因式分解之套公式法

因式分解之套公式法

【知识精读】

1.把乘法公式反过来，就可以得到因式分解的公式。 常用公式有：平方差公式 a b a b a b 2

2

-=+-()() 完全平方公式 a ab b a b 2

2

2

2±+=±()

立方和、立方差公式 a b a b a ab b 3

3

2

2

±=±⋅+()()μ 2. 补充：欧拉公式：

a b c abc a b c a b c ab bc ca 3

3

3

2

2

2

3++-=++++---()() =

++-+-+-1

2

222()[()()()]a b c a b b c c a 特别地：（1）当a b c ++=0时，有a b c abc 3333++= （2）当c =0时，欧拉公式变为两数立方和公式。

【典例精析】

（一）运用公式分解因式

1. 把a a b b 22

22+--分解因式的结果是（ ） A. ()()()a b a b -++22 B. ()()a b a b -++2 C. ()()a b a b -++2

D. ()()a b b a 2

2

22--

分析：a a b b a a b b a b 2

2

2

2

2

2

22212111+--=++---=+-+()()。 再利用平方差公式进行分解，最后得到()()a b a b -++2，故选择B 。

说明：解这类题目时，一般先观察现有项的特征，通过添加项凑成符合公式的形式。同时

要注意分解一定要彻底。

2.因式分解：x xy 3

2

4-=________。

解：x xy x x y x x y x y 3

2

2

2

4422-=-=+-()()()

说明：因式分解时，先看有没有公因式。此题应先提取公因式，再用平方差公式分解彻底。

3.分解因式：2883223

x y x y xy ++=_________。

解：288244322322x y x y xy xy x xy y ++=++()=+222

xy x y () 说明：先提取公因式，再用完全平方公式分解彻底。 4.分解因式：x 3

-9x+8． 将常数项8拆成-1+9． 原式=x 3

-9x-1+9 =(x 3-1)-9x+9

=(x-1)(x 2

+x+1)-9(x-1) =(x-1)(x 2+x-8)． 5.分解因式：-2x

5n-1y n +4x

3n-1y n+2

-2x n-1y n+4

；

解 (1)原式=-2x n-1y n

(x 4

n-2x 2

ny 2

+y 4

) =-2x n-1y n

[(x 2

n)2

-2x 2

ny 2

+(y 2)2

] =-2x n-1y n

(x 2

n-y 2)2

=-2x n-1y n

(x n

-y)2

(x n

+y)

2

6.将下列式子因式分解

2

2

2

x y z - 2

4

2

2

a x

b y - 2

24

x xy y ++

229()4()x y x y --+ 22()()a b c a b c ++-+-

2()6()9x y x y ++++ 224()a b c -+

53x x - 22344xy x y y --

（二）.在简便计算、求代数式的值、解方程、判断多项式的整除等方面的应用

7. 已知多项式232x x m -+有一个因式是21x +，求m 的值。

分析：由整式的乘法与因式分解互为逆运算，可假设另一个因式，再用待定系数法即可

求出m 的值。

解：根据已知条件，设2213

2

2

x x m x x ax b -+=+++()() 则222123

2

3

2

x x m x a x a b x b -+=+++++()()

由此可得211120

23a a b m b

+=-+==⎧⎨⎪⎪

⎩⎪⎪()()()

由（1）得a =-1

把a =-1代入（2），得b =

1

2

把b =12代入（3），得m =1

2

8. 已知：a m b m c m =+=+=+1211221

2

3，，，

求a ab b ac c bc 2

2

2

222++-+-的值。 解：a ab b ac c bc 2

2

2

222++-+-

=+-++()()a b c a b c 22

2 =+-()a b c 2

Θa m b m c m =

+=+=+1211221

2

3，， ∴原式=+-()a b c 2

=+++-+⎡⎣⎢⎤⎦⎥

=()()()12112212314

2

2

m m m m

说明：本题属于条件求值问题，解题时没有把条件直接代入代数式求值，而是把代数式

因式分解，变形后再把条件带入，从而简化计算过程。

9. 已知a b c a b c ++=++=00333

，， 求证：a b c 5550++=

证明：Θa b c abc a b c a b c ab bc ca 333222

3++-=++++---()() ∴把a b c a b c ++=++=00333

，代入上式， 可得abc =0，即a =0或b =0或c =0 若a =0，则b c =-， ∴++=a b c 555

若b =0或c =0，同理也有a b c 5550++= 说明：利用补充公式确定a b c ，，的值，命题得证。

10. 若x y x xy y 3322279+=-+=，，求x y 22

+的值。 解：Θx y x y x xy y 3322

27+=+-+=()() 且x xy y 22

9-+=

)1(9232

2

=++=+∴y xy x y x ， 又x xy y 2

29

2-+=()