2019广东省高一上学期数学期末考试试题
2019学年广东省心学校高一上学期期末数学试卷【含答案及解析】
2019学年广东省心学校高一上学期期末数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. 设集合A ={3，5 ， 6，8}，集合B ={4，5， 7，8}，则A ∩ B等于（） A． {3，4，5，6，7，8}B． {5，8}C． {4，7}D ． {3，6}2. 下列向量组中,能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是（）．A．，______________B ．，C．，______________D ．，3. 已知，则的值为（）A ．_________B ．—________C ．___________D ．—4. 下列四个函数中 , 与 y=x 表示同一函数的是（）A ． ______________B ． y= ________C ．D ． y=5. 已知函数是定义在R上的增函数，A （ 0，-1 ），B （ 3，1 ）是其图象上的两点，那么的解集的补集是（）A．[-1，2]B．（- ，-1）∪（2，+ ）C．（-1，2）D ．（ - ，-1 ）∪ [2，+ ）6. 三个数的大小关系为（）A．______________B ．C．____________________D ．7. 若平面向量与向量平行，且，则（）．A ．______________B ．______________C ．___________D ．或8. 函数的零点一定位于区间（）．A ．______________B ．______________C ．______________D ．9. 在区间上的最大值是最小值的倍，则的值为（）．A ．______________B ．________________________C ．____________________ D ．10. 要得到的图象只需将 y=3sin2 x 的图象（）A ．向左平移个单位B ．向左平移个单位C ．向右平移个单位D ．向右平移个单位11. 设，则的值是（）A ． 1___________________________________B ． 2_________________________________C ．________________________D ．12. 已知函数是定义域为的偶函数，且在区间上单调递增。
2019广东省高一上学期数学期末考试试题
2019⼴东省⾼⼀上学期数学期末考试试题⾼⼀级教学质量监测数学本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页，全卷三⼤题22⼩题，满分150分，考试⽤时120分钟。
注意事项:1.答卷前,考⽣务必⽤⿊⾊字迹的钢笔或签字笔将⾃已的姓名、考试科⽬、班级和考⽣号等信息填写在答题卡上，并⽤2B 铅笔将考号在答题卡相关的区域内涂⿊。
2.选择题每⼩题选出答案后，⽤2B 铅笔把答题卡对应的答案符号涂⿊；如需改动,⽤橡⽪擦⼲净后,再选涂其它答案，答案不能答在试卷上。
3．⾮选择题必须⽤⿊⾊字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题⽬指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使⽤铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案⽆效。
4.考⽣必须保持答题卡的整洁,考试结束后,将答题卡答卷交给监考⽼师。
第Ⅰ卷（选择题共60分）⼀、选择题(本⼤题共12⼩题，每题5分,共60分) 1. 设集合}10,8,6,4,2,0{=A ,}8,4{=B ,则B C A =（）A. }8,4{B. }6,2,0{C. }10,6,2,0{D. }10,8,6,4,2,0{2. 下列函数既是奇函数⼜是增函数的是（）A.12+=x y B. 1+=x yC.21x y = D. 3x y =3. 若单位向量b a ,的夹⾓为150°，则b a ?的值为（）A. 23B. 22 C. 21D. 23-4. 下列转化结果错误的是（）A.060化成弧度是3π B. π3-化成度是0600- C. 0150-化成弧度是π67-D.12π化成度是0155. 幂函数的图象经过点)33,3(，则)2(f 的值等于（） A. 4 B. 41 C.2D.22 6. 函数2lg )(-+=x x x f 的零点所在的区间是（）A.)1,0(B. )2,1(C. )3,2(D. )10,3(7. 已知→→→=--=AB CD C AB 2),3,1(),3,5(，则点D 的坐标为（）A.)9,11( B. )0,4( C. )3,9( D.)3,9(-8. 已知)(x f y =是定义在R 上的奇函数，且当0>x 时，12)(-=x x f ，则)2(-f 等于（）A. 3B.3-C. 43-D. 411-9. 已知ABC ?中，030,3,1===A b a ，则B 等于（）030 B. 0015030或 C. 006 D. 0012006或10. 将函数)62sin(2x y π+=的图象向右平移4π后，所得图象对应的函数为（） A. )4 2sin(2x y π+=B.)32sin(2x y π+=C. )42sin(2x y π-=D. )32sin(2x y π-=11. 已知α为第⼆象限⾓，33cos sin =+αα，则=α2cos （） A.35-B. 95-C.95 D.35 12. 函数≤>=1,1log )(2x x xx f x，则)1(+=x f y 的图象⼤致是（）A. B.C. D.第II 卷（共90分）⼆、填空题(本⼤题共4⼩题，每题5分,共20分) 13. 函数82-=x y 的定义域为．14. 已知扇形的圆⼼⾓32πα=，半径3=r ，则扇形的弧长l 为______ ． 15. 若⾓α的终边过点)2,1(-，则ααcos sin =______．16. 已知函数)(x f 是定义在]2,2[-上的增函数，且)()1(m f m f <-，则实数m 的取值范围______ ．三、解答题（本⼤题共6⼩题，共70分） 17. 已知55sin ),2,0(=∈απα. （1）求)4sin(πα+的值；（2）求α2tan 的值．18. 已知向量),5(),2,2(k b a =-=.（1）若b a⊥，求实数的值；（2）若)2//()2(b a b a-+，求实数k 的值。
广东省实验2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题 Word版含解析
广东省实验中学2019-2020学年(上)高一级模块一､四考试数学【高一上学期期末考试】 一､选择题:(每小题5分,共60分) 1.已知集合A ={x |x 2﹣x ≤0},{|22}x B x =≤,则A ∩B =( )A. 1{|1}2x x -≤≤ B. 1{|0}2x x ≤≤C. 1{|0}2x x -≤≤ D.1{|1}2x x ≤≤ 【★答案★】B 【解析】 【分析】先化简集合A ，集合B ，再利用交集的定义求解.【详解】因为集合A ={x |x 2﹣x ≤0}{}|01x x =≤≤ ，1{|22}{|}2=≤=≤x B x x x ，所以A ∩B =1{|0}2x x ≤≤.故选：B【点睛】本题主要考查集合的基本运算，属于基础题.2.若a >b ，则 A. ln(a −b )>0 B. 3a <3b C. a 3−b 3>0 D. │a │>│b │【★答案★】C 【解析】 【分析】本题也可用直接法，因为a b >，所以0a b ->，当1a b -=时，ln()0a b -=，知A 错，因为3xy =是增函数，所以33a b >，故B 错；因为幂函数3y x =是增函数，a b >，所以33a b >，知C 正确；取1,2a b ==-，满足a b >，12a b =<=，知D 错．【详解】取2,1a b ==，满足a b >，ln()0a b -=，知A 错，排除A ；因为9333a b =>=，知B错，排除B ；取1,2a b ==-，满足a b >，12a b =<=，知D 错，排除D ，因为幂函数3y x =是增函数，a b >，所以33a b >，故选C ．【点睛】本题主要考查对数函数性质、指数函数性质、幂函数性质及绝对值意义，渗透了逻辑推理和运算能力素养，利用特殊值排除即可判断．3.已知tan 3θ=，则()()3sin 2cos 2sin sin 2πθπθπθπθ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭⎛⎫--- ⎪⎝⎭等于（ ）A. 32-B.32C. 0D.23【★答案★】B 【解析】【详解】因为tan θ=3，∴()()3sin 2cos 2sin sin 2πθπθπθπθ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭⎛⎫--- ⎪⎝⎭=3cos 333.cos sin 1tan 132θθθθ---===--- 故选B ．4.如图，若OA a =，OB b =，OC c =，B 是线段AC 靠近点C 的一个四等分点，则下列等式成立的是（）A. 2136c b a =- B. 4133c b a =+ C. 4133c b a =- D. 2136c b a =+ 【★答案★】C 【解析】 【分析】利用向量的线性运算即可求出★答案★.【详解】13c OC OB BC OB AB ==+=+()141333OB OB OA OB OA =+-=-4133b a =-.故选C .【点睛】本题考查的知识要点：向量的线性运算，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．5.函数()()sin (0,0)f x A x A ωϕω=+>>的图象关于直线π3x =对称,它的最小正周期为π,则函数()f x 图象的一个对称中心是 （ ） A. ,012π⎛⎫-⎪⎝⎭B. π,13⎛⎫⎪⎝⎭C. 5π,012⎛⎫⎪⎝⎭D. ,012π⎛⎫⎪⎝⎭【★答案★】D 【解析】 【分析】 由周期求出2ω=，再由图象关于直线3x π=对称，求得6πϕ=-，得到函数()26f x Asin x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，2,6x k k π-=π∈Z 求得212k x ππ=+，从而得到图象的一个对称中心.【详解】由2ππω=，解得2ω=，可得()()2f x Asin x ϕ=+， 再由函数图象关于直线3x π=对称，故233f Asin A ππϕ⎛⎫⎛⎫=+=±⎪⎪⎝⎭⎝⎭，故可取6πϕ=-， 故函数()26f x Asin x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 令2,6x k k π-=π∈Z ， 可得,212k x k Z ππ=+∈，故函数对称中心,0,212k k Z ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭， 令0k =可得函数()f x 图象的对称中心是,012π⎛⎫⎪⎝⎭，故选D. 【点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质，属于中档题.由 函数sin()y A x ωϕ=+可求得函数的周期为2πω；由2x k πωϕπ+=+可得对称轴方程；由x k ωϕπ+=可得对称中心横坐标.6.已知平面内一点P 及△ABC ,若PA PB PC BC ++=,则P 与△ABC 的位置关系是( ) A. P 在△ABC 外部 B. P 在线段AB 上 C. P 在线段AC 上 D. P 在线段BC 上【★答案★】B 【解析】 【分析】根据PA PB PC BC ++=，通过加减运算整理为2PA PB =-，再利用共线向量定理判断. 【详解】因为PA PB PC BC ++=， 所以PA PB PC PC PB ++=-， 所以2PA PB =-， 所以P 在线段AB 上. 故选：B【点睛】本题主要考查平面向量的加减运算和共线向量定理，属于基础题. 7.下列函数中,既是偶函数,又在区间(0,+∞)上单调递减的函数是( ) A. y =x 2B. 1y lnx= C. y =2|x |D. y =cosx【★答案★】B 【解析】 【分析】A. 根据奇偶性的定义判断奇偶性，根据2yx 的图象判断单调性.B. 根据奇偶性的定义判断奇偶性，根据ln y x = 的图象判断单调性.C. 根据奇偶性的定义判断奇偶性，根据2xy = 的图象判断单调性.D. 根据奇偶性的定义判断奇偶性，根据cos y x =的图象判断单调性. 【详解】因为()22x x -=，所以2y x 是偶函数，又因为2y x 在（0，+∞)上单调递增，故A 错误. 因为11=-lnln x x ，所以1y ln x =是偶函数，又因为10,ln >==-x y ln x x，在(0，+∞)上单调递减，故B 正确.因为22x x -=，所以 2xy =是偶函数，又因为 0,22>==xx x y 在(0，+∞)上单调递增，故C 错误.因为()cos cos x x -=，所以cos y x =是偶函数，又因为cos y x =在 (0，+∞)上不单调，故D 错误. 故选;D【点睛】本题主要考查函数的单调性和奇偶性和基本函数的图象和性质，属于基础题.8.若510cos(),cos 2,510αβα-==并且,αβαβαβ+均为锐角，且〈，则的值为（ ） A.6πB.4π C.34π D.56π 【★答案★】C 【解析】∵α、β均为锐角且α＜β， ∴ 2π-＜α-β＜0， ∵cos （α-β）=55 ， ∴sin （α-β）=255-∵cos 2α=1010，α为锐角∴sin 2α=31010， ∴cos （α+β）=cos [2α-（α-β）]=cos 2αcos （α-β）+sin 2αsin （α-β） =22-， ∵α+β∈（0，π），∴α+β= 34π． 本题选择C 选项.9.下列给出的关系式中正确的是( ) A. ()()a b c a b c +⋅=+B. 若a ∥b ,b ∥c ,则a ∥cC. a ∥b ⇒a 在b 上的投影为|a | D. (a b a b +)•(a b a b -)=0【★答案★】D 【解析】 【分析】A. 根据数量积的运算律判断.B. 取0b =判断.C. 根据a ∥b 时，夹角为0或180判断.D. 由数量积的运算判断.【详解】A. 由数量积的运算律得()+⋅=⋅+⋅a b c a c b c ，故A 错误. B. 当0b =时，不成立.故B 错误.C. 当a ∥b 时，夹角为0或180，所以a 在b 上的投影为±a 故C 错误.D. 由数量积的运算得(a b a b +)•(a b a b -)=220⎛⎫⎛⎫ ⎪-= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭a b a b ，故D 正确. 故选：D【点睛】本题主要考查平面向量数量积的运算律，投影及基本运算，属于基础题.10.幂函数y ax =，当a 取不同的正数时，在区间[]01，上它们的图像是一组美丽的曲线（如图），设点()()A 10B 01，，，，连结AB ，线段AB 恰好被其中的两个幂函数y y abx x 、==的图像三等分，即有BM MN NA ==，那么1a b-=（ ）A. 0B. 1C.12D. 2【★答案★】A 【解析】 【分析】先根据题意结合图形分别确定M N 、的坐标，然后分别代入y y a bx x 、==中求得b a 、的值，最后再求出1a b-的值，即可得出★答案★． 【详解】因为BM MN NA ==，点()()A 10B 01，，，，所以1221M N 3333⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，分别代入y y abx x 、==中，213312log b log 33a ==， 所以2313111log 023log 3a b -=-=，故选A ． 【点睛】本题考查了指数函数的性质以及指数与对数的转化，考查了数形结合思想，考查了对数的计算法则，考查了计算能力与推理能力，是基础题． 11.将函数()42f x cos x π⎛⎫=⎪⎝⎭和直线g (x )=x ﹣1的所有交点从左到右依次记为A 1,A 2,A 3,A n …,若P 点坐标为(0,1),则12n PA PA PA +++=( )A. 52B. 32C. 2D. 0【★答案★】A 【解析】 【分析】在同一坐标系中作出()42f x cos x π⎛⎫=⎪⎝⎭和g (x )=x ﹣1的图象，所有交点从左到右依次记为A 1，A 2，A 3， A 4，A 5，根据()31,0A 为()42f x cos x π⎛⎫=⎪⎝⎭的一个对称点，得到15,A A 关于()31,0A 对称，24,A A 关于()31,0A 对称，再用中点坐标公式得到1234535+=+++PA PA PA PA PA PA 求解.【详解】在同一坐标系中作出()42f x cos x π⎛⎫=⎪⎝⎭和g (x )=x ﹣1的图象，如图所示：所有交点从左到右依次记为A 1，A 2，A 3， A 4，A 5， 因为()31,0A 是()42f x cos x π⎛⎫=⎪⎝⎭的一个对称点， 所以15,A A 关于()31,0A 对称，24,A A 关于()31,0A 对称， 所以1532432,2==++PA PA PA PA PA PA ， 所以1234535+=+++PA PA PA PA PA PA ， 因为()331,1,2=-=PA PA ，所以1252+++=n PA PA PA .故选：A【点睛】本题主要考查了函数的图象和平面向量的运算，还考查了数形结合的思想方法，属于中档题.12.德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著,以其命名的函数()1,0,R x Q f x x C Q ∈⎧=⎨∈⎩被称为狄利克雷函数,其中R 为实数集,Q 为有理数集,以下命题正确的个数是( ) 下面给出关于狄利克雷函数f (x )的五个结论: ①对于任意的x ∈R ,都有f (f (x ))=1; ②函数f (x )偶函数; ③函数f (x )的值域是{0,1};④若T ≠0且T 为有理数,则f (x +T )=f (x )对任意的x ∈R 恒成立; ⑤在f (x )图象上存在不同的三个点A ,B ,C ,使得△ABC 为等边角形.A. 2B. 3C. 4D. 5【★答案★】D 【解析】 【分析】①分x Q ∈，R x C Q ∈两种情况从内到外，利用()1,0,R x Qf x x C Q ∈⎧=⎨∈⎩求值判断.②分x Q ∈，R x C Q ∈两种情况，利用奇偶性定义判断.③当x Q ∈时，()1f x =；当R x C Q ∈时，()0f x =判断.④分x Q ∈，R x C Q ∈两种情况，利用周期函数的定义判断.⑤取12333,0,33x x x =-==，()33,0,0,1,,033A B C ⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭判断. 【详解】①当x Q ∈时，()1f x =，则()()()11ff x f ==；当Rx C Q ∈时，()0f x =，则()()()01f f x f ==，所以对于任意的x ∈R ，都有f (f (x ))=1;故正确.②当x Q ∈时，x Q -∈，()()1f x f x -==；当R x C Q ∈时，R x C Q -∈，()()0f x f x -==，所以函数f (x )偶函数;故正确.③当x Q ∈时，()1f x =；当R x C Q ∈时，()0f x =，所以函数f (x )的值域是{0，1};故正确. ④当x Q ∈时，因为T ≠0且T 为有理数，所以+∈T x Q ，则f (x +T )=1=f (x )；当 R x C Q ∈时，因为T ≠0且T 为有理数，所以+∈R T x C Q ，则f (x +T )=0=f (x )，所以对任意的x ∈R 恒成立;故正确.⑤取12333,0,33x x x =-==，()33,0,0,1,,033A B C ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭构成以233为边长的等边三角形，故正确. 故选：D【点睛】本题主要考查了函数新定义问题和函数的基本性质，还考查了理解辨析的能力，属于中档题.二､填空题:(每小题5分,共20分)13.已知向量a =(﹣2,3),b =(x ,1),若a ⊥b ,则实数x 的值是_____. 【★答案★】32【解析】【分析】已知向量a =(﹣2，3)，b =(x ，1)，根据a ⊥b ，利用数量积的坐标运算求解. 【详解】已知向量a =(﹣2，3)，b =(x ，1)， 因为a ⊥b ， 所以230x -⨯+=解得32x =故★答案★为：32【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积运算，还考查了理解辨析的能力，属于基础题. 14.计算102554(1)2100.25log log π-++++=_____.【★答案★】72【解析】 【分析】根据指数、对数的运算法则和性质求解. 【详解】102554(1)2100.25π-++++log log ，551211000.1254=+++log log ，511252=++log 171222=++=. 故★答案★为：72【点睛】本题主要考查了对数，指数的运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.15.已知12,1(){32,1x x f x x x -≥=-< ，若不等式211cos sin 042f θλθ⎛⎫+-+≥ ⎪⎝⎭对任意的0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，则整数λ的最小值为______________． 【★答案★】1 【解析】因为函数()f x 为单调递增函数，且11()22f =-，所以不等式211cos sin 042f θλθ⎛⎫+-+≥ ⎪⎝⎭对任意的0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，等价于211cos sin 42θλθ+-≥对任意的0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，设sin ,[0,1]t t θ=∈ ，则2104t t λ--≤ ，当0t =时，R λ∈ ；当(0,1]t ∈ 时max 133(),444t t λλλ≥-=∴≥的最小值为1. 16.如图所示,矩形ABCD 的边AB =2,AD =1,以点C 为圆心,CB 为半径的圆与CD 交于点E ,若点P 是圆弧EB (含端点B ､E )上的一点,则PA PB ⋅的取值范围是_____.【★答案★】222,0⎡⎤-⎣⎦【解析】 【分析】以点C 为原点，以直线EC 为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系， A (﹣2，﹣1)，B (0，﹣1)，设P (cos θ，sin θ)，()2,1PA cos sin θθ=----，(),1PB cos sin θθ=---，再利用数量积的坐标运算得222θθ⋅=++PA PB cos sin 2224πθ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭sin ，然后利用三角函数的性质求解. 【详解】如图所示：以点C 为原点，以直线EC 为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则:A (﹣2，﹣1)，B (0，﹣1)，设P (cos θ，sin θ)，(32ππθ≤≤)， ∴()2,1PA cos sin θθ=----，(),1PB cos sin θθ=---，∴2222224PA PB cos sin sin πθθθ⎛⎫⋅=++=++ ⎪⎝⎭，∵32ππθ≤≤， ∴57444πππθ≤+≤， ∴2142sin πθ⎛⎫-≤+≤- ⎪⎝⎭， ∴2220PA PB -≤⋅≤，∴PA PB ⋅的取值范围是222,0⎡⎤-⎣⎦. 故★答案★为：222,0⎡⎤-⎣⎦【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积运算以及三角函数的性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题.三､解答题:(共70分)17.已知非零向量,a b 满足1a =,且()()34a b a b +⋅-=. (1)求b ;(2)当14a b ⋅=-时,求2a b +和向量a 与2a b +的夹角θ的值. 【★答案★】(1)12b =;(2)1，3πθ=.【解析】 【分析】(1) 根据()()34a b a b +⋅-=，得到2234a b -=，再将1a =代入求解.(2)利用求向量模的公式2222||44||+=+⋅+a b a a b b 求解2a b +;利用向量的夹角公式()22θ⋅+=+a a b cos a a b，求θ的值.【详解】(1)∵1a =，且()()34a b a b +⋅-=， ∴2234a b -=，则231||4b -=， ∴12b =; (2)222112||44||144144a b a a b b ⎛⎫+=+⋅+=+⨯-+⨯= ⎪⎝⎭，∴21a b +=;∴()2112221411122a a b a a b cos a a bθ⎛⎫+⨯- ⎪⋅++⋅⎝⎭====⨯+， ∵0≤θ≤π， ∴3πθ=.【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积综合运算及其应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.18.已知函数()2214f x sin x cosx π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭. (1)求函数f (x )的最小正周期和单调递减区间; (2)求函数f (x )的最大值及取得最大值时x 的取值集合. 【★答案★】(1)最小正周期T =π, 单调递减区间为[8k ππ+,58k ππ+],(k ∈Z ).(2)最大值为2, x 的取值集合为:{x |x 8k ππ=+,k ∈Z }.【解析】 【分析】(1)将()2214f x sin x cosx π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，利用两角和与差的正弦公式转化为：()2f x =sin (2x 4π+)，再利用正弦函数的性质求解.(2)利用正弦函数的性质，当 2242x k πππ+=+，k ∈Z 时，函数f (x )取得最大值求解.【详解】(1)∵函数()2214f x sin x cosx π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭=22(sinxcos4π+cosxsin 4π)cosx ﹣1 =2sinxcosx +2cos 2x ﹣1 =sin 2x +cos 2x2=sin (2x 4π+)，∴函数f (x )的最小正周期T 22π==π， 由2π+2k 32242x k ππππ≤+≤+，k ∈Z ， 解得函数f (x )的单调递减区间为[8k ππ+，58k ππ+]，(k ∈Z ). (2)∵f (x )224sin x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∴函数f (x )的最大值为2， 取得最大值时x 的取值集合满足:2242x k πππ+=+，k ∈Z .解得x 8k ππ=+，k ∈Z .∴函数f (x )取得最大值时x 的取值集合为:{x |x 8k ππ=+，k ∈Z }.【点睛】本题主要考查了两角和与差的三角函数和三角函数的性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题.19.已知向量()1,1,3,(0)2u sin x v sin x cos x ωωωω⎛⎫=-=+> ⎪⎝⎭且函数()f x u v =⋅,若函数f (x )的图象上两个相邻的对称轴距离为2π. (1)求函数f (x )的解析式; (2)将函数y =f (x )的图象向左平移12π个单位后,得到函数y =g (x )的图象,求函数g (x )的表达式并其对称轴;(3)若方程f (x )=m (m >0)在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,有两个不同实数根x 1,x 2,求实数m 的取值范围,并求出x 1+x 2的值.【★答案★】(1)()26f x sin x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭;(2)()2g x sin x =, 对称轴为,42k x k Z ππ=+∈;(3)112m ≤<,,1223x x π+=. 【解析】 【分析】(1) 根据向量()1,1,3,(0)2u sin x v sin x cos x ωωωω⎛⎫=-=+> ⎪⎝⎭和函数()f x u v =⋅，利用数量积结合倍角公式和辅助角法得到，()26πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭f x sin x ，再根据函数f (x )的图象上两个相邻的对称轴距离为2π求解.(2)依据左加右减，将函数y =f (x )的图象向左平移12π个单位后，得到函数()22126g x sin x sin x ππ⎡⎤⎛⎫=+-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，令2,2ππ=+∈x k k Z 求其对称轴.(3)作出函数f (x )在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上图象，根据函数y =f (x )与直线y =m 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个交点求解.再令2,62x k k Z πππ-=+∈，求对称轴.【详解】(1)()()2113322ωωωωωω=+-=+-f x sin x sin x cos x sin x sin xcos x ， 31222226πωωω⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭sin x cos x sin x ∵函数f (x )的图象上两个相邻的对称轴距离为2π， ∴22T π=， ∴2(0)2ππωω=>， ∴ω=1，故函数f (x )的解析式为()sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭; (2)依题意，()22126g x sin x sin x ππ⎡⎤⎛⎫=+-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 令2,2ππ=+∈x k k Z ，则,42ππ=+∈k x k Z ， ∴函数g (x )的对称轴为,42ππ=+∈k x k Z ; (3)∵0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴52,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦， ∴12,162sin x π⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，函数f (x )在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的草图如下，依题意，函数y =f (x )与直线y =m 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个交点，则112m ≤<， 令2,62x k k Z πππ-=+∈，则,32k x k Z ππ=+∈， ∴函数f (x )在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的对称轴为3x π=，则1223x x π+=.【点睛】本题主要考查了平面向量和三角函数，三角函数的图象和性质及其应用，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题. 20.已知幂函数221()(1)m f x m m x--=--在(0,)+∞上单调递增，又函数()22xxmg x =+. （1）求实数m 的值，并说明函数()g x 的单调性；（2）若不等式(13)(1)0g t g t -++≥恒成立，求实数t 的取值范围. 【★答案★】（1）见解析；（2）1t ≤ 【解析】 【分析】（1）由f （x ）是幂函数，得到m 2﹣m ﹣1＝1，再由f （x ）在（0，+∞）上单调递增，得到﹣2m ﹣1＞0，从而求出m ＝﹣1，进而g （x ）122xx=-，由此能求出函数g （x ）在R 上单调递增； （2）由g （﹣x ）＝2﹣x 12x --=-（122xx-）＝﹣g （x ），得到g （x ）是奇函数，从而不等式g （1﹣3t ）+g （1+t ）≥0可变为g （1﹣3t ）≥﹣g （1+t ）＝g （﹣1﹣t ），由此能求出实数t 的取值范围．【详解】（1）因为()f x 是幂函数，所以211m m --=，解得1m =-或2m =， 又因为()f x 在()0,+∞上单调递增，所以210m -->，即12m <-， 即1m =-，则()122xx g x =-， 因为2xy =与12xy =-均在R 上单调递增， 所以函数()g x 在R 上单调递增. （2）因为()()112222xx x x g x g x --⎛⎫-=-=--=- ⎪⎝⎭， 所以()g x 是奇函数，所以不等式()()1310g t g t -++≥可变为()()()1311g t g t g t -≥-+=--， 由（1）知()g x 在R 上单调递增，所以131t t -≥--， 解得1t ≤.【点睛】本题考查实数值的求法，考查函数的单调性的判断，考查实数的取值范围的求法，考查幂函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．21.如图一块长方形区域ABCD ,AD =2(km ),AB =1(km ).在边AD 的中点O 处,有一个可转动的探照灯,其照射角∠EOF 始终为4π,设∠AOE =α,探照灯O 照射在长方形ABCD 内部区域的面积为S .(1)当0≤α2π<时,写出S 关于α的函数表达式; (2)若探照灯每9分钟旋转“一个来回”(OE 自OA 转到OC ,再回到OA ,称“一个来回”,忽略OE 在OA 及OC 反向旋转时所用时间),且转动的角速度大小一定,设AB 边上有一点G ,且∠AOG 6π=,求点G在“一个来回”中,被照到的时间.【★答案★】(1),S 11102244111()32424tan tan tan tan ππαααππαπαα⎧⎛⎫⎛⎫---≤≤ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎛⎫=⎨ ⎪⎪ ⎪+<<⎪⎛⎫ ⎪-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎩(2)2分钟 【解析】 【分析】(1) 根据AD =2，AB =1，0≤α2π<，确定点E ，F 的位置，分0≤α4π≤，4π<α2π<，两种情况，利用三角形面积公式求解.(2)先得到“一个来回”中，OE 共转了23342ππ⨯=，其中点G 被照到时，共转了263ππ⨯=，再利用角度关系求解. 【详解】如图所示：(1)过O 作OH ⊥BC ，H 为垂足. ①当0≤α4π≤时，E 边AB 上，F 在线段BH 上(如图①)，此时，AE =tan α，FH =tan (4π-α)， ∴S =S 正方形OABH ﹣S △OAE ﹣S △OHF =112-tan α12-tan (4π-α).②当4π<α2π<时，E 在线段BH 上，F 在线段CH 上(如图②)，此时，EH 1tan α=，FH 134tan πα=⎛⎫- ⎪⎝⎭，可得EF 1134tan tan παα=+⎛⎫- ⎪⎝⎭.∴S =S △OEF 12=(1134tan tan παα+⎛⎫- ⎪⎝⎭).综上所述，S 11102244111()32424tan tan tan tan ππαααππαπαα⎧⎛⎫⎛⎫---≤≤ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎛⎫=⎨ ⎪⎪ ⎪+<<⎪⎛⎫ ⎪-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎩ (2)在“一个来回”中，OE 共转了23342ππ⨯=， 其中点G 被照到时，共转了263ππ⨯=∴在“一个来回”中，点G 被照到的时间为9332ππ⨯=2(分钟).【点睛】本题主要考查了三角函数再平面几何中的应用，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.22.对数函数g （x ）=1og a x （a ＞0，a ≠1）和指数函数f （x ）=a x （a ＞0，a ≠1）互为反函数．已知函数f （x ）=3x ，其反函数为y=g （x ）．（Ⅰ）若函数g （kx 2+2x+1）的定义域为R ，求实数k 的取值范围； （Ⅱ）若0＜x 1＜x 2且|g （x 1）|=|g （x 2）|，求4x 1+x 2的最小值；（Ⅲ）定义在I 上的函数F （x ），如果满足：对任意x ∈I ，总存在常数M ＞0，都有-M ≤F （x ）≤M 成立，则称函数F （x ）是I 上的有界函数，其中M 为函数F （x ）的上界．若函数h （x ）=()()1mf x 1mf x -+，当m ≠0时，探求函数h （x ）在x ∈[0，1]上是否存在上界M ，若存在，求出M 的取值范围，若不存在，请说明理由．【★答案★】（Ⅰ）k ＞1；（Ⅱ）4；（Ⅲ）见解析 【解析】 【分析】（Ⅰ）因为g （x ）=1og a x 与f （x ）=3x ，互为反函数，所以a=3，得g （kx 2+2x+1）= log 3（kx 2+2x+1）的定义域为R ，所以kx 2+2x+1＞0恒成立，可求解k 的范围；（Ⅱ）由|g （x 1）|=|g （x 2）|，得|log 3x 1|=|log 3x 2|，分析化简得x 1x 2=1，4x 1+x 2=4x 1+11x ，利用双勾函数求其最值；（Ⅲ）由h （x ）=xx1m 31m 3-⋅+⋅=－1+x 21m 3+⋅，分m ＞0和m ＜0分别求出h （x ）的取值范围，然后讨论其上下界.【详解】（Ⅰ）由题意得g （x ）=log 3x ，因为g （kx 2+2x+1）=log 3（kx 2+2x+1）的定义域为R ， 所以kx 2+2x+1＞0恒成立， 当k=0时不满足条件， 当k≠0时，若不等式恒成立， 则{k 044k 0>=-<，即{k 0k 1>>，解得k ＞1；（Ⅱ）由|g （x 1）|=|g （x 2）|，得|log 3x 1|=|log 3x 2|， 因为0＜x 1＜x 2，所以0＜x 1＜1＜x 2，且－log 3x 1=log 3x 2， 所以log 3x 1+log 3x 2=log 3x 1x 2=0， 所以x 1x 2=1， 所以则4x 1+x 2=4x 1+11x ，0＜x 1＜1， 因为函数y=4x+1x 在（0，12）上单调递减，在（12，1）上单调递增， 所以当x 1=12时，4x 1+x 2取得最小值为4． （Ⅲ）h （x ）=xx1m 31m 3-⋅+⋅=－1+x 21m 3+⋅，（m≠0）， （i ）当m ＞0，1+m3x ＞1，则h （x ）在[0，1]上单调递减， 所以13m 13m -+≤h（x ）≤1m1m-+，①若|1m 1m -+|≥|13m 13m -+|，即m∈（0，33]时，存在上界M ，M∈[|1m 1m -+|，+∞）， ②若|1m 1m -+|＜|13m 13m -+|，即m∈（33，+∞）时，存在上界M ，M∈[|13m 13m -+|，+∞）， （ii ）当m ＜0时， ①若－13＜m ＜0时，h （x ）在[0，1]上单调递增，h （x ）∈[1m 1m -+，13m 13m -+]，存在上界M ，M∈[13m 13m-+，+∞），②若m=－13时，h （x ）=－1+x 21133-⋅在[0，1]上单调递增，h （x ）∈[2，+∞），故不存在上界．③若－1＜m ＜－13时，h （x ）在[0，log 3（－1m ））上单调递增，h （x ）在（log 3（－1m），1]上单调递增，h （x ）∈（－∞，1m 1m -+]∪[13m 13m-+，+∞）故不存在上界， ④若m=－1，h （x ）=－1+x 213-在（0，1]上单调递增，h （x ）∈（－∞，－2]，故不存在上界 ⑤若m ＜－1，h （x ）在[0，1]上单调递增，h （x ）∈[1m 1m -+，13m 13m -+]，而13m 13m-+＜0，存在上界M ，M∈[|1m 1m-+|，+∞）； 综上所述，当m ＜－1时，存在上界M ，M∈[|1m 1m-+|，+∞）， 当－1≤m≤－13时，不存在上界， 当－13＜m ＜0时，存在上界M ，M∈[13m 13m -+，+∞）， 当m∈（0，33]时，存在上界M ，M∈[|1m 1m -+|，+∞）， 当m∈（33，+∞）时，存在上界M ，M∈[|13m 13m -+|，+∞）． 【点睛】本题考查了反函数的概念，对数函数的定义域，恒成立问题与分类讨论，综合性较强，属于难题.感谢您的下载!快乐分享，知识无限！。
广东省茂名市2019年高一上学期数学期末考试试卷C卷
广东省茂名市 2019 年高一上学期数学期末考试试卷 C 卷姓名:________班级:________成绩:________一、 单选题 (共 10 题；共 20 分)1. （2 分） 椭圆 A . (0，3)或(0，－3)上一点 P 到两焦点的距离之积为 m，则 m 取最大值时 P 点坐标是（ ）B.或C . (5，0)或(－5，0)D.或2. （2 分） 命题“A.B.C.D.”的否定是（ ）3. （2 分） (2020 高一上·南开期末) 下列函数中为偶函数，且在A. B. C.上单调递增的是（ ）D.4. （2 分） (2020 高一上·南开期末) “”是“A . 充分不必要条件第 1 页 共 12 页”的（ ）B . 必要不充分条件 C . 充要条件 D . 既不充分也不必要条件 5. （2 分） (2020 高一上·南开期末) A. B.等于（ ）C.D. 6. （2 分） (2020 高一上·南开期末) 设 是（ ） A. B. C. D.，，，则 、 、 的大小顺序7. （2 分） (2020 高一上·南开期末) 为了得到函数的图象，只需把函数的图象（ ）A . 向左平移个单位长度B . 向右平移 个单位长度C . 向左平移 个单位长度 D . 向右平移 个单位长度第 2 页 共 12 页8. （2 分） (2020 高一上·南开期末) 如图 是某条公共汽车线路收支差额 与乘客量 的图象（收支差 额 车票收入 支出费用）．由于目前本条线路亏损，公司有关人员将图 变为图 与图 ，从而提出了扭 亏为盈的两种建议．下面有 种说法：⑴图 的建议是：减少支出，提高票价；（2）图 的建议是：减少支出，票价不变；（3）图 的建议是： 减少支出，提高票价；（4）图 的建议是：支出不变，提高票价；上面说法中正确的是（ ）A . （1）（3） B . （1）（4） C . （2）（4） D . （2）（3）9. （2 分） (2020 高一上·南开期末) 已知三个函数的零点依次为 、 、 ，则（），，A.B.C.D.10. （2 分） (2018 高一上·江苏月考) 若一系列的函数解析式相同，值域相同但定义域不同，则称这些函数 为“孪生函数”．那么函数解析式为 y=2x2+1，值域为{3，19}的“孪生函数”共有（ ）A . 15 个B . 12 个C . 9个第 3 页 共 12 页D . 8个二、 填空题 (共 5 题；共 5 分)11. （1 分） (2016 高一下·红桥期中) 甲乙两台机床同时生产一种零件，10 天中，两台机床每天出的次品数 分别是甲 0102203124乙 2311021101由此判断性能较好的一台是________．12. （1 分） (2019 高一上·台州月考) 函数的定义域为________；13. （1 分） (2016 高一上·泗阳期中) 已知函数 y=f（x）是定义在[﹣4，4]上的偶函数，且 f（x）=，则不等式（1﹣2x）g（log2x）＜0 的解集用区间表示为________ 14. （1 分） (2017·石嘴山模拟) 设向量 =（cosα，﹣1）， =（2，sinα），若 ⊥ ，则 tan（α ﹣ ）=________．15. （1 分） (2018 高三上·盐城期中) 在△ABC 中，AB＝2，AC＝1，A＝ ，则 AD＝________．，点 D 为 BC 上一点，若三、 解答题 (共 5 题；共 55 分)16. （10 分） (2017·绵阳模拟) 函数 p（x）=lnx+x﹣4，q（x）=axex（a∈R）．（Ⅰ）若 a=e，设 f（x）=p（x）﹣q（x），试证明 f′（x）存在唯一零点 x0∈（0， 大值；），并求 f（x）的最（Ⅱ）若关于 x 的不等式|p（x）|＞q（x）的解集中有且只有两个整数，求实数 a 的取值范围．17. （10 分） (2019 高一上·水富期中) 某公司生产一种电子仪器的固定成本为 20000 元，每生产一台仪器需增加投入 100 元.设该公司的仪器月产量为 台，当月产量不超过 400 台时，总收益为量超过 400 台时，总收益为元.（注：总收益=总成本+利润）元，当月产第 4 页 共 12 页（1） 将利润表示为月产量 的函数；（2） 当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？18. （10 分） (2019·南通模拟) 如图 1，一艺术拱门由两部分组成，下部为矩形，分别为和 ，上部是圆心为 的劣弧 ，．的长（1） 求图 1 中拱门最高点到地面的距离；（2） 现欲以 B 点为支点将拱门放倒，放倒过程中矩形所在的平面始终与地面垂直，如图 2、图 3、图 4 所示．设 与地面水平线 所成的角为 ．记拱门上的点到地面的最大距离为 ，试用 的函数表示，并求出 的最大值．19. （15 分） (2020 高一上·南开期末) 已知函数．（1） 求的最小正周期和对称中心；（2） 求的单调递减区间；（3） 当时，求函数的最小值及取得最小值时 的值．20. （10 分） (2020 高一上·南开期末) 已知二次函数的最小值为．，，（1） 求函数的解析式；（2） 设.（i）若在上是减函数，求实数 的取值范围；（ii）若在内恰有一个零点，求实数 的取值范围．第 5 页 共 12 页一、 单选题 (共 10 题；共 20 分)1-1、 2-1、 3-1、 4-1、 5-1、 6-1、 7-1、 8-1、 9-1、 10-1、二、 填空题 (共 5 题；共 5 分)11-1、 12-1、 13-1、 14-1、参考答案15-1、第 6 页 共 12 页三、 解答题 (共 5 题；共 55 分)第 7 页 共 12 页第 8 页 共 12 页17-1、 17-2、 18-1、第 9 页 共 12 页第 10 页 共 12 页19-1、19-2、19-3、20-1、20-2、。
广东省深圳市宝安区2019年高一上学期期末考试数学试题(含答案)
点得
F
是
BC
的中点，所以���⃗⃗���⃗⃗���⃗���
=
1 2
���⃗⃗���⃗⃗����⃗���，
所以���⃗⃗���⃗⃗���⃗��� = ���⃗⃗���⃗⃗���⃗��� + ���⃗⃗���⃗⃗���⃗��� = 1 ���⃗⃗���⃗⃗���⃗��� − 1 ���⃗⃗���⃗⃗⃗���⃗���，
2
2
故选：D．
由题意点 E，F 分别是 DC，BC 的中点，求出���⃗⃗���⃗⃗���⃗���，���⃗⃗���⃗⃗���⃗���，然后求出向量���⃗⃗���⃗⃗���⃗���即得．
5. 若将函数������ = 2sin2������的图象向左平移1������2个单位长度，则平移后的图象的对称轴为( )
26
故选：B．
利用函数������ = ������sin(������������ + ������)(������ > 0, ������ > 0)的图象的变换及正弦函数的对称性可得答
案．已知函数������(������) = ������ + log2(������2 + ������)(������ > 0)的最小值为 8，则( )
2. 化简cos 15∘cos 45∘ − sin15∘sin 45∘的值为( )
A.
−1
2
B. √3 2
C.
1 2
D. − √3 2
【答案】C
【解析】解：cos
15∘cos
45∘
−
sin15∘sin
45∘
=
cos(15∘
+
45∘)
=
广东省阳江市2019年高一上学期数学期末考试试卷(II)卷
广东省阳江市 2019 年高一上学期数学期末考试试卷（II）卷姓名:________班级:________成绩:________一、 单选题 (共 12 题；共 27 分)1. （2 分） 若 a 是函数 A . f(x0)=0的零点，若 0<x0<a，则 f(x0)的值满足（ ）B . f(x0)<0C . f(x0)>0D . f(x0)的符号不确定2. （2 分） 已知 f（x）是以 2 为周期的偶函数，当 x∈[0, 1]时，f（x）＝x，那么在区间[－1,3]内关于 x 的方程 f（x）＝kx＋k＋1（k∈R，k≠－1）的根的个数（ ）A . 不可能有 3 个B . 最少有 1 个，最多有 4 个C . 最少有 1 个，最多有 3 个D . 最少有 2 个，最多有 4 个3. （2 分） (2018 高一上·哈尔滨月考)是（ ）A . 第一象限角B . 第二象限角C . 第三象限角D . 第四象限角4. （2 分） 在单位圆中，面积为 1 的扇形所对的圆心角为（ ）弧度A.1B.2第 1 页 共 10 页C.3 D.45. （2 分） 已知 α 是第二象限角，则 是（ ） A . 第一象限角 B . 第二象限角 C . 第一或第二象限角 D . 第一或第三象限角6. （2 分）的值为（ ）A.B. C.3D. 7. （2 分），则的值为 （ ）A.B.C.D. 8. （2 分） 要得到函数的图象，可以将的图象（ ）A . 向左平移第 2 页 共 10 页B . 向右平移C . 向左平移D . 向右平移 9. （2 分） (2017·通化模拟) 在△ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，若（a2+c2﹣b2）tanB=ac， 则角 B 的值是（ ）A.B.C. 或D. 或 10. （2 分） 关于函数的四个结论：P1：最大值为 ；P2：把函数的图象向右平移 个单位后可得到函数的图象；P3：单调递增区间为[]， ；P4：图象的对称中心为(，．其中正确的结论有（ ）A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个11. （2 分） (2017 高一上·鞍山期末) 函数 f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，第 3 页 共 10 页则 f（ ） =（ ）A.B.C. D.12. （5 分） 若函数 f（x）=cos2x+asinx 在区间（ ， ）是减函数，则 a 的取值范围是（ ）A . （2，4）B . （﹣∞，2]C . （﹣∞，4]D . [4，+∞）二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)13. （1 分） (2020 高一上·武汉期末) 函数的最大值是________，最小值是________.14. （1 分） (2017·深圳模拟) 设当 x=α 时，函数 f（x）=3sinx+cosx 取得最大值，则 tan2α=________．15. （1 分） 已知函数 y=f（x）是 R 上的偶函数，对于任意 x∈R，都有 f（x+6）=f（x）+f（3）成立，当 x1 ，x2∈[0，3]，且 x1≠x2 时，都有 ①f（3）=0；． 给出下列命题：②直线 x=﹣6 是函数 y=f（x）的图象的一条对称轴；③函数 y=f（x）在[﹣9，﹣6]上为增函数；第 4 页 共 10 页④函数 y=f（x）在[﹣9，9]上有四个零点． 其中所有正确命题的序号为________ 把所有正确命题的序号都填上）16. （1 分） (2019 高一上·阜阳月考) 已知 轴恰好有 2 个交点，则 的取值范围是________.三、 解答题 (共 6 题；共 50 分)，函数，若的图像与17. （5 分） (2018 高一上·鹤岗月考) 已知角 的终边过点，且值.，求和的18. （10 分） (2017 高二下·徐州期末) 已知 α∈（ ，π），且 sin +cos = （1） 求 sinα 的值；（2） 求 cos（2α+ ）的值．19. （10 分） (2018 高一下·瓦房店期末) 在中， ， ， 分别为内角 ， ， 的对边，，，且满足.（1） 求角 的大小；（2） 设函数，求函数的最小正周期和单调递增区间.20. （10 分） (2019 高三上·日喀则月考) 已知向量 .，，函数（1） 求的最大值与周期 ；（2） 求的单调递增区间.21. （5 分） 0＜a＜1，0＜b＜1 且 ab=ba ， 试比较 a 与 b 的大小．22. （10 分） (2018·长宁模拟) 已知函数．第 5 页 共 10 页（1） 求证：函数是偶函数；（2） 设，求关于 的函数（3） 若关于 的不等式在时的值域的表达式；在时恒成立，求实数 的取值范围．第 6 页 共 10 页一、 单选题 (共 12 题；共 27 分)1-1、 2-1、 3-1、 4-1、 5-1、 6-1、 7-1、 8-1、 9-1、 10-1、 11-1、 12-1、二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)参考答案13-1、 14-1、 15-1、第 7 页 共 10 页16-1、三、 解答题 (共 6 题；共 50 分)17-1、18-1、 18-2、 19-1、第 8 页 共 10 页19-2、20-1、 20-2、21-1、 22-1、第 9 页 共 10 页22-2、 22-3、第 10 页 共 10 页。
广东省东莞市2019—2020学年高一上学期期末数学试题(教师版)
2019—2020学年度第一学期教学质量检查高一数学一、单项选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑．1.已知全集{1,2,3,4,5}U =，集合{1,3}A =，{3,5}B =，则()U C A B =（ ）A. {1,2,4,5}B. {1,3,5}C. {2,4}D. {}1,5 【答案】C【解析】【分析】根据集合的交并补运算即可求解.【详解】由{1,3}A =，{3,5}B =，所以{}1,3,5A B =，又{1,2,3,4,5}U =，所以{}()2,4U C A B =，故选：C【点睛】本题主要考查集合的基本运算，属于基础题.2.直线310l y -+=的倾斜角为（ ）A. 30B. 45C. 60D. 90【答案】A【解析】【分析】首先求出直线的斜率k ，由tan k α=即可求解.【详解】3310x y -+=，13y x ∴=+，k ∴=，由tan k α==30α∴=，故选：A【点睛】本题考查了直线的倾斜角与斜率的关系以及常见角的正切值，属于基础题.3.下列函数中，与函数()1f x x =+(x ∈R )的值域不相同的是（ ）A. ()y x x R =∈B. 3()y x x R =∈C. ln (0)y x x =>D. ()x y e x R =∈ 【答案】D【解析】【分析】根据函数的定义域求出函数()1f x x =+()x R ∈的值域，然后由幂函数、指数函数、对数函数再求出各选项函数的值域即可求解.【详解】函数()1f x x =+(x ∈R )的值域为R .对于A ，()y x x R =∈值域为R ；对于B ， 3()y x x R =∈值域为R ；对于C ，ln (0)y x x =>值域为R ；对于D ，()x y e x R =∈值域为()0,∞+； 故选：D【点睛】本题主要考查指数函数、对数函数、幂函数的性质，属于基础题.4.已知lg 0.3a =，0.22b =，0.60.8c =，则,,a b c 的大小关系是（ ）A. a c b <<B. c b a <<C. b a c <<D. a b c <<【答案】A【解析】【分析】根据指数函数、对数函数的单调性即可比较大小.详解】由lg 0.3lg10a =<=，0.20221b =>=，0.600.8.8100c <==<， a c b ∴<<，故选：A【点睛】本题考查了指数函数、对数函数的单调性，需熟记指数函数、对数函数的性质，此题属于基础题.5.已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A. 43π- B. 83π- C. 283π- D. 43π 【答案】C【解析】【分析】根据三视图分析出几何体的几何结构特征：正方体挖去一个圆锥，然后再由正方体与椎体的体积公式即可求解.【详解】由几何体的三视图可知：几何体是以2为边长为正方体挖去一个底边半径为1r =，高为2h =的圆锥， 所以32122833V r h ππ=-⋅=-故选：C.【点睛】本题主要考查几何体的三视图还原几何体的结构特征以及椎体的体积公式，考查了学生的空间想象能力，属于基础题.6.东莞某中学高一（1）班组织研学活动，分别是11月16日参观“大国重器”散裂中子源中心和11月17日参观科技强企华为松山湖总部，两个活动各有30个参加名额的限制. 为公平起见，老师组织全班50名学生进行网上报名，经过同学们激烈抢报，活动所有名额都被抢完，且有12名学生幸运地抢到了两个活动的参加名额，则有（ ）名学生遗憾地未能抢到任何一个活动的参加名额.A. 1B. 2C. 3D. 4 【答案】B【解析】【分析】由题意作出韦恩图即可求解.【详解】作出韦恩图如下：由图可知()501812182-++=故选：B【点睛】本题考查了韦恩图的应用，考查了集合的基本运算，属于基础题.7.已知直线1:20l ax y +=与直线2:(1)10l a x y a +-+-=垂直，则a =（ ）A. 2-或1B. 2-C. 1D. 23- 【答案】A【解析】【分析】根据直线方程的一般式，直线垂直：12120A A B B +=即可求解.【详解】由直线1:20l ax y +=与直线2:(1)10l a x y a +-+-=垂直，所以()120a a +-=，解得2a =-或1.故选：A【点睛】本题主要考查两直线垂直根据系数之间的关系求参数，需熟记公式，属于基础题.8.设,m n 表示不同的直线，,αβ表示不同的平面，则下列说法正确的是（ ）A. 若//m α，//n α，则//m nB. 若//m α，αβ⊥，则m β⊥C. 若//m α，m β⊂，则//αβD. 若m n ⊥，m α⊥，n β⊥，则αβ⊥ 【答案】D【解析】【分析】由线面平行的定义可判断A ；由线面平行的定义以及面面垂直的性质可判断B ；由面面平行的判定定理可判断C ；由面面垂直的判定定理可判断D.【详解】对于A ，若//m α，//n α，则,m n 平行、相交、异面均有可能，故A 不对；对于B ，若//m α，αβ⊥，则,m β可能垂直、平行，也可能m 在β面内，故B 不对；对于C ，若//m α，m β⊂，则,αβ平行、相交，故C 不对；对于D ，若m n ⊥，m α⊥，n β⊥，由面面垂直的判定定理，则αβ⊥，故D 对；故选：D【点睛】本题主要考查线面、面面之间的位置关系，属于基础题.9.方程11201x e x ---=+的根所在区间为（ ） A. (01)，B. (1,2)C. (2,3)D. (3,4) 【答案】B【解析】【分析】根据函数与方程以及零点存在性定理即可判断.【详解】令()1121x f x e x -=--+， 由()0111023001f e e-=--=-<+， ()111312022f e -=--=-<， ()2111222033f e e -=--=-->， ()()120f f ∴⋅<，且函数单调递增，()f x ∴零点所在的区间为(1,2)， 故方程11201x e x ---=+的根所在区间为(1,2). 故选：B【点睛】本题主要考查了零点存在性定理，需掌握定理的内容，属于基础题.10.小红去礼品店给大毛买了一盒生日礼物，礼盒是长、宽、高分别为20cm 、20cm 、5cm 的长方体.为美观起见，礼品店服务员用彩绳做了一个新颖的捆扎.如图所示，彩绳以A 为起点，现沿着AB BC CD DE EF FG GH HA →→→→→→→环绕礼盒进行捆扎，其中A 、B 、E 、F 分别为下底面各棱的中点，C D G H 、、、分别为上底面各棱上一点，则所用包装彩绳的最短长度为（ ）A. (40cm +B. (40cm +C. (40cm +D. (40cm +【答案】B【解析】【分析】 40AB EF +=，由图根据对称性FG GH HA BC CD DE ++=++，用绳最短即FG GH HA ++最小，且FG HA =，使2GH HA +最小即可，列出函数关系式，求导求最值即可.【详解】由图根据对称性FG GH HA BC CD DE ++=++，用绳最短即FG GH HA ++最小，且FG HA =，使2GH HA +最小如图，过H 作HO 垂直于点A 所在的边于点O ，长方体的长、宽、高为20cm 、20cm 、5cm设()010OA x x =<<，则())210GH HA f x x +===-，()()()1221225212f x x x -'=⋅⋅+⋅+-=令()0f x '=0=，解得5x =，令()0f x '>0>，解得5x > 令()0f x '<0<，解得5x <，故()f x 在()0,5单调递减，在()5,10单调递增，所以()()min 5f x f ===又40AB EF +=所以用绳最短为(40cm +故选：B【点睛】本题考查了导函数研究函数的单调性，利用函数的单调性求函数的最值，综合性比较强，属于中档题. 二、多项选择题：本大题共2小题，每小题5分，共10分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑．11.函数()m f x x x=-（其中m R ∈）的图象不可能．．．是（ ） A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由(),0,0m x x m x f x x m x x x x ⎧->⎪⎪=-=⎨⎪--<⎪⎩，再分类讨论当0m >时，当0m =时，当0m <时，函数对应的单调性，再逐一判断即可得解.【详解】解：由(),0,0m x x m x f x x m x x x x ⎧->⎪⎪=-=⎨⎪--<⎪⎩， 则当0m >时，函数()f x 在()0,∞+为增函数，在(,-∞为减函数，在()为增函数，即选项D 满足题意；当0m =时，函数()f x 在()0,∞+为增函数，在(),0-∞为减函数，即选项A 满足题意；当0m <时，函数()f x 在(),0-∞为减函数，在(为减函数，在)+∞为增函数，即选项B 满足题意，即函数()m f x x x=-（其中m R ∈）的图像不可能是选项C ， 故选：C.【点睛】本题考查了分段函数的图像，重点考查了分段函数的单调性，属基础题.12.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，14AA AB ==，2BC =，M ，N 分别为棱11C D ，1CC 的中点，则下列说法正确的是（ ）A. A M N B 、、、四点共面B. 平面ADM ⊥平面11CDD CC. 直线BN 与1B M 所成角的为60D. //BN 平面ADM【答案】BC【解析】【分析】 根据AM 、BN 是异面直线可判断A ；根据面面垂直的判定定理可判断B ；取CD 的中点O，连接BO 、ON ，即可判断C ；根据线面平行的判定定理即可判断D.【详解】对于A ，由图显然AM 、BN 是异面直线，故A M N B 、、、四点不共面，故A 错误； 对于B ，由题意AD ⊥平面11CDD C ，故平面ADM ⊥平面11CDD C ，故B 正确；对于C ，取CD 的中点O ，连接BO 、ON ，可知三角形BON 为等边三角形，故C 正确；对于D ，//BN 平面11AA D D ，显然BN 与平面ADM 不平行，故D 错误；故选：BC【点睛】本题主要考查了线面、面面之间的位置关系，属于基础题.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在答题卡的相应位置上．13.函数11y x =-的定义域是__________.（结果写成集合或区间） 【答案】{5x x ≤且}1x ≠【解析】【分析】 使函数表达式有意义即5010x x -≥⎧⎨-≠⎩，解不等式组即可.【详解】使函数11y x =-有意义，即5010x x -≥⎧⎨-≠⎩， 解得5x ≤且1x ≠，故函数的定义域为{5x x ≤且}1x ≠. 故答案为：{5x x ≤且}1x ≠ 【点睛】本题主要考查函数的定义域，属于基础题.14.已知直线1:10l x ay +-=与2:210l x y ++=平行，则1l 与2l 之间的距离为_______【解析】【分析】首先根据两条直线平行求出参数a ，再有两平行线间的距离公式即可求解.【详解】由直线1:10l x ay +-=与2:210l x y ++=平行， 则12a -=-，即12a =， 故直线11:102+-=l x y ，化为220x y +-=， 又2:210l x y ++=，故1l 与2l==【点睛】本题主要考查两条直线平行斜率的关系以及两平行线间的距离公式，属于基础题.15.我国古代数学名著《九章算术》中将底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”，现有一“阳马”如图所示，PA ⊥平面ABCD ，4PA =，AB =1AD =，则该“阳马”外接球的表面积为________.【答案】20π【解析】【分析】以4PA =，AB =1AD =为棱作长方体，长方体的对角线即为外接球的直径，从而求出外接球的半径，进而求出外接球的表面积.【详解】由题意，以4PA =，AB =1AD =为棱作长方体，长方体的对角线即为外接球的直径， 设外接球的半径为R ，则R ==故2420S R ππ==.故答案：20π 【点睛】本题考查了多面体的外接球问题以及球的表面积公式，属于中档题.16.已知点(0,0),(4,0),(0,4)O A B . 若从点(1,0)P 射出的光线经直线AB 反射后过点(2,0)Q -，则反射光线所在直线的方程为_____________；若从点(,0),(0,4)M m m ∈射出的光线经直线AB 反射，再经直线OB 反射后回到点M ，则光线所经过的路程是__________（结果用m 表示）.【答案】 (1). 220x y -+=【解析】【分析】首先求出点(1,0)P 关于直线AB 的对称点P '，由(2,0)Q -结合点斜式即可求解；求出点(,0),(0,4)M m m ∈关于y 轴对称点P ''，关于直线AB 对称点P '''， P P '''''即为光线经过的路程.【详解】设点(1,0)P 关于直线AB 的对称点为()00,P x y '，直线AB ：40x y +-=， 所以()00000111104022y x x y -⎧⋅-=-⎪-⎪⎨++⎪+-=⎪⎩解得04x =，03y =，故()4,3P '，由(2,0)Q -P Q '∴：()()300242y x --=+--，即220x y -+=. 点(,0),(0,4)M m m ∈关于y 轴对称点(),0P m ''-，设关于直线AB 对称点()11,P x y '''， 由()111101104022y x m x m y -⎧⋅-=-⎪-⎪⎨++⎪+-=⎪⎩解得14x =，14y m =-，故()4,4P m '''-. 故P P '''''==故答案为：220xy -+=【点睛】本题主要考查点斜式方程、中点坐标公式、两点间的距离公式，考查了学生的基本知识，属于基础题.四、解答题: 本大题共6小题，第17题10分，18、19、20、21、22题各12分，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效．17.已知集合2{|log 1}A x x =≥，{|13}B x a x a =-≤≤+.（1）当1a =时，求A B ；（2）若A B A ⋃=，求实数a 的取值范围.【答案】（1）{}|24x x ≤≤ （2）3a ≥【解析】【分析】（1）首先求出集合A 、B ，然后再由集合的交运算即可求解.（2）根据A B A ⋃=得B A ⊆，再由集合的包含关系即可求解.【详解】解：（1）由题意可知，{}|2A x x =≥当{}1|04a B x x ==≤≤时，{}|24A B x x ∴=≤≤（2）A B A =Q UB A ∴⊆12a ∴-≥3a ∴≥【点睛】本题主要考查了集合的基本运算以及根据集合的包含关系求参数的取值范围，属于基础题.18.已知ABC ∆的三个顶点是(0,3)A ，(2,1)B ，(1,)C m -.（1）求边AB 的垂直平分线方程；（2）若ABC ∆的面积为8，求实数m 的值.【答案】（1）10x y -+= （2）12m =或-4【解析】【分析】（1）求出线段AB 的中点坐标以及垂直平分线的斜率，由点斜式即可求出直线方程；（2）求出线段AB 的长度，再求出点C 到直线AB 的距离，由三角形的面积公式即可求解.【详解】解：（1）(0,3)(2,1)A B ，∴线段AB 的中点坐标为1,2（）记边AB 的垂直平分线为l ，则1AB l k k ⋅=-31102l k -∴⋅=--，得1l k = ∴线段AB 的垂直平分线l 的方程为21(1)y x -=⨯-，即10x y -+=.（2）AB ==直线:11(2)AB l y x -=-⨯-，即30x y +-=设点C 到直线l 的距离为d，则d==，11822S AB d ∴=⋅=⨯=， |4|8m ∴-=12m =∴或4-.【点睛】本题主要考查点斜式求直线方程、点到直线的距离公式，属于基础题.19.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1CC ⊥底面ABC ，AB AC =，D ，E ，F 分别为棱1AA ，1BB ，BC 的中点．（1）求证：1BC⊥AF ；（2）若2AB =，1BC CC ==D AEF -的体积；（3）判断直线CD 与平面AEF的位置关系，并说明理由.【答案】（1）证明见解析 （2）3 （3）//CD 平面AEF ，理由见解析 【解析】【分析】（1）首先证出AF BC ⊥，1CC AF ⊥，根据线面垂直的判定定理证出AF ⊥平面11BCC B ，再由线面垂直的定义即证.（2）证出AC 为三棱锥C ADE -的高，利用三棱锥的体积公式以及等体法即可求解.（3）利用线面平行的判定定理即可证出直线CD 与平面AEF 的位置关系.【详解】证明：（1）1CC ⊥平面ABC ，AF ⊂平面ABC ，1CC AF ∴⊥，AB AC =，F 点为BC 的中点，AF BC ∴⊥又1CC BC C ⋂=，1,CC BC ⊂面11BCC BAF ∴⊥平面11BCC B 又1BC ⊂平面11BCC B1AF BC ∴⊥，即1BC AF ⊥（2）2,AB AC BC ===222AB AC BC +=，AB AC ∴⊥三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1CC ⊥底面ABC ，1AA ∴⊥平面ABCAC ⊂平面ABC ,1AA AC ∴⊥又1AA AB A AC ⋂=∴⊥平面11ABB A即AC 为三棱锥C ADE -的高111223D AEF F ADE C ADE ADE V V V S AC ---∆===⨯⨯111(2)22323=⨯⨯⨯= （3）//CD 平面AEF ，证明如下：连接,DE DB ，记DB 与AE 相交于点G ,连接FGD E 、分别为1AA 和1BB 的中点，故,//DA BE DA BE =∴四边形ABED 为平行四边形G ∴为BD 中点，又F 为BC 中点，∴//CD FGCD ⊄又平面AEF ，FG ⊂平面AEF ，//CD ∴平面AEF【点睛】本题主要考查线面垂直的判定定理、线面垂直的定义、等体法求点到面的距离以及线面平行的判定定理，考查了学生的推理能力，属于中档题.20.已知函数2()11x f x e =-+. （1）判断()f x 单调性，并说明理由；（2）判断()f x 的奇偶性，并用定义证明；（3）若不等式(2)(34)0x xf m f -+-<对任意x ∈R 恒成立，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）增函数，理由见解析 （2）奇函数，证明见解析 （3）13(,)4+∞ 【解析】【分析】（1）利用函数单调性的定义即可得证.（2）首先判断定义域关于原点对称，利用函数奇偶性定义即可得证.（3）由(1)(2)以及分离参数法将不等式转化为423x x m >-++对任意x ∈R 恒成立，令()423x x g x =-++，求()g x 的最大值即可.【详解】解：（1）()f x 是定义域R 上的增函数.设任意的12x x R ∈，，且12x x <，则12122112222()()()1(1)11(1)(1)x x x x x x e e f x f x e e e e --=---=++++， 因为12x x <,所以120x x e e -<，又211010x x e e +>+>，，所以12())0(f x f x -<即12()()f x f x <，所以()f x 是定义域R 上的增函数.（2）()f x 是奇函数. 证明：因为21()111x x x e f x e e -=-=++，定义域R 关于原点对称 所以对任意x ∈R ，都有11()()11x xx x e e f x f x e e -----===-++ 所以()f x 是奇函数.（3）由（2）知()f x 为R 上的奇函数，所以不等式(2)(34)0x x f m f -+-<对任意x ∈R 恒成立，等价于(2)(34)(43)x x x f m f f -<--=-对任意x ∈R 恒成立.又由（1）知，()f x 在定义域R 上单调递增，得243x x m -<-对任意x ∈R 恒成立即423x x m >-++对任意x ∈R 恒成立.设()423x x g x =-++, 则2113()423(2)24x x x g x =-++=--+，故()g x 在R 上的最大值为134， 所以实数m 的取值范围为13(,)4+∞. 【点睛】本题主要考查了函数的单调性、奇偶性以及利用函数的性质解不等式，综合性比较强，属于中档题.21.对于一个具有正南正北、正东正西方向规则布局的城镇街道，从一点到另一点的距离是在南北方向上行进的距离加上在东西方向上行进的距离，这种距离即“曼哈顿距离”，也叫“出租车距离”.对于平面直角坐标系中的点111(,)P x y 和222(,)P x y ，两点间的“曼哈顿距离”121212(,)||||d PP x x y y =-+-.（1）如图，若O 为坐标原点，A ，B 两点坐标分别为(2,3)和(4,1)，求(,)d O A ，(,)d O B ，(,)d A B ；（2）若点P 满足(,)5d O P =，试在图中画出点P 的轨迹，并求该轨迹所围成图形的面积；（3）已知函数4(),[1,2]f x x x =∈，试在()f x 图象上找一点M ，使得(,)d O M 最小，并求出此时点M 的坐标.【答案】（1）5,5,4 （2）图见解析，面积为50； （3）M (2,2)【解析】【分析】（1）由题中新定义121212(,)||||d P P x x y y =-+-即可求解（2）设P 点坐标为(,)x y ，由新定义可得||||5x y +=，即P 点的轨迹为正方形，从而可求得面积.（3）由新定义4(,)d O M x x=+，利用函数的单调性即可求出最小值，进而求出点M 的坐标. 【详解】解：（1）由题得(,)|02||03|5d O A =-+-=，(,)|04||01|5d O B =-+-=(,)|24||31|4d A B =-+-=（2）设P 点坐标为(,)x y ，因为点P 满足(,)5d O P =，则||||5x y +=，P 点的轨迹为如图所示正方形（说明：画出图形即可，不用说明理由） 该正方形所围成图形的面积1554502S =⨯⨯⨯=. （3）设点M 坐标为4(,)x x ，则由题4(,)||||d O M x x =+，因为[1,2]x ∈， ∴4(,)d O M x x =+设()g x =4x x+，任取12,[1,2]x x ∈，且12x x <， 则12121244()()()()g x g x x x x x -=+-+121244()()x x x x =-+- 2112124()()x x x x x x -=-+121212(4)()x x x x x x -=-， 12,[1,2]x x ∈，且12x x <，1212120,40,0x x x x x x ∴-<-<>，12()()0g x g x ∴->，()g x ∴在[1,2]上是减函数，∴当2x =，即点M 的坐标为(2,2)时，min ()(2)4g x g ==，即(,)d O M 最小为4.【点睛】本题是一道新定义题目，考查了函数的单调性求最值，属于基础题.22.已知函数()|1|33f x x x x =--+.（1）求函数()f x 的零点；（2）若关于x 的方程2()()0f x mf x n -+=(m n R ∈、)恰有5个不同的实数解，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）3-，1，3 （2）(2,3)(3,8)m ∈-⋃【解析】【分析】（1）将函数去绝对值写成分段函数的形式，利用零点的定义解方程即可求解.（2）作出函数2223,(1)()13343,(1)x x x f x x x x x x x ⎧--+<=--+=⎨-+≥⎩的大致图象，令()t f x =，利用数形结合分析可得①当11t =-，2(1,4)t ∈-或当14t =，2(1,4)t ∈-，根据二次函数根的分布即可求解；或直接解方程，根据根的取值范围即可求出m 的取值范围.【详解】解：（1）由题得2223,(1)()13343,(1)x x x f x x x x x x x ⎧--+<=--+=⎨-+≥⎩①当1x <时，令()0f x =，得3x =-或1x =（舍）；②当1x ≥时，令()0f x =，得1x =或3x =，∴函数()f x 的零点是3-，1，3.（2）作出函数2223,(1)()13343,(1)x x x f x x x x x x x ⎧--+<=--+=⎨-+≥⎩的大致图象，如图：令()t f x =，若关于x 的方程2()()0f x mf x n -+=恰有5个不同的实数解解法一：则函数2()g t t mt n =-+的零点分布情况如下： ①当11t =-，2(1,4)t ∈-时，则(1)0(4)0142g g b a ⎧⎪-=⎪>⎨⎪⎪-<-<⎩，得101640142m n m n m ⎧⎪++=⎪-+>⎨⎪⎪-<<⎩，故(2,3)m ∈-；②当14t =，2(1,4)t ∈-时，则(4)0(1)0142g g b a ⎧⎪=⎪->⎨⎪⎪-<-<⎩，得164010142m n m n m ⎧⎪-+=⎪++>⎨⎪⎪-<<⎩，故(3,8)m ∈.综上所述，实数m 的取值范围为(2,3)(3,8)m ∈-⋃.解法二：则方程20t mt n -+=的根的情况如下：①当11t =-，2(1,4)t ∈-时，由11t =-得10m n ++=，则方程2(1)0t mt m --+=，即(1)(1)0t t m +--=，故21(1,4)t m =+∈-，所以(2,3)m ∈-；②当14t =，2(1,4)t ∈-时，由14t =得1640m n -+=，则方程24(4)0t mt m -+-=，即(4)(4)0t t m --+=，故24(1,4)t m =-∈-，所以(3,8)m ∈.综上所述，实数m 的取值范围为(2,3)(3,8)m ∈-⋃.【点睛】本题主要考查函数的零点定义，根据零点或方程根的个数求参数的取值范围，考查了数形结合的思想，属于中档题.。
广东省佛山市2018-2019学年高一上学期期末考试数学试题(解析版)
广东省佛山市2018-2019学年高一上学期期末考试数学试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知，，则A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】直接利用并集定义运算即可．【详解】4，，5，；．故选：D．【点睛】考查集合的列举法的表示，以及并集的运算，属于基础题.2.A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】直接利用诱导公式以及特殊角的三角函数化简求解即可．【详解】．故选：B．【点睛】本题考查三角函数化简求值，是基本知识的考查．3.下列函数是奇函数且在区间上是增函数的是；；；．A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】【详解】根据题意，依次分析4个函数，对于，为奇函数，且在上为减函数，不符合题意；对于；为偶函数，不符合题意，对于，有，为奇函数，且，为增函数，符合题意，对于，有，为奇函数，且，为增函数，符合题意；则是奇函数且在区间上是增函数，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查函数的单调性与奇偶性的判断，关键是掌握常见函数的奇偶性与单调性，属于基础题．4.方程的根所在的区间为A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】令函数，则方程的根即为函数的零点再根据函数零点的判定定理可得函数零点所在区间．【详解】令函数，则方程的根即为函数的零点，再由，且，可得函数在上有零点．故选：C．【点睛】本题主要考查函数的零点的判定定理的应用，属于基础题．5.函数的最大值为A. 2B.C.D. 1【答案】A【解析】【分析】由两角和差的正余弦公式得：，由三角函数的有界性得：，可得解．【详解】，所以，故函数的最大值为2，故选：A．【点睛】本题考查了两角和差的正余弦公式及三角函数的有界性，属简单题．6.已知函数的最小值为则实数m的取值范围是A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用分段函数的表达式转化求解函数的最小值，求解m的范围即可．【详解】函数的最小值为．可知：时，由，解得，因为是增函数，所以只需，恒成立即可．，所以，可得．故选：B．【点睛】本题考查分段函数的应用，函数的最值的求法，属于基础题．7.已知函数的部分图象如图所示，则的值可以A. B. C. D. 【答案】A【解析】由函数图象经过点，代入解析式得的值．【详解】由函数图象经过点，且此点为五点作图中第3个点，故代入解析式得，，故，．故选：A．【点睛】本题给出正弦型三角函数的图象信息，确定其解析式，属于简单题．8.函数的大致图象为A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用函数的奇偶性，排除选项，利用函数的导数，判断函数的单调性，推出结果即可．【详解】函数是奇函数，排除选项A,B，当时，函数的导数为：，可得函数的极值点并且，，函数是减函数，，，函数是增函数，所以函数的图象是C．故选：C．【点睛】本题考查函数的图象的判断，函数的单调性的应用，考查数形结合以及计算能力．9.若，，，则A. B. C. D.【答案】B【解析】对a，b，c通分即可得出，从而得出a，b，c的大小关系．【详解】又所以.所以故选：B．【点睛】本题考查对数的运算性质，分数指数幂的运算，对数函数的单调性．10.为了得到函数的图象，可以将的图象A. 向左平移个单位长度B. 向左平移个单位长度C. 向右平移个单位长度D. 向右平移个单位长度【答案】A【解析】【分析】由条件根据函数的图象变换规律，可得结论．【详解】由于：，故：将函数图象上所有的点向左平移个单位，可得：的图象．故选：A．【点睛】本题主要考查诱导公式、函数的图象变换规律，属于基础题．11.某企业2018年全年投入研发资金150万元，为激励创新，该企业计划今后每年投入的研发资金比上年增长，则该企业全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是参考数据：，，A. 2020B. 2021C. 2022D. 2023【答案】C【解析】【分析】设该企业全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是第n年，则，进而得出．【详解】设该企业全年投入的研发资金开始超过200万元的年份为n，则，则，取．故选：C．【点睛】本题考查了对数的运算性质、对数函数的单调性、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．12.已知函数，对于任意，都有，且在有且只有5个零点，则A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由题意可得的图象关于点对称，可得，再根据在有且只有5个零点，则可得，结合所给的选项，求得的值．【详解】函数，对于任意，都有，故的图象关于点对称，，即，．在有且只有5个零点，则，求得，综上，结合所给的选项可得，，故选：A．【点睛】本题主要考查三角函数的图象的对称性和零点，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.函数的定义域为______．【答案】【解析】【分析】要使得原函数有意义，则需满足，解出x的范围即可．【详解】要使原函数有意义，则：；；原函数的定义域为：．故答案为：．【点睛】本题考查函数定义域的概念及求法，对数函数的定义域．14.函数且的反函数过点，则______．【答案】3【解析】【分析】由函数，且的反函数的图象过点，可得：图象过点，即可得出．【详解】由函数，且的反函数的图象过点，可得：图象过点，，又，．故答案为：3．【点睛】本题考查了互为反函数的性质，属于基础题．15.已知，则______．【答案】【解析】【分析】由题意利用二倍角的正切公式求得的值，再利用两角和的正切公式求得的值．【详解】已知，，则，故答案为：．【点睛】本题主要考查二倍角的正切公式，两角和的正切公式的应用，属于基础题．16.设是定义在R上的奇函数，且当时，，若对于任意的，不等式恒成立，则实数t的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】由当时，，函数是奇函数，可得当时，，从而在R上是单调递增函数，且满足，再根据不等式在恒成立，可得在恒成立，即可得出答案．【详解】当时，，函数是奇函数当时，，在R上是单调递增函数，且满足，不等式在恒成立，在恒成立，即：在恒成立，，解得：，故答案为：．【点睛】本题考查了函数恒成立问题及函数的奇偶性，难度适中，关键是掌握函数的单调性与奇偶性．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知，求和的值．求和【答案】（1）；（2），.【解析】【分析】利用同角三角函数的基本关系求得的值，再利用诱导公式求得的值．利用两角和差的三角公式求得和的值．【详解】，，，．；．【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系、诱导公式，两角和差的三角公式的应用，属于基础题．18.已知函数，．若是R上的偶函数，求a的值．判断的奇偶性，并证明．【答案】（1）；（2）见解析.【解析】【分析】根据是R上的偶函数，即可得出，即得出从而求出；可看出为偶函数，根据偶函数的定义证明即可．【详解】是R上的偶函数；；；；；是偶函数，证明如下：的定义域为R，且；是偶函数．【点睛】考查偶函数的定义及判断方法，以及对数的运算性质．19.写出以下各式的值：______；______．结合的结果，分析式子的共同特点，写出能反映一般规律的等式，并证明你的结论．【答案】（1），，；（2）见解析.【解析】【分析】利用特殊角的三角函数进行计算当，，借助于和差角的三角函数公式进行证明即可．【详解】，，，当，，证明：，则，，，.【点睛】本题考查归纳推理，考查三角函数知识，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．20.如图是半径为lm的水车截面图，在它的边缘圆周上有一动点P，按逆时针方向以角速度每秒绕圆心转动作圆周运动，已知点P的初始位置为，且，设点P的纵坐标y是转动时间单位：的函数记为．求，的值，并写出函数的解析式；选用恰当的方法作出函数，的简图；【答案】（1），；（2）见解析；（3）【解析】【分析】由题意分别计算和的值，写出的解析式；根据题意列表、描点、连线，作出函数在的简图即可；由函数的图象与性质得出、与的大小．【详解】由题意，，，函数，；根据题意列表如下；在直角坐标系中描点、连线，作出函数在的简图如图所示；由函数的图象与性质知【点睛】本题考查了三角函数模型应用问题，也考查了函数图象与性质的应用问题，是中档题．21.已知函数，，，其中e为自然对数的底数，．试判断的单调性，并用定义证明；求证：方程没有实数根．【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】【分析】根据函数的单调性的定义证明即可；根据函数的单调性求出，从而证明结论．【详解】在递增，设a，且，则，，，，，故，即，故在递增；证明：当时，的值域是，由，解得：，当时，，故，当时，，，又，故，综上，当时，，故方程没有实数根．【点睛】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查转化思想，是一道常规题．22.设，或，，．从以下两个命题中任选一个进行证明：当时函数恰有一个零点；当时函数恰有一个零点；如图所示当时如，与的图象“好像”只有一个交点，但实际上这两个函数有两个交点，请证明：当时，与两个交点．若方程恰有4个实数根，请结合的研究，指出实数k的取值范围不用证明．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）.【解析】【分析】由函数的零点及方程的根的关系得：当时，令，解得：，即函数恰有一个零点，且此零点为2，再用判别式判断函数的零点个数由二次方程区间根的问题得：，由韦达定理得：，，所以，．结合的研究，实数k的取值范围为：，得解【详解】当时，，令，解得：，即函数恰有一个零点，且此零点为2，证明：当时，，令，解得：，所以函数恰有一个零点，且此零点为，，所以，又，所以，所以方程，有两个不等实数根，记为，，由韦达定理得：，，所以，，即，，所以当时，与两个交点．结合的研究，实数k的取值范围为：，故答案为：．【点睛】本题考查了函数的零点及方程的根的关系、二次方程区间根的问题，属中档题．。
2019年广东省xx中学高一上册期末数学试卷(有答案)-精编.doc
广东省中学高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）函数f（）=log（2﹣1）的定义域是（）A．（，+∞）B．（，1）∪（1，+∞）C．（，+∞）D．（，1）∪（1，+∞）2．（5分）直线+2ay﹣1=0与（a﹣1）﹣ay+1=0平行，则a的值为（）A．B．或0 C．0 D．﹣2或03．（5分）设f（）是定义在R上单调递减的奇函数，若1+2＞0，2+3＞0，3+1＞0，则（）A．f（1）+f（2）+f（3）＞0 B．f（1）+f（2）+f（3）＜0C．f（1）+f（2）+f（3）=0 D．f（1）+f（2）＞f（3）4．（5分）如图，一个平面图形的斜二测画法的直观图是一个边长为a的正方形，则原平面图形的面积为（）A．a2B．a2C．2a2D．2a25．（5分）设α、β、γ为三个不同的平面，m、n是两条不同的直线，在命题“α∩β=m，n ⊂γ，且________，则m∥n”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题．①α∥γ，n⊂β；②m∥γ，n∥β；③n∥β，m⊂γ．可以填入的条件有（）A．①或③B．①或②C．②或③D．①或②或③6．（5分）已知一空间几何体的三视图如题图所示，其中正视图与左视图都是全等的等腰梯形，则该几何体的体积为（）A．17 B．C．D．187．（5分）如图，在棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为A1D1的中点，Q为A1B1上任意一点，E、F为CD上两点，且EF的长为定值，则下面四个值中不是定值的是（）A．点P到平面QEF的距离B．直线PQ与平面PEF所成的角C．三棱锥P﹣QEF的体积D．△QEF的面积8．（5分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，∠APB=∠BPC=∠APC=90°，O在△ABC内，∠OPC=45°，∠OPA=60°，则∠OPB的余弦值为（）A．B．C．D．9．（5分）已知函数+2，则关于的不等式f（3+1）+f（）＞4的解集为（）A．（﹣，+∞）B．（﹣，+∞）C．（﹣，+∞）D．（﹣，+∞）10．（5分）当0＜≤时，4＜log a，则a的取值范围是（）A．（0，）B．（，1）C．（1，）D．（，2）11．（5分）已知函数f（）=2+e﹣（＜0）与g（）=2+ln（+a）图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是（）A．（﹣，）B．（﹣，）C．（﹣∞，）D．（﹣∞，）12．（5分）若1满足2+2=5，2满足2+2log2（﹣1）=5，1+2=（）A．B．3 C．D．4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．（5分）已知函数f（）=（a＞0），若1+2=1，则f（1）+f（2）=，并求出=．14．（5分）如图所示几何体的三视图，则该几何体的表面积为．15．（5分）点M（1，y1）在函数y=﹣2+8的图象上，当1∈[2，5]时，则的取值范围．16．（5分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，AD⊥PD，BC=1，PC=2，PD=CD=2，则二面角A﹣PB﹣C的正切值为．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（12分）过点（3，2）的直线l与轴的正半轴，y轴的正半轴分别交于A，B两点，当△AOB的面积最小时，求直线l的方程及△AOB面积．18．（12分）已知一四棱锥P﹣ABCD的三视图如图所示，E是侧棱PC上的动点．（Ⅰ）求四棱锥P﹣ABCD的体积．（Ⅱ）若点E为PC的中点，AC∩BD=O，求证：EO∥平面PAD；（Ⅲ）是否不论点E在何位置，都有BD⊥AE？证明你的结论．19．（10分）设直线l的方程为（a+1）+y+2﹣a=0（a∈R）．（1）若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；（2）若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．20．（12分）如图，在棱长为1的正方体中，P是侧棱CC1上的一点，CP=m（1）试确定m，使直线AP与平面BDD1B1所成角的正切值为；（2）在线段A1C1上是否存在一个定点Q，使得对任意的m，D1Q在平面APD1上的射影垂直于AP，并证明你的结论．21．（12分）已知平行四边形ABCD（如图1），AB=4，AD=2，∠DAB=60°，E为AB的中点，把三角形ADE沿DE折起至A1DE位置，使得A1C=4，F是线段A1C的中点（如图2）．（1）求证：BF∥面A1DE；（2）求证：面A1DE⊥面DEBC；（3）求二面角A1﹣DC﹣E的正切值．22．（12分）已知函数g（）=a2﹣2a+1+b（a≠0，b＜1），在区间[2，3]上有最大值4，最小值1，设f（）=．（1）求a，b的值；（2）不等式f（2）﹣•2≥0在∈[﹣1，1]上恒成立，求实数的取值范围；（3）方程f（|2﹣1|）+（﹣3）有三个不同的实数解，求实数的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题：本大题12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）函数f（）=log（2﹣1）的定义域是（）A．（，+∞）B．（，1）∪（1，+∞）C．（，+∞）D．（，1）∪（1，+∞）【解答】解：由，解得＞且≠1．∴函数f（）=log的定义域是（，1）∪（1，+∞）．（2﹣1）故选：B．2．（5分）直线+2ay﹣1=0与（a﹣1）﹣ay+1=0平行，则a的值为（）A．B．或0 C．0 D．﹣2或0【解答】解：当a=0时，两直线重合；当a≠0时，由，解得a=，综合可得，a=，故选：A．3．（5分）设f（）是定义在R上单调递减的奇函数，若1+2＞0，2+3＞0，3+1＞0，则（）A．f（1）+f（2）+f（3）＞0 B．f（1）+f（2）+f（3）＜0C．f（1）+f（2）+f（3）=0 D．f（1）+f（2）＞f（3）【解答】解：∵1+2＞0，2+3＞0，3+1＞0，∴1＞﹣2，2＞﹣3，3＞﹣1，又f（）是定义在R上单调递减的奇函数，∴f（1）＜f（﹣2）=﹣f（2），f（2）＜f（﹣3）=﹣f（3），f（3）＜f（﹣1）=﹣f（1），∴f（1）+f（2）＜0，f（2）+f（3）＜0，f（3）+f（1）＜0，∴三式相加整理得f（1）+f（2）+f（3）＜0故选B4．（5分）如图，一个平面图形的斜二测画法的直观图是一个边长为a的正方形，则原平面图形的面积为（）A．a2B．a2C．2a2D．2a2【解答】解：由斜二测画法的规则知与′轴平行的线段其长度不变以及与横轴平行的性质不变，正方形对角线在y′轴上，可求得其长度为a，故在平面图中其在y轴上，且其长度变为原的2倍，长度为2a，∴原平面图形的面积为=故选：C．5．（5分）设α、β、γ为三个不同的平面，m、n是两条不同的直线，在命题“α∩β=m，n ⊂γ，且________，则m∥n”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题．①α∥γ，n⊂β；②m∥γ，n∥β；③n∥β，m⊂γ．可以填入的条件有（）A．①或③B．①或②C．②或③D．①或②或③【解答】解：由面面平行的性质定理可知，①正确；当n∥β，m⊂γ时，n和m在同一平面内，且没有公共点，所以平行，③正确．故选A．6．（5分）已知一空间几何体的三视图如题图所示，其中正视图与左视图都是全等的等腰梯形，则该几何体的体积为（）A．17 B．C．D．18【解答】解：由已知中的三视图，可知该几何体是一个四棱台切去一个三棱锥所得的几何体，棱台的上下底面的棱长为2和4，故棱台的上下底面的面积为4和16，侧高为，故棱台的高h==2，故棱台的体积为：=，棱锥的底面是棱台上底面的一半，故底面面积为2，高为2，故棱锥的体积为：×2×2=，故组合体的体积V=﹣=，故选：B7．（5分）如图，在棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为A1D1的中点，Q为A1B1上任意一点，E、F为CD上两点，且EF的长为定值，则下面四个值中不是定值的是（）A．点P到平面QEF的距离B．直线PQ与平面PEF所成的角C．三棱锥P﹣QEF的体积D．△QEF的面积【解答】解：A．∵平面QEF即为对角面A1B1CD，点P为A1D1的中点，∴点P到平面QEF 即到对角面A1B1CD的距离=为定值；D．∵点Q到直线CD的距离是定值a，|EF|为定值，∴△QEF的面积=为定值；C．由A．D可知：三棱锥P﹣QEF的体积为定值；B．直线PQ与平面PEF所成的角与点Q的位置有关系，因此不是定值，或用排除法即可得出．综上可得：只有B中的值不是定值．故选：B．8．（5分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，∠APB=∠BPC=∠APC=90°，O在△ABC内，∠OPC=45°，∠OPA=60°，则∠OPB的余弦值为（）A．B．C．D．【解答】解：已知如图所示：过O做平面PBA的垂线，交平面PBC于Q，连接PQ则∠OPQ=90°﹣45°=45°．∵cos∠OPA=cos∠QPA×cos∠OPQ，∴cos∠QPA=，∴∠QPA=45°，∴∠QPB=45°∴cos∠OPB=cos∠OPQ×cos∠QPB=．故选C．9．（5分）已知函数+2，则关于的不等式f（3+1）+f（）＞4的解集为（）A．（﹣，+∞）B．（﹣，+∞）C．（﹣，+∞）D．（﹣，+∞）【解答】解：设g（）=2016+log2016（+）﹣2016﹣，g（﹣）=2016﹣+log2016（+）﹣2016+=﹣g（）；g′（）=2016ln2016++2016﹣ln2016＞0；∴g（）在R上单调递增；∴由f（3+1）+f（）＞4得，g（3+1）+2+g（）+2＞4；∴g（3+1）＞g（﹣）；∴3+1＞﹣；解得＞﹣；∴原不等式的解集为（﹣，+∞）．故选：D．10．（5分）当0＜≤时，4＜log a，则a的取值范围是（）A．（0，）B．（，1）C．（1，）D．（，2）【解答】解：∵0＜≤时，1＜4≤2要使4＜log a，由对数函数的性质可得0＜a＜1，数形结合可知只需2＜log a，∴即对0＜≤时恒成立∴解得＜a＜1故选B11．（5分）已知函数f（）=2+e﹣（＜0）与g（）=2+ln（+a）图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是（）A．（﹣，）B．（﹣，）C．（﹣∞，）D．（﹣∞，）【解答】解：由题意，存在＜0，使f（）﹣g（﹣）=0，即e﹣﹣ln（﹣+a）=0在（﹣∞，0）上有解，令m（）=e﹣﹣ln（﹣+a），则m（）=e﹣﹣ln（﹣+a）在其定义域上是增函数，且→﹣∞时，m（）＜0，若a≤0时，→a时，m（）＞0，故e﹣﹣ln（﹣+a）=0在（﹣∞，0）上有解，若a＞0时，则e﹣﹣ln（﹣+a）=0在（﹣∞，0）上有解可化为e0﹣﹣ln（a）＞0，即lna＜，故0＜a＜．综上所述，a∈（﹣∞，）．故选：C12．（5分）若1满足2+2=5，2满足2+2log2（﹣1）=5，1+2=（）A．B．3 C．D．4【解答】解：由题意①22+2log2（2﹣1）=5 ②所以，=log2（5﹣21）即21=2log2（5﹣21）1令21=7﹣2t，代入上式得7﹣2t=2log2（2t﹣2）=2+2log2（t﹣1）∴5﹣2t=2log2（t﹣1）与②式比较得t=2于是21=7﹣22即1+2=故选C二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．（5分）已知函数f（）=（a＞0），若1+2=1，则f（1）+f（2）=1，并求出=．【解答】解：∵函数f（）=（a＞0），1+2=1，∴f（1）+f（2）=f（1）+f（1﹣1）=+=+==1，∴=1007+f（）=1007+=．故答案为：1，．14．（5分）如图所示几何体的三视图，则该几何体的表面积为16+2．【解答】解：由已知中的三视图，可得该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，其直观图如下图所示：E和F分别是AB和CD中点，作EM⊥AD，连接PM，且PD=PC，由三视图得，PE⊥底面ABCD，AB=4，CD=2，PE═EF=2在直角三角形△PEF中，PF==2，在直角三角形△DEF中，DE==，同理在直角梯形ADEF中，AD=，根据△AED的面积相等得，×AD×ME=×AE×EF，解得ME=，∵PE⊥底面ABCD，EM⊥AD，∴PM⊥AD，PE⊥ME，在直角三角形△PME中，PM==，∴该四棱锥的表面积S=×（4+2）×2+×4×2+×2×2+2×××=16+2．故答案为：16+2．15．（5分）点M（1，y1）在函数y=﹣2+8的图象上，当1∈[2，5]时，则的取值范围．【解答】解：当1∈[2，5]时，可得A（2，4），B（5，﹣2）．设P（﹣1，﹣1），则PA==，PB==，∴的取值范围是．16．（5分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，AD⊥PD，BC=1，PC=2，PD=CD=2，则二面角A﹣PB﹣C的正切值为．【解答】解：以D为原点，DA为轴，DC为y轴，过D作平面ABCD的垂直线为轴，建立空间直角坐标系，在△PDC中，由于PD=CD=2，PC=2，可得∠PCD=30°，∴P到平面ABCD的距离为PCsin30°=．∴A（1，0，0），P（0，﹣1，），B（1，2，0），C（0，2，0），=（1，1，﹣），=（1，3，﹣），=（0，3，﹣），设平面PAB的法向量=（，y，），则，取=1，得=（），设平面PBC的法向量=（a，b，c），则，取c=，得=（2，1，），设二面角A﹣PB﹣C的平面角为θ，则cosθ===，sinθ==，tanθ==．∴二面角A﹣PB﹣C的正切值为．故答案为：．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（12分）过点（3，2）的直线l与轴的正半轴，y轴的正半轴分别交于A，B两点，当△AOB的面积最小时，求直线l的方程及△AOB面积．【解答】解：设A（a，0），B（0，b），则直线l的方程为：+=1．把点P（3，2）代入可得：+=1．（a，b＞0）．∴1≥2，化为ab≥24，当且仅当a=6，b=4时取等号．=ab≥12，l的方程为：+=1，即4+6y﹣24=0∴S△AOB18．（12分）已知一四棱锥P﹣ABCD的三视图如图所示，E是侧棱PC上的动点．（Ⅰ）求四棱锥P﹣ABCD的体积．（Ⅱ）若点E为PC的中点，AC∩BD=O，求证：EO∥平面PAD；（Ⅲ）是否不论点E在何位置，都有BD⊥AE？证明你的结论．【解答】（Ⅰ）解：由该四棱锥的三视图可知，该四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为1的正方形，侧棱PC⊥底面ABCD，且PC=2．…（1分）=S▱ABCD•PC=．…（3分）∴V P﹣ABCD（Ⅱ）证明：∵E、O分别为PC、BD中点∴EO∥PA，…（4分）又EO⊄平面PAD，PA⊂平面PAD．…（6分）∴EO∥平面PAD．…（7分）（Ⅲ）不论点E在何位置，都有BD⊥AE，…（8分）证明如下：∵ABCD是正方形，∴BD⊥AC，…（9分）∵PC⊥底面ABCD且BD⊂平面ABCD，∴BD⊥PC，…（10分）又∵AC∩PC=C，∴BD⊥平面PAC，…（11分）∵不论点E在何位置，都有AE⊂平面PAC，∴不论点E在何位置，都有BD⊥AE．…（12分）19．（10分）设直线l的方程为（a+1）+y+2﹣a=0（a∈R）．（1）若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；（2）若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）令=0，得y=a﹣2．令y=0，得（a≠﹣1）．∵l在两坐标轴上的截距相等，∴，解之，得a=2或a=0．∴所求的直线l方程为3+y=0或+y+2=0．（2）直线l的方程可化为y=﹣（a+1）+a﹣2．∵l不过第二象限，∴，∴a≤﹣1．∴a的取值范围为（﹣∞，﹣1]．20．（12分）如图，在棱长为1的正方体中，P是侧棱CC1上的一点，CP=m（1）试确定m，使直线AP与平面BDD1B1所成角的正切值为；（2）在线段A1C1上是否存在一个定点Q，使得对任意的m，D1Q在平面APD1上的射影垂直于AP，并证明你的结论．【解答】解：（1）连AC，设AC与BD相交于点O，AP与平面BDD1B1相交于点G，连接OG，因为PC∥平面BDD1B1，平面BDD1B1∩平面APC=OG，故OG∥PC，所以，OG=PC=．又AO⊥BD，AO⊥BB1，所以AO⊥平面BDD1B1，故∠AGO是AP与平面BDD1B1所成的角．在Rt△AOG中，tan∠AGO=，即m=．所以，当m=时，直线AP与平面BDD1B1所成的角的正切值为4．（2）可以推测，点Q应当是A I C I的中点，当是中点时因为D1O1⊥A1C1，且D1O1⊥A1A，A1C1∩A1A=A1，所以D1O1⊥平面ACC1A1，又AP⊂平面ACC1A1，故D1O1⊥AP．那么根据三垂线定理知，D1O1在平面APD1的射影与AP垂直．21．（12分）已知平行四边形ABCD（如图1），AB=4，AD=2，∠DAB=60°，E为AB的中点，把三角形ADE沿DE折起至A1DE位置，使得A1C=4，F是线段A1C的中点（如图2）．（1）求证：BF∥面A1DE；（2）求证：面A1DE⊥面DEBC；（3）求二面角A1﹣DC﹣E的正切值．【解答】解：（1）证明：如图，取DA1的中点G，连FG，GE；F为A1C中点；∴GF∥DC，且；∴四边形BFGE是平行四边形；∴BF∥EG，EG⊂平面A1DE，BF⊄平面A1DE；∴BF∥平面A1DE；（2）证明：如图，取DE的中点H，连接A1H，CH；AB=4，AD=2，∠DAB=60°，E为AB的中点；∴△DAE为等边三角形，即折叠后△DA1E也为等边三角形；∴A 1H⊥DE，且；在△DHC中，DH=1，DC=4，∠HDC=60°；根据余弦定理，可得：HC2=1+16﹣4=13，在△A 1HC中，，，A1C=4；∴，即A1H⊥HC，DE∩HC=H；∴A1H⊥面DEBC；又A1H⊂面A1DE；∴面A1DE⊥面DEBC；（3）如上图，过H作HO⊥DC于O，连接A1O；A1H⊥面DEBC；∴A1H⊥DC，A1H∩HO=H；∴DC⊥面A1HO；∴DC⊥A1O，DC⊥HO；∴∠A1OH是二面角A1﹣DC﹣E的平面角；在Rt△A 1HO中，，；故tan；所以二面角A1﹣DC﹣E的正切值为2．22．（12分）已知函数g（）=a2﹣2a+1+b（a≠0，b＜1），在区间[2，3]上有最大值4，最小值1，设f（）=．（1）求a，b的值；（2）不等式f（2）﹣•2≥0在∈[﹣1，1]上恒成立，求实数的取值范围；（3）方程f（|2﹣1|）+（﹣3）有三个不同的实数解，求实数的取值范围．【解答】附加题：（本题共10分）解：（1）g（）=a（﹣1）2+1+b﹣a，当a＞0时，g（）在[2，3]上为增函数，故，可得，⇔．当a＜0时，g（）在[2，3]上为减函数．故可得可得，∵b＜1∴a=1，b=0即g（）=2﹣2+1．f（）=+﹣2．…（3分）（2）方程f（2）﹣•2≥0化为2+﹣2≥•2，≤1+﹣令=t，≤t2﹣2t+1，∵∈[﹣1，1]，∴t，记φ（t）=t2﹣2t+1，∴φ（t）min=0，∴≤0．…（6分）（3）由f（|2﹣1|）+（﹣3）=0得|2﹣1|+﹣（2+3）=0，|2﹣1|2﹣（2+3）|2﹣1|+（1+2）=0，|2﹣1|≠0，令|2﹣1|=t，则方程化为t2﹣（2+3）t+（1+2）=0（t≠0），∵方程|2﹣1|+﹣（2+3）=0有三个不同的实数解，∴由t=|2﹣1|的图象（如右图）知，t2﹣（2+3）t+（1+2）=0有两个根t1、t2，且0＜t1＜1＜t2或0＜t1＜1，t2=1，记φ（t）=t2﹣（2+3）t+（1+2），则或∴＞0．…（10分）21。
广东省广州市2019年数学高一上学期期末检测试题
广东省广州市2019年数学高一上学期期末检测试题一、选择题1．直线1y =+的倾斜角为（）A ．30B ．60C ．120 D ．1502．已知0a >，x 、y 满足约束条件13(3)x x y y a x ⎧⎪+⎨⎪-⎩………，若2z x y =+的最小值为1，则a =（ ） A.14 B.12 C.1 D.23．在ABC △中，222ABC a b ab c ∆+-==，则ABC △一定是（ ）A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形4．已知变量x ，y 满足约束条件1,0,20,x x y x y ≥-⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩则2z x y =-取最大值为（ ）A ．2-B ．1-C ．1D ．25．已知不同的两条直线m ，n 与不重合的两平面α，β，下列说法正确的是（ ）A.若m n ，m α，则n αB.若m α，αβ∥，则m βC.若m n ，m α⊥，则n α⊥D.若m n ⊥，m α⊥，则n α⊥6．如图所示：在正方体1111ABCD A B C D ﹣中，设直线1A B 与平面11A DCB 所成角为1θ，二面角1A DCA ﹣﹣的大小为2θ，则12θθ，为（ ）A ．3045o o ，B ．4530o o ，C ．3060o o ，D ．6045o o ，7．在任意平面四边形ABCD 中，点E ，F 分别在线段AD ，BC 上，(),EF AB DC R R λμλμ=+∈∈，给出下列四组等式14AE AD =①，34BF BC = 12AE AD =②，23BF BC =13AE AD =③，23BF BC = 23AE AD ④=，23BF BC = 其中，能使λ，μ为常数的组数是( ) A.1B.2C.3D.4 8．定义域为R 的偶函数()f x ，满足对任意的x ∈R 有()()2f x f x +=，且当[]2,3x ∈ ()221218f x x x =-+-，若函数()()log 1a y f x x =-+在R 上至少有六个零点，则a 的取值范围是（ ）A．0⎛ ⎝⎭B．0⎛ ⎝⎭C．⎝⎭D ．103⎛⎫ ⎪⎝⎭， 9．下列函数中，最小值为4的是( )A.y ＝x ＋4x B.y ＝sinx ＋4sin x (0<x<π) C.y ＝e x ＋4e －x D.y10．下列四组中的()f x ，()g x ，表示同一个函数的是（ ）．A.()1f x =，0()g x x =B.()1f x x =-，2()1x g x x =-C.2()f x x =，4()g x = D.3()f x x =，()g x 11．函数()f x 是周期为4的偶函数,当[]0,2x ∈时，()1f x x =-,则不等式()0xf x >在[]1,3-上的解集是 ( )A ．()1,3B ．()1,1-C ．()()1,01,3-D ．()()1,00,1-U12．已知函数13log ,0,()2,0,x x x f x x >⎧⎪=⎨⎪≤⎩若1()2f a >，则实数a 的取值范围是（ ） A.(1,0)(3,)-+∞ B.(- C.3(1,0)(,)3-+∞ D.(1,3-二、填空题 13．已知函数()21sin 22x f x x =+若()13f α=，则sin 26πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭______． 14．已知向量(1,)a λ=，(2,3)b =-，若a b -与b 共线，则λ=__________．15．函数的定义域是 .16．P 是棱长为4的正方体的棱的中点，沿正方体表面从点A 到点P 的最短路程是_______.三、解答题17．已知全集，集合，非空集合． Ⅰ求当时，； Ⅱ若，求实数m 的取值范围．18．已知集合A={x|1<x<3},函数的定义域为B,集合C={x|2m-1<x<m} (1)求集合B ，(C R A)∩B(2)若A∩C=C,求实数m 的取值范围19．已知三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥底面ABC ，1AB =，12AC AA ==，90BAC ∠=︒，D 、E 、F 分别是1AB 、1CC 、BC 的中点．（1）求证：DE 平面ABC ；（2）求三棱锥1A BCB -的体积．20．已知△ABC 的三边a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C ，且a ∶b ∶c ＝7∶5∶3.（1）求cos A 的值；（2）若△ABC 的面积为45，求△ABC 外接圆半径R 的大小． 21．已知函数()221(ln )ln 2(0)a f x a x x x +=-+>．(1)当1a =时，求不等式()0f x <的解集．(2)讨论不等式()0f x <的解集．22．如图，在四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 是正三角形，且与底面ABCD 垂直，底面ABCD 是边长为2的菱形，60,BAD N ∠=︒是PB 的中点，过,,A D N 三点的平面交PC 于M ，E 为AD 的中点，求证：（1）//EN 平面PDC ；（2）BC ⊥平面PEB ；（3）平面PBC ⊥平面ADMN .【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题13．79-14．32-15．[]3,1-16．三、解答题 17．（Ⅰ）或． （Ⅱ）18．（1）{}{}05,0135B x x x x x =<<<≤≤<或； （2）[)1,+∞.19．（1）详略；（2）23. 20．（1）；（2）．21．(1)()2 ,e e ；(2)详略. 22．（1）略（2）略（3）略。
2019-2020学年人教A版广东省实验中学高一上学期期末数学试卷 含解析
2019-2020学年高一第一学期期末数学试卷一、选择题1．已知集合A＝{x|x2﹣x≤0}，，则A∩B＝（）A．B．C． D．2．若a＞b，则（）A．ln（a﹣b）＞0 B．3a＜3b C．a3﹣b3＞0 D．|a|＞|b|3．已知tanθ＝3，则等于（）A．B．C．0 D．4．如图，若＝，＝，＝，B是线段AC靠近点C的一个四等分点，则下列等式成立的是（）A．＝﹣B．＝+C．＝﹣D．＝+5．函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）对于任意x都有，它的最小正周期为π，则函数f（x）图象的一个对称中心是（）A．B．C．D．6．已知平面内一点P及△ABC，若，则P与△ABC的位置关系是（）A．P在△ABC外部B．P在线段AB上C．P在线段AC上D．P在线段BC上7．下列函数中，既是偶函数，又在区间（0，+∞）上单调递减的函数是（）A．y＝x2B．C．y＝2|x|D．y＝cos x8．若cos（α﹣β）＝，且α，β均为锐角，α＜β，则α+β＝（）A．B．C．D．9．下列给出的关系式中正确的是（）A．B．若∥，∥，则∥C．∥⇒在上的投影为|| D．（）•（）＝010．幂函数y＝x a，当a取不同的正数时，在区间[0，1]上它们的图象是一组美丽的曲线（如图），设点A（1，0），B（0，1），连结AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数y＝x a，y＝x b的图象三等分，即有BM＝MN＝NA，那么a﹣＝（）A．0 B．1 C．D．211．将函数和直线g（x）＝x﹣1的所有交点从左到右依次记为A1，A2，A3，A n…，若P点坐标为（0，1），则＝（）A．B．C．D．012．德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其命名的函数被称为狄利克雷函数，其中R为实数集，Q为有理数集，以下命题正确的个数是（）下面给出关于狄利克雷函数f（x）的五个结论：①对于任意的x∈R，都有f（f（x））＝1；②函数f（x）偶函数；③函数f（x）的值域是{0，1}；④若T≠0且T为有理数，则f（x+T）＝f（x）对任意的x∈R恒成立；⑤在f（x）图象上存在不同的三个点A，B，C，使得△ABC为等边角形．A．2 B．3 C．4 D．5二、填空题13．已知向量＝（﹣2，3），＝（x，1），若⊥，则实数x的值是．14．计算＝．15．已知f（x）＝，若不等式对任意的恒成立，则整数λ的最小值为．16．如图所示，矩形ABCD的边AB＝2，AD＝1，以点C为圆心，CB为半径的圆与CD交于点E，若点P是圆弧（含端点B、E）上的一点，则的取值范围是．三、解答题17．已知非零向量满足，且．（1）求；（2）当时，求和向量与的夹角θ的值．18．已知函数．（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间；（2）求函数f（x）的最大值及取得最大值时x的取值集合．19．已知向量且函数，若函数f（x）的图象上两个相邻的对称轴距离为．（1）求函数f（x）的解析式；（2）将函数y＝f（x）的图象向左平移个单位后，得到函数y＝g（x）的图象，求函数g（x）的表达式并其对称轴；（3）若方程f（x）＝m（m＞0）在时，有两个不同实数根x1，x2，求实数m的取值范围，并求出x1+x2的值．20．已知幂函数f（x）＝（m2﹣m﹣1）•x﹣2m﹣1在（0，+∞）上单调递增，又函数g（x）＝2x．（1）求实数m的值，并说明函数g（x）的单调性；（2）若不等式g（1﹣3t）+g（1+t）≥0恒成立，求实数t的取值范围．21．如图一块长方形区域ABCD，AD＝2（km），AB＝1（km）．在边AD的中点O处，有一个可转动的探照灯，其照射角∠EOF始终为，设∠AOE＝α，探照灯O照射在长方形ABCD 内部区域的面积为S．（1）当0≤α＜时，写出S关于α的函数表达式；（2）若探照灯每9分钟旋转“一个来回”（OE自OA转到OC，再回到OA，称“一个来回”，忽略OE在OA及OC反向旋转时所用时间），且转动的角速度大小一定，设AB边上有一点G，且∠AOG＝，求点G在“一个来回”中，被照到的时间．22．对数函数g（x）＝1og a x（a＞0，a≠1）和指数函数f（x）＝a x（a＞0，a≠1）互为反函数．已知函数f（x）＝3x，其反函数为y＝g（x）．（Ⅰ）若函数g（kx2+2x+1）的定义域为R，求实数k的取值范围；（Ⅱ）若0＜x1＜x2且|g（x1）|＝|g（x2）|，求4x1+x2的最小值；（Ⅲ）定义在I上的函数F（x），如果满足：对任总x∈I，存在常数M＞0，都有﹣M≤F（x）≤M成立，则称函数F（x）是I上的有界函数，其中M为函数F（x）的上界．若函数h（x）＝，当m≠0时，探求函数h（x）在x∈[0，1]上是否存在上界M，若存在，求出M的取值范围，若不存在，请说明理由．参考答案一、选择题1．已知集合A＝{x|x2﹣x≤0}，，则A∩B＝（）A．B．C． D．【分析】可以求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．解：∵，∴．故选：B．2．若a＞b，则（）A．ln（a﹣b）＞0 B．3a＜3b C．a3﹣b3＞0 D．|a|＞|b|【分析】取a＝0，b＝﹣1，利用特殊值法可得正确选项．解：取a＝0，b＝﹣1，则ln（a﹣b）＝ln1＝0，排除A；，排除B；a3＝03＞（﹣1）3＝﹣1＝b3，故C对；|a|＝0＜|﹣1|＝1＝b，排除D．故选：C．3．已知tanθ＝3，则等于（）A．B．C．0 D．【分析】由题意利用诱导公式、同角三角函数的基本关系，化简所给的式子，可得结果．解：∵tanθ＝3，则＝＝＝＝，故选：B．4．如图，若＝，＝，＝，B是线段AC靠近点C的一个四等分点，则下列等式成立的是（）A．＝﹣B．＝+C．＝﹣D．＝+【分析】根据平面向量的线性表示与运算法则，用、表示即可．解：＝，＝，＝，则＝+＝+＝+（﹣）＝﹣＝﹣．故选：C．5．函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）对于任意x都有，它的最小正周期为π，则函数f（x）图象的一个对称中心是（）A．B．C．D．【分析】首先利用函数的性质的应用求出函数的关系式，进一步求出函数的对称中心．解：函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）对于任意x都有，所以函数的图象关于对称，由于它的最小正周期为π，所以ω＝2，所以+φ＝（k∈Z），由于|φ|＜，所以φ＝﹣，故f（x）＝A sin（2x﹣），当x＝时，f（）＝0．故选：D．6．已知平面内一点P及△ABC，若，则P与△ABC的位置关系是（）A．P在△ABC外部B．P在线段AB上C．P在线段AC上D．P在线段BC上【分析】利用向量的运算法则将等式变形，得到＝﹣2，据三点共线的充要条件得出结论．解：因为＝，所以＝﹣2，所以点P在线段AB上，故选：B．7．下列函数中，既是偶函数，又在区间（0，+∞）上单调递减的函数是（）A．y＝x2B．C．y＝2|x|D．y＝cos x【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案．解：根据题意，依次分析选项：对于A，y＝x2，是偶函数，但在区间（0，+∞）上单调递增，不符合题意；对于B，y＝ln＝﹣ln|x|＝，既是偶函数，又在区间（0，+∞）上单调递减，符合题意；对于C，y＝2|x|，是偶函数，但在区间（0，+∞）上单调递增，不符合题意；对于D，y＝cos x，是偶函数，但在区间（0，+∞）上不是减函数，不符合题意；故选：B．8．若cos（α﹣β）＝，且α，β均为锐角，α＜β，则α+β＝（）A．B．C．D．【分析】利用两角和差的余弦公式进行转化求解即可．解：∵α+β＝2α﹣（α﹣β）∴cos（α+β）＝cos[2α﹣（α﹣β）]＝cos2αcos（α﹣β）+sin2αsin（α﹣β），∵α，β均为锐角，α＜β，∴0＜2α＜π，﹣＜α﹣β＜0，则sin2α＝＝＝，sin（α﹣β）＝﹣，则cos（α+β）＝×﹣×＝﹣＝，则α+β＝，故选：C．9．下列给出的关系式中正确的是（）A．B．若∥，∥，则∥C．∥⇒在上的投影为|| D．（）•（）＝0 【分析】进行数量积的运算即可判断选项A错误；可让，不平行，即可判断选项B错误；当与反向时，即可得出选项C错误，从而得出正确选项只能是D．解：选项A，左边＝，右边＝，显然左边≠右边；选项B，当，与不平行时，满足，得不出；选项C，当反向时，在上的投影为；选项D，（）•（）＝，该选项正确．故选：D．10．幂函数y＝x a，当a取不同的正数时，在区间[0，1]上它们的图象是一组美丽的曲线（如图），设点A（1，0），B（0，1），连结AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数y＝x a，y＝x b的图象三等分，即有BM＝MN＝NA，那么a﹣＝（）A．0 B．1 C．D．2【分析】先根据题意结合图形确定M、N的坐标，然后分别代入y＝x a，y＝x b求得a，b；最后再求a﹣的值即得．解：BM＝MN＝NA，点A（1，0），B（0，1），所以M（，），N（，），分别代入y＝x a，y＝x b，a＝，b＝，∴a﹣＝﹣＝0．故选：A．11．将函数和直线g（x）＝x﹣1的所有交点从左到右依次记为A1，A2，A3，A n…，若P点坐标为（0，1），则＝（）A．B．C．D．0【分析】首先根据题意作出图象，再结合余弦函数的中心对称性化简各个向量的和，即可得解．解：由题意作出图象如图，共得5个交点，根据余弦函数的中心对称性可知，A1和A5，A2和A4关于A3对称，，∴|＝10，故选：A．12．德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其命名的函数被称为狄利克雷函数，其中R为实数集，Q为有理数集，以下命题正确的个数是（）下面给出关于狄利克雷函数f（x）的五个结论：①对于任意的x∈R，都有f（f（x））＝1；②函数f（x）偶函数；③函数f（x）的值域是{0，1}；④若T≠0且T为有理数，则f（x+T）＝f（x）对任意的x∈R恒成立；⑤在f（x）图象上存在不同的三个点A，B，C，使得△ABC为等边角形．A．2 B．3 C．4 D．5【分析】①根据函数的对应法则，可得不管x是有理数还是无理数，均有f（f（x））＝1；②根据函数奇偶性的定义，可得f（x）是偶函数；③根据函数表达式，值域为{0，1}；④根据函数的表达式，结合有理数和无理数的性质；⑤取x1＝﹣，x2＝0，x3＝，可得A（，0），B（0，1），C（﹣，0），三点恰好构成等边三角形解：①∵当x为有理数时，f（x）＝1；当x为无理数时，f（x）＝0∴当x为有理数时，f（f（x））＝f（1）＝1；当x为无理数时，f（f（x））＝f（0）＝1即不管x是有理数还是无理数，均有f（f（x））＝1，故①不正确；②∵有理数的相反数还是有理数，无理数的相反数还是无理数，∴对任意x∈R，都有f（﹣x）＝f（x），故②正确；③函数f（x）的值域是{0，1}；③正确；④若x是有理数，则x+T也是有理数；若x是无理数，则x+T也是无理数∴根据函数的表达式，任取一个不为零的有理数T，f（x+T）＝f（x）对x∈R恒成立，故④正确；⑤取x1＝﹣，x2＝0，x3＝，可得f（x1）＝0，f（x2）＝1，f（x3）＝0∴A（，0），B（0，1），C（﹣，0），恰好△ABC为等边三角形，故⑤正确．故选：C．二、填空题：（每小题5分，共20分）13．已知向量＝（﹣2，3），＝（x，1），若⊥，则实数x的值是．【分析】根据即可得出，进行数量积的坐标运算即可求出x的值．解：∵；∴；∴．故答案为：．14．计算＝．【分析】利用指数与对数运算性质即可得出．解：原式＝+1+＝+2＝．故答案为：．15．已知f（x）＝，若不等式对任意的恒成立，则整数λ的最小值为 1 ．【分析】令f（x）＞﹣，解得：x＞，若对任意θ∈[0，]，不等式f（cos2θ+λsinθ﹣）+≥0恒成立，则对任意θ∈[0，]，cos2θ+λsinθ﹣≥恒成立，进而得到答案．解：∵f（x）＝，令f（x）＞﹣，解得：x＞，若对任意θ∈[0，]，不等式f（cos2θ+λsinθ﹣）+≥0恒成立，则对任意θ∈[0，]，cos2θ+λsinθ﹣≥恒成立，即1﹣sin2θ+λsinθ﹣≥恒成立，当θ＝0时，不等式恒成立，当θ≠0时，1﹣sin2θ+λsinθ﹣≥可化为：λ≥＝sinθ﹣，当θ＝时，sinθ﹣取最大值，故λ＞，故整数λ的最小值为1，故答案为：1．16．如图所示，矩形ABCD的边AB＝2，AD＝1，以点C为圆心，CB为半径的圆与CD交于点E，若点P是圆弧（含端点B、E）上的一点，则的取值范围是．【分析】根据题意，可以点C为原点，以直线EC为x轴，建立平面直角坐标系，从而得出A，B的坐标，并设，从而可得出向量的坐标，然后进行数量积的坐标运算即可求出，这样根据θ的范围即可求出的取值范围．解：以点C为原点，以直线EC为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则：A（﹣2，﹣1），B（0，﹣1），设P（cosθ，sinθ），（），∴，，∴＝，∵，∴，∴，∴，∴的取值范围是．故答案为：．三、解答题：（共70分）17．已知非零向量满足，且．（1）求；（2）当时，求和向量与的夹角θ的值．【分析】（1）化简题目所给式子，由此即可求得答案；（2）先将平方，进而求得模长，再根据平数量积的变形公式即可得解．解：（1）∵，且，∴，则，∴；（2）＝，∴；∴，∵0≤θ≤π，∴．18．已知函数．（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间；（2）求函数f（x）的最大值及取得最大值时x的取值集合．【分析】（1）推导出函数＝sin（2x+），由此能求出函数f（x）的最小正周期和单调递减区间．（2）由f（x）＝，能求出函数f（x）的最大值和取得最大值时x的取值集合．解：（1）∵函数＝2（sin x cos+cos x sin）cos x﹣1＝2sin x cos x+2cos2x﹣1＝sin2x+cos2x＝sin（2x+），∴函数f（x）的最小正周期T＝＝π，由+2k，k∈Z，解得单函数f（x）的调递减区间为[，]，（k∈Z）．（2）∵f（x）＝，∴函数f（x）的最大值为，取得最大值时x的取值集合满足：＝，k∈Z．解得x＝，k∈Z．∴函数f（x）取得最大值时x的取值集合为：{x|x＝，k∈Z}．19．已知向量且函数，若函数f（x）的图象上两个相邻的对称轴距离为．（1）求函数f（x）的解析式；（2）将函数y＝f（x）的图象向左平移个单位后，得到函数y＝g（x）的图象，求函数g（x）的表达式并其对称轴；（3）若方程f（x）＝m（m＞0）在时，有两个不同实数根x1，x2，求实数m的取值范围，并求出x1+x2的值．【分析】（1）由数量积公式及三角函数的恒等变换求得f（x），再根据题意求得周期，进而表示出函数f（x）的解析式；（2）由变换法则可求得g（x）的解析式，再根据正弦函数的性质可求得对称轴；（3）作出函数f（x）在上的草图，由图象可求得m的取值范围，根据对称性求得x1+x2的值．解：（1）＝，∵函数f（x）的图象上两个相邻的对称轴距离为，∴，∴，∴ω＝1，故函数f（x）的解析式为；（2）依题意，，令，则，∴函数g（x）的对称轴为；（3）∵，∴，∴，函数f（x）在上的草图如下，依题意，函数y＝f（x）与直线y＝m在上有两个交点，则，令，则，∴函数f（x）在上的对称轴为，则．20．已知幂函数f（x）＝（m2﹣m﹣1）•x﹣2m﹣1在（0，+∞）上单调递增，又函数g（x）＝2x．（1）求实数m的值，并说明函数g（x）的单调性；（2）若不等式g（1﹣3t）+g（1+t）≥0恒成立，求实数t的取值范围．【分析】（1）由f（x）是幂函数，得到m2﹣m﹣1＝1，再由f（x）在（0，+∞）上单调递增，得到﹣2m﹣1＞0，从而求出m＝﹣1，进而g（x）＝，由此能求出函数g （x）在R上单调递增．（2）由g（﹣x）＝2﹣x﹣＝﹣（）＝﹣g（x），得到g（x）是奇函数，从而不等式g（1﹣3t）+g（1+t）≥0可变为g（1﹣3t）≥﹣g（1+t）＝g（﹣1﹣t），由此能求出实数t的取值范围．解：（1）因为f（x）是幂函数，所以m2﹣m﹣1＝1，解得m＝﹣1或m＝2，……又因为f（x）在（0，+∞）上单调递增，所以﹣2m﹣1＞0，即m＜﹣，即m＝﹣1，则g（x）＝，……………………………………………………………因为y＝2x与y＝﹣均在R上单调递增，所以函数g（x）在R上单调递增．……………………………………………………………（2）因为g（﹣x）＝2﹣x﹣＝﹣（）＝﹣g（x），所以g（x）是奇函数，…………………………………………………………………………所以不等式g（1﹣3t）+g（1+t）≥0可变为g（1﹣3t）≥﹣g（1+t）＝g（﹣1﹣t），…………由（1）知g（x）在R上单调递增，所以1﹣3t≥﹣1﹣t，解得t≤1．故实数t的取值范围是（﹣∞，1]．…………………………………………………21．如图一块长方形区域ABCD，AD＝2（km），AB＝1（km）．在边AD的中点O处，有一个可转动的探照灯，其照射角∠EOF始终为，设∠AOE＝α，探照灯O照射在长方形ABCD 内部区域的面积为S．（1）当0≤α＜时，写出S关于α的函数表达式；（2）若探照灯每9分钟旋转“一个来回”（OE自OA转到OC，再回到OA，称“一个来回”，忽略OE在OA及OC反向旋转时所用时间），且转动的角速度大小一定，设AB边上有一点G，且∠AOG＝，求点G在“一个来回”中，被照到的时间．【分析】（1）根据题意过点O作OH⊥BC于H．再讨论α的范围，可得当0≤α≤时，E在边AB上，F在线段BH上，因此S＝S正方形OABH﹣S△OAE﹣S△OHF；当＜α＜时，E在线段BH上，F在线段CH上，因此S＝S△OEF．由此即可得到当0≤α＜时S关于α的函数表达式；（2）求出在“一个来回”中OE共转动的角度，并求出其中点G被照到时共转的角度，结合题意列式即可求出“一个来回”中点G被照到的时间．解：（1）过O作OH⊥BC，H为垂足．①当0≤α≤时，E在边AB上，F在线段BH上（如图①），此时，AE＝tanα，FH＝tan（﹣α），∴S＝S正方形OABH﹣S△OAE﹣S△OHF＝1﹣tanα﹣tan（﹣α）．②当＜α＜时，E在线段BH上，F在线段CH上（如图②），此时，EH＝，FH＝，可得EF＝+．∴S＝S△OEF＝（+）．综上所述，S＝（2）在“一个来回”中，OE共转了2×＝，其中点G被照到时，共转了2×＝∴在“一个来回”中，点G被照到的时间为9×＝2（分钟）．22．对数函数g（x）＝1og a x（a＞0，a≠1）和指数函数f（x）＝a x（a＞0，a≠1）互为反函数．已知函数f（x）＝3x，其反函数为y＝g（x）．（Ⅰ）若函数g（kx2+2x+1）的定义域为R，求实数k的取值范围；（Ⅱ）若0＜x1＜x2且|g（x1）|＝|g（x2）|，求4x1+x2的最小值；（Ⅲ）定义在I上的函数F（x），如果满足：对任总x∈I，存在常数M＞0，都有﹣M≤F（x）≤M成立，则称函数F（x）是I上的有界函数，其中M为函数F（x）的上界．若函数h（x）＝，当m≠0时，探求函数h（x）在x∈[0，1]上是否存在上界M，若存在，求出M的取值范围，若不存在，请说明理由．【分析】（Ⅰ）根据对数函数的定义域为R，转化为kx2+2x+1＞0恒成立，进行求解（Ⅱ）根据对数函数的性质，得到x1x2＝1，结合对勾函数的性质进行求解即可（Ⅲ）利用分子常数化，结合上界的定义分别进行判断求解即可．解：（Ⅰ）由题意得g（x）＝log3x，∵g（kx2+2x+1）＝log3（kx2+2x+1）的定义域为R，∴kx2+2x+1＞0恒成立，当k＝0时不满足条件．，当k≠0时，若不等式恒成立，则，即，解得k＞1；（Ⅱ）由|g（x1）|＝|g（x2）|，得|log3x1|＝|log3x2|，∵0＜x1＜x2，∴0＜x1＜1＜x2，即﹣log3x1＝log3x2，得log3x1+log3x2＝log3x1x2＝0，则x1x2＝1，则4x1+x2＝4x1+，0＜x1＜1，易知函数y＝4x+在（0，）上单调递减，在（，1）上单调递增，即当x1＝时，4x1+x2取得最小值为4．（Ⅲ）h（x）＝＝﹣1+，（m≠0），（i）当m＞0，1+m3x＞1则h（x）在[0，1]上单调递减，∴≤h（x）≤，①若||≥||，即m∈（0，]时，存在上界M，M∈[||，+∞），②若||＜||，即m∈（，+∞）时，存在上界M，M∈[||，+∞），（ii）当m＜0时，①若﹣＜m＜0时，h（x）在[0，1]上单调递增，h（x）∈[，]，存在上界M，M∈[，+∞），②若m＝﹣时，h（x）＝﹣1+在[0，1]上单调递增，h（x）∈[2，+∞），故不存在上界．③若﹣1＜m＜﹣时，h（x）在[0，log3（﹣））上单调递增，h（x）在（log3（﹣），1]上单调递增，h（x）∈（﹣∞，]∪[，+∞）故不存在上界，④若m＝﹣1，h（x）＝﹣1+在（0，1]上单调递增，h（x）∈（﹣∞，﹣2]，故不存在上界⑤若m＜﹣1，h（x）在[0，1]上单调递增，h（x）∈[，]，而＜0，存在上界M，M∈[||，+∞）；综上所述，当m＜﹣1时，存在上界M，M∈[||，+∞），当﹣1≤m≤﹣时，不存在上界，当﹣＜m＜0时，存在上界M，M∈[，+∞），当m∈（0，]时，存在上界M，M∈[||，+∞），当m∈（，+∞）时，存在上界M，M∈[||，+∞）．。
广东省茂名地区2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题参考答案
2019—2020学年度第一学期期末考试高一数学参考答案一、选择题1．解析：根据公式T ＝2π|ω|可知函数y ＝cos(23x π-) 的最小正周期是T ＝2π|－2|＝π.故选D2．解析：r ＝ （－4）2＋32＝5，由任意角的三角函数的定义可得cos α＝－45.故选B3.解析：对于A ，－2×6－4×3≠0；对于B ，1×14－7×(－2)≠0；对于C ，2×2－3×3≠0；对于D ，－3×(－4)－6×2＝0.所以a 4与b 4共线，其余三组不共线．故选B4.解析：由已知cos(π＋α)＝－cos α＝－13，得cos α＝13.故选A5.解析：因为α是第二象限角，所以sin α＝1－cos 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12132＝513，所以tan α＝sin αcos α＝513－1213＝－512.故选D6．解析:由题意可得22=a ，3⋅=-a b ，所以()222431+⋅=+⋅=-=a b a a a b ．故选C ．7.解析：因为函数f(x)的图象是连续不断的一条曲线，又f(－2)＝e －f(－1)＝e －1－3<0，f(0)＝－1<0，f(1)＝e －1>0， 所以f(0)·f(1)<0.故函数的一个零点在(0，1)内．故选C 8．解析法1 如图所示，CB11111()()22222EB ED DB AD CB AB AC AB AC =+=+=⨯++-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 3144AB AC =-u u ur u u u r ．故选A ．法2 111()222=-=-=-⨯+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r EB AB AE AB AD AB AB AC 3144=-u u ur u u u r AB AC ．故选A ．9.解析：由+=-a b a b 两边平方得，222222+⋅+=-⋅+a a b b a a b b ，即0⋅=a b ，则⊥a b ，故选A ．10.解析 由题意得，大正方形的边长为10，小正方形的边长为 2，∴2＝10cos α－10sin α，∴cos α－sin α＝15，又α为锐角，易求得tan α＝34.故选A11.解析：令h (x )＝－x －a ，则g (x )＝f (x )－h (x )．在同一坐标系中画出y ＝f (x )，y ＝h (x )的示意图，如图所示．若g (x )存在2个零点，则y ＝f (x )的图象与y ＝h (x )的图象有2个交点，平移y ＝h (x )的图象，可知当直线y ＝－x －a 过点(0,1)时，有2个交点，此时1＝－0－a ，a ＝－1.当y ＝－x －a 在y ＝－x ＋1 上方，即a ＜－1时，仅有1个交点，不符合题意． 当y ＝－x －a 在y ＝－x ＋1下方，即a ＞－1时，有2个交点，符合题意．综上，a 的取值范围为[－1，＋∞)．故选C.12.解析：对于①，m 是任意正数时都有0m x ≤，()0f x =是倍约束函数，故①正确；对于②，()2f x x =，()2f x x m x =≤，即x m ≤，不存在这样的m 对一切实数x 均成立，故②错误；对于③，要使()f x m x ≤成立，即21xm x x x ≤++，当0x =时，m 可取任意正数；当0x ≠时，只须2max11m x x ⎛⎫≥⎪++⎝⎭，因为2314x x ++≥，所以43m ≥故③正确．对于④，()f x 是定义在实数集R 上的奇函数，故()f x 是偶函数，因而由()()12122f x f x x x -≤-得到，()2f x x ≤成立，存在20m ≥>，使()f x m x ≤对一切实数x 均成立，符合题意，故x 正确．故选D 二、填空题13．因为(,1),(1,2),x x =+=⊥a b a b ，所以2(1)0x x ++=，解得23x =-．故填23- 14．解析：由题意2120m --=，所以6m =-．故填6- 15.解析：(1)若λ＝2，当x ≥2时，令x －4<0，得2≤x <4；当x <2时，令x 2－4x ＋3<0，解得1<x <2.综上可知，1<x <4，所以不等式f (x )<0的解集为(1，4).(2)令f (x )＝0，当x ≥λ时，x ＝4，当x <λ时，x 2－4x ＋3＝0， 解得x ＝1或x ＝3.因为函数f (x )恰有2个零点，结合如图函数的图象知，1<λ≤3或λ>4. 故(1)填(1，4) (2)填(1，3]∪(4，＋∞)16.解析：对于①，若,αβ是第一象限角，且αβ>，可令α=390°，β=30°，则sin α=sin β，所以①错误；对于②，函数y=sin ππ2x ⎛⎫- ⎪⎝⎭=-cos πx ，f (-x )=-cos(-πx )=f (x )，则为偶函数，所以②正确；对于③，令2x-π3=k π，解得x=ππ26k +(k ∈Z)，所以函数y=sin π2-3x ⎛⎫ ⎪⎝⎭的对称中心为ππ026k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，，当k=0时，可得对称中心为π06⎛⎫ ⎪⎝⎭，，所以③正确；对于④，函数ππ5sin 25sin 233y x x ⎛⎫⎛⎫=-+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当π5π,1212x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，πππ2,322x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，所以函数π5sin 23y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在区间π5π,1212⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以④不正确．综上，命题②③正确．故填②③ 三、解答题17．解：(1)由已知得a AB ==r u u u r(3，－1)－(－2，4)＝(5，－5)…………1分b BC =r u u u r=(－3，－4)－(3，－1)=(－6，－3)，…………2分∴3a r 2b +r=3(5，－5)+2(－6，－3)=(3, －21)…………4分 (2)∵c CA =r u u u r=(－2，4)－(－3，－4)=(1, 8)…………5分 且a r ＝(5，－5)，b r=(－6，－3)，且mb ＋nc ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n )=a r＝(5，－5)，…………6分所以⎩⎪⎨⎪⎧－6m ＋n ＝5，－3m ＋8n ＝－5，…………8分解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝－1.…………10分18.解析：(1)因为A(1，0)，B(0，1)，C(2，5)，所以错误!未指定书签。
广东省广州市2019-2020年度高一上学期数学期末考试试卷C卷(新版)
广东省广州市2019-2020年度高一上学期数学期末考试试卷C卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）设P=｛质数｝，Q=｛偶数｝，则P∩Q等于（）A . 1B . 2C . ｛2｝D . N2. （2分）函数的定义域是（）A . (1,2)B . [1,4]C . [1,2)D . (1,2]3. （2分）下列函数为偶函数且在上为增函数的是（）A .B .C .D .4. （2分） (2016高一上·大名期中) 若函数y=loga（2﹣ax）在x∈[0，1]上是减函数，则实数a的取值范围是（）A . （0，1）B . （1，2）C . （0，2）D . （1，+∞）5. （2分） (2017高一上·肇庆期末) 已知幂函数f（x）=xα（α为常数）的图象过点，则f（x）的单调递减区间是（）A . （∞，0）B . （∞，+∞）C . （∞，0）∪（0，+∞）D . （∞，0）与（0，+∞）6. （2分） (2017高二下·河口期末) 函数的零点所在的区间是（）A .B .C .D .7. （2分） (2019高二下·南康期中) 曲线在处的切线的倾斜角是（）A .B .C .D .8. （2分）若点P（1，1）为圆的弦MN的中点，则弦MN所在直线的方程为（）A . 2x+y-3=0B . x-2y+1=0C . x+2y-3=0D . 2x-y-1=09. （2分）已知双曲线的一个焦点与圆的圆心重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的标准方程为（）A .B .C .D .10. （2分）已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣）2=1和两点A（﹣m，0），B（m，0）（m＞0），若圆C上存在点P，使得∠APB=90°，则m的最大值为（）A . 6B . 5C . 4D . 311. （2分）在极坐标系中，点和圆的圆心的距离为（）A .B .C .D .12. （2分）设直线l与抛物线y2=4x相交于A、B两点，与圆（x﹣5）2+y2=r2（r＞0）相切于点M，且M为线段AB的中点，若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是（）A . （1，3）B . （1，4）C . （2，3）D . （2，4）二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2018高一上·苏州期中) 已知函数，则函数的值为________ 。
2019-2020学年广东省江门市高一上学期期末数学试题(解析版)
2019-2020学年广东省江门市高一上学期期末数学试题一、单选题1．设集合A ＝{x|－1＜x ＜2}，集合B ＝{x|1＜x ＜3}，则A ∪B ＝（ ） A ．{x|－1＜x ＜3} B ．{x|－1＜x ＜1}C ．{x|1＜x ＜2}D ．{x|2＜x ＜3}【答案】A【解析】由已知，集合A ＝（－1，2），B ＝（1，3），故A ∪B ＝（－1，3），选A 【考点】本题主要考查集合的概念，集合的表示方法和并集运算.2．函数()f x =的定义域是( ) A ．{}|1x x ≤ B ．{}|3x x >- C ．{}|31x x -<≤ D ．{}|31x x -≤<【答案】C【解析】由题意解不等式组1030x x -≥⎧⎨+>⎩即可得出答案.【详解】要使函数有意义需满足1030x x -≥⎧⎨+>⎩，解得31x -<≤，即得函数定义域为{}|31x x -<≤.故选：C. 【点睛】本题考查了函数定义域的求解，掌握负数没有偶次方根和零不能作为分母是解题的关键，属于基础题.3．已知()2f x x bx c =++，且() 10f =，()30f =，则() 1f -=( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8【答案】D 【解析】由()()1103930f b c f b c ⎧=++=⎪⎨=++=⎪⎩，联立解得b 和c ，代入即可求得()1f -.【详解】由题意可得()()1103930f b c f b c ⎧=++=⎪⎨=++=⎪⎩，联立解得4b =-，3c =，所以()243f x x x =-+，则()11438f -=++=. 故选：D. 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，求函数值的问题，属于基础题. 4．2019︒-角的终边在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【解析】按照终边角20193606141︒︒︒-=-⨯+，即可知在第二象限。
广东省广州市海鸥中学2019年高一数学理上学期期末试卷含解析
广东省广州市海鸥中学2019年高一数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知角θ的终边经过点P（x，3）（x＞0）且，则x等于（）A．﹣1 B．1 C．﹣9 D．9参考答案：B【考点】G9：任意角的三角函数的定义．【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义，求出x的值．【解答】解：由题意可得，cosθ=，∴x=1，故选B．2. 方程2x+x=5的根所在的区间为（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）参考答案：B【考点】函数零点的判定定理．【专题】函数的性质及应用．【分析】方程2x+x=5的解转化为函数f（x）=2x+x﹣5的零点问题，把区间端点函数值代入验证即可．【解答】解；由2x+x=5得2x+x﹣5=0，设f（x）=2x+x﹣5，则函数f（x）单调递增，∴f（0）=1﹣5=﹣4＜0f（1）=2+1﹣5=﹣2＜0f（2）=4+2﹣5=1＞0∴f（x）=2x+x﹣5在区间（1，2）有一个零点，即方程2x+x=5在区间（1，2）有解，故选：B．【点评】考查方程的根和函数零点之间的关系，即函数零点的判定定理，体现了转化的思想方法，属基础题．3. 在△ABC中，∠A=60°, a=, b=4, 满足条件的△ABC ( )(A)无解 (B)只有一解 (C)有两解 (D)不能确定参考答案：A略4. 如果方程lg2x＋(lg2＋lg3)lgx＋lg2·lg3＝0的两根为x1、x2，那么x1·x2的值为( )A．·B．＋ C． D.－6参考答案：C5. 已知集合,，则集合（）参考答案：C6. 已知为第一象限角，则所在的象限是( )．(A)第一或第二象限 (B)第二或第三象限(C)第一或第三象限 (D)第二或第四象限参考答案：C7. 命题: 向量与向量共线；命题:有且只有一个实数，使得，则是的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件参考答案：B8. 图中曲线分别表示，，，的图象，则的大小关系是（）.A.B.C.D.参考答案：D9. 设，则（）A． B． C． D．参考答案：D10. 已知，则的值为（）参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 过点(－3，－1)，且与直线x－2y=0平行的直线方程为________．参考答案：x－2y+1=012. 函数是幂函数，且当时是减函数，则函数______________.参考答案：略13. 数列{a n}中，S n为{a n}的前n项和，若，则n=____．参考答案：5【分析】由，结合等比数列的定义可知数列是以为首项，为公比的等比数列，代入等比数列的求和公式即可求解。
广东省佛山市高一上期末数学试卷((含答案解析))(2019级)
广东省佛山市高一（上）期末测试数学试卷一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知全集U={0，1，2，3，4}，集合A={1，2，3}，B={0，2，4}，则（∁A）∩BU为（）A．{0，4} B．{2，3，4} C．{0，2，4} D．{0，2，3，4}2．（5分）函数y=的定义域为（）A．（0，1] B．（﹣∞，1）C．（﹣∞，1] D．（1，+∞）3．（5分）下列选项中，与sin2017°的值最接近的数为（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣4．（5分）设a=3e，b=πe，c=π3，其中e=2.71828…为自然对数的底数，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞c＞b B．a＞b＞c C．c＞a＞b D．c＞b＞a5．（5分）设函数f（x）是定义在R上的奇函数，则下列结论中一定正确的是（）A．函数f（x）+x2是奇函数B．函数f（x）+|x|是偶函数C．函数x2f（x）是奇函数D．函数|x|f（x）是偶函数6．（5分）函数f（x）=πx+logx的零点所在区间为（）2A．[0，] B．[，] C．[，] D．[，1]7．（5分）已知函数f（x）是偶函数，且f（x﹣2）在[0，2]上是减函数，则（）A．f（0）＜f（﹣1）＜f（2）B．f（﹣1）＜f（0）＜f（2）C．f（﹣1）＜f（2）＜f（0）D．f（2）＜f（0）＜f（﹣1）8．（5分）若sinα+cosα=2，则tan（π+α）=（）A．B．C．D．9．（5分）下列选项中，存在实数m使得定义域和值域都是（m，+∞）的函数是（）A．y=e x B．y=lnx C．y=x2D．y=10．（5分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则关于f（x）的说法正确的是（）A．对称轴方程是x=+2kπ（k∈Z）B．φ=﹣C．最小正周期为πD．在区间（，）上单调递减11．（5分）点P从点O出发，按逆时针方向沿周长为l的正方形运动一周，记O，P两点连线的距离y与点P走过的路程x为函数f（x），则y=f（x）的图象大致是（）A．B．C．D．12．（5分）已知函数f（x）=e x+2（x＜0）与g（x）=ln（x+a）+2的图象上存在关于y轴对称的点，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，e）B．（0，e） C．（e，+∞）D．（﹣∞，1）二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）计算（）+lg﹣lg25= ．14．（5分）若f（x）=x2﹣x，则满足f（x）＜0的x取值范围是．15．（5分）动点P，Q从点A（1，0）出发沿单位圆运动，点P按逆时针方向每秒钟转弧度，点Q按顺时针方向每秒钟转弧度，设P，Q第一次相遇时在点B，则B点的坐标为．16．（5分）某投资公司准备在2016年年底将1000万元投资到某“低碳”项目上，据市场调研，该项目的年投资回报率为20%．该投资公司计划长期投资（每一年的利润和本金继续用作投资），若市场预期不变，大约在年的年底总资产（利润+本金）可以翻一番．（参考数据：lg2=0.3010，lg3=0.4771）三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）已知α是第二象限角，且cos（α+π）=．（1）求tanα的值；（2）求sin（α﹣）•sin（﹣α﹣π）的值．18．（12分）已知函数f（x）=1﹣为定义在R上的奇函数．（1）试判断函数的单调性，并用定义加以证明；（2）若关于x的方程f（x）=m在[﹣1，1]上有解，求实数m的取值范围．19．（12分）某同学用“五点法”画函数f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：f（x）的解析式；（2）将函数y=f（x）的图象向左平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，求g（x）的单调递减区间．20．（12分）设函数f（x）=x2﹣ax+1，x∈[﹣1，2]．（1）若函数f（x）为单调函数，求a的取值范围；（2）求函数f（x）的最小值．21．（12分）已知函数f（x）=．（1）求f （f （））；（2）若x 0满足f （f （x 0））=x 0，且f （x 0）≠x 0，则称x 0为f （x ）的二阶不动点，求函数f （x ）的二阶不动点的个数．22．（12分）已知函数f （x ）=ax 2+4x ﹣1．（1）当a=1时，对任意x 1，x 2∈R ，且x 1≠x 2，试比较f （）与的大小；（2）对于给定的正实数a ，有一个最小的负数g （a ），使得x ∈[g （a ），0]时，﹣3≤f （x ）≤3都成立，则当a 为何值时，g （a ）最小，并求出g （a ）的最小值．2019-2020学年广东省佛山市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知全集U={0，1，2，3，4}，集合A={1，2，3}，B={0，2，4}，则（∁A）∩BU为（）A．{0，4} B．{2，3，4} C．{0，2，4} D．{0，2，3，4}【解答】解：∵全集U={0，1，2，3，4}，集合A={1，2，3}，B={0，2，4}，A={0，4}，∴∁UA）∩B={0，4}．则（∁U故选：A2．（5分）函数y=的定义域为（）A．（0，1] B．（﹣∞，1）C．（﹣∞，1] D．（1，+∞）【解答】解：要使原函数有意义，则1﹣x＞0，即x＜1．∴函数y=的定义域为（﹣∞，1）．故选：B．3．（5分）下列选项中，与sin2017°的值最接近的数为（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣【解答】解：sin2017°=sin（5×360°+217°）=sin217°=﹣sin37°，∵30°＜37°＜45°，sin30°=，sin45°=，而＜＜，故﹣sin37°≈﹣，故选：B．4．（5分）设a=3e，b=πe，c=π3，其中e=2.71828…为自然对数的底数，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞c＞b B．a＞b＞c C．c＞a＞b D．c＞b＞a【解答】解：∵a=3e＜b=πe＜c=π3，∴c＞b＞a，故选：D．5．（5分）设函数f（x）是定义在R上的奇函数，则下列结论中一定正确的是（）A．函数f（x）+x2是奇函数B．函数f（x）+|x|是偶函数C．函数x2f（x）是奇函数D．函数|x|f（x）是偶函数【解答】解：∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），A．f（﹣x）+（﹣x）2=﹣f（x）+x2，则函数不是奇函数．故A错误，B．f（﹣x）+|﹣x|=﹣f（x）+|x|，则函数不是偶函数．故B错误，C．（﹣x）2f（﹣x）=﹣x2f（x）为奇函数，满足条件．故C正确，D．|﹣x|f（﹣x）=﹣|x|f（x）为奇函数，故D错误，故选：Cx的零点所在区间为（）6．（5分）函数f（x）=πx+log2A．[0，] B．[，] C．[，] D．[，1]【解答】解：∵f（）=＜0，f（）=＜0，f（）=＞0，f（1）=π，∴只有f（）•f（）＜0，∴函数的零点在区间[，]上．故选C．7．（5分）已知函数f（x）是偶函数，且f（x﹣2）在[0，2]上是减函数，则（）A．f（0）＜f（﹣1）＜f（2）B．f（﹣1）＜f（0）＜f（2）C．f（﹣1）＜f（2）＜f（0）D．f（2）＜f（0）＜f（﹣1）【解答】解：∵f（x）是偶函数，且f（x﹣2）在[0，2]上是减函数，∴f（x）在[﹣2，0]上是减函数，则f（x）在[0，2]上是增函数，则f（0）＜f（1）＜f（2），即f（0）＜f（﹣1）＜f（2），故选：A8．（5分）若sinα+cosα=2，则tan（π+α）=（）A．B．C．D．【解答】解：∵sinα+cosα=2，∴=2，可得=1，∴α+=2，k∈Z．∴，则tan（π+α）=tanα==tan=．故选：D．9．（5分）下列选项中，存在实数m使得定义域和值域都是（m，+∞）的函数是（）A．y=e x B．y=lnx C．y=x2D．y=【解答】解：函数y=e x在定义域内为增函数，而e x＞x恒成立，∴不存在实数m使得定义域和值域都是（m，+∞）；函数y=lnx在定义域内为增函数，而x＞lnx恒成立，∴不存在实数m使得定义域和值域都是（m，+∞）；当m=0时，y=x2的定义域和值域都是（m，+∞），符合题意；对于，由，得x2=﹣1，方程无解，∴不存在实数m使得定义域和值域都是（m，+∞）．故选：C．10．（5分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则关于f（x）的说法正确的是（）A．对称轴方程是x=+2kπ（k∈Z）B．φ=﹣C．最小正周期为πD．在区间（，）上单调递减【解答】解：由函数图象可得：A=1，周期T=2[﹣（﹣）]=2π，可得C错误，可得：ω===1，由点（，0）在函数图象上，可得：sin（+φ）=0，解得：φ=kπ﹣，k∈Z，又|φ|＜，可得：φ=，故B错误，可得：f（x）=sin（x+）．令x+=kπ+，k∈Z，解得函数的对称轴方程为：x=kπ+，k∈Z，故A错误；令2kπ+≤x+≤2kπ+，k∈Z，解得：2kπ+≤x≤2kπ+，k∈Z，可得函数的单调递减区间为：[2kπ+，2kπ+]，k∈Z，由于（，）⊂[，]，可得D正确．故选：D．11．（5分）点P从点O出发，按逆时针方向沿周长为l的正方形运动一周，记O，P两点连线的距离y与点P走过的路程x为函数f（x），则y=f（x）的图象大致是（）A．B．C．D．【解答】解：O，P两点连线的距离y与点P走过的路程x为函数f（x），当p到达对角线的顶点前，y=f（x）=，可知0≤x≤时，函数的图象只有C满足题意．函数的图象具有对称性，C满足题意．故选：C．12．（5分）已知函数f（x）=e x+2（x＜0）与g（x）=ln（x+a）+2的图象上存在关于y轴对称的点，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，e）B．（0，e） C．（e，+∞）D．（﹣∞，1）【解答】解：由题意知，方程f（﹣x）﹣g（x）=0在（0，+∞）上有解，即e﹣x﹣ln（x+a）=0在（0，+∞）上有解，即函数y=e﹣x与y=ln（x+a）在（0，+∞）上有交点，则lna＜1，即0＜a＜e，则a的取值范围是：（0，e）．故选：B．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）计算（）+lg﹣lg25= ﹣．【解答】解：原式=﹣lg4﹣lg25=﹣lg100=﹣2=﹣，故答案为：﹣．14．（5分）若f（x）=x2﹣x，则满足f（x）＜0的x取值范围是（0，1）．【解答】解：f（x）＜0即为x2＜，由于x=0不成立，则x＞0，再由两边平方得，x4＜x，即为x3＜1解得x＜1，则0＜x＜1，故解集为：（0，1）．故答案为：（0，1）．15．（5分）动点P，Q从点A（1，0）出发沿单位圆运动，点P按逆时针方向每秒钟转弧度，点Q按顺时针方向每秒钟转弧度，设P，Q第一次相遇时在点B，则B点的坐标为（﹣，﹣）．【解答】解：设P、Q第一次相遇时所用的时间是t，则t•+t•|﹣|=2π，∴t=4（秒），即第一次相遇的时间为4秒；设第一次相遇点为B，第一次相遇时P点已运动到终边在•4=的位置，=﹣cos•1=﹣，则xB=﹣sin•1=﹣．yB∴B点的坐标为（﹣，﹣）．故答案为：（﹣，﹣）．16．（5分）某投资公司准备在2016年年底将1000万元投资到某“低碳”项目上，据市场调研，该项目的年投资回报率为20%．该投资公司计划长期投资（每一年的利润和本金继续用作投资），若市场预期不变，大约在2020 年的年底总资产（利润+本金）可以翻一番．（参考数据：lg2=0.3010，lg3=0.4771）【解答】解：假设n年后总资产可以翻一番，依题意得：a×（1+20%）n=2a，即1.2n=2，两边同时取对数得，n=≈3.8所以大约经过4年，即在2020年底总资产可以翻一番．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）已知α是第二象限角，且cos（α+π）=．（1）求tanα的值；（2）求sin（α﹣）•sin（﹣α﹣π）的值．【解答】（本小题满分为10分）解：（1）∵cos（α+π）==﹣cosα，可得：cosα=﹣，又∵α是第二象限角，∴sinα==，tanα==﹣．（2）sin（α﹣）•sin（﹣α﹣π）=（﹣cosα）•sinα=（﹣）×=﹣．18．（12分）已知函数f（x）=1﹣为定义在R上的奇函数．（1）试判断函数的单调性，并用定义加以证明；（2）若关于x的方程f（x）=m在[﹣1，1]上有解，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）f（x）是R上的奇函数，故f（0）=0，故1﹣=0，解得：a=1，故f （x ）=1﹣，x→+∞时，f （x ）→1， x→﹣∞时，f （x ）→﹣1， f （x ）在R 递增， 证明如下： 设x 1＜x 2，则f （x 1）﹣f （x 2） =1﹣﹣1+=，∵x 1＜x 2，∴＜，∴f （x 1）＜f （x 2）， 故f （x ）在R 递增；（2）由（1）f （x ）在[﹣1，1]递增，而f （﹣1）=，f （1）=， 故x ∈[﹣1，1]时，f （x ）∈[，]，若关于x 的方程f （x ）=m 在[﹣1，1]上有解， 则m ∈[，]．19．（12分）某同学用“五点法”画函数f （x ）=Asin （ωx +φ）（ω＞0，|φ|＜）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：f（x）的解析式；（2）将函数y=f（x）的图象向左平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，求g（x）的单调递减区间．【解答】解：（1）补充表格：由于最大值为2，最小值为﹣2，故A=2．==﹣=，∴ω=2．再根据五点法作图可得2•+φ=，∴φ=﹣，故f（x）=2sin（2x﹣）．（2）将函数y=f（x）的图象向左平移个单位后，可得y=2sin[2（x+）﹣]=2sin（2x+）的图象；再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）=2sin（x+）的图象．令2kπ+≤x+≤2kπ+，求得4kπ+≤x≤4kπ+，故g（x）的单调递减区间为[4kπ+，4kπ+]，k∈Z．20．（12分）设函数f（x）=x2﹣ax+1，x∈[﹣1，2]．（1）若函数f（x）为单调函数，求a的取值范围；（2）求函数f（x）的最小值．【解答】解：（1）函数f（x）=x2﹣ax+1，的对称轴为：x=，函数f（x）为单调函数，可得或，解得a∈（﹣∞，2]∪[4，+∞）．（2）∵二次函数f（x）=x2﹣ax+1=（x﹣）2+1﹣a2，且x∈[﹣1，2]，∴当∈[﹣1，2]时，即：a∈[﹣2，4]时，f（x）在x∈[﹣1，2]上先减后增，f（x）的最小值是f（）=1﹣a2；当∈（﹣∞，﹣1）即：a∈（﹣∞，﹣2）时，f（x）在[﹣1，2]上是增函数，f（x）的最小值是f（﹣1）=2+a；当∈（2，+∞）即a∈（4，+∞）时，f（x）在[﹣1，2]上是减函数，f（x）的最小值是f（2）=5﹣2a；综上，a∈[﹣2，4]时，f（x）的最小值是1﹣a2；a∈（﹣∞，﹣2）时，f（x）的最小值是2+a；a∈（4，+∞）时，f（x）的最小值是5﹣2a．21．（12分）已知函数f（x）=．（1）求f（f（））；（2）若x0满足f（f（x））=x，且f（x）≠x，则称x为f（x）的二阶不动点，求函数f（x）的二阶不动点的个数．【解答】解：（1）∵f（x）=．∴f（））=ln=，∴f（f（））=f（）=2﹣2×=1；（2）函数f（x）=．x∈[0，），f（x）=2﹣2x∈（1，2]，x∈[，1），f（x）=2﹣2x∈（0，1]，x∈[1，e]，f（x）=lnx∈（0，1），∴f （f （x ））=，若x 0满足f （f （x 0））=x 0，且f （x 0）≠x 0，则称x 0为f （x ）的二阶不动点， 所以：x 0∈[0，），ln （2﹣2x 0）=x 0，由y=ln （2﹣x 0），y=x 0，图象可知：存在满足题意的不动点．x 0∈[，1），﹣2+4x 0=x 0，解得x 0=，满足f （）=．不是f （x ）的二阶不动点． x 0∈[1，e]，2﹣2lnx 0=x 0，即2﹣x 0=2lnx 0，由y=2﹣x 0，y=2lnx 0，图象可知：存在满足题意的不动点．函数f （x ）的二阶不动点的个数为：2个．22．（12分）已知函数f （x ）=ax 2+4x ﹣1．（1）当a=1时，对任意x 1，x 2∈R ，且x 1≠x 2，试比较f （）与的大小；（2）对于给定的正实数a ，有一个最小的负数g （a ），使得x ∈[g （a ），0]时，﹣3≤f （x ）≤3都成立，则当a 为何值时，g （a ）最小，并求出g （a ）的最小值． 【解答】解：（1）a=1时，f （x ）=x 2+4x ﹣1，f （）=+2（x 1+x 2）﹣1=++x 1x 2+2（x 1+x 2）﹣1，==++2（x 1+x 2）﹣1；故f （）﹣=﹣﹣+x1x 2=﹣≤0；（2）∵f （x ）=ax 2+4x ﹣1=a （x+）2﹣1﹣， 显然f （0）=﹣1，对称轴x=﹣＜0．①当﹣1﹣＜﹣3，即0＜a ＜2时，g （a ）∈（﹣，0），且f[g （a ）]=﹣3．令ax 2+4x ﹣1=﹣3，解得x=，此时g （a ）取较大的根，即g （a ）==，∵0＜a ＜2，∴g （a ）＞﹣1．②当﹣1﹣≥﹣3，即a ≥2时，g （a ）＜﹣，且f[g （a ）]=3．令ax 2+4x ﹣1=3，解得x=，此时g （a ）取较小的根，即g （a ）==，∵a ≥2，∴g （a ）=≥﹣3．当且仅当a=2时，取等号．∵﹣3＜﹣1∴当a=2时，g （a ）取得最小值﹣3．。
2019学年广东省高一上期末数学试卷【含答案及解析】
2019学年广东省高一上期末数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. 直线的倾斜角是（）A ． B． C． D．2. 不等式的解集是（）A ． B．C ．___________________ D．3. 下列函数中，在区间上为增函数的是（）A ． B． C．D．4. 设为直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A ．若，则___________B．若，则C ．若，则___________D．若，则5. 已知两直线．若，则的值为（）A ． 4 B． 0 或 4 C． -1 或 D．6. 若方程表示圆，则实数的取值范围是（）A ． B． C． D．7. 函数的零点所在的一个区间是（）A ． B． C． D．8. 在空间直角坐标系中，给定点，若点与点关于平面对称，点与点关于轴对称，则（）A ． 2 B． 4 C． D．9. 如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时，测得水深为，如果不计容器的厚度，则球的体积为（）A ． B． C． D．10. 为圆外一点，则直线与该圆的位置关系为（）A ．相切 B．相离 C．相交 D．相切或相离11. 若，则的大小关系是（）A ． B． C． D．12. 设函数，对于给定的正数，定义函数，若对于函数定义域内的任意，恒有，则（）A ．的最小值为 1 _________ B．的最大值为 1C．的最小值为___________ D．的最大值为二、填空题13. 为圆的动点，则点到直线的距离的最大值为 ________ ．14. 已知直线与圆相交于两点，则等于 __________ ．15. 若函数恒过定点，则的值为 ________ ．16. 设为定义在上的奇函数，当时，（为常数），则的值为 ________ ．三、解答题17. 设函数的定义域为集合，已知集合，，全集为．（1）求；（2）若，求实数的取值范围．18. 直线经过点，且和圆相交，截得弦长为，求的方程．19. 如图所示，已知平面，分别是的中点，．（1）求证：平面；（2）求证：平面平面．20. 如图，在长方体中，，为的中点．（1）求证：平面；（2）求三棱锥的体积．21. 已知圆，圆与轴交于两点，过点的圆的切线为是圆上异于的一点，垂直于轴，垂足为，是的中点，延长分别交于．（1）若点，求以为直径的圆的方程，并判断是否在圆上；（2）当在圆上运动时，证明：直线恒与圆相切．22. 函数所经过的定点为，圆的方程为，直线被圆所截得的弦长为．（1）求以及的值；（2）设点，探究在直线上是否存在一点（异于点），使得对于圆上任意一点到两点的距离之比（为常数）．若存在，请求出点坐标以及常数的值，若不存在，请说明理由．参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】第21题【答案】第22题【答案】。
2019年广州市越秀区高一上册期末数学试卷(有答案)-精编.doc
广东省广州市越秀区高一（上）期末数学试卷一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，选择一个符合题目要求的选项涂在答题卡相应的位置.）1．（5分）已知集合M={∈|（﹣3）≤0}，N={|ln＜1}，则M∩N=（）A．{1，2}B．{2，3}C．{0，1，2}D．{1，2，3}2．（5分）函数f（）=ln﹣的零点所在的大致区间是（）A．B．（1，2） C．（2，3） D．（e，+∞）3．（5分）若m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，下些说法正确的是（）A．若m⊂β，α⊥β，则m⊥αB．若m⊥β，m∥α，则α⊥βC．若α∩γ=m，β∩γ=n，m∥n，则α∥βD．若α⊥γ，α⊥β，，则γ⊥β4．（5分）已知函数，设，则有（）A．f（a）＜f（b）＜f（c） B．f（a）＜f（c）＜f（b）C．f（b）＜f（c）＜f（a）D．f （b）＜f（a）＜f（c）5．（5分）将正方体（如图1所示）截去两个三棱锥，得到图2所示的几何体，则该几何体的左视图为（）A．B．C．D．6．（5分）一种专门侵占内存的计算机病毒，开机时占据内存2B，然后每3分钟自身复制一次，复制后所占内存是原的2倍，若该病毒占据64MB内存（1MB=210B），则开机后经过（）分钟．A．45 B．44 C．46 D．477．（5分）若当∈R时，函数f（）=a||始终满足0＜|f（）|≤1，则函数y=log a||的图象大致为（）A．B．C．D．8．（5分）在平面直角坐标系中，下列四个结论：①每一条直线都有点斜式和斜截式方程；②倾斜角是钝角的直线，斜率为负数；③方程与方程y+1=（﹣2）可表示同一直线；④直线l过点P（0，y0），倾斜角为90°，则其方程为=°；其中正确的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．49．（5分）如图所示，圆柱形容器的底面直径等于球的直径2R，把球放在在圆柱里，注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，此时容器中水的深度是（）A．2R B．C．D．10．（5分）一个棱锥的三视图如图（尺寸的长度单位为m），则该棱锥的全面积是（单位：m2）．（）A．B．C．D．11．（5分）如图，正方体AC1的棱长为1，过点A作平面A1BD的垂线，垂足为点H，则以下命题中，错误的命题是（）A．点H是△A1BD的垂心B．AH垂直平面CB1D1C．AH的延长线经过点C1D．直线AH和BB1所成角为45°12．（5分）已知函数y=f（）是定义域为R的偶函数．当≥0时，f（）=若关于的方程[f（）]2+af（）+b=0，a，b∈R有且仅有6个不同实数根，则实数a的取值范围是（）A．B．C． D．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.答案填在答卷上.）13．（5分）计算的结果是．14．（5分）已知4a=2，lg=a，则=．15．（5分）过点（1，2）且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程．16．（5分）已知：在三棱锥P﹣ABQ 中，D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，PD与EQ交于点G，PC与FQ交于点H，连接GH，则多面体ADGE﹣BCHF的体积与三棱锥P﹣ABQ体积之比是．三、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并写在答题卷相应位置.）17．（10分）如图，在平行四边形OABC中，点C（1，3）．（1）求OC所在直线的斜率；（2）过点C作CD⊥AB于点D，求CD所在直线的方程．18．（12分）如图，正方形ABCD所在平面与三角形CDE所在平面相交于CD，AE⊥平面CDE，且AE=1，AB=2．（Ⅰ）求证：AB⊥平面ADE；（Ⅱ）求凸多面体ABCDE的体积．19．（12分）已知函数为奇函数，（1）求a的值；（2）当0≤≤1时，关于的方程f（）+1=t有解，求实数t的取值范围；（3）解关于的不等式f（2﹣m）≥f（2﹣2m）．20．（12分）某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场调查和预测，投资债券等稳键型产品A的收益f（）与投资金额的关系是f（）=1，（f（）的部分图象如图1）；投资股票等风险型产品B的收益g（）与投资金额的关系是，（g（）的部分图象如图2）；（收益与投资金额单位：万元）．（1）根据图1、图2分别求出f（）、g（）的解析式；（2）该家庭现有10万元资金，并全部投资债券等稳键型产品A及股票等风险型产品B两种产品，问：怎样分配这10万元投资，才能使投资获得最大收益，其最大收益为多少万元？21．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，AC=BC=CC1=2，M，N分别为AC，B1C1的中点．（Ⅰ）求线段MN的长；（Ⅱ）求证：MN∥平面ABB1A1；（Ⅲ）线段CC1上是否存在点Q，使A1B⊥平面MNQ？说明理由．22．（12分）已知函数f（）=a2+b+c（a，b，c∈R）．（1）若a＜0，b＞0，c=0，且f（）在[0，2]上的最大值为，最小值为﹣2，试求a，b 的值；（2）若c=1，0＜a＜1，且||≤2对任意∈[1，2]恒成立，求b的取值范围．（用a 表示）广东省广州市越秀区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，选择一个符合题目要求的选项涂在答题卡相应的位置.）1．（5分）已知集合M={∈|（﹣3）≤0}，N={|ln＜1}，则M∩N=（）A．{1，2}B．{2，3}C．{0，1，2}D．{1，2，3}【解答】解：集合M={∈|（﹣3）≤0}={∈|0≤≤3}={0，1，2，3}，N={|ln＜1}={|0＜＜e}，则M∩N={1，2}．故选：A．2．（5分）函数f（）=ln﹣的零点所在的大致区间是（）A．B．（1，2） C．（2，3） D．（e，+∞）【解答】解：∵函数，∴f（2）=ln2﹣1＜0，f（3）=ln3﹣＞0，故有f（2）f（3）＜0，根据函数零点的判定定理可得函数的零点所在的大致区间为（2，3），故选：C．3．（5分）若m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，下些说法正确的是（）A．若m⊂β，α⊥β，则m⊥αB．若m⊥β，m∥α，则α⊥βC．若α∩γ=m，β∩γ=n，m∥n，则α∥βD．若α⊥γ，α⊥β，，则γ⊥β【解答】解：若m⊂β，α⊥β，则m与α平行、相交或m⊂α，故A不正确；若m⊥α，m∥β，则α⊥β，因为m∥β根据线面平行的性质在β内至少存在一条直线与m平行，根据线面垂直的判定：如果两条平行线中的一条垂直于这个平面，那么另一条也垂直于该平面，故B正确；若αlγ=m，βlγ=n，m∥n，则α∥β或α与β相交，故C不正确；若α⊥γ，α⊥β，则γ与β相交或平行，故D不正确．故选B．4．（5分）已知函数，设，则有（）A．f（a）＜f（b）＜f（c） B．f（a）＜f（c）＜f（b）C．f（b）＜f（c）＜f（a）D．f （b）＜f（a）＜f（c）【解答】解：由复合函数的单调性可得函数f（）在（﹣1，+∞）上单调递增，又，，，因此b＞c＞a，∴f（b）＞f（c）＞f（a）．故选：B．5．（5分）将正方体（如图1所示）截去两个三棱锥，得到图2所示的几何体，则该几何体的左视图为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意可知几何体前面在右侧的射影为线段，上面的射影也是线段，后面与底面的射影都是线段，轮廓是正方形，AD1在右侧的射影是正方形的对角线，B1C在右侧的射影也是对角线是虚线．如图B．故选B．6．（5分）一种专门侵占内存的计算机病毒，开机时占据内存2B，然后每3分钟自身复制一次，复制后所占内存是原的2倍，若该病毒占据64MB内存（1MB=210B），则开机后经过（）分钟．A．45 B．44 C．46 D．47【解答】解：因为开机时占据内存2B，然后每3分钟自身复制一次，复制后所占内存是原的2倍，所以3分钟后占据内存22B，两个3分钟后占据内存23B，三个3分钟后占据内存24B，故n个3分钟后，所占内存是原的2n+1倍，则应有2n+1=64×210=216，∴n=15，15×3=45，故选：A．7．（5分）若当∈R时，函数f（）=a||始终满足0＜|f（）|≤1，则函数y=log a||的图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：∵当∈R时，函数f（）=a||始终满足0＜|f（）|≤1．因此，必有0＜a＜1．先画出函数y=log a||的图象：黑颜色的图象．而函数y=log a||=﹣log a||，其图象如红颜色的图象．故选B．8．（5分）在平面直角坐标系中，下列四个结论：①每一条直线都有点斜式和斜截式方程；②倾斜角是钝角的直线，斜率为负数；③方程与方程y+1=（﹣2）可表示同一直线；④直线l过点P（0，y0），倾斜角为90°，则其方程为=°；其中正确的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：对于①，斜率不存在的直线无点斜式和斜截式方程，故错；对于②，由倾斜角与斜率的关系知，倾斜角是钝角的直线，斜率为负数，正确；对于③，方程（≠2）与方程y+1=（﹣2）（∈R）不表示同一直线，故错；对于④，直线l过点P（0，y0），倾斜角为90°，则其方程为=0，正确；故选：B．9．（5分）如图所示，圆柱形容器的底面直径等于球的直径2R，把球放在在圆柱里，注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，此时容器中水的深度是（）A．2R B．C．D．【解答】解：由题意，水的体积==，∴容器中水的深度h==，故选：C．10．（5分）一个棱锥的三视图如图（尺寸的长度单位为m），则该棱锥的全面积是（单位：m2）．（）A．B．C．D．【解答】解：由三视图可以看出，此几何体是一个侧面与底面垂直且底面与垂直于底面的侧面全等的三棱锥由图中数据知此两面皆为等腰三角形，高为2，底面边长为2，故它们的面积皆为=2，由顶点在底面的投影向另两侧面的底边作高，由等面积法可以算出，此二高线的长度相等，为，将垂足与顶点连接起即得此两侧面的斜高，由勾股定理可以算出，此斜高为2，同理可求出侧面底边长为，可求得此两侧面的面积皆为=，故此三棱锥的全面积为2+2++=，故选A．11．（5分）如图，正方体AC1的棱长为1，过点A作平面A1BD的垂线，垂足为点H，则以下命题中，错误的命题是（）A．点H是△A1BD的垂心B．AH垂直平面CB1D1C．AH的延长线经过点C1D．直线AH和BB1所成角为45°【解答】解：因为三棱锥A﹣A1BD是正三棱锥，所以顶点A在底面的射影H是底面中心，所以选项A正确；易证面A1BD∥面CB1D1，而AH垂直平面A1BD，所以AH垂直平面CB1D1，所以选项B正确；连接正方体的体对角线AC1，则它在各面上的射影分别垂直于BD、A1B、A1D等，所以AC1⊥平面A1BD，则直线A1C与AH重合，所以选项C正确；故选D．12．（5分）已知函数y=f（）是定义域为R的偶函数．当≥0时，f（）=若关于的方程[f（）]2+af（）+b=0，a，b∈R有且仅有6个不同实数根，则实数a的取值范围是（）A．B．C． D．【解答】解：依题意f（）在（﹣∞，﹣2）和（0，2）上递增，在（﹣2，0）和（2，+∞）上递减，当=±2时，函数取得极大值；当=0时，取得极小值0．要使关于的方程[f（）]2+af（）+b=0，a，b∈R有且只有6个不同实数根，设t=f（），则则有两种情况符合题意：（1），且，此时﹣a=t1+t2，则；（2）t1∈（0，1]，，此时同理可得，综上可得a的范围是．故选答案C．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.答案填在答卷上.）13．（5分）计算的结果是2．【解答】解：运算=1﹣++lg2+lg5=1﹣0.4+0.4+1=2．故答案为2．14．（5分）已知4a=2，lg=a，则=．【解答】解：∵4a=2，∴22a=2，即2a=1解得a=∵lg=a，∴lg=∴=，故答案为：15．（5分）过点（1，2）且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程2﹣y=0或+y﹣3=0．【解答】解：①当所求的直线与两坐标轴的截距不为0时，设该直线的方程为+y=a，把（1，2）代入所设的方程得：a=3，则所求直线的方程为+y=3即+y﹣3=0；②当所求的直线与两坐标轴的截距为0时，设该直线的方程为y=，把（1，2）代入所求的方程得：=2，则所求直线的方程为y=2即2﹣y=0．综上，所求直线的方程为：2﹣y=0或+y﹣3=0．故答案为：2﹣y=0或+y﹣3=016．（5分）已知：在三棱锥P﹣ABQ 中，D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，PD与EQ交于点G，PC与FQ交于点H，连接GH，则多面体ADGE﹣BCHF的体积与三棱锥P﹣ABQ体积之比是．【解答】解：∵D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，∴EF∥AB，DC∥AB，则EF∥DC，又EF⊄平面PCD，DC⊂平面PCD，∴EF∥平面PCD，又EF⊂平面EFQ，平面EFQ∩平面PCD=GH，∴EF∥GH，设三棱锥P﹣ABQ体积为V，则V P=，，﹣DCQ=．∴=．∴多面体ADGE﹣BCHF的体积与三棱锥P﹣ABQ体积之比是．故答案为：．三、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并写在答题卷相应位置.）17．（10分）如图，在平行四边形OABC中，点C（1，3）．（1）求OC所在直线的斜率；（2）过点C作CD⊥AB于点D，求CD所在直线的方程．【解答】解：（1）∵点O（0，0），点C（1，3），∴OC所在直线的斜率为．（2）在平行四边形OABC中，AB∥OC，∵CD⊥AB，∴CD⊥OC．∴CD所在直线的斜率为．∴CD所在直线方程为，即+3y﹣10=0．18．（12分）如图，正方形ABCD所在平面与三角形CDE所在平面相交于CD，AE⊥平面CDE，且AE=1，AB=2．（Ⅰ）求证：AB⊥平面ADE；（Ⅱ）求凸多面体ABCDE的体积．【解答】证明：（Ⅰ）∵AE⊥平面CDE，CD⊂平面CDE，∴AE⊥CD，又在正方形ABCD中，CD⊥AD，AE∩AD=A，∴CD⊥平面ADE，又在正方形ABCD中，AB∥CD，∴AB⊥平面ADE．…（6分）解：（Ⅱ）连接BD，设B到平面CDE的距离为h，∵AB∥CD，CD⊂平面CDE，∴AB∥平面CDE，又AE⊥平面CDE，∴h=AE=1，又=，∴=，又==，∴凸多面体ABCDE的体积V=V B﹣CDE +V B﹣ADE=．…（12分）19．（12分）已知函数为奇函数，（1）求a的值；（2）当0≤≤1时，关于的方程f（）+1=t有解，求实数t的取值范围；（3）解关于的不等式f（2﹣m）≥f（2﹣2m）．【解答】解：（1）∵∈R，∴f（0）=0，∴a=﹣1…．（3分）（2）∵，∵0≤≤1，∴2≤3+1≤4…．（5分）∴…．（7分）∴…．（8分）（3）在R上单调递减，…．（9分）f（2﹣m）≥f（2﹣2m）2﹣m≤2﹣2m…．（10分）2﹣（m+2）+2m≤0（﹣2）（﹣m）≤0…．（11分）①当m＞2时，不等式的解集是{|2≤≤m}②当m=2时，不等式的解集是{|=2}③当m＜2时，不等式的解集是{|m≤≤2}…．（14分）20．（12分）某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场调查和预测，投资债券等稳键型产品A的收益f（）与投资金额的关系是f（）=1，（f（）的部分图象如图1）；投资股票等风险型产品B的收益g（）与投资金额的关系是，（g（）的部分图象如图2）；（收益与投资金额单位：万元）．（1）根据图1、图2分别求出f（）、g（）的解析式；（2）该家庭现有10万元资金，并全部投资债券等稳键型产品A及股票等风险型产品B两种产品，问：怎样分配这10万元投资，才能使投资获得最大收益，其最大收益为多少万元？【解答】解：（1）设投资为万元，由题意，知f（1.8）=0.45，g（4）=2.5；解得1=，2=，∴f（）=，≥0．g（）=，≥0；（2）设对股票等风险型产品B投资万元，则对债券等稳键型产品A投资（10﹣）万元，记家庭进行理财投资获取的收益为y万元，则y=，≥0．设=t，则=t2，0≤t≤∴y=﹣，当t=，也即=时，y取最大值．答：对股票等风险型产品B投资万元，对债券等稳键型产品A投资万元时，可获最大收益万元．21．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，AC=BC=CC1=2，M，N分别为AC，B1C1的中点．（Ⅰ）求线段MN的长；（Ⅱ）求证：MN∥平面ABB1A1；（Ⅲ）线段CC1上是否存在点Q，使A1B⊥平面MNQ？说明理由．【解答】解：（Ⅰ）连接CN，因为ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC，所以AC⊥CC1，…（2分）因为AC⊥BC，所以AC⊥平面BCC1B1．…（3分）因为MC=1，CN==，所以MN=…（4分）（Ⅱ）证明：取AB中点D，连接DM，DB1…（5分）在△ABC中，因为M为AC中点，所以DM∥BC，DM=BC．在矩形B1BCC1中，因为N为B1C1中点，所以B1N∥BC，B1N=BC．所以DM∥B1N，DM=B1N．所以四边形MDB1N为平行四边形，所以MN∥DB1．…（7分）因为MN⊄平面ABB1A1，DB1⊂平面ABB1A1…（8分）所以MN∥平面ABB1A1．…（9分）（Ⅲ）解：线段CC1上存在点Q，且Q为CC1中点时，有A1B⊥平面MNQ．…（11分）证明如下：连接BC1，在正方形BB1C1C中易证QN⊥BC1．又A1C1⊥平面BB1C1C，所以A1C1⊥QN，从而NQ⊥平面A1BC1．…（12分）所以A1B⊥QN．…（13分）同理可得A1B⊥MQ，所以A1B⊥平面MNQ．故线段CC1上存在点Q，使得A1B⊥平面MNQ．…（14分）22．（12分）已知函数f（）=a2+b+c（a，b，c∈R）．（1）若a＜0，b＞0，c=0，且f（）在[0，2]上的最大值为，最小值为﹣2，试求a，b 的值；（2）若c=1，0＜a＜1，且||≤2对任意∈[1，2]恒成立，求b的取值范围．（用a表示）【解答】（1）抛物线的对称轴为，①当时，即b＞﹣4a时，当时，，f（）min=f（2）=4a+2b+c=﹣2，∴，∴a=﹣2，b=3．②当时，即b≥﹣4a时，f（）在[0，2]上为增函数，f（）min=f（0）=0与f（）=﹣2矛盾，无解，min综合得：a=﹣2，b=3．（2）对任意∈[1，2]恒成立，即对任意∈[1，2]恒成立，即对任意∈[1，2]恒成立，令，则，∵0＜a＜1，∴，（ⅰ）若，即时，g（）在[1，2]单调递减，此时，即，得，此时，∴∴．（ⅱ）若，即时，g（）在单调递减，在单调递增，此时，，只要，当时，，当时，，．综上得：①时，；②时，；③时，．。
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C. - 3 4
9. 已知 ABC 中， a 1,b 3, A 30 0，则 B 等于（
D. - 11 4
）
A.
30 0
B. 30 0 或150 0 C. 600 D.
60 0 或120 0
10. 将函数 y
2sin(2x
) 的图象向右平移 后，所得图象对应的函数为（
6
4
）
A. y 2sin(2x ) 4
B. y 2sin(2x ) 3
C. y 2sin(2x ) 4
D. y 2sin(2x ) 3
11. 已知 为第二象限角， sin cos
3 ，则 cos 2 （ ）
3
A. 12. 函数 f (x)
5 3
2
1 log x , x 1，则 y 2x,x 1
B. 5 9
C. 5 9
f (x 1) 的图象大致是（ ）
元．经 测算 和市 场调查，若 该班学生集体改饮某品牌的桶装纯净水，则年 总费用由两部
分组成：一部分是购买纯净水的费用，另一部分是其他费用780 元，其中纯净水的销 售
价 x （元/桶）与年购买总量 y （桶）之间满足如图所示的关系． （1）求 x 与 y 的函数关系； （2）当 a 为 120 时，若该班每年需要纯净水 380 桶，请你根据提供的信息分析一下：
16. 已知函数 f (x) 是定义在 [ 2,2] 上的增函数，且 f (1 m) f (m ) ，则实数m 的取值范
围______ ． 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分）
17. 已知 (0, ),sin
5.
2
5
（1）求 sin(
) 的值； 4
（2）求 tan 2 的值．
18. 已知向量a
10
B.
化成度是 600 0
3
D. 12 化成度是15 0
5. 幂函数的图象经过点 (3, 3 ) ，则 f (2) 的值等于（ ） 3
A. 4
1 B.
4
C. 2
D. 2 2
6. 函数 f (x) lg x x 2 的零点所在的区间是（ ）
A. (0,1)
B. (1,2)
C. (2,3)
D. (3,10)
7. 已知 AB (5, 3),C ( 1,3), CD 2 AB ，则点 D 的坐标为（ ）
A.
(11,9)
B. (4,0)
C. (9,3)
D.
(9, 3)
8. 已知 y f (x) 是定义在 R 上的奇函数，且当 x 0 时， f (x) 2x 1，则 f ( 2) 等于
（）
A. 3
B. - 3
13、 [3, ) 14、 2 三、解 答题
15、 2 5
16、 ( 1 ,2] 2
17.解：（1）∵
(0, ),sin 2
5 cos
5
2 5 ……2′ 5
∴ sin(
) sin cos cos sin
5 2 2 5 2 3 10 ．……5′
4
4
4 5 2 5 2 10
（2）∵ tan
sin
1 ……7′∴ tan 2
2 tan
4 ．……10′
cos 2
1 tian 2 3
18. 解:（1）∵ a b ∴ a b 0 ……1′ 即 ( 2,2) (5,k) 0 ……3′
2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡对应的答案符号涂黑；如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其它答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指
定 区域 内的 相应 位置 上；如 需改 动，先划掉原来的答案，然后再写 上新 的答 案； 不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
高一级教 学质量监测
数学
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共 4 页，全卷三大题 22 小题，满分 150 分，考试用 时 120 分钟。
注 意事 项:1.答卷前 ,考 生务 必用 黑色 字迹的钢笔或签字笔将自已的姓名 、考试 科目 、班级 和
考生号等信息填写在答题卡上，并用 2B 铅笔将考号在答题卡相关的区域内涂 黑。
A.
y x2 1
B. y x 1
3. 若单位向量 a,b 的夹角为 150°，则 a b的值 为（ ）
D. {0,2,4,6,8,10}
C. y
1
x2
D.
y
x3
A. 3 2
B. 2 2
4. 下列转化结果错误的是（ ）
A. 60 0 化成弧度是 3
7 C. 1500 化成弧度是
6
C. 1 2
D. 3 2
4.考生必须保持答题卡的整洁,考试结束后,将答题卡答卷交给监考老师。
第Ⅰ卷（选择题 共 60 分）
一、选择题(本大题共 12 小题，每题 5 分,共 60 分)
1.
设集合 A
{0,2,4,6,8,10} , B
{4,8}
,则
C
B
A
=（
）
A. {4,8}
B. {0,2,6}
C. {0,2,6,10}
2. 下列函数既是奇函数又是增函数的是（ ）
20. ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a,b, c ，已知 2cos C (a cos B b cos A) C .
（1）求 C ；
（2）若 c
7 ， ABC 的 面积为 3 3 ，求 ABC 的周长． 2
21. 某校高一（1）班共有学生 50 人，据统计原来每人每年用于购买饮料的平均支出是 a
该班学生集体改饮桶装纯净水与个人买饮料相比，哪一种花钱更少？
22. 已知函数 f (x) x2 2ax 1 a ． 若 a 1，求函数 f (x) 的最大值； 若函数 f (x) 在区间 [0,1] 上的最大值是 2， 求实数 a的值
一、 选择题
数学 答案
1-5 CDDCD 6-10BDBDD 11-12 AB 二、 填空题
( 2,2), b
(5, 值；
（2）若 (a 2b) //(2a
b) ，求实数 k 的值。
19. 已知函数 f (x) Asin( x )(A 0, 0, （1）求函数 f (x) 的解析式；
) 的部分图象如图所示． 2
（2）求函数 f (x) 在区间 x [0, ] 上的最大值和最小值． 2
D. 5 3
A.
B.
C.
D.
第 II 卷（共 90 分）
二、填空题(本大题共 4 小题，每题 5 分,共 20 分)
13. 函数 y 2x 8的定义域为 ．
14. 已知扇形的圆心角
2 ，半径 r 3 ，则扇形的弧长 l 为______ ． 3
15. 若角 的终边过点 (1, 2) ，则 sin cos =______．