方程与不等式之一元二次方程技巧及练习题含答案

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2023-2024学年高考数学一元二次函数、方程与不等式专项练习题(含答案)

2023-2024学年高考数学一元二次函数、方程与不等式小专题一、单选题1．下列命题正确的是（）A ．若，则B ．若，则a b >22ac bc>a b >-a b ->C ．若，则D ．若，则ac bc >a b>a b >a c b c->-2．若不等式的解集是，则不等式的解集是（　220ax x c ++<11(,)(,)32-∞-⋃+∞220cx x a -+≤ ）A ．B ．11,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦11,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．D ．[]2,3-[]3,2-3．若，且，则的最小值是（）0x >0y >21x y +=1xx y +A ．B ．C ．2D ．122+322+324．若正实数，满足，且恒成立，则实数的取值范围为（）x y 4x y xy +=234yx a a +>-a A ．B ．C ．D ．[]1,4-()1,4-[]4,1-()4,1-5．若对于任意，都有成立，则实数的取值范围是（）[],1x m m ∈+210x mx +-<m A ．B ．2,03⎛⎫- ⎪⎝⎭2,02⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭C ．D ．2,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦2,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦6．已知，若关于的不等式在上恒成立，则的最小值为0a >x 31ax x +≥+()1,x ∈-+∞a （）A ．1B ．2C ．4D ．87．若命题“”为假命题，则m 的取值范围是（）2000R,220x x mx m ∃∈+++<A ．B ．][(),12,-∞-⋃+∞()(),12,-∞-+∞ C ．D ．[]1,2-()1,2-8．设集合，．若中恰含有一个整数，{}260A x x x =+->{}210,0B x xax a =--≤>A B ⋂则实数的取值范围是（）a A ．B ．C ．D ．80,3⎛⎫⎪⎝⎭815,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭8,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭815,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦二、多选题9．下列说法正确的有（）A ．的最小值为21x y x +=B ．已知，则的最小值为1x >4211y x x =+--421+C ．若正数x 、y 满足，则的最小值为323x y xy +=2x y +D ．设x 、y 为实数，若，则的最大值为2291x y xy ++=3x y +221710．若正实数x ，y 满足x ＋y ＝1，且不等式有解，则实数m 的取值范围241312m mx y +<++是错误的是（）A ．m <－3或m >B ．－3<m <3232C ．m ≤－3或m ≥D ．－3≤m ≤323211．已知关于的不等式的解集为或，则下列结论中，正确结论x 20ax bx c ++≥{|3x x ≤}4x ≥的序号是（）A ．0a >B ．不等式的解集为0bx c +<{}4|x x <-C ．不等式的解集为或20cx bx a -+<1|4x x ⎧<-⎨⎩13x ⎫>⎬⎭D ．0a b c ++>12．若，，，则下列不等式对一切满足条件的，恒成立的是（）0a >0b >2a b +=a b A ．B ．1ab ≤2a b +≤C ．D ．222a b +≥112a b+≥三、填空题13．已知关于x 一元二次方程有两个实根，，（1）若比3大，比3240x x a -+=1x 2x 1x 2x 小，则a 的取值范围是；（2）把写成用含a 表达式为 .12x x -14．已知都是实数，一元二次方程有两个非零实根，且，则,,a b c 20ax bx c ++=12,x x 2b c == .1211+x x 15．已知函数，当时，恒成立，则的最大值为.()222=+-b a f x ax x []1,1x ∈-()12f x ≥-a b +16．中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为a ，b ，c ，三角形的面积S 可由公式求得，其中p 为三角形()()()S p p a p b p c =---周长的一半，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，5a b +=，则此三角形面积的最大值为.3c =答案：1．D【分析】根据不等式的性质，令，可以判断A 的真假；由不等式的性质3，可以判断0c =B ，C 的真假；由不等式的性质1，可以判断D 的真假，进而得到答案．【详解】当时，若，则，故A 错误；0c =a b >22ac bc =若，则，故B 错误；a b >-a b -<若，当时，则；当时，则，故C 错误；ac bc >0c >a b >0c <a b <若，则，故D 正确a b >a c b c ->-故选:D 2．C【分析】依题意和是方程的两个实数根，利用韦达定理得到方程组13-12220ax x c ++=，即可求出，再解一元二次不等式即可.112321132a c a ⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-⨯=⎪⎩12,2a c =-=222120x x --≤【详解】因为不等式的解集是：，220ax x c ++<11(,)(,)32-∞-⋃+∞所以和是方程的两个实数根，13-12220ax x c ++=由，解得：，112321132a ca ⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-⨯=⎪⎩12,2a c =-=故不等式，即为，220cx x a -+≤222120x x --≤解不等式，得：，260x x --≤23x -≤≤所求不等式的解集是.[]23-，故选：C ．3．A【分析】利用基本不等式可得答案.【详解】因为，且，0x >0y >21x y +=所以，1121222221++=++=++≥⨯=+x x x xx y x y x y x y x y y y当且仅当时等号成立，221,12x y =-=-故选：A.4．B【分析】根据题意，结合基本不等式的运算，由系数“1”的妙用可得，然后求解不等44yx +≥式，即可得到结果.【详解】因为正实数，满足，所以，x y 4x y xy +=411y x +=则，144422244444y y y x y xx x x y x y x y ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当时，即时，等号成立，此时取得最小值4，44411y x x y y x ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩2,8x y ==因为恒成立，所以，解得.234yx a a +>-243a a >-14a -<<实数的取值范围为.a ()1,4-故选：B 5．B【分析】利用一元二次函数的图象与性质分析运算即可得解.【详解】由题意，对于都有成立，[],1x m m ∀∈+2()10f x x mx =+-<∴，解得：，()()()()2221011110f m m m f m m m m ⎧=+-<⎪⎨+=+++-<⎪⎩202m -<<即实数的取值范围是.m 2,02⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭故选：B.6．C【分析】利用基本不等式求解.【详解】因为，，1x >-10x +>所以，()1121121111a aax x x a x x x +=++-≥+⋅-=-+++当且仅当，即时，取得等号，11ax x +=+1x a =-所以有最小值为，1ax x ++21a -因为不等式在上恒成立，31ax x +≥+()1,x ∈-+∞所以，解得，所以的最小值为4，213a -≥4a ≥a 故选:C.7．C【分析】由题意结合命题和它的否定的真假性关系，以及一元二次不等式恒成立问题的充要条件即可求解.【详解】由题意命题“”为真命题，2000R,220x x mx m ∀∈+++≥所以当且仅当，()()22442420m m m m ∆=-+=--≤解得，即m 的取值范围是.12m -≤≤[]1,2-故选：C.8．B【分析】求出A 中的不等式的解集确定出A ，由A 与B 交集中恰有一个整数，求出的范围a 即可.【详解】解：，因为函数图象的对称{}{}26023A x x x x x x =+->=><-或()21f x x ax =--轴为直线，，根据对称性可知，要使中恰含有一个整数，02ax =>()3380f a -=+>A B ⋂则这个整数为3，所以有且，即，即，所以实数的取()30f ≤()40f >8301540a a -≤⎧⎨->⎩83154a a ⎧≥⎪⎪⎨⎪<⎪⎩a 值范围为.815,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭故选：B 9．BCD【分析】利用基本不等式一一计算即可.【详解】显然当时，，故A 错误；=1x -102x y x +==<原式可化为：，()()44211221142111y x x x x =-++≥-⋅+=+--当且仅当即时取得等号，故B 正确；()4211x x -=-21x =+由，1223133x y xy y x +=⇒+=所以，()12225225222333333333x y x y x y x y y x y x y x ⎛⎫+=++=++≥⋅+= ⎪⎝⎭当且仅当即时取得等号，故C 正确；2233x yy x =1x y ==由，()()22225591315143131212x y xy x y xy x y x y ++=⇒+=+=+⨯⨯⨯≤++则，当且仅当时取得等号，()27122213131277x y x y +≤⇒+≤=2137x y ==故D 正确.故选：BCD 10．BCD【分析】使不等式有解，大于的最小值，根据题意先利241312m m x y+<++232m m+411x y ++用基本不等式求的最小值，再解不等式求m 的取值范围.411x y ++【详解】因为正实数x ，y 满足，所以，1x y +=(1)2x y ++=则=，411x y ++)1=44[2(1111(5)](211)y x y x x y y x ≥++++++++1119(52)=(54)22241x y y x +⋅+++=当且仅当，即时等号成立.411y x x y +=+1323x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩因为不等式有解，所以，241312m m x y+<++23922m m +>即，，239022m m +->0()3)(32m m +>-解得或.3m <-32m >故选：BCD.11．AD【分析】根据不等式的解集，即可判断A 项；根据三个二次之间的关系，结合韦达定理可得出，进而代入不等式，化简、求解不等式，即可判断B 、C 、D 项.712b a c a =-⎧⎨=⎩【详解】对于A 项，由不等式的解集范围为两边，即可得出二次函数开口向上，即，0a >故A 项正确；对于B 项，由已知可得，3、4即为的两个解.20ax bx c ++=由韦达定理可得，，解得，34712ba c a ⎧-=+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩712b ac a =-⎧⎨=⎩代入可得.7120ax a -+<又，所以，所以解集为，故B 项错误；0a >127x >12|7x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭对于C 项，由B 知，，，，7b a =-12c a =0a >代入不等式可得，21270ax ax a ++<化简可得，212710x x ++<解得，1134x -<<-所以，不等式的解集为，故C 项错误；20cx bx a -+<11|34x x ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭对于D 项，由已知可得，当时，有，故D 项正确.1x =71260a b c a a a a ++=-+=>故选：AD.12．ACD【分析】分别根据基本不等式即可求出．【详解】，当且仅当时取等号，故A 成立；2()12a b ab +≤=1a b ==假设，则，则，与已知矛盾，故B 不成立；2a b +≤22a b ab ++≤0ab ≤，当且仅当时取等号，故C 成立；2222()242()4222a b a b a b ab ++=+-≥-⨯=-=1a b ==，由A 可得，当且仅当时取等号，故D 成立.112a b a b ab ab ++==1122a b ab +=≥1a b ==故选：ACD ．13．且3a <164a -4a ≤【分析】（1）设，则由题意可得，由此求得a 的范围；()24ax x x f =-+()330f a =-<（2）用韦达定理即可求解；【详解】（1）设，因为的图象是开口向上的抛物线，()24ax x x f =-+()24ax x x f =-+又一元二次方程有两个实根，，且比3大，比3小，240x x a -+=1x 2x 1x 2x 所以，求得，()330f a =-<3a <（2）由关于x 一元二次方程有两个实根、，且，240x x a -+=1x 2x 1640a ∆=-≥所以，，且，得，124x x +=12x x a =4a ≤()21212124164x x x x x x a-=+-=-故；且3a <164a -4a ≤14．2-【分析】由根与系数关系得，再由及已知即可求值.1212,b c x x x x a a +=-=12121211x x x x x x ++=【详解】由题设，且，0a ≠1212,b cx x x x a a +=-=而，，则.12121211x x b x x x x c ++==-2b c =12112x x +=-故2-15．2【分析】将函数化简可得，结合题目要求的最大值，故考虑()2122x f x a x b⎛⎫=-+⋅ ⎪⎝⎭a b +，得出关于的不等式，进而取特殊值判断是否满足满足取等条件求解即可.2122xx -=a b +【详解】函数，对恒成立，令()221122222b a x f x ax x a x b ⎛⎫=+-=-+⋅≥- ⎪⎝⎭[]1,1x ∈-，则或，故，得，当时，2122xx -=12x =-1x =112442a b f ⎛⎫-=--≥- ⎪⎝⎭2a b +≤24,33a b ==满足，则的最大值为2.()2222121113333222f x x x x ⎛⎫=+-=+-≥-⎪⎝⎭a b +故216．3【分析】计算出，得到，由基本不等式求出.4p =24S ab =-243S ab =-≤【详解】因为，，所以，5a b +=3c =53422a b c p +++===故，()()()()()()44443244216424S a b a b a b ab ab =---=--=-++=-因为，当且仅当时，等号成立，()22544a b ab +≤=52a b ==故，25242434S ab =-≤⨯-=故3。

第二章一元二次函数、方程和不等式章节练习参考答案

第二章一元二次函数、方程和不等式章节练习参考答案1．D【分析】根据元素与集合，集合与集合的关系逐项判断，即可得到结果.【详解】因为*{|2}N M x x =∈≤，所以{1,2}M =，所以0M ∉，A 错误；2M ∈，B 错误；{0,1,2}M，C 错误；D 正确.故选:D.2．B【分析】利用充分条件、必要条件的概念以及集合之间的关系进行判断.【详解】因为x ∈R ，所以集合{|3}x x >是集合{|0}x x >的真子集，所以“0x >”是“3x >”的必要非充分条件，故A ，C ，D 错误.故选：B.3．B【解析】利用作差法比较大小即可得正确选项.【详解】()()()222324696810x x x x x x x ----=-+-+-=>，所以()()()2324x x x ->--，故选：B4．C【分析】根据一元二次不等式的解法计算可得；【详解】解：由()()130x x ++<，解得31x -<<-，即不等式的解集为{31}x x -<<-∣；故选：C5．A【分析】由于1a >，所以10a ->，则44(1)111a a a a +=-++--，然后利用基本不等式可求出其最小值【详解】由于1a >，所以10a ->所以44111511a a a a +=-++≥=--，当且仅当411a a -=-，即3a =时取等号.故选：A.6．B【分析】根据特称命题的否定是全称命题求解即可【详解】因为特称命题的否定是全称命题，所以命题p ：∀x ＞0，总有（x +1）ln x ＞1，则¬p 为∃x 0＞0，使得（x 0+1）ln x 0≤1.故选：B.7．A【分析】由二次函数与一元二次不等式关系，结合函数图象确定不等式解集.【详解】由二次函数图象知：20ax bx c ++>有21x -<<.故选：A8．A【分析】讨论0k =、0k ≠，根据不等式恒成立，结合二次函数性质列不等式组求范围.【详解】当0k =时，20x ->不恒成立；当0k ≠时，204(1)0k k >⎧⎨∆=-<⎩，所以1k >；综上，1k >.故选：A9．ACD【分析】由不等式的性质可判断ACD ，由特值法可判断B ．【详解】若0a <，0b >，则0a ->，则0b a ->，故A 成立；a b >不一定成立，如5,6a b =-=，故B 不成立；∵0a <，0b >，∵20a ab >>，故C 成立，因为0,0a b <> 所以10a <，10b >，则11a b<，成立，故D 正确，故选：ACD ．10．ABC【分析】不等式220x x -+>的解集为R ，再求出各个选项的不等式的解，即得解.【详解】解：因为2(1)4270∆=--⨯=-<，二次函数的图象开口朝上，所以不等式220x x -+>的解集为R ，A.14(1)(2)70∆=-⨯--=-<，二次函数的图象开口朝下，所以220x x --<+的解集为R ；B.2(3)42270∆=--⨯⨯=-<，二次函数的图象开口朝上，所以不等式22320x x -+>的解集为R ；C.2(1)413110∆=--⨯⨯=-<，二次函数的图象开口朝上，所以不等式230x x -+≥的解集为R ；D. 220x x +->，所以(2)(1)0,1x x x +->∴>或2x <-，与已知不符.故选：ABC11．BD【分析】由基本不等式知识对选项逐一判断【详解】对于A ，当0x <时，0y <，故A 错误，对于B ，由基本不等式知当0ab >，则2b a a b+≥，故B 正确，对于C ，令22122x x +=+，方程无解，则2212132x x +++≥+等号不成立，故C 错误，对于D ，当0x <时，12x x +≤-，当1x =-时等号成立，故函数()120y x x x =++<的最大值为0，故D 正确，故选：BD12．AB【分析】利用基本不等式可判断AB ，利用不等式的性质可判断C ，利用作差法可判断D ．【详解】对于选项A ，若102x <<，则1－2x ＞0，2x ＞0，则2112121(12)2(12)2228x x x x x x +-⎛⎫-=⨯-≤⨯= ⎪⎝⎭，当且仅当212x x =-，即14x =时，等号成立，即x (1﹣2x )的最大值为18，故A 正确；对于选项B ，当43x <时，430x ->，∵13134y x x =-+-14333143x x ⎛⎫=--++≤-= ⎪-⎝⎭，当且仅当14343x x-=-，即1x =时，等号成立，即13134y x x =-+-的最大值是1，故B 正确；对于选项C ：∵13a <<，25b <<，∵226a <<，1536b -<-<-，∵122311a b -<-+<，故C 错误；对于选项D ，∵()227M a a =-+，()()23N a a =--，∵()()222213247561024M N a a a a a a a ⎛⎫-=-+--+=++=++> ⎪⎝⎭， ∵M N >，故D 错误；故选：AB.13．∅【分析】根据解一元二次不等式的方法进行求解即可.【详解】2260226x x x x ⇒->++<-，因为一元二次方程2260x x ++=的判别式2246200∆=-⨯=-<，二次函数226y x x =++的开口向上，所以不等式2260x x ++<的解集为空集，故答案为：∅14．[3,4]【分析】由不含参的一元二次不等式的解法即可得出结论.【详解】由(4)(3)0x x --≥，解得：34x ≤≤.所以(4)(3)0x x --≥的解集是：[3,4]故答案为：[3,4]15．()1,3-【分析】根据分式不等式与一元二次不等式之间的转化，即可根据一元二次不等式进行求解. 【详解】由301x x -<+，得()()310x x -+<，解得13x ，所以不等式301x x -<+的解集为()1,3-.故答案为：()1,3-16．M N >【分析】利用作差法直接比较大小.【详解】解：因为23M x x =-,233N x x =-+-所以()()222213334434202M N x x x x x x x ⎛⎫-=---+-=-+=-+> ⎪⎝⎭ 所以M N >.故答案为：M N >.17．（1）2256259x x x x ++<++；（2）2(3)(2)(4)x x x ->--【分析】利用作差法，分析两式之差的正负判定即可【详解】（1）因为()()2225625930x x x x x ++-++=--<，故2256259x x x x ++<++；（2）因为()()2220(63)(2)(4)9681x x x x x x x --=--++---=>，故2(3)(2)(4)x x x ->--【点睛】本题主要考查了作差法判定两式大小的问题，属于基础题18．(1)(,2)(3,)-∞⋃+∞(2)(,3)(3,)-∞⋃+∞(3)∅(4)()2,3-【分析】利用一元二次不等式的解法即可.（1）原不等式化为(2)(3)0x x -->,解得2x <或3x >,所以解集为(,2)(3,)-∞⋃+∞.（2）原不等式化为2(3)0x ->,解得3x ≠,所以解集为(,3)(3,)-∞⋃+∞.（3）原不等式化为230x x -+<,因为24110b ac ∆=-=-<，则不等式无解，即原不等式的解集为∅.（4）由()()023x x +-<解得23x -<<,所以解集为()2,3-.19．(1){|3}x x ≠-；(2){|03}x x <<；(3){|57}x x <<．【分析】（1）二次三项式配方，由平方的性质可得不等式的解集；（2）不等式两边同乘以1-，然后左边因式分解，转化为两个一元一次不等式组求解；（3）移项，通分，再把分子、分母中最高次项化为正数，然后转化为两个一元一次不等式组求解．（1）2690x x ++>可化为2(3)0x +>，所以30x +≠，即3x ≠-，解集为{|3}x x ≠-；（2）230x x ->或化为230x x -<，即(3)0x x -<，所以030x x >⎧⎨-<⎩或030x x <⎧⎨->⎩， 030x x >⎧⎨-<⎩的解集为03x <<，030x x <⎧⎨->⎩无解，综上，原不等式的解集为{|03}x x <<；（3）325x x ->-化为3205x x -->-，即705x x -+>-，即705x x -<-，所以7050x x ->⎧⎨-<⎩或7050x x -<⎧⎨->⎩，不等式组7050x x ->⎧⎨-<⎩无解，不等式7050x x -<⎧⎨->⎩的解集为57x <<．综上，原不等式的解集为{|57}x x <<．20．(1)10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦； (2)18【分析】（1）由,a b 是正数，再结合基本不等式即可得到答案；（2）利用基本不等式“1”的整体替换即可得到答案（1）因为,a b 是正数，且1a b +=，所以由基本不等式得a b +≥，即1≥，所以14ab ≤，当且仅当12a b ==时，取等号；因为,a b 是正数，所以0ab >，所以ab 的取值范围10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦；（2）因为正数,a b 满足1a b +=，所以()282828281101018b a a b a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=+⨯=+⨯+=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当28b a a b =即12,33a b ==时，取等号，所以28a b+的最小值为18 21．(1){}12A B x x ⋂=-<<；(2)2a ≤.【分析】（1）解不等式求出集合B ，再根据交集的定义求A B ；（2）由A B A =得到A B ⊂，再根据集合间的包含关系列不等式即可.（1）由{}260B x x x =+-<得{}32B x x =-<<，因为4a =，所以{}14A x x =-<<，所以{}12A B x x ⋂=-<<.（2）因为A B A =，所以A B ⊂，∵当A =∅时,1a ≤-；∵当A ≠∅时，12a a >-⎧⎨≤⎩，即12a -<≤，综上所述，2a ≤.22．(1)菜园的长x 为，宽y 为时，所用篱笆总长最小 (2)310【分析】（1）利用基本不等式求解和的最小值；（2）利用基本不等式“1”的妙用求解最小值.（1）由题意得，36xy =，所用篱笆总长为2x y +.因为22x y +≥=当且仅当2x y =时，即x =y =.所以菜园的长x 为，宽y 为时，所用篱笆总长最小.（2）由题意得，230x y +=，()2121121221325530303010x y y x x y xy x y x y x y ⎛⎛⎫⎛⎫+=+=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当22y x x y =，即10x y ==时等号成立，所以2x y xy +的最小值是310.。

高中数学第二章等式与不等式 2.2 不等式 2.2.3 一元二次不等式的解法精品练习(含解析)新

2.2.3 一元二次不等式的解法必备知识基础练进阶训练第一层知识点一不含参数的一元二次不等式的解法1.不等式9x 2＋6x ＋1≤0的解集是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠－13 B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－13≤x ≤13 C ．∅ D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝－13 2．解下列不等式： (1)2x 2＋7x ＋3>0；(2)－4x 2＋18x －814≥0；(3)－2x 2＋3x －2<0；(4)－12x 2＋3x －5>0.知识点二含参数的一元二次不等式的解法3.若0<m <1，则不等式(x －m )⎝⎛⎭⎪⎫x －1m <0的解集为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1m <x <m B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x >1m 或x <m C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x >m 或x <1m D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪m <x <1m 4．当a >－1时，关于x 的不等式x 2＋(a －1)x －a >0的解集是________．5．已知A ＝{x |x 2－3x ＋2≤0}，B ＝{x |x 2－(a ＋1)x ＋a ≤0}，若A B ，则a 的取值X 围是________.知识点三三个“二次”间的关系及应用6.若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根为2，－1，则当a ＜0时，不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为( )A ．{x |x ＜－1或x ＞2}B ．{x |x ≤－1或x ≥2}C ．{x |－1＜x ＜2}D ．{x |－1≤x ≤2}7．若不等式2x 2＋mx ＋n ＞0的解集是{x |x ＞3或x ＜－2}，则m ，n 的值分别是( ) A ．2,12 B ．2，－2 C ．2，－12 D ．－2，－128．若不等式x 2＋mx ＋m2>0的解集为R ，则实数m 的取值X 围是( )A ．m >2B ．m <2C ．m <0或m >2D ．0<m <2关键能力综合练进阶训练第二层一、选择题1．不等式4x 2－12x ＋9≤0的解集是( ) A ．∅ B ．RC.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠32 D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫322．不等式x 2－|x |－2＜0的解集是( ) A ．{x |－2＜x ＜2} B ．{x |x ＜－2或x ＞2} C ．{x |－1＜x ＜1} D ．{x |x ＜－1或x ＞1}3．已知不等式x 2－2x －3＜0的解集为A ，不等式x 2＋x －6＜0的解集为B ，不等式x 2＋ax ＋b ＜0的解集为A ∩B ，则a ＋b 等于( )A ．－3B ．1C ．－1D ．34．若不等式ax 2－x －c >0的解集为{x |－2<x <1}，则函数y ＝ax 2－x －c 的图像为( )5．(易错题)若不等式2kx 2＋kx －38<0对一切实数x 都成立，则k 的取值X 围为( )A ．－3<k <0B ．－3≤k <0C ．－3≤k ≤0 D．－3<k ≤06．在R 上定义运算“⊙”：a ⊙b ＝ab ＋2a ＋b ，则满足x ⊙(x －2)<0的实数x 的取值X 围为( )A ．0<x <2B ．－2<x <1C ．x <－2或x >1D ．－1<x <2 二、填空题7．不等式－1＜x 2＋2x －1≤2的解集是________．8．若关于x 的不等式ax 2－6x ＋a 2>0的解集为{x |1<x <m }，则a ＝________，m ＝________. 9．(探究题)关于x的不等式(mx －1)(x －2)>0，若此不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1m<x <2，则m 的取值X 围是________________．三、解答题10．已知y ＝ax 2＋x －a .(1)若函数y 有最大值178，某某数a 的值；(2)若不等式y ＞－2x 2－3x ＋1－2a 对一切实数x 恒成立，某某数a 的取值X 围．学科素养升级练进阶训练第三层1．(多选)对于给定的实数a ，关于实数x 的一元二次不等式a (x －a )(x ＋1)＞0的解集可能为( )A ．∅B ．(－1，a )C ．(a ，－1)D ．(－∞，－1)∪(a ，＋∞) 2．关于x的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2＞0，2x 2＋2k ＋5x ＋5k ＜0的整数解的集合为{－2}，则实数k的取值X 围是________．3．(学科素养—数学运算)已知不等式ax 2＋2ax ＋1≥0对任意x ∈R 恒成立，解关于x 的不等式x 2－x －a 2＋a <0.2．2.3 一元二次不等式的解法必备知识基础练1．解析：原不等式可化为(3x ＋1)2≤0， ∴3x ＋1＝0，∴x ＝－13.答案：D2．解析：(1)因为Δ＝72－4×2×3＝25>0，所以方程2x 2＋7x ＋3＝0有两个不等实根x 1＝－3，x 2＝－12.又二次函数y ＝2x 2＋7x ＋3的图像开口向上，所以原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x >－12或x <－3. (2)原不等式可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －922≤0，所以原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝94.(3)原不等式可化为2x 2－3x ＋2>0，因为Δ＝9－4×2×2＝－7<0，所以方程2x 2－3x ＋2＝0无实根，又二次函数y ＝2x 2－3x ＋2的图像开口向上，所以原不等式的解集为R .(4)原不等式可化为x 2－6x ＋10<0，Δ＝(－6)2－40＝－4<0，所以方程x 2－6x ＋10＝0无实根，又二次函数y ＝x 2－6x ＋10的图像开口向上，所以原不等式的解集为∅.3．解析：∵0<m <1，∴1m>1>m ，故原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪m <x <1m，故选D. 答案：D4．解析：原不等式可化为(x ＋a )(x －1)>0，方程(x ＋a )(x －1)＝0的两根为－a,1， ∵a >－1，∴－a <1，故不等式的解集为{x |x <－a 或x >1}．答案：{x |x <－a 或x >1}5．解析：A ＝{x |x 2－3x ＋2≤0}＝{x |1≤x ≤2}；当a ≤1时，B ＝{x |a ≤x ≤1}，A B 不成立；当a >1时，B ＝{x |1≤x ≤a }，若A B ，须a >2.答案：a >26．解析：由题意知，－b a ＝1，c a＝－2， ∴b ＝－a ，c ＝－2a ，又∵a ＜0，∴x 2－x －2≤0，∴－1≤x ≤2. 答案：D7．解析：由题意知－2,3是方程2x 2＋mx ＋n ＝0的两个根，所以－2＋3＝－m2，－2×3＝n2，∴m ＝－2，n ＝－12. 答案：D8．解析：由题意得Δ＝m 2－4×m2<0，即m 2－2m <0，解得0<m <2.答案：D关键能力综合练．1．解析：原不等式可化为(2x －3)2≤0，故x ＝32.故选D.答案：D2．解析：令t ＝|x |，则原不等式可化为t 2－t －2＜0，即(t －2)(t ＋1)＜0.∵t ＝|x |≥0.∴t －2＜0.∴t ＜2. ∴|x |＜2，解得－2＜x ＜2. 答案：A3．解析：由题意得，A ＝{x |－1＜x ＜3}，B ＝{x |－3＜x ＜2}，所以A ∩B ＝{x |－1＜x ＜2}，由题意知，－1,2为方程x 2＋ax ＋b ＝0的两根，由根与系数的关系可知，a ＝－1，b ＝－2，则a ＋b ＝－3.答案：A4．解析：因为不等式的解集为{x |－2<x <1}，所以a <0，排除C 、D ；又与坐标轴交点的横坐标为－2,1，故选B.答案：B5．解析：当k ＝0时，显然成立；当k ≠0时，即一元二次不等式2kx 2＋kx －38<0对一切实数x 都成立，则⎩⎪⎨⎪⎧k <0，Δ＝k 2－4×2k ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－38<0，解得－3<k <0.综上，满足不等式2kx 2＋kx－38<0对一切实数x 都成立的k 的取值X 围是－3<k ≤0. 答案：D6．解析：根据给出的定义得，x ⊙(x －2)＝x (x －2)＋2x ＋(x －2)＝x 2＋x －2＝(x ＋2)(x －1)，又x ⊙(x －2)<0，则(x ＋2)(x －1)<0，故x 的取值X 围为－2<x <1.答案：B7．解析：∵⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3≤0，x 2＋2x ＞0，∴－3≤x ＜－2或0＜x ≤1. 答案：{x |－3≤x ＜－2或0＜x ≤1}8．解析：可知1，m 是方程ax 2－6x ＋a 2＝0的两个根，且a <0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋m ＝6a ，1×m ＝a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3m ＝－3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2m ＝2(舍去)．答案：－3 －39．解析：∵不等式(mx －1)(x －2)>0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1m<x <2， ∴方程(mx －1)(x －2)＝0的两个实数根为1m和2，且⎩⎪⎨⎪⎧m <0，1m<2，解得m <0，∴m 的取值X 围是m <0.答案：{m |m <0}10．解析：(1)显然a ＜0，且－4a 2－14a ＝178，解得a ＝－2或a ＝－18.(2)由y ＞－2x 2－3x ＋1－2a ，得 (a ＋2)x 2＋4x ＋a －1＞0.当a ＝－2时，不符合题意；当a ≠－2时，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2＞0，Δ＝16－4a ＋2a －1＜0，解得a ＞2.综上，a 的取值X 围为(2，＋∞)．学科素养升级练1．解析：对于a (x －a )(x ＋1)＞0，当a ＞0时，y ＝a (x －a )(x ＋1)开口向上，与x 轴的交点为a 和－1，故不等式的解集为x ∈(－∞，－1)∪(a ，＋∞)；当a ＜0时，y ＝a (x －a )(x ＋1)开口向下，若a ＝－1，不等式解集为∅；若－1＜a ＜0，不等式的解集为(－1，a )；若a ＜－1，不等式的解集为(a ，－1)；综上，ABCD 都成立．答案：ABCD2．解析：由x 2－x －2＞0，解得x ＞2或x ＜－1，又由2x 2＋(2k ＋5)x ＋5k ＜0可得，(2x ＋5)(x ＋k )＜0，如图所示，由已知条件可得⎩⎪⎨⎪⎧－k ＞－52，－2<－k ≤3，解得－3≤k ＜2.答案：[－3,2)3．解析：∵ax 2＋2ax ＋1≥0对任意x ∈R 恒成立．当a ＝0时，1≥0，不等式恒成立；当a ≠0时，则⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝4a 2－4a ≤0，解得0<a ≤1.综上，0≤a ≤1.由x 2－x －a 2＋a <0，得(x －a )[(x ＋a －1)]<0. ∵0≤a ≤1，∴①当1－a >a ，即0≤a <12时，a <x <1－a ；②当1－a ＝a ，即a ＝12时，⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122<0，不等式无解；③当1－a <a ，即12<a ≤1时，1－a <x <a .综上，当0≤a <12时，原不等式的解集为{x |a <x <1－a }；当a ＝12时，原不等式的解集为∅；当12<a ≤1时，原不等式的解集为{x |1－a <x <a }．。

人教A版(2019)高一数学第二章《一元二次函数、方程和不等式》练习题(含答案)

人教A 版（2019）高一数学第二章《一元二次函数、方程和不等式》练习题（含答案）一、单选题1．设O 为坐标原点，直线x a =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两条渐近线分别交于,D E 两点，若ODE 的面积为8，则C 的焦距的最小值为（）A ．4B ．8C ．16D ．32 2．已知a ，b ∈R ，0a b >>，则下列不等式中一定成立的是（）A ．11a a b b ->- B ．11a b b >- C ．11a a b b +>+ D ．11a b b a->- 3．已知不等式组121x m mx n +<⎧⎨->⎩的解集为（2，3），则（） A ．23m n <⎧⎨>⎩B ．23m n =⎧⎨=⎩C ．23m n >⎧⎨<⎩D ．23m n =⎧⎨=⎩4．设a b c d ,,,为实数，且0a b c d >>>>，则下列不等式正确的是（） A ．2c cd >B ．a d b c +<+C ．ad bc <D ．2211a b > 5．下列不等式中成立的是（）A ．若0a b >>，则22ac bc >B ．若0a b >>，则22a b >C ．若0a b <<，则22a ab b <<D ．若0a b <<，则11a b < 6．已知,,a b c 为正数，则“222a b c +>”是“a b c +>”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．已知a ，b ＞0，且a ＋2b ＝1，则12a b+的最小值为（） A ．6 B ．8 C ．9 D ．10 8．若1x >，则函数221x y x x +=+-的最小值为（）A ．4B ．5C ．7D ．9二、多选题 9．若a ，b ，c ∈R ，则下列命题正确的是（）A ．若0ab ≠且a b <，则11a b> B ．若01a <<，则2a a < C ．若0a b >>且0c >，则b c b a c a +>+ D ．222(1)a b a b +≥+- 10．已知a ，b ，c ，d 均为实数，则下列命题正确的是（）A ．若a >b ，c >d ，则a -d >b -cB ．若a >b ，c >d 则ac >bdC ．若ab >0，bc -ad >0，则c d a b> D ．若a >b ，c >d >0，则a b d c > 11．下列四个命题中，正确的是（）A ．若,a b c d >>，则a c b d ->-B ．若a b >，且11a b >，则0ab <C ．若0,0a b c >>>，则b c b a c a +>+D ．若0a b <<，则2a ab <12．已知0a >，0b >，且1a b +=，则（）A ．2728a b +≥B ．114a b +≤C ．14ab ≤D ≤三、填空题13．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若74a =，则678a a a ++的最小值为______．14．已知正数a ，b 满足5a b +=，则2112a b++的最小值为___________. 15．已知21a b +=（a ，0b >），则41a b b ++的最小值为________． 16．已知正数x 、y 满足341x y +=，则xy 的最大值为_________．四、解答题17．已知函数()218=++f x ax bx ，()0f x >的解集为()3,2-．(1)求()f x 的解析式；(2)当0x >时，求()21f x y x-=的最大值．18．已知函数()()24,f x ax x c a c R =-+∈，满足()29f = ，()f c a < ，且函数()f x 的值域为[)0,+∞ ．（Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）设函数()()()3f x kx g x k R x+-=∈，对任意[]1,2x ∈ ，存在[]01,1x ∈- ，使得()()0g x f x < 求k 的取值范围．19．已知正实数x ，y 满足441x y +=.（1）求xy 的最大值；（2）若不等式2415a a x y+≥+恒成立，求实数a 的取值范围.20．某居民小区欲在一块空地上建一面积为21200m 的矩形停车场，停车场的四周留有人行通道，设计要求停车场外侧南北的人行通道宽3m ，东西的人行通道宽4m ，如图所示（图中单位：m ），问如何设计停车场的边长，才能使人行通道占地面积最小？最小面积是多少？21．若关于x 的不等式240x mx m -+<的解集为()12,x x ．(1)当1m =时，求121144x x +--的值； (2)若120,0x x >>，求1211x x +的值及124x x +的最小值．22．已知集合{24}A x x =<<，集合2{1}B x m x m =-<<.(1)若A B =∅；求实数m 的取值范围；(2)命题:p x A ∈，命题:q x B ∈，若p 是q 的充分条件，求实数m 的取值集合.23．在ABC 中，内角A ，B ，C 对边分别为a ，b ，c ，已知2cos 2a B c b =-．（1）求角A 的值；（2）若5b =，5AC CB ⋅=-，求ABC 的周长；（3）若2sin 2sin b B c C bc +=+，求ABC 面积的最大值参考答案1．B2．C3．B4．C5．B6．A7．C8．C9．BCD10．AC11．BC12．ACD13．1214．34##0.75 15．916．14817．（1）解：因为函数()218=++f x ax bx ，()0f x >的解集为()3,2-，那么方程2180ax bx ++=的两个根是3-，2，且0a <，由韦达定理有321318332b a a b a ⎧-+=-=-⎪=-⎧⎪⇒⎨⎨=-⎩⎪-⨯=⎪⎩所以()23318f x x x =--+．（2）解：()221333133f x x x y x x x x ----⎛⎫===-+- ⎪⎝⎭，由0x >，所以12x x +≥=，当且仅当1x x =，即1x =时取等号，所以1339x x ⎛⎫-+-≤- ⎪⎝⎭，当1x =时取等号，∴当1x =时，max 9y =-．18．（Ⅰ）根据()29f =，可得417a c += ．由函数()f x 的值域为[)0,+∞ 知，方程240ax x c -+=，判别式0∆= ，即4ac = . 又()f c a < ，24ac c c a ∴-+< ，即c a < ，解得：4,1a c ==，()2441f x x x ∴=-+ ．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得f(x)的对称轴为1x 2=，则当=-1x 时，()f x 取得最大值为9，若对任意[]1,2x ∈，存在[]01,1x ∈-，使得()()0g x f x < ，即()244139x x kx g x x-++-=<，即()241320x k x +--< 对任意[]1,2x ∈恒成立．设()()24132h x x k x =+-- ，则()()1020h h ⎧<⎪⎨<⎪⎩，即116k k <⎧⎨<⎩，解得k 6< ． k ∴的取值范围是(),6-∞19．（1）441x y +=，所以14x y =+≥164xy ≤，当且仅当18x y ==取等号，∴xy 的最大值为164.（2）()414116444202036y x x y x y x y x y ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当16x =，112y =取等号， ∴2536a a +≤，解得94a -≤≤.即a 的取值范围是[]9,4-.20．设矩形停车场南北侧边长为()m 0x x >，则其东西侧边长为1200xm ，人行通道占地面积为()212007200681200848m S x x x x ⎛⎫=++-=++ ⎪⎝⎭，由均值不等式，得27200848482244896m S x x =++≥=⨯+=，当且仅当72008x x =，即30m x =时，2min 96m S =，此时120040m x =．所以，设计矩形停车场南北侧边长为30m ，则其东西侧边长为40m ，人行通道占地面积最小528m 2．21．(1)由题可知关于x 的方程2410x x -+=有两个根12,x x ，所以1212Δ1640,4,1,x x x x =->⎧⎨+==⎩ 故()12121212811444441611616x x x x x x x x +--+===----++-+． (2)由题意关于x 的方程240x mx m -+=有两个正根，所以有212121212Δ>01640,040,00,m m x x x x m x x x x m ⎧⎧->⎪⎪+>⇒+=>⎨⎨⎪⎪>=>⎩⎩解得14m ＞；同时12124x x x x +=，由120,0x x >>得12114x x +=，所以()211212121241111441444x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫+=++=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由于2112,0x x x x >，所以211244x x x x +≥，当且仅当21124x x x x =，即122x x =，且12124x x x x +=，解得1233,48x x ==时取得“=”，此时实数91324m =>符合条件，故12944x x +≥，且当932m =时，取得最小值94． 22．(1) ∵A B =∅，∴当B =∅时，m －1≥m 2，解得：m ∈∅.当B ≠∅时，m －1≥4或m 2≤2，∴m ≤5m ≥.(2)∵x ∈A 是x ∈B 的充分条件，∴A ⊆B ，∴2124m m -≤⎧⎨≥⎩，解得：m ≤－2或2≤m ≤3. 所以实数m 的取值集合为{2m m ≤-或}23m ≤≤23．（1）2cos 22sin cos 2sin sin a B c b A B C B =-⇒⋅=-,∴2sin cos 2sin()sin 2(sin cos cos sin )sin A B A B B A B A B B ⋅=⋅+-=⋅+⋅-,∴1cos 2A =, 0A π<<,3A π∴=;（2）2()AC CB AC AB AC AC AB AC ⋅=⋅-=⋅-255cos 5255832c c c π=⋅⋅-=-=-⇒=，在ABC 中利用余弦定理得：2222212cos 58258492a b c b c A =+-⋅⋅=+-⋅⋅⋅=， 7a ∴=，∴ABC ∆的周长为：58720++=；（3）sin sin b c s A a inB C ====∴sin B =sin C =，∴22b c b c bc a a+=，)2221cos 222a abc a abc A +-=⇒=⇒=⇒a =)222233b c b c bc +-=⇒+=+，323bc bc bc ∴+⇒，等号成立当且仅当b c =， ABC面积的最大值为1sin 2maxbc A ⎛⎫ ⎪⎝⎭.。

高考数学一元二次不等式及其解法大全(含练习和答案)

一元二次不等式及其解法1．一元二次不等式(20(0)ax bx c a ++>>)与相应的二次函数（2(0)y ax bx c a =++>）及一元二次方程（20(0)ax bx c a ++=>）的关系(简称三个二次之间的关系)判别式Δ＝b 2－4acΔ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象一元二次方程 ax 2＋bx ＋c ＝0 (a >0)的根有两相异实根1212,()x x x x < 有两相等实根 122b x x a==-没有实数根 ax 2＋bx ＋c >0 (a >0)的解集R ax 2＋bx ＋c <0 (a >0)的解集∅ 注：（1）若0a <时，可以先将二次项系数化为正数，若对应方程有两实根，则可根据“大于取两边，小于取中间”求解集。

2．简单的分式不等式(1)()0()f x g x >⇔______________；（2）()0()f xg x <⇔____________ (3)()0()f x g x ≥⇔ ___________ （4）()0()f x g x ≤⇔_____________ 3.二次不等式恒成立的条件（1）ax 2＋bx ＋c >0 (a ≠0)对一切x ∈R 恒成立的充要条件是___________ （2）ax 2＋bx ＋c <0 (a ≠0)对一切x ∈R 恒成立的充要条件是___________1．(人教A 版教材习题改编)不等式2x 2－x －1＞0的解集是( )A ．(－12，1) B ．(1，＋∞)C ．(－∞，1)∪(2，＋∞)D ．(－∞，－12)∪(1，＋∞)2．不等式x －12x ＋1≤0的解集为( )A ．(－12，1]B ．{x |x ≥1或x ＜－12}C ．[－12，1]D ．{x |x ≥1或x ≤－12} 3．(2012·福建高考)已知关于x 的不等式x 2－ax ＋2a >0在R 上恒成立，则实数a 的取值范围是________．4．一元二次不等式ax 2＋bx ＋2＞0的解集是(－12，13)，则a ＋b 的值是________．（一）考向1 一元二次不等式的解法例1 求下列不等式的解集（1）22730x x ++> （2）3＋2x －x 2≥0；（3）2830x x -+-> （4）213502x x -+-> （5）22320x x -+-< （6）2xx －1≤1解一元二次不等式的步骤： (1)把二次项系数化为正数；(2)先考虑因式分解法，再考虑求根公式法或配方法或判别式法； (3)写出不等式的解集．变式训练1 解下列不等式：（1）2310x x -+≤ （2）23520x x +-> （3）22530x x --+> （4）29610x x -+-<（5）3012x x+≤- （6）－1≤x 2＋2x －1≤2；（二）考向2 三个二次的关系例2 已知关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ＜0的解集(－1，2)，试求关于x 的不等式ax 2＋x ＋b ＜0的解集．【思路点拨】不等式解集的端点值是相应方程的根．(1)给出一元二次不等式的解集，则可知二次项系数的符号和相应一元二次方程的两根．(2)三个二次的关系体现了数形结合，以及函数与方程的思想方法．变式训练2 若关于x的不等式axx－1＜1的解集是{x|x＜1或x＞2}，求实数a的取值范围．（三）考向3含参数的一元二次不等式的解法例3求不等式12x2－ax＞a2(a∈R)的解集．【思路点拨】先求方程12x2－ax＝a2的根，讨论根的大小，确定不等式的解集．解含参数的一元二次不等式的步骤(1)二次项若含有参数应讨论参数是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式．(2)判断方程实根的个数，讨论判别式Δ与0的关系．(3)确定方程无实根时可直接写出解集，确定方程有两个相异实根时，要讨论两实根的大小关系，从而确定解集形式．变式训练3 解关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a＜0.（四）考向4 不等式恒成立问题例4 若不等式mx 2－mx －1＜0对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围．【思路点拨】分m ＝0与m ≠0两种情况讨论，当m ≠0时，用判别式法求解．1．不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解是全体实数(或恒成立)的条件是当a ＝0时，b ＝0，c ＞0；当a ≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＜0；不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解是全体实数(或恒成立)的条件是当a ＝0时，b ＝0，c ＜0；当a ≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，Δ＜0.2．解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数．变式训练4 对任意a ∈[－1，1]不等式x 2＋(a －4)x ＋4－2a ＞0恒成立，则实数x 的取值范围是________．一个过程解一元二次不等式的一般过程是：一看(看二次项系数的符号)，二算(计算判别式，判断方程根的情况)，三写(写出不等式的解集)．两点联想不等式ax 2＋bx ＋c ＞0(或ax 2＋bx ＋c ＜0)(a ≠0)的求解，善于联想：(1)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴的交点，(2)方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根，运用好“三个二次”间的关系．三个防范1.二次项系数中含有参数时，参数的符号影响不等式的解集；不要忘了二次项系数是否为零的情况．2．解含参数的一元二次不等式，可先考虑因式分解，再对根的大小进行分类讨论；若不能因式分解，则可对判别式进行分类讨论，分类要不重不漏．3．不同参数范围的解集切莫取并集，应分类表述．课时训练1.设集合M={}2230x x x --<，N=12log 0,x x M N ⎧⎫<⋂⎨⎬⎩⎭则等于（）A ．-（1,1） B.(1,3) C.(0,1) D.(-1,0)2.在R 上定义运算:(1)x y x y ⊗⊗=-，若不等式()()1x a x a -⊗+<对任意实数x 成立，则（）A 、11a -<或运算a b ad bc c d ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则不等式1011x x ⎛⎫<< ⎪⎝⎭的解集为（） A ．(1,1)- B. (1,0)(0,1)-⋃C. (1)(1-⋃D.5.设A ＝{x ∈Z ||x －2|≤5}，则A 中最小元素为( )A ．2B ．－3C ．7D ．06、不等式20x ax b --<的解集为{}223,10x x bx ax <<-->则的解集为（）A 、{}23x x <12”是“2x 2＋x －1>0”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8.不等式102xx-≥+的解集为（） A.[]2,1- B. (]2,1- C. ()(),21,-∞-⋃+∞ D. (](),21,-∞-⋃+∞ 9． “关于x 的不等式x 2－2ax ＋a ＞0的解集为R ”是“0≤a ≤1”( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 10.不等式22530x x --≥成立的一个必要不充分条件是（）A ．0x ≥ B. 02x x <>或 C. 12x <- D. 132x x ≤-≥或 11.不等式22253x x a a -+≥-对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为（）A ．[]1,4- B. [)(,2)5,-∞-⋃+∞ C. (][),14,-∞-⋃+∞ D. []2,5-12、若函数222,0(),0x x x f x x ax x ⎧-≥=⎨-+<⎩是奇函数，则满足()f x a x >的的取值范围是________13.若不等式2(1)0x a x a --+≤的解集是[-4,3]的子集，则a 的取值范围是________14．已知不等式|x －2|＞1的解集与不等式x 2＋ax ＋b ＞0的解集相等，则a ＋b 的值为________．15. 设命题p ：2x 2－3x ＋1≤0；命题q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0，若命题p 是命题q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是________． 16．不等式ax 2＋4x ＋a ＞1－2x 2对一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是________．一元二次不等式及其解法答案1、D 【解析】 ∵2x 2－x －1＝(x －1)(2x ＋1)＞0， ∴x ＞1或x ＜－12.故原不等式的解集为(－∞，－12)∪(1，＋∞)．2、A 【解析】原不等式等价于(1)(21)0210x x x -+≤⎧⎨+≠⎩.∴原不等式的解集为(－12，1]．3、(0，8) 【解析】 ∵x 2－ax ＋2a >0在R 上恒成立， ∴Δ＝a 2－4×2a <0，∴0<a <8.4、－14 【解析】由已知得方程ax 2＋bx ＋2＝0的两根为－12，13.则⎩⎨⎧－b a ＝－12＋132a ＝（－12）×13解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，b ＝－2， ∴a ＋b ＝－14.典例分析：例1：（1）原不等式可化为(3)(21)0x x ++> 故原不等式的解集为132x x x ⎧⎫<->-⎨⎬⎩⎭或（2）原不等式化为x 2－2x －3≤0，即(x －3)(x ＋1)≤0，故原不等式的解集为{x |－1≤x ≤3}．（3）原不等式可化为2830x x -+<284(1)(3)520∆=-⨯-⨯-=>212830413413x x x x ∴-+-===方程有两个实根，故原不等式的解集为{}413413x x << （4）原不等式可化为26100x x -+≤ 26411040∆=-⨯⨯=-<∴原不等式的解集为∅（5）原不等式可化为22620x x -+> 2(6)42270∆=--⨯⨯=-<∴故原不等式的解集为R(6) ∵2x x －1≤1⇔2xx －1－1≤0 ⇔x ＋1x －1≤0 ⇔(1)(1)01110x x x x ≤⎧⇔-≤<⎨-≠⎩－＋∴原不等式的解集为[－1，1)．变式训练1 （1）9450∆=-=> 12353522x x ∴==对应的方程有两实数根 ∴原不等式的解集为35352x ⎧-+⎪≤≤⎨⎪⎪⎩⎭（2）原不等式可化为(31)(2)0x x -+> ∴原不等式的解集为123x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或（3）∵－2x 2－5x ＋3＞0， ∴2x 2＋5x －3＜0，∴(2x －1)(x ＋3)＜0， ∴原不等式的解集为{x |－3＜x ＜12}．（4）原不等式可化为2(31)0x -> ∴原不等式的解集为13x x ⎧⎫≠⎨⎬⎩⎭（5）原不等式可化为(3)(12)0120x x x +-≤⎧⎨-≠⎩ (3)(21)0120x x x +-≥⎧⎨-≠⎩则 13212x x x ⎧≤-≥⎪⎪∴⎨⎪≠⎪⎩或∴原不等式的解集为132x x x ⎧⎫≤->⎨⎬⎩⎭或（6）这是一个双向不等式，可转化为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －1≥－1，x 2＋2x －1≤2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ≥0， ①x 2＋2x －3≤0. ② 由①得x ≥0或x ≤－2；由②得－3≤x ≤1. 故得所求不等式的解集为{x |－3≤x ≤－2或0≤x ≤1}.例2 由于x 2＋ax ＋b ＜0的解集是(－1，2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－a ＋b ＝0，4＋2a ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2.故不等式即为－x 2＋x －2＜0， ∵⎩⎪⎨⎪⎧－1＜0，Δ＝1－8＝－7＜0∴不等式ax 2＋x ＋b ＜0的解集为R .,变式训练2 解： axx －1＜1⇔（a －1）x ＋1x －1＜0⇔[(a －1)x ＋1](x －1)＜0，由原不等式的解集是{x |x ＜1或x ＞2}，知⎩⎪⎨⎪⎧a －1＜0，－1a －1＝2⇒a ＝12. ∴实数a 的取值范围是{12}．例3 ∵12x 2－ax ＞a 2， ∴12x 2－ax －a 2＞0，即(4x ＋a )(3x －a )＞0，令(4x ＋a )(3x －a )＝0，得：x 1＝－a 4，x 2＝a3.①a ＞0时，－a 4＜a 3，解集为{x |x ＜－a 4或x ＞a3}；②a ＝0时，x 2＞0，解集为{x |x ∈R 且x ≠0}；③a ＜0时，－a 4＞a 3，解集为{x |x ＜a 3或x ＞－a4}．综上所述：当a ＞0时，不等式的解集为{x |x ＜－a 4或x ＞a3}；当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ∈R 且x ≠0}；当a ＜0时，不等式的解集为{x |x ＜a3或x ＞－变式训练3 【解】原不等式可化为(x －a )(x －1)＜0.当a ＞1时，原不等式的解集为(1，a )；当a ＝1时，原不等式的解集为空集；当a ＜1时，原不等式的解集为(a ，例4 要使mx 2－mx －1＜0对一切实数x 恒成立，若m ＝0，显然－1＜0；若m ≠0，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，Δ＝m 2＋4m ＜0，解得－4＜m ＜0，故实数m 的取值范围是(－4，0]．,变式训练4 【解析】设f (a )＝(x －2)a ＋x 2－4x ＋4，则原问题可转化为一次函数(或常数函数)f (a )在区间[－1，1]上恒正时x 应满足的条件，故应有⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）＞0，f （1）＞0. 即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－5x ＋6＞0，x 2－3x ＋2＞0，化为⎩⎪⎨⎪⎧（x －2）（x －3）＞0，（x －1）（x －2）＞0. 解之，得x ＜1或x ＞3.课时训练1、B 解：由2230x x --<，得13x -<<由12log 0x <，得1x > 所以{}13M N x x ⋂=<<2、C 解：()()1x a x a -⊗+<对任意实数x 成立，即()(1)1x a x a ---<对任意实数x 成立2210x x a a ∴--++>恒成立 214(1)0a a ∴∆=--++< 1322a ∴-<< 3. B 【解析】 ∵|x －1|＜2⇔－1＜x ＜3，又x (x －3)＜0⇔0＜x ＜3.则(0，3)(－1，3)． 4、C 解：由题意可知原不等式即为2011x <-< ，212x ∴<<1221x x ∴<<<-或5. B 【解析】由|x －2|≤5，得－3≤x ≤7，又x ∈Z ，∴A 中的最小元素为－36、C 解：由题意知2,3是方程20x ax b --=的解235,236a ab b +==⎧⎧∴∴⎨⎨⨯=-=-⎩⎩ 22106510bx ax x x ∴-->--->不等式为2116+5+1023x x x x ⎧⎫<∴-<<-⎨⎬⎩⎭即， 7、 A 【解析】 2x 2＋x －1>0的解集为{x |x >12或x <－1}，故由x >12⇒2x 2＋x －1>0，但2x 2＋x －1>0D ⇒/x >12. 则“x ＞12”是“2x 2＋x －1＞0”的充分不必要条件． 8、B 解：由102x x -≥+，得(1)(2)020x x x -+≥⎧⎨+≠⎩ 则(1)(2)020x x x -+≤⎧⎨+≠⎩解得21x -<≤ (]2,1∴-原不等式的解集为9、A 【解析】关于x 的不等式x 2－2ax ＋a ＞0的解集为R ，则Δ＝4a 2－4a ＜0，解得0＜a ＜1，由集合的包含关系可知选A.10、B 解：原不等式可化为(21)(3)0x x +-≥，解得132x x ≤-≥或所以原不等式成立的一个必要不充分条件是02x x <>或11、A 解：由题意知，2225(1)4x x x -+=-+的最小值为4，所以22253x x a a -+≥- 对任意实数x 恒成立，只需234a a -≤，解得14a -≤≤12、(13,)-+∞ 解：()(1)(1)f x f f ∴-=-是奇函数，即1(12)a --=--2()2a f x ∴=->-，则不等式等价于22002222x x x x x x ≥<⎧⎧⎨⎨->--->-⎩⎩，或，解得030x x ≥<<，或-1- 即(13,)x ∈--+∞13、43a -≤≤ 解：原不等式可化为()(1)0x a x --≤，当1a <时，不等式的解集为[],1a ，此时只要4a ≥-即可，即41a -≤<，当1a =时，不等式的解集为1x =，此时符合要求；当1a >时，不等式的解集为[]1,a ，此时只要3a ≤即可，即13a <≤，综上可得43a -≤≤14. －1 【解析】由|x －2|＞1得x －2＜－1或x －2＞1，即x ＜1或x ＞3.依题意得知，不等式x 2＋ax ＋b ＞0的解集是(－∞，1)∪(3，＋∞)于是有⎩⎪⎨⎪⎧1×3＝b ，1＋3＝－a ，即a ＝－4，b ＝3，a ＋b ＝－1. 15、[0，12], 解：由2x 2－3x ＋1≤0，得12≤x ≤1，由x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0，得a ≤x ≤a ＋1，由命题p 是命题q 的必要不充分条件知，p 是q 的充分不必要条件，即{x |12≤x ≤1}{x |a ≤x ≤a ＋1}， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤12，a ＋1≥1，∴0≤a ≤12. 16、 (2，＋∞) 【解析】由题意知，不等式(a ＋2)x 2＋4x ＋a －1＞0对一切x ∈R 恒成立，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2＞0，Δ＝16－4（a ＋2）（a －1）＜0，解得a ＞2.。

一元二次方程题目和答案

一元二次方程题目和答案题目一:求解下列一元二次方程：2x2+5x−3=0解析:对于一元二次方程ax2+bx+c=0，可以使用求根公式来求解。

求根公式是：$$x = \\frac{-b \\pm \\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$将题目中的系数代入该公式：a=2,b=5,c=−3代入求根公式：$$x = \\frac{-5 \\pm \\sqrt{5^2 - 4 \\cdot 2 \\cdot -3}}{2 \\cdot 2}$$ 计算得出：$$x_1 = \\frac{-5 + \\sqrt{49}}{4}$$$$x_2 = \\frac{-5 - \\sqrt{49}}{4}$$化简得：$$x_1 = \\frac{-5 + 7}{4} = \\frac{2}{4} = \\frac{1}{2}$$$$x_2 = \\frac{-5 - 7}{4} = \\frac{-12}{4} = -3$$所以，原方程的解为：$$x_1 = \\frac{1}{2}$$x2=−3题目二:解下列一元二次方程：3x2−4x+1=0解析:同样使用求根公式来求解。

将题目中的系数代入求根公式：a=3,b=−4,c=1代入求根公式：$$x = \\frac{-(-4) \\pm \\sqrt{(-4)^2 - 4 \\cdot 3 \\cdot 1}}{2 \\cdot 3}$$ 计算得出：$$x_1 = \\frac{4 + \\sqrt{16 - 12}}{6}$$$$x_2 = \\frac{4 - \\sqrt{16 - 12}}{6}$$化简得：$$x_1 = \\frac{4 + \\sqrt{4}}{6}$$$$x_2 = \\frac{4 - \\sqrt{4}}{6}$$进一步化简得：$$x_1 = \\frac{4 + 2}{6} = \\frac{6}{6} = 1$$$$x_2 = \\frac{4 - 2}{6} = \\frac{2}{6} = \\frac{1}{3}$$所以，原方程的解为：x1=1$$x_2 = \\frac{1}{3}$$题目三:解下列一元二次方程：x2+6x+9=0解析:仍然使用求根公式求解。

一元二次不等式经典练习及答案详解

[基础巩固]1．不等式x －2x －1≥0的解集是( ) A ．{x |x ≥2}B ．{x |x ≤1或x ＞2}C ．{x |x ＜1}D ．{x |x ＜1或x ≥2}解析原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧(x －2)(x －1)≥0，x －1≠0， ∴x ≥2或x ＜1，故原不等式的解集为{x |x ＜1或x ≥2}．答案 D2．若x 2－2ax ＋2≥0在R 上恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．－2＜a ≤ 2B ．－2＜a ＜ 2C ．－2≤a ＜ 2D ．－2≤a ≤ 2解析 Δ＝(－2a )2－4×1×2≤0，∴－2≤a ≤ 2.答案 D3．某产品的总成本y (万元)与产量x (台)之间的函数关系式为y ＝3000＋20x －0.1x 2(0＜x ＜240，x ∈N )，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是( )A ．100台B ．120台C ．150台D ．180台解析 3000＋20x －0.1x 2≤25x ⇔x 2＋50x －30 000≥0，解得x ≤－200(舍去)或x ≥150. 答案 C4．不等式1x －1≥－1的解集是________．解析 1x －1≥－1⇔1x －1＋1≥0⇔x x －1≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x (x －1)≥0，x －1≠0， ∴不等式的解集是{x |x ≤0或x ＞1}．答案 {x |x ≤0或x ＞1}5．若不等式x 2－4x ＋3m <0的解集为空集，则实数m 的取值范围是________．解析由题意，知x 2－4x ＋3m ≥0对一切实数x 恒成立，所以Δ＝(－4)2－4×3m ≤0，解得m ≥43. 答案 m ≥436．某工厂生产商品M ，若每件定价80元，则每年可销售80万件，税务部门对市场销售的商品要征收附加税．为了既增加国家收入，又有利于市场活跃，必须合理确定征收的税率．据市场调查，若政府对商品M 征收的税率为P %(即每百元征收P 元)时，每年的销售量减少10P 万件．(1)若税务部门对商品M 每年所收税金不少于96万元，求P 的范围；(2)在所收税金不少于96万元的前提下，要让厂家获得最大的销售金额，应如何确定P 值？(3)若仅考虑每年税收金额最高，又应如何确定P 值？解析税率为P %时，销售量为(80－10P )万件，即f (P )＝80(80－10P )，税金为80(80－10P )·P %，其中0<P <8.(1)由⎩⎪⎨⎪⎧80(80－10P )·P %≥96，0<P <8，解得2≤P ≤6. 故P 的范围为2≤P ≤6.(2)设销售金额为S ，则S ＝80(80－10P )(2≤P ≤6)为减函数，∴当P ＝2时，厂家获得最大的销售金额为4800万元．(3)∵0<P <8，设税收金额为G ，则G ＝80(80－10P )·P %＝－8(P －4)2＋128，∴当P ＝4时，国家所得税金最高，为128万元．[能力提升]7．(多选)若命题“存在实数x ，使得(a －2)x 2＋2(a －2)x －4≥0成立”是假命题，则实数a 可以是( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2解析命题“存在实数x ，使得(a －2)x 2＋2(a －2)x －4≥0成立”是假命题，则其否定为“∀实数x ，使得(a －2)x 2＋2(a －2)x －4＜0成立”是真命题，当a ＝2时，原不等式化为－4＜0恒成立；当a ≠2时，则⎩⎪⎨⎪⎧a －2＜0Δ＝4(a －2)2＋16(a －2)＜0，解得－2＜a ＜2.综上，实数a 的取值范围是－2＜a ≤2.故选B 、C 、D.答案 BCD8．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300 m 2的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x (单位：m)的取值范围是( )A ．{x |15≤x ≤30}B ．{x |12≤x ≤25}C ．{x |10≤x ≤30}D ．{x |20≤x ≤30} 解析设矩形的另一边长为y m ，则由三角形相似知，x 40＝40－y 40， ∴y ＝40－x ，∵xy ≥300，∴x (40－x )≥300，∴x 2－40x ＋300≤0，∴10≤x ≤30.答案 C9．若集合A ＝{x |ax 2－ax ＋1<0}＝∅，则实数a 的值的集合为________．解析 (1)当a ＝0时，满足题意．(2)当a ≠0时，应满足⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ≤0，解得0<a ≤4.综上可知，a 值的集合为{a |0≤a ≤4}．答案 {a |0≤a ≤4}10．关于x 的方程x 2－2(m ＋2)x ＋m 2－1＝0.(1)m 为何实数时，方程有两正实数根？(2)m 为何实数时，方程有一正实数根、一负实数根？解析解法一 (1)由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝b 2－4ac ＝4(m ＋2)2－4(m 2－1)≥0，x 1＋x 2＝2(m ＋2)>0，x 1x 2＝m 2－1>0，解得－54≤m ＜－1或m >1，即m 的取值范围是－54≤m ＜－1或m >1. (2)由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，x 1x 2＝m 2－1<0，解得－1<m <1.所以m 的取值范围是－1<m <1.解法二 (1)设y ＝x 2－2(m ＋2)x ＋m 2－1，因为方程有两正实数根，所以函数图象如图甲所示，则应满足⎩⎪⎨⎪⎧ Δ≥0，－b 2a ＝m ＋2>0，m 2－1>0，解得m 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫m |－54≤m ＜－1，或m >1.甲乙(2)因为方程有一正实数根、一负实数根，则函数图象如图乙，由题意知，满足f (0)<0⇒m 的取值范围是{m |－1＜m ＜1}．[探索创新]11．某热带风暴中心B 位于海港城市A 南偏东60°的方向，与A 市相距400 km ，该热带风暴中心B 以40 km/h 的速度向正北方向移动，影响范围的半径是350 km.问：从此时起，经多少时间后A 市将受热带风暴影响，大约受影响多长时间？解析如图，以A 市为原点，正东方向为x 轴建立直角坐标系．∵AB ＝400，∠BAx ＝30°，∴台风中心B 的坐标为(2003，－200)，x h 后台风中心B 到达点P (2003，40x －200)处．由已知，A 市受台风影响时，有AP ≤350，即(2003)2＋(40x －200)2≤3502，整理得16x 2－160x ＋375≤0，解这个不等式得，3.75≤x ≤6.25，A 市受台风影响的时间为6.25－3.75＝2.5(h)．故在3.75 h 后，A 市会受到台风的影响，时间长达2.5 h.。

一元二次方程及不等式练习题

第4章方程与不等式 §4.1一元二次方程一、选择题 1、方程()2219x x +=的一次项系数是（）A 、9B 、4C 、5-D 、2 2、方程2320x x m -+-=有实根，则m 的取值范围是（）A 、m ＞－41B 、m ≥41C 、m ≥－41D 、m ＞413、对于一元二次方程23510x x +-=，以下说法准确的是A 、方程无实数根B 、方程有两个相等的实数根C 、方程有两个不相等的实数根D 、方程的根无法确定 4、一元二次方程2520x x -+=的两个根为12,x x ，则12x x +等于（）A 、–2B 、2C 、–5D 、5二、填空题1、将方程2x x =+化成一般形式是___________________，二次项系数是__________，一次项系数是____________，常数项是____________2、25140x x --=的两根是12_____,_____x x ==3、已知12,x x 是方程20x px q ++=的两根，且12126,3x x x x +==，则p =______q =______4、已知12,x x 是方程22410x x ++=的两根，则2212______x x +=5、已知2是关于x 的方程23202x a -=的一个解，则21a -的值是_______三、解答题1、解以下方程：（1）2680x x -+= （2）22320x x +-= 2、m 为何值时，方程2(2)20x m x m -+++=有两个相等的实数根。

3、已知两个数的和为4，这两个数的积为1，求这两个数4、已知p 、q 为方程2991000x -+=，求11p q+的值§4.2一元一次不等式组一、选择题1、不等式组123x x -≤⎧⎨-<⎩的解集是（） A 、{}|1x x ≥- B.{}|5x x < C ．{}|15x x -≤< D ．{}|15x x x ≤->或2、不等式组114x x ->⎧⎨≤⎩的解集在数轴上表示应是( ) AB CD3、假如不等式组841x x x m +<-⎧⎨>⎩的解集是x ＞3，那么m 的取使范围是（） A ．m ≥3 B ．m ≤3 C ．m=3 D ．m<3二、填空题1、若a ＜b ，则2___3a b ++，3____3a b --，5___1a b --（用“<”或“>”填空）2、不等式组0210x x -<⎧⎨-<⎩的解集是____________ 3、不等式组32482x x x⎧>-⎪⎨⎪-≤-⎩的最小整数解是__________ 三、解答题1、解以下不等式组（1）3040x x +>⎧⎨-<⎩ （2）230230x x ->⎧⎨-<⎩（3）5030x x ->⎧⎨+>⎩（4）6020x x -<⎧⎨-<⎩ 2、写出不等式组31027x x +>⎧⎨<⎩的所有整数解 §4.3一元二次不等式1、求以下不等式的解集（1）24x ≤（2）2(1)16x -≥ （3）220x x --<（4）2560x x ++>2、x§4.4均值不等式一、填空题1、3与7的算术平均值是_______,几何平均值是________2、函数2281()f x x x=+当_____x =时有最小值_______ 二、解答题1、已知0,0,6,a b a b >>+=且求ab 的最大值2、已知0,0,49,a b ab >>=且求a b +的最小值3、用长16㎝的一根铁丝，围成一个矩形小框，当长和宽各为多少时，面积最大？第4章方程与不等式单元测试一、填空题：1、把方程9)2)(2()1(3+-+=-x x x x 化成一般式是，二次项系数与一次项系数之和为________2、方程0232=+-x kx 有两个相等的实数根，则k3、设12,x x 是方程20(0)ax bx c a ++=≠的两个根，则1212__________x x x x +==4、已知一元二次方程的两个根分别为，则方程是_____________5、不等式组10102x x +>⎧⎪⎨-<⎪⎩的解x ∈_______________6、不等式29x >的解集是___________________，10x -≤的解集是________________7、均值不等式x y +≥________________二、判断题1、一元二次方程2230x x -+=的二次项系数是2（）2、方程220x -=有两个相等的实数根（）3、已知a b >，则33a b >（）4、10x -≤仅有1x =一个解（）5、a b +≥在ab 同号时必成立（）三、选择题1、以下方程有实根的是（）A 、0122=++x xB 、012=--x xC 、01062=+-x xD 、0122=+-x x2、设n m ,是两个实数，方程0)(2=++-mn x n m x （）A 、有两个实数根B 、无实数根C 、一定有两个等根D 、以上答案都不对3、已知a b <，则以下式子中错误的选项是（）A 、a c b c +<+B 、a c b c -<-C 、c a c b ->-D 、ac bc <4、若{}|(1)(25)0P x x x =--<，则（）A 、1P ∈B 、52P ∈ C 、2P ∈ D 、5P ∈5、不等式20x ≥的解集是（）A 、∅B 、RC 、[)0,+∞D 、(],0-∞四、解答题1、解方程（1）22(25)(2)x x +=-（2）22530x x --= 2、解不等式（组）（1）24052x x -+<⎧⎨-<-⎩ （2）250x x -+< 3、m 取何值时，方程22210mx mx ++=有两个相等的实数根4、有一张长30㎝、宽20㎝的矩形包装纸，要将这张纸四周裁去相同的宽度，使剩下的矩形包装纸面积为2002cm ，向四周裁去的宽度是多少？5、天虹商场常年销售A 物品，为保证供给，必须保持一定的库存量，已知库存的费用y 与没批进货数量x 之间的函数关系13506y x x =+，求x 取什么值时，库存费用y 最小。

(完整版)一元二次不等式及其解法练习及同步练习题(含答案)

13.2 一元二次不等式及其解法练习（一）、一元二次不等式的解法1、求解下列不等式（1）、23710x x -≤ （2）、2250x x -+-< （3）、2440x x -+-< （4）205x x -<+2、求下列函数的定义域（1）、y （2）y =3、已知集合{}{}22|160,|430A x x B x x x =-<=-+>，求A B ⋃（二）、检测题一、选择题1、不等式11023x x ⎛⎫⎛⎫--> ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的解集为（） A 、11|32x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭ B 、1|2x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭ C 、1|3x x ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭ D 、11|32x x x ⎧⎫<>⎨⎬⎩⎭或 2、在下列不等式中，解集为φ的是（）A 、22320x x -+>B 、2440x x ++>C 、2440x x --<D 、22320x x -+->3、函数()2log 3y x =+的定义域为（）A 、()(),13,-∞-⋃+∞B 、()3,1--C 、(][),13,-∞-⋃+∞D 、(][)3,13,--⋃+∞4、若2230x x -≤，则函数()21f x x x =++ （） A 、有最小值34，无最大值 B 、有最小值34，最大值1 C 、有最小值1，最大值194 D 、无最小值，也无最大值2 5、若不等式210x mx ++>的解集为R ，则m 的取值范围是（）A ．RB ．()2,2-C ．()(),22,-∞-+∞D ．[]2,2-6、不等式()221200x ax a a --<<的解集是（）A ．()3,4a a -B ．()4,3a a -C ．()3,4-D ．()2,6a a7、不等式220ax bx ++>的解集是1123x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，则a b -=（） A ．14-B ．14C ．10-D ．10 二、填空题8、设()21f x x bx =++，且()()13f f =，则()0f x >的解集为。

方程与不等式之一元二次方程技巧及练习题附解析

1 1X 方程与不等式之一元二次方程技巧及练习题附解析根的判别式建立关于 a 的不等式，求出a 的取值范围. 【详解】解：由于原方程是二次方程，所以 •••原方程有两个不相等的实数根， •△ =b2-4ac=4-4a >0 ,解得 a < 1;综上，可得a MQ 且a < 1; 故选D . 【点睛】本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系:(1)△> 0?方程有两个不相等的实数根; ⑵^=0?方程有两个相等的实数根； (3) △< 0?方程没有实数根.【分析】【详解】•••一元二次方程 X2- 2x - m = 0无实数根=4+4m<0,即 m<-1•••一次函数的比例系数m+1<0，图像经过二四象限截距m-1<0，则图象与y 轴交与负半轴，图像过第三象限•••一次函数y =(m+1)X + m - 1的图像不经过第一象限，故选 3.下列各式的变形中，正确的是(2.若一元二次方程 X 2— 2x — m = 0无实数根，则一次函数过第()象限. A .四【答案】D 【解析】 y = (m + 1)x + m — 1的图象不经B . C. D .A . X 28x 10配方变为(X 4)21 B . X (X 2一、选择题1 •关于X 的一元二次方程 B . A . a > 1【答案】D 【解析】【分析】由于原方程是一元二次方程，ax 2+2x+1=0有两个不相等的实数根，那么 a 的取值范围是() C. a < 1D . a<1 且 a 工0a=1首先应该确定的是aM0然后再根据原方程根的情况，利用aM0D.1 1XX ) C. 2X 210X 9 0配方变为(2X5)216 D . ( Xy)(\ 2 2y) X y【答案】D 【解析】【分析】【详解】D 选项，易观察到两多项式中存在相同项及互为相反数项，满足平方差公式，其中相同项为-x , y 与-y 互为相反数，即有(-x-y )( -x+y )=x 2-y 2，正确故选：D . 【点睛】此题主要考查一元二次方程中配方法的运算及整式除法，平方差公式，掌握整式混合运算的法则及配方法的步骤是解题的关键•此题为基础题型，比较简单.4.国庆期间电影《我和我的祖国》第一天票房约3亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达10亿元，若把增长率记作 x ，则方程可以列为(B . 3(1 X)2102C. 3 3(1 X )210 【答案】D 【解析】【分析】用含x 的代数式表示出第二天和第三天的票房收入，三天的票房收入再相加即得答案【详解】解：设平均每天票房收入的增长率记作 x ，则3 3(1 x) 3(1 X)210 .故选：D. 【点睛】本题考查的是一元二次方程的应用之增长降低率问题，一般的，若设变化前的量为化后的量为b ，平均变化率为 X ,则经过两次变化后的数量关系为：a 1 x 25•若a , b 为方程x 25x 10的两个实数根，则 2a 2 3ab 8b 2a 的值为()A 、C 选项，利用配方法的步骤进行计算即可, 断.B 、D 选项为根据整式的除法和乘法即可判A 选项， x 2-8x-1=0利用配方法得, x 2-8x+16-16=1 整理得 B 选项, 2整式的除法， x xx x(x 1)(x-4) 2=17,选项错误1——，选项错误x 1 C 选项,2X 2+10X +9=0将x2系数化为1得,5x0,利用配方法得x 2 5x 25 253，整理得, 4 42-，故该选项错误;4A . 3(1 x) 102D . 3 3(1 x) 3(1 X )210a ,变A. -41B. -35C. 39D. 45【答案】C 【解析】【分析】根据一元二次方程的解的定义及一元二次方程根与系数的关系可得a 2-5a-1=0, a+b=5, ab=-1，把 2a 2 3ab 8b 2a 变形为 2(a 2-5a-1)+3ab+8(a+b)+2，即可得答案.【详解】•••a , b 为方程x 25x 10的两个实数根,二 a 2-5a-1=0, a+b=5, ab=-1 ,二2a 23ab 8b 2a =2(a 2-5a-1)+3ab+8(a+b)+2=2 X 0+3 01) +8 X 5+2 =39.故选：C. 【点睛】本题主要考查一元二次方程的解的定义及一元二次方程根与系数的关系，若一元二次方程【解析】【分析】由-2a2+4a - 5=- 2 (a - 1) 2- 3 可得：xw 3.【详解】■/x= - 2a 2+4a - 5= - 2 (a - 1) 2- 3<- 3,^不论 a 取何值，xw 3.故选D . 【点睛】本题考查了配方法的应用，熟练运用配方法解答本题的关键.【解析】【分析】根据一元二次方程解的定义，把 x=1代入x 2+bx+1=0得关于b 的一次方程，然后解一次方程即可. 【详解】ax 2+bx+c=0(a 却的两个根为山b X I 、X 2,贝y x i +x 2= — , x ia•=-;熟练掌握韦达定理是解题关a键.26.若 2a 4a 5 x ,则不论取何值，一定有A . X 5【答案】D B . C. xD . x 37.已知x=1是一元二次方程上2+力K+l = 0的解，则b 的值为()C .I -2I I A . 0【答案】CB . 1 D . 2&在解方程(x+2)( x - 2) =5时，甲同学说：由于程的根X 1=-1 , X 2=7；乙同学说：应把方程右边化为(x+3)( X - 3) =0,得方程的根 X 1= - 3, 确的是..()A .甲错误，乙正确 B.甲正确，乙错误 C.甲、乙都正确D.甲、乙都错误【答案】【解析】X 2-4=5, X2-9=0,(x+3)(x+2)( X - 2) =5,(x-3) =0,x+3=0 或 x-3=0, x i =-3，X 2=3,所以甲错误，乙正确, 故选A.9.下列方程中，有实数根的是( )A . J X 22 0C . J 1 X 1【答案】D 【解析】【分析】根据二次根式的性质逐项分析即可. 【详解】A .B . C. 5=1 X5 可令 x+2=1, x - 2=5，得方 0,得x 2- 9=0,再分解因式，即X 2=3 •对于甲、乙两名同学的说法，下列判断正B . J X 2 V2x 1D . Tn X•/ X 2+2 >2 .J X 2 2 0，故不正确；••• X -2» 且 2-x>0 ••• X =2,. J X 2 丘—X 0，故不正确; ••• 71—X 0, . J —X 1 1 0，故不正确; •/ x+1^0, -X>p D . -1 夯(切. •••y/n解：把 x=1 代入 x2+bx+1=0得 1+b+1=0,解得 b=-2. 故选：C. 【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解.2二 x -x-1=0,•/ ?=1+4=5 > 0,•-心」5，x 2=1（舍去），2 2••• 尸x 有实数根，符合题意.故选D . 【点睛】本题考查了二次根式的性质，无理方程的解法，以及一元二次方程的解法，熟练掌握各知识点是解答本题的关键.10.若一次函数y kx b 的图象不经过第二象限，则关于 x 的方程x 2kx b 0的根的情况是（）【分析】利用一次函数性质得出 k >0, b<0,再判断出△=k2-4b >0,即可求解.【详解】解：Q 一次函数y kx b 的图象不经过第二象限,k 0，b 0， k 2 4b 0 ，方程有两个不相等的实数根. 故选：A . 【点睛】本题考查的是一元二次方程的根的判别式，熟练掌握一次函数的图像和一元二次方程根的判别式是解题的关键.11•某商品原售价225元，经过连续两次降价后售价为196元，设平均每次降价的百分率为x ，则下面所列方程中正确的是（）A . 225（1- x ）2=196C. 225（ - x 2）= 196【答案】AA .有两个不相等的实数根 C.无实数根【答案】A【解析】 B .有两个相等的实数根 D .无法确定B . 196(1- x )= 2252D . 196(什 x 2)= 225【解析】【分析】可先表示出第一次降价后的价格，那么第一次降价后的价格把相应数值代入即可求解. 【详解】第一次降价后的价格为 225X ( 1-x ),第二次降价后的价格为 225X (1 - X ) X( 1 - x ),则 225 ( 1 - x ) 2=196. 故选A . 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用-增长率问题.均变化率为X ,则经过两次变化后的数量关系为由题意知，2017年蔬菜产量为：100 (1+8.1%), 2018年蔬菜产量为：100 (1+8.1%) (1+x ),然后根据2018年底产量达到144吨列方程即可. 【详解】解：•••某种植基地 2016年蔬菜产量为100吨，2017年比2016年产量增长8.1%,••• 2017 年蔬菜产量为：100 (1+8.1%),••• 2018年比2017年产量的增长率为 x , 2018年底产量达到144吨， ••• 2018 年蔬菜产量为：100 (1+8.1%)( 1+x )= 144,故选D . 【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程的应用，熟练掌握这些知识是解题的关键13.如图，过点C 1,2分别作x 轴、y 轴的平行线，交直线 y x 5于A 、B 两点, k 若反比例函数y —(X 0)的图象与VABC 有公共点，贝U k 的取值范围是()xX (1-降低的百分率)=225, 若设变化前的量为a ，变化后的量为b ，平a (1±<) 2=b .12.某种植基地2016年蔬菜产量为100吨，2017年产量的增长率为 x , 2018年底产量达到144吨，则x 满足( A . 100 2017年比2016年产量增长 8.1%, 2018年比C 100 【答案】【解析】(1+x ) 2= 144 (1+8.1%) +x = 144D)B . 100 ( 1+8.1%)( 1 - x )= 144 D . 100 (1+8.1%)( 1+x )= 144【答案】【解析】【分析】由点C 的坐标结合直线 AB 的解析式可得出点 A 、B 的坐标，求出反比例函数图象过点 C 时的k 值，将直线AB 的解析式代入反比例函数解析式中，令其根的判别式值范围，取其最大值，找出此时交点的横坐标，进而可得出此点在线段得出结论.【详解】解：令 y = -X + 5 中 x = 1 贝y y = 4, •- B (1 , 4); 令 y = -x + 5 中 y = 2,贝U x = 3,•- A (3, 2),A . 2B . 2 k 6 C. 2 k 4D . 4 k 6△为可求出k 的取 AB 上，综上即可当反比例函数 (x > 0)的图象过点C 时，有2=半,解得：k = 2, 将y = - x + 5代入k中，整理得：x 2- 5x + k = 0 ,x•△=( -5) 2-4k >p ••• k空4 25当k = 25时，解得:45x=—2•••若反比例函数 -(x > 0)的图象与△ABC 有公共点，则k 的取值范围是2 < kI5,x4故选：A . 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是求出反比例函数图象过点A 、C 时的k 值以及直线与双曲线有一个交点时k 的值.14.已知关于x 的一元二次方程 3X 2+4X -5=0,下列说法正确的是() 方程有两个相等的实数根方程有两个不相等的实数根A .B . C.没有实数根 D . 无法确定【答案】B【解析】试题分析：先求出 △=42 - 4 X 3( - 5) =76 > 0，即可判定方程有两个不相等的实数根.故答案选 B. 考点：一元二次方程根的判别式.15. 代数式 x 2 4x 5 的最小值是(【解析】【分析】此题考查了配方法，若二次项系数为系数不为 1 ，则可先提取二次项系数，将其化为【详解】••• X 2+4X +5=X 2+4X +4-4+5= (x+2) 2+1•••( X +2) 2>0 ■'■( X +2) 2+I >1•••当X =-2时，代数式X2+4X +5的最小值为1 . 故选： B .【点睛】此题考查了学生的应用能力，解题时要注意配方法的步骤.注意在变形的过程中不要改变式子的值. x 2 8x 9 0，变形后的结果正确的是 ( ) 2 2 2 B . x 4 7 C . x 4 25 D . x 4 7 答案】解析】所以故选【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的一般步骤以及注意事项是解题的关键. A . 5 【答案】 BB . 1C ．4D .没有最小值 1，则常数项是一次项系数的一半的平方，若二次项1 后再计算. 16. 用配方法解方程A . x【分析】先将常数项移到右侧，【详解】2 x2 xx 2 8x 8x8x 9 42 然后两边同时加上一次项系数一半的平方，配方后进行判断即可0， 42，7， D.17.如图，有一长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长笆的总长为35米，与墙平行的边留有 160平方米，则鸡场与墙垂直的边长为（35 （X1）则根据题意列方程为：X ——12解得：X 1= 16, X 2 = 20 （大于墙长，舍去），宽为：亜4=10（米），2所以鸡场的长为16米，宽为10米，即鸡场与墙垂直的边长为 10米.故选：C.【点睛】本题考查的是一元二次方程的应用，理解题意，正确的列方程，牢记长方形的面积宽，一元二次方程的求解是本题的关键与重点. 18. 下列一元二次方程中，没有实数根的是（A . X 2 — 2x = 0B . X 2— 2x+1 = 0 【答案】D【解析】【分析】根据判别式即可求出答案.【详解】 A. ^= 4，故选项A 有两个不同的实数根；B. ^= 4 — 4= 0,故选项B 有两个相同的实数根；C. ^= 1+4 X2 9,故选项C 有两个不同的实数根;18米），另三边用竹篱笆围成，竹篱（门用其它材料做成），若鸡场的面积为 1米宽的门A . 7.5 米【答案】C【解析】【分析】设长为x ，则根据图可知一共有三面用到了篱笆，长用的篱笆为（的总和为篱笆的长 35米，长＞宽=面积【详解】B . 8米 C. 10米 D . 10米或8米x-1 ）米，与2倍的宽长 160平方米，根据这两个式子可解出长和宽的值. 解：设鸡场的长为 X ,因为篱笆总长为35米，由图可知宽为： 35（X 1 米, 2 160,=长X) C. 2x 2— x — 1 = D . 2x 2— x+1 = 0 味D.^= 1 - 8 =- 7故选项D 没有实数根; 故选D .【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的根的判别式，本题属于基础题型.19. 在一幅长80cm ，宽50cm 的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图, 如图所示，如果要使整幅挂图的面积是方程是（）【解析】【分析】=长＞宽，我们可得出本题的等量关系应该是：（风景画的长度）＞＜（风景画的宽+2个纸边的宽度）=整个挂图的面积，由此可得出方程【详解】由题意，设金色纸边的宽为 xcm ,得出方程：（80+2X ）（ 50+2X ） =5400, 整理后得：X2 65X 350 0故选：B.【点睛】本题主要考查了由实际问题得出一元二次方程，对于面积问题应熟记各种图形的面积公式，然后根据等量关系列出方程是解题关键 .【分析】由已知方程的系数可得两根的关系（根据韦达定理或者叫根与系数的关系），再将所求代数式变形可求得代数式结果.，设金色纸边的宽为 xcm ，那么x 满足的5400cm 2 A . X 2C. X 2【答130X 130X 1400 0 1400 0 B . D . X 2 65X 350 0 X 2 65X 350 0 +2个纸边的宽根据矩形的面积 20.设a ,卩是方程X 2 9X 1 0的两根，则 a 2009 a 1 H 2009 B 1 的值是 A . 0【答案】D【解析】 B . 1 C. 2000 D . 40000002000 g2000 故选D. 【点睛】(1 )将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法 . (2)二次函数为ax 2 bx c 0(a 不等于0)的两个不同实数根：a f 满足b c-,g -a a【详解】解：(X B 是方程X 2 9x 1 0的两个实数根1 0,2009 a 1 2009 卩 a 2 9 a 1 2000 f 2 9 卩 1 20004000000 4000000。

高一数学一元二次不等式解法练习题及与含参不等式恒成立的例子

高一数学一元二次不等式解法练习题及答案例若＜＜，则不等式－－＜的解是1 0a 1(x a)(x )01a[ ]A a xB x a．＜＜．＜＜11aaC x aD x x a．＞或＜．＜或＞x aa11分析比较与的大小后写出答案． a 1a解∵＜＜，∴＜，解应当在“两根之间”，得＜＜．选．0a 1a a x A 11a a￥例有意义，则的取值范围是．2 x x 2--x 6分析求算术根，被开方数必须是非负数．解据题意有，x 2－x －6≥0，即(x －3)(x ＋2)≥0，解在“两根之外”，所以x ≥3或x ≤－2．例3 若ax 2＋bx －1＜0的解集为{x|－1＜x ＜2}，则a ＝________，b ＝________．分析根据一元二次不等式的解公式可知，－1和2是方程ax 2＋bx －1＝0的两个根，考虑韦达定理．解根据题意，－1，2应为方程ax 2＋bx －1＝0的两根，则由韦达定理知-=-+=-=-=-⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪baa ()()1211122×得 ab ==-1212，． %例4 解下列不等式(1)(x －1)(3－x)＜5－2x (2)x(x ＋11)≥3(x ＋1)2 (3)(2x ＋1)(x －3)＞3(x 2＋2)(4)3x 2-+--+-31325113122x x x x x x ＞＞()()分析将不等式适当化简变为ax 2＋bx ＋c ＞0(＜0)形式，然后根据“解公式”给出答案(过程请同学们自己完成)．答 (1){x|x ＜2或x ＞4}(2){x|1x }≤≤32!(3)∅(4)R (5)R说明：不能使用解公式的时候要先变形成标准形式．例不等式＋＞的解集为5 1x 11-x[ ]A ．{x|x ＞0}B ．{x|x ≥1}C ．{x|x ＞1}D ．{x|x ＞1或x ＝0}￥分析直接去分母需要考虑分母的符号，所以通常是采用移项后通分．解不等式化为＋－＞，通分得＞，即＞，1x 000111122----xx x x x∵x 2＞0，∴x －1＞0，即x ＞1．选C ．说明：本题也可以通过对分母的符号进行讨论求解．例与不等式≥同解的不等式是6 0x x--32 [ ]A ．(x －3)(2－x)≥0B ．0＜x －2≤1 |C ．≥230--xxD ．(x －3)(2－x)≤0解法一原不等式的同解不等式组为≥，≠． ()()x x x ---⎧⎨⎩32020 故排除A 、C 、D ，选B ．解法二≥化为＝或－－＞即＜≤ x 320x 3(x 3)(2x)02x 3--x两边同减去2得0＜x －2≤1．选B ．说明：注意“零”．例不等式＜的解为＜或＞，则的值为7 1{x|x 1x 2}a axx -1…[ ]A aB aC aD a ．＜．＞．＝．＝－12121212分析可以先将不等式整理为＜，转化为 0()a x x -+-111[(a －1)x ＋1](x －1)＜0，根据其解集为{x|x ＜1或x ＞2}可知－＜，即＜，且－＝，∴＝．a 10a 12a 1112a -答选C ．说明：注意本题中化“商”为“积”的技巧．例解不等式≥．8 237232x x x -+-"解先将原不等式转化为3723202x x x -+--≥即≥，所以≤．由于＋＋＝＋＋＞，---+-+++-2123212314782222x x x x x x x x 002x x 12(x )022∴不等式进一步转化为同解不等式x 2＋2x －3＜0，即(x ＋3)(x －1)＜0，解之得－3＜x ＜1．解集为{x|－3＜x ＜1｝．说明：解不等式就是逐步转化，将陌生问题化归为熟悉问题．例9 已知集合A ＝{x|x 2－5x ＋4≤0}与B ＝{x|x 2－2ax ＋a ＋2≤，若，求的范围．0}B A a ⊆*分析先确定A 集合，然后根据一元二次不等式和二次函数图像关系，结合，利用数形结合，建立关于的不等式．B A a ⊆解易得A ＝{x|1≤x ≤4} 设y ＝x 2－2ax ＋a ＋2(*)(1)B B A 0若＝，则显然，由Δ＜得∅⊆4a 2－4(a ＋2)＜0，解得－1＜a ＜2．(2)B (*)116若≠，则抛物线的图像必须具有图－特征：∅>应有≤≤≤≤从而{x|x x x }{x|1x 4}12⊆12a 12042a 4a 201412a 22－·＋＋≥－·＋＋≥≤≤解得≤≤a a--⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪22187综上所述得的范围为－＜≤．a 1a 187说明：二次函数问题可以借助它的图像求解．例10 解关于x 的不等式(x －2)(ax －2)＞0．分析不等式的解及其结构与a 相关，所以必须分类讨论．解 1° 当a ＝0时，原不等式化为、x －2＜0其解集为{x|x ＜2}；2 a 02(x 2)(x )0°当＜时，由于＞，原不等式化为－－＜，其解集为22a a{x|2ax 2}＜＜； 3 0a 12(x 2)(x )0°当＜＜时，因＜，原不等式化为－－＞，其解集为22a a{x|x 2x }＜或＞；2a4° 当a ＝1时，原不等式化为(x －2)2＞0，其解集是{x|x ≠2}；5 a 12(x 2)(x )0°当＞时，由于＞，原不等式化为－－＞，其解集是22a a{x|x x 2}＜或＞．2a—从而可以写出不等式的解集为： a ＝0时，{x|x ＜2｝；a 0{x|2a x 2＜时，＜＜｝；0a 1{x|x 2x }＜＜时，＜或＞；2aa ＝1时，{x|x ≠2}；a 1{x|x x 2}＞时，＜或＞．2a说明：讨论时分类要合理，不添不漏．例11 若不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为{x|α＜x ＜β}(0＜α＜β)，求cx 2＋bx ＋a ＜0的解集．:分析由一元二次函数、方程、不等式之间关系，一元二次不等式的解集实质上是用根来构造的，这就使“解集”通过“根”实现了与“系数”之间的联系．考虑使用韦达定理：解法一由解集的特点可知a ＜0，根据韦达定理知：－＝α＋β，＝α·β．bac a⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪ 即＝－α＋β＜，＝α·β＞．ba c a()00⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪∵a ＜0，∴b ＞0，c ＜0．又×，b a a c b c= ∴＝－α＋β①由＝α·β，∴＝α·β②b c c a a c (1)111对＋＋＜化为＋＋＞，cx bx a 0x x 022b c ac>由①②得α，β是＋＋＝两个根且α＞β＞，1111x x 002b c a c ∴＋＋＞即＋＋＜的解集为＞α或＜β．x x 0cx bx a 0{x|x x }22b c a c 11 解法二 ∵cx 2＋bx ＋a ＝0是ax 2＋bx ＋a ＝0的倒数方程．且ax 2＋bx ＋c ＞0解为α＜x ＜β，∴＋＋＜的解集为＞α或＜β．cx bx a 0{x|x x } 211说明：要在一题多解中锻炼自己的发散思维．例解关于的不等式：＜－∈．12 x 1a(a R)xx -1分析将一边化为零后，对参数进行讨论． /解原不等式变为－－＜，即＜， (1a)00x x ax a x -+--111进一步化为(ax ＋1－a)(x －1)＜0．(1)当a ＞0时，不等式化为(x )(x 1)01{x|a 1a x1}－－＜，易见＜，所以不等式解集为＜＜；a a a a ---11(2)a ＝0时，不等式化为x －1＜0，即x ＜1，所以不等式解集为{x|x ＜1}；(3)a 0(x )(x 1)01{x|x 1x }＜时，不等式化为－·－＞，易见＞，所以不等式解集为＜或＞．a a a aa a---111综上所述，原不等式解集为：当＞时，＜＜；当＝时，＜；当＜时，＞或＜．a 0{x|a 1ax 1}a 0{x|x 1}a 0{x|x x 1}--a a1…例13 (2001年全国高考题)不等式|x 2－3x|＞4的解集是________．分析可转化为(1)x 2－3x ＞4或(2)x 2－3x ＜－4两个一元二次不等式．由可解得＜－或＞，．(1)x 1x 4(2)∅答填{x|x ＜－1或x ＞4}．例14 (1998年上海高考题)设全集U ＝R ，A ＝{x|x 2－5x －6＞0}，B ＝{x||x －5|＜a}(a 是常数)，且11∈B ，则[ ]A ．(U A)∩B ＝RB ．A ∪(U B)＝R`C ．(U A)∪(U B)＝RD ．A ∪B ＝R分析由x 2－5x －6＞0得x ＜－1或x ＞6，即A ＝{x|x ＜－1或x ＞6}由|x －5|＜a 得5－a ＜x ＜5＋a ，即B ＝{x|5－a ＜x ＜5＋a}∵11∈B ，∴|11－5|＜a 得a ＞6∴5－a ＜－1，5＋a ＞11 ∴A ∪B ＝R ．答选D ． …说明：本题是一个综合题，涉及内容很广泛，集合、绝对值不等式、一元二次不等式等内容都得到了考查不等式中恒成立问题的解法研究，在不等式的综合题中，经常会遇到当一个结论对于某一个字母的某一个取值范围内所有值都成立的恒成立问题。

2023年中考数学-----《一元二次方程之解一元二次方程》知识总结与专项练习题(含答案解析)

2023年中考数学-----《一元二次方程之解一元二次方程》知识总结与专项练习题（含答案解析）知识总结1. 直接开方法解一元二次方程：适用形式：p x =2或()p a x =+2或()p b ax =+2（p 均大于等于0）①p x =2时，方程的解为：p x p x −==21，。

②()p a x =+2时，方程的解为：a p x a p x −−=−=21，。

③()p b ax =+2时，方程的解为：abp x a b p x −−=−=21，。

2. 配方法解一元二次方程：运用公式：()2222b a b ab a ±=+±。

具体步骤：①化简——将方程化为一般形式并把二次项系数化为1。

②移项——把常数项移到等号右边。

③配方——两边均加上一次项系数一半的平方。

④开方——整理式子，利用完全平方式开方降次得到两个一元一次方程。

⑤解一元一次方程即得到一元二次方程的根。

即：2222222222442420a acb a b x ac a b a b x a b x a cx a b x acx a b x c bx ax −=⎪⎭⎫ ⎝⎛+−=⎪⎭⎫ ⎝⎛++−=+=++=++∴a ac b a b x a ac b a b x 24224222−−=+−=+， aacb b x a ac b b x 24242221−−−=−+−=，若042≥−ac b ，则即可求得两根。

3. 公式法解一元二次方程：（1）根的判别式：由配方法可知，ac b 42−即为一元二次方程根的判别式。

用∆表示。

①⇔−=∆042＞ac b 方程有两个不相等的实数根。

②⇔=−=∆042ac b 方程有两个相等的实数根。

③⇔−=∆042＜ac b 方程没有实数根。

（2）求根公式：当042≥−=∆ac b 时，则一元二次方程可以用aacb b x 242−±−=来求出它的两个根，这就是一元二次方程的求根公式。

高一一元二次不等式及其解法知识点+例题+练习含答案

1．“三个二次”的关系判别式Δ＝b2－4ac Δ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有两个相异实根x1，x2(x1<x2)有两个相等实根x1＝x2＝－b2a没有实数根ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集(－∞，x1)∪(x2，＋∞)(－∞，－b2a)∪(－b2a，＋∞)Rax2＋bx＋c<0(a>0)的解集(x1，x2) ∅∅不等式解集ab(x－a)·(x－b)>0{x|x<a或x>b}{x|x≠a}{x|x<b或x>a}(x－a) (x－b)<0{x|a<x<b}∅{x|b<x<a}【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集为(x 1，x 2)，则必有a >0.( √ ) (2)不等式x －2x ＋1≤0的解集是[－1,2]．( × )(3)若不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集是(－∞，x 1)∪(x 2，＋∞)，则方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根是x 1和x 2.( √ )(4)若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)没有实数根，则不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为R .( × ) (5)不等式ax 2＋bx ＋c ≤0在R 上恒成立的条件是a <0且Δ＝b 2－4ac ≤0.( × )1．(教材改编)不等式x 2－3x －10>0的解集是________．答案 (－∞，－2)∪(5，＋∞)解析解方程x 2－3x －10＝0得x 1＝－2，x 2＝5，由y ＝x 2－3x －10的开口向上，所以x 2－3x －10>0的解集为(－∞，－2)∪(5，＋∞)． 2．设集合M ＝{x |x 2－3x －4<0}，N ＝{x |0≤x ≤5}，则M ∩N ＝________. 答案 [0,4)解析 ∵M ＝{x |x 2－3x －4<0}＝{x |－1<x <4}， ∴M ∩N ＝[0,4)．3．已知不等式ax 2－bx －1≥0的解集是⎣⎡⎦⎤－12，－13，则不等式x 2－bx －a <0的解集是________________．答案 (2,3)解析由题意知－12，－13是方程ax 2－bx －1＝0的根，所以由根与系数的关系得－12＋⎝⎛⎭⎫－13＝b a ，－12×⎝⎛⎭⎫－13＝－1a .解得a ＝－6，b ＝5，不等式x 2－bx －a <0即为x 2－5x ＋6<0，解集为(2,3)．4．(教材改编)若关于x 的不等式m (x －1)>x 2－x 的解集为{x |1<x <2}，则实数m 的值为________．答案 2解析因为m (x －1)>x 2－x 的解集为{x |1<x <2}．所以1,2一定是m (x －1)＝x 2－x 的解，∴m ＝2.5．(教材改编)若关于x 的方程x 2＋ax ＋a 2－1＝0有一正根和一负根，则a 的取值范围为________．答案 (－1,1)解析由题意可知，Δ>0且x 1x 2＝a 2－1<0，故－1<a <1.题型一一元二次不等式的求解命题点1 不含参的不等式例1 求不等式－2x 2＋x ＋3<0的解集．解化－2x 2＋x ＋3<0为2x 2－x －3>0，解方程2x 2－x －3＝0得x 1＝－1，x 2＝32，∴不等式2x 2－x －3>0的解集为(－∞，－1)∪(32，＋∞)，即原不等式的解集为(－∞，－1)∪(32，＋∞)．命题点2 含参不等式例2 解关于x 的不等式：x 2－(a ＋1)x ＋a <0. 解由x 2－(a ＋1)x ＋a ＝0得(x －a )(x －1)＝0， ∴x 1＝a ，x 2＝1，①当a >1时，x 2－(a ＋1)x ＋a <0的解集为{x |1<x <a }， ②当a ＝1时，x 2－(a ＋1)x ＋a <0的解集为∅， ③当a <1时，x 2－(a ＋1)x ＋a <0的解集为{x |a <x <1}．引申探究将原不等式改为ax 2－(a ＋1)x ＋1<0，求不等式的解集．解若a ＝0，原不等式等价于－x ＋1<0，解得x >1. 若a <0，原不等式等价于(x －1a )(x －1)>0，解得x <1a 或x >1.若a >0，原不等式等价于(x －1a )(x －1)<0.①当a ＝1时，1a ＝1，(x －1a )(x －1)<0无解；②当a >1时，1a <1，解(x －1a )(x －1)<0得1a<x <1；③当0<a <1时，1a >1，解(x －1a )(x －1)<0得1<x <1a .综上所述：当a <0时，解集为{x |x <1a或x >1}；当a ＝0时，解集为{x |x >1}；当0<a <1时，解集为{x |1<x <1a }；当a ＝1时，解集为∅；当a >1时，解集为{x |1a<x <1}．思维升华含有参数的不等式的求解，往往需要对参数进行分类讨论．(1)若二次项系数为常数，首先确定二次项系数是否为正数，再考虑分解因式，对参数进行分类讨论，若不易分解因式，则可依据判别式符号进行分类讨论；(2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，确定不等式是不是二次不等式，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式； (3)对方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集．求不等式12x 2－ax ＞a 2(a ∈R )的解集．解 ∵12x 2－ax ＞a 2，∴12x 2－ax －a 2＞0，即(4x ＋a )(3x －a )＞0，令(4x ＋a )(3x －a )＝0，得：x 1＝－a 4，x 2＝a3.①a ＞0时，－a 4＜a 3，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜－a 4或x ＞a 3；②a ＝0时，x 2＞0，解集为{x |x ∈R 且x ≠0}； ③a ＜0时，－a 4＞a 3，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜a 3或x ＞－a 4.综上所述，当a ＞0时，不等式的解集为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜－a 4或x ＞a 3；当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ∈R 且x ≠0}；当a ＜0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜a 3或x ＞－a 4.题型二一元二次不等式恒成立问题命题点1 在R 上恒成立例3 (1)若一元二次不等式2kx 2＋kx －38<0对一切实数x 都成立，则k 的取值范围为________．(2)设a 为常数，∀x ∈R ，ax 2＋ax ＋1>0，则a 的取值范围是________．答案 (1)(－3,0) (2)[0,4)解析 (1)2kx 2＋kx －38<0对一切实数x 都成立，则必有⎩⎪⎨⎪⎧2k <0，Δ＝k 2－4×2k ×(－38)<0，解之得－3<k <0. (2)∀x ∈R ，ax 2＋ax ＋1>0，则必有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝a 2－4a <0或a ＝0，∴0≤a <4.命题点2 在给定区间上恒成立例4 设函数f (x )＝mx 2－mx －1.若对于x ∈[1,3]，f (x )<－m ＋5恒成立，求m 的取值范围．解要使f (x )<－m ＋5在x ∈[1,3]上恒成立，即 m ⎝⎛⎭⎫x －122＋34m －6<0在x ∈[1,3]上恒成立．有以下两种方法：方法一令g (x )＝m ⎝⎛⎭⎫x －122＋34m －6，x ∈[1,3]．当m >0时，g (x )在[1,3]上是增函数，所以g (x )max ＝g (3)⇒7m －6<0，所以m <67，所以0<m <67；当m ＝0时，－6<0恒成立；当m <0时，g (x )在[1,3]上是减函数，所以g (x )max ＝g (1)⇒m －6<0，所以m <6，所以m <0. 综上所述：m 的取值范围是{m |m <67}．方法二因为x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34>0，又因为m (x 2－x ＋1)－6<0，所以m <6x 2－x ＋1.因为函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝⎛⎭⎫x －122＋34在[1,3]上的最小值为67，所以只需m <67即可．所以，m 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫m |m <67.命题点3 给定参数范围的恒成立问题例5 对任意的k ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(k －4)x ＋4－2k 的值恒大于零，则x 的取值范围是________________________________________________________________________．答案 {x |x <1或x >3}解析 x 2＋(k －4)x ＋4－2k >0恒成立，即g (k )＝(x －2)k ＋(x 2－4x ＋4)>0，在k ∈[－1,1]时恒成立．只需g (－1)>0且g (1)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－5x ＋6>0，x 2－3x ＋2>0，解之得x <1或x >3.思维升华 (1)对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴下方．另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值．(2)解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数．(1)若不等式x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为__________．(2)已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0成立，则实数m 的取值范围是________．答案 (1)[－1,4] (2)(－22，0) 解析 (1)x 2－2x ＋5＝(x －1)2＋4的最小值为4，所以x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，只需a 2－3a ≤4，解得－1≤a ≤4.(2)作出二次函数f (x )的草图，对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0，则有⎩⎪⎨⎪⎧f (m )<0，f (m ＋1)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m 2－1<0，(m ＋1)2＋m (m ＋1)－1<0，解得－22<m <0.题型三一元二次不等式的应用例6 某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件．若售价降低x 成(1成＝10%)，售出商品数量就增加85x 成．要求售价不能低于成本价．(1)设该商店一天的营业额为y ，试求y 与x 之间的函数关系式y ＝f (x )，并写出定义域； (2)若再要求该商品一天营业额至少为10 260元，求x 的取值范围．解 (1)由题意得，y ＝100⎝⎛⎭⎫1－x 10·100⎝⎛⎭⎫1＋850x . 因为售价不能低于成本价，所以100⎝⎛⎭⎫1－x10－80≥0. 所以y ＝f (x )＝40(10－x )(25＋4x )，定义域为x ∈[0,2]． (2)由题意得40(10－x )(25＋4x )≥10 260，化简得8x 2－30x ＋13≤0.解得12≤x ≤134.所以x 的取值范围是⎣⎡⎦⎤12，2.思维升华求解不等式应用题的四个步骤(1)阅读理解，认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系．(2)引进数学符号，将文字信息转化为符号语言，用不等式表示不等关系，建立相应的数学模型．(3)解不等式，得出数学结论，要注意数学模型中自变量的实际意义． (4)回归实际问题，将数学结论还原为实际问题的结果．某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为10 000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x (0<x <1)，则出厂价相应地提高比例为0.75x ，同时预计年销售量增加的比例为0.6x ，已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量． (1)写出本年度预计的年利润y 与投入成本增加的比例x 的关系式；(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x 应在什么范围内？解 (1)y ＝[(1＋0.75x )×12－(1＋x )×10]×(1＋0.6x )×10 000 ＝－6 000x 2＋2 000x ＋20 000，即y ＝－6 000x 2＋2 000x ＋20 000(0<x <1)． (2)上年利润为(12－10)×10 000＝20 000. ∴y －20 000>0，即－6 000x 2＋2 000x >0， ∴0<x <13，即x 的范围为(0，13)．14．转化与化归思想在不等式中的应用典例 (1)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f (x )<c 的解集为(m ，m ＋6)，则实数c 的值为________．(2)已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋ax ，若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )>0恒成立，则实数a 的取值范围是________．思维点拨 (1)考虑“三个二次”间的关系； (2)将恒成立问题转化为最值问题求解．解析 (1)由题意知f (x )＝x 2＋ax ＋b ＝⎝⎛⎭⎫x ＋a 22＋b －a 24. ∵f (x )的值域为[0，＋∞)， ∴b －a 24＝0，即b ＝a 24.∴f (x )＝⎝⎛⎭⎫x ＋a 22. 又∵f (x )<c ，∴⎝⎛⎭⎫x ＋a22<c ，即－a 2－c <x <－a2＋c .∴⎩⎨⎧－a2－c ＝m ， ①－a2＋c ＝m ＋6. ②②－①，得2c ＝6，∴c ＝9.(2)∵x ∈[1，＋∞)时，f (x )＝x 2＋2x ＋ax >0恒成立，即x 2＋2x ＋a >0恒成立．即当x ≥1时，a >－(x 2＋2x )＝g (x )恒成立．而g (x )＝－(x 2＋2x )＝－(x ＋1)2＋1在[1，＋∞)上单调递减， ∴g (x )max ＝g (1)＝－3，故a >－3. ∴实数a 的取值范围是{a |a >－3}．答案 (1)9 (2){a |a >－3}温馨提醒 (1)本题的解法充分体现了转化与化归思想：函数的值域和不等式的解集转化为a ，b 满足的条件；不等式恒成立可以分离常数，转化为函数值域问题． (2)注意函数f (x )的值域为[0，＋∞)与f (x )≥0的区别．[方法与技巧]1．“三个二次”的关系是解一元二次不等式的理论基础，一般可把a <0时的情形转化为a >0时的情形．2．f (x )>0的解集即为函数y ＝f (x )的图象在x 轴上方的点的横坐标的集合，充分利用数形结合思想．3．简单的分式不等式可以等价转化，利用一元二次不等式解法进行求解． [失误与防范]1．对于不等式ax 2＋bx ＋c >0，求解时不要忘记讨论a ＝0时的情形． 2．当Δ<0时，ax 2＋bx ＋c >0 (a ≠0)的解集为R 还是∅，要注意区别． 3．含参数的不等式要注意选好分类标准，避免盲目讨论．A 组专项基础训练(时间：30分钟)1．不等式(x －1)(2－x )≥0的解集为____________．答案 {x |1≤x ≤2}解析由(x －1)(2－x )≥0可知(x －2)(x －1)≤0，所以不等式的解集为{x |1≤x ≤2}．2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2， x ≤0，－x ＋2， x >0，则不等式f (x )≥x 2的解集为________．答案 [－1,1]解析方法一当x ≤0时，x ＋2≥x 2， ∴－1≤x ≤0；①当x >0时，－x ＋2≥x 2，∴0<x ≤1.② 由①②得原不等式的解集为{x |－1≤x ≤1}．方法二作出函数y ＝f (x )和函数y ＝x 2的图象，如图，由图知f (x )≥x 2的解集为[－1,1]．3．若集合A ＝{x |ax 2－ax ＋1<0}＝∅，则实数a 的取值范围是____________．答案 [0,4]解析由题意知a ＝0时，满足条件．a ≠0时，由⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝a 2－4a ≤0，得0<a ≤4，所以0≤a ≤4.4．已知不等式x 2－2x －3<0的解集是A ，不等式x 2＋x －6<0的解集是B ，不等式x 2＋ax ＋b <0的解集是A ∩B ，那么a ＋b ＝________. 答案－3解析由题意，A ＝{x |－1<x <3}，B ＝{x |－3<x <2}，A ∩B ＝{x |－1<x <2}，则不等式x 2＋ax ＋b <0的解集为{x |－1<x <2}．由根与系数的关系可知，a ＝－1，b ＝－2，所以a ＋b ＝－3.5．设a >0，不等式－c <ax ＋b <c 的解集是{x |－2<x <1}，则a ∶b ∶c ＝________.答案 2∶1∶3解析 ∵－c <ax ＋b <c ，又a >0，∴－b ＋c a <x <c －b a. ∵不等式的解集为{x |－2<x <1}，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －b ＋c a ＝－2，c －b a ＝1，∴⎩⎨⎧ b ＝a 2，c ＝32a ，∴a ∶b ∶c ＝a ∶a 2∶3a 2＝2∶1∶3. 6．若不等式－2≤x 2－2ax ＋a ≤－1有唯一解，则a 的值为__________．答案 1±52解析若不等式－2≤x 2－2ax ＋a ≤－1有唯一解，则x 2－2ax ＋a ＝－1有两个相等的实根，所以Δ＝4a 2－4(a ＋1)＝0，解得a ＝1±52. 7．若0<a <1，则不等式(a －x )(x －1a)>0的解集是________________．答案 {x |a <x <1a} 解析原不等式即(x －a )(x －1a)<0，由0<a <1得a <1a ，∴a <x <1a. 8．已知关于x 的不等式ax －1x ＋1<0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－1或x >－12，则实数a ＝____________. 答案－2解析 ax －1x ＋1<0⇔(x ＋1)(ax －1)<0，依题意，得a <0，且1a ＝－12.∴a ＝－2. 9．设f (x )是定义在R 上的以3为周期的奇函数，若f (1)>1，f (2)＝2a －3a ＋1，则实数a 的取值范围是________．答案 (－1，23) 解析 ∵f (x ＋3)＝f (x )，∴f (2)＝f (－1＋3)＝f (－1)＝－f (1)<－1.∴2a －3a ＋1<－1⇔3a －2a ＋1<0⇔(3a －2)(a ＋1)<0， ∴－1<a <23. 10．设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，函数F (x )＝f (x )－x 的两个零点为m ，n (m <n )．(1)若m ＝－1，n ＝2，求不等式F (x )>0的解集；(2)若a >0，且0<x <m <n <1a，比较f (x )与m 的大小．解 (1)由题意知，F (x )＝f (x )－x ＝a (x －m )(x －n )．当m ＝－1，n ＝2时，不等式F (x )>0，即a (x ＋1)(x －2)>0.当a >0时，不等式F (x )>0的解集为{x |x <－1或x >2}；当a <0时，不等式F (x )>0的解集为{x |－1<x <2}．(2)f (x )－m ＝F (x )＋x －m ＝a (x －m )(x －n )＋x －m ＝(x －m )(ax －an ＋1)，∵a >0，且0<x <m <n <1a， ∴x －m <0,1－an ＋ax >0.∴f (x )－m <0，即f (x )<m .B 组专项能力提升(时间：20分钟)11．已知函数f (x )＝(ax －1)(x ＋b )，如果不等式f (x )>0的解集是(－1,3)，则不等式f (－2x )<0的解集是__________________________．答案 (－∞，－32)∪(12，＋∞) 解析 f (x )＝0的两个解是x 1＝－1，x 2＝3且a <0，由f (－2x )<0得－2x >3或－2x <－1，∴x <－32或x >12.12．若关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，且x 2－x 1＝15，则a ＝________.答案 52解析由x 2－2ax －8a 2<0，得(x ＋2a )(x －4a )<0，因a >0，所以不等式的解集为(－2a,4a )，即x 2＝4a ，x 1＝－2a ，由x 2－x 1＝15，得4a －(－2a )＝15，解得a ＝52. 13．已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋b 2－b ＋1(a ∈R ，b ∈R )，对任意实数x 都有f (1－x )＝f (1＋x )成立，当x ∈[－1,1]时，f (x )>0恒成立，则b 的取值范围是________．答案 b <－1或b >2解析由f (1－x )＝f (1＋x )知f (x )图象的对称轴为直线x ＝1，则有a 2＝1，故a ＝2. 由f (x )的图象可知f (x )在[－1,1]上为增函数．∴x ∈[－1,1]时，f (x )min ＝f (－1)＝－1－2＋b 2－b ＋1＝b 2－b －2，令b 2－b －2>0，解得b <－1或b >2.14．设函数f (x )＝x 2－1，对任意x ∈[32，＋∞)，f (x m)－4m 2·f (x )≤f (x －1)＋4f (m )恒成立，则实数m 的取值范围是________________．答案 {m |m ≤－32或m ≥32} 解析依据题意得x 2m 2－1－4m 2(x 2－1)≤(x －1)2－1＋4(m 2－1)在x ∈[32，＋∞)上恒成立，即1m 2－4m 2≤－3x 2－2x ＋1在x ∈[32，＋∞)上恒成立．当x ＝32时，函数y ＝－3x 2－2x ＋1取得最小值－53，所以1m 2－4m 2≤－53，即(3m 2＋1)(4m 2－3)≥0，解得m ≤－32或m ≥32. 15．求使不等式x 2＋(a －6)x ＋9－3a >0，|a |≤1恒成立的x 的取值范围．解将原不等式整理为形式上是关于a 的不等式(x －3)a ＋x 2－6x ＋9>0.令f (a )＝(x －3)a ＋x 2－6x ＋9.因为f (a )>0在|a |≤1时恒成立，所以(1)若x ＝3，则f (a )＝0，不符合题意，应舍去．(2)若x ≠3，则由一次函数的单调性，可得⎩⎪⎨⎪⎧ f (－1)>0，f (1)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－7x ＋12>0，x 2－5x ＋6>0，解得x <2或x >4.所以x 的取值范围是{x |x <2或x >4}．。

一元二次不等式解法专题知识梳理及典型练习题(含答案)

一元二次不等式解法专题一.一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系判别式Δ＝b 2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)的图象一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0 (a ＞0)的根有两相异实根x 1，x 2(x 1＜x 2) 有两相等实根x 1＝x 2＝－b2a没有实数根ax 2＋bx ＋c ＞0 (a ＞0)的解集{x |x ＞x 2或x ＜x 1} ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x ≠－b 2aRax 2＋bx ＋c ＜0 (a ＞0)的解集 {x |x 1＜x ＜x 2}Φ Φ二.穿针引线法例 1 解下列不等式：（1）x x ≥-2414 （2）0822≥+--x x （3）0)3)(2(>-+x x例2 若ax 2＋bx －1＜0的解集为{x|－1＜x ＜2}，则a ＝________，b ＝_____．例3(穿针引线法）解不等式：(x-1)2(x+1)(x-2)(x+4)<0例4 不等式xx ->+111的解集为（） A ．{x|x ＞0}B ．{x|x≥1}C．{x|x ＞1} D ．{x|x ＞1或x ＝0}解不等式化为＋－＞，通分得＞，即＞，1x 000111122----xx x x x∵x 2＞0，∴x－1＞0，即x ＞1．选C ．例5 与不等式023≥--xx 同解得不等式是（） A ．(x －3)(2－x)≥0B．0＜x －2≤1C ．≥230--xx D ．(x －3)(2－x)≤0 练习1：1．不等式x 2－3x ＋2＜0的解集为( )． A ．(－∞，－2)∪(－1，＋∞) B ．(－2，－1) C ．(－∞，1)∪(2，＋∞) D ．(1,2)答案 D2．(2011·XX)不等式2x 2－x －1＞0的解集是( )． A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1B ．(1，＋∞) C ．(－∞，1)∪(2，＋∞) D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪(1，＋∞) 故原不等式的解集为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪(1，＋∞)．答案 D3．不等式9x 2＋6x ＋1≤0的解集是( )．A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x ≠－13B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－13C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |－13≤x ≤13D ．R答案 B4．若不等式ax 2＋bx －2＜0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |－2＜x ＜14，则ab ＝( )．A ．－28B ．－26C ．28D ．26 答案 C5.函数f (x )＝2x 2＋x －3＋log 3(3＋2x －x 2)的定义域为________．解析依题意知⎩⎨⎧2x 2＋x －3≥0，3＋2x －x 2＞0，解得⎩⎨⎧x ≤－32或x ≥1，－1＜x ＜3.∴1≤x ＜3.故函数f (x )的定义域为[1,3)．答案 [1,3)6.已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2x ，x ≥0，－x 2＋2x ，x ＜0，解不等式f (x )＞3.[审题视点] 对x 分x ≥0、x ＜0进行讨论从而把f (x )＞3变成两个不等式组．解由题意知⎩⎨⎧x ≥0，x 2＋2x ＞3或⎩⎨⎧x ＜0，－x 2＋2x ＞3，解得：x ＞1.故原不等式的解集为{x |x ＞1}．例不等式＜的解为＜或＞，则的值为7 1{x|x 1x 2}a axx -1A aB aC aD a ．＜．＞．＝．＝－12121212分析可以先将不等式整理为＜，转化为 0()a x x -+-111[(a －1)x ＋1](x －1)＜0，根据其解集为{x|x ＜1或x ＞2}可知－＜，即＜，且－＝，∴＝．a 10a 12a 1112a - 选C ．例解不等式≥．8 237232x x x -+-解先将原不等式转化为3723202x x x -+--≥即≥，所以≤．由于＋＋＝＋＋＞，---+-+++-2123212314782222x x x x x x x x 002x x 12(x )022∴不等式进一步转化为同解不等式x 2＋2x －3＜0，即(x ＋3)(x －1)＜0，解之得－3＜x ＜1．解集为{x|－3＜x ＜1｝．说明：解不等式就是逐步转化，将陌生问题化归为熟悉问题．练习21.(x+4)(x+5)2(2-x)3＜0．2.解下列不等式(1);22123+-≤-x x 127314)2(22<+-+-x x x x3.解下列不等式1x 5x 2)2(;3x 1x 1+>+-≤-）（4.解下列不等式()()12log 6log 1log )2(;08254)1(21212121≥-++≥+⋅-+x x x x5解不等式1)123(log 2122<-+-x x x ．。

高一数学一元二次函数、方程与不等式重难点突破练习题含答案

高一数学一元二次函数、方程与不等式考试时间：90分钟满分：100分A 组基础巩固（60分）一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（2022·陕西渭南·高一期末）若集合{}{}|0,|23A x x B x x =>=-<<，则A B =（） A ．{}|0x x >B ．{}|20x x -<<C ．{}|03x x <<D ．{}|2x x >-2．（2022·上海·华东师范大学第一附属中学高一阶段练习）如果0a b <<，那么下列不等式成立的是（） A ．11a b >，c d >，则ac bd >C ．若a b >，则22a b >D ．若22ac bc >，则a b >4．（2022·河北·石家庄外国语学校高一期中）已知0x >，0y >，且2x y xy +=，则2x y +的最小值为（）A ．8B ．C ．9D ．5．（2022·辽宁鞍山·高一阶段练习）设a<b<0，则下列不等式中不一定正确的是（）A ．22a b > B ．ac <bc C ．|a|>－b D >6．（2022·辽宁鞍山·高一阶段练习）设x ∈R ，则“20x -≥”是“11x +≤”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 7．（2022·广东·新会陈经纶中学高一阶段练习）已知不等式220ax bx +-<的解集为{}12x x -<<，则不等式()2130ax b x +-->的解集为（）A ．RB ．∅C ．{}13x x -<<D ．{1x x <-或}3x >8．（2021·山东聊城一中高一阶段练习）若0x >，0y >，1x y +=，且14x m x y+>恒成立，则实数m 取值范围（）A ．(),3-∞B ．(),6-∞C ．(),5-∞D ．(),9-∞二、多选题：本大题共2小题，每个小题5分，共10分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的.9．（2022·山东省胶州市第一中学高一期末）已知正数a ，b 满足22a b ab +=，则下列说法一定正确的是（） A ．24a b +≥B ．4a b +≥C ．8ab ≥D ．2248a b +≥10．（2022·辽宁鞍山·高一阶段练习）下列说法正确的是（）A ．“对任意一个无理数x ，2x 也是无理数”是真命题B ．“0xy >”是“0x y +>”的充要条件C ．命题“2R,10x x ∃∈+=”的否定是“2R,10x x ∀∈+≠”D ．若“13x <<”的必要不充分条件是“22m x m -<<+”，则实数m 的取值范围是[1,3]三、填空题：本大题共2小题，每小题5分，共10分.把答案填在答题卡中的横线上.11．（2022·山东省胶州市第一中学高一期末）设α：13x ≤≤，β：124m x m +≤≤+（m ∈R ）．若β是α的必要条件，则m 的取值范围是______．12．（2022·四川省泸县第四中学高一阶段练习）已知0,0x y >>且1x y +=，则14x y+的最小值为______________．B 组能力提升（40分）四、解答题：本大题共4小题，共40分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．13．（2022·上海·华东师范大学第一附属中学高一阶段练习）已知集合{}22|1,|352021x A x B x x x x -⎧⎫=≥=-++>⎨⎬-⎩⎭． (1)求A 、B ；(2)求A B ⋂、A ．14．（2022·山东省胶州市第一中学高一期末）命题p ：“[]1,2x ∀∈，20x x a +-≥”，命题q ：“R x ∃∈，2320x x a ++-=”.(1)写出命题p 的否定命题p ⌝，并求当命题p ⌝为真时，实数a 的取值范围；(2)若p 和q 中有且只有一个是真命题，求实数a 的取值范围．15．（2022·辽宁鞍山·高一阶段练习）已知不等式()21460a x x +--<的解集是{}13x x -<<．(1)求常数a 的值；(2)若关于x 的不等式240ax mx ++≥的解集为R ，求m 的取值范围．16．（2021·山东聊城一中高一阶段练习）如图，学校规划建一个面积为2300m的矩形场地，里面分成两个部分，分别作为铅球和实心球的投掷区，并且在场地的左侧，右侧，中间和前侧各设计一条宽2m的通道，问：这个场地的长，宽各为多少时，投掷区面积最大，最大面积是多少？一元二次函数、方程与不等式参考答案考试时间：90分钟满分：100分A 组基础巩固（60分）一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（2022·陕西渭南·高一期末）若集合{}{}|0,|23A x x B x x =>=-<<，则A B =（） A ．{}|0x x >B ．{}|20x x -<<C ．{}|03x x <<D ．{}|2x x >- 【答案】C【分析】根据集合交集的定义求解即可.【详解】因为{}|0A x x =>，{}|23B x x =-<<，所以{}|03A B x x =<<，故选：C 2．（2022·上海·华东师范大学第一附属中学高一阶段练习）如果0a b <<，那么下列不等式成立的是（） A ．11a b >，c d >，则ac bd >C ．若a b >，则22a b >D ．若22ac bc >，则a b >【答案】D【分析】根据不等式的基本性质，结合特值法，对每个选项进行逐一分析，即可容易求得结果.【详解】解：对于A ，若a b <，当0c <时，ac bc >，A 选项错误；对于B ，取2,1,1,2a b c d ===-=-，则ac bd =，B 选项错误；对于C ，取1,1a b ==-，则22a b =，C 选项错误；对于D ，若22ac bc >，显然0c ≠，故可得2()0c a b ->，又20c >，所以a b >，D 选项正确，故选：D.4．（2022·河北·石家庄外国语学校高一期中）已知0x >，0y >，且2x y xy +=，则2x y +的最小值为（）A ．8B ．C ．9D ．5．（2022·辽宁鞍山·高一阶段练习）设a<b<0，则下列不等式中不一定正确的是（）A ．22a b > B ．ac <bc C ．|a|>－b D >6．（2022·辽宁鞍山·高一阶段练习）设x ∈R ，则“20x -≥”是“11x +≤”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．（2022·广东·新会陈经纶中学高一阶段练习）已知不等式220ax bx +-<的解集为{}12x x -<<，则不等式()2130ax b x +-->的解集为（）A ．RB ．∅C ．{}13x x -<<D ．{1x x <-或}3x >8．（2021·山东聊城一中高一阶段练习）若0x >，0y >，1x y +=，且m x y+>恒成立，则实数m 取值范围（）A ．(),3-∞B ．(),6-∞C ．(),5-∞D ．(),9-∞二、多选题：本大题共2小题，每个小题5分，共10分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的.9．（2022·山东省胶州市第一中学高一期末）已知正数a ，b 满足22a b ab +=，则下列说法一定正确的是（） A ．24a b +≥B ．4a b +≥C ．8ab ≥D ．2248a b +≥ 4b （当且仅当2ab （当且仅当22448a b ab +（当且仅当10．（2022·辽宁鞍山·高一阶段练习）下列说法正确的是（）A ．“对任意一个无理数x ，2x 也是无理数”是真命题B ．“0xy >”是“0x y +>”的充要条件C ．命题“2R,10x x ∃∈+=”的否定是“2R,10x x ∀∈+≠”D ．若“13x <<”的必要不充分条件是“22m x m -<<+”，则实数m 的取值范围是[1,3]三、填空题：本大题共2小题，每小题5分，共10分.把答案填在答题卡中的横线上.11．（2022·山东省胶州市第一中学高一期末）设α：13x ≤≤，β：124m x m +≤≤+（m ∈R ）．若β是α的必要条件，则m 的取值范围是______．12．（2022·四川省泸县第四中学高一阶段练习）已知0,0x y >>且1x y +=，则x y+的最小值为______________．【答案】9【详解】试题分析：因为0,0x y >>且1x y +=，所以取得等号，故函数的最小值为9.，答案为9.B 组能力提升（40分）四、解答题：本大题共4小题，共40分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 13．（2022·上海·华东师范大学第一附属中学高一阶段练习）已知集合{}22|1,|352021x A x B x x x x -⎧⎫=≥=-++>⎨⎬-⎩⎭． (1)求A 、B ；(2)求A B ⋂、A ．【答案】(1)1|12A x x ⎧⎫-≤<⎨⎩=⎬⎭；1|23B x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭(2)11|32A B x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭；|1{x A x =<-或1}2x ≥ 【分析】（1）解出分式不等式和二次不等式即可；（2）由（1）利用集合交集和补集运算即可.【详解】（1）由2121x x -≥⇔-21021x x --≥-()()221021x x x ---⇔≥- ()()121011002121210x x x x x x x ⎧+-≤--+⇔≥⇔≤⇔⎨---≠⎩11121122x x x ⎧-≤≤⎪⎪⇔⇔-≤<⎨⎪≠⎪⎩，所以集合1|12A x x ⎧⎫-≤<⎨⎩=⎬⎭；由2213520352023x x x x x -++>⇔--<⇔-<<，所以集合1|23B x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭. （2）由（1）1|12A x x ⎧⎫-≤<⎨⎩=⎬⎭，1|23B x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭所以11|32A B x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭； |1{x A x =<-或1}2x ≥.14．（2022·山东省胶州市第一中学高一期末）命题p ：“[]1,2x ∀∈，20x x a +-≥”，命题q ：“R x ∃∈，2320x x a ++-=”.(1)写出命题p 的否定命题p ⌝，并求当命题p ⌝为真时，实数a 的取值范围；(2)若p 和q 中有且只有一个是真命题，求实数a 的取值范围．15．（2022·辽宁鞍山·高一阶段练习）已知不等式()21460a x x +--<的解集是{}13x x -<<．(1)求常数a 的值；(2)若关于x 的不等式240ax mx ++≥的解集为R ，求m 的取值范围．【答案】(1)1a =(2)[]4,4-【分析】（1）由题意可得－1和3是方程()21460a x x +--=的解，将=1x -代入方程中可求出a 的值；（2）由240x mx ++≥的解集为R ，可得0∆≤，从而可求出m 的取值范围【详解】（1）因为不等式()21460a x x +--<的解集是{}13x x -<<．所以－1和3是方程()21460a x x +--=的解，把=1x -代入方程解得1a =．经验证满足题意（2）若关于x 的不等式240ax mx ++≥的解集为R ，即240x mx ++≥的解集为R ，所以2160m ∆=-≤，解得44m -≤≤，所以m 的取值范围是[]4,4-．16．（2021·山东聊城一中高一阶段练习）如图，学校规划建一个面积为2300m 的矩形场地，里面分成两个部分，分别作为铅球和实心球的投掷区，并且在场地的左侧，右侧，中间和前侧各设计一条宽2m 的通道，问：这个场地的长，宽各为多少时，投掷区面积最大，最大面积是多少？【答案】长为30m ，宽为10m 时，投掷区面积最大为2192m .【解析】设场地的长为x ，宽为y ，投掷区域面积为S ，则()3000,0xy x y =>>，()(6)2S x y =--展开后利用基本不等式即可求最值.【详解】设场地的长为x ，宽为y ，投掷区域面积为S ，则()3000,0xy x y =>>，()(6)2122(x 3)3122(x 3y)S x y xy y =--=+-+=-+31222331243300312430192x y ≤-⨯⋅=-⨯=-⨯=，当且仅当3003xyx y=⎧⎨=⎩，即3010xy=⎧⎨=⎩时等号成立，所以这个场地的长为30m，宽为10m时，投掷区面积最大，最大面积是2192m.【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用，利用基本不等式求最值解决实际问题.。