1-向量范数与矩阵范数
数值分析8(向量范数与矩阵范数)
20:22
16/16
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11/16
A 2 ( A A), 其中 ( B ) max{| i ( B ) |}
T i
2 T T 证: 2 这表明矩阵ATA是对称半正定的, 是非负。设矩阵ATA的特征值为
|| Ax || x A Ax 0
1 2
所以它的特征值 都
n 0
并设对应的特征向量为
v1 , 由于ATA是对称,故 v1 ,
vi
20:22
2
1, i 1,
, vn , v n 是Rn的标准正交基: T , n vi v j 0, i j
12/16
对于向量 x 可被特征向量系所表示 x ck v k
n n k 1
n n
n
T T T || Ax ||2 x A Ax ( c v k k )( ck k vk ) 2
Matlab内部函数: norm(A,p)。
20:22
9/16
矩阵算子范数
设 ||x||是Rn上的向量范数,A∈Rn×n,则A的非 负函数 || Ax ||
|| A || max
x 0
|| x ||
称为矩阵A的算子范数(或诱导范数)。 注1 矩阵算子范数由向量范数诱导出, 如
|| Ax ||2 || A ||2 max x 0 || x || 2
1 i n
, xn
Matlab内部函数: norm(x,p)。特别的, norm(x) 等价于norm(x,2)。 范数概念是我们熟悉的距离概念的一种自然的 推广。 k *
lim || x x || 0
k
则称序列{xk}在范数||.||下收敛于x*。
第五章--向量范数和矩阵范数
当 x 时，|| x ||A 0 ；当 x θ 时由 A 对称
正定知 xH Ax 0 ，即 || x ||A 0 。
对于任意 k C ，有 || k x ||A (kx)T A(kx) | k | xT Ax | k | || x ||A
由于 A 为Hermite正定矩阵，故存在酉矩阵 U ，使得
|| x ||2
| x1 |2 | x2 |2
| xn |2
定义的|| ||2 是 F n上的向量范数，称为2-范数或 l2
范数，也称为 Euclid 范数。
例 7 对任意 x ( x1, x2, , xn) T F n，由
|| x ||p
1/ p n
| xi |p , p 1
i1
定义的|| ||p 是 F n 上的向量范数，称为p -范数或 lp
UT AU Λ diag( λ1, λ2, , λn)
这里 A 的特征值 λi (i 1, 2, , n) 都为正数。
从而有
A UΛUT U Λ Λ UT BT B
此时
|| x ||A xT Ax xT BT Bx (Bx)T Bx || Bx ||2
因此对任意 y C n ， || x y ||A || B( x y) ||2
数 || A || 表示对于任意向量 x F n ， A 可以 “拉伸”向量 x 的最大倍数，即使得不等式
|| A x || C || x || 成立的最小的数 C 。称 || A || 为范数 || || 和 || ||
j1
n
| xj
j1
yj |; yj |;
yj |;
1
yj |m m;
以及与椭圆范数类似的Mahalanobis距离：
向量范数与矩阵范数的相容性
x v 1
v
例3 证明由n维向量的1-范数， ∞-范数和2-范数
所诱导的算子范数分别是(设A=(aij)n×n)
n
(1)
A
1
max j
i 1
aij
为从属于向量1 – 范数的矩阵范数
列模和之最大者：列和范数
n
(2)
A
max i
j 1
x
F
2
因此，可以用||A||F来刻画变换A 的结果。
对于给定的某种向量是否一定存在与它相容的矩阵 范数？
任意一个矩阵范数都有与之相容的向量范数吗？
从属于向量范数的矩阵范数
定理1 给定C n 上的向量范数 v ，ACnn 定义
Ax A max v
x x v
则
是Cnn上与向量范数
aij
2
2
与向量范数
证明：设 A (aij ) C n，n x 1,2 , ,n T C n
Ax 2
n i 1
a n
2
k 1 ik k
n(
i 1
n k 1
aikk
)2
n (
i 1
a n
k 1 ik
k )2
n [(
i 1
n k 1
aik
2 )(
n k 1
k
2
)]
n i 1
a n
2
k 1 ik
n
2
k1 k
A x
F
2
||A||F 与 ||x||2 相容的性质反映了 ||A||F 是像 Ax 的2-范 数 ||Ax||2 与原像 x 的2-范数之比的最大值，即
向量范数生成的矩阵范数
向量范数生成的矩阵范数矩阵范数在矩阵分析、系统理论、数值逼近等领域有着广泛的应用。
矩阵的范数是一个数学工具，用于度量矩阵的大小或者多样性。
它是矩阵理论中重要的概念之一，具有很多有用的性质。
矩阵范数的定义有很多种不同的形式，其中一种常见的定义是通过向量范数来生成的。
本文重点介绍向量范数生成的矩阵范数的定义、性质和应用。
一、向量范数的定义向量范数是将一个向量映射到非负实数的函数。
常用的向量范数包括欧几里得范数、曼哈顿范数、p-范数、无穷范数等。
以二维向量为例，这些向量范数的定义如下：1. 欧几里得范数：||x||₂ = sqrt(x₁² + x₂²)，其中x=(x₁,x₂)。
2. 曼哈顿范数：||x||₁ = |x₁| + |x₂|。
向量范数满足以下条件：1. 非负性：对于所有的向量x，||x||≥0，且等号成立当且仅当x=0。
2. 齐次性：对于所有的向量x和标量a，||ax|| = |a|||x||。
3. 三角不等式：对于任意两个向量x和y，||x+y||≤||x||+||y||。
给定一个矩阵A∈R^(m×n)，我们可以通过向量范数定义一种矩阵范数，记作||A||。
向量范数生成的矩阵范数定义如下：||A|| = sup{||Ax|| : x∈R^n, ||x||=1}。
其中||x||=1是指x的范数等于1，sup表示取最大值。
也就是说，矩阵A的范数等于将所有满足x的范数为1的向量Ax的范数取最大值。
4. Frobenius范数：||A||_F = sqrt(∑(i,j)|a_ij|²)。
其中，1-范数和无穷范数是矩阵列向量和行向量的范数的最大值和最大值，而2-范数就是矩阵的谱半径。
Frobenius范数是矩阵元素绝对值平方和的开方。
三、性质和应用和向量范数一样，向量范数生成的矩阵范数也具有一些重要的性质，它们包括：3. 子多项式不等式：对于所有的矩阵A和所有次数不超过n的多项式p，有||p(A)||≤ ||p||_∞||A||。
向量范数与矩阵范数
kA max kAx k max Ax k A .
x 1
x 1
(3) 对任意的n×n矩阵 A 和 B, 有
A B max (A B)x max Ax Bx
x 1
x 1
max Ax Bx x 1
max Ax max Bx A B
正定性三角不等式积的范数小于等于范数的积矩阵范数与向量范数的相容性定义给定向量范数和矩阵范数如果对任和任意的nn矩阵a它们总满足则称所给的矩阵范数与向量范数是相容的
§1.3 向量范数与矩阵范数
为了研究线性方程组近似解的误差估 计和迭代法的收敛性，我们需要对 Rn 中 向量或 Rn×n 中矩阵的“大小”引进某种 度量----向量或矩阵的范数。向量范数是 三维欧氏空间中向量长度概念的推广，在 数值分析中起着重要作用。
1.3.1 向量范数
向量的范数是刻画向量大小的量, 又叫向量的模.
❖定义 Rn 上的实值函数‖·‖称为向量范数，如果 对任意的 x, y∈Rn, 它均满足下列3条性质:
(1)正定性: || x ||,且 0 x 0;|| x || 0
(2)齐次性:对 k ,有R
|| kx |;|| k | || x ||
以及
A. F
解 x | 3| | 5| |1| 9, 1
x 32 (5)2 12 35 2
x max{| 3|,| 5|,|1|} 5,
|1| | 2 | | 3 |,
A
1
max
|
5
|
|1|
|
8
|,
Chapter1_2_向量范数与矩阵范数
设 b 精确，A有误差 A ，得到的解为 x x ，即 || A || || A1 || 是关键 的误差放大因子，称为 ( A A的状态数(条件数)， b A)( x x) 记为cond (A) , A( x x) A( x x) b ( A A) x ( A A) x b ( A A) x Ax x A1 A( x x) A( I A1 A) x Ax || x || || A1 || || A || || x x || x ( I A1 A)1 A1 Ax || A || 1 (只要 A充分小，使得
算子范数 ( operator norm ),又称为从属的矩阵范数: 由向量范数 || · p 导出关于矩阵 A Rnn 的 p 范数: ||
利用Cauchy 不等式 则 || AB || p || A || p || B || p || Ax || p || A || p max max || Ax || p y | ||x || || y || |x 2 x0 | |x | |p 1 || x || p || Ax || p || A || p || 2 || p x
命题(P26，推论1） 若A对称，则有: || A ||2 ( A)
证明：|| A ||2 max ( A A) max ( A )
T 2
A对称
若 是 A 的一个特征根，则2 必是 A2 的特征根。
max ( A2 ) 2 ( A) 对某个 A 的特征根 成立
又：对称矩阵的特征根为实数，即 2(A) 为非负实数， 所以2-范数亦称为 故得证。 谱范数。
矩阵范数和向量范数的关系
矩阵范数和向量范数的关系矩阵范数和向量范数是线性代数中常用的概念，它们之间存在一定的关系。
本文将从矩阵范数和向量范数的定义、性质以及它们之间的联系等方面进行阐述。
我们来介绍矩阵范数和向量范数的定义。
矩阵范数是定义在矩阵上的一种范数，它可以将一个矩阵映射为一个非负的实数。
常见的矩阵范数有Frobenius范数、1-范数、2-范数和∞-范数等。
以Frobenius范数为例，对于一个矩阵A，它的Frobenius范数定义为矩阵元素平方和的平方根，即∥A∥F = √(∑∑|aij|^2)。
向量范数是定义在向量空间中的一种范数，它可以将一个向量映射为一个非负的实数。
常见的向量范数有1-范数、2-范数和∞-范数等。
以2-范数为例，对于一个向量x，它的2-范数定义为向量元素平方和的平方根，即∥x∥2 = √(∑|xi|^2)。
矩阵范数和向量范数之间存在一定的联系。
首先，对于一个n维向量x，可以将其看作是一个n×1的矩阵。
此时，向量范数就可以看作是矩阵范数的一种特殊情况。
例如，向量的2-范数就是矩阵的2-范数。
因此，矩阵范数可以看作是向量范数的推广。
矩阵范数和向量范数之间满足一些性质。
例如，对于一个矩阵A和一个向量x，满足以下性质：1. 三角不等式：对于任意的矩阵A和向量x，有∥A∥ + ∥x∥ ≤∥A + x∥。
2. 齐次性：对于任意的矩阵A和实数α，有∥αA∥ = |α|∥A∥。
3. 子多重性：对于任意的矩阵A和B，有∥AB∥ ≤ ∥A∥∥B∥。
我们来讨论矩阵范数和向量范数的联系。
通过定义可以看出，矩阵范数和向量范数都是对于矩阵或向量的度量。
矩阵范数可以看作是对矩阵的度量，而向量范数可以看作是对向量的度量。
矩阵范数和向量范数都满足范数的定义，即满足非负性、齐次性和三角不等式。
在应用中，矩阵范数和向量范数有着广泛的应用。
矩阵范数可以用于矩阵的相似性度量、矩阵的特征值估计等问题。
而向量范数可以用于向量的相似性度量、向量的正则化等问题。
向量和矩阵的范数
向量和矩阵的范数一、引言向量和矩阵是线性代数中最基本的概念之一，而范数则是线性代数中一个非常重要的概念。
范数可以用来度量向量或矩阵的大小，也可以用来衡量它们之间的距离。
在本文中，我们将讨论向量和矩阵的范数。
二、向量范数1. 定义向量范数是一个函数，它将一个向量映射到一个非负实数。
它满足以下条件：（1）非负性：对于任意的向量x，有||x||≥0；（2）齐次性：对于任意的标量α和向量x，有||αx||=|α|·||x||；（3）三角不等式：对于任意的向量x和y，有||x+y||≤||x||+||y||。
2. 常见范数（1）L1范数：也称为曼哈顿距离或城市街区距离。
它定义为所有元素绝对值之和：||x||1=∑i=1n|xi| 。
（2）L2范数：也称为欧几里得距离。
它定义为所有元素平方和再开平方根：||x||2=(∑i=1nxi^2)1/2 。
（3）p范数：它定义为所有元素p次方和的p次方根：||x||p=(∑i=1n|xi|^p)1/p 。
（4）无穷范数：它定义为所有元素绝对值中的最大值：||x||∞=ma xi|xi| 。
三、矩阵范数1. 定义矩阵范数是一个函数，它将一个矩阵映射到一个非负实数。
它满足以下条件：（1）非负性：对于任意的矩阵A，有||A||≥0；（2）齐次性：对于任意的标量α和矩阵A，有||αA||=|α|·||A||；（3）三角不等式：对于任意的矩阵A和B，有||A+B||≤||A||+||B||。
2. 常见范数（1）Frobenius范数：也称为欧几里得范数。
它定义为所有元素平方和再开平方根：||A||F=(∑i=1m∑j=1naij^2)1/2 。
（2）一范数：它定义为每列元素绝对值之和的最大值：||A||1=maxj(∑i=1m|aij|) 。
（3）二范数：它定义为矩阵A的最大奇异值：||A||2=σmax(A) 。
（4）∞范数：它定义为每行元素绝对值之和的最大值：||A||∞=maxi(∑j=1n|aij|) 。
matlab范数命令
在 MATLAB 中，可以使用 `norm` 函数来计算向量或矩阵的范数。
1. 向量范数：对于一个向量 `v`，你可以使用 `norm(v)` 来计算它的欧几里得范数（默认的范数类型）。
如果你想计算其他类型的范数，你可以指定范数类型作为 `norm` 函数的第二个参数。
例如，`norm(v, 1)` 计算向量 `v` 的 1-范数，`norm(v, 2)` 计算向量 `v` 的 2-范数（即欧几里得范数）。
2. 矩阵范数：对于一个矩阵`A`，你可以使用`norm(A)` 来计算它的Frobenius 范数（默认的范数类型）。
同样，你可以通过指定范数类型来计算其他类型的范数。
例如，`norm(A, 1)` 计算矩阵 `A` 的1-范数，`norm(A, 2)` 计算矩阵 `A` 的 2-范数（谱半径）。
这里是一些例子：```matlab% 向量范数v = [1, 2, 3];euclidean_norm = norm(v); % 欧几里得范数one_norm = norm(v, 1); % 1-范数two_norm = norm(v, 2); % 2-范数% 矩阵范数A = [1, 2; 3, 4];frobenius_norm = norm(A); % Frobenius范数one_norm_of_matrix = norm(A, 1); % 1-范数two_norm_of_matrix = norm(A, 2); % 2-范数```请注意，如果你正在处理非常大的矩阵或向量，可能需要考虑内存使用和计算时间。
在这种情况下，可能需要使用其他方法或工具箱函数来计算范数。
研究生数值分析(2)向量范数与矩阵范数
我们用其度量向量 X (x1, x2, x3)T 的“大小”。
实质上向量范数 X 是一个实值函数， 它满足如下3个条件： (1非负性). 对任意 X R3 ，都有 X 0
当且仅当 X 0 X 0
(2齐次性). 对任意 a R 和向量 X R3 ,
aX a X
(3三角不等式). 对任意 X ,Y R3 , 都有
n
X 2 2
xi
2
n max{
x1 2 ,
x2 2 ,, xn 2} n
X
2
i 1
即有 X n X ，故有 X X n X
2
2
例5 设
X (1, 2, 3)
，求
X ,X ,X
1
2
解：由向量 X 的1，2， 范数定义
X 1 2 3 6 1
X r X 0
rr
r
证毕。
常用的3种算子范数的定义与算式为：p10-11
AX
n
1―范数（列模）
A max
1
X 0
X
1 1
max 1 jn
i 1
aij
2―范数（谱模）
AX
A max 2
X 2
X 0
max ( AT A)
2
∞―范数（行模）
AX
n
A max
X 0
X (1)2 22 (3)2 14 2
X max{ 1 , 2 , 3} 3
(2) 矩阵的范数
定义2 设 N(A) A 是定义在 Rnn 上的实值函数， 如果它满足4个条件：
向量范数和矩阵范数
2. L1范数：对于n维向量x=(x1, x2, ..., xn)，它的L1范数定义为 ||x||1 = |x1| + |x2| + ... + |xn|。它表示向量各个元素的绝对值之和。
向量范数和矩阵范数
3. 无穷范数（L∞范数）：对于n维向量x=(x1, x2, ..., xn)，它的无穷范数定义为 ||x||∞ = max(|x1|, |x2|, ..., |xn|)。它表示向量各个元素的绝对值的最大值。
矩阵范数是对矩阵进行度量或衡量的方式，它是一个将矩阵映射到非负实数的函数。常见 的矩阵范数有谱范数、F范数和1-范数。
1. 谱范数：对于n×n矩阵A，它的谱范数定义为 ||A||2 = max(σ)，其中σ是A的特征值的 模的最大值。谱范数衡量了矩阵的最大特征值的大小，表示矩阵的最大奇异值。
向量范数和矩阵范数
2. F范数：对于m×n矩阵A，它的F范数定义为 ||A||F = √(∑∑|aij|^2)，其中aij表示A的第i 行第j列的元素。F范数衡量了矩阵所有元素的平方和的平方根。
3. 1-范数：对于m×n矩阵A，它的1-范数定义为 ||A||1 = max(∑|aij|)，其中∑表示对所有 列求和。1-范数衡量了矩阵列向量绝对值之和的最大值。
向量范数和矩阵范数
向量范数是对向量进行度量或衡量的方式，它是一个将向量映射到非负实数的函数。常见 的向量范数有欧几里得范数（L2范数）、L1范数和无穷范数（L∞范 ..., xn)，它的欧几里得范数定义为 ||x||2 = √(x1^2 + x2^2 + ... + xn^2)。它表示向量的长度或大小，也可以理解为向量的2范数。
矩阵和向量范数详解-数值计算方法
度量。Rn空间的向量范数 || ·|| 对任意x, y R满n足条件：
(1)
|| x|| 0 ;
|| x|| 0
x
0
（正定性)
(2) || x|| | | || x|| 对任意 C (齐次性)
(3) || x y|| || x|| || y|| （三角不等式)
定义：向量X
( x1,
gg
范数是绝对值的概念的推广，绝对值是一维概念，绝对 值的几何意义就是长度，那么很自然就有了：n维向量长度 就是范数。范数可以推广到无穷维空间。
1. 范数
向量范数和向量的模
向量的模表示的是向量的大小，比如向量
X ( x1, x2...x的n )模为
X x12 x22 ...xn2
向量的范数用于衡量一个向量的大小，是更广义
向量和矩阵范数
主要内容
1、什么是范数 2、向量范数 3、矩阵范数
2
1. 范数
范数是什么？
范数具有“长度”的概念，在线下代数、泛函分析 等相关数学领域，范数表征的是矢量空间中所有矢量的 正长度和大小。范数是对向量和矩阵的一种度量,实际 上是二维和三维向量长度概念的一种推广。
简单来说向量范数可以理解为向量的长度，矩阵范 数可以理解为矩阵的变化大小。
意义：矩阵的谱或叫矩阵的谱半径，在特征值估计、广义逆矩阵 等理论的建树中，都占有极其重要的地位；
定理 对任意算子范数 || ·|| 有( A) || A ||
即 A 的谱半径是A的任意一种范数的下界
证明：由算子范数的相容性，得到 || Ax|| || A || || x||
将任意一个特征根 所对应的特征向量 u代入 | | || u|| || u|| || Au|| || A || || u||
矩阵范数定义
矩阵范数定义矩阵范数是矩阵理论中的一种重要概念，用于描述矩阵的大小或者大小变化。
在数学中，矩阵范数是一个将矩阵映射到实数的函数，它可以用来度量矩阵的大小或变化的幅度，是矩阵理论中重要的工具之一。
矩阵范数有不同的定义方式，其中最常见的是向量范数的定义方法。
矩阵的向量范数是指将矩阵的每一列看作一个向量，对这些向量应用某种向量范数，最终得到的一个数值即为矩阵的范数。
矩阵范数的定义方式有很多种，包括Frobenius范数、1-范数、2-范数、无穷范数等。
Frobenius范数是矩阵范数中最常用的一种，它是指矩阵元素平方之和的平方根。
Frobenius范数可以用来度量矩阵在元素维度上的大小，通常用来衡量矩阵之间的距离。
在机器学习中，Frobenius 范数常用来衡量矩阵的差异，例如矩阵的相似性或者矩阵的重构误差。
1-范数是指矩阵中每一列元素绝对值之和的最大值，它可以用来度量矩阵在列维度上的大小。
1-范数通常用来衡量矩阵的稀疏性，例如矩阵中有多少个元素为0。
在图像处理中，1-范数也被广泛应用于图像压缩算法中。
2-范数是指矩阵的最大奇异值，它可以用来度量矩阵在行和列维度上的大小。
2-范数通常用来衡量矩阵的谱半径，即矩阵特征值的最大值。
在机器学习中，2-范数常用来度量矩阵的条件数，即矩阵最大特征值与最小特征值之比，用来描述矩阵的稳定性和可逆性。
无穷范数是指矩阵中每一行元素绝对值之和的最大值，它可以用来度量矩阵在行维度上的大小。
无穷范数通常用来衡量矩阵中的异常值，例如矩阵中有多少个元素偏离了正常值的范围。
矩阵范数是矩阵理论中的重要概念，它可以用来度量矩阵的大小或变化的幅度，是矩阵理论中重要的工具之一。
在实际应用中，不同的矩阵范数可以用来衡量不同的特性，例如矩阵的稀疏性、谱半径、条件数等。
因此，对于不同的问题，我们需要选择不同的矩阵范数来度量矩阵的大小或变化的幅度。
矩阵的范数计算公式
矩阵的范数计算公式
矩阵的范数计算公式是用来衡量矩阵的大小或者称之为矩阵的“长度”。
在线性代数中，范数是一个向量空间中的长度或大小的概念的推广。
矩阵的范数计算公式可以帮助我们更好地理解矩阵的性质和特点，对于矩阵的分析和运算具有重要的意义。
矩阵的范数计算公式有很多种，比如矩阵的1-范数、2-范数和∞-范数等。
每种范数都有其特定的定义和计算方式，用来衡量矩阵在不同情况下的大小或者“长度”。
1-范数是矩阵的列和范数，表示矩阵的各列向量的模的最大值。
2-范数是矩阵的谱范数，表示矩阵的特征值的平方根的最大值。
∞-范数是矩阵的行和范数，表示矩阵的各行向量的模的最大值。
这三种范数分别从不同的角度衡量了矩阵的大小，可以根据具体的问题和需求选择合适的范数进行计算。
矩阵的范数计算公式可以帮助我们衡量矩阵的大小，进而分析矩阵的性质和特点。
在实际应用中，矩阵的范数计算公式常常用于优化问题、控制系统、信号处理和统计分析等领域。
通过计算矩阵的范数，我们可以更好地理解矩阵的结构和性质，为问题的求解和分析提供有力的工具和方法。
总的来说，矩阵的范数计算公式是线性代数中重要的概念之一，对于矩阵的分析和运算具有重要的意义。
通过熟练掌握矩阵的范数计
算公式，我们可以更好地理解矩阵的性质和特点，为问题的求解和分析提供有力的支持。
希望通过本文的介绍，读者能够对矩阵的范数有更深入的了解，并能够灵活运用范数计算公式解决实际问题。
矩阵和向量的一范数
矩阵和向量的一范数
矩阵和向量是线性代数中的重要概念，它们广泛应用于多个领域，例如科学、工程、经济学、统计学等。
其中，矩阵和向量的一范数是两种数学对象的重要度量方式之一。
矩阵是一种数学对象，是一组数按照矩形排列的数表。
矩阵的一范数是由所有矩阵中元素的绝对值之和组成的。
例如，对于一个3×3的矩阵A，其一范数可以表示为：
换句话说，矩阵的一范数是矩阵中元素绝对值之和的最大值。
它的计算可以简单地遍历矩阵中的每一个元素，并计算出它们的绝对值之和。
向量是矩阵的一种特殊情况，只有一个维度，可以看作是一个
1×n的矩阵。
向量的一范数是由向量中所有元素的绝对值之和组成的。
例如，对于一个n维向量x，其一范数可以表示为：
换言之，向量的一范数就是向量中每个元素的绝对值之和。
向量的一范数也可以称作“曼哈顿距离”，因为它计算的是从原点出发到向量终点的曼哈顿距离。
矩阵和向量的一范数是两种数学对象的度量方式。
它们广泛应用于多个领域，例如统计学、机器学习和深度学习等。
作为一个度量方式，一范数可以用于回归分析、模型参数正则化等多个应用场景。
在模型参数正则化中，一范数正则化可以用于对模型进行稀疏化处理，即通过最小化一范数来找到最重要的特征，去掉无用的特征，从而达到简化模型的目的。
另外，一范数还常用于检查向量中存在的异常值和异常数据点等。
总之，矩阵和向量的一范数是线性代数中重要的度量方式之一，广泛用于回归分析、模型参数正则化和异常检测等领域。
它们的计算简单明了，容易理解，是数学工具箱中不可或缺的组成部分。
向量与矩阵范数矩阵条件数
定理：设 || ꞏ || 是 Rn 上的任一向量范数，其对应的算子范数 也记为 || ꞏ || ，则有
Ax A x
证明：直接由算子范数定义可得。
该性质就是矩阵范数与向量范数的相容性
定理：设 || ꞏ || 是任一算子范数，若 ||B||<1 ，则 I±B 非奇异，
且
IB
1
1
1
B
向量与矩阵范数 矩阵条件数
1
向量内积，向量范数 常见向量范数：1、2、p、 范数的性质（连续性、等价性） Cauchy-Schwarz 不等式 向量序列的收敛性
3
常见向量范数
Rn 空间上常见的向量范数
1-范数： 2-范数： p-范数：
n
x 1 xi = |x1 | | x2 |
算子范数
常见的算子范数
① 1-范数（列范数） ② 2-范数（谱范数） ③ -范数（行范数）
矩阵范数性质
9
n
A
1
max
1 jn
i1
aij
A 2 ( AT A)
n
ABiblioteka max1 i n
j 1
aij
证明：③ ② 板书，① 为作业
11
(1) 连续性：设 f 是 Rnn 上的任一矩阵范数，则 f 关于 A 的
注：教材上的定义不太严谨 A max Ax
x 0 x
算子范数举例
证明：板书
10
例：设
A
1 3
解：板书
2 4 计算
A 1,
A 2,
A,
A F
12
算子范数性质
定理：设 || ꞏ || 是任一算子范数，则 ( A) A
向量范数和矩阵范数知识点总结
向量范数和矩阵范数知识点总结《向量范数和矩阵范数知识点总结：一场有趣的数学冒险》嘿，大家好呀！今天咱来唠唠向量范数和矩阵范数这俩家伙，那可真是数学世界里一对有趣的“难兄难弟”啊！咱先说向量范数，它就像是给向量套上了一个“紧箍咒”，用来衡量这个向量的大小或长度。
想象一下，向量就像个调皮的小猴子，在数学丛林里上蹿下跳，而向量范数就是那个抓住它、给它定个大小的“如来佛祖的手掌”。
它能让我们清楚地知道这个向量到底有多“厉害”或者多“弱小”。
这玩意儿有好多类型呢，比如咱常见的1-范数、2-范数啥的。
它们各有各的特点，就像不同的魔法技能。
1-范数呢，就像是给向量的每个分量都贴上了个小标签，然后把这些标签加起来，简单粗暴。
而2-范数就有点高深了，它是通过一个神奇的公式算出来的，就像给向量做了一次美容，让它以最帅气的样子展现出来。
再来说说矩阵范数，这可是个大家伙。
它就像个“大管家”，管理着矩阵这个“大家庭”。
矩阵范数可以衡量矩阵的“能量”或者说“影响力”。
想象一下，矩阵就像个有很多房间的大房子，矩阵范数就是给这个房子估个价。
矩阵范数也有好多分类，像什么Frobenius 范数啊，那可是矩阵范数界的明星。
它把矩阵的每个元素都照顾到了，算出一个综合的值。
这就好像给矩阵进行了一次全面的体检，看看它到底有多健康。
学这些范数的时候啊，那可真是一场刺激的冒险。
有时候感觉就像在走迷宫，到处都是弯弯绕绕，一不小心就迷路了。
但当你突然找到了那条正确的路，哇，那种感觉简直爽翻了！就像你在黑暗中突然找到了一盏明灯。
不过别怕，虽然它们有点复杂，但只要咱多琢磨琢磨，多做几道题，慢慢地就会和它们成为好朋友啦。
当你真正掌握了它们，就会发现它们其实也没那么可怕，反而还挺有趣的呢！总之，向量范数和矩阵范数就像是数学世界里的宝藏，只要我们勇敢地去挖掘，就一定能找到属于我们自己的惊喜。
加油吧，小伙伴们！让我们一起在这场有趣的数学冒险中勇往直前！。
向量与矩阵的范数
3.5 向量与矩阵的范数
一、. 向量范数： 对n维实空间Rn中任一向量X ，按一定规则有一
确定的实数与其相对应，该实数记为||X||，若||X||满足 下面三个性质： (1)(非负性)||X||0，||X||=0当且仅当X=0。 (2)(齐次性)对任意实数 ，|| X||=| | ||X||。 (3)(三角不等式)对任意向量YRn，||X+Y||||X||+||Y||
解：A=[1,2,3,4;2,3,4,1;3,4,1,2;4,1,2,9]; n1=norm(A,1), n2=norm(A), n3=norm(A,inf)，n4=norm(A, 'fro') n1=16，n2=12.4884，n3=16，n4=13.8564
计算方法三⑤
15/35
•矩阵范数的性质：
|λE-A’A|=0 λ2-30λ+4=0
——弗罗贝尼乌斯 (Frobenius)范数 简称F范数
12/35
几种常用的矩阵范数：
弗罗贝尼乌斯 (Frobenius) 范数简称F范数
计算方法三⑤
13/35
Matlab中计算矩阵的范数的命令(函数)：
(1) n = norm(A) 矩阵A的谱范数(2范数), = A’A的最大特征值的算术根
定义：设A非奇异，称||A-1|| ||A|| 为矩阵A的条件数, 记为Cond (A)，即Cond (A)= ||A-1||||A||.
当cond(A)>>1，则方程组称为“病态”的； 当cond(A)较小时，则方程组称为“良态”的。
计算方法三⑤
28/35
>>cond(a,p)
通常使用的条件数有：
证:设λ为A的任意一个特征值, X为对应的特征向量 AX=λX
1.1、向量范数与方阵范数
nn nn
)
则称实函数 || A ||为方阵 A 的范数. 注: 注意方阵范数与向量范数定义的区别.
A
由知① ② ③ || X || 是向量范数.
A
矩阵范数
1. 方阵范数的概念:
定义1
A C nn , 规定一个实函数, 记
|| A || ,满足以下四个条件:
①正定条件: A 0时 || A || 0 ②齐次条件: || aA || | a | || A || (a C )
p
证明 设
p 1, p 2 时结论显然.
p
1 2
以下看
情况.
n n k i i
X (x , x ,
n p
, x ) C , X 0, | x | max | x | 0
p
1 p
x ) || X || p ( | x | ) | x | ( x
n i
p p 1 i n i
记为 || X || lim || X || max | x |
p p 1 i n i
例 设 A 是 n阶正定矩阵, X R 列向量,
n
证明|| X || ( X AX ) 是向量范数(称为加权范
T A
1 2
数或椭圆范数).
证明 ①X R , X 0 由A正定知 || X || 0
n
A
显然成立.
② a R, 都有
|| aX || ((aX ) A(aX ))
向量与矩阵的范数
那么
n
X X H *
xi
X 1
i 1
矩阵旳谱半径及其性质
定义：设 A C mn ，A 旳 n 个特征值为 1, 2, , n ，我们称
( A) max{ 1 , 2 , , n }
为矩阵 A 旳谱半径。 例 1 ：设 A C mn ，那么
( A) A
这里 A 是矩阵 A 旳任何一种范数。
F
F
于是有
AB A B
F
F
F
例 4 ：对于任意 A C nn ，定义
A
[Tr
(
AH
A)]
1 2
证明如此定义旳 A 是矩阵 A 旳范数。
证明： 首先注意到这么一种基本事实，
即
[Tr( AH
1
A)] 2
(
m
n
aij
2
)
1 2
i1 j1
由一种例题可知此定义满足范数旳性质。
Frobenious范数旳性质：
(1)' n
1
(2)' n
2
1
2
(3)' n
2
引理（Hoider不等式）：设
a1, a2, , an T , b1, b2, , bn T Cn
则
n
n
aibi (
ai p ) 1 p ( n
bi
q)
1 q
i 1
i 1
i 1
其中 p 1,
q1 且
1p
是矩阵范数。
证明：非负性，齐次性和三角不等式轻易 证得。目前我们考虑乘法旳相容性。设
A C nn , B C nn ，那么
n
n
AB
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2. 齐次性， 即 aA a A (a R) 3. 三角不等式，即对 则称
N ( A) A
A, B Rnn ,总有 A B A B
AB A B
4. 矩阵乘法不等式，即对 A, B Rnn ,总有 为 R nn 上矩阵
A
的范数（或模）。
在实际应用问题中，矩阵和向量常常具有一定
AX X
1 1
max aij
1 j n i 1
n
AX X
AX
2 2
max ( AT A)
n
∞―范数（行模） A max X X 0
T 其中 max ( A A) max i 1i n
max aij
1i n j 1
T i 为 A A 的特征值。
A2
。
其中 x (1, 2, 3) ,
1 2 0 A 1 2 1 0 1 0
X Y X Y
将向量的长度概念加以推广，便得到向量范数概念。
定义1 设
N(X ) X
是定义在 R n 上的实值函数，
X 0, X 0
如果它满足三个条件：
① 非负性，即 ② 齐次性，即 则称 N ( X ) X 为
பைடு நூலகம்Rn
当且仅当
(a R)
X 0
aX a X
③ 三角不等式，即对 X , Y Rn,总有
X X X
1
1 2 3 6 (1) 2 (3) 14
2 2 2
2
max{ 1 , 2 , 3} 3
(2) 矩阵的范数 定义2 设
N ( A) A
是定义在
R nn
上的实值函数，
如果它满足4个条件： 1. 非负性， 即 A 0,
A 0 当且仅当 A 0
X
2 2 n i 1
X
2
2
，又
2 2 2 2
xi n max{x1 , x2 ,, xn } n X
即有 X 2 n X
，故有 X
X
2
n X
例5 设 X (1, 2, 3) ，求 X 1 , X 2 , X 解：由向量 X 的1，2， 范数定义
T
AT A 的特征方程为 10 20 T I A A 0 10 10
它的根为1 15 5
因而
A
2
5, 2 15 5 5
15 5 5 5.1167
练习:已知矩阵A和向量X，求
X 1, X 2 , X
， A , A1 及
§3 向量范数与矩阵范数 为了学习线性方程组的迭代解法并研究其收 敛性，对方程组的近似解作出误差分析，下面简 要介绍向量范数与矩阵的范数（模），用于描述 向量与矩阵的大小。 (1) 向量的范数
R 3 中的任意向量 对于空间直角坐标系
X ( x1 , x2 , x3 )T
，其长度为
X ( x12 x22 x32 )1/ 2
kA r max
X 0
kAX X
r
r
k max
X 0
AX X
r
r
k Ar
（3）对任意的矩阵 A, B Rnn ，式
A B r max
X 0
( A B) X X AX X
r r r
r
max
X 0
AX BX X
r
r
max(
X 0
AX X
r
r
BX X
r
由于 所以有
max
X 0
AX X
r
r
Y A Y r
X 0
r
1 AY Y r
r r
r
AY
r
Y r max
AX X
ArY
r
此结果显然也适用于Y=0的情形。 再证明
A r max
X 0
AX X
r
r
满足矩阵范数的四个条件。
（1）当A=0时， A r 0 ；当A≠0时，必有 A r 0 （2）对任一数 k R 有
X X
X X
2 1
n X n X
下面验证第2式 设 X ( x1 , x2 ,, xn )T ，则
2
X
[max{x1 , x2 ,, xn }]2 max{x1 , x2 ,, xn } xi X
2 2 2 2 i 1 n 2 2
于是有 X
X
2 2 2 x12 x2 xn 0
满足定义中条件① （2）对任一 k R 有
kX
2
(kxi ) 2 k 2 xi2 k
i 1 i 1
n
n
xi2 k X
i 1
n
2
满足定义中条件②
由 X 2 的含义，可用内积表示，即
X
2
XTX
（3）任取向量 y R
例6 设 解： A max{4 3 ,2 1} 7
A 1 {4 2, 3 1} 6
4 3 A ，求 A , A 1 2 1
及 A2 。
又
4 2 4 3 20 10 A A 2 1 10 10 3 1
X Y
2 2 T
n
，则有
2 2
(X Y) (X Y) X
2X Y Y
T
2 2
根据Cauchy-Schwarz（柯西-施瓦兹）不等式
( X T Y )2 ( X T X )(Y T Y )
有
X Y
2 2
X
2 X 2
2
2
Y
Y 2
2 2
( X
Y 2 )2 2
满足定义中条件③。证毕
向量的2—范数也称为Euclid范数。
其实，向量的1—范数， 2—范数， 范数，
它们都是p—范数
X
p
( xi )
i 1
n
1 p p
的特例，其中，正整数
p 1
，并且有
lim X
p
p
max xi
1i n
容易验证 R n 的3种范数之间有如下关系： X 2 X 1 n X 2
X Y X Y
上向量 X 的范数（或模）。
最常用的如下3种向量范数： n X 1 xi 向量 X 的1—范数： i 1 n X 2 ( xi 2 )1/ 2 向量 X 的2—范数： i 1 X max xi 向量 X 的 范数： 1i n
下面只证 X 2 是向量范数： 证明： （1）由向量的2—范数有
关系，即满足矩阵、向量乘法的相容性，且有结论
AX A X
定理 设向量 范数
X
r
X Rn ,
n A R n，给定一种向量 矩阵
，令
A
r
max
X 0
AX X
r
r
,
则它与所给定的向量范数相容，称为矩阵 A 的算子范数。
证 首先证明相容性。
n A R nn 和任意的非零向量 Y R 对任意矩阵
我们用其度量向量的“大小”。
实质上是向量 X 的一个实值函数， 它满足如下3个条件： (1非负性). 对任意 X R 3 ，都有 X 0 当且仅当 X 0 ，有 X 0 (2齐次性). 对任意 a R 和向量
aX a X
X R3
,
(3三角不等式). 对任意 X , Y R3 ,都有
r
)
max
X 0
max
X 0
BX X
r
r
Ar B
r
成立。
（4）
AB r max
X 0
ABX X
X 0 r
r
max A r
X 0 r r
BX X
r r
r
A r max
证毕。
BX X
Ar B
常用的3种算子范数的定义与算式为：p10-11 1―范数（列模） A 1 max X 0 2―范数（谱模） A 2 max X 0