动态规划状态转移方程

for j:=v[i] to w do
begin
if f[i-1,j-v[i]]+a[i]>f[I,j] then f[I,j]:= f[i-1,j-v[i]]+a[i]>f[I,j] end; End;
完善程序
1、初始化？ Fillchar(f,sizeof(F),0) 2、最终解在哪里？ F[n,w]中。因为每个阶段的f[I,j]表示的是
核心程序段

fillchar(f,sizeof(f),0); for i:=1 to n do for j:=1 to v do begin f[i,j]:=f[i-1,j]; if (v1[i]<=j) and (f[i,j]<f[i-1,j-v1[i]]+p[i]) then f[i,j]:=f[i-1,j-v1[i]]+p[i]; end; write(f[n,v]);
彩石运输
阿强是一个汽车运输工，他正在给一项装饰工程运输所需
的彩色石头。这些石头的颜色各异，价格也各不相同。有 一天阿强突发奇想，他想在一堆彩石中有选择地把彩石装 上他的卡车，使得卡车上装载的石头总价值是所有装载方 案中最大的。现在有一堆彩石堆放在阿强面前，他知道任 何两块石头的颜色都是不同的，但两块颜色不同的石头的 重量和价格可能相同。 阿强的卡车总共可装载的重量是W，而且他知道总的彩 石的块数，请你帮助阿强确定一个方案，满足阿强的奇想。 输入文件stone.in的第一行是二个整数，依次表示卡车 的载重量W和总的彩石块数n，下面共有n行，每行包含二 个用空格分隔的整数，依次表示某种颜色彩石的重量和价 值。 输出文件stone.out只包含一行一个整数，表示卡车最终 装载彩石的最大总价值。
输入和输出

joy.in 23 5 11 20 9 19 10 15 7 14 8 15 joy.out 39
关键要素分析
1、阶段 2、状态 3、决策
分析状态转移方程
F[I,j]表示前i个工具选择部分装入占用容量
为j的工具箱中的最大效率分：
f[i,j]:=max{f[i-1,j-v1[i]]+p[i] |}
begin
f[I,j]:=f[i-1,j]; if (w[i]<=w) and (f[I,j]<f[i-1,j-w[i]]+p[i]) then
f[I,j]:=f[i-1,j-w[i]]+p[i]; end; write(f[n,w]);
joy的工具箱
Joy是一位非常出色的汽车维修工，而且他的创业能力也很强，这不，
满背包，那么问题就是“背包单位体积所 含价值最大” 2、可能出现的情况是某些性价比较高的 物品装入后导致其他性价比较低物品不能 装入，导致背包体积被浪费。所以不能再 用贪心了 3、只能用DP解决
01背包问题
枚举阶段（所有物品）
For i:=1 to n do for j:=0 to w do begin f[I,j]:=f[i-1,j];
前i个物品装入j体积的背包中的最大值， 而不是第i个物品装入j中的最大值。
扩展01背包问题
N种物品，每种有无穷多个，价值为a[i]，
单个体积为v[i]，装入总体积为W的背包， 求最大价值和。
扩展01背包问题
穷举所有阶段I
{物品编号} 穷举状态j {当前背包被占用} 穷举决策k {k:=0 to w/v[i]} 根据决策转移状态到上个可以的子状 态，比较各个状态转移后的最优解f[I,j]； end; end; End;
扩展01背包问题
1、k=0时表示物品i不取，则对应的
f[I,j]=f[i-1,j] 2、k>0时，表示物品i装入了被占用j体积 的背包中有k个，这个决策对应的上个可 能的子状态是：背包被占用体积是j-v[i] （可以不管当前装入的物品i已经装入几个 了）。对应的最优解就是：f[I,j]:=f[I,jv[i]]+a[i]
初步的程序结构
For i:=1 to n do for j:=1 to w do begin


f[I,j]:=f[i-1,j]; {不取当前物品i} for k:=1 to j/v[i] do if (j>=k*v[i]) and (f[I,j]<=f[I,j-v[i]]+a[i]) then f[I,j]:=f[I,j-v[i]]+a[i]； end; end;
前期分析
1、什么是矩阵乘法 2、乘法次数的统计原理
算法分析
1、阶段。分相邻二个矩阵相乘、相邻三
个相乘、……n个矩阵相乘来划分阶段。
2、状态。连乘矩阵的起始和终止编号。
3、决策。在i和j矩阵之间如何组合。
状态转移方程
1、f[I,j]表示第i个矩阵到第j个矩阵连乘的
最少次数。 2、a[i].x a[i].y表示第i个矩阵的行号和列 号 3、转移方程： F[I,j]=min{F[I,k]+f[k+1,j]+ai.x*ai.y*aj.y}
枚举状态（当前背包被 占用体积） 当前物品不装入背包的最大总价值就是 前i-1个物品装入背包的最大值。
if (j>=v[i]) and (f[i-1,j-v[i]]+a[i]>f[I,j])

then f[I,j]:= f[i-1,j-v[i]]+a[i]>f[I,j] end; 把当前背包不装入和装入进行比较，哪个更大，
Tom当然希望能把所有的零件都加工完，
总体算法分析
1、先用循环求得所有的f[I,i+1]，1<=i<n 2、以合并包含的原始石子堆的数量为阶
段（从3到n），进行动态规划求解。 3、输出f[1,n]。
TOM的烦恼
Tom是一个非常有创业精神的人，由于大学学的
是汽车制造专业，所以毕业后他用有限的资金开 了一家汽车零件加工厂，专门为汽车制造商制造 零件。由于资金有限，他只能先购买一台加工机 器。现在他却遇到了麻烦，多家汽车制造商需要 他加工一些不同零件（由于厂家和零件不同，所 以给的加工费也不同），而且不同厂家对于不同 零件的加工时间要求不同（有些加工时间要求甚 至是冲突的，但开始和结束时间相同不算冲突）。
最近他成立了自己的汽车维修110公司，一旦汽车在半途抛锚，只要 一个电话，joy就会立刻带着他的工具箱赶到事故地点，为驾驶员朋 友维修汽车，由于抢修及时以及维修技术高，汽车维修110公司的生 意越来越红火。 但joy是一个追求无止境的人，在生意越做越大的同时，他又动开 了新脑筋。他发现无论维修工具箱买得如何大，肯定不能把他公司 里所有的维修工具装进去，100％的故障排除率不仅需要精湛的维修 技术，如何选择并把最为合适的维修工具装入工具箱，并把工具箱 带到故障现场，也是一个非常重要的技巧。由于工具众多，joy无法 根据驾驶员报告的故障现象确定最为合适的一些工具，作为朋友的 你决定通过程序来帮助joy选择最为合适的工具转入到工具箱中。
经典问题：矩阵连乘
有n个矩阵，计算他们连乘的最少乘法次
数。 输入第一行为一个整数n，表示参加连乘 的矩阵的个数，下面n行，依次出各个 矩阵的行数和列数规模。 输出最少的乘法次数（连乘目标是只有一 个矩阵）。
输入和输出
输入： 3 1 5 5 20 20 1
输出：
105
加。
状态转移分析
1、用a[i]表示第i堆石子的数量 2、f[I,j]表示第i堆到第j堆合并为一堆的最
小分数 3、f[I,j]=min{f[I,k]+f[k+1,j]+sigma(a[t] | i<=t<=j) | i<=k<j} 4、初始化时必须是：f[I,i]：＝ maxint;f[I,i]:=0
另一种形式的程序
For i:=1 to n do for j:=1 to v[i]-1 do f[I,j]:=f[i-1,j]; for j:=v[i] to w do if f[i-1,j]>f[I,j-v[i]]+a[i] then

f[I,j]:=f[i-1,j] else f[I,j]:=f[I,j-v[i]]+a[i]；
部分背包问题算法
为了让每份背包单位体积价值最大，只要
对所有物品按照性价比从大到小排序，依 次装入物品即可，直到背包满或者没有物 品可取
01背包问题
N个物品每个有价值a[i]和体积v[i]，但每
个物品不能分割（要么全部取，要么不 取），求最大的背包所含的价值。
01背包问题
1、如果不管哪个物品装入，都能恰好装
首先是两两相乘
For i:=1 to n-1 do
F[i,i+1]:=a[i].x*a[i].y*a[i+1].y;
然后是更大规模的连乘
For len:=3 to n do




For i:=1 to n-len+1 do Begin j:=i+len-1;F[i,j]:=maxlongint; For k:=i to j-1 do If F[i,j]>F[i,k]+F[k+1,j]+a[i].x*a[k].y*a[j].y Then Begin F[i,j]:=F[i,k]+F[k+1,j]+a[i].x*a[k].y*a[j].y; End; End ；
难度是子状态的转移，上一个子状态就是j-v[i]， 因为v[i]装入前，背包被占用体积就是j-v[i]。
可以和tom问题中的状态转移联系起来，当前任务完成 的前一个子状态就是当前时刻减去当前任务占用时间