微积分复习附解题技巧

合集下载

高等数学微积分学习方法及联系题汇总

01：函数概念五要素，定义关系最核心。

02：分段函数分段点，左右运算要先行。

03：变限积分是函数，遇到之后先求导。

04：奇偶函数常遇到，对称性质不可忘。

05：单调增加与减少，先算导数正与负。

06：正反函数连续用，最后只留原变量。

07：一步不行接力棒，最终处理见分晓。

08：极限为零无穷小，乘有限仍无穷小。

09：幂指函数最复杂，指数对数一起上。

10：待定极限七类型，分层处理洛必达。

11：数列极限洛必达，必须转化连续型。

12：数列极限逢绝境，转化积分见光明。

13：无穷大比无穷大，最高阶项除上下。

14：n项相加先合并，不行估计上下界。

15：变量替换第一宝，由繁化简常找它。

16：递推数列求极限，单调有界要先证，两边极限一起上，方程之中把值找。

17：函数为零要论证，介值定理定乾坤。

18：切线斜率是导数，法线斜率负倒数。

19：可导可微互等价，它们都比连续强。

20：有理函数要运算，最简分式要先行。

21：高次三角要运算，降次处理先开路。

22；导数为零欲论证，罗尔定理负重任。

23：函数之差化导数，拉氏定理显神通。

24：导数函数合（组合）为零，辅助函数用罗尔。

25：寻找ξη无约束，柯西拉氏先后上。

26：寻找ξη有约束，两个区间用拉氏。

27：端点、驻点、非导点，函数值中定最值。

28：凸凹切线在上下，凸凹转化在拐点。

29：数字不等式难证，函数不等式先行。

30：第一换元经常用，微分公式要背透。

31：第二换元去根号，规范模式可依靠。

32：分部积分难变易，弄清u 、v 是关键。

33：变限积分双变量，先求偏导后求导。

加日志标题 34：定积分化重积分，广阔天地有作为。

35；微分方程要规范，变换，求导，函数反。

36：多元复合求偏导，锁链公式不可忘。

37：多元隐函求偏导，交叉偏导加负号。

38：多重积分的计算，累次积分是关键。

39：交换积分的顺序，先要化为重积分。

40：无穷级数不神秘，部分和后求极限。

41：正项级数判别法，比较、比值和根值。

微积分复习

0 ≤ r ≤ ϕ (θ ).
o
D
r = ϕ (θ )
β
α
图2
A
∫∫
D
f ( r cosθ , r sinθ )rdrdθ
β ϕ (θ )
= ∫ dθ ∫
α
0
f ( r cosθ , r sinθ )rdr .
（3）区域如图）区域如图3
r = ϕ (θ )
π 0 ≤ θ ≤ 2π,
0 ≤ r ≤ ϕ (θ ).
D
o
A
∫∫ f ( r cosθ , r sinθ )rdrdθ
D
图3
= ∫ dθ ∫
0
2π
ϕ (θ )
0
f ( r cosθ , r sinθ )rdr .
微积分口诀
——无穷级数
10：无穷级数不神秘，部分和后求极限。：无穷级数不神秘，部分和后求极限。 11：正项级数判别法，比较比值和根值。：正项级数判别法，比较比值和根值。
α ≤θ ≤ β,
ϕ 1 (θ ) ≤ r ≤ ϕ 2 (θ ).
r = ϕ1 (θ)
D
α
β
o
∫∫ f ( r cosθ , r sinθ )rdrdθ
D
图1
A
= ∫ dθ ∫
α
β
ϕ 2 (θ )
ϕ1 (θ )
f (r cosθ , r sinθ )rdr.
（2）区域如图）区域如图2
α ≤θ ≤ β,
级数（1） un , 级数（2） vn敛散性判别法 ∑ ∑
n =1 n =1
∞
∞
级数的收敛性名称条件收敛 Ι 比较判别法 ΙΙ 发散若级数(2)收敛，若级数(1)发散，则级则级数(1) 数(2)发散收敛当0<A<+ 时，当A=+ 时，若级数若级数(2)收敛， (2)发散，则级数则级数(1)收敛 (1)发散当0≤r<1时当r>1时

微积分复习及解题技巧.docx

《微积分》复习及解题技巧第一章函数一、据定义用代入法求函数值：典型例题：《综合练习》第二大题之2二、求函数的定义域：（答案只要求写成不等式的形式，可不用区间表示）对于用数学式子来表示的函数，它的定义域就是使这个式子有意义的自变量X的取值范围（集合）主要根据：①分式函数：分母H0②偶次根式函数：被开方式20③对数函数式：真数式>0④反正（余）弦函数式：自变量W1在上述的函数解析式中，上述情况有几种就列出几个不等式组成不等式组解之。

典型例题：《综合练习》第二大题Z1补充：求y=、巨的定义域。

（答案：-2<^<|）]ll-2x 2三、判断函数的奇偶性：典型例题：《综合练习》第一大题之3、4第二章极限与连续式（用罗彼塔法则）求极限主要根据:1、常见的极限：lim 占=（）（。

>0）X->COXlimlim/（x）= /（x o ） XT%初等函数在其定义域上都连续。

例:lim*TXT1兀3、求极限r ‘⑴ 1 lim —- = 1—a gO ）的思路：lim/W= ci （ci 工0常数）X —可考虑以下9种可能:00①彳型不定式（用罗彼塔法则）④5=00⑦汁limgU ） x->a②冷⑤牙<C 2（C 2^O 常数）③2=000@ —=000⑨丝型不定00X丿特别注意：对于f （X ）、g （X ）都是多项式的分式求极限吋，解法见教材P70下总结的“规律”。

以上解法都必须贯穿极限四则运算的法则典型例题：《综合练习》第二大题之3. 4；第三大题之1、3、5. 7、81砂［而+而+而+」（2-1畑+ 1）『1］更寸一3+3丐+」右一冇丿补充4：2型一匚 limf = iXT1 丄（此题用了 “罗彼塔法则”）补充1：洛lim x-»lsin 2(x-l)广 + ax+补充厶 limX —>00 \2x^lim 12/? +1 丿lim XT1lnxx-1贝 ij a= ~2X 4- Px — \)第三章导数和微分一、根据导数定义验证函数可导性的问题:典型例题：《综合练习》第一大题之12二、求给定函数的导数或微分：求导主耍方法复习：1、求导的基本公式：教材P1232、求导的四则运算法则:教材P110—1113、复合函数求导法则（最重要的求导依据）4、隐函数求导法（包括对数函数求导法）6、求高阶导数（最高为二阶）7、求微分：dy=y z dx即可典型例题：《综合练习》第四大题之1、2、7、9补充：设\ + （arctgx）2,求dy.解：岛…右話十，丿 / X 2arctgx、右+K)dx第四章中值定理，导数的应用一、关于罗尔定理及一些概念关系的识别问题: 典型例题：《综合练习》第一大题之16、19二、利用导数的几何意义，求曲线的切、法线方程: 典型例题：《综合练习》第二人题之5二、函数的单调性（增减性）及极值问题:典型例题：《综合练习》第一大题之18,第二大题之6,第六大题之2第五章不定积分第六章定积分I理论内容复习：1、原函数：F f(x) = /(x)则称F (x)为f (x)的二±原函数。

微积分复习及解题技巧

《微积分》复习及解题技巧第一章函数一、据定义用代入法求函数值：典型例题：《综合练习》第二大题之2二、求函数的定义域：（答案只要求写成不等式的形式，可不用区间表示）对于用数学式子来表示的函数，它的定义域就是使这个式子有意义的自变量x 的取值范围（集合）主要根据： ①分式函数：分母≠0 ②偶次根式函数：被开方式≥0 ③对数函数式：真数式＞0④反正（余）弦函数式：自变量 ≤1在上述的函数解析式中，上述情况有几种就列出几个不等式组成不等式组解之。

典型例题：《综合练习》第二大题之1补充：求y=xx 212-+的定义域。

（答案：212<≤-x ）三、判断函数的奇偶性：典型例题：《综合练习》第一大题之3、4第二章极限与连续求极限主要根据： 1、常见的极限：2、利用连续函数：初等函数在其定义域上都连续。

例：3、求极限的思路：可考虑以下9种可能：①00型不定式（用罗彼塔法则） ②20C =0 ③∞0=0④01C =∞ ⑤21C C ⑥∞1C =0⑦0∞=∞ ⑧2C ∞=∞ ⑨∞∞型不定式（用罗彼塔法则）1sin lim 0=→x xx e x xx =⎪⎭⎫⎝⎛+∞→11lim )0(01lim >=∞→ααxx )()(0lim 0xf x f x x =→11lim 1=→x x 1)()(lim =→x g x f x α⎪⎩⎪⎨⎧∞≠=→)0(0)(11lim 常数C C x f x α⎪⎩⎪⎨⎧∞≠=→)0(0)(22lim 常数C C x g x α特别注意：对于f （x ）、g （x ）都是多项式的分式求极限时，解法见教材P70下总结的“规律”。

以上解法都必须贯穿极限四则运算的法则！典型例题：《综合练习》第二大题之3、4；第三大题之1、3、5、7、8补充1：若1)1(sin 221lim =++-→bax x x x ，则a= －2 ，b= 1 . 补充2：21221211111lim lim e x x x x xx x xx =⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-∙-∞→∞→补充3：21121121121121...513131121)12)(12(1...751531311lim lim lim =⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫⎝⎛+--++-+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-++⨯+⨯+⨯∞→∞→∞→n n n n n n n n 补充4：1ln lim 1-→x xx 111lim 1=→x x （此题用了“罗彼塔法则”）型0第三章导数和微分一、根据导数定义验证函数可导性的问题：典型例题：《综合练习》第一大题之12 二、求给定函数的导数或微分：求导主要方法复习：1、求导的基本公式：教材P1232、求导的四则运算法则：教材P110—1113、复合函数求导法则（最重要的求导依据）4、隐函数求导法（包括对数函数求导法） 6、求高阶导数（最高为二阶） 7、求微分：dy=y / dx 即可典型例题：《综合练习》第四大题之1、2、7、9 补充：设y=22)(1arctgx x ++，求dy. 解：∵222212111221121x arctgxxx x arctgx x x y +++=+⋅+⋅+⋅=' ∴dy=)121(22xarctgx x x dx y +++=⋅'dx第四章中值定理，导数的应用一、关于罗尔定理及一些概念关系的识别问题：典型例题：《综合练习》第一大题之16、19二、利用导数的几何意义，求曲线的切、法线方程：典型例题：《综合练习》第二大题之5二、函数的单调性（增减性）及极值问题：典型例题：《综合练习》第一大题之18，第二大题之6，第六大题之2第五章不定积分第六章定积分Ⅰ理论内容复习： 1、原函数：)()(x f x F ='则称F （x ）为f （x ）的一个原函数。

高考数学一轮总复习微积分应试技巧总结

高考数学一轮总复习微积分应试技巧总结微积分是高考数学中的重要内容之一，也是考生们容易出现困惑的部分。

为了帮助大家更好地复习微积分，下面将总结一些应试技巧，希望能对大家备战高考有所帮助。

一、掌握基础概念和公式在应试中，掌握基础的微积分概念和公式是非常重要的。

首先要熟悉微积分的基本定义和常用的公式，如导数的定义、反函数的导数关系、积分的定义和性质等。

只有对这些基础知识牢记于心，才能够更好地理解和解决微积分题目。

二、多做题，掌握解题方法做题是学习微积分的重要环节，通过大量的练习可以加深对知识点的理解和掌握解题的方法。

在做题过程中，要注意每一步的推导和计算，尽量做到简洁清晰。

可以先从简单的题目开始，循序渐进地提高解题能力。

三、注意函数的可导性和连续性在应试中，经常会涉及到函数的可导性和连续性的问题。

要注意判断函数在某一点的可导性和连续性，可以通过导数的定义和极限的性质来进行推导。

同时，还需要掌握一些常见函数的可导性和连续性的特点，如多项式函数、指数函数、对数函数等。

四、熟悉微积分的应用微积分的应用题是高考中常见的题型之一。

在应试过程中，要熟悉微积分的应用，如求函数的极值、最值、曲线的切线方程、区间的积分等。

熟练掌握这些应用技巧，可以帮助解答一些实际问题。

五、重点复习典型例题在复习微积分的过程中，可以选择一些典型的例题进行重点复习。

通过分析和解答这些典型例题，可以更好地掌握微积分的知识点和解题技巧。

可以结合教材或者相关的复习资料进行选择。

总之，复习微积分需要有持之以恒的学习态度，多做题、多思考，在解题过程中逐渐提高解题能力和应对考试的技巧。

希望以上的技巧总结能够对广大考生在高考数学微积分复习中有所帮助，实现优异的成绩。

祝愿大家都能取得好成绩，实现理想的高考目标！。

高中解决复杂的微积分问题

高中解决复杂的微积分问题微积分作为高中数学的重要组成部分，涉及到了函数、导数、积分等概念和计算方法。

在学习微积分的过程中，我们会遇到各种各样的问题，其中有些问题相对较为复杂和具有挑战性。

本文将介绍一些解决复杂微积分问题的方法和技巧。

一、函数图像与导数法为了解决复杂的微积分问题，首先需要熟练掌握函数的图像和导数的概念。

通过观察函数的图像和导数的变化规律，我们可以得到一些有价值的信息，从而更好地解决复杂问题。

举例来说，假设有一个函数f(x)，我们需要求解它在给定区间上的最值。

首先，我们可以通过分析函数的图像，找出函数在该区间上的极大值和极小值点。

其次，我们可以计算函数在这些点处的导数，通过对导数的符号进行分析，进一步确定最值点的位置。

这样就可以有效解决这类复杂问题。

二、利用积分解决几何问题在几何问题中，我们经常会遇到需要计算曲线的长度、曲线所围成的面积或体积等问题。

这时，我们可以利用积分的概念来解决这些复杂的问题。

以计算曲线长度为例，我们可以将曲线分成若干小段，在每个小段上建立直角坐标系。

然后求解每个小段的长度，并将这些长度进行累加，最终得到整个曲线的长度。

类似地，我们可以利用积分的性质计算曲线所围成的面积或体积。

三、微分方程的应用微分方程是微积分的一个重要应用领域，它涉及到函数与其导数之间的关系。

解决复杂微积分问题时，我们常常需要运用微分方程来建立模型，并通过求解微分方程来得到问题的解析解。

举例来说，假设一个物体的运动满足某种特定的规律，我们想要知道物体的位置随时间的变化情况。

这时，我们可以运用微分方程来描述物体的运动规律，并通过求解微分方程得到问题的解析解，从而准确地描述物体的运动情况。

四、数值计算方法对于一些复杂的微积分问题，无法通过解析方法得到精确解。

这时，我们可以利用数值计算方法来逼近解。

常见的数值计算方法包括牛顿法、二分法、梯度下降法等。

通过这些方法，我们可以获得数值解，并且可以通过控制迭代精度来提高计算结果的准确性。

高三数学微积分与数列的应用与解题技巧总结

高三数学微积分与数列的应用与解题技巧总结微积分和数列是高中数学中的重要内容，也是高考数学考试中常见的题型。

它们在实际生活中有着广泛的应用，掌握了解题技巧可以帮助我们更好地解决实际问题。

本文将总结高三数学中微积分与数列的应用以及解题技巧。

一、微积分的应用微积分是研究极限、导数和积分的数学分支，它在科学、工程和经济等领域中有着广泛的应用。

下面将从极限、导数和积分三个方面总结微积分的应用。

1. 极限的应用极限是微积分的基础，它在数列、函数和数学模型等方面都有着重要的应用。

例如，在物理学中，速度可以看作是位移对时间的极限；在生物学中，种群数量的变化可以通过极限来进行模拟和预测。

掌握极限的概念和计算方法，可以帮助我们更好地理解和应用各种数学模型。

2. 导数的应用导数是微积分中的重要概念，它表示函数在某一点的变化率。

导数在各个学科领域都有广泛的应用。

例如，在物理学中，速度和加速度可以通过位置函数的导数求得；在经济学中，成本函数和收益函数的导数可以帮助我们分析生产和销售策略。

熟练掌握导数的计算和应用方法，可以帮助我们更好地解决实际问题。

3. 积分的应用积分是微积分中的另一个重要概念，它表示函数在区间上的累积效果。

积分在几何学、物理学和经济学等领域都有着广泛的应用。

例如，在几何学中，可以通过积分计算曲线与坐标轴所围成的面积；在物理学中，可以通过积分计算物体的质量和能量；在经济学中，可以通过积分计算生产和消费的总量。

掌握积分的计算和应用方法，可以帮助我们更好地解决实际问题。

二、数列的应用与解题技巧数列是高中数学中的重要内容，也是高考数学考试中常见的题型。

下面将总结数列的应用与解题技巧。

1. 等差数列的应用与解题技巧等差数列是数列中的一种特殊形式，它的公差恒定。

在实际生活中，等差数列常常出现在财务管理、工程规划和人口统计等方面。

解决等差数列相关问题的关键是找到数列的通项公式，然后利用该公式进行计算。

如果无法直接找到通项公式，可以通过计算前几项的差值来推测数列形式，并进行验证。

微积分常见题型与解题方法归纳(1)中级版

微积分常见题型与解题方法归纳(1)中级版微积分是数学中的重要学科，常见的题型主要包括函数求导、函数积分和曲线拟合等。

通过研究和掌握常见的解题方法，可以帮助我们更好地理解微积分的概念和应用。

函数求导题型1. 常函数求导：常函数的导函数为零，即 $y = c$，导数 $y' =0$。

常函数求导：常函数的导函数为零，即 $y = c$，导数 $y' = 0$。

2. 一次函数求导：一次函数 $y = ax + b$，导数 $y' = a$。

一次函数求导：一次函数 $y = ax + b$，导数 $y' = a$。

3. 幂函数求导：对幂函数 $y = x^n$，当 $n \neq 0$ 时，导数$y' = nx^{n-1}$。

幂函数求导：对幂函数 $y = x^n$，当 $n \neq0$ 时，导数 $y' = nx^{n-1}$。

4. 指数函数求导：对指数函数 $y = a^x$，导数 $y' = a^x \ln(a)$。

指数函数求导：对指数函数 $y = a^x$，导数 $y' = a^x \ln(a)$。

5. 对数函数求导：对对数函数 $y = \log_a{x}$，导数 $y' =\frac{1}{x\ln(a)}$。

对数函数求导：对对数函数 $y = \log_a{x}$，导数 $y' = \frac{1}{x\ln(a)}$。

函数积分题型1. 常函数积分：常函数的积分为常数乘以自变量加上一个常数，即 $\int{c}dx = cx + C$。

常函数积分：常函数的积分为常数乘以自变量加上一个常数，即 $\int{c}dx = cx + C$。

2. 一次函数积分：一次函数的积分为一次函数的系数乘以自变量的平方再除以2，即 $\int{ax + b}dx = \frac{a}{2}x^2 + bx + C$。

一次函数积分：一次函数的积分为一次函数的系数乘以自变量的平方再除以2，即 $\int{ax + b}dx = \frac{a}{2}x^2 + bx + C$。

高考微积分解题技巧和方法综合

高考微积分解题技巧和方法综合微积分在高考数学中占据着重要的地位。

掌握好微积分的解题技巧和方法，对于高考考生来说至关重要。

本文将综合介绍几种常见的高考微积分解题技巧和方法。

1. 函数的导数与积分在微积分中，函数的导数和积分是最基本的概念之一。

理解和运用函数的导数和积分可以帮助我们解决各种微积分题目。

- 导数的性质：掌握导数的四则运算法则和链式法则等性质，可以轻松求解函数的导数。

导数的性质：掌握导数的四则运算法则和链式法则等性质，可以轻松求解函数的导数。

- 分段函数的导数：对于分段函数，可以利用函数在不同区间内的导数性质来求解导数。

分段函数的导数：对于分段函数，可以利用函数在不同区间内的导数性质来求解导数。

- 不定积分的求解：通过积分的基本公式、换元法、分部积分法等方法，可以求解不定积分。

不定积分的求解：通过积分的基本公式、换元法、分部积分法等方法，可以求解不定积分。

2. 极值与最值的求解求解函数的极值和最值是微积分题中常见的题型之一。

掌握求解特定函数的极值和最值的方法，可以快速解决此类题目。

- 极值的求解：通过对函数的导数进行求解，找出函数的临界点，判断函数在这些临界点的取值情况，从而求解极值。

极值的求解：通过对函数的导数进行求解，找出函数的临界点，判断函数在这些临界点的取值情况，从而求解极值。

- 最值的求解：通过对函数在给定区间上的取值进行比较，找出函数在该区间上的最大值或最小值。

最值的求解：通过对函数在给定区间上的取值进行比较，找出函数在该区间上的最大值或最小值。

3. 曲线的图像分析微积分中，曲线的图像分析是对函数图像进行全面了解的重要方法。

通过曲线的图像分析，可以推测函数的性质，从而解决相关题目。

- 函数的单调性：通过导数的正负性来推测函数的单调性，从而帮助我们判断函数的增减情况。

函数的单调性：通过导数的正负性来推测函数的单调性，从而帮助我们判断函数的增减情况。

- 函数的凸凹性：通过函数的二阶导数来推测函数的凸凹性，帮助我们判断函数的凸凹区间。

(完整版)微积分复习资料

基本知识复习一、不定积分1．不定积分概念，第一换元积分法（1）原函数与不定积分概念设函数()F x 与()f x 在区间(),a b 内有定义，对任意的(),x a b ∈，有()()'F x f x =或()()dF x f x dx =，就称()F x 是()f x 在(),a b 内的一个原函数。

如果()F x 是函数()f x 的一个原函数,称()f x 的原函数全体为()f x 的不定积分,记作()(),f x dx F x C =+⎰（2）不定积分得基本性质1．()()df x dx f x dx=⎰2。

()()'F x dx F x C =+⎰ 3。

()()()().Af x Bg x dx A f x dx B g x dx +=+⎡⎤⎣⎦⎰⎰⎰（3）基本不定积分公式表一()()122222(1)2)1,13ln C,x (4)arctan ,1(5)arcsin ,(6)cos sin ,(7)sin cos ,(8)sec tan ,cos (9)csc cot ,sin (10)sec t kdx kx C k x x dx C dx x dx x C x x C xdx x C xdx x C dx xdx x C x dxxdx x C x x μμμμ+=+=+≠-+=+=++=+=+=-+==+==-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰是常数，（1（）22an sec ,(11)csc cot csc ,(12),ln (13),(14),1(15),1(16).xxxdx x C x xdx x C a a dx C ashxdx chx C chxdx shx C dx thx C ch x dx cthx C sh x =+=-+=+=+=+=+=-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰（3）第一换元积分法（凑微分法）设()f u 具有原函数, ()u x ϕ=可导,则有换元公式()()()()'.u x f x x dx f u du ϕϕϕ=⎡⎤=⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎰⎰2．第二换元积分法，分部积分法（1）第二换元积分法设()x t ψ=是单调的、可导的函数,并且()'0t ψ≠.又设()()'f t t ψψ⎡⎤⎣⎦具有原函数,则有换元公式()()()()1',t x f x dx f t t dt ψψψ-=⎡⎤=⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎰⎰其中()1x ψ-是()x t ψ=的反函数.（2）分部积分法设函数()u u x =及()v v x =具有连续导数,那么,()''',uv u v uv =+移项,得 ()'''.uv uv u v =-对这个等式两边求不定积分,得''.uv dx uv u vdx =-⎰⎰这个公式称为分部积分公式.它也可以写成以下形式:.udv uv vdu =-⎰⎰（3）基本积分公式表二(2222(17)tan ln cos )cot ln sin ,sec ln sec tan C,(20)csc ln csc cot ,1(21)arctan ,1(22)ln ,2(23)arcsin ,(24)ln ,(2xdx x C xdx x C xdx x xdx x x C dx x C a x a a dx x adx C x a a x a xC a x C =-+=+=++=-+=++-=+-+=+=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰，（18（19）5)ln .x C =+ （3）有理函数的积分，三角函数有理式的积分，某些简单无理式的积分一、有理函数的积分两个多项式的商()()P x Q x 称为有理函数，又称为有理分式.我们总假定分子多项式()P x 与分母多项式()Q x 之间是没有公因式的.当分子多项式()P x 的次数小于分母多项式()Q x 的次数时,称这有理函数为真分式,否则称为假分式.利用多项式的除法,总可以将一个假分式化成一个多项式与一个真分式之和的形式,由于多项式的积分容易求,故我们将重点讨论真分式的积分方法.对于真分式()()n m P x Q x ,首先将()m Q x 在实数范围内进行因式分解,分解的结果不外乎两种类型:一种是()kx a -,另外一种是()2lx px q ++,其中,k l 是正整数且240p q -<;其次,根据因式分解的结果,将真分式拆成若干个分式之和.具体的做法是:若()m Q x 分解后含有因式()kx a -,则和式中对应地含有以下k 个分式之和:()()()122,k kA A A x a x a x a +++---L 其中:1,,k A A L 为待定常数.若()m Q x 分解后含有因式()2lx px q ++,则和式中对应地含有以下l 个分式之和:()()()11222222,l l l M x N M x N M x N x px q x px q x px q ++++++++++++L 其中:(),1,2,,i i M N i l =L 为待定常数.以上这些常数可通过待定系数法来确定.上述步骤称为把真分式化为部分分式之和,所以,有理函数的积分最终归结为部分分式的积分.二、可化为有理函数的积分举例例4 求()1sin .sin 1cos xdx x x ++⎰解由三角函数知道,sin x 与cos x 都可以用tan2x的有理式表示,即 222222222tan 2tan22sin 2sin cos ,22sec 1tan 221tan 1tan 22cos cos sin .22sec 1tan 22x x x x x x xx xx x x x x ===+--=-==+如果作变换()tan2xu x ππ=-<<,那么 22221sin ,cos ,11u u x x u u -==++ 而2arctan ,x u =从而22.1dx du u =+ 于是()22222221sin sin 1cos 2211121111112212ln 2211tan tan ln tan .42222xdx x x u du u u u u u u u du u u u u C x x xC ++⎛⎫+ ⎪++⎝⎭=⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭⎛⎫=++ ⎪⎝⎭⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭=+++⎰⎰⎰例5求. 解u =,于是21,2,x u dx udu =+=从而所求积分为()222222111212arctan 12.u u dx udu dux u u du u u C u C =⋅=++⎛⎫=-=-+ ⎪+⎝⎭=+⎰⎰⎰⎰ 例6求解u =,于是322,3,x u dx u du =-=从而所求积分为223113113ln 13ln 1.2u duu u duu u u u C C =+⎛⎫=-+ ⎪+⎝⎭⎛⎫=-+++=+ ⎪⎝⎭⎰⎰例7 求解设6x t =,于是56,dx t dt =从而所求积分为()()52223266111616arctan 16arctan .t t dt dt t t tdt t t C t C ==++⎛⎫=-=-+ ⎪+⎝⎭=+⎰⎰⎰例8求.解t =,于是()2222112,,,11x tdtt x dx x t t +===---从而所求积分为 ()()()22222222*********ln 1122ln 1ln 12ln 1ln .t t t t dt dtt t t dt t Ct t t t t C x C -=-⋅=----⎛⎫=-+=--+ ⎪-+⎝⎭=-++--+⎫=-++⎪⎪⎭⎰⎰⎰二、定积分（1）定积分概念，微积分基本定理，定积分得基本性质（1）定积分的概念1。

微积分复习要点

微积分复习要点第一章函数一、内容提要1、函数（1）定义：设有两个变量x与y。

当变量x在给定的某一变域中任意取定一值时，另一变量y就按某一确定的法则有一个确定值与x的这个值相对应，那末变量y称为变量x的函数，记作y=f(x)。

（2）定义中两要素：定义域与对应法则。

定义域：自变量x的取值范围。

对应法则：自变量x与因变量y的对应规则。

（3）注意两点：①两个函数只有当它们的定义域和对应法则都相同时，才能说它们是相同的函数。

②在不同区间上用不同数学表达式来表示的函数称为分段函数。

分段函数是一个函数而不是几个函数。

2、反函数（1）定义：设已知y是x的函数y=f(x)，如果将y当作自变量，x 当函数，则由关系式y=f(x)所确定的函数x=ϕ(y)就叫做函数f(x)的反函数，由于通常总把自变量记作x，函数记作y，因此习惯上称y=ϕ(x)为函数f(x)的反函数，记作f -1(x)，而f(x)叫做直接函数。

（2）附注：反函数的定义域与直接函数的值域相同。

3隐函数定义:凡能够由方程F(x,y)=0确定的函数关系，称为隐函数。

4、函数的简单性质有界性，奇偶性，单调性与周期性。

5、复合函数（1）定义：设y是u的函数y=f(u)，而u又是x的函数u=ϕ(x)，而且当x在某一区间I取值时相应的u值可使y有定义，则称y是x 的一个定义于区间I上的复合函数，记作y=f[ϕ(x)]。

（2）几个注意的问题：①复合函数可以简单地理解为函数的函数。

有了复合函数的概念，可以把一个较复杂的函数分解成几个简单的函数。

例如，函数y=sinx2可以看作由函数y=sinu和u=x2复合运算而产生的。

②要使复合函数y=f[ϕ(x)]有意义，必须满足函数u=ϕ(x)的值域包含在函数y=f(u)的定义域中。

6、基本初等函数与初等函数（1）基本初等函数幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数统称为基本初等函数。

（2）初等函数由基本初等函数与常数经过有限次的四则运算和复合构成的，并能用一个解析式表示的函数称为初等函数。

考研数学微积分复习方法

考研数学微积分复习方法数学是很多〔考研〕er头疼的方面，而高数是考研数学的重点和难点。

都知道微积分在整个高数的复习中占据着重要的地位，那么怎样才干取得考研数学试卷中微积分部分的高分呢?下面是考研数学微积分复习方法，一起来了解下吧：【考研数学微积分复习方法】1、依据微积分复习的重点和考试的趋势来看，选择填空题很重要。

几大运算，一个是求极限运算，还有就是求导数，导数运算占了很大的比重，这是一个很重要的内容。

当然，还有积分，基础还是要把基本积分类型基础搞清楚，定积分就是对称性应用。

二重积分就是要分成两个累次积分。

三大运算这是我们的基础，应该会算，算的概念比如说极限概念、导数概念、积分概念。

2、考研数学要掌握三大主要函数考研数学复习中，微积分处理的对象有三大主要函数，第一是初等函数，这是最基础的东西。

在初等函数的基础上对分段函数，在微积分的概念里都有分段函数，处理的一般方法应该掌握。

还有就是研究生考试最常见的是变限积分函数。

这是我们常常碰到的三大基本函数。

3、考研数学要抓住重点微积分复习内容很多，题型也多，灵活度也大。

怎么办呢?这其中有一个调理办法，首先要看辅导书、听辅导课，老师给你提供帮助，会给你一个比较系统的总结。

老师总结的东西，比如说我在辅导课程中总结了很多的点，每一个点要掌握重点，要举一反三搞清楚。

从具体的题目来讲，基本运算是考试的重要内容。

应用方面，无非是在工科强调物理应用，比如说旋转体的面积、体积等等。

在经济里面的经济运用，弹性概念、边际是经济学的重要概念，包括经济的函数。

还有一个更应该掌握的，比如集合、旋转体积应用面等等，大的题目都是在经济基础上延伸出的问题，只有数学化了之后，才干处理数学模型。

考研数学的复习一定要稳扎稳打，做好最基本的概念和公式的理解，并且能够在平常做题的过程中灵活运用，举一反三，巧妙辨析。

考研数学的复习是一个按部就班不断积存的过程，只要同学们努力认真，掌握科学的考研数学复习技巧，不断地对知识点进行加深巩固，在不断地学习学习中，最终定会达到质变的效果。

考研数学微积分复习备考攻略

考研数学微积分复习备考攻略考研数学复习需要大家把弱项强化突击，题型挨个分析，这样才能更好的通关。

为大家精心准备了考研数学微积分复习备考指南，欢送大家前来阅读。

微积分是经管类考研数学局部必考的科目，它占整个考研数学的比例为56%，分值为84分(总分150分)。

微积分的根本内容可以分为三大块：一元函数微积分，多元函数微积分(主要是二元函数)，无穷级数和常微分方程与差分方程。

一元函数微积分学的知识点是考研数学三微积分局部出题的重点，应引起重视。

多元函数微积分学的出题焦点是二元函数的微分及二重积分的计算。

无穷级数和常微分方程与差分方程考查主要集中在数项级数的求和、幂级数的和函数、收敛区间及收敛域、解简单的常微分方程等。

那么微积分如何复习才能成为真正的高手呢?一、根本内容扎实过一遍事实上，数学三考微积分相关内容的题目都不是太难，但是出题老师似乎对根本计算及应用情有独钟，所以对根底知识扎扎实实地复习一遍是最好的应对方法。

阅读教材虽然是奠定根底的一种良方，但参考一下一些辅导资料，如《微积分过关与提高》等，能够有效帮助同学们从不同角度理解根本概念、根本原理，加深对定理、公式的印象，增加根本方法及技巧的摄入量。

对根本内容的复习不能只注重速度而无视质量。

在看书时带着思考，并不时提出问题，这才是好的读懂知识的方法。

二、读书抓重点在看教材及辅导资料时要依三大块分清重点、次重点、非重点。

阅读数学图书与文艺社科类图书有个区别，就是内容没有那么强的故事性，同时所述理论有一定抽象性，所以在此再一次提醒同学们读书需要不断思考其逻辑结构。

比方在看函数极限的性质中的局部有界性时，能够联系其在几何上的表现来理解，并思考其实质含义及应用。

三大块内容中，一元函数的微积分是根底，定义一元函数微积分的极限及微积分的主要研究对象——函数及连续是根底中的根底。

这个局部也是每年必定会出题考查的，必须引起注意。

多元函数微积分，主要是二元函数微积分，这个局部大家需要记很多公式及解题捷径。

高考数学中的微积分运算技巧

高考数学中的微积分运算技巧高考数学是人们必须经历的一个考验，而其中微积分运算技巧被认为是高考数学中最难的一部分。

在此，本文将着重探讨高考数学中的微积分运算技巧，帮助大家更好地掌握微积分知识。

一、导数的另一种解释导数是微积分中最基本且最重要的运算符号之一，它可以表示一条曲线在某点的切线斜率，同时，导数还可以有另外一种解释——变化率。

通常情况下，我们由于某种需要会去求解某一物品的变化率，而导数恰好可以满足我们的需求，例如空气中的温度变化或者某种物品的增长变化率等等，这些问题的解决都离不开导数。

二、定积分的意义定积分在微积分运算中也是一个非常重要的概念，它可以用来计算某个量的累加和。

定积分本质上是一个区间上的函数值的面积，这个面积就是积分的结果。

举例来说，对于某一段距离的速度变化，我们可以将其视为速度值的面积，这一面积就是这段距离上速度的变化量。

而通过定积分就可以求取这一面积，更好地理解这一概念。

三、微分方程的求解方法微分方程是常见的数学方程，它描述了变量之间的相关关系，而微分方程的数学求解则是微积分的重要应用之一。

针对微分方程的求解方法可以分为两种：变量分离法和定解条件法。

其中，变量分离法的思路是将方程中的自变量和因变量分离开来，进而消去另一个变量，从而求解未知量。

而定解条件则是求解微分方程，需要给出一些条件，这些条件称为“定解条件”。

四、容易出错的微积分运算微积分作为一门高难度学科，在运算过程中容易出现一些错误。

其中，比较常见的错误包括笔误、漏项、运算思路不清等等。

其中最典型的错误是计算导数时出现的算术错误，导致结果失误，因此，在进行微积分运算时，我们必须非常仔细地进行计算，力求避免这些常见的错误。

总结微积分是一门非常重要的学科，尤其在高考数学中，微积分运算技巧更是考生必须要掌握的知识点，本文旨在帮助读者更好地了解高考数学中的微积分运算技巧，更好地掌握微积分知识。

微积分求解技巧

有时候就是需要大胆去想，大胆去尝试。你自认为不可能的事情恰恰成为出卷人考察你的把柄。
计算不定积分：
我的解法：
同类型的题目
再来一题：
我的解法：
不要把出题人想象的多么神圣，他只是看的题目比你多，仅此而已！
下面一题是用分部积分算的，但是我们可以用微分的性质快速的进行计算。
其实过度的依赖规则就是对思维的桎梏，有时候我们就是要个角度看问题，避开出题人设置的障碍，虽然这并不是出题人的本意，但是这却是他没有充分考虑的Bug！怪只能怪出题人太笨，脑子不转弯。
我的解法：
（1）当时，
（2）当时，
（3）略
有时，你也要相信，条条道路通罗马
求积分
我的解法：
我的解法：
面对这样的问题，使用微元法求解
设垂心线所在的向量与的夹角为，由几何关系易知点A到切线的距离
当有一个增量时，线段AQ扫过的面积为：
所以所有垂足所围成的面积为
不要被一种方法限定死了，一切皆有可能！
求广义积分
越做手越六，看看我的解法：
类似的题目：
使用我的方法：
可以看出，好方法可以为你节省多少时间和精力！

大一“微积分”期末复习资料指导

大一“微积分”期末复习资料指导第一章节函数一．本章节要点复合函数及分解，初等函数的概念。

二．复习基本要求1、理解函数的简单性质，知道它们的几何特点。

2、能熟练地求函数定义域；会求函数的值域。

3、牢记常函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数等六类基本初等函数的表达式，知道它们的定义域、值域、性质及图形特点。

其中⑴. 对于对数函数ln y x =不仅要熟记它的运算性质，还能熟练应用它与指数函数 xy e=互为反函数的关系，能熟练将幂指函数作如下代数运算： ln vu v ue =⑵.对于常用的四个反三角函数，不仅要熟习它们的定义域、值域及简单性质，还要熟记它们在特殊点的函数值.4、掌握复合函数，初等函数的概念，能熟练地分解复合函数为简单函数的组合。

5、知道分段函数，隐函数的概念。

. 三．参考示例例1. 试分析下列函数为哪几个简单函数（基本初等函或基本初等函数的线性函数）复合而成的？ ⑴.2sin x y e = ⑵.21arctan()1y x =+ 分析：分解一个复合函数的复合过程应由外层向里层进行，每一步的中间变量都必须是基本初等函数或其线性函数（即简单函数）。

解：⑴.2,,sin u y e u v v x===⑵.21arctan ,, 1.y u u v x v===+例 2. cot y arc x =的定义域、值域各是什么？cot1arc ＝？答：cot y arc x = 是cot ,(0,)y x x π=∈的反函数，根据反函数的定义域是原来函数的值域，反函数的值域是原来函数的定义域，可知cot y arc x =的定义域是(,)f D =-∞+∞，值域为(0,)f Z π=. cot14arc π=四．练习题及参考标准答案1. ()arctan f x x =则f (x )定义域为，值域为f (1) = ；(0)f = .2.()arcsin f x x =则f (x )定义域为，值域为f (1) =；f = .3.分解下列函数为简单函数的复合： ⑴.3x y e -=⑵.3ln(1)y x =-标准答案：1.（-∞ +∞）, (,)22ππ-,,04π2. []1,1,,,,2223ππππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦.3. ⑴.,3u y e u x ==-⑵.3ln ,1.y u u x ==-自我复习：习题一.（A ）55．⑴、⑵、⑶；习题一.（B ）.11.第二章节极限与连续一．本章节要点极限的计算；函数的连续及间断的判定；初等函数的连续性。