为零，就说这个整式能被另一个整式整除，也可说除式能整除被除式。

5、余数定理多项式()x f除以 (x-a) 所得的余数等于()a f。

特别地:()a f=0时，多项式()x f能被(x-a) 整除二、例题精讲例1在数1，2，3，…，1998前添符号“+”和“-”并依次运算，所得可能的最小非负数是多少？分析要得最小非负数，必须通过合理的添符号来产生尽可能多的“0”解因1+2+3+ (1998)()19999992199811998⨯=+⨯是一个奇数，又在1，2，3，…，1998前添符号“+”和“-”，并不改变其代数和的奇偶数，故所得最小非负数不会小于1。

先考虑四个连续的自然数n、n+1、n+2、n+3之间如何添符号，使其代数和最小。

很明显 n-(n+1)-(n+2)+(n+3)=0所以我们将1，2，3，…，1998中每相邻四个分成一组，再按上述方法添符号，即(-1+2)+(3-4-5+6)+ (7-8-9+10)+…+ (1995-1996-1997+1998)= -1+2=1,例2计算 (2x3-x+6)•(3x2+5x-2)分析计算整式的乘法时，先逐项相乘(注意不重不漏)，再合并同类项，然后将所得的多项式按字母的降幂排列。

初中培优竞赛第3讲整式

一、选择题1.（4、5）（数学、初中数学竞赛、整式、绝对值、选择题）已知a，b，c都是整数，那么（）A.m一定是奇数B.m一定是偶数C.仅当a，b，c同奇或同偶时，m是偶数D.m的奇偶性不能确定分析：|a|与a的奇偶性相同，所以m 与同为偶数 .答案：B技巧：找准奇偶性的本质，从本质入手，化简式子，从而方便判断.本题也可以按奇偶性分类讨论.易错点：容易陷入讨论的误区，被绝对值迷惑导致出错.2. （1、2）（数学、初中数学竞赛、整式、高次方程、代数式、选择题）若，则的值是（）A. 1B. 0C -1 D. 2分析：由得，所以答案：C技巧：将条件进行提公因式解出，就非常方便求解了.3. (3、4)（数学、初中数学竞赛、整式、高次方程、代数式、选择题）已知，m≠n，则的值为（）A . 1B . 0C . -1D . -2分析：=-2.答案：D技巧：本题关键在于将条件和所求代数式进行处理化简，最终求解. 易错点：在化简和变形的时候容易出错.二、填空题4. （1、2）（数学、初中数学竞赛、整式、高次方程、代数式、填空题）设,则 m3 +2m2 +1997 =分析：m3 +2m2 +1997=+1997 ,因为答案：1998.技巧：特殊观察，将条件和所求都变形，从而求解.易错点:代数式变形时不要出错.5. (3、4)（数学、初中数学竞赛、整式、高次方程、代数式、填空题）当时，多项式的值是0，则多项式分析：通过变形发现，.而答案：5 .技巧：将条件进行变形就能集体代入求解.易错点：代入变形时易出错.6. (3、4)（数学、初中数学竞赛、整式、高次方程、代数式、填空题）已知m，n互为相反数，a，b互为负倒数，x的绝对值等于3，则分析：由题意知m+n=0, ab=-1 , χ=±3 , 代入就可以求解.详解:==26或-28技巧:这类题直接把条件列出来代入到式中,结果基本就出来了.易错点:容易出现遗漏的情况.7.如果，那么8.（2006年四川省竞赛题）设a 1，a2，…，a k，为k个不相同的正整数，且，则k的最大值为9.（2001年重庆市竞赛题）若，则10.（1999年江苏省竞赛题）已知a，b，c，d是四个不同的有理数，且，则11.（2006年全国初中数学竞赛题）已知a，b，c为整数，且.若.则a+b+c的最大值为三、解答题12.(3、4) （数学、初中数学竞赛、整式、高次方程、解答题）已知且求m的值.分析：因为所以.代入求解 . 详解： . 由得，即答：m的值为.技巧：在于将题目中的条件进行灵活变形，然后代入求解.易错点：代数式变形时不要出错.13. (3、4) （数学、初中数学竞赛、整式、方程、解答题）已知m，n为自然数，且满足，求m, n的值.分析：依题意得，而m，n为自然数，故，最后求解.详解：，而m，n为自然数，故，解得：m=83, n=84. 答：m、n的值分别为83、84.技巧：利用平方差公式展开，很方便解决.易错点：将167拆分的时候容易出错.14. (3、4) （数学、初中数学竞赛、整式、方程、解答题）已知，求(a-b-c) - (a+b-c)-（-a-b+c）的值 .分析:因为同理可求代入求解.详解：因为同理可求技巧：将a、b、c进行化简，然后代入求解.易错点：化简、代入求值时，都要谨防出错.15.（第8届希望杯竞赛题）已知a是实数，且，求17.（第13届迎春杯竞赛题）已知当时，.求当时，代数式的值.18.（天津市竞赛题）数码不同的两位数，将其数码顺序交换后得到一个新的两位数，这两个两位数的平方差是完全平方数，求所有这样的两位数，答案与解析1.B |a|与a的奇偶性相同，所以m与同为偶数 .2.C 由得，所以3.D4. 19985.5 因为.所以6. 26或- 28 .原式或8. 62 设，要使k最大，则需使前面的a i（i=l，2，…，k-l）尽量小，于是取以a1=1为首的连续m个正整数相加，得，即4010.经验证.故当9.2 因为，所以而a显然不等于0，所以0，即所以10.11. 5013 由得.因为，a为整数，所以a的最大值为1002.于是，a+b+c的最大值为5013 12.因为所以.由得，即13.依题意得，而m，n为自然数，故，所以14.因为同理可求15.由已知得（a+1）3+1=0,所以a+1=-1，所以(a+1)1996+(a+1)1997+ (a+1)1998=1 16．9996+9986+999=9992-9982999+998=199717.当时，，所以.当时，18.设所求两位数为，由已知得（k为整数），得.而，得或所以或.所以这样的两位数为65或56.。

初中培优竞赛含详细解析第3讲整式

初中数学竞赛专题3——整式（1）1.（4、5）（数学、初中、竞赛、初中竞赛、数学竞赛、初中数学竞赛、整式、绝对值、选择题）【标准答案】1#0#1#4#B已知a，b，c都是整数，m=|a+b|+|b−c|+|a−c|，那么（）A. m一定是奇数 B. m一定是偶数C. 仅当a，b，c同奇或同偶时，m是偶数D. m的奇偶性不能确定【分析】|a|与a的奇偶性相同，所以m与(a+b)+(b−c)+(a−c)=2(a+b−c)同为偶数.【答案】B【技巧】把握奇偶性与绝对值的关系，从本质入手进行判断. 本题也可以按各数的奇偶性来分类讨论最后整合.【易错点】分类讨论时容易遗漏可能出现的情况而导致出错.2. （1、2）（数学、初中、竞赛、初中竞赛、数学竞赛、初中数学竞赛、整式、高次方程、代数式、选择题）【标准答案】2#0#1#4#C若x3+x2+x+1=0，则 x−27+x−26+⋯+x−1+1+x+⋯+x26+x27的值是（）A. 1 B. 0 C. -1 D. 2【分析】由x3+x2+x+1=0得x2+1x+1=0，由于x2+1>0，故x=−1，所以x−27+x−26+⋯+x−1+1+x+⋯+x26+x27=−1 .【答案】C【技巧】根据题目所给等式求出x的值，再代值计算.【易错点】将x=-1代入时，一定注意-1的奇数次方和偶数次方的个数，否则易错.3. (3、4)（数学、初中、竞赛、初中竞赛、数学竞赛、初中数学竞赛、整式、高次方程、代数式、选择题）【标准答案】3#0#1#4#D已知m2=n+2,n2=m+2，m≠n，则m3−2mn+n3的值为（）A. 1B. 0C. -1D. -2【分析】两式相减得m2−n2=n−m=m+n m−n，因为m≠n，所以m+n=−1.m3−2mn+n3=n+2m−2mn+m+2n=2m+n=−2.【答案】D【技巧】利用条件等式进行降次处理，逐步求值.4. （1、2）（数学、初中、竞赛、初中竞赛、数学竞赛、初中数学竞赛、整式、高次方程、代数式、填空题）【标准答案】4#0#4#1998设m2+m−1=0，则m3+2m2+1997=_______.【分析】因为m2+m−1=0，所以m2+m=1 .则m3+2m2+1997=m m2+m+m+1997=m1+m+1997=m2+m+1997=1998.【答案】1998【技巧】运用整体代换进行降次求值.5. (3、4)（数学、初中、竞赛、初中竞赛、数学竞赛、初中数学竞赛、整式、高次方程、代数式、填空题）【标准答案】5#0#4#5当m=2n 时，多项式am3+bm+1的值是0，则多项式4an3+bn+512= _________.【分析】依题意得 a(2n)3+b2n+1=8an3+2bn+1=0 ，故4an3+bn=−12. 则4an3+bn+512=−12+512=5 .【答案】5【技巧】整体代换求解是整式求值常用的技巧和方法.6. (3、4)（数学、初中、竞赛、初中竞赛、数学竞赛、初中数学竞赛、整式、高次方程、代数式、填空题）【标准答案】6#0#4#26#-28已知m，n互为相反数，a，b互为负倒数，x的绝对值等于3，则x3−(1+m+n+ab)x2+(m+ n)x2004+(ab)2005= ________.【分析】由条件可得m+n=0, ab=-1 , x=±3 , 代入就可以求解.【详解】由题意知m+n=0, ab=-1 , x=±3 ,∴ x3−1+m+n+ab x2+m+n x2004+ab2005= x3−1 = 26或-28 .【技巧】根据相反数、倒数、绝对值等相关知识列式代值计算.7.(3、4) （数学、初中、竞赛、初中竞赛、数学竞赛、初中数学竞赛、整式、高次方程、解答题）【标准答案】7#0#0已知a2+4a+1=0，且a4−ma2+I2a3+ma2+2a= 3，求m的值.【分析】因为a2+4a+1=0 ,所以a4+1=(a2+1)2−2a2=14a2. 代入求解. 【详解】由a2+4a+1=0得a2+1=−4a ,则a4+1=(a2+1)2−2a2=14a2.由a4−m22+12a3+mx2+2a= 3得(14−m)a2=3[2a(a2+1)+ma2]，即14−m=3m−8，m=192⋅【技巧】在于将题目中的条件进行灵活变形，然后代入求解.【易错点】代数式变形时不要出错.8. (3、4) （数学、初中、竞赛、初中竞赛、数学竞赛、初中数学竞赛、整式、方程、解答题）【标准答案】8#0#0已知m，n为自然数，且满足12+92+92+22+m2=n2，求m, n的值.【分析】依题意得(n+m)(n−m)=167=1×167，而m，n为自然数，故n+m=167, n−m=1，最后求解.【详解】(n+m)(n−m)=167=1×167，而m，n为自然数，故n+m=167,n−m=1，解得：m=83, n=84. 答：m、n的值分别为83、84.【技巧】利用平方差公式展开，很方便解决.【易错点】将167拆分的时候容易出错.9. (3、4) （数学、初中、竞赛、初中竞赛、数学竞赛、初中数学竞赛、整式、方程、解答题）【标准答案】9#0#0已知a=19992−199919982+1998,b=20002−200019992+1999,c=20012−200120002+2000，求(a-b-c) - (a+b-c)-（-a-b+c）的值.【分析】因为a=19992−19991998+1998.=19991999−119981998+1=1，同理可求b=1，c=1，代入求解.【详解】因为a=19992−19991998+1998.=19991999−119981998+1=1，同理可求b=1，c=1，所以a−b−c−a+b−c—a−b+c=1−1−1−1+1−1—1−1+1=−1−1+1=−1【技巧】将a、b、c进行化简，然后代入求解. 【易错点】化简、代入求值时，都要谨防出错.。

第三讲整式

【对点训练】 4.(2012·湛江中考)下列运算中，正确的是( (A)3a2-a2=2 (C)a3·a6=a9 (B)(a2)3=a5 (D)(2a2)2=2a4 )
【解析】选C.3a2-a2=2a2;(a2)3=a6;(2a2)2=4a4,所以A，B，D错误.
5.(2011·连云港中考)计算(x＋2)2的结果为x2＋□x＋4，则
【解析】多项式2x2-3x+5含3个单项式，次数最高项2x2的次数
为2，所以是二次三项式.
答案：二三
幂的运算与乘法公式 ◆中考指数：★★★★★ 1.幂的运算的四种技巧 (1)幂的乘法转化为指数的加法运算； (2)幂的乘方转化为指数的乘法运算； (3)幂的除法运算转化为指数的减法运算； (4)幂的运算法则既可以正用，也可以逆用. 2.乘法公式的运用在乘法公式中，a，b既可以是单项式，也可以是多项式.
2
x2-4y2 3.(x+2y)(x-2y)=________. x-2xy+xy2 4.x(1-y)2=__________.
四、整式的混合运算乘方乘除运算顺序：先_____，后______，再______，有括号的先算括加减号里面的,同时应注意运算律的运用.
【即时应用】 6x+5 1.(x+3)2+(x+2)(x-2)-2x2=_____. x2-y2 2.(x-y)2+2y(x-y)=_______.
(3)(a+b+c)(a+b-c)=(a+b)2-c2;
(4)(a+b+c)(a-b-c)=a2-(b+c)2.
【创新命题】探索规律题【例】(2011·徐州中考)如图，每个图案都由若干个棋子摆成，按照此规律，第n个图案中棋子的总个数可用含n的代数式表示为____.

第3讲整式

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2.检查一个多项式分解是否彻底时，要注意以下几个方面：（1）每一个多项式都不能再分解；（2）重因式的乘积写成幂的形式；（3）不能
含有多重括号.
另外，注意书写最后结果时，单项式要写在多项式的前面.可以用整式乘法来检验因式分解的结果是否正确.
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B．(－2a)2＝－2a2
D．－2(a－1)＝－2a－1
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(3)题均从四个方面考查整式的运算，解答此题需要逐项检验．【解答】(1)B (2)C (3)A
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【点拨】(1)题考查幂的四种运算，正确掌握运算法则是关键；(2)、
(1)(2010·红河自治州)如果3x2n－1ym与－5xmy3是同类项，则m和
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考查平方差公式和完全平方公式的特征．
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【点拨】(1)、(4)、(5)考查分解因式的一般步骤及检验；(2)、(3)
【解答】(1)D (2)C (3)D (4)2(2a＋1)(2a－1) (5)－3(x－y)2 方法总结 1.当多项式是二项式，且该二项式又可看作某两项平方的差时，可用
n的取值是(
)
A．3和－2
C．3和2
B．－3和2
D．－3和－2
(2)(2011·北京)已知a2＋2ab＋b2＝0，求代数式a(a＋4b)－(a＋ 2b)(a－2b)的值．
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【点拨】(1)题考查同类项概念和二元一次方程组的解法，由题意 2n－1＝m， m＝3，得解得 m＝3， n＝2. (2)①括号前是负号，去括号时要注意改变符号．如－(a －4b )应 2 2 2 2 等于－a ＋4b ，不能化成－a －4b . ②利用整体代入求值的方法求代数式的值，体现了整体思想．

七年级数学上册 3.3 整式课件3 (新版)北师大版PPT

例指出下列多项式的项和次数
（1）a3–a2b+ab2 –b2；（2）3n4 –2n2+1
解：（1）多项式a3–a2b+ab2 –b2的项有： a3 ， –a2b ， ab2 ， –b2 ，多项式中每一项的次数都是3，所以多项式的次数是3。
（2）多项式3n4 –2n2+1的项有： 3n4 ， –2n2 ， 1 ，多项式中第一项的次数是4，第二项的次数是2，第三项的次数是0，所以这个多项式的次数是4。
常数项：在多项3x式2 中次，数不是含2 字母的项。
例们三如是项，，中多3次x项2数，式最－3高－x522x－项2，x2是x5次次+，第5数数其一中是是中项，015，它是是含常2有数次三项，项．所，它
多项以式这的是项个式二：一次个三多项项式式。含有几项，就叫做几项式。
多项式的次数：多项式里，次数最高项的次数，就是这个多项式的次数。
能力训练：比一比，看谁最聪明？
8
4
–3
（1）求多项式中各项的系数和次数；解各：项各次项数系分数别分为别：为（：2a+–15），+214=2，a+133，3+3=6，4+1=5 （2）若多项式是七次三项式，求a的值。
解：根据题意得：2a+3=7，解得a=2
练习：•指出下列各式哪些是单项式, 哪些是多项式？
单项式
（包括前面符号）
（数与字母
整的乘积）
次数：单项式中所有字母的指数和
式
项：多项式中每一个单项式
多项式
（几个单项
次数：多项式中次数最高项的次数
式的和） n次n项式
作业：P5 习题1.1 知识技能 1,2 课外练习:P5 问题解决1,2,3

专题03整式(精讲)

攻略3若数字因数是带分数，要化成假分数，如；
攻略4式子中出现除法时，写成分数的形式，如．
攻略5单项式中不含加减运算，只含乘法和数字作分母的除法运算，分母中有字母的不是单项式．
攻略6字母的指数是1时，指数省略不写，如y的指数是1而不是0．
攻略7多项式的每一项都包括它前面的符号．
攻略8多项式的项数是指多项式中所包含的单项式的个数．
由图可知：甲与乙重叠的部分长度+乙与丙重叠的部分长度＝乙的长度，
∴（a﹣x﹣2）+（a﹣y﹣3）＝a，
a﹣x﹣2+a﹣y﹣3＝a，
a+a﹣a＝x+y+2+3，
a＝x+y+5，
∴乙的长度为：（x+y+5）m．
故选：A．
3．（2022春•桓台县期末）某商品每次降价20%，连续两次降价后的价格为m元，则原价为（）
A．（x+y+5）mB．（x﹣y+5）mC．（2x+y﹣5）mD．（x+2y﹣5）m
【答案】解：设乙的长度为am，
∵乙的长度最长且甲、乙的长度相差xm，乙、丙的长度相差ym，
∴甲的长度为：（a﹣x）m；丙的长度为：（a﹣y）m，
∴甲与乙重叠的部分长度为：（a﹣x﹣2）m；乙与丙重叠的部分长度为：（a﹣y﹣3）m，
（4）若运算结果为加减的式子，当后面有单位时，要用括号把整个式子括起来。
攻略1数字与字母或字母与字母相乘时，乘号通常省略不写或写成“·”，而且数字要写在字母的前面，如5×a可以写成5·a或5a，但数字与数字相乘时仍用“×”；
攻略2数字因数是1或–1时，“1”省略不写，如1×ab写成ab，–1×ab写成–ab；

第3讲整式及其运算

【点评】 (1)幂的运算法则是进行整式乘除法的基础，要熟练掌握，解题时要明确运算的类型，正确运用法则； (2)在运算的过程中，一定要注意指数、系数和符号的处理．
[对应训练] 3．(1)(2015· B．(x2)3＝x5 C．2a6÷a3＝2a2 D．x3·x2＝x5 1 (2)(2014· 随州)计算(－2xy2)3，结果正确的是( B ) 1 A.4x2y4 1 B．－8x3y6 1 C.8x3y6 1 3 5 D．－8x y
5．(2015·日照)观察下列各式及其展开式： (a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 (a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3
(a＋b)4＝a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4
(a＋b)5＝a5＋5a4b＋10a3b2＋10a2b3＋5ab4＋b5 „
请你猜想(a＋b)10的展开式第三项的系数是( B )
am－n am÷an＝____
6．整式乘法
单项式乘以单项式单项式乘以多项式多项式乘以多项式
把系数、同底数幂分别相乘作为积的因式，只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数一起作为积的一个因式用单项式分别去乘以多项式的每一项，再把所得的积 ma＋mb 相加，即m(a＋b)＝____ 用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，即(m＋n)(a＋b)＝ ma＋mb＋na＋nb
试题计算①x3· x5；②x4· x4；③(am＋1)2；④(－2a2· b)2；⑤(m－ n)6÷(n－m)3. 错解 ①x3· x5＝x3×5＝x15；②x4· x4＝2x4；③(am＋1)2＝a2m＋1；④( －2a2· b)2＝－22a4b2；⑤(m－n)6÷(n－m)3＝(m－n)6－3＝(m－n)3. 剖析幂的四种运算(同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方、同底数幂相除)是学习整式乘除的基础，对幂运算的性质理解不深刻，记忆不牢固，往往会出现这样或那样的错误．针对具体问题要分清问题所对应的基本形式，以便合理运用法则，对符号的处理，应特别引起重视．正解 ①x3· x5＝x3＋5＝x8；②x4· x4＝x4＋4＝x8；③(am＋1)2＝a(m＋ 1)×2＝a2m＋2；④(－2a2· b)2＝(－2)2a4b2＝4a4b2；⑤(m－n)6÷(n－m)3 ＝(n－m)6÷(n－m)3＝(n－m)3

整式讲义

金钥匙教育学科教师辅导年级：初一辅导科目：数学课时数： 3课题整式教学目的1、理解单项式及单项式系数、次数的概念；准确迅速地确定一个单项式的系数和次数。

2、理解多项式及多项式项、次数以及整式的概念，并会找出多项式的项、次数；确区分单项式及多项式；3、会把一个多项式按某个字母降幂排列或升幂排列.4、培养学生的观察——分析和归纳——概括能力.教学内容回忆知识点1、单项式的定义？单个的数字和字母是单项式吗？2、什么单项式的系数、单项式的次数？单项式的定义多项式单项式整式单项式的次数单项式的系数整式的定义多项式的的次多项式的常数多项式的项多项式的定义知识梳理代数式的定义：用运算符号和括号把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式. 用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果，叫做代数式的值.：单项式中数字因数叫单项式的系数；：单项式中所有字母的指数的和叫单项式的次数；3、多项式的定义？几个单项式的和叫做多项式；4、什么叫做多项式的项、多项式的常数项、多项式的次数？：多项式中每个单项式叫做多项式的项；：多项式中不含字母的项叫做常数项；：多项式中次数最高项的次数叫做多项式的项；5、整式的定义？：单项式和多项式统称整式。

潇洒学数学1. 当单项式的系数是1或-1时，“1”通常省略不写。

2．圆周率π是常数。

3.当单项式的系数是带分数时，通常写成假分数。

4.单项式的系数应包括它前面的性质符号。

规定：单独一个非零数的次数是0。

00是没意义的1、同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项。

几个常数项也是同类项。

2、合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。

3、合并同类项法则：(一变两不变)把同类项的系数相加，字母和字母的指数保持不变。

注意：(1) 合并的前提是同类项。

(2) 合并指的是系数相加，字母和字母的指数保持不变。

(3) 合并同类项的根据是加法交换律、结合律以及分配律。

(中考冲刺)2017版数学大课堂：第3课《整式》名师精讲ppt课件MMnUAK

知识清单
知识点一
整式的相关概念
单项式
多项式整式同类项
概念
由数与字母的乘积组成的代数式叫做单项式(单独的一个数或一个字母也是单项式).
系数单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数.
次数单项式中的所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数.
概念几个单项式的和叫做多项式.
项多项式中的每个单项式叫做多项式的项.
A．8a﹣a=8
B．（﹣a）4=a4
C．a3•a2=a6
D．（a﹣b）2=a2﹣b2
一分耕耘一分收获
7．（2015•佛山）若（x+2）（x﹣1）=x2+mx+n，则m+n=
（C ）
A．1
B．﹣2
C．﹣1
D．2
8．（2016•怀化）下列计算正确的是（ C ）
A．（x+y）2=x2+y2 B．（x﹣y）2=x2﹣2xy﹣y2 C．（x+1）（x﹣1）=x2﹣1 D．（x﹣1）2=x2﹣1
【变式5】（2014•广东）把x3﹣9x分解因式，结果正确的是（ D ） A．x（x2﹣9） B．x（x﹣3）2 C．x（x+3）2 D．x（x+3）（x﹣3）【变式6】（2016•广东）分解因式：m²﹣4= （m+2）(m﹣2）.
一分耕耘一分收获
中考冲刺
一、选择题
1．（2016•福州）下列算式中，结果等于a6的是
三、解答题
16．（2016•长春）先化简，再求值：(a +2)(a - 2) +a(4 - a) ，其中a= 1 ．
4
解：原式=a2﹣4+4a﹣a2
=4a﹣4，
当a= 1 时，原式= 4 1=﹣4 3．

初一寒假第3讲整式的概念

初一寒假第三讲整式（一）知识点1、代数式：（1）用基本的运算符号（加、减、乘、除、乘方等）把数或表示数的字母连结而成的式子叫做代数式。

（2）注意：单独的一个数或字母也是代数式。

2、整式：单项式和多项式统称为整式3、单项式：（1）单项式：像2a -，2πr ，213x y -，abc -，237x yz ，…，这些代数式中，都是数字与字母的积，这样的代数式称为单项式。

（2）单项式的次数：是指单项式中所有字母的指数和。

（3）单项式的系数：单项式中的数字因数叫做单项数的系数。

4、多项式：（1）多项式：几个单项式的和叫做多项式。

（2）多项式的项：其中每个单项式都是该多项式的一个项。

（3）多项式的次数：多项式里，次数最高项的次数就是这个多项式的次数。

（4）多项式的升幂和降幂排列：把一个多项式的各项按某个字母的指数从小到大（或从大到小）排列起来，叫做按这个字母的升幂排列（或降幂排列）.注意：多项式计算的最后结果一般应该进行升幂（或降幂）排列.5、同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的单项式叫做同类项。

（二）例题类型一、整式例1、下列代数式：（1）mn，（2）m，（3），（4），（5）2m+1，（6），（7），（8）x2+2x+，（9）y3﹣5y+中，整式有（）A．3个B．4个C．6个D．7个类型二、单项式与多项式例2、下列关于单项式﹣的说法中，正确的是（）A．系数是﹣，次数是2 B．系数是，次数是2C．系数是﹣3，次数是3 D．系数是﹣，次数是3例3、多项式1+2xy﹣3xy2的次数为（）A．1 B．2 C．3 D．5例4、观察下列一串单项式的特点：xy，﹣2x2y，4x3y，﹣8x4y，16x5y，…（1）按此规律写出第9个单项式；（2）试猜想第n个单项式为多少？它的系数和次数分别是多少？例5、多项式x5y2+2x4y3﹣3x2y2﹣4xy是（）A．按x的升幂排列B．按x的降幂排列C．按y的升幂排列D．按y的降幂排列类型三、同类项例6、按某种标准把多项式进行分类时，3x3﹣4和a2b+ab2+1属于同一类，则下列哪一个多项式也属于此类（）A．abc﹣1 B．x2﹣2 C．3x2+2xy4D．m2+2mn+n2例7、已知关于x的多项式3x4﹣（m+5）x3+（n﹣1）x2﹣5x+3不含x3和x2，则（）A．m=﹣5，n=﹣1 B．m=5，n=1 C．m=﹣5，n=1 D．m=5，n=﹣1（三）练习题基础题1、下列代数式：（1）﹣mn，（2）m，（3），（4），（5）2m+1，（6），（7），（8）x2+2x+中，整式有（）A．3个B．4个C．6个D．7个2、下列各式﹣mn，m，8，，x2+2x+6，，，中，整式有（）A．3个B．4个C．6个D．7个3、如果单项式2a n b2c是六次单项式，那么n的值取（）A．6 B．5 C．4 D．34、一组按规律排列的式子：a2，，，，…，则第2016个式子是（）A．B．C．D．5、代数式3x2y﹣4x3y2﹣5xy3﹣1按x的升幂排列，正确的是（）A．﹣4x3y2+3x2y﹣5xy3﹣1 B．﹣5xy3+3x2y﹣4x3y2﹣1C．﹣1+3x2y﹣4x3y2﹣5xy3 D．﹣1﹣5xy3+3x2y﹣4x3y26、下列单项式中，与a2b是同类项的是（）A．2a2b B．a2b2C．ab2D．3ab7、若﹣x3y a与x b y是同类项，则a+b的值为（）A．2 B．3 C．4 D．58、已知单项式﹣2x2y的系数和次数分别是a，b．（1）求a b﹣ab的值；（2）若|m|+m=0，求|b﹣m|﹣|a+m|的值．9、观察下列各式：﹣a，a2，﹣a3，a4，﹣a5，a6，…（1）写出第2014个和2015个单项式；（2）写出第n个单项式．10、若关于x、y的多项式x2y﹣（a﹣4）x2+（8b﹣a+2）xy+3x﹣2y﹣7不含二次项，则a101•（﹣b）100的值为多少？11、已知多项式（3﹣b）x5+x a+x﹣6是关于x的二次三项式，求a2﹣b2的值．12、已知﹣4xy n+1与是同类项，求2m+n的值．13、将多项式2a3+a2b﹣b3﹣5ab2按字母b的降幂排列是（）A．2a3﹣b3﹣5ab2+a2b B．a2b﹣b3﹣5ab2+2a3C．﹣b3﹣5ab2+a2b+2a3D．﹣b3+a2b﹣5ab2+2a314、m，n都是正数，多项式x m+x n+3x m+n的次数是（）A．2m+2n B．m或nC．m+n D．m，n中的较大数15、若2x2m y3与﹣5xy2n是同类项，则|m﹣n|的值是（）A．0 B．1 C．7 D．﹣1提高题1．观察一列单项式：1x，3x2，5x2，7x，9x2，11x2，…，则第2013个单项式是．2．如图是有关x的代数式的方阵，若第10行第2项的值为1034，则此时x的值为．3．下列式子：x2+2，+4，0，，，中，整式有个．4．代数式﹣的系数是．5．已知：A=ax2+x﹣1，B=3x2﹣2x+1（a为常数）①若A与B的和中不含x2项，则a=；②在①的基础上化简：B﹣2A．6．已知﹣5x3y|a|﹣（a﹣4）x﹣6是关于x、y的七次三项式，求a2﹣2a+1的值．7．请你做评委：在一堂数学活动课上，同在一合作学习小组的小明、小丁、小彭对刚学过的知识发表了自己的一些感受：小明说：“绝对值不大于4的整数有7个．”小丁说：“若|a|=3，|b|=2，则a+b的值为5或1．”小彭说：“单项式的系数是﹣2，多项式﹣2x+x2y+y3是三次三项式．”你觉得他们的说法正确吗？如不正确，请帮他们修正，写出正确的说法．8．已知多项式（2mx2﹣x2+3x+1）﹣（5x2﹣4y2+3x），是否存在m，使此多项式与x无关？若不存在，说明理由；若存在，求出m的值．9．对于多项式（n﹣1）x m+2﹣3x2+2x（其中m是大于﹣2的整数）．（1）若n=2，且该多项式是关于x的三次三项式，求m的值；（2）若该多项式是关于x的二次单项式，求m，n的值；（3）若该多项式是关于x的二次二项式，则m，n要满足什么条件？10．已知单项式是同类项，求代数式2x﹣7y的值．11．如果﹣a|m﹣3|b与是同类项，且m、n互为负倒数．求：n﹣mn﹣m的值．12、已知关于x、y的多项式mx2+4xy﹣x﹣3x2+2nxy﹣4y合并后不含有二次项，求n﹣m的值．13、如果单项式5mx a y与﹣5nx2a﹣3y是关于x、y的单项式，且它们是同类项．求（1）（7a﹣22）2013的值；（2）若5mx a y﹣5nx2a﹣3y=0，且xy≠0，求（5m﹣5n）2014的值．（四）答案例题答案：例1、【解答】解：根据整式的概念可知，整式有：（1）mn；（2）m；（3）；（5）2m+1；（6）；（8）x2+2x+．共6个．故选C．例2、【解答】解：单项式﹣的系数是：﹣，次数是3．故选D．例3、【解答】解：多项式1+2xy﹣3xy2的次数为3，故选C例4、【解答】解：（1）∵当n=1时，xy，当n=2时，﹣2x2y，当n=3时，4x3y，当n=4时，﹣8x4y，当n=5时，16x5y，∴第9个单项式是29﹣1x9y，即256x9y．（2）∴n为偶数时，单项式为负数．x的指数为n时，2的指数为n﹣1，∴当n为奇数时的单项式为2n﹣1x n y，该单项式为（﹣1）n+12n﹣1x n y它的系数是（﹣1）n+12n﹣1，次数是n+1．例5、【解答】解：按某一个字母的升幂排列是指按此字母的指数从小到大依次排列，降幂正好相反，常数项应放在最前面．多项式x5y2+2x4y3﹣3x2y2﹣4xy中，x的指数依次5、4、2、1；因此A不正确；y的指数依次是2、3、2、1，因此C、D不正确．故选B．例6、【解答】解：3x3﹣4和a2b+ab2+1属于同一类，都是3次多项式，A、abc﹣1是3次多项式，故本选项正确；B、x2﹣2是2次多项式，故本选项错误；C、3x2+2xy4是5次多项式，故本选项错误；D、m2+2mn+n2是2次多项式，故本选项错误．故选A．例7、【解答】解：因为多项式3x4﹣（m+5）x3+（n﹣1）x2﹣5x+3不含x3和x2．所以含x3和x2的单项式的系数应为0，即m+5=0，n﹣1=0，求得m=﹣5，n=1．故选C．基础题答案：1、【解答】解：整式的有：（1）﹣mn，（2）m，（3），（5）2m+1，（6），（8）x2+2x+，故选：C．2、【解答】解：整式有﹣mn，m，8，x2+2x+6，，，故选C3、【解答】解：∵单项式2a n b2c是六次单项式，∴n+2+1=6，解得：n=3，故n的值取3．故选：D．4、【解答】解：∵一组按规律排列的式子：a2，，，，…，∴第2016个式子是：，故选C．5、【解答】解：3x2y﹣4x3y2﹣5xy3﹣1的项是3x2y、﹣4x3y2、﹣5xy3、﹣1，按x的升幂排列为﹣1﹣5xy3+3x2y﹣4x3y2，故D正确；故选：D．6、【解答】解：A、2a2b与a2b所含字母相同，且相同字母的指数也相同，是同类项，故本选项正确；B、a2b2与a2b所含字母相同，但相同字母b的指数不相同，不是同类项，故本选项错误；C、ab2与a2b所含字母相同，但相同字母a的指数不相同，不是同类项，本选项错误；D、3ab与a2b所含字母相同，但相同字母a的指数不相同，不是同类项，本选项错误．故选A．7、【解答】解：∵﹣x3y a与x b y是同类项，∴a=1，b=3，则a+b=1+3=4．故选C．8、【解答】解：由题意，得a=﹣2，b=2+1=3．a b﹣ab=（﹣2）3﹣（﹣2）×3=﹣8+8=0；（2）由|m|+m=0，得m≤0．m≤﹣2时，|b﹣m|﹣|a+m|=b﹣m﹣（a﹣m）=b﹣a=3﹣（﹣2）=5；﹣2＜m≤0时，|b﹣m|﹣|a+m|=b﹣m﹣（m﹣a）=﹣2m+b+a=﹣2m+1．9、【解答】解：（1）由﹣a，a2，﹣a3，a4，﹣a5，a6，…可得第n项的表达式为（﹣1）n，所以第2014个单项式为，第2015个单项式为﹣．（2）由单项式的特点可得第n个单项式为（﹣1）n．10、【解答】解：∵不含二次项，∴a﹣4=0，8b﹣a+2=0，∴a=4，b=，∴a101•（﹣b）100=a100•a•b100=（ab）100•a=×4=4．11、【解答】解：由题意可知：关于x的多项式不能有5次项，且最高次数项为2，∴3﹣b=0，a=2，∴a=2，b=3，∴a2﹣b2=﹣512、【解答】解：由题意得：m=1，n+1=4，解得：m=1，n=3．∴2m+n=5．13、【解答】解：将多项式2a3+a2b﹣b3﹣5ab2按字母b的降幂排列为﹣b3﹣5ab2+a2b+2a3，故选C．14、【解答】解：∵m，n都是正数，∴m+n＞m，m+n＞n，∴m+n最大，∴多项式x m+x n+3x m+n的次数是m+n，故选C15、【解答】解：∵2x2m y3与﹣5xy2n是同类项，∴2m=1，2n=3，解得：m=，n=，∴|m﹣n|=|﹣|=1．故选：B．提高题答案：1．【解答】解：系数依次为1，3，5，7，9，11，…2n﹣1；x的指数依次是1，2，2，1，2，2，1，2，2，可见三个单项式一个循环，故可得第2013个单项式的系数为4025；∵=671，∴第2013个单项式指数为2，故可得第2013个单项式是4025x2．故答案为：4025x2．2．【解答】解：∵每一个式子的第二项是2n﹣1x+n，∴第10行第2项的值为29x+10=1034，解得x=2，故答案为2．3．【解答】解：整式有：x2+2，0，，共3个，故答案为3．4．【解答】解：根据单项式系数的定义，单项式的系数为﹣π3．5．【解答】解：①A+B=ax2+x﹣1+3x2﹣2x+1=（a+3）x2﹣x∵A与B的和中不含x2项，∴a+3=0，解得a=﹣3．②B﹣2A=3x2﹣2x+1﹣2×（﹣3x2+x﹣1）=3x2﹣2x+1+6x2﹣2x+2=9x2﹣4x+3．6．【解答】解：∵﹣5x3y|a|﹣（a﹣4）x﹣6是关于x、y的七次三项式，∴3+|a|=7，a﹣4≠0，解得：a=﹣4，故a2﹣2a+1=（a﹣1）2=25．7．【解答】解：小明的说法不正确，理由是绝对值不大于4的整数有9个，故小明说法错误；小丁说法错误，理由是|a|=3，|b|=2，得a=3或a=﹣3，b=2或b=﹣2，a+b=±5或a+b=±1，故小丁说法错误；小鹏说的单项式错误，理由是单项式的系数是﹣，小鹏说的多项式正确．8．【解答】解：（2mx2﹣x2+3x+1）﹣（5x2﹣4y2+3x）=2mx2﹣x2+3x+1﹣5x2+4y2﹣3x=（2m﹣1﹣5）x2+4y2+1=（2m﹣6）x2+4y2+1，当2m﹣6=0，即m=3时，此多项式为4y2+1，与x无关．因此存在m，使多项式（2mx2﹣x2+3x+1）﹣（5x2﹣4y2+3x），与x无关，m的值为3．9．【解答】解：（1）当n=2，且该多项式是关于x的三次三项式，故原式=x m+2﹣3x2+2x，m+2=3，解得：m=1，故m的值为：1；（2）若该多项式是关于x的二次单项式，则m+2=1，n﹣1=﹣2，解得：m=﹣1，n=﹣1；（3）若该多项式是关于x的二次二项式，①n﹣1=0，m为任意实数．则m，n要满足的条件是：n=1，m为任意实数；②当m=﹣1时，n≠﹣1，③m=0时，n≠4．10．【解答】解：由同类项定义得：2x﹣1=5，得x=3，2y=4，得y=2，把x=3，y=2代入2x﹣7y得：2x﹣7y=2×3﹣7×2=﹣8．11．【解答】解：∵﹣a|m﹣3|b与是同类项，∴|m﹣3|=1，|4n|=1，解得：m=4或2，n=，又∵m、n互为负倒数，∴m=4，n=﹣∴n﹣mn﹣m=﹣﹣（﹣1）﹣4=．12、【解答】解：mx2+4xy﹣x﹣3x2+2nxy﹣4y=（m﹣3）x2+（4+2n）xy﹣x﹣4y，∵合并后不含二次项，∴m﹣3=0，4+2n=0，∴m=3，n=﹣2，∴n﹣m=﹣2﹣3=﹣5．13、【解答】解：（1）由单项式5mx a y与﹣5nx2a﹣3y是关于x、y的单项式，且它们是同类项，得a=2a﹣3，解得a=3，（7a﹣22）2013=（7×3﹣22）2013=（﹣1）2013=﹣1；（2）由5mx a y﹣5nx2a﹣3y=0，且xy≠0，得5m﹣5n=0，解得m=n，（5m﹣5n）2014=02014=0．11。

第三讲实数整式

第三讲实数整式知识框架实数：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧⇒⇒≥⇒⎩⎨⎧≥⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧无理数的运算任何实数为偶数为奇数被开方数次根式被开方数（任何实数）立方根算术平方根）被开方数（平方根数）无理数（无限不循环小负分数正分数分数负整数正整数整数有理数实数N 0N N 00整式：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧≠=>≠=÷⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+±=±⇒±+±=±⇒+++++=++⇒+±=±⇒-=-+⇒⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧∙=⇒=⇒=∙⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧--=+-++=++⇒⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⇒⎩⎨⎧-+特殊值法系数法、补项法、求根法、待定凑数法、配方法、拆项法、分组分解法、十字相乘提公因式法、公式法、因式分解多项式除以单项式单项式除以单项式整式的出发都是正整数，并且，同底数幂的除法整式的除法立方和公式立方公式平方展开式完全平方公式平方差公式乘法公式多项式与多项式相乘单项式与多项式相乘单项式与单项式相乘整式的乘法是正整数积的乘方是正整数、幂的乘方是正整数、同底数幂的乘法整式的乘法先去括号，再加减整式的加减合并同类项同字母指数相同的项。

含有的字母相同，且相同类项整式的加减项的次数）多项式次数（次数最高、常数项项多项式次数系数单项式整式整式)0(1),0())((33)(222)(2)())(()()()()()()()()(0223332233222222222a a n m n m a a a a b ab a b a b a b ab b a a b a cabc ab c b a c b a b ab a b a b a b a b a m b a ab n m a a n m a a a c b a c b a c b a c b a e n m n m m m m mn n m n m n m π例1、如果164=a，且a a -=||，求a 25-的值．例2、已知x =,求22111,,x x x x x x +-+的值.例3、化简: ①②若1a <,化简(a -例4((2006200533(例5、化简2356102-++-例8. 计算)b b a a (ab a ab 2b a b 2a b 4a +÷+++---例9、若x>0,y>0，且)5(3)(y x y y x x +=+，求2x+xy+3y x+xy-y的值.◎基本考点一：用适当的方法分解因式：基本题型1----提公因式法【例1】① 3x n (1－x)+2(x n+1－x n ) ② (y －x) (a －b ＋c)+(x －y)(b －a －c)基本题型2----运用公式法【例2】① (x+y)2－9(x －y)2 ② －m 2－16n 2+8mn③ (x+y)2+4（x －y ）2－4(x 2－y 2) ④ (x+1)4－2(x+1)2+1基本题型3----分组分解法【例3】①63223-+-x x x ②222444 z y xy x -+-基本题型4----十字相乘法【例4】① x 2+5x －6 ② 5x 2+13xy －6y 2③ 10x 2－23xy －5y 2+13x+8y －3 ④ 1137522-++--n n n a a a ．基本题型5----换元法【例5】①(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1 ② 4032222--++）（）（x x x x◎基本考点二：分解因式的应用基本题型1、在计算中的简便运算：【例1】计算：12200720082009201022222-++-+-变式议练：)1()1)(311)(1(2222009141221----【例2】化简 3n 422222++⨯⨯-n n 计算 20082009200920072009220092323-+-⨯-基本题型2、在几何中分解因式的运用【例】已知不等边三角形ABC 三边长为整数a 、b 、c ，且满足a 2 + b 2 －4a －6 b + 13= 0 求c 的长。

2021年高效课堂省级比赛《整式》一等奖教案 (3)

本节课是本单元中，对知识的理解和贯彻最重要的一堂课。

在高效课堂模式中，一堂课的紧凑性和教师活动的多少，决定着课堂容量的高低。

但在实际教学中，教师应尽可能少地利用讲授法进行教学，多与学生进行交流，增加学生的实际操练和练习时间，对于一堂课来讲，是至关重要的。

对于课堂环节的布置，应该力求简练，语言应用尽量通俗易懂。

对于一名教师而言，教学质量的高低，与备课的充足与否有很大关系。

而教案作为这一行为的载体，巨大作用是不言而喻的。

本节课的准备环节，就充分地说明了这个道理。

3.3 整式教案1．在具体情境中感受合并同类项的必要性，理解合并同类项法则所依据的运算律；2.了解合并同类项的法则，能进行同类项的合并教学重点：正确合并同类项.教学难点：找出同类项并正确合并．教法学法：为体现学生在教学中的主体地位，促进学生知识、技能和数学素养的提高，确立本节应用“启迪诱导－自主探究”教学模式，引导学生对设计的问题进行仔细观察、主动思考、小组讨论、主动探究，最后自己得出结论，学会解决问题的方法．课前准备：多媒体课件．教学过程：一、创设情境、导入新课师：我们已经学习了用字母表示数，代数式等内容，这节课我们进一步认识代数式的表示作用. （多媒体展示）小明房间的窗户如图所示，其中上方的装饰物由两个四分之一圆和一个半圆组成（它们的半径相同）。

⑴装饰物所占的面积是多少？⑵窗户中能射进阳光的部分的面积是多少？（窗框面积忽略不计）生：216b π生：师：在上述问题中列出的代数式216b π、都是整式，这节课我们就来学习整式的概念.设计意图：使学生了解整式的实际背景，进一步理解字母表示数的意义，认识代数式的表示作用，既巩固了旧知识，又可以借此引出单项式、多项式及整式的概念。

二、探究合作、形成新知师：下面我们通过实际问题进一步认识整式（1）如图，一个十字形花坛铺上了草皮，此花坛共有草地平方米；ab216b ab π-216b ab π-（2）当水结冰时，其体积大约会比原来增加19，x 立方米的水结成冰后体积约为立方米；（3）如图，一个长方体的箱子紧靠墙角，它的长、宽、高分别是a ，b ，c 。

整式第3讲--整式竞赛综合