八年级数学下册17.2勾股定理的逆定理第2课时勾股定理的逆定理的应用教学课件人教版.ppt
人教版八年级下册 17.2 勾股定理的逆定理 课件 (共15张PPT)
知识点一：勾股定理逆定理的实际应用
学以致用
1.我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有
这样一道题目:“问有沙田块，有三斜，其中小斜五里，中斜
十二里，大斜十三里，欲知为田几何?”这道题讲的是:有一
块三角形沙田，三条边长分别为5里、12里13里，问这块沙
田面积有多大?题中的“里”是我国市制长度单位，1里＝
7
• 解:设AD=x,则CD=10-x.
• 在 RtABD 中，
•
DB2 AB2 AD2
在RtCDQ中，
DB2 CQ2 CD2
62 x2 82 (10 x)2
解得: x 3.6
AD长为6.4n mile
8
知识点二：勾股定理逆定理在几何中的应用
3.如图，在四边形ABCD中，AB=8，BC=6，AC=10，
①若∠C- ∠B= ∠A,则△ABC是直角三角形；
②若c2=b2-a2,则△ABC是直角三角形,且∠C=90°；
③若(c+a)(c-a)=b2,则△ABC是直角三角形;
④若∠A：∠B：∠C=5：2：3，则△ABC是直角三
角形.
以上命题中的假命题个数是（ A ）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
4.已知a、b、c是△ABC三边的长，且满足关系式 c2 +a2 - b2 + c - a = 0 ，则△ABC的形状是
典例讲评
解:根据题意: PQ=16×1.5=24 PR=12×1.5=18 QR=30
∵242+182=302, 即 PQ2+PR2=QR2 ∴∠QPR=90°
由”远航“号沿东北方向航行可知,∠1=45°.所以∠2=45°,
17.2勾股定理及其逆定理的综合应用
第2课时勾股定理及其逆定理的综合应用姓名：基础题知识点1 勾股定理逆定理的应用1．在一根长为30个单位长度的绳子上，分别标出A，B，C，D四个点，将绳子分成长为5个单位长度，12个单位长度和13个单位长度的三条线段．自己握住绳子的两个端点(A点和D点交于一处)，两个同伴分别握住B点和C点，将绳子拉成一个几何图形，会得到( )A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．不能组成三角形2．甲、乙两艘客轮同时离开港口，航行的速度都是每分钟40 m，甲客轮用15分钟到达点A，乙客轮用20分钟到达点B.若A，B两点的直线距离为1 000 m，甲客轮沿着北偏东30°的方向航行，则乙客轮的航行方向可能是( )A．南偏东60°B．南偏西60°C．北偏西30°D．南偏西30°3．五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，下列选项中正确的是( )A B C D4．某小区的一所健身中心的平面图如图所示，活动区是面积为200 m2的长方形，其长为20 m，餐饮区是一个半圆形，面积为 4.5π m2，休息区是一个三角形，边AE＝8 m，求休息区的面积．知识点2 勾股定理及其逆定理的综合应用5．如图，正方形网格中的△ABC.若小方格边长为1，则△ABC的形状为( )A．直角三角形B．B．锐角三角形C．钝角三角形D．以上答案都不对6．如图是一个零件的示意图，测量AB＝4 cm，BC＝3 cm，CD＝12 cm，AD＝13 cm，∠ABC＝90°，根据这些条件，你能求出∠ACD的度数吗？试说明理由．7．如图，已知点C是线段BD上的一点，∠B＝∠D＝90°.若AB＝3，BC＝2，CD＝6，DE＝4，AE＝65.(1)求AC，CE的长．(2)求证：∠ACE＝90°.中档题8．已知△ABC，AB＝5，BC＝12，AC＝13，点P是AC上一个动点，则线段BP长的最小值是( )A.6013B．5 C.3013D．129．如图，A，B两个村庄分别在两条公路MN和EF 的边上，且MN∥EF，某施工队在A，B，C三个村之间修了三条笔直的路．若∠MAB＝65°，∠CBE＝25°，AB＝160 km，BC＝120 km，则A，C两村之间的距离为( )A．250 km B．240 kmC．200 km D．180 km10．如图所示的网格是正方形网格，则∠ACB－∠DCE＝ (点A，B，C，D，E是网格线交点)．11．如图，某小区的两个喷泉A，B位于小路AC的同侧，两个喷泉的距离AB的长为250 m．现要为喷泉铺设供水管道AM，BM，供水点M在小路AC上，供水点M 到AB的距离MN的长为120 m，BM的长为150 m.(1)求供水点M到喷泉A，B需要铺设的管道总长．(2)直接写出喷泉B到小路AC的最短距离．12．(教材P34习题T5变式)如图，在四边形ABCD 中，AB＝BC＝1，CD＝3，DA＝1，且∠B＝90°.(1)求∠BAD的度数．(2)求四边形ABCD的面积(结果保留根号)．(3)将△ABC沿AC翻折至△AB′C，如图所示，连接B′D，求四边形ACB′D的面积．综合题13．通过对《勾股定理》的学习，我们知道：如果一个三角形中，两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形一定是直角三角形．如果我们新定义一种三角形——两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形．(1)根据奇异三角形的定义，请你判断：等边三角形一定是奇异三角形吗？ (填“是”或“不是”)．(2)若某三角形的三边长分别为1，7，2，则该三角形是不是奇异三角形？请做出判断并写出判断依据．(3)在Rt△ABC中，三边长分别为a，b，c，且a2＝50，c2＝100，则这个三角形是不是奇异三角形？请做出判断并写出判断依据．探究：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a，且b＞a.若Rt△ABC是奇异三角形，求a2∶b2∶c2.1．A 2．A 3．C4．解：根据题意，得12π×(ED 2)2＝4.5π，∴ED ＝6.∵AD ·AB ＝200，AB ＝20， ∴AD ＝10. ∵AE ＝8，∴AE 2＋ED 2＝AD 2，即∠AED ＝90°.∴S △AED ＝8×62＝24(m 2)，即休息区的面积为24 m 2.5．A6．解：在△ABC 中，∵AB ＝4，BC ＝3，∠ABC ＝90°， ∴根据勾股定理，得AC 2＝AB 2＋BC 2＝42＋32＝52. ∴AC ＝5.∵AC 2＋CD 2＝52＋122＝25＋144＝169， AD 2＝132＝169， ∴AC 2＋CD 2＝AD 2.∴△ACD 是直角三角形，且AD 为斜边， 即∠ACD ＝90°.7．解：(1)∵在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝3，BC ＝2，∴AC ＝AB 2＋BC 2＝32＋22＝13.∵在Rt △EDC 中，∠D ＝90°，CD ＝6，DE ＝4， ∴CE ＝CD 2＋DE 2＝62＋42＝52＝213. (2)证明：∵AC ＝13，CE ＝52，AE ＝65， ∴AE 2＝AC 2＋CE 2.∴∠ACE ＝90°. 8． A 9． C 10．45°11．解：(1)在Rt △MNB 中，BN ＝BM 2－MN 2＝1502－1202＝90(m)，∴AN ＝AB －BN ＝250－90＝160(m)．在Rt △AMN 中，AM ＝AN 2＋MN 2＝1602＋1202＝200(m)．∴供水点M 到喷泉A ，B 需要铺设的管道总长为AM ＋BM ＝200＋150＝350(m)．(2)喷泉B 到小路AC 的最短距离是BM ＝150 m. 12．解：(1)∵AB ＝BC ＝1，∠B ＝90°，∴∠BAC ＝∠ACB ＝45°，AC ＝AB 2＋BC 2＝ 2. 又∵CD ＝3，DA ＝1， ∴AC 2＋DA 2＝CD 2.∴△ADC 为直角三角形，∠DAC ＝90°. ∴∠BAD ＝∠BAC ＋∠DAC ＝135°. (2)∵S △ABC ＝12AB ·BC ＝12，S △ADC ＝12AD ·AC ＝22，∴S 四边形ABCD ＝S △ABC ＋S △ADC ＝1＋22.(3)过点D 作DE ⊥AB ′，垂足为E ， 由(1)知∠DAC ＝90°.根据折叠可知∠B ′AC ＝∠BAC ＝45°，AB ＝AB ′＝1，S △AB ′C ＝S △ABC ＝12.∴∠DAE ＝∠DAC －∠B ′AC ＝45°. ∴AE ＝DE.设DE ＝AE ＝x ，在Rt △ADE 中，AE 2＋DE 2＝AD 2. ∴x 2＋x 2＝1.∴x ＝22. ∴S △ADB ′＝12×1×22＝24.∴S 四边形ACB ′D ＝S △AB ′C ＋S △ADB ′＝12＋24＝2＋24.13．解：(2)∵12＋(7)2＝2×22，∴该三角形是奇异三角形．(3)当c 为斜边时，b 2＝c 2－a 2＝50，Rt △ABC 不是奇异三角形；当b 为斜边时，b 2＝c 2＋a 2＝150，∵50＋150＝2×100，∴a 2＋b 2＝2c 2.∴Rt △ABC 是奇异三角形．探究：Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∴a 2＋b 2＝c 2. ∵c ＞b ＞a ，∴2c 2＞b 2＋a 2，2a 2＜b 2＋c 2. ∵Rt △ABC 是奇异三角形， ∴2b 2＝a 2＋c 2.∴2b 2＝a 2＋a 2＋b 2. ∴b 2＝2a 2.∴c 2＝3a 2. ∴a 2∶b 2∶c 2＝1∶2∶3.。
人教版初中数学《勾股定理的逆定理》ppt
②如果一个三角形，有两个角的和是90°，那么这个三角形也是直角三角
形
古埃及人把一根绳子打上等距离的13个结，然后以3个结间距，4 个结间距，5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形， 其中一个角便是直角.
你能计算出三边长的关系吗？ 32+42=52
2.5cm 6cm 6.5cm 用上面三个数为三边长作出三角形，用量角器量一量，是直角三 角形吗？
满足a2+b2=c2，那么这个三角 形是直角三角形.
勾股定理 的逆定理 作 用
从三边数量关系判 定一个三角形是 否是直角形三角形.
注意
最长边不一定是c， ∠C也不一定是直角.
勾股数一定是正整数
人教版初中数学《勾股定理的逆定理 》ppt（ PPT优 秀课件 ）
6cm
6.5cm
2.5cm
3，4，5和2.5，6，6.5这两组数在数量关系上有什么相同点？
① 3，4，5满足32+42=52, ②2.5，6，6.5满足2.52+62=6.52,
a2+b2=c2
人教版初中数学《勾股定理的逆定理 》ppt（ PPT优 秀课件 ）
由上面几个例子，我们猜想： 命题2 如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直 角三角形. 命题1 如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边为c,那么 a2+b2=c2.
人教版初中数学《勾股定理的逆定理 》ppt（ PPT优 秀课件 ）
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已知：如图，△ABC的三边长a，b，c，满足a2+b2=c2． 求证：△ABC是直角三角形．
△ABC是直角三角形
《勾股定理的逆定理》PPT免费课件(第2课时)
田的面积为（ A ）
A．7.5平方千米
B．15平方千米
C．75平方千米
D．750平方千米
课堂检测 基础巩固题
B
1.五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他 们摆成两个直角三角形，其中摆放方法正确的是 （ D ）
A.
B.
B
C.
D.
课堂检测
2.如图是医院、公园和超市的平面示意图，超市在医院的南偏东 25°的方向，且到医院的距离为300 m，公园到医院的距离为 400 m，若公园到超市的距离为500 m，则公园在医院的 ( B ) A.北偏东75°的方向上 B.北偏东65°的方向上 C.北偏东55°的方向上 D.无法确定
课堂检测
3.如图，某探险队的A组由驻地O点出发，以12km/h的速度前进，
同时，B组也由驻地O出发，以9km/h的速度向另一个方向前进，
2h后同时停下来，这时A，B两组相距30km．此时，A，B两组
行进的方向成直角吗？请说明理由.
解：∵出发2小时，A组行了12×2=24(km)，
A
B组行了9×2=18(km)，
Байду номын сангаас
巩固练习
解：由题意得，OB＝12×1.5＝18海里， OA＝16×1.5＝24海里， 又∵AB＝30海里， ∴182＋242＝302，即OB2＋OA2＝AB2， ∴∠AOB＝90°. ∵∠DOA＝40°， ∴∠BOD＝50°. 则另一艘舰艇的航行方向是北偏西50°.
探究新知
知识点 2 利用勾股定理的逆定理解答面积问题
应用 方法
航海问题
与勾股定理结合解决不规 则图形等问题
认真审题,画出符合题意的图 形,熟练运用勾股定理及其逆 定理来解决问题
第十七章 勾股定理 单元解读 课件(共13张PPT)2024-2025学年人教版八年级数学下册
单元教材解 读
课标解读
教学内容
课标要求
17.1 勾股定理 17.2 勾股定理的逆定理
探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决 一些简单的实际问题
学习目标
教学内容
学习目标
17.1 勾股定理
1.经历勾股定理的探索过程，了解关 于勾股定理的文化历史背景. 2.会运用勾股定理在数轴上确定无理 数对应的点. 3.能利用勾股定理解决一些简单问题.
直角三角形是一种极常见而特殊的三角形，它有许多性质.本章所研究的勾股 定理，就是直角三角形非常重要的性质之一，有极其广泛的应用．不仅在平面 几何中是重要的定理，而且在三角学、解析几何学、微积分学中都是理论的基 础，对现代数学的发展也产生了重要而深远的影响．本章教学时间约需9个课 时，具体安排如下（仅供参考）：
互逆定理
一般的，如果一个定理的逆命题经过证明是正确的， 那么它也是一个定理，称这两个定理互为逆定理.
知识结构
内容
a2 b2 c（2 a , b, c为三角形的
三边长） 直角三角形
勾股定理 的逆定理
互逆定理
勾股定理
应用 勾股数
判断三角形是否为直角三角形
能够成为直角三角形三条边长 的三个正整数
课时安排
通过这一节内容的学习，可以培养 学生逻辑思维能力、分析问题和解 决问题的能力.
教材内容
勾股定理分为两节。第17.1节介绍勾股定理及其应用，第17.2节介绍勾 股定理的逆定理及其应用.
17.2 勾股定理的逆定出猜想，然后 通过全等三角形证明了勾股定理的逆定理.并在其中穿插介绍了逆命题、逆定理的概 念，通过举例说明原命题成立其逆命题不一定成立.
17.1 勾股定理 17.2 勾股定理的逆定理
人教版八年级下册数学：17.2.2-勾股定理的逆定理课件
过了2秒后行驶了50米，此时测得小汽车与车速检测仪
间的距离为40米. 问：2秒后小汽车在车速检测仪的哪
个方向?这辆小汽车超速了吗?
小汽车在车 速检测仪的2秒后
你觉的此题解对了吗?
50米
小汽车
北偏西60° 方向 25米/秒=90千米/时 40米 >70千米/时∴小汽车超速了
30米 北 30°
60°
车速检测仪
∠B=90°
B
答：C在B地的正北方向．
13cm
A 12cm
2、有一电子跳蚤从坐标原点O出发向正东方向跳1cm，
又向南跳2cm，再向西跳3cm，然后又跳回原点，问电
子跳蚤跳回原点的运动方向是怎样的？所跳距离是多
少厘米？
y
电子跳蚤跳回原点 的运动方向是
东北方向；
所跳距离是 2 2 厘
米．
O1 x
22 2 2 2
（1）类似这样的关系6，8，10；9，12，15是否 也是勾股数？如何验证？
（2）通过对以上勾股数的研究，你有什么样的 猜想？
结论：若a，b，c是一组勾股数，那么ak，bk，ck （k为正整数)也是一组勾股数．
北
Q
30
R S 东 12×1.5=1485° 16×1.5=24 P
港口
解:根据题意画图,如图所示:
N
PQ=16×1.5=24
Q
PR=12×1.5=18
30
S
QR=30 ∵242+182=302,
R
16×1.5=24
12×1.5=18 45°45°
即 PQ2+PR2=QR2 ∴∠QPR=900
P
E
3
3、小明向东走80m后，又向某一方向走60m后，再沿
新人教版初中数学八年级下册17.2.1 勾股定理的逆定理
8．(2018·南通)下列长度的三条线段能组成直角三角形的是( A )
A．3，4，5
B．2，3，4
C．4，6，7
D．5，11，12
9．(2019·益阳)已知 M，N 是线段 AB 上的两点，AM＝MN＝2， NB＝1，以点 A 为圆心，AN 长为半径画弧；再以点 B 为圆 心，BM 长为半径画弧，两弧交于点 C，连接 AC，BC，则△ABC 一定是( ) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
答案显示
1．如果两个命题的题设和结论刚好相反，那么这样的两个命题 叫做__互__逆___命__题___，如果把其中一个命题叫做原命题，那么 另一个叫做它的__逆__命__题____．
2．一般地，如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它 也是一个定理，称这两个定理互为_逆__定___理__．
3．下列命题的逆命题正确的是( A ) A．两条直线平行，内错角相等 B．若两个实数相等，则它们的绝对值相等 C．全等三角形的对应角相等 D．若两个实数相等，则它们的平方也相等
17．(2019·河北)已知：整式 A＝(n2－1)2＋(2n)2，整式 B>0. 尝试 化简整式 A. 解：A＝(n2－1)2＋(2n)2＝n4－2n2＋1＋4n2＝n4＋2n2＋1 ＝(n2＋1)2.
发现 A＝B2，求整式 B. 解：∵A＝B2，B>0，∴B＝n2＋1.
联想 由上可知，B2＝(n2－1)2＋(2n)2，当 n>1 时，n2－1，2n，
(30°，60°，45°)的和的形式； (2)用旋转法将△CPB 绕点 C 顺时针旋转 90°到△CP′A 的位置．
解：如图，将△CPB 绕点 C 顺时针旋转 90°得△CP′A，则 P′C ＝PC＝2，P′A＝PB＝1，∠BPC＝∠AP′C，连接 PP′. 因为∠PCP′＝90°，所以 PP′2＝22＋22＝8. 又因为 P′A＝1，PA＝3， 所以 PP′2＋P′A2＝8＋1＝9，PA2＝9. 所以 PP′2＋P′A2＝PA2. 所以∠AP′P＝90°. 易知∠CP′P＝45°， 所以∠BPC＝∠AP′C＝∠AP′P＋∠CP′P＝90°＋45°＝135°.
17.2.1勾股定理的逆定理(课件)八年级数学下册(人教版)
下面以a，b，c为边长的三角形是不是直角三角形？
(1) a5，b12，c13； 52+122132
是
(2) a6，b7，c8； (3) a1，b2，c 3. (4) a:b: c=3:4:5;
62+7282 12+( 3 )222
不是 是 是
（4）解：设a=3k,b=4k,c=5k, 因为(3k)2+(4k)2=25k2,(5k)2=25k2, 所以(3k)2+(4k)2=(5k)2,根据勾股定理的逆定理， 这个三角形是直角三角形，∠C是直角.
角形，其中摆放方法正确的是
（ D）
A.
B.
C.
D.
4.一个三角形的三边长分别是5,12,13，则这个三角形的面积是（ A ） A. 30 B. 60 C. 78 D.不能确定
5. 一个三角形的三边长的平方分别为32，42，x2，若三角形是直角三角形，
则x2的值是( D )
A. 42
B. 25
C. 7
8.下列四组线段，不能构成直角三角形的是( D ) A. a8，b15，c17； B. a9，b12，c15；
C. a 5，b 3，c 2 ；
D. a b c2 3 4.
9.写出下列命题的逆命题，并判断逆命题是否成立. (1)全等三角形的对应角相等. (2)两直线平行，内错角相等. (3)互为相反数的两个数的绝对值相等.
12.如图，在△ABC中，AB：BC：CA=3：4：5且周长为36cm，点P从点A开 始沿AB边向B点以每秒2cm的速度移动，点Q从点C沿CB边向点B以每秒 1cm的速度移动，如果同时出发，则过3s时，求PQ的长． 解：设AB为3xcm，BC为4xcm，AC为5xcm， ∵周长为36cm，即AB+BC+AC=36cm， ∴3x+4x+5x=36，解得x=3. ∴AB=9cm，BC=12cm，AC=15cm. ∵AB2+BC2=AC2， ∴△ABC是直角三角形， 过3秒时，BP=9-3×2=3(cm)，BQ=12-1×3=9(cm)， 在Rt△PBQ中，由勾股定理得 PQ 32 92 3 10(cm).
《勾股定理的逆定理》勾股定理PPT课件(第2课时)
13
4
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┐
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探究新知
解：连接BD 在Rt△ABD中
∵AB=3，AD=4 ∴BD= AB 2 AD 2 =5
在△BCD中 ∵CD=13 , BC=12
∴CD2=BC2+BD2
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┐
3
∴△BCD是直角三角形 ∴∠DBC=90°
∴S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD = 1×3×4+ 1×5×12=36
此时四边形ABCD 的面积是多少?
5、 已知a、b、c为△ABC的三边,且 满足 a2+b2+c2+338=10a+24b+26c. 试判断△ABC的形状.
思维训练
6、△ABC三边a,b,c为边向外作 正方形，正三角形，以三边为 直则径作是半直圆角，三若角S形1+吗S2=？S3成立，
C
S2
A
b
ca
能替工人师傅想办法完成任务吗?
9.三个半圆的面积分别为S1=3π， S2=4π，S3=7π，把三个半圆拼成如 右图所示的图形，则△ABC一定是
直角三角形吗？
B
C
D
B'
A'
A
B
勾股定理：
如果直角三角形的两直角边为a，b， 斜边长为c ，那么a2+b2=c2.
B
反过来，如果一个 a
c
三角形的三边长a、b、
（C）1:2:4; （D）1:3:5.
3. 三角形的三边分别是a、b、c, 且满足
(a+b)2-c2=2ab, 则此三角形是:( )
A. 直角三角形;
B. 是锐角三角形;
《勾股定理——勾股定理的逆定理》数学教学PPT课件(5篇)
有一个角是直角的三角形是直角三角形.
角：
边：
如果三角形的三边长a，b，c满足 a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形
再 见
1.直角三角形有哪些性质?
2.如何判断三角形是直角三角形?
古埃及人曾用下面的方法得到直角
按照这种做法真能得到一个直角三角形吗？
∴ ∠C= 900
已知:在△ABC中，AB=c BC=a CA=b 且a2+b2=c2
求证:△ ABC是直角三角形
证明:画一个△A’B’C’,使∠ C’=900,B’C’=a, C’A’=b
在△ ABC和△ A’B’C’中
∴ △ ABC是直角三角形（直角三角形的定义）
勾股定理的逆命题证明
例1 判断由a、b、c组成的三角形是不是直角三角形：(1) a＝15 , b ＝8 , c＝17
是
是
不是
是
∠ A=900
∠ B=900
∠ C=900
像25,20,15,能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数.
例1： “远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里。它们离开港口一个半小时后相距30海里。如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？
例题3：
如图，是一块四边形绿地示意图，其中AB长24米，BC长20米，CD长15米，DA长7米，∠ C=90度求：绿地ABCD的面积。
C
B
A
D
24
20
15
7
25
例2：如图，有一块地，已知，AD=4m，CD=3m，∠ADC=90°，AB=13m，BC=12m。求这块地的面积。
八年级数学勾股定理的逆定理课件-应用
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第2课时勾股定理的逆定 理(二) —— 应用
(2)在图2中，画一个三边长分别为3，2， 13的三角形，一共可以画 16 个这样的三角形. 解析:如图2,一共可以画16个这样的三角形.
图2
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第2课时勾股定理的逆定 理(二) —— 应用
10.在某小区在社区工作人员及社区居民的共同努力之下，
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第2课时勾股定理的逆定 理(二) —— 应用
8.如图，明明在距离水面高度为5 m的岸边C处，用绳子拉船 靠岸，开始时绳子BC的长为13 m.若明明收绳6 m后，船到 达D处，则船向岸边A处移动了多少米?
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第2课时勾股定理的逆定 理(二) —— 应用
解:∵开始时绳子BC的长为13 m,明明收绳6 m后,船到达D处,
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第2课时勾股定理的逆定 理(二) —— 应用
知识点 勾股定理逆定理的应用 【例题】如图，甲船以5海里/时的速度离开港口O沿南偏东 30°方向航行，乙船同时同地沿某方向以12海里/时的速度 航行.已知它们离开港口2小时后分别到达B，A两点，且AB ＝26海里.你知道乙船是沿哪个方向航行的吗?
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目 录
CONTENTS
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第2课时勾股定理的逆定 理(二) —— 应用
第十七章 勾股定理
17.2 勾股定理的逆定理 第2课时勾股定理的逆定理(二) —— 应用
01 课标要求
02 基础梳理
03 典例探究
04 课时训练
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人教版八年级数学下册勾股定理逆定理课件第二课时
检测目标
2.如图，在正方形ABCD中，F是CD的中点，E为BC上一 点，且CE＝1 CB，试判断AF与EF的位置关系，并说明理由．
4
解：AF⊥EF.理由如下： 设正方形的边长为4a, 则EC＝a，BE＝3a，CF＝DF＝2a. 在Rt△ABE中，得AE2＝AB2＋BE2＝16a2＋9a2＝25a2. 在Rt△CEF中，得EF2＝CE2＋CF2＝a2＋4a2＝5a2. 在Rt△ADF中，得AF2＝AD2＋DF2＝16a2＋4a2＝20a2. 在△AEF中，AE2＝EF2＋AF2， ∴△AEF为直角三角形，且AE为斜边． ∴∠AFE＝90°，即AF⊥EF.
例1 如图，某港口P位于东西方向的海岸线上. (3) 本题正确的结论是＿＿＿＿＿＿＿＿ 如图，在△ABC中，AB：BC：CA=3：4：5且周长为36cm，点P从点A开始沿AB边向B点以每秒2cm的速度移动，点Q从点C沿CB边向 点B以每秒1cm的速度移动，如果同时出发，则过3s时，求PQ的长． 思考1 认真审题，弄清已知是什么？要解决的 在△AEF中，AE2＝EF2＋AF2，
我们学会了用勾股定理解决生活中的很多问 题，那么勾股定理的逆定理可以解决哪些实际问 题呢？我们一起来探究吧。
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沧海可填山可移，男儿志气当如斯。
壮志与毅力是事业的双翼。
母鸡的理想不过是一把糠。
生无一锥土，常有四海心。
远大的希望造就伟大的人物。
志高山峰矮，路从脚下伸。
雄心志四海，万里望风尘。
检测目标
3.已知 △ABC三角形的三边分别为 a,b,c 且a = m2 - n2 ,b = 2mn,c = m2 n2 (m > n,m,n是正整数)， △ABC是直角三角形吗?说明理由
《勾股定理的逆定理》课件PPT1
3．(2017·常德)命题：“如果m是整数，那么它是有理数”，则它的逆命题 为：_____如___果__m__是__有__理___数__，__那__么___它__是__整__数_．
4．说出下列命题的逆命题，并判断逆命题的真假． (1)同旁内角互补，两条直线平行； (2)线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等； (3)直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半． 解：(1)逆命题为：两条直线平行，同旁内角互补．是真命题． (2)逆命题为：到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．是真 命题． (3)逆命题为：直角三角形中，一条直角边等于斜边的一半，则这条直角边所对 的角是30°.是真命题．
仔细观察命题1、命题2的题设和结论，你能发现什么？
2
2
2
对应角相等的两个三角形全等.
－b|＝0，则△ABC 的形状是____________________________． 等腰直角三角形 （1）如果两个角相等，那么这两个角的补角相等.
解：∵AC2＝AD2＋CD2＝20，BC2＝CD2＋BD2＝80，AB2＝(AD＋BD)2＝100，∴AC2＋BC2＝AB2.
A．两条直线平行，内错角相等
（1）如果两个角相等，那么这两个角的补角相等.
8．测得一块三角形花坛的三边长分别为1.5 （1）如果两个角相等，那么这两个角的补角相等.
（2）判断一个命题是假命题，只需要能够举出一个反例即可.
m，2
m，2.5
m，则这个花坛的
∴∠DAB＝∠DAC＋∠BAC＝90°＋45°＝135°.
16．如图，在△ABC中，CD为AB边上的高，AD＝2，BD＝8，CD＝4，试说 明△ABC是直角三角形． 解：∵AC2＝AD2＋CD2＝20，BC2＝CD2＋BD2＝80，AB2＝(AD＋BD)2＝100 ，∴AC2＋BC2＝AB2.∴△ABC为直角三角形．
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PQ=16×1.5=24(海里),
R
PR=12×1.5=18(海里),
QR=30海里.
∵242+182=302，即PQ2+PR2=QR2,∴∠QPR=90°. 由“远航”号沿东北方向航行可知∠1=45°. ∴∠2=45°，即“海天”号沿西北方向航行.
N Q
21
P
E
归纳:解决实际问题的步骤：构建几何模型(从整体到局部)；
400
A
60°
30°
B
D1000
C
5、甲、乙两只捕捞船同时从A港出海捕鱼．甲船以
15 2 km/h的速度沿北偏西60°方向前进，乙船以
15km/h的速度沿东北方向前进．甲船航行2小时到达C
处时发现渔具丢在乙船上，于是快速（匀速）沿北偏
东75°方向追赶，结果两船在B处相遇．
（1）甲船从C处追赶上乙船用了多少时间？
标注有用信息,明确已知和所求；应用数学知识求解.
三、练习
1、A、B、C三地的两两距离如图所示，A地在B 地的正东方向，C地在B地的什么方向？
解：∵ BC2+AB2=52+122=169 AC2 =132=169 ∴BC2+AB2=AC2 即△ABC是直角三角形 ∠B=90° 答：C在B地的正北方向．
北
甲(A)
西
O
东
乙(B)
南
2.两军舰同时从港口O出发执行任务，甲舰以30海里/小时的速
度向西北方向航行，乙舰以一定的速度向西南方向航行，它们
离开港口2小时后测得两船的距离为100千米，求轮船B的速度是
多少？
甲(A) 北
西
O
东
乙(B) 南
二、例题教学
例1 如图，某港口P位于东西方向的海岸线 上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港 口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小 时航行16 n mile，“海天”号每小时航行12 n mile ．它们离开港口一个半小时后分别位于 点Q，R处，且相距30 n mile ．如果知道“远 航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿 哪个方向航行吗？
勾股定理的逆定理的内容和作用是什么？
逆定理: 如果三角形的三边长a、b、c满足 a2 + b2 = c2
那么这个三角形是直角三角形。
作用： 判定直角三角形
1.两军舰同时从港口O出发执行任务，甲舰以30海里/小时的 速度向西北方向航行，乙舰以40海里/小时的速度向西南方向航
行，问1小时后两舰相距多远？
问题1 认真审题，弄清已知是什么？要解决的
问题是什么？
N
30
Q
12×R1.5=182 116×1.5=24
“远航”号的航向、两艘船的一个半小时 后的航程及距离已知，如图.
实质是要求出两艘船航向所成角.
P
E
问题2 由于我们现在所能得到的都是线段长，要求角，由此你联想 到了什么？
勾股定理逆定理
解：根据题意得
30°
已知a、b、c为△ABC的三边,且 满足
a2+b2+c2+338=10a+24b+26c.
试判断△ABC的形状.
分析：先变形后根据非负性性质求出a，b，c的值， 最后根据勾股定理的逆定理判断
。
（2）甲船追赶乙船的速度是多少千米/时？
北 速度 (30 30 B3) 2 15 15 3
北
时间 4 2 2(小时)3030
3
30°
甲船追赶乙船用了2小时，
60 速度是(15 15 3)千米/时．
时间 60 15 4(小时)
30 2
60°45°
第十七章 勾股定理
17.2 勾股定理的逆定理
第2课时 勾股定理的逆定理的应用
学习目标
1.灵活应用勾股定理及其逆定理解决实际问题.（重点） 2．进一步加深性质定理与判定定理之间关系的认识。 3.将实际问题转化成用勾股定理的逆定理解决的数学问
题.（难点）
一、温故知新
1.我们已经学习了勾股定理及其逆定理，你能叙述吗？ 2.你能用勾股定理及其逆定理解决哪些问题？
2、小明向东走80m后，又向某一方向走60m后，再沿第三个方向又走 100m回到原地．小明向东走80m后又向哪个方向走的？
小明向东走80m后 又向正南方向走的 或又向正北方向走的
北
60m
O
80m
东
60m
3、已知：如图，四边形ABCD中，AB＝3，BC＝4， CD＝12，AD＝13, ∠B＝900，求四边形ABCD的面积?
解：连接AC
∵ ∠B＝90° AB＝3，BC＝4，
C
∴AC=
=5
在△ACD中，
B
D
AC²+CD²=25+144=169=AD²，
∴△ACD是直角三角形，
A
∴∠ACD=90°；
∴S四边形ABCD= 12S△ABC+
1 S△ACD=36．
2
4. 如图,点A是一个半径为 400 m的圆形森林公园的中心,在森林 公园附近有 B .C 两个村庄,现要在 B.C 两村庄之间修一条长为 1000 m 的笔直公路将两村连通,经测得 ∠B=60°,∠C=30°, 问此公路是否会穿过该森林公园?请通过计算说明.