1-向量范数与矩阵范数

kA r max
X 0
kAX X
r
r
k max
X 0
AX X
r
r
k Ar
（3）对任意的矩阵 A, B Rnn ，式
A B r max
X 0
( A B) X X AX X
r r r
r
max
X 0
AX BX X
r
r
max(
X 0
AX X
r
r

BX X
r
我们用其度量向量的“大小”。
实质上是向量 X 的一个实值函数， 它满足如下3个条件： (1非负性). 对任意 X R 3 ，都有 X 0 当且仅当 X 0 ，有 X 0 (2齐次性). 对任意 a R 和向量
aX a X
X R3
,
(3三角不等式). 对任意 X , Y R3 ,都有
例6 设 解： A max{4 3 ,2 1} 7
A 1 {4 2, 3 1} 6
4 3 A ，求 A , A 1 2 1
及 A2 。
又
4 2 4 3 20 10 A A 2 1 10 10 3 1
X Y X Y
上向量 X 的范数（或模）。
最常用的如下3种向量范数： n X 1 xi 向量 X 的1—范数： i 1 n X 2 ( xi 2 )1/ 2 向量 X 的2—范数： i 1 X max xi 向量 X 的 范数： 1i n
下面只证 X 2 是向量范数： 证明： （1）由向量的2—范数有
X
2 2 n i 1

X
2
2
，又
2 2 2 2
xi n max{x1 , x2 ,, xn } n X

即有 X 2 n X
，故有 X

X
2
n X

例5 设 X (1, 2, 3) ，求 X 1 , X 2 , X 解：由向量 X 的1，2， 范数定义
X X

X X
2 1
n X n X


下面验证第2式 设 X ( x1 , x2 ,, xn )T ，则
2
X
[max{x1 , x2 ,, xn }]2 max{x1 , x2 ,, xn } xi X
2 2 2 2 i 1 n 2 2
于是有 X
X X X
1
1 2 3 6 (1) 2 (3) 14
2 2 2
2
max{ 1 , 2 , 3} 3
(2) 矩阵的范数 定义2 设
N ( A) A
是定义在
R nn
上的实值函数，
如果它满足4个条件： 1. 非负性， 即 A 0,
A 0 当且仅当 A 0
X Y X Y
将向量的长度概念加以推广，便得到向量范数概念。
定义1 设
N(X ) X
是定义在 R n 上的实值函数，
X 0, X 0
如果它满足三个条件：
① 非负性，即 ② 齐次性，即 则称 N ( X ) X 为
Rn
当且仅当
(a R)
X 0
aX a X
③ 三角不等式，即对 X , Y Rn,总有
X Y
2 2 T
n
，则有
2 2
(X Y) (X Y) X
2X Y Y
T
2 2
根据Cauchy-Schwarz（柯西-施瓦兹）不等式
( X T Y )2 ( X T X )(Y T Y )
有
X Y
2 2
X
2 X 2
2
2
Y
Y 2
2 2
( X
Y 2 )2 2
满足定义中条件③。证毕
A2
。
其中 x (1, 2, 3) ,
1 2 0 A 1 2 1 0 1 0
T
AT A 的特征方程为 10 20 T I A A 0 10 10
它的根为1 15 5
因而
A
2
5, 2 15 5 5
15 5 5 5.1167
练习:已知矩阵A和向量X，求
X 1, X 2 , X

， A , A1 及
2. 齐次性， 即 aA a A (a R) 3. 三角不等式，即对 则称
N ( A) A
A, B Rnn ,总有 A B A B
AB A B
4. 矩阵乘法不等式，即对 A, B Rnn ,总有 为 R nn 上矩阵
A
的范数（或模）。
在实际应用问题中，矩阵和向量常常具有一定
由于 所以有
max
X 0
AX X
r
r
Y A Y r
X 0
r
1 AY Y r
r r
r
AY
r
Y r max
AX X
ArY
r
此结果显然也适用于Y=0的情形。 再证明
A r max
X 0
AX X
r
r
满足矩阵范数的四个条件。
（1）当A=0时， A r 0 ；当A≠0时，必有 A r 0 （2）对任一数 k R 有
关系，即满足矩阵、向量乘法的相容性，且有结论
AX A X
定理 设向量 范数
X
r
X Rn ,
n A R n，给定一种向量 矩阵
，令பைடு நூலகம்
A
r
max
X 0
AX X
r
r
,
则它与所给定的向量范数相容，称为矩阵 A 的算子范数。
证 首先证明相容性。
n A R nn 和任意的非零向量 Y R 对任意矩阵
X
2 2 2 x12 x2 xn 0
满足定义中条件① （2）对任一 k R 有
kX
2

(kxi ) 2 k 2 xi2 k
i 1 i 1
n
n
xi2 k X
i 1
n
2
满足定义中条件②
由 X 2 的含义，可用内积表示，即
X
2
XTX
（3）任取向量 y R
§3 向量范数与矩阵范数 为了学习线性方程组的迭代解法并研究其收 敛性，对方程组的近似解作出误差分析，下面简 要介绍向量范数与矩阵的范数（模），用于描述 向量与矩阵的大小。 (1) 向量的范数
R 3 中的任意向量 对于空间直角坐标系
X ( x1 , x2 , x3 )T
，其长度为
X ( x12 x22 x32 )1/ 2
r
)
max
X 0
max
X 0
BX X
r
r
Ar B
r
成立。
（4）
AB r max
X 0
ABX X
X 0 r
r
max A r
X 0 r r
BX X
r r
r
A r max
证毕。
BX X
Ar B
常用的3种算子范数的定义与算式为：p10-11 1―范数（列模） A 1 max X 0 2―范数（谱模） A 2 max X 0
AX X
1 1
max aij
1 j n i 1
n
AX X
AX

2 2
max ( AT A)
n
∞―范数（行模） A max X X 0
T 其中 max ( A A) max i 1i n
max aij
1i n j 1
T i 为 A A 的特征值。
向量的2—范数也称为Euclid范数。
其实，向量的1—范数， 2—范数， 范数，
它们都是p—范数
X
p
( xi )
i 1
n
1 p p
的特例，其中，正整数
p 1
，并且有
lim X
p
p
max xi
1i n
容易验证 R n 的3种范数之间有如下关系： X 2 X 1 n X 2