ch11-有限单元法(第5章)

图5－1 P18单元之间的位移情况
第5章 平面问题的有限单元法[专题1] 中南大学大讲台
综上所述，对于三角形常应变单元而言，其位移函数满足保证 收敛性的4个条件，故三角形常应变单元属于协调元。 4.单元刚度矩阵的计算
( a )应变矩阵[ B ] bi 1 B 0 2 ci 0 ci bi bj 0 cj 0 ci bi 0 cj bj bm 0 cm 0 c m Bi bm
br c s
1 c r bs 2 1 cr c s br bs 2
( r , s i , j , m)
K 211 K ji [ K121 ]T K 311 K mi [ K131 ]T
组合上述子刚阵，得单 元1的刚度矩阵为 K 1 111 1 K K 21 1 K 31 K121 3 0 K131 3Et 3 1 K 23 . 32 2 K 331 0 2
1.单元位移函数的广义坐 标形式： u ( x, y ) a1 a2 x a3 y ( x, y) a4 a5 x a6 y 2.位移函数的插值函数形 式 Ni u ( x, y) N i ui N j u j N m u m ( x, y) N N N d 0 i i j j m m 0 Ni Nj 0 0 Nj Nm 0 0 e e [ N ] Nm
q(kg/cm2)
y 4(0,100)
3(200,100) R3x=qht/2

200cm 1(0,0)

R2x=qht/2 2(200,0)
x
(a)结构模型图 1.结构离散化
(b)有限元模型图
图5－2 等厚矩形薄板
为简单起见，将该矩形薄板划分为两个单元、4个结点的单元组 合体，单元与结点的编号如图（b)所示。作用于单元的均布拉力，
3.建立结构刚度矩阵
采用按单元或结点形成结构刚度矩阵的方法，由K及K直接形成总体刚度矩阵K：
0 3 2 0 4 4 2 7 0 13 2 1 4 0 2 12 K 1 2 K 1 K 1 2 K 2 3 2 7 4 4 2 0 0 11 12 13 14 1 1 1 0 K 22 K 23 0 3Et 2 1 4 13 2 12 0 K 21 K 1 2 . 1 1 2 2 32 0 4 4 2 7 0 3 2 K K K K 32 33 34 31 2 2 2 K 41 2 12 0 13 2 1 4 0 0 K 43 K 44 4 2 0 0 3 2 7 4 0 2 1 4 13 2 12 0
K 221 K 321
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( 2)单元2 面积行列式： 1 0 0 1 ＝ 1 200 100＝10000 ， 2 1 0 100 bi 0, b j 100, bm 100 其代数余子式值： c 200, c 0, c 200 j m i 0 0 2 4 2 4 0 12 2 0 2 12 K14 2 3Et 0 2 3 0 3 2 2 K 34 . 0 0 1 2 1 32 2 K 44 2 4 2 3 2 7 4 2 12 2 1 4 13
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1 b b cr c s r s Et 2 根据公式 K rs 2 4(1 ) c r bs 1 br c s 2 可算出各个子刚阵为 K111 K ii 3Et 32 3 0 0 1 3Et 3 32 2 3Et 7 K 221 K jj 32 4 K121 K ij 0 2 2 0 4 2 3Et 4 1 K K 23 jm 13 32 2 12 3Et 4 0 K 321 K mj [ K 231 ]T K 331 K mm 32 0 12 2 1 K131 K im 3Et 32 0 1 2 1 2 0 3 2 7 4 4 2 2 1 4 13 2 12 0 2 4 2 4 0 2 0 2 12 0 12
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任何一个弹性体都是空间物体，一般的载荷都是空间力系。因 此，严格地说，任何实际问题都是空间问题，都必须考虑所有的位 移分量、应变分量和应力分量。然而，在实际工程问题中，有很多 结构具有特殊的几何形状，并且承受特殊的载荷，使其沿某一方面 的应力或应变很小。在满足工程精度要求的前提下，为了降低问题 的复杂性，人们常常把它们作为二维问题来处理，这就是所谓的平 面问题。按照弹性力学的分类，平面问题可分为平面应力问题与平 面应变问题两大类。 5.1 3结点三角形常单元
4.建立结构的结点载荷列阵
因结点载荷列阵R中不必考虑约束反力的作用，故在R1x、R1y、R4x、 R4y处置零， 于是得到
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R=[0， 0， 50qt， 0，50qt， 0，0 ，0]T
局部结点号 i j m对应总体结点编号1 －2－3，三角形面积行列式为 ： ＝ 1 1 2 1
200 100
其代数余子式 : 100 ，b j y m yi 100, bm y i y j 0 bi y j y m － c x x 0, c x x 200, c x x 200 m j j i m m j i i Et 9 Et 1 1 , 320000 2 3 4(1 2 )
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(c)单元刚度矩阵[ K ]e K ii e [ K ] K ji K mi Kij K jj K mj K im K jm K mm
1 b b cr c s r s Et 2 K rs 4 (1 2 ) c r bs 1 br c s 2 (d )应变计算 x y [ B] e xy (e)应力计算 x ＝ y [ D ][ B ] e xy
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按能量等效原则移置到结点2与结点3后，有： R2x=qht/2=50qt，R2y=0，R3x=qht/2=50qt，R3y=0 将一端固定的约束条件简化为固定端点的结点1、4处的平面铰。直角坐标系的选 取如图(b)所示。
2.计算单元刚度矩阵
(1)单元1 1 0 200 0 0 1000 cm 2
a5 a3 u ( x, y ) a1 y 2 (c ) a5 a3 ( x, y ) a 4 x 2 式中，a1和a 4 分别为单元在 x, y方向上的平动位移分量 u 0、 0 , 而(a5 a3 ) / 2 为单元绕垂直于 xy平面的轴线作刚体转动 时的角位移 0。因此，上式可改写为

Bj
Bm

bi 1 式中Bi 0 2 c i
(i, j , m)
(b)材料的弹性矩阵[ D ] 1 0 E 对于平面应力问题： [ D] 1 0 1 2 1 0 0 2 E 对于平面应变问题，用 E 和＝ 当量代入 2 1 1
局部结点号 i j m对应总体结点编号1－3－4，坐标数据如图(b)所示，单元 2的
根据K rs 的计算公式可算出单元 2的各个子刚阵，然后组 合成单元 2的刚度矩阵： K 2 11 K 2 K 312 2 K 41 K13 2
K 43 2
K 33 2
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1 其中：N i (ai bi x ci y ) 2 3.位移函数与解的收敛性 来考察三角形常应变单 元的位移函数： （ 1 ）常量应变考察： 根据平面问题的几何方 程，得到 u x x a 2 ＝ y a 6 y a a xy 3 5 u y x (i, j , m轮换）
br c s
1 c r bs 2 1 cr c s br bs 2
( r , s i, j , m)
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5.2 3结点常应变单元应用实例
下图为一等厚度的矩形薄板，其一端固定，另一端承受载荷集度为 q(kg/cm2)的均布拉力。板长l＝200cm，宽h=100cm，厚度为t。材 料的弹性模量为E，泊松比u=1/3。求薄板端角点的位移及板的应力。
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根据位移函数确保有限 元解收敛于真实解所必 须满足的4个条件，
(a)
即单元内任意一点的应 变均为常量应变，与单 元中某点的坐标无关。 即单元内任意一点的应 变均为常量，即单元各 点的应变均相同，故称
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这种单元为常应变单元 。 (2)刚体位移考察 将位移函数广义式改写 为 a5 a3 a3 a5 u ( x, y ) a1 y a2 x y 2 2 (b) a a3 a a5 ( x, y ) a 4 5 x a6 y 3 x 2 2 当发生刚体位移时，有 x y xy 0,由式(a )有a 2 a6 a3 a5 0。 将此代入式(b)可得到发生刚体位移时 的两个位移分量为：
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u ( x, y ) u 0 0 y (d ) ( x, y ) 0 0 x 式(c)和(d )是在应变分量均为零的 条件下导出的，表示了 单元的刚体位移。 (3)单元内位移连续性考察 位移函数是单值连续函 数，故满足连续性要求 。 (4)单元边界位移协调考察 由于相邻单元在公共结 点处的位移值相等，对 于线性位移函数，过两 个公共 结点可以连一直线，所 以公共结点之间边界线 上的各点必定落在此直 线上， 即该边界上的各点的位 移是连续的，如图5 1所示，不会发生单元重 叠或裂开 的情况。因此，位移函 数满足单元边界变形协 调。