微积分复习附解题技巧

《微积分》复习及解题技巧

第一章 函数

一、据定义用代入法求函数值： 典型例题：《综合练习》第二大题之2

二、求函数的定义域：（答案只要求写成不等式的形式，可不用区间表示）

对于用数学式子来表示的函数，它的定义域就是使这个式子有意义的自变量x 的取值范围（集合） 主要根据： ①分式函数：分母≠0 ②偶次根式函数：被开方式≥0 ③对数函数式：真数式＞0

④反正（余）弦函数式：自变量 ≤1

在上述的函数解析式中，上述情况有几种就列出几个不等式组成不等式组解之。

典型例题：《综合练习》第二大题之1

补充：求y=x

x 212-+的定义域。（答案：2

12<≤

-x ）

三、判断函数的奇偶性：

典型例题：《综合练习》第一大题之3、4

第二章 极限与连续

求极限主要根据： 1、常见的极限：

2、利用连续函数：

初等函数在其定义域上都连续。 例：

3、求极限

的思路：

可考虑以下9种可能：

①0

0型不定式（用罗彼塔法则） ②

2

0C =0 ③∞

0=0

④01

C =∞ ⑤21C C ⑥∞

1C =0

⑦

0∞=∞ ⑧2C ∞=∞ ⑨∞

∞

型不定

式（用罗彼塔法则）

1sin lim 0

=→x x

x e x x

x =⎪⎭⎫

⎝

⎛+∞→11lim )0(01

lim >=∞→αα

x

x )

()(0

lim 0

x

f x f x x =→11

lim 1

=→x x 1)

()

(lim =→x g x f x α⎪⎩

⎪⎨⎧∞

≠=→)0(0

)(11lim 常数C C x f x α⎪⎩

⎪⎨⎧∞

≠=→)0(0)(22lim 常数C C x g x α

特别注意：对于f （x ）、g （x ）都是多项式的分式求极限时，解法见教材P70下总结的“规律”。

以上解法都必须贯穿极限四则运算的法则！

典型例题：《综合练习》第二大题之3、4；第三大题之1、3、5、7、8

补充1：若1)

1(sin 2

21lim =++-→b

ax x x x ，则a= －2 ，b= 1 . 补充2：21

221211111lim lim e x x x x x

x x x

x =⎪

⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-•-∞→∞→

补充3：

21121121121121...513131121)12)(12(1...751531311lim lim lim =

⎪⎭⎫ ⎝

⎛+-=

⎪⎭⎫

⎝⎛+--++-+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-++⨯+⨯+⨯∞→∞→∞→n n n n n n n n 补充4：

1ln lim 1

-→x x

x 1

11

lim 1

=→x x （此题用了“罗彼塔法则”）

型0

第三章 导数和微分

一、根据导数定义验证函数可导性的问题： 典型例题：《综合练习》第一大题之12 二、求给定函数的导数或微分： 求导主要方法复习：

1、求导的基本公式：教材P123

2、求导的四则运算法则：教材P110—111

3、复合函数求导法则（最重要的求导依据）

4、隐函数求导法（包括对数函数求导法） 6、求高阶导数（最高为二阶） 7、求微分：dy=y / dx 即可

典型例题：《综合练习》第四大题之1、2、7、9 补充：设y=22)(1arctgx x ++，求dy. 解：∵2222

1211122112

1

x arctgx

x

x x arctgx x x y +++=+⋅

+⋅+⋅=' ∴dy=)121(2

2

x

arctgx x x dx y ++

+=⋅'dx

第四章中值定理，导数的应用

一、关于罗尔定理及一些概念关系的识别问题：

典型例题：《综合练习》第一大题之16、19

二、利用导数的几何意义，求曲线的切、法线方程：

典型例题：《综合练习》第二大题之5

二、函数的单调性（增减性）及极值问题：

典型例题：《综合练习》第一大题之18，第二大题之6，第六大题之2

第五章 不定积分 第六章 定积分

Ⅰ理论内容复习： 1、原函数：)()(x f x F ='

则称F （x ）为f （x ）的一个原函数。 2、不定积分：

⑴概念：f （x ）的所有的原函数称f （x ）的不定积分。

⎰+=C x F dx x f )()(

注意以下几个基本事实：

())()(x f dx x f ='⎰ ⎰+='C x f dx x f )()(

⎰=dx x f dx x f d )()(

⎰+=C x f x df )()(

⑵性质：⎰⎰≠=⋅)0()()(a dx x f a dx x f a 注意 []⎰⎰⎰±=±dx x g dx x f dx x g x f )()()()( ⑶基本的积分公式：教材P206 3、定积分： ⑴定义 ⑵几何意义

⑶性质：教材P234—235性质1—3 ⑷求定积分方法：牛顿—莱布尼兹公式 Ⅱ习题复习：

一、关于积分的概念题：

典型例题：《综合练习》第一大题之22、24、25、第二大题之11、14